P R O P A G A T I O N D ' O N D E S I~LECTROMAGNI~TIQUES

LE LONG D ' U N E COLONNE D E P L A S M A *

p a r

Michel C A M U S ,

Ing~nicur des t~l~coInnmnications **

SOMMAIRE. - - Duns une premiere partie, on rappelle les propri~16s /ondamenlales des ondes dleclromagn~tiques qui se propagent dans un guide & plasma homog~ne satis/aisant /'approximation d'Applelon-Harlree sans collisions, en prdsence d'une induction magn6tique uni/orme longiludinale. On monlre que certaines de ces proprHHs avaient ~td pr6vues par l'6tude de la r6flexion el de la rd/raclion d'ondes planes sur des sur/aces limilanl le plasma el, l'on donne des expressions approch&s de l'dqualion de dispersion des ondes lenles plus pr~cises que celles oblenues duns l'approximalion quasi statique. Une sdrie d'exp~riences, d&rites ensuile, conduit d meltre en doule l'hgpolhbse de l'homog6nditd des plasmas ulilisds en laboratoire potw v6rifier les propridlds annonc&s. En /aisant des mesures flues de densitd, on conslale bien que les plasmas utilisds pr& senlent e[[eclivemenl une variation radiale de densils Darts une deuxi~me partie, on inlroduit celle inhomo- gdndild darts le module lhdorique de guide & plasma. On obtienl alors des rdsullats qui di/#rent sensiblement de ceux prdvus par la thdorie /aile pour un plasma homogbne el, qui expliqaenl bien les constatalions

exp~rimentales.

P L A N . - Introduction. �9 I : Propagation le long d'une colonne de plasma homog~ne p!ong~e clans une induction magn~tique uniforme longitudinale 1.1. Etude lh~orique de la propagalion duns un guide & plasma homog~ne ; 1.2. Elude exp6rimentale de la propagation des ondes lenles. �9 I I : L'influence des inhomog~nditds transversules sur la propagation d'ondes lentes clans les guides d plasma II .1 . Position du problbme. Equation de propagation des ondes ; II .2. Cas d'une induction infiniment grande ; II .3. Induction magn~tique nulle; II .4. Conclusions; re/our sur l'inlerprdlalion des r(;s'dllats expdrimenlaax.

�9 Conclusion. �9 6 annexes. �9 Bibliographie (46 r6f.).

LISTE DES PRINGIPAUX SYMBOLES UTILIS~.S

c = v i t e s s e de la l umi~re d a n s le v ide ,

a = r a y o n de la c o l o n n e de p l a s m a ,

b = r a y o n du guide,

p = bla , K = p e r m i t t i v i t ~ r e l a t i v e du d i ~ l ec t r i que en

c o n t a c t avec le p l a s m a ,

r = absc i sse d ' u n p o i n t le l ong d ' u n r a y o n ,

x = rla absc isse r 6du i t e d ' u n p o i n t le l ong d ' u n r a y o n ,

/ c o / 2 r : = f r 6 q u e n e e d ' u n e onde ,

k = cole = c o n s t a n t e de p r o p a g a t i o n d ' u n e o n d e p l a n e d a n s le v ide ,

/p, o = (op, o 12 = =: f r ~ q u e n c e de p l a s m a au c e n t r e de la co lonne ,

L, = ~o~/2:v = f r~quence de p l a s m a en u n p o i n t q u e l c o n q u e ,

[ = f o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n de dens i t~ r a d i a l e : 2 ~ f 2 COp f 0 p , 0 '

( p o u r u n p l a s m a h o m o g ~ n e : / = 1),

m ~ C l a O ) P . 0

lc = O~c]2r: = frO(luencc c y c h ) t r o n ,

M r , [~ = c o n s t a n t e de p r o p a g a t i o n le l ong de l ' a x e Oz

du guide ,

T1)

>

Z1,2

X

Y

= c o n s t a n t e de p r o p a g a t i o n t r a n s v e r s a l e des ondes p l a n e s qu i se p r o p a g e n t d a n s le d i~ l ec t r i que en c o n t a c t a v e c le p l a s m a a v e c

c o m m e c o n s t a n t e de p r o p a g a t i o n longi- t u d i n a l e ,

c o n s t a n t e s de p r o p a g a t i o n t r a n s v e r s a l e s des o n d e s p l a n e s qu i se p r o p a g e n t d a n s le

= p l a s m a a v e c ~ c o m m e e o n s t a n t e de p r o p a - g a t i o n l o n g i t u d i n a l e ,

c2 = T2,2 r '

~ 2 r

( ~ ' p, 0

~0 2

2 OJp, 0

i . INTRODUCTION

On s ' e s t c o n t e n t ~ p e n d a n t l o n g t e m p s d ' S t u d i e r la

p r o p a g a t i o n d ' o n d e s ~ l e c t r o m a g n ~ t i q u e s dar ts des

p l a s m a s i n f i n i m e n t la rges . I1 a fa l lu a t t e n d r e le d~ve-

l o p p e m e n t des t e c h n i q u e s h y p e r f r 6 q u e n c e s p o u r que

l ' o n s ' i n t~ r e s se h la p r o p a g a t i o n d a n s les p l a s m a s de

d i m e n s i o n s finies, e t cela p o u r d e u x ra i sons . D ' a b o r d

p a r c e que les h y p e r f r S q u e n c e s p e u v e n t ~t re u t i l i s~es

p o u r d ~ t e r m i n e r les c a r a c t ~ r i s t i q u e s des p l a s m a s

c r ~ s a r t i f i c i e l l e m e n t en l a b o r a t o i r e [6, ch. l l ] ;

* Article principal d 'une th~se de doctorat d ' E t a t ~s Sciences physiques soutenue devant la Facult6 des Sciences de Paris, 28 mai 1969, n o CNRS AO 32.19.

** Au CNET, charg6 du D6partement PtECHERCItE SUR LES COMPOSANTS E L E C T R O N I Q U E S , CNET/Lanuion.

- - 3 0 9 - -

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ensui te parce qu ' en modi f ian t les propri~t6s des circuits pour hyperfr6quences pa r r i n t r o d u c t i o n d 'un p lasma, on peu t r6aliser des 616ments de circuits passifs, en par t i cu l ie r des 616merits non r6ciproques. I1 est un au t re domaine off ce suje t a un grand int6r6t : c 'es t celui des ins tabi l i t6s qui peuven t 6tre engendr6es dans un p la sma pa r la p ropaga t i on d 'ondes lentes, don t la vi tesse de phase est tr~s inf6rieure h la vi tesse de la lumi~re dans le vide.

D~s leur d6couverte , ces ondes lentes out a t t i r6 r a t t e n t i o u des 61ectroniciens : elles peuven t s ' ampl i f ie r en abso rban t pa r t i e l l emen t l '6nergie d 'un faisceau d'61ectrons a y a n t une vi tesse voisine de leur vi tesse de phase. I1 devra i t doric etre possible de r6aliser de nouveaux ampl i f ica teurs pour hyperf r6quences en remplaqan t pa r un p l a sma gazeux la s t ruc ture ondes lentes m6canique des tubes ~ onde progressive. De tels disposit i fs au ra ien t l ' avan t age su ivan t : leurs per formances ne sera ient pas l imit6es ~ trSs hau te fr6quence comme elles le sont dans les tubes classiques, pa r la d iminu t ion excessive de leurs d imensions t ransversa les . Ils p e r m e t t r a i e n t doric d ' ob ten i r de l ' ampl i f ica t ion clans le domaine des ondes mil l im6tr i - ques, voire submil l im6tr iques , avec d 'assez grandes puissances de sortie.

A pa r t i r de 1958, plusieurs 6quipes de recherche, at t i r6es pa r ce t te perspec t ive nouvelle, o r ien ta ien t leurs act ivi t6s vers l '6 tude des ampl i f ica teurs h p l a sma [7, 9]. Leurs t r a v a u x th6oriques et exp6ri- m e n t a u x mon t r a i en t assez r ap idemen t qu ' i l est effec- t i vemen t possible d ' ob t en i r une ampl i f ica t ion impor- t an te dans un p la sma pa r in te rac t ion ondes lentes- faisceau d'61ectrons [10]. Des r6sul ta ts spectaculai res et tr6s encourageants 6 ta lent meme obtenus [11, 18]. E t pou r t an t , la r6al isat ion d ' ampl i f ica teurs op6ra- t ionnels a y a n t t a rd6 h venir , de nombreux chercheurs abandonn6ren t p rogress ivement l '6 tude de l ' in te r - act ion dams les p lasmas gazeux pour se dir iger vers la voie peu t -e t re plus p romet t euse (pour le moment ) des effets de p l a sma dams les solides, de d6eouver te plus r6cente [19].

Le pr incipe de l ' ampl i f i ca teur ~ p l a sma gazeux reste n6anmoins va lab le : s ' il n ' a pas about i , c 'es t parce que les ph6nom~nes qu ' i l me t cn oeuvre sont encore real connus. On peu t se demander en par t i - culier si l '6chec essuy6 n 'es t pas dfl en pa r t i e fi une connaissance insuffisante des propri6t6s des ondes lentes suscept ibles de se p ropager dans les p lasmas finis. En effet, bien que le probl~me de la p ropaga t i on clans de tels p lasmas a i t d6jh fai t l ' ob j e t de nombreuses publ ica t ions , on n ' en a donn6 le plus souvent que des solut ions approx imat ives . I1 est vra i que sa r6so- lu t ion est doub lemen t compliqu6e, d ' a b o r d pa r la na tu re m~me du p l a sma et pa r les difficult6s inh6rentes

sa repr6senta t ion ma th6ma t ique , ensui te h cause de l ' i n t roduc t ion de condi t ions aux l imites ~ d is tance finie. Aussi, le chercheur int6ress6 pa r ce probl~me est-il oblig6 de faire un ehoix : ou bien il ut i l ise un module de p l a sma aussi conforme que possible h la r6alit6 - - mais il ne peu t alors 6tudier que la p ropa- gat ion d 'ondes p lanes - - ou bien il d6eide de r6soudre

M. CAMUS [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS

compl~tement les 6qua t ions 61ectromagn~tiques de la p ropaga t ion , et il dol t se con ten te r d ' u n module de p lasma simplifi6 qui n ' e s t pas t ou jou r s repr6senta t i f de donn6es pra t iques .

Cette deuxi~me a t t i t u d e est g6n6ralement adopt6e pour 6tudier la p ropaga t i on clans les guides ~ p lasma, guides d 'ondes circulaires, compl~ tement ou par- t i e l l ement remplis p a r une colonne de p l a s m a plong6e dans une induct ion magu6t ique uni forme longi tudinale . Plus pr6cis6ment, dans les p remiers t r a v a u x th6oriques relat ifs ~ ces guides, on supposa i t que le p l a sma 6tai t homog~ne et qu ' i l sa t i s fa isa i t 1 ' approx imat ion d 'App le - t o n - H a r t r e e sans collisions : les 6quat ions de pro- paga t ion r e s t an t malgr6 cela assez complexes, on ne consid6rai t en out re que la p r o p a g a t i o n d 'ondes tr~s lentes en fa isant l ' a p p r o x i m a t i o n quasi s t a t ique [20]. Les r6sul ta ts tr~s in t6ressants obtenus de cet te fa~on ont servi de base aux recherches sur l ' i n t e rac t ion plasma-fa iseeau. Paral161ement, ils ou t fa i t l ' ob j e t de v6rifications exp6r imenta les qui ou t sembl6 assez bien conf i rmer les pr6visions th6oriques. Sur ce dernier point , il convient c ependan t d '6 t re r6serv6, car pour affirmer qu ' i l y a un accord pa r f a i t en t re th6orie et exp6rience, il f au t 6tre stir de eonnai t re avec pr6cision les caraet6r is t iques des p la smas utilis6s exp6r imenta lement . Or, dans la p l u p a r t des exp6- riences r6alis6es, on supposa i t avoi r affaire fi un p l a s m a homog~ne don t on mesura i t la densi t6 soit en un po in t au moyen d 'une sonde 61ectrostatique, soit par une m6thode globale (m6thode de la cavi t6 p a r exem- pie), moyens qui ne sont pas tr~s pr6cis. De plus, dans cer ta ines exp6riences d ' i n t e rac t ion , on ob t ena i t une a m p l i f c a t i o n dans des domaines qui n '6 ta ien t pas pr6vus avec l ' a p p r o x i m a t i o n quasi s ta t ique .

Ces consid6rat ions nous ont amen6s h nous in ter roger sur la val id i t6 de cet te a p p r o x i m a t i o n et ~ reprendre , sans l ' adop te r , l '6 tude de la p ropaga t i on dams les guides h p lasma. Ce fa isant , nous avons abou t i ~ des r6sul ta ts 6galement va lab les dams le domaine des ondes rapides , et diff6rant parfois sens ib lement de ceux pr6vus avec l ' a p p r o x i m a t i o n quasi s t a t ique , m6me dans le domaine des ondes lentes. Pour les mieux comprendre , nous les avons d 'a i l leurs in ter - pr6t6s fi pa r t i r des propri6t~s plus simples et mieux connues des ondes p lanes dans les p lasmas, en consi- d6rant que les oscil lat ions ex i s t an t h l ' in t6r ieur d ' u n guide r6sul tent de la superpos i t ion d 'ondes planes . N6anmoins, la compara i son de ces nouveaux r6sul ta ts avec ceux des exp6riences n '6 t a i t pas encore to ta le - men t sa t i s fa isante : il fa l la i t donc a d m e t t r e que les hypotheses fai tes pour d6crire le p l a sma res ta ien t t rop approx imat ives . A la r6flexion, il a p p a r a i t que l 'une d ' en t re elles est loin d ' e t r e va lab le pour les colonnes de p l a sma gazeux de l abora to i re : c 'es t celle concer- nan t leur homog6n6it6. On a d 'a i l leurs v6rifi6 que dans de telles colonnes, il existe tou jours une va r i a t ion radia le de densit6 de p l a sma qui peu t 6tre parfois tr~s impor t an te . Pour 6valuer l ' influence de cet te inhomo- g6n6it6 sur la p ropaga t ion , nous l ' avons i n t rodu i t e dans not re module de p lasma, compl6 tan t ainsi nos t r a v a u x sur la p ropaga t i on dans les guides ~ p lasma.

3 1 0 - -

(1)

avec

24, n *= 9-10, 1969]

Ces t r a v a u x ont d6jh 6t6 l ' ob je t de diverses publ i - ca t ions [21, 25]. En par t icul ier , dans un ar t ic le r~cent [25], nous avons mont r6 commen t le ph6no- m~ne de r6flexion et de r6fract ion d ' une onde p lane sur une surface l im i t an t un p l a sma an iso t rope pe rme t de pr6voir cer ta ines propri6t6s des guides h p lasma, te l les que l ' ex is tence de leurs fr6quences de coupure et de r6sonance et leur compor t emen t au vois inage de ces fr6quences. Les conclusions de cet ar t ic le seront souvent 6voqu6es dans le pr6sent ouvrage qui en cons t i tue la suite logique et dans lequel, apr~s avoi r rappel6 les pr incipales propri6t6s d ' un guide h p l a sma homog~ne, nous mont re rons comment ces propri6t6s sont affect6es pa r l ' i n t roduc t ion d 'une inhomog6n6it6 t r ansve r sa le du plasma.

Nous ne consid6rerons que des p lasmas satis- fa i sant l ' a p p r o x i m a t i o n d ' A p p l e t o n - H a r t r e e sans col- l isions [25].

Dans ces condi t ions, on peu t mon t r e r que le p l a sma

plong6 darts une induct ion magn6t ique uniforme B 0 se compor te vis-h-vis d 'une onde 61ectromagn6tique monochroma t ique de pulsa t ion 0) comme un di61ec- t r ique aniso t rope et dispersif don t la pe rmi t t iv i t6 re la t ive est un tenseur r Dans un syst~me d ' axes de coordonn6es rectangulai res , tel que Oz soit parall~le

h B 0 , les coordonn6es de ce tenseur s '~cr ivent :

Sx jSH 0

r = - - jZH r177 0 ,

0 0 ~

O N D ] ~ S t ~ L E C T I ~ O M A G N ] ~ T I Q U E S E T P L A S M A . 3/54 m e n t la p r o p a g a t i o n d 'ondes ~leetromagn~tiques dans un guide con tenan t un p l a s m a homog~ne.

Certes, la o l u p a r t des propri~t6s des guides p l a sma que l 'on v a ainsi r e t rouve r sont d~jh connues. On les r appe le ra cependan t pour les pr6ciser 6ven- tue l lement , et pour en faire la synth~se afin de mieux appr6cier pa r la sui te les modif ica t ions q u ' y appo r t e r a l ' i n t roduc t ion d 'une inhomog6n6it6 t r ansversa le de la colonne de p l a s m a : cela proc~de d ' une m~thode classique phys ique qui consiste h 6tudier un ph~no- m~ne en la i ssant d ' a b o r d cons tan ts les pa ram~t res don t il d6pend a v a n t d ' examine r l ' inf luence des va r ia t ions des pa ram~t res .

On d6crira e n s u r e sommai remen t quelques-unes des exp6riences que nous avons fai tes, apr~s d ' au t r e s auteurs , pour t en t e r de v6rifier exp6r imen ta lemen t les pr6visions th6or iques dans le domaine des ondes lentes. Ce fa isant , on m o n t r e r a comment l ' in te rpr~- r a t ion des r6sul ta t s obtenus nous a amends h m e t t r e en doute l ' hypo th~se de l 'homog~n~it6 des colonnea de p l a sma util is6es au labora to i re , e t h re lever les profils r a d i a u x de densit~ de p l a sma qui ex is ten t ef fec t ivement h l ' in t6r ieur de ees colonnes.

e . = l + 2 2 0 )c - -0 ) (1')

r 0)~ 1 - - 0)~10) = g H - ~11 = �9

0) 0 ) 2 _ 0)2

Les deux premieres 6quat ions de Maxwell s '6cr ivent donc, dans un tel p l a sma :

I rot E = - - j0) iz o H , (2) ro t H = j0) z o z E .

Elles res ten t valables m6me si le p l a sma est inho- mog~ne, 0)p donc ~ n ' a y a n t plus la m6me va leur en t ou t point .

1.1. l~tude th6or ique de la propagat ion dana u n guide ~ p l a s m a h o m o g S n e .

On appel le guide ~ p l a sma un syst~me h sym6tr ie de r6volut ion const i tu6 p a r un guide d 'onde circulaire dans lequel est plac6e une colonne de p lasma. L ' en - semble est plong6 dans une induc t ion magn6 t ique uniforme longi tud ina le B o (Fig. 1). On suppose que la paro i du guide est pa r f a i t e me n t conduetr iee , que l 'espace situ6 entre p l a sma et guide est vide, et que le p l a sma est homog~ne et sa t is fa i t l ' a p p r o x i m a t i o n d ' A p p l e t o n - H a r t r e e sans collisions.

a b / - - / - -

: ; ~ -- a-; = = . f '~

~ Uu;d,.

FIG. 1. - - Schema de principe du guide ~ plasma.

P R E M I I ~ , R E P A N T I E

P R O P A G A T I O N LE L O N G D ' U N E C O L O N N E D E P L A S M A HOMOGi~,NE PLONGI~.E D A N S

U N E I N D U C T I O N MAGNI~.TIQUE U N I F ORIVIE L O N G I T U D I N A L E

L'6 tude de la p ropaga t ion des ondes planes dans un p la sma an iso t rope a permis de pr6voir cer ta ines propri6t6s des ondes guid@s, en par t icu l ie r leurs frf- qucnces de coupure et de r6sonance [25]. On va v6rifier que ces pr6diet ions sont bien exactes dans un cas par t icu l ie r : eelui de la p ropaga t ion parallSle ~ l ' indue-

-o-

t ion magn~t ique uniforme Bo , en 6 tud ian t directe-

On se propose d '6 tud ie r la p ropaga t ion , dans un tel syst~me, d 'ondes 61ectromagn6tiques monochro- ma t iques a y a n t une cons tan te de p r o p a g a t i o n su ivan t l ' axe du guide, en se b o r n a n t aux modes h sym6tr ie de r6volut ion, qui ne pr6senten t pas de var ia t ions azimutales .

Pour cela, on commencera pa r 6crire les 6quat ions de dispersion de ces ondes, h pa r t i r desquelles on pou r r a t r ace r les courbes de dispers ion pour d ivers ensembles de va leurs des pa ram~t res ea rac t6r i san t le guide. On 6tudiera ensui te les propri6t6s de ees courbes en e x a m i n a n t s6par6ment le domaine des ondes rapides , puis celui des ondes lentes don t la

- - 311

4 / 5 4

vi tesse de phase est inf6rieure fi la vi tesse de la lumi~re dans le vide.

1.1.1. F, quation de dispersion.

L'6qua t ion de dispers ion s 'ob t i en t en r6solvant les 6quat ions de Maxwell clans les divers mi l ieux consti- t u a n t le guide /i p l a sma et en r accordan t les solut ions obtenues.

La g6om6trie par t ieu l ibre du guide condui t h adop te r pour cela le sys tbme d ' axes de coordonn6es cylin- dr iques (r, 0, z), Oz 6 tant l ' axe du guide. Pour les modes h sym6tr ie de r6volut ion les var ia t ions de t ou t e g randeur phys ique associ6e h une onde sont de la forme :

F(r) exp j ( 0 ) t - [~z).

On ne consid~re que les ondes de faible ampl i tude , pour lesquelles les quant i t~s F (r) sont in f in iment pe t i t es du 1 er ordre, ce qui p e r m e t de l in6ariser les 6quations.

a) Dans le plasma. Compte t enu des hypo theses adopt6es , on sal t que les 6quat ions de Maxwell s '6cri- ven t sous la forme (2), off r est d6fini pa r (1) et (1'). En p r o j e t a n t ces 6quat ions sur les axes, on ob t i en t le syst~me su ivan t :

(1) i~Eo = - - j0) y.oHr, dEz

(2) - - j ~ E r - dr = - - J0)Iz~176

1 d (3) r dr (rEo) = - - j0)~0Hz,

(3) (4) j[tHo = j0)% (r177 + jCHEo),

dHz (5) - - j ~ H r dr -- J0)r176 + r177176

1 d (6) r dr (rHo) = j0)r162

Pour r6soudre ce syst~me, on commence p a r 61i- miner les composan tes t ransversa les de champs, en r6solvant les 6quat ions (3) (1, 2, 4 et 5) pa r r a p p o r t h Ez et Hz. Les expressions de Er , Eo, Hr , Ho obtenues de cet te fa$on sont donn6es en annexe 1 ; en les r e p o r t a n t dans (3.3) et (3.6), on ob t ien t les deux 6quat ions de p r o p a g a t i o n su ivantes :

I r177 - - j~ 0) ~oCHHz -~- gll(k 2 $• - - ~ ) E z -~- O,

(4) CzVTHz + [r177177 __ [~) ~ k2r __ j~ 0) r162 = O.

0fl V~, est le laplacien t r ansversa l :

V~' = r dr + ~ '

et k = 0)[e est la cons tan te de p ropaga t ion des ondes p lanes dans le vide.

Ainsi, il appa raR que les fonct ions Ez (r) et Hz (r) ne sont pas ind~pendantes : on ne peu t pas avoi r s6parSment annu la t ion de l 'une ou de l ' au t r e quel que soit r. A u t r e m e n t di t , des ondes p u r e m e n t T E ou p u r e m e n t TM ne peuven t se p ropager dans un guide

p lasma.

M. (]AMES [ANNALES DES T~L~COMMUNICATION$

Cette impor t a n t e propri6t6 est due h l 'exis tence, dans les 6quat ions de p ropaga t ion , de termes de eouplage propor t ionnels i~ ~ CH : elle d i spara i t pa r cons6quent lorsque C H e s t nul, c 'es t-h-dire pour

B 0 = 0 (0)e = 0), ou B o in f in iment grand (0)c >> 0)p et 0)c >> 0)). De plus, lorsque les t e rmes de couplage sont tr~s pet i t s , il est possible que se p ropagen t dans le guide des modes quasi T E ou quasi TM. Cela se p rodu i t ~v idemment au vois inage des fr6quences de coupure (~ tr~s pet i t ) , mais aussi dans divers aut res cas que l 'on ve r ra pa r la suite.

Pour r6soudre le syst~me d '6qua t ions de propaga- t ion, on peu t pa r exemple chercher deux combinaisons lin~aires de Ez et Hz qui sa t is fassent s6par6ment deux ~quations diff~rentielles du second ordre ind~pendantes [21]. Cela condui t aux solut ions su ivantes :

Ez = AsB1J~ T l r ) - - A1B2J~ T2r) exp j ( 0 ) t - - ~z), (5) As - - A1

~C / r B1 Jo(T1 r) - - B 2 Jo(T2r) X Hz 2j r ~[f V ~0 A1 - - As

exp j ( 0 ) t - ~z) ,

oi~ B 1 et B2 sont des cons tan tes d ' in t6gra t ion , t and i s que A1, A~, T 1 et T 2 sont des fonct ions de to, ~, 0)~ eL 0)e donn6s pa r les re la t ions :

I 602--0)2 11 2 A I = I - ~ + I - - ~ - / +4 k2 0)~ J

A 2 = 1 k2 L \ I - - ~ - / + 4 k2 0) 7 j , (6)

2 [ . _ , 2 2 0) p eS ( 0)~ - - 1 -~- tops jr_0)cg_o) 2 x

t 2 AI, , + k* co" "

On remarque que T 1 et T s ne sont au t res qne les cons tan tes de p r o p a g a t i o n t r ansversa le des ondes p lanes de pu l sa t ion 0) se p r o p a g e a n t dans le p l a s m a avec ~ comme eons tan te de p r o p a g a t i o n longi tud ina le [25]. Dans la suite, il nous a r r ive ra d 'u t i l i se r h l e u r p lace les quant i t6s Z1 et Z s telles que :

�9 (7) T~,2 0)~ - - C 2 Z 1 , s "

b) Dans le vide qui entoure le plasma, les compo- santes longi tudina les de champs 61ectriques ont pour expressions :

l Ez = PJo(tr) + QYo(tr) H z = RJo(tr ) + SYo(tr)

P, Q, R et S 6 tan t des cons tan tes d ' in t6gra t ion , t and i s que t est la eons tan te de p ropaga t i on t ransver - sale des onde planes se p r o p a g e a n t dans le v ide avec

comme cons tan te de p ropaga t i on su ivan t Oz. On

(O 2 a d o n e : 12 __ e 2 ~ s .

Connaissant Ez et H z , on caleule les composan tes t ransversa les de champs dans le v ide en u t i l i san t les re la t ions donn6es en annexe I.

- - 3 1 2

t . 21, n ot 9 - 1 0 , 19991 O N D E S ] ~ L E C T R O M A G N ] ~ T I Q U E S E T P L A S M A

c) Raeeordement des solutions : ddtermination de off : l'dquation de dispersion. Fo(u ) _ 1

u Les composantes de champ 61ectromagn6tique dans

le guide h p l a sma s ' e x p r i m e n t donc au moyen de 6 cons- f0p (u) = 1_~ tan tes d ' in t6gra t ion : B~, B 2 , P, Q, _R et S. On ealcule u

1 ces eons tan tes en 6er ivant que les condi t ions de conti- g0~(u ) = ~ - nui t6 des champs sont sat isfai tes d 'une pa r t h la sur- face de s6parat ion p lasma-v ide (4 condit ions) , d ' a u t r e p a r t sur la paro i du guide (2 condit ions). Ceci condui t

un syst~me de 6 6quat ions lin~aires et homog~nes 6 ineonnues, dont la r6solut ion n ' e s t possible que

si co et ~ sa t is font une re la t ion D (co, ~) = 0. Cet te ~o~ re la t ion est l '~quat ion de dispersion du guide. El le 4 d~pend des param~tres ddfinissant le guide, h savoir :

la fr~quenee de p lasma, la fr6quence cyclot ron, 3 le r ayon a de la colonne de p lasma, et le r ayon b du g u i d e . E n normal i san t ces diverses grandeurs pa r r a p p o r t h l 'une d ' en t r e elles, on peu t ne garder que t rois param~tres . On a choisi ici de t ou t normal iser t p a r r a p p o r t h fv (ou coy), et de ce fa i t on consid~re que l '~quat ion de dispersion relic les var iab les sans - ~ o

dimensiOnSm~tres sans r ~clco v: et, d6 penddes trois pa ra - = ~ _t4 ~

coc b r ayon du guide . �9 (8) M = co~ P - a r ayon du p la sma

e "~ co~

Tous calculs faits, on t rouve l ' 6qua t ion de dis-

pers ion :

Fo(Txa) - - fo, ~ (la) �9

1 - - Fo (Tza ) - - go, o(ta)

Fo(T2a) - - fo, ~(ia) 6)2

A2 ( l___~2 )Fo(T2a) __ go, p(ta )

Jl(u) - - 1 Jo(u) JI(U)YI(~U) - - J l (pU)Yl(u) J o ( u ) Y l ( p u ) - Jl(pU)Yo(u)

Jl(U)Yo(pU ) - - Jo(pu)Yl(u) J o ( u ) Y o ( p U ) - Jo(pu)Yo(u)

5/54

Les var ia t ions de ces quant i t6s sont repr~sent6es fgu res 2, 3 et 4 en fonct ion de u 2.

FIG. 3. - - Variations de gop (u) en fonction de u 2 (pour p = 2). Quand 9 augmente, les z6ros e t les p61es de fop se d6plaeent vers la gauche en se rapprochant les uns d es autres .

I

-qs]

I / I I r, , i I r 1 1 : / d

: .

I , o / *o 3o ~ o ,o ,o ----'

/ / i t

Fro. 2. - - Variations de Fo(u ) en fonction de u 2.

-A

4

3 f . -Z

2

I

FIG. 4. - - Variations de gop en fonction de u 2 (pour p = 2). Quand p augmente, les z~ros et les pbles de gop S e d6placent

vers la gauche en se rapprochant les uns des autres.

L '6qua t ion de dispersion se simplifie dans les cas

extr6mes su ivants :

p = 1 (guide compl~tement rempl i de p l a s m a ) ; 9 inf in iment grand (eolonne de p l a sma dans le vide) ; champ magn6t ique nul ou inf in iment grand. Les formes qu'eUe p rend dans ces divers cas sont

donn6es en annexe I.

- - 3 1 3 - -

6 /54

I.1.2. Courbes de dispersion.

L'6 tude de l '~quat ion de dispersion (9) pe rme t de t rouve r d i rec tement cer ta ines propri6t6s des ondes telles que : fr6quenccs de coupure et de r6sonance, compor t emen t h tr6s hau te fr6quence, etc. Cepcndant , pour avoi r une r u e d ' ensemble de ces propri6t6s, il est n6cessaire de t racer des courbes de dispersion. C'est ce que nous avons fa i t pour plusieurs groupes de valeurs des pa ram6t res 214, m, p, choisis pour per- me t t r e de suivre l '6volu t ion des courbes lorsque les caract6r is t iques du guide h p l a sma var ient . Des cour- bes que nous avons trac6es, seules f igurent dans ce chapt t re celles qui sont n6cessaires h la compr6hension des ph6nom6nes que nous voulons me t t r e par t icul i6re- men t en 6vidence. On t rouve ra d ' au t res courbes de dispers ion dans les ar t icles de divers auteurs , princi- pa l emen t en [26, 29] et en [30] pour des modes de p ropaga t i on dipolaires.

Trac~ des courbes de dispersion.

Dans le cas le plus g6n6ral, l ' 6qua t ion de dispersion a p p a r a i t sous une forme impl ic i te assez compliqu6e. Pour la r6soudre r a p i d e m e n t avec pr6cision, on a dfi ut i l iser une mach ine fi calculer 61ectronique, la m6thode adopt6e cons i s tan t ~ m e t t r e cet te 6quat ion sous la forme :

D 1 - - D ~ = 0,

e t h 6tudier les va r i a t ions de la diff6rence (D 1 - - De) quand , une des var iables r e s t an t fixe (~c/ tov pa r exemple) , on fa i t var ie r l ' au t r e (to/top). Les change- ments de signe de (D 1 - - D z) se p rodu i sen t lorsque ca/top f ranchi t une rac ine de l '6qua t ion ou un pble de D 1 ou D e : on cherche donc les valeurs de to]to~ qui cor respondent h u n changement de signe de (D 1 - - De) et qui ne sont pas un pSle de D~ on D e .

Cette recherche est d iscont inue : on donne en effet h to/toy des valeurs cons6cutivcs d is tan tes d ' un accroissement ~ (pas d ' exp lora t ion) et l 'on calcule (D~ - - De) pour chacune des valcurs ainsi obtenues. La pr6cision de la solut ion est d ' a u t a n t mei l leure que l e pas d ' exp lo ra t i on est plus pe t i t ; d 'a i l leurs , le choix d ' un pas t rop grand r isque de diss imuler des solut ions pu i squ 'on peu t f ranchi r sans les voir deux changements de signe cons6cutifs d i s tan ts d 'une quan- t i t6 inf~rieure h ~. Cependant , plus le pas est pe t i t , et plus le nombre de calculs h effectuer est grand, donc plus le calcul est long (et cofiteux).

C'est pourquoi on ut i l ise en fai t une m6thode de recherche h pas var iable , cons is tan t h explorer d ' a b o r d avec un pas ~ assez grand ; on t rouve alors un inter- val le convenable qu 'on explore h nouveau avec un pas plus pe t i t (par exemple ~]10) et ainsi de suite ju squ 'h ce qu 'on obt ienne la pr6cision d6sir6e, 6gale en va leur absolue au dernier pas utilis6.

