Propagation Des Ondes Sismiques

8/18/2019 Propagation Des Ondes Sismiques

1/19

1

PROPAGATION DES ONDES SISMIQUESBy : Djeddi Mabrouk

04/2016

Introduction Ondes elastiques Tenseurs de contraintes et de déformations Loi de Hooke Loi de comportement élastique Paramètres élastiques Equation d’ondes Paramètres décrivant un train d’ondes

Bibliographie

Ce cours présente un bref aperçu sur la théorie des ondes élastiques (sismiques)

dans les matériaux. Celles - ci sont utilisées en méthodes d’exploration sismique,

sismologie, génie civil, contrôle non destructif par ultrasons et bien dans d’autres

domaines. Il est en constante perfectionnement en partie grâce aux retours que vous

pouvez apporter par vos remarques et commentaires. Ceux-ci sont les bienvenus parcourrier électronique à mon adresse : [email protected]


2/19

2

PROPAGATION DES ONDES SISMIQUES

INTRODUCTION

Tout milieu sur lequel on applique une perturbation (faible contrainte) réagit (sedéforme) pour revenir à son état initial (de repos) lorsque cette perturbation cesse.Cette perturbation du milieu donne naissance à des ondes élastiques quitransportent de l’énergie mécanique sans transfert de matière. Ainsi, le terme onde sismique indique la propagation des perturbations

(déplacement ⃗ d’une particule) d’un milieu par rapport à sa position d’équilibre.ONDES ELASTIQUES

En méthodes sismiques d’exploration, le sismicien génère à l’aide de sources

sismiques impulsives (dynamite, dinoseis, chute de poids etc…) ou non – impulsives(vibroseis) des perturbations mécaniques à la surface du sol ou à son voisinage.Ces perturbations se caractérisent généralement par des amplitudes très faiblespour ne provoquer que des déformations élastiques .Dans de telles conditions, lechamp de déformation d’une onde sismique peut être décrit par la loi de Hooke

généralisée dont le fondement théorique suppose que le sous-sol est un milieudéformable et élastique.

La détection de la réponse du sous-sol à ces perturbations qui se propagent par

ondes sismiques (mécaniques) s’opère par des géophones ou des hydrophones(prospection en mer).L’enregistrement de ces ondes sismiques réfléchies ouréfractées (selon la méthode ), puis le traitement et l’interprétation structurale oustratigraphique permet d’obtenir des images des couches du sous-sol fondées surles contrastes des propriétés élastiques.

TENSEURS DE CONTRAINTES ET DE DEFORMATIONS

La théorie de l’élasticité et le principe fondamental de la dynamique, dévoilent

que les ondes sismiques se propagent selon un train d’ondes dans le sous -sol defaçons distinctes et fournissent de ce fait différents types d’ondes sismiques se

propageant de manière indépendantes.

Dans un enregistrement sismique appelé également section sismique ou coupe -temps, nous pouvons repérer la présence de différents types d’ondes sismiques.

1- Des ondes de volume qui sont composées des :

- Ondes de compression ou longitudinales (onde

)

- Ondes de cisaillement ou transversales (onde

)


3/19

3

2- Des ondes de surface et ondes guidées qui sont composées des :- Ondes de Rayleigh (ou )- Ondes de Love (ou )- Ondes Stoneley

Les ondes sismiques (dans un milieu isotrope, homogène et élastique), comme lesondes électromagnétiques, sont polarisées. Chaque type d’onde sismique possède

une polarisation propre.Les matériaux homogènes, isotropes et élastiques soumis à de faibles contraintessubissent des déformations. Ils se comportent alors comme des matériauxélastiques et ils se caractérisent par une relation linéaire entre le tenseur decontraintes et le tenseur de déformations.

