IL NUOVO CIMENTO VOL. XXVI, N. 2 16 Ottobre 1962

Propri6t~s analytiques de l'amplitude de diffusion de deux particules charg~es interagissant

par un potentiel du type de Yukawa.

H. CORNILLE

Laboratoire Jol iot -Curie de Phys ique Nueldaire - Orsay

A . MARTIN

C E R N - Gen~ve

(ricevuto il 23 Maggio 1962)

Summary . - - We present a rigourous derivation of the analytic prop- erties of the S-wave scattering amplitude when, in addition to a super- position of Yukawa potentials, a Coulomb interaction is present. The method of proof starts from the usual effective range function which as well known is free of Coulomb singularities. I t is shown that this effective range function is analytic in a strip in the k complex plane. Then, making use of the analytic properties of superpositions of expo- nential potentials with respect to the distance r we can solve the SchrS- dinger equation along a ray in the r-plane and rotate the initial strip of analyticity in k. Eventually we find that the effective range function is meromorphic in the whole k plane except for two cuts. As in the noncoulombie case the S-matrix can be written as the ratio of two func- tions, one with the lower cut, another one with the upper cut. The zeros of the denominator of S in the upper half k-plane can still be interpreted as bound states located on the imaginary k-axis. The con- nection between the successive Born approximations and the discontinuity of S in the upper half-plane is rigourously established and, from the integral representation of S we easily obtain the integral equation con- necting the discontinuity in the upper half-plane and S itself. Finally the asymptotic behaviour of S is studied.

1. - In troduct ion .

La difficult5 rencont r~e da,ns l~ compura i son des rSsul tuts de Is diffusion

p r o t o n - p r o t o n s b~sse 4nergie et de 18 diffusion n e u t r o n - p r o t o n est connue

depuis long temps . Elle p e u t ~tre p a r t i e l l e m e n t su r mon t 4e pa r u n e modifi-

PROPRI]~TI~S ANALYTIQUES DE L'AMPLITUDE DE DIFFUSION ETC. 299

cation convenable de l ' approximat ion de la port4e effective (1), mais cela n 'est pas suffisant car les param~tres, longueur de diffusion et port~e effective, qui en t ren t dans l 'expression relat ive au cas proton-proton ne sont pas di rectement comparables ~ ceux qui apparaissent dans le cas neutron-proton. Uue mSthode de comparaison consiste ~ par t i r d 'un module de potent ial nucl~aire et ~ r~soudre F~quation de SchrSdinger avec ou sans potentiel coulombien (2). Une m~thode plus ~l~gante a ~t~ r~cemment utilis~e par H. P. NOYES et D. Y. WONG, bas~e sur les propri~t4s analytiques des amplitudes relatives aux ondes partielles (3). Ces auteurs ont 4t~ guides par les r~sultats des ~tudes des propri~t~s analy- tiques des ondes partielles en l 'absence de potent ial couiombien (4.5). Dans ce deruier cas, si le potentiel nucl~aire est une superposition de potentiels de Yukawa, on peut mont re r que les propri~t~s ~nalytiques, mis ~ par t les 4tats lids possibles et le compor tement ~ l'infini, sont les mSmes que celles, obtenues en eonsid~rant les termes sueeessifs d 'un d~veloppement en puissance de l ' intensitd du potentiel nuel~aire de r ampl i tude de diffusion dans un ~tat de moment orbital donnd. NOYES et Wo~G ont pris comme point de d~part dans leur t ravai l l 'hypoth~se naturelle qu'il en ~tait de mSme lorsque la dif- fusion avait lieu en presence d 'un potentiel coulombien suppl4mentaire. Ce que nous voulons faire ici c'est ~tablir r igoureusement la v~lidit4 de ees propri~t~s analytiques sans faire d 'hypoth~se sur la convergence d 'un .d~velop- pement en puissances de l ' intensit4 du potentiel nuel4aire.

Notre m~thode est la suivante: 5;ous exprimons la fonction de port~e effective coulombienne, qui remplaee

k ctg ~ , off k est l ' impulsion et ~ le d~phas~ge S, ~ l 'aide d 'une fonction d 'onde r~gtfli~re, solution de l '4quation de SchrSdinger, fix~e par une condition aux limites ~ l 'origine ind4pendante de l '4nergie (ou de k). lgous t rouvons des bornes convenables pour cette solution; il n 'est pas difficile alors de voir que la fonction de port~e effective peut s'4erire comme le rappor t de deux fonctions r~guli~res dans une bande du plan eomplexe de la variable k. La remarque, faite par REGGE (e), que les superpositions de potentiels de Yukawa sont analytiques par rappor t ~ la distance r, consid~r4e comme variuble com- plexe, dans Re (r) ~ 0, nous permet de faire tourner cette bande dans le plan complexe de la variable k e n changeant la direction le long de laquelle on int6gre l '4quation de Schr6dinger dans le plan complexe de la variable r. En fin de

(1) G. BREIT, E. U. CONDON et R. D. PRESENT: Phys. Rev., 50, 825 (1936). (3) j . D. JACKSON et J . H. BLATT" Rev. Mod. Phys., 22, 77 {1950). (3) D. Y. WONG et H. P . NOYES: Electrostatic Corrections to Nucleon-Nucleon Dis-

persion Relations, Phys. Rev., 126, 1~63 (1962). (4) A. MARTIN: NUOVO Cimento, 14, 403 (1959); 15, 99 (1960). (5) H. 1 :). NOYES: Phys. Rev., l l g , 1736 (1960). (s) T. REGGE: NUOVO Cimento, 14, 951 (1959); 18, 947 (1960); A. BOTTINO, A. M. LON-

GONI et T. REGGE: 23, 954 (1962~.

3 0 0 II . C O R N I L L E ~ t A. MARTIN

compte il appar~zit que la fonction de portSe effective est mSronmrphe dans tout le plan k~ avec l 'exception de deux coupures de k = i # / 2 ~ k = i c ~ et

k = - - i t t / 2 ~ k = - - i c~. Les bornes obtenues sur la solution de l 'Squation de SehrSdinger permet tent d'~crire des representations int~grales non soustraites pour le num~rateur et le dSnominateur de 1~ fonction de portSe effective.

Si l 'on confronte les rSsultats obtenus ainsi ~vec une representation int~grale diffSrente de S ( k ) = e x p [2i~(k)] de la forme ](k)/g(k) on peut montrer qu 'en finale S(k) peut s'~crire comme le rapport de deux reprSsentations int~grales,

l 'aide d 'une fonction de poids unique, et admet les singularit~s suivantes:

- - une (.oupure le long du demi axe k r~el ~ 0, typique des effets coulombiens (le choix ainsi fair pour ia coupure est le plus simple);

- - deux coupures k = • i#/2 ~->-~ i c<~ d'origine nucl~aire;

- - une suite de poles sur l~axe imaginaire d'origine coulombienne;

- - des poles correspondant aux 5tats li~s ou r~sonants.

~ous ~tablissons la relation qui lie la discontinuit5 de S sur la coupure

sup~rieure s la fonetion de poids, b~ous montrons en route rigueur, sans sup- poser la validit5 d 'un d~veloppement en puissance du potential nuclSaire,

la rel~tipn entre eette discontinuit~ et les diseontinuit~s des ~pproximations de Born successives. Enfin nous remarquons que la fonction de poids~ quelle que soit la fa~on dont on la calcule, doit s~tisfaire une r~gle de somme qui

garant i t qu'~ haute ~nergie les effets coulombiens sont n~gligeables.

