Probabilités et statistiques 2ème partie

Chapitre II: Théorie élémentaire de probabilités

Otheman Nouisser

Ecole Nationale de Commerce et GestionKénitra

3 octobre 2011

Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010

Plan

I. Notions générales (Vocabulaire probabiliste)

II. Notion de probabilités

III. Théorème des probabilités totales

IV. Probabilités composées et conditionnelles

V. Problèmes relatifs aux calculs des probabilités


Notions générales :(Vocabulaire probabiliste)

1- Epreuve aléatoire :

C’est une expérience qu’on peut répéter dans les mêmes conditionset qui donne plusieurs résultas.

Exemple

Lancer un dé- le jeu de pile ou face.


Notions générales (Vocabulaire probabiliste)

2- L’univers des éventualités :C’est l’ensemble des résultats possibles d’une épreuve et on le notepar Ω ( On l’appelle aussi l’ensemble fondamental).

Exemple

Si on lance un dé, l’univers Ω est l’ensemble Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.



3- Evénement :C’est la réalisation d’une ou plusieures éventualités lors de l’examendes résultats d’une épreuve. Autrement dit, c’est un sous-ensembleou partie de l’univers Ω.Si un évenement contient un seul élément, on l’appelle événementélémentaire.

Exemple

Si on lance un dé, l’univers Ω peut être décomposé en deuxévénements :

chiffre pair : E1 = 2, 4, 6.chiffre impair : E2 = 1, 3, 5.



Remarque

- Un événement impossible noté ∅, n’est jamais réalisé.- L’événement Ω est appelé événement certain (car il est toujoursréalisé).


Relations logiques entre les événements

1- Evénement complémentaire :

DéfinitionSoit A une partie de Ω. Le complémentaire de A, également partie deΩ noté A, est l’ensemble des résultats qui conduit à la réalisation del’événement contraire de A. c.à.d., A est réalisé si et seuleument si An’est pas réalise.

⇓

A = CAΩ = Ω \ A.

A est appelé aussi l’événement contraire.

Exemple

Soit l’épreuve qui consiste à lancer un dé. Désignons A l’événement〈〈 obtenir un nombre pair 〉〉.

A = 2, 4, 6 ⇒ A = 1, 3, 5.Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010


1- Evénement complémentaire :

DéfinitionSoit A une partie de Ω. Le complémentaire de A, également partie deΩ noté A, est l’ensemble des résultats qui conduit à la réalisation del’événement contraire de A. c.à.d., A est réalisé si et seuleument si An’est pas réalise.

⇓

A = CAΩ = Ω \ A.

A est appelé aussi l’événement contraire.

Exemple

Soit l’épreuve qui consiste à lancer un dé. Désignons A l’événement〈〈 obtenir un nombre pair 〉〉.

A = 2, 4, 6 ⇒ A = 1, 3, 5.Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010


2- Intersection d’événements- Evénements incompatibles :

DéfinitionL’intersection de deux événements A et B d’un même univers Ω, notéA ∩ B, est l’événement qui est réalisé si A et B sont réalisés.

Exemple

On lance un dé et on note la face visible. Soient les événements- A : 〈〈 Obtenir un nombre pair 〉〉, i.e., A = 2, 4, 6,- B : Obtenir un nombre > 3 , i.e., B = 4, 5, 6.Alors l’événement A∩B : Obtenir un nombre pair et > 3 =4, 6.

DéfinitionDeux événements A et B d’un même univers Ω, sont ditsincompatibles (ou exhaustifs) si A ∩ B = ∅. (c.à.d., leur réalisationsimultannée est impossible).





Exemple







Exemple





3- Réunion des événements :

DéfinitionLa réunion de deux événements A et B d’un même univers, notéeA ∪ B, est l’événement qui est réalisé si A ou B sont réalisés.

