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8/19/2019 Projet de fin d'étude: Etude de l'identification en boucle fermée - application en simulation et en temps réel
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République Tunisienne
Ministère de l’Enseignement Supérieur,
et de la Recherche Scientifique
ENIG
Université de Gabès
École Nationale d’Ingénieurs de Gabès
Département de Génie Electrique-Automatique
A.U: 2011-2012
Projet de fin d’étudesPr ́esent ́e à
l’École Nationale d’Ingénieurs de Gabès
(Département de Génie Électrique - Automatique)
R ́ealisé par
Ahmed Zaidi
Fayrouz Bakhira
ETUDE DE L’IDENTIFICATION EN BOUCLE
FERMÉE : APPLICATIONS EN SIMULATION ET EN
TEMPS RÉEL
Soutenu le 21 Juin 2012, devant le Jury :
Pr ´ esident : M. Slaheddine Najar
Membre : M. Anis Messaoud
Encadreur : M. Messaoud Amairi
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”Le succès n’est pas final, l’échec n’est pas fatal c’est le
courage de continuer qui compte ...”
Winston Churchill
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À
DIEU tout puisant mon créateur
À
ma mère,
ma raison d’être,
ma raison de vivre,
la lanterne qui éclaire mon chemin,
la voie qui a me murmurer les bons conseils...
À
mes amis et à tous mes proches...
Fayrouz
ii
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4/85
À
ma chère mère,
À
mon cher père,
À
mes soeurs et à mes frères,
À
tous ceux qui comptent pour moi,
À
tous ceux pour qui je compte.
Ahmed
iii
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Remerciements
La réalisation de ce travail n’aurait pu être possible sans la bien veillante collaboration des efforts des différents intervenants. Qui croient et participent à son succès .
Au terme de ce projet, nous sommes heureux de pouvoir exprimer nos sincères gratitudes
envers les personnes qu’ils ont eu l’honneur de nous aider. Les mots ci-dessous ne peuvent
en aucun cas être suffisants à témoigner notre respect.
Nous tenons à remercier en premier temps Monsieur AMAIRI Messaoud, Mâıtre As-
sistant à l’ ́ Ecole Nationale d’Ingénieurs de Gabès (ENIG) pour son aide précieuse, pour la
confiance qu’il nous a accordé pour le temps qu’il nous consacŕe et qui nous a permis de
mener à terme ce travail et l’encouragement qu’il nous a offert durant l’élaboration de ce
projet.
Nous tenons à remercier également Madame CHETOUI Manel, Assistante à l’ENIG pour ses conseils nécessaires pour achever ce travail, pour sa disponibilit́e, ses aides, son soutien
et son encouragement continu et sa gentillesse.
Nous tenons à exprimer nos vives gratitudes à Monsieur NAJAR Slaheddine, Mâıtre As-
sistant à l’ENIG, qui nous a fait l’honneur de présider le jury .
Il est particulièrement agréable d’exprimer nos reconnaissances au membre de jury Mon-
sieur MESSAOUD Anis, Mâıtre Assistant à l’ENIG d’avoir accepter de juger ce travail .
Enfin nous remercions tous ceux qui ont apporté leurs aides, de prés ou de loin à la
réalisation de ce travail .
iv
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Table des matières
Liste des figures viii
Liste des tableaux xi
Introduction générale 1
Chapitre I Généralités sur l’identification des systèmes linéaires 3
I.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.2 Modélisation des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.2.2 Modèles de connaissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.2.3 Modèles dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.2.3.1 Modèles non paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.2.3.2 Modèles paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.2.3.3 Procédure d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.3 Techniques d’identification en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.4 Position du problème et solutions envisageables . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.5 Principe et approches de l’identification en boucle fermée . . . . . . . . . . . 11
I.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.5.2 Identification et Identifiabilité en boucle fermée . . . . . . . . . . . . 11
I.5.3 Choix du signal d’excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I.5.4 Approche directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I.5.5 Approche indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.5.6 Approche simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chapitre II Identification des systèmes en boucle fermée 15
II.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II.2 Méthodes d’identification baśees sur l’erreur d’́equation . . . . . . . . . . . . 16
v
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Table des matières
II.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II.2.2 Méthode des Moindres Carŕes Ordinaires (MCO) . . . . . . . . . . . 17
II.2.3 Méthode des Moindres Carrés Récursifs (MCR) . . . . . . . . . . . . 18II.2.4 Méthode des Variables Instrumentales à Observations Retardées (VIOR) 19
II.2.5 Validation des estimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II.2.5.1 Blanchissement de l’erreur de prédiction . . . . . . . . . . . 20
II.2.5.2 Simulation de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.2.5.3 Validation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.2.6 Exemple numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.2.6.1 Mise en équation et commande . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.2.6.2 Identification en boucle fermée dans le cas déterministe . . . 24
II.2.6.3 Identification en boucle fermée dans le cas stochastique . . . 27
II.3 Méthodes d’identification basées sur l’erreur de sortie . . . . . . . . . . . . . 33
II.3.1 Principe et procédure d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II.3.2 Exemple numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
II.3.2.1 Identification en boucle fermée dans le cas déterministe . . . 39
II.3.2.2 Identification en boucle fermée dans le cas stochastique . . . 41
II.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Chapitre III Applications en temps réel de l’identification en boucle fer-
mée 44
III . 1 Introducti on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
III.2 Identification en boucle fermée d’un moteur à courant continu . . . . . . . . 46
III.2.1 Descriptif et modélisation du procédé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
III.2.2 Essais d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
III.2.2.1 Cas déterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
III.2.2.2 Cas stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50III.3 Identification en temps réel d’un système instable en boucle ouverte . . . . . 51
III.3.1 Description du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
III.3.2 Essais d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
III.4 Implémentation d’un algorithme d’identification en boucle fermée sur un mi-
crocontrôleur PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
III.4.1 Le microcontrôleur PIC 16F877A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
III.4.1.1 Choix de la famille PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
III.4.1.2 Choix de PIC 16F877A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57III.4.1.3 Convertisseur Analogique Numérique . . . . . . . . . . . . . 59
vi
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Table des matières
III.4.2 Conception de la carte d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
III.4.2.1 Alimentation stabilisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
III.4.2.2 Conversion Numérique Analogique . . . . . . . . . . . . . . 61III.4.2.3 Liaison série RS232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
III.4.2.4 Affichage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
III.4.3 Programmation de PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
III.4.4 Identification en temps réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
III.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Conclusion générale 67
Annexe A 69
Bibliographie 70
vii
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Liste des figures
I.1 Modèle OE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.2 Modèle ARX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.3 Modèle ARMAX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.4 Modèle ARIMAX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.5 L’organigramme de la procédure d’identification. . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.6 Sch́ema de principe de l’erreur d’́equation en boucle ouverte . . . . . . . . . . 9
I.7 Schéma de principe de l’erreur de sortie en boucle ouverte . . . . . . . . . . . 10
I.8 Commande numérique d’un syst̀eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.9 Sch́ema de principe de l’approche directe en boucle fermée . . . . . . . . . . 13
I.10 Sch́ema de principe de l’approche indirecte en boucle fermée. . . . . . . . . . 14
II.1 Principe des méthodes d’identification en boucle fermée basées sur l’erreur d’équation. 17
II.2 Réponse indicielle du système de second ordre en boucle ouverte. . . . . . . . . . 22
II.3 Réponse indicielle du système de second ordre en boucle fermée sans correction. . 22
II.4 Commande RST du système de second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II.5 Réponse indicielle du système de second ordre en boucle fermée avec correction. . 23
II.6 Commande du système de second ordre en boucle fermée avec correction. . . . . . 24
II.7 Erreur de prédiction dans le cas déterministe (MCO) : système de second ordre. . 25
II.8 Validation par test de blancheur dans le cas déterministe (MCO) : système de second
ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.9 Evolution des paramètres estimés dans le cas déterministe (MCR) : système de
second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
II.10 Erreur de prédiction dans le cas déterministe (MCR) : système de second ordre. . 26
II.11 Validation par test de blancheur dans le cas déterministe (MCR) : système de second
ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II.12 Erreur de prédiction dans le cas stochastique (MCO) : système de second ordre. . 28
II.13 Validation par test de blancheur dans le cas stochastique (MCO) : système de second
ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
viii
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Liste des figures
II.14 Evolution des paramètres estimés dans le cas stochastique (MCR) : système de
second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II.15 Erreur de prédiction dans le cas déterministe (MCR) : système de second ordre. . 29II.16 Validation par test de blancheur dans le cas stochastique (MCR) : système de second
ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
II.17 Evolution des paramètres estimés dans le cas stochastique (VIOR) : système de
second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II.18 Histogrammes des estimés pour 200 réalisations de Monte-Carlo obtenus par l’esti-
mateur MCO : système de second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II.19 Histogrammes des estimés pour 200 réalisations de Monte-Carlo obtenus par l’esti-
mateur MCR : système de second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II.20 Histogrammes des estimés pour 200 réalisations de Monte-Carlo obtenus par l’esti-
mateur VIOR : système de second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II.21 Principe des méthodes basées sur l’erreur de sortie en boucle fermée . . . . . . . 34
II.22 Organigramme des méthodes d’identification basées sur l’erreur de sortie . . . . . 37
II.23 Commande RST du système de second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II.24 Sortie réelle et sortie estimée par la méthode à erreur de sortie : système du premier
ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II.25 Erreur de sortie : système du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II.26 Sortie réelle et sortie estimée par la méthode à erreur de sortie : système de premier
ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
II.27 Erreur de sortie : système de premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II.28 Histogrammes des estimés pour 100 réalisations de Monte-Carlo obtenus par l’esti-
mateur erreur de sortie : système du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . 42
III.1 Schéma du moteur à courant continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
III.2 Données d’estimation dans le cas déterministe (entrée : chaine2 ; sortie : chaine1) :moteur à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
III.3 Evolution des paramètres estimées dans le cas déterministe : moteur à courant continu 48
III.4 Données de validation dans le cas déterministe (entrée : chaine2 ; sortie : chaine1) :
moteur à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III.5 Résultats de validation dans le cas déterministe : moteur à courant continu . . . . 49
III.6 Données d’estimation dans le cas stochastique (entrée : chaine2 ; sortie : chaine1) :
moteur à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
III.7 Evolution des paramètres estimées dans le cas stochastique : moteur à courant continu 50III.8 Validation du modèle estimé dans le cas stochastique : moteur à courant continu . 51
ix
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Liste des figures
III.9 Réponse indicielle en boucle ouverte (entrée : chaine2 ; sortie : chaine1) : système
de second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
III.10 Réponse indicielle en boucle fermée sans correcteur (entrée : chaine2 ; sortie :chaine1) : système de second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III.11 Réponse indicielle en boucle fermée avec correcteur (entrée : chaine2 ; sortie :
chaine1) : système de second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III.12 Données d’estimation (entrée : chaine2 ; sortie : chaine1) : système de second ordre 54
III.13 Evolution des paramètres estimés : système de second ordre . . . . . . . . . . . 55
III.14 Données de validation (entrée : chaine2 ; sortie : chaine1) : système de second ordre 55
III.15 Résultats de validation du modèle estimé : système de second ordre . . . . . . . 56
III.16 Brochage du PIC 16F877A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
III.17 Carte d’alimentation stabilisée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
III.18 Conversion Numérique Analogique en utilisant le DAC0800. . . . . . . . . . . . 61
III.19 Adaptation des signaux entre le PC et le PIC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
III.20 Afficheur LCD à 2 lignes de 16 caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
III.21 Brochage du LCD avec PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
III.22 Organigramme du programme implémenté sur PIC. . . . . . . . . . . . . . . . 64
III.23 Câblage de la carte d’identification avec un système de premier ordre. . . . . . . 65
III.24 Données d’estimation (entrée : chaine1 ; sortie : chaine2) : système de premier ordre. 65
III.25 Affichage sur LCD des paramètres estimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1 Schéma de montage de la carte d’identification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
x
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Liste des tableaux
II.1 Résultats de l’estimateur des Moindres Carrés Ordinaires dans le cas déter-
ministe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II.2 Résultats de l’estimateur des Moindres Carrés Récursifs dans le cas déterministe. 25
II.3 Résultats de l’estimateur des Moindres Carrés Ordinaires dans le cas stochas-
tique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II.4 Résultats de l’estimateur des Moindres Carrés Récursifs dans le cas stochastique. 28
II.5 Résultats de l’estimateur des Variables Instrumentales à Observations retar-
dées dans le cas stochastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
II.6 Simulation de Monte-Carlo par l’estimateur MCO, MCR et VIOR. . . . . . . 31
II.7 Résultats de l’estimateur d’erreur de sortie dans le cas déterministe. . . . . . 39
II.8 Résultats de l’estimateur de l’erreur de sortie dans le cas stochastique. . . . . 41
II.9 Simulation de Monte-Carlo par l’estimateur de l’erreur de sortie : syst̀eme du
premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
III.1 Caract́eristiques du PIC 16F877A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
xi
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Introduction générale
En général, l’identification d’un système linéaire stable en boucle ouverte est facile moyen-
nant les algorithmes d’identification classiques qui existent dans la littérature [Landau, 1988]
[Abdennour et al., 2001]. Ces algorithmes permettent de donner une estimation consistantedans la majorité des applications pratiques.
Cependant, l’identification en boucle ouverte n’est pas toujours possible en pratique. En
effet, il existe des situations particulières qui exigent l’identification des procédés en boucle
fermée. Ces situations peuvent être liées aux caractéristiques du procédé (avec intégrations
ou instable) ou bien au régulateur qui existe déjà dans la boucle.
L’identification en boucle fermée se fait aussi dans le cadre de maintenance des régula-teurs, d’améliorations de la boucle de régulation, de synthèse d’un régulateur robuste, de
réduction du biais d’estimation, ...etc.
Ces dernières décennies ont vu la théorie de l’identification se développer autour des mo-
dèles linéaires à temps discret et continu [Landau, 1993] [Ljung, 1999] [Hof et Schrama, 1995]
[Gustavsson et al., 1977]. Dans le contexte de notre travail, on va essentiellement s’intéresser
à l’identification des systèmes en boucle fermée à l’aide des modèles à représentation discrète.
Deux classes différentes de méthodes existent dans la littérature : l’une basée sur l’erreur
d’équation et l’autre basée sur l’erreur de sortie.
En dehors des annexes, la progression du mémoire est ponctuée par trois chapitres dont
le contenu est présenté ici d’une manière introductive.
Le premier chapitre présente un aperçu sur les techniques d’identification en boucle ou-
verte, la probĺematique en boucle ouverte qui exige le passage à l’identification en boucle
fermée ainsi que les différentes approches possibles pour procéder à l’identification des pro-
cédés en boucle fermée.
1
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14/85
Introduction générale
Le deuxième chapitre développe deux classes de méthodes d’identification en boucle fer-
mée par modèle à représentation discrète : la première classe est basée sur l’erreur d’équationet la deuxième classe est basée sur l’erreur de sortie. La première classe incarne trois mé-
thodes d’identification : moindres carrés ordinaires, moindres carrés récursifs et variables
instrumentales à observations retardées. La deuxième classe, basée sur l’erreur de sortie,
utilise les techniques d’optimisation non linéaires à savoir l’algorithme de Marquardt. Des
exemples de simulations numériques ont permis de mettre en évidence les différentes algo-
rithmes d’identification en boucle fermée et de savoir leurs consistance ainsi que les limites
entre elles.