TENSEUR DES CONTRAINTES

Une force ⃗ agissant sur une surface forme une contrainte(vecteur) ⃗ = ⃗ ( S.I :Pascal) Pour un petit cube élémentaire fig.1, Le tenseur de contraintes éprouvées par sesfaces ∆, ∆ ∆ est exprimé par la matrice (tenseur) suivante :

Fig 1

, = = , , = , ,

La matrice , est symétrique par rapport à la diagonale et les égalités entre lescomposantes tangentielles (dites de glissement ou de cisaillement ) = , = , =

Constituent le principe de réciprocité des contraintes

tangentielles.


4/19

4

Ainsi, la contrainte en un point du matériau est définie par six composantes : troiscontraintes normales et trois contraintes tangentielles, qui forment un tenseur. Ces informations suffisent à caracteriser l’état des contraintes en un point du materiau.

=

,

=

,

=

, , designent les composantes normales des contraines

respectivement dans les directions , et .Une contrainte > 0 correspond à une sollicitation de tension tandis que


5/19

5

Tenseur des déformations

Tous les matériaux soumis sous l’effet des contraintes se déforment même si cela

n’est pas toujours perceptible à l’œil nu.

Le tenseur des déformations indique les déformations éprouvées par le cubeélémentaire sous l’action des contraintes.

Un point (fig.2) de coordonnées ,, situé sur un cube élémentaire soumis àdes contraintes subit un déplacement ⃗ de composantes , , . Le cube subitalors sous l’action des contraintes un changement relatif de forme qui peut être

décrit par le tenseur (matrice) des déformations.

, =

Les déformations , s’expriment à partir des déplacements par l’expression :, = Les termes de compression s’expriment par les relations :

= , = , = Avec : ⃗ = = Les termes de cisaillement ont pour expressions :

= = ( )

= = ( ) = = ( ) Comme le tenseur des contraintes, celui des déformations locales est symétrique

, = , et

, = ,


6/19

6

LOI DE HOOKE

Loi de comportement élastique

La déformation subie par un corps homogène, isotrope et parfaitement élastique

est proportionnelle à la force ou à la contrainte appliquée. Cette relation entrecontraintes et déformations a été énoncée en 1678 et porte le nom de la loi deHooke (Astronome et Mathématicien Britannique). Cette loi de comportementélastique réversible est valable tant que les sollicitations subies par les matériauxrestent assez faibles.La loi de Hooke s’écrit alors :, = . . , . . , ,

: Symbole de Kronecker .

, = , si = et , = si ≠ et sont les constantes de Lamé. = = .⃗ : Dilatation volumique Les développements de l’équation de Hooke fournit relations linéaires entre lescontraintes et les déplacements qui sont :

= = .⃗ . = = .⃗ . = = .⃗ . = = .

= = .

= = . PARAMETRES ELASTIQUES

Les paramètres élastiques intervenant dans l’étude des milieux élastiques linéaires,homogènes et isotropes sont nombreux (tableau 1) .Ce sont des coefficientsintrinsèques à chaque type de matériau qui permettent de faire le lien entre lacontrainte au taux de déformation d’un milieu soumis respectivement à une

compression ou à un cisaillement. Les principaux paramètres les plus utilisés sont :


7/19

7

Premier paramètre de Lamé

Il a pour expression

= . Deuxième paramètre de LaméIl est appelé encore module de cisaillement ou de rigidité. Il mesure le rapportentre la contrainte tangentielle au cisaillement correspondant et a pourexpression :

= =

=

+ en

Ces deux paramètres de Lamé et définissent complètement le comportementdu matériau élastique linéaire et isotrope.Module d’Young

Le module d’Young mesure le rapport de la contrainte normale à lacompression /extension correspondante.On peut l’écrire en fonction des paramètres de Lamé comme suit fig. 3 :

= ∆ = µ + =µ + = + + = + + =

Fig 3 module de Young


8/19

8

Module cisaillement d’un solide

Il a pour exression :

= µ

= µ ∅ (La loi de Hooke pour une déformation de cisaillement)

Le module de cisaillement définit le rapport entre la contrainte tangentielle à ladéformation de cisaillement correspondante fig4.

