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Universite Libre de Bruxelles
Faculte des Sciences Appliquees
2eme Licence
Projet de 4eme annee
Detection de l’encrassement de compresseurs de turbines a gaz
Jonathan Goldwasser
Tuteurs : Michel Kinnaert et Remi Baeyens
Annee Academique 2004/5
Resume
Les turbines a gaz qui equipent les centrales TGV aspirent un debit
d’air tres eleve. L’air aspire contient des impuretes qui se deposent sur les
ailettes du compresseur et change son aerodynamique. Ceci a pour effet de
reduire le taux de compression, le rendement et la puissance debitee par
la machine. L’exploitant doit se soucier de l’encrassement de son compres-
seur et aimerait pouvoir optimiser l’instant et la frequence des nettoyages.
L’objectif de ce rapport est de definir ce qu’est l’encrassement du com-
presseur, de determiner une mesure du salissement, de la tester sur des
donnees industrielles et de proposer de nouvelles pistes.
Table des matieres
1 Introduction 1
2 Cycle de Brayton 22.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Cycle ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.1 Dependance aux conditions exterieures . . . . . . . . . . . 42.3 Cycle reel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Calcul d’une turbine a gaz V94.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Principe d’une TGV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6 Le compresseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6.1 Influence de la position des IGV . . . . . . . . . . . . . . 82.6.2 Compression humide (Wet compression) . . . . . . . . . . 9
3 Encrassement du compresseur 103.1 Origines et impacts de l’encrassement . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Nettoyage du compresseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.1 Nettoyage off-line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.2 Nettoyage on-line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Mesure de l’encrassement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3.1 Methodes basees sur la thermodynamique du compresseur 123.3.2 Methode basee sur l’analyse en composantes principales . 17
3.4 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4.1 Methodes basees sur la thermodynamique du compresseur 193.4.2 Methode basee sur l’analyse en composantes principales . 24
4 Conclusion 27
A Code MatLab 28
B Etude de la compression humide 35
C Reponse a Michael Deneve 38
Bibliographie 40
i
Chapitre 1
Introduction
L’encrassement des compresseurs axiaux est un probleme serieux et sa de-tection releve d’une importance capitale dans le marche libre et competitif quenous connaissons actuellement.
L’origine de l’encrassement provient des impuretes contenues dans l’air as-pire a grande vitesse par les compresseurs. Ces impuretes reduisent la sectionde passage et par consequent le debit. Les performances thermodynamiques dela turbine a gaz sont tres vite alterees si aucune mesure n’est prise a l’encontredu salissement.
Dans un premier temps, ce rapport fera un rappel theorique sur le cycle deBrayton avec le chapitre 2. Les themes abordes seront orientes sur les cyclesdes centrales TGV et on mettra tres tot en evidence le role cle et delicat que jouele compresseur. On abordera egalement quelques specificites des compresseurs.
Le chapitre 3 est entierement consacre a l’encrassement du compresseur, sesorigines, ses impacts et son estimation. On tentera d’etablir plusieurs indicateursdifferents, de les comparer et de conclure quant aux choix d’un indicateur.
1
Chapitre 2
Cycle de Brayton
2.1 Introduction
Le cycle de Brayton theorique est le cycle ideal correspondant a la turbinea gaz elementaire. Il est principalement utilise pour la production d’electriciteet la propulsion dans l’aviation ou la marine. Ce chapitre constitue une base ala theorie developpee au chapitre 3, page 10.
Il existe deux types de cycles de Brayton (Fig. 2.1) selon qu’il soit ouvert, oureferme sur l’atmosphere, utilisant une combustion interne ou ferme utilisant unechangeur de chaleur. C’est la premiere variante qui retiendra notre attentionpuisque c’est celle qui est utilisee dans les centrales electriques Turbines Gaz
Vapeurs (TGV). Le cycle est parcouru par un debit d’air q (kg/s) aspire del’atmosphere, celui-ci est comprime au moyen d’un compresseur. L’air comprimeest ensuite chauffe dans la chambre de combustion pour etre detendu dans laturbine qui entraıne le compresseur et l’alternateur. Compresseur, turbine etalternateur sont donc sur un meme arbre.
En se reperant sur la figure 2.1, on definit les variables suivantes. L’air estaspire a l’entree du compresseur (1) a la temperature T1 (°K) et pression p1 (bar),il est refoule (2) a une temperature T2 (°K) et pression p2 (bar). A la sortie dela chambre de combustion (3), l’air est a la temperature T3 (°K). Enfin, apresdetente (4), la temperature est T4 (°K) et la pression est p4 = p1.
Turbine
32
Compresseur
1
2 3
Produits
Carburant
Compresseur
Air
Turbine
4
1 4
a b
QC
QF
Fig. 2.1 – Cycle de Brayton. (a) Cycle ouvert (b) Cycle ferme
2
CYCLE DE BRAYTON 2.2. Cycle ideal
s
p1
p2
1
2
3
4
T
Fig. 2.2 – Diagramme T–s du cycle ideal
2.2 Cycle ideal
Le cycle ideal est represente dans un diagramme temperature–entropie (T–s)a la figure 2.2. On suppose que la compression et la detente s’effectuent de ma-niere isentropique c’est a dire reversible ou sans perte de chaleur ni frottement.On suppose egalement que les variations d’energie cinetique sont negligeables,que le debit d’air est constant et que la chambre de combustion n’induit aucunevariation de pression : le diagramme est donc “cale” sur deux isobares. Sous cesconditions, il est aise de determiner a l’aide du diagramme T–s les relationssuivantes :
p3
p4=
p2
p1(2.1)
p2
p1=
(
T2
T1
)k
k−1
=p3
p4=
(
T3
T4
)k
k−1
(2.2)
T3
T4=
T2
T1(2.3)
T2
T1=
(
p2
p1
)
k−1k
= λ (2.4)
ou k =cp
cvest appele coef f icient isentropique et cp et cv sont respectivement la
chaleur massique a pression constante et la chaleur massique a volume constant
et λ est un coefficient dependant uniquement du taux de compression. Pourl’air, on a k ≃ 1, 4 et cp ≃ 1 kJ/kg·K.
Les travaux specifiques wc et wt (kJ/kg) et les puissances Pc et Pt (kW)absorbees et fournies respectivement au compresseur et a la turbine sont donnespar
wc = cp(T2 − T1) et Pc = qwc (2.5)
wt = cp(T3 − T4) et Pt = qwt (2.6)
La chaleur Q (kW) fournie a l’air lors de la combustion vaut
Q = qcp(T3 − T2) (2.7)
3
CYCLE DE BRAYTON 2.3. Cycle reel
La puissance utile Pu (kW) disponible a l’arbre est donc
Pu = Pt − Pc = qcpT1
(
τλ − 1
λ− (λ − 1)
)
= qcpT1λ − 1
λ(τ − λ) (2.8)
en posant τ = T3
T1.
On remarque qu’il faut que τ > λ c-a-d T3 > T2 et λ > 1 c-a-d p2 > p1 pourfournir de la puissance a l’alternateur. La puissance utile croıt avec l’efficacitede la chambre de combustion et le rapport de compression.
Le rendement se defini comme le rapport entre la puissance utile Pu et lachaleur fournie a l’air Q :
ηideal =Pu
Q=
λ − 1
λ(2.9)
Il est uniquement fonction du rapport de compression et on comprend deja lerole tres important du compresseur dans le cycle de Brayton. En resume, onretiendra que le rendement est fixe par le taux de compression du compresseur etla puissance est fixee par la temperature de sortie de la chambre de combustionT3.
2.2.1 Dependance aux conditions exterieures
Nous avons vu que T1 intervient dans l’expression de la puissance utile Pu.Il est interessant de determiner son influence sur la puissance disponible a l’al-ternateur.
Si nous travaillons a T3 constante, alors si T1 baisse, pour un meme rap-port de compression, T2 diminue egalement et la puissance disponible augmente[Eq. (2.8)]. Tandis que si T1 augmente, le contraire se produit. Cependant, le ren-dement et donc le rapport de compression reste inchange, on en conclut qu’unevariation de T1 se traduit par une variation du combustible. Il est evident qu’uncycle a haut taux de compression est plus sensible aux conditions exterieuresqu’un cycle a faible taux de compression. Cette dependance par rapport a T1
explique la difficulte pour les centrales TGV de produire de grosses puissanceslors des grandes chaleurs estivales.
2.3 Cycle reel
Le cycle reel se differencie du cycle ideal de la maniere suivante :
Irreversibilite dans le compresseur et la turbine Ces machines sont le siegede pertes par frottements. Il s’en suit que les temperatures reelles de sortiedu compresseur (T2) et de la turbine (T4) seront plus elevees que prevu.L’ecart par rapport a l’idealite est quantifie par le rendement isentropique.
Chutes de pression Nous avons suppose la combustion isobare. Or, la chambrede combustion induit des pertes de charges et donc la pression d’entree dela turbine (p3) sera plus faible. De plus, la presence d’un filtre a l’entreedu compresseur et d’un ajutage a la sortie de la turbine engendre p4 > p1
et p1 < patm.
