PROBLEMES DE PHYSIQUE - else.uctm.eduelse.uctm.edu/users/Iliev/zveno/biblio2/Kashchiewa_All1.pdf · la Physique moléculaire et thermodynamique: Lois de gaz parfait, ... de Joule

UNIVERSITE DE TECHNOLOGIE CHIMIQUE ET DE METALLURGIE

Elena Kashchieva, Vladislava Ivanova

P R O B L E M E S D E P H Y S I Q U E

Sofia, 2008

PROBLEMES DE PHYSIQUE

Auteurs: Elena Kashchieva, Vladislava Ivanova

Rapporteur: Prof. DSc Liudmil Vatzkichev

Première édition 2008 ISBN 978-954-465-016-2

Introduction

Les Problèmes de Physique que soumettons aujourd’hui au public s’adressent aux étudiants en Physique du premier cycle à la Filière Francophone à l’Université de Technologie Chimique et de Métallurgie de Sofia.

L'expérience montre que le passage de la classe terminale à la première année de l’Université constitue pour la majorité des étudiants une difficulté quasi insurmontable. C’est pourquoi nous nous sommes efforcés de répondre aux besoins des étudiants et nous avons proposé un grand nombre de problèmes résolus.

Nous voudrions insister une fois de plus sur le fait que "faire la Physique" c’est d’abord et avant tout "résoudre des problèmes". Il faut donc, après avoir appris et compris son cours, l’assimiler en résolvant des exercices.

Le livre comprend 29 chapitres. Les chapitres 1 à 7 sont consacrés aux bases physiques de la Mécanique: Cinématique, Dynamique d’un point matériel et mouvement de translation d’un solide, Travail et énergie, Eléments de la mécanique relativiste, Dynamique du mouvement de rotation, Champ gravitationnel, Dynamique des fluides. Les chapitres 8 et 9 concernent Oscillations et ondes. Les chapitres 10 à 13 sont consacrés à la Physique moléculaire et thermodynamique: Lois de gaz parfait, Equation fondamentale de la théorie cinétique des gaz, Distribution de Maxwell de la vitesse et de l’énergie des molécules. Répartition en hauteur des particules - loi barométrique. Distribution de Boltzmann, Capacités thermiques des gaz parfaits, Phénomènes de transport - diffusion, conduction thermique, viscosité. Les chapitres 14 et 15 sont consacrés à l'Electrostatique: Electrostatique, Intensité du champ électrique dans le vide, Dipôle électrique, Théorème de Gauss pour le flux de l’intensité du champ. Le chapitre 16 s’agit de Courant électrique continu, Lois d’Ohm, de Joule et de Kirchhoff. Les chapitres 17 à 19 sont consacrés à l’Electromagnétisme: Champ magnétique du courant continu, Action du champ magnétique sur des courants et des charges, Induction électromagnétique, Energie du champ magnétique. Les chapitres 20 à 23

sont liées à l’Optique: Optique géométrique, Interférence de la lumière, Diffraction de la lumière, Polarisation de la lumière. Les chapitres 24 à 29 sont consacrés à l’Optique quantique: Rayonnement thermique, Effet photoélectrique externe, L’effet Compton, Les rayons X, Equation de Schrödinger, Barrière de potentiel.

Des imperfections, il y en a certainement. Nous espérons que de nombreux lecteurs et collègues voudront bien nous soumettre critiques et suggestions afin de nous permettre d’apporter les améliorations qui s’imposent à l’occasion des prochaines éditions. D’avance nous les en remercions.

T A B L E S DES M A T I E R E S Bases physiques de la Mécanique Chapitre 1 Cinématique........................................................................ 7 Chapitre 2 Dynamique d’un point matériel et mouvement de translation d’un solide .................................................... 30 Chapitre 3 Travail et énergie .............................................................. 43 Chapitre 4 Eléments de la mécanique relativiste................................ 56 Chapitre 5 Dynamique du mouvement de rotation............................. 59 Chapitre 6 Champ gravitationnel........................................................ 68 Chapitre 7 Dynamique des fluides ..................................................... 73 Oscillations et ondes

Chapitre 8 Oscillations harmoniques.................................................. 81 Chapitre 9 Superposition de deux oscillations. Oscillations amorties. Vibrations forcées. Ondes élastiques. Ondes électromagnétiques....................................................................... 93 Physique moléculaire et thermodynamique

Chapitre 10 Lois de gaz parfaits. Equation fondamentale de la théorie cinétique des gazes. ...................... 99 Chapitre 11 Distribution de Maxwell de la vitesse et de l’énergie des molécules. Répartition en hauteur des particules - loi barométrique. Distribution de Boltzmann..................... 111 Chapitre 12 Capacités thermiques des gaz parfaits .......................... 117 Chapitre 13 Phénomènes de transport: diffusion, conduction thermique, viscosité. ........................................................... 121 Electrostatique

Chapitre 14 Electrostatique ............................................................. 125 Chapitre 15 Intensité du champ électrique E

r dans le vide.

Dipôle électrique. Théorème de Gauss pour le flux de l’intensité du champ. ............................................................................. 131

Courant électrique continu

Chapitre 16 Courant électrique continu. Lois d’Ohm, de Joule et de Kirchhoff................................................... 137 Electromagnétisme

Chapitre 17 Champ magnétique du courant continu. ....................... 153 Chapitre 18 Action du champ magnétique sur des courants et des charges.............................................................. 165 Chapitre 19 Induction électromagnétique. Energie du champ magnétique .............................................................. 175 Optique

Chapitre 20 Optique géométrique. ................................................... 182 Chapitre 21 Interférence de la lumière. ............................................ 185 Chapitre 22 Diffraction de la lumière............................................... 196 Chapitre 23 Polarisation de la lumière ............................................. 203 Optique quantique

Chapitre 24 Rayonnement thermique............................................... 207 Chapitre 25 Effet photoélectrique externe........................................ 213 Chapitre 26 L’effet Compton ........................................................... 221 Chapitre 27 Les rayons X ................................................................ 225 Chapitre 28 Equation de Schrödinger............................................... 231 Chapitre 29 Barrière de potentiel ..................................................... 236 Systemes d’unites................................................................................. 239

Bases physiques de la Mécanique

Chapitre 1

CINEMATIQUE

Notions de base. Lois fondamentales et formules.

Vitesse moyenne d’un point matériel. De façon générale, on obtient la vitesse moyenne en divisant la longueur parcourue l∆ par la durée t∆

du trajet: tl

moyenne ∆∆υ = .

Vitesse instantanée d’un point matériel. On obtient la vitesse instantanée à la date t en mesurant la longueur parcourue l pendant des intervalles de temps t∆ de plus en plus courts contenant l’instant t .

dtrd

trlim

0t

rrr

==→ ∆

∆υ∆

, où rdr est le changement du vecteur du rayon pour un

temps dt .

Grandeur de la vitesse: 2z

2y

2xdt

dl υυυυ ++== , où drdl = c’est

le chemin, parcouru pour un temps dt , dtdx

x =υ , dtdy

y =υ et dtdz

z =υ sont

les projections de la vitesse sur les axes de coordonnées et dx , dy , dz sont les projections de dr sur les axes de coordonnées.

Accélération moyenne est définie comme: t

a∆υ∆

= .

Accélération instantanée c’est la limite, vers laquelle tend l’accélération moyenne, lorsque l’intervalle du temps t∆ tend vers zéro,

c.-à-d.: 2dt

r2ddtd

tlim

0ta

rrrr

==→

=υ

∆υ∆

∆.

CHAPITRE 1

8

Grandeur de l’accélération: 2z

2y

2x aaaa ++= , où 2

2

dtxd

xa = ,

2

2

dtyd

ya = , 2

2

dtzd

za = , désignent les projections de l’accélération sur les

axes de coordonnées. L’accélération d’un point matériel, en tant que vecteur peut être

décomposée à deux composantes:

- l’accélération tangentielle tar (tangente à la trajectoire): τυ rr

dtd

ta =

où υd désigne le changement de la grandeur de la vitesse pour un temps dt , τr - le vecteur unité;

- l’accélération normale - nar (perpendiculaire à la tangente):

nRna

2 rr υ= , υ - la vitesse, R - le rayon de la courbure de la trajectoire

dans un point donné, nr - le vecteur unité. L’accélération totale est nt aaa rrr

+= , où la direction de tar coïncide avec celle de la vitesse et caractérise le changement de la grandeur de la vitesse, tandis que nar est dirigée toujours perpendiculairement à la vitesse et caractérise son changement en direction.

En fonction de la trajectoire du point matériel on distingue mouvement rectiligne et mouvement curviligne.

Mouvement rectiligne: 0an =

r et 0at ≠r :

a) Si .const=υ le mouvement est rectiligne uniforme: tSS o υ+= b) Si 0an =

r , mais 0.constat ≠=r le mouvement est rectiligne

uniformément varie et at)dt(dS o += υ , alors ∫ +=∫t

oo

S

Sat)dt(dS

o

υ et

alors on obtient 2oo at

21tSS ++= υ c’est dans le cas lorsqu’au moment

initial de temps 0t = le point a passé un chemin oS , et au moment final t - le chemin S .

Si 0o =υ et 0=So , alors at=υ et 2at21S = .

La vitesse d’un mouvement rectiligne uniformément varié est adtd =υ .

CINEMATIQUE

9

Lorsque dans un moment initial 0t = la vitesse est oυ et dans le

moment t la vitesse est υ , alors on obtient: ∫=∫t

oadtd

o

υ

υυ , et tao +=υυ .

Pour un mouvement curviligne la grandeur de l’accélération est: 2

n2

t aaa += . La direction de l’accélération ar lors d’un mouvement curviligne est

déterminée par l’angle α , formé avec la tangente vers la trajectoire, où

t

naa

tg =α .

Vitesse angulaire instantanée: dtdϕω = , où ϕd est l’angle de

rotation pour un temps dt . Accélération angulaire instantanée lors d’un mouvement de

rotation autour d’un axe fixe est 2

2

dtd

dtd ϕωε == .

L’équation d’un mouvement de rotation uniforme quand .const=ω est to ωϕϕ +=

La vitesse angulaire dans ce cas est πνπω 2T2

== , où T est la

période de la rotation, ν est la fréquence de rotation, le nombre de

rotations N pour unité de temps t , tN

=ν .

L’équation pour un mouvement de rotation uniformément varié

quand .const=ε est 2t.t2

ooεωϕϕ ++= . La vitesse angulaire dans ce

cas est t.o εωω += . La longueur de la courbe (l’arc) S décrite par un point du corps en

rotation est RS ϕ= , où ϕ est l’angle de rotation du corps, R est rayon de la courbure décrite par le point. La vitesse linéaire d’un point du corps en rotation est: Rωυ = .

L’accélération tangentielle et normale d’un point du corps en rotation est R.at ε= et Ra 2

n ω= .

CHAPITRE 1

10

Problèmes

Mouvement rectiligne

1.1. En sortant de sa maison (Fig. 1) un homme a pris la direction de l’Est pour un temps de min.30 , après pour un intervalle de min.45 il a marché vers le Nord et enfin à l’Ouest, pour un temps de min. 22 et

s30 . La vitesse de l’homme a été constante et d’une grandeur de km/h4,5 et son mouvement a été dans une plane unique. Déterminer:

a) la distance d entre la maison et l’homme à la fin du son mouvement; b) le chemin S parcouru par l’homme; c). l’angle α entre la direction vers la maison et la direction de l’Ouest à la position finale de l’homme. (Réponse: a) m 55,3421d = ; b) m 5,7312S = ; c) '5380o=α )

Données Solution

Fig. 1

;s/m 25,1h/km 5,4 ==υ s;1800 min.30 1t == s;0 270min. 452t ==

=+= s 30 min. 222t ;s 1350s )301320( =+=

a) ?d = b) ?S = c) ?=α

De la figure on voit que le chemin passé est: BCABOAS ++= . Pour OA on a: s 1800min30t == ;.

s/m 25,1h/km 5,4.const ===υ .

tS

=υ , donc m 2250t.OA1S === υ

Pour AB on a: s 2700min 45t == . Donc: m 3375t.AB2S === υ . Pour BC on a: s 1350min5,22t == . Donc m 5,1687t.BC3S === υ .

D’ici: m 5,73123S2S1SS =++= . d est déterminée du ODC∆ :

222 CDODd += , mais m 33752SABCD === .

m 5,5625,16872250SSCBOAOD 31

=−=

=−=−=

Alors:

m 55,34212337525,562d =+= .

Du ODC∆ : 986,0d

CDsin ==α

et '5380o=α .

Nord

D

Ouest

A

C B

d

Est O

CINEMATIQUE

11

1.2. Le mouvement d’un point matériel sur une droite est décrit par l’équation suivante: 2CtBtAx −+= , où m4 A = , s/m 40B = et

2s/m 4C = . Déterminer: a) Les positions du point, ses vitesses instantanées et les accélérations instantanées dans un temps s 31t = et

s 5t 2 = . b) La vitesse moyenne dans cet intervalle de temps.

(Réponses: a) s/m 02 ,s/m 161 ,m 1042x ,m 881x ==== υυ , 2s/m 8a −= ; b) s/m 8=υ )

1.3. Une goutte de pluie tombe sous un angle o 30 =α vers la

verticale quand la vitesse du vent est m/s 11 1 =υ (Fig. 2). Quelle sera la

vitesse du vent 2υ pour que la goutte tombe sous un angle o45 =β ? (Réponse: m/s 19 2 =υ ).

Données Solution

Fig. 2

m/s 11 1 =υ , o 30 =α , o45 =β ;

u – la vitesse de la goutte en absence du vent.

? 2 =υ

u u u 21 ==

;tg u1 α

υ= ;tg

u2 β

υ=

βυ

αυ

tgtg21 =

s/m 19 tg

.tg1 2 ==α

βυυ

1.4. La dépendance du chemin parcouru par rapport du temps pour

un point matériel est donnée par l’équation suivante: 32 DtCtBtAs ++−= , où 2s/m 2,0C = et 3s/m 1,0D = . Déterminer:

a) d’après combien de temps t dès le début du mouvement l’accélération du point va être égale à 2s/m 1a = ; b) l’accélération moyenne a pour cet intervalle de temps.

(Réponses: a) s 1t = , b) 2s/m 7,0a = )

u u

α

υ1 υ2

β

CHAPITRE 1

12

1.5. Un train de longueur m20 l = est en mouvement uniforme d’une vitesse km/h 361 =υ . Déterminer le temps t pour lequel il va passer auprès d’un train en mouvement uniforme d’une vitesse km/h 722 =υ si le deuxième train vient en face de lui.

(Réponse: s4t = ) 1.6. Les équations cinématiques qui décrivent le mouvement de deux

points matériels sont: 31

2111 tCtBtAx ++= et 3

22

222 tCtBtAx ++= ,

où 2s/m 21B = , 3s/m 5,11C −= , 2s/m 12B −= et 3s/m 5,02C = . Déterminer dans quel moment t les accélérations des deux corps soient les mêmes.

(Réponse: s 5,0t = ) 1.7. Un cycliste parcourt le chemin incliné jusqu’un point donné et

en arrière. Lors de la montée il acquiert une vitesse de h/km 51 =υ et lors de la descente - h/km 202 =υ . Quelle va être la vitesse moyenne υ du cycliste pour tout le chemin?

(Réponse: s/m 22,2=υ ) 1.8. Un bateau parcourt la distance entre deux villes A et B en

descendant une rivière en heures 6 , et en la montant – en heures 12 . Déterminer le temps 3t pour lequel le bateau va traverser la distance de A jusqu’à B en moteur éteint.

(Réponse: s10.64,8t 43 = )

1.9. Déterminer le temps t , nécessaire pour qu’une balle troue une

planche d’épaisseur cm 10s = , si sa vitesse diminue de s/m 6001 =υ à s/m 4002 =υ .

(Réponse: s410.4t −= ) 1.10. Un train parcourt une distance de km10 avec une vitesse

moyenne de h/km 36=υ . Les deux premières minutes le mouvement est uniformément accéléré, après ça il devient uniforme, les trois dernières minutes - uniformément retardé et puis le train s’arrête. Déterminer la vitesse maximale maxυ du train.

(Réponse: s/m 76,11max =υ )

CINEMATIQUE

13

1.11. Un étudiant fait la première moitié 1s du son chemin s (Fig. 3) avec une vitesse km/h 16 1 =υ . Pendant la moitié du temps 2t qui reste, il se déplace avec une vitesse km/h 12 2 =υ et à la fin du chemin, pendant un temps 3t - avec une vitesse km/h5 3 =υ . Déterminer la vitesse moyenne υ de l’étudiant pour tout le trajet.

(Réponse: km/h 11,1 =υ ).

Données

Fig. 3 ;2/ss1 = 32 t t = , m/s4,4 km/h 16 1 ==υ

m/s 3,33 km/h 12 2 ==υ , m/s 1,39 km/h5 3 ==υ ;s s s 321 += ? =υ

Solution ;.t s 11 1 υ= ;.ts 222 υ= ;.t s 333 υ=

;s s s 321 += ;s2s ss 1321 =++ ;t t 32 = ;t 2 t t 232 =+ ;t 2 t t 332 =+

;)t t (t )/s s (s 321321 ++++=υ ; v /s t 111 = ;/ s / s t t 332232 υυ +=+

;/s 2 t 2 .)/.s .(s 222322332 υυυυυ ==+ [1]; s 2t . 2 ./)..s .(s 2223222332 ==+ υυυυυυ ;/s 2 t 2 .)/.s .(s 333322332 υυυυυ ==+ [2]; s 2t . 2 ./)..s .(s 3333232332 ==+ υυυυυυ

=++=+ ).)/).(.s .(s [2] [1] 32322332 υυυυυυ ;s 2)s 2(s 132 =+= ); /s 2 /(s /s 2 321111 υυυυ ++=

km/h 11,1 ) )/(2 ( 2 321321 =+++= υυυυυυυ

υ3 υ2

s3

υ1

s2 s1

s

t1 t2 t3

CHAPITRE 1

14

1.12. Un corps est en mouvement uniformément accéléré et sa vitesse initiale est égale à oυ . Déterminer l’accélération a du corps, si pour un temps s2t = il se déplace à une distance m 16s = et sa vitesse est o3υυ = ?

(Réponse: 2s/m 4a = ) 1.13. On considère trois possibilités pour qu’un homme monte

l’escalator du métro: a) quand l’homme est immobile sur l’escalator; b) quand l’escalator est immobile et l’homme le monte comme un escalier; c) quand l’escalator est en mouvement et en plus l’homme le monte comme un escalier. Les temps pour les deux premiers cas sont respectivement min. 1 at = et min. 3tb = Déterminer le temps du mouvement ct dans le troisième cas.

(Réponse: s45 tc = ) 1.14. Un bateau de rivière se déplace du point A au point B en avale

pour un temps heurs 3 t1 = et dans le sens opposé – pour heurs5 t 2 = . Calculer le temps 3t , nécessaire pour que le bateau parcourt la distance AB en avale quand le moteur est arrêté.

(Réponse: heurs 12 t3 = ) 1.15. L’accélération d’un point matériel en mouvement rectiligne

accroît d’après l’équation t.ka = , où k est une constantе. D’après un

temps s 81t = l’accélération devient 2s/m 61a = . Déterminer pour le moment du temps s 52t = : a) la vitesse 2υ du point; b) le chemin parcouru 2S .

(Réponses: a) s/m 38,92 =υ ; b) m 63,152S = )

CINEMATIQUE

15

Données Solution

( ).constkt.ka == ,

s1t1 = , 2s/m 61a = ,

s 52t = . ________________

a) ?2 =υ

b) ?S2 =

La vitesse du point matériel est:

( )2

ktktdtdtta2t

o

t

o=∫=∫=υ (1)

On sait que:

t.ka = , alors 1

1ta

tak == (2)

En remplaçant (2) dans (1) on a:

s/m 38,921t

22t1a

2

22kt

2 ===υ

Le chemin parcouru est:

( )6

ktdt2

ktdttS3t

o

2t

o=∫=∫= υ (3)

Le chemin 2S en utilisant (2) est:

m 63,1561t

32t1a

2S ==

1.16. Un bateau de rivière circule à une distance m1200 S = entre

les rives opposés sur une droite AB , joignante deux points A et B (Fig. 4). Le sens de la vitesse d’écoulement m/s 1,9 1 =υ fait un angle

οα 30 = avec la droite AB . Déterminer: a) la vitesse du bateau 2υ ; b) l’angle β qu’elle fait avec la droite AB quand le bateau parcourt le trajet aller-retour pour un temps min.5 t =

(Réponses: a) ; m/s 8 2 =υ b) o12 = β )

CHAPITRE 1

16

Données Solution

Fig. 4

m;1200 S = m/s; 1,9 1 =υ ; 30 οα = min.5 t =

a) ? 2 =υ b) ? = β

Le bateau restera sur la droite AB , si les composantes des vitesses de la rivière 1υ et du bateau 2υ dans la direction perpendiculaire à celle-ci de AB sont égales:

αυβυ sin sin 12 = (1) αυβυυ cos cos 12AB += (2)

112

1AB

t) cos cos (t.S

αυβυυ

+===

(3)

212

2BA

t) cos - cos (t.S

αυβυυ

===

(4)

ttt 21 =+ (5) En utilisant (1), (2), (3), (4) et (5) on obtient:

αυαυ

βsin.t1

2cos2t21

2SSarctg

++=

o12≈β

s/m 8sinsin

12 ≈=βαυυ

1.17. Un point matériel se déplace sur une ligne droite et son

accélération augmente linéairement de façon que pour les premières s 10 elle atteint une valeur 2s/m 5a = . Déterminer: a) la vitesse υ du point; b) le chemin S parcouru au bout de ces s 10 .

(Réponses: a) ;s/m 25=υ b) m 3,83S = ) 1.18. L’équation du mouvement d’un point matériel est

2gttx

2o −= υ , où s/m 500o =υ et 2s/m 10g = . Déterminer: a) la

vitesse après un temps s 201t = ; b) la vitesse moyenne pour l’intervalle du temps jusqu’au moment 1t .

(Réponses: a) s/m 300=υ ; b) s/m 400=υ )

υ1 α

β υ2

B

A

A

υ1

α

β υ2

B

CINEMATIQUE

17

1.19. Déterminer le temps t dans lequel deux voitures auront la même vitesse υ . Déterminer la grandeur de la vitesse υ et le chemin parcouru S par les deux voitures dans ce temps, si l’une est en mouvement rectiligne uniformément accéléré avec s/m 101o =υ et

2s/m 4,01oa = et l’autre - en mouvement rectiligne uniformément

retardé avec s/m202o =υ et 2s/m 6,02oa −= .

(Réponses: s 10t = , s/m 14=υ , m 1201S = , m 1702S = ) 1.20. Une balle tombe d’une hauteur km 1 h = avec une vitesse

initiale 0 o =υ (Fig. 5). Quel chemin parcourt la balle pendant: a) la première seconde de la chute 1s ; b) la dernière seconde de la chute 2s ?

(Réponses: a) m 4,9 s 1 = ; b) m 132 s 2 = ).

Données Solution

Fig. 5

; km 1 h = 0; o =υ

s 1 2t 1t == a) ? s 1 = b) ? s 2 =

/2;g.t h 2= ;)g/h2(t 2/1=

;2/gth 211 = ;hs 11 =

;m 9,42/21gt1s ==

;2/)tt(gh 2

22 −= ;hhs 22 −=

( )m 132

2

22tg/h2g

h2s =−

−=

1.21. Une pierre est lancée verticalement en haut et atteint une

hauteur de m30 h = . Déterminer le temps du vol t jusqu’à cette hauteur et le temps nécessaire pour que la pierre retombe sur la Terre. Quelle doit être la vitesse initiale oυ du lancement de la pierre? La résistance de l’air est supposée nulle.

(Réponses: s47,2t = , s/m 26,24o =υ )

s2.t2

s1.t1 h1 h2 h

CHAPITRE 1

18

1.22. Un corps est jeté verticalement en haut d’une hauteur m 181h = . Un deuxième corps est jeté horizontalement au même

moment d’une hauteur m 322h = . Déterminer la vitesse initiale 1oυ du premiers corps, si les deux derniers tombent simultanément sur la Terre.

(Réponse: s/m 48,51o =υ ) 1.23. Une pierre tombe dans un puits et le son de son coup avec la

surface de l’eau arrive après un temps s5 t = . Calculer la profondeur du puis h , si la vitesse du son est m/s 330 son =υ .

(Réponse : m 107 h = )

Données Solution

s5 t = m/s 330 son =υ

____________ ? h =

/2;g.t h 2= ;.t h 2υ= ; )t -(t g.t 12

1 υ=

0; t 2 -t 2 g.t 12

1 =+ υυ

0; g

t 2 -g

t 2 t 12

1 =+υυ

;s67,4g

t22

gg1t =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

υυυ

m 107 2

21g.t

h ==

1.24. On entend le son du choc entre une pierre et le fond d’un puits

s3 lancement de la pierre. Déterminer la profondeur du puits h et la vitesse υ de la pierre au fond.

(Réponses : m 3,41h = , s/m 4,28=υ ) 1. 25. Un jongleur fait sauter une balle en haut verticalement à une

hauteur m 1h = . Au point le plus haut du vol de la balle il lance une deuxième balle avec la même vitesse initiale. Déterminer la hauteur 2h de la rencontre des deux balles.

(Réponse : m 75,02h = )

CINEMATIQUE

19

1.26. Une voiture parcourt la distance de km 10 avec une vitesse de h/km 30 , celle de km 50 - avec une vitesse de h/km 60 et celle de

km 70 - avec h/km 100 . Déterminer la vitesse moyenne υ sur tout le parcours.

(Réponses : h/km 71=υ ) 1.27. L’accélération d’un corps qui se déplace sur une droite est

donnée par l’équation suivante: 2t4a −= , où a est en 2s/m et t est en secondes. Trouver les expressions de la vitesse υ et du déplacement S en fonction du temps étant donné que pour s 3t = , s/m 2=υ et

m 49x = . (Réponses: m 5,20S = , s/m 17=υ ) 1.28. Une voiture est en mouvement d’une vitesse h/km 100=υ .

Le conducteur éteint le moteur et serre les freins secondes15 avant que la voiture s’arrête. En sachant que le mouvement de la voiture après le serrage des freins est uniformément varié, déterminer: a) l’accélération a de la voiture; b) le chemin S parcouru jusqu'à l’arrêt.

(Réponses: a) 2s/m 85,1a = , b) m 3,208S = ) 1.29. Cinq gouttes d’eau tombent régulièrement du toit d’un bâtiment

dont hauteur est m 16 H = . La dernière goutte se détache du toit juste au moment quand la première touche la terre. Déterminer les distances entre les gouttes dans l’air en ce moment.

(Réponses: m; 1 4r = m; 3 43r = m;5 32r = m 7 r21 = ) 1.30. Soient deux corps en chute libre de la même hauteur l’un après

l’autre d’un intervalle de temps τ . Dans combien de temps t après le début de la première chute la distance entre les deux corps atteint la valeur l .

(Réponse:2g

lt τπ

+= )

1.31. Deux corps sont lancés verticalement dans un intervalle de temps τ l’un après l’autre. Leurs vitesses initiales 1υ et 2υ sont égales. Dans combien de temps t les deux corps seront à la même hauteur?

(Réponse:2g

t o τυ+= )

CHAPITRE 1

20

1.32. Une boule lourde et élastique fait une chute libre d’un point A localisé à une hauteur oH et tombe sur la surface horizontale et lisse d’une plaque élastique. Au moment quand cette boule heurte la plaque, une deuxième boulle pareille fait aussi une chute libre du même point A . Dans combien de temps t après la deuxième chute et à quelle hauteur th les boules se rencontreront?

(Réponses: ;g2

Ht o= ot H

43h = )

1.33. Deux motocyclistes partent l’un contre l’autre de deux points

A et B distantes à m 300 S = . Le premier motocycliste fait un mouvement uniformément retardé d’une vitesse initiale km/h 72 1 =υ et

d’une accélération 2m/s 2a = . Le deuxième motocycliste fait un mouvement uniformément accéléré avec la même valeur absolue de l’accélération et d’une vitesse initiale km/h 36 2 =υ . Déterminer: a) le temps du mouvement ;t b) le déplacement 1l du premier motocycliste au moment de la rencontre entre les deux.

(Réponses: a) ; s10 t = b) m100 l1 = ) 1.34. Un ballon à gaz prend son vol verticalement en haut d’une

accélération 2s/m 9,0a = . Après un temps s 121t = dès le début du mouvement, le passager détourne l’écrou. Déterminer: a) le temps de la chute chuttet de l’écrou sur la Terre; b) la vitesse de la chute chutteυ au moment du choc avec la Terre.

(Réponses : a) s 90,4chuttet = , b) s/m 3,37chutte −=υ )

Mouvement curviligne

1.35. Un disque de rayon cm 5R = tourne autour d’un axe fixe. La dépendance de la vitesse angulaire du temps est donnée par la relation

suivante 4Bt5At2 +=ω , où 2s/rad 2A = et 5s/rad 1B = . Déterminer à la fin de la première seconde pour les points du contour du disque: a) l’accélération totale; b) le nombre total de révolutions du disque.

CINEMATIQUE

21

Données Solution m 05,0cm 5R ==

4Bt5At2 +=ω ,

,2s/rad 2A =

5s/rad 1B = ,

s 1t = . ______________

?N?,a ==

a) On a: 2n

2t aaa += ,

dtdωε = ,

R.dtdat ευ

== , R.R

a 22

n ωυ== et

4Bt5At2 +=ω . Alors :

( )3t Bt.4.5A2R

dtdRRa +===

ωε

)Bt5At2(RR.a 42n +== ω .

D’où:

=+ 2na2

ta=a

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=

44Bt5At22R23Bt.4.5A22R

( ) ( )44223 Bt5At2RBt20A2R +++= 2s/m 22,4a =

b) π

ϕ2

N = , et alors

( )∫ +=+=∫=t

0

524t

0BtAtdtBt5At2dtωϕ

et 478,02

BtAtN52

=+

=π

1.36. L’accélération normale na d’un point matériel, qui se déplace

sur un cercle de rayon m4r = , est donnée par l’équation 2

n Ct BtA a ++= et 2m/s 1A = , 3m/s 26 B = , 4m/s 9 C = . Calculer: a) l’accélération tangentielle du point ta ; b) le chemin 1s parcouru après

s51t = après le début du déplacement; c) l’accélération totale 2a au moment s 12t = .

(Réponses: a) ;2s/m 6ta = b) ;m 851s = c) 2s/m 1,172a = )

CHAPITRE 1

22

1.37. Le chemin, parcouru par un point matériel lors du son mouvement sur un cercle de rayon m 1R = , est décrit par l’équation:

BtAtS 2 += , où 2s/m 3A = et s/m 1B = . Déterminer les accélérations du point - normale na , tangentielle ta et totale a , après un temps s 5,0t = du début du mouvement.

(Réponses: a) 2s/m 16na = ; b) 2s/m 6ta = ; c) 2s/m 17a = ) 1.38. Un point matériel débute son mouvement sur une trajectoire

circulaire (Fig. 6) de rayon cm12,5 r = avec une accélération

tangentielle constante 2cm/s0,5 ta = . Calculer: a) le moment du temps t

dans lequel le vecteur d’accélération a forme un angle = οα 45 avec le vecteur de la vitesse υ ; b) le déplacement s du point pendant cet intervalle de temps.

(Réponses: a) ;s 5t = b) cm 25,6 )

Données Solution

Fig. 6

m;0,125 cm12,5 r == ;45 = οα

;m/s10.5cm/s0,5 a 2-32t ==

a) ?;t = b) ?s =

;a/atg tn=α

;r/a 2n υ=

.;constdt/dat == υ

;t.adta tt

0t == ∫υ

rt.a

rat.a

ratg

2t

t

22t

t

2===

υα

s5a/rtgt t == α

∫=∫=t

0t

t

0tdtadts υ

cm 25,62

2t.tas ==

aτ an α

a υ

r

CINEMATIQUE

23

1.39. Un point matériel est en mouvement sur un cercle de rayon m 4r = . L’accéleration normale du point est donnée par l’équation

2n CtBtAa ++= , où 2s/m 1A = , 3s/m 6B = et 4s/m 9C = .

Déterminer: a) l’accélération tangentielle ta du point; b) le chemin 1S parcouru pour un temps s 51t = dès le début du mouvement; c) l’accélération totale 2a au moment s 12t = .

(Réponses: a) 2s/m 6ta = ; b) m 851S = ; c) 2s/m 09,172a = ) 1.40. Un point matériel se déplace sur un cercle de rayon cm 15R =

avec une accélération tangentielle constante ta . A la fin de sa quatrième révolution après le début du mouvement la vitesse linéaire du point est

s/cm 151 =υ . Calculer l’accélération normale 2na du point après

l’intervalle du temps s 162t = dès le début du mouvement.

(Réponse: 2s/cm 5,1na 2 = ) 1.41. Deux corps sont lancés horizontalement et simultanément d’un

bord vertical et élevé par rapport à une surface. Les vitesses initiales des corps sont respectivement m/s5 1 =υ et m/s7,5 2 =υ . La distance, où le premier corps tombe est m10 S1 = . Déterminer: a) la durée t du vol; b) la hauteur h du bord; c) la distance 2S , où le deuxième corps tombe.

(Réponses: a) ; s 2 t = b) m; 19,6 h = c) m15 S 2 = ) 1.42. Un obus est projeté d’un canon avec une vitesse initiale

m/s1000 o =υ sous un angle οα 30 = vers l’horizon (Fig. 7). Combien de temps t l’obus restera dans l’air et quelle est la distance S entre le canon et le point, où l’obus tombera si les deux sont situés sur une même droite horizontale?

(Réponses: ; s100 t = m 88,7 S = )

CHAPITRE 1

24

Données Solution

Fig. 7

m/s;1000 o =υ ; 30 οα =

?t = ?S =

;cosox αυυ = ;sinoy αυυ = ;tS xυ=

;2

gttH2

y −= υ ;0H =

s 100g

y2t ==

υ

ααυυυ

cos.sing

2g.2

S2

oyx ==

km7,882sing

S2

o == αυ

1.43. Quelle est la hauteur maximale maxh d’un obus projeté avec

une vitesse initiale m/s800 o =υ sous un angle o15=α vers l’horizon?

(Réponse: m2187)g2

(sinh 22omax ==

αυ )

1.44. Un canon d’artillerie est placé sur une côte de hauteur

m 20h = au-dessus du niveau de la mer. Un projectile d’une vitesse initiale s/m 600o =υ est lancé sous un angle o45=α . Déterminer: a) la hauteur la plus grande 1h de la montée du projectile; b) le temps t du vol; c) la vitesse de la tombée chutteυ et la vitesse 1υ au point le plus haut de la trajectoire; d) la portée du vol maxx ; e) le rayon de la courbure de la trajectoire R au point le plus haut. Négliger la résistance de l’air.

(Réponses: a) m 3,91741h = ; b) s 5,86t = ; c) s/m 3,600chutte =υ , s/m 4241 =υ ; d) km 7,36maxx = ; e) m 3,18348R = )

1.45. Déterminer le parcours l (sur l’axe x ) et la hauteur h (sur

l’axe y ) d’un corps lancé sous un angle α vers l’horizon.

(Réponses : mg2

sinh

22o αυ

= ; mg

2sinl

2o αυ

= )

υy

υx

υo

α

CINEMATIQUE

25

1.46. Un corps est jeté avec une vitesse m/s 20 o =υ sous un angle o 30 =α vers l’horizon (Fig. 8). Déterminer les accélérations normale na

et tangentielle ta pour le moment s 5,1t = après le début du mouvement, si la résistance d’air est négligée.

(Réponses: a) ;s/m47,9a 2n = b) 2

t s/m58,2a = )

Données

Fig. 8

m/s; 20 o =υ ; 30 o=α s5,1t = .

a) ?;an = b) ?at = Solution

;gt 1oyy −=υυ ;sinooy αυυ =

Pour maxh on a: ;0 y =υ

;gtsin 1o =αυ ;s 02,1g/)sino(1t == αυ

1ts5,1t >= (pour la descente) ;s 48,0s02,1s5,11tt't =−=−= ;cosooxx αυυυ ==

;.t'y υυ = ;tg/ xy ϕυυ = );cos.o/'gt(arctg αυϕ =

;ga = ;cos.gan ϕ= ;sin.gat ϕ=

2s/m 47,9)]cos.o/'gt(arctgcos[.gna == αυ

2s/m 58,2)]cos.o/'gt(arctgsin[.gta == αυ

g=a

x

y

O

υoy

υox

aτ υx υo

an

υy υ

ϕ

CHAPITRE 1

26

1.47. Un corps est jeté horizontalement avec une vitesse m/s15 o =υ (Fig. 9). Déterminer le rayon de la courbure de la trajectoire

R après s 2t = dès le début du mouvement. (Réponse: m 102R = )

Données

Fig. 9

m/s;15 o =υ s 2t =

?R = Solution

;ox υυ = ;t.gy =υ

;tg 222o

2y

2x +=+= υυυυ

;ga = ;cos.gan ϕ= ;/cos o υυϕ =

;R/a 2n υ=

;o.g/3cos.g/2na/2R υυϕυυ ===

m 102og

2/3)2t2g2o(

R =+

=υ

υ

1.48. Une balle, tirée dans une direction horizontale, troue deux

feuilles de papier disposées verticalement et distantes de m20 l = . Déterminer la vitesse de la balle si le deuxième trou est à cm 5 plus bas que le premier.

(Réponse: s/m 200o =υ )

ϕ

υy

υ

υo aτ

g=a

an

x

y

CINEMATIQUE

27

1.49. Déterminer l’angle α de lancement lors duquel la hauteur h est égale à la moitié de la longueur du vol S .

(Réponse: '3063o=α ) 1.50. L’accélération tangentielle d’un point matériel est

2s/m 6ta = , tandis que son accélération totale est 2s/m 3,6a = . Déterminer l’accélération normale na du point matériel et l’angle ϕ entre elle et l’accélération du point.

(Réponses: 2s/m 9,1na = , '2472o=ϕ ) 1.51. Le trajet d’une voiture roulante sur un chemin avec un rayon de

courbure m20 R = est décrit par l’équation suivante: 2CtBtAS ++= , où m 10A = , s/m 10B = et 2s/m 5,0C −= . Déterminer la vitesse υ , les accélérations tangentielle ta , normale na et totale a après un temps s 8t = .

(Réponses: s/m 2=υ , 2s/m 1ta −= , 2s/m 2,0na = , 2s/m 02,1a = )

Mouvement de rotation

1.52. Un avion supersonique est en vol horizontal d’une vitesse de h/km 1440=υ à une hauteur de km15 h = . Quelles doivent être la

vitesse initiale minimale oυ et l’angle α formé avec l’horizon lors du tir d’un projectile d’un fusil zénithal, de façon que lorsque l’avion est au-dessus du fusil, le projectile heurte l’avion?

(Réponses: s/m 674o =υ , o55=α ) 1.53. Un homme fait tourner une pierre attachée à une corde de

longueur cm70 R = dans le plan verticale en faisant 5n = révolutions par seconde. Déterminer la hauteur h à laquelle la pierre va monter si l’homme lâche la corde quand la direction de la vitesse est verticale.

(Réponse: m 16,24h = ) 1.54. Une voiture descend un chemin incliné avec le moteur éteint.

Le nombre des révolutions de ses roues de rayons cm 25R = augmente de 0,05 à chaque seconde. Déterminer à la fin de la deuxième minute: a) La vitesse angulaire ω et linéaire υ des roues; b) En choisissant un

CHAPITRE 1

28

point quelconque de la périphérie des roues, déterminer ses accélérations tangentielle ta , normale na et totale a .

(Réponses: a) s/rad 68,37=ω , s/m 42,9=υ ;

b) 2s/m 078,0ta = , 2s/m 45,354na = , 2s/m 94,354a = ) 1.55. Une poulie de rayon cm 20 R = tourne sous l’action d’un

poids attaché à un fil qui est enroulé sur la poulie (Fig. 10). Au moment initial le poids est immobile et puis commence à tomber avec une accélération 2cm/s 2a = . Déterminer: a) la vitesse angulaire ω de la poulie à une distance cm;100 S1 = b) l’accélération 1a d’un point situé sur la surface de la poulie au moment quand ce point parcourt la distance

1S . (Réponses: a) = − ;s1 1ω b) 2s/cm 1,202S42RRa

1a =+= )

Données Solution

Fig. 10

m; 0,2 cm 20 R ==

;2s/m 02,02cm/s 2a ==m; 0,1cm100 1S ==

?=ω ?a1 =

;aS2=υ 1s 1

R−==

υω

2

222

1R

Sa4aa +=

22

1 S4RRaa +=

2s/cm 1,201a =

P

A

S

CINEMATIQUE

29

1.56. Une roue tourne en mouvement uniformément accéléré. Dans 10n = révolutions dès le début du mouvement sa vitesse angulaire

devient s/rad 20=ω . Déterminer l’accélération angulaire ε de la roue.

(Réponse: 2s/rad 18,3=ε ) 1.57. La roue d’une voiture tourne en mouvement uniformément

retardé. Pendant un intervalle de temps .min2t = la roue change sa fréquence de circulation de 240 à 1.min60 − . Déterminer: a) l’accélération angulaire ε de la roue; b) le nombre totale N de ses révolutions complètes pendant l’intervalle de temps donné.

(Réponses: 1) ;s/rad 157,0=ε 2) 300N = ) 1.58. Un disque tourne autour d’un axe immobile. La dépendance de

l’angle de rotation du rayon du disque ϕ par rapport au temps est donnée

par l’équation 2At=ϕ et 2s/rad1,0A= . Déterminer l’accélération totale a d’un point situé au bout extérieur du disque à la fin de la deuxième seconde du début du mouvement, si la vitesse linéaire du point en ce moment est s/m 4,01 =υ .

(Réponse: 2s/m 256,0a = ). 1.59. Un point matériel débute un mouvement de rotation avec une

accélération angulaire constante. Après un intervalle de temps s 5t = , l’angle entre le vecteur de l’accélération totale ar et celui de la vitesse υr est о51=α . Déterminer l’accélération angulaire ε du point.

(Réponse: 2s/rad 049,0=ε ) 1.60. Pour un temps s 5,5t = après le débranchement, un ventilateur

est en mouvement uniformément retardé. Il fait 22N = révolutions jusqu’à son arrêt complet. Déterminer: a) la vitesse angulaire оω , b) la fréquence de rotation ν et c) l’accélération angulaire ε du ventilateur.

(Réponses: a) 2о s/rad 24,50=ω , b) 1s 8 −=ν , c) 2s/rad 13,9=ε )

CHAPITRE 2

30

Chapitre 2

Dynamique d’un point matériel et mouvement de translation d’un solide

Notions de base. Lois fondamentales et formules. Première loi de Newton. L'énoncé originel de la première loi du

mouvement est le suivant: tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état.

La seconde loi de Newton ou principe fondamental de la

dynamique. Énoncé: Soit un corps de masse m constante, l'accélération ar subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces ∑ iF qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse m . Ceci est souvent récapitulé dans l'équation:

∑= iFm1ar ou a.mFi =∑ ,

où iFr

désigne les forces exercées sur l'objet, m est sa masse, et ar correspond à l'accélération de son centre d'inertie G .

Théorème de la quantité de mouvement en forme plus générale,

valable également si la masse change au cours du temps est la suivante: la force est égale aux changements de quantité de mouvement par unité de

temps. Ceci est souvent récapitulé dans l'équation: ∑ ==dt

)m(ddtpdFi

υrrr

,

où iFr

désigne les forces exercées sur l'objet, υrr .mp= est la quantité de

mouvement, égale au produit de sa masse m et de sa vitesse υr

. Ce théorème est appelé théorème de la quantité de mouvement. Pour

un solide de masse fixe en mécanique newtonienne, il est équivalent à la seconde loi de Newton. Ainsi, la force nécessaire pour accélérer un objet est le produit de sa masse et de son accélération.

DYNAMIQUE D’UN POINT MATERIEL ET MOUVEMENT DE TRANSLATION D’UN SOLIDE

31

Troisième loi de Newton ou principe des actions réciproques. Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force

d'intensité égale, de même direction mais de sens opposé, que celle exercée par le corps B .

