SH'

MH

N

T'

(C1)

I'T

A

S'

(C2)

I

M'

LE PRISME

1) Dfinitions .

Un prisme est un milieu transparent, homogne et isotrope, limit par deux dioptres plans non parallles.

La droite d'intersection des deux plans (qui n'existe pas toujours matriellement) est l' arte du prisme. Tout plan perpendiculaire l'arte est un plan de section principale. L'angle A form par les deux plans est l' angle du prisme . La base du prisme , face oppose l'arte, ne joue aucun rle optique et peut ne pas tre plane.

L'tude du prisme sera faite avec les hypothses suivantes: les faces du prisme sont en contact avec le mme milieu extrieur d'indice absolu n2 .

le prisme, d'indice absolu n1 , est plus rfringent que le milieu extrieur: n1n2 n=n1n21.

les rayons incidents sont dans un plan de section principale. la lumire est monochromatique, sauf dans la dernire partie (tude de la dispersion).

2) Marche d'un rayon lumineux dans une section principale .

Le rayon incident SI se rfracte selon II' en se rapprochant de la normale au premier dioptre n1 ri. Si l'angle d'incidence sur le second dioptre, r', est infrieur

l'angle de rfraction limite tel que sin= 1n

, il y a rfraction

en I', le rayon I'S' merge en s'loignant de la normale au second dioptre: i 'r ' . Le rayon incident est toujours dvi vers la base du prisme. Si r ' , il y a rflexion totale en I'.

3) Relations entre les angles .

Les lois de la rfraction en I et I' donnent: sin i=n sinrsin i '=n sinr '

Dans le triangle II'H: A=rr ' Dans le triangle II'K: D= ir i 'r '=ii 'A

Ces relations sont valables dans tous les cas (pour n > 1) en orientant les angles, compts partir des normales aux dioptres, dans le sens trigonomtrique pour i et r et dans le sens inverse pour i', r' et D.

4) Construction gomtrique des rayons rfracts .

On applique deux fois la construction d'Huygens. Les deux cercles de centre A, C1 et C2 , ont pour rayons R1 et R2=n R1. Le rayon TA parallle au rayon incident SI se rfracte sur le premier dioptre selon AM', donc le rayon rfract II' est parallle AM'. AM' se rfracte sur le second dioptre selon ANT', donc le second rayon rfract I'S' est parallle ANT'. Si M'H' ne coupe pas le cercle C1 le rayon rfract ANT' n'existe pas, il y a rflexion totale en I'.

arte

base

A

Section principale

S

II'

H

KD

i r r'i'

A

A

S'

5) Conditions d'mergence .

a .Condition pour A .

Le rayon intermdiaire II' se rfracte en I' si r ' Ar ou Ar. Or r donc A2 .

b.Condition pour i .

Si A2 , les rayons qui peuvent merger sont ceux pour lesquels r ' Ar ou encore rA , d'o sin rsin A . Or sin i=n sin r sin in sin A . Donc iimin tel que sin imin=n sin A . Un rayon TI arrivant sur la surface du premier dioptre sous l'incidence imin merge en rasant la surface du second dioptre.

D'aprs la loi du retour inverse de la lumire, un rayon incident SI rasant la surface du premier dioptre mergera sous l'angle i 'min=imin.

c . Exemples des divers cas .

Pour un prisme d'indice n=2, l'angle limite de rfraction vaut =45.

A2 A=2 A2 A= A A=0r ' rflexion un seul rayon A0 imin=0 imin0 imin = -90

aucun rayon mergent imin0 D=0mergent pour i=90 i=i '

5) Etude thorique et exprimentale de la dviation .

L'angle de dviation D dpend du prisme utilis, donc de n et A, et de l'angle d'incidence i.

D=f A, n , i dD=DAn, i dAD n A, i dnD i A, n di a . Influence de A .

Exprience avec un prisme eau (n = 1,33), d'angle A variable, utilis sous incidence normale: i = 0. On observe que la dviation D augmente quand A augmente, i et n

restant constants, donc DAn, i0. Dmonstration : D = i + i' - A avec i et n constants, donc r constant.

DAn, i=i 'AA n, i= i 'An, i1. sin i 'A n, i=cos i ' i 'An, i=nsin r 'A n, i=n cos r ' r 'An, i=n cos r ' car r 'An, i=1. D'o DAn, i=n cos r 'cos i '1. Or n1 et r'i' cos r 'cos i ' , on a bien DAn, i0.

S

II'

T'

T

imin l

l

i'min

A

S'

i'A

A

D

3 b . Influence de n .