4
CYCLE DE BRAYTON 2.3. Cycle reel
s
3’
4
4’
p4
2
p3
2’ p1
p2
1
3
T
Fig. 2.3 – Diagramme T–s du cycle reel — Les ′ representent le cas ideal
Debit non constant Le debit d’air q qui parcourt le cycle reel ne peut pasetre considere constant. En effet, a l’entree de la turbine, il faut prendreen compte le debit de combustible. En outre, une partie du debit d’air estutilisee pour refroidir la turbine.
Chaleurs massiques non constantes Nous avons considere cp et cv constantsalors qu’en realite ces valeurs dependent de la composition chimique del’air.
Pertes mecaniques Aucun accouplement mecanique n’est parfait et par conse-quent l’arbre de la machine est sujet a des pertes mecaniques.
Le cycle reel est represente dans un diagramme T–s a la figure 2.3.En faisant intervenir ηc, le rendement isentropique, du compresseur et ηt celui
de la turbine on peut montrer que le rendement total du cycle est maintenantegalement fonction de la temperature de sortie de la chambre de combustion T3.
Les rendements isentropiques sont definis de la maniere suivante :
ηc =T ′
2 − T1
T2 − T1ηt =
T3 − T4
T3 − T ′4
(2.10)
ou les ′ designent les temperatures dans le cas reversible. L’expression de lapuissance absorbee par le compresseur [Eq. (2.5)] devient
Pc = qcp(T2 − T1) = qcp
T ′2 − T1
ηc
= qcpT1λ
ηc
η0 (2.11)
ou η0 = 1 − 1λ. De la meme maniere, (2.6) et (2.7) deviennent
Pt = qcp(T3 − T4) = qcpηt(T3 − T ′
4) = qcpηtT3
(
1 − 1
λ
)
= qcpT1τηtη0 (2.12)
Q = qcp(T3−T2) = qcp
(
(T3−T1)−(T2−T1))
= qcpT1
(
τ − 1 − λ − 1
ηc
)
(2.13)
5
CYCLE DE BRAYTON 2.4. Calcul d’une turbine a gaz V94.2
L’expression du rendement est donc donnee par
ηreel =Pu
Q= η0ηt
τ − ληtηc
τ − 1 − λ−1ηc
= η0ηt
1 − λτηtηc
1 − 1τ
(
1 + λ−1ηc
) (2.14)
Ce qui prouve que le rendement du cycle reel depend de la temperature de sortiede la chambre de combustion T3 (par l’intermediaire de τ).
2.4 Calcul d’une turbine a gaz V94.2
Le calcul d’une turbine a gaz Siemens V94.2 tire de [Bae02] permet facile-ment de se familiariser avec les ordres de grandeurs des centrales TGV.
Nous supposons que le compresseur genere un debit de 500 kg/s, que la chuted’enthalpie a la turbine est de 590,7 kJ/kg, que la chute de temperature a laturbine est de 494°C a partir de 1040°C, que l’augmentation de l’enthalpie dansle compresseur est de 318,3 kJ/kg, que l’elevation de la temperature de l’aircomprime est de 306°C a partir de 15°C, que l’enthalpie de l’air a la sortie ducompresseur est egale a 333,84 kJ/kg et que les gaz chauds ont une enthalpiede 1176,5 kJ/kg. Les pression p1, p2, p3 et p4 valent respectivement 1,013 bar,10,485 bar, 10,283 bar et 1,013 bar.
Le cp de la turbine et de la chambre de combustion vaut
cpt =590, 7
494= 1, 196 kJ/kg·°C (2.15)
celui du compresseur vaut
cpc =318, 3
306= 1, 04 kJ/kg·°C (2.16)
La puissance absorbee par le compresseur est alors de
Pc = 500 · 318, 3 = 159150 kW = 159, 15MW (2.17)
Nous devons maintenant calculer le debit de gaz necessaire pour porter l’air aune temperature de 1040°C. Prenons un combustible dont le pouvoir calorifiqueinferieur est PCI = 40000 kJ/kg. Dans la chambre de combustion, l’air sor-tant du compresseur est rechauffe de 321°C a 1040°C. Le bilan thermique dela chambre de combustion, si nous appelons le debit de combustible qg, nousfournit l’equation suivante
500 · 333, 84 + qg · (40000 + hg) = (500 + qg) · 1176.5 (2.18)
De (2.18), on tire qg = 10, 58 kg/s et donc le debit qui passe par la turbine serade 510,85 kg/s. La puissance a la turbine devient alors
Pt = 510, 85 · 590, 7 = 301, 76MW (2.19)
On remarque l’importance du travail de compression. En effet, ce dernier vaut53% du travail de la turbine. La puissance disponible vaut
Pu = 301, 76 − 159, 15MW (2.20)
6
CYCLE DE BRAYTON 2.5. Principe d’une TGV
et la puissance thermique injectee
Q = 40000 · 10, 85 = 434, 1MW (2.21)
et donc le rendement vaut
η =142, 56
434, 1= 33% (2.22)
Determinons a present les rendements isentropiques du compresseur et de laturbine. Le rapport de compression est
r =10, 485
1, 013= 10, 35 (2.23)
et donc λ = 1, 95 d’ou T ′2 = T1λ = 321 °C et le rendement isentropique du
compresseur vaut
ηc =288, 7 − 15
321 − 15= 89, 4% (2.24)
En suivant le meme raisonnement cote turbine, on trouve
ηt =1040 − 546
1040 − 475, 6= 87, 52% (2.25)
2.5 Principe d’une TGV
Lorsqu’on reprend les resultats du calcul mene en section 2.4, on s’apercoitqu’a la sortie de la turbine la temperature des gaz est de l’ordre de 500°C avecun debit aux alentours des 500 kg/s. Il serait donc dommage de rejeter cetteenergie dans l’atmosphere sans en profiter.
Dans une centrale TGV, on valorise cette energie dans une chaudiere de re-
cuperation en chauffant la vapeur d’un cycle de Rankine Hirn. La temperaturede la vapeur est limitee puisqu’il faut toujours une difference de temperatureentre les gaz chauds et la vapeur pour pouvoir effectuer un transfert de chaleur.Au final on trouvera deux alternateurs, l’un pour le cycle a vapeur, l’autre pourle cycle a gaz.
Le schema de principe d’une TGV est represente a la figure 2.4
2.6 Le compresseur
Le compresseur est le composant le plus delicat du cycle de Brayton. C’estlui qui fixe le taux de compression, capital pour le rendement, et par ailleurs,il doit pouvoir fournir le debit necessaire pour produire la puissance desiree.Le compresseur est considerer comme une machine volumique c’est a dire quele debit volumique a l’entree du compresseur ne varie pratiquement pas pourune vitesse donnee. On utilise aujourd’hui des compresseurs axiaux avec plu-sieurs etages de maniere a satisfaire deux exigences : hauts taux de compression(etages) et grands debits (axiaux).
7
CYCLE DE BRAYTON 2.6. Le compresseur
Turbine à gaz
Carburant
Compresseur
Air
4
6
9
8
7
5
Cycle de turbine à gaz
Cycle de vapeur
Pompe
Condenseur
Turbine à vap.
1
2 3
Fig. 2.4 – Principe d’une TGV
2.6.1 Influence de la position des IGV
Les IGV ou Inlet Guide Vanes sont des directrices reglables a l’entree ducompresseur qui permettent d’avoir un controle sur le debit. Elles sont utiliseespour demarrer la machine ou pour la commander et permettent de maintenir lecompresseur relativement loin de l’instabilite.
Si nous cherchons a calculer plus loin dans ce rapport un facteur de salisse-
ment, ce dernier dependra certainement d’une maniere ou d’une autre du debitet il est clair que la position des IGV va influencer ce facteur. Il serait interes-sant de pouvoir effacer l’effet des IGV sur le facteur de salissement. On peutmodeliser les IGV par une perte de charge occasionnee par un opercule dansune conduite cylindrique [Gol04]
∆P =a
1 − cos α(2.26)
ou a est une constante de proportionnalite et α est l’angle d’ouverture des IGV.En fait la mesure de l’angle d’ouverture n’est pas disponible, c’est le pourcentaged’ouverture des IGV qui l’est. Dans le cas des IGV ouverts a 0%, on a α = 30et α = 90 pour 100% d’ouverture. On reecrit donc (2.26)
∆P =a
1 − cos(30 + IGV(%) × 0, 6)(2.27)
On tiendra compte de l’influence des IGV de la maniere suivante
Salreduit = Salbrut −a
1 − cos(30 + IGV(%) × 0, 6)(2.28)
ou tous les termes sont exprimes en %.