P r a t i quemen t , la recherche sys t6mat ique des solu- t ions de l '~quat ion de dispersion est facili t6e pa r eertaines remarques qui p e r m e t t e n t de d6terminer r a p i d e m e n t et sans calculs l ' a l lure de la courbe de dispersion dans le syst~me d ' axes de coordonn6es ( X = ~e celto~ ; y = r ) quand on connai t le

M. CAMUS [ANNALES DiSS T~L~COMMUNtCATIONS

r6seau de courbes Z =~ cons tan te (oourbes (X, Y) repr6senta t ives de l ' 6qua t ion de dispersion r~duite des ondes planes dans laquelle Z e s t constant ) (*). Ces remarques donnen t 6galement une idee de la fa~on dont les champs var ien t darts le guide. A t i t re d ' exem- ple, nous allons le mon t r e r dans le cas d ' un guide plein de p lasma, don t l ' 6qua t ion de dispersion se r6dui t

h :

J l (T la ) JI(T2 a) AI TI a Jo(Tla) -- A 2 T2 a Jo(Tea)

En premier lieu, il est 6vident que tout point du plan (X, Y) dont les coordonn6es annulent simulta- n6ment J l (T la ) et J l (Tea) ou J0(Tla) et Jo(Tea) est sur la courbe de dispersion. I1 en r6sulte que tous les poin ts d ' in te rsec t ion des courbes tel les que Tla = Pl.v soit Z = mep~.v et Tea = Pl.v' soit Z = mep~.~,' (off P l , , et p l . , , sont des racines de la fonct iou de Bessel J~) sont sur la courbe de dispers ion ; il e n e s t de m6me des poin ts d ' in te rsec t ion des courbes Z = mep~, , et Z = mep~., , (off Po,~ et Po.~' sont des racines de Jo)"

Cela 6tant , consid6rons une r6gion du p lan (X, Y) off Zz et Z e sont posi t i fs et off A 1 et A , ga rden t respec- t i v e m e n t un signe cons tan t et t raqons darts ee t te r6gion les 4 courbes :

; ; m~P~ ~ ; m~P~,~+x Z = m~p~, , , m e p ~ , v + l , �9

Supposons que ces 4 courbes se eoupen t en fo rman t un quadr i la t~re curvi l igne A B b a (Fig. 5). P a r ehacun

Fro. 5. - - Position relative des courbes Z = Cte et des courbes de dispersion.

des sommets de ce quadr i la tSre passe une b ranche de courbe de dispersion. Si la b ranche pas san t p a r A p6n~tre darts le quadr i la t~re , elle ne peu t en sor t i r que p a r le sommet oppos6 b. En effet, cor~sid~rons

(*) On trouvera en [25] une ~tude ddtaill6e du r~seau de courbes Z = constantr et de ses principales propri6tds,

- - 3 1 4 - -

t . 24, n ~ 9-10, 1969]

la courbe Z ---- m~p~,~+l--~ (off e est tr~s pet i t ) ; quand

on se d6place sur cet te courbe du point A ' au point B ' ,

l 'un des membres de l '6quat ion de dispersion est tr~s

grand et garde toujours le meme signe. L ' au t re mem-

bre, par contre, passe sur ce t r a j e t d 'une favon cont inue

d 'une valeur inf iniment grande posi t ive h une valeur

inf in iment grande n~gative. Donc l 'arc A 'B ' coupe

obl iga to i rement la courbe de dispersion et ne la coupe

qu 'en un nombre impair de points.

Aussi, la courbe de dispersion en t ran t en A ne peut

ressortir par B. De la m6me favon, on mont re ra i t

O N D E S ] ~ L E C T 1 R O M A G N / ~ T I Q U E S E T P L A S M A 7/54

qu'el le ne peut ressortir par a : elle sort donc par le

sommet b. On en d6duit d ' au t re par t que les branches

de courbes de dispersion passant par B e t a ne p6n~-

t ren t pas dans le quadri lat~re ABba.

On pourra i t faire un ra i sonnement tou t h fait iden-

t ique pour un quadri lat~re curvi l igne form6 h par t i r

de courbes Z = m2p~,~. Quant aux cas plus compliqu6s

pour lesquels par exemple Az et A~ changent de signe

ou bien pour lesquels les courbes Z = constante

se coupent su ivan t des figures autres que des qua-

drilat6res, ils pourra ient 6tre 6tudi6s de fagon analogue.

Zone ,Lq7 G~ pour Z

f

x \ \ \ \

\

iq ~Jql

- o, . - . f . ' " "A

/

l

~ i~z: m~ p~

�9 %

.... Z~:O

.///

. . . . :1 ~,t,

i

. . . . gZ

\ \ ,

\ \

Zz<O

)

X: flZCL

F I G . 6. - - Un r6seau de courbes de dispersion et sa position relative par rapport aux courbes Z = Cte (M = 2, m~p~l = 0,2).

- - 3 1 5 - -

8/54 Si on consid~re m a i n t e n a n t une r6gion oh Z1 et Zs

sont de signes oppos6s, par exemple Zx ~ 0 et Zs ~ 0,

il est facile de mont re r qu ' en t re 2 courbes Z~ = mSp~,~ et Z~ = m2p~,v+l voisines, on t rouve une et une seule branche de courbe de dispersion, de meme qu ' en t re 2 courbes Z~ = m2p2,~ et Z 1 ---- mSp2,n.,,..~ .

Le cas des rdgions oh Z~ et Z s sont tous deux n6ga- tifs est peut-~tre plus d61icat, sauf pour Y ~ 1, car

alors A 1 et A s sont de signes oppos6s, de m~me que les deux membres de l '6quat ion de dispersion qui n ' a d m e t donc pas de solution.

Pour i l lustrer ces ra isonnements , on a trac6 figure 6

un r6seau de courbes de dispersion d ' u n guide plein de plasma et u n r6seau de courbes Z ---- constante . L ' examen de cette figure confirme bien les rbgles annonc6es.

On est frapp6 de la s imil i tude exis tant entre les

courbes trac6es sur eette figure et les courbes de dispersion d 'ondes acoustiques guid6es, donn6es dans l 'ouvrage de W. P. Mason [24]. On pourra examiner en part iculier les courbes de la page 125 de cet ouvrage.

Ceci mont re que les t r a v a u x pr6sent6s ici peuven t

M. CAMUS [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATION8

~tre 6tendus ~ d 'aut res types d 'ondes guid6es clans les mat6r iaux autres que des plasmas.

Ces r~gles, m o y e n n a n t certaines pr6cautions, sont extensibles aux 6quations de dispersion plus compli- qu6es de guides par t ie l iement remplis de plasma.

Enf in , il est bien 6vident que si i ' on connat t la posit ion de la courbe de dispersion par rappor t aux courbes Z = constante , on aura des indicat ions sur la s t ructure du champ ~lectromagn~tique et sa var ia- t ion radiale pu isqu 'en chaque po in t de la courbe de dispersion, on aura d i rec tement les valeurs de Z 1 et

Z s, done de T l e t T 2. Tou t ceci mont re l ' in t6r~t qu ' i l y a ~ connai t re le

r~seau de courbes Z = cons tan te pour 6tudier la propagat ion des ondes guid6es.

Allure g~n~rale des eourbes de dispersion.

On s ' int6ressera u n i q u e m e n t dans ce qui sui t aux courbes de dispersion des oudes progressives (6 r6el). Des exemples de telies courbes, trac6es dans le syst~me

d 'axes de coordonn6es r6duites ~ - - - (~ -~c , t - ~ . ) sont

donn6s figures 7 ~ 13.

5~o0o

5oooo-

X,5~

x~oooo

:~5ooo,

500oo

~Qoto,

3sooo.

Z ~

20~

4~oUP

30o~o

~'Sooo

9 a ~ 3 ~ S 6 I

FIG. 7. - - Guide circulaire rempU de plasma M ---- 2, FIo. 8. - - Guide circulaire rempli de plasma M .- 2, raSpS1 : 5,5, rayon du guide a ~-~ 0,54 cm, densit6 raSpS1 : 0,5, rayon du guide a -- 1,8 era, densit6 de de plasma N ---- 10 ~s cm -s, induction magn6tique uni- plasma N -- 10 -is cm -s, induction magn6tique tmi

forme B o ffi 6440 gauss.[ forme B o -- 6 440 p u s s .

316

24, n ~ 9-10, 1969]

2;ooo 3 ~

f,f

$ooo ++

,,~.

O N I ) E S t s ET P L A S M A 9/54

/ a ~ . c /1///,

w: ~Op

~ .- toe

g~,t ~ /_W_.c

L

ii I

~e FIG. 11. - - Guide cireulaire part iel lement rempli de p lasma M = 2, m~p~i~ = 0,9, p = 2, rayon de la colonne de p lasma a ~ 1,34 cm, rayon du guide b ~ 2,68 cm, dens/t6 de p lasma

+\ -- 10 *~ cm -a, induction magn6tique uniforrne B o = 6 440 gauss�9

~ , +. > ,+ , , :, +.+

Fro. 9. - - Guide cireulaire rempli de p lasma 31 ~- = 0,5, mZp~m = 0,9, rayon du guide a ~ 1,34 cm, dens/t6 de l)lasma I I ~ N = 101~ cm -3, induction magn~tique uniforme 13 o = 2 280 gauss.

tf

9 0 0 0 I -

t

Orf ' ~

<3

Fro. 10. - - Guide circulaire part iel lement rempli de plasma M = 2, m2p~ 1 ~ 2,5, p -- 2, rayon d e l a eolonne de plasma. a ~ 0,81 em, rayon du guide b ~ 1,62 era, densitfi de p lasma N ~ 10 TM cm -~, induction magn6tique unfforme

B o = 6 440 gauss.

L .,+ t,,

~oo

t t

IH;~L

o i i i, i g i '~,

FIa. 12. - - Guide part iel lement rempli de plasma M ~ = 0,5, mZp~l - - 0,9, p = 2, rayon de la colonne de p lasma a ~ 1,34 cm, rayon du guide b ~ 2,68 cm, dens/t6 de p lasma

N = 1012 cm -a, induction magn6tique uniforme B o = 2 280 gauss.

317 - -

1 0 / 5 4 M.

, .

~r

FI6. 13. - - Guide particllement rcmpli de plasma M ~ = 0,5 mZP~ol = 0,9, t~ = 5 rayon de la colonne de plasma a

1,34 cm, rayon du guide b m 6,7 cm, densit6 de plasma N = 101~ cm -a, induction magn6tique uniforme

B 0 = 2 280 gauss.

Afin de les coner6tiser, on a compl6t6 chaque courbe

par un axe des ordonn6es gradu6 en fr6quences et cor respondant au cas part icul ier d ' un plasma de densit6 N = 10 TM el/cm 3 dont la fr~quence de plasma

est 9 GHz. On a precis6 chaque fois les valeurs du champ magn6t ique et les dimensions de la colonne de p lasma et du guide correspondantes. I1 est bien en tendu que lcs rdsultats res tent applicables it d 'au t res fr6-

quences de plasma : on se souviendra que, pour une courbe donn6e, le rappor t toc]to~ doit 6tre conserv6, ainsi que les produits atop et btop.

A ti tre indicatif , voici quelques valeurs de a (en

r et de /p = top[2n (en GHz) satisfaisant cette r~gle de simil i tude pour diverses valeurs de m.

o,21 m = 0,186 m2p~ 1 = I /p

I

25,6 5,12

1 5

a 16,2 = 0 . 5 - - m = 0,294 m2pol 1

12,1 m 0,395 m2p~ 1 0,9 - ~

1 5

2,5 a 24,4 7,3 1,46 m = 0,657 m~p~n = [ p ] 0,3 1 5 I

-a-]16,4 4,9 0,98 m 0,975 m2p~l 5,5 ~-p] 0,3 1 5

2,56 0,85

11,62 30 3,24 0,54

5 10 I 30

2,42 1,21 ! 0,4

10 30

0,73

10

0,49

10

Ces valeurs pe rmet ten t de situer les courbes pr6- sent6es par rappor t aux eolonnes de plasma qu 'on peut r6aliser en laboratoire.

Un examen d 'ensemble de ces courbes mont re

qu'elles occupent diverses r~gions du plan ( ~ e , to ] \ top top

CAMUS [ANN&LES DES T]~LI~COMMUNICATIONS

qui peut ~tre divis6 en deux domaines par la droite d '6qual ion to = ~r le domaine des ondes rapides gauche et eelui des ondes lentes h droite.

Dans les paragraphes suivants , on d6crira plus en d6tails, les propri6t~s des courbes de dispersion en examinan t d 'abord le domaine des ondes rapides, puis eelui des ondes lentes.

Remarques sur la lopographie des champs dlectro- magndliques dans un guide d plasma.

La connaissance des courhes de dispersion d 'un guide est eSsentielle; mais dans certains cas, il faudrai t pouvoir la compl6ter en t ra~ant pour chaque onde la

(~ c a r t e , du champ 61ectromagn~tique qui repr6sente, �9 ~ chaque ins tant , l 'ensemble des lignes de force du champ 61eetrique et du champ magn6t ique h l ' int6rieur du guide. De telles cartes existent dans le Gas des

modes de propagat ion d'ordres les plus bas des guides vides (ou eomplStement remplis de di~lectriques) : elles sont re la t ivement simples, car alors on peut dissocier les modes TE et TM.

Dans le cas des guides h plasma, les ph6nom~nes sont beaucoup plus complexes puisque ne peuven t exister de modes pu remen t TE ou purement TM et que, de ce fait, les variat ions radiales des champs dans le plasma s 'expr iment au moyen d 'une combi-

naison lin~aire de deux fonctions de Bessel faisant in terveni r T1 et T 2 . Quand aucune simplification n 'es t possible, on ne peut , sans faire de longs calculs, que donner des indicat ions qual i ta t ives peu pr6cises sur les var ia t ions radiales et sur les valeurs relatives des diverses composantes de champ 61ectromagn6tique,

en se basant sur la eonnaissance de T I e t T 2 en chaque point d 'une eourbe de dispersion.

I1 faut remarquer cependant que, dans certains cas impor tants , les ondes se propageant clans un guide

plasma sont quasi TE ou quasi TM ; on peut alors faire une 6rude plus complete de la topographic des champs eorrespondants. Cette possibilit6 est int6res- sante dans les domaines suivants :

- - o n d e s rapides h tr~s haute fr6quence : deux familles d 'ondes quasi TE et quasi TM, h vitesse de phase (et de groupe) voisine de la vitesse de la lumi~re dans le vide, et dont les courbes de dispersion sont intercal6es ;

- - ondes rapides au voisinage des fr~quences de coupure : trois familles d 'ondes, l ' une correspondant h des ondes quasi TM, les deux autres h des ondes quasi TE ;

- - ondes lentes au voisinage de top et toc ;

- - onde lente de surface quand elle existe.

Dans chacun de ces cas, les champs, dans le plasma, peuven t s 'exprimer p ra t iquement , au moyen d 'une

fonction de Bessel dans laquellc in te rv ien t une seule

des deux quanti t~s T�92 ou T 2. La connaissance de cette quantitY, jointe h des consid6rations simples sur la cont inui t6 des champs (annula t ion de Ez et Eo sur la paroi du guide, etc.) permet de se faire rap idement une id6e de la var ia t ion radiale des champs.

3 1 8 - -

t. 24, n ~' 9-10, 1969]

Cas particulier des ondes lenles.

Dans le domaine des ondes lentes, la constante de propagat ion t ransversale t clans le vide qui entoure le plasma est une quant i tb imaginaire pure dont le module augmentc et devient inf iniment grand avec ~. I1 en r6sulte que, (lans le cas d 'un guide par t ie l lement rempli de plasma, la var ia t ion radiale de champ est monotone dans le vide qui entoure le plasma : en

particulier, la composante longi tudinale Ez de champ ~lectrique est une fonction dbcroissante du rayon qui s ' annule sur ]a paroi du guide et qui est maximale it la surface de s6paration plasma-vide, la d6croissance

6tant d ' a u t a n t plus rapide que Ill est plus grand, donc que l 'onde est plus lente. (Cette propri6t6 est p ra t iquemen t trbs impor tan te : elle implique qu' i l est difficile d 'exciter ou de dOecter une onde lente h par t i r de l 'ext~rieur du plasma, et ce d ' a n t a n t plus que sa vitesse de phase est plus faible.)

L1.3. Ondes rapides.

Le domaine des ondes rapides comprend deux

r~gions s~par~es par lu droite horizontale d 'ordonn~e :

k / l : ~ 1 ~ (pulsat ion correspondante : r : ~/63~ -~- r 2 )

dans chacune desquelles on voit une infinit6 de courbes.

a) Dans la r6gion sup~rieure (bande haute) et pour un guide de diam~tre assez petit , chacune des courbes par t d ' u n point de l 'axe des ordonn6es correspondant h une [rdquence de coupure et tend vers l ' a sympto te

oblique d '~quat ion 63 = ~c.

Lorsque le diam~tre du guide augmente (toutes choses 6tant 6gales par ailleurs), l 'ensemble des courbes s 'abaisse en se rapprochant d 'une par t de l ' asymptote , d ' au t re par t de la l imite inf~rieure constitu6e par la droite horizontale d 'ordonn6e (1 ~- MZ) 112. Si le diam6tre devient assez grand, les parties inf~rieures des courbes les plus basses v iennent , les unes apr~s les autres, se confondre avec cette

droite.

b) Dans la r~gion inf~rieure, chaque courbe par t

d ' un point de l 'axe des ordonn~es, correspondant h une fr6quence de coupure, coupe la droite d '6quat ion 63 = ~r en un point d 'ordonn6e comprise entre 1 et (1 § M~) lI~ et se prolonge dans le domaine des ondes lcntes, par une branehe t e n d a n t vers l ' a sympto te horizontale ayan t pour ordonnfe la plus grande des deux valeurs 1 ou 31.

En faR, on n ' a repr6sent~ sur les figures 7 h 13 que quelques eourbes, 5 savoir les plus basses. II faut

imaginer qu 'au-dessus de la courbe la plus 61evde

qui a ~t~ trae6e, il y en a une infinit6 d 'autres , toutes

situ6cs en dessous de la droite horizontale d 'ordonnde (1 + Me)~l ~ et qui sont de plus en plus serrfes les unes eontre les autres quand on se rapproehe de eette droite.

Dans ce paragraphe, on eommencera par exposer les proprigt6s des fr~quenees de eoupure qui corres- ponden t aux intersections des eourbes de dispersion

O N D E S E L E C T 1 R O : M A G N t ~ T I Q U E S E T P L A S M A 11/54 et de l 'axe des ordonn~es (~ = 0). Puis ayan t d~termin6 et expliqu6 le compor tement des guides h plasma h trbs haute fr~quence, on d~crira les principales pro- pri6t(,s des courbes de dispersion des ondes rapides.

Frdquences de coupure.

Lorsque ~ = 0, on a A 2 = 0, de telle sorte que l '~qua- t ion de dispersion, dont les fr6quences de coupure sont alors solutions, se d~compose en deux 6quations ind@endau tes :

(10) I:0(Tla ) = f0.p(la), o 63~

(11) 1 632 F0(T2a) = g0.p(la),

dans lesquelles :

12 ~ ( t ) 2 / C 2 ,

2 (632 63~)2 et T~ - - - - cop T~ - - 1 63263c_ _ , 632 2

C2 2 _j_ 2 632 122 (t) p 63C - -

T 1 et T 2 sont ici les constantes de propagat ion des ondes planes homogSnes monochromat iques de pul- sation 63 se propageant dans le plasma perpendicu-

la i rement 5 B 0 et dont les courbes de dispersion sont donn6es figure 14.

- - h T 1 correspond une onde dont le champ magn~- -_>

t ique al ternat i f est parallSle h Bo, le champ ~lectrique __>

~tant perpendiculaire h B o ;

- - h T 2 correspond une onde TEM a ya n t son champ

41ectrique parall~le h B o . Cette onde est ind~pendante

de B o et reste par cons6quent la m~me pour B o = 0 (plasma isotrope).

On en d4duit q u ' u n guide h plasma a deux types de fr~quences de coupure.

- - C e l l e s qui sont solutions de l '~quat ion (10 , auxquelles correspondent des ondes ayant , h la coupure, un champ magn~t iquc al ternat i f longi tudinal

(parall~le h Bo) et un champ 61ectriquc t ransversal . Au voisinage de la coupure, ccs ondes sont quasi

TE, c'est-h-dire qu'clles ont une composante longi tu- dinale de champ magn~tique in f in iment grande par rappor t "h la composante longi tudinale de champ

61eetrique ( ~ 0 Hz >> ~/~-o Ez).

- - C e l l e s qui sont solutions de l '~quat ion (11), auxquelles correspondent des ondes ayant , h la cou- pure, un champ 61ectrique longi tudinal et un champ magndt ique transversal . Au voisinage de la coupure, ces ondes sont quasi TM (~/~-o Ez >> ~/~oHz).

Dans le cas d'un guide plein de plasma, les ~quations 10 et 11 se r6duisent respect ivement h :

Fo(Tla ) = 0 soit J l (Tla) = 0 ou �9 Tla = Pl,~,

Fo(T2a ) i n f i n i s o i t Jo(T~a) = 0 ou �9 T2a = Po, , .

Leur r~solution graphique se fait s implement h par t i r de la figure 14. Leurs solutions out les pro- pri~t~s suivantes.

- - 3 1 9 - -

12154 M. CAMUS [ANNALES DES TELI~COMMUNICATIONS

tO: ~ r

A 0

/ /

f - +/-

<" / i

t

+ h:" P* E:

Fro. 14. - - Courbe de dispersion des ondes planes se propageant perpendiculairement h B o. Application 5. la d6termination des fr6quenees de eoupure d'un guide 5. plasma.

a) Les racines 0)~,,,~ et 0)Eo,~ de l ' 6 q u a t i o n Tla = Pl, V se d 6 d u i s a n t des pu l sa t ions de coupure

0)Eo, v des modes TEo, v du guide vide, pa r la r e l a t ion :

0)t 2 I Eo, v 1 2

= y + 20) + 0)E0 ) 0) E.. v

__ 2 1 ~,'/(0)~0. --0)c2)2 -~- 4(~ 0)p 2 v

Elles d 6 p e n d e n t h la fois des d imens ions du guide, de la f r6quenee de p l a s m a et de la f r6quence cyc lo t ron .

L ' e x a m e n de la figure !4 m o n t r e que si l ' on appel le 0)1 et 0)2 les pu l s a t i ons de coupure des ondes p lanes homog6nes clans le p l a s m a [25] donn6es pa r :

0)1 ) 2_ 1 1 = ~ 0)c + - ~ - ~/0)2 c + 40)~,

0) 2 i

- - les rac ines r son t t ou te s comprises en t re 0) 1 EO.,$ et la pu l s a t i on (0)~ + 0)ec)112 vers laquel le elles s 'aceu-

m u l e n t q u a n d ~ croi t i n d 6 f i n i m e n t ;

- - les rac ines 0)Eo.v son t t ou te s sup6rieures h 0)e-

b) Les rac ines 0),~0.v de l ' 6 q u a t i o n T2a = p..v se d6du i sen t des pu l s a t i ons de coupure 0)Mo,~ des modes

TMo, v du guide v ide p a r la re la t ion : t2 2 2

Ca) Mo,v ---- 0)21Io,v "J- fop ,

leur propr i6t6 r e m a r q u a b l e est qu'elles sont ind~ L

pendanles de rinduclion magndtique B o el louies supd- rieures 6 0)p.

D a n s le cas d ' u n guide partiellemnt rempli de plasma, les f r6quenees de coupure ne s ' e x p r i m e n t pas aussi s imp lemen t . On p e u t e e p e n d a n t d6 t e rmine r leurs carac t6r i s t iques en r6so lvan t g r a p h i q u e m e n t les 6qua- t ions d o n t elles son t solut ions , en s ' a i d a n t des courbes des figures 2, 3, 4 et 14.

On a repr6sent6, figures 15 et 16, Fa i lure des var ia - t ions en fone t ion de 0) (pour ~ = 0), des fone t ions :

0)~ ~ F q a ) . F o ( T l a ) ; fo,~(ta) ; I 1 -- 0)2 } o(T2a) et go, o

Les pu l sa t ions de coupure des modes T E du guide son t les abscisses des po in t s d ' i n t e r s ee t i on des courbes

des figures 15a et 15 b. I1 y e n a d e u x families, situ6es

de p a r t et d ' a u t r e de (0)~ + r : on les appel le " et ' l ' ind ice ~ ea rae t6 r i san t l ' o rd re encore r v 0)E.,v,

de succession des f r6quences de coupure clans ehacune des deux families. Les f r6quences de coupure des modes TM sont les abscisses des po in t s d ' i n t e r s ee t i on des courbes des figures 16a et 16b. I1 y e n a u n e inf ini t6 :

' l ' i nd ice v ea rac t6 r i s an t on les appel le encore r l ' o rd re de leur succe s s ion ; elles sont ind@endantes

de 0)c.

- - 3 2 0 - -

t. 24, no' 9-10, 1969] O N D E S ~ L E C T n O M A G N E T I Q U E S I~.T P L A S M A l 3/54

--rr- " ; T,

f f L E~

o b F[o. 15. - - D6termination graphique des fr6quences de coupure des modes quasi TE d,un

guide partiellement plein.

y -%

%

o b Fro. 16. - - D6termination graphique des fr6quences de coupure des modes quasi TM d'un guide

partiellement plein.

Dans un guide h plasma, il y a donc trois families compor tan t chacune une inflnit6 de fr6quenees de coupure. A l ' in t6r ieur de chaque famille, une fr6quence

est caract6ris6e par un indice v : les fr6quences d ' indiee v croissant se succ~dent en croissant.

De plus, dans le cas d ' u n guide plein, l ' indice v a la signification physique suivante, li6e h la var ia t ion radiale des champs dans le guide h la coupure :

- - le champ 61ectrique longi tudinal Ez correspon- ' est maximal sur l 'axe du guide, s 'annule dant h oM0.v

sur la paroi et s ' annule (v - - 1) fois entre l 'axe et la paroi, quels que soient Its param~tres a, cop, et coc ;

- - le champ 61ectrique az imuta l Eo correspondant h to~,,.~' et t~E0.~" est nu l sur l 'axe du guide et sur sa paroi et s ' annu le en outre (v - - 1) fois entre l 'axe et la paroi, quels que soient les param~tres a, r et toe �9

Cependant , la relat ion entre l ' indice v et l 'a l lure de la var ia t ion radials du champ 61ectromagn6tique

h la coupure n 'es t pas aussi simple dans le cas d ' u n guide par t ie l lement plein de p lasma : elle d 6 p e n d alors de la valeur de p.

Yes o n d e s rapides d tr~s haute fr~quence (*).

A tr6s haute fr6quence, le tenseur de permittlvit6 du plasma tend h se r6duire h sa diagonals principals

dont t o u s l e s termes sont alors voisins de 1 : en effet,

qua nd to devient trbs sup6rieur a r et toc, *H tend

vers 0 tandis que z• et *ll t enden t vers 1. Le compor- t emen t du p lasma est alors trbs voisin de celui du vide, ce qui se con~oit ais6ment.

Donc, h tr~s haute fr6quence, un guide h p lasma

dolt se comporter comme un guide vide ; on dolt en part iculier y t rouver les deux modes de propagat ion T E et TM pra t iquemen t s6par6s.

C'est effectivement ce que l 'on constate en 6tu- d ian t plus en d6tail les courbes de dispersion d ' un guide compl~tement rempli de plasma au voisinage de l ' a sympto te oblique d '6quat ion to = ~c. On mont re en effet que l '6quat ion de dispersion peut alors se d6composer en les deux 6quations approch6es :

to ~ = ~ c ~ + tOMo,v~ + tO~o , ~ laquelle correspondent

des ondes quasi TM ;

h laquelle correspondent

des ondes quasi TE ;

ceci quels que soient les ordres de grandeur relatifs de to~t..~, coRo,~ et co~. U y a done, au voisinage de l 'asymptote at ~ tr~s haute fr6quence, une double

(*) Par tr6s haute fr6qusncs, on sntsnd touts fr6qusncs tr~s sup6rieure & la fols & tp st h,

321

14/54

infinit~ de branches de courbe de dispersion corres- p o n d a n t a l t e r n a t i v e m e n t ~ des ondes quasi TM et quasi T E �9 h fr~quence croissante, on rencont re successivement , h p a r t i r de l ' a s y m p t o t e , les b ranches

quasi T M o i , quasi TE01, quasi TMo~, quas i TE0~, etc. De plus, pour des pu lsa t ions de coupure du guide

vide tr~s sup~rieures h r et coo, les deux 6quat ions approch~es ci-dessus dev iennen t :

~ = ~ c ~ + s ~ , (avee ~Mo,, ~ et r ,~ >> r et r

EO, ~

et res tent va lables m~me au voisinage de ]a coupure, c 'es t -h-dire pour de tr~s faibles va leurs de ~.

L '~ tude d~taill~e du cas d ' un guide pa r t i e l l emen t r empl i de p l a sma est plus d~licate. On peu t dire cependan t que les propri~t~s d 'un tel guide h tr~s hau te fr~quence sont ce r t a inement in term~diaires en t re eelles du guide v ide et celles du guide plein de m~me diam~tre : elles sont donc tr~s proches de celles du guide v ide et ce d ' a u t a n t plus qu 'on est h fr~quence plus ~lev~e et que le r a p p o r t p est plus grand.

M. CAMUS [A.NNALES DES T~Lf~COMMUNICATION$

Evolution des courbes de dispersion des ondes rapides.

I1 r~sulte de ce qui pr6c~de que, dans lc domaine des ondes rapides , les courbes de dispersion d ' u n guide

p l a sma sont tr~s s imples quand toutes les fr~quences de coupure du guide v ide de m~me diam~tre sont tr~s sup6rieures ~ ~op et ~oc �9 Elles se composen t en effet :

- - d 'une doub le infinit6 de branches p r a t i quemen t ident iques aux courbes de dispersion du guide vide et co r respondan t a l t e rna t i ve me n t ~ des ondes quasi TM et quasi T E ;

- - d ' u n e infinit~ de branches situ6es dans une ~troite bande de fr6quences l imit6e sup~r ieurement pa r (r + OJl2C) ll2 et co r re spcndan t h des ondes quasi T E au vois inage de la coupure.

L '6volu t ion des courbes de dispers ion est int6res- sante h suivre dans la mesure off elle pe rme t de mieux eomprendre c o m m e n t cet te s i tua t ion tr~s simple se d~t~riore lorsque les fr~quences de eoupure du guide vide ne sont plus tr~s sup6rieures h la fois h r et r �9

A t i t re indicat i f , la figure 17 repr6sente les courbes de dispers ion des ondes rap ides de guides pleins de

tO

% - - - ~ V ,

i

~176 , /

k ~

~p

~ o' ~

�9 i', ' "

FIG. 17. - - E v o l u t i o n des eourbes d e d i s p e r s i o n d e s o n d e s r a p i d e s . C a s d ' u n g u i d e p l e i n a v e c M = 2 , N = 1013 c m -3 , B o = 6 4 4 0 g a u s s .

- - 322 m

{4

t . 24, n ol 9-10, 1969] O N D E S I ~ L E C T R O M A G N ] ~ T I Q U E S E T P L A S M A

r a y o n croissant , c o r r e s p o n d a n t h des va l eu r s iden t i -

ques de (oe e t 6) v . L ' e x a m e n de ees courbes fa i t ~,

a p p a r a i t r e le ph6nom~ne de ~ coup lage ~ qu i a 6t6 ~ ,

fitudi6 en pa r t i cu l i e r pa r A u l d et Ed i s son [32] e t qui

se v o i t de fa~on plus d6tai l l6e sur la figure 18. Ce

p h 6 n o m ~ n e consis te en ce que , p o u r un guide de r a y o n 2 assez g rand , une courbe t rac6e en dessous de ~/(o v § r j /

semble r6sul te r du coup lage d ' u n e b r a n c h e p a r t a n t ~'~o~

d ' u n e f r6quence de coupure r et d ' u n e b r anche /

p a r t a n t d ' u n e f r6quence de coupure (o~0., inf6r ieure / ~/~o~ 2 il s ' a e c o m p a g n e d ' a i l l eurs d ' u n au t r e zr / h + co c ,

ph6nom~ne cons i s t an t en une m o d i f i c a t i o n du m o d e ~ . . . .

de p r o p a g a t i o n associ6 h une b r a n c h e de courbe ~"~0~,

l o r s q u ' o n se d6place le long de ce t t e b ranche , w~

Phdnomdnes de couplage et de trans[ormation continue

de mode son t les d e u x ca rac t6 r i s t iques les plus i m p o r -

t a n t e s des courbes de d i spers ion des ondes rapides .

Ils appa ra i s s en t 6ga lemen t pour un guide p a r t i e l l e m e n t

r empl i ( c o m m e le m o n t r e la f igure 19) et d ' u n e fa~on

d ' a u t a n t p lus m a r q u 6 e que le r a y o n du guide est plus

grand . On en t r o u v e r a une desc r ip t ion plus d6tai l l6e

en A n n e x e I.

1.1.4. Ondes lentes. i

Le d o m a i n e des ondes lentes c o m p r e n d d e u x r6gions

dans lesquel les on v o i t une inf in i t6 de courbes : ~

a) D a n s la r6gion inf6r ieure (bande basse), un fais-

eeau de courbes issues de l ' o r ig ine t e n d a s y m p t o -

15/54

Fro. 18. - - Couplage des modes. Guide plein, M = 2, m2p2o x = 2,5.

~j~ ,11

~0 ~p

t t

n A wp -

FIG. 1 9 . - Evolution des courbes de dispersion des ondes rapides pour une eolonne de plasma donn6e dans un guide de rayon variable, M = 2, mZp2ox = 2,5. Dans la r6gion hachur6e, il y a u n e infinit6 de courbes.

m 3 2 3

1 6 1 5 4

t i quement par valeurs inf6rieures vers la droite hori- zontale ayan t pour ordonn6e la plus pet i te des deux

valeurs 1 ou M. Les ondes correspondantes sont

directes. Sur chaque graphiquc, on n ' a rcpr6sent6 que qucl-

ques-unes de ces courbes ; il y en a une infinit6 d 'au- tres, en dcssous de la plus bassc qui a 6t6 trac6e.

b) La seconde r6gion comprend un faisceau de courbes t e n d a n t a sympto t iquemcn t vers la droite horizontale ayan t pour ordonn6e la plus grande des deux valeurs 1 ou M. Elle cst limit6e sup6rieurement par la droite horizontale d 'ordonn6e (1 q- M2) ~12. Les ondes correspondantes peuven t 6tre directes ou

inverses, su ivant une loi qui sera pr6cis6e ult6rieure-

ment . Sur chaque graphique, on n ' a repr6sent6 que

quelques-unes de ces courbcs : il y e n a une infinit6 d 'aut res entre la plus 61ev6e qui a 6t6 trac6e et la droite horizontale d 'ordonn6e (1 + M2) ~lz.

c) En outrc, il cxiste, dans le cas : 1 > M (ou top > r et pour un guide par t ic l lemcnt rempli de plasma, une courbe isol6e qui par t de l 'origine et qui

t end vers une asympto te horizontale d 'ordonn6e

comprise entre M e t 1.

