Prof. Dr.SalimYüce

LİNEER

CEBİR2. Baskı

Prof. Dr. Salim Yüce

LİNEER CEBİR

ISBN 978-605-318-030-2DOI 10.14527/9786053180302

Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© 2019, PEGEM AKADEMİ

Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. A.Ş.'ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektro-nik, fotokopi, manyetik kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu ki-tap T.C. Kültür ve Turizm Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olma-yan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.

Pegem Akademi Yayıncılık, 1998 yılından bugüne uluslararası düzeyde düzenli faaliyet yürüten uluslararası akademik bir yayınevidir. Yayımladığı kitaplar; Yükseköğretim Kurulunca ta-nınan yükseköğretim kurumlarının kataloglarında yer almaktadır. Dünyadaki en büyük çevri-miçi kamu erişim kataloğu olan WorldCat ve ayrıca Türkiye'de kurulan Turcademy.com ve Pegemindeks.net tarafından yayınları taranmaktadır, indekslenmektedir. Aynı alanda fark-lı yazarlara ait 1000’in üzerinde yayını bulunmaktadır. Pegem Akademi Yayınları ile ilgili detaylı bilgilere http://pegem.net adresinden ulaşılabilmektedir.

1. Baskı: Ocak 2015, Ankara2. Baskı: Temmuz 2019, Ankara

Yayın-Proje: Şehriban TürlüdürDizgi-Grafik Tasarım: Tuğba Kaplan

Kapak Tasarımı: Öğr. Gör. Dr. Murat Dağıtmaç

Baskı: Ay-bay Kırtasiye İnşaat Gıda Pazarlama ve Ticaret Limited ŞirketiÇetinemeç Bulvarı 1314.Cadde No:37A-B

0312 472 58 55

Yayıncı Sertifika No: 36306Matbaa Sertifika No: 33365

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60İnternet: www.pegem.netE-ileti: pegem@pegem.net

WhatsApp Hattı: 0538 594 92 40

Lineer Cebir

iii

Bu kitabımı; vatan uğruna canlarını feda etmiş aziz şehitlerimize;

hayat kaynağım, canım çocuklarım Kaan ve Barış’a

ithaf ediyorum.

Lineer Cebir

iv

ÖN SÖZ

Bu kitap üniversitelerin Matematik, Matematik Mühendisliği, Matematik

Bilgisayar, İstatistik, Matematik Öğretmenliği ve Mühendislik Bölümlerinde

okutulan Lineer Cebir dersine temel olmasının yanı sıra Lisansüstü düzeyin-

deki tüm programlarda öğrenim gören öğrencilerin ve akademisyenlerin

faydalanacağı düşüncesiyle kaleme alınmıştır. Ayrıca Lineer Cebir’in Mate-

matik Bölümündeki diğer derslerin temeli olması nedeniyle kitabın tüm

Matematik derslerine iyi bir kaynak oluşturması planlanmıştır.

Bu kitabın en önemli özelliği gerek lisans gerekse lisansüstü hatta servis

dersi olarak okutulan Lineer Cebir Dersinin tüm öğrencilerine hitap edecek

şekilde bölümlere ayrılarak sade bir dille hazırlanmasıdır. Her bölümün içe-

risinde konuların daha iyi anlaşılması amacıyla konu ile ilgili yeteri kadar

çözümlü sorular ile bölüm sonunda okuyucuların kendilerinin çözmesi için

Alıştırmalar verilmiştir.

Kitabın yazımında yardımcı olan Dr. Öğr. Üyesi Özcan BEKTAŞ nezdinde tüm

geometri grubu asistanlarıma teşekkür ederim.

Son olarak, akademik hayatımın her noktasında yanımda olan Hocam Sayın

Prof. Dr. Nuri KURUOĞLU’na, Hocamız Sayın Prof. Dr. H. Hilmi

HACISALİHOĞLU’na emekleri için teşekkürlerimi sunarım.