8
CYCLE DE BRAYTON 2.6. Le compresseur
2.6.2 Compression humide (Wet compression)
Nous avons vu en section 2.2.1 comment reagissait le compresseur suite aune augmentation de T1 ainsi que la difficulte pour les centrales de produiredes grosses puissances a T1 eleve. Pour pallier cet inconvenient, on utilise lacompression humide ou wet compression. Le principe est d’injecter de l’eaudemineralisee sous forme de gouttelettes a l’entree du compresseur de manierea abaisser la temperature de l’air a la sortie du compresseur. Ceci augmentela qualite de la compression et comme T2 est plus faible que prevu, il faudraplus de combustible pour atteindre T3 : la puissance delivree sera augmentee. Lecout de l’operation n’est pas des moindres puisque l’eau demineralisee revient apresque 3e par tonne. Par consequent, la compression humide n’est operee quedurant quelques heures.
L’effet de la compression humide sur l’encrassement est analysee en an-nexe B, page 35.
9
Chapitre 3
Encrassement ducompresseur
3.1 Origines et impacts de l’encrassement
Meme des concentrations de l’ordre d’une part par million (ppm) d’impuretesdans l’air suffisent a produire un encrassement considerable. La raison en estl’enorme debit d’air engorge par le compresseur (typiquement 500 kg/s). A titred’exemple, pour une concentration en impuretes de 10 ppm, le compresseurengorge pas loin de 150 tonnes d’impuretes sur un an si aucun nettoyage n’esteffectue. Selon certains experts, l’encrassement est responsable de 70 a 85% detoutes les pertes de performance accumulees durant le fonctionnement et despertes de puissance entre 2 et 15% ont ete observees.[MHB04b]
Les origines de l’encrassement sont nombreuses, en voici une liste non ex-haustive :
– Pollution industrielle et urbaine– Presence de sel dans l’air– Echappements et/ou vapeurs provenant du reservoir du lubrifiant a huile
de la turbine a gaz– Depots mineraux diverses comme la pierre de chaux, la poussiere de char-
bon et de ciment.– Poussiere, sable, engrais chimiques, insecticides et materiaux provenant
des differentes usines avoisinantes– Insectes, surtout dans les regions tropicales– Fuites d’huile provenant des roulements de la turbine ou du compresseur– Vapeurs provenant des tours de refroidissementIl a ete montre en section 2.4, page 6, que le travail de compression represente
50 a 60% du travail total de la turbine, le reste etant disponible a l’alternateur.Par consequent, le depot d’impuretes sur les ailettes du compresseur, qui a poureffet de modifier le profil aerodynamique du compresseur et donc de reduire ledebit massique, a un impact significatif sur le rendement ainsi que la puissancedebitee par la machine. De plus, l’encrassement peut entraıner de l’erosion et dela corrosion. Il est important de se rappeler que les compresseurs de centralessont formes d’une suite d’etages (les compresseurs axiaux permettent d’obtenirde grands debits mais pas de hauts taux de compression c’est pourquoi on place
10
ENCRASSEMENT DU COMPRESSEUR 3.2. Nettoyage du compresseur
plusieurs etages en cascade de maniere a satisfaire les deux exigences) et queles performances aerodynamiques de chacun de ces etages dependent des etagesamonts. Il s’en suit que l’encrassement des IGV ou des ailettes des premiersetages peut entraıner des chutes de performances dramatiques. Ajoutons encoreque les compresseurs de centrales travaillent non loin de l’instabilite et qu’unediminution de debit trop importante peut entraıner le desequilibre de la ma-chine. Notons egalement que l’humidite agit sur la composition et la texture del’encrassement. En resume, les premiers signes visibles de l’encrassement sont :
1. Diminution du debit
2. Augmentation du travail moteur necessaire
3. Diminution de la puissance totale absorbee par le compresseur : la com-binaison de l’augmentation du travail moteur et la diminution du debitconduit a une augmentation de la puissance absorbee (le travail moteurcroıt plus vite que le debit diminue).
4. Diminution du taux de compression et donc du rendement total du cycle
5. Diminution de la puissance de la turbine a gaz
6. Augmentation de la temperature de sortie du compresseur
7. Point de fonctionnement du compresseur rapproche de l’instabilite
Negliger le nettoyage du compresseur peut avoir un impact economique se-vere et les pertes de puissance dues uniquement a l’encrassement du compres-seur peuvent se chiffrer en millions d’euros par an. Il faudra donc adopter unprogramme de nettoyage bien adapte au site d’exploitation et le respecter rigou-reusement.
Il est naıf de croire que l’encrassement est une fonction croissante du temps.En effet, il se peut que la salete se deplace de maniere chaotique et imprevisibleentraınant sur son passage le decapage de la couche d’impuretes accrochee auxailettes, le tout conduisant a une situation plus propre, a frottements reduits.Il faudra donc s’attendre a observer des nettoyages a effets negatifs. Dans cecontexte, la mesure de l’encrassement se revele d’une importance capitale pourreagir de maniere efficace aux aleas des impuretes.
La premiere ligne de defense contre l’encrassement du compresseur est l’ins-tallation d’un filtre a air a l’entree de ce dernier. Ce filtre, deja vu en section 2.3,page 4, induit une legere perte de charge (de l’ordre du %) et donc une pressionp1 plus faible qu’attendu. Comme pour le programme de nettoyage, le filtre estdimensionne pour le site d’exploitation puisque la concentration et le type d’im-puretes sont fonctions de l’emplacement de celui-ci. Malgre la presence d’unfiltre, on observe tout de meme un encrassement problematique et il faudrarecourir a des methodes plus efficaces, a savoir les nettoyages of f- et on-line.L’ordre de succession et la frequence de ces nettoyages constituent le programme
de nettoyage, ce probleme d’optimisation economique ne sera pas traite ici.
3.2 Nettoyage du compresseur
On distingue deux types de nettoyage suivant qu’il soit opere sur le com-presseur en fonctionnement (on-line) ou a l’arret (of f-line). Remarquons quetoutes les centrales n’ont pas la possibilite de choisir entre les deux options enpermanence.
11
ENCRASSEMENT DU COMPRESSEUR 3.3. Mesure de l’encrassement
3.2.1 Nettoyage off-line
Le nettoyage of f-line permet d’atteindre tous les etages du compresseur etparvient presque a retablir la puissance nominale. Cependant, il faut compterun arret de production de 12 a 36h, temps pendant lequel les benefices sontegalement au point mort. De plus, pour certaines centrales le moment est presquetoujours mal choisi.
3.2.2 Nettoyage on-line
Le nettoyage on-line s’effectue presque toujours a puissance reduite (del’ordre de 85% de la puissance nominale) et assure de cette maniere la continuitede service. L’objectif, cette fois, n’est plus de nettoyer reellement le compres-seur mais de maintenir, voir ameliorer legerement, l’etat d’encrassement et derallonger les periodes s’ecoulant entre deux nettoyages of f-line. De cette facon,on s’assure de rester a une certaine distance de l’instabilite. Des ameliorationsdans la gamme du % sont considerees comme tres satisfaisantes. On introduitgeneralement de l’eau demineralisee et/ou des coquilles de noix a l’entree ducompresseur pour le nettoyer. Les coquilles de noix ont l’avantage d’etre a lafois abrasives et desintegrees dans la chambre de combustion.
3.3 Mesure de l’encrassement
3.3.1 Methodes basees sur la thermodynamique du com-presseur
Facteur de qualite
Nous avons vu en section 2.3, page 4, que la compression reelle n’etait pasisentropique. Pour rappel, dans le cas reversible, on a
T ′2
T1=
(
p2
p1
)
k−1k
(3.1)
tandis que dans le cas reel on obtient
T2
T1=
(
p2
p1
)
m−1m
avec T2 > T ′
2, m ≥ k (3.2)
ou m est appele coef f icient polytropique. La difference m − k mesure l’irrever-sibilite du processus. Il est clair que l’encrassement va jouer un role majeur surla valeur de m au cours du temps.