Exemple

Un dé est lancé et on note le chiffre de la face invisible.- Soit l’événement A : obtenir un chiffre pair, i.e., A = 2, 4, 6.- Soit l’événement B : obtenir un chiffre divisible par 3 i.e.,B = 3, 6.Alors l’événement A ∪ B = 2, 3, 4, 6 : obtenir un chiffre pair oudivisible par 3 .Considérons maintenant l’événemnt C : obtenir un chiffreinférieure ou égal à 2 = 1, 2. Alors l’événementB ∪ C = 1, 2, 3, 6.



3- Réunion des événements :

DéfinitionLa réunion de deux événements A et B d’un même univers, notéeA ∪ B, est l’événement qui est réalisé si A ou B sont réalisés.

Exemple

Un dé est lancé et on note le chiffre de la face invisible.- Soit l’événement A : obtenir un chiffre pair, i.e., A = 2, 4, 6.- Soit l’événement B : obtenir un chiffre divisible par 3 i.e.,B = 3, 6.Alors l’événement A ∪ B = 2, 3, 4, 6 : obtenir un chiffre pair oudivisible par 3 .Considérons maintenant l’événemnt C : obtenir un chiffreinférieure ou égal à 2 = 1, 2. Alors l’événementB ∪ C = 1, 2, 3, 6.


Notion de probabilité

DéfinitionUn ensemble σ, non vide, d’événements de Ω est une algèbred’événements si :

∀A ∈ σ, A ∈ σ

∀A ∈ σ,∀B ∈ σ, A ∪ B ∈ σ

Remarque

Dans le cas où Ω est fini, P(Ω) est une algèbre d’événements.



DéfinitionSoit σ une algèbre d’événements de Ω. On dit que σ est une tribu si :Pour toute suite infinie dénombrable A1, A2, · · · , An, · · · d’éléments de

σ alors∞⋃i=1

Ai ∈ σ.

Conséquence :∞⋂i=1

Ai ∈ σ

On appelle espace probabilisable un couple (Ω, σ) constitué d’unensemble Ω et d’une tribu d’événements σ de parties de Omega.



Définition

Soit (Ω, σ) un espace probabilisable. Une probabilité P est uneapplication P : σ → [0, 1] telle que :

P(Ω) = 1∀A ∈ σ, ∀B ∈ σ tels que A ∩ B = ∅ on a

P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Si A0, A1, · · · , An, · · · est une suite dénombrable d’événementsincompatibles deux à deux, alors :

P

(∞⋃i=1

Ai

)=∞∑i=0

P(Ai).

On appelle espace probabilisé un triplet (Ω, σ, P).



Remarque

La probabilité de l’événement certain est égale à 1., c.à.d., P(Ω) = 1,et ce qui implique que pour tout événement A on a :

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Dans la suite on suppose que (Ω, σ, P) est un espace probabilisé,c.à.d, P une probabilité sur Ω.


Notion de probabilités

Probabilité de l’événement contraire

Soit un événement A et son contraire A. Alors

P(A) = 1− P(A)

Preuve.

On a A et A sont deux événements incompatibles et doncP(A ∪ A) = P(A) + P(A).Or

A ∪ A = Ω

⇓

P(A) + P(A) = 1

D’où le résultat.



Probabilité de l’événement contraire

Soit un événement A et son contraire A. Alors

P(A) = 1− P(A)

Preuve.

On a A et A sont deux événements incompatibles et doncP(A ∪ A) = P(A) + P(A).Or

A ∪ A = Ω

⇓

P(A) + P(A) = 1

D’où le résultat.



Remarque

la probabilitée de l’événement impossible est nulle, c.à.d., P(∅) = 0.

Preuve

Soit l’événement impossible ∅, et un événement quelconque A. AlorsA et ∅ sont deux événements incompatibles puisque A ∩ ∅ = ∅.Donc :

P(A ∪ ∅) = P(A) + P(∅)

OrA ∪ ∅ = A =⇒ P(A ∪ ∅) = P(A) = P(A) + P(∅)

D’oùP(∅) = 0.