µ =

Fig 4 module de cisaillement

Tableau 1 : relations entre les differents paramètres elastiques


9/19

9

Relation entre module d’Young,de rigidité et comprissibilité

Module d’incompressibilité (bulk modulus)

Il mesure la variation d’un volume soumis à une pression.

= ∆ = ∆+ + .

Le module d’incompressibilité est lié aux paramètres de Lamé, au module d’Young

et au coefficient de Poisson par les expressions :

= µ = − Pour le cas de contrainte- déformation quelconque on a :.⃗ = + +

Fig. 5 .Module de compressibilité


10/19

10

Un parallélépipède soumis à une pression uniforme sur toutes ses faces subit unecontraction. Le coefficient d’incompressibilité se caractérise donc par lechangement relatif de volume du parallélogramme soumis à une pression ∆. Fig.5

= ∆∆/ = /∆/ = / : Dilatation cubiqueCoefficient de Poisson Le coefficient de Poisson exprime le rapport de la compression dans unedirection à l’extension dans la direction perpendiculaire

Il renseigne sur la conservation de volume et l’incompressibilité. Le coefficient dePoisson peut être exprimé en fonction des paramètres de Lamé comme suit :

= + = . = .En compression uniaxiale l’expression reliant le coefficient de Poisson à la variationde volume est :⃗ = . Le coefficient de Poisson ne peut dépasser , . Il est utilisé pour différencier lesformations déconsolidées >. des formations consolidées et peut dévoilerl’existence des hydrocarbures, particulièrement dans le cas des formationsgéologiques gréseuses remplies en gaz.

EQUATION d’ONDES

L’équation d’ondes de base dans les méthodes sismiques et en sismologie estl’équation d’ondes dans un milieu élastique .Elle est compliquée pour être résolue

analytiquement.En supposant le matériau homogène et en négligeant les gradients desparamètres de Lamé, elle se simplifie sous la forme vectorielle.

⃗ ⃗ µ.∆⃗ µ ⃗ ⃗ = . ⃗ En introduisant la relation

∆⃗ = ⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗ , on obtient :

µ⃗ ⃗ µ. ∆⃗ = µ⃗ ⃗ µ ⃗ ⃗ ⃗ = ⃗


11/19

11

La déduction de l’équation d’onde peut être obtenue en appliquant le principe

fondamental de la dynamique. En effet, l’application du principe de la dynamique

au cube élémentaire de la figure 2 et en écrivant que la somme des composantesqui s’exercent dans une direction donnée, en agissant sur les six faces du cube de

volume unité, est égale au produit de la masse volumique par l’accélération. L’application du principe fondamental de la dynamique dans la direction donne l’équation d’ondes dans cette direction : = ⃗ La substitution des déformations à la place des contraintes et en appliquant la loide Hooke à cette équation, on obtient :

.

µ.

=

⃗

Cette équation (pour un milieu isotrope et non forcé) peut s’écrire comme suit. µ µ . ∆⃗ = ⃗ = ∆⃗ . Le laplacien de ⃗ En suivant le même raisonnement, on déduit les expressions identiques pour lesautres directions et On remarque que l’équation d’ondes

µ⃗

⃗ µ. ∆⃗ = µ⃗

⃗ µ ⃗ ⃗ ⃗ =

⃗ Contient des termes vectoriels .On envisage alors deux types de solutions :⃗ : Déplacement du point de coordonnées ,, au passage de l’onde. : représente la direction du profil ∶ Direction transverse : Direction verticale : Masse volumique ou la densité du milieu dans lequel s’effectue la propagation.

On peut décomposer le vecteur déplacement ⃗ en un potentiel scalaire (composante de dilatation) et un potentiel vectoriel ⃗ composant de distorsion) suivant la décomposition de Helmholtz. Celle – ci nous fait apparaitre séparémentles équations d’ondes longitudinales transversales.

⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ : Le potentiel vecteur de distorsion de composantes , , Les potentiels et ⃗ sont appelées fonctions de Lamb.