Nous allons tenter de determine le facteur de qualite ρ du compresseur. Cefacteur est defini comme le rapport entre le travail de frottement τf et le travailmoteur τm
ρ =τf
τm
(3.3)
En negligeant les variations d’energie cinetique, τm peut etre ecrit de la manieresuivante
τm =
∫ 2
1
vdp + τf = ∆H − Q (3.4)
12
ENCRASSEMENT DU COMPRESSEUR 3.3. Mesure de l’encrassement
ou v est le volume massique, ∆H la variation d’enthalpie et Q les pertes dechaleur. En derivant (3.4), on obtient
dτm = vdp + dτf = −dQ + cpdT (3.5)
Les pertes de chaleur peuvent etre mesurees a partir de la surface d’echange S,le coefficient d’echange h, la difference de temperature dT et le debit massiqued’air comprime q
dQ = −hSdT
2q(3.6)
Par ailleurs, la loi des gaz parfaits nous enseigne la relation suivante
pdv + vdp = RdT avec R = cp − cv (3.7)
Sachant que k =cp
cv, on tire
((
cp +hS
2q
)
1
R− 1 − ρ
1 − ρ
)
dp
p+
(
cp +hS
2q
)
1
R
dv
v= 0 (3.8)
A ce stade ci, posons ε = hS2qcp
et m = 1+ε
1+ε− k−1k(1−ρ)
, regroupons (3.7) et (3.8) et
integrons pour obtenir
T2
T1=
(
p2
p1
)
m−1m
(3.9)
Le coef f icient polytropique m peut donc etre mesure de la maniere suivante
m =ln p2
p1
ln p2
p1− ln T2
T1
(3.10)
Comme ε est negligeable devant 1 (h est faible et q eleve), le facteur de qualite
du compresseur vaut en premiere approximation
ρ =m − k
k(m − 1)(3.11)
Si le compresseur est parfait alors m = k et le facteur de qualite est nul. Plus lecompresseur se deteriore, plus ρ augmente. Une premiere maniere de determinerl’encrassement pourrait donc etre l’evaluation de la quantite
ρ
1 − ρ=
τf
τm − τf
=Pertes
Utile(3.12)
Determination de k
Pour determiner k, [Bae97] propose deux methodes empiriques. La premiereest basee sur la mesure du rapport de compression r. La relation proposee estla suivante
kr = a(r) + b(r)T1 (3.13)
aveca(r) = 1, 39901 − 4, 63026.10−4r (3.14)
13
ENCRASSEMENT DU COMPRESSEUR 3.3. Mesure de l’encrassement
etb(r) = −6, 37474.10−5 − 3, 5639.10−6r (3.15)
et T1 exprimee en °C.L’autre methode est basee sur la mesure de l’humidite relative φ. On com-
mence par determiner la pression de saturation a la temperature d’aspiration
pv = exp
(
A−1
T1+ A0 + A1T1 + A2T
21
)
(3.16)
avec les Ai valant
A−1 = −6, 28878.103 (3.17)
A0 = 21, 93268 (3.18)
A1 = −1, 770888.10−2 (3.19)
A2 = 0, 11085.10−4 (3.20)
et T1 en °K. Ensuite on determine la pression partielle p′v et l’humidite absolue
x
p′v = φpv x = 0, 622p′v
p − p′v(3.21)
pour obtenir finalement kφ
kφ = ka
1 + 1, 983xkv
ka
1 + 1, 983xavec kv = 1, 302, ka = 1, 405 (3.22)
ou ka et kv sont respectivement les coefficients isentropiques pour l’air sec et lavapeur.
Facteur de salissement
Le facteur de qualite nous fournit une information uniquement sur l’impor-tance des travaux de frottements. De plus, un compresseur propre possede unfacteur de qualite non nul (puisqu’il n’est pas parfait). Il faudra donc trouverune maniere plus adaptee pour caracteriser l’encrassement.
Reprenons la definition de ρ
ρ =τf
τm
(3.23)
et cherchons a exprimer τf en fonction du debit volumique qv a l’aide d’unerelation du type
τf = a + b(qv − qv0)2 = a
(
1 + α(qv − qv0)2
)
(3.24)
ou qv0represente le debit volumique nominal et α = b
a. Si le compresseur est
propre alors qv = qv0et les travaux de frottements correspondants sont
τf0= a et τf = τf0
(
1 + α(qv − qv0)2
)
(3.25)
Introduisons maintenant le facteur de salissement S. S est nul pour un com-presseur propre et croıt avec l’encrassement donc
τf = (1 + S)τf0
(
1 + α(qv − qv0)2
)
= ρτm (3.26)
14
ENCRASSEMENT DU COMPRESSEUR 3.3. Mesure de l’encrassement
Isolons S de (3.26), on obtient successivement
S =ρτm
τf0(1 + α(qv − qv0
)2)− 1 (3.27)
=ρτm
ρ0τm0(1 + α(qv − qv0
)2)− 1 (3.28)
ou l’indice 0 represente le fonctionnement nominal. Ce dernier peut etre deter-mine par exemple apres un nettoyage of f-line ou a l’aide des caracteristiquesfournies par le constructeur.
Lors de [Gol04], a et b ont ete determines a partir des caracteristiques(Drogenbos). On obtient
a = 28, 3702 kJ/kg et b = 263, 7 kJ/kg·pu2 (3.29)
Le debit volumique ne fait pas partie des mesures disponibles mais peut etreevalue a l’aide de la relation de la turbine suivante obtenue en egalant les debitsvolumiques a l’entree du compresseur et de la turbine (Drogenbos)
qv = Ct
p2
p1
T1√T3
(3.30)
ou Ct est un parametre constitutif de la turbine. Si T3 n’est pas disponible nonplus, elle peut etre calculee approximativement a partir de T4 et la relation dedetente
T3 = T4
(
p2
p1
)
m−1m
avec m = 1, 267 (3.31)
La travail moteur est evalue a partir des temperatures d’entree et sortie ducompresseur
τm = cp(T2 − T1) (3.32)
Mettons en evidence les differentes hypotheses du calcul de notre facteur de
salissement S :
H1S Relation quadratique approchee pour τf dans (3.24)
H2S Debit nul de combustible dans (3.30)
H3S Coefficient polytropique constant dans (3.31) si T3 n’est pas disponible
H4S Temperature T3 constante et egale a 1050°C si T4 n’est pas disponible
H5S Chaleur massique constante dans (3.32)
La methode qui vient d’etre decrite s’avere etre plus precise que (3.12) puisqu’ontient compte du debit volumique a present. Retenons tout de meme que le calculdu debit est problematique puisqu’il necessite les mesures de T3 et/ou T4.
Une autre maniere d’aborder le probleme de l’encrassement est decrite dans[Bae97]. L’idee est de trouver un facteur de salissement β cense rester constantsans evolution du salissement et mesurant l’importance de la difference de pres-sion entre la pression reelle de sortie du compresseur et celle du compresseurpropre. Pour rappel, meme le compresseur propre refoule a une pression plusbasse que celle obtenue dans le cas isentropique. Abordons maintenant la marchea suivre pour determiner β. On cherche β tel que
∆p = βT1
p1q2 (3.33)
15
ENCRASSEMENT DU COMPRESSEUR 3.3. Mesure de l’encrassement
ou ∆p represente la difference de pression de sortie entre le cas propre et le casreel. Cette fois, nous n’allons pas approche les travaux de frottements par unerelation quadratique mais nous utiliserons
τf =ξl
2dV 2 (3.34)
ou ξ est le coef f icient de perte de charge (fonction du nombre de Reynolds etde la rugosite du chemin de l’air comprime), l la longueur du chemin de l’air,d le diametre equivalent du passage de l’air comprime (fonction des etages ducompresseur) et V la vitesse de l’air. L’equation (3.32) reste valable pour letravail moteur. La chute de pression est donnee approximativement par
∆p =τf
ν=
ξl
2d
V 2
ν(3.35)
ou ν est le volume massique. On comprend maintenant pourquoi il est interessantd’observer la chute de pression : si l’encrassement augmente, ξ augmente, d
diminue et donc τf et ∆p augmentent. En utilisant le debit massique q et lasection de passage S on peut calculer V
V =νq
S=
qRT1
Sp1(3.36)
En mettant (3.36) dans (3.35) on tire
∆p =ξlR
2dS2
T1
p1q2 = β
T1
p1q2 (3.37)
Sachant quecp
R= k
k−1 , que τf = ρτm et utilisant les relations (3.32), (3.33),(3.34), (3.35) et (3.36), on trouve
β = ρk
k − 1
T2 − T1
T 21
(
p1
q
)2
(3.38)
Pour le calcul de k, on se reportera aux deux possibilites offertes a la sectionprecedente. Dans [Bae97], la definition de β differe d’un facteur Ra
R, on a
β[Bae97] = βRa
R(3.39)
ou Ra est la constante des gaz de l’air sec et R celle de l’air humide. L’experiencea montre que le rapport Ra
Rest toujours superieur a 0,99 (section 3.4), il est donc
tout a fait licite de negliger ce terme. Le facteur β peut egalement etre ponderepar un coefficient prenant en compte les differents etages du compresseur. Ce-pendant, nous n’en tiendrons pas compte ici, les mesures necessaires n’etant pasdisponibles lors de la redaction de ce rapport. Pour calculer le debit massique q,on utilise une relation lineaire empirique liant le debit a la puissance du type
q = αqPu (3.40)
A nouveau, resumons les hypotheses :
H1β Coefficient de perte de charge constant dans (3.34) (hypothese valablepuisque ce dernier ne varie pratiquement pas avec la rugosite pour lesgrands debits que connaıt l’installation)
16
ENCRASSEMENT DU COMPRESSEUR 3.3. Mesure de l’encrassement
Facteur Formule Remarques
ρ m − k
k(m − 1)
Mesure l’importance des travaux
de frottements, depend de la ma-
niere dont est calcule k
ρ
1 − ρ
Premiere estimation du salisse-
ment meme si ce facteur est non
nul pour un compresseur propre
S ρτm
ρ0τm0(1 + α(qv − qv0
)2)− 1
Facteur base sur une relation qua-
dratique entre travaux de frotte-
ments et debit, l’estimation du de-
bit est problematique
β ρk
k − 1
T2 − T1
T 21
(
p1
q
)2Certainement le plus precis des
quatre, l’estimation du debit est
simplifiee a l’aide de la relation
debit–puissance
Tab. 3.1 – Facteurs pour la determination de l’encrassement
Mesures disponibles Mesures necessaires
p1, T1, p2, T2, Pu, φ, ∆pfiltre, Text q, qv, p3, T3, p4, T4
Tab. 3.2 – Mesures pour la determination de l’encrassement
H2β Chaleur massique constante dans (3.32)
H3β Relation approchee pour ∆p dans (3.35)
H4β Debit massique calcule a partir de la puissance dans (3.40)
Les tables 3.1 et 3.2 resument les differents facteurs abordes dans cette section,leurs caracteristiques ainsi que les differentes mesures disponibles et celles quipermettraient d’obtenir une information plus precise sur l’encrassement.