2. - Express ion de la fonct ion de port~e ef fect ive ~t partir d'une so lu t ion r6guli~re

de l '~quat ion de Schr~dinger , d~finie par son c o m p o r t e m e n t ~ r = 0.

L'~quation de Schr6dinger sans potentiel nucl~aire s'~crit

(a (1) ~ + k~ - - u = 0 ,

off (*) y=Me'~/2 dans le eas proton-proton. Une quantit5 utile sera r]=y/k . Nous

en choisissons deux solutions, dSfinies par leur eomportement ',i l 'origine:

(2) ue, solution r(~g'uli6re telle que \ dr/~=o = 1 ,

us, solution irrgguligre d~finie par

Us(O ) ~ 1 , (3)

u~, = o(r) + 2y log (~r) • u~(r) ,

(*) Dans la suite de l'article nous supposons ~,~ ' . Une ~tude symStrique pour y ~ 0 s'en dgduit s~ns difficult~s.

PROPRII~T~S A N A L Y T I Q U E S DE L ' A M P L I T U D E DE D I F F U S I O N ETC. 301

~vee, pour des raisons qui appara i t ront plus clairement dans un instant,

2 = 2 y exp [2yo - -1 ] ,

off yo est la constante d 'Euler , yo=0.5773. La raison du choix de ces solutions est que, en ver tu des th6or~mes g6n6raux

sur les 6quation diff6rentielles, ees solutions, par construction, sont n6eessaire- ment des fonctions u,(r, k), us(r , k) enti6res de k pour tou t r fini: u~ est aussi fonction enti~re de r et u s a pour seule singularit6 en r u n point de branehement

r = 0 . La relation entre ees fonctions et eelles g6n6ralement consid6r6es,

(4)

off

(5)

F(r)l ~_ (sin ( k r - - ~ l o g ( 2 k r ) § oo) /

G(r)/~-+~176 \cos (kr - -N log (2kr) + a0)/ '

(Ckr [1 + yr + . . . ] '/

~-~o \C ~ [1 + 2yr log 2yr + ... + 2yr (2y,,-- l + h(~)) + .. .]] '

ao = a r g F ( l + i~) ,

C ~ = 2ztN [exp [2~tN]-- 1]-~,

h(N) = �89 [~v(iN) ~- y3(-- i,/) - - 2 log ~/] a v e e ~(x) = F'(x)/F(x),

est la suivante

(6) { % = F / C k ,

u s ~ CG--2yh(~)F/Ck , ! t

U s U R - - U R U s = J �9

Nous d6finissons potentiel:

(7)

nous imposons

(s)

maintenant la solution r6guli~re de

~ + - - u = Vu,

u(O) = O , u'(O) = 1 ,

l '6quation avec

ce qui est toujours possible si V(r) est moins singulier que r ~-2, e > 0 ~ l'origine. La solution u(k, r) est une fonction enti~re de k et 6galement une fonction

r6guli~re de r dans le domaine du plan complexe off V(r) est prolongeable et moins singulier que r ~-2, avec un point de branchement possible ~ r = 0 . Nous

y reviendrons. Nous d6finissons le d4phasage nucl6aire comme habituellement, c 'est

3 0 2 H . C O R N I L L E e t A. M A R T I N

dire par

u ~ const , sin (kr -~ ~ -- ~ log 2kr ~- ~)

= Au~ § Bu~

d'ofi, compte t enu de (4), (5) et (6):

B(k) (9) C2k ctg 5 ~- 2~,h(v ) - - A(k.) "

Pour un potent iel de port~e finie il est facile d~obtenir A e t B par combi- nuison des ~quations (1) et (7):

t ! A ~ - ( u ~ u - - u ua),~ ro

- - / u Vu n o

B ~ - - - ( u t s u - - u t u s ) r . r o

d r

ro

u'(ro) ~ / u V u s d r , D

off ro est lu port~e du potentiel. Les bornes sur u~ u~, us, dont nous purlerons ~ lu section suivunte et qui

sont ~tablies duns les appendices, nous pe rme t t en t en fair, pour un potent ie l d4croissance exponentielle de passer ~ lu l imite ro--> ~ . F ina lement :

(lo) C~k ctg ~ Jr 2yh(~) 1 + fuVusdr

q)

--]u VuR dr

D4j~ nous voyons que si Pon n~glige provisoi rement les difficult~s de con- vergence des int~grules rudiales pour r--> c~ le m e m b r e de gauche de (10), que nous appellerons la (~ fonction de port~e effective ,), est r~gulier uu voisinuge de k = 0 duns le plan k, purce que u, u n e t u s le sont. E n fuit c 'est une fonet ion puire de k car seul k ~ appurui t duns F~quation de SchrSdinger, et les conditions aux limites sont ind~pendantes de k. Ce r4sul ta t est ~v idemment bien connu.

Une uutre expression fournissunt ~ nous sera utile duns la suite. Elle s 'obt ien t en pur t an t de

u ~- g(k)H---](k)H + off H • ~- G i i F .

Appl iquan t de nouveau lea m~thodes usuelles de combinaison des 4quutions

PROPRI]~T]~S A N A L Y T I Q U E S D E L ' A M P L I T U D E D E D I F F U S I O N E T C . 303

purement coulombiennes et nucl4aires on obtient :

(11) S(k)----exp [2iS(k)]--

co

](k) u'(0, k) + C(k)/H- Vudr o

g(k) u'(0, k) ~- C(k)bIH+ Vudr

cette ~quation est l 'analogue coulombien de celle trouv~e dans la r4f~rence (~) (~qu~tions (20-21)).

3. - Analyticit6 de la fonction de port6e effective.

Ici nous voulons t rouver le domaine de r~gularit~ des fonctions

(]2)

A(k) : - - /uVuRdr , o

co

B(k) -~ 1 ~/uVusdr. , o

pour des potentiels de la forme

(]3)

r

V(r) ----fexp [-- ~r] C(~) d~ I C(~) I< const. ~1-~,

(donc moins singuliers que 1/r 2 ~ l 'origine). On devine ais~ment que, comme dans le eas non coulombien, on doit pouvoir

t rouver des bornes de la forme

u, uR, us~ exp [ l Im k ]r] . fonct ion peu singuli~re,

et comme V(r)exp [(/~--s)r]--> 0 pour r--> c~, on obt iendra pour A et B une bande d 'analytici t4 Jim k I</~/2. Mais nous voulons davantage. REGGE (e) a remarqud que les potentiels du type (13) 4taient prolongeables ana ly t iquement en r pour des valeurs de r telles que Re (r) > 0. Plus prScis~ment sir---- Q exp [ia]

[V(r)lexp[(/a--e)ecosa]-->O si I r i s h ,

dans la direction a. Nous allons donc chercher ~ borner u, u R et u~ pour des valeurs complexes de k le long d 'un rayon r----~ exp [ia].

304 H. CORNILLE e t A. MARTIN

L'6quat ion de Sehr6dinger le long d 'un rayon devient

(14) d �9 ) d~" q_ q2 2y exp [*a] v(9, q, a) = W ( 9 , a)v(9 , q, a) ,

9

avee q = k exp [in]

W(9 , a) ---- V(Q exp [in]) exp [2in] .