Prof. Dr. Salim Yüce

Yıldız Teknik Üniversitesi

sayuce@yildiz.edu.tr

Lineer Cebir

v

İÇİNDEKİLER

BÖLÜM 1

GRUP, HALKA, CİSİM

1.1 Grup .................................................................................................... 1

1.2 Halka ................................................................................................... 6

1.3 Cisim ................................................................................................. 11

Alıştırmalar 1 ........................................................................................... 14

BÖLÜM 2

VEKTÖR UZAYLARI

2.1 Vektör ............................................................................................... 17

2.1.1 Nokta Vektör Eşlemesi ........................................................... 22

2.2 Düzlemdeki Vektörler Üzerine İşlemler ............................................ 22

2.3 Düzlemde Afin Koordinat Sistemi ..................................................... 30

2.3.1 İki Vektörün Lineer Bağımsızlığı .............................................. 30

2.3.2 Afin Koordinat Sistemi ............................................................ 31

2.4 Vektör Uzayları ................................................................................. 34

2.4.1 Vektör Uzayı Aksiyomlarından Çıkan Sonuçlar ........................ 35

2.5 Vektör Uzayı Örnekleri ...................................................................... 41

2.5.1 Vektör Uzaylarının Direkt Çarpımı .......................................... 47

2.6 n

Vektör Uzayında Geometrik Yapılar ........................................... 49

2.6.1 n

Uzayında Eğri ................................................................... 51

2.7 Modül................................................................................................ 52

2.8 Alt Vektör Uzayları ............................................................................ 54

Alıştırmalar 2 ........................................................................................... 63

İçindekiler

vi

BÖLÜM 3

İÇ ÇARPIM UZAYLARI

3.1 İç Çarpım Fonksiyonu ........................................................................ 67

3.2 n

ve n

üzerinde Standart İç Çarpım Fonksiyonları ................... 69

3.3 n

Öklid Uzayının Metrik Özellikleri ............................................... 71

3.3.1 n

Uzayında Bir Vektörün Uzunluğu ..................................... 71

3.3.2 n

Uzayında İki Nokta Arasındaki Uzaklık ............................. 72

3.3.3 Bir Skalar ile Bir Vektörün Çarpımı ......................................... 72

3.3.4 İki Vektör Arasındaki Açı ......................................................... 73

3.3.5 n

Uzayında İki Vektörün Dikliği .......................................... 74

3.4 İç Çarpımın Geometrik Yorumu ....................................................... 75

3.4.1 İzdüşüm Vektörü .................................................................... 77

3.4.2 Doğru ve Düzlem .................................................................... 78

3.5 İç Çarpım Uzayında Schwartz Eşitsizliği ............................................ 80

3.6 Ortonormal Vektör Sistemi .............................................................. 91

Alıştırmalar 3 ........................................................................................... 96

BÖLÜM 4

VEKTÖR UZAYLARINDA BAZ VE BOYUT

4.1 Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık ............................................. 99

4.2 Vektör Uzaylarında Baz ve Boyut .................................................... 104

4.3 Gram – Schmidt Ortogonalleştirme Metodu (Ortonormalleştirme Metodu) ....................................................... 114

4.4 Alt Uzayların Boyutları .................................................................... 119

Alıştırmalar 4 ......................................................................................... 125

Lineer Cebir

vii

BÖLÜM 5

ÖZEL VEKTÖR UZAYLARI

5.1 Direkt Toplam Uzayı ........................................................................ 129

5.2 İç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları: Ortogonal Kompleman ............ 131

Alıştırmalar 5 ......................................................................................... 136

BÖLÜM 6

MATRİSLER

6.1 Matrisler ......................................................................................... 139

6.2 Matris Uzayı: Matrislerde İşlemler ................................................. 143

6.2.1 Toplama İşleminin Özellikleri ............................................... 145

6.2.2 Dış İşlemin Özellikleri ........................................................... 146

6.2.3 Matris Çarpımı ...................................................................... 148

6.2.4 Çarpma İşleminin Özellikleri ................................................. 150

6.3 Özel Matrisler ................................................................................. 156