M. C A l l U S [ANNALES DES T~L~COMMUNICATION8

Ainsi, comme le laissait pr6voir l '6 tude des ondes planes [25], il apparal t que cop et r sont des fr~quences de r6sonance du guide ~ p lasma et qu ' en outre, quand le p lasma est en contact avee u n di61ectrique, il existe pour cop > r une troisi~me fr6quence de r6sonanee dont on sait qu'elle doit correspondre ~ une onde de surface. En 6 tudiant avec pr6cision les courbes de dispersion des ondes lcntes, on va v6rifier qu ' au voi- sinage des r6sonances, elles peuven t 6tre repr6sent6es

par les 6quations de dispersion approch6es pr6vues par l '6 tude de la r6flexion et de la r6fraction des ondes planes. Pour cela, on examinera suceessivement le

cas 6) v < ~oc, puis le cas top > 6)r

1 ~ Cas cop < r162

- - Bande basse (0 < ~ < ~ ) .

Consid6rons plusieurs guides, de diam~tres ditI6- rents, con tenan t des colonnes de p lasma ident iques

plac6es clans Ia meme induc t ion uniforme B o : f ls

sont caract6ris6s par les memes valeurs de M e t de m et des valeurs de p diff6rentes.

Dans la bande basse, les courbes de dispersion de c e s

guides sont pratiquement identiques quel que soit p,

~p

/ k-' r176

_#~ u~p

//"

,.dp

uJ -u~c 2

4

~\"~ ~ ~ N ' ~ ' ~ \ \ ~

u.) u~p

W:~k.

Z. "tgp o

,)

L

FIo. 20. - - Evolution des eourbes de dispersion des ondes lentes pour tOp < tOc avec M donn$(> 1), m donn6 et p variable (M 2, m~po21 = 0,9). Dans les r6gions hachur~es, il y a une infinite de courbes.

- - 3 2 4 - -

24, n o~ 9-10, 1969]

ta~

r 4!~courbr Co!onn~, da.s 1~ v;d~

O N D E S ]ELECTROMAGNI~TIQUES ET P L A S M A 17/54 Ce phdnom~ne a p p a r a i t c l a i r e m e n t sur le t a b l e a u I

dans lequel on a por t6 , p o u r d iverses va l eu r s de

l ' absc isse ~e[ top les o rdonn6es o / t o p e o r r e s p o n d a n t :

.... a u x t rois p r emie re s eourbes de d i spers ion d ' u n e

eo lonne de p l a s m a dans le v i d e (p infini) ,

- - a u x t ro is p r e m i e r e s courbes de d i spers ion d ' u n

~:uap guide plein de p l a s m a (p = 1),

- - a u x t ro is courbes : 7'~a = et P o l , Poe P0a, d a n s l e cas : 31 = 2, m2Po~e = 0,9.

OI1 en d6dui t q u ' u u vo is inage de la /r~quence de

p l a s m a , les ondes lentes admel tent , quel que soil p, les

m~mes ~qualions de d i spers ion approehdes.

P o u r le m o d e ~, ce t t e 6qua t ion s '6cr i t : T~a = Po~ �9

On suit [25] que p o u r ~ i n f i n i m e n t = g r a n d e t 6o

vois in de top, T~ est 6 q u i v a l e n t h ~3r ~ e u / e x . P o u r

des ondes tr~s lentes , l ' 6 q u a t i o n approch6e ci-dessus

p e u t donc 6tre r emplac6e pa r :

(12) ~ e : _ z//

Ce t t e 6qua t i on est celle donn6e pa r l ' a p p r o x i m a t i o n

quas i s t a t ique .

~l!~ourb~, Guida ple;~

\Cour~ de d;epar~io,~ app,ocM| /'=-(§ gg

Fro. 21. - - Etude d6taill6e des courbes de dispersion au voisinage de co = COp pour COp < O)c, M = 2, m2p~l = n,9. Courbes correspondaut par exemple h N = 1011 el/cm a {[p = 2,85 GHz), a = 4,23 cm, B a = 2 040 gauss ([c = 5,7 GHz).

TABLEAU I

~c

(Op

1 re courbe colonne . . . . . . . . . 1 r~ courbe guide plein . . . . . Tla = Pol . . . . . . . . . . . . . . . 2 e eourbe colonne . . . . . . . . . 2 o eourbe guide plein . . . . . Tla = Po~ . . . . . . . . . . . . . . . . 3~ courbe colonne . . . . . . . . . 3 ~ courbe guide plein . . . . . Tla = Poa . . . . . . . . . . . . . . . .

0,6

0,479 0,364 0,346 0,266

0,218 0,173 0,154 0,150

0,8

0,605 0,470 0,453 0,339

0,690 0,565 0,552 0,411

1,6

0,768 0,765 0,581

0,905 0,844 0,843 0,670

pratiquement confondue avec T1a = Po~ 0,283 0,347 0,514 0,603 0,227 0,280 0,419 0,498 0,197 c.onfondue avec Txa = Poe 0,197 0,243 0,384 0,495

0,96 0,934 0,934 0,805

0,755 0,646

0,610

d l 'except ion de celles du guide p l e in (p = 1) qu i

p r6sen te p a r r a p p o r t a u x au t res une diff6rence s u r t o u t

m a r q u 6 e pros de l 'o r ig ine . E n pa r t i cu l i e r , les p e n t e s

des t a n g e n t e s h l ' o r ig ine des courbes du gu ide ple in

sont , clans leur ensemble , p lus pe t i t e s que eelles eor-

r e s p o n d a n t h un guide p a r t i e l l e m e n t rempl i . Ce ph6-

n o m ~ n e est v is ib le sur la f igure 20 off l ' on a group6

les courbes de d i spers ion de diff6rents guides corres-

p o n d a n t h M = 2, mep~ 1 = 0,9 p o u r diff6rentes

va l eu r s de p. I1 l ' e s t encore plus sur la f igure 21, off

l ' on p e u t c o m p a r e r les courbes de d i spers ion les plus

61ev6es d ' u n e co lonne de p l a s m a dans le v i d e et d ' u n

gu ide ple in de m 6 m e d iam~t re , p o u r un m 6 m e p l a s m a

et une m ~ m e i n d u c t i o n m a g n 6 t i q u e . On e o n s t a t e que

ces courbes , tr~s diff6rentes au vo i s inage de l ' o r ig ine ,

se r a p p r o c h e n t l ' une de l ' a u t r e au vo i s inage de leur

a s y m p t o t e c o m m u n e et t e n d e n t t o u t e s les d e u x vers

la eourbe Tla = Po l . De la m 6 m e fa~on, les courbes

2, 3 , . .... ~ ..... du guide ple in et de guides p a r t i e l l e m e n t

rempl is , qu i son t n e t t e m e n t d i s t inc tes au vo i s inage

de l 'o r ig ine , v i e n n e n t se confondre r e s p e c t i v e m e n t , en

se r a p p r o c h a n t de l ' a s y m p t o t e , a v e c les courbes

TIa = Po2, T l a = Poe ..... T l a = Po~ .....

- - B a n d e m o y e n n e (cop < co < l / t o~ + to~).

U n e x a m e n de la f igure 20 m o n t r e que , dans la

b a n d e m o y e n n e t o u s l e s f a i s eeaux de eourbes de dis-

pe rs ion son t p r a t i q u e m e n t i d e n t i q u e s que l que soi t p,

l ' e x e e p t i o n de eelui e o r r e s p o n d a n t au gu ide p le in

(p = 1) qu i es t d i f f6rent des au t res , lu d i / /drence

res tanl marqude m~me au vo i s inage de l ' a symplo le

f.O ~ 0 3 C .

Plus pr6c is6ment , on c o n s t a t e

de l ' a s y m p t o t e , les courbes de

p le in t e n d e n t vers les courbes

Poe, etc. , t and i s q u e celles de r empl i s (qui son t p r a t i q u e m e n t

soi t p) t e n d e n t p l u t S t vers les

T~a = P12, etc.

q u ' e n se r a p p r o c h a n t

d i spers ion du gu ide

T l a = P 0 i , T l a = guides p a r t i e l l e m e n t

eonfondues , que l que

courbes T l a = P n ,

Ce p h d n o m b n e a p p a r a i t sur la f igure 22 ainsi que sur

le t a b l e a u I I e o r r e s p o n d a n t h M = 2, et mep~ 1 = 0,9.

On v o i t bien, sur ce t ab l eau , que la diff6rence en t r e

les courbes du guide ple in et eelles du gu ide pa r t i e l -

l e m e n t p le in est encore n e t t e au vo i s inage i m m 6 d i a t

de l ' a s y m p t o t e (ainsi, sur ee t exemple , la eou rbe

d ' o r d r e 2 du guide ple in t e n d vers l ' a s y m p t o t e p a r

q 3 2 5 - -

8/54 M. C A M U S

T A B L E A U I I

[ANNALES DES T~LI~COMMUNICATIONS

T l a ~ POl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ~e courbe guide plein . . . . . . . . 1 ~e courbe colonne . . . . . . . . . . . . Tla = Pll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T~a = Po~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2~ courbe guide plein . . . . . . . . 2 0 c o u r b e colonne . . . . . . . . . . . .

Tia = Pl~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1,587 1,793 1,654 1,821 1,649 1,839

1,873 1,938 1,963 1,966 1,981

1,992

1,885 1,897 1,913 1,925 1,977 1,986 2,000

1,927 1,934 1,947 1,951 1,983 1,990 2,004 2,015

1,:72 1,951 1,954 1,966 [ 1,974 1,964 1,973 1,980 1,966 1,975 1,981 1,989 1,991 1,994 1,992 1,994 1,995 2,005 2,006 2,004 2,012 2,009 2,007

10

1,983 1,984 1,987 1,988 1,996 1,997 2,003 2,005

va l eu r s inf6r ieures , celle de la co lonne de p l a s m a

dans te v i d e t e n d vers l ' a s y m p t o t e pa r va l eu r s sup6-

r ieures) .

2~r Ga~dr p]l;~

I ,

/

- - dans le cas d ' u n gu ide p a r t i e l l e m e n t r e m p l i :

�9 (14) ~ = - - ~ 4- 2 ~ • r c2

On a d6j& fa i t r e m a r q u e r en [25] que ces exp res s ions

son t assez di f f6rentes de celles o b t e n u e s h p a r t i r de

l ' a p p r o x i m a t i o n quas i s t a t i q u e , d ' a b o r d p a r c e q u e

celles-ci n6g l igen t le t e r m e 2 r177 r 2 (or, au v o i s i n a g e

de o)c , ce t e r m e est du m ~ m e o rd re de g r a n d e u r q u e

~2), ensu i t e pa r ce qu ' e l l e s ne son t pas les m ~ m e s p o u r

un gu ide ple in et p o u r un gu ide p a r t i e l l e m e n t r empl i .

L a pos i t i on des courbes de d i spe r s ion p a r r a p p o r t

i~ l ' a s y m p t o t e r = (Oc se d6du i t des 6 q u a t i o n s a p p r o -

ch6es (13) et (14). L ' 6 t u d e effectu6e dans le eas du gu ide

ple in c o n d u i t a u x r6su l ta t s s u i v a n t s : les b r a n c h e s ,

6 t a n t num6ro t6es & p a r t i r de la p lus basse , cel le d ' i n d i c e

inf6r ieur ou 6gal h n t e l que :

(15) mS P~n < 2 ( M ~ - - 1) < m ~ 2 Po, .+l ,

tendent vers l'asymptote par valeurs inf6rieures ; l e s

branches d'indice sup6rieur h n tendent vers l'asymp- t o t e p a r va l eu r s sup6r ieures .

D a n s le cas d ' u n guide p a r t i e l l e m e n t rempl i , on p e u t

6 tendre ce r6su l t a t en r e m p l a s a n t l ' in6gal i t6 (15) p a r :

(16) m 2 P~n < 2 ( M S - - 1) < rn ~ Pl , n + l s .

A t i t r e d ' e x e m p l e , dans le cas off M = 2 e t

m 9po~l = 0,9, on a :

m S p121 = 2,2848605 , m~P~s = 4,7420464 ;

m 2p~2 = 7,6595511 , m~P~a = 11,6541828 ;

de sor te que la q u a n t i t 6 2 ( M 2 - 1) = 6 est c o m p r i s e

d ' u n e p a r t en t r e m S po22 e t m 2 p2oa e t

d ' a u t r e p a r t en t r e m ~ P~I et m 2 p~ 12 ;

on v6r i f ie bien, sur le t a b l e a u I I et su r la f igure 22,

que :

- - les 2 p remie re s courbes de d i spe r s ion du gu ide

ple in t e n d e n t vers l ' a s y m p t o t e p a r va l eu r s inf6r ieures ;

- - s e u l e la p r emi6 re c o u r b e de d i spers ion de la

co lonne de p l a s m a dans le v i d e t e n d vers l ' a s y m p t o t e

p a r va l eu r s inf6r ieures ;

- - t o u t e s les au t re s courbes t e n d e n t ve rs l ' a s y m p -

t o t e p a r va l eu r s sup6r ieures .

- - 3 2 6 - -

Fxo. 22. - - Etude d6taill6e des courbes de dispersion au voisinage de co = r pour r > COp, M = 2, rn2p~ 1 = 0,9. Courbes eorrespondant par exemple & N = 1011 el/em 8 (etc.).

On en d6du i t que les dquations de dispersion appro-

chs d 'un guide plein et de guides partiel lement

rempl is ne sont pas les ms au voisinage de l 'asymptote

- - l ' 6 q u a t i o n a p p r o c h 6 e du m o d e d ' o r d r e v d ' u n

gu ide p le in s '6cr i t : �9 Tta = Po~,

- - c e l l e d ' u n gu ide p a r t i e l l e m e n t p le in s '6cr i t :

�9 T ta ~ Pl~ Compte tenu de l'expression approch6e de T I pour

infiniment grand et r voisin de o~c [25] :

C V r177 2 r177 C___i--__ ~s ,

ces 6 q u a t i o n s p e u v e n t s '6crire , p o u r des ondes tr~s

l e n t e s :

- - dans le cas d ' u n gu ide p le in :

�9 (13) 8 ~ = - - ~ - - + 2 r 1 7 7 �9 6 1 1

t. 24, n ~ 9-10, 1969]

2 ~ Cas r > r

- - Bande basse (0 < o~ < r C o n s i d ~ r o n s p l u s i e u r s gu ides , de d i a m ~ t r e s d i f f , -

r e n t s , c o n t e n a n t des c o l o n n e s de p l a s m a i d e n t i q u e s -->

p l ac~es d a n s l a m ~ m e i n d u c t i o n u n i f o r m e B o ". ils

s o n t ca r ac t~ r i s~s p a r les m ~ m e s v a l e u r s de M e t de m

e t des v a l e u r s de p d i f f~ren tes .

D a n s la bande basse, les courbes de dispersion de ces

guides sont prat iquement identiques quet que soit p,

rexcept ion de ceUes du guide plein (? = 1). On p e u t

O N D E S ~ L E C T l t O M A G N ] ~ T I Q U E S E T P L A S M A 19/54

s ' e n r e n d r e c o m p t e e n e x a m i n a n t l a f igure 23 su r l a

que l l e o n a r e p r ~ s e n t ~ les c o u r b e s de d i s p e r s i o n t ier

o n d e s l e n t e s de d i f f~ ren t s g u i d e s c o r r e s p o n d a n t ,

M 2 - - 0,5 ; m 2 po2~ = 0,9 p o u r d i f f6 r en t e s v a l e u r s de p (depu i s p = 1 : g u i d e p le in , j u s q u ' ~ p i n f i n i m e n t g r a n d :

c o l o n n e de p l a s m a s a n s le v ide ) .

L a d i f f6rence e n t r e les c o u r b e s d u g u i d e p l e i n e t

cel les d ' u n g u i d e p a r t i e l l e m e n t r e m p l i r e s t e m a r q u 6 e

m ~ m e a u v o i s i n a g e de l ' a s y m p t o t e co = o~c, e o m m e

le m o n t r e le t a b l e a u I I I c o r r e s p o n d a n t ~ M ~ = 0 ,5

e t m ~ p ~ = 0,9.

to

, / - ,

1 Wp.

to

~J UJp

uJ:~ F, t

W: toe

0 1

~J vop

~):~p

f I

t ~op

FIG. 23. - - Evolution des eourbes de dispersion des ondes lentes pour Op ~ r avec M donn6 (<: 1), m donnd et p variable, M 2 : 0,5, m2p~z = 0,9 Darts les r~gions hachur~es, il y a une infinit6 de courbes.

T A B L E A U I I I

(00 f o p

o~p

T 1 ~ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I re courbe guide plein . . . . . . . . . . . . . . . . . Tla = Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tla = Pll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 "e courbe colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 e courbe guide plein . . . . . . . . . . . . . . . . . T~a = Po2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tla = Pl~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 2 0 courbe colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

0,333

0,306

0,253 0,217 0,214

0,178

1,5

0,473 0,443 0,421

0,356 0,307 0,304

0,255

0,556 0,517 0,501 0,443 0,434 0,381 O,378 O,329 0,324

m m

0,633 0,679 0,599 0,661 0,592 0.659 0,544 01632 0,536 0,627 0,487 0,593 0,484 0,593 0,435 0,556 0,429 0,550

6 8

0,688 0,696 0,674 0,688 0,672 0,687 0,652 0,674 0,650 0,673 0,620 0,654 0,620 0,654 0,590 0,632 0,586 0 , 6 2 9

327 - -

20/54 L ' e x a m e n de ce tableau nous mont re qu ' au voisinage

de l ' a sympto te co = c o c , il se produi t un ph~nom~ne

ident ique h celui qu 'on a mis en 6vidence dans le cas

cop ~ coc, h savoir : en se rapprochant de l ' a sympto te :

- - l e s courbes de dispersion du guide plein de

p lasma t endent vers les courbes Taa = P01 , T~a = Po2

�9 Tla = P 0 ~ ;

- - a u contraire, les courbes de dispersion d 'un

guide parlieIlement rempl i (qui sont p ra t iquemen t

identiques quel que soit ~) t enden t vers les courbes

Tla = P n ; Tla = Pie �9 T~a = p ~ .

Ainsi au voisinage de r les 6quations de dispersion

approch~es de guides par t ie l lement remplis et de

guides eompl~tement pleins sont encore diff6rentes.

Compte tenu de l 'expression de T~ pour ~ inf in iment

grand au voisinage de r elles s '6crivent encore

respec t ivement sous les formes approch6es (13) et (14)

d6jh trouv6es pour coc > co~ �9 La figure 24 sur laquelle

on pr6sente de fa~on d6taill6e des courbes de dispersion

au voisinage de co = coc t6moigne bien de la val idi t6

de ces approximat ions , meme quand on est assez loin

de l ' asymptote .

M

~,~ 4

L

~ o n d u g I ~vl~ C*U,b*

.d Y \ ~ ~ . . . . 2 _

Fro. 24. - - Etude d6taill6e des eourbes de dispersion au voisinage de co = coc pour r < COp, M S = 0,5, m:p2ol = 0,9. Courbes eorrespondant par exemple h N = 1011 el/em a (tp = 2,85 GHz), a = 4,23 cm, B o = 712 gauss (to = 2 GHz).

- - Bande m o y e n n e (co~ < co < V/~-~p + co~ ) Dans le cas od cop :> coc, les faisceaux de courbes

de dispersion trac6es, dans la bande moyenne, pour

M. C A M U S [ANNALES DES T~LI~COMMUNICATIONS

un m~me couple de valeurs de M e t de m, et pour

diff~rentes valeurs de p sont p r a t i quemen t les m~mes

quel que soit p. On ne dist ingue m~me plus les courbes

d 'un guide plein et celles de guides part iel le ment rem-

plis contenant la m~me colonne de p lasma dans la

mdme induct ion magn6t ique B o .

C'est ce que mont re le tab leau IV correspondant

~1 M 2 = 0,5 et mep~ 1 = 0,9.

Ce tableau mont re en outre que, aussi bien pour un

guide plein que pour un guide par t ie l lement rempli,

la courbe de dispersion du mode d 'ordre v e s t tr~s

r i t e confondue avec la courbe Tla = Pov, de sorte

que tous les guides admet ten t , au voisinage de co = cop,

l '~quat ion de dispersion approch~e Tla = Pov qui,

en t enan t compte de l 'expression approch~e de T 1

pour ~ inf in iment grand et co voisin de cop, peut encore

s'6crire sous la forme (12). I1 en r~sulte que clans ce

cas, toutes les courbes t enden t vers l ' a sympto t e par

valeurs d6croissantes (ondes inverses).

- - 0ride de surface

La courbe isol6e qui existe dans le cas d 'un guide

par t ie l lement rempli de p lasma pour cop ~ coc par t

de l 'origine, avec une vitesse de phase voisine de celle

de la lumi~re dans le vide. Elle t raverse d 'abord la

zone imaginaire pour Z off T 1 et T e sont complexes

conjugu6s, puis p6n~tre dans la r6gion off T 1 et T e

sont imaginaires purs. El le reste alors dans cet te

r6gion et tend par valeurs inf6rieures vers l ' a sympto te

horizontale d 'ordonn6e : [(co~ + (,~c2)/2] l ie.

Les propri6t6s de cet te courbe et de l 'onde qui lui

est associ6e appel lent les remarques suivantes :

1 ~ Pour un couple de valeurs M e t m, eet te courbe

est p r a t i quemen t la m6me quel que soit p, c 'est-~-dire

quel que soit le rayon du guide contenant une colonne

de p lasma donn6 dans une induct ion magn6t ique

uniforme donn6e. D'ai l leurs au voisinage de l ' a symp-

tote, cet te courbe ne d6pend p ra t i quemen t pas non

plus de la va leur de m.

2 ~ L '6 tude de la topographic du champ 61ectro-

magn6t ique associ6 h l 'onde correspondant A cet te

courbe mont re que, dans la r6gion off T 1 et T e sont

imaginaires puts, l ' ampl i tude du champ d6croit

rad ia lement quasi exponent ie l lement de par t et d ' au t re

de la surface de s6paration plasma-vide, la d6crois-

sance 6tant d ' a u t a n t plus rapide que l 'on est plus pros

de l ' a sympto te , c 'est-h-dire que l 'onde est plus lente.

Dans ces conditions, le champ n 'exis te p r a t i quemen t

TABLEAU I V

~c lcop

T l a ~ P01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 re courbe colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 r, courbe guide plein . . . . . . . . . . . . . . . . . Tla = Po~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I re courbe colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 re courbe guide plein . . . . . . . . . . . . . . . . .

1,2

1,055 1,063 1,078 1,157 1,158 1,164

1,3

1,055 1,064 1,074 1,154 1,156 1,160

1,4 1,5

1,055 1,054 1,063 1,062 1,071 1,067 1,151 1,147 1,153 1,151 1,157 1,153

1,8

1,050 1,057 1,057 1,137 1,141 1,142

2 3

1,046 1,031 1,053 1,035 1,052 1,032 1,130 1,099 1,135 1,104 1,134 1,101

- - 3 2 8 - -

t. 2 4 , n ~ 9-10, 1969]

q u ' a u vois inage de la surface de s6para t ion (c 'est pour cet te ra ison que l 'onde est appel6e (, onde de surface ))), ce qui expl ique qu ' au voisinage de l ' a sympto t e , la courbe de dispersion ne d6pend que des propri6t6s des mi l ieux situ6s de p a r t et d ' au t r e de cet te surface et non de leurs dimensions t ransversa les .

3 ~ L 'ex i s tence de cet te onde confirme les r6sul ta ts de l '6 tude de la r6flexion et de la r6fract ion d 'une onde 61ectromagn6tique sur un d iop t re p lasma-vide .

E n se r e p o r t a n t h [25], on pen t voir qu 'une 5quat ion approch~e de la courbe de dispers ion de l 'onde de surface peu t s '~crire :

T~ + ~s - - cos r177 ~ T 1 + [r T~ - - o) 2 r ~ T~ + t --

T~ + ~2 co2 C L]C ~ T2 _[_ [r T~ - - co2 z H l c ~ T,,. + t

Au voisinage de l ' a s y m p t o t e , compte tenu des ex- pressions approch6es de T~ et T 2 pour ~ inf in iment grand, ce t te 6quat ion peu t encore se met f re sous la forme plus s imple :

s 2 �9 (17) ~2r

2(co - co ) 2 2 2co2 cop ~- c o c -

(sous cet te forme, on voi t bien que l '6qua t ion de dis- pers ion ne d6pend ni de a ni de p, mais seulement de cop et coc).

On peu t v6rifier que cet te 6quat ion approch6e peu t ~tre utilis6e quand on est assez loin de l ' a sympto t e .

4 ~ En l ' absence de champ magn~t ique , l 'onde de surface est la seule onde lente qui peu t se p ropager le long d 'une colonne de p l a sma : c 'es t uric onde TM. On peu t v6rifier que pour ~ inf in iment grand, l '6qua- t ion de dispers ion des modes TM d 'un guide fi p l a sma sans champ magn6t ique , h savoir :

1 c o ~ 1 141( I t I a) Fo(Ta)

co~ ; - I zl a Ko( It la) '

s e r 6 d u i t h :

2 _ _ 2 0 ) 2 ' cop

qui est b ien semblable h l ' 6qua t ion (17) ci-dessus quand on y fa i t : coc = 0.

50 ) Si le di61ectrique en con tac t avec le p l a sma ava i t une pe rmi t t iv i t6 K :/: 1, la fr6quence de r6so- nance de l 'onde de surface dev iendra i t :

(18) 2(K 2 - 1)

V/[K coc--(2cov +coc)] + 4(cop -~- coc) (K --1)cop]

la forme approch@ (17) ne serai t alors plus valable , mais l ' onde de surface conservera i t qua l i t a t i ve me u t les m6mes propri6t6s.

3) Propri~l~s grin@ales des ondes lel~tes. Evoluliot~ de leurs courbes de dispersion.

L'ensemble des r6sul ta ts que nous venons de pr6- senter peu t se r6sumer ainsi.

ONDES ]~LI~CTnOMAGN~TIQUES ET PLASMA. 21/54 En r6solvant r igoureusement l ' 6qua t ion de disper-

sion d 'un guide h p lasma, nous avons mont r6 que dans le domaine des ondes tr~s lentes, elle peu t 6tre remplac6e par des formes approch6es que nous avions pr6vues en 6 tud ian t la r6flexion et la r6fract ion d 'ondes planes sur une surface l im i t an t le p lasma. Ces formes approch6es r6gissent les propri6t6s des ondes tr~s lentes et l '6volu t ion de leurs courbes de dispersion au voisinage des fr6quences de r6sonance qui sont : la fr6quence de p lasma, la frSquence cyc lo t ron et, quand elle existe, la fr6quence de r6sonance de l 'onde de sur-

face.

1. Au vois inage de la fr6quence de p lasma, la forme approch6e ob tenue (12) est celle qu 'on ob t i end ra i t en u t i l i san t l ' a p p r o x i m a t i o n quasi s ta t ique . El le mon t re que les propri6t6s des ondes lentes pour 6) voisin de cop d6pendent su r tou t des earae t6r i s t iques du p la sma (a, cop et coc) et p r a t i q u e m e n t pas du mil ieu qui l ' en toure [22]. En par t icu l ie r pour une m6me colonne de p l a sma (m6mes valeurs de a, cop et coo), ces propri6t6s sont presque les m~mes pour un guide

(co~ Jr r e plein ou pour un guide pa r t i e l l emen t rempl i et, dans -~ ce dernier cas, elles res te ra ien t les m~mes, quel que

2 3co2| soit le d iam~tre du guide si, ent re sa paro i et la colonne cop - - I ' de p lasma, on p laca i t plusieurs couches de di61ectriques

diff6rents. Cela t i en t au fair qu '~ l ' ex t6r ieur du p lasma , le champ 61ectromagn6tique associ6 h unc onde tr~s ]ente d@roi t r ad i a l emen t inf in iment r i t e .

Quant h l '6volu t ion des courbes de dispersion au voisiuage de COp, elle peu t 6tre suivie s implement pa r t i r de l 'Squat ion (12). On r emarque en par t i cu l ie r que :

pour cop et coc donn6s, pour une fr6quence et un mode de p ropaga t i on d6termin6s, une va r i a t ion de a en t ra lne une va r ia t ion de ~ telle que le p rodu i t ~a reste c o n s t a n t ;

- - pour cop e t a donnSs, pour une fr6quence et un mode de p ropaga t i on d6termin6s, une augmen- t a t ion de coc ent ra ine :

une d iminu t ion de ~ pour cop < r

une augmen ta t i on de ~ pour cop > coc-

2. Au vois inage de la fr6quence cyclot ron, les formes approch6es obtenues (13) et (14) sont diff6rentes selon qu ' i l s ' ag i t d ' un guide plein ou d ' un guide par - t i e l lement rempl i de p lasma. Elles sont d ' a u t r e p a r t plus pr@ises que celle qu 'on ob t i end ra i t en u t i l i san t l ' a p p r o x i m a t i o n quasi s ta t ique. Dans le cas d 'un guide pa r t i e l l emcn t rempli , l 'Squat ion de dispersion appro- ch6e (14) mon t re que les propri6t6s des ondes lentes pour co voisin de coc d6pendent su r tou t des caract6ris- t iques du p la sma (a, cop et coc) et p r a t i q u e m e n t pas du milieu qui l ' en toure . Elles res te ra ien t les m~mes pour une m~.me colonne, quel que soit le d iam~tre du guide et m6me si plusieurs couches de di61ectriques diff6rents s6paraient le p l a sma de la paro i du guide.

L '~volut ion des courbes de dispersion au vois inage de coc peu t 6tre suivie s implement h p a r t i r des 6quat ions (13) et (14) et en t e n a n t compte , lorsque coc > r des in6galit6s (15) et (16) qui p e r m e t t e n t de pr6voir

- - 329 - -

2 2 / 5 4

la posi t ion d 'une b ranche de eourbe de dispersion au-dessus ou en dessous de son asympto te .

3. Quand le p l a sma est en con tac t avec un di61ec- t r ique (cas d ' un guide pa r t i e l l emen t rempli) , une onde de surface est suscept ible de se propager dans le guide avec, quand co v > r une vi tesse de phase tr~s inf~- r ieure ~ la vi tesse de la lumi~re dans le vide. Cette onde tr~s lente existe au vois inage d 'une f r fquence de rfiso- nance [25l comprise ent re r et r et qui ne d~pend que de la fr6quence de p lasma , de la f r fquence cyclo- t ron et de la pe rmi t t i v i t6 du di61cctrique en con tac t avec le p lasma. Au vois inage de cet te fr6quence, les propri6t6s de l 'onde de surface sont p r a t i q u e m e n t iud6pendantes des d imensions g6om6triques du guide et res te ra ien t les m6mes si, ent re p l a sma et guide, on pla~ai t plusieurs couches de di61ectriques ou bien si le p l a sma n '6 t a i t pas homog~ne t r a n s v e r s a l e m e n t : elles ne d6pendent que des caract6r is t iques du p l a sma et du di61ectrique avec lequel il est en con tac t au

voisinage de leur surface de s@aration. La re la t ion (17) est une forme approch6e de l ' 6qua t ion de dispers ion de l 'onde de surface va lab le pros de sa fr6quence de r6sonance ; on peu t l 'u t i l i ser pour 6tudier l '6volut iou de la courbe de dispers ion cor respondante .

4. En r e p o r t a n t dans les expressions des composan- tes du champ 61ectromagn6tique les valeurs approch6es de ~, on v6rif ierai t qu ' au vois inage des fr6quences de r6sonance les ondes lentes sont quasi TM.

1.2. ]~tude exp6rimentale de la propagation des ondes lentes.

De nombreuses exp6riences de p ropaga t ion d 'ondes lentes dans les guides ~ p l a sma ont 6t6 fai tes p a r plusieurs au teurs qui les ont l a rgemen t d6crites dans divers ar t ic les (voir p a r exemple : [20, 28, 30, 33, 34]). Dans la p l u p a r t des cas, les r6sul ta ts de ces exp6riences peuven t 6tre in terpr6t6s /~ pa r t i r d 'une th6orie de p ropaga t ion fai te pour un p l a sma h o m o g 6 n e ; on cons ta te en effet qu ' i l y a u n e bonne cor respondance entre les courbes de dispers ion exp6r imenta les et les courbes th6oriques obtenues en p o r t a n t dans l '6qua t ion de dispersion du guide /t p l a sma homog6ne une fr6quence de p l a sma mesur6e exp6r imen ta lement , soit ponc tue l l ement au moyen d 'une sonde 61ectrostatique, soit g loba lement e n u t i l i s an t pa r exemple une mf - thode de r6sonance.