A et B étant deux corps en interaction, la force BAF →r

(exercée par

A sur B ) et la force ABF →r

(exercée par B sur A ) qui décrivent

l'interaction sont directement opposées : ABBA FF →→ −=rr

. Ces forces ont la même droite d'action, des sens opposés et la même norme. Ces deux forces sont toujours directement opposées, que A et B soient immobiles ou en mouvement.

La loi de conservation de l’impulsion: .constmpp cn

1ii === ∑

=υrrr , où

pr c’est l’impulsion d’un système isolé de points matériels, m - la masse du système, cυ

r - la vitesse du centre des masses du système.

La force qui agit sur un point matériel en mouvement curviligne peut etre décomposée en deux composantes : τF - la composante tangentielle

et nF - la composante normale. dtdmmaF υ

ττ == et RmR

mmaF 2nn

2ωυ

=== ,

où m est la masse du point materiel, R.ωυ = - sa vitesse, R - le rayon de la courbure de la trajectoire.

La force centrifuge est R

mF2

cfυ

= .

Problèmes

2.1. Un corps descend sur un plan incliné de longueur m 1,3l =

(Fig. 11). Déterminer le temps pour lequel le corps va passer la deuxième moitié du chemin si l’angle d’inclinaison avec l’horizon est de o32 et le coefficient de frottement 4,0k = . (Réponse: s 533,02t = )

CHAPITRE 2

32

Données Solution

Fig. 11

m 1,3l = , o32=α ,

4,0k =

______________________

?t2 =

Sur le corps agissent les forces (Fig.11): de la pesanteur g.mG

rr= ; de la réaction

du support N

r; de frottement frF

r.

La deuxième loi de Newton donne

frm FNGFrrrr

++= (1).

En prenant les projections sur les deux axes l’équation (1) prend la forme: X: N.ksin.g.ma.m −= α (2) Y: αcos.GN0 −= (3) D’après (3) αcos.GN = (4) et en remplaçant dans (2) on obtient:

αα cos.g.m.ksin.g.ma.m −= )cos.k(singa αα −= ,

2at21tooSS ++= υ (5)

Puisque 0So = et 0o =υ , (5) devient:

2at21S = (6)

Si lS = on a

( )αα cos.ksin.gl2

al2t

−== (7)

1t pour la I-ère moitié du chemin d’après (6)

est: 2t.a

2l 2

1=

( )αα cos.ksin.gl

alt1 −==

et s 533,0ttt 12 =−=

y

NfrFr

α

mFr

x

Gr


33

2.2. Deux corps de masse kg 1m1 = et kg 3m2 = liés entre eux par un fil sont posés sur une table. Deux forces dans des sens opposées agissent sur les corps: N 101F = et N 42F = . Déterminer: a) l’accélération a avec laquelle les corps vont effectuer son mouvement; b) la force de tension du fil. Le frottement entre la table et les corps peut être négligé.

(Réponses: a) 2s/m 5,1a = ; b) N 5,8T = ) 2.3. Une barque de masse kg140 M = reste immobile dans l’eau

tranquille. Quelle est la longueur l de la barque, si quand un pêcheur de masse kg70 m = se déplace de l’arrière vers l’avant de la barque, elle c’est déplacée à une distance m 1S = par rapport à la surface de l’eau ? On peut négliger la résistance de l’eau.

(Réponse: m 3l = ) 2.4. Un cycliste se déplace sur une route horizontale avec un rayon

de courbure m20 R = . Déterminer: a) la vitesse maximale maxυ du mouvement sans glissement; b) l’angle α de la pente par rapport à la verticale, si le coefficient de frottement des roues avec la route est de

2,0k= .

(Réponses: a) s/m 6,26max =υ ; b) '1811o=α ) 2.5. Un train de masse t500 m = est en mouvement d’une vitesse

km/h54 =υ . Déterminer la force de freinage F , lorsque le train s’arrête pour un temps s60 t = .

(Réponse: N10.125F 3= ) 2.6. Déterminer la force moyenne F de pression sur l’épaule lors

d’un tire avec un arme automatique, si la vitesse du projectile est g10 m = , sa vitesse de sortie m/s350 =υ et on a s/minprojectile240 .

(Réponse: N14F = )

CHAPITRE 2

34

2.7. Un corps de masse kg 2 m = fait un mouvement rectiligne

suivant la loi 32 Dt-Ct Bt-A S += et 32 m/s0,4 D ,m/s 2 C == . Déterminer la force F agissante sur le corps à la fin de la première seconde du mouvement s1t = .

(Réponse: N 3,2 F = )

Données Solution ;kg 2m =

;Dt-Ct Bt-A S 32+=

;m/s 2 C 2=

;3m/s0,4 D = ;s 1t =

?F =

;dtdmma F υ

==

;3Dt-Ct 2 B dtds 2+−==υ

;6Dt-C 2 dtda ==υ

N 3,2)Dt6C2(m F =−=

2.8. Un corps de masse kg4 m = est en mouvement rectiligne. La

dépendance du chemin parcouru S du temps t est donnée par l’équation suivante: 32 DtCtBtAS +++= , où 2s/m 1C = et 3s/m 0,2D −= . Déterminer la force F qui va agir sur le corps à la fin de la première seconde.

(Réponse: N 3,2F = ) 2.9. Une balle de fusil de masse g10 m = est tirée d’une vitesse

m/s800 1 =υ . Dans un temps s 3t= sa vitesse devient m/s200 2 =υ . Déterminer la force moyenne F qui retient la balle.

(Réponse: N2F = ) 2.10. Une pierre de masse kg 1m = glisse sur une surface de vitesse

s/m 3=υ et s’arrête après s10 t= sous l’action d’une force de frottement F . Déterminer cette force F si elle reste constante.

(Réponse: N 3,0F = )


35

2.11. Une pierre glisse sur une surface horizontale glacée et s’arrête à une distance m 48 S = . Déterminer la vitesse initiale oυ de la pierre, si le rapport entre la force de frottement frF et le poids de la pierre P est

06,0P

Fn fr == .

(Réponse: m/s 7,56 o =υ ) 2.12. Un bloc de masse kg 3,2m = se trouve sur un plan incliné

dont l’inclinaison avec l’horizon est de o33=α .Une force horizontale F exerce une pression sur le bloc. Déterminer le coefficient de frottement k entre le bloc est le plan incliné dans le cas lorsque le bloc commence à descendre si N 5,7F = .

(Réponse: 260,0k = ) 2.13. Une ficelle est lancée par-dessus d’une poulie. Deux poids, de

masses kg0,200 m1 = et kg0,210 m2 = , sont suspendus aux deux extrémités de la corde. Déterminer: a) l’accélération du mouvement a des deux poids; b) la force de tension T de la corde.

(Réponses: a) 2s/m 239,0a = ; b) N 01,2T = ) 2.14. Un corps du poids kg 2,5 P = se déplace verticalement vers le

bas avec une accélération 2m/s 19,6 a = . Déterminer la force F qui est supplémentaire de la pesanteur si la résistance de l’air est négligée.

(Réponse: kg 2,5 F = ) 2.15. Un corps de masse kg 2M = se trouve sur une table

horizontale (Fig. 12). Le bout gauche et le bout droit du corps sont attachés aux deux autres corps de masses kg ,5 0 m1 = et kg ,30 m2 = par des fils passants à travers les deux bobines. Déterminer: a) les accélérations du mouvement a des deux corps ; b) la différence entre les forces de tension des deux fils )TT( 21 − . Les masses des fils et des bobines et la force de frottement sont négligeables.

CHAPITRE 2

36

Données

Fig. 12

;kg 2M = ;kg ,5 0 m1 = kg ,30 m2 =

a) ?a = b) ?TT 21 =− Solution

;)m m (M

)gm -(m a21

21++

= ;T -gm am 111 = a);-(gmT 11 =

g;m-T am 222 = a);(gmT 22 +=

);ag(2m)ag(1m2T1T +−−=− 2s/m 7,0a =

N 4,1TT 21 =−

2.16. Une boule de masse m est suspendue d’un fil attaché au point

O . Avec quelle accélération a et dans quel sens sur la verticale on doit déplacer la position du point O pour que la tension T du fil soit égale à la moitié du poids de la boule?

(Réponse: ; m/s 4,9 a 2= ↓↓ O quand T )

T1 T2

T2T1

m2gm1g

B

A

C


37

2.17. Un train de poids N10.8G 6= et d’une force de traction N15,104 F = se déplace avec une vitesse h/km 36o =υ au moment

ot . Déterminer: a) la vitesse υ ; b) le chemin S , parcouru par le train pour s15 t= après le moment ot , si le coefficient de frottement est

0,002k = . (Réponses: a) s/m 46,12=υ ; b) m 168S = ) 2.18. Un traîneau est tiré par un tracteur et se déplace avec une

vitesse constante km/h15 1 =υ quand le coefficient de frottement est 0,01 k1 = . Déterminer la vitesse 2υ du traîneau quand ce coefficient est 0,15 k2 = , si la puissance P du moteur du tracteur reste constante.

(Réponse: km/h 1 2 =υ ) 2.19. Un homme dans une barque tire vers lui une autre barque à

l’aide d’une corde dans une eau tranquille. Le mouvement des deux barques est uniformément accéléré. Leurs masses sont kg150 m1 = et

kg75 m2 = . Déterminer les chemins 1S et 2S parcourus par les deux barques pour un temps 4st = , si la force de tension de la corde est

N75 T = . Négliger les forces de frottement. (Réponses: m 4S1 = , m 8S2 = ) 2.20. Deux poids de même masse kg 0,5 m m 21 == sont liés par un

fil à travers une poulie fixée sur le bord d’une table de façon que l’un des poids glisse sur la table et l’autre est suspendu au fil (Fig. 13). Le coefficient de frottement du poids qui glisse sur la table est 0,15 k = . Déterminer: a) l’accélération a du mouvement des deux poids; b) la force de la tension T du fil. On néglige la force de frottement entre le fil et la poulie, ainsi que leurs masses.

(Réponses: a) ;m/s 4,17 a 2= b) N 2,82 T = )

CHAPITRE 2

38

Données

Fig. 13

;kg 0,5 m m 21 == 0,15; k =

a) ? a = b) ? T = Solution

;T-gm am 111 = (1) g;kmTam 22 −= (2)

g;m.k-gmamam(2)(1)

21

21=

=+=+ 2

21

21 m/s 4,17mm

)gmk-(ma =

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=−=2m1m

)g2mk-1(mg1m)ag(1mT

N 2,82mm

k)g(1mmT

21

21 =+

+=

2.21. Deux poids de même grandeur M sont suspendus par une

poulie à l’aide une corde non étirable. On met sur l’un des poids un autre corps de masse m . En sachant que les deux poids ont étés au début à une même hauteur h et en négligeant la force de frottement, déterminer la différence de hauteur entre les deux poids h∆ après un temps s 1t = .

(Réponse: m 654,0h =∆ )

T m2g

N T

m1

m1g

m2


39

2.22. Une balle de masse g 200m = est suspendue sur une ficelle de longueur cm 56l = et fait des oscillations dans un plan vertical. La force de tension de la corde est N 5,4T = lorsque la corde fait un angle de

o50=α avec la verticale. Déterminer la vitesse υ de la balle en ce moment là.

(Réponse: s/m 012,3=υ ) 2.23. Quel poids G peut-on monter à une hauteur m20 h= par un

mouvement uniformément accéléré si l’on applique une force N 687F = pendant un temps s40 t= ? Déterminer la force de tension T de la corde, si le poids est descendu en bas avec la même accélération a .

(Réponses: N685G = , N687T = ) 2.24. Un canon est posé sur une plate-forme qui se trouve sur un

chemin de fer horizontal. La masse totale de la plate-forme et du canon est t50 M = , tandis que la masse du projectile est kg 25 m = . La bouche du canon lance le projectile d’une vitesse initiale m/s100 o =υ horizontalement dans la direction du chemin de fer. Déterminer la vitesse υ de la plate-forme en tenant compte qu’on peut négliger la résistance de l’air.

(Réponse: s/m5,0−=υ ) 2.25 Un fusil est posé sur une plate-forme qui se déplace par inertie

d’une vitesse h/km 3o =υ . La masse totale de la plate-forme et du fusil est t 10M = . La bouche du fusil est orientée dans le sens du mouvement. Un projectile de masse kg 10 m = est lancé de la bouche du fusil sous un

angle o60=α ver l’horizon. Quelle sera la vitesse υ du projectile par rapport à la Terre, si après le lancement, la vitesse de la plate-forme diminue 2 n = fois.

(Réponse: s/m 835=υ ) 2.26. Un projectile de masse kg 5 m = est lancé par un fusil. Dans le

point le plus haut de sa trajectoire il atteint une vitesse m/s 300 =υ et en ce moment là il se déchire en deux morceaux. Le morceau le plus grand, dont la masse est kg 3m1 = , se déplace dans le sens opposé du mouvement du projectile avec une vitesse m/s100 1 =υ . Calculer la vitesse 2υ du deuxième morceau du projectile.

(Réponses: s/m 9002 =υ )

CHAPITRE 2

40

Données Solution ;kg 5m =

;s/m 300=υ kg; 3m1 =

m/s;100 1 =υ ? 2 =υ

2211 mmm υυυrr

+= ;

2211 mmm υυυ +−= ; ;mmm 12 −=

s/m 900m

mm

211

2 =+

=υυυ

2.27. Une plate-forme en repos, remplie de sable avec une masse

totale om , commence à se déplacer sous l’influence d’une force constante F . Le sable commence à couler par un trou au fond de la plate-forme avec une vitesse constante ]s/kg[µ . Déterminer comment la vitesse de la plate-forme dépend du temps, i.e. )t(υ .

(Réponse: tm

mlnF)t(

o

oµµ

υ−

= )

2.28. La masse initiale d’une fusée est kg 2M = . Les produits de

combustion quittent la fusée avec une vitesse s/m 150=υ et leur consommation est s/kg 2,0=µ . Calculer l’accélération a de la fusée dans un temps s3t = du début du lancement si la résistance de l’air est négligeable et la force de la pesanteur est acceptée constante.

(Réponse: 2s/m 6,11a = ) 2.29. Une fusée de masse initiale t 300M = commence à jeter des

produits de combustion avec une vitesse s/m 200=υ . La consommation de ces produits est s/g 100=µ . Déterminer: a) le temps

1t nécessaire pour que la vitesse de la fusée atteint la valeur

s/m 501 =υ ; b) la vitesse 2υ qui peut être atteinte par la fusée, si la masse des produits de combustion est kg 0,2 mo = . La résistance de l’air et le champ des forces extérieures peuvent être négligés.

(Réponses: a) ;s 66,0t1 = b) s/m 2202 =υ ) 2.30. Une barque de masse kg140 M = et de longueur m4 l =

reste immobile dans l’eau tranquille. A quelle distance va se déplacer la barque, lorsqu’un homme de masse kg60 m = se déplace de l’avant vers l’arrière de la barque? On peut négliger la résistance de l’eau.

(Réponse: m 2,1S = )


41

2.31. Un enfant acquiert une luge en mouvement de vitesse s/m 41 =υ et y saute avec une vitesse s/m 52 =υ . La masse de la

luge est kg25 m1 = et celle de l’enfant est kg40 m2 = . Déterminer: a) la vitesse '1υ de la luge après le saut de l’enfant ; b) vitesse de la luge ''1υ dans le cas lorsque l’enfant y saute en face d’elle.

(Réponses: a) s/m 6,4'1 =υ ; b) s/m 5,1''1 =υ ) 2.32. En atteignant une vitesse de h/km 616=υ , la deuxième

partie d’une fusée à deux modules, se décroche de la fusée d’une vitesse h/km 6662 =υ . La masse totale de la fusée est t 1M = , tandis que la

masse de la deuxième partie est kg400 m2 = . Déterminer la vitesse du mouvement de la première partie de la fusée 1υ . Les vitesses sont données par rapport à un observateur sur la Terre.

(Réponse: s/m 1621=υ ) 2.33. Un avion fait une boucle de rayon m1000 R= et de vitesse

h/km 720=υ . Déterminer les forces avec lesquelles l’aviateur agit sur le siège dans le point le plus haut hautF et le point le plus bas basF de la boucle. La masse de l’aviateur est de kg70 m= .

(Réponses: N 2100Fhaut = , N 3500Fbas = ) 2.34. Un homme fait tourner dans un plan vertical un seau plein à

moitié avec de l’eau. La trajectoire du seau est un cercle de rayon m 1r= . Déterminer le nombre minimal des révolutions n pour unité de temps, à fin que l’eau ne se verse pas lors du passage du seau, par le point le plus haut du cercle.

(Réponse: s/srévolution 5,0n= ) 2.35. Un corps de masse g 1000m = est suspendu sur une ficelle de

longueur cm 80l = et décrit un cercle dans un plan horizontal en même temps que la ficelle décrit la surface latérale d’un cône et forme un angle

o45=α avec la verticale. Déterminer: a) la force cF centripète agissante sur le corps; b) la vitesse υ de sa rotation; c) la force de tension T de la ficelle.

(Réponses: a) N 8,9Fc = ; b) s/m 36,2=υ ; c) N 87,13T = )

CHAPITRE 2

42

2.36. Un homme se trouve à une distance m1l= du centre d’une plate-forme ronde et horizontale qui tourne autour d’un axe vertical. Combien de révolutions par seconde n doit faire la plate-forme pour que l’homme n’y puisse pas se retenir.

(Réponse: s/srévolution 5,0n= ) 2.37. Un avion TU-154 vole d’une vitesse km/h1000 =υ . Quel est

le rayon R le plus petit de la courbure qu’on peut tolérer lors d’un virage en sachant que l’homme peut supporter une augmentation de fois5 n= de son poids?

(Réponse: m 1576R = ) 2.38. Combien de temps t vont durer le jour et la nuit, si la Terre

commence à tourner autour de son axe de façon que les corps sur l’équateur passent à l’état de l’apesanteur. Le rayon de la Terre est

km6370 R= . (Réponse: s 5005t = )

TRAVAIL ET ÉNERGIE

43

Chapitre 3

Travail et énergie

Notions de base. Lois fondamentales et formules. Le travail d’une force constante est donné par la formule

αcos.s.FA= , où α est l’angle entre la direction de la force Fr

et la direction du déplacement sr .

Le travail d’une force variable est donné par la

formule ds.s

scos.FA

2

1∫= α , où 1s et 2s sont la valeur initiale et finale du

chemin.

La puissance instantanée est υυ .F.FdtdAP s===

rr, où dA est le

travail élémentaire effectué pour un temps dt , sF - la composante de la force dans la direction du déplacement et υ - la vitesse instantanée. Si la

puissance est constante, alors tAP = , où A est le travail effectué pour un

temps t . Energie cinétique d’un corps. C’est l'énergie associée au

mouvement d'un corps ou d'une particule. 2c m

21E υ= .

Energie potentielle d’un corps. L'énergie potentielle mécanique est

l'énergie que possède un système du fait de sa position. mghE p =

L'énergie potentielle d’un corps déformé élastiquement est donnée par l’expression suivante:

2kxE

2p = , où k est le coefficient de dureté du corps et x - la

grandeur de la déformation.

CHAPITRE 3

44

Loi d’attraction universelle. Cette loi exprime que la force d’attraction entre deux corps de masses 1m et 2m distantes de r est

proportionnelle à 1m et 2m et inversement proportionnelle à 2r :

221

r

mmF γ= , où γ est la constante de gravitation universelle.

L’énergie potentielle de l’interaction gravitationnelle entre deux

points matériels de masses 1m et 2m distantes de r est : rm.mE 21

p −=

Loi de conservation de l’énergie. Dans un système fermé de corps,

entre lesquels n’agissent que des forces potentielles l’énergie mécanique est constante.

La quantité pc EEE += est appelée énergie totale de la particule: l’énergie totale d’une particule est égale à la somme de l’énergie cinétique

cE et de l’énergie potentielle pE .

De 1122 pcpc EEEE +=+ pour toute position de la particule on

obtient .constEEE pc =+= Loi de changement de l’énergie mécanique: .extfr AAE +=∆ où

12 EEE −=∆ , E∆ est le changement de l’énergie mécanique du système, frA - est le travail des forces de frottement et extA - le travail des forces extérieurs.

Problèmes

3.1. Une voiture de puissance du moteur .constkW 50P == monte

sur un chemin incliné dont 15,0lh= (Fig. 14). La vitesse de la voiture

est .consth/km 54 ==υ . En roulant en bas avec un moteur éteint, la voiture est en mouvement uniforme avec la même vitesse υ . Déterminer la masse m de la voiture.

(Réponse: kg10.13,1m 3= )

TRAVAIL ET ÉNERGIE

45

Données

Fig. 14

W310.50kW 50P == ; 15,0lh= ; s/m 15h/km 54 ==υ

__________________________________________________ ?m =

Solution: La deuxième loi de Newton donne:

FFNGF frmrrrrr

+++= , (1), ou

FFNgmam frrrrrr

+++= (2),

où les forces sont: g.mG rr= - de la pesanteur, N

r - de la

réaction du support, frFr

- de frottement et Fr

- de la traction. On prend les projections sur les axes et puisque le mouvement

est uniforme ou 0a = , (1) prend la forme: X: FN.ksin.g.m0 +−−= α (3) Y: αcos.g.mN0 −= (4). En cas de la descente:

N.ksin.g.m0 +−= α (5), αcos.g.mN0 −= (6) D’après (4) αcos.g.mN = . On remplace dans (3) et: αα cos.g.m.ksin.g.mF += (7). D’après (5) et (6) αsin.g.mN.k = , mais αcos.g.mN = ,

αα sin.g.mcos.g.m.k = , d’où ααα tg

cossink == (8).

On remplace (8) dans (7) et on obtient: ααα cos.g.m.tgsin.g.mF +=

Gr

h l

α

frFr

FrN

rx

y

CHAPITRE 3

46

ααααα sin2.g.mcos

cossinsing.mF =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

υ.FP s= , lhsin =α , alors α

υsin.g.m2P

= , d’où:

kg10.13,1h.g.2

l.Pm 3==υ

3.2. Un corps de masse kg 5 m = monte avec une accélération

2m/s 2a = . Déterminer le travail A de la force agissante sur le corps pendant les premières cinq secondes ( s 5t = ) du mouvement.

(Réponse: kJ 48,1A = ) 3.3. Une voiture de masse t 1,8 m = roule sur un chemin incliné

d’une pente de m 3 h = à m100 l = (Fig. 15). Calculer: a) le travail A effectué par le moteur de la voiture après km5 S= du trajet, si le coefficient de frottement est 0,1 k = ; b) la puissance moyenne du moteur P , si ce trajet est parcouru pour min5 t = .

(Réponses: a) MJ;11,5 A = b) kW 38,3 P = ).

Données

Fig. 15 ;kg10.8,1 t 1,8 m 3== ; m 3 h = m;100 l =

m;5.10km5 s 3== 0,1; k = 300s.min5 t == a) ? A = b) ? P =

F2

F1

mgα

F'

''FNr

x

TRAVAIL ET ÉNERGIE

47

Solution ;s'FsFA 1 += ;sinmgF1 α= ;coskmgkN'F α==

;lhsin =α ;sin1cos 2 αα −=

MJ5,11)cosk(sinmgsA =+= αα

kW3,38tAP ==

3.4. Un train de masse t600 m = est en mouvement sur un chemin

de fer d’une pente o3,0=α (Fig. 16). Au cours d’un temps min1t = sa vitesse atteint la valeur km/h 18=υ . Le coefficient de frottement est

0,01 k = . Quelle est la valeur de la puissance moyenne P de la locomotive du train?

(Réponse: kW195P = )

Données

Fig. 16

kg;6.10 m 3= 0s;6t = ;3,0 o=α 0,01 k = ; 5m/skm/h 18 ==υ

?P =

F2

F1

mgα

F'

''FNr

x

CHAPITRE 3

48

Solution:

υ'FP = ; 2υυ = ;

ta υ= ;

''Fsinmg'F''FF'Fma 1 −+=−+= α αcoskmgkFkN''F 2 ===

ααυ sinmgcoskmgt

m'F −+=

kW 195singcoskgt2

mP =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= ααυυ

3.5. Une voiture de masse kg 2.10m 3= est en mouvement

uniforme vers le haut sur un chemin incliné. La pente du chemin est de m4 à tous les m100 du chemin. Le coefficient de frottement est

0,08k = . Déterminer: a) le travail A , effectué du moteur de la voiture sur le chemin si km 3S = ; b) la puissance P obtenue par le moteur si ce chemin est parcouru pour min 4t= .

(Réponses: a) J10.02,7A 6= ; b) W10.30P 3= ) 3.6. Un corps de masse kg 4m = est en mouvement rectiligne

d’après l’équation 32 DtCtBtS ++= , où s/m 5,0B = , 2s/m 3C = et 3s/m 2D = . Déterminer le travail A des forces au cours des premiers

secondes2,5 .

(Réponse: J 10.62,5A 3= ) 3.7. Le vent agit sur la surface S des voiles d’un bateau d’une force

2/)(ASF 2o υυρ −= , où .constA= , ρ et oυ sont la masse volumique

et la vitesse de l’air, υ est la vitesse du bateau. Déterminer la vitesse 1υ du bateau lorsque la puissance instantanée P est maximale.

(Réponse: 3/o1 υυ = )

TRAVAIL ET ÉNERGIE

49

3.8. Un corps de masse kg5 m = tombe d’une hauteur m 20 h = . Déterminer la somme de l’énergie potentielle pE et cinétique cE du corps dans un point située à une hauteur m5 h = de la surface terrestre si le frottement entre le corps et l’air est négligé.

(Réponse: J 981EE cP =+ ) 3.9. Une voiture de masse kg 2000 m = se déplace à une distance

m 30 s = et s’arrête au bout d’un temps s 6 t = . Déterminer: a) la vitesse initiale oυ de la voiture; b) la force F de résistance.

(Réponses: a) s/m10o =υ ; b) kN 33,3F = ) 3.10. Une pierre de masse g400 m = est jetée horizontalement d’une

tour d’une hauteur m 20 H = avec une vitesse m/s10 o =υ (Fig. 17). Négliger la résistance de l’air et calculer les énergies cinétique cE et potentielle PE après l’intervalle de temps s 1 t = .

Données

Fig. 17

m; 20 H = m/s;10 o =υ kg;0,4 g400 m == s 1 t = .

?cE = ?E P =

O

h1 υo

υy υ

υo

x

y

H

h

CHAPITRE 3

50

Solution

;2

2mcE υ= ;mghE P = ;gty =υ ;)gt( 22

o += υυ

;hHh 1−= ;2

gth2

1 =

J2,392t2g2o2

mcE =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ += υ

J 2,59)2

gtH(mgE2

P =−=

3.11. Un point matériel de masse g 20 m = se déplace sur un circuit

de rayon cm10 R = avec une accélération tangentielle ta constante. A la fin de la cinquième révolution après le début du mouvement l’énergie cinétique du point atteint la valeur mJ 3,6cE = . Calculer l’accélération tangentielle ta du point.

(Réponse: 2t s/m3,0a = )

3.12. Un corps de masse kg 70 m = se déplace sous l’action d’une

force constante N 63 F = . Calculer le déplacement S après lequel la vitesse du corps augmente 3 n = fois par rapport au moment du temps quand elle a été égale à m/s1,5 o =υ .

(Réponse: m10 S = ) 3.13. Déterminer la hauteur minimale h de laquelle une charrette

avec un homme dedans doit descendre un roulant sur un chéneau qui se réduit en courbe d’une courbure m 6R = . La résistance de l’air peut être négligée.

(Réponse: m15 h = ) 3.14. Apres avoir atteint une vitesse υ , un traîneau commence à

monter sur un plan incliné qui forme un angle α avec l’horizon. Après l’arrêt il descend le plan incliné et continue son mouvement sur un terrain horizontal. Le coefficient de frottement sur tout le chemin est k . Déterminer: a) la hauteur h , atteinte par le traîneau; b) le chemin S parcouru sur le terrain horizontal.

(Réponses: a) ( )αυ

gcot.k1g2H

2

+= ; b) ( )

kgcot.k1HS α−

= )

TRAVAIL ET ÉNERGIE

51

3.15. Trouver le travail qu’on doit effectuer pour qu’un ressort se serre à cm 20x= si la force est proportionnelle à la déformation, en sachant que sous l’action d’une force N 4,29F1 = le ressort se serre à

cm 1x1 = . (Réponse: J 8,58A = ) 3.16. Une balle de masse g 40m = est jetée à une hauteur m 25h =

par un ressort serré à cm 15x= . Déterminer le coefficient de la dureté k du ressort et la force F de la résistance du sol si après la tombée la balle s’est enfoncée dans le sol à une profondeur cm 20h1 = . On peut négliger la résistance de l’air.

(Réponses: m/N10.7,8k 2= , N 49F = ) 3.17. Un sportif des patins atteint une vitesse km/h 21 =υ en

montant sur un plan incliné dont l’angle d’inclinaison est o20=α et la hauteur est m 1,6h= . Déterminer le coefficient de frottement k entre les patins et la glace.

(Réponse: 03,0k = ) 3.18. Déterminer la puissance P du moteur d’une voiture de masse

kg10m 3= lorsque la voiture court d’une vitesse constante h/km 36=υ : a) sur un chemin horizontal; b) en haut sur un chemin

dont la pente est m5 à tous les m100 du chemin; c) en bas sur un chemin de la même pente. Le coefficient de frottement est 07,0k = .

(Réponses: a) W10.9,6P 3= ; b) W10.12P 3= ; c) W10.0,2P 3= ) 3.19. Une pompe de puissance P est utilisée pour le pompage de

pétrole d’une profondeur h . Déterminer la masse du pétrole m obtenu pour un temps t , si le rendement de la pompe est η .

(Réponse: gh/Ptm η= ) 3.20. Une voiture de masse kg10m 3= part en mouvement

uniformément accéléré et parcourt le chemin m 20S = pour un temps s 2t = . Déterminer la puissance de son moteur.

(Réponse: kW 200P = )

CHAPITRE 3

52

3.21. Déterminer le travail qu’on doit effectuer pour que: a) la vitesse d’un corps de masse kg 2m = augmente de m/s 2 à m/s5 ; b) le même corps s’arrête lors d’une vitesse initiale s/m 8o =υ .

(Réponses: a) J 21A = ; b) J 64A = ) 3.22. Une pierre est jetée sous un angle α avec l’horizon d’une

hauteur m 2h = et d’une vitesse initiale s/m 6o =υ . Déterminer la vitesse υ de la pierre au moment de la chute sur la surface terrestre. La résistance de l’air peut être négligée.

(Réponse: s/m 67,8=υ ) 3.23. Une pierre de masse kg 100,0m = glisse sur un plan incliné de

hauteur m 3h = est acquiert à la fin du plan une vitesse m/s 6=υ . Déterminer le travail de la force de frottement frA .

(Réponse: J1,1A fr −= ) 3.24. Une pierre de masse kg 1m = tombe d’une hauteur de

m 20h = et s’enfonce dans un sol mou à une profondeur cm 10l= . Déterminer la force moyenne F du choc.

(Réponse: N10.96,1F 3= ) 3.25. Un projectile de masse kg 6m = passe par un canon d’un fusil

de longueur m 2l = et sort d’une vitesse horizontale s/m 600=υ . Déterminer la puissance P du fusil lors du tir, si on accepte que l’accélération du projectile reste constante.

(Réponse: W10.62,1P 8= ) 3.26. Un sportif de masse kg 70m = augmente sa vitesse lors d’une

course avec s/m 9=υ∆ pour un temps s 2t =∆ . Déterminer la puissance moyenne P pour ce temps.

(Réponse: W10.42,1P 3= ) 3.27. Une balle de ping-pong de poids G est submergée dans un

liquide à une profondeur 1h . Lors de la libération de la balle elle sort du liquide sous l’action de la force d’expulsion AF avec une vitesse υ . La balle monte à une hauteur 2h au-dessus du niveau de l’eau. Déterminer le

TRAVAIL ET ÉNERGIE

53

travail des forces de frottement frA lors du mouvement de la balle dans le liquide est dans l’air.

(Réponse: 22

fr Gh2

mA −=υ )

3.28. Un atome se désintègre en deux parties de masses 1m et 2m et

d’une énergie cinétique totale cE . Déterminer les vitesses 1υ et 2υ des parties des atomes. L’énergie cinétique des atomes avant la désintégration peut être négligée.

(Réponses: )mm(m

mE2

211

2c1 +=υ ;

)mm(mmE2

212

1c2 +=υ )

Chocs

3.29. Une balle de fusil de masse g15 m = vole d’une vitesse horizontale m/s 200 =υ . La balle heurte une pendule balistique de longueur m 1 l = et de masse kg1,5 M = et elle est retenue par la pendule (Fig. 18). Calculer l’angle de déviation ϕ de la pendule après le choc avec la balle.

(Réponse: o9,36=ϕ )

Données

Fig. 18

kg;15.10 m 3-= m/s; 200 =υ ; m 1 l = kg;1,5 M = u - la vitesse après le choc

?=ϕ

ϕ

h υ m

l

CHAPITRE 3

54

Solution:

;u)Mm(mv += ;Mm

mu+

=υ ;EE CP =

;gh)Mm(2

u)Mm( 2+=

+ ;

)Mm(g2)m(

g2uh 2

22

+==

υ

;lh1

lhlcos −=

−=ϕ ;

)Mm(gl2)m(1cos 2

2

+−=

υϕ

o2

29,36

)Mm(gl2)m(1arccos =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−=

υϕ

3.30. Deux balles de masse g40 m1= et g20 m2 = sont jetées l’une

contre l’autre avec des vitesses m/s15 1 =υ et m/s 122 =υ . Déterminer : a) la vitesse υ des balles après le choc ; b) la différence entre leurs énergies cinétiques avant et après le choc cE∆ , si le choc est droit et non élastique.

(Réponses: a) s/m 6=υ ; b) J 8,4Ec =∆ ) 3.31. Deux corps de masses 1m et 2m , qui se déplacent avec des

vitesses 1υ et 2υ dans une même direction se heurtent et le choc est absolument non élastique. Déterminer la vitesse υ du système après le choc et le changement de son énergie cinétique cE∆ .

(Réponses : 21

2211mmmm

++

=υυυ ; ( )

( )21

22121

c mm2mmE

+−

−=υυ∆ )

3.32 Deux petites balles de masses g 40m1 = et g 20m2 = sont

jetées l’une contre l’autre avec des vitesses s/m 151 =υ et s/m 122 =υ dans des directions perpendiculaires. Déterminer leurs énergies cinétiques après le choc si le dernier est non élastique.

(Réponses: J 3,2'Ec = , J 2,1''Ec = )

TRAVAIL ET ÉNERGIE

55

3.33. Une balle de fusil de masse g 15m = vole d’une vitesse horizontale km/s0,5 =υ . La balle heurte une pendule balistique de masse

kg 6 M = et elle est retenue par la pendule (Fig. 19). Déterminer la hauteur h à laquelle monte la pendule après le choc avec la balle.

(Réponse: cm 7,9 h = )

Données

Fig. 19

kg3-15.10g15 m == , 500m/skm/s0,5 ==υ , kg 6 M = ,

u - la vitesse après le choc ? h =

Solution:

;u)Mm(m +=υ ;Mm

mu+

=υ ;EE CP =

;gh)Mm(2

u)Mm( 2+=

+

cm 9,7)Mm(g2

)m(g2

uh 2

22=

+==

υ

h M υ m

CHAPITRE 4

56

Chapitre 4

Eléments de la mécanique relativiste

Notions de base. Lois fondamentales et formules. La longueur l d’un corps, en mouvement de vitesse υ par rapport à

un système référentiel s’il est en direction du mouvement, est liée avec sa longueur ol par rapport au system dans lequel il est en repos et

2o 1ll β−= , où

cυβ = et c est la célérité. L’intervalle de temps τ∆

dans le système, en mouvement d’une vitesse cβυ = par rapport à l’observateur, est lié avec l’intervalle de temps oτ∆ dans un système

immobile pour l’observateur par la relation 2o -1/ βτ∆τ∆ = .

La relation de la masse m d’un corps et la vitesse de mouvement est 2

o -1/mm β= , où om est la masse en repos. La quantité du

mouvement d’un tel corps est 2o -1/.mp βυ= . L’énergie cinétique

d’un corps en mouvement est 2o

2c cmmcE −= . Le changement de la

masse m∆ d’un système correspond au changement de l’énergie du système, ou mcE 2∆∆ = .

Problèmes

4.1. Déterminer la vitesse υ d’un électron d’énergie MeV 1,0Ec = , d’après la mécanique classique (MC) et la mécanique relativiste (MR).

(Réponse: s/m10.64,1 8=υ )

ELÉMENTS DE LA MÉCANIQUE RELATIVISTE

57

Données

MeV 1,0Ec = , J10.6,1E 12c

−= ?=υ pour MC et MR

Solution

MC: 2

mE

2o

cυ

= , s/m810.87,1omcE2===υ .

MR: 2o

2c cmmcE −= ;

2o

-1

mm

β= ; et

2o2

2o

22

oc cm)1

-1

1(cmc-1

mE −=−=ββ

;

)1-1

1(cm

E22

o

c −=β

;

1cm

E

-1

12

o

c2

+=β

; 2

o

2oc

2 cm

cmE

-1

1 +=

β;

2oc

2o2

cmE

cm-1

+=β ;

22oc

22o2

)cmE(

)cm(-1

+=β ;

2oc

2occ

22oc

22o

cmE

)cm2E(E

)cmE()cm(1

+

+=

+−=β ;

s/m10.64,1c. 8==βυ

4.2. Une barre se déplace longitudinalement d’une vitesse constante

υ par rapport à un système référentiel. Déterminer la vitesse υ , si la diminution de la longueur de la barre dans ce système est de %0,5 de sa propre longueur l .

(Réponse: s/m10.30,0 8=υ )

CHAPITRE 4

58

4.3. Le temps de vie d’une particule est s10 8o

−=τ . Déterminer le chemin que la particule va parcourir jusqu’à sa désintégration dans un système référentiel, où son temps de vie est s10.2 8−=τ .

(Réponse: m 2,5s = ) 4.4. Déterminer la masse d’un électron m dont l’énergie cinétique

est MeV 500Ec = .

(Réponse: kg10.9,8m 28−= ) 4.5. Déterminer la quantité du mouvement p et l’énergie cinétique

cE d’un électron en mouvement d’une vitesse c9,0=υ .

(Réponses: s/m.kg10.6,5p 22−= ; J10.104E 13c

−= ) 4.6. Déterminer la tension d’accélération d’un électron U pour qu’il

atteigne une vitesse υ égale à 0,95c .

(Réponse: V10.12,1U 6= ) 4.7. Déterminer la quantité du mouvement relativiste p d’une

particule, si son énergie totale est GeV 5,1E = et sa vitesse est c5,0=υ .

(Réponse: s.N10.4,0p 18−= ) 4.8. Déterminer la vitesse υ d’une particule, si son énergie totale est

de fois5,2n = plus grande que son énergie en repos.

(Réponse: c917,0s/m10.74,2 8 ==υ ) 4.9. L’énergie cinétique d’une particule et fois2n = plus petite que

son énergie en repos. Déterminer la vitesse υ du mouvement de la particule.

(Réponse: c745,0=υ )

DYNAMIQUE DU MOUVEMENT DE ROTATION

59

Chapitre 5

Dynamique du mouvement de rotation

Notions de base. Lois fondamentales et formules. Moment d’une force par rapport à l’axe de rotation est FrM

rrr×= ; où

Fr

est une force dans le plan perpendiculaire de l’axe de rotation, rr - le rayon vecteur tracé de l’axe de rotation jusqu’au point d’application de la force F

r. L’équation fondamentale de la dynamique du mouvement de

rotation dans le cas général est dt/LdMrr

= , où Mr

est le moment de forces, agissantes sur le corps dans un intervalle de temps dt , ω

rrJL= est

le moment de l’impulsion du corps, J - le moment d’inertie du corps, ω

- la vitesse angulaire du corps. Si .constJ = , alors εω rrr

JdtdJM == , où ε

r

est l’accélération angulaire du corps. Moment d’inertie d’un point matériel par rapport à l’axe de rotation

est 2r.mJ = , où m est la masse du point matériel, r la distance du point jusqu’à l’axe de rotation.

Moment d’inertie d’un corps solide par rapport à l’axe de rotation est

∫= dmrJ 2 , où dm est la masse d’un élément du corps à une distance r de l’axe de rotation.

Moment d’inertie: a) d’un cylindre homogène et compact (un disque) par rapport à l’axe

de rotation est 2mR21J = , où R est le rayon du cylindre; m - sa masse;

b) d’un cylindre homogène et creux de rayon interne 1R et rayon

externe - 2R par rapport à l’axe de rotation est 2/)RR(mJ 22

21 += ;

c) d’un cylindre creux de parois minces (cercle) est 2mRJ = ;

CHAPITRE 5

60

d) d’une sphère homogène par rapport d’un axe qui passe par son

centre est 2mR52J = , où R est le rayon de la sphère; m - sa masse;

e) d’une barre homogène de longueur l par rapport d’un axe qui

passe perpendiculairement par le milieu de la barre est 2l.m121J = .

Théorème de Steiner (de Huygens). Les moments d’inertie par rapport à des axes parallèles de rotation sont liés par une formule très simple. On a un axe arbitraire Z et CZ , un axe parallèle passant par le centre de gravité du solide C . Si a est la distance entre les deux axes, on peut appliquer la relation: 2

C maJJ += - théorème de Steiner, où J et

CJ sont les moments d’inertie du corps par rapport à Z et CZ , m est la masse du solide.

Loi de conservation du moment de l’impulsion: a) pour un corps isolé: .constJL == ω

rr b) pour un système de corps isolé: .constLL

ii =∑=rr

Le travail d’un moment constant de forces extérieures appliquées sur un solide en rotation est ϕ.MA= , où ϕ est l’angle de rotation du corps.

L’énergie cinétique d’un solide tournant autour d’un axe immobile

avec une vitesse angulaire ω est 2c I

21E ω= .

Considérons le cas général dans lequel le solide tourne autour d’un axe passant par son centre de gravité et en même temps fait un mouvement de translation par rapport à l’observateur.

L’énergie cinétique du mouvement de translation est 2

cc m21E tr υ= .

L’énergie cinétique de rotation est 2cc J

21E rot ω= , où cJ est le

moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation passant par le centre de gravité.

L’énergie cinétique totale est 2c

2cccc J

21m

21EEE rottr ωυ +=+=


61

Moments d’inertie des solides d’une forme géométrique déterminée

Type du solide Type de l’axe de rotation

Moment d’inertie

Cylindre creux de rayon R Axe de symétrie 2mR

Cylindre compact ou disque de rayon R Axe de symétrie 2mR

21

Barre métallique de longueur l

Axe perpendiculaire à La barre, passant par son milieu

2ml121

Barre métallique de longueur l

Axe perpendiculaire à la barre, passant par son extrémité

2ml31

Sphère de rayon R Axe passant par le centre de la sphère

2mR52

Problèmes

5.1. L’énergie cinétique totale d’une bille qui roule sans glissement

sur un plan horizontal est J 21Еc = . Déterminer les énergies cinétiques du mouvement progressif prcE et de rotation rotcE de la bille.

(Réponse: J 15E prc = , J 6E rotc = )

Données Solution

J 21cЕ =

________ ?E prc =

?E rotc =

2JE

2

rotcω

= ; 2mR52J = ; Rωυ = ,

22

22

rotc m51

R.2.5mR.2E υυ

== .

cE d’un corps qui tourne autour d’un axe est:

2222

c m51

2m

2J

2mE υυωυ

+=+= ,ou bien 2c m

107E υ= .

Alors J 6E72E crotc == et J 15

2mE

2

prc ==υ

CHAPITRE 5

62

5.2. Un disque compact et homogène roule en bas sans glissement sur un plan incliné. Qui forme un angle α avec l’horizon. Déterminer l’accélération linéaire a du centre du disque. Négliger le frottement lors du glissement.

(Réponse: αsin.g32a = )

5.3. Déterminer le moment de l’impulsion L de la Terre par rapport

à son axe polaire en supposant la Terre une sphère. (Réponse: s/m.kg10.02,7L 233= ) 5.4. Déterminer le moment d’inertie J d’une barre homogène de

longueur cm50 l = et masse g 360 m = par rapport à un axe perpendiculaire qui passe par: a) l’une des extrémités de la barre (Fig. 20); b) un point à une distance égale à l/6AB = .