6.4 Bir Matrisin Eşelon Formu .............................................................. 165

6.5 Elemanter Operasyonlar ................................................................. 167

6.5.1 Matrisler İçin Elemanter Operasyonlar ................................ 168

6.6 Elemanter Operasyonların Uygulamaları: Çarpanlara Ayırma, Bir Matrisin Tersinin ve Rankının Bulunması, Lineer Bağımsızlık .... 173

6.6.1 Çarpanlara Ayırma ................................................................ 173

6.6.2 Bir Matrisin Tersinin Bulunması .......................................... 174

6.6.3 Lineer Bağımsızlık-Bağımlılık ................................................ 176

6.6.4 Bir Matrisin Rankı ................................................................ 177

6.7 Bir Matrisin İzi ve Özellikleri ........................................................... 181

6.8 Koordinatlar .................................................................................... 184

Alıştırmalar 6 ......................................................................................... 189

İçindekiler

viii

BÖLÜM 7

LİNEER DÖNÜŞÜMLER

7.1 Lineer Dönüşüm, Çekirdek, Rank .................................................... 193

7.1.1 Bilineer Dönüşüm ................................................................. 209

7.2 Boyut Teoremi ................................................................................ 210

7.3 Lineer İzomorfizm ............................................................................ 213

7.4 ,Hom V W Uzayı ............................................................................. 222

7.5 Dual Vektör Uzayı ........................................................................... 229

7.6 Ortogonal İzdüşüm ......................................................................... 231

7.7 İki Lineer Dönüşümün Direkt Toplamı ............................................ 234

7.8 Bölüm Uzayı .................................................................................... 235

Alıştırmalar 7 ......................................................................................... 238

BÖLÜM 8

LİNEER DÖNÜŞÜM VE MATRİS

8.1 Her Matrise Bir Lineer Dönüşüm Karşılık Gelir ............................... 241

8.2 Her Lineer Dönüşüme Bir Matris Karşılık Gelir ............................... 243

8.2.1 Standart Vektör Uzayları Üzerinde Tanımlanan Her Lineer Dönüşüme Bir Matris Karşılık Gelir....................................... 243

8.2.2 Herhangi Vektör Uzayları Üzerinde Tanımlanan Her Lineer Dönüşüme Bir Matris Karşılık Gelir....................................... 247

8.3 2 Üzerinde Lineer Dönüşümler ve Matrislerin Geometrisi ......... 252

8.4 3 Üzerinde Lineer Dönüşümler ve Matrislerin Geometrisi .......... 254

Alıştırmalar 8 ......................................................................................... 257

Lineer Cebir

ix

BÖLÜM 9

LİNEER DÖNÜŞÜM VE MATRİS İLİŞKİLERİNİN UYGULAMALARI

9.1 Bir Lineer Dönüşümün Rankı .......................................................... 261

9.2 Bazların Değişimi ............................................................................. 265

9.2.1 Baz Değişiminin Bir Diğer Anlamı ......................................... 271

9.2.2 Baz Değişiminin En Genel Hali .............................................. 274

9.3 Benzerlik ......................................................................................... 278

Alıştırmalar 9 ......................................................................................... 282

BÖLÜM 10

DETERMİNANTLAR

10.1 Permütasyon Kavramı .................................................................. 283

10.2 Vektör Uzayları Üzerinde n-Lineer Fonksiyonlar .......................... 288

10.3 Determinant Fonksiyonu ve Özellikleri ......................................... 293

10.3.1 Determinant Fonksiyonunun Temel Özellikleri ................... 295

10.4 Determinant Hesaplamaları ......................................................... 303

10.4.1 Determinant Açılımları ........................................................ 305

10.5 Bir Matrisin Eki ve Ek Matris Yardımıyla Matrisin Tersi ................ 313

10.6 Determinant Uygulamaları ........................................................... 321

10.7 Bir Lineer Dönüşümün Determinantı ve İzi .................................. 329

Alıştırmalar 10 ....................................................................................... 334

BÖLÜM 11

LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ

11.1 Lineer Denklem Sistemleri ............................................................ 339

11.2 Katsayılar Matrisinin Tersi Yardımıyla Lineer Denklem Sisteminin Çözümü ....................................................................... 341