Dans le cadre d ' une 6tude de l ' in te rac t ion ondes lentes-faisceau d'61ectrons dans un p l a s m a gazeux [35, 36], nous avons fa i t /~ not re tou r de nombreuses exp6riences de p ropaga t i on le long de la colonne posi- t ive d 'une d6charge gazeuse ~ ca thode chaude, entour6e ou non d ' un guide d 'onde circulaire, en pr6- sence d 'une induct ion magn6 t ique uni forme longi tu- dinale. Nos premieres exp6riences 6taient t ou t ~ fair semblables ~ celles d6j~ d6crites dans la l i t t6 ra tu re , pa r r a p p o r t auxquel les elles n ' a p p o r t a i e n t aucun 616ment nouveau : elles nous ont s implement permis de cons ta te r qu ' i l est effect ivement possible, dans de n o m b r e u x cas, d ' exp l ique r les r f su l t a t s exp6 r imen taux

M, CA.MU~ [ANNALES DES T~L~COMMUNICATIONS

au moyen d 'une th~orie fai te pour un p l a sma homo- g~ne,

Cependant , l*6tude exp6r imenta le de l ' in te rac t ion fa isai t appa ra i t r e des imperfec t ions dans la connais- sance des propri6t6s des oudes lentes , et nous condui- sa l t ~ observer les ph6nom~nes avec plus de soin et chercher une pr6cision tou jours plus grande dans les mesures. C'est pourquoi , afin de lever la r6serve due

l ' impr6cis ion des m6thodes de d iagnos t ic de p lasma g6n6ralement utilis6es, nous avons imagin6 de nouvelles exp6riences qui deva ien t nous p e r m e t t r e ~ la fois de v6rifier la th6orie expos6e dans la premibre par t ie , et de mesurer la densit6 de nos p lasmas en ne /aisant que des mesures de propagation. Nous avons alors consta t6 qu 'en d6pi t des apparences , th6orie et exp6- r ience n '6 ta ien t pas tou jours en tr~s bon accord. Le mod61e th6orique utilis6 jsuque-l~ pour d6crire nos colonnes de p l a sma n '6 t a i t p r o b a b l e m e n t pas assez pr6eis : il fa l la i t done y in t rodui re des ph6nom~nes p r6a l ab l emen t n6glig6s.

Or, ~ la r6flexion, l 'une des hypotheses adopt6es nous a, plus que tou t e autre , pa ru suspecte : il s ' ag i t de celle conce rnan t l 'homog6n6it6 de la colonne de p lasma. Afin de la v6rifier, nous avons am~lior6 not re technologie e t n o s m6thodes de mesure et mis au po in t des disposit i fs p e r m e t t a n t de d6terminer avec une bonne pr6cision (au moins en va leur re la t ive) les var ia t ions radia les de densit6 darts nos tubes p lasma. Nous avons pu alors cons ta te r que dans ces tubes , les densit6s va r ien t effect ivement le long d ' u n r ayon entre r a x e et le bo rd de la colonne, ce t te var ia - t ion p o u v a n t etre de grande ampl i tude , d ' a u t a n t plus que le p l a sma baigne darts une induc t ion magn6t ique plus forte.

Nous avons fa i t de tr6s nombreuses exp6riences de p ropaga t i on et relev6 les courbes de dispersion d 'ondes lentes pour des condi t ions exp6r imenta les tr~s vari6es. Nous ne pr6seuterons ici que quelques-unes de nos exp6riences, choisies pa rmi les plus s iguif icat ives pour bien mon t r e r l '6volut ion qui nous a p rogress ivement condui t ~ me t t r e en doute l ' hypoth~se de l 'homog6n6it6 des colonnes de plasma.

L2.1. Premidre s~rie d'exp~riences : confir- mation des r~sultats d~jd obtenus par d'autres auteurs .

Dans les premieres exp6riences r6alis6es, le p l a sma 6ta i t eonst i tu6 pa r la colonne posi t ive d 'une d6eharge gazeuse ~ ca thode chaude r6alis6e clans des t ubes scell6s con tenan t de la vapeur de mercure.

Description des tubes ~t ddcharge.

Les tubes sont en verre ou en quar tz , ils ont la forme repr6sent6e figure 25. Ils comprenneu t t rois par t ies :

- - dans la premi6re, se t rouve la ca thode , plac6e l ' in t6r ieur d ' u n manchon m6tal l ique amagn6t ique

(molybd~ne) charg6 de collecter les ions. Nous avons util is6 soit des ca thodes ~ chauffage direct ( f i l aments de tungst~ne), soit des ca thodes /l oxyde de formes diverses ;

- - 330 - -

n ~ 9-10, 1969] O N D E S I ~ L E C T R O M A G N I ~ T I Q U E S E T P L A S M A 23/54

Fro. 25. - - Tube h d6charge ~ vapeur de Hg.

- - la deuxi6me par t ie est la part ie utile contenant

la colonne posi t ive et le long de laquelle on fait se

propager les ondes lentes. Son diam~tre ext6rieur varie,

su ivant les mod~Ies, de 8 h 14 m m ; sa longueur de

20 h 45 cm ; son 6paisseur de 1 h 1,5 mm ;

- - la derniSre partie, enfin, cont ient l 'anode,

consti tu6e par un disque ou un cylindre de molybd~ne

ou de graphite, dont les dimensions sont impos6es

par l '6nergie calorifique h dissiper, c 'est-h-dire par le courant de d6charge.

Le mercure est g6n6ralement contenu clans un

queusot, sorte d 'appendice que l 'on peut 6ventuelle-

ment plonger dans un bain de l iquide thermosta t6

pour fixer la pression de vapeur sa turante en ut i l isant

le prineipe de la paroi froide. En fair, nous n 'avons

pas jug6 n6cessaire, au d6but de nos exp6riences, de

nous entourer de grandes pr6cautions : en effet, nous

6tions alors sur tout int6ress6s par l 'aspect qual i ta t i f

des ph6nomSnes ; aussi avons-nous le plus souvent

pr6f6r6 un fonc t ionnement non thermosta t6 , ~ temp6-

ra ture ambiante , qui 6vitai t la complicat ion des

montages exp6r imentaux. Darts ces conditions, la

pression de vapeur sa turante de mercure est voisine

de 2.10 -8 tort . Cependant, un tel fonc t ionnement

n 'es t satisfaisant que si on l imite sup6rieurement la

valeur du courant de d6charge : dans le cas contraire, le tube se met rap idement h une temp6ra ture sup6-

rieure h la temp6ra ture ambiante , sur tout lorsqu ' i l

est contenu h l ' int6rieur d 'un guide d'ondes.

Pour mesurer les densit6s de plasma obtenues dans

ces tubes h vapeur de mereure, nous avons eu recours

essent ie l lement h la m6thode des sondes de Langmui r

en ut i l isant des sondes fixes soud6es au tube de verre.

Les densit6s observ6es 6talent de t 'ordre de 1011 h

10 TM 61ectrons/em a pour des courants de d6charge

va r i an t de 0,1 /k 1 amp6re.

Description du montage expdrimental : propagation dans un guide partiellement rempli de plasma.

Le tube h plasma cst plac6 h l ' in t~r ieur d 'un guide

dans lequel on mesure la vitesse de phase des ondes

par une m6thode d 'ondes stat ionnaires.

Le montage r6alis6 est repr6sent6 sch6mat iquement

figure 26.

Le tube ~ d6charge est plac6 ax ia lement ~ l ' in t6r ieur

d 'un guide d 'onde circulaire dont une extr6mit6 est

ferm6e par une charge adapt@, l ' au t re par un piston

de court-circui t mobile. Deux antennes fixes, plac6es

dans un m6me plan diam6tral , p e rm e t t en t d 'exci ter

et de d6tecter des oscillations h l ' int6rieur du guide.

L 'ensemble est plac6 dans l ' axe d 'un sol6noide qui

cr6e une induct ion magn6t ique longi tudinale dont la

valeur peut a t te indre 2 000 gauss : il lui correspond,

par cons6quent, une fr6quence cyclotron max imale

d ' env i ron 5 600 MHz.

FIa. 9.6. - - Sch6ma de principe du guide h plasma exp6Ti. mental.

Lorsqu 'une onde est excit6e par l ' an tenne ~mettrice,

elle se rdfl6chit sur le piston de court-circui t qui en-

gendre dans le guide un syst6me d 'ondes stat ionnaires.

On peut enregistrer ce syst~me cn d6pla~ant le piston,

et en appl iquant , sur les entr6es d 'un enregistreur (x, Y):

- - en X, une tension d6pendant l in6airement de la

posit ion du piston,

- - en Y, le n iveau du signal re~u par l ' an tenne

r6ceptrice.

D ' au t r e par t , afin de d6terminer la forme de la

var ia t ion az imuta le des champs 61ectromagn6tiques,

on a r6alis6 un dispositif annexe, qui peut 6tre adjo in t

au montage de la figure 26 et qui pe rmet de faire

tourner une antenne r6ceptrice dans le guide au tour

de l ' axe du syst6me.

- - 3 3 1 - -

2 4 / 5 4 M. CAMUS

Choix des paramOlres du montage. Grandeurs m e s u r ~ e s .

Les r6sul ta ts que nous allons prdsenter sont relat i fs :

- - h un tube de d iam~tre extdr ieur 14 m m et d 'dpais- seur 1,5 m m environ,

- - ~ un guide de d iambt re in tdr ieur 35 m m (la

frdquence de coupure du mode T E l l du guide en l ' absence de p l a s m a est de l ' o rd re de 5 000 MHz),

~ une gamme de frdquences l imitde supdrieure- m e n t h 2 000 MHz (pour ne pas ~tre g~nds pa r l 'exis- tence d 'ondes rapides) et infdr ieurement h 500 M H z (afin de l imi ter la longueur du guide ~ p l a sma qui dol t r e s t e r dans une pa r t i e homog~ne de l ' i nduc t ion magndt ique) ,

h un couran t de d~charge var iab le de 100 h 500 mA,

h une fr6quence cyclo t ron var iab le de 0 h 5 600 MHz. ~ 0

E n la i ssant fixes tous les au t res parambtres , nous raisons var ie r la frdquence du signal appl iqud sur

l ' an t enne dmettr ice. Pour chaque va leur / de cet te frdquence, nous enregis t rons le systSme d 'ondes ~o~ s ta t ionnai res sur lequel nous mesurons la longueur d 'ondes k des ondes lentes dventue l lement excitdes. Nous t ra~ons alors les courbes de dispers ion ([, 1 ]k) de ces ondes. Nous avons repr6sentd figure 27, un jeu de courbes de dispers ion relevdes pour divers couples s00

de valeurs du couran t de ddcharge I~ et de la frdquence cyclot ron f t .

I1 a p p a r a i t tr~s d i s t inc t emen t que ces courbes appa r t i ennen t it deux familles notdes I e t I I sur la figure 27 : les enrcg is t rements de la va r i a t ion az imuta le d e s champs 61ectromagndtiques associ~s m o n t r e n t s a n s

ambigui t6 q u ' a u x courbes de la p remiere famil le cor respondent des modes h symdtr ie de rdvolut ion, t and i s qu 'h celles de la seconde cor respondent des m o d e s m -- =k 1 (Fig. 28). Darts ce qui suit , nous nous intdressons seulement aux modes h symdtr ie de rdvo- lut ion, c 'es t -h-di re aux courbes de la premi6re famille.

[ANNALBS DES T]~L]~COMMUNI~ATION$

tooo

o

/ u / J *

o,,5

| A

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o,s

S

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. /

b

Analyse el inlerprdlalion des r~s~dlats. 40o0 Essayons de compare r ces courbes aux rdsul ta ts

thdoriques 6nonc6s dans la premiSre par t ie . /

/ Q u a l i t a t i v e m e n t : d ' a p r ~ s l e u r allure gdn6- rale, on vol t qu 'el les sont t ou t h fa i t semblables soit h la courbe de d ispers ion th~orique de l 'onde de surface ~00 i " / (pour [~ ~ [c), soit h celle du mode le plus simple / ~ de la bande basse (pour [~ ~ fc). Elles suivent d 'a i l - leurs tr6s bien l ' dvo lu t ion prdvue de ces courbes :

elles peuven t ~tre t rac6es m~me en l ' absence d ' in- duct ion magnd t ique : or, on sal t que darts ce cas, les o seules ondes lentes suscept ib les de se propager sont d e s ondes de surface,

pour de faibles va leurs de fc, elles coupent la droi te hor izonta le d 'o rdonnde [c,

l eur 6volut ion en fonct ion des param6t res va darts le bon sens h savoir : une augmen ta t i on de Ia ( d o n e

/

o,s 4 4,5

r

C

J f

FIG. 27. - - Courbes de dispersion exp6rimentales , guide partiel lement rempli de plasma de mercure, a) fc = 525 MHz, -/- Id ~ 150 mA, A I d = 250 mA, �9 Id ~ 500 m A ; b) lc = 1 0 5 0 MHz, ~- Id = 150 m A , A l d ~ 250 m A , � 9 id ffi 500 m A ; c) fc = 3 150 MHz, -b I d --- 150 m A , A ld ffi 250 mA, �9 /~ = 500 m A ; d) Id ~-- 250 m A , + fc •ffi 1 050 MI-~,

A/c ----- 2 I00 MHz, 0 /c =~ 4 200 MI--Iz.

- - 3 3 2

t. 24, n ~ 9-10, 1969]

i

I

) c d

O N D E S I~LECTI1OMA.GNI~TIQUES ET P L A S M A 25]54 ~lectromagn6tique diminue a v e c l a vitesse de phase

(ce ph6nom~ne est 6v idemment tr~s nuisible ~ l 'exci-

t a t ion d 'ondes lentes par des antennes ext6rieures au

tube ~ plasma). Une autre raison in te rv ien t d 'ail leurs

pour l imiter l ' ampl i tude des ondes au voisinage de

l ' a sympto te : c 'est l ' exis tence dans le plasma de

collisions qui in t roduisent une a t t6nuat ion darts l a

propagat ion, a t t enua t ion d ' a u t a n t plus grande qu 'on

est plus pros de l ' a sympto te .

Aussi, pour ten te r de me t t r e en 6vidence l 'exis tence

des asymptotes horizontales et pour en d6terminer la

position, nous avons imagin6 un nouveau processus

exp6rimental que nous allons d6crire main tenant .

Flu. 28. - - Variation azimutale du champ 61ectromagn6tique ; a) ic =: 0, Ia = 350 mA, f = 900 MHz ; b) f~ = 1 050 MHz, la = 350 mA, i = 900 MHz; c)i~ = 0, la : 250 mA, / -- 1 400 MHz ; d) /c = 525 MHz, ld -- 250 mA, / 1 400 MHz.

de Iv) h [ c constant , Oll une augmenta t ion de [c h Id

constant les rel ive.

Q u a n t i t a t i v e m e n t : il est possible de super-

poser aux courbes exp6rimentales des courbes th6o-

riques correspondant ~ une colonne de plasma

homog~ne dont le rayon et la fr6quence de plasma

sont en bon accord avec les valeurs mesur6es. Jusqu '~

ce point, nous avons obtenu par cons6quent des r6sul-

ta ts tou t 'a fair comparables ~ ceux pr6alablement

d6crits par d 'au t res auteurs et, selon lesquels, il est

ef fect ivement possible d 'appl iquer une th6orie faite

pour un p lasma homog~ne.

Nous voulions cependant aller plus loin en v6rifiant

que les courbes exp6rimentales t enden t bien vers des

asympto tes horizontales dont les ordonn6es ne de-

v ra ien t d6pendre, selon la th6orie, que des grandeurs

caract6risant le plasma et seraient par cons6quent

tr~s significatives quan t a la confi rmat ion de la th6orie.

Cette v6rif ication est malheureusement tr~s difficile

h obtenir en ut i l isant cet te m6thode exp6rimentale.

En effet, lorsqu 'on se d@lace le long d 'une courbe

de dispersion exp6rimentale ~ fr6quence croissante, on

constate que le niveau du signal resu diminue tandis

que le coefficient de r6flexion du piston de court-circui t

se d6grade. La mesure de la longueur d 'onde devient

par eons6quent difficile et peu precise. Ce ph6nom~ne,

qui accompagne une d iminut ion de la vitesse de phase,

s 'expl ique de la fa~on suivante : on salt que le champ

61ectromagn6tique associ6 h une onde lente d6cro~t

rad ia lement dans Fair qui entoure le tube ~ plasma,

et ce d ' a u t a n t plus r i t e que l 'onde est plus lente. Les antennes et la par t ie r6fl6chissante du piston de court-

circuit se t r o u v e n t doric dans une r6gion o~ le champ

L2.2. Deuxigme s~rie d'exp~riences : d~termi- nation des asymptotes horizontales.

L'id6e utilis6e est la suivante : consid6rons, dans le

cas d 'un guide par t ie l lement rempli de plasma, les

ondes lentes (th6oriques) dont les courbes de dispersion

par ten t de l 'origine. Ces ondes exis tent dans un

domaine de fr6quences limit6 sup6rieurement par fv

s i / v < / c et p a r / s (donn6 par la relat ion 18) si fv > / c �9

Cette l imite sup6rieure est 6v idemment une fonct ion

de /v (toutes choses 6tant 6gales par ailleurs) repr6-

sent6e par une courbe que nous avons trac6e figure 29.

Cette courbe est tr6s caract6rist ique puisqu 'el le est

compos6e de deux branches, se raccordant au point

d'abscisse /p -- /c et d 'ordonn6e / = /c avec des

tangentes diff6rentes : nous allons ten te r de la re t rouver

exp6r imentalement .

P4 """ \

FIG. 29. - - Limite sup6rieure th6orique de la bande basse.

Pour cela, nous employons le montage repr6sent6

sch6mat iquement (Fig. 30) dans lequel, le tube h

plasma, centr6 sur l ' axe du sol6noide, est support6

par deux cavit~s cylindriques h l ' int6rieur desquelles

sont plac~es deux antennes. Dans un tel montage ,

une onde lente excit6e par la cavit6 6mettr ice sera

d6tect~e darts la cavit6 r6ceptrice avec un n iveau

d6pendant peu de la distance des cavit6s puisque

l '6nergie qu'el le t ranspor te est canalis~e par la coloune

de p lasma et n 'es t pas rayonn6e t ransversa lement .

Pour d~terminer un point de la courbe l imite cher-

ch6e, on op~re de la fa~on suivante : ayan t fix6 la

fr6quence cyclotron, on appl ique sur l ' an tenne

d '~mission un signal de fr~quenee / donn~e. Si le eou-

333

2 6 / 5 4 M. CA.MUS [ANNALES DSS T~LI~COMMUNICATIONS

n n ' 6 t a i t c ependan t pas p r u d e n t de g~n6raliser ce t te conclusion apr~s une s6rie d 'essa is effectu6s avec un seul t y p e de p lasma. D ' a u t a n t p lus que les r6sul ta ts ob tenus avec des tubes h v a p e u r de mercure peuven t 6tre mis en doute darts la mesure ot~ ces tubes ne sont pas thermos ta t6s . Aussi , avons-nous recommenc6 ce t te m6me exp6rience avec des tubes ~ p l a sma du m6me type , mais c o n t e n a n t d ' a u t r e s gaz de rempl is- sage.

Fro. 30. - - Propagation d'onde le long d'un plasma : a) sch6ma de principe ; b) r6alisation exp~rimentale.

r a n t de d6charge du t u b e h p l a s m a est suff isamment 61ev6, c 'est-f i -dire si la fr6quence de p l a sma est assez grande, on dol t se t r ouve r h droi te de la courbe l imite , dans la r6gion oh une onde lente peu t se p ropager le long de la colonne : un signal est alors d6tect6 sur l ' an t enne rficeptrice. On fa i t ensui te d iminuer le couran t de d~charge ju squ 'h ce que le n iveau de ce s ignal d~tect6 s ' annu le (ou du moins devienne inf6rieur au seuil de sensibil i t6 des appare i l s de mesnre) : on est alors arr iv6 sur un po in t de la courbe cherch6e.

a) P l a s m a s de mercure .

Nous avons t rae6 de ce t te fa~on un grand nombre de courbes l imites avec les tubes ~ vapeur de mercure d6crits ci-dessus. Des exemples significatifs de courbes obtenues sont donn6s p a r la figure 31 off l 'on a repr6- sent6 en fa i t les va r i a t ions de la fr6quence l imi te en fonct ion des couran ts de d6charge et non en fonct ion de la fr6quence de p lasma. Comme ces deux grandeurs sont li6es d ' une fagon cont inue, on devra i t malgr6 cela r e t rouve r l ' a l lure tr~s carac t6r is t ique des courbes th6oriques avec appa r i t i on d ' un po in t de cassure pour lequel la fr6quence l imi te sera i t 6gale h la lois h la fr6quence cyc lo t ron et h la fr6quence de plasma. Or ce ph6nom~ne n ' a p p a r a i t pas d i s t inc t emen t sur les courbes relev~es : les pr6visions th6oriques de la pre- miere pa r t i e semblen t donc ne pas s ' app l iquer parfa i - t e m e n t aux condi t ions exp6r imenta les dans lesquelles nous nous sommes plac6s.

FIG. 31. - - Tube h Hg. Courbes limites de la bande basse, influence du champ magn6tique -{- tc ---- 0, A [c = 525 MHz,

�9 [c ----- 1 050 MHz, w . _ _ fc ----- 2 100 MHz.

b) P l a s m a s de xdnon.

Apr~s avoi r essay6 divers gaz rares, nous avons fix6 no t re choix sur le x~non qui pr6sente les a v a n t a g e s su ivan ts :

il s ' ionise fac i lement sous de faibles tens ions de d6charge,

il est t~ p ropre , du po in t de vue du b ru i t rad io- 61ectrique ; or ce b ru i t sera i t t rbs g6nant dans l 'exp6- r ience d6cri te pu isqu ' i l dd t6r iorera i t le seuil de sensi- bil i t6 adopt6 pour d6 terminer les poin ts de la courbe l imite .

Les tubes h p l a s m a de x6non sont rempl is fi une pression de 2 tor rs (pour des pressions inf6rieures ce t te valeur , des ph6nombnes d ' a b s o r p t i o n du x6non pa r le ver re modi f ien t r a p i d e m e n t les carac t6r i s t iques des tubes) ; on peu t y faire des d6charges a l l an t j u squ ' h 1,5 A sous une tens ion cont inue d ' env i ron 40 V maxi -

mum. Les densit6s de p l a sma ob tenues dans ces t ubes on t

6t6 mesur6es de plusieurs fa~ons : m~thode de la cavi t6 [36], m6thode de la l igne fi b a n d e [37], u t i l i sa t ion de sondes de Langmui r .

A t i t re indicat i f , on a por t6 snr la figure 32 les va leurs moyennes de fr6quenees d e p l a s m a mesur6es pou r

- - 334 - -

t. 24, n ~ 9-10, 1969] ONDES ]~LECTROMAGN~TIQUES ET PLASMA

I !

11

is

s l

too

:_ i_-I I - i -

-i-, -i-

i

_!_ I I

I I

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- i -

F

7 I

Fro. 32. - - Fr6quence de plasma d'un tube h x6non, longueur du tube : 340 mm hors tout, longuer utile : 250 ram, diam~tre e x t 6 r i e u r : (I) = 8,9 ram, pression du x6non : 2 mm de Hg, t e n s i o n de d6charge : 24 V pour ld = 200 mA, 34 V pour

Id = 1 000 mA.

d ivers c o u r a n t s de ddcharge en l ' a b s e n c e d ' i n d u c t i o n

m a g n 6 t i q u e : ces va l eu r s son t t o u t h f a i t r e p r o d u c t i b l e s

e t ne son t p r a t i q u e m e n t pas affect6es p a r la t e m p 6 -

r a t u r e du tube . On c o n s t a t e que les f r6quences de

p l a s m a ob t enues son t assez 61ev6es, ce qu i est en bon

acco rd a v e c les r6su l t a t s d ' a u t r e s a u t e u r s [ 3 8 ] ; on

r e m a r q u e d ' a u t r e p a r t qu ' e l l es v a r i e n t p r o p o r t i o n n e l -

l e m e n t it la r ac ine carr6e du c o u r a n t de d6charge , ce

qu i co r r e spond au fai t , g6n6 ra l emen t admis , q u ' e n

l ' a b s e n c e d ' i n d u c t i o n m a g n 6 t i q u e , la dens i t6 de p l a s m a

va r i e p r o p o r t i o n n e l l e m e n t i~ ce cou ran t .

U t i l i s a n t ces t u b e s h x6non dans le m o n t a g e it d e u x

cav i t6s d~cri t f igure 30, nous a v o n s de n o u v e a u re lev6

les courbes l i m i t a n t le d o m a i n e de p r o p a g a t i o n des

ondes l en tes e t nous avons cons t a t6 ce t t e fois que ces

courbes o n t b ien l ' a l l u re a t t e n d u e , c o m m e le m o n t r e

la f igure 33 : elles son t en effet cons t i tu6es de d e u x

pa r t i e s se r a c c o r d a n t en un p o i n t d ' o r d o n n 6 e vo i s ine

de /e a v e c des p e n t e s dif f6rentes . Cc p h 6 n o m ~ n e est

d ' a u t a n t p lus n e t que la f r6quence c y c l o t r o n est p lus

61ev6e.

A t i t r e de v6 r i f i c a t i on q u a n t i t a t i v e , nous avons

d6du i t des courbes l im i t e s re lev6es les va l eu r s de

f r6quences de p l a s m a c o r r e s p o n d a n t h d ive r s c o u r a n t s

de d6charge , en l ' a b s e n c e d ' i n d u c t i o n m a g n 6 t i q u e .

E n c o m p a r a n t ces va l eu r s h celles o b t e n u e s p a r d ' au -

t r es m 6 t h o d e s (Fig. 34), on c o n s t a t e que , si dans

l ' e n s e m b l e il y a u n e c o r r e s p o n d a n c e assez bonne , il

subs is te u n e diff6rence qu i es t d ' a i l l eu r s d ' a u t a n t p lus

g r a n d e q u e le c o u r a n t de d6charge est p lus 61ev6. P o u r

e x p l i q u e r c e t t e d ive rgence , on p o u r r a i t i n v o q u e r

l ' impr6c i s ion des mesu re s ; m a i s on p e u t ~ g a l e m e n t

suppose r q u e le p l a s m a est i n h o m o g ~ n e r a d i a l e m e n t

e t q u e les m 6 t h o d e s de m e s u r e ut i l is6es d o n n e n t une

v a l e u r m o y e n n e de la f r6quence de p l a sma , t a n d i s

q u e la c o u r b e l i m i t e ne f a r i n t e r v e n i r que la f r6quenee

de p l a s m a sur le b o r d de la co lonne (w I 1-4).

On v e r r a p a r la sui te que ce t t e h y p o t h ~ s c est b ien

just i f i6e. Mais a u p a r a v a n t , nous a l lons d~crire u n e

e

o

+ L

e

4

o z +

A

- - - A - -

s §

A 4

~ 4

2. .I.

& §

,l~

27/54

FIG. 33. - - Limite de la bande basse avec tube de x6non. + [c : 0, A f c = 3150 MHz, O [c : 4750 MHz.

7

o

Fro. 34. - - Comparaison des fr~quences de plasma d'un tube x6non obtenues par mesure de propagation et par mesure

�9 direete ,. �9 tp donn6e par mesures de propagation, A f p moyenne donn6e par mesures �9 directes ,.

a u t r e s6rie d ' exp6 r i ences qui , d ' u n e a u t r e fa~on,

nous a c o n d u i t s h des conc lus ions i den t iques .

- - 3 3 5 - -

28/54

L2.3. Trois i~me s~rie d'exp~riences : relev~ de courbes de d ispers ion darts un montage sur p o m p e d vide.

Les experiences que nous allons d~crire m a i n t e n a n t ont ~t~ r6alis~es avec la colonne positive d 'une d6- charge h cathode chaude dans du x~non ~ une pression

de 10 -a torr. D'apr~s ce que nous avons dit, pour t ravai l ler h de telles pressions, on ne peut plus utiliser

des tubes scell~s : il faut employer un montage sur

pompe.

1. Description du montage.

Le montage exper imenta l est repr~sentd figure 35. Sa part ie principale est cons t i tu te par un tube de verre, d 'envi ron 1 m de longueur, h l ' int~rieur duquel on crde la d6charge. La part ie utile du tube, con tenan t la colonne positive, a u n diam~tre ext~rieur de 14 m m

et une 6paisseur de 1,5 ram.

--'T~ i!i:-11} ! i:i~ i:!}i:!:}:: :}=:i !

M . C A M U S [ A N N A L E S D E S T ] ~ L ~ C O M M U N I C A T I O N g

t ion magn~t ique longitudinale. Cependant , les r~sultats que nous allons presenter ont ~t~ obtenus sans induc-

t ion magn6tique.

2. Experiences de propagation.

Le principe des experiences de propagat ion r~alis6es

avec ce montage est toujours le m~me �9 une onde ~lectromagn~tique excit6e le long de la colonne de plasma par une an tenne ~mettrice se r6fl~chit sur un

piston de court-circuit qui cr~e u n r~gime d 'ondes

stat ionnaires.

Sur l ' enregis t rement de ces ondes, on mesure la longueur d 'onde k de propagat ion. E n fait, avec ce montage, nous avons pr6f~r~ laisser fixe le pis ton de

court-circuit et d~placer l ' a n t e n n e r6ceptrice.

Cette disposition pr~sente l ' avan tage de ne pas modifier, pour une fr~quence et un plasma donn6s, l ' imp6dance sur laquelle est fermd le guide h plasma :

te coefficient de r6flexion reste done bien le m~me tou t

le long de l 'enregis t rement .

Nous avons proc6d~ de cette fa~on h deux s~ries d'exp~riences, d 'une part , en pla~ant u n guide d 'ondes circulaire au tour du tube h plasma (guide par t ie l lement rempli de plasma), d ' au t re part , sans util iser de guide. Les figures 36 et 37 donnen t des exemples de courbes de dispersion exp6rimentales relev6es dans les deux cas pour diverses valeurs du courant de d6charge.

FIG. 35. --- Schema de principe du guide h plasma utilisant un montage sous pompe h vide.

Le tube est ouver t h ses deux extr~mit~s :

- - l ' une de ses extr~mit~s est reli~e h u n groupe

de pompage par l ' interm~diaire d ' u n t u y a u m~tall ique qui erie, en r~gime dynamique , une perte de charge entre le tube h plasma et le groupe ; lorsque la pression

est de 10 -3 torr dans le tube, elle n 'es t plus que de 10 -5 torr environ au n iveau de la pompe secondaire : celle-ci t ravai l le par consequent dans de bonnes

condit ions ;

- - l ' a u t r e extr~mit~ (du cSt~ de la cathode) est

reli~e h une r~serve de x~non par l ' interm~diaire d 'une fuite r~glable : l ' ouver ture plus ou moins grande de cette fuite permet de faire varier la pression de x~non dans le tube h plasma. P ra t iquement , nous avons tou- jours travaill~ h une pression de 10 -3 torr mesur~e ik l 'extr~mit~ aval du tube ; en fait, on peut consid~rer que la var ia t ion de pression le long du tube est n~gli- geable car le rayon du tube est assez grand et sa lon-

gueur effectivement utilis~e pour ~tudier la propaga-

t ion est au m a x i m u m de 20 cm.

La d~charge cont inue est c r ~ e entre la cathode

h chauffage direct (deux fi laments crois~s de tungst~ne

spiralS) et la t~te de pompe. Le courant de d~charge peut a t te indre 2 A sous une tension de quelques di-

zaines de volts.

Le tube h p lasma peut ~ventuel lement ~tre plac6 k l ' in t~r ieur d ' u n sol~noIde destin~ h cr ier u n e indue-

t500

SO0

~A5 ],3 A

o o,4 o,t

FIG. 36. - - Courbes de dispersion relev~es pour un guide partiellement rempli pour plusieurs valeurs du courant de d~charge et en l'absence d'induction magn~tique. Guide

fendu (I) = 21 mm. Tube x~non

On observe que les courbes trac6es en l 'absence de

guide d 'onde comprennen t deux parties distinctes ; l ' une peut ~tre prolong6e jusqu'f i l 'origine : c 'est la

courbe de dispersion de l 'onde de surface h sym6trie de r6volution. A la seconde correspondent des ondes inverses du mode dipolaire [30]. Ces deux parties t e n d e n t vers la meme asympto te horizontale dont r o r d o n n 6 e est ~gale ~ 1~]~/1 + K , o~ 1~ est la fr6quence de p l a s m a sur le bord de la colonne (cf. } I-1-4).

336

t. 24, n ~ 9-10, 1969] ONDES ]~LECTROMAGN]~TIQUES ET PLASMA 29/55 Cette difference est tr~s impor tan te : elle ne peut

encore ~tre expliqu~e ra i sonnablement qu 'en a dme t t an t que la colonne de plasma n 'es t pas homog~nc t rans- versalement, et que la premiere m~thode condui t h une valeur d e / p globale tandis que la seconde conduit effectivement h la valeur de / p su r le bord de la colonne.

De nombreux essais, tr~s reproductibles, effectu~s pour divers courants de d~charge, nous ont tous amends h la m~me conclusion.

A la suite de ces experiences, dont les conclusions confirment nos pr~c~dentes d4ductions, il nous a donc paru indispensable de relever les profils r ad iaux de densit~ dans la colonne positive d 'une d~charge h cathode chaude.

Fro. 37. - - Courbes de dispersion relev6es sans guide ; I~t ~ 0,9 A.

3. Interpretation des rdsultats.

A par t i r des deux types de courbes de dispersion, on peut d~duire la fr~quence de plasma de deux fa~ons diff~rentes en supposant que le p lasma est homog~ne ;

- - une courbe correspondant au guide par t ie l lement

rempli permet de calculer ] p e n u t i l i san t la formule d o n n a n t la vitesse de phase ~ l 'origine (pente de la t angen te h l 'origine h la courbe de dispersion). Cette formule, d~duite des relations donnOes dans la premiOre

partie, s'6erit :

avee : v = vitesse de phase ~ l 'origine,

r = vitesse de la lumi~re dans le vide,

a = rayon de la eolonne de p lasma (rayon int~rieur du tube de verre),

b = rayon ext~rieur du tube de verre,

d = rayon du guide,

K = eons tante di~lectrique du v e r r e ;

- - les eourbes eorrespondant au tube ~ p lasma seul (sans guide) pe rme t t en t de ealeuler la fr6quence de plasma l~ en d~te rminan t l 'ordonn~e 1~1~/1 + K de leur asympto te horizontale commune. Cela est rendu possible par le fait qu 'avec ce montage et avec le p lasma de x~non utilis6, la courbe de dispersion du mode dipolaire appara i t trhs n e t t e m e n t (bien plus ne t t emen t que dans l 'exp~rience avec plasma de mer-

cure d~erite au w I-2-1).

Appl iquons par exemple ces deux m6thodes au cas

d 'une d~eharge de 0,9 A pour laquelle on a relev6 les

eourbes de dispersion pr~sent6es figure 36 et 37. La valeur de 1~ donn~e par la deuxi~me m~thode est de

4 900 MHz (iei K ~ 4,5) eelle donn~e par la premiere : 6000 MHz (les condit ions de l 'exp~rience sont : a - - 0 , 5 5 c m ; b ---- 0,7 c m ; d ----- 1 , 1 5 e m ; K ---- 4 , 5 ) .