Remarque

la probabilitée de l’événement impossible est nulle, c.à.d., P(∅) = 0.

Preuve

Soit l’événement impossible ∅, et un événement quelconque A. AlorsA et ∅ sont deux événements incompatibles puisque A ∩ ∅ = ∅.Donc :

P(A ∪ ∅) = P(A) + P(∅)

OrA ∪ ∅ = A =⇒ P(A ∪ ∅) = P(A) = P(A) + P(∅)

D’oùP(∅) = 0.



Probabilité d’un événementLa probabilité d’un événement A est égale à la somme desprobabilités des événements élémentaires qui constituent cetévénement. Autrement dit : Soit A = w1, w2, · · · , wp comportant pévénements élémentaires, alors

P(A) =

p∑i=1

P(wi).



Exemple

Un dé pipé (dé non équilibré) a été lancé un grand nombre de fois.Les probabilités des événements suivants ont été relevées :

événement 1 2 4 5 chiffre pairProbabilité de l’événement 0, 1 0, 1 0, 2 0, 2 0, 6

Quelle est la probabilité de l’événement A : Obtenir un chiffre pairou égal à 5 ?

Solution

Dans ce cas A = 2, 4, 5, 6 et doncP(A) = P(2) + P(4) + P(5) + P(6).Considérons l’événement B : Obtenir un chiffre pair , on a alors :

P(B) = P(2) + P(4) + P(6) = 0, 6

ce qui donne que P(6) = 0, 3 et par conséquent P(A) = 0, 8.



Exemple

Un dé pipé (dé non équilibré) a été lancé un grand nombre de fois.Les probabilités des événements suivants ont été relevées :

événement 1 2 4 5 chiffre pairProbabilité de l’événement 0, 1 0, 1 0, 2 0, 2 0, 6

Quelle est la probabilité de l’événement A : Obtenir un chiffre pairou égal à 5 ?

Solution

Dans ce cas A = 2, 4, 5, 6 et doncP(A) = P(2) + P(4) + P(5) + P(6).Considérons l’événement B : Obtenir un chiffre pair , on a alors :

P(B) = P(2) + P(4) + P(6) = 0, 6

ce qui donne que P(6) = 0, 3 et par conséquent P(A) = 0, 8.


Théorème des probabilités totales

L’objectif est de calculer P(A ∪ B) dans le cas où les deuxévénements A et B sont non incompatibles, puisque dans ce casl’axiome des probabilités ne s’applique pas.

ThéorèmeSoient A et B deux événements quelconques d’un univers Ω. Alors

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).



L’objectif est de calculer P(A ∪ B) dans le cas où les deuxévénements A et B sont non incompatibles, puisque dans ce casl’axiome des probabilités ne s’applique pas.

ThéorèmeSoient A et B deux événements quelconques d’un univers Ω. Alors

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).



Preuve.Soient deux événement A et B non incompatibles. Alors A ∪ B peuts’écrire A∪B = A∪ (A∩B). Or A et (A∩B) sont incompatibles. Donc

P(A ∪ B) = P(A) + P(A ∩ B), (1)

Par ailleur, B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B), puisque les deux événements(A ∩ B) et (A ∩ B) sont incompatibles on a :

P(B) = p(A ∩ B)) + P(A ∩ B),

d’oùP(A ∩ B) = P(B)− P(A ∩ B). (2)

Ainsi, en reportant l’expression de P(A ∩ B) dans l’équation (1), onobtient le résulat.



Exemple

Considérons l’expérience de l’exemple précédent. Calculer laprobabilités de l’événement : obtenir un chiffre pair ou supérieurou égal à 5 .

SolutionConsidérons les événements suivants :A l’événement : obtenir un chiffre pair ou ≥ 5 .B l’événement : obtenir un chiffre pair .D l’événement : obtenir un chiffre ≥ 5 .D’après le théorème des probabilités totales on a :

P(A) = P(B ∪ D) = P(B) + P(D)− P(B ∩ D).