Exprience avec un polyprisme, ensemble de plusieurs prismes, de mme angle mais d'indices diffrents, utiliss sous la mme incidence.

On observe que D augmente quand n augmente D n A, i0. Dmonstration : D = i + i ' - A avec i et A constants donc D n A, i= i 'nA, i . sin i ' n A, i=cos i ' i ' nA, i=sin r 'n cos r ' r 'n A, i i ' nA, i= 1cos i 'sin r 'n cos r ' r 'n A, i. Or rr '=A rnA, i r ' n A, i=0 et sin i=n sin r 0=sin rn cos r r nA, i . Donc r nA, i=1n tan r= r ' n A, i D n A, i= 1cos i 'sin r 'n cos r ' 1n tan r. Dn A, i=cos r.sin r 'cos r ' .sin rcos r.cos i ' = sin rr 'cos r.cos i '= sin Acos r.cos i ' ; sin A0, cos r0 et cos i '0 D n A, i0. c . Influence de i .

Exprience avec un prisme tournant autour de son arte.

On observe que D est minimale pour une valeur particulire i0 de

l'angle d'incidence D i A, n=0 pour i=i0 . Dmonstration : D = i + i ' - A avec n et A constants donc D i A, n=1 i ' i A, n . sin i ' i A, n=cos i ' i ' i A, n=n cos r ' r ' i A, n i ' i A, n=n cos r 'cos i ' r ' i A, n . Or rr '=A r i A, n r ' i A, n=0 et sin i=n sin r cos i=n cos r r i A, n . D'o r i A, n= 1n cos icos r= r ' i A, n D i A, n=1 n cos r 'cos i ' 1n cos icosr =1 cos i.cos r 'cos i ' . cos r . D i A, n=0 cos i.cos r '=cos i ' . cos r ou bien 1sin2 i1sin2 r '=1sin2 i '1sin2 r . 1sin2 i1 sin2 i 'n2 =1sin2 i '1 sin

2 i

n2 ; 1 1n2sin2 i '=1 1n2sin2 i. Comme n>1, i est solution de sin2 i=sin2 i ' soit i=i ' . Seule la solution i = i' convient car si i = -i' alors r = - r', ce qui est incompatible avec r + r' = A>0.

Donc D est minimale quand i = i' r=r '=A2

et i=i0 tel que sin i0=n sinA2

.

La dviation minimale vaut Dmin=ii 'A=2 i0A. Les mesures de A et Dmin permettent de calculer l'indice du prisme:

i0=ADmin

2 et sin i0=n sin r0 avec r0=r '0=

A2

n=sin

ADmin2

sinA2

Quand la dviation est minimale, i=i '=i0 et r=r '=A2

.

Le triangle AII' est isocle et le trajet de la lumire est symtrique par rapport la bissectrice Ax de l'angle A.

Le rayon II' est perpendiculaire Ax.

A

i

D

S

I I'

x

Dmin

i0 r

0r

0

i0

A

S'

n croissant

4 Allure de la courbe D = f(i):

La condition d'mergence pour A A2 tant satisfaite, on a imini90 et 90 i 'imin .

i = imin i' = 90i = 90 i' = imin] donc D=90iminA.

D i A, n=1 cos i.cos r 'cos i ' . cos r . Quand i=imin , D i A, n car cos i' = 0. Quand i = 90, D i A, n=1 car cos i = 0. On remarque qu'on obtient la mme dviation pour deux angles d'incidence diffrents i1 et i2. Quand i=i1 , l'angle d'mergence vaut i '=i2 et quand i=i2 alors i '=i1 .

6) Cas d'un prisme d'angle faible utilis sous faible incidence .

Si A et i sont faibles, r, r ' et i ' le sont aussi.

in ri 'n r 'A=rr ']

D=ii 'An rr 'A=n1A.Donc D est pratiquement constant, sa valeurtant celle de la dviation minimale:

sin i0=n sin r0=n sinA2

i0 nA2

.

Dmin=2 i0An1A. i0=nA2

7) Dispersion .

Avec un faisceau incident de lumire blanche, on observe un spectre continu du rouge au violet, la dviation des rayons augmentant quand la longueur d'onde diminue.

Donc D A, i0. D A, i=D n A, i . dnd avec Dn A, i0 d'o dnd 0. Pour les verres optiques on utilise souvent la relation de Cauchy n2=a b

2 c4

o a, b, c sont trois constantes

dtermines exprimentalement en mesurant n pour trois longueurs d'onde diffrentes.

-90 90

(n-1)A

i

D

90 + imin

- A

imin

i1 i

0 i

2 90 i

Dmin

=2 i0-A

D

S

Ii

A

spectrecontinu