Problème du bord dans les variétés q-convexes et phénomène de Hartogs-Bochner

Digital Object Identifier (DOI) 10.1007/s002080100239

Math. Ann. 321, 569–585 (2001) Mathematische Annalen

Probleme du bord dans les varietesq-convexeset phenomene de Hartogs-Bochner

Vincent Koziarz · Frederic SarkisReceived: 27 April 2000 / Published online: 23 July 2001 – © Springer-Verlag 2001

Resume. SoientE un fibre vectoriel holomorphe au dessus d’une variéteq-completeX etM unesous-variete reelle de dimension 2p − 1 (p ≥ q + 1) deE. Nous montrons que le problème dubord pourM est resoluble si et seulement siM est maximalement complexe. Dans le cas oùX =Pn(C)\Pn−q(C) nous retrouvons le théoreme de Harvey et Lawson [17]. Comme conséquencenous obtenons une géneralisation du théoreme de Hartogs-Bochner pour les applications CR-meromorphes à valeurs dans une variéteq-convexe et une géneralisation au cas CR-méromorphedu theoreme d’extension de Chazal [5].

Abstract. Let E be a holomorphic vector bundle over aq-complete manifoldX andM be areal submanifold of dimension 2p − 1 (p ≥ q + 1) ofE. We prove thatM has a solution to theboundary problem inX if and only ifM is maximally complex. In the caseX = Pn(C)\Pn−q(C),this is a result of Harvey and Lawson [17]. As a consequence, we obtain a generalization of theHartogs-Bochner theorem for CR-meromorphic maps taking their values inq-convex manifoldsand a generalization to the CR-meromorphic case of a theorem of Chazal [5].

Mathematics Subject Classification (2000):32F25, 32F10, 32C16, 32A20, 32C30

1. Varietesq-convexes

Nous rappelons ici les définitions de variétesq-convexes etq-completes, et nouscitons quelques résultats tires du livre de G.M. Henkin et J. Leiterer [19] qui nousseront utiles. SoitX une variete reelleC∞ de dimensionm, et soitϕ ∈ C2(X,R).Si x est un point critique deϕ (i.e. dϕ(x) = 0), on dit quex est unpoint critiquenon degeneredeϕ si pour tout système de coordonnéesC∞ x1, . . . , xm dans unvoisinage dex,

det

(∂2ϕ

∂xj∂xk(x)

)1≤j,k≤m

= 0.

Sinon,x est appelé unpoint critique degenere deϕ. Nous avons les résultatssuivants (voir [19] pages 241 et 242) :

V. KoziarzInstitut Elie Cartan, UMR 7502, Université Henri Poincaré Nancy 1, B.P. 239, F-54506Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex, France (e-mail: [email protected])

F. SarkisInstitut Fourier, UFR de Mathématiques, UMR 5582 BP 74, 38402 Saint-Martin d’Hères Cedex,France (e-mail: [email protected])

570 V. Koziarz, F. Sarkis

Proposition 1 Dans la situation précedente,

(i) les points critiques non dégeneres deϕ sont isoles;(ii) si on suppose de plus queϕ est sans point critique dégenere, siK ⊂ X est

compact, et siψ ∈ C2(X,R) a des derivees des premier et second ordressuffisamment petites, uniformément surK, alors ϕ + ψ n’a pas de pointcritique degenere surK;

(iii) si on suppose de plus queX est une sous-variéte C∞ de Rn, alors, pour

presque toute formeR-lineaireL sur Rn, ϕ + L|X est sans point critique

degenere surX.

SoitX une variete analytique complexe de dimensionn. Une fonctionϕ ∈C2(X,R) est ditefortementq-convexeenx ∈ X (q ≥ 1), si id′d′′ϕ(x) a au moins(n−q+1) valeurs propres strictement positives (convention d’Andreotti-Grauert[2]). Siq = 1, on dit aussi queϕ eststrictement plurisousharmonique(st. psh) enx. Une fonctionϕ ∈ C0(X,R) est uneexhaustionsi pour toutc ∈ R, les ouvertsϕ < c sont relativement compacts dansX. La variete X est diteq-convexes’il existe un compactK ⊂ X (appelecompact exceptionnel), et une exhaustionϕ ∈ C∞(X,R) tels queϕ est fortementq-convexe entout point deX\K. SiK = ∅, X est diteq-complete. Les varietes de Stein sont donc exactementles varietes 1-complètes. Un exemple simple d’espaceq-complet est l’espaceprojectif complexe de dimensionn prive d’un (n − q)-plan, que nous notonsPn(C)\Pn−q(C). Si [z0 : · · · : zn] sont des coordonnées homogènes surPn(C),et siPn−q(C) = [z] ∈ Pn(C) ; zq = · · · = zn = 0, alors on voit facilementqu’une exhaustionϕ strictementq-convexe dePn(C)\Pn−q(C) est donnée par

ϕ([z]) =

∑nk=q |zk|2∑q−1j=0 |zj |2

.

Signalons aussi que d’après un resultat de Greene et Wu [13], siX est sanscomposante irréductible compacte, alors elle estn-complete.

Proposition 2 Soitϕ ∈ C∞(X,R) une exhaustion fortementq-convexe hors deK = ϕ ≤ 1. Alors il existe une suite décroissante de compacts

(Kk

)k∈N

telsque∩k∈NKk = K, et une suite

(ϕk

)k∈N

de fonctionsC∞ exhaustives, fortementq-convexes hors deKk et sans point critique dégenere. SiK = ∅, il existe uneexhaustionϕ0 ∈ C∞(X,R) fortementq-convexe surX et sans point critiquedegenere.

Preuve.On peut supposer queX est une sous-variéteC∞ deRm, m > 0, et on

fixe une suite(Uj

)j≥0 d’ouverts deX tels queK ⊂ U0 ⊂⊂ X,Uj ⊂⊂ Uj+1 pour

tout j ≥ 0, et∪j≥0Uj = X. Soit, pour toutj ≥ 0, χj ∈ C∞(X,R) a supportcompact dansUj+1\Uj−2, telle que 0≤ χj ≤ 1, etχj = 1 surUj\Uj−1 (onconsidere queU−1 etU−2 sont vides).