On voit imm6diatement que par un ehoix judicieux de a on peut r6duire la croissunee exponentielle des solutions lorsque k est eomplexe. On fait choix des solutions suivantes

(]5)

v (9, q, a) = u(r, k) exp [ - - i a ] ,

v , (9 , q, a) = uR(r, k) exp [ - - i a ] ,

v~(9, q, a) = u~(r, k ) ,

( )0o=1 done \ d9 ]o-o = 1 ,

(16)

et

(]6')

Dans les appendices A e t B nous Btablissons pour v, v R , vz les bornes suivantes:

i)

I~'~ 1< 9 exp [I Im q I g] exp [2 %/2 I r l d ] ,

1 7g ~rg Iv.l<~q~exp[llmqlg][l§ pour - - ~ < a < ~ ;

ii) les bornes de v sont simples si W(9 , a) peut 8tre born6 par eonst. 9 -1 dans - - ~/2 q- e < a < ~/2 - - e ; e 'est le cas si C(a) < const; alors les bornes de v se d6duisent simplement de celles de vn en rempl~ant ? par une autre constante, sinon on doit distinguer deux r6gions, l 'une (9 < 90) ] W ]< const 9 -*+8 l 'autre

off [ W I< const Q-,, (9 > 90). On obtient Mors

(17)

(17')

Iv l< C1 exp [J im qIQ] exp [2 V2[IV] Jr [?~)]9] ,

Ivl< exp [thn~ . qlg] [1 + (c~ + c~9)exp [2"v'2[1~ I + 1~l]9]J, tql

oh 01, C~, C3 et ~ sont des constantes ind6pendantes de k ( - - (~/2) + ~ < < a < (z/2) - - e);

I~ROPRI]~T]~S A~NALYTIQTJES DE L'AMPLITUDE DE DIFFUSION ETC. 305

(is)

iii)

} v s j < exp [ l Im q !e ]

�9 [4 -F (exp [2 ~r H- be -F c log e) § de 2 exp [4 V / ~ ] ] ,

off les constantes a, b, c et d sont ind6pendantes de k. A l 'aide des bornes (16), (17), (18), on montre, en premier lieu, en prenant

0----0, que les expressions A(k) et B(k) d6finies par (12) ont un sens dans la bande - -# /2 < Im k < #/2 comme pr~vu. Pour prolonger ees expressions hors de cette b~nde nous d6finissons

<19)

A(c, k) ~- - - f u(r, k)V(r)un(r, k) exp JiG] d e ,

B(c, k) = 1 § fu(r, k)V(r)us(r, k) exp [ ia]d e ,

Les fonctions A(a, k) et B(a, k) sont r6guli~res en k, si l 'on utilise les diverses bornes indiqu6es, dans une bande

,(~o) I Ira (k exp [in]) t < ~ cos a .

La Fig. 1 montre le domaine de r6gularit6 de A(k)----A(O, k) et B(k)=B(O, k) et le domaine de r6gularit6 de A(a, k) et B(a, k).

I1 s'agit maintenant de montrer que A(a, k) par example et A(O, k) sont <leux expressions d 'une seule et m~me fonction analytique. Consid6rons un

,-,,,

2

lImK

ReK

"2,," cas de figure o" >0

l Imr M'

I M

Fig. 1. Fig . 2.

Re r

point k0 appar tenant au domaine commun de r6gularit6 de A(~, k) et A(O, k). Sur la Fig. 2 nous repr6sentons dans le plan complexe de la variable r les deux chemins d'int6gration correspondants.

20 - l l Nuovo CimentJ.

3 0 6 K. CORNILLE e t A. I~IARTIN

La diff6rence A(O, ko) - - A(cr, ko) est s implement la l imite pour R -+ ~ de

M"

f u(r, ko) V(r)un(r, ko) d r ,

M

la contr ibut ion de l 'arc de eercle con tournan t l 'origine 6tant n6gligeable, m6me si l 'origine est un point de b ranehement . Le long du parcours d ' in t6gra t ion ou a toujours 0 < a r g r < a . Or il est 6vident g6om6tr iquement que le point ko est int6rieur ~ t o u s l e s domaines caraet6ris6s par 0 < a ' < o, ce qui signifie que duns toute direction du plan r 0 < a ' < a , u(r, ko)V(r)u(r, ko) d6croit exponentiel- lement . P a r cons6quent la diff6renee A(0, k) - - A(a, k) est nulle duns le domaine c o m m u n de r6gularit6. P a r cons6quent A(a, k) eonsti tue le pro longement de A(k) dans 1s bande o. En var ian t a de --~r/2 ~ § on engendre tou t le p lan complexe k sauf les coupures k = i#/2 ---> i cx~, k = - - i f t /2-~ - - i c~. Le m6me ra isonnement vau t pour B(k).

A (k ) et B(k) sont donc prolongeables dans tou t le p lan k avec des coupures le long de l ' axe imaginuire ayan t respec t ivement comme point de d6par t k = itt/2 et k = - - i t t / 2 .

4. - R e p r 6 s e n t a t i o n s in t6gra le s .

Les bornes (16'), (17') et (18) mon t ren t que clans une direction donn6e autre que l ' axe imaginaire (*)

A(k) ~-. o pour I k I -+ ~ ,

(21)

B(k) - - 1 ~-. o ~ ] pour I k I --> oo ,

si le potent iel est moins singulier que 1/r ~ l 'origine. Si le potent iel est plus singulier que 1/r on dolt 6v idemment utfliser ~ 1~

lois (16) et (16)', (17) et (17)'. Darts ce cas, si V(r) ~ r ~-2 pour r --> 0 on t rouve

(21') pour {kl -~ c ~ ,

off e' est a rb i t ra i rement peti t .

(*) g(z)~-~o(](z)) signifie ]g(z) l< constI](z){ pour z assez grand.

P R O P R I I ~ T ] ~ S A N A L Y T I Q U E S D E L ' A M P L I T U D E D E D I F F U S I O N E T C . 307

Ces conditions sont suffisuntes pour pe rmet t re de repr6senter A(k) et B(k) par des int6grales de Cuuchy duns le plun complexe de k qui se r6duisent ~, des int6grules le long des deux coupures. Compte tenu des sym6tr ies A(k)=A(--k), A*(k*)=A(k) et des sym6tries analogues pour B on peu t f inulement 6crire

(22)

co

A(k) J k~ + x~ '

co

B(k) : 1 -~ lxW~(x)dx J

il fuut noter qu 'en g6n6rul, bien que f(xW~/(x2§ converge, fxW2dx ne converge pus. Car m6me duns la s i tuat ion lu plus favorable (21) B(k) se compor te en k -~ ~ l'infini.

fW~(x)dx ne converge que si le potent iel est moins singulier que 1/r s l 'origine.

/~ous 6crirons en finale

(23)

co

C2k ctg 5 _L 2yh(~) 1 ~-~(xW2(x)/(x ~ + kS)) dx co

+ dx

5. - Relation entre les fonctions de poids W1 et 142.