Or P(B) = 0, 6, P(D) = P(5) + P(6) = 0, 5 etP(B ∩ D) = P(6) = 0, 3, ainsi on a P(A) = 0, 8.



Exemple

Considérons l’expérience de l’exemple précédent. Calculer laprobabilités de l’événement : obtenir un chiffre pair ou supérieurou égal à 5 .

SolutionConsidérons les événements suivants :A l’événement : obtenir un chiffre pair ou ≥ 5 .B l’événement : obtenir un chiffre pair .D l’événement : obtenir un chiffre ≥ 5 .D’après le théorème des probabilités totales on a :

P(A) = P(B ∪ D) = P(B) + P(D)− P(B ∩ D).

Or P(B) = 0, 6, P(D) = P(5) + P(6) = 0, 5 etP(B ∩ D) = P(6) = 0, 3, ainsi on a P(A) = 0, 8.



Exemple

Soit C, l’événement obtenir un chiffre impair ou inférieur ou égal à3 . Calculer la probabilité de C.

Solution

Soient B, l’événemnt obtenir un chiffre impair et E, l’événement obtenir un chiffre inférieur ou égal à 3 .Alors

P(B) = 0, 4, P(E) = P(1, 2, 3) = 0, 1 + 0, 1 + 0, 1 = 0, 3.

P(B ∩ E) = P(1, 3) = 0, 1 + 0, 1 = 0, 2.

P(C) = P(B ∪ E)

= P(B) + P(E)− P(B ∩ E)

= 0, 4 + 0, 3− 0, 2 = 0, 5.



Exemple

Soit C, l’événement obtenir un chiffre impair ou inférieur ou égal à3 . Calculer la probabilité de C.

Solution

Soient B, l’événemnt obtenir un chiffre impair et E, l’événement obtenir un chiffre inférieur ou égal à 3 .Alors

P(B) = 0, 4, P(E) = P(1, 2, 3) = 0, 1 + 0, 1 + 0, 1 = 0, 3.

P(B ∩ E) = P(1, 3) = 0, 1 + 0, 1 = 0, 2.

P(C) = P(B ∪ E)

= P(B) + P(E)− P(B ∩ E)

= 0, 4 + 0, 3− 0, 2 = 0, 5.


Cas particulier : équiprobabilité des événementsélémentaires

Soit Ω = w1, w2, · · · , wn un ensemble fini. L’équiprobabilitécorrespond au cas où tous les événements élémentaires de Ω ont lamême probabilité de se réaliser.Les événements élémentaires sont incompatibles, donc on a :

P(Ω) = P(w1) + P(w2) + · · ·+ P(wn) = nP(wi) = 1, ∀i = 1, · · · , n.

Ainsi P(w1) = P(w2) = · · · = P(wn) =1n

=1

cardΩ.

En conséquence on a le résultat suivant


Cas particulier : équiprobabilité des événementsélémentaires

Proposition

Soit Ω un ensemble fini et A ∈ P(Ω), où les événements élémentairessont équiprobables. Alors

P(A) =nombre d’éléments de Anombre d’éléments de Ω

=cardAcardΩ

=nombre de cas favorables à la réalisation de A

nombre de cas possibles.


Cas d’équiprobabilité

Exemple

On lance un dé équilibré et on note le chiffre de la face visible.Calculer la probabilité d’obtenir le chiffre 6, un chiffre < 6, le chiffre 2ou 6.

Solution

L’univers Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les événements sont équiprobables.Soient A l’événement : obtenir le chiffre 6 , B l’événement : obtenir le chiffre < 6 et C l’événement : obtenir le chiffre 2 ou 6. Alors on a :

P(A) =cardAcardΩ

=16

,

P(B) =cardBcardΩ

= 1− P(6) =56

,

P(C) =cardCcardΩ

= P(2) + P(6) = P(2, 6) =26

.