Le troisième chapitre présente une application en temps réel d’une méthode d’identifica-
tion en boucle fermée. En fait, une carte d’identification à base de microcontrôleur est ŕealisée
en utilisant des circuits électroniques, son principe de fonctionnement est d’assurer l’estima-
tion des paramètres du modèle discret qui décrit le procédé à identifier. L’algorithme des
moindres carrés récursifs est choisi et implémenté sur la carte d’identification pour identifier
deux systèmes pratiques en temps réel.
2
8/19/2019 Projet de fin d'étude: Etude de l'identification en boucle fermée - application en simulation et en temps réel
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Chapitre I
Généralités sur l’identification des
systèmes linéaires
Sommaire
I.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.2 Modélisation des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.2.2 Modèles de connaissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.2.3 Mod̀eles dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.2.3.1 Modèles non paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.2.3.2 Modèles paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.2.3.3 Proćedure d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.3 Techniques d’identification en boucle ouverte . . . . . . . . . . 9
I.4 Position du problème et solutions envisageables . . . . . . . . . 10
I.5 Principe et approches de l’identification en boucle fermée . . . 11
I.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.5.2 Identification et Identifiabilit́e en boucle fermée . . . . . . . . . . . 11
I.5.3 Choix du signal d’excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I.5.4 Approche directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I.5.5 Approche indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.5.6 Approche simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3
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Chapitre I. Généralités sur l’identification des systèmes linéaires
I.1 Introduction
L’Automatique est une science qui a comme objectif d’apporter des solutions génériquespour des grandes catégories des systèmes (linéaires, non linéaires, mono-variables, multi-
variables, continus, discrets, ...etc.) et des grandes catégories des problèmes de commande,
de stabilisation, d’asservissement, de régulation, d’optimisation, de prédiction, et de sur-
veillance. Ainsi cette discipline scientifique permet de bien mâıtriser le comportement d’un
système.
La condition nécessaire pour mâıtriser le comportement d’un système physique est l’ob-
tention d’un modèle mathématique du système réel. Mais lorsque le modèle du système n’est
pas connu, il est nécessaire de procéder à son identification. Néanmoins, la modélisation etl’identification sont deux concepts fondamentaux en automatique qui précédent toutes les
opérations de simulation, d’observation et d’établissement d’une loi de commande ou de sur-
veillance d’un système.
Ce chapitre comporte principalement quatre sections : la première section présente la
définition du concept ou technique d’identification, les différentes classes des modèles à iden-
tifier ainsi que la procédure d’identification des systèmes physiques réels. Un aperçu sur les
différentes méthodes d’identification en boucle ouverte est introduit dans la deuxième sec-tion. La troisième section présente une formulation du problème d’identification en boucle
ouverte et introduit des solutions envisageables en boucle fermée. Enfin, le principe de l’iden-
tification en boucle fermée ainsi que les différentes approches utilisées dans la littérature sont
introduits.
I.2 Modélisation des systèmes
I.2.1 Définition
L’identification est l’opération de détermination des caractéristiques dynamiques d’un
procédé (système) dont la connaissance est nécessaire pour la conception et la mise en oeuvre
d’un système performant de régulation [Landau, 1993].
La notion de modèle mathématique d’un système ou d’un phénomène, c’est-à-dire d’un
ensemble d’équations liant ses entrées et ses sorties, est un concept fondamental.
4
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Chapitre I. Généralités sur l’identification des systèmes linéaires
I.2.2 Modèles de connaissance
Cette classe de modèle consiste généralement à utiliser les principes phénoménologiques
(lois de la physique) gouvernant le système. Les équations de fonctionnement d’un tel système
donnent généralement une description fiable de son comportement.
L’inconvénient de cette classe de modèle est que ce n’est pas toujours possible et facile
d’écrire les lois qui caractérisent un modèle de connaissance d’un système. C’est le cas des
systèmes physiques ayant une grande complexité, ce qui suggère le plus souvent l’utilisation
des modèles dynamiques.
I.2.3 Modèles dynamiquesUn modèle dynamique, c’est-à-dire un modèle représentant une évolution temporelle, peut
appartenir soit au domaine du temps continu (”système à temps continu”) si les équations
qui décrivent le comportement du système sont des équations différentielles, soit au domaine
du temps discret (”système à temps discret”) si ce sont des équations aux différences.
En pratique, l’objectif général de l’identification est la détermination de modèles de
conduite afin de simuler, d’analyser ou de commander un système. Pour cela, certains auteurs
considèrent que la détermination des modèles de connaissance est une tâche qui intéresse plus
les physiciens (ou les biologistes,...etc.) que les automaticiens [Borne et al., 1993] . Ainsi, nous
sommes amenés à mettre en oeuvre une méthodologie d’identification directe de ces modèles
dynamiques (de commande) qui sont sous deux types :
– les modèles non paramétriques (réponse fréquentielle, réponse à un échelon, etc.).
– les modèles paramétriques (fonction de transfert, équation différentielle ou aux diffé-
rences, ... etc.).
I.2.3.1 Modèles non paramétriques
Ces modèles sont des fonctionnelles d’une variable fréquentielle ou temporelle (gain et
phase de la fonction de transfert, réponse impulsionnelle), sous forme expérimentale, sans
en chercher directement les paramètres ou la fonction de transfert. Ce type de modèle per-
mettant de caractériser à partir des courbes un système dynamique linéaire, pouvant aider
à choisir la structure du modèle.
I.2.3.2 Modèles paramétriques
Les modèles paramétriques sont décrits généralement par un ensemble de coefficientsrelatifs à une structure de modèle donnée qui caractérise un système (équation différentielle,
représentation d’état, fonction de transfert, représentation avec gain, zéros et pôles).
5
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Chapitre I. Généralités sur l’identification des systèmes linéaires
Ces modèles peuvent être classées en deux types : modèles déterministes et modèles
stochastiques. En ce qui concerne les modèles déterministes le signal de sortie est exprimé
en fonction du signal de commande. Ces modèles sont souvent irréalistes. Car la plupart dessystèmes physiques réels subissent des perturbations extérieurs qui peuvent être mesurables,
non mesurables, modélisable, non modélisable, ...etc. Dans ce cas les modèles qui sont dits
”modèles stochastiques” et il est nécessaire de décrire l’influence de des bruits sur la sortie
du système.
– Modèle OE :
L’équation qui décrit le modèle OE ( Output Error) est la suivante :
A(q −1)y(k) = q −dB(q −1)u(k) + A(q −1)e(k) (I.1)
où e(k) est une séquence aléatoire de moyenne nulle et de variance finie. u(k) et y(k)
sont respectivement la commande et la sortie du système.
La figure (I.1) représente ce type de modèle.
( )e k
( ) y k ( )u k 1
1
( )
( )
d B q
q A q
−
−
−
Figure I.1 – Modèle OE.
– Modèle ARX :
C’est un modèle auto régressif (Auto Regressive model with eXternal inputs) dont la
forme générale du modèle est donnée par :
A(q −1)y(k) = q −dB(q −1)u(k) + e(k) (I.2)
où e(k) est une séquence aléatoire de moyenne nulle et de variance finie.
Le modèle est illustré par la figure (I.2) :
6
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Chapitre I. Généralités sur l’identification des systèmes linéaires
( ) y k
( )e k
( )u k 1
1
( )
( )
d B qq A q
−
−
−
1
1
( ) A q−
Figure I.2 – Modèle ARX.
– Modèle ARMAX :
Le modèle ARMAX (Auto Regressive Moving Average with eXternal inputs) reprend
les attributs du modèle ARX mais inclut une fonction de transfert avec une moyenne
ajustable sur le bruit blanc comme le montre la figure (I.3).
L’équation qui gouverne les modèle de type ARMAX est la suivante :
A(q −1)y(k) = q −dB(q −1)u(k) + C (q −1)e(k) (I.3)
( )u k ( ) y k
( )e k
1
1
( )
( )
d B qq
A q
−
−
−
1
1
( )
( )
C q
A q
−
−
Figure I.3 – Modèle ARMAX.