On suit que duns le cas non coulombien on peu t donner une repr6sentat ion int6grale de l 'umpl i tude de diffusion contenunt une fonction de poids unique (5.7). I I doit ~tre possible d 'en faire au tun t duns le cus coulombien et de relier en t re elles les deux fonctions de poids W1 et W2 introdnites ~ lu section pr6c6dente. /~ous pouvons ~ cet effet utiliser une lois de plus l 'unulogie avec le cas non coulombien. Duns le cus non coulombien nous savons que

co

exp [ - - ikr] V(r) u(r) dr, 0

est r6gulier duns tou t le demi plan complexe inf6rieur. Duns le cus cou lombiea

(~) A. MARTIN: Nuovo Cimento, 19, 1257 (1961).

3 0 8 H . C O R N I L L E e t A . M A R T I N

nous allons consid6rer l'intSgrale

oo

(24) I (k) = C (k) f H-(k, r) V (r)u(r) dr ,

0

off

(25) CH T ~- C(G :~ iF) = u s ~- [2~h(~) T ikC~(k)] uR ,

fl est commode de d6finir

(26) / ( k ) = 2 : v h ( ~ ) - - i k C ' ( k ) .

A c e point il est utile de faire un choix de la eoupure d'origine eoulombienne pa r t an t de la singularit6 essentielle ~ k = 0 ; nous ehoisirons le demi axe k r6el < 0. Dans ces conditions on peut mont re r que

(27)

co

7 f t dt ](k) = - - 4 (t ~ - y2/k2 ~- i e ) (exp [ 2 ~ t ] - 1) =

0

(voir Appendice C), off, pour k =-- ix, log ( - -@/k ) est purement r6el. La fonction ](k) est r6guli6re dans la r6union de Im k < 0 et Re k > 0

e t r6elle pour Re k = 0 , Im k < 0. En utflisant (25) et (26) et d 'aut re par t les repr6sentations int6grales indi-

qu6es ~ la section pr6c6dente on peut 6crire Fint6grale (24) sous la forme

(2s)

eo eo

C j = ; x W ~ ( x ) dx . . . . [" W, (x ) dx

mais par ailleurs on peut mont rer que (8)

(29)

co

C(k) H- ( k r ) = exp [ - - i k r J f t ~,(t ~- 2 ikr ) ' , exp [ - - t ] d t .

0

Ce qui prouve que C H - en dehors de k=O est r6gulier dans le demi plan complexe

(8) H. HULL et G. BREIT: Handb. d. Phys., 41/1, 414 (1959).

P R O P R I E T I E S A N A L Y T I Q U E S D E L ' A M P L I T U D E D E D I F F U S I O N E T C . 309

inf6rieur en k. De (29) on tire (voir Appendice D)

(30) t C(k)H-(k, r) 1< exp [ I m kr]rr(~m kll~,,), eonst ,

Si r > ro, (ro fini), pour I m / ~ < 0, ] k ] > e a rb i t ra i rement petit . On voi t ~lors ~is6ment, p~r tan t de (29) et (30) que Hnt6gra le I (k) ne pr6:

sente uucune singul~rit6 dans le demi plan I m k < 0. E n part iculier sa discon- t inuit6 le long de Faxe imaginaire n@at i f doit ~tre nulle. Pa r cons6quent

(3~) xW~(x) + ](--ix)W~(x) = o ,

ce qui fore'nit la relation cherch6e. Diverses expressions de ](-- ix) sont donn6es dans FAppendiee C. Pour les grandes vMem's de x, ](-- ix) est 6quiv~lent ~ - - x, et done W~/W2--> 1. La repr6sentat ion int6grale (23) devient

(32)

r

1 ( ~x) W~(x) dx/(k 2 + x 2) k C ( k ) ctg 6 + 2yh(~/)

- - fWl(X ) dx/(k 2 + X 2)

on v6rifie ais6ment l 'accord avec les r6sultats connus dans le cas non coulombien en rempla~ant ](-- ix) par - - x.

6. - Expression de la fonetion S(k) et relation entre la discontinuit6 et la fonet ion

de poids.

I1 n 'es t pas diificile de t irer S{k )=exp [2i~(k)] de l '6quat ion (32). On obtieng alors

co

1 ~ ( W l ( x ) / ( k 2 + x)-))[J(k) - - J(-- ix)] dx (33) S(k) = i:o

1 + - 1 ( - ix ) ] a x

Sous cette forme Funitari t6 de S, S (k )S*(k*)=l est manifeste. Le choix de la coupure eoulombienne 6rant pris le long de l ' axe r6el n6gatif ,

on voi t que les singularit6s de S(k) sont:

1) la eoupure coulombienne p a r t a n t de k = 0 , singularit6 essentielle;

2) les pSles de ](k) sur l ' axe imaginaire positif ~ k =iy /n , n = l , 2, 3, ...;

3) nne eoupure de k=i/~/2 ~ k = i ~ provenan t exelus ivement du numd- rateur de S(k);

310 H. CORNILLE e t a . MA~TI~

4) de m~me une coupure de k = - i t t /2 g k = - i oo provenant exclusi-

vemen t du ddnomina teur de S(k);

5) les z~ros isol4s du d4nominatem'. Nous voudrions montrer que le d4no- minateur , qui est eompl~tement r6gulier dans ]e demi plan I m k > 0 ne peut

avoir de z6ros darts I m k > 0 que sur l 'axe imaginaire et que ees z4ros corre- spondent aux 6tats li6s possibles, comme dans le cas non coulombien.

I1 n 'est pas difficile de voir que le d6nominateur de (33), en utitisant l '6qua-

t ion (25) n 'est autre que:

C ( k ) f H + Y u d r (u'(O) ~- 1 ) . 1 + . )

0

C'est g dire que le num4rateur et le d6nominateur de (33) coincident respective- ment avee le num6rateur et le d6nominateur de l 'expression (11) donn4e s

la Section 2. Supposons donc que

(34)

m

1 § C ( k ) f H + V u dr - 0 .

0

A partir de 1s la d~monstration est ais6e si le potentiel a une port6e finie mais un peu plus d~licate si la d6eroissunce du potentiel est exponentielle, ce qui est le cas ici.

Par eombinaison des 6quations de Sehr6dinger eoulombienne et nucl~aire on montre faeilment que

r t ~

C ( k ) ( u ' H + - uH'+)r = 1-4- C ( k ) ] H + V u d r ' , . 1

0

done, si (34) est satisfait

oo

H+]r ' , r

utilisant la borne (17) pour u et une borne pore" H + de m6me type que la borne (30) pour H - , supposant I m k > 0 on voit facilement que pour r assez grand

,'fH+vu < exp [-- (/~--e)r], r

PROPRI]~TI~a A N A L Y T I Q U E S D E L~AMX~LITUDE D E D I F F U S I O n - ]~TC. 31 1

in t6grant (35) de ro ~ r > ro on obtient , ut i l isant ~ nouveau les bornes et le c o m p o r t e m e n t a sympto t ique de H +

lu(r) I< exp [(Ira k--/~ + e)r] ,

si u(r) se compor ta i t comme le m em bre de droite de l ' in6galit6 on about i ra i t une contradict ion: en r epor tan t dana le m e m b r e de droite de (35) on obt ient

une nouvelle borne de u de la forme exp [ ( Im k - - 2 y + s ) r ] . Un nombre suf- f isant de cycles pe rme t d~6tablir la d6croissanee exponentiel le de u(r) pour r --> exp. Pax cons6quent si (34) est satisfait pour k tel que I m k > 0 la fonct ion d~onde u(k, r) est celle d 'un dtat lid.