12/19

12

On a alors :

= =

– = L’équation d’onde contient des termes vectoriels, ce qui nous conduit à

considérer deux types de solutions :

Première solution

Lorsque

⃗ ⃗

= , on a

⃗ = ⃗ , l’équation devient

. ⃗ µ ⃗ ⃗ = : Elle représente une équation des ondesvectorielles de vitesse de propagation Elle devient : = 2 = + . C’est une équation des ondes qui se propagent avec une vitesse appeléel’équation de propagation des ondes longitudinales (primaire )..Les ondes

ont les caracteristiques suivantes :

- Elles ont une polarisation rectiligne(ou linéaire) c’est-à-dire polarisées suivantla direction de propagation , elles sont non dispersives .

- Lors de leur propagation dans un milieu , les particules de celui-ci suiventalternativement des compressions et des dilatations (compression etétirement du milieu).Donc le mouvement des particules du milieu atteint parl’onde est parallèle à la direction de propagation.

- Elles arrivent les premières aux capteurs puisque ce sont les plus rapides.

- Elles se propagent avec une vitesse definie par :

= + = .−.+.− = + - Dans le cas d’un liquide parfait = , il s’en suit que : = - Elles se propagent aussi bien dans les solides que dans les fluides- Dans l’air elles constituent les ondes sonores(onde aérienne)


13/19

13

- Elles sont enregistrées bien sur la composante verticale du géophone(sismomètre)

- Elles sont responsables du grondement sourd que l'on peut entendre audébut d'un séisme.

-

Conventionnement, les ondes longitudinales représentent les ondes les plusutilisées en sismique d’exploration (prospection sismique réflexion et

réfraction)

Deuxième Solution

Lorsqu’on considère un mouvement rotationnel pur défini par un potentiel vecteurde composantes

appelé potentiel de distorsion tel que :

⃗ = , on a ⃗ =⃗ ⃗ l’équation devient : ⃗ µ.⃗ ⃗ ⃗ = . : Elle représente une équation des ondes vectoriellesde vitesse de propagation , ce qui donne :

= = . C’est une équation des ondes vectorielles qui se propagent avec une vitesse

appelée l’équation de propagation des ondes transversales avec : = = ..+ Les ondes transversales ou secondaires () sont appelées aussi ondes decisaillement ou de distorsion.

Les ondes

ont les caracteristiques suivantes :

-

Lors du passage d’une onde dans un milieu matériel, les particules decelui-ci subissent un mouvement perpendiculaire à la direction depropagation.- Elles sont polarisées dans le plan tangent au front d’onde de l’onde c’est

à dire une polarisation dans le plan perpendiculaire à la direction depropagation

- Elles ne sont pas dispersives.

-

elles ne se propagent pas les milieux liquides


14/19

14

- leur vitesse peut être approchée par l’émission et l’enregistrement d’onde leur vitesse a pour expression = , avec > Lorsque = (coefficient de rigidité) =

-

l’excitation des ondes exigent l’utilisation des sources sismiques specifiquespeu commode à manupiler sur le terrain.- L’enregistrement des ondes s’effectue à l’aide de geophones horizontaux

qui sont difficiles à implanter de manière horizontale.

- Les ondes sont plus difficles à identifier sur les sections sismiques(enregistrements)

Convertion des ondes P et S

L’étude des contraintes et des déplacements de part et d’autres d’une interface

(marqueur) séparant deux milieux tant en réfraction comme en reflexion montreles phénomènes suivants :

Les ondes se décomposent en deux types d’ondes :- Une onde sismique

avec une composante horizontale

(perpendiculaire

au plan d’incidence) de vitesse . L’onde pour laquelle le mouvementdes particules du milieu traversé est perpendiculaire au plan du profil c’est-à-dire ilest compris le plan transverse .- Une onde avec une composante verticale (dans le plan d’incidence)

de vitesse pour laquelle le mouvement des particules est contenudans le plan vertical passant par le profil.