L2 .4 . Re lev~ e x p e r i m e n t a l des pro~ils radiaux de densit~ de plasma.

Pour relever les profils t ransversaux de densit6

dans une colonne de plasma, nous avons utilis~ des sondes ~lectrostatiques mobiles le long d ' un rayon de la colonne. Ceci ne rut possible, bien entendu, que dans des enceintes sur pompe. Deux dispositifs exp6- r imen taux ont 6t~ r6alis6s : le premier est adapt6 au

tube h x6non que nous venons de d6crire ; le second est destin6 h ~tre mont6 dans une enceinte h p lasma de dimensions beaucoup plus grandes. Nous les d6cri- rons successivement.

1. Mesure de densil~ darts un lube de pelil diam~lre.

Pour effeetuer des mesures de densit6 par sonde ~leetrostatique en divers points, h l ' int~rieur du t ube

h x6non d~erit w I-2-3, il nous a fallu r6aliser le dispo- sitif de sonde mobile repr~sent~ sch6mat iquement figure 38.

Fro. 38. - - Mesures de densit6 de plasma par sonde d6pla~able.

La sonde est plane : elle est constitu6e par l 'extr6mit6 (soigneusement polie) d ' un fil de molybd~ne de 5/10

de m m de diambtre enrob6 dans un cylindre d 'araldi te pour vide. L 'ensemble p6n~tre ~ l ' int6rieur du tube

en passan t par un t rou pcrc6 dans la paroi de verre ;

il est solidaire d ' u n syst~me vis-6crou p e r m e t t a n t de

le d6placer paral lblement ~ un rayon de la colonne de plasma avec un pas de 0,5 mm. L'~tanch~it6 au vide

e s t a s s u r 6 e par un syst~me de presse 6toupe (servant 6galement au guldage de la sonde) eol16 sur le t ube d e v e r r e .

337

30/54 Pour exploiter les caract6ristiques relev6es avec la

sonde, nous n ' avons pas utilis6 la th6orie classique

de Langmui r : nous voulions en effet utiliser la sonde en presence d 'une induc t ion magn6t ique uniforme. Or le courant 61ectronique recueilli sur la sonde est tr~s r i t e affect6 par l ' induc t ion magn6t ique ; en effet,

le rayon de Larmor des 61ectrons devient du m6me ordre de grandeur que le rayon de la sonde, la mobili t6 61ectronique dans la direction perpendiculaire l ' induct ion magn6t ique 6 tant for tement r6duite. Un tel inconv6nient n 'exis te pas avec les ions : nous avons donc utilis6 la th6orie de Bohm [39]. Cette th6orie nous a permis de t racer 6galement les profils rad iaux en l 'absence d ' induc t ion magn6t ique en d6pouil lant

la part ie ionique de la caract6ristique, car il existe toujours dans ce cas u n rappor t cons tan t entre le palier ionique et le palier 61ectronique qui ne d6pend que de la na ture du gaz. (Cette m6thode a 6t6 utilis6e 6galement par Chorney et al. [38].) Quoiqu' i l en soit, m6me si la pr6cision de cette m6thode est limit6e en valeur absolue, elle reste p robab lement tr~s bonne en valeur relative, et c 'est bien cela que nous cher- chions avan t tou t : nous sommes en effet bien plus int6ress6s par la mise en 6vidence d 'une inhomog6n6it6 et par la forme du profil radial de densit6 que par la

d6terminat ion exacte de la fr6quence de plasma en tou t point.

R 6 s u l t a t s o b t e n u s .

La figure 39 repr6sente l 'ensemble des profils radiaux de densit6 relev6s pour une pression de 10 -a torr, avec et sans induc t ion magn6tique. Lorsque l ' induct ion magn6t ique est nulle, le gradient radial de densit6 est faible : pour un courant de ddcharge de 0,9 A, la loi de r6part i t ion peut alors s'6crire, d ' une

fa~on approeh6e :

N : 0,49.10+-~+ [ I - - 0,42 (~-)+~ -[- 0,07 (--.-~)'] el/cm ~

(aes t le rayon intGrieur du tube de verre : a = 0,55 cm ; r est exprim6 en em). La fr6quence de plasma au bord du tube est d ' envi ron 5 100 MHz : elle eoncorde bien avec la valeur d6duite de la posit ion de l ' asymptote , des courbes de dispersion. Quant h la valeur de /~ sur l ' axe du tube, elle est d ' envi ron 6 300 MHz.

Lorsque l ' induc t ion magn6t ique croft, on voit que la densit6 au centre du tube croR r6gulibrement ; elle t end cependant vers un palier pour les induct ions 61ev6es. Par contre, la densit6 du bord du tube croR

d 'abord 16gbrement, puis d6croit.

2. Mesure de densitd dans une enceinte ~ plasma de

grand diamOtre.

Pour compl6ter les r6sultats pr6c6dents, qui con- cernent un plasma rempl issant complbtement Fen- ceinte de pet i t diam~tre dans laquelle il est contenu, nous avons voulu examiner comment varie radiale- m e n t la densit6 d ' u n p lasma de d6charge confln6 par un champ magn6t ique h l ' in t6r ieur d 'une enceinte dont les dimensions sont beaucoup plus grandes que le diam~tre appa ren t (visible) du plasma. Par la meme

M . C J k M U S [ANNALES DES T~L~COMMUNICATIONa

occasion, n ' 6 t a n t plus limit6s par le volume de Fen- ceinte, nous avons essay6 d'util iser, pour les comparer,

plusieurs types de sondes.

- - ! 1

" ~ .. Id:O,l, l l : t , aP,.

+ ~d: Orl I ~l : ~'0A.

I

i

~ ~ _ :,+:c.+,

+

/ - :a:~A

sa0~_

IJlt+v~. " g d : o,3 i lall+ll.

* l + +, �9 tl.

~ss 3o J~.

[IS |0 ,II.

~II= 0 II= �9 3:II~ �9 tl=O

huak

Fro. 39. - - Divers profils de densit6 de plasma dans un tube de petit diam~tre.

D e s c r i p t i o n d u m o n t a g e u t i l i s 6 .

L 'enceinte h plasma utilis6e est repr6sent6e sch6ma- t iquement figure 40. Le tube de verre qui la const i tue a u n diam~tre int6rieur de 15 cm environ. La ddcharge

est r6alis6e entre une cathode (~ chauffage direct ou /~ oxyde, ayan t h peu pros la forme d ' u n disque de

diambtre : 2,5 cm environ) et le corps de la pompe. Le champ magn6t ique est cr66 par deux bobines de

Helmoltz de 1 m de diam~tre moyen : il peu t a t te indre 700 gauss, avec une r6gulation meineure que 10 -4 et une homog6n6it6 aleilleure que 0,5 % dans un volume de 31 cm de longueur et de 20 cm de diam~tre.

': lJ ] .... :..Li , ,

FiG. 40. - - Sch6ma de prlncipe de l'enceinte h plasma de grand volume. Les dimensions sont donn6es en millim~tres.

- - 3 3 8 - -

t. 24, n ~ 9-10, 1969] ONDES ELECTROMAGN]~TIQUES ET PLASMA

L a f g u r e 41 repr~sen te une p h o t o g r a p h i e de l ' e n s e m b l e

du d i spos i t i f �9 on y v o i t les f lasques la tOraux pa r les-

que l s on fa i t pOn~trer les sondes ~ lec t ros t a t iques

darts le p lasma. Nous avons uti l is~ d e u x sondes planes,

l ' u n e or ient6e pa ra l l~ l emen t , l ' a u t r e pe rpend icu la i -

r e m e n t au c h a m p m a g n ~ t i q u e app l ique , a insi q u ' u n e

sonde cy l i nd r ique paral l~le au r a y o n de la co lonne

de p lasma.

31/54

Fro. 42. - - Divers profils de densit6 de plasma dans uue enceinte de grand volume.

I d = 0,3 A, [c - - 800 MHz, p 10 -3 torr. Sonde plane q~ = 5/10 (1) .I. h B, dOpouillement sur partie ionique; (1') .1. /~ B, dOpouillement sur partie ~lectronique ; (2) // /~ B, dOpouillement sur partie ionique (le dOpouillement sur partie ~lectronique est impossible). Sonde cylindrique l 1,5 mm,

= 5/100 mm (3) D6pouillement sur partie iouique; (3') DOpouillement sur partie 61ectronique. Ia -- 50m A, f,. -- 1 600 MHz, p = 10 -a torr. Sonde plane (4) D~pouillement sur partie ionique. Sonde cylindrique (4') D~pouillemeut sur partie

61ectronique.

FIG. 41. - - R6alisation expOrimentale de l'enceinte h plasma de grand volume.

R 6 s u l t a t s o b t e n u s .

Les r~su l ta t s que nous prOsentons ici son t re la t i f s

h u n p l a s m a d ' a r g o n h une press ion de 10 -8 torr . Ils

o n t ~t~ o b t e n u s en d~pou i l l an t les ca rac tOr i s t iques

de sonde d ' u n e pa r t , sur ]a pa r t i e ~ lec t ron ique , d ' a u t r e

pa r t , sur la pa r t i e ion ique . On a repr6sen t~ f igure 42

les prof i ls de densi t~ relevOs.

On c o n s t a t e : - - q u ' u n e sonde p l a n e orientOe p e r p e n d i c u l a i r e m e n t

au c h a m p m a g n ~ t i q u e et tournOe vers la c a t h o d e de

la d~charge donne des va leurs de densi t~ b e a u c o u p

p lus ~lev~es q u ' u n e sonde cy l i nd r ique ou une sonde

p lane plac~e pa r a l l~ l emen t au c h a m I) m a g n ~ t i q u e ;

- - q u ' u n d~pou i l l emen t en p a r t i e ~ l e c t r o n i q u e

d o n n e des va leurs de densi t~ infOrieures ~ cel les

d~dui tes d ' u n d~pou i l l emen t en p a t t i e i on ique ;

- - que p o u r ce r ta ines g a m m e s de densi t~s de p l a sma ,

il p e u t y avo i r accord en t re les rOsultats des sondes

c y l i n d r i q u e e t p l ane paral l~le au c h a m p m a g n ~ t i q u e ,

ce qu i n ' e s t p lus v r a i p o u r des densi t~s p lus faibles .

Ces r~su l ta t s ne son t ~ v i d e m m e n t pas 6 t o n n a n t s :

ils m o n t r e n t , c o m m e on p o u v a i t s ' y a t t e n d r e , que les

va l eu r s absolues de densi t~ m~sur~es p e u v e n t ~tre tr'~s

diff6rentes selon la mOthode de d iagnos t i c ut i l is~e et ,

du m ~ m e coup, q u ' o n ne doi t accorde r q u ' u n ~ con f iance

l imi t~e h ces va l eu r s absolues . Ils c o n f i r m e n t cepen -

d a n t que la co lonne de p l a s m a n ' e s t pas h o m o g ~ n e

e t que la f o rme du prof i l de densi t~ re lev~ees t h peu pros

conserv6e , que l le que soi t la m ~ t h o d e de d iagnos t i c .

339

32 /54

Plus pr6cis6ment, il apparal t daus ce c a s q u e l 'on peut assez bicn repr6senter la var ia t ion radiale de densit6 par une lot de la forme :

1l ~ 1l 0 e - ~ ( r l a)2

off a est une longueur de r6fSrence arbi t raire (le diam~We int6rieur de l 'cnceinte en verre par exemple).

DEUXI~ME PARTIE

L ' I N F L U E N C E D E S I N H O M O G ] ~ N ] ~ I T ~ . S T R A N S V E R S A L E S S U I t LA P I ~ O P A G A T I O N D ' O N D E S L E N T E S D A N S L E S G U I D E S A

P L A S M A

Nous avons montr~ dans la premiere part ic : - - que les r6sultats de nos exp6riences de propa-

gation d 'ondes lcntes dans un guide h plasma n '6 ta ien t pas toujours en bon accord avec une th6orie faite pour un plasma homog~nc ;

- - q u e ceci nous a conduits ~ met t re en doute l 'homog6n6it6 des colonnes de plasma utilis6es ;

- - q u ' i l existe effectivement h l ' in t6r ieur de ces colonnes une var ia t ion radiale de densit6.

I1 restai t h examiner si l ' inhomog6n6it6 observ6e est bien h l 'origine (he serait-ce que part iel lement)

du d6saccord th6orie-exp6rience, en l ' i n t rodu i san t dans le modSle th6orique de guide h plasma et en reprenau t l '~tude expos6e au chapitre pr6c6dent.

C'est ce que nous avons fait pour divers profils rad iaux de densit6 pour lesquels nous avons f inalement cons- tat6 une modif icat ion sensible des pr6visions ant6rieu- res et about i h u n meillcur accord avec les r6sultats exp6rimentaux.

Le modSle de guide h plasma que nous consid6rons m a i n t e n a n t ne diff~re de celui du chapitre pr6c~dent que par le fait que la densit6 moyenne de plasma West plus la m~me eu tou t point , mats varie radia lement

su ivant une lot de la forme : n ~ n o f (r), off n o est la densit6 au centre de la colonne. La fonction f (r) est la fonct ion de d is t r ibut ion radiale de densit6 :

elle est telle que f (0) ~ 1. I1 n 'es t pas quest ion bien entendu, de faire une 6rude

syst6matique de la propagat ion pour toutes les formes possibles de la fonction f (r) et t ous l e s types de guides h plasma. On s 'a t tachera seulement h mont re r d a n s

quelques cas particuliers qu 'une inhomog6n6it6, quelle qu'elle soit, est susceptible de modifier sensi- b lement les r6sultats du chapitre pr6c6dent.

Pour cela, on commence par 6crire les 6quations de propagat ion le long d 'une colonne de p lasma inhomo- g~ne pour des modes h sym6trie de r6volution. On

r6sout ensuite ces 6quations en consid6rant quelques fonctions de d is t r ibut ions voisines de la r6alit6 et,

seulement dans les cas simples d 'une induc t ion magn6- t ique uniforme nulle ou in f in iment grande. On en

d6duit des enseignements sur le sens et l ' impor tance des modif icat ions impos6es par l ' inhomog6n6it6 aux

propri6t6s des ondcs lentes dans les guides h plasma.

I I . 1 . P o s i t i o n d u p r o b l S m e . E q u a t i o n s d e

p r o p a g a t i o n d e s o n d e s .

On utilise le m6me syst6me d'axes de coordonn6es cyl indriques que dans la premi6re partie, l 'axe Oz

M. CAMUS [ANNALBS DES TkL]~COMMUNICAT1ON$

6tant l 'axe du guide, parall~le ~ la direction de l ' i n d u c - - +

t ion B 0 et on s ' int6ressera aux ondes de la forme :

F(r) exp ] ( c o t - ~z).

On suppose que le p lasma satisfait encore l ' approxi - mat ion d 'Apple ton-Har t ree sans coll is ions; on peut donc toujours l 'assimiler h u n di61ectrique anisotrope et dispersif dont la permi t t iv i t6 relat ive est tensorielle et admet les m6mes coordonn~es q u ' a u p a r a v a n t .

Cependant , du fait de l ' inhomog6n6it6, ces coordonn6es n ' on t plus la m6me valeur en tou t point du plasma :

elles var ient en fonet ion de r, ce qui va modifier la

r6solutiou des 6quat ions de Maxwell et conduire h de nouvelles 6quations de propagat ion.

I I . I . 1 . E q u a t / o n s d e p r o p a g a t i o n d a r t s l e p l a s m a i n h o m ~ g ~ n e .

Pour simplifier l '6cri ture des 6quations, on uti l isera des variables r6duites en normal i san t les fr6quences et constantes de propagat ion par rapport ~ la frd-

quence de plasma au centre de la colonne. On adoptera par cons6quent les nota t ions suivantes :

0) 2 (0 c X -- ~2c Y - - M - - - - ,

dans lesquelles eOpo est la pulsat ion de plasma sur l 'axe de la colonne. On normalisera d ' au t re par t le r ayon r

par rappor t h une longueur de r6f~renee a en posant :

r c x = - - et m = - -

a a(D~o

La fr6quence de plasma devient doric une fonct ion de x: r = r f(x). P ra t iquement , on prendra toujours a 6gal au rayon de la colonne de p lasma ; la pulsa t ion de plasma sur le bord de la colonne, qui correspond

x = 1, sera not6e O~pb (*), et telle que :

2 2 f (1) . O.)pb ~ COpO

Avec ces notat ions , les coordonn6es du tenseur per- mi t t iv i t6 deviennent en chaque poin t :

/ f + M 2 - - Y r = 1 + M 2 - y - - M 2 - y ,

M / Y '

/ Y - - / ~11 ~ 1 Y Y

Cela 6tant , on 6crira les 6quations de propagat ion sous deux formes diff6rentes en choisissant comme inconnues soit Ez et H z , soit Eo et Ho : il pourra 6tre int6ressant , su ivan t le cas, d 'ut i l iser l ' une ou l ' au t re de ces formes. Nous allons 6crire d i rec tement

ces 6quations, sans d6velopper les calculs qui permet- t en t de les obtenir h par t i r des deux premi6res 6qua-

t ions de Maxwell, dont les projections ont d6jfi 6t~ donn6es dans la premi6re part ie (3).

1. Equations en Ez et H z .

Pour obtenir les 6quations de propagat ion en Ez et H z , on commence par calculer les composantes transversales de champ en fonction de ces compo-

santes longitudinales. On obt ient les m6mes expressions que celles trouv6es pour un plasma homog~ne ; en les

(*) On posera 6galement fpo ~ ~p,o12~ e t /lab = tOpbl~x.

- - 340 - -

t. 24, n ~ 9-10, 1969]

r e p o r t a n t dans les 6quat ions (3-3) et (3-6), on t rouvc alors les 6quat ions de p ropaga t i on suivantes dans lesquelles on a pos6 :

Z = ~ / ~ E = , H = J@o IIz et

r/~32 ,,2 1

A r177 k 2

A (19) r177 k 2

O N D E S I d L E C T R O M A G N E T I Q U E S E T P L A S M A 33/54 2. Equations en Eo el 1-1o.

On commence cet te fois pa r calculer Er H r , Ez et I t z en fonction de Eo et Ho , en u t i l i san t les 6quat ions

d2E d e [ 1 A ~2,/ ~2 s "") dr ~ + ~ sl k 2 + ~ - / \ ~ - .L/ x

d~• ~2 dell ] ~ d t t ~ a s i a dr + k2- SH d r k dr EH dr '

drr ~ - - k ~H A t I S l l x

"\ /r 2 Z• E 0 ,

ds d2Z ~ dE i ( {3 2 __2z \ ,!ZH____ dr~ § k- d~ I \ ~2 / dr

(3) (1-3-4-6). On obt ien t :

~ ([3 2 \ l d ~ H i dH ~• ~ ~ ) , ! - ~ d r - +~T-r x

(20)

Er . ~ H Eo + - - Ho, J ~..~ (0 ~o ~•

1 1 d - o Ez : jto z o z// r dr (r Ho)

H r -- E o , O~ ~X o

1 1 d t fz -- jo~ ~o r dr (r E~) .

Oil repor tc ensuite ces expressions dans (3 2) et (3-5), ob tenan t ainsi les deux 6quations de p ropaga t i on suivantes , clans lesquelles on a pos6 : E = ~/~o Eo et H = j~/~x o H o , ainsi que :

d 2 1 d 1 d 1 A - dr 2 4- r dr r 2 , B = d r @ r - '

1 de// A l l BI I - l I /c 2- ~// •

~11 dr ~. l/ ~2 \, ' ~2 ~• ~k ~gz//z• h' = 0,

n E E( ~ 2 k 2 ) - - ~ k t l - O. ~ • ~ •

En coordonn6es r6duites et pa r r a p p o r t '~ x -- r/a, ces deux 6quat ions s '6cr ivent :

d2H d l l l ) r 1 d/ ] d~2x 2 + d~x -~- Y - - [ dx H •

(21') x 2 x Y - - f d.r + P - - Q E -- 0 ,

d2E 1 dE / 1 \ + x dx E(\~r2-, + t?) - - S H = 0

avec

I $ A \ .

) I , ( s d=. i ~., ,, . = , , +

\ k 2 - - 2 r 1 7 7 CH dr ~ - - t ~ - / (21)

Z2H [ A ] I - I Z H z / t A E : - O .

En u t i l i san t les var iables r~duites in t rodui tes ci-dessus et le r ayon r6dui t x -- r/a, ces deux ~quations s '6cri- ven t f inalement , en posant de plus :

y = E = ~/~o Ez et z . X / X = j ~ 0 X/~o Hz, O ) p o

I d2g dg dz s =O,

(19') d2z dx ~ + p ' dv (1 ,\ dz ~ ( + ~ + q j dx --- r' g - - s'z O,

avec :

(21")

1 d/ p = ~ x ( x - - y + / ) ~ x x '

1 d/ q = - ~ M ( Y - - X ) d~- '

1 ( Y - - l ) [ Y f - - ( X - - Y ) ( M 2 - - Y)], r - - m 2 y ( / + M 2 _ Y )

1 M/ S = m2 [ q- M 2 - y '

p , 1 3/IX d/ D M 2 - Y [ /2__ ( X __ Y) ( M 2 - Y ) ] dx '

1 1 q' = D M 2 - Y [Y[2 + / ( 2 Y - - X ) x

d/ ( M 2 - Y) + Y ( X - - Y ) ( M ~ - Y)] d--x-'

r ' -- 1 M X [ ( Y - - [ ) , m 2 Y([ + 3I 2 _ Y)

1 1 s ' - - m2 / - t - M 2 - Y [/z + / ( X - - 2 Y) +

( x - y)(M~-- Y)],

( D = ( / + M~-- Y) X - - r / ~/V ,

M - - J V /

/ 1 # g \ / X - - Y +

(19 ~)

Y - - [ [ X ( M 2 - Y) [ P -- me y([ + Me - y ) - - 1 �9

M /~/~ ( v - / ) Q -- m 2 Y([ + M 2 - Y)

1 L /2 2[ y _ _ y(~,12__ y) 1 R = m 2 X @ [ @ _~//2 y '

S -- /7l 2 [ + . 1 1 2 _ Y

II . I .2 . Cons idera t i ons s u r les propr i~ t~s des ~quat ions de p r o p a g a t i o n .

Dans le cas d 'un p l a sma homog~ne, l '61imination entre les deux 6quations de Maxwell (2) des compo- santes t ransversa les de champs 61ectrique et magn6- t ique condui t h deux 6quat ions de p ropaga t i on l i an t les composantes longi tudinales Ez et Hz de ces champs, qui sont deux 6quations diff6rcntielles du second ordre lin6aires d coe~cients constants et non ind6pendantes (4). Une m6thode d ' in t6gra t ion de ces 6quat ions consiste

en chercher deux combinaisons l in6aires don t soient s6par6ment solut ions deux combinaisons lin6ai- res ind6pendantes de Ez e t H z . On abou t i t alors deux 6quat ions diff6rentielles bien connues don t les

341

34154 solutions sont des fonctions de Bessel des variables Tlr et T2r, oh T z et T 2 sont les constantes de propaga- t ion transversales des ondes planes monochromat iques de pulsation 6) se propageant dans le plasma avec comme constante de propagat ion longitudinale. En 6crivant que ces solutions satisfont les conditions aux limites sur le bord de la colonne de plasma, on obtient l '6quation de dispersion qui est une dquation trans- cendante, dans laquelle les variables co et ~ inter- viennent par l ' interm6diaire de fonctions de Bessel. C'est-h-dire que finalement, on peut dcrire l'dquation de dispersion en utilisant des fonctions connucs.

Ce n 'est malheureusement plus le cas pour un plasma inhomog~nc : en effet, les 6quations de pro- pagat ion dans un tel p lasma restent deux 6quations diff~rentielles du second ordre, lin6aires non ind6pen- dantes, mais leurs coefficients ne sont plus constants et d6pendent de la fonction de distribution / ( r ) (ou f (x)). De cc fait, leur int6gration ne conduit pas, en g6n6ral, h des fonctions connues. On en cherchera le plus souvcnt les solutions sous forme de d6velop- pements en s6ries enti~res : c 'est seulement au moyen de ces s6ries qu 'on pourra exprimer l '6quation de dispersion.

On remarque d 'au t re par t que les coefficients des 6quations de propagat ion admet ten t des p61es aux points d'abscisses telles qnc :

- - d'une par t : Y - - [ = 0, soit : to = top,

- - d 'au t re par t : [ § M 2 - Y = 0, soit : = ( ~ + co~) 11~.

Si COvo et 6%b sont les pulsations de plasma sur l ' axe et sur le bord de la colonne de plasma, ces p61es exis- tent pour toute pulsation 60 comprise soit entre taro et C0pb, s0it entre (COCo + 6)2) 112 et (co2b § co2) 11. . D ' u n point de rue str ictement math6mat ique, ces p61es affectent profond6ment la r6solution des 6quations de p ropaga t ion : on verra en effet, sur certains cas particuliers, qu'ils l imitent le domaine de convergence des s6ries solutions de ces 6quations. D 'un point de r u e physique, ils correspondent ~ des r6sonances : on peut s 'a t tendre h ce que certaines composantes du champ 61ectromagn6tique y deviennent infiniment grandes. Th6oriquement, ceci n 'est pas impossible eu 6gard aux hypotheses que nous avons adopt6es ; mats prat iquement , on sait que des processus inter- v iendront pour introduirc des limitations.

Ces consid6rations met ten t en 6vidence les difficult6s que pr6sente la r6solution des 6quations de propagat ion dans le cas g6n6ral. C'est pourquoi nous nous bornerons

r6soudre cos 6quations pour des fr6quences telles que les p61es n 'exis tent pas, et h donner seulement des indications sur leur m6thode d ' int6grat ion lorsque les p61es existent. Nous n 'examinerons d 'au t re par t

que les cas d 'une induct ion magn6tique B 0 nulle ou infiniment grande. Dans ces denx cas, les ondes se propageant dans le plasma sont soit purement TE, soit purement T M ; leurs 6quations de propagat ion se simplifient d'ailleurs sensiblement : voici ee qu'elles deviennent,

M. CAMUS [ANNALEB DES T]~L]~COMMUNICATIONg

1. Sans induction magndtique (B o = 0).

On a a lorseH = 0 e t e • = r = 1 - -co , l eo* .

M o d e T E (Er = Ez = Ho = 0).

Par rappor t h H z :

d2Hz dHz F 1 1 de . q (22)

dr 2 -~-d-r--- L r + [([~*/k*)--e . ] ~ 7 " J

k2 ( ~T2 - - r Hz ---- O.

Par rappor t h Eo :

d*Eo 1 dEo [ 1 ~ ,__ ] (23) ~ + r dr E~ "~" q- k s e• ---- O.

M o d e T M (Eo = Hr = H z = 0).

Par rappor t ~ Ez :

d2Ez dRz E 1 ~ 1 (24) ~ q- ~ q- - ~ - e . [(~*]k*) - - r x

"-d-r -J - - k" ~--l~-- - - r ) E = 0 .

Par rappor t h Ho :

d*H o _ ~ [ 1 1 d r (25) dr, + r r dr

[ 1 1 dell kg. ( ~* ) ~ 7 + r e l ~ - - + - - ~ - - r = 0 .

2. Avec une induction magndtique infinimenl grande -.-_>.

(B o inflni).

a alors eH = 0 ; e l = 1 et e/t = 1--r On

M o d e T E .

Par rappor t h Hz :

d2Hz 1 dHz dr 2 q- -7 d---~ --" (~* - - k*)Hz = O.

Par rappor t fl Eo :

d2Eo 1 dE 0 ( 1 ) dr 2 + r dr E f i + ~Z__k 2 E o = 0 .

(On retrouve le fait que, pour une induct ion inflniment grande, le mode T E ne d6pend pas du plasma et se propage comme dans le vide.)

M o d e TM.

Par rappor t h Ez :

d*Ez 1 dEz (26) ~ -4- r dr r ( 9 2 - - k2) Ez = O.

Par rappor t h Ho :

d2Ho dHo ( 1 1 d~ , / ) (27) ~ + ~ r el! d ~ - - H ~

[ 1 ' d e / / ] 7 + reu dr + e u ( 9 2 - k * ) = 0 .

A part ir des 6quations (22) h (27), nous allons 6tudier la propagat ion des ondes lentes dans les guides, pour certaines formes partieuli~res de la fonction de distribution f(x), qu 'on supposera toujours monotone d6croissante. Nous consid6rerons successivement une induct ion magn6tique infiniment grande, puts nulle ;

342 - -

t. 24, n ~ 9-10, 1969]

dans les deux cas, les ondes lentes correspondent aux modes TM qui sont les seuls que nous 6tudierons.

11.2. Cas d 'une i n d u c t i o n i n f i n i m e n t grande .

I1 s 'agit de r6soudre, en t e n a n t compte des condi- t ions aux limites, l ' une des 6quations (26) ou (27) qui s '6crivent, en u t i l i sant la coordonn6e r6duite

X ~ F / a :

(26') d2EZdx 2 -1- xl dE zdx § --~1! ( y _ X)Ez = 0 ,

(27') d2H~ dH o ( 1 1 de~,) dx 2 + ~ x ~i/ dx

I 1 1 d~ll ~11 ] Ho ~ +%-;i -~F § , . ~ - ( x - Y) =o.

H.2.1. Considerations g~n~rales sur les pro- pridtds de ces dquations et de leurs solutions.

Si l 'on connai t une solution particulibrc de l ' une

ou l ' au t re des 6quations (26') et (27'), on pent en d6duire sa solution g6n6rale. En effet, consid6rons

par exemplc l '6quat iou (27') dans laquelle on fait le 1 dHo

ehangement de fouction inconnue : u -- Ho dx '

elle devient :

du ( 1 1 d e l l ) dx + t# + u , , x z/t dx

V 1 1 dell ~ I I ( x _ _ Y ) I = O .

Cette ~quation est uue ~quation de Ricat t i : si l 'on en

connai t une solution particuli6re u o , on salt que l 'on peut en d6duire sa solution g6n6rale en faisant suc- cessivcmcnt les changemeuts de fonction inconnuc :

= u ~ u 0 puis~F = 1/% On obt ient alors une 6qua- t ion diff6rentielle du premier ordre lin6aire dont

l ' in t6grat ion conduit , apr~s quelques calculs, h la conclusion su ivante : la solution g6n6rale de l '6quat ion (27') se d6dui t d 'une solution particuli~re H 0 par la relat ion :

(28) H o = A H o B + j x ~ - o ] , off A e t B sont

des constantes d ' int6grat ion.

De la m6me fa~on, la solution g6n6rale de l '6quat ion (26') s 'exprime en fonction d 'une solution particuli~re

E o par la relat ion :

] f d'~' - l, A' (29) Ez = A 'E o B' + j x E ~ J ou eLB' sont

des constantes d ' int6grat ion.

Les coefficients des deux 6quations (26') et (27') adme t t en t un pSle /~ l 'origine (x = 0) ; on peut en d6duire que chacune de ces 6quations admet une solution g6nOrale somme de denx solutions part icu-

li~res (tout l 'une tend vers l ' inflni fi l 'origiue, l ' aut re

res tant linie : settle cettc deuxi~me solution nous

iut6resse (h t i tre indicatif, fade l 'aaalogie avec l '6quat ion de Bessel).

D 'aut re part , pour une onde de fr6quence comprise

entre la fr6quence de plasma au centre et la fr6quence

O N D E S E L E C T R O M A G N I ~ T I Q U E S E T P L A S M A 35/54 de plasma sur le bord de la eolonne, les coefficients

de l '6quat ion (27') a dme t t e n t un pSle au point d'abscisse x o tel que : r (x) = 0. On va mont re r que ce pSle n ' i n t rodu i t aucune irr6gularit6 darts la fonetion Ho (x) en cherchant cette fonction sous forme d ' u n d6veloppement limit6 au tour du point x = x o .

Pour cela, on 6crit : cu = ( x - Xo)XF(x),

d~t/ -- 1F(x) + (x - - Xo) ~F'(x). d'ofi l 'ou d6duit : dx

Comme on ne s'int6resse qu 'h des fonetions de dis-

t r ibu t ion d6croissantes d 'une fa~on monotone, la

fonction LF(x) est telle que ~(Xo) :/: 0.

1 d~tl 1 q2"(x) On a d o n c : ~ll dx x - - x o + ~F(x)

~ ' ( x ) On pose : 8 = x - - x o et r = ~F(x) ;

le d6veloppement limit6 de ~ au tour de x ---- x o s '6erit : , 82

~(x) --- q~o + 8~o + - ~ - ~ + . . . .

83 celui detF(x) =t ip o + 81F6 + ~-q~ '6 + ...

En por t an t ces expressions dans l '6quat ion (27') que l 'on mult ipl ie par x 2, et dans laquelle on f a r le ehan-

gement de variable 8 = x - - Xo, on obt ien t :

d2no d n o ~ xo 2 d82 (xo2 + 2Xo8 + 82 ) + ~ L - -

(Xo + To xo 2) - -8 (T , Xo2 + 2 O o X o ) + " " / - - H o / ~ - +

] m ~ + . . . = 0 .

On peut v6rifier que cette 6quation admet une premiere solution particuli6re H o dont le d6veloppement limit6

au tour de x = x o s'6crit :

Ho = 8211 + a18 + a2~ ~ + ...1,

les coefficients a i , a z ... 6 tant obtenus par identifi-

cation h par t i r de l '6quat ion pr6c6dente et va l an t

respeet ivement :

a2 -- 8 x~ - - 3 - 9~176 + 2 xo 2 (q~ + q~6) �9

Cette premiSre solution s ' annule au point x = x o . La relat ion (28) permet de caleuler, h par t i r de cette solution, une deuxi~me solution partieuli~re :

f ~11 dx H~ - x H ~ '

qui admet pour d6veloppement limit6 au tour de 8

x :: x 9 : l - - + ... Cette deuxi~me solution reste 3; 0

linie au point d'abscisse x o . Ainsi, la fonction Ho

reste finie au point x = x o tel que ~H (Xo) -~ 0 (oh co = coy). On peut donc chercher les solutions (flnies

l 'origine) des 6quations (26') et (27') sous forme d ' u n

d6veloppement en s6rie enti~re h par t i r de l 'origine.