Cas d’équiprobabilité

Exemple

On lance un dé équilibré et on note le chiffre de la face visible.Calculer la probabilité d’obtenir le chiffre 6, un chiffre < 6, le chiffre 2ou 6.

Solution

L’univers Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les événements sont équiprobables.Soient A l’événement : obtenir le chiffre 6 , B l’événement : obtenir le chiffre < 6 et C l’événement : obtenir le chiffre 2 ou 6. Alors on a :

P(A) =cardAcardΩ

=16

,

P(B) =cardBcardΩ

= 1− P(6) =56

,

P(C) =cardCcardΩ

= P(2) + P(6) = P(2, 6) =26

.


Probabilités composées et conditionnelles

Soient (Ω, σ, P) un espace probabilisé, A ∈ σ et B ∈ σ tels queP(A) 6= 0 et P(B) 6= 0.

1- Probabilités conditionnelles :

DéfinitionLa probabilité de réalisation d’un événement A sachant qu’unévénement B est réalisé est appelée probabilité conditionnelle de Asachant B et notée P(A/B) ou PB(A) et a pour expression :

P(A/B) = PB(A) =P(A ∩ B)

P(B).



Soient (Ω, σ, P) un espace probabilisé, A ∈ σ et B ∈ σ tels queP(A) 6= 0 et P(B) 6= 0.

1- Probabilités conditionnelles :

DéfinitionLa probabilité de réalisation d’un événement A sachant qu’unévénement B est réalisé est appelée probabilité conditionnelle de Asachant B et notée P(A/B) ou PB(A) et a pour expression :

P(A/B) = PB(A) =P(A ∩ B)

P(B).



Exemple

1- Une carte est tirée au hasard dans un jeu qui comporte 52 cartes.Quelle est la probabilité que cette carte soit une dame sachant qu’ils’agit d’un trèfle ?

SolutionConsidérons les évenements D : Tirer une dame et T : tirerun trèfle , alors

P(D/T ) =P(D ∩ T )

P(T )=

1/5213/52

=113

.



Exemple

1- Une carte est tirée au hasard dans un jeu qui comporte 52 cartes.Quelle est la probabilité que cette carte soit une dame sachant qu’ils’agit d’un trèfle ?

SolutionConsidérons les évenements D : Tirer une dame et T : tirerun trèfle , alors

P(D/T ) =P(D ∩ T )

P(T )=

1/5213/52

=113

.


Exemple

2- Une personne lance un dé équilibré sans voir le résultat. Untémoin l’informe qu’il s’agit d’un résultat différent de 5.Quelle est la probabilité que le résultat soit un chiffre impair ?

SolutionNotons A l’événement : Obtenir un chiffre impairet B l’événement : obtenir un chiffre différent de 5 . Alors,

P(A) = P(1, 3, 5) =36

=12

et P(B) = P(1, 2, 3, 4, 6) =56

.

L’événement A ∩ B := obtenir un chiffre impair différent de 5 ,

d’où P(A ∩ B) = P(1, 3) =26

.


Exemple

2- Une personne lance un dé équilibré sans voir le résultat. Untémoin l’informe qu’il s’agit d’un résultat différent de 5.Quelle est la probabilité que le résultat soit un chiffre impair ?

SolutionNotons A l’événement : Obtenir un chiffre impairet B l’événement : obtenir un chiffre différent de 5 . Alors,

P(A) = P(1, 3, 5) =36

=12

et P(B) = P(1, 2, 3, 4, 6) =56

.