Probleme du bord dans les variétesq-convexes 571

Nous allons construire, par récurrence surj , des fonctionsϕjk sans pointcritique degenere surUj , fortementq-convexeshors de compactsKk verifiantles hypotheses de la proposition, et nous poseronsϕk = limj−→∞ ϕ

j

k . D’apres laproposition 1 (iii), il existe des formes linéairesL0

k surRm telles queϕ0k := ϕ +

χ0L0k |X est sans point critique dégenere surU0, et (siL0

k est de norme assez petite)ϕ0k est fortementq-convexe sur lecomplementaire deKk := ϕ0

k ≤ 1+1/k. Onpeut faire en sorte que∩k∈NKk = K. Supposons maintenant queϕjk est construitepour toutk, et pour toutj ≤ j0 − 1 ou j0 ≥ 1. D’apres la proposition 1, (ii) et(iii), il existe des formes linéairesLj0

k surRm telles que

ϕj0k := ϕ

j0−1k + χj0 L

j0k |X

est sans point critique dégenere surUj0, et ϕj0k est fortementq-convexe sur

ϕ0k > 1+1/k. Ceci achève la preuve dans le casq-convexe(l’exhaustivite des

ϕk est garantie si lesLj

k sont de norme assez petite). SiX estq-complete, on nefait la construction que pourk = 0, en posantK0 = ∅.

Soit n ∈ N. Nous notonsz1, . . . , zn les coordonnées dansCn, ||z||2 =∑n

j=1 |zj |2, et∆n = z ∈ C

n ; sup1≤j≤n |zj | < 1. SiK ⊂ C

n est un compact,on notera

K = z ∈ Cn ; ∀P ∈ C[X1, ...Xn], |P(z)| ≤ sup

w∈K|P(w)|

l’enveloppe polynomialement convexedeK. Nous aurons besoin du lemme bienconnu suivant.

Lemme 1 SoitK un compact polynomialement convexe deCn. Alors il existe

des fonctionsϕk ∈ C∞(Cn,R) telles que pour toutk,

(i) ϕk est une exhaustion st. psh deCn sans point critique dégenere;

(ii) les complementaires dansCn des ensemblesVk := z ∈ C

n ; ϕk(z) ≥ 1

forment une base de voisinage deK.

Preuve.Le compactK etant polynomialement convexe, il admet une base devoisinages par des polyèdres polynomiaux de la forme

Ul = z ∈ Cn ; |P1,l(z)| < 1, . . . , |Pnl,l(z)| < 1

avecnl > n, P1,l(z) = λ1z1, . . . , Pn,l(z) = λnzn et λi > 0 pour chaquei ∈ 1, . . . , n. Il suffit donc de montrer le lemme pour de tels polyèdres poly-nomialement convexes. L’application

Ψl : Ul → ∆nl , Ψ (z1, ..., zn) = (P1,l(z), . . . , Pnl,l(z))


est par construction injective et propre. La fonctionχl ∈ C0(Cnl ,R) definiepar χl(z) = sup1≤j≤nl |zj |2 est plurisousharmonique. Soit(ρm)m∈N une suiteregularisante de fonctions surC

nl , et soitψlm := ρm ∗ χl ∈ C∞(Cnl ,R). Lesfonctionsψlm sont plurisousharmoniques et, comme elles convergent versχluniformement sur tout compact deCnl , il existe deux suites(αk) et (εk) dereels strictement positifs (tendant chacune vers 0) telles que, en posantϕk :=(ψlm/(1 + εk) + αk ||z||2) Ψl, les ensemblesVk verifient (ii) (ou m est assez

grand, dependant del). La condition (i) s’obtient alors grâcea la proposition1.

2. Probleme du bord

SoientX une variete complexe de dimensionn et [Γ ] un courant rectifiable dedimension 2p− 1 deX (on noteraΓ le support de[Γ ]). On appellerap-chaıneholomorphetoute combinaison linéaire localement finie à coefficients entiersde sous-ensembles analytiques de dimension purep deX\Γ . Elle definit uncourant d’integration fermé de bidimension(p, p) deX\Γ . On appellevolumede lap-chaıne holomorphe[T ] = ∑

ni[Ti], l’expression

Vol [T ] =∑

|nj |Vol Vj

ou Vol Vj (ou encoreH2p(Vj )) est le volume de Hausdorff 2p-dimensionnel del’ensemble analytiqueVj ; Vol [T ] est aussi la masse du courant[T ]. On noteraT le support de lap-chaıne holomorphe[T ] (i.e. T = ∪j ;nj =0Vj ). Si unep-chaıne holomorphe est de volume localement fini dansX, elle definira uncourant d’integration dansX, non ferme en general. La recherche de conditionsnecessaires et suffisantes pour que[Γ ] soit le bord au sens des courants d’unep-chaıne holomorphe deX\Γ de masse localement finie dansX est appeléeleprobleme du bord.

Par exemple, soientX = C, [S1] (resp.[S2]) le courant d’integration sur lecercleS1 (resp.S2) oriente positivement, de centre l’origine et de rayon 1 (resp.de rayon 2),[∆] le courant d’integration sur le disque unité∆ deC et[C(1,2)] lecourant d’integration sur la couronne C(1,2) = z ∈ C ; 1 < |z| < 2. Commeles sous-ensembles analytiques∆ et C(1,2) de C\(S1 ∪ S2) sont de volumelocalement fini dansC, les courants d’intégration[∆] et [C(1,2)] definis dansC\(S1 ∪ S2) admettent une extension simple à C. Les courants d’intégration[S1] et [S2] − [S1] admettent des solutions au problème du bord qui sont descourants d’integration sur des sous-ensembles analytiques car[S1] = d[∆] et[S2]−[S1] = d[C(1,2)]. Le courant d’integration[S2]+[S1] n’admet pas de tellesolution au problème du bord. Par contre, on a[S2]+[S1] = [S2]−[S1]+2[S1] =


d[C(1,2)]+2d[∆] = d([C(1,2)]+2[∆]) et donc[S2]+[S1] admet une solutionau probleme du bord qui est une 1-chaˆıne holomorphe.

