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25/12/2012
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Processus de Poisson
Compléments
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Processus de Poisson:
Système différentiel
• Pour ∆t suffisamment petit, on a:
• En notant
• On a:
( )( )
( )
∆+∆−==−∆+∆+∆==−∆+
∆=≥−∆+
)(10)()(
),(1)()(
),(2)()(
tttNttNP
tttNttNP
ttNttNP
ολολ
ο
( )ntNPtpn == )()(
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Processus de Poisson:
Système différentiel
( ) ( ) ( )( ) ( )
[ ] )()()()(
)()()()1()(
)(1)()(1)(
0)()()(
1
1
ttptpttp
tttpttp
ttNttNPntNP
tNttNPntNPttp
nnn
nn
n
∆+−∆+=∆+∆+∆−=
∆+=−∆+−=++=−∆+==∆+
−
−
ολολλ
ο
On a:
[ ]t
ttptp
t
tpttpnn
nn
∆∆+−=
∆−∆+
−)(
)()()()(
1
ολ
d’où
3
Processus de Poisson:
Système différentiel
t
tpttptp nn
tn ∆
−∆+=→∆
)()(lim)('
0
or
[ ])()()(' 1 tptptp nnn −= −λ
et donc, en passant à la limite pour Δt→0, il vient:
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Processus de Poisson:
Système différentiel
( ) ( )[ ])(1)(
0)()(0)()(
0
0
tttp
tNttNPtNPttp
∆+∆−==−∆+==∆+
ολ
Il faut cependant isoler le cas particulier n=0:
)()(' 00 tptp λ−=qui donne
5
Processus de Poisson:
Système différentiel
[ ]
>−=−=
− 0)()()('
),()('
1
00
npourtptptp
tptp
nnn λλ
Les fonctions pn(t) vérifient donc le
système différentiel:
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Processus de Poisson:
Résolution du système différentiel
teCtptptp λλ −=⇔−= 0000 )()()('
1.On a
tetpdoncpor λ−== )(1)0( 00
7
Processus de Poisson:
Résolution du système différentiel
)()()()(' 1101 tpetptptp t λλλλ λ −=−= −
2. On a
teCtptptp λλ −=⇔−= 1111 )()()('
On résout tout d’abord
[ ])()()(' 111 tCtCetp t λλ −′= −
puis on fait varier la constante C1=C1(t) ce qui donne
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Processus de Poisson:
Résolution du système différentiel
[ ] [ ]
11
1
111
)(
)(
)()()(
cttC
tC
tCetCtCe tt
+=⇒
=′⇒
−=−′ −−
λλ
λλλ λλ
et en reportant dans l’équation de départ, on a
( ) tecttp λλ −+= 11 )(d’où 0)0(1 =por
ttetp λλ −=)(1donc
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Processus de Poisson:
Résolution du système différentiel
( )!
)(,0n
tetpn
nt
n
λλ−=≥∀
On peut montrer (par récurrence) que :
La propriété est vérifiée pour n=0 et n=1.
Supposons qu’elle vrai pour n et démonter
qu’elle l’est aussi pour n+1.
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Processus de Poisson:
Résolution du système différentiel
( ) ( )
−=′⇒= +
−+
− )(!
)(!
)( 11 tpn
tetp
n
tetp n
nt
n
nt
n
λλλ λλ
(d’après, l’équation différentielle (2))
[ ])()()()()( 11111 tCtCetpetCtp nnt
nt
nn ++−
+−
++ −′=′⇒= λλλ
on a donc
[ ] ( )
−=−′ +
−++
− )(!
)()( 111 tCn
tetCtCe n
nt
nnt λλλλ λλ
et, en reportant
11
Processus de Poisson:
Résolution du système différentiel
( ) ( )1
1
11 )!1()(
!)( +
+
++ ++
=⇒=′ n
n
n
n
n cn
ttC
n
ttC
λλλd’où
0)0(1 =+npet, en utilisant
( ))!1(
)(1
1 +=
+−
+ n
tetp
nt
n
λλ
on obtient finalement
c.q.f.d.12
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Temps d’attente:
Loi de la durée séparant deux événements
• On s’intéresse maintenant à la durée
(aléatoire) séparant deux occurrences de
l’événement.
• On se place à une date t0 et on s’intéresse à la
variable T (temps d’attente jusqu’à
l’occurrence du prochain événement.
• On a ( ) ( )( )0)(
0)()( 00
===−+=>
tNP
tNttNPtTP
(hypothèse B de homogénéité
dans le temps)
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Temps d’attente:
Loi de la durée séparant deux événements
( ) tetptTP λ−==> )(0donc
La loi de T est donc indépendante de t0, et on a:
( ) )(~1 λελ xpTetTP t >⇔−=≤ −
Remarque: On ne se préoccupe pas de savoir
si t0 est elle-même une date d’occurrence ou
pas, car cela ne change pas la loi de T grâce à
l’hypothèse de homogénéité dans le temps.
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Interprétation:
• On a vu que N(t) suit une loi de Poisson de paramètre λt, on a donc
ce qui signifie que le nombre moyen d’événements survenant en une unité de temps est égal à λ.
• On a vu de plus que on a donc
ce qui signifie que la durée moyenne séparant deux événements est égale à 1/λ.
[ ] λλ =⇔> )1()(~)1( NEPN
)(~ λεxpT > ( )λ1=TE
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