(Réponses: a) ;m.kg10.3J 22A

−= b) 22B m.kg10.75,1J −= )

Données Solution

Fig. 20

m;0,5 cm50 l == kg; 0,36g 360 m == l/6.AB =

?J A= ?J B =

;maJJ 2C +=

;ml121J 2

C =

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

2

2lm2ml

121

AJ

2m.kg210.32ml31 −==

=−+= 2)6l

2l(m2ml

121

BJ

2m.kg210.75,12ml367 −==

5.5. Une sphère et un cylindre compact de même masse

mmm 21 == et de même matériau, roulent sans glissement avec une même vitesse υυυ == 21 . Calculer le rapport 12 E/En= des énergies cinétiques de la sphère 1E et du cylindre 2E .

(Réponse: 1,07 n = )

C B A

l l/6


63

5.6. Un ventilateur tourne d’une fréquence s/minuterévolution50 =ν . Le mouvement devient uniformément retardé après l’arrêt du moteur quand le ventilateur fait encore srévolution50 N = avant de s’arrêter lui aussi. Le travail de la résistance est 31,4 J A = . Calculer: a) le moment M de la force de la résistance; b) le moment d’inertie J du ventilateur.

(Réponses: a) N.m; 0,1 M = b) 2-2 kg.m 1,59.10 J = ) 5.7. Un disque compact et homogène roule sans glissement sur un

plan incliné dont la pente fait un angle α avec l’horizon (Fig. 21). Déterminer l’accélération linéaire a au centre du disque.

(Réponse: αsing32a = )

Données Solution

Fig. 21

;α ?a =

;Fsinmgma −= α

;2

mRJ2

=

;JFR ε= ;Ra

=ε

;2

ma

R2

amRRJF

2

2===

ε

;2

masinmgma −= α

αsinga23

= ;

αsing32a =

5.8. Une force constante tangentielle N100 F = est appliquée au

bord d’un disque de rayon m0,5 R = . Le moment de la force du frottement au cours de la rotation du disque est N.m 2 M = . Calculer la masse m du disque si son accélération angulaire est constante et égale à

rad/s 16 =ε . (Réponse: kg 24 m = )

α

mgα

F Nr

CHAPITRE 5

64

5.9. La fréquence de rotation d’une pendule est s/minute révolution 240 n = et son moment d’inertie est 2kg.m120 J = .

Après l’arrêt de l’action de la force extérieure, la rotation s’arrête au bout de mint π= . Déterminer le moment de la force du frottement M , s’il est considéré constant.

(Réponse: N.m 16 M = ) 5.10. Un home de masse kg 50m2 = se trouve à l’extrémité d’une

plate-forme ronde et horizontale de masse kg 100m1 = . La fréquence de

rotation de la plate-forme est 1min 151−=ν . Déterminer la fréquence

de rotation 2ν de la plate-forme quand l’homme la traverse de l’extrémité vers le centre. La plate-forme est supposée un disque homogène et l’homme - une masse ponctuelle.

(Réponse: s/srévolution 4,02 =ν ) 5.11. Un cylindre creux de masse kg0,5 m = qui roule sans

glissement, frappe un mur et rebondit. La vitesse du cylindre avant le choc avec le mur est s/m 4,11 =υ et après le choc elle devient

s/m 1'1 =υ . Déterminer la chaleur Q émise au cours du choc. (Réponse: J0,48 Q = ) 5.12. Le moment d’inertie d’une pendule en forme de disque est

2kg.m1,5 J = . Sous l’action de la résistance, le disque fait une rotation uniformément retardée. Au bout d’un temps . min 1 t = la fréquence de rotation diminue de uteminsrévolution 240 1 /=ν à uteminsrévolution 20 1 2 /=ν Calculer: a) l’accélération angulaire ε de la pendule; b) le moment de la force de résistance M ; c) le travail A de la force de résistance.

(Réponses: a) ;s/rad 2,0 2=ε b) ; N.m0,315 M = c) 355 J A = ) 5.13. Une plateforme horizontale de masse kg 25 m = et de rayon

m 0,8 R = tourne avec une fréquence -11 minute 18 =ν . Un homme

debout au centre de la plate-forme (Fig. 22) tient horizontalement dans ses mains deux haltères. On considère la plate-forme en forme de disque. Quand l’homme baisse ses bras, son moment d’inertie diminue de

21 kg.m 3,5 J = à 2

2 kg.m 1 J = . Déterminer la fréquence 2ν de rotation.

(Réponse: -12 minute 23 =ν )


65

Données Solution

Fig. 22

;kg 25 m = m; 0,8 R =

;1s3,01-min 18 1−==ν

;kg.m 3,5 J 21 = .kg.m 1 J 2

2 = ?2 =ν

.;constL = ;.JL ω= ;).JJ().JJ( 2211 ωω +=+

;2

mRJ2

= ;.2 11 νπω =

;.2 22 νπω =

=+ 1)2

2mR1J( ν

2)2

2mR2J( ν+=

12mR2J2

2mR1J22 νν

+

+=

1utemin232

−=ν

5.14. Une plate-forme tournante de masse 1m en forme de disque

compact et homogène du rayon R fait une rotation par inertie autour d’un axe vertical et immobile (Fig. 23). Un homme debout de masse

3/mm 12 = se trouve au bout de la plate-forme et se déplace vers son centre. Déterminer le rapport de la vitesse angulaire 2ω après et 1ω avant le déplacement à une distance 2/Rr1 = .

(Réponse: 43,1/ 12 =ωω )

CHAPITRE 5

66

Données Solution

Fig. 23

;3/mm 12 = ;2/Rr1 =

?/ 12 =ωω

.;constL = ;.JL ω=

;.J.J 2211 ωω = ;JJ

2

1

1

2 =ωω

;mR65R

3m

2mRJ 22

21 =+=

;mR127

2R

3m

2mRJ 2

222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

43,1710

mR7.612.mR5

JJ

2

2

2

1

1

2 ====ωω

5.15. Un disque dont le moment d’inertie est 2m.kg 1J = tourne

uniformément décéléré. La fréquence de rotation diminue de 1

1 inutem 240 −=ν à 12 inutem 120 −=ν au cours de s 30t =∆ .

Déterminer: a) le moment de freinage M ; b) l’accélération angulaire ε de la roue; c) le travail de freinage A .

(Réponses: a) m.N 419,0M = ; b) 2s/rad 419,0=ε ; c) J 237A −= ) 5.16. Un projectile de masse g 10m = et de diamètre mm 10d =

vole d’une vitesse s/m 600=υ en roulant autour de son axe longitudinal d’une fréquence 1s 25000 −=ν . Déterminer l’énergie cinétique cE du projectile si on le considère comme un cylindre.

(Réponse: J10.8,1E 3c = )

5.17. Soit un fil enroulé sur une roue de rayon cm 15R = qui roule

autour d’un axe de moment d’inertie 2m.kg 5,0J = . Un corps de masse kg 5,0m = est suspendu sur le fil. Déterminer la distance h à laquelle on

doit faire descendre le corps pour qu’il obtient une vitesse angulaire s/rad 14,3=ω .

(Réponse: m 51,0h = )

r1 R


67

5.18. Une balle de masse kg 5,0m = tourne sans glissement d’une vitesse s/cm 151 =υ et heurte un mur. Déterminer la quantité de chaleur Q dégagée lors du choc, si la balle rebondit du mur d’une vitesse

s/cm 102 =υ .

(Réponse: J10.4,4Q 3−= ) 5.19. On suppose la Terre comme une sphère énorme et homogène.

Déterminer l’énergie cinétique cE de son mouvement de rotation pour un jour complet.

(Réponse: J10.74,25E 28c = )

5.20. Sous l’action d’une force extérieure F un fil de cuivre est

allongé d’une telle longueur l∆ qu’il aurait atteint si sa température monte de K 30 T =∆ . L’aire de la section du fil est 2mm 8 S = . Calculer la force F , si le module d’Young du cuivre est GPa 118 E = et le coefficient de dilatation thermique est 1-510 . 1,7 −= Κα .

(Réponse: N 481 F = ) 5.21. Un tuyau en caoutchouc de longueur cm40 l = et d’un

diamètre intérieur mm 8 d = est étiré de façon qu’il soit allongé de cm 8l =∆ . Quelle est la valeur du diamètre intérieur 1d du tuyau étiré, si

le module de Poison est 5,0=µ ? (Réponse: mm 2,7d1 = ) 5.22. La longueur d’une barre d’aluminium est m 1 l = , l’aire de sa

section est 2mm 1 S = et le module d’Young pour l’aluminium est

GPa 69 E = . Déterminer l’allongement relatif de la barre ll∆ , s’il est

provoqué par un travail J6,9 A = .

(Réponse: 014,0ll=

∆ )

5.23. Deux wagons de masses t15 m = roulent l’un contre l’autre

avec une vitesse m/s 3 =υ et se heurtent. Calculer la contraction des ressorts des tampons des wagons, si la déformation l∆ est acceptée proportionnelle à la force F et si sous l’action d’une force kN50 F = les ressorts se serrent de cm 1 l =∆ .

(Réponse: cm 11,6 l =∆ )

CHAPITRE 6

68

Chapitre 6

Champ gravitationnel


Loi d’attraction universelle. Cette loi exprime que la force d’attraction entre deux masses 1m et

2m distantes de r est proportionnelle à 1m et 2m et inversement

proportionnelle à 2r est 221

rmmF γ= , où γ est la constante de

gravitation universelle. L’énergie potentielle de l’interaction gravitationnelle entre deux

points matériels de masses 1m et 2m distantes de r est: rm.mE 21

p −= .

La force de la pesanteur est mgG = et l’accélération de la pesanteur

est mFg = . Le potentiel du champ gravitationnel est

RM

mE p γϕ == .

Problèmes 6.1. Déterminer la période de rotation 1T d’un satellite autour du

Soleil, si le grand demi axe de son orbite ellipsoïdale 1R est de

km10R 7= plus grand que celui de l’orbite de la Terre m10.49,1R 112 = .

(Réponse: mois 13,2 T1 = )

Données Solution ;RRR 21 +=

;m10.49,1R 112 =

;m10km10R 107 ==;mois12T2 = ?T1 =

;R

R

T

T3

2

31

22

21 = ;

R

RTT

32

31

21 =

mois 2,1310.49,1

1010.49,112T3

11

10111 =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

CHAMP GRAVITATIONNEL

69

6.2. La période de rotation d’une comète autour du Soleil est ans 76 T = . La distance minimale de sa trajectoire par rapport au Soleil

est Gm180 Rmin = . Déterminer la distance maximale maxR à laquelle la comète s’éloigne du Soleil. Le rayon de l’orbite de la Terre est

Gm150 Ro = .

(Réponse: m10.2,5R 9max = )

6.3. Déterminer la vitesse linéaire υ du mouvement de la Terre

autour du Soleil, si son orbite est considérée circulaire? (Réponse: km/s 29,8 =υ ) 6.4. La période de rotation d’un satellite terrestre est heurs 3 T = .

Calculer quelle est la hauteur du satellite h par rapport à la Terre, si son orbite est considérée circulaire.

(Réponse: m6.1019,4 h = )

Données Solution s;1,08.10heurs 3 T 4==

;m10.37,6R 6Terre =

;kg10.98,5M 24=

;s.kg/m10.67,6 2311−=γ ?h =

;r

M.mr

m2

2γυ

= ;hRr Terre +=

;r.ωυ = ;T2πω = ;

4MTr 3

2

2

π

γ=

m6.1019,4TerreR324

2MTh =−=π

γ

6.5. Déterminer la masse volumique moyenne ρ de la Terre. La

constante gravitationnelle est 23-11 /kg.sm10 6,67. =γ et le rayon de la

Terre est m10 6,37. R 6= . (Réponse: 3cmg51,5 / =ρ ) 6.6. Deux points matériels de masses 1m et 2m sont disposés l’un

par rapport à l’autre à une distance fixe R . Calculer la vitesse angulaire ω de leur rotation autour d’un centre de masse commun de façon que la distance entre les points reste constante.

(Réponse: 321 R/)mm( += γω )

CHAPITRE 6

70

6.7. Deux balles pareilles et homogènes de même matériau entrent en contact et s’attirent d’une force F . Comment va changer la force d’attraction 3F entre les balles, si leurs masses sont fois 3 n = plus grandes en résultat d’un changement de leurs dimensions?

(Réponse: 33,4nF/F 3/43 == )

Données Solution

;mmm 21 == ;RRR 21 == ;21 ρρρ ==

;nmM =

s;1,08.10heurs 3 T 4==;3n =

?FF3 =

;r

m.mF 2

21γ= ;R2r =

;R4mF 2

2γ= ;R

34V.m 3 ρπρ ==

;4

m3R 3πρ

=

;r

MF 23

23 γ= ;R2r 33 = ;

4M3R 33 πρ

=

;F.nFn

n

)4nm3(.4

mnF 3/43/2

2

3 2

223 ===

πρ

γ

33,4nFF 3/43 ==

6.8. À quelle hauteur h l’accélération de la chute libre est deux fois

plus petite que celle-ci sur la surface de la Terre? (Réponse: Mm 2,64 h = ) 6.9. Un satellite de la Terre est dit «stationnaire», s’il est disposé

constamment au dessus d’un point fixe de l’équateur. Quelle est la distance r entre un tel satellite stationnaire et le centre de la Terre?

(Réponse: km4,22.10 r 4= ) 6.10. Déterminer la hauteur h par rapport à la surface de la Terre,

pour laquelle la force de la pesanteur est N/kg 4,9 g1 = . (Réponse: Mm 2,64 h = )

CHAMP GRAVITATIONNEL

71

Données Solution N/kg; 4,9 g1 = N/kg; 9,81g =

;m10.37,6R 6= ;nmM =

?h =

;)hR(

MmF

g 21

1+

==γ ;

RMg 2

γ=

;R

)hR(gg

2

2

1

+= ;

gg

RhR

1=

+

Mm 64,2)1gg(Rh1

=−=

6.11. Calculer le rapport n de l’énergie potentielle gravitationnelle

PE et l’énergie cinétique cE d’un satellite en mouvement sur une orbite circulaire.

(Réponse: 2E/En cP == ) 6.12. Deux balles d’aluminium )= 3g/cm 2,7 ( ρ de rayons

cm 3r1 = et cm 5r2 = entrent en contact. Déterminer l’énergie potentielle

PE de leur interaction gravitationnelle. (Réponse: nJ 36,0PE −= ) 6.13. Deux balles homogènes de même matériau entrent en contact.

Déterminer le changement de l’énergie potentielle de leur interaction gravitationnelle, si leurs masses augmentent fois 3 n = ?

(Réponse: 24,6E/E 12 = )

Données Solution ;mmm 21 ==

;rrr 21 == ;21 ρρρ ==

;nmM = ;3n =

?EE

1

2 =

;r2

mrr

m.mE

2

21

211 γγ −=

+−= ;

R2ME

22 γ−=

;nmM = ;r34.m 3πρ= ;R

34.M 3πρ=

;nmM

r

R3

3== ;n

rR 3=

24,6nn

1nRmrM

EE 3/5

32

2

2

1

2 ====

CHAPITRE 6

72

6.14. Un satellite est lancé sur une orbite à une hauteur km6370 h = circulaire. Déterminer le rapport du travail de lancement du satellite 1A et le travail 2A qui est nécessaire pour qu’il obtienne un mouvement circulaire.

(Réponse: 2A/A 21 = ) 6.15. Un satellite accomplit un mouvement circulaire à une hauteur

km500 h = . Calculer la vitesse υ du satellite. (Réponse: s/km 62,7=υ ) 6.16. Combien de fois l’accélération 1a , due à la force centrifuge

cfF à l’équateur, est plus petite que l’accélération gravitationnelle 2a ?

(Réponse: 292a/a 12 = )

Données Solution

s; 86400heurs 24 T ==

;s.kg/m10.67,6 2311−=γ

;m10.37,6R 6Terre =

;kg10.98,5M 24=

?aa

1

2 =

;F

Faa

cf

pesanteur

1

2 =

;R

MmF2

Terrepesanteur γ=

;R.mF Terre2

cf ω= ;T2π

ω =

TerreR4.m2TerreR

2MmT

1a2a

π

γ=

2923

TerreR4

2MT

1a2a

==π

γ

DYNAMIQUE DES FLUIDES

73

Chapitre 7

Dynamique des fluides

Notions de base. Lois fondamentales et formules. La loi de continuité du courant pour l’écoulement stationnaire d’un

liquide incompressible par un tuyau est: 2211 .. συσυ = , où 1σ et 2σ désignent les surfaces des sections 1 et 2 du tuyau et 1υ et 2υ sont les vitesse respectives.

Dans le cas d’un écoulement non tourbillonnaire le théorème de Bernoulli dit que la somme de la pression statique p , la pression

dynamique 2

ρ. 2υ ( ρ désigne la masse volumique du liquide, υ - la

vitesse du liquide) et la pression hydrostatique (de la pesanteur) ρ.g.h ( h la hauteur du tuyau) est constante le long d’une ligne de courant, donc

222

2121

1 h.g.2.ph.g.

2.p ρυρρυρ

++=++ .

Le travail total des forces appliquées pour le déplacement d’un volume du liquide V∆ d’un domaine où la pression est 1p vers un domaine où la pression est 2p est ( ) V.ppA 21 ∆−= .

La loi de Torricelli pour la vitesse d’écoulement d’un liquide parfait d’une ouverture mince d’un grand récipient: gh2=υ , où h est la hauteur de la surface du liquide au-dessus de l’ouverture.

La vitesse d’écoulement d’un liquide parfait par une ouverture mince est la même que la vitesse d’un corps en chute libre d’une hauteur égale à la hauteur de la surface libre du liquide au-dessus de l’ouverture. C’est valable pour un liquide parfait. Si c’est un liquide réel, la vitesse d’écoulement sera d’autant plus petite de la vitesse calculée que son viscosité soit plus grand.

CHAPITRE 7

74

D’après la loi de Newton, la force de résistance visqueuse F entre deux filets du liquide d'un écoulement laminaire est proportionnelle à l’aire S des deux lames et à la vitesse relative υ∆ , et elle est

inversement proportionnelle à la distance z∆ , ou z

SF∆υ∆η= . La

constante de proportionnalité η est appelée la viscosité dynamique. Il y existe une autre grandeur appelée la viscosité cinétique qui

s'exprime par ρη

ν = , où ρ désigne la masse volumique du liquide.

L’unité de mesure de la viscosité cinétique dans SI est /sm2 . Suivant la théorie cinétique, le frottement interne des gaz est

déterminé par l’échange des molécules des couches voisines. Le coefficient du frottement interne, ou bien la viscosité dynamique d’un

gaz, peut être déterminé d’après la loi de Poiseuille: t.pV.l.8

r. 4∆πη = , où l

désigne la longueur de tuyau cylindrique, r - son rayon, V - le volume du gaz s’écoulant de manière non tourbillonnaire dans le tuyau pour un temps t , ghp ρ∆ = - la différence de pression entre les deux extrémités du tuyau. Cette loi est valable pour un écoulement laminaire d'un fluide parfait dans un tube capillaire.

Problèmes

7.1. Un tube capillaire est soudé horizontalement à la paroi latérale d’un récipient plein de la glycérine. Le rayon interne du tube capillaire est

mm 1r = et son longueur est cm 2l = . Le niveau de la glycérine est maintenu constant à une hauteur cm 20h = au-dessus du tube capillaire. Déterminer pour combien de temps un volume 3cm10 V = de la glycérine va s’écouler par le tube. La viscosité dynamique de la glycérine aux conditions de cette expérience est s.Pa 1=η .

(Réponse: s 206t = )


75

Données Solution m10.1mm 1r 3−== ;

m10.2cm 2l 2−== ; m10.2cm 20h 2−== ;

363 m10.10cm 10V −== ; s.Pa1=η ;

33 m/kg10.26,1=ρ _______________________

? t =

D’après la loi de Poiseuille:

t.pV.l.8

r. 4∆πη = ; ghppp 21 ρ∆ =−= ;

s 206h.g..r.

.l.V.8p.r.

.l.V.8t 44 ===ρπ

η

∆π

η

7.2. Une quantité de s/l 4W = d’eau s’écoule dans un petit réservoir.

Un trou de section cm 4S 2= se trouve au fond du réservoir. Déterminer à quelle hauteur h le niveau d’eau dans le réservoir va rester constant.

(Réponse: m 5h = ) 7.3. La pression d’eau dans l’aqueduc au rez-de-chaussée est

Pa5.10p 5= . Déterminer: a) la pression 2p d’écoulement de l’eau au quatrième étage du bâtiment s’il se trouve à une hauteur m15 h = dès le rez-de-chaussée; b) la force 2F avec laquelle l’eau agit sur un robinet de surface 2cm0,5 S = .

(Réponses: a) Pa53.10,3p 52 = ; b) N65,17F2 = )

7.4. Quel travail A effectue-t-on pour le déplacement d’eau dans un

tube horizontal de 3m 100 , d’une section où la pression est atm. 2p= jusqu’une section où la pression est deux fois plus petite?

(Réponse: J10.1A 7= ) 7.5. Quelle sera la vitesse υ avec laquelle l’eau va pénétrer par le

corps d’un sous-marin à une profondeur m 100h = par un orifice mince? Déterminer la quantité de l’eau qui va pénétrer pour h1t= si le diamètre de l’orifice est cm 2d = . La pression de l’air dans le sous-marin est égale à la pression atmosphérique.

(Réponses: s/m 3,44=υ , 3m 50V = ) 7.6. Déterminer la vitesse d’écoulement d’un liquide par un orifice

mince d’un large récipient sous l’action de son propre poids. Utiliser l’équation de Bernoulli.

(Réponse: gh2=υ )

CHAPITRE 7

76

7.7. Une balle creuse nage entre la limite de deux liquides immiscibles (Fig. 24) de façon que le rapport entre la partie de la balle

dans le premier et le deuxième milieu est 2nVV

1

2 == . Les masses

volumiques des liquides et de la balle sont 31 cm/g 8,0=ρ ,

32 cm/g 1=ρ et 3cm/g 7,2=ρ . Déterminer le volume de la balle V

si le volume de sa partie creuse est 3o cm 20V = .

(Réponse: 36 m10.1,30V −= )

Données

Fig. 24

2nVV

1

2 == ; 363o m10.20cm20V −== ; 323

1 m/kg10.8cm/g8,0 ==ρ ;

3332 m/kg10.1cm/g1 ==ρ ; 333 m/kg10.7,2cm/g7,2 ==ρ .

______________________________________________________ _ ? V =

Solution: Puisque la balle est en équilibre, la force de la pesanteur G , agissante sur la balle est équilibrée par la force d’Archimède AF :

AFG = . En tenant compte que: ( )gVVg.mP o−== ρ et g.mg.mF 21A += ,

où 1m et 2m sont les masses des liquides dans les volumes 1V et 2V on peut écrire: ( ) g.VVVV.g.V.g. o212211 −+=+ ρρρ (1) D’après (1) et 12 V.nV = on détermine 1V :

( ) 12

o1 n..1n

V.V

ρρρρ

+−+= et ( )

( ) 12

o21 n..1n

V..1nnVVV

ρρρρ

+−++

=+=

36 m10.1,30V −=

Vo

1

2

V1

V2


77

7.8. Déterminer la relation entre l’unité de mesure Poise )P( de la viscosité dynamique et celle-ci dans le SI – Pascal-seconde )s.Pa( .

(Réponse: s.Pa 1,0P1 = ) 7.9. Déterminer la relation entre l’unité de mesure de la viscosité

dynamique le Stocks et celle-ci dans le SI - Pascal-seconde )s.Pa( .

(Réponse: [ ] s/m 1 2=ν ) 7.10. Déterminer le nombre de Reynolds et le type du mouvement de

l’eau si elle coule d’une vitesse cm/s10 =υ dans un tube cylindrique lisse d’un diamètre cm5 d = .

(Réponse: 2500Re = ) 7.11. Soit un réservoir cylindrique ouvert, monté sur des pieds d’une

hauteur m 33,1h1 = . Le réservoir est remplit d’eau jusqu’une hauteur m 5h = (Fig. 25). Déterminer la surface de la section S du cylindre si

par un trou de diamètre cm 5,2d1 = , situé au fond du réservoir, s’écoule de l’eau qui tombe à une distance m 5,4l = du cylindre. La viscosité d’eau peut être négligée.

(Réponse: 24 m10.8,62S −= )

Données

Fig. 25

m 33,1h1= ,

m10.5,2cm 5,2d 21

−==m 5,4l = , m 5h = .

__________________

?S =

h1

l

1υ

h

CHAPITRE 7

78

Solution

D’après la loi de continuité du courant pour un mouvement on a: S.S. 11 υυ = (1), où υ est la vitesse de la diminution de l’eau, 1υ - la

vitesse d’écoulement de l’eau, 1S est la surface de la section du trou, S - la surface de la section du cylindre.

Dans le cas d’un écoulement non tourbillonnaire on applique le

théorème de Bernoulli, donc 2.

ph.g.2.p

21

12 υρ

ρυρ+=++ (2), où p et

1p sont les pressions statiques du liquide respectivement à la surface de l’eau et à l’orifice, ρ - la masse volumique de l’eau.

D’après (2) et en tenant compte que pp1 = (puisque le réservoir

cylindrique est ouvert) h.g221 −= υυ (3).

En remplaçant (3) dans (1) h.g2

S.S2

1

11

−=

υ

υ (4).

D’après l’équation cinématique on a: 2t.gh

21 = et t.l 1υ= , où t

est le temps pour la chute de l’eau par terre.

D’ici 1

1 h2gl=υ (5).

En remplaçant (5) dans (4) et puisque 4d.

S21

1π

= on a

24

12

21 m10.8,62

h.hl2

d.l.S −=−

=π


79

7.12. Une huile pour transformateurs coule à travers un tube lisse et cylindrique. La vitesse maximale d’écoulement est s/m05,0=υ et lors de cette vitesse le mouvement est encore laminaire. Déterminer la vitesse

1υ du mouvement pour laquelle le mouvement va devenir turbulent.

L’huile est posée à une température C20T o= . (Réponse: s/m10.25,5 2

1−=υ )

7.13. Déterminer la viscosité dynamique et cinématique de la

glycérine à condition qu’une bille de liège de diamètre mm 10d = surnage à la surface d’une vitesse cm/s 0,07=υ . La masse volumique du

liège est 3l kg/m200 =ρ .

(Réponse: s/m10.54,6 24−=υ ) 7.14. On fait lancer simultanément deux billes de plomb dans un

récipient plein de la glycérine jusqu’à une hauteur cm50 h = . Les diamètres des deux billes sont respectivement mm 2d1 = et mm 1d2 = . Déterminer de combien de temps plus tard va tomber la bille dont le diamètre est plus petit en comparaison de celle de plus grand diamètre.

(Réponse: s 25,101t =∆ ) 7.15. Une bille sort d’un liquide d’une vitesse constante. La masse

volumique du liquide est 4 fois plus grande que celle du matériel de la bille. Combien de fois la force du frottement frF qui agit sur la bille est plus grande que son poids G .

(Réponse: fois3G

Ffr = )

7.16. Une bille de fer de diamètre mm 5,1d = tombe d’une vitesse

constante s/cm 1=υ dans un large récipient plein de la glycérine. Déterminer le coefficient de la viscosité dynamique η de la glycérine.

(Réponse: s.Pa 47,1=η )

CHAPITRE 7

80

7.17. Une bille de cuivre de diamètre mm 1d = tombe d’un mouvement uniforme dans de l’huile de ricin. Déterminer le nombre de Reynolds.

(Réponse: 019,0Re = ) 7.18. Un récipient cylindrique de section de base 2cm 20S= est

plein d’huile pour transformateurs. Un tube capillaire est soudé à la paroi latérale du récipient à une hauteur m 2,1h = du bord du récipient. Le rayon interne du tube capillaire est mm 2,1r = . Déterminer la longueur l du tube capillaire si pour un temps s 5t = le niveau de l’huile pour transformateurs a diminué de mm 10h =∆ . La masse volumique de l’huile pour transformateurs est 3cm/g 9,0=ρ , et le viscosité dynamique est s.MPa 100=η .

(Réponse: m10.16,2l 2−= ) 7.19. Une balle de rayon mm 2r = tombe d’une vitesse constante

s/mm 5,8=υ dans de la glycérine. Déterminer: a) le nombre de Reynolds Re ; b) la masse volumique 1ρ du matériel, dont on a fait la balle, si le nombre critique de Reynolds 5,0Recr = . La masse

volumique de la glycérine est 3cm/g 26,1=ρ et son viscosité dynamique est s.Pa 48,1=η .

(Réponses: a) 029,0Re = ; b) 331 m/kg10.7,2=ρ )

7.20. Un gaz de masse kg 15m = monte dans un tube de diamètre

cm 40d = pour un temps h 1t = . Le viscosité dynamique du gaz est s.Pa10 5−=η . Le nombre critique de Reynolds pour un mouvement

laminaire du gaz est 2000Recr = lorsqu’on prend pour une dimension caractéristique le diamètre du tube. Déterminer le type du mouvement du gaz.

(Réponse: 1330Re = )

OSCILLATIONS HARMONIQUES

81

OSCILLATIONS ET ONDES

Chapitre 8

Oscillations harmoniques

Notions de base. Lois fondamentales et formules. L’équation d’une oscillation harmonique est ( )ϕω += tsin.Ax (1),

ou ( )'tcos.Ax ϕω += (2), où x est l’écart du point oscillant de sa position d’équilibre dans le moment t , A - l’amplitude d’oscillation, ω -

la fréquence circulaire, ϕ et 2

' πϕϕ −= - les phases initiales, ϕω +t et

't ϕω + - les phases d’oscillation au moment t .

La fréquence circulaire est T22 ππνω == . La vitesse d’un point

oscillant harmoniquement d’après (1) est )tcos(..Adtdx= ϕωωυ += .

L’accélération d’un point oscillant harmoniquement d’après (1) est

x.)tsin(.Adtdva 22 ωϕωω −=+−== .

La force sous l’action de laquelle le point de masse m fait une oscillation harmonique est xma.mF 2ω−==

La loi de Hooke est x.kF −= , )mk( 2ω= , où k est la constante de raideur du ressort.

L’énergie mécanique d’un point oscillant harmoniquement: 22mA

21E ω= .

CHAPITRE 8

82

Problèmes 8.1. Un point matériel fait une oscillation harmonique d’une

fréquence Hz 1=ν et au moment s0t = il se trouve à une position déterminée par la coordonnée cm 4xo = et la vitesse s/cm 16o −=υ . Déterminer l’amplitude A d’oscillation.

Données

Solution

Hz 1=ν ;

m10.4cm 4x 2o

−== ;

s/m210.16s/cm 16o

−−==−=υ ;

_______________________ ?A =

( )ϕπν += t2cos.Ax ;

( )ϕπννπυ +−== t2sin.A..2dtdx .

Pour 0t = , ϕcos.Axo = (1) et ϕνπυ sin.A..2o −= (2)

On divise (1) et (2):

ϕνπϕ

υ sin.A..2cos.Ax

oo

−= ,

πνυ

ϕ2x

tgo

o−= ,

o

o

o 5,32x..2

arctg =−=νπ

υϕ et

m10.74,4cos

xA 2o −==

ϕ.

8.2. Un point matériel de masse g 10m = effectue des oscillations

harmoniques d’une fréquence Hz 1=ν et d’amplitude cm 6A = . Déterminer: a) la vitesse maximale du point maxυ ; b) la force maximale

maxF , agissante sur le point. (Réponses: a) s/m 38,0max =υ ; b) N 024,0Fmax = )


83

8.3. Déterminer la fréquence ν , l’amplitude A et la phase initiale ϕ

d’oscillation harmonique ( ) m 1t630sin.01,0x += . Déterminer la vitesse

maxυ et l’accélération maxa maximales d’un point, qui oscille d’après cette loi.

(Réponses: s/m 3,6max =υ , et 23max s/m10.9,3a = )

8.4. Un point matériel fait une oscillation harmonique avec une

amplitude cm 5A = . La fréquence circulaire est s/rad 2=ω et la phase initiale est 0=ϕ . Déterminer l’accélération a du point au moment quand la vitesse est s/cm 8=υ .

(Réponse: 2s/m 12,0a= ) 8.5. Un point matériel fait une oscillation harmonique avec une

amplitude cm10 A = et une période s5 T = . Déterminer: a) la vitesse maximale maxυ du point; b) l’accélération maximale maxa du point.

(Réponses: a) cm/s; 12,6 max =υ b) 2max cm/s 15,8 a = )

8.6. Une oscillation harmonique est décrite par l’équation

m)3/t6cos(02,0x ππ += . Déterminer: a) l’amplitude A d’oscillation;

b) la fréquence angulaire oω ; c) la fréquence ν d’oscillation; d) la période T d’oscillation.

(Réponses: a) m; 0,02 A = b) ;s 6 -1πωο = c) GH; 3 /2 == πων ο d) s 0,33 1/ T == ν ) 8.7. Ecrire l’équation d’oscillation harmonique d’amplitude cm 5A= , si pour une minute le nombre d’oscillations est de 150n= et la

phase initiale est o45=ϕ .

(Réponse: )4

t5sin(.05,0x ππ += )

8.8. Ecrire l’équation d’oscillation harmonique d’un point oscillant

d’une amplitude cm 8 A = , si pendant min. 1 t = il fait 120 n = oscillations et la phase initiale est o45=ϕ .

(Réponse: cm )4/t4cos(8x ππ += )

CHAPITRE 8

84

8.9. Un point matériel décrit une oscillation harmonique avec une amplitude cm4 A = et une période s 2 T = . Ecrire l’équation du mouvement, s’il commence de la position cm 2 xo = .

(Réponse: m )3/tcos(04,0x ππ += )

Données Solution 0,04m;cm4 A == s; 2 T = 0,02m;cm 2 xo ==

?)t(x =

);tcos(Ax o ϕω += ;0t =

;cosAxo ϕ= ;3π

ϕ = ;T2

o ππ

ω =

m)3

tcos(04,0x ππ +=

8.10. Ecrire l’équation d’oscillation harmonique d’un point matériel,

si son amplitude est cm15 A = , la vitesse maximale du point est cm/s 30 max =υ et la phase initiale est o10=ϕ .

(Réponse: m )18/t2cos(15,0x π+= ) 8.11. Un point matériel fait une oscillation harmonique d’une

fréquence Hz 1=ν . Ecrire l’équation d’oscillation harmonique si au moment initial s 0t = le point matériel passe par la position d’équilibre avec une vitesse s/cm 14,3o −=υ .

(Réponse: m )2

t2cos(.005,0x ππ += )

8.12. Un point matériel fait une oscillation harmonique, décrite par

l’équation m )2

tcos(02,0x ππ += . Déterminer: a) l’amplitude A

d’oscillation; b) la période T d’oscillation; c) la phase initiale ϕ d’oscillation; d) la vitesse maximale maxυ du point; e) l’accélération maximale maxa du point; f) dans combien de temps après le début d’oscillation le point passera par la position d’équilibre.

(Réponses: a) cm; 2 A = b) s; 2 T = c) ;2/πϕ =

d) cm/s; 6,28 max =υ e) ; cm/s 19,7 a 2max =

f) ......m où s, m t 3, 2, 1, 0, = = )


85

Données Solution

m )2

tcos(02,0x ππ +=

a) ? A = b) ? T = c) ?=ϕ d) ? max =υ e) ? a max = f) ? t =

);tcos(Ax o ϕω += m02,0A =

;2Toωπ

= ;o πω = s2T = 2πϕ =

);2

tsin(02,0 ππυ +−=

s/m10.28,602,0 2max

−== πυ

);2

tcos(02,0a 2 πππ +−=

222max s/m10.7,1902,0a −=−= π .

Si ;0xo =

;0)2

t(cos02,0 =+ππϕ

;2

)1m2(2

t. πππ +=+

......m où s, m t 3, 2, 1, 0, = =

8.13. Pour combien de temps un point matériel va se déplacer de sa

position d’équilibre lors d’une oscillation harmonique: a) pour la moitie de l’amplitude; b) pour une amplitude. La période d’oscillation est

s 24T = , la phase initiale est 0=ϕ . (Réponses: a) s 2t = ; b) s 6t = ) 8.14. Un corps de masse kg 10m = est suspendu sur un ressort.

Sous l’action d’une force N 10F = le ressort s’allonge à cm5,1l =∆ . Déterminer la période T des oscillations verticales.

(Réponse: s 78,0T = ) 8.15. Un point matériel de masse g 10m = fait une oscillation

harmonique d’après la loi m )4

t5

sin(.05,0x ππ+= . Déterminer: a) la force

maximale maxF qui agit sur le point; b) l’énergie totale E du point.

(Réponses: a) N10.6,19F 5max

−= ; b) N10.93,4E 6−= )

CHAPITRE 8

86

8.16. L’amplitude d’oscillation d’un point matériel qui fait une oscillation harmonique est cm 2A = , l’énergie totale d’oscillation est

J3.10E -7= . Quelle doit être la valeur de l’écart de la position initiale x pour que la force agissante sur le point matériel soit N 2,25.10F 5-= ?

(Réponse: m10.5,1x 2−= ) 8.17. Déterminer l’énergie d’oscillation d’un corps, suspendu sur un

ressort si cm 8A = et si le ressort s’allonge à cm 1x = sous l’action d’une force N20 F = .

(Réponse: J 4,6E = ) 8.18. Déterminer: a) la masse d’un corps dont l’énergie totale est

J10.15E 3−= . Le corps fait une oscillation harmonique d’une amplitude m 2,0A = , une fréquence Hz 4=ν et une phase initiale o30=ϕ .

Déterminer: b) d’après combien de temps t dès le début du mouvement l’énergie cinétique du corps cE va être égale à l’énergie potentielle pE .

(Réponses: a) kg10.2,1m 3−= ; b) s 01,0t = ) 8.19. Déterminer la phase initiale d’oscillation harmonique d’un

point matériel, si pour un temps s 25,0t = du début de l’oscillation, l’écart x est égale à la moitié de l’amplitude A . La période d’oscillation est s 8T = .

Données Solution

s25,0t = ; s8T = ;

2Ax =

______________ ? =ϕ

( )ϕϖ += tcos.Ax ; )tT2cos(.A

2A ϕπ

+=

ou )16

cos(21 ϕπ

+= ;

3cos60cos

21 o π

== ; )16

cos(3

cos ϕππ+= .

Pour déterminer ϕ on fait : x163πππ

+=

et 7,3x = , donc o6,48=ϕ


87

8.20. Un corps de masse g10 m = fait une oscillation harmonique, décrite par l’équation m )4/t.4cos(1,0x ππ += . Déterminer les valeurs maximales de: a) la force du rappel ;Fmax b) l’énergie cinétique

maxcE .

(Réponses: a) N; 0,158 Fmax = b) mJ 7,89 E maxc = ) 8.21. Un point matériel de masse g 10m = fait une oscillation

harmonique d’une fréquence Hz 2,0=ν . L’amplitude d’oscillation est cm 5A = . Déterminer: a) la force maximale maxF qui agit sur le point;

b) l'énergie totale .totE du point oscillant.

(Réponses: a) N10.8,0F 3max

−= ; b) J10.7,19E 6.tot

−= ) 8.22. Un point matériel de masse g 20 m = fait une oscillation

harmonique, décrite par l’équation m )4/t.4cos(1,0x ππ += . Déterminer l’énergie totale .Etot du point.

(Réponse: mJ 15,8 Etot. = ) 8.23. Un point matériel de masse g 0,2m = oscille d’après la loi

m )t10sin(.02,0x = . Déterminer les valeurs maximales de: a) la force du rappel maxF ; b) l’énergie cinétique maxcE du point.

(Réponses: a) N10.4F 4max

−= ; b) J10.4E 6maxc

−= ) 8.24. Un corps de masse kg 0,1m = fait une oscillation harmonique

d’une période s0,5 T = et d’une accélération maximale 2m/s5 a= . Déterminer: a) l’amplitude d’oscillation A ; b) la valeur maximale de la vitesse maxυ ; c) l’énergie mécanique E du corps.

(Réponses: a) m10.3A 2−= ; b) s/m4,0max =υ ; c) J10.09,7E 3−= ) 8.25. La valeur maximale d’accélération d’un corps, qui fait une

oscillation harmonique est 2max m/s0,5 a = et la valeur maximale de sa

vitesse est s/m5,0max =υ . Déterminer: a) la période T ; b) l’amplitude A ; c) la fréquence ν du mouvement.

(Réponses: a) s 28,6T = ; b) m 5,0A = ; c) Hz 159,0v = )

CHAPITRE 8

88

8.26. De quelle façon va changer l’accélération a d’un corps, qui fait une oscillation harmonique, en position de l’écart maximal du corps de la position d’équilibre, si sa période T augmente 3 fois et l’amplitude A reste constante: a) ne change pas; b) diminue 9 fois; c) augmente 3 fois; d) diminue 2 fois; e) diminue 3 fois; f) aucune des réponses n’est pas correcte. Expliquer la réponse.

(Réponse: b)). 8.27. Un tuyau cylindrique de diamètre cm 1 D = est posé

verticalement dans un liquide, de telle façon qu’une partie du tuyau reste au-dessus du liquide. La masse volumique du liquide est

3kg/m 1,0.103=ρ et la masse du tuyau est kg 0,1m= . En effectuant un coup vertical sur le tuyau il commence à faire des oscillations harmoniques. Déterminer la période T d’oscillation en négligeant le frottement entre le tuyau et le liquide.

(Réponse: s 26,2T = ) 8.28. Deux ressorts de même longueur en état de repos sont

suspendus de façon que la distance entre les points de suspensions soit m 1d = . Les constantes de raideur des ressorts sont respectivement

m/N 40k1 = et m/N 60k2 = . A l’aide d’une barre, dont la masse peut être negligée, un corps est suspendu sur les parties inférieures des ressorts. Déterminer: a) les distances 1d et 2d du point de suspension du corps jusqu’aux ressorts lorsque la barre reste horizontale; b) la masse du corps m , si sa période d’oscillation est s 2T = .

(Réponses: a) m 6,0d1 = , m 4,0d2 = ; b) kg 1,10m = ) 8.29. Un liquide est posé dans un tube d’une forme de U. La

longueur des colonnes de liquide dans le tube est cm 16l = . Déterminer la période d’oscillation T du liquide dans le tube, lorsque les deux colonnes sont verticales.

(Réponse: s 56,0T = )


89

8.30. Une planche accomplit une oscillation harmonique d’une période s 3T = dans une direction horizontale. Un corps posé sur la planche commence à glisser lorsque son amplitude devient m 9,0A = . Déterminer le coefficient de frottement k entre le corps et la planche.

(Réponse: 4,0k = ) 8.31. Une barre mince et horizontale est posée entre deux supports.

Sur l’une des extrémités on a posé un ressort, tandis qu’à l’autre extrémité du ressort on a posé une balle, qui peut se déplacer le long de la barre sans frottement. Sous l’action d’une force N 3F1 = , le ressort se serre ou s’allonge à cm 1x1 = . La balle est dans sa position d’équilibre et se déplace vers le point C , après qu’elle a été posée au point B à une distance cm 4x3 = de la position d’équilibre. Déterminer: a) les forces qui vont agir sur la balle aux points O et C , en sachant que le dernier point est distante de O à cm1,5 x2 = et dans quels points, sur la barre va agir une force N7,5 F 2= ; b) les accélérations de la balle aux points B - Ba et O - Oa , si la masse de la balle est g 12 m = .

(Réponses: a) au point O – pas de forces; au point C - N5,4Fc = ;

2F agit au point m10.5,2x 22

−= ;

b) 23B s/m10.1a −= , 2

O s/m 0a = )

8.32. La différence entre les longueurs de deux pendules mathématiques est m 09,0l =∆ . Déterminer ses longueurs 1l et 2l , si l’une d’elles fait 40 et l’autre - nsoscillatio50 pour un même temps et sur un même point de la Terre.

(Réponses: m 25,0l2 −= , m 16,0l1 −= ) 8.33. Un corps, suspendu sur un ressort, oscille verticalement avec

une amplitude cm 8 A = . Déterminer la constante de raideur du ressort k , si l’énergie cinétique maximale du corps est J0,8 Emax = .