Pour qu’un courant rectifiable[Γ ] admette une solution au problème du bord,il faut necessairement que[Γ ] soit la somme de deux courants de bidimension(p, p − 1) et (p − 1, p), (un tel courant sera ditmaximalement complexe) etqu’il soit ferme. En effet, supposons que[Γ ] = d[A] ou [A] est unep-chaıneholomorphe deX\Γ et de masse localement finie dansX. Alors necessairement

d[Γ ] = d(d[A]) = 0.

De plus, comme[A] est un courant de bidimension(p, p),

[Γ ] = d[A] = (∂ + ∂)[A] = ∂[A] + ∂[A]est maximalement complexe.

Dans le cas où X = Pn(C)\Pn−q(C) et [Γ ] est un courant maximalementcomplexe et d’intégration sur une variéte reelle orientee fermee de classeC1 etde dimension 2p − 1 (p ≥ q + 1), R. Harvey et B. Lawson [16,17] ont prouvéque le probleme du bord est toujours résoluble pour[Γ ]. Dans [6], ce résultat estetendu au cas où X = C

n\K ou K est un compact polynomialement convexe.Ces deux résultats sont les seuls cas connus où la seule complexité maximalede [Γ ] permet de résoudre le problème du bord. Par exemple, dans les variétesprojectives ou kähleriennes, le problème du bord n’est pas toujours résoluble pourles varietes maximalement complexes (voir [9,7,29]). Un des points importantsdans la démonstration du théoreme de Harvey-Lawson est la résolution du∂pour le courant[Γ ]. Ceci explique la restriction sur la dimension de[Γ ] dans lecas ou X = Pn(C)\Pn−q(C). En effet,X est alorsq-complete, et le théoremed’Andreotti-Grauert montre que la dimension imposée sur[Γ ] est precisementcelle necessaire pour pouvoir résoudre le∂.

Dans ce paragraphe, nous donnons une réponse affirmative à la questionnaturelle (posée par Jean-Pierre Demailly) de savoir si le théoreme de Harvey-Lawson est encore valide dans les variétesq-convexes.

Le point de vue que nous allons adopter est celui de T.C. Dinh [7]. En parti-culier, comme on le verra lors de la démonstration, on ne pourra pas se restreindreau cas où [Γ ] est un courant d’intégration sur une variéteΓ de classeC1 mais onvaetre amenéa considerer le cas où [Γ ] est un courant rectifiable dont le supportΓ est de classeA2p−1 (i.e.Γ estH2p−1-rectifiable et en presque tout point, soncone tangent géometrique est un espace linéaire de dimension réelle 2p−1, voir[7]). Nous rappelons le théoreme de tranchage des courants : soientX, Y deuxvarietes reelles lisses,Y de dimensionp ≤ m, f : X → Y une applicationC∞etΓ un courant plat de dimensionm deX (en particulier les courants rectifiablessont plats).Alors pourHp-presque touty ∈ Y , la tranche[Γ, f, y] est un courantplat de dimensionm− p deX de support inclus dansΓ ∩ f −1(y) verifiant :∫

Y

Φ(y)([Γ, f, y], Ψ )Ω = ([Γ ], f ∗(ΦΩ) ∧ Ψ )


ouΨ est une(m− p)-formea support compact deX,Φ une fonctiona supportcompact etΩ est la forme volume deY (voir [10]).

Soit[Γ ] un courant rectifiable dont le supportΓ est de classeA2n+1 deCn+m.

Alors, pour presque tous lesm-plans affinesCnν ⊂ C

n+m et pour presque tous lespointsz ∈ C

nν , la tranche[Γ, πν, z] (ou πν est la projection orthogonale surC

nν)

est un courant rectifiable dont le support est de classeA1 (voir [7] Lemme 1.4).

Proposition 3 ([7,29])Soit[Γ ] un courant rectifiable maximalement complexe,ferme, de dimension2p−1 (p ≥ 2) de∆p−1 ×C

m, dont le support est de classeA2p−1 et est inclus dans∆p−1 × ∆m. SoitW un ouvert non vide de∆p−1.Supposons que pour toutν ∈ W , la tranche[Γ, π, ν] de [Γ ] par la fibre de laprojectionπ : ∆p−1 × C

m → ∆p−1 au-dessus deν est bien définie et est un1-courant rectifiable fermé dont le support est de classeA1. Alors, les propositionssuivantes sont équivalentes :

1. Pour toutν ∈ W , il existe une1-chaıne holomorphe[Sν] de masse finie de(∆p−1 ×∆m)\Γ telle qued[Sν] = [Γ, π, ν].

2. Il existe unep-chaıne holomorphe[T ] de(∆p−1 ×∆m)\Γ , de volume2p-dimensionnel localement fini dans∆p−1 ×∆m et telle qued[T ] = [Γ ].

Dans le cas où il existe un ouvertU de∆p−1 tel queΓ ∩ (U × Cm) = ∅ alors la

condition 1 est toujours vérifiee et[Γ ] admet une solution au problème du borddans∆p−1 × C

m.Notre resultat principal est le théoreme suivant :

Theoreme 1 SoientE un fibre holomorphe au dessus d’une variéteX q-con-vexe,π : E → X la projection sur la base etϕ : X → R l’exhaustion associéeaX. Soitc ∈ R tel queϕ ≤ c contient le compact exceptionnel deϕ. NotonsUl’ouvertπ−1(ϕ > c). Soit[Γ ] un courant rectifiable maximalement complexe,ferme, de dimension2p− 1 (p ≥ q + 1) deU dont le supportΓ est un compactde classeA2p−1 deE. Alors il existe une uniquep-chaıne holomorphe[T ] deU\Γ , de volume localement fini dansU , de support relativement compact dansE et telle que[Γ ] = d[T ] dansU .

En fait, siE est une fibration localement triviale (mais non nécessairement vec-torielle) telle que les fibres soientr-completes, le théoreme 1 est encore validepourp ≥ q + r.