İçindekiler

x

11.3 Elemanter Operasyonlar Yardımıyla Lineer Denklem Sisteminin Çözümü ...................................................................... 342

11.3.1 Homojen Lineer Denklem Sistemi ...................................... 346

11.4 Determinant Yardımıyla Lineer Denklem Sisteminin Çözümü: Cramer ve Cramer Olmayan Denklem Sistemi .............. 348

11.5 Cramer Olmayan Lineer Denklem Sistemleri ................................ 351

11.6 Lineer Denklem Sistemlerinin Analitik Geometri Uygulamaları ................................................................................. 356

Alıştırmalar 11 ....................................................................................... 362

BÖLÜM 12

İÇ ÇARPIM UZAYLARINDA LİNEER DÖNÜŞÜMLER

12.1 Dual Uzay ...................................................................................... 367

12.2 Sıfırlayan (Annihilatör) ................................................................. 373

12.3 Bir Lineer Dönüşümün Eki ............................................................ 374

12.4 Bir Lineer Dönüşümün Transpozu ............................................... 378

12.5 İç Çarpım Uzayları Üzerinde Lineer Dönüşüm ............................. 380

12.6 İç Çarpım Uzaylarında Bazı Özel Dönüşümler ............................... 391

12.6.1 Hermit Dönüşümleri ve Matrisleri ...................................... 391

12.6.2 Simetrik Dönüşümler ve Matrisleri .................................... 394

12.6.3 İzometri, İç Çarpımı Koruyan Dönüşümler ......................... 396

12.6.4 Üniter Dönüşümler ve Matrisler ........................................ 399

12.6.5 Ortogonal Dönüşümler ve Matrisler .................................. 402

12.6.6 Normal Dönüşümler ve Matrisler ...................................... 404

12.7 Modüllerin Lineer Dönüşümü ....................................................... 407

Alıştırmalar 12 ....................................................................................... 408

Lineer Cebir

xi

BÖLÜM 13

LİNEER DÖNÜŞÜMLERDE ÖZDEĞER, ÖZVEKTÖR VE KÖŞEGENLEŞTİRME

13.1 Lineer Dönüşümün Karakteristik Değerleri, Karakteristik Vektörleri ve Karakteristik Uzay ................................................... 413

13.2 Özel Lineer Dönüşümlerin Karakteristik Değeri ve Karakteristik Vektörleri ................................................................ 419

13.3 Lineer Dönüşümlerde Köşegenleştirme ....................................... 424

Alıştırmalar 13 ....................................................................................... 427

BÖLÜM 14

MATRİSLERDE ÖZDEĞER, ÖZVEKTÖR VE KÖŞEGENLEŞTİRME

14.1 Bir Matrisin Karakteristik Değerleri, Karakteristik Vektörleri ................................................................. 429

14.2 Özel Matrisin Karakteristik Değerleri, Karakteristik Vektörleri ................................................................. 439

14.3 Cayley Hamilton Teoremi ............................................................. 447

14.4 Matrislerde Köşegenleştirme ....................................................... 454

14.5 Özel Matrislerde Köşegenleştirme ............................................... 461

Alıştırmalar 14 ....................................................................................... 464

BÖLÜM 15

ORTOGONAL MATRİSLERİN GEOMETRİSİ

15.1 Ortogonal Matrisler ve Dönme ..................................................... 470

Alıştırmalar 15 ....................................................................................... 474

İçindekiler

xii

BÖLÜM 16

ORTOGONAL KÖŞEGENLEŞTİRME

16.1 Spektral Teoremi .......................................................................... 476

Alıştırmalar 16 ....................................................................................... 481

BÖLÜM 17

POZİTİF TANIMLI MATRİSLER

17.1 Kompleks Pozitif Tanımlı Matrisler ............................................... 494

Alıştırmalar 17 ....................................................................................... 496

BÖLÜM 18

KUADRATİK FORMLAR

18.1 Bilineer Fonksiyonlar .................................................................... 497

18.2 Kuadratik Formlar ......................................................................... 501

18.3 Kompleks Kuadratik Formlar ........................................................ 513

18.4 Geometrik Uygulama ................................................................... 516

18.4.1 Koniklere Uygulama ........................................................... 517

18.4.2 Kuadrik Yüzeylere Uygulama .............................................. 521

Alıştırmalar 18 ....................................................................................... 523

