EX 6 Calcul intgral

A Etude dune fonctionOn note f la fonction dfinie sur R+ par f(x) = ln x1+x2

1. Justifier que f est C1 sur ]0;+1[2. (a) Montrer que pour tout x > 0; f 0(x) est du signe de 1 + x2 2x2 lnx

(b) On pose g(x) = 1 + x2 2x2 lnx: Montrer que lquation g(x) = 0 admet une seule solution note m:En donner une valeur approche.

(c) Calculer les limites de f en 0 et +1. En dduire le tableau de variations de f : on montrera quef(m) = 12m2 :

3. Reprsenter dans un repre orthonorm la courbe dquation y = f(x)

B Etude dune fonction intgraleOn tudie dans cette partie la fonction F dfinie par : F (x) =

R x1f(t)dt =

R x1

ln t1+t2 dt

1. Dterminer le signe de F sur ]0;+1[2. Justifier que F est continue et drivable sur ]0;+1[; et prciser F 0(x)3. Montrer que 8x > 0; F (x) = F ( 1x )

4. (a) Soit la fonction dfinie sur ]0;+1[ par (x) = arctan(x)x : Montrer que est prolongeable par continuiten 0

(b) Montrer que 8x > 0; F (x) = arctanx: lnx R x1(t)dt

(c) En dduire que F est prolongeable par continuit en 0: La nouvelle fonction sera encore note F:Que peut on dire de F au voisinage de +1?

5. Montrer que F nest pas drivable droite en 0: Que peut on dire de la courbe de F en son point dabscisse 0?6. On veut obtenir une valeur approche de F (0):

(a) Pour k 2 N et x > 0 calculer Ik(x) =R x1tk ln tdt

(b) Montrer que 8n 2 N et 8x > 0; 11+x2 =Pn

k=0(1)kx2k + (1)n+1 x2n+2

1+x2

(c) En dduire pour n 2 N et x > 0 une majoration de F (x)Pnk=0(1)kI2k(x)(d) On pose pour tout n 2 N; un =

Pnk=0

(1)k(2k+1)2 : Montrer que jF (0) unj 6 1(2n+3)2

(e) En dduire une valeur approche de F (0) 103 prs7. On note A(m;F (m)) le point dabscisse m de la courbe de F ( note ) et la tangente en A:

Quelle est lquation y = x+ de ?Montrer que 8x < m; F (x) > x+ et 8x > m; F (x) < x+

8. Tracer la courbe reprsentative de F ainsi que la droite ; et a tangente au point (0; F (0))

1