Soit X une variete q-convexe, enprenantY le fibre trivial X × 0, nousobtenons le corollaire suivant :

Corollaire 1 SoientX une variete q-convexe etϕ : X → R l’exhaustion as-sociee. Soitc ∈ R tel queϕ ≤ c contient le compact exceptionnel deϕ. NotonsU l’ouvert z ∈ X ;ϕ(z) > c. Soit [Γ ] un courant rectifiable maximalementcomplexe, fermé, de dimension2p−1 (p ≥ q+1) deU dont le supportΓ est uncompact de classeA2p−1 deX. Alors il existe une uniquep-chaıne holomorphe


[T ] deU\Γ , de volume localement fini dansU , de support relativement compactdansX et telle que[Γ ] = d[T ] dansU .

D’apres le lemme 1, en utilisant l’unicité de la solution au problème du bord, ceresultat generalise le théoreme de Chirka [6] dansCn\K (ou K est polynomi-alement convexe) au cas des variétesq-convexes.

Dans le cas oùX estq-complet (i.e.K = ∅) nous obtenons l’énonce suivantqui generalise le théoreme de Harvey-Lawson dansPn(C)\Pn−q(C).Corollaire 2 SoientX une varieteq-complete et[Γ ] un courant rectifiable ma-ximalement complexe, fermé, de dimension2p − 1 (p ≥ q + 1) deX et dontle support est un compact de classeA2p−1. Alors il existe une uniquep-chaıneholomorphe[T ] deX\Γ , de volume fini, de support compact et telle que[Γ ] =d[T ] dansX.

3. Demonstration du theoreme 1

Dans un premier temps, montrons l’unicité de la solution du problème du bordsi elle existe :

Proposition 4 Il y a unicite de la solution au problème du bord pour[Γ ]. Deplus siΓ est inclus dans un ouvert de la formeπ−1(ϕ < t) alors le support dela solution au probleme du bord pourΓ l’est aussi.

Preuve.Soient [A1] et [A2] deux solutions au problème du bord pour[Γ ].Alors le courant[A] = [A1] − [A2] est unep-chaıne holomorphe ferméed’apres [18] et s’ecrit donc[A] = ∑k

i=1 ni[Ai] ou ni ∈ Z et les[Ai] sont lescourants d’integration sur des sous-ensembles analytiques deU , relativementcompacts dansE. Montrons par l’absurde que[A] = 0. Supposons qu’il existei ∈ 1, . . . , k tel queni = 0. Par definition, [A1] et [A2] sont des solutions àsupport relativement compact dansE et donc[A] est aussi à support relativementcompact dansE. En particulier, pour toutx ∈ π(U), π−1(x) ∩ Ai est un sous-ensemble analytique relativement compact dans l’espace vectorielπ−1(x) et estdonc de dimension 0. Par conséquent,π(Ai) est un sous-ensemble analytique deπ(U) de dimensionp. Soient

r = supt ∈ R ; π(Ai) ⊂ ϕ < t,x ∈ Ai ∩ ϕ = r, et Vx un voisinage dex biholomorphe à un ouvert deCn

(ou n = dimX) (on identifiera pas la suiteVx et ce voisinage) et soitCn−q+1x

un (n− q + 1)-plan deU passant parx et dans la direction des valeurs propresstrictement positives deϕ (i.e. tel que la restriction deϕ aC

n−q+1x soit st. psh au

voisinage dex dansCn−q+1x ). Quittea bouger legerementCn−q+1

x ,π(Ai)∩Cn−q+1x

est un sous-ensemble analytiqueS de dimension supérieure ou égalea 2. Par


construction, la restriction deϕ a S est st. psh et admet un maximum local auvoisinage dex ce qui donne la contradiction recherchée et prouve l’unicité. Ledeuxieme point se montre exactement de la même manière.

D’apres la proposition 2 et l’unicité de la solution au problème du bord, onpeut supposer sans perte de géneralite que l’exhaustionϕ : X → R est positive,sans point critique dégenere et queϕ est fortementq-convexe surl’ensembleϕ ≥ c. Si Y est un ouvert deX tel que le theoreme 1 est valide dansπ−1(Y ),nous dirons que le problème du bord est toujours résoluble au dessus deY .Nous allons montrer le théoreme 1 en nous inspirant de la méthode classique desbosses. Pour cela, nous avons la proposition suivante :

1

f

[A2]

[A3]

1(ff = g)

1(ff = 0g)

1(f = t "2g)

1(f e = tg)

1(f = tg)

W

V

Proposition 5 Soitψ : X → R une exhaustion sans point critique dégenere etfortementq-convexe sur l’ensembleψ ≥ c. Supposons qu’il existet ∈ R tel quele probleme du bord soit toujours résoluble au-dessus de l’ouvertUt = ψ < t.Alors pour toutz ∈ ψ = t, il existe un voisinageVz de z dansX tel que leprobleme du bord soit toujours résoluble au-dessus deUt ∪ Vz.

Dans la suite,z1, . . . zn designeront les coordonnées dansCn. Pour tous réelsr,s tels quer > s > 0, nous notons

B(0, r) = z ∈ C

n ; ||z|| < r, S(0, r) = ∂B(0, r) =

z ∈ Cn ; ||z|| = r

.

SiU est un ouvert deCn, etϕ ∈ C2(U,R), nous notons pour tousj etk comprisentre 1 etn,

ϕj = ∂ϕ

∂zj, ϕjk = ∂2ϕ

∂zj∂zk, ϕjk = ∂2ϕ

∂zj∂zk.

Pour le lemme suivant, nous utilisons une idée issue du livre de R.C. Gunninget H. Rossi [14] (la démonstration du cas où ϕ n’est pas singulièrea l’origine setrouve dans [19]).


Lemme 2 SoientU un voisinage convexe de0 dansCn etϕ ∈ C2(U,R), forte-

mentq-convexe surU , telle queϕ(0) = 0. Alors, il existe des réelsr > s > 0,λ > 0 et une application holomorphef : U −→ C

q (en fait, les composantesdef sont des polynômes de degré un ou deux) et un voisinage connexe et deSteinV de0 dansC

q tels que,

(i) B(0, r) ⊂ U ;(ii) f = 0 ∩ B(0, r) ∩ ϕ = 0 = 0 (en particulier,f (0) = 0);

(iii) pour tout α ∈ V , Yα ∩ S(0, r) ⊂ ϕ > 0 (ou Yα := f = α ∩ B(0, r))(iv) Yα ⊂ ϕ > λ pour toutα dans un ouvertW non vide deV ;(v) B(0, s) ⊂ f −1(V ).