343

36 /54

E n faR, on ne r6soudra que l '6quat ion (26') dont l '6criture et la rdsolution sont sensiblement plus simples.

11.2.2. Fonction de distribution parabolique I' = 1 - - ~ x ~.

L'dquat ion (26') devient :

d2Ez 1 dEz ( Y - - X ) ( Y - - 1 + ~ x 2) dx 2 + x dx + y m 2 E z = O.

On ddmontre que la solution de cette 6quation, finie pour x = 0, s 'exprime au moyen d 'une fonction hyper- g6om6trique confluente. Pour cela, on op6re de la fa~on suivante : on fait le premier changement de variable g = x ~ ; l '6quat ion devient alors :

d2Ez dEz ~ ( X - - Y) ( Y - 1 ) g ~ + dg 4 Y m ~ ~ + g E z = O "

Puis on fait un changement de fonction inconnue en posant Ez = e -xv u(g) off k est une constante , ee qui condui t ~ :

d2u du Y ~ + ~ O - - 2 Z g ) - - u - - Z~g + Z +

~ ( X - - Y ) ( Y - - 1 ) l 4 Y m 2 or + g = 0 .

S i o n c h o i s i t X t e l q u e : ) ~ _ ~ ( X - - Y) 4 Y m 2 ' cette

dquat ion se simplifie et devient :

d2u du Y-~y2 + - ~ - y ( 1 - - 2 ; ~ g ) - - u ~ .+

( X - - Y) ( Y - - 1 ) ~ 4 Y m 2 = O.

1 ( x - - Y ) ( Y - - O Enfin , en posant ~ = 2 )~g et A = ~ + 8 ym2?~ '

on obt ient l 'dquat ion :

d2u du ~' -~-~2 + (1 - - ~ ) ~ - ~ - - Au = 0 ,

dont la solution est la fonction hypergdomdtr ique confluente [40] : F(A, 1, ~). La fonction Ez(x) s'dcrit done f inalement :

Ez(x) = e -zx~ F ( A , 1, 2 )~x 2)

off F est ddveloppable en s6rie enti~re sous la forme :

F = 1 + A - 2 ~ x ~ + ..... + A ( A + 1)•

(2 ~)n 2,, (A + 2) ... (A + n - - 1) ~ x +.. .

On remarque que pour certaines valeurs particuli6res

de A e t k, Ez (x) prend une forme simplifide. Ainsi,

pour A = 1/2, c'est-h-dire pour Y = I ou co = coy0 (frdquence de l 'onde dgale h la frdquence de plasma au centre de la colonne), on a :

/ ;I ~(1 X)

On vdrifie bien d 'au t re par t que pour a = O, on retrouve :

E~(x) = Jo (x ~/(Y - - 1) ( Y - - X ) Y I m ~ ).

M. CAMUS [ANNALES DES T~LI~COMMUNICAT|ONS

Appl ical ion aux ondes lentes pour un guide plein de plasma.

Si a est le rayon du guide suppos6 parfa i tement conducteur, l ' annu la t ion de Ez sur la parot du guide s'6crit : Ez (x = 1) = 0, ce qui entra ine :

(30) F ( A , 1, 2 k) = 0 .

Cette 6quation, dans laquelle A e t k sont des fonctions de X et Y (done de ~ et co) est l 'dquat ion de dispersion des ondes dans le guide. En la rdsolvant par rapport /k A et k, on obt ient des couples de solutions h par t i r desquels on peut calculer X et Y en ut i l i sant les rela- t ions :

2 A ~ l (31-1) Y = 1 + k ~ '

(31-2) X = Y ~1 + 4~. ~ m 2 ~ 0r

Nous avons r6solu l '6quat ion (30) en ut i l i sant une machine h calculer 61ectronique, en nous bo rnan t au domaine des ondes lentes dans lequel, X 6tant sup6rieur h Y, on a k S > 0, donc k rdel. On a plus

pr6cis6ment supposd k rdel > 0. Dans ces conditions, h une valeur de k est associde une infinit6 de solutions en A h laquelle correspond une infinit6 de modes de propagat ion dans le guide. On s'est content6 de tracer les 2 courbes (A, k) correspondant aux deux modes les plus simples. Ces courbes sont repr6sentdes figure 43 tandis que dans l ' annexe II, on a donnd le tableau des valeurs numdriques des racines. Sur les courbes de la fgure 43, on constate que :

Z dtant positif, toutes les solutions A sont ndgatives : d 'aprbs la relation (31-1), il en rdsulte que les valeurs de Y correspondantes sont toutes infdrieures h 1. Au t remen t dit, les ondes lentes n ' ex i s ten t qu'fi des frdquences infdrieures h la frdquence de plasma au centre de la colonne ;

lorsque k tend vers l ' infini , les diverses courbes (A, k) t enden t vers des asymptotes horizontales, les diverses racines en A t e nda n t vers des valeurs finies. II en rdsulte que, pour un couple (~, m) donn6, Y tend vers 1 quand X I Y t end vers l ' infini.

On a toujours Y = 0 pour X = 0.

Ainsi, les courbes de dispersion des ondes lentes pa r ten t de l 'origine et restent toutes en dessous de la droite horizontale d 'ordonnde Y = 1 (ou co = cop0 ) vers laquelle elles t enden t a sympto t iquemen t par valeurs infdrieures quand X (ou ~) tend vers l ' infini. Qual i ta t ivement , ces courbes ont done la m~me allure que celle qu 'on obt iendrai t pour un guide plein d ' u n plasma homogSne ayan t pour densitd la densit6 au centre de la colonne.

Cependant , cette simili tude n 'es t qu 'apparente . En

effet, examinons la figure 44 sur laquelle on a repr6- sentd les courbes de dispersion du mode le plus simple

d 'un guide plein de plasma homog~ne et eelles d 'un guide de mOne diam6tre con tenan t un plasma ayan t m~me densit6 au centre, mais avee var ia t ion de densit6 parabolique : on eonstate que ees courbes ont m6me allure, qu'elles tendent vers la m6me asymptote , mais qu 'h cela pros, elles sont diffdrentes. A une frdquencr

344

t . 24 , n o* 9 -10 , 1969] O N D E S I ~ L E C T R O M A G N I ~ T I Q U E S E T P L A S M A

A (

.4

f f

I

FIG. 43. - - C o u r b e s ( A , ) , ) d ' 6 q u a t i o n : F ( A , 1, 2 ;~) = 0.

37/54

o,8

o,6

/ S =

f i t ' ~ a o .

~:0

,i e

u tdCp

FIG. 44. - - C h a m p m a g n 6 t i q u e in f in i . C o u r b e s d e d i s l ) e r s ion d ' u n g u i d e p l e in p o u r d i v e r s e s d i s t r i b u t i o n s . / = I - - ~ x 2

et f = (1 - -x2) ~.

donn6e, l ' inhomog6n~it6 diminue la vitesse de phase

et ce d ' a u t a n t plus qu'el le est plus prononc6e. Cette

diff6rence est sur tout sensible pour les basses fr6-

quences : afin de la chiffrer, nous allons comparer la

vitesse de phase h l 'origine du mode le plus simple

dans le cas d 'un plasma homogSne (~ 0) et darts

celui d 'un plasma inhomog6ne de m~me densit6 sur

l ' axe avec parabolicit6 maximale (~ -- 1 : densit6

nulle sur la paroi du guide),

- - dans le cas du plasma homog~ne, l '6quat ion de

dispersion du mode le plus simple s '6crit :

(Y -- I) ( ~ ' - - X) = l i l 2 p21 .

Y

On en d6duit qu ' au vois iuage de l 'origine, la u

de phase v o est donn6e par la relat ion :

/ Vo ~2 1 1 \ / = , c - = 1 + m2p~l 1 i (2,4048 m) 2

- - dans le cas d 'une r6part i t ion parabol ique, l 'or i -

gine correspond h Y = O, de sorte que l 'on a : 2 A - - I

1 + ;~ 0r ---- 0 soit, pour la parabolici t6 maxi-

male (~ = 1) : ;~ = 1 - - 2A ; k et A 6tant solutions

de l '6quat ion de dispersion (30), on peut v6rifler que

la premi6re racine k satisfaisant cet te 6galit6 v a u t

environ : ;~ ~ 1,35. La vitesse de phase v h l 'or igine,

d6duite de (31-2) est donc telle que :

. -- ~ " - I + (2,7 m) ~ '

On a par consfiquent la relat ion :

v / 1 + (2,4 m) ~

v 0 1 + (2,7 m) 2 ' V qui mont re que la diff6rence est d ' a u t a n t plus grande

que m est plus grand on que la parabolici t6 est plus

accentu6e en valeur absolue. La valeur minimale du

rappor t v l v o est voisine de 0,89.

R e m a r q u e . - - Dans le domaine des ondes rapides, la

diff6rcnce in t rodui te par l ' inhomog6n6it6 est beaucoup

plus prononc6e. On peut s 'en convaincre en examinan t

ce qui se passe dans un guide plein de plasma homog6ne

et darts un guide de mdme diam~tre con tenan t un

plasma inhomog6ne ayan t m~me densit6 au centre,

pour une fr6quence 6gale h la fr6quence de p lasma

au centre (Y = 1) :

dans le premier cas, il n ' y a pas de propagat ion

possible car l '6quat ion de dispersion :

(Y- - I) (Y- - X) y = m2Peo~

n ' a d m e t pas de racine X finie pour Y = 1 ;

dans le dcuxi6me cas, par contre, il y a des solutions

finies possibles puisque pour Y = 1, l '6quat ion de

dispersion s'6erit : Jo g ~ = 0 ce qui

entraine X = 1 - - 4 m epo% . On notera q u e p o u r

d6velopper l '6 tude de la propagat ion des ondes

- - 345 - -

3 8 / 5 4

rap ides , on a int~r6t /~ 6crire la so lu t ion Ez (x) sous

une fo rme au t re que celle donn6e ci-dessus. Eu citer,

les re la t ions (31) m o n t r e n t que pour X < Y, k est

imag ina i r e pur , t and i s que A est c o m p l e x e (la q u a n -

t i t6 : 2A --- 1 0 a n t imag iua i r e pure). I1 est donc

pr6f6rable d 'u t i l i s e r d i r e c t e m e u t le d 6 v e l o p p e m e n t eu

s6ric s u i v a n t dans leque l t ou t e s les q u a u t i t 6 s qui in te r -

v i e n n e n t sont r6elles :

E z : 1 + a i x 2 -~ a 2 x 4 -]- ... -[- a n x 2n ~- . . . .

les coefficients a ~ , a 2 , . . . . . an 6 tan t donn6s pa r la

re la t ion de r6cur rence :

n 2 a n = ;((2 A - 1 ) a n - 1 + k~an-~,

H . 2 . 3 . F o n c t i o n d e d i s t r i b u t i o n : f-== 1 ~ 2 X 2 ~ X 4 = (1 - - X2)2.

P a r ana logie a v e c le cas pr6e6dent , on che rche ra

encore la so lu t ion en f a i s an t s u c e e s s i v e m e n t le chan-

g e m e n t de va r i ab le s y = x 2 et le c h a n g e m e n t de fonc-

t ion inconnue E z = e )'v u(y), off ~, est une cons tan te .

On o b t i e n t alors l ' 6 q u a t i o n :

d2// du - f f ~ + ~ - ( 2 ~ + ~ ) - u - - ~ 2 ~ - ~ +

( Y - - l ) ( X - - Y) X - - Y y2 X - - Y ] 4 Y m 2 Jr 2 y 4 Y m 2 4 Y m ~ = 0 ,

X - - Y en chois issant ), te l que (32) k 2 -- - - et en f a i san t

2 Y m * le n o u v e a u c h a n g e m e n t de va r i ab l e ~ = - - 2 ~,y,

on o b t i e n t l ' 6 q u a t i o n :

d ' u d n E I ~ , ~ 2 ~ d~ ~ A - - - ~ ( 1 - - ~ ) - - u - ~ A - - ~ ( 1 - - Y ) A- i--6- ~ = 0 ,

d o n t on cherche une so lu t ion sous f o r m e de d6velop-

p e m e n t en s6rie ent i6re . On t r o u v e :

U = 1 -~ U 1 ~ -~ . . . . . -j- Un~ n -~ ...

off les u I , u ~ , . . . . . Un son t donn6s p a r la r e l a t ion de

r6eur rence :

n 2 u n = ( P + n - 1 ) u n - 1 + Q u n - 2 ,

avec :

1 k 1 P = - - ~ - - F ~ - ( 1 - - Y ) , Q = 1 6 k

E n r e v e n a n t a u x inconnues et va r i ab le s ini t ia les , on

a donc :

E z = O )'x2 [1--Ul(2~.x 2) + ... -]- ( - - 1) n Un(2~.x2) n -{- . . .].

A p p l i c a t i o n a u x o n d e s lenles d a n s u n g u i d e p l e i n

de p l a s m a .

L ' 6 q u a t i o n de d ispers ion du guide plein s ' o b t i e n t

en ~c r ivan t que E z = 0 sur la pa ro i du guide. E n

ehois i ssant a 6gal au r a y o n du guide, eela c o n d u i t

l ' 6qua t i on :

(33) 0 : 1 - - u 1 2 k § .... Jr ( - - 1 ) n u n ( 2 k ) n + ...

D a n s le d o m a i n e des ondes lentes , la q u a n t i t 6 k

qu i est reli6e ~ X et Y pa r la r e l a t ion (32) est r6elle.

E n u t i l i san t une ca leu la t r ice , on a eherch6 les couples

M. CAMUS [ANNALES DES T~:LISCOMMUNICATIONS

de solut ions 0 ~, Y) qui sa t i s fon t l ' 6 q u a t i o u (33). P o u r

une va l eu r de Y donn6e, il y a une inf ini t6 de so lu t ions k

possibles qui c o r r e s p o n d e n t h lous les m o d e s suscep-

t ib les de se p ropage r daus le guide. Le t ab leau repro-

du i t en a n n e x e I I I domle les rac iues k c o r r e s p o u d a u t

au m o d e le plus s imple ( racine k la plus pe t i t e pour

c h a q u e va l eu r de Y). Ce t a b l e a u p e r m e t de t r ace r les

courbes de d ispers ion c o r r e s p o n d a n t e s pour n ' i m p o r t e

quel les ca rac t6 r i s t iques du g u i d e ; conna i s san t Y e t

k, on calcule X pa r la r e l a t ion (32) qu i s '6cr i t encore :

(32') X = Y (1 + 2k 2 m2).

Ces courbes o n t encore m 6 m e a l lure que celles cor-

r e s p o n d a n t fi un p l a s m a homog~ne a y a n t m ~ m e densi t6

sur l ' axe du guide : c o m m e le m o n t r e la figure 44,

elles p a r t e n t de l ' o r ig ine et r e s t en t t ou jou r s en dessous

de la dro i te ho , ' izonta le d ' o rdonn~e Y = 1 (ou to =

cop0 ) vers laquel le elles t e n d e n t a s y m p t o t i q u e m e n t

p a r va leu r s inf6rieures.

Cependan t , h t o u t e f r6quence , elles d o n n e n t des

v i tesses de phase inf6r ieures h celles o b t e n u e s p o u r

un p l a s m a homog6ne ou m ~ m e p o u r un p l a s m a pa ra -

bol ique . A l 'o r ig ine , en par t i cu l i e r , la v i t esse de phase

est donn6e p a r la r e l a t ion :

( v \,2 Y 1

\ c - / ~ -- X ~ 1 - J - ( 2 , 9 5 m ) 2

11.2.4. Fonc t ion d e d i s t r i b u t i o n g a u s s l e n n e :

f : C--~X 2.

D a n s ce cas, on t r o u v e que la so lu t ion de l ' 6 q u a t i o n

(26') a d m e t le d 6 v e l o p p e m e n t :

Ez(x) = 1 + a 1 ~x 2 + ..... + an (~x2) n + .....

off les a I , a 2 ..... an son t li6s pa r la r e l a t ion de r6cur-

rence :

n2an : P ( Y - - 1 ) a n _ l § ~ ( - - 1 ) n - ~ ( n _ _ u _ _ l ) !

( _ 1)n ( n - 1)! ' a v e c :

(34) P = ( X - - Y ) I 4 ~ Y m 2.

D a n s le cas d ' u n gu ide de r a y o n a d i r e c t e m e n t en con-

t a c t avec le p l a sma , l ' 6 q u a t i o n de d ispers ion des ondes

s '6cr i t :

(35) 0 = 1 -~- a 1 ~ ..... + a n ~ u -F- . . . . .

L a r6solu t ion de ce t t e 6 q u a t i o n sur m a c h i n e 61ectro-

n ique (*) p e r m e t de t r o u v e r les couples de rac ines

(Y, P) p o u r d iverses va l eu r s de ~. L~ encore , p o u r une

v a l e u r de Y, il y a une inf in i t6 de rac ines P (r6elles

dans le d o m a i n e des ondes lentes) c o r r e s p o n d a n t "h t o u s

les modes possibles : on n ' a cherch6 que celles corres-

p o n d a n t a u x modes les plus s imples . Le t a b l e a u tics

r6su l ta t s ob t euus pour divcrs~s va leurs de ~ est donn6

en a n n e x e IV (on en d6dui t les va leu r s de X par (34')

(*) D6s que la valeur de ~r devient grande, la s6rie 1 ~- a 1 cr -Jr" ... ~ an a n -~ ... converge tr6s lentement. Pour faciliter le ealcul de sa somme, nous avons utilis6 la m6thode dite

Epsilon-Algorithme ,~. Voir "hce sujet P. WYNN [411.

3 4 6

~. "-'4, ,,~* 9-1o. 1~6.(}1 O N D E S I~LECTROMAGNI~TIQUES ET PLASMA 39/54

_ _ p c

Fro. 45. --- Champ magndtique infini. Guide plein. Influence de la fonetion de dis- tribution sur les courbes de dispersion. Ces courbes trac6es pour m = 2 correspondent

au m6me diam6tre du guide, h la m~me densitd de plasma sur l'axe.

X - Y(I t 4 o~Pm2)). Darts e e t t e m ~ m e a n n e x e , on

a d o n n d les r a e ine s P e o r r e s p o n d a n t 'k d ive r se s v a l e u r s

de e p o u r Y -- 0 : elles p e r m e t t e n t de ca l eu l e r les

v i t e s ses de p h a s e des ondes l e n t e s "a l ' o r ig ine .

I I .2.5. Utilisation des r~sultats precedents :

A p a r t i r des r d s u l t a t s p r e c e d e n t s , on p e u t r d s o u d r e

d i v e r s p r o b l ~ m e s e o n e e r n a n t la p r o p a g a t i o n d ' o n d e s

d a n s les guides . A t i t r e iud iea t i f , n o u s en a v o n s e x t r a i t

les e o u r b c s s u i v a n t e s qu i p e r m e t t e n l de m i e u x apprb -

c ier l ' i n f l u e n e e des i n h o m o g b m q t b s .

Courbes de dispersion de guides de mgme diam?lre eontenanl des plasmas inhomogines di[[~rents, mais

agant mr densil~ sur I'axe.

N o u s a v o n s l r ae6 l igure 15 un j eu de e o u r b e s de

d i s p e r s i o n du m o d e le ph,s s i m p l e p o u r des gu ides de

d i a m ~ t r e : 2a - 5,:1 em e o n t e n a n t u n p l a s m a d o n t la

d e n s i t 6 sur l ' a x e es t de 10 a~ e l / em ~. Dar ts ees c o n d i t i o n s ,

/po = 9"108 H z = 91)0 M t I z , d o n e m cloaked = 2. Les d i v e r s e s c o u r b e s r e p r & e n t d e s c o r r e s p o n d e n t a u x

f o n c t i o n s de d i s t r i b u t i o n s u i v a n t e s :

- - p l a s m a h o m o g ~ n e ,

--- f o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n p a r a b o l i q u e avec ~ = 1,

--- f o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n / - - (1 - - x~) 2,

- - f o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n g a u s s i e n n e [ = e -~x~

p o u r d ive r se s v a l e u r s de ~r

L ' e x a m e n de c e t t e f igure m o n t r e b i e n que , l o r s q u e

l ' i n d u e t i o n m a g n 6 t i q u e B o esl t r~s fo r te , l ' a l l u r e g6n~-

t a l e des c o u r b e s de d i s p e r s i o n des a n d e s l e n t e s d 6 p e n d

s u r t o u t de la d e n s i t 6 de p l a s m a au c e n t r e de la c o l o n n e :

q u e l q u e sa l t le p rof i l de dens i td , les c o u r b e s de dis-

p e r s i o n p a r t e n t de l ' o r i g ine e t t e n d e n t a s y m p t o t i q u e -

m e r i t p a r v a l e u r s i n f6 r i eu re s v e r s la d r o i t e h o r l z o n t a l e

d ' o r d o n n 6 e 1~0 ( f r 6 q u e n e e de p l a s m a m a x i m a l e ) .

C e p e n d a n t , ces c o u r b e s d i f fb r en t les u n e s des a u t r e s

q u a u t i t a t i v e m e n t : h u n e f r 6 q u e n c e d o n n d e , la v i t e s s e

de p h a s e des a n d e s e s t d ' a u t a n t p lus f a ib l e q u e l ' i n h o -

m o g d n d i t 6 es t p lus p r o n o n c 6 e au v o i s i n a g e de l ' a x e d u

guide .

P o u r ch i f f re r c e t t e d i f fdrence , on a t r ac~ , f igure 46,

la e o u r b e d o n n a n t la v i t e s s e de p h a s e h l ' o r i g i n e p o u r

d ive r se s r @ a r t i t i o n s g a u s s i c n n e s en f o n c t i o n du coeffi-

c i e n t d ' i n h o m o g 6 n 6 i t 6 .

v_ 5 . . . . . 7 . . . . . . T . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . i.

/ I

Fro. 46. - - Champ magndtique inlini. 'Guide plein. Variations de la vitesse de phase /~ l'origine en fonction du coefficient d'inhomog6ndit6 a. Fonction de distribution [ = e -ax2, m = 2.

Courbes de aispersion pour un plasma donnd el pour

divers diamdlres de guides.

L a f igure 47 r e p r d s e n t e u n jeu de e o u r b e s de dis-

p e r s i o n d u m o d e le p lu s s i m p l e p o u r u n p l a s m a a y a n t

u n e f o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n g a u s s i e n n e :

= = { 9 . 1 o 8 } '

et p o u r d i v e r s d i a m ~ t r e s du gu ide a v e c l eque l il e s t

en c o n t a c t . S u r c e t t e f igure, on r e m a r q u e que la

- - 3 4 7 - -

o / / i 0 ~ a t a S

0 2 ~"

FIG. 47. - - Champ magn6tique infini. Guide plein. Courbes de dispersion pour une m~me fonction de distribution et divers diam6tres de guide.

pos i t ion de la paro i du guide n ' a plus une tr~s grande influence lorsqu 'e l le se t rouve dans une r6gion off la

densit6 de p l a sma est tr6s faible.

II.3. Induction magn6tique nulle.

I1 s ' ag i t de r6soudre, en t e n a n t compte des condi t ions aux l imites, l 'une des 6quat ions (24) ou (25) qui s '6cr ivent , en u t i l i san t la coordonn~e r6dui te x = rla :

d~Ez dEz ~__~_ X dc J (24') ~ + ~ + r 1 6 2 d ~ - -

Ez ( X - - Yz) = O, m 2

d*H o d H o ~. 1 1 dz .-] (25') dx 2 + dx �9 x r dx 3

~ 1 1 de X - Yr H o x--- ~- x-~- ~ + ~ + m2 = 0,

a v e c r = 1 - coblr ~ = 1 - f i x ) / Y .

En u t i l i san t la m~me mdthode qu ' au w II.2.2, on peu t mon t r e r que la solut ion g6n6rale de l ' 6qua t ion (24') peu t s ' expr imer au moyen d 'une solut ion par t i - culi~re E o (x) en u t i l i san t la re la t ion :

f X - - Y ~ (36) Ez = A E o + B E o dx . x ~ E~

de m~me, la solut ion g6n6rale de l '6qua t ion (53') peu t s ' expr imer au moyen d 'une solut ion par t icul i6re H o (x) en u t i l i san t la re la t ion :

, f r (37) Hz = A'Ho + B H o J ~ ,

(A, B, A ' et B ' sont des constantes d ' in t6grat ion) . On en d6dui t que les solut ions g6n6rales des 6qua-

t ions (24') et (25') don t les coefficients a d m e t t e n t un p61e h l 'or igine, sont chacune la somme de deux solu- t ions par t icul i~res don t l ' une t end vers l ' inflni, alors q u e l ' au t r e res te finie quand x t end vers z6ro : e 'es t

seulement cet te deuxi~me solut ion qui nous int6resse. D ' a u t r e par t , pour une onde don t la fr~quence est

comprise entre la fr6quence de p l a s m a au centre et la fr6quence de p l a s m a sur le bo rd de la colonne, les coefficients de ces deux 6quat ions a d m e t t e n t 6galement un p61e au po in t d 'abscisse x o tel que ~ (xo) = 0. Ce p61e, lorsqu ' i l existe, complique s6r ieusement la r6so- lut ion des 6quat ions de p ropaga t ion . On va doric commencer pa r chercher des solut ions h des fr6quences off il n ' ex is te pas, ce qui est d 'a i l leurs pa r f a i t emen t justif i6 pa r les consid6rat ions suivautes .

Dans le cas d ' un p l a sma homog~ne, on sai t qu 'en l ' absence d ' i nduc t ion magn6t ique , des ondes lentes pe uve n t se p ropager le long d 'une colonne de p l a sma h condi t ion que cet te colonne soit ex t6 r ienrement en con tac t avec un di61ectrique. Ces ondes lentes, qui n ' ex i s t en t pas dans un guide compl~tement rempl i de p lasma, sont alors des ondes de surface correspon- dan t h u n seul mode de p ropaga t ion et, a d m e t t a n t pa r cons6quent une seule courbe de dispers ion qui p a r t de l 'or igine et t end a s y m p t o t i t u q m e n t pa r valeurs inf~rieures vers la droi te hor izonta le d 'ordonn6e /v](1 4- K) 112 (off K est la pe rmi t t iv i t6 re la t ive du di61ectrique l imi t an t le p lasma) .

Nous savons [25] que des ondes lentes do iven t en- core se propager , dans les m6mes condit ions, m~me si le p l a sma est inhomog~ne, leur courbe de dispersion t e n d a n t pa r valeurs inf6rieures vers l ' a s y m p t o t e hor izonta le d 'ordonn6e fpb/(1 + K ) I i 2 ; dans cet te expression, fpb est la fr6quence de p l a sma sur le bo rd de la colonne, h I ' endro i t off le p l a s m a est en con tac t avec le di61ectrique de pe rmi t t iv i t6 K.

Tenan t compte de ces remarques , nous commence- rons pa r chercher les courbes de d ispers ion des ondes lentes darts un guide pa r t i e l l emen t r empl i pa r une colonne de p l a s m a inhomog~ne ~ des fr6quences inf6- r ieures fi la fr6quence de p l a sma sur le bord de la co- lonne. Dans ces condit ions, les coefficients des 6quat ions

348

t. 24, n ~ 9-10, 1969]

de p r o p a g a t i o n (24') et (25') n ' a d m e t t e n t pas de p61e

dans l ' i n t e rva l l e d ' i n t 6 g r a t i o n 0 < x ~< 1. On p e u t

done che rche r les so lu t ions de ces 6qua t ious sous fo rme

de d 6 v e l o p p e m e n t s en s6rie "h p a r t i r de l 'or ig ine .

II .3.1. Fr~quences in[~rieures d la [r~quence de p l a s m a s u r le b o r d de la colonne.

1. F o n c t i o n de d i s t r i b u t i o n parabo l ique : / = 1 - - ~ x 2.

P o r t a n t e e t t e express ion de f dans l ' 6 q u a t i o n (25'),

on t r o u v e p a r i den t i f i ca t ion que la so lu t ion de ce t t e

6qua t i on qu i res te finie h l ' o r ig ine a d m e t pour d6ve-

l o p p e m e n t en s6rie (h une c o n s t a n t e m u l t i p l i c a t i v e

pr6s)

(38) Ho = x [ l + a l x 2 § a2x4 + . . . ~ a n r 2 n + . . . ]

les coeff icients a I , a 2 . . . . . a n . . . . . 6 tau t donn6s par la r e l a t ion de r6cur rence :

(39) 4 n (n + 1 ) ( 1 - Y ) a n - - [ - 4 n ( n - - 2 ) ~ + I 1 ]

m2 (1 - - Y) (X + 1 - - Y) an-1 5

~2

(X + 2 - - 2 Y) an 2 - - - - = 0. i n 2 i/~ 2 a n - 3

La re la t ion de r6cur rence en t re les coeff icients

C 1 , a 2 . . . . . (t n e s t de la f o r n l e :

( 1 - Y) l"( l t )a n + G ( 1 0 a n _ 1 ( K l a n _ 2 1 K2a~, t_ 3 0 ,

o~

F (n) et G (n) t e n d e n t vers l ' in f in i avee n, le r a p p o r t

G ( n ) / l (n) t e n d a n t alors vers 1 pa r va leu r s inf6r ieures ;

q u a n t a u x coefficients I( 1 et K e , ils son t i n d 6 p e n d a n t s

de n. D'apr/~s le th6or6me d6mon t r6 en a n n e x e V, il

en r6sul te que la s6rie (38) est u n i f o r m S m e n t eonver -

gen te p o u r : x 2 < [1 - - Y[/r162

P o u r une f r6quence iuf6r ieure ~ la f r6quence de

p l a s m a sur l ' axe ( Y < 1) ce t t e in6gal i t6 s '6cr i t encore :

x < x 0 avec e (x0) = 0 ; a u t r e m e n t di t , c o m m e l ' on

p o u v a i t s ' y a t t e n d r e , le d o m a i n e de c o n v e r g e n c e de

la s6rie (38) est born6 s u p 6 r i e u r e m e n t pa r le p61e x o .

B a n s le cas off nous sonunes plac6s pour comnlencer ,

la s6rie (38) est donc u n i f o r m 6 m e n t c o n v e r g e n t e darts

t o u t le v o l u m e occup6 par le p l a sma , en pa r t i cu l i e r

sur le bord de la co lonne : on p e u t donc l 'u t i l i se r pour

6crire les condi t ions de con t inu i t6 des c h a m p s 61ec-

t r iques et m a g n 6 t i q u e s sur le bord de la colonne.

A p p l i c a t i o n : E q u a t i o n d e d i s p e r -

s i o n d ' u n g u i d e p a r t i e l l e m e n t r e m p l i .

Nous a l lons a p p l i q u e r cos r6su l ta t s ~ un guide de

r a y o n b c o n t e n a n t une co lonne de p l a s m a de r a y o n a,

p l a s m a et gu ide 6 t au t s6par6s par une couche un i fo rme

de di61ectr ique de p e r m i t t i v i t 6 K.

A l ' i n t6 r i eu r du p lasma , on a :

Ho : A x [1 § a I x 2 ~- a 2 x 4 ~- . . . . . A_ an x2n 4- . . . . . ],

Ez -- jr ~o r ~ __ 4- d x J -- jo~ r za X

[1 4- 2 a , x 2 4- .... . § (n 4- 1)an x 2n 4- . . . . . ].

Darts le di61ectr ique qui l ' e n t o u r e :

Ho = B [ . h ( t r ) Y o ( t b ) - Y~(tr) Jo(tb)] ,

O N D E S ~ : L E C T R O M A G N t ~ T I Q U E S ET P L A S M A 41/54 B !

E z jo) r K [d~ Y ~ - - Y~176 '

r 2 K Y - - X avec t 2 = K ~ - - ~ 2 = m 2a 2

B a n s ces express ions , A et B sont des cons t an t e s

d ' i n t 6 g r a t i o n q u ' o n d 6 t e r m i n e en r a c c o r d a n t les

c h a m p s pour r = a (x = 1). E n 6c r ivan t que les d e u x

cond i t ions de r a c c o r d e m e n t sont compa t ib l e s , on

o b t i e n t l ' 6 q u a t i o n de d ispers ion s u i v a n t e :

Y - - I § (40) Kgo~(la) - - 2 Y x

1 § a 1 + . . . . . + a n 4 - . . . . .

1 ~- 2 a 1 + ..... + (n + 1)an + . . . . .

darts laquel le a~ , a 2 , .... an sont d6finis pa r la r e l a t iou

(39) ( l ' express ion de g0p a 6t6 donn6e dans la p r emi@e

pa r t i e ; on a t o u j o u r s p = b l a ) . Cet t e 6qua t ion est

u t i l i sab le pour des f r6quences inf6rieures ~ la f r6quence

de p l a sma sur le bo rd de la colonne, c ' e s t -h -d i re p o u r

Y < I - - ~ ( r e m a r q u o n s qu ' e l l e l ' e s t aussi p o u r

Y > I + 0 Q .

Nous avons r6solu l ' 6 q u a t i o n (40) p o u r d ivers

ensembles de va leu r s des p a r a m 6 t r e s p, ~, K e t m ;

le t ab l eau des r6su l ta t s ob t enus est donn6 en a n n e x e V I .

De ce t ab leau , nous avons d6dui t ce r ta ines courbes

de d ispers ion que nous al lons p r6sen te r en les a s soc ian t

de faqon tel le q u ' o n puisse su ivre l ' 6vo lu t i on de leurs

propr i6 t6s en fouc t ion des ca rac t6 r i s t iques du guide

et du p lasma.

a) Inf luence de la parabol ic i t6 pour un guide donu6

(a, b et K donn6s) et une m ~ m e f r6quence de p l a s m a

sur le bord .

La figure 48 reprdsen te Ul~ jeu de courbes de disper-

sion c o r r e s p o n d a n t a une m S m e v a l e u r de [, une

m 6 m e v a l e u r de K et d iverses va leu r s de ~ e t m te l les

le r a p p o r t ~ / l ~ ] m soit t ou jou r s le m6me. On que

p e u t consid6rer que ces courbes sont celles de guides

i den t i ques c o u t e n a n t des colonnes de p l a s m a g va r i a -

t ions de deusi t6 pa r abo l i ques avec parabol ic i t6s

d ig6 ren t e s et m ~ m e f r6quence de p l a s m a /vb sur le

bord .