Maintenant~ par eombinaison de l '6quat ion de Schrfd inger pour u avec ] '6quat ion imaginaire conjugu6e, on obt ient ais6ment

o~

( k S _ k, )Slul dr = 0 , o

ce qui, pour I m k > 0 implique Re k = 0 , c.q.f.d. ~Nous voulons ma in tenan t donner la relat ion entre W1 et la diacontinuit6

de S(k) sur la coupure sup6rieure exprim6e par

S(ix -~ s ) - S ( i x - - s) 2 i ~ = xl (x) , (x >/U2).

I1 suffit de paxtir de l '6quat ion (33) et de remaxquer que le d6nominatem" est une fonction r6gulibre; on obt ient alors, compte t enu de l~expression de ](k)

( [+x:l l i"<')'<-'x>-'<-'xo>.x], (36) sin 7t~ ~r~ exp Wl(xo)= zJ(Xo) - - 1 -4- �9 "

x o ] xo x ~ - x o X - - X o /t/2

off

sin 7~Yt-~ z~ exp [iz--Y} ----- C ~ ( i x o ) . Xo / xo ! Xo J

(Jette 6quat ion appelle plusieurs commentaires . En premier lieu on voit que si y = 0 , / ( - - i x ) - ~ - - x cette 6quation coincide

avee celle de la r6f6rence (7). E n second lieu nous voyons que W1 et / ( - - i x ) 6 tan t des quanti t6s r6elles, la discontinuit6 de S(k) eat complexe et sonmise

une contrainte, ~ savoir

(37) axg[Zl(xo)] = z-X~ -t- n ~ . Xo

312 H. CORNI'LLE et A. MARTIN

Si cette contrainte, due aux effets coulombiens, est s~tisf~ite, l '~quation (36) peut se r~mener ~ une 4quation int4grale r4elle (3) permet tant d 'obtenir 1~

fonction de poids Wl(x) , done la matriee S(k) et la fonetion de port4e effective

purtir de la discontinuitY:

co

Xo \ Xo / J x 4- Xo x - - x o ' #12

off

D(xo) = A(xo) e x p r ] i i~Y l . [ Xo J

I1 f~ut noter qu'~ partir de la formule (27) on peut montrer que

o < l ( - - iXo) - - l ( - - ix) - ~ 1 .

X - - X o

De 1~ il est facile de montrer qu 'une condition simple sufilsante pour l 'existence d 'une solution {solution dSveloppable en s6rie d'uflleurs) de l '~quation (38) est

c o

flD_(x)ldx J x ~ - f f / 2 < 1 .

On pourrai t obtenir une condition plus fuible en suivant les m~mes lignes de d~monstration que REGGE et DE ALFARO (9).

7 . - Relation entre la discontinuit6 et les diseontinuit~s des approximations de Born suceessives.

On suit, d~ns le cas non coulombien, que lu discontinuit4 de S(k) sur la,

coupure k:i#/2----> k = i cr est donn~e exaetement par l~ somme des diseon- tinuit~s des n premiers termes du d~veloppement de S(k) en puissances du potentiel dans la r~gion k : i # / 2 - - - > k : i ( n ~ l ) # / 2 , et cela m4me si la s4rie

complete n 'est pas convergente. ~qous vouions 4tablir le m~me rSsultat ici. I1 est clair qu'iei l 'expression la plus convenable de S(k) ou de

1 exp [i5] sin 5 = ~ IS(k) - - 1 ] ,

(a) V. DE ALFARO et T. REGG~: Nuovo Cimento, 20, 956 (1961).

:PROPRII~T]~S A N A L Y T I Q U E S I ) E L ' A M P L I T U D ] E D E D I F F U S I O N E T C . 313

est celle obtenue ~ purtir d 'une 6quation int6grale dont les conditions uu~= limites sont choisies pour obtenir directement exp [i~] sin ~ e t non pus tg 5.

Nous d6finirons lu fonction d 'onde ~(r, k) par

(39)

r

if ~(r) = F(r) - -~ H+(r > ) F ( r < ) V(r')~(r') dr' . 0

L'ampl i tude de diffusion est ulors d6finie par le compor tement usymptot ique de ~(r) et l 'on t rouve

co

(40) exp lid] s in~ = ---~ fF ( r ) V(r)g(r)dr. o

D'uut re par t la fonction u(r) pr6c6demment consid6r6e, telle que u ' ( 0 ) = l sutisfait l '6quation

co

(41) u(r, k) = kC(k~ + F(r)H+(r ' ) - - H+(r)I~(r')] V(r') u(r') d r ' . 0

Lu comparuison des 6quations (39) et (41) mont re que

(42) ! # ] -1

~(r, k) -= kC(k)u(r, k) + C(k +Vudr . 0

D~s lors nous voyons que si duns I m k > 0 nous excluons le voisinage des 6tats li6s, qui~ nous l 'avons vu, correspondent uux z6ros du terme entre crochets duns (42)7 et le voisinage des poles de C(k), nous pouvons utiliser pour ~ les bornes (17) (17') de u 6tublies duns l 'Appendice A.

Montrons main tenant le principe de lu d6monstrution en culculunt lu discon- t inuit6 entre k=i~/2 et k=i/x. On peut en i t6runt une fois (39) remplucer (40) par une uutre expression exacte:

(a3)

cx)

o

+ ~-~fF(r) V(r)H+(r >)F(r <)V(r') ~(r') dr dr '

le premier terme repr4sente Fupproximation de Born. Nous voulons mont re r que le second terme est r6gulier duns une bande 0~< I m k < #. On peut 6crire

~ 1 4 H . C O R N I L L E 8~ A . M A R T I N

ce t e rme sous la forme

co T ' co r r

f F ( r ' ) V ( r / ) H + ( r / ) f F ( r ) V ( r ) ~ ( r ) d r d r ' § f H + ( r ' ) V ( r ' ) ~ ( r / ) f F ( r ) V ( r ) F ( r ) d r d r ' , ~0 0 0 0

les int6grunts ~tant, raises s pa r t les singulurit~s coulombiennes connues, des fonctions r~guli6res de k, il suffit d '~tudier lu convergence des int~grules. Avec les bornes de F, u et H + qui d~croit exponent ie l lement comme exp [ - - I m kr] on t rouve pour r grand

r r

fFV~ et fFVF<exp[(2Imk--#-i-~)r], o 0

arbi t ru i rement petit , et l ' int~grunt final est de lu forme exp [(2 I m k - - 2/z 4-s')r] e t pax consequent lu convergence est assur~e duns 0 < I m k < #. Lu discontinuit4 entre k=i/~/2 et k=i# est done donnde par lu discontinuit4 de prolon- gemen t anulytique de la premiere approximut ion de Born, , (1/k)fFVFdr.

Le m~me ra isonnement peu t 4tre 4tendu ~ lu diseontinuit5 duns le segment k~-in#/2, k----i(n+l)/~/2: il suffit de par t i r de l 'expression n fois it4r~e de exp [iS] sin ~ et de tenir eompte de la d4croissance exponentiel le de H +. I1 est clair qu 's uucun m o m e n t on n ' a suppos~ lu convergence de lu s4rie de Born.