– Modèle ARIMAX :
Le modèle ARIMAX (Auto Regressive Integrated Moving Average with eXternal in-
puts) représenté par la figure (I.4) est décrit par l’équation suivante :
A(q −1)y(k) = q −dB(q −1)u(k) + C (q −1)
D(q −1
)
e(k) (I.4)
7
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Chapitre I. Généralités sur l’identification des systèmes linéaires
( ) y k ( )u k
( )e k
1
1
( )
( )
d B qq A q
−
−
−
1
1 1
( )
( ) ( )
C q
A q D q
−
− −
Figure I.4 – Modèle ARIMAX.
I.2.3.3 Procédure d’identification
Expérimentalement, la procédure d’identification comporte quatre étapes :
1. acquisition des entrées/sorties sous un protocole expérimental,
2. choix d’une structure de modèle,
3. estimation des paramètres du modèle en utilisant des algorithmes d’estimation para-
métriques,
4. validation du modèle identifié,L’organigramme présenté sur la figure (I.5) décrit d’une manière plus détaillée la procédure
d’identification :
Non Oui
Acquisition des entrées /sorties sous un protocole expérimental
Choix de la structure de modèle
Estimation des paramètres du modèle
Validation du modèle identifie
Fin
Figure I.5 – L’organigramme de la procédure d’identification.
8
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Chapitre I. Généralités sur l’identification des systèmes linéaires
I.3 Techniques d’identification en boucle ouverte
Dans la littérature plusieurs travaux se sont penchés sur l’identification des systèmes enboucle ouverte à temps continu et discret. Dans ce projet nous nous sommes limit́es aux
méthodes d’identification à temps discret.
Il existe un nombre important d’ouvrages dans la littérature qui synthétisent la majorité
des travaux effectués sur l’identification dans le domaine discret [Eykhoff , 1974] [Goodwin et Payne,
1977] [Ljung, 1999] [Ljung, 1999] [Richalet et al., 1991] [Landau, 1993] [Borne et al., 1992]
[Abdennour et al., 2001].
Les méthodes d’identification en boucle ouverte peuvent être classées en deux catégories :
l’une basée sur l’erreur d’équation et l’autre basée sur l’erreur de sortie.En ce qui concerne les méthodes d’identification basées sur l’erreur d’équation, il s’agit
d’estimer les coefficients de l’équation différentielle suivante :
y(k) = −
nA∑n=1
any(k − n) +
nB∑m=0
bmu(k − m + d) (I.5)
moyennant des algorithmes d’optimisation linéaires, à savoir les moindres carrés. La sortie
du modèle à identifier est exprimée linéairement vis-à-vis des paramètres. Ces algorithmes
peuvent être de type récursifs (moindres carrés récursifs, moindres carrés étendus, moindres
carrés généralisés, variables instrumentales, ...etc.) ou non récursifs (moindres carrés ordi-naires).
Le schéma de principe de l’erreur d’équation est représenté par la figure (I.6) :
eeε
( )u k ( ) y k
( )e k
TL
1
1
( )
( )
B q
A q
−
−
TL1ˆ ( ) B q− 1ˆ ( ) A q−
Figure I.6 – Schéma de principe de l’erreur d’équation en boucle ouverte .
avec TL : transformation linéaire.Le principe général des méthodes de moindres carrés consiste à chercher un vecteur des
paramètres θ̂ qui minimise une fonction quadratique de l’erreur de prédiction J (θ̂) .
9
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Chapitre I. Généralités sur l’identification des systèmes linéaires
Les méthodes d’identification basées sur l’erreur de sortie ont fait l’objectif de plusieurs
travaux [Ljung, 1987] [Söderström et Stoica, 1989] [Landau, 1993] [Borne et al., 1993]. Les
algorithmes utilisés par ces méthodes sont souvent des algorithmes d’optimisation non li-néaires vu que la sortie du modèle à identifier est exprimée non linéairement vis-à-vis des
paramètres. Ces algorithmes sont généralement de type gradient, à savoir l’algorithme de
Gauss-Newton, Newton-Raphson, Levenberg-Marquardt [Marquardt, 1963]. La figure (I.7)
représente le principe de l’erreur de sortie.
esε( )u k
( ) y k
( )e k
1
1
( )
( )
B q
A q
−
−
1
1
ˆ ( )
ˆ ( )
B q
A q
−
−
ˆ( ) y k
Figure I.7 – Schéma de principe de l’erreur de sortie en boucle ouverte .
I.4 Position du problème et solutions envisageables
De nombreuses méthodes d’identification à temps continu et discret ont été développées
dans le cadre de l’identification des syst̀emes en boucle ouverte. Mais cette dernìere n’est
pas toujours aisément réalisable en pratique. En effet, plusieurs systèmes physiques sont
contrains de fonctionner en boucle fermée selon des situations particulières. Ces situations
peuvent être classées en trois classes différentes :
– la première classe de situations est liée aux caractéristiques du procédé : pour les
procédés instables (possédant des intégrations).
– la deuxième classe de situations concerne les systèmes dans lesquels le régulateur existe
déjà, et où il n’est pas possible d’ouvrir la boucle pour faire l’identification du procédé.
– la troisième classe est constituée pour d’autres aspects pratiques tels que : la mainte-
nance d’un contrôleur, l’obtention des meilleurs modèles pour la commande des sys-
tèmes, validation de la loi de commande d’un système, synthèse d’un régulateur ro-buste, l’obtention d’un biais plus faible, réduction de l’ordre de modèle, identification
en temps réel.
10
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Chapitre I. Généralités sur l’identification des systèmes linéaires
Face aux situations décrites ci-dessus, la solution envisageable est d’aboutir à l’identification
en boucle fermée pour surmonter aux problèmes d’identification en boucle ouverte.
I.5 Principe et approches de l’identification en boucle
fermée
I.5.1 Principe
La figure (I.8) montre le principe d’une commande numérique dans le cas général.
( )u k
_
( )c y k ( ) y k
( )e k
1( )C q−
1( )G q−
Figure I.8 – Commande numérique d’un système .
Les données d’entrée/sortie sont décrites par les relations suivantes :
y(k) = G(q −1)u(k) + e(k) (I.6)
u(k) = C (q −1) [yc(k) − y(k)] (I.7)
Où G(q −1) représente le modèle de procédé à identifier, C (q −1) le régulateur et u(k), y(k) et
yc(k) sont respectivement le signal de commande, le signal de sortie et le signal d’excitation.
Pour identifier le procédé en boucle fermée il faut étudier d’abord l’identifiabilité du système.
I.5.2 Identification et Identifiabilité en boucle fermée
En identifiant un système linéaire fonctionnant en boucle fermée, à une entrée donnée,
des conditions spécifiques doivent être satisfaites dans l’ordre pour pouvoir arriver à une éva-
luation cohérente de la boucle ouverte du système. C’est pour cette raison qu’il est nécessaire
de bien comprendre et analyser le système avant qu’il soit manipulé et commandé.
En outre, l’identification d’un système nécessite la connaissance de la structure du modèle
et l’estimation des paramètres de la structure choisie. La résolution de ce problème conduit
généralement à la notion d’identifiabilité qui consiste à vérifier les trois propriétés suivantes :
11
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Chapitre I. Généralités sur l’identification des systèmes linéaires
– Séparabilité des paramètres :
Les véritables paramètres physiques caractéristiques du processus peuvent n’apparâıtre
que sous une forme non linéaire complexe dans les paramètres du modèle choisi. – Unicité des paramètres :
Dans certains cas, compte tenu de la précision des mesures, il n’est pas possible de
privilégier un jeu de paramètres plutôt q’un autre dans un ensemble donné. De plus,
la structure même du modèle adopté peut faire que la solution n’est pas unique.