De l ' e x a m e n de ces courbes , on r e l i e n d r a que , pour

une fonc t ion de d i s t r i bu t ion p a r a b o l i q u e :

les courbes de d ispers ion p a r t e n t encore de l 'o r ig ine ,

avec une v i tesse de phase d ' a u t a n t p lus g rande que la

pa rabo l i c i t6 est p lus p rononc6e ;

quel le que soi l la parabol ic i t6 , elles a d m e t t e n t p o u r

la d ro i t e ho r i zon ta l e d ' o rdonn6e /vb ]~ /1 a s y m p t o t e + K ,

ce qu i a v a i t b ien 6t6 p r6vu ;

pour de faibles parabol ic i t6s , la bande de f r6quences

off ex i s t en t des ondes lentes est l imi t6e s u p 6 r i e u r e m e n t

pa r [Vb[~/1 + K ; les courbes de d i spers ion son t en

effet e n t i ~ r e m e n t en dessous de leur a s y m p t o t e vers

l aque l le elles t e n d e n t en cro issant de fa$on m o n o t o n e :

il leur co r re spond des ondes d i rec tes d o n t les v i tesses

de phase et de g roupe on t le m e m e sens ;

p o u r une pa rabo l i c i t6 su f f i samment for te , c e t t e

p ropr i6 t6 West plus v r a i e : les eourbes de dispersion p e u v e n t coupe r leur a s y m p t o t e en c ro issant , passer

- - 3 4 9 - -

42/54 ~ . c A M U S ANNAL~fl DES TI~LI~COMMUNICATIONS

d . : 0 , ~

r~ ,l: r

[,-, (1)'] I

�9 gS

Fro. 48. - - Champ magn6tique nul. Courbes de dispersion de guide partiellement plein avec fonetion do distribution parabolique et m~me fr6quence de plasma sur le bord.

' ( : 0

! �9 $ ~. s 6 7 $ } (o

FIo. 49. - - Champ magn6tique nul. Guide partiellement plein. Influence de la parabolicit6 pour une m~me fr~quence de plasma au centre.

par un m a x i m u m (sup~rieur h [~o/~/1 + K ), puis redescendre en p r~sen tan t une pa r t i e le long de laquelle les ondes cor respondantes sont i nve r se s ; elles von t alors recouper leur a sympto t e , passer pa r un m i n i m u m et t endre ensui te vers l ' a s y m p t o t e pa r valeurs inf~rieures.

b) Influence de la parabol ie i t6 pour un guide donn6 (a, b e t K donn~s) et une m6me fr~quence de p l a sma au centre.

Los courbes t rac6es figure 49 cor respondent h des va leurs de [, K et m cons tan tes e t ~ diverses va leurs

du coefficient de parabol ic i t6 a. On peu t consid6rer que ce sont cellos de guides ident iques con tenan t des colonnes de p l a sma h var ia t ions de densit6 parabol iques avec parabol ic i t6s diff6rentes et m~me fr6quence de

p l a s m a / r 0 au centre.

Ces courbes sont ~v idemment tr~s diff6rentes les unes des aut res puisqu 'e l les ne t e nde n t pas vers la m~me asympto te . Leur diff6rence reste cependan t marqu6e, memo au voisinage de l 'or igine off la vi tesse de phase est cet te lois d ' a u t a n t plus pe t i t e que la parabol ic i t6 est plus grande.

- - 350

t: 0,24 9-10, 19691 O N D E S E L E G T R O M A ( ~ N L T I Q U ~ S ET PLASMA 43/54

Y / K : ~.,S

~ o

FIG. 50. - - Champ magn6tique nul. Guide partiellement plein. Fonction de distribution parabolique.

0,t

o

J

Fro. 51. - - Champ magn6tique nul. Guide partiellement plein. Fonction de distrilmtion parabolique, fInfluence de l'6paisseur de di61eetrique m ~ 0,39,

= 0,95, K ~ 4,5, [ = 1---cox 2.

c) I n fuence du di61ectrique en touran t le plasma.

Le di61ectrique va d 'abord jouer un r61e par sa na-

ture m~me, c 'est-h-dire par sa permi t t iv i t6 qui inter-

v ien t dans l 'ordonn6e de l ' a sympto te . On peut cepen-

dant comparer les courbes de dispersion de guides

ayan t m6mes caract6rist iques g6om6triqucs (a et b

identiques) con tenan t des plasmas de m~me densit6

au centre (m6me valeur de m) mais avec des para-

bolicit6s diff6rentes et telles que le r appor t /vo /~ /1 + K soit conservC De telles courbes ont 6t6 trac6es figure 50.

De plus, le di61ectrique peut jouer un rble par son

6paisseur : c 'est ce que l 'on observe sur la figure 51

off l 'on a trac6 des courbes de dispersion correspondant

h des valeurs constantes de 0c, K et m e t h diverses

valeurs de p = b/a . On voit sur cet te figure que

l '6paisseur du di61ectrique peut influencer fo r t emen t

l 'a l lure de la courbe de dispersion, d 'une fa~on beaucoup

plus sensible que dans le cas d 'un p lasma homogbne.

Pour compl6ter ces divers renseignements, il nous a sembl6 int6ressant d ' examiner l ' influence, sur la pro-

pagat ion, de la forme du profil de densit6 de plasma.

Nous avons, pour cela, r6solu l '6quat ion (25') pour

une fonction de distr ibut ion gaussienne.

2. Fonct ion de dis lr ibul ion gaussienne : / = e -Px2.

Pour une telle fonction de dis tr ibut ion, l '6quat ion

(25') admet encore une solution finie h l 'origine

d6veloppable en s6rie entibre de la forme :

- - 3 5 1

4 4 / 5 4

Ho = x [1 + a l x 2 + a 2 x 't + . . . . . + a n x 2n -1- . . . . . ]

les coeff icients a ~ , a2 ... a n 6 tan t d6finis pa r la r e l a t ion

de r6cur rence :

4 n ( n + 1 ) ( 1 - - Y ) a n = 4 n ( n - - 2 ) P + ~ (1 - -Y) x

(X + 1 - - Y) an_ 1 + (-- I) n (n-- I~ 4 P + ~ •

2n-I q n- ~ pn-~-I (2 Y - - X ) - - ~ . + ~av( - - l ) n-" •

(n--v I)~

4 (~+l)(n--2V)n_ ~ P + ~ ( 2 Y--X)-- ~ 3 "

P o u r un gu ide p a r t i e l l e m e n t r e m p l i de p la sma , on

o b t i e n t alors l ' 6 q u a t i o n de d ispers ion :

y _ e -P (42) Kgo~ ( la ) - - 2 Y •

1 + a I + ..... + an + . . . . .

1 + 2 a 1 + . . . . . -~- (n + 1)an + . . . . .

On a r6solu ce t t e 6qua t i on p o u r d ivers ensembles de

va leu r s de t~, P , K e t m, ce qu i nous a pe rmis de

t r a c e r les eourbes de la f igure 52 off l ' on p e u t e o m p a r e r

les eourbes de d i spers ion de guides i d e n t i q u e s (m61nes

va leu r s de a, b et K) e o n t e n a n t des eo lonnes de p l a s m a

a y a n t m 6 m e dens i t6 au cen t r e (m6me v a l e u r de m) et

m 6 m e dens i t6 sur le bord , m a i s avec des profi ls dill6-

rents :

- - les p remi6res

p a r a b o l i q u e : / v =

- - les seeondes h

(on a done : 1 - -

courbes c o r r e s p o n d e n t h u n profi l

/vo (1 - - ~x2),

un profi l gauss ien : [p - - [po e - ~

On obse rve b ien que les courbes h c o m p a r e r t e n d e n t

vers la m ~ m e a s y m p t o t e pu i squ ' e l l e s c o r r e s p o n d e n t h

la m ~ m e f r6quence de p l a s m a sur le bo rd de la colonne.

El les sont c e p e n d a n t s ens ib l emen t diff6rentes, d ' au -

t a n t p lus que l ' i nhomog6n6 i t6 de p l a s m a est p lus

prononc6e .

11.3.2. Cons iddraf ions s u r l ' in tdgra t ion d e s ~quat ions ( 2 4 9 e t (25') l o r sque l eurs coef f i c ien t s on t un l ~ l e d a n s l ' in te rva l l e 0 < x <<. 1.

L ' e n s e m b l e des r6su l t a t s que ilons v e n o n s de pr6-

sen te r m o n t r e que dans le eas d ' u n e inhomog6n6i t6

M. C A M U S [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATION$

r e l a t i v e m e n t faible, h laquel le oil p e u t s ' a t t e n d r e en

l ' absence d ' i n d u c t i o n m a g n ~ t i q u e u n i f o r m e (cf. I I I -1 )

la courbe de d ispers ion des ondes len tes res te cer ta i -

n e m e n t en dessous de la f r6quence de p l a s m a sur le

b o r d de la colonne.

On p e u t c e p e n d a n t e x a m i n e r ce qu i ce passe p o u r

une f r6quence compr i se en t r e la f r6quence de p l a s m a

sur le b o r d e t la f r6quence de p l a s m a au cen t re de la

colonne. Les 6qua t ions de p r o p a g a t i o n (24') et (25')

a d l n e t t e n t alors un pSle au p o i n t x o te l que ~ (x0) -- 0

e t ce pSle l i ln i te s u p 6 r i e u r e m e n t le d o m a i n e de conver -

gence des s6ries so lu t ions calcul6es h p a r t i r de l ' o r ig ine :

on ne p e u t donc pas u t i l i ser ces s6ries pour 6crire les

cond i t ions a u x l i lni tes sur le bo rd de la co lonne de

p lasma. On do i t alors op6rer de la fa~on s u i v a n t e :

che rehe r les so lu t ions finies h l ' o r ig ine Ho~ et

E ~ sous forme, pa r exemple , de d 6 v e l o p p e m e n t s

en s6rie h p a r t i r de x = 0 : cela i n t r o d u i t une e o n s t a n t e

d ' i n t6g ra t i on ;

ehe rehe r les so lu t ions va l ab le s a u t o u r du pSle x o :

cela i n t r o d u i t , c o m m e on le ve r ra , d e u x c o n s t a n t e s

d ' i n t 6 g r a t i o n que l ' on ca lcu le ra en r a c c o r d a n t ces

solu t ions h gauche a u x so lu t ions H~ et Ez~(x)

et fi d ro i t e a u x c h a m p s h l ' ex t6 r i eu r du p lasma .

Ce t t e m 6 t h o d e c o n d u i t a u x r6su l ta t s s u i v a n t s :

consid6rons l ' 6 q u a t i o n (25') d o n t nous al lons che rche r

la so lu t ion g6n6rale a u t o u r du pSle Xo; p o u r cela,

nous e o m m e n ~ o n s pa r en ehe rche r une so lu t ion par t i -

culi~re, d~velopp6e en s6rie au vo i s inage de x o . On 1 a tF

p o s e : ~ = x - - x o , p u i s z ( x ) = 8 ~ ( x ) et tF d x - - T ( x ) "

les fone t ions tF e t ~0 6 tan t d6ve loppab le s en s6rie

ent i~re a u t o u r de x o :

'F(x) = tF 0 + ~ tF o + Z - tF~' + . . . . . .

~(x) = % + ~ % + ~ o ~ ' + . . . . . .

On po r t e ces d iverses express ions dans l ' 6 q u a t i o n (25')

que l ' on mul t ip l i e pa r x 2 = xo~ + 2x 0 8 + 82, et dans

laque l le on fa i t le c h a n g e m e n t de va r i ab l e x = 8 + x o .

P a r i d e n t i f c a t i o n , on cherche alors une so lu t ion de

W W4~

03

/

S �9 q

i

1

.o~4

8 40

{ - o , I gt

Fro . 52. - - Champ magn~tique nul. Guide partiellement plein. Influence de la forme de l ' h o m o g 6 n 6 i t 6 p = 1 ,25 , K = 4,5, m = 1 ,745 .

3 5 2 - -

t. 24, n o~ 9-10, 1969]

l ' ~ q u a t i o n o b t e n u e sous f o r m e d ' u n d 6 v e l o p p e m e n t

e n s6rie : Ho = a 0 8 " + a 1 ~ + 1 + ..... T o u s calculs fai ts , on t r o u v e que ce t t e so lu t ion

s '6cr i t :

f ( 8 ) : 85 (1 -}- a l ~ § a 2 8 2 § . . . . . ) ,

a v c c :

a I = - ~ - 2 - ~ o Xo '

1 ~ 8 4 , Xx2o~. a2 -- 8 x o ~ _ 3 3 ~~176 + 2 x ~ ( ~ + ~ o ) + m 2 j

C e t t e so lu t ion s ' annu le , ainsi que la d6riv6e, au p o i n t

X 0 �9

A p a r t i r de ce t t e p r emie re so lu t ion e t en u t i l i san t

la r e l a t i on (37), on p e u t alors ehe rehe r une deux i6me

so lu t ion pa r t i cu l i6 re de l ' ~ q u a t i o n (25'). Tous ealculs

fai ts , c e t t e deux i6me solu t ion s '6cr i t :

f 8 g(8) = f(8) (x . 8)/2 1 . . . . + X o

X - - - 82 1Oge [81 § 2H12 ..... ,

X 8 -- 2 m 2 / (~) loge [8] § 1 - - - - + .....

X 0

P o u r 8 = 0, ee t t e seeonde solut ion res te finie, ainsi

que sa d6riv6e p r emie re : nmis sa d6r iv@ seeonde est

i n f i n i m e n t grande , ce qui 6tai t pr~vis ib le apr~,s e x a m e u

de l ' 6 q u a t i o n (25'). l ; i n a l e m e n t , la so lu t ion g6n6rale

de ee t t e 6qua t ion s '6cri t :

(43) Iio P f(~) I Q g(~),

off P e t Q sont des eons t an t e s d ' i n t 6 g r a t i o n ; il c o n v i e n t

de r e m a r q u e r c e p e n d a n t que l ' on p e u t choisir diff6-

r e m m e n t les va l eu r s de la c o n s t a n t e P h d ro i te et h

gauche de x o en r e s p e c t a n t la con t inu i t6 , au passage

p a r ee po in t , de la f onc t i on Ho et de sa d6riv6e pre- dHo

mibre d ~ ; on r e v i e n d r a plus loin sur ce t t e double

d 6 t e r m i n a t i o n de P h dro i te et h gauche de x o.

A u p a r a v a n t , nous al lons d6dui re de la so lu t ion

g6n6rale de Ho donn6e pa r (43), la so lu t ion g6n6rale

Ez de l ' 6 q u a t i o n (24') en u t i l i s an t la r e l a t ion :

1 ( ~ _ dH%\/ , Ez -- jr % ~ + dx /

qui condu i t , h un coeff icient m u l t i p l i c a t i f pros, h :

E~ = P(2 + 8 2 + ...) + Q - - ~ 1 o g o l 8 1 + 8 . . . �9

I1 a p p a r M t que la so lu t ion g6n6rale Ez est i n f i n i m e n t

g r a n d e au p o i n t x o sauf si Q = 0. Or, on ne p e u t pas

avo i r Q = 0, p o u r d iverses ra isons p a r m i lesquel les

nous r e t i e n d r o n s la s u i v a n t e : si Q est nul , Ho sera i t

nu l au p o i n t x o , ee qu i i m p o s e r a i t h la so lu t ion H~(x),

ealcul~e h p a r t i r de l 'o r ig ine , la cond i t i on : H~(xo) = 0 ;

ceci c o n d u i r a i t /~ 6erire une r e l a t i on en t r e co et ~

(6qua t ion de d i spers ion) qu i ne d 6 p e n d r a i t que des

ca r ac t6 r i s t i ques du p l a s m a h gauche de x 0 et ne

t i e n d r a i t pas c o m p t e de ce qu i ex is te ~ d r o i t e de ce

po in t .

O N D E S t ~ L E C T R O M A G N I ~ T I Q U E S E T PLASMA. 45/54 D ' u n p o i n t de r u e p u r e m e n t m a t h 6 m a t i q u e , la

r~so lu t ion du p rob l~me de p r o p a g a t i o n c o n d u i t donc

a d m e t t r e que Ez(xo) es t i n f i n i m e n t grand . P ra t i -

q u e m e n t , on sai t qu ' i l ex is te dans le p l a s m a des pro-

cessus p h y s i q u e s (ph6nom~nes d ' a m o r t i s s e m e n t ) qu i

v o n t l imi t e r la v a l e u r de Ez (sur ce po in t , vo i r [42]) :

on p e u t c e p e n d a n t 6 tud ie r le cas id6al off ces processus

n ' e x i s t e r a i e n t pas p a r un passage ~ la l im i t e en

cons id6ran t d ' a b o r d qu ' i l s e x i s t e n t pu i squ ' i l s d ispa-

r a i s sen t p r o g r e s s i v e m e n t . Ceci v a p e r m e t t r e de t r o u v e r

une r e l a t ion en t r e les d 6 t e r m i n a t i o n s des c o n s t a n t e s

d ' i n t 6 g r a t i o n ~ d ro i t e e t ~ gauche du p61e x 0 .

L o r s q u ' o n t i e n t c o m p t e des ph6nom~nes d ' a m o r -

t i s s emen t , e(x) es t une q u a n t i t 6 c o m p l e x e qui ne

s ' annu le j a m a i s p o u r x r6el. On n ' a u r a donc pas

e(x) = 0 p o u r x = x o r6el, m a i s p o u r x = x ' o + j t ;

a u t o u r de ce p61e, on p e u t in t6grer l ' 6 q u a t i o n (25')

dans le p l an x c o m p l e x e en p o s a n t ~q = x - - x ' o - - it.

On t r o u v e alors d e u x solut ions par t icu l i~res ind6pen-

dan t e s q~ (B) et y (~]) qu i se t i r e n t f o r m e l l e m e n t des

fone t ions f (8) et g (8) :

t 9 = ~2 (1 + a l~ + ..... ) ,

X ~q2 loge ~], , y 1 - - ~ ..... + 2 m 2

= q~ ~ loge ~ + 1 - - ~ ..... ) .

La fone t ion ",((~) doi t e e p e n d a n t ~tre r e n d u e u n i f o r m e

au m o y e n d ' u n e eoupure dans le p lan x c o m p l e x e ;

ee t t e eoupurc p a r t du p61e et ne dol t pa s t r a v e r s e r

l ' a x e x r6cl pour r e spec te r la eon t inu i t6 de E z . Lors-

q u ' o n a ehoisi ee t t e coupure , la so lu t ion g6n6rale de

l ' 6 q u a t i o n (25') dans le p lan x e o m p l e x e est parfaite~.

m e n t d6 te rmin6e ; elle s '6cr i t :

Ho = p~0(~) + q y ( ~ ) ,

off p et q son t des cons t an t e s d ' i n t 6 g r a t i o n va lab les

dans t o u t le vo i s inage de B : 0.

Q u a n d les processus d ' a m o r t i s s e m e n t d i spa ra i s sen t ,

le p61e x ' o + jt t e n d vers x o , sur l ' axe r6el, e t la fonc-

t ion Ho ci-dessus t e n d vers la fonc t ion P f(8) + Qg(8) :

dans ee passage h la l imi te , la d 6 t e r m i n a t i o n du

loge ~q n ' e s t pas la m ~ m e h dro i te et ~k gauche de

x o ; il f au t done i n t rodu i r e d e u x va leurs de la c o n s t a n t e

d ' i n t 6 g r a t i o n P : une ~ d ro i te et l ' a u t r e h gauche du

p61e. On p e u t v6r i f ier q u ' e n t r e ces d e u x va l eu r s ex is te

la r e l a t ion :

P d r o i t e - - P gauche = • jr~ X Q l 2 m 2,

(le s igne + o u - - d 6 p e n d a n t de la pos i t ion de la coupure

au-dessus ou au-dessous de l ' a x e r6el). Ce t t e r e l a t ion

m o n t r e que la phase des c h a m p s 61ectrique et magn6-

t i q u e associ6s h l ' o n d e ne res te pas c o n s t a n t e dans un

p l an de sect ion d ro i te du guide ~ p lasma.

Les cons ide ra t ions ci-dessus son t appl icab les h la

r6so lu t ion de l ' 6 q u a t i o n de p r o p a g a t i o n darts une

co lonne de p l a s m a i n h o m o g ~ n e en l ' absence d ' i n d u c -

t ion m a g n 6 t i q u e , lo r sque la f r6quence des ondes est

compr i se en t r e les f r6quences de p l a s m a sur l ' a x e e t

sur le bo rd de la colonne. Des cons id6ra t ions i d e n t i q u e s

p e u v e n t ~tre 6voqu6es dans le cas de la p r o p a g a t i o n

- - 3 5 3 - -

4 6 / 5 4

avec induct ion magnStiquc, autour des p61es corres- p o n d a n t h to = top d 'une par t et co : (o~ § o)2) ~h

d ' au t re part . Elles eonduisent h des m~thodes de r6solution eompliqu6es que nous n 'avons pas encore

d6velopp6es. Cependant , en utilisant l'approximation quasi sta-

lique, R. J. Briggs et S. F. Paik [43] ont pu achever la r6solution de l '6quat ion de propagat ion et, tracer les eourbes de dispersion d ' un guide plein de plasma en pr6senee d ' un champ magn6t ique uniforme, dans le eas d 'une dis t r ibut ion de densit6 parabolique. Ces auteurs ont montr6 que l 'existenee de r6sonances dans la eolonne de plasma, qui se t r adu i t avec leurs hypo- theses par l 'existenee des seuls p61es eorrespondant h tO = (0)~o -~ t.0c~) 112 dans l '6quat ion de propagat ion

entra ine un amor t i ssement anormal dans la propaga- t ion et ce, m6me s'il n ' y a p a s de collisions dans le

modble de plasma.

II.4. Conclusions. Retour sur l'interpr6tation des r6sultats exp6rimentaux.

Les r~sultats exposes dans le paragraphe precedent ne s 'appl iquent qu'h quelques modbles bien parti- culiers de guides h plasma. Ils suffisent n6anmoins pour mont re r que l ' in t rodue t ion d 'une inhomog6n6it6 transversale dans la colonne de plasma est susceptible de modifier effectivemeni les propri~t~s des ondes qui s 'y propagent. Les modifications apport6es sont trbs sensibles dans le cas off l ' induct ion magn6t ique --> B 0 est nulle ; elles le sont beaucoup moins si cette induct ion est trbs grande. Nous allons r6sumer tr~s br ibvement les renseignements obtenus.

Lorsque l ' induct ion magn6t ique est trbs grande, i 'allure des eourbes de dispersion des ondes lenles

(16pend essentiel lement de la densit6 au centre de la eolonne de plasma : quel que soit le profil de densit6, les courbes de dispersion par ten t en effet de l 'origine et croissent r6gulibrement en t endan t par valeurs inf6rieures vers l ' a sympto te horizontale d'ordomaOe [po (fr6quence de plasnm sur l 'axe tie la colonne). Le domaine de fr~quenees off existent les oudes lentes

est donc toujours limit5 sup6ricurement par /p0. L'effet d 'une inhomog(~n~.it6 (pour un guide et une densit6 sur l 'axe donn6s) est de diminuer , h toute fr6- quence, les vitesses de phase des ondes. Cette dimi- nu t ion d6pend beaucoup du gradient de densit6 au voisinage de l 'axe de la colonne de plasma : elle est d 'au- t au t plus impor tan te que ce gradient est plus grand. Ces conclusions peuven t ce r t a inement 6tre 6tendues au cas d 'une fonction de d is t r ibut ion qui ne serait plus

monotone d6croissante (colonne de p lasma ayan t un

creux de densit6 sur son axe par exemple) : le domaine d 'existence des ondes lentes serait alors limit~ sup6-

r ieurement par la fr6quence de plasma maximale dens la colonne, et les courbes de dispersion d6pen-

draient beaucoup du gradient de densit6 autour du poin t h densit6 maximale.

En l 'absence d ' induc t ion magn6t ique, le domaine d 'exis tenee des ondes lentes d6pend s imul tan6ment de la densi t6 de p l a sma sur le bord de la colonne, de

51. CAS1US [ANNALI3S DES 't'ELIZGOMMU~ICA:I'ION~

l ' inhomog6n6it6 du plasma et du di61ectrique qui l 'entoure.

Pour une faible inhomog6n6it6, ce domaine est limit6 sup6rieurement par la f r6quence/phi(1 + K) 112

off [pb est la fr6quence de plasma sur le bord et K la constante di61ectrique du milieu avec lequel le p lasma est en contact : les courbes de dispersion des ondes

lentes pa r t en t alors de l 'origine et croissent r6guli~- r emen t pour tendre, par valeurs inf6rieures vers l ' a sympto te horizontale d 'ordonn6e /p0 (1 + K) lh . Cependant , si l ' inhomog6n6it6 est assez prononc6e, le domaine de fr6quences off existent les ondes lentes peut d6passer cette asympto te : des ondes lentes inverses peuven t alors se propager dans le guide h plasma. Quelle que soit l ' impor tanee de l ' inhomo- g6n6it6, les courbes de dispersion des ondes lentes (qui

sont des ondes de surface) adme t t en t eependant tou- j ours l ' a sympto te horizontale d 'ordonn6e fpbl(1 + K) 112 Ces r6sul tats sont qua l i t a t ivement semblables ~ ceux obtenus par Carlile et Swinford [44], Ilic [65] et plus r6eemment Kai Fong Lee [46] qui ont 6tudi6 la pro- pagat ion en pr6sence d 'une inhomog6n6it6 t ransver- sale dens I'approximation quasi statique.

Retour snr I'interpr:tation des r6sultats expdrimentaux.

Ces conclusions peuvent 6tre utilis6es pour inter- pr6ter les divers r~sultats exp~rimentaux.

1. En les app l iquan t aux exp6riences d6crites au paragraphe I-2, on constate qu'elles permet ten t de mieux comprendre les r6sultats obtenus: par exemple, le fait que la fr6quence de plasma donn6e par la position

de l ' a sympto te horizontale est inf6rieureh celle mesur6e (~ directement ,~ (I.2.2) ou "h celle d~duite de la valeur de la vilesse de phase h l 'origine (I.2.3).

2. Afin d'aller plus loin darts la conf ron ta t ion th6oric-exp6rience, nous avons d 'a i l leurs r6alis6 un guide "h plasma identique h u n des modules th6oriques 6tudi6s ci-dessus. Pour cela, nous avons repris un tube h xOmu semblable h celui d~crit au paragraphe 1.2.3 qui est repr6sent(' figure 35 ei daus lequel les profils de (lensit5 de plasma sont donn6s figure 39. En m6tal l isant ext6rieurement ce tube par d6position d ' u n e couche de cuivre sur sa surface, nous avons obtenu un guide de rayon b ~ 7 m m con tenan t une colonne de plasma de rayon a ~ 5,5 ram, plasma et guide 6tant s6par6s par une couche un i fo rme de di61ectrique de permit t i - vit6 relative K ~-~ 4,5. Pour un courant de d6charge de 0,9 A dans le tube , on obt ient un plasma dont le profil de densit6 est assez voisin d 'une parabole (cf.

Fig. 39) avec une parabolicit6 ~ de 0,4 et une fr6quence de p lasma sur le bord voisine de 5 000 MHz. On peut donc appliquer di rectement h ce guide les r6sultats

th6oriques donn6s par la figure 8 : ce faisant, on ob-

t ient un accord excellent en tous points entre r6sultats th6oriques e t exp~i ' imentaux, les tr~s faibles diver-

gences observ~es pouvan t ~tre imput6es aux erreurs rSsiduelles sur la d6terminat ion des param6tres, erreurs qui sont elles-m6mes tr~s foibles.

3. Pour expliquer qu' i l est n~anmoins possible d ' in terpr6ter certains r~sultats exp6r imentaux aux

I 3 5 4 - -

I. 24, n ~ 9-10, 1969]

moyen d 'une th6orie faile pour 1111 plasnla lminogbne,

nous avons Ira@ figure 53 les courl)es de dispcrsi(m

corrtspoudal~l, cn l 'absence d ' inducl ion magn('ii(lut,

i~ divers guides ayant les m6mcs caracl6risli(lucs g6o-

m6triques, l)artiellement remplis pat' ties colonues tic

plasma inhomog~nes ayant une distributiol~ de dens[t6

parabolique avcc m~me densitb moyenue. F:n les

comparant , nous constatons (in'entre la courl)e

associ6e au plasma homog~ene et celle correspondant

�9 a un coefficient de parabolic[t6 assez graud (a 0,6

par exemple) il y a une difference assez foible taul

qu 'on ne s 'approche pas des asymptotes . Dans un

grand domaine de fr6qucnces et de longueurs d 'ondts

par t i r de l 'origine, eerie diff6rence est inf6rieure aux

erreurs de mesnrc de dens[t6 de plaslna qu 'on peut

raisonnal)lclncnI CSli6rcr avec uuc u/(,Ihodt (~ dh'cele ~>.

~cp~

O N D E S I ~ L E C T R O M A ( ; N I i i T I Q U E S E T P L A S M A 47/54 (It l 'ondc (It surface (qui co'/ncidc d'ail leurs avec la

frOqucnce de rdSOlmllCe dipolaire).

(:es pr(wisions sc soil[ trouv6es pa1'failtmellt conlir-

m6t`s par une 6lude syst6nmtique de la propagat ion

dons Ics guides "a plaslna, guides d.'ondes circulaires

Imriicllement ou compl6tement remplis par une co-

lonue de plasma homog6ne plong6e darts nne induct ion

magn6t ique unifonne longitudinale. Cette 6tude a

monlr6 qu' i l existc des diff6renccs entre les propri6t~s

des ondcs tr6s lentes dons un guide plcin et dans un

guide par t ie l lement rempli de plasma. Ellc nous a

permis en outre de prouver la valid[t6 de diverscs

expressions approch6es de l '6quat ion de dispersion de

cts ondes lentes, trouv6es h par t i r des propri6t6s

des oudcs plants. Ces expressions sont souvent plus

i)r('cises qlle cellts olHt`lUltS au luoyeu tie I 'approxi-

mat ira1 quasi sl a l iulmaire donl lc domaiue d 'n l i l i sa | ion

" st' l ronve ainsi d~lilni[6.

Alin de v@ifier l ' exac t i tude des r~sultats th~oriques

obl tnus , nous avons effectu6, apr~s plusieurs auteurs,

de noml)reuses lnesures d t l)ropagatioll dans des

guides '5 i)laslna. Cc faisanl, nous avons ol)telm des

v6suliats expdrinlcntaux s tns ib lement diff6rents de

ceux que tlOtlS alien(lions, l'om" expl iquer eet tc diff6-

rt`uce, nous avons alors invo(lu6 le fai t qn 'une colonue

de plasma de l-fl)ol"atoirc West cer ta inement pas homo-

g;qle l ransversalelnenI . L'inhonn)g(,u6it6 radiale de

deusil 6 de t)lasma peuI d'ailleurs y Ore tr6s impor tan te ,

comme Font l)rouvd les divers profils de densit~ que

uous avons re l ives sin" les tubes h dbcharge h cathodes

chaudes utilis6s dons nos exp6riences de propagat ion.

Cela 6tanl, nous avons montre , sin' quelques exem

pies simplts, (lue l ' in l roduct ion de cet tc iuhomog6n6it6

(laus le mod61e th6ori(lue de guide h p lasma rood[tic

ell 'ectivemcnt lcs r6sultats obtcnus h par t i r d 'un

plasma homog6ne. Nous n 'avons consid6r6 que qucl-

cities cas th6oriques part[cullers : ceux d 'une induct ion ----N

magn6t iquc B o nulle ou inf iniment grande, pour des

fr6quences tellcs qu ' i l n 'y ait pas de r6sonances

locales h l ' int6rieur du plasma et pour des fonctions de

distr ibut ion de dens[t6 tr6s particuli6res (essentielle-

lnent parabol iques et gaussiennes) mais tr~s proches

de la r6alit6. Dans ces conditions, nous avons obtenu

ties 1)r6visions th6oriques en excellent accord avec les

r6sultats exp6rimentaux. Nous pensons doric 6Ire

ainsi arriv6s h une meilleure COlmaissance des ondes

61ectromagn6tiques guid6es par une colonne de plasma,

pr incipalement des ondes lentes.

Les r6sultats que nous avons obtenus sont 6videm-

mcnt applicables aux plasmas de laboratoire qui se

pr6sent tn t souvent sous forme de colonnes. On pourra

I)ar cous6quent its utiliser pour ten te r d 'expl iquer

c t r ta ins ph6nom~nes se produisant dans ces plasmas

e! repreudrt , en en t enan t compte, l '6tude des pro-

cessus d'inslalfilit6. Mais on peut 6galcment envisagcr

de lcs appliquer au diagnostic des plasmas ; des r6sul-

tats de nos exp6riences, il ressort en effet que, par des

mesures de propagat ion, on dolt d~terminer avec une

bonne pr6cision les caraet6rist iques d 'une eolonne

de p l a s m a ; les conclusions de Carlile [44] von t

+,?

t; oY %

. ' {

t,~ ~_m~ R

FIG. 53. - - Champ magn6ti(lue nul. Courbes de dispersion de guide partiellement plein avec fonction de distribution parabolique et m~me dens[t6 de l)lasma lno~,/elxnc. (~ 1 , 2 5 ,

K = 4,5, l~ = (tpo)~ [1 - - ~ (r/~,)q avec /",, Ch, o)~( t ~13)

= 112o = Cte, par exemplc ~r 0,55 cm, [i,o 5 000 MHz.