- Une onde sismique incidente

peut generer des ondes

et

reflechies

et des ondes et Refractées.- une onde sismique du type incidente peut generer des ondes

reflechies et refractées.- une onde sismique du type incidente peut generer des ondes et

reflechies et et refractées.Dans un milieu isotrope, les relations suivantes sont verifiées :

> et =


15/19

15

Les travaux approfondis relatives aux vitesses de propagation des ondes sismiquesdans les roches sédimentaires ont montré un certain nombre de facteurs quiagissent sur la variation du paramètre vitesse. Il s’agit de la lithologie, la porosité,

l’âge géologique, la pression, la profondeur, la température, la densité etc…

- Le rapport des vitesses des ondes

et

est intimement relié au coefficient

de Poisson par la relation fig :

= ,−− - Les ondes et sont considérées comme des signaux utiles ou par leur

comportement (réflexion, réfraction etc.), on peut tirer des informations utilessur la profondeur des indicatrices, leurs vitesses et des autres informationsphysiques.

- En présence d’une surface libre, les ondes et peuvent interférer pourengendrer des ondes de surface (onde de Love et de Rayleigh)

- Fig.6

La figure 6 montre la variation de la vitesse des ondes longitudinales et transversales jusqu’au noyau de la terre.


16/19

16

Fig. 7 distribution des vitesses des ondes P et S à l’intérieur de la terre


17/19

17

PARAMETRES DECRIVANT UN TRAIN D’ONDES

La propagation des ondes élastiques dans un milieu isotrope, homogène et continuest fondée sur la relation contrainte-déformation (loi de Hooke) et la force –

accélération (deuxième loi de Newton) et, que tout signal sismique est qualifiéd’un train d’ondes élastiques résultant d’une perturbation se propageant sous

forme de vibration.Dans le domaine temporel tout train d’ondes se décrit par les paramètressuivants :

Temps du trajet

Il indique le temps mis par une onde sismique pour traverser une certaine distance(ou épaisseur d’une formation géologique). La connaissance du temps de parcourt

(émetteur- récepteur) de l’onde sismique permet alors d’accéder à la mesurede sa vitesse de propagation.

Amplitude et énergie

L’amplitude est liée à l’énergie transportée par l’onde sismique selon la relation. = √ , soit = ∫ L’amplitude est mesurée de pic à pic. Une onde sismique d’amplitude

possède

une énergie cinétique = . : étant la vitesse de déplacement d’un point matériel et non la vitesse depropagation.Energie d’une onde plane sinusoïdale

Pour une onde sphérique harmonique pour laquelle le déplacement est radial,et pour une valeur déterminée

du rayon, il s’exprime par la relation :

=

Où est l’angle de phase = , : étant la fréquence (Hz) : L’amplitude du déplacement comprise entre – et .Puisque le déplacementvarie avec le temps, chaque particule du milieu est animée d’une vitesse = , àlaquelle correspond une énergie cinétique

= ..

: étant le volume de chaque élément du milieu dans lequel se propage l’onde

sismique.


18/19

18

Le calcul de l’énergie cinétique par unité de volume est exprimé par l’équation :

= . . = . Cette expression varie de la valeur 0 à la valeur maximale . Une onde sismique possède également une énergie potentielle découlant descontraintes élastiques produites pendant son passage à travers un milieu matériel.Etant donné que le passage d’une onde sismique entraine la vibration des

particules du milieu matériel, la variation de l’énergie s’opère, alors conjointement,

de la forme cinétique à la forme potentielle et inversement, l’énergie totale restantconstante.Quand l’élongation d’une particule du milieu est nulle, l’énergie potentielle est nulle

et l’énergie cinétique est maximale, et inversement.

La densité d’énergie pour une onde harmonique est : = = Cette relation montre que la densité d’énergie est directement proportionnelle à la

densité du milieu et aux carrés de la fréquence et de l’amplitude de l’onde.