(Réponse: N/m 250 k = )

CHAPITRE 8

90

Données Solution m; 0,08cm 8 A ==

J;0,8 Emax =

?k =

;P E maxmax = ;2

kA2

kxP22

max ==

m/N250A

E2k 2max ==

8.34. Un corps de masse kg 2m = suspendu sur un ressort fait une

oscillation harmonique. Déterminer la constante de raideur du ressort k , si pour un temps min5,1t = le nombre total des oscillations est 60N = .

(Réponse: m/N 1,35k = ) 8.35. Un poids est suspendu sur un ressort en forme de spirale. Le

poids fait des oscillations harmoniques. Déterminer de quelle façon va changer la période d’oscillation T après l’ajout d’un autre poids dont la masse est fois 3 plus grande que la première.

(Réponse: 2T/T 12 = ) 8.36. La constante de raideur d’un ressort est N/m 25 k = .

Déterminer la masse m du corps qu’on doit suspendre au ressort pour qu’au bout d’un temps min. 1 t = aient lieu 25n = oscillations.

(Réponse: kg 3,65 m = ) 8.37. La période T d’oscillation d’un ressort augmente

fois 2 quand la masse du corps suspendu au ressort est augmentée jusqu’à g600 m = . Déterminer la masse initiale om du corps.

(Réponse: g 200 mo = )


91

8.38. Un disque homogène du rayon cm 20 R = oscille autour d’un axe horizontal traversant le disque à une distance cm15 l = de son centre. Déterminer la période T d’oscillation du disque autour de cet axe.

(Réponse: s 1,07 T = )

Données Solution 0,2m;cm 20 R ==

0,15m;cm15 l ==

?T =

;mgl

J2T π= ;ml2

mRJ 22

+=

mgl2

2ml22mR2T += π

s07,1gl2

2l22R2T =+

= π

8.39. Un contour oscillant contient une bobine d’induction

mH 1 L = et un condenseur de capacité nF 2 C = . Déterminer pour quelle longueur d’onde λ le contour est accordé.

(Réponse: km 2,67 =λ ) 8.40. Un contour oscillant contient une bobine d’induction

mH 0,2 L = et un condenseur dont la surface des lames est 2cm155 S = et la distance entre eux est mm1,5 d = . Le contour est en

résonance à une longueur d’onde m630 =λ . Déterminer la perméabilité diélectrique ε du milieu entre les lames.

(Réponse: 6,11 =ε ) 8.41. Un contour oscillant contient un solénoïde de longueur cm5 l = , surface de la section 2

1 cm1,5 S = et nombre des spires 500 N = et aussi un condenseur plan avec une distance entre les lames

mm1,5 d = et une surface des lames 22 cm100 S = . Calculer la

fréquence propre οω du solénoïde.

(Réponse: rad/s 4,24.10 6o =ω )

CHAPITRE 8

92

8.42. Un contour oscillant contient une bobine dont le nombre total des spires est 100 N = et l’induction est H10 L µ= et aussi un condenseur de capacité nF 1 C = . La tension maximale aux bornes du condenseur est V100U max = . Déterminer la valeur du flux magnétique maximale maxΦ traversant la bobine.

(Réponse: Wb 0,1 max µΦ = )

Données

Solution

100; N =

H;10H10 L -5== µ

F;10nF 1 C -9== ;V100U max =

?max =Φ

);tcos(QQ omax ϕω += ;LC1

o =ω

);tsin(QI omaxo ϕωω +−= ;QI maxomax ω= ;CUQ maxmax =

;NLI maxΦ=

NmaxQoL

NmaxLI

maxω

Φ ==

LCNmaxU

NmaxLCUo

max ==ω

Φ

Wb 1,0max µΦ =

SUPERPOSITION DE DEUX OSCILLATIONS. OSCILLATIONS AMORTIES. VIBRATIONS FORCEES. ONDES ELASTIQUES.ONDES ELECTROMAGNETIQUES

93

Oscillations et ondes

Chapitre 9

Superposition de deux oscillations. Oscillations amorties. Vibrations forcées. Ondes élastiques.

Ondes électromagnétiques

Notions de base. Lois fondamentales et formules. Superposition de deux oscillations de même direction et de même fréquence. L’amplitude A et la phase initiale ϕ de l’oscillation résultante

peuvent être déterminées par les formules suivantes :

( )21212

22

1 cosAA2AAA ϕϕ −−+= , où 1A et 2A sont les amplitudes des oscillation superposées, 1ϕ et 2ϕ - leurs phases initiales.

2211

2211cos.Acos.Asin.Asin.A

tgϕϕϕϕ

ϕ++

=

La période du battement est 21

2Tωω

π−

= , où 1ω et 2ω sont les

fréquence angulaires des oscillations superposées. L’équation d’une oscillation amortie (pour une force dissipative

dtdxrFd −= , proportionnelle à la vitesse) est )tcos(eA)t(x t

o ϕωα += − ,

où oA est l’amplitude au moment initial 0t = , m2r

=α - le coefficient

de l’atténuation, r - le coefficient de la résistance, m la masse du corps oscillant.

Le décrément d’oscillations (du mouvement) est T

1n

n eAA α=

+, où

nA est 1nA + sont deux amplitudes successives. Le décrément

logarithmique est TelnT ααλ == .

CHAPITRE 9

94

L’amplitude d’une vibration forcée d’un point matériel de masse m (lors d’une force du rappel kxF −= , une force dissipative

dtdxrFd −= et une force de forcement tcosFF o ω= ) est

22222o

oo

4)(m

FA

ωαωω +−= , où

mk

o =ω est la fréquence des

vibrations propres.

La fréquence de résonance est 22ores 2αωω −= et l’amplitude

de résonance est )(m2

FA

22o

orés

αωα −= .

Ondes élastiques La vitesse de propagation d’une onde est υ , la longueur d’onde λ et

la fréquence ν , ou la période T , sont liés par la formule Tλλνυ == .

L’équation d’une onde plan est )kxtcos(A)t,x( oϕωξ +−= . L’équation d’une onde sphérique est

)kxtcos(r

A)t,r( o

o ϕωξ +−= .

L’équation d’une onde transversale est tcosx.2cosA2 ωλπξ = .

La vitesse de phase est kωυ = et la vitesse du groupe est

dkd

grωυ = .


95

Problèmes Superposition de deux oscillations 9.1. Ecrire l’équation du mouvement obtenu lors de la superposition

de deux ondes harmoniques qui oscillent dans une même direction avec de mêmes périodes s 8T = , amplitudes m 02,0A = et une différence de

phases 421πϕϕ =− . La phase initiale d’une des oscillations est 02 =ϕ .

(Réponse: )8

t4

sin(.037,0x ππ+= )

Données

Solution

s 8T = , m 02,0A = ,

421πϕϕ =− ,

02 =ϕ

donc 41πϕ = .

?x =

( )ϕϖ += tsin.Ax et 4T

2 ππω ==

( )21cos2A1A222A2

1AA ϕϕ −−+=

m0369,0A =

2cos.2A1cos.1A2sin.2A1sin.1A

tgϕϕϕϕ

ϕ++

=

4142,0)o0coso45(cos1A

)o0sino45(sin1Atg =

+

+=ϕ

850,22 πϕ == .

)8

t4

sin(.037,0x ππ+=

9.2. Deux oscillations harmoniques d’amplitudes cm4 A1 = et

cm 8 A2 = et une différence des phases o45=ϕ∆ ont de mêmes sens et périodes T . Calculer l’amplitude A de l’oscillation résultante.

(Réponse: m 0,112 A = ) 9.3. Les fréquences des vibrations simultanées de deux diapasons

sont Hz560 1 =ν et Hz560,5 2 =ν . Déterminer la période de leur battement bT .

(Réponse: s 2 Tb = )

CHAPITRE 9

96

Données

Solution

Hz560 1 =ν ,Hz560,5 2 =ν

? Tb =

;2 Tb ω∆π

= ;2 ν∆πω∆ =

);( 12 ννν∆ −=

s 21 T12

b =−

=νν

Oscillations amorties. Vibrations forcées. 9.4. L’amplitude d’une vibration forcée lors d’une très petite

fréquence est mm 2Ao = , et lors de la résonance elle est mm 16Arés = . Déterminer le décrément logarithmique λ .

(Réponse: 8πλ = )

Données Solution

m10.2

mm 2A3

o−=

==,

m10.16

mm 16A3

rés−=

==

?=λ

L'amplitude d'une vibration forcée lors de la

résonance est )(m2

FA

22o

orés

αωα −= (1)

et pour ν - très petite 2o

oo

m

FA

ω= (2),

d’ où 2oo

o AmF

ω= et en remplaçant dans (1)

)(2

AA

22o

2oo

résαωα

ω

−= (3).

Si le coefficient de l’amortissement oωα << , 2α peut être négligée:

αω

αωω

2A

2A

A oo

o

2oo

rés == (4),

d’où: rés

ooA2

A ωα = et

rés

o

rés

o

rés

ooA

A.TA.2TA.2

TA.2

AT

ππωαλ ==== ,

ou 810.16

10.2.A

A3

3

rés

o πππλ ===

−

−


97

9.5. Au bout de min. 2 t = l’amplitude A d’oscillation amortie d’une pendule diminue 2n = fois. Calculer le coefficient d’atténuation α .

(Réponse: 13 s10.78,5 −−=α ) 9.6. L’amplitude de deux oscillations successives diminue de %60 .

La période d’oscillation amortie est s0,5 T = . Déterminer: 1) le coefficient d’atténuation α ; 2) la fréquence des oscillations oν non amorties pour les mêmes conditions.

(Réponses: 1) ;s 1,83 -1=α 2) Hz 2,02 o =ν )

Ondes élastiques

9.7. Deux points sur un rayon sont localisés aux distances m4 x1 = et m 7 x2 = de la source d’émission. La période de la vibration est

ms 20 T = et la vitesse de propagation de l’onde est m/s 300 =υ . Déterminer la différence de phase ϕ∆ des vibrations des deux points.

(Réponse: πϕ∆ = , les vibrations ont des sens opposés) 9.8. Des vibrations sonores d’une fréquence Hz450 =ν et d’une

amplitude mm 0,3 A = se propagent dans un milieu élastique. Calculer: a) la vitesse 1υ de propagation de l’onde; b) la vitesse maximale

axmdt)/(dξ des particules du milieu. (Réponses: a) m/s; 360 1 =υ b) ( sm,dt)/(d axm / 8480 =ξ ) 9.9. Un tube d’une longueur m 1 l = est ouvert d’un bord et rempli

d’air. Calculer la fréquence minimale minν du son pour laquelle une onde sonore stationnaire peut apparaître. La vitesse du son est acceptée égale à

m/s 340 son =υ . (Réponse: Hz85 min =ν )

CHAPITRE 9

98

Données

Solution

m; 1 l = m/s; 340 son =υ

? min =ν

;4

lλ

= ;l4=λ ;Tminνυ

υλ ==

;l4minνυ

=

Hz85l4min ==

υν

9.10. Déterminer la vitesse du groupe grυ pour une fréquence

Hz800 =ν , si la vitesse de phase est donnée par l’expression b/aoph += νυ , où -3/2

o m.s 24 a = et Hz100 b = .

(Réponse: m/s0,55 gr =υ ) Ondes électromagnétiques

9.11. Une onde électromagnétique d’une fréquence MHz5 =ν sort

d’un milieu non magnétique avec une perméabilité diélectrique 2 =ε et va dans le vide. Calculer l’augmentation de la longueur d’onde électromagnétique λ .

(Réponse: nm 17,6 =λ∆ ) 9.12. Un radio locateur a détecté dans la mer un sous-marin. Le

signal réfléchi par le sous-marin est arrivé jusqu’au locateur au bout d’un temps s 36 t µ= . Déterminer la distance S entre le locateur et le sous-marin, si la perméabilité diélectrique de l’eau est 81 =ε .

(Réponse: m600 s = )

Données Solution ;s3,6.10s 36 t -5== µ

81; =ε ;1=µ

? S =

;ts2 υ= ;cnc

εµυ ==

m 6002

ctS ==εµ

LOIS DE GAZ PARFAITS. EQUATION FONDAMENTALE DE LA THEORIE CINETIQUE DES GAZES.

99

Physique moléculaire et thermodynamique

Chapitre 10

Lois de gaz parfaits. Equation fondamentale de la théorie cinétique des gazes.


La loi de Boyle – Mariotte est .constpV = , lorsque .constT = . La loi de Gay – Lussac est ( )t1oVV α+= , lorsque constp= , où V

est le volume du gaz lors d’une température t , V – le volume lorsque la

température est égale à Co0 , et α - le coefficient de la dilatation volumique.

La loi de Charles est )t1(pp o α+= , lorsque constV =

L’équation d’état d’un gaz parfait est RTMmpV =

La loi de Dalton est ∑=

=n

1iipp

Le principe d’équipartition de l’énergie dit que quand les gaz parfaits sont en équilibre thermique à une température T , l’énergie cinétique

moyenne cE des molécules de différents gaz est la même: kT23Ec = .

La masse molaire d’un mélange de gaz parfaits est

n

n

2

2

1

1

n21

Mm

...Mm

Mm

m...mmM

+++

+++= , où im est la masse du i-ème gaz et n – le

nombre de différents gaz dans le mélange. L’équation fondamentale de la théorie cinétique des gaz est

coEn32p= , où on est le nombre de molécules dans unité de volume,

CHAPITRE 10

100

2.m

E2

qc

υ= - l’énergie cinétique moyenne du mouvement progressif

d’une molécule, m – la masse d’une molécule et qυ - la vitesse

quadratique moyenne des molécules et MRT3

mkT3

Aq ==υ .

Le nombre de molécules dans unité de volume est /kTpon = . La masse d’une molécule d’une substance donnée est AN/MAm = . Le

nombre de molécules dans une certaine masse est ANMmn = .

La constante de Boltzmann est

12323A

JK10.38,110.02,6

31,8NRk −−=== .

La vitesse arithmétique moyenne est MRT8

mkT8

A ππυ == et la

vitesse la plus probable des molécules est MRT2

mkT2

Apr ==υ .

Problèmes

10.1. Un gaz de masse g 10m = se dilate isothermiquement de volume 1V jusqu’au volume 12 V2V = . Le travail effectué pour la dilatation du gaz est 900 JA= . Déterminer la vitesse la plus probable des molécules du gaz.

(Réponse: m/s510 pr =υ )


101

Données Solution

kg10.10g 10m 3−==.constT = ;

12 V2V = ; J 900A = .

__________________

? pr =υ

MRT2

pr =υ (1).

La température peut être déterminé de:

1V2V

ln.T.RMmV

V VdVT.R

MmV

VdV.pA

2

1

2

1

=∫=∫=

d’où

1

2VV

ln.R.m

M.AT = (2).

On remplace (2) dans (1) et on obtient

m/s510

VV

ln.m

A.2

1

2pr ==υ

10.2. Quelle est la pression atmosphérique op , si lors d’une

longueur de la colonne de mercure cm 5,12h = dans un tube mince, la longueur de la colonne de l’air dans la première position est cm 7h1 = et dans la deuxième position est cm5 h2 = .

(Réponse: mmHg 750po = ) 10.3. Quelle quantité d’azote s’échappe d’un ballon d’un volume

32 m10.1V −= , si les indications du manomètre, lié au ballon changent de atm10 p1 = à atm 3p2 = et la température diminue de C 32T o

1 = à

C10T o2 = ?

(Réponse: kg10.76m 3−=∆ )

CHAPITRE 10

102

10.4. Déterminer la masse molaire M de l’air, en prenant qu’il est composé (par masse) d’une partie d’oxygène 1m et de trois parties d’azote 2m , ou 3:1m:m 21 = .

(Réponse: mol/kg10.29M 3−= ) 10.5. Un gaz est comprimé isothermiquement de volume

3-31 m 8.10V = jusqu’à 3 -3

2 m6.10V = . La pression augmente avec

Pa 4.10p 3=∆ . Déterminer la pression initiale 1p .

(Réponse: Pa10.2,1p 41 = )

10.6. Un récipient fermé, de volume, l 20 V = est plein d’hydrogène

de masse g 6 m1 = et d’hélium de masse g 12 m2 = . Calculer: a) la pression p ; b) la masse molaire M du mélange des gaz dans le récipient, si la température est K0 30T = .

(Réponses: a) MPa;0,75 p = b) kg/mol 3.10 M -3= )

Données Solution

;m2.10 l 20 V 3-2==

kg;6.10g 6 m -31 ==

kg/mol;2.10M -31 =

kg;12.10g 12 m -32 ==

kg/mol;.104M -32 =

;K 300T =

;mol.K/J 31,8R =

a) ? p = b) ? M =

;ppp 21 += ;VRT

Mm

p1

11 =

;VRT

Mm

p2

22 =

MPa 75,0Mm

Mm

VRTp

2

2

1

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

mol/kg10.3)mm(VpRTM 3

21−=+=


103

10.7. Déterminer la masse volumique ρ d’un mélange de deux gaz considérés comme parfaits - hydrogène de masse g 8 m1 = et oxygène de masse g64m2 = , si la température est K290 T = et la pression

MPa 0,1 p = .

(Réponse: 3m/kg 498,0=ρ ) 10.8. Quelle quantité d’oxygène m aspire lors de chaque inspiration

un alpiniste qui se trouve à une altitude, où la pression de l’air est Pa0,51.10p 5= ? On sait que sur la terre, où la pression est

Pa1,01.10p 5o = , l’homme aspire lors d’une inspiration g 1mo =

d’oxygène. On peut négliger le changement de la température de l’air avec l’augmentation de l’altitude.

(Réponse: kg10.5m 4−= ) 10.9. Un gaz est contenu dans un ballon sous une pression

MPa 3,1p1 = . Le ballon se trouve dans un stockage de température

C 6t o1= . Après qu’on a puisé la moitié du gaz, le ballon est transporté

dans un local. Déterminer la température 2t du local, si dans un certain temps la pression du gaz est devenue MPa 1,6p2 = .

(Réponse: C 15t o2 = )

10.10. Un gaz de masse kg0,015 m = est contenu dans un volume

3-31 m 6.10V = lors d’une température K 466T1 = . Déterminer la

température 2T pour que la masse volumique du gaz soit 3

2 m/kg 8=ρ , si la pression reste constante. (Réponse: K 146T2 = )

CHAPITRE 10

104

Données

Solution

kg0,015 m = ,

3-31 m 6.10V =

K 466T1 = , 3

2 m/kg 8=ρ

? T2 =

Puisque .constp = on utilise la loi de Gay-Lussac: ( )t.1VV o α+=

Vm

=ρ , 1

1 Vm

=ρ , 2

2 Vm

=ρ et 2

2mVρ

= .

RTpV = , .constTpV

= , 2

1

2

1TT

VV

=

et K 1461V2

m1T

1V2V1T

2T ===ρ

10.11. Deux récipients sont lies à l’aide d’un tube, muni d’un robinet.

La pression du gaz dans le premier récipient est Pa4.10 p 51 = et dans le

deuxième - Pa 1.10 p 52 = . Le volume du premier récipient est

3-31 m 4.10 V = et celui du deuxième est 3 -3

2 m7.10 V = . Déterminer la pression p qui va s’établir lorsqu’on ouvre le robinet. La température reste constante.

(Réponse: Pa10.09,2p 5= ) 10.12. Un mélange d’hydrogène de masse g10 m1 = et d’hélium de

masse g 16m2 = est contenu dans un récipient fermé sous une température K300 T = et une pression MPa 0,1p= . Déterminer le volume relatif du mélange relV en prenant le gaz pour un gaz parfait.

(Réponse: kg/m 63,8V 3rel = )


105

10.13. Une quantité d’oxygène de masse g10 m1 = se trouve sous une pression de kPa200 p1 = et une température K280 T1 = . En résultat d’une dilatation isobare le gaz occupe un volume l9V2 = . Déterminer: a) le volume 1V du gaz avant la dilatation; b) la température 2T du gaz après la dilatation; c) la masse volumique du gaz 2ρ après la dilatation.

(Réponses: a) 331 m10.64,3V −= ; b) K693T2 = ;

c) 32 m/kg11,1=ρ )

10.14. Une certaine quantité d’hélium se trouve dans un ballon de l5 V = sous une pression MPa 3p= et une température C 27t o= .

Apres qu’on a puisé g15 m1 = d’hélium, la température du ballon a

diminué jusqu’à C 17t o1 = . Déterminer la pression du gaz qui est resté

dans le ballon. (Réponse: Pa10.09,1p 6

1 = ). 10.15. Jusqu’à quelle valeur de la pression p on va gonfler un ballon

de football dont le volume est 3-3 m 4.10V = , si le piston de la pompe aspire de l’atmosphère un volume de 3-6

1 m 150.10V = de l’air. Au début

le ballon est vide. La pression atmosphérique est Pa 1,01.10p 5o = .

(Réponse: Pa10.03,3p 4= ) 10.16. Une quantité de masse g5 m= d’azote se trouve dans un

récipient fermé de volume l4 V = . Déterminer la pression p dans le

récipient à une température C 20 t o= . (Réponse: Pa10.1,1p 8= ) 10.17. La masse volumique d’un gaz lors d’une température de

C10 t °= et une pression de Pa2.10p 5= est 3m/kg 34,0=ρ . Déterminer la masse molaire M du gaz. Donner le nom du gaz.

(Réponse: mol/kg10.4M 3−= , Hélium)

CHAPITRE 10

106

10.18. Une quantité d’azote de masse g 7 m = et d’une température K290 T1 = , est sous une pression MPa 0,1 p = . Après une

augmentation isobare de la température, le volume d’azote devient l10 V2 = . Déterminer: a) le volume 1V du gaz avant sa dilatation; b) la

température 2T du gaz après sa dilatation; c) la masse volumique avant

1ρ et après 2ρ la dilatation.

(Réponses: a) ;m10.02,6V 331

−= b) ;K 481T2 =

c) ;m/kg 16,1 31 =ρ 3

2 m/kg 7,0=ρ )

Données

Solution

kg/mol;10.28M -3=

kg;7.10g 7 m -3==

Pa;10MPa 0,1 p 5==290K;T1 =

;m10l10 V 322

−==;mol.K/J 31,8R =

a) ? V1 = b) ?T2 =

c) ?1 =ρ , ?2 =ρ

;RTMmpV 11 = ;RT

MmpV 22 =

3311 m10.02,6

MpmRT

V −==

K 481mR

MpVT 2

2 =

3

11 m/kg 16,1

Vm

==ρ

3

22 m/kg 7,0

Vm

==ρ

10.19. Un récipient de volume l 1 V = est rempli d’oxygène de

masse g 1 m = . Quelle est la concentration n de l’oxygène dans le récipient?

(Réponse: -325 m 10 1,88. n = )


107

10.20. Un récipient de volume l 0,3 V = est rempli d’un gaz quelconque à température K290 T1 = . Quelle est la diminution de la pression p∆ dans le récipient après une fuite de gaz quand un nombre

1910 N = de ses molécules quitte le récipient? (Réponse: Pa133p =∆ ) 10.21. Calculer la pression p effectuée par un gaz sur les parois du

récipient, si la masse volumique du gaz est 3m/kg 01,0=ρ et la vitesse quadratique moyenne des molécules du gaz est m/s480 q =υ .

(Réponse: Pa 768 p = ) 10.22. Déterminer la masse volumique ρ d’un mélange gazeux de

g 32m1 = d’oxygène et de g 8m2 = d’azote lors d’une pression de

mmHg760p = et d’une température C0 t o= .

(Réponse: 3m/kg38,1=ρ ) 10.23. Déterminer la masse molaire M d’un mélange de g50 m1 =

d’oxygène et de g150 2m = d’azote.

(Réponse: mol/kg10.9,28M 3−= ) 10.24. Déterminer le nombre d’atomes n contenus dans kg 1m=

d’hélium. Déterminer la masse d’un atome d’hélium Hem .

(Réponses: 2610.50,1n = , kg10.7,6m 27He

−= ) 10.25. Soit une quantité d’hydrogène de masse 1kg m = .

Déterminer: a) le nombre d’atomes N ; b) la masse d’un atome om .

(Réponses: a) ;10 3,01.N 26= b) kg 10 3,32. m -27o = )

10.26. Déterminer le nombre de molécules N de l’eau dans une

bouteille de volume l 0,33V = . La masse molaire de l’eau est de

kg/mol 18.10M -3= et sa masse volumique est 3g/cm 1=ρ .

(Réponse: 2510.1,1N = )

CHAPITRE 10

108

10.27. Un ballon de volume l5 V = contient de l’oxygène dont la concentration des molécules est -325m8.10n= . Déterminer la masse m de l’oxygène.

(Réponse: kg10.3,21m 3−= ) 10.28. Une quantité d’oxygène de masse g15 m= se trouve dans un

récipient de volume l5 V = . Déterminer: a) la concentration n des molécules de l’oxygène dans le récipient; b) le nombre N des molécules du gaz dans le récipient.

(Réponses: a) 325 m10.64,5n −= ; b) 2210.82,2N = ) 10.29. Déterminer la vitesse arithmétique moyenne υ des molécules

d’un gaz parfait dont la masse volumique est 3kg/m 0,3=ρ lors d’une pression kPa35 p= .

(Réponse: s/m545=υ ) 10.30. Déduire la relation entre la pression p , le volume V et

l’énergie cinétique totale cE du mouvement progressif pour toutes les molécules d’un gaz en partant de l’équation fondamentale de la théorie cinétique des gaz parfaits.

(Réponse: cE32V.p = )

10.31. Déterminer: a) l’énergie cinétique moyenne cE ; b) la vitesse

quadratique moyenne du mouvement progressif des molécules qυ

d’hélium et de l’azote pour une température C 20t o= . (Réponses: a) J10.07,6E 21

c−= ; b) s/m1346

Heq =υ , s/m5102Nq =υ )

10.32. Déterminer la température T d’un gaz, si l’énergie cinétique

moyenne du mouvement progressif des molécules est J2,4.10E -19c = .

(Réponse: K11594T = )


109

10.33. Un gaz occupe un volume 33 m10.3V −= lorsque la pression est Pa10.3p 5= . Déterminer l’énergie cinétique moyenne cE du mouvement progressif des molécules du gaz.

(Réponse: J,5.1013E 2c = )

10.34. La vitesse quadratique moyenne des molécules d’un gaz est

s/m450q =υ . La pression du gaz est Pa10.5p 4= . Déterminer la densité volumique ρ du gaz à ces conditions.

(Réponse: 3m/kg 741,0=ρ ) 10.35. Quelle est la vitesse la plus probable prυ des molécules d’un

gaz dont la masse volumique est 3m/kg 35,0=ρ à une pression kPa40 p = ?

(Réponse: m/s 478pr =υ )

Données Solution ;m/kg 35,0 3=ρ

Pa;10kPa 40 p 4==

?pr =υ

;MRT2

prob =υ ;Vm

=ρ

;RTMmpV = ;

pMRT

ρ=

s/m 478p2pr ==

ρυ

10.36. Déterminer la valeur de l’énergie cinétique moyenne cE du

mouvement de translation des molécules d’un gaz sous une pression Pa 0,1 p = . La concentration des molécules du gaz est -313 cm 10 n = .

(Réponse: J1,5.10 E -20c = )

10.37. Déterminer l’énergie cinétique moyenne cE du mouvement

progressif des molécules contenues: a)dans une mole 1E et b) dans 1 kilogramme 2E d’azote lors d’une température K 300T = .

(Réponses: a) J10.74,3E 31 = ; b) J10.133E 3

2 = )

CHAPITRE 10

110

10.38. Un gaz de masse g 1m = et de volume relatif initial

kg/m 831,0V 31 = se trouve lors d’une température K 280T1 = et d’une

pression MPa 1,0p1 = . Le gaz est compressé iso thermiquement jusqu’une pression MPa 1p2 = . Déterminer: a) le gaz; b) le travail A effectué pour la compression du gaz.

(Réponses: a) Azote,mol/kg10.28M 3−= , b) J 191A = ) 10.39. La pression de l’air dans un récipient est Pa 0,13 p = , sa

température est K 300 T = et le diamètre des molécules de l’air est nm 0,27 d = . Déterminer: a) la masse volumique ρ de l’air dans le

récipient; b) la concentration n des molécules de l’air; c) le libre parcours moyenne λ des molécules.

(Réponses: a) ;m/kg10.51,1 36−=ρ

b) ;m 10 3,14. n -319= c) m1,0=λ ) 10.40. Pendant un processus d’échauffement isochore d’oxygène, de

volume l 20 V = , sa pression change de kPa100 p =∆ . Déterminer la quantité de la chaleur Q transmise au gaz.

(Réponse: kJ5 Q = ) 10.41. Le volume d’oxygène de masse g100 m = augmente de

l 5V1 = à l 10V2 = . Quel est le travail A effectué par les forces d’attraction intermoléculaire? La correction pour la pression d’un gaz réel est 24 /molm 0,136 a = .

(Réponse: J133 A = ) 10.42. Déterminer la concentration on des molécules d’un gaz lors

d’une température de C 27t o= et mmHg 1p = .

(Réponse: 3o m 22,3n −= )

10.43. Lors d’une pression de kPa 152p = et C 27t o= , la densité

volumique d’un mélange gazeux d’hélium et d’argon est 3m/kg 00,2=ρ . Déterminer le nombre des atomes on d’hélium dans

un volume 3m 1V = . (Réponse: 324

o m10.3,7n −= )

DISTRIBUTION DE MAXWELL DE LA VITESSE ET DE L’ENERGIE DES MOLECULES. REPARTITION EN HAUTEUR DES PARTICULES - LOI BAROMETRIQUE. DISTRIBUTION DE BOLTZMANN.

111

Chapitre 11

Distribution de Maxwell de la vitesse et de l’énergie des molécules. Répartition en hauteur des particules -

loi barométrique. Distribution de Boltzmann.

Notions de base. Lois fondamentales et formules. La loi de Maxwell de la distribution des vitesses est

υυ

υ

πυυυ d2kT2

m e.

23

kT2m.4N/)(dNd)(f

2−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== ,

où dN est le nombre des molécules avec des vitesse dans l’intervalle de υυυ d+÷ .

La formule barométrique est kTmgh

eopp−

= La loi de distribution des molécules par leur énergie potentielle (loi

de Boltzmann) est kTE

eonn

p−= , où n est le nombre de molécules dans

unité de volume pour des points de l’espace où l’énergie potentielle est pE , on est le nombre de molécules dans unité de volume pour des

points de l’espace où l’énergie potentielle est nulle.

Problèmes

11.1. Démontrez que la formule de Maxwell pour la distribution des molécules par les vitesses:

υυ

υ

πd2.kT2

m e.2

3

kT2m4

ndn

2−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= peut être présentée de la façon

suivante qui est plus commode pour les calculs: duu.e.4n

dn 2u2−=π

,

où pr

uυυ

= . (Réponse: duu.e.4n

dn 2u2−=π

)

CHAPITRE 11

112

Données Solution

υυ

υ

πd2.kT2

m e.2

3

kT2m4

ndn

2−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

____________________________

duu.e.4n

dn 2u2−=π

mkT2

pr =υ et alors

υυυ

υ

υπd2.

e.23

2pr

14n

dn 2pr

2−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

due1u.4n

dn 2u

pr

2 −=υπ

, mais

dupr

d=

υυ et alors:

duu.e.4n

dn 2u2−=π

11.2. En utilisant la fonction de Maxwell pour la distribution des

molécules d’un gaz parfait par les vitesses, déduire la loi qui exprime la distribution des molécules d’un gaz parfait par l’énergie du mouvement calorique )E(f .

(Réponse: ( ) ( ) kTE

e.21

E.23 kT2Ef

−−=π

)

11.3. En utilisant la fonction pour la distribution des molécules d’un

gaz parfait par les vitesses relatives υπ

due.4)u(f 2u2−= , où pr

uυυ

= ,

déterminer le nombre de molécules N∆ dont la vitesse υ est fois 0,002n= plus petite que la vitesse la plus probable prυ , si dans le

volume donné du gaz est contenu un nombre de 2410.67,1N = molécules.

(Réponse: culesémol10N 16=∆ )


113

11.4. Quelle partie des molécules de l’oxygène nn∆ ont des vitesses

dans l’intervalle de m/s910 jusqu’à m/s 912 , si la température du gaz est K400 T = ?

(Réponse: %073,0n/n =∆ )

Données Solution

m/s910 1 =υ

m/s 9122 =υ

K400 T =

___________

? nn=

∆

s/m9112

912910=

+=υ , s/m 2910912 =−=υ∆

s/m 45610.32

400.314,8.2MRT2

3pr ===−

υ ;

998,1456911u

pr===

υυ ;

3

pr10.38,4

4562u −===

υυ∆

∆ , d’ où

%073,010.38,4.e.998,1.4nn 3998,12 2

== −−

π∆

11.5. Déterminer quelle partie des molécules de l’azote nn∆ lors

d’une température K 293T = ont une vitesse entre m/s 99 et m/s 101 .

(Réponse: %06,0nn=

∆ )

11.6. Quelle partie des molécules de l’azote nn∆ lors d’une

température C20 T o= ont des vitesses dans l’intervalle de υ jusqu’à υ∆υ + , lorsque s/m 20=υ∆ , prυυ = et pr0,1υυ = .

(Réponses: a) %93,3nn=

∆ ; b) %11,0nn=

∆ )

CHAPITRE 11

114

11.7. Déterminer quelle est la température T pour laquelle les molécules de l’azote auront la même vitesse arithmétique moyenne υ que les molécules de l’oxygène pour la température K 293T = ?

(Réponse: K256T = ) 11.8. Calculer: a) la vitesse arithmétique moyenne υ ; b) la vitesse

quadratique qυ ; c) la vitesse la plus probable prυ pour les molécules

d’un gaz, dont la masse volumique est 3kg/m 0,3=ρ lorsque la pression est kPa40 p= ?

(Réponses: a) s/m583=υ ; b) s/m 633q =υ ; c) s/m 517pr =υ ) 11.9. Déterminer la vitesse moyenne des molécules υ en utilisant la

fonction de la distribution des molécules d’un gaz parfait par des vitesses

( ) kT2m

e22

3

kT2om

4f

2oυ

υπ

πυ−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= .

(Réponse: om

kT8π

υ = )

11.10. Aux quelles altitudes 1h et 2h la masse volumique ρ de l’air

diminue: a) fois2n1 = ; b) foisen2 = ? La température de l’air est

C0 t o= . Négliger la dépendance de la température de l’air, la masse molaire M et l’accélération terrestre g de l’altitude h .

(Réponses: a) m 5540h1 = ; b) m 7973h2 = ) 11.11. Déterminer à quelle altitude la pression atmosphérique p est fois2n= plus petite que la pression op . La température de l’air est

C0 t o= et on ignore sa dépendance de l’altitude.


115

Données Solution

2p

pn o ==

C0 t o= K15,273T =

______________ ? h =

RTMgh

oepp−

= ; p

pln

MgRTh o= et

m 55302ln8,9.10.96,28

15,273.314,8h 3 ==−

11.12. Quelle est la pression p de l’air à une profondeur km 1 h =

dans un puits, si la température C22t o= est constante et l’accélération gravitationnelle g ne dépend pas de la hauteur? La pression de l’air à la surface de la Terre est op .

(Réponse: op12,1p = ) 11.13. Déterminer le rapport de la pression de l’air 1p à une hauteur

km 1h1 = et sa pression 2p au fond d’un puits de profondeur km 1h2 = .

(Réponse: 778,0p/p 21 = ) 11.14. À quelle hauteur h la valeur de la pression atmosphérique est

60% de celle-ci au niveau de la mer? On considère que la température de

l’air C o10 t = reste partout constante. (Réponse: km 4,22 h = )

Données

Solution

;p60p o−=

;C 10t o=

kg/mol;.1029M -3=

?h =

;epp RT)hh(Mg

o

o−−

= ;0ho =

;epp RT

Mgh

o

−= ;

ppln

RTMgh

o−=

km 22,4ppln

MgRTh

o=−=

CHAPITRE 11

116

11.15. Une centrifuge, dont la partie principale est un tambour, tourne d’une vitesse angulaire ω autour de son axe. Un champ de forces centrifuges d’inertie est crée à l’intérieur du tambour. Déterminer: a) l’énergie potentielle pE d’une particule de masse m qui se trouve à l’intérieur du champ; b) la concentration des particules en fonction de la distance r d’une couche donnée jusqu’à l’axe de rotation et la vitesse angulaire ω du tambour. Utiliser la loi de Boltzmann.

(Réponses: a) 122

p C2

r..mE +−=ω ; b) kT2

r..m

o

22

e.n)r(nω

= )

11.16. Le tambour d’une centrifuge, pleine d’un gaz de masse

molaire mol/kg10.222M 3−= , tourne d’une fréquence 1s 50 −=ν . Le rayon du tambour est m 5,0r = . Déterminer la pression p du gaz sur les parois du tambour, si la pression op près de son axe est égale à la pression atmosphérique normale. La température K300T = est la même dans tout le volume.

(Réponse: Pa10.04,3p 5= )

CAPACITES THERMIQUES DES GAZ PARFAITS

117

Chapitre 12

Capacités thermiques des gaz parfaits

Notions de base. Lois fondamentales et formules. Le nombre des degrés de liberté pour une molécule est

oscrotpr i2iii ++= , où pri , roti et osci sont le nombre de degrés de liberté pour le mouvement progressif, de rotation et ’oscillation.

L’énergie moyenne d’une molécule avec i -degrés de liberté est

kT2iEi = , où k est la constante de Boltzmann, T - la température du

gaz. L’énergie interne d’une mole de gaz parfait est RT2iU = , où R est

la constante molaire du gaz.

La capacité thermique molaire à volume constant est: .R2iCV = , où

i désigne le nombre de degrés de liberté de la molécule et R désigne la constante molaire des gaz. La capacité thermique molaire à pression

constante est R2

2iRCC Vp+

=+= . Le quotient æCC

V

p = désigne une

grandeur, qui ne dépend que du nombre de degrés de liberté des molécules du gaz.

Problèmes

12.1. Déterminer l’énergie cinétique totale intU du mouvement de

rotation des molécules, contenues dans une quantité de CO de masse g 2m= lors d’une température de C 17t o= .

(Réponse: J 172Uint = ) 12.2. Lors de températures moyennes le rapport æC/C Vp = pour

l’oxygène est 1,4æ = . Déterminer le nombre de degrés de liberté i de la molécule de l’oxygène.

(Réponse: 5i = )

CHAPITRE 12

118

12.3. Déterminer l’énergie interne intU d’une quantité d’oxygène de

masse g20 m= lors d’une température C10 t o= . Quelle partie de cette énergie est pour le mouvement progressif et quelle pour le mouvement de rotation des molécules?

(Réponses: J10.7,3U 3int = , J10.2,2U 3

pr = , J10.5,1U 3rot = )

12.4. Calculer l’énergie interne intU de l’oxygène considéré comme

un gaz parfait lors d’une pression de atm 2p = et de volume l 30V = .

(Réponse: J10.5,1U 4int = )

12.5. Une quantité d’azote de masse g 5m = se trouve sous une

pression kPa 100p = et une température C 17t o= . Le gaz occupe un volume l 10V2 = après un réchauffement sous une pression constante. Déterminer: a) la quantité de la chaleur Q , reçue par le gaz; b) le changement de l’énergie interne intU∆ du gaz.

(Réponses: a) J 99,1Q = ; b) J10.42,1U 3int =∆ )

12.6. Déterminer l’énergie du mouvement de rotation rotU des

molécules, contenues dans une quantité d’azote de masse kg 1m= lors

d’une température C 7t o= . (Réponse: J10.3,8U 4

rot = ) 12.7. Déterminer les capacités thermiques spécifiques pc et Vc d’un

gaz biatomique dont la masse volumique lors d’une pression atm 1p =

et d’une température Co Ot = est 3m/kg 43,1=ρ . (Réponses: K.kg/J 908c p = ; K.kg/J 43,640cV = )

CAPACITES THERMIQUES DES GAZ PARFAITS

119

Données Solution

Pa10.013,1atm 1p 5== ,

C 0t o= ou K 15,273T = ,

3m/kg 43,1=ρ

____________________

?c p = et ?cV =

RM2i

MC

c VV == ,

où VC est la capacité thermique molaire.

D’autre part RM2

2iM

Cc p

p+

==

et d’après: RTpVmM =

K.kg/J 43,640T2p.i

mT2V.p.icV ===

ρ

K.kg/J 908Tp

22ic p =

+=

ρ

12.8. Déterminer les capacités thermiques massiques Vc et pc pour

un mélange gazeux, qui contient d’hélium d’une masse g 1m1 = et d’hydrogène d’une masse g 2m2 = .

(Réponses: J10.96,7c 3V = ;

K.kgJ10.4,11c 3

p = )

12.9. On a effectué un travail kJ 1A = lors de la dilatation isobare

d’un gaz biatomique. Déterminer la quantité de chaleur Q transmise au gaz.

(Réponse: J10.5,3Q 3= )

CHAPITRE 12

120

12.10. Une quantité d’azote de masse g 100m = se trouve lors d’une température K 300T1 = . La pression du gaz diminue fois 3n = en résultat d’un refroidissement isochore et après une dilatation isobare la température du gaz à l’état final devient la même que celle-ci à l’état initiale. Déterminer: a) le travail A effectué par le gaz; b) le changement de l’énergie interne intU∆ .

(Réponses: a) J10.94,5A 3= ; b) OUint =∆ ) 12.11. Une quantité d’azote de masse g 56m = se trouve lors des

conditions normales. Lors d’un processus de dilatation adiabatique le volume V du gaz augmente fois 2 . Déterminer: a) le changement de l’énergie interne intU∆ du gaz; b) le travail A effectué pour la dilatation du gaz.

(Réponses: a) J10.75,2U 3int −=∆ ; b) J10.75,2A 3= )

12.12. Déterminer le nombre des degrés de liberté i pour un gaz, s'il

a subit une dilatation adiabatique et son volume V a augmenté fois 4n1 = et la température thermodynamique T a diminué

fois 1,74n2 = . (Réponse: 5i = )

PHENOMENES DE TRANSPORT: DIFFUSION, CONDUCTION THERMIQUE, VISCOSITE.

121

Chapitre 13

Phénomènes de transport: diffusion, conduction thermique, viscosité.

Notions de base. Lois fondamentales et formules. Le nombre moyen des chocs d’une molécule de gaz pour unité de

temps est υπ .n.d..2z 2= , où d est le diamètre efficace de la molécule, n - le nombre de molécules du gaz dans unité de volume, υ - la vitesse arithmétique moyenne des molécules.

Le libre parcours moyen des molécules d’un gaz est n.d.2

12π

λ = .

La loi de Fick dit que la masse M d’un gaz, transporté pour un

temps t∆ par une surface S est tSdzdDM ∆ρ

−= , où D est le

coefficient de diffusion, dzdρ - le gradient de la masse volumique du gaz

dans la direction z . Le coefficient de la diffusion: λυ .31D= .

D’après la loi de Newton, la force de résistance visqueuse F entre deux filets d’un gaz d'un écoulement laminaire est proportionnelle à l’aire S des deux lames et à la vitesse relative υ∆ , et elle est inversement

proportionnelle à la distance z∆ est ∆z∆η.S.F υ

= .

La viscosité dynamique η d’un gaz est λυρη ..31

= . La viscosité

cinétique est ρη

ν = .

La quantité de chaleur, transportée pour un temps t∆ en résultat de

la thermo conductivité est t.SdzdTQ ∆σ−= , où σ est le coefficient de la

thermo conductivité et dzdT - le gradient de la température.

CHAPITRE 13

122

Problèmes

13.1. Déterminer le libre parcours moyen λ des molécules de 2CO lors d’une température K 336T = et une pression Pa 3,53p = . Le

diamètre de la molécule du 2CO est m10.2,3d 10−= .

(Réponse: m10.9,1 4−=λ ) 13.2. Un ballon de volume 33 m10.10V −= contient une quantité

d’hydrogène de masse g 1m= . Déterminer le libre parcours moyen des molécules λ .

(Réponse: m10.04,1 7−=λ ) 13.3. Est-ce qu’on peut dire que le vide où la pression est

Pa10.64p 6−= est un vide élevé, s’il est crée dans un ballon de diamètre m 5,0d = contenant de l’oxygène lors d’une température K 273T = .

(Réponse: m10.5,3d 10o2

−= ) 13.4. Déterminer la masse m de l’oxygène transportée en résultat de

la diffusion par une surface 24 m10.84S −= pour un temps s 8t = , si le gradient de la masse volumique dans la direction perpendiculaire à la surface est 4m/kg 2,1 . La température de l’oxygène est K 297T = et la longueur moyenne du libre parcours moyen des molécules de l’oxygène est m10.1,1 7−=λ .