8. Comportement ~ haute ~nergic et implications sur la fonction de poids W1.

Duns le cas simple, ma lheureusement peu r4aliste, off le potent ie l est moins singulier que 1/r ~ l 'origine, les relations (21) nous mon t r en t que tg (~, done 8, se compor te comme k -1 ~ huute 4nergie. Plus pr~eis~ment: k--> oo

t g S ~ 6 _ ~ W~(x) dx. $z/2

In tu i t i vemen t , nous pensons que le compor t emen t a sympto t ique du d~phasuge nuel~uire devrui t ~tre ind~pendant des effets coulombiens. Duns ees conditions, si fWl(x)dx est fini, sa vuleur ne devruit pus d4pendre des effets coulombiens.

On peu t 4tudier la question comme suit

i) mon t r e r que pour un potentiel de la famille consid~rde singulier en r -~+~ ~ l 'origine, l ' upprox imat ion de Born est vulable s hau te ~nergie, que le potent iel coulombien soit present ou non. C'est ce qui est d~montr~ duns ] 'Appendice E.

YI{OPI~I]~T]~S A N A L Y T I Q U E S D E L ~ A M P L I T U D E D E D I F F U S I O N E T C . 3 1 ~

ii) mon t r e r que les approx imat ions de Born, mvec ou sans effets cou- ]ombiens coincident ~ haute ~nergie, ce qui est aussi fair dans le m~me Appendiee.

On ddduit de 1s

D one:

[ fW,(x)d ] -->1, pour [k[-->c~,

coulomblen

si x --> c~.

si fWl(X)dx converge (potentiels moins singuliers que 1/r ~ l 'origine)

co co

/M2 /~12

si fWl(x)dx diverge, ee qui est le cas physique,

Wl(x)o/Wdx)oo ~ 1 ,

9 . - Conclusions.

Nous avons fourni dans cet article une base rigoureuse pour l '6 tude de la diffusion pal" un potent iel du type Yukawa g6n6ralis6 on pr6sence de forces eoulombiennes. Un certain nombre des r6sultats obtenus ici ava ien t d6jg 6t6 admis eomme base de d6part d 'une 6valuat ion num6rique des effets eoulom- biens (3). La base de cet te 6valuation est d 'une pa r t l '6quat ion int6grale four- nissant, s par t i r de la discontinuit6 de la mat r ice S dans I m k > 0, la repr6- senta t ion int6grMe de la matr ice S elle m6me, que nous 6tablissons de mani~re directe sans passage par la m6thode dire N/D, el, d ' au t r e pa r t ta relat ion entre la diseontinuit6 de la matr ice S e t les approx imat ions de Born successives qui est d6montr6e en route rigueur. D ' au t r e par t , un certain hombre de sous produi ts int6ressants sont obtenus grace aux bornes sur les fonctions d 'onde dont nous avons eu besoin: absence de soustraet ions dans lea repr6sentat ions int6rales, eompor t emen t a sympto t ique aux grandes 6nergies et relat ion avec le probl~me non coulombien.

L ' u n de nous (tI. C.) remercie Monsieur le Professeur R. NATAF pour les discussions profitables qu'il a eues avec lui.

.7

316 I I . C O R N I L L E t~J5 A . M A R T I N

A P P E N D I C E A

1) Nous donnons d 'abord quelques majorations utilis6es par 10 suite.

(A.~)

(A.2)

en effet

a)

b)

i e ~

/ sin q~ l< exp [ l Im q!~] .

1 IJ~(qe) l< ~ 2 Z + ] exp [ l lm q l~] ,

exp [iq~ cos O] = ~ (2l q- 1)itjz(qq)Pdeos O),

done

+1

exp [-- iq*~ --1

cos 0] exp [iq9 cos 0] d(cos 0) = 2 ~ (2/g- 1)]j,(qg)t ~ ,

d'ofl l 'in6galit6 pour Ijt],

Mnsi pour 1 = 0 ,

/ = 1 ,

sin q~ q

sin q o qQ

< 0 exp [ l Im q I~],

1 . . . . . . c o s q ~ ! < ~ l q i o e x p [ l I m q l ~ o ] .

2) Equat ions int6grMes: soit

(A.3) {1~ ~ + q 2 _ v(~, q, a) ---- W(e , a) v(e, q, a ) ,

off F = y exp [ia]. Nous 5tudions les solutions r6guli~res de (A.3), soit v et v~ (si W--= 0), telles que (~v/3~)e~o=(~vR/~)e=o=l. Les conditions initiales d6ter- minent le terme libre des 6qu~tions int6grNes

(A.4)

Posons

o

PROPRII~T]~S A N A L Y T I Q U E S DE L ' A M P L I T U D E DE D I F F U S I O N ETC. 317

(A.2) entraine:

{A.5) q

o

Posons 0

0

on obtient l'in6galit6 diff6rentielle:

+ I w(e')[ 1 Ix(d)ldo',

(A.6) r'<It~r/t e +lw(e)l]r r(o)=6, r'(0)=~.

3) Bornes pour v n solution r6guli~re coulombienne. (A.6) donne pour ;solution

~ . < e (p+ l ) ,p ,<e~(12~ le ) "<~ ~(12 I,~) " ~ o �9 �9 o ( p ! ) ~

.&off

(A.7)

r.< e exp [2V21r le],

fx.l<eexp [2V~ly!e], I v~ I< e exp [I Im q I el exp [2 ~/12y I~] .

Repor tan t (A.7) dans l '6quation int6grale (A.4) et utilisant les in6galit6s (A.1) on a:

{A.8) Iv- ]< exp [I Im q I e] [1 + 12t ie exp [2 ~ / ~ ] ] . Iql

4) Bornes pour v, solution r6guli~re physique: soit W(e)~+o_~ const e -2+~ l e r cas: s > l . E tan t donn6 le comportement asymptot ique de W(Q) pour

I o [< 7t/2, ~yN const~nte finie, ind6pendante de e telle que [W(e ) 1<2 lY~ I/e; V e E [0, c~]. Repor tan t dans (A.6) on obtient pour v les bornes (A.7) et (A.8) off [yl est remplac6 par [ y l + l y ~ l .

2~me eas: e < 1. On va obtenir les nxajorations en 2 6tapes. (A.5) entraine:

0

J t ~ ' o

+ 1W(~') 1] IX(~') Ida'] ,

&off par it6ration et majorat ion

(h.9) Q

IX@ [< Q exp ~ , - 0

+

318 U. CORNILLE et A. MARTIN

E t a n t donn6 le e o m p o r t e m e n t a sympto t ique de W(e ) pour ]a]<~/2, ~reo fini et y~ eonstante ind6pend~nte de q telle que

I w(q) t<

(A.5) nous donne l ' in6galit6

217~1 Ve e[eo, ~ ] , 9

Qo

1+fI2 ;' 1 1 J t e ' + ]w(( ) [ IX(d)ld( + o

o [ 21~,1 + 2lr . t

g

Soit Z(e ) le t e rme de droite

Oo

f[7 ] z ( o ) = o z ' ( o ) = ~ + + i w ( e ' ) l [/(q')]dq' o

l%quation pour Z e s t du type de eelle de Y &off:

IX(e) [< Z(9 ) < 9Z'(0) exp [2V(2 ]~1 + 21~-I )9] �9

Remplaeons IX(9')[ d~ns Z'(0) par la. m~jor~t ion (A.9), on ~ Z'(0) - - 1 < Ne ~v o6_ nous ~vons pos6

o

N e s t une eonstante finie ind6pendante de q, d'ofl

(A.10) ix(e) I< e [a + Ne"]exp [2 ~/(2Ir I + 2 J~T#],

]v(e)]< 9 exp [jim qte] [exp [2<(2 i~'l+ 2ly~l)e]] [1+ Ne'].