3.3.2 Methode basee sur l’analyse en composantes princi-pales (ACP)
Analyse en composantes principales (ACP)
L’analyse en composantes principales est une methode statistique qui per-met de reduire la taille de l’espace d’observation en projetant les donnees sur lescomposantes principales de plus grandes importances. Ces composantes repre-sentent les directions de grandes variations. Nous verrons a la section suivantecomment appliquer cette analyse a l’encrassement, contentons-nous pour l’ins-tant de decrire la methode mathematique qui permet le calcul des composantesprincipales.
On possede un espace d’observation X de dimension n pour lequel on aime-rait determiner les n composantes principales. Puisque les donnees peuvent etreexprimees dans des systemes d’unites differents, la premiere etape consiste a
17
ENCRASSEMENT DU COMPRESSEUR 3.3. Mesure de l’encrassement
“normaliser” les donnees en soustrayant la moyenne et divisant par l’ecart-type
X −→ X − µX
σX
(3.41)
On calcule ensuite la matrice de covariance C de taille n × n
C =XT X
n − 1(3.42)
Les directions ou composantes principales sont donnees par les vecteurs propres
ui de C et les valeurs propres λi correspondantes nous renseignent sur l’impor-tance des composantes. On peut ecrire
C = UΛUT (3.43)
ou Λ est une matrice diagonale contenant les valeurs propres de C dans l’ordredecroissant et U est la matrice des vecteurs propres correspondants.
L’idee de l’ACP est de choisir parmi les composantes celles dont les valeurspropres sont les plus grandes car ce sont elles qui representent les directions deplus grandes variations. On forme alors la matrice de charge P de taille n × r
(r ≤ n) contenant les vecteurs propres selectionnes. On peut alors projeter l’es-pace d’observation sur les directions principales pour obtenir un nouvel espaced’observation Y de dimension r
Y = XP (3.44)
La qualite de representation peut etre estimee de la maniere suivante
Q =
r∑
i=1
λi
n∑
j=1
λj
(3.45)
ou encore en prenant la norme du residu
||R|| = ||XQ|| (3.46)
ou Q est la matrice contenant les vecteurs propres non retenus pour l’ACP.
Application a l’encrassement
On dispose de huit mesures {p1, T1, p2, T2, Pu, φ, ∆pfiltre, Text}, la techniqueconsiste a appliquer l’ACP sur les donnees du compresseurs propres, de retenirdeux composantes principales si la qualite de representation le permet et derepresenter les donnees dans le plan forme par les deux composantes. Ensuite,on projete les donnees du compresseur a analyser sur les memes composantes eton cherche a mesurer l’importance du mouvement du nuage de points (Fig. 3.1).Il est important de souligner que l’ACP est une methode lineaire en ce sensqu’elle etablit une combinaison lineaire entre les mesures. A premiere vue, lesfacteurs de la section precedente sont loin d’etre lineaires a premiere vue. Enfait, si l’ACP fournit des resultats valables, on pourra conclure que ces facteurspeuvent etre linearises autour de leurs points de fonctionnement sans grandeperte d’information.
18
ENCRASSEMENT DU COMPRESSEUR 3.4. Resultats
PC1
Salissement
PC2
Fig. 3.1 – Exemple d’evolution du nuage de points en fonction de l’encrassement
Date Turbine Ts moyen Duree
11/04/96 GT1 25s 24h13/09/96 GT1 20s 21h11/10/96 GT2 30s 12h
Moyenne / 26s 20h
Tab. 3.3 – Sets de donnees disponibles — Ts est la periode d’echantillonnage
3.4 Resultats
Nous disposons de trois sets de donnees mesurees sur la turbine a gaz de lacentrale de Drogenbos :
Set 1 Nettoyage on-line de la premiere turbine a gaz le 11 avril 1996
Set 2 Nettoyage on-line de la premiere turbine a gaz le 13 septembre 1996
Set 3 Nettoyage on-line de la deuxieme turbine a gaz le 11 octobre 1996
La periode d’echantillonnage n’est pas constante et varie de 5s a 20min avecpour moyenne 26s. La duree d’echantillonnage varie de 12h a 24h avec pourmoyenne 20h. Le tableau 3.3 reprend les differents sets de donnees et leurscaracteristiques.
3.4.1 Methodes basees sur la thermodynamique du com-presseur
Nous allons, pour chaque set de donnees, tracer et discuter l’allure desdifferents facteurs de la section 3.3. De cette maniere, on pourra comparer lesindicateurs.
Commencons par le Set 3, le plus interessant des trois. Tracons ρ1−ρ
, S et
β (Fig. 3.2). Nous allons calculer β a partir de kφ (β1) et kr (β2), ρ sera calculea partir de kφ. Les valeurs nominales pour le calcul de S sont issues de [Bae02]et [Gol04].
Ici, un nettoyage on-line a ete opere autour du 1000eme echantillon, ce quiexplique le transitoire. Les quatre indicateurs ont la meme tendance et nousmontrent que le nettoyage a porte ses fruits. On remarque directement que β est
19
ENCRASSEMENT DU COMPRESSEUR 3.4. Resultats
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 45000.09
0.095
0.1
0.105
0.11
0.115
0.12ρ/(1−ρ)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1S
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 450040
42
44
46
48
50
52
54
56
58
β1
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 450075
80
85
90
95
100
β2
Fig. 3.2 – Mesure du l’encrassement sur le Set 3
plus precis ou plus influence que S. En effet, S prend souvent les memes valeursconsecutivement tandis que β, du fait qu’il est fonction de plus de parametres,a une allure plus “bruitee”. Si β etait amene a etre utilise en centrale, de tellesoscillations ne seraient pas tolerables. On preferera filtrer β, par exemple avecun filtre de Butterworth d’ordre 3 (Fig. 3.3). Ce filtre induit un petit retardde phase compare aux constantes de temps du probleme.
Pour mesurer l’efficacite du nettoyage, on peut utiliser une moyenne glis-
sante (Fig. 3.3) et en relever la valeur initiale et finale. On mesure une amelio-ration d’approximativement 7%. On peut egalement tracer plusieurs moyennesglissantes et detecter facilement un changement de moyenne dans notre indi-cateur lorsque les deux courbes se separent brutalement. L’inconvenient de lamoyenne glissante est qu’elle necessite de fixer une valeur arbitraire pour lenombre d’echantillons sur laquelle elle est calculee.
En analysant de plus pres les β1 et β2 et leurs echelles sur la figure 3.2, ons’apercoit que ce sont presque les memes courbes a une translation verticalepres : la relation empirique pour kr est certainement mal ajustee mais refletebien les variations de k.
Meme si ρ1−ρ
est considere comme le moins bon indicateur au sens du nombrede mesures dont il tient compte, il reflete d’une maniere claire l’amelioration dela situation d’encrassement du compresseur.
Ajoutons que la moyenne de RaR
pour le Set 3 vaut 0,9954 ce qui justifietotalement le retrait de ce coefficient de β.
Passons a present au Set 1 (Fig. 3.4). Pour le Set 1, il est impossible de loca-
20
ENCRASSEMENT DU COMPRESSEUR 3.4. Resultats
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 400042
44
46
48
50
52
54
56
β 1f
Fig. 3.3 – Filtrage et moyennes glissantes sur β1
0 500 1000 1500 2000 2500 30000.194
0.195
0.196
0.197
0.198
0.199
0.2
0.201
0.202
0.203
0.204ρ/(1−ρ)
0 500 1000 1500 2000 2500 30000.19
0.2
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
0.26
0.27
0.28S
0 500 1000 1500 2000 2500 300048
49
50
51
52
53
54
55
β1
0 500 1000 1500 2000 2500 300082
84
86
88
90
92
94
β2
Fig. 3.4 – Mesure du l’encrassement sur le Set 1
21
ENCRASSEMENT DU COMPRESSEUR 3.4. Resultats
0 500 1000 1500 2000 2500 3000144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
Pu
Fig. 3.5 – Puissance utile pour le Set 1
liser l’instant de nettoyage. De plus, celui-ci n’a pas ete fourni avec les donnees.Il est donc inutile de parler d’efficacite du nettoyage pour ce set. Neanmoins, sion observe la puissance utile (Fig. 3.5), on remarque une nette diminution depuissance peu avant le 2000eme echantillon suivi d’une remontee. Cette diminu-tion de puissance peut etre expliquee de deux facons distinctes : soit le nettoyagea eu un impact transitoirement negatif, soit la puissance a ete sciemment baisseelors de l’enregistrement de ce set.