(Réponse: kg10.31,1m 6−= ) 13.5. Déterminer le coefficient de diffusion D de l’oxygène pour des

conditions normales, si le libre parcours moyen des molécules dans ces conditions est m10.1,1 7−=λ .

(Réponse: s/m10.42,1D 25−= ) 13.6. Déterminer la pression p pour que le rapport entre la viscosité

dynamique d’un gaz et le coefficient de diffusion soit 3m/kg 4,0D/ =η . La vitesse quadratique moyenne des molécules est s/m568q =υ .

(Réponse: Pa10.4p 4= )

PHENOMENES DE TRANSPORT: DIFFUSION, CONDUCTION THERMIQUE, VISCOSITE.

123

13.7. Le libre parcours moyen des molécules de l’azote lors d’une pression kPa 8p= est µm 1=λ . Leur diamètre effectif est nm 0,38d = . Déterminer la température T de l’azote.

(Réponse: K 372T = ) 13.8. Le libre parcours moyen des molécules de l’oxygène lors d’une

température K280 T = et une pression quelconque est µm 1,0=λ . Déterminer le nombre moyen de chocs 2z des molécules pour un temps

s1t = , si la pression a diminuée de fois002,0n= par rapport de la pression initiale. La température T est considérée constante et le diamètre effectif des molécules de l’oxygène est nm 36,0d = .

(Réponse: 182 s10.39,2z −= )

Données Solution K280 T = ,

m0,1.10µm 0,1 -61 ==λ ,

12 p002,0p = ,

m10.36,0nm 36,0d 9−== ______________

? z2 =

Le nombre moyen 2z de chocs des molécules pour s1t = lors de la pression finale est

22z

λυ

= (1) pour constp= .

On connaît MRT8π

υ = (2),

n.d.21

2πλ = , nkTp = ,

d’où 1

2

2

1pp

=λλ et donc

2

112 p

pλλ = et

18

11

2

2

11

2 s10.39,2MRT8

pp

ppMRT8

z −===πλλ

π

CHAPITRE 13

124

13.9. Déterminer le libre parcours moyen λ des molécules d’hélium si la masse volumique du gaz est 3 -2 kg/m2.10=ρ . Le diamètre effectif des molécules d’hélium est nm 0,22d = .

(Réponse: m10.55,1 6−=λ ) 13.10. Déterminer la pression p de l’oxygène dans in récipient si la

température est K 250T = , la durée moyenne du libre parcours moyen de l’oxygène est ns 280=τ . Le diamètre effectif des molécules de l’oxygène est nm 36,0d = .

(Réponse: Pa 1,95p = ) 13.11. Déterminer le rapport des coefficients de viscosité dynamique

de l’oxygène 1η et de l’azote 2η pour une même température. Les diamètres effectifs des molécules de l’oxygène et de l’azote sont respectivement de nm 0,36d1 = et nm 0,38d2 = .

(Réponse: 19,1/ 21 =ηη )

ELECTROSTATIQUE

125

Electrostatique

Chapitre 14

Electrostatique

Notions de base. Lois fondamentales et formules. L’interaction électrique entre deux particules chargées est donnée par

la loi de Coulomb: l’interaction électrique entre deux particules chargées est proportionnelle à leurs charges q et inversement proportionnelle au carré de leur distance r , sa direction se trouvant le long de la droite joignant les deux charges.

221

r

qqkF = , r est la distance entre 1q et 2q , F - la force agissant

sur chaque charge q , const.k = qui dépend du choix d’unités et dans SI

sa valeur est F/m10.9k 9= .

o41kπε

= , 221129o CmN10.85,8

10.94

1k4

1 −−−===ππ

ε est la

permittivité du vide et la loi de Coulomb est 2

o

21

r4

qqF

πε= .

Problèmes

14.1. Une barre mince de longueur cm 30l = est chargée uniformément. Une charge ponctuelle C10q 8−= se trouve à une distance cm 20a = sur la perpendiculaire du milieu de la barre (Fig. 26). La force d’interaction entre la barre et la charge est N 4,5F = . Déterminer la densité linéaire des charges électriques λ .

(Réponse: m/C10.3,8 3−=λ )

CHAPITRE 14

126

Données

Fig. 26 m 3,0cm 30l == , m 2,0cm 20a == , C10q 8−= et

N 4,5F = . _____________________________________________________

? =λ Solution

On prend de la barre un élément quelconque infiniment petit dl de charge dl.dq λ= qui peut être assimilée d’une charge ponctuelle. D’après la loi

de Coulomb la charge dq agit sur la charge q avec une force

2or4dl.qdF

πε

λ= (1), où r est la distance entre l’élément dl et q .

La figure montre que αα rdcos.dl = et αcos

ar = (2), où a est la

distance entre q et la barre.

En remplaçant (2) dans (1), on obtient : απελ d

a4qdF

o= (3). On

décompose le vecteur Fdr

en ses deux composantes 1Fdr

et 2Fdr

. Puisque q a une position symétrique par rapport à la barre:

( )( ) 0coscosa4

qdsina4

qsin.dFFdFoo

22 =−+−∫ =∫ =∫ ==−−−

ααπελ

ααπελ

αα

α

α

α

α

α

1Fd l

Fd 2Fd

dl r

a -α

α dα q

ELECTROSTATIQUE

127

et ∫=−

α

α11 FdF (4). En sachant que αcos.dFdF1 = de (3) et (4) on

obtient:

απελα

πελαα

πελ α

αsin

a2qsin2

a4qdcos

a4qF

ooo=∫ ==

−. De la figure

2a2

2lr +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= , d’où

m/C10.3,8ql

a4la2.F 322

o −=+

=πελ

14.2. Une barre mince de longueur cm 20l = est chargée

uniformément avec une densité linéaire des charges électriques m/C10.77,1 6−=λ . La charge ponctuelle C10.28,6q 8−= se trouve à

une distance cm 10a = sur la perpendiculaire du milieu de la barre. Déterminer la force d’interaction F entre la barre et la charge q .

(Réponse: N10.4,1F 2−= ) 14.3. Déterminer les valeurs de: a) la constante électrique oε ; b) du

coefficient o4

1πε

, en sachant que la force d’interaction entre deux

charges ponctuelles égales C)10.31(qq 921 == dans le vide distantes de

m01,0r = est N10F 5−= .

(Réponses: a) m/F10.85,8 12o

−=ε ; b) F/m10.996,84

1 9

o=

πε)

14.4. Déterminer la force d’attraction F entre l’électron et le noyau

dans l’atome de l’hydrogène. L’électron se trouve à la distance la plus probable du noyau m 5,3.10r -11= .

(Réponse: N10.2,8F 8−= )

CHAPITRE 14

128

14.5. Déterminer la force de répulsion électrostatique F entre deux protons distantes à m 2,2.10r -15= .

(Réponse: N 4,47F = ) 14.6. Deux boules chargées suspendues aux fils de même longueur

sont trempées dans de pétrole de masse volumique 3= g/cm 0,8 troleépρ (Fig. 27). Comment doit être choisite la masse volumique des boules

bouleρ pour que l’angle α entre les fils soit de même grandeur dans l’air et dans le pétrole? La perméabilité diélectrique du pétrole est 2 =ε .

(Réponse: 3= g/cm 6,12ρ )

Données

Solution

Fig. 27

;kg/m 8.10g/cm 0,8 2pétrole

33 ==ρ 2; =ε α .

____________________________

? boule =ρ

;r4

QF 2o

2k

πεε=

;Vgmg bouleρ=

;Fmg

FmgF

A

k−

=

;2

tg.mgF α=

;2

tg)Fmg(mF Akα

−=

;r4

QF 2o

2

πε=

;VgF pétroleA ρ=

pétroleboulle cm/g 6,1

1.

=−

=ε

ρερ

14.7. Deux billes de même charge sont suspendues dans un point à

l’aide de deux files minces de mêmes longueurs l . Qu’est-ce qui va se passer avec les billes si elles sont dans le vide.

(Réponse: les deux billes vont être repoussées à une distance 2lr= )

mg Q Q

r

α/2

ε αT FA

Fk

ELECTROSTATIQUE

129

14.8. Déterminer le rapport de la force de répulsion électrostatique eF et la force d’attraction gravitationnelle gF pour deux électrons.

(Réponse: 42ge 10.02,4F/F = )

14.9. Quelle masse pm doit avoir le proton, de façon que la force

d’attraction gravitationnelle gF entre les protons soit égale à la force de

la répulsion électrostatique entre eux eF . Combien de fois cette masse

pm est plus grande que la masse du proton en repos opm .

(Réponses: kg10.83,1m 9−= , 18pp 10.1,1m/m o = )

14.10. La force d’attraction gravitationnelle gF entre deux balles

électrisées se compense par la force de répulsion de Coulomb eF . Les

balles ont une même masse kg10m -3= et une même charge q . Déterminer la charge q de chacune des balles.

(Réponse: C10.8,8q 14−= ) 14.11. Deux balles de mêmes masses g 20m = se trouvent à une

distance quelconque l’un de l’autre. Déterminer de quelles charges de mêmes valeurs doit on charger les deux balles pour que la force d’interaction eF entre elles soit compensée par la force d’attraction gravitationnelle gF .

(Réponse: C10.172q 12−= ) 14.12. Deus balles de même masse g 1m = sont suspendues par

deux filles de mêmes longueurs cm20 l = . Lors de l’électrisation de chacune d’entre elles d’une charge q , il y a une répulsion à une distance

cm4 r = . Déterminer la charge q de chacune des balles.

(Réponse: C10.32,1q 8−= )

CHAPITRE 14

130

14.13. Deux charges ponctuelles identiques C5.10qqq -421 ===

sont distantes à cm10 r= . Déterminer la force eF qui va agir sur une

charge ponctuelle C1,6.10Q -18= , disposée sur l’axe de symétrie et distante de cm5 r1 = de la droite joignant les deux charges 1q et 2q .

(Réponse: N10.38,1F 12e

−= ) 14.15. Deux balles métalliques électrisées respectivement de charges

C1,5.10q -51 −= et C2,5.10q -5

2 += entrent en contact en résultat de l’attraction électrique et puis sont de nouveau repoussées à une distance cm5 r = . Déterminer la grandeur de la charge de chacune des balles après le contact et la force d’interaction 'F entre elles.

(Réponse: N90'F = ) 14.16. Déterminer la force eF qui agit sur une charge ponctuelle

C6,28.10q -10= distante à cm 2a = d’une file infiniment longue, électrisée uniformément avec une densité linéaire de la charge

m/C10.85,8 8−=λ .

(Réponse: N10.5,0F 4−= )

INTENSITE DU CHAMP ELECTRIQUE Er

DANS LE VIDE. DIPOLE ELECTRIQUE. THEOREME DE GAUSS POUR LE FLUX DE L’INTENSITE DU CHAMP.

131

Chapitre 15

Intensité du champ électrique Er

dans le vide. Dipôle électrique. Théorème de Gauss pour le flux

de l’intensité du champ.


L’intensité d’un champ électrique Er

en un point est égale à la force

Fr

par unité de charge placée en ce point est qFEr

r= ou EqF

rr= .

L’intensité d’un champ de charge ponctuelle q en un point à une distance

r est 2o r

q.4

1Eπε

= .

Le principe de la superposition des champs électriques est ∑=

=n

1iiEErr

,

où iEr

représente l’intensité du champ de la i-ième charge ponctuelle et Er

est l’intensité du champ d’un système de n charges ponctuelles.

L’intensité d’un champ de dipôle électrique en un point donnée. lqprr

= est le moment électrique dipolaire qui donne l’orientation du

dipôle dans l’espace, lr

- le déplacement de la charge −q à la charge +q , ou le vecteur distance; p

r est dirigé suivant l’axe du dipôle (la droite

joignant les deux charges) de −q à +q . θπε

23

ocos31

r4

pE += , où

λqP = . Cas particuliers: a) Le point considéré est sur la droite joignant les deux charges et

0=θ , π , alors 3

o3

o r2

p31

r4

pE

πεπε=+= .

CHAPITRE 15

132

b) Le point considéré est sur la droite ⊥ à lr

et 2πθ = , alors

1cos31 2 =+ θ et 3

or4

pE

πε= .

Le moment des forces exercées sur un dipôle placé dans un champ électrique uniforme d’intensité E

r est EpM

rrr×= , ou θsinpEM = , où

θ est l’angle entre pr et Er

. Sur un dipôle placé dans un champ électrique non uniforme à part du moment M d’une couple de force agit

encore une force : l∂

∂=

EpF , où l∂

∂E est le gradient de l’intensité du

champ dans la direction de l’axe du dipôle. La force Fr

est dans la direction de l’accroissement de l’intensité.

Le flux de l’intensité Er

par une surface S est ∫=S

nE dSEΦ , où

nE est la projection de Er

dans la direction de la normale vers la surface dS .

Théorème de Gauss pour un champ électrique: le flux électrique EΦ à travers une surface fermée entourant des charges 1q , 2q , 3q ,… iq est égale à la somme algébrique des charges à l’intérieur de la surface fermée

divisée par oε : ∑=

=n

1ii

oE q1

εΦ .

L’intensité d’un champ crée par un plan infini chargé uniformément

est o2

Eεσ

= , où dSdq

=σ est la densité superficielle des charges.

L’intensité d’un champ électrique de deux plans parallèles infinis chargés uniformément de densité superficielle des charges σ+ et σ− est

oE

εσ

= . L’intensité d’un champ électrique crée par un filament rectiligne

infiniment long portant une densité de charge uniforme à une distance r

de son axe est r2

Eoπε

λ= , où

lddq

=λ est la densité linéaire des charges.



133

L’intensité d’un champ crée par une surface sphérique de rayon R chargée uniformément dans un point à une distance r du centre de la sphère:

a) à l’intérieur de la sphère ( ) 0E,Rr =< ;

b) à la surface de la sphère ( ) 2o Rq.

41E,Rrπε

== ;

c) à l’extérieur de la sphère ( )2o r

q.4

1E,Rrπε

=> , où q est la

charge de la surface sphérique. Le potentiel électrique ϕ dans un point d’un champ électrique est

l’intensité du champ pE d’une charge unité placée en ce point: ϕ est une

grandeur scalaire q

E p=ϕ et ϕqE p = .

Problèmes

15.1. Déterminer l’intensité d’un champ électrostatique dans le point A sur la droite joignant les charges nC10 q1 = et nC 8 - q2 = qui se trouvent à une distance cm 8 r = à droite ( 1E ) ou à gauche ( 2E ) de la charge négative. La distance entre les charges est cm 20 l = .

(Réponses: ; kV/m 10,1 E1 = kV/m17,5 E2 = ) 15.2. Une boule de plomb ( 3

Pb g/cm 3,11=ρ ) d’un diamètre

cm0,5 d = est trempée en glycérine ( 3glyc g/cm ,261=ρ ) (Fig. 28).

Déterminer la charge de la boule Q , si dans un champ électrostatique uniforme E la boule reste suspendue dans la glycérine. Le champ électrostatique est orienté verticalement vers le haut et son intensité est

kV/cm4 E = . (Réponse: nC 1,61 Q = )

CHAPITRE 15

134

Données Solution

Fig. 28

kg/m .103,11g/cm 11,3 33Pb ==ρ ;

m;5.10 cm0,5 d -3== 333

glyc kg/m 1,26.10g/cm 1,26 ==ρ ;

V/m;4.10kV/cm4 E 5== _______________________________

? Q =

;mgFF A =+ ;QEF =

;g2

2d

34

glycAF ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= πρ

;g)2d(

34mg 2

Pb πρ=

E6

)(gdQ glycPb

3 ρρπ −= ;

nC 1,61 Q =

15.3. Un disque de rayon cm15 r = est mis à une certaine distance

d’un plan infini uniformément chargé d’une densité superficielle 2nC/cm 0,1 =σ . Le plan du disque fait un angle οα 30 = avec les lignes

de force. Déterminer le flux du vecteur de l’intensité EΦ à travers le disque.

(Réponse: m.kV46,3E =Φ ) 15.4. Un anneau de rayon cm5 r = en fil métallique est

uniformément chargé de densité linéaire nC/m14 =λ . Calculer l’intensité du champ E sur l’axe traversant le centre de l’anneau dans un point éloigné à une distance cm10 l = du centre.

(Réponse: m/kV83,2E = ) 15.5. Calculer la densité superficielle de charge σ créant une

intensité V/m 200 E = à la proximité de la surface de la Terre. (Réponse: 2nC/cm ,771 =σ )

E F

FA

Q

mg



135

15.6. Un champ électrostatique est crée par un plan infini positivement chargé d’une densité superficielle constante 2nC/cm10 =σ . Quel est le travail A qu’on doit effectuer pour déplacer un électron sur une ligne de force d’une distance cm 2 r1 = à une distance cm 1 r2 = du plan?

(Réponse: J9.10 A -19= ) 15.7. Un champ électrostatique est crée par un fil infini positivement

chargé d’une densité linéaire constante nC/m 1 =λ . Quelle vitesse υ va obtenir un électron qui s’approche vers le fil sous l’action du champ E le long d’une ligne de force de la distance cm1,5 r1 = à la distance

cm 1 r2 = du fil? (Réponse: s/Mm16=υ ) 15.8. Dans le modèle de Bohr d’hydrogène l’électron circule sur une

orbite de rayon pm 52,8 r = dans le centre de laquelle se trouve le proton. Calculer: a) la vitesse υ de l’électron sur l’orbite; b) l’énergie potentielle PE de l’électron en unité eV dans le champ du proton.

(Réponses: a) Mm/s; 2,19 =υ b) eV3,27EP −= ) 15.9. Un anneau de rayon cm5 r = en fil métallique est chargé

uniformément d’une charge nC10 q = . Calculer le potentiel du champ électrostatique: a) dans le centre de l’anneau oϕ ; b) sur l’axe traversant le centre de l’anneau à une distance cm10 a = du centre aϕ .

(Réponses: a) ;V1800o =ϕ b) V805a =ϕ ). 15.10. Un champ électrostatique est crée par une charge ponctuelle

positive. Calculer la valeur absolue et le sens du gradient du potentiel du champ ϕgrad , si à une distance cm 13 r = de la charge, le potentiel est

V100 =ϕ . (Réponse: ,m/kV1grad =ϕ orienté vers la charge) 15.11. Un champ électrostatique est crée par un plan infini uniformément

chargé d’une densité superficielle constante 2nC/cm5 =σ . Calculer la valeur absolue et le sens du gradient du potentiel ϕgrad du champ.

(Réponse: ,m/kV282grad =ϕ orienté vers le plan) 15.12. Calculer la densité linéaire λ d’un fil infini uniformément chargé,

si le travail de force du champ effectué pour le déplacement perpendiculaire au fil d’une charge nC 1 q = d’une distance cm5 r1 = à une distance

cm 2 r2 = est J50A µ= . (Réponse: C/m 3,03 µλ = )

CHAPITRE 15

136

15.13. Un champ électrostatique est crée par un plan infini uniformément chargé d’une densité superficielle 2nC/cm 1 =σ . Déterminer la différence du potentiel ϕ∆ entre deux points du champ, disposés par rapport au plan à une distance cm 20 r1 = et une autre

cm50 r2 = . (Réponse: V 9,1621 =−= ϕϕϕ∆ ) 15.14. Déterminer la densité superficielle de charge σ sur les lames

d’un condenseur plan de mica ( 7 =ε ), chargé jusqu’une tension V 200 U = , si la distance entre les lames est mm0,5 d = .

(Réponse: 2C/cm 24,8 µσ = ) 15.15. Un champ électrostatique est crée par une surface sphérique

uniformément chargée du rayon cm10 R = d’une charge totale nC15 q = . Déterminer la différence du potentiel ϕ∆ entre deux points

du champ disposés à une distance 5cm r1 = et une autre 15cm r2 = de la surface de la sphère.

(Réponse: V36021 =−= ϕϕϕ∆ ) 15.16. Un champ électrostatique est crée par une balle du rayon

cm10 R = , uniformément chargée d’une densité volumique 3m/nC 20=ρ . Calculer la différence du potentiel ϕ∆ entre deux points

disposés dans la balle à distances cm 2 r1 = et cm 8 r2 = de son centre. (Réponse: V 26,221 =−= ϕϕϕ∆ ) 15.17. Un champ électrostatique est crée par un cylindre infini du

rayon mm 8 R = , uniformément chargé d’une densité linéaire nC/m10 =λ . Déterminer la différence du potentiel ϕ∆ entre deux

points du champ disposés à une distance mm 2 r1 = et une autre mm 7 r2 = de la surface du cylindre.

(Réponse: V7321 =−= ϕϕϕ∆ ) 15.18. Une lame infinie de verre ( 7 =ε ) est disposée

perpendiculairement au champ électrostatique uniforme d’intensité V/m700 Eo = . Déterminer: a) l’intensité E du champ dans la lame;

b) le déplacement électrique D dans la lame; c) la polarisation P du verre; d) la densité superficielle 'σ des charges associées à la lame.

(Réponses: a) V/m;100 E = b) ;nC/m 6,19 D 2= c) ;nC/m 5,31 P 2= d) 2nC/m ,315' =σ )

COURANT ÉLECTRIQUE CONTINU. LOIS D’OHM, DE JOULE ET DE KIRCHHOFF.

137

Courant électrique continu

Chapitre 16

Courant électrique continu. Lois d’Ohm, de Joule et de Kirchhoff.

Notions de base. Lois fondamentales et formules. L’intensité du courant est la charge q traversant par unité de temps

t la section d’un fil. Si l’intensité ne varie pas en fonction du temps le

courant est continu et tqI = . L’unité de mesure dans SI est l’ampère A

et l’intensité du courant est 1A , si la charge transportée est un coulomb par unité de temps 1 seconde, ou 1s.C1A1 −= .

La densité du courant est SIj = , où I est l’intensité du courant par

une section S , normale à la direction du mouvement des charges électriques. La densité du courant est une grandeur vectorielle dans la direction du mouvement des charges positives.

La force électromotrice (fém) ξ caractérise les sources du courant I . La fém d’une branche de circuit électrique est égale au travail des forces extérieures extA pour transporter unité de charge q le long de la

branche du conducteur : ∫∫ ===.br

ext.br

extext ld.Fq

ld.Fq

A rrrr

ξ .

La tension dans une branche de circuit électrique est 21U ϕϕξ −+= , où 21 ϕϕ − est la différence de potentiel (ddp) et ε est

la fém dans la branche. Pour une branche homogène: 0=ξ et

21U ϕϕ −= . Pour une branche non homogène 0≠ξ et

21U ϕϕξ −+= . Pour une branche homogène la loi d’Ohm est RUI =

Soit l la longueur et S - la surface de la section du conducteur, sa

résistance est SlR ρ= , où la constante ρ est appelée la résistivité de la

CHAPITRE 16

138

substance. La conductivité σ est définie par la relation ρ

σ 1= et son

unité de mesure en SI est )m( 11 −−Ω . La dépendance de la résistivité de la substance de la température est

)t1(o αρρ += , où t est la température en Co , oρ - la résistivité à

C 0t oo = et .const=α - le coefficient thermique de la résistivité. Pour

une branche non homogène la loi d’Ohm est: R

I 21 ϕϕξ ++= .

D’après la loi de Joule le travail effectué par le champ électrique est

RtItR

Ut.U.IA 22

=== , où 21U ϕϕξ −+= c’est la tension dans la

branche de circuit électrique et t - le temps pour le passage du courant. D’après la loi de Joule – Lents : RtIQ 2= , où Q est la quantité de chaleur, dégagée dans une circuit pour un temps t . Pour une branche

homogène, où 0=ξ , on peut écrire tR

UQ2

= .

Lois de Kirchhoff. Les deux lois de Kirchhoff sont basées sur les lois de conservation de la charge et de l’énergie.

Loi de nœud dit que la somme algébrique des courants I dans un noeud est égale à 0 ( I entrant «+», I sortant «-»), ou

0IIIII 54321 =+−−− Loi de la maille dit que dans une maille la somme algébrique des

forces électromotrices est égale à la somme algébrique des produits des

courants iI par les résistances iR : in

1ii

n

1ii R.I∑

=∑=

=ξ , où ξ et I ont des

directions. Associations de résistances. En série: un même courant I circule à travers toutes les résistances

R , les chutes du potentiel (ou les ddp) à travers chacune des résistances R est: IRU 11 = , IRU 22 = , .... IRU nn = . Donc la ddp totale est

I)R...RR(U...UUU n21n21 +++=+++= . Ce système peut être assimilé à une seule résistance R satisfaisant la relation RIU = et comme constI = , pour R résultant d’une association en série de iR on obtient n21 R...RRR +++= .


139

En parallèle: la même tension U est au bornes de chacune des résistances R et les courants I à travers chaque résistance R sont:

11 R/UI = , 22 R/UI = ............ nn R/UI = . Le courant I total

fourni au système est UnR

1...2R

1

1R1

nI...2I1II ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=+++= .

Ce système peut être assimilé à une seule résistance R satisfaisant la relation R/UI = et pour R résultant d’une association en parallèle de

iR on obtient n21 R

1...R1

R1

R1

+++= .

Problèmes:

16.1. L’intensité du courant dans un conducteur accroît régulièrement de A 0Io = jusqu’à A3I max = pour un temps s 6t = . Déterminer la charge Q qui a parcouru le conducteur.

(Réponse: C9Q = ) Données Solution

A0Io = , A3I max = ,

s 6t = __________

?Q =

La charge dQ qui a parcouru la section transversale du conducteur pour un temps dt est : IdtdQ = . D’après les conditions du problème l’intensité du courant accroît régulièrement ou ktI = , où le coefficient de proportionnalité

.constt

IIk omax =

−= et alors ktdtdQ = (1), d’où

par intégration on a :

2tt

o toImaxI

21

2

2ktktdtQ ∫−

===

( ) C 9oImaxI2tQ =−=

CHAPITRE 16

140

16.2. Combien d’électrons passent pour unité de temps par une section de surface 2mm 4S = , si la densité du courant est

2cm/A 100j = .

(Réponse: 119 s10.5,2n −= ) 16.3. L’intensité du courant à travers un fil augmente uniformément

de A0 Io = à A2I = pour un temps s5 t = . Déterminer la charge qui a traversé le conducteur.

(Réponse: C5 q = ) 16.4. Calculer la densité du courant j , si en deux secondes un

conducteur de section 2mm 1,6 S = est traversé par les électrons.

(Réponse: 2A/mm 1 j = ) 16.5. Déterminer la densité du courant j pour un conducteur de Fer

de longueur m 10l = , si le conducteur est sous une tension V 6U = . (Réponse: 26 m/A10.67,6j = ) 16.6. Déterminer la résistance R d’un conducteur de cuivre de

diamètre cm 1d = et de masse kg 1m = .

(Réponse: Ω410.089,3R −= ) 16.7. Combien de spires n doit-on enrouler d’un conducteur de

Ni-Cr de diamètre mm 1d = sur un cylindre de porcelaine de rayon cm 5,2r = pour que la résistance soit Ω 40R= ?

(Réponse: spires 200n = ) 16.8. La résistance d’un filament de wolfram d’une ampoule

électrique lors d’une température C20 t o1 = est Ω 35,8R1 = . Quelle

sera la température 2t du filament, si en associant dans un réseau électrique de tension V120 U = le filament est parcouru d’un courant électrique d’intensité A 0,33I = ?

(Réponse: C 2110t o2 = )


141

16.9. Un courant électrique mA80 I = traverse un conducteur en cuivre de section 2mm 0,8 S = . Déterminer la vitesse moyenne υ des électrons le long du conducteur, si à chaque atome du cuivre correspond un électron libre. La masse volumique du cuivre est 3g/cm 8,9 =ρ .

(Réponse: sm 7,4 /= µυ ) 16.10. Déterminer l’impulsion totale p des électrons dans un

conducteur rectiligne d’une longueur m500 l = , si le courant est A 20 I = .

(Réponse: kg.m/s 10 5,69. p -8= ) 16.11. Une source de courant continu avec une fém V 1,1=ξ et de

résistance interne Ω 1Ro = est connectée vers une résistance externe Ω 90R = . Déterminer: a) l’intensité du courant I dans le circuit;

b) la chute de tension .extU dans le circuit externe; c) la chute de tension

.intU dans la source de courant.

(Réponses: a) A10.1,12I 3−= ; b) V 09,1U .ext = ; c) V 0121,0U .int = ) 16.12. Déterminer la fém d’une source de courant si lors de la

mesure de la tension au bout des bornes à l’aide d’un voltmètre de résistance Ω 20R = on a obtenu une valeur de V 37,1U = et lors de la connexion de la source vers une résistance Ω 10R1 = cette dernière est parcourue d’un courant d’intensité A 13,0I1 = .

(Réponse: ( )

)RIU(RRUI

1

11−

−=ξ )

16.13. Calculer la résistance totale R entre les points A et B dans

le circuit présenté (Fig. 29), si Ω 2R1 = , Ω 3R2 = , Ω 2RRR 643 === et Ω4 R5 = .

(Réponse: Ω 1,2 R = )

CHAPITRE 16

142

Données Solution

a)

b) Fig. 29

; 2R1 Ω= ; 3R2 Ω= ; 2RRR 643 Ω=== ;4 R5 Ω= ? R =

;RR

RRR

63

6336 +

=

;RRR 362236 +=

;RR

RRR5236

52362365 +

=

;RRR 2365112365 +=

Ω 2,1RR

RRR

412365

412365 =+

=

16.14. Dans un circuit le voltmètre montre une tension V 198 U1 =

quand il est associé en série d’une résistance 1R et une tension V180 U 2 = quand il est associé d’une résistance 12 R 2 R = . Calculer: a)

la résistance 1R ; b) la tension dans le circuit U , si la résistance interne du voltmètre est Ω900 r = .

(Réponses: a) ; 100R1 Ω= b) V 220 U = ) 16.15. Déterminer l’intensité du courant 2I lors de la mise en court-

circuit d’une source de courant de fém V 2=ξ , si lors de la connexion avec un conducteur de résistance Ω 2R1 = un courant d’intensité

A 9,0I1 = parcourt le circuit. (Réponse: A 9I2 = )

B

R6

R5

R4

R3 R2 R1 A

R6 R5 R4

R3 R2 R1 A


143

16.16. Deux lampes de puissance W200 P = , calculées de telle façon que V110 U1 = et V220 U 2 = sont associées dans les deux bras d’un pont industriel de Wheatstone. Déterminer la relation entre 3R et 4R en condition que le pont soit équilibré.

(Réponse: 4R/R 43 = ) 16.17. Deux conducteurs de résistances Ω 6R1 = et Ω 9R2 = sont

associés en parallèle et connectés vers une source de courant électrique, obtenue en associant en série des éléments électriques qui sont parcourus d’un courant d’intensité A3I = (Fig. 30). Déterminer le nombre des éléments n , si chacun d’entre eux possède: V 2,1o =ξ et Ω 1,0r = .

(Réponse: éléments12n= )

Données Solution

Fig. 30

Ω 6R1 = , Ω 9R2 = , A 3I = , V 2,1o =ξ ; Ω 1,0r = .

_______________________________ ? n =

On sait que: o.n ξξ = (1) Et r.nRi = (2) Puisque les conducteurs sont associés en parallèle on a:

21 R1

R1

R1

+= , donc

21

21RR

RRR

+= .

D’après la loi d’Ohm on obtient

( )iRRI +=ξ (3) D’après (1) et (3) on a:

( )nrRIn o +=ξ , d’où:

éléments12Ir

)RR

RR(In

o

21

21

=−+

=ξ

r

I

ξ r r r

R2

R1

CHAPITRE 16

144

16.18. Sur le schéma au-dessous (Fig. 31) V100=ξ , Ω100R1 = , Ω200R2 = , Ω300R3 = . Déterminer la tension U montrée par le

voltmètre dont la résistance est Ω= k2R v . La résistance de la pille est négligée.

(Réponse: V80U = )

Fig. 31

16.19. Dans le circuit présenté (Fig. 32) l’ampèremètre montre une intensité du courant A1,5 I = . Le courant à travers la résistance 1R est égal à A0,5 I1 = . Les deux autres résistances sont Ω 2R2 = et

Ω 6R3 = . Calculer: a) la valeur de la résistance 1R ; b) les courants 2I et 3I traversants les résistances 2R et 3R .

(Réponses: a) ; 3 R1 Ω= b) A0,25 I A,0,75 I 32 == )

R1 R2

R3

ξ

V


145

Données

Solution

Fig. 32

1,5A; I = A;0,5 I1 =

; 2R2 Ω= ; 6R3 Ω=

?R1 = , ?I2 = , ?I3 =

;IIII 321 ++= .constU =

;RR

RR)II(RI32

323211 +

+=

;IIII 132 −=+

Ω3)RR(I

RR)II(R

321

3211 =

+−

=

A75,0RUI

22 == ,

A25,0R

RII

3

113 ==

16.20. Un courant d’intensité A 0,6 I = parcourt une lampe

électrique. La température du filament en tungstène d’un diamètre mm 0,1 d = est C 2200 T o= . Le courant est conduit par un fil de cuivre

d’une surface de section 2mm 6 S = . Déterminer l’intensité du champ

électrique: a) dans le tungstène (la résistivité à température Co0 t = est m.n55oW Ωρ = , le coefficient thermique de résistivité

1o C0045,0 −=α ); b) dans le cuivre, si m.n17oCu Ωρ = . (Réponses: a) V/m; 45,8 E1 = b) mV/m 1,7 E 2 = ) 16.21. Un courant d’intensité A 0,2 I = passe à travers un fil

conductible en aluminium d’une surface de section 2mm 0,2 S = . Calculer la force F avec laquelle le champ électrique agit sur chacun des électrons libres. La résistivité d’aluminium est m.n26o Ωρ = .

(Réponse: N 10 4,16. F -21= )

R3

R2

R1

A

CHAPITRE 16

146

16.22. Déterminer de combien de fois la résistance d’une ampoule électrique de puissance W100P1 = est plus grande que la résistance d’un réchaud électrique de puissance kW2P2 = .

(Réponse: fois20P/P 12 = ) 16.23. Une poile électrique de puissance kW 1 P = d’une spirale en

nichrome est prête d’être branchée en circuit d’une tension V 220 U = . Quelle est la longueur l du fil électrique de diamètre mm0,5 d = pour faire

la spirale, si la température du fil est C900 T o= ? La résistivité du nichrome à température C0 T o= est m. 1o Ωµρ = et le coefficient

thermique de résistivité est 130,45. −− 10 = Κα . (Réponse: m 6,99 l = ) 16.24. Deux conducteurs cylindriques – l’un de cuivre et l’autre de fer,

ont les mêmes longueurs l et les mêmes surfaces des sections S . Les conducteurs sont associés en parallèle. Calculer le rapport des puissances du courant 21 P/P n = passant à travers des conducteurs. Les résistivités du cuivre et du fer sont respectivement m.n 17Cu Ωρ = et m.n 98Fe Ωρ = .

(Réponse: 76,5P/P n 21 == ) 16.25. L’intensité du courant à travers un conducteur de résistance

Ω120 R = monte régulièrement de A0 Io = à A5 I max = au bout d’un temps s 15t = . Déterminer la quantité de la chaleur Q émise dans le conducteur pendant ce temps.

(Réponse: kJ15 Q = ) 16.26. Déterminer la densité de la puissance thermique du courant ω

dans un conducteur de cuivre lors d’une densité de courant 2cm/A 30j = .

(Réponse: 3m/W 1530=ω ) 16.27. Soit un chauffe-bain électrique lié avec l’eau centrale. On peut

consommer h/kg 36 de l’eau chaude de température C 50t o= . La

température de l’eau dans le réseau est C 10t oo = . Déterminer la puissance

du chauffe-bain. (Réponse: kW 676,1P = )


147

16.28. Déterminer l’intensité du courant I dans une spire du moteur de trolleybus, dont la force de tirage peut atteindre une valeur de

N 6000F = lors d’une tension dans le réseau électrique de V 600U = . La vitesse du trolleybus est h/km54=υ et le coefficient d’efficacité du moteur est %80=η .

(Réponse: A 188I = ) 16.29. Déterminer l’intensité du champ électrique E dans un

conducteur en aluminium de volume 3cm10 V = , si un courant continu I qui le traverse pendant min5 t = provoque l’émission d’une quantité de chaleur kJ 2,3Q = . La résistivité de l’aluminium est m.n 26Al Ωρ = .

(Réponse: V/m 0,141 E = ) 16.30. Un circuit est constitué de trois résistances

Ω 100RRR 321 === (Fig. 33). Le voltmètre V dont la résistance interne est Ω800 RV = , indique une tension V 200 UV = . Calculer la force électromotrice ξ de la batterie, en négligeant sa résistance.

(Réponse: V325 =ξ )

Données Solution

Fig. 33 ; 100RRR 321 Ω===

V; 200 UV =;800 RV Ω=

?=ξ

;RU

IV

VV =

;RR

UI

32

V2 +

= ;III 2V1 +=

;

RRR)RR(R

RI

32V

32V1

1

+++

+=

ξ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=32V

32V1

32

V

V

VRRR

)RR(RR

RRU

RU

ξ

V 325=ξ

ξ

R1 R2

R3

V

CHAPITRE 16

148

16.31. Déterminer: a) la force électromotrice ξ ; b) la résistance interne r de la source du courant, si en circuit externe un courant

A4 I1 = produit une puissance W10 P1 = et un courant A 2 I 2 = - une puissance W 8 P2 = .

(Réponses: a) 5V;,5=ξ b) Ω0,75 r = ) 16.32. La résistance d’un potentiomètre est Ω 2000 R = , la

résistance interne du voltmètre est Ω5000 RV = et la tension de la source est V 220 Uo = (Fig. 34). Déterminer la tension indiquée par le voltmètre UV , si le contact mobil du potentiomètre se trouve au milieu.

(Réponse: V100 UV = )

Données Solution

Fig. 34 ; 2000 R Ω= ;5000 RV Ω=

V; 220 Uo = ;l5,0ll 21 ==

? UV =

;R5,0RR 21 == ;II

IR

R5,0

Vo

V

V −=

;RR5,0I.R5,0I

V

oV +

=

;

RR5,0R.R5,0R5,0

UI

V

Vo

o

++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+==

V

V

VoVVV

RR5,0R.R5,0R5,0

R.U.R5,0RIU ;

V100R2R5,0

URUV

oVV =

+=

16.33. Les résistances du circuit sont Ω 50RR 21 == ,

Ω 100R3 = , la capacité du condensateur est nF50 C = (Fig. 35). Déterminer la force électromotrice ξ de la source, si sa résistance interne est négligée et la charge du condensateur C 2,2Q µ= .

(Réponse: V20 2=ξ )

Uo

R

V


149

Données

Solution

Fig. 35 ; 50RR 21 Ω== ; 100R3 Ω=

F8-5.10nF50 C ==

C6-2,2.10C 2,2Q == µ

?=ξ

;CQUU C ==

;RR

R.RIU

21

21+

=

;RCR

)RR(QI

21

21 +=

2R1CR3R)2R1R(Q

3IR3U+

==

3UU +=ξ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

2R1R3R)2R1R(

1CQ

ξ

V 220=ξ

16.34. Soient RR1 = , R2R2 = , R3R3 = , R4R4 = les

résistances d’un circuit (Fig. 36). Déterminer la charge Q du condensateur.

(Réponse: CU2917Q o= )

B A

C

R3

R2

R1

CHAPITRE 16

150

Données

Solution

Fig. 36

R;R1 = ;R2R2 = R;3R3 = R;4R4 =

?Q =

;IIII 421o +== ;II 32 = ;R5RRR 3223 =+=

;9R20

RRRR

R423

423234 =

+=

;9R29

9R20RRRR 4231o =+=+=

;R29

U8RU

I o

o

oo == ;RIRI 44232 =

;I45I 24 =

;II49I

45III o22242 ==+=+

;R

U299I

49 o

2 = ;R

U294I o

2 =

;U2917RIRIU o2211C =+=

CU2917CUQ oC ==

16.35. La distance entre les lames d’un condensateur plan est

mm5 d = (Fig. 37). On commence à introduire dans le condensateur une lame en verre ( 7=ε ) d’une vitesse mm/s50 =υ . La largeur de la lame est mm4,5 b = . La force électromotrice de la batterie est V220 = ξ . Calculer l’intensité du courant I dans le circuit de la batterie associée au condensateur.

(Réponse: pA 526 I = )

R4

R3

R2 R1

Uo

C


151

Données

Fig. 37

m;5.10mm5 d -3== ;7r =ε

;s/m5.10mm/s50 -2==υ

;m4,5.10mm4,5 b -3== V 220 = ξ

?I =

Solution

;dtdQI = ;bdt.'dQ υσ= ;Eæ' oεσ = ;1æ r −= ε ;

dE ξ

=

;bdt.)1(dQ ro υεε −=

pA 526b.d

)1(I ro =−= υξεε

16.36. Deux sources de courant de forces électromotrices V 2 = 1ξ

et V 5,12 = ξ et de résistances internes Ω 2r1 = et Ω 4,0r2 = sont associées parallèlement à la résistance Ω2R = (Fig. 38). Calculer l’intensité du courant I à travers cette résistance.

(Réponse: A0,775 I = )

Données

Fig. 38

V 2= 1ξ , V 5,12 = ξ Ω 2r1 = Ω 4,0r2 =

Ω2R =

?I =

Solution ;III 21 +=

;rIIR 111 ξ=+ ;rIIR 222 ξ=+

A775,0RrrrRr

rrI

2211

1221 =++

+=

ξξ

I2

I1

I R

d

CHAPITRE 16

152

Courant électrique dans les métaux, les gaz et en vacuum

16.37. Calculer la vitesse minimale minυ d’un électron, qui est nécessaire à l’ionisation de l’atome d’hydrogène, si son potentiel d’ionisation est V 13,6 Ui = .

(Réponse: Mm/s 2,19min =υ ) 16.38. Le travail d’extraction des électrons d’un métal est

eV 2,5 A = . Calculer la vitesse υ des électrons quittant le métal avec une

énergie J10 E -18= . (Réponse: Mm/s1,15 =υ ) 16.39. Le potentiel d’ionisation de l’atome d’hydrogène est

V 13,6 Ui = . Calculer la température T à la quelle les atomes possèdent une énergie cinétique moyenne du mouvement rectiligne suffisante à l’ionisation.

(Réponse: kK105 T = ) 16.40. Calculer la température T correspondante à l’énergie

cinétique moyenne du mouvement rectiligne des électrons qui est égale au travail d’extraction de tungstène, si la différence du potentiel du contact pour le tungstène est V4,5 =ϕ .

(Réponse: kK 34,8 T = )

CHAMP MAGNETIQUE DU COURANT CONTINU

153

Electromagnétisme

Chapitre 17

Champ magnétique du courant continu.

Notions de base. Lois fondamentales et formules. La loi de Bio – Savart – Laplace: l'induction magnétique

3o

rrlId.

4Bd ×

=π

µ ou bien: 2

o

r

sin.Idl.4

dB απ

µ= , où r est la distance entre

l’élément dl et le point A , α - l’angle entre le rayon vecteur rv et le vecteur ld

r (pris dans la direction du courant); m/H10.4 7

o−= πµ - la

constante magnétique. Induction magnétique d’un champ magnétique d’un courant

infiniment long est d2I

B oπ

µ= , où d est la distance entre le courant et le

point.

Induction magnétique au centre d’un courant circulaire est R2I

B oµ= ,

où R est le rayon du courant circulaire. Induction magnétique dans un

point sur l’axe d’un courant circulaire est 2/322

2o

)Rb(2R.IB

+=

µ , où b est

la distance entre le point et le centre du courant circulaire. Induction magnétique d’un champ magnétique dans un solénoïde

infiniment long où pour une bobine torique (toroïde) est nIB oµ= , où n est le nombre de spires par unité de longueur.

Induction magnetique qBr

en un point du champ magnétique d’une

charge électrique q en mouvement: 3r

)rx(q4

oqB

rrr υπ

µ= , ou bien

2r

sin..q4

oqB αυ

πµ

= , où υ est la vitesse de la charge, r - la distance de

la charge jusqu’un point donné, α - l’angle entre les vecteurs υr et rr .