– Sensibilité des paramètres :
Un paramètre n’est identifiable que si sa variation influe sur la sortie du système pour le
type d’entrée choisie. D’un point de vue pratique si y représente la sortie du processus
pour une entrée donnée et pour une valeur θ d’un paramètre, l’identifiabilité requiert
que la dérivée partielle première de y par rapport à θ ne soit pas nulle :
∂y
∂θ ̸= 0
Dans les prochains chapitres, la structure du modèle est supposée connue à priori et les
paramètres du modèle sont supposés identifiables.
I.5.3 Choix du signal d’excitationLe signal d’entrée utilisé dans une expérience d’identification peut avoir une influence
significative sur les paramètres estimés donc il faut sélectionner un signal qui assure des très
bon résultats. En effet une bonne identification nécessite l’utilisation d’un signal d’excita-
tion du procédé riche en fréquences de faible amplitude. En général, on utilise une S.B.P.A.
(Séquence Binaire Pseudo -aléatoire) qui est des successions d’impulsions rectangulaires mo-
dulées en largeur qui approximent un bruit blanc discret et donc qui ont un contenu riche en
fréquences [Landau 1993]. Pour pouvoir bien identifier le gain statique du procède, il faut au
moins une des impulsions de la S.B.P.A. soit plus grande que le temps de montée du système
à identifier. D’autre part pour balayer tout le spectre de fréquences il faut que la longueur
d’un essai soit au moins égal à la longueur de la séquence.
I.5.4 Approche directe
L’identification en boucle fermée par approche directe consiste à identifier le modèle du
procédé en utilisant comme données le couple (u(k), y(k)). La sortie du système y(k) mesuŕee
est généralement entachée d’un bruit additif e(k) [Ben Ameur Bazine, 2006]. Le schéma deprincipe de l’approche directe est représenté par la (figure (I.9)).
12
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Chapitre I. Généralités sur l’identification des systèmes linéaires
( )k ε
_
( )u k ( ) y k
( )v k
1( )C q−
Algorithmed’adaptation
1( )G q−
1ˆ ( )G q−ˆ( ) y k
( )c y k
( )e k
Figure I.9 – Schéma de principe de l’approche directe en boucle fermée .
Cette approche se caract́erise par sa facilité de mise en oeuvre pratique et elle est cou-
ramment utilisée malgré qu’elle nécessite la mesure des signaux à l’intérieur de la boucle de
régulation.
I.5.5 Approche indirecte
L’identification en boucle fermée par approche indirecte ne nécessite pas la mesure des
signaux à l’intérieur de la boucle de régulation. Elle utilise le couple (yc(k), y(k)) pour iden-
tifier le modèle du procédé comme le présente la figure (I.10). L’idée principale de l’approche
indirecte est décrite en deux étapes :
– la première étape consiste à estimer la fonction de transfert en boucle fermée (régula-
teur+procédé : Ĥ BF ) entre yc(k) et y(k) ;
– la deuxième étape consiste à déterminer la fonction de transfert de la boucle ouverte
(proćedé) à partir de la fonction de transfert estimée en boucle fermée ainsi que la
connaissance du régulateur.
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Chapitre I. Généralités sur l’identification des systèmes linéaires
( )k ε
_
( )u k ( ) y k
( )v k
1( )C q−
Algorithmed’adaptation
1( )G q−
1ˆ ( ) BF H q−
ˆ( ) y k
( )c
y k
1( ) BF H q−
( )e k
Figure I.10 – Schéma de principe de l’approche indirecte en boucle fermée.
L’inconvénient majeur de cette approche est qu’elle nécessite la connaissance du régula-
teur pour pouvoir déterminer le modèle du procédé. Cette connaissance n’est pas toujours
offerte et surtout sur le plan industriel, ce qui nécessite l’utilisation de l’approche simultanée
pour remédier à ce problème.
I.5.6 Approche simultanée
L’approche simultanée suppose que ni la mesure du signal d’entrée yc(k) ni le régulateur
C (q −1) sont connus [Gustavsson et al., 1977]. Le principe général consiste à estimer à la fois
le modèle du procédé et le modèle du régulateur en utilisant des algorithmes d’adaptation
paramétriques.
I.6 Conclusion
Ce chapitre a traité quelques généralités sur l’identification des systèmes linéaires à temps
discret. La première partie présente la modélisation des systèmes linéaires. La deuxième par-
tie entame un état de l’art des méthodes d’identification en boucle ouverte. La problématique
de l’identification en boucle ouverte ainsi que les solutions envisageables sont étudiées dans
la troisième partie. Enfin un aperçu sur le principe de l’identification en boucle fermée et
les différentes approches d’identification qui existent dans la littérature finissent ce chapitre.
Dans le chapitre suivant nous entamons l’étude des algorithmes d’identification en bouclefermée par modéles à représentation discrète en utilisant l’approche directe.
14
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Chapitre II
Identification des systèmes en boucle
fermée
Sommaire
II.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II.2 Méthodes d’identification basées sur l’erreur d’équation . . . . 16
II.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II.2.2 Méthode des Moindres Carŕes Ordinaires (MCO) . . . . . . . . . . 17
II.2.3 Méthode des Moindres Carŕes Récursifs (MCR) . . . . . . . . . . . 18
II.2.4 Méthode des Variables Instrumentales à Observations Retardées
(VIOR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II.2.5 Validation des estimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II.2.5.1 Blanchissement de l’erreur de prédiction . . . . . . . . . . 20
II.2.5.2 Simulation de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.2.5.3 Validation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.2.6 Exemple numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.2.6.1 Mise en équation et commande . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.2.6.2 Identification en boucle fermée dans le cas déterministe . 24
II.2.6.3 Identification en boucle fermée dans le cas stochastique . 27
II.3 Méthodes d’identification basées sur l’erreur de sortie . . . . . 33
II.3.1 Principe et procédure d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II.3.2 Exemple numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
II.3.2.1 Identification en boucle fermée dans le cas déterministe . 39
II.3.2.2 Identification en boucle fermée dans le cas stochastique . 41
II.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
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Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
Modèle
e
eeε
ˆ y
yu
A.A.L
d Bq A
−C c
y
Figure II.1 – Principe des méthodes d’identification en boucle fermée basées sur l’erreur d’équation.
avec A.A.L : Algorithme d’Adaptation Linéaire.
Cette classe de méthode se caract́erise par sa simplicité de mise en oeuvre et offre la
possibilité d’ajuster les paramètres du modèle ainsi que les paramètres du régulateur en
temps réel. Dans la suite du chapitre, seules les méthodes d’identification par approche
directe seront présentées.
II.2.2 Méthode des Moindres Carrés Ordinaires (MCO)
Un système linéaire monovariable qui opère dans un milieu déterministe peut être modé-
lisé par l’équation différentielle à temps discret suivante :
y(k) = −
nA∑n=1
any(k − n) +
nB∑m=0
bmu(k − d − m) (II.1)
où nA nB, d est le retard sur la commande, y est la sortie et u est la commande du système.
L’équation (II.1) peut être réécrite sous la forme d’une régression linéaire pour N points
de mesure :
Y = θT Φ (II.2)
avec
θT = [a1, . . . , anA , b0, . . . , bnB ] (II.3)
Φ = [ϕ(1), . . . , ϕ(N )]T (II.4)
Y= [y(1), . . . , y(N )]
T
(II.5)et
ϕT (k) = [−y(k − 1), . . . ,−y(k − nA), u(k − d − 1), . . . , u(k − d − nB)] (II.6)
17
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Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
La solution de ce problème au sens des moindres carrés est décrite par le système d’équations
suivant [Abdennour et al., 2001] :
θ̂(k) = θ̂(k − 1) + F (k)ϕ(k)ε(k)
F (k) = F (k − 1) −
F (k − 1)ϕ(k)ϕT (k)F (k − 1)
1 + ϕT (k)F (k − 1)ϕ(k)
ε(k) = y(k) − θ̂(k − 1)ϕ(k)
(II.13)
où F (k) désigne la matrice de gain d’adaptation, ε(k) est l’erreur de prédiction et ϕ(k) est
le vecteur de régression.