Période

La période notée correspond à la durée d’une oscillation.Fréquence La fréquence correspond au nombre d’oscillations par seconde .Elle s’exprimeen Hertz (Hz) .Elle est liée à la période par la relation : = Longueur d’onde

Elle est notée par

et exprime la distance parcourue pendant une oscillation. Elle a pour

expression : = . = (mètre)


19/19

19

BIBLIOGRAPHIE

[] Djeddi Mabrouk.2013 .Ondes sismiques enregistrées en PSV.

http://djeddimabrouk.fr.gd[ ] Djeddi Mabrouk 3.2016 Méthodes Sismiques. Comportement Élastique DesRochesMar 02, 2016. http://djeddimabrouk.fr.gd

[] Djeddi Mabrouk.Avril .2014.Vitesse et Propriétés Petrophysiques (propriétésmécaniques des roches). http://djeddimabrouk.fr.gd

[] Djeddi Mabrouk.Mai 2014.Paramètres élastiques des roches.

http://djeddimabrouk.fr.gd[] Djeddi Mabrouk and Shout Hocine 02 – 1995. Bases physiques des méthodessismiques. Office des publications universitaires (Alger)

[] D.Royer and E.Dieulesaint. 1989. Mesures optiques des déplacementsd’amplitudes de 10−4 à 10 angströms. Application aux ondes élastiques .RevuePhys.Appl, 24 : 833-846

[] D.Royer and E.Dieulesaint. 1996 .Ondes élastiques dans les solides, tome 1 :

propagation libre et guide Masson, ParisF.F.Graff .1991.Wave motion in elastic solids.Courier Dover Publication

[] J.W.S Rayleigh, Lord 1885.On waves propagated along the plane surface of anelastic solid .Proc.London Math.soc., 17(1): 4-11[] I.A.Viktorov. Rayleigh ad Lamb waves .1967: Physical theory and applications.Plenum Press, New York.

[] K.Aki.P.Richards.2002.QuantitativeSeismology – 2ndedition.University Science

Books. California.[] K. Baddari and Djeddi .Mk 07- 2009. Physique de la terre .Office despublications universitaires (Alger)

[] M.Lavergne.1986 .Méthodes sismiques .Editions Technip. _____________________________ Avril 2016 __________________________________
https://www.scribd.com/user/269983841/Djeddi-Mabroukhttps://www.scribd.com/user/269983841/Djeddi-Mabroukhttp://www.scribd.com/doc/191909812/ondes-Sismiques-Enregistrees-Par-en-Psv#fullscreen=1https://www.scribd.com/user/269983841/Djeddi-Mabroukhttps://www.scribd.com/user/269983841/Djeddi-Mabroukhttps://www.scribd.com/user/269983841/Djeddi-Mabroukhttps://www.scribd.com/user/269983841/Djeddi-Mabroukhttp://www.scribd.com/doc/220463392/Relation-Vitesse-Et-Proprietes-Petro-Physiques#fullscreen=1http://www.scribd.com/doc/220463392/Relation-Vitesse-Et-Proprietes-Petro-Physiques#fullscreen=1https://www.scribd.com/user/269983841/Djeddi-Mabroukhttps://www.scribd.com/user/269983841/Djeddi-Mabroukhttp://www.scribd.com/doc/224706211/Parametres-elastiques-des-roches#fullscreen=1http://www.scribd.com/doc/224706211/Parametres-elastiques-des-roches#fullscreen=1https://www.scribd.com/user/269983841/Djeddi-Mabroukhttp://www.scribd.com/doc/220463392/Relation-Vitesse-Et-Proprietes-Petro-Physiques#fullscreen=1http://www.scribd.com/doc/220463392/Relation-Vitesse-Et-Proprietes-Petro-Physiques#fullscreen=1https://www.scribd.com/user/269983841/Djeddi-Mabroukhttp://www.scribd.com/doc/187629232/Divergence-Spherique-Et-Absorption#fullscreen=1https://www.scribd.com/user/269983841/Djeddi-Mabroukhttp://www.scribd.com/doc/191909812/ondes-Sismiques-Enregistrees-Par-en-Psv#fullscreen=1https://www.scribd.com/user/269983841/Djeddi-Mabrouk

Documents

Propagation Des Ondes Sismiques