C O N C L U S I O N

Une 6tude de la propagal ion des ondes l)lanes daus

uu plasma froid holnog6ne satisfaisau[ l 'approxinla t ion

d 'App le ton -Har t r ee sans collisions nous a perlnis d t

pr6voir certaincs propri616s rcmarqt tabl ts des ondes

guid('cs se i)rol)a~eau| ~'l I ' int6ricur (l'ut~ cyl indr t tie

Idasma de dilnensi()ns lransvcrsalcs linics. Nuns aviol~s

pr6vu, en part[culler, l 'existence et les pvopri6t6s des

ondes guid6es tr6s lentes an voisinage des fr6quences

de r6sonance que s o n t : la rr6quence de plasma /p ,

la fr6quence cyclolron /e et la lr6quence de v6sonancc

- - 355 - -

4 8 / 5 4

d'ai l leurs bien dans le m~me sens. Dans ce m~me domaine, il conviendra i t peu t&t re de r~examiner , la lumi~re des r~sul ta ts obtenus, la m~thode de mesurc de densit~ de p l a sma di te : m~thode de la cavitY; en lui app l iquan t les calculs th~oriques de la IIe par t ie , il est possible en effet que l 'on en d~duise des indica t ion plus pr~cises sur les caract~ris t iques de p l a sma que celles qu 'on ob t ien t pa r une th~orie de pe r tu rba t ion .

L ' ionosph~re cons t i tue ~galement un champ d 'app l i - ca t ion possible de nos r~sul ta ts : cer taines ondes peu- ven t en effet s 'y p ropager pa r effet de guidage le long d 'un (~ condui t h p l a sma ~>. Dans un t r ava i l r~cent concernant ce sujet [47], la th~orie du guidage a 6t~ fai te en consid~rant un p la sma homog~ne ; elle pour- ra i t ~tre reprise en t enan t compte des inhomog~n~it~s dventuelles du p la sma : les calculs pr~sent~s dans la IIe par t ie de ce t r ava i l seraient alors d i rec tement t ransposables .

D ' au t r e par t , les r~sul ta ts num~riques precis que nous avons donu t s out confirm~ darts un cas par t i - culier (p ropaga t ion parall~le h l ' induct ion magn~t ique) que les propri6t6s des ondes guid@s peuven t se d6duire de celles des ondes planes. Si les pr6visions fai tes h pa r t i r de la connaissance des ondes planes sont valables dans un cas particulier~ on peu t penser qu'el les le sont 6galement darts d ' au t res cas et qu 'a ins i , les r~sul tats annonc~s en [25] sont appl icables ~ d ' au t r e s types de guide h p lasma, pa r exemple h u n guide rec tangula i re plong~ dans une induct ion magn6t ique uniforme perpendicu la i re h l 'un de ses e6t6s. Consi- d6rant les propri6tfis des ondes leutes dans un te l syst~me, on peu t concevoir de nouvelles g6om~tries possibles pour un disposi t i f ampl i f iea teur u t i l i san t l ' i n te rac t ion ondes lentes-faisceau d'61ectrons.

I1 convient de signaler pour t e rminer que si les t r a v a u x pr6sent6s ont t r a i t h l '6 tude de la p ropaga t i on dans les p lasmas, les m~thodes qu 'on y utUise sont adap tab les h d ' au t r e s mi l ieux anisotropes. Nous pensons de ce fai t que les r~sul ta ts obtenus d~passent le cadre de la phys ique des mi l ieux ionis6s, et qu ' i ls con t r ibuen t plus l a rgement h l '~ tude de la p ropaga t ion des ondes ~lectromagn6tiques dans les mil ieux aniso- t ropes inhomog~nes.

l~EMERCIEMENTS

Ma profonde reconnaissance v a h M. le professeur P. Gr ive t pour l ' int~r~t qu ' i l a bien voulu por te r ce t rava i l et pour les encouragements qu ' i l m ' a pro-

digu~s.

Je remercie MM. J. L. Delcroix et A. Sept ier qui ont accept~ d 'e t re examina teu r s et M: A. Bers don t la presence dans le j u ry me fa i t le plus grand honneur .

Mes plus vifs remerc iements v o n t h M. P. Marzin, Direc teur g~n~ral des t~l~communicat ions , qui m ' a permis de commencer ce t r ava i l dans les labora to i res du Centre Na t iona l d ' E t u d e s des T~l~communicat ions et h M. L. J . Libois, Ing~nieur g~n~ral des t~l~commu- nicat ions, Di rec teur du CNET, qui m ' a encourag~ h le te rminer .

M, CAMUS [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIO~S

M. J. Le Mezec, Ing~nieur en chef des t~l~commu- nications, m ' a accueilli clans son groupe de recherches : c 'es t avec lui que j ' a i entrepr is ce t r a v a i l P e n d a n t quelques anndes d ' une f ructueuse col laborat ion, il a tou jours su, a v e c l a plus grande gentillesse, me faire prof i ter de son h a u t n iveau de connaissances scienti- fiques et de sa grande comprdhension des phdnom~nes phys iques ; c 'es t h lui que je dois d ' avo i r pu mener h bien ce t r ava i l : qu ' i l t rouve ici l ' express ion de m a plus profonde gra t i tude .

Je suis tr~s reconnaissant h M. Manuel et h son dquipe de technologues pour la rdal isa t ion des tubes h p lasma, ~ M. Bohin qui a tou jours dtd h mes c6tds dans l ' accompl i ssement de ce t rava i l , h M. Le Coquil et h son groupe de recherches, h MM. Audiber t , H e n r y et Le Vot pour l ' a ide dd te rminan te qu ' i ls m ' o n t appor tde dans la pa r t i e expdr imenta le .

Je remercie M. Vassallo pour les conseils qu ' i l m ' a donnds dans la rdsolut ion de cer ta ins probl~mes, ainsi quc le personnel du centre de calcul du CNET qui a par t ic ipd fi la rdsolut ion num~rique des dquat ions.

Je remercie enfin tous les membres du D ~ p a r t c m e n t Recherches sur les composants dlectroniques pour l ' a ide et le soutien qu ' i ls m ' o n t apportds .

Ce t r ava i l a dtd effectud avec une pa r t i c ipa t ion de la Ddldgation gdn~rale h la recherche scientif ique ct technique et de la Direc t ion des recherches et moyens d'essais.

A N N E X E I

Propagation dans un guide ~. plasma homogbne

L Expressions des ~lectromagn~tique.

Dans le plasma :

1 [ dEz E~ -- A ~H d r -

composantes de champ

~2c2 I dEz dHz I o)2 _ ~ g: O)~oZH dr J '

~2C~ dHz ] , +.itOP, o(~• o)2 ) T J

Hr = ~ - - - O)~~ 0) 2 dr J~ ~ l - - - ~ - / - ~ r j '

1 - -Jo )zo z•

+[( 4. avec : A = ~ - z• o)2

Dans le vide :

j~ dEz Er ~- ~2 o3~1c z d ~ '

- - Jo)~o dHz Eo = ~ 2 _ _ (0ZlC 2 dr '

j~ dH~ Hr = ~2 o)21C 2 dr

II. Equations de dispersion.

Cas g~n~ral du guide de rayon fini pa r t i e l l emen t rempl i :

356 - -

t. 24, n ~ 9-10, 1969]

Fo(T~a ) ~ fom(/a) A1 ( 1 - - t o ~ ] ( o 2) Fo(Tta ) ~ go~ (ta) =

Fo(Tza) - - fo~ (la) A~ ( ~ - 0)~10) ~) Fo(T~ a) -- ~o~ qa)

Cas pa r t i cu l i e r du guide ple in (~ = 1) :

A 1 Fo(Tla ) ~ A2 Fo(T2a ).

Cas pa r t i cu l i e r de la colonne de p l a s m a dans te v ide (~ inf ini) :

1 K1 (l la) F o (Tla) + Itla K o (Itl a)

A , /, _ 0 ) ~ 1 K,(l~la) =

1 0)2 j Fo(Txa) + i t la Ko(it ta) \

A~ F o (T2a) + Itta Ko (Itla)

1 Fo(Tza ) + - - 0)2 / I~ la K o ( ] @ )

O N D E S ~ L E C T 1 R O M A G N E T I Q U E S E T P L A S M A 49/54 P o u r u n r a y o n s u f f i s a m m e n t pe t i t , les f rgquences

de coupure se succ~dent en c ro i s san t de la fa~on a ~ z s e s u i v a n t e : on t r o u v e d ' a b o r d 0)Eox, 0)$o~ ' r .....

s u c @ d a n t dans cet ordre en se r a p p r o c h a n t les unes des au t res et t e n d a n t vers la l imi te (0)~ § 0)~)112 qui est u n po in t d ' a c c u m u l a t i o n . Au-dessus de (0)~ § 0)~)1/2,

. . . . etc. se succ~dent dans cet 0)Mo1 ' 0)E01 ' 0)M02 ' (DE02 '

ordre. Lorsque le r a y o n a u g m e n t e , tou tes les f r6quences de

coupure d@roissent . Cependan t , les 0)Mo~ d6croissent plus r i t e que les 0)Eo~' de sorte q u ' o n p o u r r a voir

/ # t aiM,,#< deven i r inf6r ieur h puts h etc. (DE) , k--I ~ 0)Eo, k--2 ~

Les frgquences 0)Mo~' , r 2 ' , etc. p e u v e n t m~me deve- nir , l ' une apr~s l ' au t r e inf6rieures h (0)~ § 0)c2) 112 et s ' in te rca le r en t re les r EO9 �9

P o u r de tr6s grandes va leurs du r ayon , les f r6quenees

1 K2([lla ) 0)Ear ' 0)May et 0)Eo~ sont r e spec t i vemen t l imit6es inf6-

r i e u r e m e n t pa r 0)1, COp et 602 avec

0)~ < 0)~ < 40)~ + 0)~ < 0)~.

C e t t e 6volu t ion est i l lus t r@ par la figure 17 sur laquel le on a group6 les courbes de d ispers ion des ondes

rapides de guides ple ins co r r e spondan t h M = 2

pour diverses va leurs de m. La figure 17 p e r m e t de suivre l ' 6vo lu t ion corres-

p o n d a n t e des courbes de dispersion.

Pou r m* p02~ = 5,5 tou tes les b r anches de courbe situ6es au-dessus de (0)~ + 0)2)112 on t la i n , m e al lure

que les courbes de d ispers ion du guide vide, c h a c u n e d ' e n t r e elles co r r e spondan t /~ un mode de p r o p a g a t i o n qui reste le m6me au vois inage de l ' a s y m p t o t e et au vois inage de la coupure . Ainsi la courbe 1 cor respond

au mode quas i TMol au vois inage de l ' a s y m p t o t e , et a d m e t la f r6quence de coupure 0)Mox au vois inage de laquel le elle cor respond 6ga lement au mode quas i

TM ol . P o u r m 2 p ~ = 3,5, 0)~r est pass@ en dessous de

(0)~ + 0)c~) l/~ et s ' in te rea le ent re 0)'ko~ et 0)Eo~ �9 L ' a l lu re des b ranches au-dessus de (0)~ § 0)c2) ~1~ n ' e s t pas beau- coup modifi~e sauf pour la b r anehe 1 d o n t la f r6quence

2 112 de coupure est devenue (0)~ § r . P a r contre , en dessous de cet te fr6quence, de profondes mod i f i ca t ions

~ " sont in t e rvenues . Si la b r anche I a gard6 la f r6quence

de coupure ~Eoa ' la b r anche I I se t e r m i n e m a i n t e n a n t en 0)Mol et son al lure a chang6 : r6gu l i6 rement d6crois- san te pour m~p~t = 5,5, elle c o m m e n c e m a i n t e n a n t pa r croitre, h pa r t i r de la coupure puis passe pa r u n m a x i m u m . On a l ' impress ion que cet te b r a n c h e I I r6sul te du (, c o u p l a g e , de la b r a n c h e 1 prolong6e jus- qu"h 0)h%~ et de la b r a n c h e I I prolong6e j u s q u ' h 0)Eoz �9

0)'~ /Po~"~ . Ce ph6nom~ne de (, eouplage ,> 6tudi6 pa r Au ld et 0)2 _0)~ \ a /' Ed i sson [32] est encore plus a p p a r e n t pou r mZpol : 2,5

(on le c o m p r e n d r a m i e u x en e x a m i n a n t la figure 18

sur laquel le on a repr6sent6 les courbes qui se con- plent) . I1 s ' a c c e m p a g n e d 'a i l leurs d ' u n au t r e ph~no- m~ne qui consis te en une mod i f i ca t ion du mode de p ropaga t i on associ6 h une b r a n c h e de courbe l o r squ ' on

se d6place le long de cet te b ranche .

P o u r m2p~l = 0,9, on vo i t que 0)Mo~ est d e v e n u inf6r ieur h 0)eo~ �9 I1 en r6sul te que le mode associ6 la b r a n c h e 2, qui est quas i TEa l au vo is inage d e

Ta = Pl~, soit ~3 2 -

modes TM :

E n l'absence de champ magndlique.

Cas du guide pa r t i e l l emen t rempl i :

modes T E : F o (Ta) -- fo~ (ta) ,

modes TM : (1 - - 0)~10) 2) Fo(Ta ) = go~ (la),

avec T 2 0)2 ( _ ~ v > - - e 2 1 - _ ~2 .

Cas du guide ple in (p : 1) :

modes T E : ~~ (1 - - 0)~~ x') - - IP1"~"2) c 2 , 0)2 / ( \ ~ / '

0) 2 / ( Po~ \ ,2

Ta = Pov soit ~2 , - - C2 1 - - - - /" , r ' '\ a j

Cas de la co lonne de p l a sma dans le vide (p infiui) :

t sq (14<,) modes T E : F o ( T a ) - - Itla SCo(ttla) '

- - Fo(Ta ) = _ 1 Kl( i t la)

modes T M : 1 0)2 j itlt ~ ~ o ( [ / [ , ) �9

Avec un champ magndlique in / in imen t grand.

Cas du guide p a r t i e l l eme n l rempl i : 0) 2

Modes T E : Fo(Ta ) = fop ( /a ) , avec 7 ,2 -- e2

/ r Modes TM : (1 - - - _ ~ / ) F o ( T a ) =

go~(ta) avec 7 ,2 - (6~2 (,~)(0)z__ ~2 e 2) ' (02 12 2

Cas du guide ple in (p ~ 1).

Modes T E : Ta : Ply so i t : ~2 = 0)'~c 2 -- /P1~\12. a /

032 Modes TM : Ta = Po~ soit : ~'~ : c ~

III. Evolution des courbes de dispersion des ondes rapides.

Considdrons u n guide con lp l ' : t emen t rempl i d~

p lasma , cop et 0)c 6 t an t fix6s ( M fix6) et, e x a m i n o n s

l ' 6vo lu t i on des f r6quences de eoupure et des courbes de d ispers ion des andes rap ides lo rsque le r a y o n a du guide a u g m e n t e (m d iminue) .

357

50/54 l ' asymptote , se t ransforme progressivement, ~ fr6- quence d6croissante pour devenir quasi TMo, z au voi- sinage de la coupure, tandis que le mode associ6 h la

branche 3 est quasi TMo2 au voisinage de l ' asymptote et se t ransforme, dans les m~mes couditions, pour devenir quasi TEm an voisinage de la coupure. I1 y a lh encore, t ransformat ion cont inue de mode quand on se d~place le long d 'une courbe de dispersion.

Phdnom~ne de couplage el trans/ormation continue de mode de long d'une branche de courbe de dispersion sont les deux caractdristiques les plus importantes des courbes de dispersion des ondes rapides.

Elles apparaissent d 'une fa~on d ' a u t a n t plus

marqu6e que le rayon du guide est plus grand, comme le mon t ren t les courbes corresl)ondant ~ m2p~l -- 0,5

et m~P~l = 0,2.

Dans le cas d ' un guide par t ie l lement plein, l '~volu- t ion des eourbes est plus difficile h suivre par suite

de la complexit6 des ~quations d6finissant les frt ~- quences de coupure. Elle reste marqu6e par l 'appa- r i t ion des ph~nom~nes de couplage et de transfor-

mat ion cont inue de mode (d ' au t au t plus (lue p est pins grand) comme nous alhms le voir en consid6raut uu

guide de rayon variable par t ie l lement rempli par une colonne de plasma donu6e ( M e t m fix6s, p augmeute).

31 et m (~taut fix6s, les courbes des figures 15a el 16a restent inchang6es, tandis que celles des figures 15b et 16b se d6forment, leurs branches se tassant du c6t6 des basses fr6quences quand p augmente.

II en r6sulte que les fr6quences de coupure d 'un guide par t ie l lement plein con tenan t une colonne de plasma donn6e sont d ' a u t a n t plus basses que f~ est

plus grand ; elles sour en particulier inf6rieures h celles du guide plein con tenan t cette m6me colonuc (p : 1).

De plus, alors que les fr6qucnces co~o~; co~ro~ et r du guide plein sont respect ivement limit6es inf6rieurement par co~, COp et r e , il n ' en est plus de m6me dans le cas d ' un guide par t ie l lement plein. On constate en effet que pour des valeurs de p croissantes : coMm puis COMo2' etc., peuven t devenir inf6rieures h cop. A une fr6quencc co~t0~ inf6rieure h cop correspond un Te imaginaire pur de sorte que les variat ions radiales des champs h la coupure sont, dans le plasma, en I o

(I Tit) et I 1 (1 Tlr). Y tt cog m puis COuo~ , etc. peuvent devenir infdrieures

h CO~, tandi sque COEm puis COUo~ ' etc., peuvent devenir inf6rieures h to e . A une pulsat ion CO~ov inf~rieure h COl et h une pulsat ion CO'vo~ comprise entre (t~o + coc~) ~t~ et COe correspond un T imaginaire pur, de sorte que les variat ions radiales des champs h la coupure sont, dans le plasma, en I 0 (I T] r) et I 1 ([ T[F). Cette 6vo- lut ion des fr6quences de coupure est illustr6e par la

figure 19 sur laquelle on a group6 les courbes de (lispersion des ondes rapides de guides correspondaut

a 3I = 2 el m2P'~l = 2,5 pour diverses valeurs de p.

Sur la figure 19, on constate l 'existence du ph6no- m~ne de couplage, et on devine la t ransformat ion

cont inue de modes le long d 'une m6me branche de courbe qui res tent les propri~t6s impor tantes des

3I. C A M U S [ANNALE$ DES TEL~COMMffNICATIONS

courbes de dispersion des ondes rapides du guide l)artiellement plein et qui sont d ' a u t a n t plus marqu6es (|ue ~ est plus grand. I1 faut cependant ajouter h cel l les relnarques suivantes :

- - pour de grandes valeurs de p, on a l ' impression que ]es fr6quences de coupure les plus basses se groupent par paires dont on peut mont re r qu'elles se rapprochent des fr~quences de coupure du guide vide ;

- - c e r t a i n e s parties des branches de courbe de dispersion sont trac6es dans des r6gions du plan

(~e_e, ~ ) o h T l e t T ~ s o n t i m a g i n a i r e s p u r s , voir e COp COp

m~me complexes conjuguds. Cette propridt6 se r6per-

cute 6videmment sur la var ia t ion radiale des champs 61ectromagn6tiques.

ANNEXE 2

Tableau dea so lut ions ( A , X) de l '6quat ion : F ( A , 1, 2 X) = 0

Application ~ la d6terminat ion des courbes de dispersion d ' u n guide de rayon a plein de plasma

iuhomog6ne avec fonction de dis t r ibut ion de densit6 parabolique :

n = n o [ 1 - r

Pour une induct ion inf in iment grande, on passe de (A, ;k) h (X, Y) en u t i l i san t les relations :

Y = I + X ~r X = Y l + 4 Z ~ me ,

- - A

0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,44 0,48 0,52 0,56 0,60 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

1 re courbe (mode le plus simple)

)'t

2,697 2,265 2,011 1,8315 1,6935 1,582 1,4885 1,4085 1,339 1,2775 1,2225 1,1735 1,1285 1,0875 1,05 1,0155 0,983 0,953 0,9255 0,899 0,8515 0,809 0,771 0,737 0,706 0,639 0,5845 O,5385 0,5 0,4665 0,437 0,4115 0,389 0,3685

2 A - - 1

)'I

0,3856 0,4768 0,5569 0,6334 0,7086 0,7838 0,8599 0,9372 1,0157 1,0959 1,1779 1,2612 1,3469 1,4345 1,5238 1,615 1,7091 1,8048 1,9017 2,0022 2,2079 2,4227 2,6459 2,8765 3,1161 3,7559 -Ir 5,1996 6 6,8596 7,7803 8,7485 9,7686

10,8548

- - 358 - -

t. 24, n ~ 9-10, 1969] ONDES ]~LECTROMAGNI~TIQUES ET PLASMA- 51/54

- - A

1,02 1,04 1,06 1,08 1,1 1,12 1,14 1,16 1,18 1,2 1,22 1,24 1,26 1,28 1,3 1,32 1,34 1,36 1,38 1,4 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2A 2,5 2,5 2,8 3 3,5 , |

2 e courbe

k. 2

5,135 1,5855 1,2505 '1,0055 3,812 3,651 3,5135 3,393 3,286 3,1895 3,102 3,0215 2,917 2,87~ 2,811 2,7535 2,697 2,6435 2,593 2,545 2,4995 2,456 2,4145 2,3745 2,2365 2,1675 2,0255 1,9045 1,7995 1,707 1,6215 1,5505 1, t835 1,123 1,367 1,316 1,2255 1,147 0,9905 0,8725

'2 .4 1 ),2

0,5920 0,6717 0,7340 0.7889 (},8395 (},8874 0,9335 0,9785 1,0225 1 ,O{i6 1,109 1,1517 1,191,i 1,237 1,2793 1,322 1,3615 1,4072 1,45 1,493l 1,5363 1,5798 1,6235 1,6677 1,7120 1,9377 2,1723 2,4153 2,6674 2,9291 3,201 3, ~527 3,77d9 1.0759 4,3~92 !,7112 5,3856 6A029 8,O767

10,3152

ANNEXE 3

T a b l e a u des s o l u t i o n s ( Y, X) de l ' 6quat ion de dis- pers ion d 'un guide ple in pour une fonction de disti'i- bution f = ( 1 - x2) 2 dans une induction magn6tique

infiniment grande on passe de ( Y, k) h X en utilisant la relation :

X -- Y (1 + 2 Z 2 m ~) ,

(ees r6sultats eorrcspondent au mode le plus simple d e s o n d e s l e n t e s ) .

Y 0,02 0,04

k 2,118 2,151

Y 0,16 0,18

k 2,381 2,427

Y 0,30 0,32

), 2,764 2,833

Y 0,44 0,46

), 3,376 3,494

Y 0,58 0,60

k 4,488 4,72

0,06 0,08 0,1 0,12 0,14

2,185 2 , 2 2 2 ,258 2,297 2,338

0,20 0 , 2 2 0 , 2 4 0 , 2 6 0,28

2,475 2,526 2 , 5 8 2 ,638 2,69!)

0,34 0 , 3 6 0 , 3 8 0 , 4 0 0,42

2,908 2,988 3,074 3,167 3,267

0,48 0 , 5 0 0 , 5 2 0 , 5 4 0,56

3,623 3,765 3 , 9 2 4,091 4,279

0,62

4,979

ANNEXE 4

T a b l e a u des s o l u t i o n s (Y , P ) de l ' 6quat ion de d i spers ion d 'un gu ide ple in , pour une fonction de distribution / = e -~x~ dans une induction magn6tique

infiniment grande. On passe de (Y, P) h X en utilisant la relation :

X = Y (1 + 40~Pm 2)

(Ces r6sultats correspondent au mode le plus simple des ondes lentes.)

Y

0,0: 0'@ O,O( o,0~ 01 ()i 0,1~

0 18 012 o,22 0,21 0,26 0,28 ,

0,34 0,36 o,38 (), OA2 o,44 [).46 0,48 (1,5 ),52 0,54 ),56 0,58 0,6 0 62 0'64 0,66 0,68 (k70 O,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0'90

~ 7 1 ~ 7 2 ~=p

1,804 1,065 1,85 1,097 1,898 1,131 1,949 1 166 2,003 11204 2,059 1,245 2,119 1,288 2,183 1,334 2,25 1,383 21322 1,436 2,398 1,/9t 2,48 1,555 2,567 1,622 2,66 1,695 2,76 1'774 2,868 1,86l 2,984 1,955 3,11 2,06 3,248 2,175 3,397 2,303 3,561 2,446 3,741 2,606 3,94 2,786 4,16 2,989 4,406 3,221 4,68l 3,487 4,991 3,793 5,344 4,148 5,748 4,562 6,214 5,049 6,756 5,626 7,395 6,313 8,156 7,14 9,074 8,141

10,196 9,365 11,59 10,878 13,351 12,77 15,618 15,174 18,595 18,283 22,59 22,395 28,087 27,982 35,879 35,834 47,361 65,18 94,901

0,817 0,845 0,874 0,906 0,939 0,976 1,015 1,056 1,102 1,151 1,201 1,263 1,326 1,396 1,'173 1,558 1,652 1,756 1,873 2,004 2,151 2,317 2,506 2,721 2,967 3,249 3,575 3,952 4,39 4,903 5,506 6,22 7,07 8,092 9,333

10,858 12,76 15,169 18,281

0,692 0,718 0,745 0,775 0,808 0,842 0,880 0,921 0,966 1,014 1,067 1,126 1,19 1,261 1,339 1,427 1,521 1,633 1,754 1,891 2,045 2,22 2,418 2,642 2,898 3,191 3,527 3,914 4,362

,883 o,492 6'21 7,064 8,089 9,331

10,858

~ 7 ~ 4 ~ r

0,615 0,64 0,667 0,697 0,729 0,763 O,801 0,842 0,887 0,936 0,9(,) 1,05 1,116 1,189 1,27 1,361 1,162 1,575 1,701 1,843 2,003 2,183 2,387 2,617 2,878 3,176 3,516 3,906 4,356 4,879 5,49 6,209 7,064

0,749 0,790 (),836 0 887 O1912 13)01 1 ,O72 1,1 17 11231 1,325 1,429 1,5,16 1,676 1,822 1,985 2,169 2,375 2,608 2,872 3,171 3,513 3,904 4,355 4,878 5,49

- - 359 - -

52/54 Tableau des so lut ions P, en fonct ion de ~ pour Y = 0

Ce t a b l e a u p e r m e t de ca lculer les v i tesses de phase

'h l 'o r ig ine .

P a P

0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5

7,544 3,929 2,725 2,122 1,76 1,519 1,346 1,217 1,116 1,035 0,969 0,914 0,867 0,826 0,791 0,761 0,733 0,709 0,687 0,667 0,65 0,633 0,618 0,604 0,592

5,2 5,4 5,6 5,8 6 6,2 6,4 6,6 6,8 7 7,2 7,4 7,6 7,8 8 8,2 8,4 8,6 8,8 9 9,2 9,4 9,6 9,8

10

0,58 0,569 0,558 0,549 0,54 0,531 0,523 0,516 0,509 0,502 0,496 0,489 0,484 0,478 0,473 0,468 0,463 0,458 0,454 0,449 0,445 0,441 0,438 0,434 0,43

ANNEXE 5

D6terminat ion du rayon de convergence de la s6rie [38]

On eonsid6re la s6rie ent i~re : (5-1) : 1 -4- a 1 x 2 .....

an x 2n -~ ..... d e n t les coeff icients a, a 1 ..... o n .....

s en t donn6s pa r la r e l a t ion de r6cur rence :

A F(n) an + G(n) an-1 -~- K1 an-2 § K2 an-a = O,

dans l aque l le F(n) et G(n) t e n d e n t vers l ' in f in i avee

n, le r a p p o r t G(n)]F(n) t e n d a n t alors vers 1 p a r

va leu r s inf6rieures . A, K~ et K 2 son t des q u a n t i t 6 s

i nd6pendan t e s de n. On v a m o n t r e r que ee t t e s6rie

est c o n v e r g e n t e p o u r t o u t x te l q u e : I x2] < [ A ] . Si

ce t t e in6gal i t6 est sa t i s fa i te , on p e u t en effet choisir

x, te l que Ix21 < [x~l < IAI. Le t e rme g6n6ral an = anx ~n de la s6rie (1) p e u t alors s '6crire :

( x ~ ~n u n = - - Vn avec Vn = anx2n .

\ X l /

On va m o n t r e r qu ' i t p a r t i r d ' u n ce r ta in r ang N, Yn est born6 en m o d u l e pa r un ce r t a in h o m b r e M. D o n e

un < ]x]xlI~" M ; le t e r m e g6n6ral de (5.1) est donc

inf6r ieur au t e r m e g6n6ral d ' u n e s~rie c o n v e r g e n t e : la

s6rie (5.1) est pa r cons6quen t u n i f o r m 6 m e n t conve r -

gente.

Ddmonstration : on pose :

[x~lA [ = 1 - - 20r Les h o m b r e s K 1 x lA et [K 2 x'lA[ son t h o r n , s pa r [K1A ] et K2 Az . Done i l existe u n n o m b r e N en t ie r te l que :

F(n) n /> N entraine ~ < 1,

K 1 x ~ K 2 x s e t ~ < ~ , A F ( n ) < ~ '

M. C A M U S [ANNALES DES TI~I,I~COMMUNICATION$

ce qui en t ra lne , c o m p t e t e n u de la r e l a t ion de r6cur-

rence :

] Vn[ ~ (1 - - 2~) ] V n_l] -~- 0~ I Vn-2] ~- ~ I V . al

Si M c s t une q u a n t i t 6 p lus g rande que [VN_I[, [VN_e[ [ _ que et, et VN a , on en d6dui t I vNl ~< 3 I par r6cur-

renee : Vn < M pour t o u t n I> N.

ANNEXE 6

Tableau des so lut ions de l '6quat ion de dispersion d'un guide part ie l lement plein dans Ir eas d'un champ magn6tique nul, pour une fonction de dis- tribution pa rabo l i que

K = 4 ,5 ~ = 1~25

= 0 , 4 a = 0,6 a = 0,8 ~ = 0,95 m = 1,745 m = 1,1/m = 0,78 m = 0,39

4)- 4 7 1 4)- 4)-

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5

10

0,049 0,095 0,135 0,169 0,197 0,219 0,238 0,253 0,265 0,275 0,283 0,290 0,290 0,301 0,305 0,309 0,312 0,314 0,316 0,318

0,055 0,104 0,144 0,174 0,198 0,215 0,229 0,239 0,247 0,253 0,258 0,262 0,265 0,267 0,269 0,270 0,272 0,272 0,273 0,274

[ 0,118 0,152 0,174 0,188 0,197 0,203 0,206 0,209 0,210 0,211 0,211 0,211 0,210 0,209 0,209 0,208 0,208 0,207 0,207

0,127 0,139 0,141 0,139 0,137 0d34 0,132 0,129 0,127 0,125 0,123 0,121 0,120 0,118 0,117 0,116 0,115 0,114 0,113

r = 0,99 m = 0,174

0,077 0,076 0,072 0,068 0,065 0,062 0,059 0,057 0,055 0,054 0,052 0,051

K -- 4,5 p = 1,25 m = 1,745

~ 0,6 cr = 0,8 :r ~ 0,95 ~ = 0,99

4v 47

0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5

I0

0,037

0,071 0,102 0,13 0,153 0,172 0,188 0,202 0,213 0,222 0,230 0,237 0,242 0,247 0,251 0,255 0,258 0,26 0,263 0,264

0,014 0,027

0,04 0,053 0,065 0,093 0,116 0,135 0,150 0,162 0,172 0,18 0,186 0,191 0,195 0,198 0,201 0,203 0,2O5 0,207 0,208 0,209 0,21

0,013 0,025

0,037 0,049 0,059 0,083 0,100 0,113 0,123 0,129 0,134 0,137 0,139 0,141 0,142 0,143 0,143 0,143 0,143 0,143 0,143 0,142 0,142

0,012 0,024

0,036 0,046 0,054 0,069

360

t. 24, n ~ 9-10, 1969]

K = 1 p = 1 ,25

ONDES ]~LECTI:tOMAGN]~,TIQUES ET PLASMA

m = 1,745 B I B L I O G R A P H I E

5 3 / 5 4

0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5

10

or m

0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4

= 0,6

4v

0,031 0,062 0,092 0,121 0,148 0,211 0,262 0,304 0,337 0,362 0,382 0,397 0,409 0,419 0,427 0,434 0,439 0,443 0,447 0,45 0,452 0,454 0,456

= 0 ,8

4)-

0,029 0,057 0,085 0,111 0,136 0,191 0,235 0,268 0,292 0,309 0,322 0,331 0,338 0,343 0,347 0,35 0,352 0,354 0,355 0,356 0,357 0,357 0,357

cr = 0,95

0,027 0,053 0,078 0,102 0,124 0,167 0,191

K = 4,5 9 = 1,25

= 0,99

4)-

0,026 0,051 0,073 0,088 0,092

= 0 = 1,745

0,018 0,035 0,052 0,069 0,085 0,101 0,117 0,132 0,146 0,160 0,173 0,185 0,197 0,208 0,218 0,228 0,238 0,247 0,255 0,263

~r = 0,6 m = 1,561

,/v

0,017 0,033 0,048 0,064 0,078 O,O92 0,106 0,118 0,130 0,14(/ 0,150 0,160 0,168 0,176 (t,183 0,190 0,196 0,202 0,207 0,212

cr = 0,9 m = 1,460

0,016 0,031 0,045 0,059 0,072 0,083 0,094 0,103 0,112 0,119 0,126 0,132 0,137 0,141 0,145 0,149 0,152 0,154 0,157 0,159

cr = 0,99 m = 1,428

0,015 0,030 0,043 0,055 0,065 0,073 0,079 0,084 0,088 0,090 0,092 0,093 0,094 0,094 0,095 0,095 0,095 0,095 0,095 0,096

K = 4,5 m : 0,39 ct 0,95

9 ,/.,,-

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

: i = 1 , 2 5 ~ 1 , 2 p = l , ~ p 1,1;p = 1,o5 4 r ./-V ~ ,' v 4 v i .,.I-~;

i

0,128 0,119 0,141 0,136 0,137 0,135 0,132 0,131 (t,127 0,127 0,123 0,123 0,120 0,120 0,117 0,117 0,115 0,115 0,113 0,113

0 108 (/,127 0,130 0,128 0A25 0,122 0,119 0,117 0,115 0,113

0,092 0,112 0,085 0A19 ] 0,09,t (1,121 0,099 0.121 0,102 o , u 9 (/,lO4 o ,~ 7 O,lOr 0,116 0,107 o,111 0A07 01112 0,107

Manuscri t rer le 3 cyril 1969.

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