L’événement A ∩ B := obtenir un chiffre impair différent de 5 ,

d’où P(A ∩ B) = P(1, 3) =26

.



suiteLe fait de disposer de l’information supplémentaire relative à laréalisation de l’événement B, réduit la possibilité aux chiffres1, 2, 3, 4, 6, parmi lesquels seuls 1 et 3 sont impairs. Il y a doncdeux chances sur cinq d’avoir un chiffre impair sachant que lerésultat est différent de 5.En utilisant la formule on peut aussi le vérifie :

P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B)=

P(1, 3)P(1, 2, 3, 4, 6)

=2/65/6

=25

.



2-Probabilités composées

Les probabilités conditionnelles permettent de calculer la probabilitécomposée de deux événements.

DéfinitionLa probabilité composée est la probabilité de réaliser simultanémentdeux événements A et B, et on la note P(A ∩ B), et on a

P(A ∩ B) = P(B)P(A/B) = P(A)P(B/A).



2-Probabilités composées

Les probabilités conditionnelles permettent de calculer la probabilitécomposée de deux événements.

DéfinitionLa probabilité composée est la probabilité de réaliser simultanémentdeux événements A et B, et on la note P(A ∩ B), et on a

P(A ∩ B) = P(B)P(A/B) = P(A)P(B/A).



Exemple

Un sac contient 10 boules indescernables au toucher : 4 boules sontblanches, 6 boules sont noires. Une personne tire l’une après l’autre,sans remise 3 boules.Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre : une blanche, unenoire, une blanche ?



SolutionConsidérons les événements suivants :A, l’événement tirer une boule blanche au premier tirage .B, l’événement tirer une boule noire au deuxième tirage .C, l’événement Tirer une boule blanche au troisième tirage .Le problème c’est de calculer P(A ∩ B ∩ C).Le fait d’effectuer des tirages sans remise réduit le nombre depossibilités de choix et rend les tirage successifs dépendants.

1er tirage, il y a 4 blanches parmi 10, donc P(A) =410

.

2ème tirage, il reste 3 blanches et 6 noires, donc P(B/A) =69

.

3ème tirage, il reste 3 blanches et 5 noires, donc

P(C/(A ∩ B) =38

.

AinsiP(A∩B∩C) = P(A)×P(B/A)×P(C/(A∩B)) =

410

69

38

= 0, 1 = 10%.



3- Indépendance de deux événementsLes probabilités conditionnelles permettent de déduire la définitiond’indépendance de deux événements.Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisationde l’un n’influe pas la réalisation de l’autre, ce qui peut se traduire par

P(A) = P(A/B), ou par P(B) = P(B/A)

D’autre part, on a :

P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B); P(B/A) =

P(A ∩ B)

P(A),

D’où

Proposition

Deux événements A et B sont indépendants si et seuleument siP(A ∩ B) = P(A)P(B).



Remarque

1- Il est important de ne pas confondre incompatibilité (A ∩ B = ∅) dedeux événements et indépendance de deux événements, notion quise réfère à la probabilité des événements et qui permet de calculer laprobabilité de la réalisation simultanée de deux événementsindépendants, c.à.d., le calcul de P(A ∩ B).2- Il est possible de généraliser la définition de l’indépendance. Lesévénements E1, E2, · · · , En sont indépendants deux à deux siP(E1 ∩ E2 ∩ · · · ∩ En) = P(E1)× P(E2)× · · · × P(En).



Exemple

Une carte est tirée d’un jeu de 52 cartes. Calculer- La probabilitée de tirer un roi.- La probabilité de tirer un roi sachant que la carte tirée est un coeur.- La probabilitée de tirer le roi de coeur. Commenter.


SolutionSoient A l’événement tirer un roi et B l’événement tirer uncoeur . Alors on a :

P(A) =4

52=

113

, P(B) =1352

, P(A ∩ B) =152

,

avec A ∩ B, l’événement tirer un roi de coeur .

On constate que P(A ∩ B) = P(A)× P(B) =1

13× 13

52=

152

, ce quisignifie que les événements A et B sont indépendants. On a aussi,

P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B)=

1521352

=113

= P(A),

Le fait de savoir que la carte est un coeur ne réduit pas lespossibilités. Les deux événement sont indépendants mais ils ne sontpas incompatibles puisque A ∩ B 6= ∅.