R e p o r t a n t (A.10) dans l '6quat ion int6gr~le (A.4) et util is~nt (A.1) on

(A.11) vl(~)l<exp [lImqle] [l ~ (1-~ Ne~)M(Q)exp[2"Y/(21~]+ 2]~t)e]], iqb

oh o si ~ --> 0 M ( 9 ) --+ 0 ,

J L ~ 3

0 si e > e0 M(e) < N + 2 [17] + I~.I] ~-

PI~OFRI]~T~S A N A L Y T I Q U E S DE L ' A M P L I T U D E D E D I F F U S I O N ] ~ T C . 319

APPENDICE B

Nous 6tudions 1s solution singuli~re coulombienne de (A.3) (W =0 ) ,

VB(Q, q, (r) = co(O, q, ~) + 2Flog(A~)vn(~, q, a) = u~(r, k) ,

Us(r, k) = ~o(r, k) + 2ylog().r)un(r, k),

( A = 2 e x p [ i a ] est une constunte ind6pendante de k ou de q) telle que ~o(0, q, a)=co(O, k ) = 1

co(O , q, a) v6rifie l '6quation diff6rentielle

d~co + q~eo = (b +

on obt ient l '6quation int6grule

(B.1) to(0 ) = cos qQ + sin q(Q - - Q') co + v~ _ 2v' q ~' n] do' . o

Posons D=oq-(vn /~) - -2v~; le problSme se r6duit ~ rechercher une majora- t ion pour ID(Q)], on a D(O)=O

0

(B.2) D(Q)=cos(qQ)+v--~B--2v'R + / s i n q ( ~ - - Q ' ) ( 2 ~ ) D ( Q ' ) d Q ' .

0

I1 fau t borner le terme libre, v~ s 'exprime en fonction de vn par d6rivat ion de (A.4)

Q

, 2 / ' v ~ = c o s ( q Q ) q - c o s q ( Q - - Q ) T v n ( Q ' ) d Q ' .

o

(B.3)

&off

(B.4) R ! v_ _ 2vn + cos qe Q

sin qQ cos qQ +

qe Q

+ sinq(Q--Q')--2cosq(Q--~qQ l~# -v"(Q')dQ' '

0

~300 II . C O R N I L L E e t A. MARTIN

Appliquunt les bornes (A.1) et (A.2)

ivn , q~ [ 1 5 ] -~ - -2vR+ cos < e ~ 3 I q ] + ~ 1271exp [2~/2t71e] exp[ ] Imq/e ] �9

Posons

IT(~)[ ~ 3 f q + ~ !271 e x p [ 2 ~ / ~ ] = l D ( o ) [ e x p [ - - [ I m q I o ] ,

(B.2) entrulne pour T(~)I une in6gulit6 int6grule d6j~ r6solue en Appendiee A

0

on obtient done pour D(~) une premiere borne int6ressunte pour [ql-+ 0

:]ql + 5 ] (B.5) ID(o)I<OI~/~ ~ 12~'! exp exp [lImq]o] exp [2V I ,Ie] �9

Muins on peut obtenir une uutre mujorution de (B.4) ne contenunt pus l q[

- - - - , v . + cos (qe) < exp [I Im q leJ 2 + I

Q

On reporte eette dernibre mujoration duns le terme libre de (B.2), on mujore D(~') duns (B.2) par lu borne obtenue (B.5) ; eli utilisunt de 2 fagons diff6rentes les mujorutions (A1) et (A.2) pour le noyuu sin q(Q-- ~t)/q de (B.2) on peut obtenir 2 mujorations pour I D(~)I, dont l 'une est ind6pendunte de I ql~

(B.6)

(B.7)

5 ID(o) l< exp [ l Im qloJ 2 + ~ Q j 2 r l .

t2yl exp [ 4 V 2 ~ ] 1 + ~ 3 12~'lexp [2VS~I~T~J [ �9 [exp [2V2 ly +

]D(o ) ]< exp [ l lm q[o]-

�9 2 + (exp[2 2V~[7[~])]2yiQ ~ + V 3 + [2Y[2 "

Cherchons une borne de

v~ ---- D -- v n W 2v~ + 2/~log(A~)v~.

On utilise (B.7) pour D, (A.7) pour v~ et pour v~ duns (B.3) on mujore vR

PROPRI]~T]~S ANALYTIQUES DE L'AMPLITUDE DE DIFFUSION ]~TC.

par (A.7), on ob t ien t

(B.8)

321

+ (e~p F4~/2 I~i~])e ~ 12~I ~ i + 12711 log(,le) le ~ p [ ~ / e I ~ ] �9

A P P E N D I C E C

Nous voulons 4tudier les propri~t~s de la fonc t ion

](k) -~ 2yh(~) - - ikC2(~) ,

off

h(~]) ---= �89 + ~ ( - - i ~ ) - - 2 log y ] .

D a n s h(~) on peu t r emplace r ~ pa r une fo rmule donn~e pa r BINET(I~ On se t r ouve ~ la l imite d ' app l i ca t i on de ce t te formule , mais on p r e n d la par t i e r~elle. On ob t ien t

(c.~)

- - 2 P ; t d t . . . . . h(~) ----- J (t ~ - - ~ ) ( e x p [2gt] - - 1 ) '

0

co

, f t dt ](k) = - - 4 ( t2 - -~ ~ -~ i s ) ( e x p [ 2 ~ t ] - - l ) "

o

A v e c un p61e ~ ~----t-~is ' , on peu t p ro longer a n a l y t i q u e m e n t pour I m ~ ~ 0, d o n c I m k < 0.

On v a ~tudier ](k) sur le demi-axe imagina i re n~gatif , ] ( - - i x ) off x > 0

(c.2)

vo

1(- ix) = - 4 r f (t~ + O

t dt

y~/x2)(exp [ 2 n t ] - 1)"

D ' u n e p a r t ] ( - - i x ) est r~elle, t ou jours < 0, sans p61es quelle que soit la va l eu r de ~.

(lo) A. ERD]~LYI, W. MAGNUS, F. 0BERH:ETTINGER et F. G. TRICOMI: Higher Tran. scendental Funct ions, vol. 1, p. 18 (formule 27), p. 15 (formule 3).

2 1 - I l Nuovo Cimento.

322

D~uutre part

H . C O R N I L L E e t A . M A R T I N

/ 1 \ ](-- iX)~o ~ O ~x~ ) et /(-- ix)~_~ ~ -- x .

En ut i l isant la formule de Binet ~ la repr6sentat ion (C.2) de / ( - - ix) on obtient.

,(_,x,__

D'ofl (~o) une nouvelle expression de ](--ix)

T ~ n ( n T ~ / X ) - - 7 l ~ "

En prolonge~nt (C.3) pour x ( 0 (k=ix) on vol t que ](k) sur le demi-axe im~ginaire poistif est complexe et ~ des pSles pour k----iy/n off n = l , 2} . . . .

A P P E N D I C E D

1) Borne pour H;(k , r ) avec I m k ~ 0 , y ~ 0 et r ~ % , (ro fini).