CHAPITRE 17

154

Le théorème d’Ampère pour le champ magnétique: la circulation de Br

le long d’un contour fermé est égale à oµ fois la somme algébrique

des courants iI renfermés par le contour: ∑==∫==

n

1iioo

LIIldB µµΓ r

rr

Intensité d’un champ magnétique: µµ .o

BHr

r= , où B

r est l’induction

magnétique de la substance, æ1 +=µ - la perméabilité magnétique relative de la substance,æ – susceptibilité magnétique de la substance.

La circulation de l’intensité du champ magnétique sur un contour

fermé: ∑=

=∫n

1iiIld.H

r

l

r, où ∑

=

n

1iiI est la somme algébrique des courants

enfermés par le contour. Le flux magnétique mφ dans un contour plan de surface S en cas

d’un champ magnétique homogène est une grandeur scalaire définie par: S.Bmrr

=φ ou S.BS.cos.B nm == αφ , où α est l’angle entre B et le

vecteur normal à la surface S , nB est la composante de Br

suivant la direction normale au contour.

Le flux magnétique mΦ dans le cas d’un champ magnétique non homogène est : ∫=

Snm dSBφ et l’intégration se fait sur toute la surface S .

Principe de la superposition des champs magnétiques: ∑=

=n

1iiBBrr

, où

Br

est l’induction magnétique du champ résultant et iBr

- du i-ème champ magnétique.

Problèmes:

17.1. Trouver l’induction magnétique d’un champ magnétique à une distance cm 5d = d’un conducteur infini et rectiligne sous le vide, parcouru par un courant d’intensité A10 I = .

(Réponse: T10.4B 5−= )


155

17.2. Sous vide, un long conducteur, plié sous un angle o90 =α , est parcouru d’un courant d’intensité A20 I = . Trouver l’induction magnétique B au point A à une distance cm 2d = du pique de l’angle dans la direction du conducteur avant le pliage.

(Réponse: T10.1B 4−= ) 17.3. Un courant d’intensité A20 I = parcourt le paramètre d’un

carré de coté cm20 l = (Fig. 39). La direction du courant est opposée à celle de l’horloge. Trouver l’induction magnétique B du champ magnétique au centre du carré.

(Réponse: T10.24,2B 4−= )

Données Solution

Fig. 39

A20 I = , m20.10cm20 l -2==

__________________________ ? B =

4321 BBBBBrrrrr

+++= ,

mais 4321 BBBBrrrr

=== et donc

1B4Brr

= . On sait que:

2o

r

sin.Idl.4

dB απ

µ=

On change des variables et on obtient :

∫

−

=4

4

dsin

2l4

o4B

ππ

παα

π

µ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= )

4cos()

4cos(

2loB ππ

π

µ

T10.12,14

cos2.

2l

B 4o −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

π

π

µ

l

dl

r B

CHAPITRE 17

156

17.4. Calculer l’induction magnétique B d’un champ crée par un segment d’in filament infini dans un point équidistant des deux bouts du segment et situé à une distance cm4 R = de son milieu (Fig. 40). La longueur du segment est 20cm l = et l’intensité du courant traversant le filament est A10 I = .

(Réponse: T46,4 B µ= )

Données

Fig. 40

m;4.10cm4 R -2==

m; 0,2cm 20 l ==

A;10 I =

? B =

Solution

;r

2/Icos 1 =α

;180 1o

2 αα −=

T4,46)cos(cosR4I

B 21o µααπ

µ=−=

17.5. Déterminer l’induction B d’un champ magnétique au centre

d’un cadre carré traversé par un courant A5 I = (Fig. 41). La longueur du côté du cadre est cm15 l = .

(Réponse: T 37,7 B µ= )

I r α1

α2

l

R B ⊗


157

Données

Fig. 41

m;0,15 cm15 l ==

A;5 I =

? B =

Solution

;180 1o

2 αα −= ;B4B 1=

);cos(cos)

2l(

I4

B 21o

1 ααπ

µ−=

T7,37cos2)

2l(

I4

4B 1o µαπ

µ==

17.6. Deux conducteurs rectilignes et infiniment longs, parallèles

l’un à l’autre, sont parcourus sous vide de courants de directions opposées et d’intensités A 7I1 = et A15 I 2 = . Déterminer l’induction magnétique B au point C , distante de cm5 r1 = et cm 3r2 = des deux conducteurs.

(Réponse: T 8,12B = ) 17.7. Deux conducteurs parallèles infiniment longs, disposés dans le

vide à une distance cm10 R = l’un par rapport à l’autre, sont traversés de courants respectivement A 20 I1 = et A 30 I 2 = . Déterminer l’induction du champ iB crée par les courants dans les points suivants sur la droite joignant les conducteurs (Fig. 42): a) point C - situé à une distance

cm 2 r1 = du côté gauche du conducteur gauche; b) point К - situé à une

l

l

α2

α1 B ⊗

CHAPITRE 17

158

distance cm 3 r2 = du côté droit du conducteur droit; c) point G - situé à une distance cm4 r3 = du côté droit du conducteur gauche.

(Réponses: a) ; mT0,25 B1 = b) mT; 0,23 B2 = c) 0 B3 = )

Données

Fig. 42

A; 20 I1 = A; 30 I 2 =

m; 0,1cm10 R == m; 0,02 cm 2 r1 == m; 0,03 cm 3 r2 == m;0,04 cm4 r3 ==

? B1 = ? B2 = ? B3 =

Solution

;rI2

4B o

πµ

=

mT25,0)rR(

I24r

I24

B1

2o

1

1o1 =

++=

πµ

πµ

mT23,0rI2

4)rR(I2

4B

2

2o

2

1o2 =+

+=

πµ

πµ

0)rR(

I24r

I24

B3

2o

3

1o3 =

−+=

πµ

πµ

I2 I1

C

r1

G

r3 r2

K

R


159

17.8. Un conducteur rectiligne de longueur m01,1l = est perpendiculaire des lignes d’induction magnétique d’un champ magnétique homogène B . La force qui agit sur le conducteur est

N1,1F = . Déterminer l’induction magnétique B , si l’intensité du courant parcourant le conducteur est A30I = .

(Réponse: T3,36B = ) 17.9. Un conducteur rectiligne parcouru d’un courant d’intensité

A21I = est sous l’action d’un champ magnétique d’induction T79,0B = . Le conducteur est perpendiculaire à l’induction magnétique

B . Quelle force F va agir sur une partie de longueur m1l = du conducteur?

(Réponse: N59,16F = ) 17.10. Déterminer pour laquelle des conditions citées la force avec

laquelle un champ magnétique B agit sur un conducteur rectiligne, parcouru d’un courant, est N0 F = : a) la direction de l’induction magnétique est perpendiculaire au conducteur; b) la direction de l’induction magnétique est parallèle au conducteur; c) la direction de l’induction magnétique fait un angle de o30=α avec le conducteur; d) la direction de l’induction magnétique fait un angle de o45=α avec le conducteur; e) la force F n’est jamais N0 .

(Réponse: b))

17.11. L’induction du champ magnétique d’un conducteur rectiligne à une distance m 20,0r1 = est T10.3,2B 5

1−= . Déterminer le courant

I qui parcourt le conducteur et l’induction magnétique du champ du conducteur dans un point distante de m 30,0r2 = .

(Réponse: A 23 I = , T10.5,1B 52

−= ) 17.12. Un conducteur rectiligne situé horizontalement est traversé

par un courant A10 I = . Sous le conducteur, à une distance cm1,5 R = , est situé un autre conducteur d’aluminium, traversé par un courant

A1,5 I1 = . Déterminer la surface de la section S du conducteur en aluminium de façon qu’il reste immobile sans l’attacher, si la masse volumique d’aluminium est 3= g/cm 2,7 ρ .

(Réponse: 2-9 m 10 7,55. S = )

CHAPITRE 17

160

Champ d’un courant circulaire et d’un solénoïde

17.13. Un conducteur circulaire de rayon cm 2R = est placé sous vide. Trouver l’induction magnétique B au centre du conducteur s’il est parcouru d’un courant A10 I = .

(Réponse: T10.14,3B 4−= ) 17.14. Une spire de rayon cm15 R = est située par rapport à un

conducteur infiniment long de façon que sa surface soit parallèle au conducteur (Fig. 43). La perpendiculaire du centre de la spire au conducteur est de longueur cm 20 d = et représente la verticale vers la surface de la spire. Le courant traversant le conducteur est A 1 I1 = et ce-ci – traversant la spire est A5 I 2 = . Déterminer l’induction magnétique B dans le centre de la spire.

(Réponse: T 21,2 B µ= )

Données

Fig. 43

m;0,15 cm15 R == A; 1 I1 = A;5 I 2 =

m; 0,2 cm 20 d ==

?B =

Solution

;d2

IB 1

o1 πµ= ;

R2I

B 2o2 µ=

2

22

1 BBB +=

T 2,21)R2(

I

)d2(

IB 2

22

2

21

o µπ

µ =+=

B

B2

B1

I1

d

R I2


161

17.15. Deux courants circulaires perpendiculaires l’un à l’autre avec de rayons égaux et de centre commun O sont parcourus par des courants de même intensité. Quel sera l’angle α entre le vecteur de l’induction magnétique B

r du champ magnétique résultant au centre O et les plans

des courants circulaires? (Réponse: o45=α ) 17.16. Deux courants circulaires perpendiculaires l’un à l’autre de

rayons égaux et de centre commun O sont parcourus par des courants 1I et 2I . En sachant que le premier courant est deux fois plus grand que le deuxième, quelle sera l’angle α entre le vecteur de l’induction magnétique B

r du champ magnétique résultant au centre O et les plans

des courants circulaires? (Réponse: '3426 o=α ) 17.17. Un conducteur circulaire est parcouru de courant d’une

certaine intensité. On change la forme du conducteur en le transformant en carré tout en gardant l’intensité du courant constant. Combien de fois va changer l’induction magnétique au centre du contour?

(Réponse: fois15,1B/B cerclecarré = ) 17.18. Un solénoïde de longueur m0,5 l = contient 1000 N = spires.

Déterminer l’induction B du champ à l’intérieur du solénoïde, si la résistance totale des spires est Ω120 R = et la tension appliquée aux bornes du solénoïde est V60 U = .

(Réponse: mT 1,26B = ) 17.19. Déterminer: a) l’induction B ; b) l’intensité H d’un champ

magnétique le long de l’axe d’un solénoïde toroïdal creux contenant 200 N = spires, parcourus d’un courant A2I = (Fig. 44). Le diamètre

extérieur du solénoïde toroïdal est cm60 D1 = et le diamètre intérieur est cm40 D2 = . Appliquer le théorème de circulation du vecteur de

l’induction B . (Réponses: a) mT; 0,32 B = b) A/m 255 H = )

CHAPITRE 17

162

Données

Fig. 44

200; N = A; 2 I =

m; 0,6 cm60 D1 ==

m;0,4 cm40 D2 ==

?B = ?H =

Solution ;IdlB

iio

Ll ∑=∫ µ ;NIr2.B oµπ =

mT32,0r2

NIB o ==π

µ

m/A255BHo

==µ

Champ d’une charge en mouvement 17.20. Un électron est en mouvement rectiligne avec une vitesse

constante m/s 10 6=υ . Trouver l’induction magnétique qB du champ magnétique de l’électron en un point à une distance cm 1r = perpendiculairement à la direction du mouvement.

(Réponse: T10.6,1B 16q

−= ) 17.21. Un électron se déplace sur une trajectoire rectiligne d’une

vitesse constante Mm/s 0,2 =υ . Déterminer l’induction magnétique B du champ crée par l’électron dans un point d’une distance nm 2 r = de lui-même et situé sur la droite traversant la position instantanée de l’électron et formant un angle o45 = α avec sa vitesse υ .

(Réponse: T 566 B µ= )

D2

D1

r


163

17.22. Suivant la théorie de Bor l’électron et l’atome de l’hydrogène circulent autour du noyau sur une orbite de rayon nm 52,8 r = . Déterminer l’induction magnétique B du champ, crée par l’électron au centre de l’orbite.

(Réponse: T 1,25.10 B -25= ) 17.23. Un électron se déplace sur un circuit dans un champ

magnétique uniforme d’induction T 0,1 B = . Calculer la vitesse angulaire ω de l’électron.

(Réponse: srad10.76,1 10 / = ω ) Circulation de l’induction magnétique

17.24. Par le centre d’un cercle, perpendiculairement de son plan,

passe un conducteur rectiligne parcouru d’un courant A5 I = . Déterminer la circulation de l’induction magnétique B sur le cercle.

(Réponse: m.T10.28,6dlBl

6l∫ −= )

17.25. Déterminer la circulation de l’induction magnétique sur le contour d’un carré, sous vide, si par son centre perpendiculairement à son plan passé un conducteur rectiligne infini parcouru par un courant A1I = .

Données Solution

A1I = __________________

?dlB

ll =∫

On sait que:

∫ =l

ol IdlB µ

m.T610.26,1l

1.710..4dllB −=∫ −= π

Flux magnétique

17.26 Un solénoïde toroïdal creux contient spires/cm 8 n = , le rayon du solénoïde est cm 2 r = et le courant qui le parcourt est A 2 I = . Calculer le flux magnétique Φ traversant la section du toroïde.

(Réponse: Wb 2,53 µΦ = )

CHAPITRE 17

164

17.27. Le nombre des spires d’un toroïde de noyau en nickel de surface 2cm10 S = ( 200=µ ) est 200 N = . L’intensité du champ magnétique uniforme est kA/m10 H = . Calculer: a) l’induction B du champ dans le toroïde; b) le flux magnétique Φ traversant le toroïde.

(Réponses: a) ; T 2,51 B = b) Wb 9,502 =Φ ) 17.28. Un cadre carré de longueur du bord cm10 a = est situé dans

un champ magnétique uniforme d’intensité kA/m10 H = (Fig. 45). L’angle entre la normale vers la surface du cadre et le sens du champ est

οα 60 = . Déterminer le flux magnétique Φ traversant le cadre. (Réponse: Wb 628 µΦ = ).

Données

Fig. 45

;m/A10 kA/m10 H 4== m; 0,1 cm10 a ==

;60 οα =

? =Φ

Solution ;cos BS αΦ =

;HHB o1o µµµ µ == = ;aS 2=

Wb628cos Ha 2o µαµΦ ==

n

α

B

ACTION DU CHAMP MAGNETIQUE SUR DES COURANTS ET DES CHARGES

165

Chapitre 18

Action du champ magnétique sur des courants et des charges


Loi d’Ampère pour la force Fdr

avec laquelle un champ magnétique agit sur une longueur infiniment petite dl d’un conducteur parcouru d’un courant I est: )bld(IFd

rrr×= , ou bien αsin.B.dl.IdF = , où B est

l’induction magnétique dans un point qui contient l’élément dl , α - l’angle entre les vecteurs ld

r et B

r.

Force d’interaction entre deux courants rectilignes et parallèles 1I et

2I : d.2

lIIF 21o

πµ

= , où l est la longueur des conducteurs, d - la distance

entre eux. Le moment des forces, agissant sur un contour fermé de courant dans

un champ magnétique d’induction magnétique Br

: BpM mrrr

×= , ou bien αsinBpM m= , où ISpm = est le moment magnétique du contour, I -

l’intensité du courant, S - la surface entourée du contour, α - l’angle entre les vecteurs mpr et B

r, où mpr est dans la direction de la normale

vers le plan du contour. Travail pour le déplacement d’un contour fermé de courant dans un

champ magnétique: mIA ∆Φ= , où I est l’intensité du courant, m∆Φ - le changement

du flux magnétique par la surface entourée du contour. Force magnétique s’exerçant sur une charge en mouvement. Force de

Lorentz : )B(qFmrrr

×= υ . Si α est l’angle entre υ et B , la grandeur de

mF est donnée par: αυ sinB..qFm = Quand une particule chargée se déplace dans une région, où il y a un

champ électrique E et un champ magnétique B , la force résultante agissante sur la particule est: ( ))B(EqFFF mel

rrrrr×+=+= υ .

CHAPITRE 18

166

Problèmes 18.1. Un conducteur rectiligne de longueur cm 100l = est parcouru

d’un courant d’intensité A 60I = . Le conducteur est placé dans un camp magnétique uniforme de l’induction T 2,0B = . Déterminer la force F qui va agir sur le conducteur, si l’angle qu’il forme avec l’induction magnétique est o30=α .

(Réponse: N10.1F 2−= ) 18.2. Un conducteur rectiligne est posé sous l’action d’un champ

magnétique uniforme d’induction T 2,0B = . Le conducteur de longueur cm100 L = est parcouru d’un courant d’intensité A 60I = . Si l’angle

entre lui et Br

est o30=α , déterminer la force F qui va agir sur le conducteur?

(Réponse: N 6F = ) 18.3. Un conducteur rectiligne de longueur cm10 l = est posé sous

l’action d’un champ magnétique uniforme d’induction T 0,01B = . Le conducteur est parcouru d’un courant d’intensité A20I = . Si le conducteur subit l’action d’une force mN10 F = déterminer l’angle α entre lui et B

r.

(Réponse: o30=α )

Données

Solution

m10.10cm10 l -2== , A20I = ,

T 0,01B = ,

N10.10mN10 F -3== . ?=α

La loi d’Ampère donne: αsin.B.dl.IdF = ,

d’ où 5,0B.l.I

Fsin ==α et

alors o30=α

18.4. Deux conducteurs rectilignes distants de cm10 l = sont

parcourus respectivement de courants d’intensités A20 I1 = et A30 I 2 = . Déterminer le travail A qu’on doit effectuer sur unité de

longueur pour que les conducteurs s’éloignent à une distance cm20 l1 = .

(Réponse: m/J10.32,8A 5−= )


167

18.5. Un conducteur rectiligne de longueur cm15 l = , traversé d’un courant A5 I = , est situé dans un champ magnétique homogène d’induction T 0,2 B = . Une force N 0,13 F = agit sur le conducteur. Calculer l’angle α entre le sens du courant et le vecteur de l’induction magnétique.

(Réponse: οα 60 = ) Moment magnétique 18.6. Un cadre carré de surface 2cm 25 S = est disposé dans un

champ magnétique uniforme d’induction T 0,1 B = (Fig. 46). La normale

vers la surface du cadre fait un angle οα 60 = avec la direction du champ magnétique B . Déterminer le moment M de rotation agissant sur le cadre, si le courant qui le traverse est A1I = .

(Réponse: H.m 217 M µ= )

Données

Fig. 46

T; 0,1 B =

;60 οα = A; 1 I =

;m10.25cm 25 S 242 −==

? M =

Solution

;B.pM mrr

=

;sinBpM m α=

;ISpm =

m.H217sinISBM µα ==

n

α B

I

CHAPITRE 18

168

18.7. Une charge q est en mouvement uniforme d’une vitesse υ sur un cercle de rayon r . Trouver le moment magnétique de la charge.

(Réponse: 2

rqpmυ

= )

18.8. Un conducteur curviligne de rayon cm 3r = parcouru par un

courant d’intensité A20I = se trouve dans un champ magnétique uniforme d’intensité A/m10 H 4 = . Trouver le moment des forces, agissantes sur le conducteur si sa normale forme avec H un angle

o60=α . (Réponse: m.N10.15,6M 4−= ) 18.9. L’intensité d’un champ magnétique H au centre d’une spire

circulaire d’un moment magnétique 2m A.m1,5 p = est A/m150 H = .

Calculer: a) le rayon de la spire R ; b) l’intensité du courant I traversant la spire.

(Réponses: a) cm; 11,7 R = b) 35,1A I = ) 18.10. Quel est le moment des forces M agissantes sur une bobine

parcourue d’un courant A 10I = , si elle se trouve dans un champ magnétique homogène d’induction T0,5 B = et elle contient

spires50 N = de surface 2cm20 S = . Sa normale forme un angle o45=α avec le vecteur B

r.

(Réponse: m.N3535,0M = ) 18.11. Une roue mince de masse g10 m = et de rayon cm 8 R = est

uniformément chargée d’une densité linéaire nC/m10 =λ (Fig. 47). La roue fait une rotation uniforme d’une fréquence -1s15 =ν par rapport à un axe à travers le centre de la roue et perpendiculaire à sa surface. Déterminer: a) le moment magnétique mp du courant circulaire crée par la roue; b) le rapport du moment magnétique mp et le moment d’impulsion L de la roue.

(Réponses: a) ;nA.m 1,52 p 2m = b) nC/kg 251

Lpm = )


169

Données

Fig. 47

kg;10g10 m -3== 0,08m;cm 8 R == nC/m;10 =λ

;s15 -1=ν

? pm =

? L

pm =

Solution

;ISpm = ;R...2T

R2.TQI λνππλ

=== ;RS 2π= ;1Tν

=

2322m nAm52,1R2RR2p === νλπππνλ

;mvRL = ;R..2Rv νπω ==

kg/nC 251m

RR..2.mR...2

Lp

2

32m ===

πλ

νπ

λνπ

18.12. Le flux de l’induction magnétique Φ traversant la surface de

la section d’un solénoïde sans noyau est Wb 1 µΦ = . La longueur du solénoïde est cm12,5 l = . Déterminer le moment magnétique mp du solénoïde.

(Réponse: 2m A.m 0,1 p = )

Travail effectué pour le déplacement d’un courant dans un champ magnétique

18.13. Un conducteur rectiligne de longueur cm10 l = est placé

dans un champ magnétique uniforme d’induction T2.10B -2= perpendiculairement des lignes de l’induction magnétique. Le conducteur est parcouru d’un courant uniforme d’intensité A5I = . Sous l’action du

Pm

I

CHAPITRE 18

170

champ magnétique le conducteur se déplace à une distance cm10 d = . Déterminer le travail A effectué par la force du champ.

(Réponse: J10.1A 3−= ) 18.14. Soit un conducteur de contour carré dont la partie est

cm 10a = . Le conducteur est parcouru d’un courant uniforme A 20I = . Le plan du carré forme un angle o20=α avec l’induction magnétique

T 0,1B=r

. Déterminer le travail A qu’on doit effectuer pour que le conducteur sort du domaine de l’action du champ magnétique.

(Réponse: J10.8,6A 3−= ) 18.15. Un conducteur de longueur cm10 l = se déplace dans un

champ magnétique uniforme avec une accélération constante 2cm/s 2a = . L’induction magnétique du champ est T0,5 B = . Le

conducteur est parcouru par un courant A5 I = . La direction du mouvement est perpendiculaire au champ magnétique et la vitesse initiale du conducteur est m/s0 =υ . Déterminer le travail effectué pour le déplacement du conducteur pour un temps s20 t = .

(Réponse: J1A = ) 18.16. Un contour circulaire conductible du rayon cm5 r = parcouru

par un courant A1I = se trouve dans un champ magnétique d’intensité kA/m10 H = . La surface du contour est perpendiculaire au sens du

champ. Calculer le travail A nécessaire pour tourner le contour à un angle οα 90 = autour d’un axe coïncidant avec le diamètre du contour.

(Réponse: J 98,7 A µ= ) Force de Lorentz. Mouvement d’une particule chargée dans de champs électrique et magnétique

18.17. Un flux des particules α d’énergie MeV1Ec = entre dans

un champ magnétique uniforme d’induction T5,1B = . La vitesse υ de chaque particule α est perpendiculaire à B . Trouver la force agissante F sur chacune des particules.

(Réponse: N10.66,1F 12−= )


171

18.18. Une particule chargée est accélérée par une différence de potentiel V10 2=ϕ∆ . La particule entre dans des champs électrique et magnétique homogènes et perpendiculaires l’un à l’autre, où

m/kV20E = et T1,0B = . Déterminer la charge spécifique mq de la

particule, si elle se déplace perpendiculairement des deux champs et n’effectue aucune déviation.

Données

V10 2=ϕ∆ , m/kV20E = , T1,0B =

?mq

=

Solution Puisque la particule se déplace dans une espace de deux champs -

électrique et magnétique, perpendiculaires l’un à l’autre et la vitesse de la particule est perpendiculaire aux champs, alors sur la particule vont agir simultanément la force de Lorentz LF et la force de Coulomb CF .

On effectue un travail A du champ pour accélérer la particule : ϕ∆.qA = .

L’énergie cinétique acquise par la particule est : 2

mE2

cυ

= et

cEA = , alors 2

m.q2υϕ∆ = .

D’ici on obtient : ϕ∆

υ.2m

q 2= . D’autre part on sait que : CL FF = et

alors E.qB..q =υ et pour la vitesse on obtient BE

=υ , ϕ∆.2

1BE

mq 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

et

kg/C10.210.21

1,010.20

mq 8

2

23=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

CHAPITRE 18

172

18.19. Un électron est accélérée par une différence de potentiel V1000=ϕ∆ . Il entre dans un champ magnétique d’induction

T10.19,1B 3−= . Le vecteur Br

est perpendiculaire à la vitesse de l’électron υr . Trouver: a) le rayon r du cercle décrit par l’électron; b) la période T nécessaire pour un tour sur le cercle; c) le moment de l’impulsion de l’électron eL .

(Réponses: a) m10.9,8r 2−= ; b) s10.3T 8= ;

c) 1224e s.m.kg10.53,1L −−= )

18.20. Une particule chargée d’énergie cinétique keV 10Ec = est

en mouvement sur un cercle de rayon mm 1r = dans un champ magnétique homogène. Déterminer la force F avec laquelle le champ agit sur la particule.

(Réponse: N10.2,3F 12−= ) 18.21. Un proton, accéléré par une tension V 600U = , entre dans un

champ magnétique homogène d’induction T 3,0B = et débute un mouvement sur un cercle. Déterminer le rayon r du cercle, si la direction du mouvement du proton est perpendiculaire aux lignes du champ magnétique.

(Réponse: m10.12r 3−= ) 18.22. Un électron est accéléré par une différence du potentiel

kV0,5 U = . Il se déplace parallèlement à un conducteur long et rectiligne situé à une distance cm 1 r = de l’électron. Déterminer la force F agissante sur l’électron, si le courant à travers du conducteur est

A10 I = . (Réponse: N 4,24.10 F -16= ) 18.23. Un proton, accéléré par une différence du potentiel

kV0,5 U = , entre dans un champ magnétique uniforme d’une induction mT 2 B = et commence à se déplacer sur un circuit. Calculer le rayon R

du circuit. (Réponse: m 1,61 R = )


173

18.24. Un électron entre dans un champ magnétique uniforme d’une induction mT 2 B = et se déplace sur un circuit de rayon cm15 R = . Déterminer le moment magnétique mp du courant circulaire équivalent.

(Réponse: 2m pA.m 0,632 p = )

18.25. Un électron d’une vitesse Mm/s 1 =υ entre dans un champ

magnétique uniforme sous un angle o60 = α par rapport au champ et commence à se déplacer sur une spirale. L’intensité du champ magnétique est kA/m1,5 H = . Calculer: a) le pas h de la spirale; b) le rayon R de la spire de la spirale.

(Réponses: a) mm, 9,49 h = b) mm62,2R = ) 18.26. Les ions de deux isotopes de masses kg 6,5.10 m -26

1 = et

kg 6,8.10 m -262 = accélérés par une différence du potentiel kV0,5 U = ,

entrent dans un champ magnétique uniforme d’induction T 0,52 B = perpendiculairement aux lignes d’induction. La charge de chaque ion est égale à la charge électrique élémentaire. Quelle sera la différence entre les rayons des trajectoires des ions des isotopes dans le champ magnétique?

(Réponse: mm 0,917 R -R 12 = ) 18.27. Les cyclotrons permettent d’accélérer les protons jusqu'aux

énergies MeV 20 Ec = . Déterminer le rayon R des demi cylindres («Les Dées») des cyclotrons, si l’induction magnétique est T2B = .

(Réponse: cm 32,3 R = )

18.28. Déterminer la charge spécifique mq d’une particule accélérée

par un cyclotron d’un champ magnétique uniforme d’une induction T 1,7 B = , si la fréquence de la tension d’accélération est MHz 25,9 =ν .

(Réponse: C/kg 9,57.10 mq 7= )

18.29. Les protons s’accélèrent dans le cyclotron par un champ

magnétique uniforme d’induction T 1,2 B = . Le rayon maximal de courbure de leur trajectoire est cm40 R = . Déterminer: a) l’énergie cinétique cE à la fin de l’accélération; b) la fréquence minimale minν de

CHAPITRE 18

174

la tension d’accélération pour laquelle l’énergie des protons atteint la valeur MeV 20 Ec = .

(Réponses: a) ;GHz 24,6 min =ν b) MeV 11 Ec = ) 18.30. On considère l’effet Hall dans un conducteur en sodium, si la

densité du courant est 2A/cm150 j = , l’induction magnétique est T 2 B = et l’intensité du champ électrique transversal est

mV/m0,75 EB = . Calculer: a) la concentration n des électrons de conductivité; b) le rapport 'n/n entre la concentration n des électrons de conductivité et la concentration 'n des atomes dans le conducteur. La densité volumique du sodium est 3g/cm 0,97 =ρ .

(Réponses: a) ;m 2,5.10 n -328= b) 0,984 n/n' = ) 18.31. Déterminer la constante de Hall R pour le sodium, si le

rapport de la concentration n des électrons de conductivité et la concentration 'n des atomes est 0,984 n/n' = . La masse volumique du

sodium est 3g/cm 0,97 =ρ .

(Réponse: /A.sm 2,5.10 R 3-10= ) 18.32. Calculer combien de fois la constante de Hall pour le cuivre

CuR est plus grande que celle-ci pour l’aluminium AlR . Chaque atome d’aluminium possède deux électrons libres 2nAl = et chaque atome du cuivre – 0,8nCu = électrons libres. Les masses volumiques du cuivre et

de l’aluminium sont respectivement 3Cu cmg, / 938 = ρ et

3Al cmg7,2 / = ρ .

(Réponse: 78,1R/R AlCu = ) 18.33. Un courant électrique A 6 I = parcourt une lame en cuivre

d’épaisseur mm 0,2 d = qui est localisée dans un champ magnétique uniforme d’induction T1B = perpendiculaire au bord de la lame. La concentration des électrons de conduction n est considérée égale à la concentration des atomes 'n . Calculer la différence du potentiel de Hall ϕ∆ . La masse volumique du cuivre est 3

Cu cmg, / 938 = ρ . (Réponse: V21,2 µϕ∆ = )

INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE. ENERGIE DU CHAMP MAGNETIQUE

175

Chapitre 19

Induction électromagnétique.

Energie du champ magnétique


Loi fondamentale pour l’induction électromagnétique c’est la loi de

Faraday : dt

d mi

φξ −= , où iξ est la force électromotrice induite dans un

contour fermé, mdΦ - le changement du flux magnétique à travers la surface entourée par le contour, dt - le temps du changement.

Lors du mouvement d’un conducteur de longueur l dans un champ magnétique homogène d’induction B un force électromotrice induite iξ apparaît et αυξ sinBli = , où υ est la vitesse du mouvement du

conducteur, α - l’angle entre les vecteurs υr

et Br

. Le flux magnétique par une surface entourée par un contour fermé,

lorsque le flux magnétique est crée par le courant dans le contour est I.LmS =Φ , où L est l’inductance du contour. Induction d’un solénoïde

(où d’un toroïde) est VnL 2oµµ= , où µ est la perméabilité magnétique

du noyau du solénoïde, n - le nombre de spires par unité de longueur, V - le volume du solénoïde.

La force électromotrice induite iξ dans un circuit fermé à condition

que l’inductance L du contour ne change pas est dtdIL

dtd m

i −=−=φ

ξ ,

où dI est le changement de l’intensité du courant pour un temps dt . Valeur instantanée de l’intensité du courant I dans un circuit de

résistance R et d’induction L :

CHAPITRE 19

176

1) après un temps t dès le moment de la fermeture du circuit

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−= τξ

t

e1oIt

LR

e1RoI , où oξ est la force électromotrice de la

source du courant branchée dans le circuit; RL

=τ le temps de relaxation.

2) après un temps t dès le moment de l’interruption du circuit

τt

ot

LR

o eIeII−−

== .

L’énergie du champ magnétique d’un solénoïde est 2

LIW2

m = , où

L est l’inductance du solénoïde, I - l’intensité du courant du solénoïde. La densité de l’énergie magnétique mw , ou l’énergie magnétique par

unité de volume V est 2

BH2

InVWw

22o

m ===µ

.

Problèmes

19.1. Un conducteur est en mouvement dans un champ magnétique, perpendiculaire à l’induction T1B = . La vitesse du mouvement est

s/m 10=υ . Déterminer la longueur l du conducteur pour que la force électromotrice soit V 10i =ξ .

(Réponse: m 1l = ) 19.2. Un conducteur circulaire de rayon cm 30r = est placé dans un

champ magnétique dont le changement de l’induction est décrit par l’équation tcosBB o ω= , ou mT 5Bo = et 1s 5 −=ω . La normale vers le cercle du conducteur forme avec la direction du champ un angle

o30=α . Déterminer la force électromotrice de l’induction iξ qui apparaît dans le tour au moment s 10t = .

(Réponse: mV 06,3i =ξ )


177

19.3. Le diamètre d’un solénoïde est cm 4d = et le nombre de ses spires est 500 N = . Le solénoïde est placé dans un champ magnétique dont l’induction B change d’une vitesse mT/s 1 dB/dt = . L’angle entre l’axe du solénoïde et le vecteur de l’induction magnétique est οα 45= . Déterminer la force électromotrice de l’induction iξ dans le solénoïde.

(Réponse: V444i µξ = ) 19.4. Un fil d’aluminium de diamètre mm 2 d = et m.n 26Al Ωρ =

forme un cercle de diamètre cm 30 D = . Le fil est placé dans un champ magnétique B perpendiculairement aux lignes d’induction. Déterminer la vitesse du changement du champ magnétique dB/dt , si le courant électrique traversant le cercle est A1 I = .

(Réponse: T/s 0,11 dB/dt = )

19.5. Un cadre rectangulaire dont la borne de longueur cm15 l = peut se déplacer est placé dans un champ magnétique uniforme T 0,3 B = (Fig. 48). Calculer la force électromotrice de l’induction iξ dans le cadre, si sa borne se déplace d’une vitesse m/s10 =υ perpendiculairement aux lignes d’induction.

(Réponse: V 45,0i =ξ )

Données Solution

Fig. 48

T; 0,3 B = m;0,15 cm15 l ==

m/s;10 =υ

?i =ξ

;dt

di

Φξ −=

;BlxBS ==Φ

)Blx(dtd

i −=ξ

;BldtdxBli υξ −=−=

V 45,0Bli == υξ

B

l

x

I υ

CHAPITRE 19

178

19.6. Un cadre dont le nombre des spires est 1200 N = tourne uniformément avec une fréquence 1= -min600 ν dans un champ magnétique uniforme d’induction T 0,2 B = . L’aire de la surface du cadre

est 2cm100 S = . L’axe de rotation est disposé dans le plan du cadre, perpendiculairement aux lignes de l’induction magnétique B . Déterminer la force électromotrice maximale imaxξ , induite dans le cadre.

(Réponse: V 151imax =ξ ) 19.7. Un courant électrique A1 I = passe à travers une bobine de

longueur cm50 l = , de diamètre cm5 d = et de nombre des spires 200 N = . Déterminer: a) l’inductance L de la bobine; b) le flux

magnétique Φ traversant la surface de sa section. (Réponses: a) H; 197 L µ= b) nWb985 =Φ ) 19.8. Les inductances de deux longues bobines enroulées sur la

même base sont respectivement H0,64 L1 = et H0,04 L2 = . Calculer le rapport entre le nombre des spires 1N de la première bobine et le nombre des spires 2N de la deuxième bobine.

(Réponse: 4 /NN 21 = ) 19.9. Calculer le nombre des spires N de diamètre mm0,5 d = et

d’isolation d’épaisseur minimale qu’on doit enrouler sur un cylindre de carton de diamètre cm1,5 D = pour obtenir une bobine d’une seule couche avec une inductance H100 L µ= .

(Réponse: 225 N = ) 19.10. Déterminer l’inductance L d’un solénoïde de longueur l et

résistance R , si le fil enroulé sur le solénoïde est d’une masse m , une masse volumique – ρ et une résistivité - 'ρ .

(Réponse: 'l4/mRL o ρρπµ= ) 19.11. On augmente le courant électrique qui parcourt un solénoïde

creux dont le nombre des spires est 1000 N = . En résultat le flux magnétique accroît de mWb 1 =∆Φ . Déterminer la valeur moyenne de la force électromotrice d’auto induction iξ dans le solénoïde, si le changement du courant s’effectue pendant s 1 t = ?

(Réponse: V 1i =ξ )


179

19.12. Une bobine est d’une inductance H 0,1 L = et d’une résistance Ω 0,8 R = . Combien de fois va diminuer le courant électrique

/II n o= traversant la bobine pendant ms 30 t = , si on coupe la source de tension.

(Réponse: 1,27 n = ) 19.13. Une bobine d’une inductance H1,5 L = et d’une résistance

Ω15 R1 = est associée parallèlement dans un circuit avec une résistance Ω150 R2 = (Fig. 49). La force électromotrice de la source du circuit est

V60 =ξ . Calculer les différences du potentiel 1U et 2U aux bornes de la bobine après: a) s; 0,01 t1 = b) s 0,1 t2 = .

(Réponses: a) ; V 200 U1 = b) V 0,01 U 2 = )

Données

Fig. 49

H;1,5 L= ;15 R1 Ω= ;150 R2 Ω= V;60 =ξ

s; 0,01 t1 = s; 0,1 t2 =

?U1 =

?U 2 =

Solution

;R

I1

oξ

= ;eIIt

LR

o−

= ;RRR 21 += ;IRU 2=

V 200eRR

U1t

LR

21

1 ==−ξ

V 01,0eRR

U2tL

R

21

2 ==−ξ

L, R1

ξ

R2

CHAPITRE 19

180

19.14. Deux bobines sont enroulées sur la même base. Déterminer leur inductance mutuelle 12L , si le changement du courant dans la première bobine d’une vitesse A/s 3 /dtdI1 = induit une force électromotrice V 3,0émf 12 = dans la deuxième bobine.

(Réponse: H 0,1 L12 = ) 19.15. Un courant électrique A5 I = parcourt un solénoïde dont le

nombre des spires est 500 1 N = . Le flux magnétique traversant la section du solénoïde est Wb200µΦ = . Déterminer l’énergie W du champ magnétique dans le solénoïde?

(Réponse: 0,75 J W = ) 19.16. Un solénoïde de longueur m 1 l = dont la surface de section

est 2cm 20 S = possède une inductance mH0,4 L = . Calculer le courant électrique I qui doit parcourir le solénoïde pour que la densité volumique de l’énergie du champ magnétique dedans le solénoïde soit 2 J/m0,1 w = .

(Réponse: A1I = ) 19.17. Un solénoïde est placé dans un milieu diamagnétique. Ses

spires d’un nombre 1000 N = , sont parcourus d’un courant électrique A0,4 I = . L’inductance du solénoïde est mH 3 L = , sa longueur est

cm45 l = et la surface de sa section est 2cm10 S = . Déterminer l’induction magnétique B dedans le solénoïde.

(Réponse: mT 1,2 B = ) 19.18. Un contour oscillant contient une bobine dont le nombre total

des spires est 100 N = et l’induction est H10 L µ= et aussi un condenseur de capacité nF 1 C = . La tension maximale aux bornes du condenseur est V100U max = . Déterminer la valeur du flux magnétique maximale maxΦ traversant la bobine.

(Réponse: Wb 0,1 max µΦ = )


181

Données Solution 100; N =

H;10H10 L -5== µ

F;10nF 1 C -9== ;V100U max =

?max =Φ

);tcos(QQ omax ϕω += ;LC1

o =ω

);tsin(QI omaxo ϕωω +−= ;QI maxomax ω= ;CUQ maxmax =

;NLI maxΦ=

NmaxQoL

NmaxLI

maxω

Φ ==

LCNmaxU

NmaxLCUo

max ==ω

Φ

Wb1,0max µΦ =

19.19. Déterminer le temps t pour lequel l’intensité du courant de

fermeture soit oI8,0 , où oI est le courant au moment 0t = , si la source de la force électromotrice méf de la bobine possède une résistance

Ω 10R = et une induction H 1,0L = .

Données

Solution

oI8,0I = , Ω 10R = , H 1,0L =

?t =

Le courant de fermeture du circuit qui contient la source de méf est )e1(II t)L/R(

o−−= (1), où R est la

résistance de la bobine, L - l’induction et oI - le courant à 0t = . On remplace oI8,0I = dans (1)

t)L/R(e18,0 −−= et

s10.2,16R

2,0lnLt 3−=−=

CHAPITRE 20

182

Optique

Chapitre 20 Optique géométrique.

Notions de base. Lois fondamentales et formules. La loi de réfraction pour la transition d’un rayon lumineux d’un

milieu dans un autre est 2

1nsinsin

υυ

βα

== , où α est l’angle incident, β -

l’angle de réfraction, 1υ et 2υ - les vitesses de propagation de la lumière dans le premier et le second milieu et n - l’indice de réfraction relatif (du second milieu par rapport au premier "n" 21 ).

Problèmes 20.1. Un miroir plan se trouve sur le fond horizontal d’une piscine de

profondeur m1,5 h = . Un rayon lumineux entre dans l’eau sous un angle o

1 45 i = (Fig. 50). Calculer la distance s entre le point d’entrée du rayon dans l’eau et le point de sortie sur la surface de l’eau après sa réflexion par le miroir. L’indice de réfraction de l’eau est 1,33 n = .

(Réponse: m 1,88 s = )

Données

Fig. 50

m1,5 h = 1,33 n =

o1 45 i =

?s =

h n

i1 A

i2

B

OPTIQUE GEOMETRIQUE.

183

Solution ;htgi2ABs 2==

;nisinisin

2

1 = ;n

isinisin 12 =

;

n

isin1n

isinicosisin

tgi

21

21

2

22

−

==

m 88,1isinn

isinh2s

1221 =

−=

20.2. Déterminer la profondeur 'h à laquelle semble être disposée

une pièce de monnaie qui se trouve dans une piscine de profondeur m1,5 h = . L’angle entre le rayon de vue et la verticale est o

1 30i = . L’indice de réfraction de l’eau est 1,33 n = .

(Réponse: m 05,1h' = ) 20.3. Un rayon lumineux sort d’un verre et entre dans le vide.

L’angle critique est oc 42 =α . Calculer la vitesse de la lumière υ dans le

verre. (Réponse: Mm/s 201 =υ ) 20.4. Déterminer quel sera l’angle γ de réflexion par un miroir plat

si on a détourné le miroir sous un angleα . (Réponse: αγ 2 = ) 20.5. Un homme voit un objet sur le fond d’un réservoir ( 1,33 n = ),

(Fig.51). Déterminer la profondeur réelle du réservoir H , si sa profondeur apparente est m1,5 h = .

(Réponse: m 2 H = )

CHAPITRE 20

184

Données Solution

Fig. 51

m1,5 h =

1,33 n =

?H =

;Htghtg 21 αα =

;tgtghH

2

1αα

=

1α et 2α sont petits;

;nsinsin

2

1 =αα

;ntgtg

2

1 =αα

m 2 hn H ==

20.6. Un rayon lumineux tombe sur la limite entre deux milieux sous

un angle o1 30i = . L’indice de réfraction du premier milieu est

42,2n1 = . Déterminer l’indice de réfraction du second milieu 2n , si le rayon de réflexion est celui de réfraction sont perpendiculaires l’un à l’autre.

(Réponse: 1,4 n2 = ) 20.7. Un rayon lumineux tombe sur une lame de verre à faces

parallèles 5,1n = sous un angle o1 45i = . Déterminer l’épaisseur de la

lame d , si l’angle sortant de la lame est déplacé relativement par rapport à l'angle incident d’une distance cm5,1l= .

(Réponse: cm 5,58 d = ) 20.8. Un rayon lumineux sort d'un diamant et entre dans de l'huile.

Déterminer l’angle limite limi incident de la lumiére à la limite des deux milieux, si les indices de réfraction sont respectivement pour le diamant

42,2n1 = et pour l’huile 6,1n2 = .

(Réponse: '2341i olim = )

H α2

α1

h

n

INTERFERENCE DE LA LUMIERE

185

Chapitre 21

Interférence de la lumière.


Le chemin optique des ondes lumineuses est l.n ou l est le chemin géométrique dans un milieu avec un indice de réfraction n .

La distance x du k -ème maximum d’interférence du maximum

O lors de l’expérience d’Young est λdLkx = , où k est le numéro du

maximum d’interférence, d - la distance entre les deux sources de lumière, L - la distance jusqu’à l’écran, λ - la longueur d’onde de la lumière.