Les differences d’allure observees entre β et les autres indicateurs sont lefruit du bruit associe a la mesure et ceci est mis en evidence par un filtrage(Fig. 3.6). On remarque que les deux indicateurs, une fois filtres, presentent unevaleur plus ou moins constante qui croıt legerement. Les transitoires presentsdans S sur la figure 3.6 sont trop rapides pour etre realistes. En resume, lenettoyage du Set 1 n’a rien change a la situation du salissement.
Pour terminer, passons en revue le Set 2 (Fig. 3.7). L’instant du nettoyageest clairement visible (autour du 1900eme echantillon) mais nous ne sommes pasen mesures de conclure quant a la situation d’encrassement finale puisque lesindicateurs divergent. Cette divergence peut etre expliquee par une variation dela puissance utile dont ne tient pas compte S. A nouveau, observons la puissanceutile (Fig. 3.8) et remarquons cette fois que la puissance a reellement diminueet ce jusqu’au bout de l’enregistrement. Le nettoyage a donc contribue a unesituation d’encrassement plus importante.
22
ENCRASSEMENT DU COMPRESSEUR 3.4. Resultats
0 500 1000 1500 2000 2500 30000.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
Sf
0 500 1000 1500 2000 2500 300040
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
β 1f
Fig. 3.6 – S et β filtres dans le Set 1
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000.09
0.095
0.1
0.105
0.11
0.115
0.12ρ/(1−ρ)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1S
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 350036
38
40
42
44
46
48
50
52
β1
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 350070
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
β2
Fig. 3.7 – Mesure du l’encrassement sur le Set 2
23
ENCRASSEMENT DU COMPRESSEUR 3.4. Resultats
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500146
148
150
152
154
156
158
160
Pu
Fig. 3.8 – Puissance utile pour le Set 2
Meme si a premiere vue les differents facteurs presentent des allures contra-dictoires dans certaines situations, on constate, qu’apres filtrage, l’informationrefletee est grossierement la meme. L’analyse des sets de donnees a permis dese rendre compte de l’existence de nettoyages a effets negatifs et donc de lanecessite de trouver des methodes de nettoyage plus efficaces.
3.4.2 Methode basee sur l’analyse en composantes princi-pales
Nous allons maintenant appliquer l’ACP a l’espace compose des huit mesuresdisponibles.
Puisque les mesures sur un compresseur propre apres nettoyage off-line nesont pas disponibles pour ce rapport, nous sommes forces de choisir une autrereference pour l’ACP : en se referant a la figure 3.2, nous selectionnerons les der-niers echantillons du Set 3 pour “entraıner” l’ACP. Ensuite, nous examineronsdes echantillons avant et apres nettoyage appartenant au meme set et tenteronsde tirer des conclusions.
Avant toute chose, verifions si la qualite de representation est satisfaisante endeux dimensions (Tab. 3.4). On constate qu’en choisissant les deux composantesprincipales, la qualite de representation s’eleve a 89,97%, ce qui est tout a faitsatisfaisant. On a donc tracer a la figure 3.9 les differents nuages de pointscorrespondants a trois situations differentes : les 200 premiers, les 200 suivantsl’instant de nettoyage et les 200 derniers. Le mouvement du nuage de points
24
ENCRASSEMENT DU COMPRESSEUR 3.4. Resultats
Valeurs propres Pourcentage Pourcentage cumule
6,8447 65,38 65,382,5749 24,59 89,970,7834 7,48 97,450,2443 2,33 99,780,0193 0,18 99,960,0018 0,02 99,980,0009 0,012 99,9920,0002 0,008 100
Tab. 3.4 – Valeurs propres et qualite de representation pour le Set 3
escompte est clairement present. On observe une grande dispersion des pointsavant nettoyage et un regroupement apres.
Lors des recherches, il est apparu des similitudes entre β et l’analyse a uneseule composante principale quel que soit le set de donnees (Fig. 3.10). Bien quela qualite de representation ne soit que de 65,38% (Tab. 3.4), on remarque queβ et l’ACP ont une allure semblable. Ceci est tout a fait remarquable puisquel’ACP est une methode lineaire, la remarque faite en section 3.3.2 est alorsd’application : β est non lineaire mais peut etre linearise autour de son point defonctionnement sans grande perte d’information.
En ce qui concerne l’evolution des nuages de points pour les Set 1 et Set 2,rien de concluant n’a pu etre determine puisque ces situations presentaient unecertaine constance au niveau des facteurs de salissements.
Les resultats precedents demontrent la puissance mais surtout la facilited’utilisation des outils statistiques pour la determination de l’encrassement :
– Aucune notion thermodynamique necessaire pour appliquer l’ACP– Implementation aisee– Methode facilement extensible si un plus grand nombre de mesures sont
diponibles ou si l’on doit appliquer la technique sur une autre machineRappelons neanmoins que le fait de perdre un peu le sens thermodynamiquedu probleme peu etre un inconvenient. En effet, une combinaison lineaire entrehuit mesures n’a pas toujours d’interpretation physique evidente.
25
ENCRASSEMENT DU COMPRESSEUR 3.4. Resultats
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
PC1
PC
2
RéférenceAvant nettoyageAprès nettoyage
Fig. 3.9 – Analyse en composantes principales sur le Set 3
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 450040
42
44
46
48
50
52
54
56
58
β 1
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
AC
P
Fig. 3.10 – Comparaison entre β et l’analyse sur une seule composante principale
26
Chapitre 4
Conclusion
Si l’on compare les differents resultats obtenus par l’analyse thermodyna-mique, on remarque qu’il y a peu de discordances entre les facteurs de salisse-ment : tantot des relations empiriques mal ajustees, tantot des petites diver-gences sur certains sets de donnees, mais pas de contradictions fondamentalesentres les resultats. Pour ne pas etre confronte a une divergence des indicateurs,on peut observer par exemple la moyenne des indicateurs ou encore une moyenneponderee, glissante ou non.
Les resultats de l’analyse en composantes principales ont montre l’efficacitede cette methode qui a l’avantage d’etre systematique : l’algorithme reste in-change, que l’on examine une autre turbine a gaz ou la meme avec des capteursdifferents. Les qualites de representations obtenues permettent d’affirmer que leprobleme de l’encrassement peut etre reduit a un ordre beaucoup plus faible, cequi en fait un probleme moins complexe.
A ce stade, s’il fallait choisir un indicateur, le choix s’orienterait vers l’ana-lyse en composantes principales pour sa simplicite. N’oublions pas que l’ACPoffre encore bien des outils non exploites dans ce rapport et qui permettent depousser l’analyse plus loin.
On manque cruellement de donnees pour valider mais aussi pour ameliorerles indicateurs (mesure de l’ouverture des IGV par exemple). Neanmoins les re-sultats obtenus sont assez satisfaisants.
Parmi les nouvelles pistes a investiguer, on trouve l’etude de la compressionhumide, l’integration de l’influence des IGV dans le facteur de salissement etl’application de l’analyse en composantes principales sur de plus long enregis-trements et avec une bonne reference.