4- Théorème de Bayes

Soient A et B deux événements de Ω tels qu’on sait calculerP(B); P(B); P(A/B); P(A/B)

Problème inverse : Calculer P(B/A) ?

Théorème(Formule de Bayes)

P(B/A) =P(B)P(A/B)

P(B)P(A/B) + P(B)P(A/B).



4- Théorème de Bayes

Soient A et B deux événements de Ω tels qu’on sait calculerP(B); P(B); P(A/B); P(A/B)

Problème inverse : Calculer P(B/A) ?

Théorème(Formule de Bayes)

P(B/A) =P(B)P(A/B)

P(B)P(A/B) + P(B)P(A/B).



Preuve.

P(B/A) =P(A ∩ B)

P(A)=

P(B)P(A/B)

P(A ∩ (B ∪ B))

=P(B)P(A/B)

P(A ∩ B) + P(A ∩ B)

=P(B)P(A/B)

P(B)P(A/B) + P(B)P(A/B)



D’une manière général, soient A1, A2, · · · , An des événementsincompatibles deux à deux (Ai ∩ Aj = ∅∀i 6= j), et tel queA1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = Ω. Soit B un événement de probabilité non nulle.Les informations connues sont :• La probabilité de chacune des événements :P(A1), P(A2), · · · , P(An).• La probabilité de réalisations de B sachant chacune desévénements Ai sont réalisés : P(B/A1), P(B/A2), · · · , P(B/An).Le théorème de Bayes permet de calculer la probabilité del’événement Ai sachant que l’événement B soit réalisé. : P(Ai/B).

Théorème

P(Ai/B) =P(Ai)× P(B/Ai)n∑

j=1

P(Aj)P(B/Aj)

.



Exemple

Le personnel d’une entreprise est composée de 80% de femmes. Onsait que 8% de ces femmes ont une formation supérieure et que 24%des hommes ont une formation supérieure.Quelle est la proportion de personnel ayant une formationsupérieure ?Sachant qu’il a une formation supérieure, quelle est la probabilitéqu’un employé soit une femme ?



SolutionConsidérons les évévenements suivants : A : Etre un employéfemme .B : Etre un employé de formation supérieure .Alors, on a :P(A) = 0, 8; P(B/A) = 0, 08; P(A) = 0, 2; P(B/A) = 0, 24, et on aaussi

P(B) = P(B ∩ (A ∪ A)) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A),

= P(A)P(B/A) + P(A)P(B/A),

= 0, 8.0, 08 + 0, 2.0, 24 = 0, 112.

Ainsi on aura

P(A/B) =P(A)P(B/A)

P(A)P(B/A) + P(A)P(B/A).



Exemple

Trois machines M1, M2, M3 produisent respectivement 50%, 30% et20% de la production d’un produit. 2% des produits fabriqués par M1,3% des produits fabriqués par M2 et 5% des produits fabriqués parM3 sont défectueux. Un produit est prélevé au hasard. Quelle est laprobabilité qu’il ait été fabriqué par la machine M2, sachant qu’il estdéfectueux ?



SolutionConsidérons les événements suivants :M1 : Produit fabriqué par M1 , M2 : Produit fabriqué par M2 ,M3 : Produit fabriqué par M3 , D : Produit fabriqué estdéfectueux .Alors on a :

P(M1) = 0, 5; P(M2) = 0, 3; P(M3) = 0, 2,

P(D/M1) = 0, 02; P(D/M2) = 0, 03; P(D/M3) = 0, 05.