La différence des chemins optiques des ondes interférées, réfléchies par une lame à faces parallèles et transparentes est

2sinn2d 22 λ

α∆ −−= , où d est l’épaisseur de la lame, α - l’angle

incident. La condition pour qu’on ait un maximum d’interférence est

okλ∆ ±= , où k est le numéro du maximum d’interférence ( 0,1,2,... k = ) et oλ est la longueur d’onde dans le vide.

La condition pour qu’on ait un minimum d’interférence est

( )2

1k2 oλ∆ +±= , où k est le numéro du maximum d’interférence

( 0,1,2,... k = ) et oλ est la longueur d’onde dans le vide. La différence des chemins optiques des ondes interférentes passées

par une lame transparente mince est α∆ 22 sinnd2 −= . Rayons des anneaux brillants de Newton, lors de réflexion de la

lumière: ( )2

R1k2rkλ

+= , R désigne le rayon de la surface sphérique

et k - le numéro de l’anneau.

CHAPITRE 21

186

Problèmes Interférence des ondes par deux sources cohérentes 21.1. On a fait l’expérience d’Young à l’aide d’une lumière

monochromatique de longueur d’onde nm 555=λ . La distance entre les fentes est mm 19,0d = , tandis qu’on obtient le troisième minimum d’interférence sur l’écran E à une distance mm 16x = du points O (Fig.52). Déterminer la distance entre les fentes et l’écran.

Données

Fig.52

m10.555nm 555 9−==λ , m10.19,0mm 19,0d 3−== ,

m10.10mm 16x 3−== _________________________________________________________

?L =

Solution La différence dans les chemins des ondes interférées jusqu’au point A est:

222221 )

2dx(L)

2dx(LASAS −+−++=−=∆

( ) ( )

Lxd

L4dx21

L4dx21 2

2

2

2≈⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+−

++=∆ , ou λ∆

25

Lxd

== et

d’ici m 2,25xd2L ==λ

O

E

x

A L

S2

S1

d


187

21.2. Une couche mince de liquide se trouve entre deux plaques de verre parallèles dont les indices de réfraction sont respectivement 1n et

2n . Un rayon de lumière se propage dans la première plaque sous un angle 1i (plus petit que l’angle limite), sort du liquide et entre dans la deuxième plaque sous un angle 2i . Prouver que dans ce cas la loi de

diffraction est valable c'est-à-dire que: 1

2

2

1nn

isinisin

= , indépendamment de

la présence de la couche du liquide entre les plaques. 21.3. Une onde électromagnétique plane tombe à la normale de la

limite entre l’air et le verre. Déterminer la longueur d’onde λ dans le verre, si la longueur d’onde dans l’air est nm 640o =λ et l’indice de réfraction du verre est 1,6n= .

(Réponse: m10.400 9−=λ ) 21.4. L’expérience d’Young est faite à l’aide d’une lumière

monochromatique de longueur d’onde nm 600=λ . La distance entre les fentes est mm 1d = , tandis que l’écran est à une distance m 1,2L= des fentes. Déterminer: a) la position du premier minimum d’interférence

min1x ; b) la position du troisième maximum d’interférence max3x .

(Réponses: a) m10.08,1x 3min1

−= , m10.16,2x 3max3

−= ) 21.5. La longueur d’onde dans l’air des rayons jaunes est

m 0,58 µλ = . Quelle est la longueur d’onde dans l’eau 1λ , en sachant que son indice de réfraction est 1,33n = ?

(Réponse: m10.435,0 61

−=λ ). 21.6. Quelles sont les fréquence qui correspondent aux longueurs

d’ondes dans le vide: a) nm 27001 =λ ; b) nm 4,7592 =λ ; c) nm 3593 =λ .

(Réponses: a) 1141 s10.07,1 −=ν ; b) 114

2 s10.82,3 −=ν ;

c) 1143 s10.08,8 −=ν )

CHAPITRE 21

188

21.7. Déterminer l’accroissement de l’interfrange sur l’écran dans l’expérience des fentes d’ Young, si on remplace la lumière verte ( µm5,01 =λ ) par de la lumière rouge ( m65,02 µλ = ).

(Réponse: 3,1xx

1

2 =∆∆

)

21.8. La distance entre deux sources cohérentes dans le dispositif

d’Young est nm5,0d = . La distance jusqu’à l’écran est m 5L = . Le maximum du premier ordre des faisceaux verts est à mm 5x = du point O . Déterminer la longueur d’onde λ de la lumière verte.

(Réponse: m5,0 µλ = ) 21.9. Lors de l’expérience d’Young les fentes sont distantes de mm 1d = . Elles sont éclairées par une lumière monochromatique de

longueur d’onde µm6,0=λ . Déterminer la position des trois premières interfranges sur l’écran, s’il est posé à une distance m 3L= des fentes.

(Réponses: m10.18x 41

−= , m10.36x 42

−= , m10.54x 43

−= ) 21.10. L’expérience d’Young est faite à l’aide d’une lumière

monochromatique de longueur d’onde nm 555=λ . La distance entre les fentes est mm 19,0d = et on observe sur l’écran E à une distance

mm 16x = du point O le troisième minimum d’interférence. Déterminer la distance L entre les fentes et l’écran.

(Réponse: m 19,2L = ) 21.11. L’expérience d’Young est faite à l’aide d’une lumière

blanche. La distance entre les fentes est mm 25,0d = , tandis que l’écran est à une distance m 3L= des fentes. Déterminer la distance entre la ligne rouge d’une longueur d’onde nm 7501 =λ et la ligne violette d’une longueur d’onde nm 4002 =λ dans le spectre d’interférence du premier ordre sur l’écran.

(Réponse: m10.2,4x 3−=∆ ).


189

21.12. Déterminer la distance entre deux minimums voisins d’interférence sur l’écran lors de l’expérience d’Young, si la distance entre les fentes est mm 121,0d = et elles sont à une distance m 50,1L = de l’écran. L’expérience d’Young est faite d’une lumière monochromatique de longueur d’onde nm 480=λ .

(Réponse: m10.6x 3−=∆ ). 21.13. L’expérience d’Young est faite d’une lumière

monochromatique de longueur d’onde nm 700=λ . La distance entre les fentes est mm 181,0d = et elles sont à une distance de cm 124L = de l’écran. Déterminer la distance entre le maximum d’interférence du cinquième ordre et le maximum central sur l’écran.

(Réponse: m 0239,0x =∆ ). 21.14. Deux fentes 1S et 2S distantes de mm 14,0d = se trouvent

à une distance m 5L = de l’écran lors de l’expérience d’Young, faite d’une lumière monochromatique. Le maximum central d’interférence est obtenu au point O , tandis que le premier maximum latéral est à une distance cm 8,1x = . Déterminer la longueur d’onde λ de la lumière dont on fait l’expérience.

(Réponse: m10.505 9−=λ ). 21.15. Qu’est-ce qu’on va observer au point le plus proche P de la

fente 1S sur l’écran E lors de l’expérience d’Young, si la lumière passante par les fentes est monochromatique d’une longueur d’onde

nm 576=λ , la distance PS1 est m 80,0L = et les fentes sont distantes de mm 96,0d = ?

(Réponse: 1k = et on va observer un maximum d’interférence du premier ordre). 21.16. La distance entre les deux fentes dans l’expérience d’Young

est mm0,5 d = ( m 0,6 µλ = ). Calculer la distance L entre les fentes et l’écran, si la largeur des franges d’interférence est m 1,2 x =∆ .

(Réponse: m 1L = )

CHAPITRE 21

190

21.17. Dans l’expérience d’Young une lame mince de verre ( 1,5n = ) est mise perpendiculairement à l’un des faisceaux interférés. Comme résultat la frange centrale claire se déplace dans la position initiale de la cinquième frange claire. La longueur d’onde est m0,5 µλ = . Calculer l’épaisseur d de la lame.

(Réponse: m5 d µ= ) 21.18. Dans l’expérience d’Young la distance entre les fentes et

l’écran est m 3 L = (Fig.53). Déterminer la distance angulaire α∆ entre les franges voisines lumineuses, si la troisième frange lumineuse sur l’écran est à une distance mm4,5 x = du centre de l’image d’interférence.

(Réponse: rad10.5 4−=α∆ )

Données

Fig. 53

m 3 L = 3; n =

m 3-4,5.10 mm4,5 x ==

?=α∆

Solution

max ;k λ∆ ±= ;l

xd =∆

;l

xd k =λ ) 2,1, (k …= ;d

k lx tg λαα ===

rad10.5lk

xd1)-(k

dk 4−==−=

λλα∆

α

∆ d

S1

S2 L

x


191

Interférence de la lumière par de lamelles fines de parois parallèles

21.19. Sur une couche mince ( 1,5n = ) tombe de la lumière

monochromatique de longueur d’onde m6.10 -7=λ . Lors de quelle épaisseur de la couche mind vont disparaître les franges d’interférence de

la lumière transmise? (Réponse: n4

dminλ

≤ )

Données

1,5n = ; m6.10 -7=λ . _________________________________________________________

?dmin = Solution

La différence des chemins optiques dans ce cas est α∆ 22 sinnd2 −= . Puisqu'on cherche l’épaisseur minimale il faut

que 0=α et donc : 2nd2=∆ (1). La condition pour qu’on ait un

minimum d’interférence est: ( )2

1k2 λ∆ +±= (2), où k est le numéro

du maximum d’interférence ( 0,1,2,... k = ) et λ est la longueur

d’onde. En égalisant (1) à (2) on obtient: ( ) 2nd22

1k2 =+λ ,

( ) dn41k2 =+ λ , d’où ( )

n41k2d λ+

= .

Pour que l’épaisseur soit minimale il faut que 0k = , ou n4

dminλ

≤ .

21.20. Une pellicule de savon très mince est frappée par de la

lumière blanche sous un angle o45=α . Déterminer l’épaisseur minimale de la pellicule mind pour que la lumière réfléchie soit jaune ( m 0,6 µλ = ).

(Réponse: m10.132,0d 6min

−= ) 21.21. Un faisceau de lumière blanche tombe à la normale sur une

lamelle de verre, l’épaisseur de laquelle est m4,0d µ= . L’indice de réfraction du verre est 1,5n = . Déterminer les longueurs d’onde dans le domaine du spectre visible (de m4,0 µ et m8,0 µ ) qui augmentent son intensité.

(Réponse: m10.8,4 7−=λ ).

CHAPITRE 21

192

Interférence par des lames de clavette. Anneaux de Newton

21.22. Sur une clavette de verre ( 1,5n = ) tombe à la normale un faisceau de la lumière monochromatique ( m0,50 µλ = ). L’angle de la clavette est ''6=α . Déterminer la distance l entre deux franges brillantes voisines.

Données

1,5n = ; m10.5,0m50,0 6−== µλ ,

rad10.9,210.296,1

2.6''6 56

−===πα

_________________________________________________________ ?l =

Solution

On sait que lors de la réflexion par de lamelles minces parallèles lorsque 0=α on a :

2sinn2d 22 λα∆ −−= (1) et la condition pour qu’on ait un

maximum d’interférence est 2

k2 λ∆ ±= , d’ où on a

2k2

2sinn2d 22 λλα =−− et donc

α

λ22 sinn4

)1k2(d−

+= .

Puisque 0=α , on a : n4

)1k2(d +=λ ,

n4)1k2(d1

+=λ ,

[ ]n4

1)1k(2d 2

++=λ et

n2n4)1k212k2(ddd 12

λλ∆ =−−++

=−= , mais d’autre part

ϕ∆ ld = , n2

l λϕ = et alors :

m10.7,5n2

l 3−==ϕλ


193

21.23. On obtient des anneaux de Newton lors de l’éclairement normal d’une lentille plan-convexe, tangente à une lame à faces parallèles. Déterminer le rayon de la courbure de la lentille, si le rayon du quatrième minimum est mm 5,4kr = est m10.89,5 7−=λ .

(Réponse: m8,8r2 = ). 21.24. Trouver l’épaisseur de la couche de l’air entre une lentille plan

convexe en contact avec une lame de verre à la place de l’observation du sixième anneau brillant de Newton. On observe l’image en lumière réfléchie d’un longueur d’onde m10.9,5 7−=λ .

(Réponse: m10.92,1d 6−= ). 21.25. Déterminer la distance 1l , sur laquelle peuvent être localisées

autant de longueurs d’ondes d’une lumière monochromatique dans le vide qu’elles soient sur une distance mm5 l2 = dans un verre. L’indice de réfraction du verre est 1,5 n = .

(Réponse: mm7,5 l1 = ) 21.26. Un faisceau de lumière monochromatique de longueur d’onde

mn 698 =λ tombe perpendiculairement sur un coin géodésique ( 1,5n = ) (Fig. 54). Déterminer l’angle α entre les surfaces du coin, si la distance entre deux minima voisins d’interférence dans lumière réfléchie est mm 2x =∆ . (Réponse: ' 24' =α )

Données

Fig. 54

1,5; n =

m;-76,98.10nm698 ==λ

m310.2mm2x −==∆

? =α

y

∆x

m+1m

n

α

CHAPITRE 21

194

Solution

;xy

tg∆

αα == ;yn2=∆

[ ] [ ]2

1k22

1)1k(2 λλ∆ +−++= λ∆ = , ; 2,1, 0, k …=

;yn2 λ= ;n2

y λ=

"24xn2==

∆λα

21.27. Deux faisceaux lumineux parallèles à une distance cm5 d =

tombent sur un prisme de quartz ( 1,49 n = ) d’un angle de réfraction o 25 =α (Fig. 55). Déterminer la différence ∆ entre les chemins optiques

de ces faisceaux à la sortie du prisme. (Réponse: cm 3,47 =∆ )

Données

Fig. 55

m; 5.10 cm5 d -2==

1,49; n =

; 25 o=α

?=∆

Solution

n; . BC )nl -(l 12 ==∆ ;tg d BC α=

cm 3,47 tg nd == α∆

d C

α

B

A


195

21.28. Les distances entre le biprisme de Fresnel en verre ( 1,5n = ), la fente mince et l’écran sont respectivement cm 30 a = et m1,5 b = (Fig. 56). L’angle de réfraction est '20=ϑ . Calculer la longueur d’onde de la lumière λ , si la largeur de la frange d’interférence est

mm0,65 x =∆ . (Réponse: m 0,63 µλ = )

Données

Fig. 56

m;1,5 b = 1.5; n =

m; 0,3 cm 30 a =='20=ϑ

;m6,5.10

mm0,65 x4-=

==∆

? =λ

Solution

;1)-(n ϑϕ = ;dl x λ∆ = ;

ldx ∆λ = b; a l +=

;)1n(a2 2a sina2d ϑϕϕ −===

m63,0ba

x)1n(a2 µ∆ϑλ =+−

=

d

ϑ ϕ

a

S2

S

S1

b

CHAPITRE 22

196

Chapitre 22

Diffraction de la lumière.


La diffraction est une caractéristique importante du mouvement ondulatoire, qui s’observe lorsqu’une onde est déformée par un obstacle (par un écran percé d’une petite ouverture ou d’une fente, ou par un petit objet - un fil ou un disque) de dimensions comparables à la longueur d’onde. Alors que l’interférence résulte de l’interaction de sources individuelles entre elles, la diffraction résulte de l’interférence d’une onde finie avec elle-même.

Diffraction de Fresnel. Zones de Fresnel. Les rayons des zones de Fresnel pour un front plat de l’onde

λokRkr = , où kr est le rayon de la k-ème zone de Fresnel, k - le numéro de la zone ( ,...3,2,1k = ), oR - la distance entre le centre de l’ouverture d’un obstacle non transparent et le point observé, situé sur l’axe de l’ouverture, λ - la longueur d’onde.

Diffraction d’un faisceau parallèle de lumière par une fente étroite. Condition pour obtenir :

a) un minimum (des franges claires) - 2

k2sin.a λϕ ±= ;

b) un maximum (des franges sombres) - 2

)1k2(sin.a λϕ +±= ,

où a est la largeur de la fente, ϕ - l’angle de déviation du minimum (où du maximum), ,...3,2,1,0k = , λ - la longueur d’onde.

Diffraction d’un faisceau parallèle de lumière qui tombe perpendiculairement sur un réseau de diffraction.

Condition pour obtenir un maximum est λϕ ksin.d ±= , où d est la constante du réseau, ϕ - l’angle de déviation du maximum,

,...3,2,1,0k = - le nombre du maximum, λ - la longueur d’onde. Le pouvoir de résolution d’un réseau de diffraction est déterminé par

la formule N.k=λ∆λ , où λ∆ est la plus petite différence entre deux

DIFFRACTION DE LA LUMIERE

197

raies spectrales voisines λ et λ∆λ + qui peut être mesurée, k - l’ordre du maximum, N - le nombre total des fentes dans le réseau.

La dispersion d’un réseau est définie par ϕλ

ϕcos.dk

ddD == . Pour

très petits angles 1cos ≈ϕ et alors: dkD = .

Problèmes Zones de Fresnel 22.1. Déterminer le rayon or de la première zone (la centrale) de

Fresnel d’une surface d’onde sphérique de longueur d’onde m6,0 µλ = située à une distance cm 10oR = de la source.

(Réponse: m410.45,2or−= )

22.2. Déterminer le rayon or pour les cinq premières zones de

Fresnel pour une onde plane d’une longueur m5,0 µλ = pour un point situé à une distance m 1oR = de la surface de l’onde.

(Réponses: m310.71,01r−= , m310.12r

−= , m310.22,13r−= ,

m310.41,14r−= , m310.58,15r

−= ) 22.3. Un faisceau parallèle de lumière monochromatique

( m 6,0 µλ = ) tombe à la normale sur une barrière d’orifice ronde de rayon mm 3or = . Un écran est placé derrière la barrière à une distance

m 3oR = . Déterminer quel sera le centre de l’image d’interférence - claire ou sombre.

(Réponse: clairecentre5k →= )

CHAPITRE 22

198

22.4. Une fente de largeur mm 05,0a = est irradiée par de la lumière monochromatique de longueur d’onde m 6,0 µλ = et la lumière incidente est normale à l’obstacle. Déterminer l’angle ϕ de déviation de la quatrième frange sombre de la diffraction.

(Réponse: '452o=ϕ )

Données Solution m10.05,0mm05,0a 3−==

m10.6,0m6,0 6−== µλ , 4k =

_____________________

?=ϕ

La condition pour avoir un minimum lors de diffraction d’une fente est

2k2sin.a λϕ ±= ;

110.48,0a

ksin −==λϕ .

Alors )048,0arcsin(=ϕ ,

ou '452o=ϕ

22.5. Un faisceau parallèle de lumière monochromatique tombe à la

normale sur un obstacle muni d’une fente. L’angle de déviation du faisceau correspondant à la deuxième frange claire de la diffraction est

о1=ϕ . Déterminer à combien de longueurs d’onde λ de la lumière incidente la largeur de la fente a est égale-t-elle.

(Réponse: λ144a = ). Réseau de diffraction

22.6. Combien de fentes N contient un réseau de diffraction à

chaque millimètre, si lors de l’observation dans une lumière monochromatique d’une longueur d’onde m 6,0 µλ = le maximum du

cinquième ordre est dévié à un angle o18=ϕ (Fig. 57).

(Réponse: 1mm 103N −= )


199

Données

Fig. 57

m610.6,0m6,0 −== µλ

5k = , o18=ϕ ,

m310.1mm 1l −== ____________________

?N =

Solution

Par définition: dlN = .

De la figure d

sin ∆ϕ = , ϕ

∆sin

d = .

Pour le maximum 2

k2maxλ

∆ = et d’ici on obtient:

1mm 103

.ksin.l

dlN −===

λϕ

22.7. Déterminer la constante d’un réseau de diffraction d , si

lorsqu’elle est éclairée à la normale par une lumière monochromatique d’une longueur d’onde m10.5,5 7−=λ et l’angle entre les spectres de

deuxième ordre est '4012o=ϕ .

(Réponse: m10.1d 5−= ). 22.8. Une source ponctuelle de lumière d’une longueur d’onde

m0,5 µλ = est localisée à une distance m 1 a = devant un diaphragme avec une ouverture circulaire dont le diamètre est mm 2 d = (Fig. 58). Calculer la distance b entre le diaphragme et le point d’observation, si l’ouverture montre trois zones de Fresnel, ou 3m = .

(Réponse: m 2 b = )

∆ϕ

b a

d

CHAPITRE 22

200

Données

Fig.58

m;5.10 m0,5 -7== µλ m; 1 a = ;3m =

;m2.10 mm 2 d -3== ? b =

Solution

;x) (a - -a r 222 = ;a <<λ ;b <<λ

;x) (b -2

m b r 22

2 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

λ ;b) 29a

bm x +

=λ

;mb) 4(a

b mb a

ab r 222

22 λλ

+−

+= petit; très -m

b) 4(a

b 222

2λ

+

;mb a

ab r 2 λ+

= ;r -am

ar b2

2

λ= ;

2d r =

m 2d -4am

ad b 2

2==

λ

22.9. Une lumière monochromatique de longueur d’onde

nm600 =λ tombe perpendiculairement sur un réseau de diffraction. Déterminer quel est le plus grand ordre maxn du spectre, obtenu par ce réseau, si la constante du réseau est m 2 d µ= .

(Réponse: 3 nmax = )

Mb

b+mλ/2

x r

a

a

S


201

22.10. Une lumière monochromatique de longueur d’onde m0,5 µλ = tombe perpendiculairement sur une fente de largeur

mm 0,1 a = (Fig. 59). L’image de diffraction est observée sur un écran parallèle à la fente. Calculer la distance L entre la fente et l’écran, si la largeur du maximum central de diffraction est cm 1 b = .

(Réponse: m 1 L = )

Données

Fig. 59

m; 10 mm 0,1 a -4==

m; 5.10 m0,5 -7== µλ

m;10 cm 1 b -2==

? L =

Solution min ;ksin λϕα ±= ;1k =

;a

sin λϕ = ;Ltg2b ϕ= ;

aarcsin λ

ϕ =

m 1

aarcsintg2

btg2bL =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==λϕ

22.11 Déterminer le nombre des traits n localisés sur mm 1 d’un

réseau de diffraction, si à un angle o 30 =ϕ correspond le maximum de quatrième ordre pour une lumière monochromatique de longueur d’onde

m0,5 µλ = .

(Réponse: -1mm 250 n = )

ϕ

b

L

CHAPITRE 22

202

22.12. Une lumière monochromatique tombe perpendiculairement sur un réseau de diffraction. Déterminer l’angle de diffraction 4ϕ qui correspond au maximum du quatrième ordre ( 4 n = ), si le maximum du troisième ordre ( 3 n = ) est dévié à un angle o

3 18 =ϕ .

(Réponse: '20' 24 o4 =ϕ )

22.13. Des rayons X sous la forme d’un faisceau fin et

monochromatique tombent sur un cristal dont la distance entre les plans atomiques réticulaires dans le réseau est nm 0,3 d = . Quelle est la longueur d’onde λ des rayons X, si le maximum de diffraction du premier ordre ( 1 n = ) est observé pour un angle d’incidence o 30 =ϕ ?

(Réponse: nm 300 =λ ) 22.14. Une lumière monochromatique de longueur d’onde

m 0,6 µλ = tombe perpendiculairement sur un réseau de diffraction. L’angle de la diffraction qui correspond au maximum du cinquième ordre ( 5 n = ) est o

5 30 =ϕ et la résolution du réseau est nm 0,2 =δλ . Déterminer: a) la constante du réseau de diffraction d ; b) la longueur l du réseau de diffraction.

(Réponses: a) m; 6 d µ= b) mm 3,6 l = ) 22.15. Déterminer la constante d d’un réseau de diffraction, si dans

le premier ordre ( 1 n = ) elle fait une résolution entre les deux lignes spectrales du potassium nm 578 1 =λ et nm580 2 =λ . La longueur du réseau de diffraction est cm 1 l = .

(Réponse: m 34,6 d µ= ) 22.16. La constante d’un réseau de diffraction est mm5 d = et sa

longueur est cm 2,5 l = . Déterminer la différence des longueurs d’ondes δλ qui peut être résolue par ce réseau pour m5 µλ = dans le spectre du deuxième ordre ( 2 n = ).

(Réponse: nm50 =δλ )

POLARISATION DE LA LUMIERE

203

Chapitre 23

Polarisation de la lumière

Notions de base. Lois fondamentales et formules. Les formules de Fresnel sont utilisées lors de la réflexion de la

lumière naturelle par un diélectrique 2

oII )(tg)(tgI5,0I ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=βαβα et

2

o )sin()sin(I5,0I ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=⊥ βαβα , où oI est l’intensité du rayon incident de la

lumière naturelle, ⊥I - l’intensité des oscillations du rayon réfléchi, perpendiculaires au plan d’incidence de la lumière, III - l’intensité des oscillations du rayon réfléchi dans le plan d’incidence de la lumière, α - l’angle d’incidence, β - l’angle de réfraction.

La loi de Malus donne que α2o cosII = , où I et oI sont les

intensités de la lumière transmise par l’analyseur et celle qui tombe sur lui; α - l’angle entre les plans du polariseur et l’analyseur.

Le degré de polarisation de la lumière est minmax

minmaxIIII

P+−

= , où

maxI et minI sont respectivement l’intensité maximale et minimale de la lumière partiellement polarisée, passée par l’analyseur.

Loi de Brewster donne que le faisceau de lumière réfléchi est complètement polarisé pour un angle d’incidence Bα qui est déterminé par les indices de réfraction de deux milieux en contact: 1,2B ntg =α . L’angle de Brewster Bα est tel que 2/B πβα =+ .

La différence des chemins optiques pour une lame de cristal :

1) pour λ41 est λ∆ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +±=−=

41md)nn( eo où ...2,1,0m = ;

2) pour λ21 est λ∆ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +±=−=

21md)nn( eo où ...2,1,0m = ;

3) pour λ est λ∆ md)nn( eo ±=−= où ...2,1,0m = ;

CHAPITRE 23

204

L’angle de rotation du plan de polarisation: 1) pour des corps solides [ ]d.αα = , où [ ]α est l’angle spécifique de

rotation, d - l’épaisseur de la lame ; 2) dans de liquides pures [ ] l..ραα = , où [ ]α est l’angle spécifique de

rotation, ρ - la masse volumique du liquide et l - l’épaisseur de la couche du liquide;

3) dans de solutions [ ] l.C.αα = , où [ ]α est l’angle spécifique de rotation, C - la concentration de la solution (la masse de la quantité active dans unité de volume de la solution) et l - l’épaisseur de la couche du liquide.

Problèmes 23.1. Déterminer le degré de polarisation P d’une lumière

partiellement polarisée, si l’amplitude du vecteur correspondant à son intensité maximale maxI est 3 n = fois plus grande que celle-ci correspondant à l’intensité minimale minI .

(Réponse: 0,8 P = ) 23.2. Le degré de polarisation d’une lumière partiellement polarisée

est 0,75 P = . Calculer le rapport de l’intensité maximale maxI de la lumière transmise par l’analyseur et son intensité minimale minI .

(Réponse: 7 I / I minmax = ) 23.3. L’angle entre les plans généraux d’un polariseur et un

analyseur est o1 30 =α . Déterminer le changement des intensités de la

lumière transmise, si l’angle entre les plans généraux est o2 45 =α .

(Réponse: 1,5 I / I 21 = )

POLARISATION DE LA LUMIERE

205

23.4. Un faisceau de lumière naturelle tombe sur un prisme en verre dont l’angle est o 30 =α (Fig. 60). Calculer l’indice de réfraction de la lumière n , si le rayon réfléchi subit une polarisation plane.

(Réponse: 1,73 n = )

Données Solution

Fig. 60

; 30 o=α

? n =

;nn itg 21B ==

;2

iB απ−=

73,12

tg n =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= απ

23.5. Déterminer l’indice de réfraction de la lumière n d’un verre, si

le rayon réfléchi est totalement polarisé pour un angle de réflexion o 35 =α .

(Réponse: 1,43 n = ) 23.6. Sous quel angle α vers l’horizon doit être placé le Soleil pour

que les rayons réfléchis de la surface d’un lac ( 1,33 n = ) soient polarisés au maximum?

(Réponse: '56 36 o=α ) 23.7. Un faisceau parallèle de lumière tombe perpendiculairement

sur une plaque en feldspath coupée parallèlement à l’axe optique et d’épaisseur m50 d µ= (Fig. 61). Les indices de réfraction pour les rayons ordinaire et extraordinaire sont respectivement 1,66 nord = et

1,49 next = . Déterminer la différence ∆ entre les chemins optiques des rayons.

(Réponse: m8,5 µ∆ = )

α

CHAPITRE 23

206

Données Solution

Fig. 61

m;5.10 m50 d -5== µ

1,66; nord =

1,49; next =

? =∆

;dn -dn extord=∆

);n -(n d extord=∆

m8,5 µ∆ =

23.8. Une lumière de longueur d’onde nm 589 =λ dans le vide est

polarisée dans un plan. La lumière tombe sur une plaque en feldspath perpendiculairement à son axe optique. Si les indices de réfraction pour les rayons ordinaire et extraordinaire sont respectivement 1,66 nord = et

1,49 next = , déterminer les longueurs ordλ et extλ des deux rayons dans le cristal.

(Réponses: ;nm355ord =λ nm395ext =λ ) 23.9. Une plaque de quartz d’une épaisseur mm 2 d1 = , coupée

parallèlement à l‘axe optique de cristal, tourne le plan de polarisation d’une lumière monochromatique sous un angle o

1 30 =ϕ . Déterminer l’épaisseur de la plaque en quartz 2d , pour que cette lumière soit totalement étendue.

(Réponse: mm 6 d2 = )

d

e

o O

O’

RAYONNEMENT THERMIQUE

207

Optique quantique

Chapitre 24

Rayonnement thermique

Notions de base. Lois fondamentales et formules. Le pouvoir d’émission intégral d’un corps noir: TE est donné par la

loi de Stefan – Boltzmann 4T T.E σ= . Le pouvoir d’émission intégral

d’un corps quelconque Te , c.-à-d. un corps réel, est égal à TTT E.e ε= , où Tε est un coefficient sans unité, appelé taux de noirceur du corps. Il dépend de la température et de la composition chimique du corps.

Relation entre la température de radiation rT et la vraie température

d’un corps réel est 4 T

rTT

α= .

La loi de Wien est bT.max =λ , où maxλ c’est la longueur d’onde qui correspond au pouvoir d’émission maximal d’un corps noir lors d’une température absolue T , b - la constante de Wien.

La loi du pouvoir d’émission maximal d’un corps noir est 5

1max Tk)E( =λ , où )K.m/(W10.3,1k 5251

−= est une constante, T - la température absolue du corps.

La loi de Planck pour le pouvoir d’émission d’un corps noir lors

d’une température absolue est

1e

h.c

2E

kTh2

2

−

=νννπν , ou bien

1e

hc2.1E

kTh

2

5

−

= νλπ

λ, où h est la constante de Planck, c - la célérité, ν - la

fréquence des ondes émises, λ - la longueur d’onde, k - la constante de Boltzmann.

CHAPITRE 24

208

Problèmes 24.1. Un four émet pour un temps s 30t = une énergie 150 JE =

par un orifice de surface 2cm10 S = . Déterminer la longueur d’onde maxλ qui correspond au pouvoir d’émission maximal.

(Réponse: m10.947 9max

−=λ )

Données 150 JE = , 242 m10.10cm10 S −== ,

s 30t = ?max =λ

Solution

D’après les lois de Wien et de Stefan - Boltzmann Tb

max =λ et

4T T.E σ= , donc 4 TE

Tσ

= . L’énergie émise par un corps est

t.S.EE T= , 4t.S.

ETσ

= et alors

m10.947

t.S.E

bTb 9

4max

−===

σ

λ

24.2. L’émission du Soleil par sa composition spectrale est presque

égale à l’émission d’un corps noir. Le maximum de son pouvoir d’émission correspond à une longueur d’onde m0,48µλ = . Déterminer: a) la température T sur la surface du Soleil; b) le pouvoir d’émission intégral TE du Soleil; c) la masse m∆ , que le Soleil perd pour une seconde lors de l’émission et le temps t pour lequel la masse du Soleil diminue avec 1% .

(Réponses: a) K10.04,6T 3= ; b) 27T m/W10.57,7E = ;

c) s/kg10.07,5m 9=∆ , ans10.23,1t 11= ) 24.3. Un four émet une énergie 350 JE = par un orifice de rayon cm1r = pour un temps s10 t= . Déterminer la température T du four.

L’orifice est considéré pour un corps noir. (Réponse: K10.18,1T 3= )


209

24.4. Une surface métallique 2cm10 S= , chauffée au blanc, émet pour une minute une énergie J4.10E 4= . La température de la surface est K2500 T = . Déterminer le taux de noirceur Te de la surface.

(Réponse: 3,0eT = ) 24.5. La température d’un corps noir varie lors d’échauffement de 1000KT1 = à 3000KT2 = . Déterminer: a) combien de fois augmente le

pouvoir intégral d’émission TE ; b) le changement de maxλ ; c) combien de fois a augmenté le pouvoir d’émission maximal maxEλ .

(Réponses: a) fois81E/E 2T1T = ; b) m10.932,1 6max

−=λ∆ ; c) fois243E/E max1max2 =λλ ) 24.6. On perd J90 de l’énergie par un mètre quarré de la surface

terrestre pour une seconde à cause du rayonnement thermique. Déterminer la température T pour laquelle un corps noir va émettre la même quantité d’énergie.

(Réponse: K 200T = ) 24.7. La température d’un four est K100 T = . Déterminer l’énergie

E émise par un orifice de section 2cm 4S= pour un temps s1t = . L’orifice est considéré pour un corps noir.

(Réponse: J 68,22E = ) 24.8. De combien de pourcents va augmenter le pouvoir intégral

d’émission d’un corps noir, si sa température T augmente d’un pourcent? (Réponse: %4E/E =∆ ) 24.9. Lors de quelle température T le pouvoir d’émission maximale

d’un corps noir est lors de .m 550,0max µλ =

(Réponse: K10.27,5T 3= ) 24.10. Déterminer les longueurs d’ondes maxλ , qui correspondent au

pouvoir d’émission maximale d’un corps noir lors de températures de K1000 T1 = , K2000 T2 = et K3000 T3 = .

(Réponses: m10.9,2 6max

1 −=λ , m10.45,1 6max

2 −=λ , m10.97,0 6

max3 −=λ )

CHAPITRE 24

210

24.11. Déterminer la température T de la surface du Soleil en sachant que le maximum de son pouvoir d’émission est pour

m 470,0max µλ = . On fait la détermination avant le passage de l’émission par l’atmosphère de la Terre.

(Réponse: K10.17,6T 3= ) 24.12. On obtient une énorme température pour un instant lors du

brûlement d'un filament de Wolfram sous l’effet d’un courant électrique. La longueur d’onde qui correspond au pouvoir d’émission maximal est

nm145max =λ . Déterminer la température T du filament au moment du brûlement.

(Réponse: K10.2T 4= ) 24.13. Supposons un énorme incendie qui provoque la formation

d’une couche mince de suie dans les couches supérieures de l’atmosphère terrestre. La couche de suie absorbe pratiquement toute la quantité du rayonnement du Soleil qui tombe sur la Terre. Quelle va être la température moyenne sur la Terre 1T après un tel incendie, si avant lui elle a été K300 T = .

(Réponse: K 252T1 = ) 24.14. Une lampe émet de la lumière monochromatique de longueur

d’onde nm 555=λ . La puissance consommée par la lampe est W100 P = . Déterminer le nombre de photons N émis pour unité de

temps par la lampe en sachant que %89=η de cette puissance est puisée pour l’obtention de la lumière.

(Réponse: s/10.495,2N 20= ) 24.15. L’énergie émise par un corps noir par unité de surface et pour

unité de temps est 24 m.s/W 10.3,2E = . Déterminer la température T du corps.

(Réponse: K 798T = ) 24.16. La longueur d’onde d’une lumière monochromatique

d’intensité maximale lors du rayonnement d’un corps noir est .nm 700max =λ Déterminer la température T du corps.

(Réponse: K 4140T = )


211

24.17. La longueur d’onde maximale augmente de nm 8201max =λ jusqu’à nm 23202max =λ lors du changement de la température T d’un corps noir. Déterminer le changement de l’énergie E émise par unité de surface et pour unité de temps.

(Réponse: 016,0E/E 12 = ) 24.18. Un four électrique consomme une puissance kW 2P = . Un

orifice de diamètre cm4 d = se trouve sur les parois du four. Les parois du four diffusent 79% de la puissance consommée. Déterminer la température T des parois, si l’orifice est ouvert.

(Réponse: K 1558T = ) 24.19. Une surface métallique 2cm10 S= , chauffée jusqu’à

kK 5,2T = , émet pour une minute une énergie de kJ 60E1 = . Déterminer: a) l’énergie 2E émise par cette surface, si elle est considérée comme un corps noir; b) le taux de noirceur Te de la surface.

(Réponses: a) J10.133E 32 = ; b) 451,0eT = )

24.20. La longueur d’onde d’intensité maximale lors du rayonnement

du Soleil est .m 48,0max µλ = En prenant le Soleil pour un corps noir déterminer: a) la température T de la surface du Soleil; b) la puissance

SP émise par sa surface.

(Réponses: a) K66,6041T = , b) W10.58,4P 26S = )

24.21. Un corps noir se trouve lors d’une température kK 5,1T = .

Lors du refroidissement du corps la longueur d’onde correspondante à l'émission maximale à changée de µm 5max =λ∆ . Déterminer la température 2T jusqu’à laquelle le corps a été refroidit.

Données Solution

K10.5,1T 3= ,

m10.5 6max

−=λ∆________________

?T2 =

La loi de Wien est Tb

max =λ et

121max2maxmax T

bTb

−=−= λλλ∆ ,

K 418bT.

b.TT

1

12 =

+=

λ∆

CHAPITRE 24

212

24.22. Calculer combien de fois faut-il diminuer la température d’un corps noir 1T pour que son pouvoir total d’émission 1E baisse fois 16 .

(Réponse: 2 T / T 21 = ) 24.23. La température de la surface intérieure d’un four est

kK 1,3 T = quand un trou de surface 2cm 30 S = est ouvert sur lui. Quelle est la partie de la puissance diffusée par les parois, si la puissance utilisée du four est kW1,5 P1 = ? On accepte que l’émission du trou corresponde à celle-ci d’un corps noir.

(Réponse: 0,676 /PP1 = ) 24.24. Combien de fois va changer la puissance d’émission d’un

corps noir 1P , si la longueur d’onde maxλ , qui correspond au maximum de la distribution spectrale du pouvoir total d’émission T1E , change de

nm720 1max =λ à nm400 2max =λ ? (Réponse: 10,5 /PP 12 = ) 24.25. On accepte le Soleil comme un corps noir pour lequel le

pouvoir maximal d’émission TE correspond à une longueur d’onde nm0 501max =λ . Calculer: a) la température ST de la surface du Soleil;

b) l’énergie émise SE par le Soleil au bout d’un temps min.10 t = sous la forme des ondes électromagnétiques; c) la masse m perdue par le Soleil en résultat de cette émission pendant ce temps.

(Réponses: a) ; K.10 5,8 T 3S = b) J;10 2,34.E 29

S =

c) kg 2,6.10 m 12= ) 24.26. Déterminer la température d’un corps T pour laquelle

l’énergie qu’il émis soit fois10 n = plus grande que l’énergie absorbée.

La température du milieu ambiant est C 23t oo = .

(Réponse: K 533 T = ) 24.27. Quand la température d’un fil de tungstène est K 3500 T = ,

son pouvoir d’absorption est 0,35 aT = . Calculer la température T de radiation du fil.

(Réponse: K.10 2,69 T 3= )

EFFET PHOTOELECTRIQUE EXTERIEUR

213

Chapitre 25

Effet photoélectrique extérieur

Notions de base. Lois fondamentales et formules. L'effet photoélectrique est l'émission d'électrons par un matériau,

généralement métallique lorsque celui-ci est exposé à la lumière ou un rayonnement électromagnétique de fréquence suffisamment élevée, qui dépend du matériau.

Lorsque l’énergie du photon incident est beaucoup plus petite que l’énergie de l’électron en repos 2

ocm , l’énergie cinétique maximale de l’électron peut être déterminée par la formule de la mécanique classique

2maxmaxc m

21E υ= . Lorsque l’énergie du photon incident est de l’ordre

de l’énergie de l’électron en repos 2ocm , l’énergie cinétique maximale

de l’électron peut être déterminée par la formule de la mécanique

relativiste ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=−= 1

21

12com2commmaxcEβ

.

La puissance lumineuse P est le produit de l’intensité (nombre des photons N absorbés par le métal pour unité de temps) et l’énergie d’un photon νε h= , ou νε NhNP == .

La première loi de l’effet photoélectrique extérieur dit que lorsque la puissance lumineuse P augmente, le nombre des photons N augmente aussi, le nombre des électrons expulsés augmente et comme résultat le courant de saturation SI augmente aussi.

La loi de conservation de l’énergie, appliquée à l’effet photoélectrique est présentée par la formule d’Einstein pour l’effet

photoélectrique A2

mh

2max +=

υν , où νε .h= est l’énergie du photon

incident, A - le travail d’extraction de l’électron, 2

mE

2max

maxcυ

= -

l’énergie cinétique maximale de l’électron.

CHAPITRE 25

214

La deuxième loi de l’effet photoélectrique extérieur dit que l’énergie du photon est utilisée pour assurer à l’électron le travail d’extraction A de la surface du métal et l’énergie cinétique de l’électron - c’est l’équation d’Einstein. Un électron quittera le métal, si le métal absorbe un photon dont l’énergie est supérieure au travail d’extraction. Le seuil ou la limite rouge de l’effet photoélectrique représente la fréquence

sν à laquelle l’énergie du photon shνε = est égale au travail

d’extraction A , c-à-d. Ah s =ν , ou hA

s =ν . D’autre part:

têarrmaxc2max U.eEm

21

==υ et le seuil de l’effet photoélectrique est

déterminé par hA

s =ν , où bien Ahc

o =λ . La tension d’arrêt de l’effet

photoélectrique têarrU est déterminée par têarrmaxcin U.eE = , l’énergie

du photon est νε h= , sa masse est 2c

hm ν= , où c est la célérité et la

quantité du mouvement d’un photon est λ

ν hc

hp == .

Problèmes

25.1. Déterminer les valeurs des longueurs d’onde qui correspondent

aux fréquences seuil de l’effet photoélectrique extérieur pour Cs , K , Na et Li .

(Réponses: m10.685 9Cso

−=λ , m10.558 9Ko

−=λ ,

m10.528 9Nao

−=λ , m10.521 9Lio

−=λ ) 25.2. La longueur d’onde qui correspond à la fréquence seuil de

l’effet photoélectrique extérieur pour un métal est nm 27o =λ . Déterminer: a) la valeur minimale de l’énergie du photon oε qui peut provoquer de l’effet photoélectrique extérieur; b) l’énergie cinétique maximale maxcE des électrons qui quittent la surface du métal sous l’action d’une lumière de longueur d’onde nm 180=λ .

(Réponses: a) J10.2,7 19o

−=ε ; b) J10.62,3E 19maxc

−= )


215

25.3. Une lumière monochromatique de longueur d’onde m 310,0 µλ = tombe à la surface de lithium Li . Pour interrompre

l’émission des électrons il faut appliquer un potentiel d’arrêt V U arrêt 1,7= . Déterminer le travail d’extraction A de l’électron pour Li .

(Réponse: eV 3,2A = ) 25.4. Déterminer la tension d’arrêt des photoélectrons arrêt U émis

lors de l’irradiation de césium Cs par de la lumière monochromatique de longueur d’onde m 330,0 µλ = .

(Réponse: eV95,1 U arrêt= ) 25.5. Lors de l’effet photoélectrique sur une surface de platine Pt le

potentiel d’arrêt est V 80 U arrêt ,= . Déterminer: a) la longueur d’onde λ de la lumière irradiante; b) le seuil oλ du effet photoélectrique du platine.

(Réponses: a) m 203,0 µλ = ; b) m 233,0o µλ = ) 25.6. Lors de l’éclairage successif de la surface d’un métal donné par

une lumière des longueurs d’ondes nm 3501 =λ et nm 5402 =λ , on a découvrit que les vitesses maximales correspondantes des photoélectrons sont différent fois2=η . Déterminer le travail d’extraction A de la surface du métal.