27
Annexe A
Code MatLab
Listing A.1 – Code du fichier fouling.m
1 function fouling(data)
2 %%%%%%%%%%%%%%%%
3 % 0. Constants %
4 %%%%%%%%%%%%%%%%
5 C2K = 273.15; % °C to °K conversion
6 K2C = -273.15; % °K to °C conversion
7 A_1 = -6.28878e+003;
8 A0 = 21.93268;
9 A1 = -1.77088e-002;
10 A2 = 1.1085e -005;
11 x_const = 0.622;
12 R_const = 1.608;
13 k_a = 1.405;
14 k_v = 1.302;
15 alpha = 1.983;
16 a = 518/150;
17 T0 = 288.15; % Nominal T_in [ °K ]
18 p0 = 1.01325; % Nominal p_in [bar]
19 r0 = 10.65; % Nominal r []
20 q0 = 518; % Nominal q [kg/s]
21 T3_0 = 1050 + C2K; % [ °K ]
22 T4_0 = 551.4 + C2K; % [ °K ]
23 r_xn = 0.773058;
24 r_x1 = 0.016270;
25 n = 16;
26 c_p = 1.4;
27 a_bay = 28.3702
28 b_bay = 263.7
29
30 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
31 % 1. Import/Format Data %
32 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
33
34 T_ext = data(:,1); % [ °K ]
35 p_atm = data(:,2);
36 phi = data(:,3); % []
28
CODE MATLAB
37 P_active = data(:,4);
38 Dp_filter = data(:,5);
39 T_in = data(:,6); % [ °K ]
40 T_out = data(:,7); % [ °K ]
41 p_out = data(:,8);
42
43
44 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
45 % 2. Calculate Beta - First Method - k = f(x) %
46 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
47 lambda = T_out./T_in;
48 efficiency = ( lambda -1)./ lambda;
49 p_in = ( p_atm - Dp_filter)./1000; % p_in in bar
50 p_v = exp(A_1./T_in + A0 + A1.*T_in + A2.*( T_in .^2)); % p_v
in bar
51 p_prime_v = phi.*p_v;
52 x = x_const .*( p_prime_v ./( p_in - p_prime_v)); % x in per
unit
53 Ra_divby_R = (1 + x)./(1 + R_const.*x);
54 k = k_a .*((1 + ( alpha*k_v/k_a).*x)./(1 + alpha.*x));
55 r = p_out./p_in;
56 a_k = 1.39901 - 4.63026e -004.*r;
57 b_k = -6.37474e -005 - 3.5639e -006.*r;
58 %k = a_k + b_k.*T_in;
59 m = log(p_out./p_in)./(log(p_out./p_in)-log(T_out./T_in));
60 rho = (m - k)./(k.*(m - 1));
61 sal = rho./(1-rho);
62 q = a.* P_active .*(T0./T_in);
63
64 %S = r_xn.*r.^( -2./(n.*m)).*( r_x1.*r.^( -2./m) -1)./( r_xn.*r
.^( -2./(n.*m)) -1);
65 rho_0 = 0.0979;
66 q_vc0 = 0.9625
67 q_v = ( q_vc0.*r.*T_in.*sqrt(T3_0))./(r0.*T0.*sqrt(T3_0));
68
69 S =( ( rho.*c_p.*(T_out -T_in))./( rho_0.*c_p .*306.*(1+( b_bay/
a_bay).*(q_v - q_vc0).*(q_v - q_vc0)))) - 1;
70 beta1 = beta(rho , k, T_out , T_in , Ra_divby_R , p_in , q, S);
71
72 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
73 % 3. Calculate Beta - Second Method - k = f(T_in , r) %
74 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
75 a_k = 1.39901 - 4.63026e -004.*r;
76 b_k = -6.37474e -005 - 3.5639e -006.*r;
77 k = a_k + b_k.*T_in;
78 rho = (m - k)./(k.*(m - 1));
79 beta2 = beta(rho , k, T_out , T_in , Ra_divby_R , p_in , q, S);
80
81 k = k_a .*((1 + ( alpha*k_v/k_a).*x)./(1 + alpha.*x));
82
83 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
84 % 4. Calculate Beta - Third Method %
85 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
86 T3 = T4_0.*r.^((m - 1)./m);
29
CODE MATLAB
87 q = q0.*r.*T_in.*sqrt(T3_0)./(r0.*T0.*sqrt(T3));
88
89 beta3 = beta(rho , k, T_out , T_in , Ra_divby_R , p_in , q, S);
90
91 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
92 % 5. Calculate Beta - Fourth Method %
93 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
94 q = q0.*r.*T_in ./(r0.*T0);
95
96 beta4 = beta(rho , k, T_out , T_in , Ra_divby_R , p_in , q, S);
97
98 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
99 % % 5. Apply Low Pass Filter %
100 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
101 beta1_f = filter(b, a, beta1);
102 beta2_f = filter(b, a, beta2);
103 beta3_f = filter(b, a, beta3);
104 beta4_f = filter(b, a, beta4);
105 %%%%%%%%%%%%%%%%
106 % 6. Plot Beta %
107 %%%%%%%%%%%%%%%%
108
109
110 figure;
111 subplot (6,1,1);
112 plot(beta1);
113 ylabel(’\beta_1’);
114 subplot (6,1,2);
115 plot(beta2);
116 ylabel(’\beta_1’);
117 subplot (6,1,3);
118 plot(beta3);
119 ylabel(’\beta_3’);
120 subplot (6,1,4);
121 plot(beta4);
122 ylabel(’\beta_4’);
123 subplot (6,1,5);
124 plot(sal);
125 ylabel(’Sal.’);
126 subplot (6,1,6);
127 plot(pca(data , 1));
128 ylabel(’PC’);
129 grid on;
130
131 figure;
132 subplot (2,2,1);
133 plot(pca(data , 1));
134 title(’\rho/(1-\rho)’);
135 grid;
136
137 subplot (2,2,2);
138 plot(S);
139 title(’S’);
140 grid;
30
CODE MATLAB
141
142 subplot (2,2,3);
143 plot(beta1);
144 title(’\beta_1’);
145 grid;
146
147 subplot (2,2,4);
148 plot(beta2);
149 title(’\beta_2’);
150 grid;
151
152
153 movavg(beta1 , 200 , 400);
154
155 figure;
156 %subplot (2,1,2);
157 plot(beta1_f);
158 hold;
159 plot(beta2_f , ’r’);
160 plot(beta3_f , ’g’);
161 plot(beta4_f , ’m’);
162 title(’\beta filtre - Butterworth N=3, W_n =0.03’);
163 %axis ([0 size(beta1 ,1) min(min(min(min(beta1_f (50: size(
beta1_f ,1) ,1)), min(beta2_f (50: size(beta2_f ,1) ,1))), min(
beta3_f (50: size(beta3_f ,1) ,1))), min(beta4_f (50: size(
beta4_f ,1) ,1))) max(max(max(max(beta1_f (50: size(beta1_f
,1) ,1)), max(beta2_f (50: size(beta2_f ,1) ,1))), max(beta3_f
(50: size(beta3_f ,1) ,1))), max(beta4_f (50: size(beta4_f ,1)
,1)))]);
164 axis ([0 size(beta1 , 1) min(min(min(min(beta1), min(beta2)) ,
min(beta3)), min(beta4)) max(max(max(max(beta1), max(
beta2)), max(beta3)) , max(beta4))]);
165 ylabel(’\beta filtre ’);
166 xlabel(’ Echantillon ’);
167 grid on;
168 legend(’\beta_1 filtre ’, ’\beta_2 filtre ’, ’\beta_3 filtre ’
, ’\beta_4 filtre ’ , 0);
169
170 figure;
171 N = 2^15;
172 beta1_fft = abs(fft((beta1 -mean(beta1)).* hamming(size(beta1
, 1)), N));
173 beta2_fft = abs(fft((beta2 -mean(beta2)).* hamming(size(beta2
, 1)), N));
174 beta3_fft = abs(fft((beta3 -mean(beta3)).* hamming(size(beta3
, 1)), N));
175 beta4_fft = abs(fft((beta4 -mean(beta4)).* hamming(size(beta4
, 1)), N));
176 plot(beta1_fft);
177 hold;
178 plot(beta2_fft , ’r’);
179 plot(beta3_fft , ’g’);
180 plot(beta4_fft , ’m’);
181 legend(’\beta_1’, ’\beta_2’, ’\beta_3’, ’\beta_4’ , 0);
31
CODE MATLAB
182 axis ([0 1000 0 max(max(max(max(beta1_fft) , max(beta2_fft)) ,
max(beta3_fft)) , max(beta4_fft))]);
183 title(’Module de la FFT’);
184 grid;
Listing A.2 – Code du fichier beta.m
1 function b = beta(rho , k, T_out , T_in , Ra_divby_R , p_in , q,
S)
2 b = rho.*k.*( T_out - T_in).*( p_in .*1000) .^2.*100.*100./((k
- 1).*T_in .^2.*q.*q);
Listing A.3 – Code du fichier gain.m
1 function [g, mean1 , mean2 ] = gain(beta , n_wash , deltag ,
deltad)
2 g = -100*( mean(beta(n_wash+deltad:size(beta , 1) , 1)) - mean(
beta (1:n_wash -deltag , 1)))/mean(beta (1:n_wash -deltag ,1));
3 mean1 (1:n_wash -deltag ,1) = mean(beta (1:n_wash -deltag , 1));
4 mean2 (1: size(beta , 1)-n_wash -deltad +1 , 1) = mean(beta(n_wash
+deltad:size(beta , 1) , 1));
Listing A.4 – Code du fichier meanadjust.m
1 function [ meanadjusted ] = meanadjust(data)
2 inputsize = size(data);
3 numcols = inputsize (2);
4 means = mean(data);
5 for i=1: numcols
6 meanadjusted(:,i) = data(:,i) - means(i);
7 end
Listing A.5 – Code du fichier pca.m
1 function [finaldata , featurevector , quality]=pca(data , p,
featurevector)
2 inputsize = size(data);
3 numcols = inputsize (2);
4 meanadjusteddata = meanadjust(data);
5 covmat = cov(meanadjusteddata);
6 eigval = sort(eig(covmat), ’descend’)
7 [eigvect ,eigd ] = eig(covmat);
8 pcomp = princomp(data);
9 if nargin <=2
10 featurevector = pcomp(:,1:p)
11 quality = sum(eigval (1:p))/sum(eigval)
12 else
13 featurevector = featurevector
14 quality = 0;
15 end
16 finaldata = ( featurevector ’* meanadjusteddata ’) ’;
32
CODE MATLAB
Listing A.6 – Code du fichier pcaanalysis.m
1 function [cloud_ref , cloud]= pca_analysis(data , ref_start ,
ref_end , ana_start , ana_end)
2 [finaldata_ref , featurevector_ref , quality_ref ]=pca(data(
ref_start:ref_end ,:) , 2);
3 cloud_ref = finaldata_ref;
4 %plot(finaldata_ref(:,1) , finaldata_ref(:,2),’b.’); hold;
5 [finaldata , featurevector , quality]=pca(data(ana_start:
ana_end ,:) , 2, featurevector_ref);
6 cloud = finaldata;
7 %plot(finaldata (:,1) , finaldata(:,2),’r.’);
Listing A.7 – Code du fichier formatdata.m
1 function [ formateddata ] = formatdata(data , format)
2
3 C2K = 273.15
4 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
5 % 1. Import/Format Data %
6 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
