Probabilités et statistiques au lycée

Les programmes actuels

2000

1. Contenus

Seconde

• Statistiques descriptives :Représentations - Moyenne - Médiane - Etendue.

• Propriétés de la moyenne.

• Simulations.

Premières ES et S

• Résumés Statistiques : Moyenne - Ecart-type Médiane - Ecart interquartile

• Probabilités :Variable aléatoire, Espérance, Ecart-typeLien avec les statistiques

• Simulation de lois de probabilité :La loi des grands nombres

Terminales S

• Probabilités conditionnelles. Indépendance.

• Loi binomiale.

• Lois continues: Loi uniforme.Loi exponentielle.

• Adéquation à une loi équirépartie.

Terminales ES

• Probabilités conditionnelles. Indépendance.

• Loi binomiale.

• Régression linéaire.

• Adéquation à une loi équirépartie.

2. Philosophie des programmes

En seconde le travail sera centré sur :

• La réflexion conduisant au choix de résumés numériques d’une série statistique quantitative.

• La notion de fluctuation d’échantillonage.

• La simulation à l’aide d’un générateur aléatoire.

En première :

• Les simulations faites en classe de seconde amènent la construction de modèles mathématiques : Les probabilités.

• On définit ainsi les correspondants théoriques des caractères, moyennes et écarts-types.

• La loi des grands nombres introduite comme théorème mathématique justifie alors l’emploi des simulations.

En terminale

• Le paragraphe « Adéquation à une loi équirépartie » permet de réinvestir les statistiques vues en seconde et première tout en constituant une introduction à la problèmatique des tests.

3. La simulation en seconde

Expériences de référence

• Lancer d’un dé équilibré.

• Lancer d ’une pièce de monnaie équilibrée.

• Tirage dans une urne

De l’expérience à la simulation (1)

Lancer effectif de dés :

- Permet de réinvestir ce qui a été vu en statistique descriptive.

- La mutualisation des résultats permet d’obtenir un effectif total satisfaisant pour une première observation de certains phénomènes. (exemple: A-t-on plus de chance d’obtenir un total de 4 ou 5 en lançant 2 dés?)

- Une fois les caractéristiques de l’expérience comprises et acceptées (chaque face du dé à la même chance d’apparaître, le dé ne se souvient pas du résultat que l’on vient d’obtenir) on peut passer à l ’étape suivante.

De l’expérience à la simulation (2)

Utilisation de la fonction ALEA de la calculatrice :

- L’élève peut, grâce à sa calculatrice, simuler un nombre raisonnable d’expériences. Cela permet d’éviter des lancers de dés fastidieux.

- Il doit être capable de décider d’une stratégie de simulation:

Exemples : - Comment simuler un tirage d ’une boule dans une urne contenant n boules blanches et p boules noires.

- Simuler les naissances dans 100 familles de 3 enfants afin de comparer le nombre de familles de 3 filles avec celles de 2 filles et 1 garçon.

De l’expérience à la simulation (3)

Utilisation d ’un tableur :

Le tableur présente un double avantage par rapport à la calculatrice:

- Le nombre d’expériences simulées peut être beaucoup plus important.

- Il permet une présentation agréable des résultats grâce aux différentes représentations graphiques disponibles.

Thèmes d’études

• Le programme de seconde précise que pour chaque chapitre on choisira un ou plusieurs thèmes d’étude (en fonction de l’intérêt et du goût de l’élève)

Thèmes d’études (1)

- Simulations de pile ou face: distribution des fréquences du nombre maximum de coups consécutifs égaux dans une simulation de 100 ou 200 lancers d'une pièce équilibrée.; distribution de fréquences du gain sur un jeu d'au plus dix parties où on joue en doublant la mise (ou en la triplant) tant qu'on a pas gagné.

Thèmes d’études (2)

• Simulations du lancer de deux dés identiques et distribution de la somme des faces. On pourra aussi faire directement l'expérience pour bien faire sentir la notion de simulation….

Thèmes d’études (3)

• Simulations de promenades aléatoires sur des solides ou des lignes polygonales, fluctuation du temps et estimation du temps moyens mis pour traverser un cube ou pour aller d'un sommet à l'autre d'une ligne polygonale.

Thèmes d’études (4)

• Simulations de naissances: Distribution du nombre d'enfants par famille d'au plus quatre enfants lorsqu'on s'arrête au premier garçon, en admettant que pour chaque naissance, il y a autant de chances que ce soit un garçon ou une fille.

Thèmes d’études (5)

• Simulations d'un sondage: à l'issue de nombreuses simulations, pour des échantillons de taille variable, on pourra introduire la notion de fourchette de sondage, sans justification théorique. La notion de niveau de confiance 0,95 de la fourchette peut être introduite en terme de "chances" (il y a 95 chances sur 100 pour que la fourchette contienne la proportion que l'on cherche à estimer); on pourra utiliser les formules des fourchettes aux niveaux 0,95, 0,90 et 0,99 pour une proportion observée voisine de 0,5 afin de voir qu'on perd en précision ce qu'on gagne en niveau de confiance. On incitera les élèves à connaître l'approximation usuelle de la fourchette au niveau de confiance 0,95, issue d'un sondage sur n individus ( n > 30 ) dans le cas où la proportion observée est comprise entre 0,3 et 0,7, à savoir :

np

np

1ˆ;

1ˆ