Preuve.SoitE un sous-espace vectoriel de dimension(n−q+1) deCn tel que

ϕ|E∩U soit st. psh en 0. Sir > 0 est assez petit, tel que B(0, r) ⊂⊂ U , ϕ|E∩B(0,r)

est st. psh. Nous pouvons supposer queE = z ∈ U ; z1 = · · · = zq−1 = 0.On effectue un développement de Taylor deψ = ϕ|E∩U a l’ordre 2, en 0. Pourtout z ∈ E ∩ U ,

ψ(z) = 2 Re( ∑q≤j≤n

ϕj (0)zj +∑

q≤j,k≤nϕjk(y)zj zk

)+

∑q≤j,k≤n

ϕjk(y)zj zk

avecy sur le segment[0, z]. Commeψ est st. psh, il existe une constanteM > 0telle que ∑

q≤j,k≤nϕjk(t)ajak ≥ M ||a||2 pour toust ∈ B(0, r), a ∈ C

n.

En outre, par continuité des fonctionsϕjk, q ≤ j, k ≤ n, si r est assez petit, on a

ψ(z) ≥ 2 Re( ∑q≤j≤n

ϕj (0)zj +∑

q≤j,k≤nϕjk(0)zj zk

)+ M

2||z||2.

Nous posonsf (z) = (f1(z), . . . , fq(z)

), avec

fj (z) = zj si 1 ≤ j ≤ q − 1fq(z) = ∑

q≤j≤n ϕj (0)zj + ∑q≤j,k≤n ϕjk(0)zj zk.

Le polynomefq n’est jamais nul, sauf si 0 est un minimum local isolé deψ . Maisdans ce cas, tout polynôme holomorphe en les variableszq, . . . , zn, de degré 1et nul en 0, convient. On peut toujours supposerr assez petit pour que(i) soitverifie. Par ailleurs, sif (z) = 0, alorsϕ(z) ≥ M/2 ||z||2, donc on a(ii) . Enparticulier si||z|| = r et f (z) = 0, on aϕ(z) ≥ Mr2/2 et donc par continuitédeϕ, si V est un voisinage de Stein assez petit de 0 dansC

q , pour ||z|| = r

et f (z) ∈ V on aϕ(z) ≥ Mr2/4, donc on a(iii). Enfin, siλ > 0 est tel quevλ := (0,0, . . . ,0, λ) appartient àV , alors pour toutz ∈ Yvλ , ϕ(z) ≥ 2λ, d’ouVα ⊂ ϕ > λ siα est proche devλ, ce qui donne(iv). Du fait quef est continue


et quef (0) = 0, f −1(V ) contient un voisinage de l’origine, il suffit alors deprendres assez petit pour que B(0, s) ⊂ f −1(V ) ce qui donne(v) et termine lademonstration du lemme. Preuve de la proposition 5.Soit z ∈ ψ = t, et soitUz un voisinage dezbiholomorphe à un ouvert deCn tel quez s’envoie sur l’origine (on supposeraqueUz est inclus dans un ouvert de trivialisation du fibréE). Par la suite, nousidentifieronsUz a cet ouvert. Soientr, s, λ les reels donnés par le lemme 2applique aUz et ϕ = ψ − ψ(z). Soit χz une fonction plateau (0≤ χz ≤ 1),valant 1 dans B(0, s2) et dont le support est inclus dans B(0, s). Soitλz > 0 unreel verifiantλz < λ et tel queψ = ψ−λzχz soit encore fortementq-convexe etsans point critique dégenere. PosonsVz = B(0, s)∩ ψ < t et montrons que leprobleme du bord est toujours résoluble au-dessus deUt∪Vz. Soit[Γ ] un courantrectifiable maximalement complexe, fermé, de dimension 2p−1 (p ≥ q+1) deπ−1(Ut ∪ Vz) ∩ U dont le supportΓ est un fermé de classeA2p−1 relativementcompact dansπ−1(Ut ∪ Vz).

Lemme 3 Il existe ε > 0 tel que le probleme du bord pour[Γ ] admet unesolution[A2] au-dessus de l’ouvertVz ∩ ψ > t − ε.Preuve.Soitε > 0 assez petit pour queΓ ∩π−1(ψ > t−ε) ⊂ π−1(Vz∩ψ >

t − ε). Nous rappelons queV et W sont les ouverts définis dans le lemme2. NotonsS l’ouvert de Steinf −1(V ) ∩ B(0, r). Soit Y = (y, x) ∈ V ×π−1(S) ; y = f π(x) et[Γf ] l’image directe de[Γ ] par l’application injectiveΨ : π−1(S) → V × π−1(S) definie parΨ (x) = (f π(x), x). L’applicationΨ etant un biholomorphisme entreπ−1(S) et Y , le courant[Γf ] est encore uncourant rectifiable, maximalement complexe, fermé et dont le supportΓf estde classeA2p−1. D’apres le lemme 2,ψ < t + λ ∩ f = y = ∅ pourtout y ∈ W . Commeλz < λ, on a alorsψ < t ⊂ ψ < t + λ et doncΓf ∩ (y ×π−1(S)

) = ∅ pour touty ∈ W . Donc, d’apres la proposition 3,[Γf ]admet une solution au problème du bord dansV ×π−1(S) qui est incluse dansYd’apres le principe du maximum. Par conséquent, en projetant cette solution surπ−1(S), on montre que[Γ ] admet lui aussi une solution au problème du bord[T ] dansπ−1(S). La restriction[Γ ] de[Γ ] a l’ouvertπ−1(ψ > t − ε) admetcomme solution au problème du bord la restriction[T ] de[T ] a ce meme ouvert.CommeΓ ⊂ ψ < t, d’apres la proposition 4, cette solution est unique et a unsupport inclus dansψ < t. Par conséquent[T ] a bien un supportT inclus dansπ−1(S)∩ψ < t. Or, commeΓ ∩π−1(ψ > t−ε) ⊂ π−1(Vz∩ψ > t−ε), larestriction de[T ] a l’ouvertπ−1(Vz ∩ψ > t− ε) est une solution au problèmedu bord pour[Γ ] au dessus de l’ouvertVz∩ψ > t−ε ce qui termine la preuvedu lemme.