BÖLÜM 19

MATRİS TEORİSİ

19.1 Matris Fonksiyonları ve Matris Normları ...................................... 527

19.1.1 Matris Fonksiyonları ........................................................... 527

19.1.2 Matris Normları ................................................................. 529

19.2 Blok Matrisler ............................................................................... 532

19.3 Özel Matrisler .............................................................................. 538

Lineer Cebir

xiii

19.4 Kronecker ve Hadamard Çarpım................................................... 541

19.5 Vektörlerde Diyadik Çarpım .......................................................... 544

19.6 Bir Matrisin Ayrışımları ................................................................. 548

19.6.1 Bir Matrisin Özdeğer Ayrışımı (eigenvalue decemposition=EVD)....................................... 548

19.6.2 Bir Matrisin Hessenberg Ayrışımı ....................................... 548

19.6.3 Bir Matrisin Schur Ayrışımı ................................................. 549

19.6.4 Bir Matrisin LU Ayrışımı ................................................ 549

19.6.5 Bir Matrisin LDU Ayrışımı ............................................. 550

19.6.6 Bir Matrisin Polar Ayrışımı .................................................. 550

19.6.7 Bir Matrisin Singüler Değer Ayrışımı (Singular value decomposition=SVD) ................................. 551

19.6.8 Matrisler için QR -Ayrışımı ................................................ 560

19.7 Üstel Matrisler .............................................................................. 564

19. 7. 1 Kompleks Üstel Matris ...................................................... 577

19.8 Dual Matrisler ............................................................................... 584

Alıştırmalar 19 ....................................................................................... 588

BÖLÜM 20

MİNKOWSKİ UZAYINDA LİNEER CEBİR

20.1 n

v Minkowski Uzayı .................................................................... 593

20.2 3

1 Lorentz-Minkowski Uzayı ....................................................... 599

20.3 Lorentz İç-Çarpımının Geometrik Özellikleri ................................. 610

20.4 Semi – Ortogonal Grup ................................................................. 615

20.5 Lorentz Matris Çarpımı ............................................................... 615

Alıştırmalar 20 ....................................................................................... 620

KAYNAKLAR ............................................................................................ 622

DİZİN ...................................................................................................... 623

1.1 Grup G boştan farklı bir küme ve T ’de G üzerinde bir işlem

olsun. Eğer

işlemi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa ( , )G T ikilisine bir grup denir.

i Kapalılık özelliği: ,a b G için aTb G ;

ii Birleşme özelliği: , ,a b c G için ( ) ( )aTb Tc aT bTc ;

iii Birim eleman: a G için aTe eTa a olacak şekilde e G

vardır. Burada e G elemanına G nin T işlemine göre birim elemanı

denir.

iv İnvers eleman: a G için aTa a Ta e olacak şekilde a G

vardır. Burada a G elemanına a G nin T işlemine göre tersi (inversi)

denir.

BÖLÜM 1

GRUP, HALKA, CİSİM

:

( , )

T G G G

a b aTb G

Tanım 1.1

Lineer Cebir

2

Eğer ( , )G T grubunda T işlemi değişimli ise, yani

,a b G için aTb bTa ise ( , )G T grubuna değişimli grup veya Abel

grubu denir. Aksi halde gruba sadece grup veya değişimsiz grup denir. Bir

( , )G T grubu için G kümesi bir sonlu küme ise ( , )G T grubuna sonlu grup,

aksi halde, sonsuz grup denir.

tam sayılar kümesi ve toplama işlemi bir

grup oluşturur.

, grubunun birim elemanı 0e dır. Bu grup bir değişimli gruptur.

Bununla beraber kümesi ile çarpma işlemi bir grup değildir. Çünkü

, ikilisi için grup aksiyomlarından iv İnvers eleman özelliği, kü-

mesinin elemanları için sağlanmaz.

reel sayılar kümesi olmak üzere toplama işlemi ile birlikte

bir Abel gruptur.

rasyonel sayılar kümesi olmak üzere, 0 sayısını

dan çıkarırsak yani 0G ise ,G ikilisi bir gruptur. Bu grubun

etkisiz elemanı 1e dir. Ayrıca ,a b olmak üzere 0, 0a b için

a

b nun inversi

b

a dır.