L’algorithme des moindres carrés récursifs nécessite l’initialisation de la matrice de gain
d’adaptation F (k) et le vecteur de paramètres θ̂(k) comme suit :
F (0) = 1
β I, 0 < β ≪ 1 et θ̂(0) = (0) (II.14)
où (0) et I désignent, respectivement, le vecteur nul et la matrice identité.
II.2.4 Méthode des Variables Instrumentales à Observations Re-
tardées (VIOR)
L’estimateur des variables instrumentales est une variante classique de la méthode des
moindres carrés [Ljung, 1999] reposant sur des techniques de régression linéaire.
Le principe de la méthode VIOR est d’introduire un vecteur ϕ∗ dont les composantes
sont appelées instruments ou variables instrumentales. Les instruments de ϕ∗ doivent être
suffisamment corrélés avec le vecteur de régression ϕ mais non corrélés avec le bruit additif
sur la sortie e(k) tel que :
E [ϕ(k)ϕ∗
(k)] est non singulièreE [ϕ∗(k)e(k)] = 0
(II.15)
où E [.] représente l’espérance mathématique et le vecteur de régression des variables instru-
mentales est défini par :
ϕ∗T (k) = [−y(k − x − 1) · · · − y(k − x − nA), u(k − d − 1) . . . u(k − d − nB)] (II.16)
où x 0 représente la largeur de la fenêtre d’observation.
La formulation récursive de l’estimateur VIOR est donnée par le système d’équations
19
8/19/2019 Projet de fin d'étude: Etude de l'identification en boucle fermée - application en simulation et en temps réel
32/85
Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
suivant :
θ̂(k) = θ̂(k − 1) + G(k)ε(k)
G(k) = F (k − 1)ϕ∗
(k)ϕT (k)F (k − 1)ϕ∗(k) + 1
ε(k) = y(k) − θ̂(k − 1)ϕ(k)
F (k) = F (k − 1) − G(k)ϕT (k)F (k − 1)
(II.17)
Pour que les observations retardées de la sortie soient représentatives il faut que la fréquence
d’échantillonnage soit élevée.
II.2.5 Validation des estimés
Comme dans le cas de l’identification en boucle ouverte, l’étape de validation est né-
cessaire pour vérifier si le modèle estimé est bon et choisir ainsi le meilleur modèle par les
différentes méthodes d’identification utilisées.
Trois tests de validation peuvent être exploités pour valider le modèle estimé en boucle
fermée :
– test de blanchissement de l’erreur de prédiction ;
– simulation de Monte-Carlo ; – validation temporelle.
II.2.5.1 Blanchissement de l’erreur de prédiction
Pour les méthodes d’identification basées sur le blanchissement de l’erreur de prédiction
il est nécessaire de vérifier qu’elle tend asymptotiquement vers un bruit blanc [Young, 1981].
L’erreur de prédiction est dite blanche si :
limk→∞
{ε(k)ε(k − 1)} = 0 (II.18)
où ε(k) et l’erreur de prédiction.
les fonctions d’autocorrélations R (i) et d’autocorrélations normalisées RN (i) sont défi-
nies par :
R(0) = 1
N
N ∑k=1
ε2(k), RN (0) = R(0)
R(0) = 1 (II.19)
R(i) = 1N
N ∑k=1
ε(k)ε(k − i), RN (i) = R(i)R(0) , i 1 (II.20)
où N désigne le nombre d’échantillons.
20
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Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
L’erreur de prédiction ε(k) est dite ”bruit blanc parfait” si :
RN (0) = 1, RN (i) = 0 (II.21)
En pratique, il s’agit de vérifier les valeurs suivantes :
RN (0) = 1, RN (i) 2.17
N (II.22)
II.2.5.2 Simulation de Monte-Carlo
La simulation de Monte-Carlo est une technique d’analyse du biais d’estimation qui
consiste à faire nmc réalisations de bruit blanc dont le rapport signal sur bruit (RSB) ou en
Anglais ”Signal to Noise Ratio” (SNR) est fixe et défini par :
SN R = 10 log
var(y(k))
var(e(k))
(II.23)
où var(.) désigne la variance du signal.
Il s’agit d’appliquer la méthode d’identification autant de fois que le nombre de réali-
sations (nmc fois), puis calculer les moyennes des estimés et enfin les comparer aux vrais
paramètres. S’il n’y a pas un biais d’estimation sur les moyennes, le modèle estimé est dit
valide.
II.2.5.3 Validation temporelle
Ce test de validation consiste à comparer les réponses temporelles du système réel et du
prédicteur de la boucle fermée.
II.2.6 Exemple numérique
II.2.6.1 Mise en équation et commande
Afin d’illustrer la consistance des méthodes d’identification décrites précédemment, on
considère un système instable en boucle ouverte (système de premier ordre avec une intégra-
tion) décrit par la fonction de transfert suivante :
H BO( p) = k
p(1 + τ p) (II.24)
avec k = 1 et τ = 10.
La figure (II.2) représente la réponse indicielle du système en boucle ouverte.
21
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Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
0 20 40 60 80 1000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Temps(s)
A m p l i t u d e
Réponse indicielle
Figure II.2 – Réponse indicielle du système de second ordre en boucle ouverte.
La figure (II.3) montre l’allure de la réponse indicielle en boucle fermée qui présente des
oscillations et des dépassements importants (un premier dépassement de 60% et un deuxième
dépassement de 20%), alors que les oscillations sont non conseillées en boucle fermée d’où
la nécessité de l’implémentation d’un régulateur convenable pour les éliminer et avoir une
boucle fermée stable.
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Temps(s)
A m p l i t u d e
Réponse indicielle
Figure II.3 – Réponse indicielle du système de second ordre en boucle fermée sans correction.
La discrétisation du modèle en boucle ouverte avec un pas d’échantillonnage T s = 1s
donne :
H BO(q −1) =
b1q −1 + b2q
−2
1 + a1q −1 + a2q −2 (II.25)
avec :
a1 = −1.905
a2 = 0.9048
b1 = 0.04837
b2 = 0.04679
22
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Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
On désire corriger le système avec un régulateur RST, permettant de réguler la dynamique
en boucle fermée dont le schéma de la commande numérique est représenté dans la figure
(II.4) :
cy (k) (t) y
e(t)
(k)u(k)ε
(1 )
k
p pτ+1( )T q−
1( ) R q−
1
1
( )S q−
DAC
ADC
(k) y
Figure II.4 – Commande RST du système de second ordre.
La fonction de transfert de la boucle fermée désirée à temps discret est donnée par :
H BF (q −1) =
q 1q −1 + q 2q
−2
1 + p1q −1 + p2q −2 (II.26)
avec : p1 = −1.5815 p2 = 0.6543La réponse indicielle en boucle fermée du système corrigé ainsi que le signal de commande
appliqué sont respectivement représentés par les figures (II.5) et (II.6).
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Temps (s)
S o r t i e
Figure II.5 – Réponse indicielle du système de second ordre en boucle fermée avec correction.
23
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Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
0 20 40 60 80 100−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Temps (s)
C o m m a n d e
Figure II.6 – Commande du système de second ordre en boucle fermée avec correction.
II.2.6.2 Identification en boucle fermée dans le cas déterministe
Dans le cas déterministe, le bruit blanc gaussien est nul (e(k) = 0), le modèle d’identifi-
cation est donné par :
y(k) + a1y(k − 1) + a2y(k − 2) = b1u(k − 1) + b2u(k − 2) (II.27)
Le signal d’excitation étant de type SBPA (Séquence Binaire Pseudo Aléatoire) avec un pas
d’échantillonnage T s = 1s. Dans la suite, les méthodes développées ci-dessus sont appliquées
pour identifier le modèle du procédé en boucle fermée en tentant compte la loi de commande.