Soit ε2 un reel verifiant 0< ε2 < ε et tel queε2 soit une valeur réguliereau sens du théoreme de Sard pourψ . Alors la restriction de[A2] a l’ouvert


π−1(Vz ∩ ψ > t − ε2) est unep-chaıne holomorphe deπ−1(Vz ∩ ψ >

t − ε2)\Γ admettant une extension simple àπ−1(Vz) dont le bord[Γ2] est uncourant rectifiable fermé, maximalement complexe, de dimension 2p−1 dont lesupport est de classeA2p−1 et estegala[Γ ] dans l’ouvertπ−1(Vz∩ψ > t−ε2).Le courant[Γ3] = [Γ ]−[Γ2] est un courant rectifiable maximalement complexe,ferme, de dimension 2p − 1 dont le support est de classeA2p−1 et est inclusdansπ−1(ψ ≤ t − ε2), donc relativement compact dansπ−1(Ut). D’apresl’hypothese faite surUt , [Γ3] admet une solution au problème du bord au-dessusdeUt que l’on notera[A3]. Le courant[A] = [A2] + [A3] est alors lap-chaıneholomorphe solution au problème du bord pour[Γ ] ce qui termine la preuve dela proposition 5. Fin de la preuve du théoreme1. SoitF l’ensemble dess ∈ R tels que le problèmedu bord soit toujours résoluble au-dessus de la variéteq-convexeY = ϕ < s.D’apres la proposition 4,F est un intervalle de la forme[c, t] ou t ≥ c. Pourmontrer le theoreme 1, il faut montrer queF = [c,+∞[. Pour cela, procédonspar l’absurde et supposons quet < +∞. Pour tout pointz ∈ ϕ = t, associonsl’ouvert Vz defini dans la proposition 5 pourψ = ϕ. L’ensembleϕ = t etantcompact, nous pouvons extraire un recouvrement fini deϕ = t par des ouvertsVz1, . . . , Vzk (ou z1, . . . , zk ∈ ϕ = t). D’apres la proposition 5 appliquéeaψ = ϕ, le probleme du bord est toujours résoluble au dessus deϕ < t ∪ Vz1

(nous noteronsϕz1 la deformation deϕ ainsi obtenue). En appliquant à nouveaula proposition 5 pourψ = ϕz1 (nous noteronsVz2 (resp.ϕz2) l’ouvert (resp.la deformation deϕz1) ainsi obtenu), on obtient que le problème du bord estresoluble au dessus de l’ouvertϕ < t∪Vz1 ∪Vz2. En iterant le meme processus,on montre que le problème du bord est résoluble au dessus d’un ouvert de la formeL = ϕ < t ∪ Vz1 ∪k

j=2 Vzj . Or, en remarquant que dans la proposition 5, lataille de l’ouvertVz ne depend que deϕ et de son développement de Taylor àl’ordre 2, on montre que si les ouvertsVz sont choisis assez petits au départ,les ouvertsVz construits après les déformations successives deϕ peuventetrechoisis aussi proches que l’on veut des ouvertsVz. On en deduit que l’ouvertLcontient un voisinage ouvert deϕ ≤ t ce qui montre queF est ouvert et donnela contradiction recherchée.

4. Theoreme de Hartogs-Bochner

Une des applications classique du problème du bord consiste à montrer le théo-reme de Hartogs-Bochner en appliquant la résolution du problème du bord pourle graphe de la fonction CR considéree. Plus géneralement, la résolution duprobleme du bord permet d’obtenir le théoreme de Hartogs-Bochner pour lesfonctions CR-méromorphes (voir [16,28]). Nous rappelons qu’un sous-ensem-bleΓ , ferme et de mesure de Hausdorffk-dimensionnelle localement finie d’une


variete metriqueX est ditvariete a singularite negligeable de classeC1 et dedimensionk s’il existe un sous-ensembleτ ⊂ Γ de mesure de Hausdorffk-dimensionnelle nulle tel queΓ \τ soit une sous-variéte de classeC1, fermee etde dimensionk deX\τ .

Definition 1 SoientM une sous-variéte reelle maximalement complexe de di-mensionm d’un ouvertW deC

n (n ≥ 2) etY une variete complexe. On appelleraapplication CR-méromorphe définie surM et a valeurs dansY la donnee d’uneapplication CRf definie et de classeC1 sur un ouvert denseU deM, a valeurslocalement bornées dansY (i.e. pour tout compactK ⊂ M, il existe un compactL ⊂ Y tel quef (K ∩ U) ⊂ L) et dont l’adherence du graphe dansW × Y estune variete a singularites negligeables de classeC1, de dimensionm, fermee etmaximalement complexe.

On remarquera que dans le cas où m est pair,M est analytique etf est me-romorphe au sens habituel d’après [22]. Contrairement aux applications CRclassiques, les applications CR-méromorphes peuvent avoir des points d’indé-termination comme le montre l’exemple suivant : soitf : C

2 → P1(C) definieparf (z1, z2) = [z1 : z2]. La restriction def sur la sphèreS de centre le point(−1; 0) et de rayon 1 n’est pas une application CR surS mais est une applicationCR-meromorphe ayant un point d’indétermination à l’origine.

Par la meme methode que pour le théoreme 1, nous obtenons le résultatd’extension méromorphe suivant :

Theoreme 2 Soientm, n, p, q, r des entiers naturels tels quep ≥ 1, q ≥ 1etm ≥ p + q. SoientX une variete complexe de dimensionm + r, p-convexeet Y une variete complexeq-complete et de dimensionn. Soitϕ l’exhaustionassociee a X et c ∈ R tel que ϕ ≤ c contienne le compact exceptionnelde ϕ. NotonsK = ϕ ≤ c. SoitM une sous-variéte de classeC1, connexe,de dimension2m − 1, orientee, fermée, maximalement complexe deX\K etrelativement compacte dansX. Supposons queM est le bord au sens des courantsd’un sous-ensemble analytiqueA deX\(K ∪M) qui est relativement compactdansX. Alors les applications CR-méromorphesf : M → Y admettent uneextension méromorphe àA.

