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8/6/2019 Premiere 9 Exercices Sur Les Suites Corriges
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r 4
LES SUITES
EXERCICE 1
La suite (un) est une suite arithmtique de raison r.
1. u5 = 7, r = 2.
Calculer u1, u25, u100.
2. u3 = 12, u8 = 0.Calculer r, u0, u18.
3. u7 = , u13 = .
Calculer u0.
EXERCICE 2
La suite (un) est une suite gomtrique de raison b.
1. u1 = 3, b = -2.
Calculer u4, u8, u12.
2. u3 = 2, u7 = 18.
Calculer u0, u15, u20.
EXERCICE 3
Une suite arithmtique (un) est telle que u2 + u3 + u4 = 15 et u6
= 20.
Calculer u0 et la raison.
EXERCICE 4
Dterminer sept nombres impairs conscutifs dont la somme est
7.
EXERCICE 5
Une suite arithmtique (un) de raison 5 est telle que u0 = 2
et, n tant un nombre entier,
Calculer n.
EXERCICE 6
Dterminer quatre termes conscutifs d'une suite arithmtique
sachant que leur somme est 12 et la somme deleur carr est 116.
EXERCICE 7
Une suite gomtrique v est croissante et ses termes sont
strictement ngatifs.
1. Justifier que la raison b de la suite est telle que 0 < b
< 1.
2. On suppose que v1v3 = et v1 + v2 + v3 = .
Calculer v1, v2, v3 et b.
EXERCICE 8
Calculer les sommes S et S'.S = 2 + 6 + 18 + ... + 118 098
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r 4
S' = 2 +
EXERCICE 9
Au cours d'une bourse aux livres, un manuel scolaire perd chaque
anne 12% de sa valeur. Un livre a t achetneuf en 1985, il cotait
alors 150F. Quel est son prix la bourse aux livres de 1990 ? de
1995 ?
EXERCICE 1
1. La suite un est arithmrique de raison r, donc pour tous
entiers naturels n et p, u n = u p + (n - p)r.
Donc : u1 = u5 + (1 - 5)r = 7 - 4 2 = 7 - 8 = -1
u25 = u5 + (25 - 5)r = 4 + 20 2 = 7 + 40 = 47
u100 = u5 + (100 - 5)r = 7 + 95 2 = 7 + 190 = 197
2. La suite un est arithmrique de raison r, donc pour tout
entier naturel n, un = u 0 + nr.
Or, u3 = 12 et u3 = u0 + 3r, donc : u0 + 3r = 12 ;u8 = 0 et u8 =
u0 + 8r donc u0 + 8r = 0.
Rsolvons le systme :
Ce qui nous donne et
Et donc u18 = u0 + 18r = -24
3. u7 = u0 + 7r donc u0 + 7r = 7/2
et u13 = u0 + 13r donc u0 + 13r = 13/2.
Rsolvons le systme :
Ce qui nous donne u0 = 0 (et r = 1/2).
EXERCICE 2
1. La suite (un) est une suite gomtrique de raison b, donc pour
tous entiers natruels n et p, u n = up bn - p.
u4 = u1 b4 - 1 = 3 (-2)3 = - 24
u8 = u1 b8 - 1 = 3 (-2)7 = -384
u12 = u1 b12 - 1 = 3 (-2)11 = -6 144
2. La suite (un) est une suite gomtrique de raison b, donc pour
tout enteir naturel n, u n = u0 bn.
Or, u3 = 2, donc u0 b3 = 2
et u7 = 18, donc u0 b7 = 18.
D'o :
soit : b4 = 9
Donc : b = 3
Donc : b = - 3 ou b = 3.
Si b = 3 :
CORRECTION
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r 4
Si b = - 3 :
EXERCICE 3
(un) est une suite arithmtique de raison r, donc pour tout
entier naturel n, u n = u0 + nr.
Donc : u2 + u3 + u4 = 15 u0 + 2r + u0 + 3r + u0 + 4r = 15 3u3 =
15 u0 + 3r = 5
Et u6 = 20 donc u0 + 6r = 20.
D'o le systme :
Ce qui nous donne : u0 = -10 et r = 5
Donc : pour tout entier naturel n, un = -10 + 5n.
EXERCICE 4
Un nombre impair est un nombre de la forme 2n + 1 o n est un
entier naturel.Donc on peut traduire l'nonc par :2n + 1 + (2n + 3)
+ (2n + 5) + (2n + 7) + (2n + 9) + (2n + 11) + (2n + 13) = 7ce qui
quivaut : 14n + 49 = 7soit : 2n + 7 = 7D'o : n = 21
Les sept nombres impairs cherchs sont donc : 43; 45; 47; 49; 51;
53 et 55.
EXERCICE 5
(un) est une suite arithmtique de raison 5 et de premier terme u
0 = 2, donc :
pour tout entier naturel n, un = u0 + 5n = 2 + 5n.
D'o : u3 = 2 + 5 3 = 17.
On sait que , donc :
L'quation admet donc deux solutions :
Or n tant un entier, la seule solution possible est n = 50.
L'entier cherch est 50.
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Rappel : la somme des termes d'une suite arithmtique est donne
par : nombre de termes (premier terme +
dernier terme)/2.EXERCICE 6
Soit a,b,c et d les quatre termes .Alors a + b +c +d = 12 et
a+b+c+d = 116.
Or b = a + r , c =a + 2r et d = a +3r.Donc on peut crire a + b
+c +d = 12 4a +6r = 12 et a+b+c+d = 1162a + 6ar +7r = 58.Rsolvons
le systme 2a + 6ar +7r = 58 et 4a +6r = 12.On trouve deux couples
solutions : {{a=-3,r=4},{a=9,r=-4}}
EXERCICE 7
1. Si b est infrieur 0 alors la suite est non monotone. Si b est
suprieur 1 alors la suite est dcroissante donc0 < b < 1. 2. B
est diffrent de 0 sinon v 1v3 = 0.
Or v1v3 = 4 /9.
D'o v1v3 = (v2/b)v2b = (v2) = 4/9
D'o v2
= -2 / 3 car v est croissante et ses termes sont strictement
ngatifs.
v1 + v2 + v3 = v2 /b + v2 + v2 b= -19/9 (-2/3)/b +(-2/3) +
(-2/3)b = -19/9.
(-2/3)b^2 +(-2/3)b +(-2/3) = -19/9bce qui donne b 2/3 car 0 <
b < 1.
EXERCICE 8
S = 2 + 6 + 18 + ... + 118 098Soit (Un)avec n appartenant N
dfini par : u0 = 2 et un+1 = 3un
D'o S = u0 ( 1 - 3n+1)/(1-3)Dterminons n tel que un = 118
098
un = u0 3n 118 098 = 2 3n 59049 = 3n n= 10 (on peut le trouver
en faisant ln(58049)/ln(3))
D'o S = 59048
S' = 2 +
Soit (Un)avec n appartenant N dfini par : u0 = 2 et un+1 =
1/3un
D'o S = u0 ( 1 - (1/3)n+1)/(1-(1/3))
Dterminons n tel que un = 2/59049
un = u0 (1-3)n
2/59049= 2 (1/3)n
2/59049/2 = (1/3)n
n= 10 (on peut le trouver en faisantln(2/59049/2)/ln(1/3)
S=
EXERCICE 9
Traduisons cette nonc par une suite (Un) avec n appartenant
[1985 ; + [ dfinie par : u1985 = 150 et un-1985
= u1985(88/100)n-1985 .
U1990 = 150 (88/100)5 79,16 Fr
U1995 = 150 (88/100)10 41.78 Fr
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