1. Identification par l’estimateur des Moindres Carrés Ordinaires :
L’application de l’algorithme d’identification des Moindres Carrés Ordinaires décrit par
la relation (II.10) donne les résultats enregistrés dans le tableau (III.1) :
Tableau II.1 – Résultats de l’estimateur des Moindres Carrés Ordinaires dans le cas déter-
ministe.
MCO a1 a2 b1 b2
Les vrais paramètres -1.9048 0.9048 0.0484 0.0468
Les paramètres estimés -1.9048 0.9048 0.0484 0.0468
La convergence des paramètres estimés vers ceux réels montrent bien la qualité de
l’identification par l’estimateur de MCO. Le test de blancheur valide l’hypothèse selon
laquelle l’erreur de prédiction tends vers un bruit blanc (ε(k) ≃ 10−16), comme le
montre les figures (II.7) et (II.8).
24
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Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
0 500 1000−2
−1.5
−1
−0.5
0
k
a 1
0 500 1000−0.5
0
0.5
1
k
a 2
0 500 10000
0.02
0.04
0.06
k
b 1
0 500 10000
0.05
0.1
0.15
0.2
k
b 2
Figure II.14 – Evolution des paramètres estimés dans le cas stochastique (MCR) : système de
second ordre.
Les figures (II.15) et (II.16) représentent respectivement l’erreur de prédiction obtenue
par l’estimateur MCR ainsi que le test blancheur correspondant.
0 200 400 600 800 1000−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
k
E r r e u
r d e p r é d i c t i o n − M C R
Figure II.15 – Erreur de prédiction dans le cas déterministe (MCR) : système de second ordre.
29
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Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
−200 −150 −100 −50 0 50 100 150 200−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Test de blancheur − MCR
RN(i)
A m p l i t u d e
Figure II.16 – Validation par test de blancheur dans le cas stochastique (MCR) : système de second
ordre.
3. Identification par l’estimateur des Variables Instrumentales à Observa-
tions Retardées :
L’application de l’estimateur de VIOR décrit par le système d’équations (II.17) permet
de donner les résultats enregistrés sur le tableau (II.5) :
Tableau II.5 – Résultats de l’estimateur des Variables Instrumentales à Observations retar-
dées dans le cas stochastique.
VIOR a1 a2 b1 b2
Les vrais paramètres -1.9048 0.9048 0.0484 0.0468
Les paramètres estimés -1.9063 0.9056 0.0484 0.0467
L’évolution des paramètres estimés est tracée sur la figure suivante :
30
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Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
0 500 1000−2
−1
0
1
k
a 1
0 500 1000−0.5
0
0.5
1
k
a 2
0 500 10000
0.02
0.04
0.06
k
b 1
0 500 10000
0.05
0.1
0.15
0.2
k
b 2
Figure II.17 – Evolution des paramètres estimés dans le cas stochastique (VIOR) : système de
second ordre.
Les résultats obtenus au niveau de minimisation de l’erreur de prédiction sont vérifiés pour
l’estimateur MCO et MCR. Les tests blancheur montrent que l’erreur de prédiction tend
asymptotiquement vers un bruit blanc et les paramètres estimés s’écartent légèrement des
paramètres réels, ce dernier résultat est dû à la corrélation de la loi de commande avec le
bruit additif.
L’utilisation de l’estimateur VIOR a amélioré les résultats mais une seule réalisation ne
nous permet pas de juger sur le biais d’estimation. C’est pour cette raison un autre test de
validation est proposé : la simulation de Monte-Carlo.
Le tableau (II.8) résume les résultats d’estimation obtenus par l’estimateur MCO, MCRet VIOR pour 200 réalisations différentes de bruits ayant un rapport signal sur bruit SNR =
30dB. Le tableau contient les moyennes des estimés ainsi que les écarts types correspondants.
Tableau II.6 – Simulation de Monte-Carlo par l’estimateur MCO, MCR et VIOR.
θ0 θ̂moy(MCO) σ(MCO) θ̂moy(MCR) σ(MCR) θ̂moy(VIOR) σ(VIOR)
a1 −1.9048 −1.9045 0.0033 −1.9044 0.0033 −1.9048 0.0031
a2 0.9048 0.9047 0.0024 0.9046 0.0024 0.9048 0.0027
b1 0.0484 0.0484 0.0001 0.0484 0.0001 0.0484 0.0001
b2 0.0468 0.0468 0.0001 0.0468 0.0001 0.0468 0.0001
31
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Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
Les figures (II.18), (II.19) et (II.20) représentent les histogrammes des paramètres estimés
pour 200 réalisations de Monte-Carlo obtenus respectivement par l’estimateur MCO, MCR
et VIOR.
−1.92 −1.91 −1.9 −1.890
10
20
30
40
a1
0.89 0.9 0.91 0.920
10
20
30
40
a2
0.048 0.0485 0.0490
10
20
30
40
b1
0 .0 46 0 .0 46 5 0 .0 47 0 .0 47 50
20
40
60
b2
Figure II.18 – Histogrammes des estimés pour 200 réalisations de Monte-Carlo obtenus par l’esti-
mateur MCO : système de second ordre.
−1.92 −1.91 −1.9 −1.890
10
20
30
40
a1
0.89 0.9 0.91 0.920
10
20
30
40
a2
0.048 0.0485 0.0490
10
20
30
40
b1
0 .0 46 0 .0 46 5 0 .0 47 0 .0 47 50
20
40
60
b2
Figure II.19 – Histogrammes des estimés pour 200 réalisations de Monte-Carlo obtenus par l’esti-
mateur MCR : système de second ordre.
32
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Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
−1.92 −1.91 −1.9 −1.890
20
40
60
a1
0.89 0.9 0.91 0.920
20
40
60
a2
0.048 0.0485 0.0490
20
40
60
b1
0 .0 46 0 .0 46 5 0 .0 47 0 .0 47 50
20
40
60
b2
Figure II.20 – Histogrammes des estimés pour 200 réalisations de Monte-Carlo obtenus par l’esti-
mateur VIOR : système de second ordre.
Les simulations de Monte-Carlo révèlent une estimation précise des paramètres du modèle
et spécialement avec l’estimateur VIOR.
II.3 Méthodes d’identification basées sur l’erreur de
sortie
II.3.1 Principe et procédure d’identification
La figure (II.21) présente le principe des méthodes basées sur d’erreur de sortie dans
laquelle la partie supérieure représente le système réel et la partie inférieur représente un
prédicteur ajustable en boucle fermée qui utilise le même régulateur que le système réel.
L’erreur de sortie, définie par l’écart entre la sortie réelle du la boucle fermée et la sortie du
prédicteur, est minimiser pour l’ajustement du modèle de procède [BAYSSE., 2010].
33
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Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
esε
u
PNL
-
+
-
+ û
ˆ y ˆ
ˆ
d Bq A
−
C
y
e
+
+
-
r + d B
q A
− C
Figure II.21 – Principe des méthodes basées sur l’erreur de sortie en boucle fermée
La méthode basée sur l’erreur de sortie consiste à minimiser un critère quadratique basésur l’erreur de sortie en utilisant les techniques de Programmation Non Linéaire (Levenberg-
Marquardt). La procédure d’identification se décompose principalement de trois parties :
– Obtenir un modèle initial en utilisant une des méthodes d’identification basées sur
l’erreur d’équation décrites précédemment.
– Minimiser un critère quadratique à l’aide d’un algorithme de Programmation Non
Linéaire (P.N.L), ce qui fournit un nouveau jeu de paramètres.
– Recommencer la deuxième étape jusqu’à la convergence.