Preuve.Nous notonsψ l’exhaustion fortementq-convexe surY et nous lachoisissons strictement positive. Nous ne pouvons pas appliquer directementle theoreme 1, carX × Y n’est pas(p + q − 1)-convexe.Cependant, siε > 0,l’exhaustionϕ+εψ deX×Y est fortement(p+q−1)-convexehors deK×Y .SoitΓf l’adherence du graphe def dansX×Y . La sous-variéteM etant orientéeet de dimension 2m− 1, [Γf ] l’est aussi et définit un courant d’intégration[Γf ],maximalement complexe, fermé et de dimension 2m − 1 de(X\K) × Y . Pouretendre méromorphiquementf , nous allons résoudre le problème du bord pour[Γf ]. Par unicite du probleme du bord (voir proposition 4), il suffit de montrer


que pour toutc′ > c, le probleme du bord est résoluble pour la restriction de[Γf ] a l’ouvert ϕ > c′ × Y . Soit c′ > c, et choisissonsε > 0 et un reel d,c′ > d > c, tels queΓf ∩ (ϕ > c′ × Y

) ⊂⊂ Γf ∩ ϕ + εψ > d. Ceciest possible car (par définition def ), il existe un compactLc′ de Y tel quef (U ∩ ϕ > c′) ⊂ ϕ > c′ × Lc′ (ouU est l’ouvert dense deM sur lequelfest de classeC1). En procedant comme pour le théoreme 1, on montre qu’il existeunem-chaıne holomorphe[T ] de masse localement finie dansV = ϕ > c′×Y ,solution au problème du bord pour[Γf ] dansV . La varieteM etant connexe,Γfl’est aussi. D’après la proposition 4.7 de [16],[T ] est le courant d’intégrationsur un sous-ensemble analytique irréductible deV \Γf . Soitπ : V → ϕ > c′la projection sur le premier membre du produit. Sa restriction àT est propre, eton a :

d(π∗[T ]) = π∗(d[T ]) = π∗([Γf ]|V ) = [M]|π(V ) = (d[A])|π(V )et doncπ∗([T ]) = [A]|π(V ) par unicite du probleme du bord pour[M]. On endeduit alors queπ|T : T → A est un revêtement à un feuillet deA et donc queπ−1 definit une application méromorphe à valeurs dansY qui coıncide avecfsurM.

Dans le casX = Cn, Y = C et K est polynomialement convexe, nous

retrouvons le résultat de G. Lupacciolu [25].Dans le cas oùK = ∅ (i.e.X estp-complete) etr = 0, on obtient le théoreme

d’extension de Hartogs-Bochner suivant :

Corollaire 3 SoitX (resp.Y ) une variete complexep-complete (resp.q-com-plete) et de dimensionm ≥ p+ q (resp. de dimensionn). SoitΩ un domaine deX a bord∂Ω connexe et de classeC1. Alors les applications CR-méromorphesf : ∂Ω → Y admettent une extension méromorphe àΩ.

Dans le casp = 1 etq = 1,X etY sont de Stein et nous retrouvons le résultatde Hartogs-Bochner classique.

Dans le cas où Y est de Stein, etX est une variéte (m − 1)-complete nousretrouvons un résultat de A. Andreotti et D. Hill [3].

De la meme manière que précedemment, en considérant le graphe d’unesection CR d’un fibré holomorphe et en appliquant le théoreme 1, nous retrouvonsle resultat de C. Laurent-Thiébaut et J. Leiterer [24] suivant :

Corollaire 4 SoientE un fibre vectoriel holomorphe au-dessus d’une variéteX(m−1)-convexe (oùm = dimC X), ϕ l’exhaustion associéeaX etc ∈ R tel quele compactϕ ≤ c contienne le compact exceptionnel deϕ. SoitΩ un domainedeϕ > c a bord∂Ω connexe et de classeC1. Alors les sections CR à valeursdansE, de classeC1 et definies sur∂Ω admettent une extension holomorphe àΩ.


Dans le cas où X est une variéte de Stein de dimensionm et Y une varietecomplexe quelconque de dimensionn = m− 1, F. Chazal [5] a montré que lesapplications méromorphes dans un voisinage connexe d’un domaineΩ ⊂ X

et a valeurs dansY admettent une extension méromorphe à Ω. Si ∂Ω est declasseC2, on en deduit que le théoreme de Hartogs-Bochner est valide pour lesapplications CR lissesf : ∂Ω → Y . En effet, d’apres [21],∂Ω est alors unevariete CR globalement minimale deX. Par conséquent, les applications CRsur ∂Ω admettent une extension holomorphe à un voisinage à un cote de∂Ωet on est alors ramené au resultat de F. Chazal (voir [27,28]). Si on suppose deplus quem = 2 (et donc queY est une surface de Riemann), ce dernier résultata ete montre dans le cas lisse dans [9,27] et dans [28] pour le cas géneral desapplications CR-méromorphes. La démonstration de [28] consiste à se ramenerau cas oùf evite un point deY et donc au cas oùf esta valeurs dans une surfacede Riemann ouverte. Cette même demonstration s’applique ici dans toute sageneralite et permet de retrouver le résultat de F. Chazal, et même d’etendre letheoreme de Hartogs-Bochner au cas des applications CR-méromorphes.

Theoreme 3 SoientX une variete de Stein etM une sous-variéte orientee, con-nexe, de dimension2m − 1 (m ≥ 2), maximalement complexe, compacte, declasseC1 deX, et bord (au sens des courants) d’un sous-ensemble analytiqueA de volume2m-dimensionnel fini deX\M. SoitY une variete complexe de di-mension inférieure ouegalea (m− 1). Alors les applications CR-méromorphesf : M → Y de classeC1 admettent une extension méromorphe àA.