Tanım 1.2

Örnek1.1

Örnek1.2

Örnek1.3

Lineer Cebir

3

2, , 1z a ib a b i kompleks sayılar kümesi

üzerinde toplama işlemi 1 1 1 2 2 2,z a ib z a ib olmak üzere

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2z z a ib a ib a a i b b

şeklinde tanımlanır. Bu durumda , ikilisi bir abel gruptur.

,G T ikilisi bir grup olsun. Eğer x G için

2xTx x x ise x G ye idempotent eleman denir. Kısaca idempotent

eleman, karesi kendisine eşit olan elemandır.

,G T ikilisi bir grup olsun. Bu durumda, idempo-

tent eleman birim elemandır.

Bir ,G T grubunun herhangi bir elemanı x ve birim elemanı da e olsun.

x G de bir idempotent eleman ise xTx x yazabilir.

Eşitliğin her iki tarafı x ile işleme tabi tutulursa

xT xTx xTx (1.1)

Örnek1.4

İspat

Tanım 1.3

Teorem 1.1

Lineer Cebir

4

ve T birleşimli olduğundan

xTx Tx xTx (1.2)

bulunur. (1.1) ve (1.2) eşitliklerinden xT xTx xTx Tx xTx yazılabi-

lir. Bu durumda, birim eleman tanımından x e elde edilir.

,G T ikilisi bir grup olsun. ,a b G

için aTb b Ta dir. (Burada a ve b , sırasıyla, a ve b nin tersidir)

,a b G nin tersleri a ve b olmak üzere, iv grup aksiyomundan

aTa a Ta e

bTb b Tb e

yazılabilir. Kapalılık özelliğine göre, ,a b G olmak üzere aTb G dir ve

bir grupta her elemanın tersi var olacağından aTb G olacaktır.

Göstereceğiz ki aTb nin tersi b Ta dir. Yani;

aTb T b Ta b Ta T aTb e

eşitliği sağlanır.

İspat

Teorem 1.2

Lineer Cebir

5

O halde

aTb T b Ta aT bT b Ta aT bTb Ta aT eTa aTa e

bulunur.

Şimdi b Ta T aTb e olduğunu farklı bir yolla gösterelim:

( )xT aTb e olsun. Birleşme özelliğinden ( )xTa Tb e yazılabilir. Bura-

dan ' 'xTa eTb b ve ( ) ' ' 'xTa Ta b Ta olmak üzere ' 'x b Ta elde

edilir.

,G T ikilisi bir grup ve S , S G olsun. Eğer

,S T ikilisi bir grup ise bu gruba ,G T grubunun bir alt grubu denir.

,G T bir grup ve S , S G olsun. ,S T

ikilisinin bir alt grup olması için gerek ve yeter şart aşağıdaki özelliklerin

sağlanmasıdır:

i e , ,G T nin birim elemanı ise e S dir.

ii x S için x S dir. ( 'x , x in ,G T grubuna göre inversidir).

iii ,x y S için xTy S dir.

Tanım 1.4

Teorem 1.3

Lineer Cebir

6

1.2 Halka

Boş olmayan bir H kümesi ile bu küme üzerinde iki

T ve iç işlemleri tanımlansın. Eğer

i ,H T ikilisi bir abel grup

ii işlemi birleşimli, yani;

, ,a b c H için a b c a b c

iii işlemi T işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılımlı, yani;

, ,a b c H için a bTc a b T a c ve

aTb c a c T b c

özellikleri sağlanıyorsa , ,H T üçlüsüne bir halka denir.

Ayrıca işlemine göre birim eleman varsa halkaya birimli halka, eğer

işlemine göre değişme özelliği varsa halkaya değişmeli halka denir.

, , , , , , , , , , , birer halkadır.

Tanım 1.5

Örnek 1.5