D’après le théorème de Bayes, on obtient :

P(M2/D) =P(M2)P(D/M2)

P(M2)P(D/M2) + P(M2)P(D/M2

) .



suite

Or, P(M2) = 1− P(M2) = 0, 7 et

P(M2)P(D/M2) = P(D ∩M2) = P(D ∩ (M1 ∪M3))

= P(D ∩M1) + P(D ∩M3)

= P(M1)P(D/M1) + P(M3)P(D/M3)

= 0, 5× 0, 02 + 0, 2× 0, 05 = 0, 02.

Ainsi,P(M2/D) = 0, 3103.

Quelle est la probabilité qu’un produit séléctionné au hasard ait étéfabriqué par la machine M3, sachant qu’il n’est pas défectueux ?Ceci revient à calculer P(M3/D).


Problèmes relatifs aux calculs des probabilités

1- Cas des épreuves exhaustives (sans remise).Une urne contient N boules, dont a noires et b blanches. Quelle estla probabilité de tirer au hasard et simultanément n boules dont knoires et (n − k) blanches (k ≤ n) ?

- Cas possibles : choisir n boules parmi N boules, donc il y aCn

N = Cna+b possibilités.

- Cas favorables : k boules noires et (n − k) boules blanches, alors ily a Ck

a × Cn−kb possibilités favorables.

Ainsi, la probabilité est donnée par

P =cas favorablescas possibles

=Ck

a × Cn−kb

Cna+b


Problèmes relatifs aux calculs des probabilités

1- Cas des épreuves exhaustives (sans remise).Une urne contient N boules, dont a noires et b blanches. Quelle estla probabilité de tirer au hasard et simultanément n boules dont knoires et (n − k) blanches (k ≤ n) ?

- Cas possibles : choisir n boules parmi N boules, donc il y aCn

N = Cna+b possibilités.

- Cas favorables : k boules noires et (n − k) boules blanches, alors ily a Ck

a × Cn−kb possibilités favorables.

Ainsi, la probabilité est donnée par

P =cas favorablescas possibles

=Ck

a × Cn−kb

Cna+b


Problème relatifs aux calculs des probabilités

2- Cas des épreuves non-exhaustives (avec remise)Une urne contient N boules, dont a noires er b blanches. Quelle estla probabilité qu’après une série de n tirages non-exhaustifs et auhasard, on obtient k boules noires et (n − k) blanches.ici on travail dans le cas équiprobable, alors :- La probabilité de tirer une boule noire est : p =

aN

.

- La probabilité de tirer une boule blanche est : q = 1− p =bN

.

i- Probabilité de tirer dans l’ordre k boules noires et (n − k) boulesblanchesDans ce cas on a la possibilité suivante :

N N N · · · N B B · · · B

et donc on a la probabilité P = pk (1− p)n−k .



2- Cas des épreuves non-exhaustives (avec remise)Une urne contient N boules, dont a noires er b blanches. Quelle estla probabilité qu’après une série de n tirages non-exhaustifs et auhasard, on obtient k boules noires et (n − k) blanches.ici on travail dans le cas équiprobable, alors :- La probabilité de tirer une boule noire est : p =

aN

.

- La probabilité de tirer une boule blanche est : q = 1− p =bN

.

i- Probabilité de tirer dans l’ordre k boules noires et (n − k) boulesblanchesDans ce cas on a la possibilité suivante :

N N N · · · N B B · · · B

et donc on a la probabilité P = pk (1− p)n−k .



ii- Probabilité de tirer dans un ordre quelconque ces même boules

Il y a Ckn manière de placer k boules noires dans n cases différentes.

Les (n − k) cases qui restent sont évidement occupées par desblanches. Chaque manière à pour probabilité pk (1− p)n−k . Ainsi :

P(k) = Ckn pk (1− p)n−k c’est la formule de Bernoulli.



Exemple

On jette une pièce de monnaie 10 fois. Quelle est la probabilitéd’avoir 6 faces et 4 piles ?

P(pile) = 1/2, P(4) = C410(1/2)6(1/2)4 = C4

10(1/2)10.


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Probabilités et statistiques 2ème partie