Preuve.On plonge la variéteX dans un espace numériqueCn. On peut supposer

queY est connexe, car la variéteM etant connexe, l’adhérence de l’image defdansY est incluse dans une composante connexe deY . SiY n’est pas compacte,ou si dimY < p − 1, le theoreme 2 nous donne immédiatement le résultatrecherché puisqueY est alorsp-complete d’apres [26]. Dans le cas où Y estcompact et de dimensionp− 1, il suffit d’appliquer la démonstration de [28] enremplacant juste l’utilisation du théoreme de Chirka par notre théoreme 1. Pourplus de clarté, nous donnons l’idée de la démonstration :Dans un premier temps, supposons quef est une application CR de classeC1

definie surM. Nous rappelons (voir [7]) que siγ est une courbeC1 a singularitesnegligeables, alorsγ \γ est un sous-ensemble analytique de dimension pure 1et de volume fini deCn\γ (ou γ est l’enveloppe polynomialement convexe deγ ). D’apres le theoreme de Sard, pour presque toutc ∈ Y , γc = f −1(c) est unereunion finie de courbes de classeC1 deM. Soienta etb deux points réguliersdef . Le sous-ensemble analytiqueSa = γa\γa deC

n\γa est de dimension pure1. La restriction def aM\γa est une application CR-méromorphe à valeurs dansY\a qui n’est pas compacte. D’après le theoreme 2,f admet une extensionmeromorphe àA\γa. En faisant de même pour le pointb, on montre quef admetune extension méromorphe surA\(γa ∩ γb). Orγa etγb etant disjoints etSa etSb


etant des sous-ensembles analytiques de dimension 1,γa ∩ γb est un ensemblefini de points. La démonstration du théoreme s’obtient alors par application dela proposition ci-après pourZ = γa ∩ γb.Dans le cas où f est une fonction CR-méromorphe, le même raisonnement estencore valide à la difference queγa ∩ γb peut ne pas être vide et par conséquent,on obtient une extension méromorphe def dansA\(γa ∩ γb) qui cette foisest un sous-ensemble analytique deA non necessairement isolé. La encore, laproposition ci-après permet de conclure. Proposition 6 SoientA,M, Y etf comme dans l’enonce du theoreme3,Z ⊂ A

un sous-ensemble analytique de codimension au moins1. Supposons quef admetune extension méromorpheF surA\Z. Alorsf admet une extension méromor-pheaA.

Preuve.SoientΓf l’adherence du graphe def dansM × Y etπ : Cn × Y → Y

la projection canonique sur le deuxième membre du produit. Dans le cas oùπ(Γf ) = Y ou que dimY < m − 1, la proposition est une conséquence dutheoreme 2. Par la suite, nous supposerons donc queπ(Γf ) = Y et que dimY =m − 1. Soitω une (1,1)-forme kahlerienne surCn et γ une 1-forme surCn

telle queω = dγ . Par definition deF , il existe un sous-ensemble analytiqueH deA\Z tel queF soit une application holomorphe surA\(Z ∪H). Commeπ(Γf ) = Y , il existe un sous-ensemble analytiqueG deA\(Z ∪ H) tel quefsoit de rang maximal surA\(Z ∪ G ∪ H). SoitT l’adherence du graphe deFdans(A\Z) × Y et T son adhérence dansA × Y . Il faut montrer queT est unsous-ensemble analytique deA× Y . Pour cela, d’après le theoreme de Bishop,il suffit de montrer queT est de volume de Hausdorff de dimension 2p fini dans(A\Z)×Y . CommeF est meromorphe au voisinage deGetH dansA\Z, il suffitde montrer que la restriction (que l’on noteraS) deT a(A\(Z∪G∪H))×Y estde volume de Hausdorff de dimension 2p fini. SoitΨ une(1,1)-forme associéea une metrique hermitienne surY .

Vol(S) =∫S

(ω + Ψ )n

n! =n∑

k=0

Ckn

n!∫S

ωk ∧ Ψ n−k =

(Y etant de dimensionn− 1,Ψ n = 0)

=n−1∑k=0

Ck+1n

n!∫S

ω ∧ ωk ∧ Ψ n−k−1 = 1

(n− 1)!∫S

ω ∧ Ψ n−1

(carF est de rang maximal surA\(Z ∪G∪H)). D’apres le theoreme de Fubinion a : ∫

S

ω ∧ Ψ n−1 =∫y∈Y

(∫F=y

ω

)Ψ n−1


D’apres le theoreme de Sard, pour presque touty ∈ Y , γy = z ∈ M ; (z, y) ∈Γf est une courbeC1 a singularites negligeables. Or, d’après [7], l’ensembleγy\γy est un sous-ensemble analytique de volume 2-dimensionnel fini deC

n\γyet contient l’ensemble analytiqueF = y defini surA\(Z ∪ G ∪ H). Donc,d’apres le theoreme de Stokes, on a pour presque touty ∈ Y ,∫

F=yω =

∫F=y

dγ =∫γy

γ

Finalement, on obtient

(n− 1)! Vol(S) =∫y∈Y

(∫F=y

ω

)Ψ n−1

=∫y∈Y

∫γy

γ ∧ Ψ n−1 =∫Γf

γ ∧ Ψ n−1 < +∞

ce qui termine la preuve de la proposition.

Remarques:

1. Le theoreme 2 est à rapprocher du résultat suivant de S. Ivashkovich etA. Silva [20] : les applications méromorphes définies dans une figure deHartogsq-concave et à valeurs dans une variéteq-complete admettent uneextension méromorphe au polydisque.Cependant, ces résultats sont de natures différentes et ne s’impliquent pasl’un l’autre (voir le contre-exemple de [11]).

2. Le theoreme 2 associé au resultat de [23] permet de montrer le résultatsuivant :soientX une variete (n− 1)-convexe,K le compact exceptionnelassocie etΩ un domaine à bord∂Ω de classeC1 et connexe. Supposons deplus que∂Ω∩K = ∅, alors les fonctions CR de classeC1 sur∂Ω admettentune extension holomorphe àΩ.

Remerciements.Cet article a éteecrit alors que les deux auteurs étaient au sein de l’Institut Fouriera Grenoble. Nous remercions les membres de l’Institut pour leur hospitalité. En particulier, nousremercions Jean-Pierre Demailly pour avoir posé la question qui a éte a l’origine de ce travail etChristine Laurent-Thiébaut pour de nombreuses discussions sur le sujet.

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Problème du bord dans les variétés q-convexes et phénomène de Hartogs-Bochner