(Réponse: eV 88,1A = )

Données Solution

m10.350

nm 3509

1−=

==λ

m10.540

nm 5409

2−=

==λ

fois2=η ___________

?A =

Si fois2=η , 22max

1max =υυ

.

On sait que A2

mch2

1max

1+=

υλ

(1)

A2

mch2

2max

2+=

υλ

(2),

ou A2

m4ch2

2max

1+=

υλ

et

41).Ach(

2m

1

22max −=

λυ .

CHAPITRE 25

216

On remplace dans (2) A41.Achch

12+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

λλ,

A41A

4chch

12−=−

λλ,

A.75,014

1

2

1hc =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

λλ

et eV 88,1A = ou le métal estCs .

25.7. Les photoélectrons, émis de la surface d’un métal, lors d’une

irradiation d’une lumière de fréquence Hz10.2,2 151 =ν sont

complètement retenus lors d’une tension V 6,6U1 = et les

photoélectrons émis lorsque Hz10.6,4 152 =ν , sont retenus lorsque

V16,5 U 2 = . Déterminer la constante de Planck.

(Réponse: s.J10.6,6h 34−= ) 25.8. Une lamelle de platine Pt est irradiée par de la lumière

ultraviolette. Pour interrompre l’effet photoélectrique il faut appliquer une différence de potentiel V7,3U = . En remplaçant la lamelle de Pt par une lamelle d’un métal quelconque, la différence de potentiel augmente à

V 6U1 = . Déterminer le travail d’extraction A pour la deuxième lamelle. (Réponse: eV 02,3A = ) 25.9. Déterminer la vitesse maximale des photoélectrons maxυ

obtenus lors de l’irradiation d’un métal par une énergie MeV 1,53E = .

(Réponse: s/m10.86,2 8max =υ )


217

25.10. Déterminer l’énergie, la masse et la quantité du mouvement d’un photon de rayons X des longueurs d’ondes nm 124,01 =λ et

nm10.2 32

−=λ . Comparer la masse du photon avec la masse de l’électron.

(Réponses: kg10.8,17m 331

−= , kg10.11,1m 302

−= ,

eV100001 =ε , eV10.62,0 62 =ε , s/m.kg10.47,53p 25

1−= ,

s/m.kg10.3,3p 222

−= ) 25.11. Déterminer la fréquence ν et la longueur d’onde λ d’un

rayonnement électromagnétique obtenu lors de la désintégration d’une paire électron positron en deux photons.

(Réponses: 120 s10.24,1 −=ν , m10.42,2 12−=λ ) 25.12. Déterminer la longueur d’onde λ d’un photon dont l’énergie

est: a) keV 11 =ε ; b) MeV 12 =ε .

(Réponses: a) m10.24,1 9−=λ , b) m10.24,1 12−=λ ) 25.13. Déterminer la vitesse d’un électron υ pour que son énergie

cinétique soit égale à l’énergie d’un photon dont la longueur d’onde est nm555=λ .

(Réponse: s/m10.9,8 5=υ ) 25.14. Déterminer la température T à laquelle l’énergie cinétique

d’une molécule biatomique d’un gaz parfait soit égale à l’énergie d’un photon d’une fréquence Hz10.4,5 14=ν .

(Réponse: K10424T = ) 25.15. Le travail d’extraction du zinc Zn est J10.4,6А 19−= .

Déterminer le seuil de l’effet photoélectrique pour le Zn . (Réponse: m10.310 9

o−=λ )

CHAPITRE 25

218

25.16. Une cathode de platine Pt est irradiée par de la lumière monochromatique de longueur d’onde nm 180=λ . L’émission des photoélectrons à ces conditions est interrompue lors d’une tension d’arrêt

V58,0 U arrêt= . Déterminer le travail d’extraction A du platine.

(Réponse: J10.007,1A 18−= ) 25.17. La fréquence seuil d’un métal est à nm 300max =λ . Un

photon de fréquence Hz10.5,1 15=ν provoque l’émission d’un électron du métal. Déterminer quelle partie η de l’énergie du photon est puisée pour l’augmentation de l’énergie cinétique de l’électron.

(Réponse: %3,33=η ) 25.18. Une surface métallique est irradiée successivement par de

lumière de longueurs d’onde 1λ et 2λ . Des électrons sont arrachés de la surface, sous l’effet de la lumière. Le rapport des vitesses correspondantes est 0,5k = . Déterminer la longueur d’onde 2λ si nm 4001 =λ et la fréquence seuil de l’effet photoélectrique est à nm 600max=λ .

(Réponse: m10.200 92

−=λ ) 25.19. Un folio d’or Au est irradié par un rayonnement de longueur

d’onde nm 071,0=λ . Les photoélectrons émis sont soumis à l’action d’un champ magnétique uniforme d’une induction B et leurs trajectoires représentent des cercles. La relation entre le rayon de ces trajectoires et l’induction magnétique est données par m.T 10.88,1B.r 4−= . Déterminer: a) l’énergie cinétique cE des photoélectrons; b) le travail A nécessaire pour l’émission d’un photoélectron du folio.

(Réponse: a) J10.498,0E 15c

−= ; b) eV10.3,14A 3= ) 25.20. Déterminer pour quelle valeur de la longueur d’onde λ ,

l’énergie du photon soit J10.42,3 16−=ε .

(Réponse: m10.580 9−=λ )


219

25.21. Le travail d’extraction d’électron de la surface de césium Cs est eV97,1A = . Déterminer la vitesse υ avec laquelle les électrons sortent, si le césium est irradié par de la lumière de longueur d’onde

nm580=λ . (Réponse: s/m10.4,2 5=υ ) 25.22. Déterminer la longueur d’onde maximale maxλ lors de

laquelle on peut observer l’effet photoélectrique extérieur externe pour la platine Pt , si le travail d’extraction d’électron de la surface de la platine est eV 3,6A = .

(Réponse: m10.197 9−=λ ) 25.23. Calculer la vitesse maximale maxυ des photoélectrons qui ont

quitté la surface d’un métal, si le courant photoélectrique s’annule pour une tension d’arrêt V 3,7 Uo = .

(Réponse: 1,14Mm/s max =υ ) 25.24. Déterminer le travail de extraction A des électrons par le

tungstène W , si le seuil de l’effet photoélectrique du métal est à nm 275 o =λ .

(Réponse: eV 4,52 A = ) 25.25. Potassium K est éclairée par une lumière monochromatique

de longueur d’onde nm400 =λ . Calculer la tension d’arrêt minimale oU pour laquelle le courant photoélectrique s’annule. Le travail

d’extraction des électrons par le potassium est eV 2,2 A = . (Réponse: V 0,91 Uo = ) 25.26. Le seuil de l’effet photoélectrique d’un métal est

nm500 o =λ . Calculer: a) le travail d’extraction des électrons A pour ce métal; b) la vitesse maximale maxυ des électrons émis du métal, s’il est irradié par une lumière de longueur d’onde nm400 =λ .

(Réponses: a) 2,49eV; A = b) km/s 468 max =υ )

CHAPITRE 25

220

25.27. La tension d’arrêt pour une plaque en platine Pt est V 3,7 Uo1 = et le travail d’extraction des électrons est eV 6,3 A1 = .

Dans les mêmes conditions la tension d’arrêt pour une autre plaque est V 5,3 Uo2 = . Calculer le travail d’extraction des électrons 2A dans le cas

de la deuxième plaque. (Réponse: eV 4,7 A2 = ) 25.28. Déterminer le potentiel électrique ϕ d’une boule d’argent

Ag , irradiée par une lumière ultraviolette de longueur d’onde nm 208 =λ . Le travail d’extraction des électrons pour l’argent est eV 4,7 A = .

(Réponse: V28,1=ϕ ) 25.29. Une radiation monochromatique de longueur d’onde

nm 83 =λ tombe sur une électrode plane en argent Ag . Quelle distance maximale s de la surface de l’électrode sera atteinte par les photoélectrons, si un champ électrique d’arrêt V/cm10 E = existe en dehors de l’électrode? Le seuil de l’effet photoélectrique pour l’argent est

nm 264 Ag =λ . (Réponse: cm 1,03 s = ) 25.30. Des photons d’énergie eV5 =ε déchirent des photoélectrons

d’un métal dont le travail d’extraction est eV 4,7 A = . Calculer l’impulsion maximale maxp , transmise sur la surface du métal en résultat de ce processus.

(Réponse: kg.m/s 2,96.10 p -25max = )

25.31. Déterminer la vitesse eυ avec laquelle un électron doit se

déplacer pour que son impulsion soit égale à l’impulsion d’un photon de longueur d’onde est m0,5 µλ = .

(Réponse: km/s 1,46 e =υ ) 25.32. Déterminer la longueur d’onde λ d’un photon dont

l’impulsion est égale à l’impulsion d’un électron accéléré par une différence de potentiel V 9,8 U = .

(Réponse: nm 392 =λ )

L’EFFET COMPTON

221

Chapitre 26

L’effet Compton

Notions de base. Lois fondamentales et formules. La diffusion Compton est la diffusion d'un photon sur une particule

de matière, comme un électron. On appelle effet Compton plus spécifiquement l'augmentation de la longueur d'onde du photon λ∆ par la diffusion. La célèbre formule du décalage en longueur d’onde apparaissant lors d’une diffusion de rayons X est

2sin

c.mh.2' 2

o

ϕλλλ∆ =−= (1).

Problèmes

26.1. Déterminer l’énergie d’électron rebondit cЕ lors de l’effet

Compton, si le photon ( pm 100=λ ) a été diffusé sous un angle o180=ϕ . (Réponse: J10.2,9E 17

c−= )

Données

m10.100pm 100 12−==λ ; o180=ϕ _________________________________________________________

?Еc = Solution

D’après la loi de conservation d’énergie cE'+= εε , ou

'hc

'hchc'Ec λλ

λ∆λλ

εε =−=−= , où λλλ∆ −= ' ;

2sin

c.mh.2' 2

o

ϕλλλ∆ =−= , donc 2

sinc.m

h.2' 2

o

ϕλλ += .

J1710.2,9

22sin

comh2.om

22sin.2h2

22sin

comh2.com

22sin.h2.c.h

cE −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=ϕ

λλ

ϕ

ϕλλ

ϕ

CHAPITRE 26

222

26.2. Déterminer la longueur d’onde de Compton Cλ pour un électron.

(Réponse: m10.42,2 12C

−=λ ) 26.3. Déterminer le décalage en longueur d’onde pour un électron et

déterminer le changement relatif de la longueur d’onde pour la lumière visible ( nm 5001 =λ ) et pour des rayons X ( nm10.5 3

2−=λ ), si

l’angle de diffusion est o90=ϕ .

(Réponses: m10.42,2 1221

−== λ∆λ∆ , 611 10.86,4/ −=λλ∆ ,

484,0/ 22 =λ∆λ∆ ) 26.4. Des rayons X de longueur d’onde nm 0708,0=λ sont

diffusés sur de la paraffine. Déterminer les longueurs d’ondes 'λ des rayons X diffusés sous un angle a) 2

πϕ = ; b) πϕ = .

(Réponses: a) m10.0732,0' 9−=λ ; b) m10.076,0' 9−=λ ) 26.5. Un photon de longueur d’onde nm10.0,5 3−=λ est diffusé sur

un électron libre sous un angle o90=ϕ . Déterminer: a) la fréquence du photon diffusé 'ν ; b) l’énergie cinétique d’électron rebondit cЕ .

(Réponses: a) Hz10.04,4' 19=ν ; b) J10.94,12E 15c

−= ) 26.6. Un photon, dont l’énergie est fois 2 plus grande que l’énergie

d’un électron en repos, subit un choc frontal avec un électron en repos. Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire de l’électron rebondit dans un champ magnétique d’induction T 0,12B = . On suppose que le mouvement de l’électron est perpendiculaire à la direction du champ magnétique.

(Réponse: m10.3,1R 2−= ) 26.7. Un rayonnement X de longueur d’onde m10.28,6 11−=λ est

diffusé sur une lamelle (effet Compton). Déterminer la longueur d’onde des photons diffusés 'λ sous un angle o48=ϕ .

(Réponse: m10.36,6' 11−=λ )

L’EFFET COMPTON

223

26.8. La longueur d’onde d’un photon change de m10.0184,0 10− lors de la diffusion Compton sur un électron. Déterminer l’angle de diffusion ϕ du photon.

(Réponse: '2276o=ϕ ) 26.9. Un photon d’énergie MeV 05,1=ε est diffusé sur un électron

sous un angle o47=ϕ . Déterminer l’énergie cinétique d’électron cЕ , si sa vitesse avant la diffusion a été négligeable.

(Réponse: eV10.15,4E 5c

−= ) 26.10. Déterminer l’angle de diffusion ϕ d’un photon si son énergie

lors de la diffusion sur un électron immobile est MeV 45,0Ec = et l’énergie du photon diffusé est MeV 3,0' =ε .

(Réponse: ''28'2364o=ϕ ) 26.11. L’énergie d’un photon diffusé sur un électron immobile est

égale à l’énergie doublée de l’électron en repos. Déterminer: a) la fréquence du photon diffusé 'ν et l’énergie cinétique de l’électron cЕ , si

l’angle de diffusion est o61=ϕ ; b) quelle partie η de l’énergie ε du photon incident obtient l’électron.

(Réponses: a) Hz10.22,1' 20=ν ; b) %51Ec ==ε

η )

Données

o2

o E2cm2 ==ε ; o61=ϕ . ________________________________________________________

a) ?' =ν ; b) ?Eo ==ε

η

Solution

a) 2

sinc.m

h.2' 2

o

ϕλλλ∆ =−= , mais on sait que ( )ϕϕ cos121

2sin2 −=

et alors ( )ϕλλλ∆ cos1c.m

h'o

−=−= (1).

D’après o2

o E2cm2 ==ε et λ

ε hc= , 2

ocm2hc=

λ, donc

cm2h

o=λ (2).

CHAPITRE 26

224

On remplace (2) dans (1) et on obtient :

( )cm2

hcos1cm

h'

c

oo+−= ϕ

ν,

( ) ( )com2

hcos1h2c

com2hcos1

comh

c'+−

=+−

= ϕϕν

( ) ( )ϕϕν

cos5,1h

2comhcos1h2

2com2'

−=

+−=

Hz10.22,1' 20=ν b) 'h' νε = . La loi de conservation de l’énergie cE'+= εε , ou

'hcm2'E 2oc νεε −=−=

et alors 2o

2o

2oc

cm2'h1

cm2'hcm2E νν

εη −=

−== et %51=η

26.12. Un faisceau monochromatique étroit de rayons X tombe sur

un matériau diffuseur. Il parait que la différence entre la longueur d’onde diffusée sous un angle o

1 60=ϕ et celle - diffusée sous un angle o

2 120=ϕ est 5,1n = fois. Déterminer la longueur d’onde du rayonnement incident λ en supposant que la diffusion est sur des électrons libres.

(Réponse: m10.64,3 12−=λ ) 26.13. Un photon d’énergie MeV 23,0=ε est diffusé sur un

électron en repos. Déterminer l’énergie cinétique de l’électron rebondit cЕ , si la longueur d’onde du photon diffusé a changé de %15 .

(Réponse: keV 30Ec = ) 26.14. En résultat de l’effet Compton un photon est diffusé sur un

électron en repos sous un angle o90=ϕ . L’énergie du photon diffusé est keV 216' =ε . Déterminer: a) l’énergie du photon avant la diffusion ε ; b)

l’énergie cinétique de l’électron rebondit cЕ ; c) l’angle ϕ du mouvement de l’électron rebondit.

(Réponses: a) keV 374=ε ; b) keV 158Ec = ; c) o30=ϕ )

LES RAYONS X

225

Chapitre 27

Les rayons X

Notions de base. Lois fondamentales et formules

Les rayons X sont obtenus dans un tube à rayons X . La longueur d'onde minimale minλ dans le spectre continu du

rayonnement de freinage est U.ec.h

min =λ , où e est la charge de

l’électron, U – la tension d’accélération des électrons. Les directions dans lesquelles les interférences sont constructives,

appelées "pics de diffraction", peuvent être déterminées très simplement par la loi de Bragg λα .nsin.d.2 = , où d est la distance inter réticulaire, c'est-à-dire la distance entre deux plans cristallographiques, α est le demi angle de déviation (moitié de l'angle entre le faisceau incident et la direction du détecteur), n est l’ordre de réflexion (nombre entier), λ est la longueur d'onde des rayons X .

L’intensité I du rayonnement X passé par une couche d’épaisseur x est donné par la formule : x.

o le.II µ−= , où oI c’est l’intensité du rayonnement incident, lµ - le coefficient linéaire d’absorption. La relation entre le coefficient massique d’absorption mµ et le coefficient linéaire d’absorption est ρµµ /lm = , où ρ est la masse volumique de la substance.

CHAPITRE 27

226

Problèmes 27.1. Deux lamelles d’une même épaisseur, mais de différents

matériaux laissent passer respectivement 2/II o1 = et 2/II o1 = du flux lumineux incident oI . En négligeant la réflexion de la lumière, déterminer le rapport des coefficients linéaires d’absorption 1lµ et

2lµ des lamelles. (Réponse: 2/ 12 ll =µµ )

Données 2/II o1 = et 2/II o1 =

?/ 12 ll =µµ Solution

On sait que: 11 x.lo1 e.II µ−= (1) et 22l x.

o2 e.IIµ−

= (2). Puisque

xxx 21 == , on peut écrire x.1le21 µ−= (3) et

x.2le41 µ−= (4). On

fait le logarithme naturel de (3) et (4) x.2ln 1lµ= (5), x.4ln 2lµ=

(6), d’où en divisant (6) par (5) on a 22ln4ln

1

2

l

l ==µµ

27.2. Déterminer la longueur d’onde minimale minλ dans le spectre

continu du rayonnement de freinage obtenu dans un tube à rayons X lorsque la tension d’accélération est kV 25U = .

(Réponse: m10.049,0 9min

−=λ ) 27.3. Déterminer la vitesse des électrons υ qui tombent sur

l’anticathode d’un tube de rayons X , si la longueur d’onde minimale dans le spectre continu du rayonnement de freinage est m 7,15min µλ = .

(Réponse: s/m10.5,1 8=υ ) 27.4. L’anode d’un tube de rayons X est bombardée par des

électrons de vitesse m/s 0,9.108=υ . Déterminer la fréquence maximale maxν d’émission dans le spectre continu des rayons X , obtenu par le

tube donné. (Réponse: Hz1810.99,5max =ν )

LES RAYONS X

227

Données m/s 0,9.108=υ

?max =ν Solution

On sait que min

maxc

λν = et aussi

U.ec.h

min =λ , donc U.ec.hc

max=

ν et

d’ici hU.e

max =ν .

On sait aussi que U.eEc = et alors h

E cmax =ν , mais

2o

2c cmmcE −= , ou 2

o22

o2o

c cm)11

1(c)m1

m(E −−

=−−

=ββ

,

mais 2oo cmE = et )1

1

1(EE2oc −

−=

β.

D’ici )11

1(h

E2

omax −

−=

βν , mais

cυβ = ,

)Hz1810.99,512

c1

1hoE

max =

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=υ

ν

27.5. La longueur d’onde minimale dans le spectre continu obtenu

lors du freinage des électrons par l’anticathode d’un tube de rayons X est nm 64,0min =λ . Déterminer la vitesse maximale des électrons maxυ .

(Réponse: s/m10.61,2 7max =υ )

27.6. La tension d’accélération dans un tube de rayons X est

kV 60U = . La longueur d’onde minimale dans le spectre continu des rayons X obtenus dans ce tube est nm 0206,0min =λ . Déterminer la constante de Planck en utilisant les données.

(Réponse: s.J10.59,6h 34−= )

CHAPITRE 27

228

27.7. La longueur d’onde minimale des rayons X émis par l’actinium Ac ( 211Bi ) est m1.035,0 10−=λ . Déterminer pour quelle

valeur de la tension d’accélération U on peut obtenir des rayons X d’une telle longueur d’onde.

(Réponse: V10.353U 3= ) 27.8. Déterminer la fréquence maximale maxν du rayonnement de

freinage obtenu dans un tube à rayons X , si la tension entre l’anode et la cathode est kV 29U = .

(Réponse: Hz10.0,7 18max =ν )

27.9. Il n’existent pas des ondes monochromatiques de longueur

d’onde plus petite que m10.07,311

min−

=λ dans le spectre continue d’un rayonnement obtenu dans un tube à rayons X . Déterminer la tension U appliquée dans le tube.

(Réponse: V10.40U 3= ) 27.10. Déterminer la longueur d’onde minimale minλ dans le spectre

du rayonnement de freinage, si la vitesse des électrons bombardant l’anode dans le tube de Röntgen est c.5,0=υ .

(Réponse: m10.57,1 11min

−=λ ) 27.11. Déterminer l’angle le plus petit α entre la surface d’un

monocristal et un faisceau de rayons X pour que les rayons X de longueur d’onde nm 02,0=λ se réfléchissent. La constante du réseau cristallin est nm 303,0d = .

(Réponse: '891o=α ) 27.12. Déterminer la distance or entre les ions voisins dans le réseau

de NaCl , qui représente un système cubique simple. La masse volumique du cristal de NaCl est 33 m/kg10.2,2=ρ .

(Réponse: m10.8,2r 10o

−= )

LES RAYONS X

229

27.13. Des rayons X de longueur d’onde m10.32,0 10−=λ tombent sur un cristal de 3CaCO . On observe une réflexion

d’interférence du premier ordre lors d’un angle o3=α entre la surface d’un monocristal et le faisceau de rayons X . Déterminer la constante du réseau cristallin d .

(Réponse: m10.06,3d 10−= )

Données Solution m10.32.0 10−=λ ; o3=α ;

1n =

?d =

On sait que : αλ sin.d2.n = et donc

m10.06,3sin2

.nd 10−==αλ

27.14. Un cristal de KCl est irradié par de rayons X

monochromatiques de longueur d’onde nm0,145 =λ . On observe un maximum du premier ordre lorsque l’angle formé par le plan de réflexion du cristal et le faisceau incident de rayons X est 21' 14 o=α . Déterminer la distance d entre deux plans successifs.

(Réponse: m10.3d 10−= ) 27.15. Des rayons X tombent sur la limite naturelle d’un cristal de

NaCl et une réflexion d’interférence du deuxième ordre a lieu. Déterminer la longueur d’onde λ des rayons X , si l’angle entre la surface du monocristal et le faisceau de rayons X est '409o=α . La distance entre les ions voisins dans le réseau de NaCl est

m10.8,2d 10−= .

(Réponse: m10.57,4 11−=λ ) 27.16. Un faisceau de rayons X , produit dans un tube destiné à la

production de rayons X , est réfléchi par la surface d’un cristal de 3CaCO . La distance entre deux plans successifs est nm 0,304d = . On

observe une interférence lorsque l’angle minimal formé par le plan de réflexion du cristal et le faisceau incident de rayons X est 10'5o=α . Déterminer la tension U de travail du tube.

(Réponse: V10.22U 3= )

CHAPITRE 27

230

27.17. Un tube de rayon X crée à une distance quelconque une

exposition de puissance s.kg/C10.4,6dtdx 5−= . Déterminer le nombre

de paires d’ions n crées par le tube pour une seconde dans g 1m= d’air à la distance donnée.

(Réponse: s.g/nombres10.4n 14= ) 27.18. Dans une chambre à ionisation de volume 3cm 6V = se

trouve une quantité d’air qui est irradié par de rayons X dont la puissance d’ionisation est h/mR 48,0Pi = . Déterminer l’intensité du courant de saturation sI .

(Réponse: A10.668,2I 16s

−= ) 27.19. De combien de fois va diminuer l’intensité oI des rayons X

d’une longueur d’onde nm 02,0=λ lors du passage par une couche de fer d’épaisseur mm 15,0x = ? Le coefficient massique d’absorption du

fer est kg/m 1,1 2m =µ .

(Réponse: 68,3I/Io = ) 27.20. Déterminer l’épaisseur de la couche absorbante x pour

l’aluminium Al et le plomb Pb , si l’intensité des rayons X de longueur d’onde nm 01,0=λ diminue fois 2n= . Les coefficients linéaires d’absorption des rayons X d’une longueur d’onde pareille sont respectivement pour l’aluminium 1

l mm 0433,0 −=µ et pour le plomb 1

l mm 85,3 −=µ .

(Réponse: m10.18,0x 3Al

−= , m10.16x 3Pb

−= ) 27.21. Une lumière monochromatique tombe successivement à la

normale de deux lamelles, faites d’un même matériau. L’épaisseur de la première lamelle est mm 4x1 = et celle de la deuxième est

mm 5,8x2 = . En négligeant la réflexion secondaire, déterminer le coefficient linéaire d’absorption lµ du matériau, si la première lamelle laisse passer 7,01 =η du flux lumineux et la deuxième - 52,02 =η .

(Réponse: 12l m10.661,0 −−=µ )

EQUATION DE SCHRÖDINGER

231

Chapitre 28

Equation de Schrödinger


L'équation de Schrödinger, conçue par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation fondamentale en physique quantique non-relativiste. Elle décrit l'évolution dans le temps d'une particule massive non-relativiste et remplit ainsi le même rôle que la relation fondamentale de la dynamique en mécanique classique.

La fonction d’onde d’une particule libre en mouvement est

)Wtr.p(i

Ae)t,r(−

=rr

hrψ , où A est l’amplitude, i – l’unité imaginaire, pr – l’impulsion de la particule, rr – le vecteur unité d’un point de l’espace,

W – l’énergie totale de la particule. La fonction d’onde d’une particule libre en mouvement dans une

direction OX est ( ) ( )Wtpxi

Aet,x−

= hψ . L’équation de Schrödinger en forme générale est

ψψ∆ψ Um2t

i2

+−=∂∂ h

h , où m est la masse de la particule, )t,r( rψ - la

fonction d’onde de la particule; )t,r(U r - l’énergie potentielle de la particule.

L’équation stationnaire de Schrödinger est ( ) 0UWm22 =−+ ψψ∆

h,

où W est l’énergie totale de la particule, )r(U r - l’énergie potentielle de la particule, )r( rψ - la fonction d’onde de la particule.

La probabilité dW de trouver une particule pour un moment donné

dans un volume élémentaire dV est dVdW 2ψ= , où *2 ψψψ = est la densité de la probabilité.

CHAPITRE 28

232

Les valeurs propres de l’énergie d’une particule, qui se trouve dans

un puits de potentiel infini et unidimensionnel est 22

22n n

ml2E hπ

= , où

... 3, 2,1,n = , où l est la largeur du puits. Les fonctions d’onde propres correspondant aux énergies données

au-dessus est )xlnsin(

l2)x(n

πΨ =

Problèmes

28.1. Un électron d’énergie keV 2,1E = est en mouvement sur la direction positive de l’axe OX et rencontre sur son chemin un puits de potentiel, rectiligne et infiniment long, d’une hauteur eV 150Uo = . Déterminer de combien de fois va changer la longueur d’onde de de Broglie lors du passage de l’électron par le puits.

(Réponse: 07,11

2 =λλ

)

28.2. Un électron se trouve dans un puits de potentiel infini et

unidimensionnel de largeur nm 5,0l = . Déterminer la différence minimale entre deux niveaux énergétiques voisins minE∆ de l’électron.

(Réponse: J10.2,7E 19min

−=∆ )

Données

m10.5,0nm 5,0l 9−==

?Еmin =∆


233

Solution

n)1n(min EEE −= +∆ . On sait que 22

22n n

ml2E hπ

= , donc

22

221n )1n(

ml2E +=+

hπ

( ) ( )( )222

22n1nmin n1n

ml2EEE −+=−= +

hπ∆

ou encore ( )1n2ml2

E 2

22min +=

hπ∆

1n= pour que la différence soit minimale.

J10.2,73.ml2

E 192

22min

−==hπ∆

28.3. Calculer les niveaux énergétiques d’une particule de masse

kg 3-10m = dans un puits de potentiel infini et unidimensionnel de

largeur m10l 2−= . Lors de quelle valeur de n , l’énergie cinétique de cette particule va être J1E = . Quelle est la différence minimale minE∆ entre deux niveaux énergétiques voisins.

(Réponses: 3010.35,1n = , J10.65,1E 60min

−=∆ ) 28.4. Déterminer la différence minimale minE∆ entre les énergies de

deux niveaux voisins d’une molécule de masse kg 10m -26= , qui se trouve dans un puits de potentiel de largeur m 1,0l = .

(Réponse: J10.5,16E 40min

−=∆ ) 28.5. Déterminer l’énergie cinétique E d’un électron en état

fondamental ( 1n = ) qui se trouve dans un puits de potentiel infini et unidimensionnel de largeur m10.3l 10−= . Quelle partie est cette énergie de l’énergie d’un électron en repos oE ?

(Réponses: J10.27E 19−= ; 6o 10.23,8E/E −= )

CHAPITRE 28

234

28.6. Déterminer la probabilité de trouver une particule à l’état 2n = dans le deuxième tiers d’un puits de potentiel infini et

unidimensionnel. (Réponse: 195,0W = )

Données 2n = ?W =

Solution

On sait que dxdW 2ψ= et que )xlnsin(

l2)x(n

πΨ =

∫∫ =∫ ==3/l2

3/ldx)x

ln(2sin

l23/l2

3/ldx

2)x

lnsin(

l23/l2

3/ldx2W ππψ

∫=3/l2

3/l)x

ln(d)x

ln(2sin

nll2W πππ

D’ici on obtient

∫∫ ==3/l2

3/l

23/l2

3/l

2 )xln(d)x

ln(sin1)x

ln(d)x

ln(sin

n2W ππ

πππ

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−= )

3l.

ln2sin

3l2.

ln2(sin

21)

3l.

ln

3l2.

ln(

21.1W ππππ

π, ou

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−= )

34sin

38(sin

21)

32

34(

21W πππππ

195,03

4sin41

38sin

41

31W =+−=

ππ

ππ

28.7. Déterminer la probabilité 3/1W de trouver une particule à

l’état excité 4n = dans le premier tiers d’un puits de potentiel infini et unidimensionnel.

(Réponse: 3,0W 3/1 = )


235

28.8. Déterminer la probabilité de trouver une particule à l’état 1n = dans le premier 4/1W et le deuxième quart 4/2W d’un puits de potentiel infini et unidimensionnel.

(Réponses: 09076,0W 4/1 = , 41,0W 4/2 = ) 28.9. Une particule à l’état excité 2n = se trouve dans un puits de

potentiel infini et unidimensionnel de largeur l . Déterminer dans quels points de l’intervalle lx0 << la densité de la probabilité de trouver la particule a des valeurs maximales et minimales.

(Réponses: Maximum pour 2/lx= ; Minimum pour 4/lx= et 4/l3x= )

28.10. Une particule dans un puits de potentiel infini et

unidimensionnel de largeur l se trouve à l’état fondamental ( 1n = ). Dans quels points de l’intervalle l< x<0 la densité de la probabilité de trouver la particule va avoir des valeurs extrémales.

(Réponses: Maximum pour 2/lx= ; Minimum pour 0x = et lx = ) 28.11. Un électron à l’état excité 4n = se trouve dans un puits de

potentiel infini et unidimensionnel de largeur pm 200l = . Déterminer: a) l’énergie minimale de l’électron minE ; b) la probabilité W de trouver l’électron dans le premier quart du puits.

(Réponses: a) J10.5,1E 18min

−= ; b) 25,0W = ) 28.12. Un électron à l’état excité 3n = se trouve dans un puits de

potentiel infini et unidimensionnel de largeur pm 100l = . Déterminer: a) l’énergie de l’électron à l’état excité; b) la probabilité de trouver l’électron dans le deuxième tiers du puits.

(Réponses: a) J10.37,5E 17min

−= ; b) 333,0W = ) 28.13. Déterminer la longueur d’onde λ du photon, émis lors de la

transition d’un électron, qui se trouve dans un puits de potentiel infini et unidimensionnel de largeur nm 2,0l = de l’état 2n = à l’état qui possède l’énergie la plus petite.

(Réponse: m10.44 9−=λ )

CHAPITRE 29

236

Chapitre 29

Barrière de potentiel


La transmittivité D de la barrière peut être déterminée par la relation

( )EUm2l2

oo

e.DD−−

= h (1), où oD est un coefficient pris pour unité, l - la largeur de la barrière, oU - la hauteur de la barrière, E - l’énergie totale de la particule, m - la masse de la particule.

Problèmes 29.1. Déterminer la transmittivité d’une barrière de potentiel

rectangulaire pour un électron si: a) eV10EUo =− , m10l 10−= ;

b) eV1EUo =− , m10l 10−= ; c) eV1EUo =− , m10l 2−= .

(Réponses: a) 039,0D = ; b) 368,0D = ; c) 810eD −= )

29.2. Déterminer la transmittivité d’une barrière de potentiel

rectangulaire pour un proton si: a) eV10EU 2o

−=− , m10l 10−= ;

b) MeV1EUo =− , m10.2l 5−= . (Réponses: a) 012,0D = ; b) 42,0D = ) 29.3. Un électron et un proton d’une même énergie, sont en

mouvement sur la direction positive de l’axe OX et doivent franchir une barrière de potentiel rectangulaire. Déterminer de combien de fois n faut-il rétrécir la barrière de potentiel pour que la probabilité de franchir la barrière du proton soit la même que celle pour l’électron.

(Réponse: fois8,42'lln == )

BARRIÈRE DE POTENTIEL

237

Données

kg10.67,1m 27p

−= , kg10.11,9m 31e

−= , l - largeur da la barrière pour l’électron, 'l -la largeur da la barrière pour le proton

?'l

ln ==

Solution

( )EUm2l2

oo

e.DD−−

= h et alors

( ) ( )EUm2'l2

oEUm2l2

oopoe

e.De.D−−−−

= hh , d’où

pe m2'lm2l = , donc fois8,42mm

m2

m2

'lln

e

p

e

p==== .

29.4. Deux particules, un électron et un proton d’une même

énergie eV 5E = , sont en mouvement sur la direction positive de l’axe OX et rencontrent sur leur chemin une barrière de potentiel rectangulaire de hauteur eV 10U = et de largeur pm 1l = . Déterminer le rapport de la probabilité de franchir la barrière des particules.

(Réponse: 6,2D/D pe = ) 29.5. La largeur d’une barrière de potentiel rectangulaire est

nm 15,0l = . Déterminer en électronvolts la différence des énergies )EU( o − pour laquelle la probabilité de franchir la barrière de l’électron

est 0,4De = . (Réponse: ( ) eV 35,0EUo =− )

CHAPITRE 29

238

29.6. Un électron d’énergie eV 4E = est en mouvement dans la direction positive de l’axe OX et rencontre sur son chemin une barrière de potentiel rectangulaire de hauteur eV 5Uo = et de largeur

nm 5,0l = . Déterminer la transmittivité de la barrière de potentiel. (Réponse: 006,0D = ) 29.7. La largeur d’une barrière de potentiel rectangulaire est

nm 15,0l = . Déterminer (en électronvolts) la différence des énergies )EU( o − pour laquelle la probabilité de franchir la barrière de l’électron

est 0,5 . (Réponse: ( ) eV 202,0EUo =− )

239

SYSTEMES D’UNITES Chaque grandeur, fondamentale, dérivée, avec ou même sans

dimension, possède une unité, quantité de base prise pour référence afin d’étalonner toutes les grandeurs de même type.

Souvent l’unité est adaptée à l’environnement physique qui nous entoure immédiatement: on a longtemps mesuré les longueurs en pouce et en pied, le temps compté avec un sablier ou en “lunes” ou même en saisons, aujourd’hui en nanoseconde avec les ordinateurs. Quant aux poids, leurs importance est telle (poids d’or dans la monnaie par ex.) qu’un étalon était déjà défini chez les Hébreux (“poids du sanctuaire” gardé dans le temple de Jérusalem) et, au Moyen-Âge défini et garanti par chaque seigneur. De telles unités posent évidemment des problèmes:

- d’universalité : la livre anglaise est différente de la livre française. Depuis la livre

romaine, la masse a évolué de 327 à 489 g, en se subdivisant en 10 puis 12 onces.

l 4,546 anglais galon 1 = et l 3,785 US galon 1 = - de cohérence:

onces 14,5849 livre 1 = pouces 12 pied 1 = , mais pied 3 yard 1 = .

Le passage d’un système à un autre est difficile. C’est donc tout l’intérêt d’un système cohérent comme le système métrique, pris comme système international (SI). Ce système est élaboré de façon internationale par la “Conférence des Poids et Mesures” qui visera à proposer des unités étalonnables de façon identique en tout point du globe.

Le système international: 7 grandeurs fondamentales

Grandeur Symbole Nom de l’unité

Symbole de l’unité

Longueur l mètre m Masse m kilogramme kg Temps t seconde s Courant électrique (intensité) I ampère A Température thermodynamique

T kelvin K

Quantité de matière n mole mol Intensité lumineuse VI candela cd

240

Chaque unité reçoit des mesures de référence les plus précises possibles, ce qui implique une évolution avec les précisions disponibles de l’époque. Par exemple:

1 m: Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299 792 458 de seconde (auparavant, il s’agissait d’une barre de platine irradié à la température de 20°C).

1 kg: Le kilogramme est une unité dérivée du système international. Le kilogramme (au départ nommé le grave) est égal à la masse du prototype international du kilogramme. Ce dernier, composé d'un alliage de platine et d'iridium (90%-10%), est conservé au Bureau international des poids et mesures à Sèvres, en France. Historiquement, la définition du kilogramme était la masse d'un décimètre cube d'eau (un litre).

1 s: La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133 à la température de 0 kelvin. La seconde était à l'origine basée sur la durée du jour terrestre, divisé en 24 heures de 60 minutes, chacune d'entre elles durant 60 secondes (soit 86 400 secondes pour une journée).

1 A: L'ampère est l'intensité d'un courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à une distance de un mètre l'un de l'autre dans le vide produirait entre ces conducteurs une force égale à 2.10-7 newton par mètre de longueur.

1 K: Le kelvin, unité de température thermodynamique, est la fraction 1/273,16 de la température thermodynamique du point triple de l'eau (liquide + solide + vapeur).

1 mol: La mole est la quantité de matière d'un système contenant autant d'entités élémentaires qu'il y a d'atomes dans 0,012 kilogramme de carbone 12. Ce nombre d'entités élémentaires est appelé nombre d'Avogadro. Lorsque l'on emploie la mole, les entités élémentaires doivent être spécifiées et peuvent être des atomes, des molécules, des ions, des électrons, d'autres particules ou des groupements spécifiés de telles particules.

1 cd: La candela est l'intensité lumineuse, dans une direction donnée, d'une source qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540·1012 hertz et dont l'intensité énergétique dans cette direction est de 1/683 watt par stéradian.

241

Un certain nombre d’unités dérivées ont des noms spéciaux (tableau ci-dessous).

Quantité Physique Nom de l’unité Symbole Définition en

SI Force newton N -2m.kg.s Pression pascal Pa -2-1 .kg.sm Energie joule J -22 .kg.sm Puissance watt W -32 .kg.sm Charge électrique coulomb C s.A Résistance électrique ohm Ω -3-32 .A.kg.sm Différence du potentiel volt V -1-32 .A.kg.sm Densité de champ magnétique tesla T -1-2 .Akg.s Fréquence hertz Hz -1s Activité (radioactivité) becquerel Bq -1s

Tableau 1. Constantes fondamentales

1. Zéro de l’échelle Celsius 0 K = -273,15 0C 2. Constante d'Avogadro NA=(6,022045 ± 0,00031).1023 mol-1 3. Charge élémentaire e=(1,6021892 ± 0,0000046).10-19 C 4. Célérité de la lumière c=(2,997924580 ± 0,000000012).108 m/s 5. Constante de la

gravitation G=(6,6720 ± 0,0041).10-11 N.m2/kg2

6. Constante de Boltzmann k=(1,380662 ± 0,00044).10-23 J/K 7. Constante de Plank h=(6,626176 ± 0,000036).10-34 J.s 8. Masse du proton mp=1,67265.10-27 kg 9. Masse du neutron mn=1,67496.10-27 kg 10. Masse de l’électron me=9,10953.10-31 kg 11. Pesanteur normale g=9,80665 m/s2 12. Nombre de Loschmidt n0=2,6868.1025 m-3 13. Constante des gaz

parfaits R=8,31448 J/K.mol

14. Constante de Stefan σ=5,670.10-8 W/m2K4 15. Atmosphère 1 atm = 1.01325.105 Pa

242

Tableau 2. Masse volumique de l’eau en fonction de la température

C

,to

3m/kg

,ρ C

,to

3m/kg

,ρ C

,to

3m/kg

,ρ

0 999.87 12 999.52 24 997.32 1 999.93 13 999.40 25 997.07 2 999.95 14 999.27 26 996.81 3 999.99 15 999.13 27 996.54 4 1000.00 16 999.97 28 996.26 5 999.99 17 998.80 29 995.97 6 999.97 18 998.62 30 995.67 7 999.93 19 998.43 31 995.37 8 999.88 20 998.23 32 995.05 9 999.81 21 998.02 33 994.72 10 999.73 22 997.80 34 994.40 11 999.63 23 997.57 35 994.06

Tableau 3. Masse volumique à 20 oC de liquides usuels

Liq

uide

Eau

Alc

ool

(éth

anol

)

Aci

de

acét

ique

Acé

tone

Eth

er

(C2H

5) 2O

Ben

zène

CC

l 4

Mer

cure

Masse

volumique

33 m/kg10

,ρ 0.998 0.789 1.049 0.790 0.714 0.879 1.594 13.546

243

Tableau 4. Masse volumique à 20 oC de solides non métalliques usuels

So

lide

Dia

man

t

Gra

phite

Souf

re α

Sel

(NaC

l)

Para

ffin

e

Ver

re

ordi

nair

e

Cao

utch

ouc

Gla

ce

(à 2

0 o C

)

Masse volumique

33 m/kg10

,ρ

3.51 2.25 2.07 2.16 0.90 2.60 0.91 0.917

Tableau 5. Diverses propriétés à 293 K de gaz et de vapeurs

Substance Masse molaire

mol/kg10 3− 3m/kg

,ρ

−vp C/C 25 m/s.N10

,−

η

Azote 28,016 1,251 1.74 1.74 Ammoniaque (vapeurs) - 0,771 1.34 0.97

Vapeurs d’eau 18.0156 0.786 1.324 1.28

Hydrogène 2.0158 0.0899 1.41 0.88 CO 28.01 1.25 1.40 1.77 CO2 44.01 1.977 1.30 1.45 Air sec 28.96 1.293 1.40 1.81 Oxygène 32.00 1.429 1.385 2.00 Chlore 70.914 3.22 1.36 1.32 Hélium 4.002 0.1785 1.66 1.94

244

Tableau 6. Préfixes utilisés pour définir les multiples des unités S.I.

Tableau 7. Dépendance du coefficient de la tension superficielle de

l’eau en fonction de la température

Fraction Préfixes Symbole Cto

m/N10. 3−σ Cto m/N

310. −σ

1810− atto a 0 75.49 50 67.80 1510− femto f 5 74.75 55 66.90 1210− pico p 10 74.01 60 66.00 910− nano n 15 73.26 65 65.10 610− micro µ 20 72.58 70 64.20 310− milli m 25 71.78 75 63.20 210− centi c 30 71.03 80 62.30 110− déci d 35 70.29 100 58.80

10 déca da 40 69.54 374 0.00 210 hecto h 45 68.60 310 kilo k 610 méga M 910 giga G 1210 téra T 1510 peta P 1810 exa E

Tableau 8. Travail d'extraction de l’electron pour des métaux

Métal oA , eV Platine 6,3 Argent 4,7 Zinc 4,0 Wolfram 4,5 Lithium 2,3 Sodium 2,5 Potassium 2,2 Césium 1,9

245

Références

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Сборник за 8-12 клас, ЛОДОС, София, 2003. 6. “Сборник от задачи по Физика за кандидат-студенти”, П.

Галанов, И. Желязков, Н. Николов, Наука и изкуство, София 1972.

7. Л. Вацкичев, М. Вацкичева, “Физика и астрономия за зрелостен и кандидат-студентски изпит”, ЛОДОС, София, 2003.

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11. R. Charlot, A. Cros, C. Walter, “Fondaments de la physique”, 2CT, Librairie Classique Eugène Belin, 1978.

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