Le critère quadratique à minimiser est le suivant :
J =N ∑k=1
(y(k) − ŷ(k))2 =N ∑k=1
ε2es(k) (II.28)
Pour que le critère J soit minimal, deux conditions sont nécessaires :
– ses dérivées premières par rapport aux paramètres sont nulles ;
– ses dérivées secondes doivent être positives ;
Soit θ̂ le vecteur des paramètres à l’instant k défini comme suit.
θ̂T (k) =
â1...ân, b̂0...b̂m
(II.29)
34
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Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
L’ensemble des dérivées premières peut être regroupé sous la forme d’un vecteur appelé
Gradient J ′
θ̂ tel que :
J ′T θ̂
= ∂J ∂ ̂a1
... ∂J ∂ ̂an
, ∂J ∂ ̂b0
... ∂J ∂ ̂bm (II.30)
La matrice des dérivées secondes, appelée Hessien, s’écrit sous la forme suivante :
∂ 2J ∂ â2
1
· · · ∂ 2J ∂ â1 ân
∂ 2J
∂ â1 b̂0· · · ∂
2J
∂ â1 b̂m...
. . . ...
... ...
∂ 2J ∂ ân â1
· · · ∂ 2J ∂ â2n
∂ 2J
∂ ân b̂0· · · ∂
2J
∂ ân b̂m∂ 2J
∂ ̂b0 â1· · · ∂
2J
∂ ̂b0 ân
∂ 2J
∂ ̂b20
· · · ∂ 2J
∂ ̂bn b̂m...
...
... . . .
...
∂ 2J
∂ ̂bm â1· · · ∂
2J
∂ ̂bm ân
∂ 2J
∂ ̂bm â1· · · ∂
2J
∂ ̂b21
(II.31)
Le calcul des dérivées premières et secondes peut être effectué à l’aide de plusieurs manières
différentes. Nous choisissons d’utiliser les fonctions de sensibilité, car elles présentent certains
avantages, comme le filtrage de données.
Soit le vecteur des fonctions de sensibilité suivant :
σT (k) = [σa1(k)...σan(k), σb0(k)...σbm(k)] (II.32)
avec :
σb̂i(k) = ∂ ̂y(k)
∂ ̂bi=
∂
∂ ̂bi
B̂(q −1)
Â(q −1)û(k)
(II.33)
σâi(k) = ∂ ̂y(k)
∂ ̂ai=
∂
∂ ̂ai
B̂(q −1)
Â(q −1)û(k)
(II.34)
Le gradient peut alors être écrit :
J ′
θ̂ = −2
N ∑k=1
εes(k)σ(k) (II.35)
En utilisant la forme matricielle des fonctions de sensibilit́e , on peut écrire le Hessien
sous la forme suivante :
J ′′
θ̂ ≃ 2N ∑k=1
σ(k)σT (k) (II.36)
On trouve plusieurs algorithmes non linéaires qui nous aident à minimiser l’erreur qua-
dratique. Parmi ces algorithmes, on peut citer :
– L’algorithme du gradient : Dans ce cas, le vecteur des paramètres est calculé avecl’equation suivante :
θ̂ j+1 = θ̂ j − µJ ′
θ (II.37)
35
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Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
où j est l’itération de l’algorithme, et µ est un paramètre de réglage. Un mauvais
choix de µ peut empêcher la convergence de l’algorithme. L’avantage de cet algorithme
est qu’il permet de s’approcher rapidement de l’optimum si l’initialisation est loin decelui-ci.
– l’algorithme de Gauss-Newton : l’équation de l’évolution des paramètres intègre
les dérivées premières et secondes du critère J :
θ̂ j+1 = θ̂ j −
J ′′
θ̂
−1
J ′
θ̂
θ̂=θ̂j
(II.38)
Les deux algorithmes précédents présentent l’inconvénient de ne pas converger lorsque le
point initial est loin du minimum recherché. L’algorithme Levenberg-Marquardt permet de
dépasser cet inconvénient en proposant un compromis entre l’algorithme de gradient (robuste
mais lent à l’approche du minimum) et celle de Newton (peu robuste loin du minimum mais
très efficace près).
Dans le contexte de notre travail nous utilisons l’algorithme de Levenberg-Marquardt
dont l’équation itérative est la suivante :
θ̂ j+1 = θ̂ j −
∂ 2J
∂ ̂θ2+ µI
−1
∂J
∂
θ
θ̂=θ̂j
(II.39)
Portant que l’algorithme de Levenberg-Marquardt est théoriquement très performant dans
le cadre d’une mauvaise initialisation, mais il reste une méthode d’optimisation permet-
tant la convergence locale et non globale. Donc, pour une correcte estimation, une bonne
initialisation des paramètres reste malgré tout nécessaire. La figure (II.22) présente l’organi-
gramme des méthodes d’identification basées sur l’erreur de sortie : algorithme de Levenberg-
Marquardt.
36
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Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
Non Oui
NonOui
1 j J +
ˆ ( ) y k
1ˆ
jθ +
', " J J
( )k σ
0 0ˆ , , J θ µ
Augmentation deµ
1 j j J J + <
Calcule de la quantité à minimiser
Simulation du modèle
Calcule des paramètres
Calcule gradient et hessien
Calcule la fonction de sensibilité
Simulation du modèle
Initialisation des paramètres
Sauvegarde de nouveaux paramètres
Convergence
atteinte ?Fin
Diminution deµ
Figure II.22 – Organigramme des méthodes d’identification basées sur l’erreur de sortie
Nous décrivons brièvement l’aspect de cet algorithme : une modification du coefficient µ
assurant le réglage de l’algorithme de Levenberg-Marquardt est déterminée par l’évolution
du critère quadratique J :
Lorsque J augmente, la solution est trop éloignée de l’optimum. On augmente alors µ afin
de se rapprocher de l’optimum :µ = v2µ
Lorsque J diminue, on se rapproche de l’optimum. On diminue µ pour se rapprocher de la
méthode du type Gauss-Newton :µ = µ
v1
Ainsi que les coefficients v1 et v2 sont deux entiers avec des valeurs comprises entre 2 et
10 [Mar63]. Leurs valeurs influencent sur la rapidité de convergence de l’algorithme. La
37
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Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
condition de convergence peut être de plusieurs formes : on peut surveiller l’évolution relative
du vecteur de paramètres θ̂, du gradient J ′
θ̂ ou du critère quadratique J . Si on choisit le critère
d’évolution relative des paramètres θ̂. La condition de convergence s’écrit comme suit : θ̂ j+1 − θ̂ j
2θ̂ j2
< tol (II.40)
Avec ∥∥2
la norme 2 et tol exprimant la tolérance sur la condition de convergence. Cette
valeur dépend de la précision recherchée.
II.3.2 Exemple numériqueAfin d’illustrer la consistance des méthodes d’identification basées sur l’erreur de sortie
dont le programme non linéaire utilisé est celui de Levenberg-Marquardt. On considère un
système de premier ordre en boucle ouverte décrit par la fonction de transfert suivante :
H BO = k
1 + τ p (II.41)
avec k = 0.3 et τ = 1. La discŕetisation du modèle en boucle ouverte avec un pas
d’échantillonnage T s = 0.1s donne :
H BO(q −1) =
b1q −1
1 + a1q −1 (II.42)
avec : a1 = −0.905b1 = 0.028On désire corriger le système avec un régulateur RST, permettant de réguler la dynamique
en boucle fermée dont le schéma de la commande numérique est représenté dans la figure
(II.23) :
38
8/19/2019 Projet de fin d'étude: Etude de l'identification en boucle fermée - application en simulation et en temps réel
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Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée
cy (k) (t) y
e(t)
(k)u(k)ε
(1 )
k
pτ+1( )T q−
1( ) R q−
1
1
( )S q− DAC
ADC
(k) y
Figure II.23 – Commande RST du système de second ordre.
La fonction de transfert de la boucle fermée désirée à temps discret est donnée par :
H BF (q −1) =
q 1q −1 + q 2q
−2
1 + p1q −1 + p2q −2