7 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
8 % NAME % DESCRIPTION % UNIT %
COLUMN %
9 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
10 % M 1301 % TEMPERATURE EXTERIEUR % °C % 3
%
11 % M 1291 % PRESSION ATMOSPHERIQUE % mbar % 4
%
12 % M 1319 % HUMIDITE EXTERIEUR % % % 5
%
13 % M 1078 % PUISSANCE ACTIVE ALTERNATEUR % MW % 6
%
14 % M 285 % DP Filtre a air % mbar % 7
%
15 % M 984 % Temperature entree compresseur % °C % 8
%
16 % M 988 % Temperature Sortie Compresseur % °C % 9
%
17 % M 294 % Pression Sortie Compresseur % bar % 10
%
18 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
19 if ( format == 0)
20 formateddata (:,1) = data(:,3) ./1000 + C2K; % [ °K ]
21 formateddata (:,2) = data(:,4) ./1000;
22 formateddata (:,3) = data(:,5) ./100000; % []
23 formateddata (:,4) = data(:,6) ./1000;
24 formateddata (:,5) = data(:,7) ./1000;
25 formateddata (:,6) = data(:,8) ./1000 + C2K; % [ °K ]
26 formateddata (:,7) = data(:,9) ./1000 + C2K; % [ °K ]
27 formateddata (:,8) = data (: ,10) ./1000;
28 elseif ( format == 1)
33
CODE MATLAB
29 formateddata (:,1) = data(:,3) + C2K; % [ °K ]
30 formateddata (:,2) = data(:,4);
31 formateddata (:,3) = data(:,5) ./100; % []
32 formateddata (:,4) = data(:,6);
33 formateddata (:,5) = data(:,7);
34 formateddata (:,6) = data(:,8) + C2K; % [ °K ]
35 formateddata (:,7) = data(:,9) + C2K; % [ °K ]
36 formateddata (:,8) = data (: ,10);
37 end
34
Annexe B
Etude de la compressionhumide1
Il s’agit dans cette annexe de determiner l’influence de la compression humidesur l’encrassement du compresseur a l’aide des deux methodes developpees plushaut. On se propose d’analyser quatre sets de donnees avec compression humidepris sur la centrale de Herdersbrug, Drogenbos ne pratiquant pas encorecette technique a l’heure actuelle. En plus des mesures classiques, on disposede la mesure du debit volumique de l’injection d’eau a l’entree du compresseur.Pour alleger ce rapport, nous n’allons presenter que les resultats pour les deuxpremiers sets, les deux autres presentant les memes caracteristiques.
Sur la figure B.1, on a reporte nos indicateurs mais on a remplace β2 par ledebit volumique d’injection. On remarque deux transitoires importants avant le200eme echantillon et apres le 1200eme. En fait, si on observe la puissance utile,on constate que, durant ces periodes, la turbine n’est pas en regime nominal.
En ce qui concerne l’influence de la compression humide, on remarque qu’unediminution du debit volumique d’injection tend a augmenter l’etat d’encrasse-ment et ce quel que soit l’indicateur choisi. En d’autres termes, la compressionhumide semble avoir un effet positif sur l’encrassement. Pour s’en convaincrenous analyserons le deuxieme set de donnees.
Les valeurs negatives de S s’expliquent par un mauvais choix des parametresρ0, τm0
et qv0. Ceci met en evidence les problemes d’adaptation dont souffre la
methode thermodynamique.Le deuxieme set de donnees presente les memes types de transitoires mais
cette fois-ci le debit volumique d’injection augmente (Fig. B.2). On tire lesmemes conclusions que precedemment.
Appliquons a present la methode d’analyse en composantes principales sur lepremier set de donnees (Fig. B.3). Les echantillons 200 a 400 ont ete selectionnespour etre la reference de l’analyse. On a ensuite projete les echantillons 600 a800 et 1000 a 1200. On observe un regroupement du nuage de points pres de lazone “propre” et une plus grande dispersion vers la fin de l’enregistrement ce quiconfirme les resultats thermodynamiques. Rappelons qu’aucune modification nedoit etre apportee a l’algorithme de l’ACP pour le faire fonctionner sur uneautre turbine a gaz.
1Annexe rajoutee le 13 avril 2005 apres la remise du rapport
35
ETUDE DE LA COMPRESSION HUMIDE
0 200 400 600 800 1000 1200 14000.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3ρ/(1−ρ)
0 200 400 600 800 1000 1200 1400−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2S
0 200 400 600 800 1000 1200 1400−50
0
50
100
150
200
250
β1
0 200 400 600 800 1000 1200 14000
5
10
15
20
25
30
35
40Injection
Fig. B.1 – Mesure de l’encrassement avec compression humide (1)
0 100 200 300 400 500 6000.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2ρ/(1−ρ)
0 100 200 300 400 500 600−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4S
0 100 200 300 400 500 6000
10
20
30
40
50
60
β1
0 100 200 300 400 500 6000
5
10
15
20
25
30Injection
Fig. B.2 – Mesure de l’encrassement avec compression humide (2)
36
ETUDE DE LA COMPRESSION HUMIDE
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
PC1
PC
2
RefAna1Ana2
Fig. B.3 – Analyse en composantes principales avec compression humide
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 104
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10ρ/(1−ρ)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 104
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1S
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 104
−150
−100
−50
0
50
100
150
200
250
300
β1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 104
−150
−100
−50
0
50
100
150
200
250
300
β2
Fig. B.4 – Mesure de l’encrassement (Ringvaart, 23/06/1999–03/09/2000)
37
Annexe C
Reponse a Michael Deneve1
Monsieur Deneve,
Je tiens a vous remercier pour votre lecture attentive et critique. J’approuvevos remarques et j’ai modifie mon rapport en fonction de certaines. Vous trou-verez ci-dessous les reponses aux differentes questions que vous m’avez posees.
Determination de k : Pourquoi faire des calculs compliques pour ob-tenir k ? Les formules sont-elles valables pour toutes les turbines agaz ?
Plusieurs methodes m’ont ete donnees par Remi Baeyens et j’ai voulucomparer ces differentes methodes. De plus, il etait dommage de ne pas profiterde la mesure d’humidite relative. La formule empirique n’est pas valable pourtoutes les turbines, elle s’applique uniquement pour les taux de compressionautour de 10.
Equation (3.24) : Pourquoi une relation de ce type ?
Quand on observe la caracteristique τf = f(qv), on s’apercoit que l’allure estproche d’une parabole aplatie et qu’il serait licite d’approcher la caracteristiquepar une parabole autour du point de fonctionnement.
Fig. C.1 – Modelisation des travaux de frottements
1Annexe rajoutee le 5 mai 2005 apres la remise du rapport
38
REPONSE A MICHAEL DENEVE
Equation (3.29) : Comment calculer a et b ?
On a a = τf0, les travaux de frottements du compresseur propre. Les para-
metres a et b sont determines par regression quadratique a partir de donneesdeduites des caracteristiques. La relation proposee est en fait une loi empirique.
Equation (3.30) : D’ou vient cette formule ? Comment calculer Ct ?
L’egalite des debits massiques peut etre traduite en debits volumiques (et ensupposant la combustion isobare) :
r =p3
p1=
qvcT3
qvtT1
=qvc
Ct
√T3
T1(C.1)
Pour calculer Ct, il faut se referer a l’equation du debit massique cote tur-bine :
q = Ct
p3√RT3
√
1 −(
p4
p3
)
m+1m
(C.2)
Equation (3.33) : D’ou vient cette formule ?
On cherche a mesurer l’importance de la difference de pression. Or, on saitque cette derniere depend deja du debit q, de la temperature T1 et de la pressionp1.
Equations (3.34) et (3.35) : Est-ce possible d’expliquer d’avantage cesformules ?
(3.34) est simplement l’expression classique des pertes de charge repartiesdans une conduite cylindrique que l’on retrouve dans tous les textes classiquesd’hydraulique et de mecanique des fluides.
(3.35) s’obtient directement de (3.34) : si τf est donne (kJ/kg) la perte decharge ∆p necessaire pour vaincre ces travaux de frottement se retrouve parl’expression ∆pν = τf ou ν est le volume massique (m3/kg).
Que fait le filtre de Butterworth ?
Le filtre de Butterworth est une approximation du filtre passe-bas ideal.La solution consiste a choisir :
|T (jw)|2 =1
1 + w2n(C.3)
ou w est la pulsation et n un entier positif appele ordre du filtre. Le filtre sertdonc a supprimer les hautes frequences. Comme le facteur de salissement varielentement, aucune contrainte particuliere n’est imposee quant au choix de lapulsation de coupure.
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Derniere revision le 5 mai 2005 par Jonathan Goldwasser