Nous allons utiliser l~ repr&ent~t ion donn~e (s) pour k r~el

co f *

(D.1) C(k)Hj(k, r) = exp [ - - ik r ] ] t -~ , ( t ~- 2ikr) ~7 exp i - t] d t . . 1 0

Si on suppose I m k ~ 0, ~lors Re ( - - i ~ ) ~ 0 et on peu t prolonger 1~ repre- senta t ion int~grale pour k complexe et I m k ~ 0. D'ofl

r

IC(k ) I t ; ( k , r ) l<exp[ Imkr]12 ik r~ I ~ l § 2ikT) e x p [ - - t ] d t .

0

On peut t rouver des bornes indSpend~ntes de k pour l ' intggrale

(1).2) IC(k)H~(k, r ) I < exp [ I m kr] Ikr~" I -eonst (ind. de k) .

E t enfin pour I k l > e , s fini

I C(k)tt;(k, r) l< exp [ I m kr]r~ ~m ~ll~l~.eonst (ind. de k) .

P R O P R I I ~ T ~ S A N A L Y T I Q U E S D E L ' A M P L I T U D E D E D I F F U S I O N E T C . 3 2 3

2) Bornes pour H+(k, r) avec I m k ~ 0 et r ~ ro~ ro fini. On utilise (D.2) pour C(k*)H~(k*, r) ~vec I m k*< O. Comme d 'apr~s (25)

C(k)H+(k, r) = ( e(k*)Ho(k*, r) )* ,

o n ~,

I C(k)H+(k~ r) l < exp [--' Imkr]r-: ~Im ~llkl,. const (ind. de k) .

A P P E N D I C E E

1) Nous voulons d ' abord ~tudier 1~ vMiditd de l '~pproxim~t ion de Born haute dnergie pour des potentiels

co

V(r) = f e x p [ - - ar] C(~) d ~ , /t

singuliers en r ~-~ ( s > O) p o u r r- -> O. On prend k r6el ~ O. Noun trMtons d ' abord le can simple non coulombien

co

iZ = sin kr--fGk(r, r')V(r')~(r')dr', 0

off

G~.(r, r') ~ ~ sin (kr ~) exp [ikr ~] .

On peut borner ]Gkt par 1/k ou pall X / ~ ou encore par (llk)l-~r:WZr '~r'- avec

D~ns ces conditions

r~l~jr'~121V(r')l l~(r' ) o

dr ' I,

et si

co

I ~-fr'~21 V(r')] I~(r ' ) ]dr ' , 0

co co

I 1 - - ~ ) J r ~]V(r) ldr l s i n k r l l V ( r ) l r~'2dr, o 0

~ 2 4 H . CORNILL]~ {St A. M A R T I N

oh ~ < 1 est choisi de telle fa~on que l ' intdgrale

r~lVIdr, 0

soit eonvergente~ ce qui est toujours possible duns les conditions considdr4es. On peut choisir k ussez grand pour que le crochet soit positif:

I < / l s i n k r I I V(r)]r~t~'dr co

]_ - - ( 1 / k ) l - ~ . I r a I V I dr 0

On peut ulors utiliser de nouveau l~dquation int~grule. On t rouve ulors

oo ~ - - f (1/k)1-~[~ IsinkrllV(r) lr~12dr]2

V sin (kr) dr V sin 2 krdr < 1 - - ( 1 / k ) ~ - ~ ( V ( r ) [dr

Ici fuisons l 'hypoth~se simplificatrice que V(r) est d 'un signe constant . Alors, pur upplicution de l'indgulitd de Schwartz on t rouve

V sin kr dr

c~ ( 1 / k ) l - $ f l V ( r ) I r ~ d r

o co

1 -- (1/k)~-~flV(r) Ir~dr 0

donc exp [i5] sin (~/(exp [i~] sin 5)Born ---> 1 si k -~ c~. I1 fau t main tenant 4tublir le m~me rdsultat duns le cas coulombien. Lu seule

diilieultd ici vient de ce que lu borne de la fonetion de Green est plus eompliqu~e.

off

~- t z - j Gk(r, r') V(r')~(r') dr'

Gk(r, r') = -~1 F(r <)H+( r > ) -~ ua(r < ) [ CH+(r >)]

Alors il n 'est pas diflicile de voir que pour k ~ ko

IGk(r, r ' ) [ < r~l~r'~l~q~(r)q~(r ') ,

off ~ (0 ) ~ 1 et ~(r) croit comme exp [2~/~] pour r --> c ~ eeci en uti l isant les diverses bornes mentionn~es dans le tex te (16), (16'), (30).

: P R O P R I ] ~ T ] ~ S A N A L Y T I Q U E S D E L ' A M P L I T U D E D ~ _X~IFFUSION E T C . 325

Comme, pa, r u n choix judicieux de ~ l'int~gr~le

f l V Ir~ [~(r)] ~ d r ,

converge, on peut d6c~lquer le ra isonnement precedent p o u r 6tablir que le rappor t de l 'ampli tude de diffusion ~ l '~pproximation de Born tend vers 1 huute 6nergie.

2) I1 nous reste ~ compurer main tenant

F 2 V d r et ji~in 2 k r V d r ,

pour k r~el. On utilise l 'Squation int5grale donn4e en Appendice A pour u ~ = ~ / C k

r

F(r) -- C sin kr 4- Cfsin k(r - - r ' ) 2-Zr' uR(r')dr' , o

d'ofl

sin 2 kr V dr

off

2C ~ ['. 1 = ( c 2 _ 1) + E j s m kr V(r in k(r-- r') 2~,r, un(r') dr'+

o 0

co , . c;/ ] + V(r) in k(r --r ' ) 27' u~(r') dr' 2 - - dr , r ~

o o

co

E(k) = f s i n ~ kr V dr , o

le l e r terme de droite -+ 0 quand k --~ 0% nous voulons montrer qu'i l en est de m~me pour les deux suivunts en cherchant des bornes sup~rieures pour les num6rateurs et une borne inf~rieure pour E(k).

'a) [E(k) I> const finie, ( ind4pendante de k) si V(r) g~rde un signe constant

a co co

E ( k ) - ~ f s i n 2 k r V d r 4 - � 8 9 1 8 9 0 a a

a est fini, l~ somme des deux premiers terms est sup6rieure en module ~ une

326 H . C O R N I L L E {3 t A . M A R T I N

constante finie~ le dernier terme tend vers 0 quand k--> c~ car

co

cos 2 k r V d r ! a

co

= f e x p [--~a] C(~) < j -4~ z T ~ [ - -~ cos (2ka) q- 2k sin (2ka)] d~ /z

co co

b) borne pour r

f s 2y in k ( r - - r ' ) 7 vR (r ' )dr ' i , I

0

k 6tant r6el, on t rouve ais6ment les bornes suivantes (on utilise l '6quat ion int6grale pour un)

/ l \ l -a , l u . l<[ -~ ) r a* [1 q- 127[r exp [ 2 V 2 ~ r ] ] ,

Isin k ( r - - r') I<ka=r a~ ,

off 2~ et 25 sont > 0 et < 1, p renant 2~=22=~/2 avee e fini et e < 1, on t rouve

r

f s i n k ( r - - r ' ) 2y u~(r ' )dr ' J r I 0

c) Uti l isant les bornes pr6e6dentes on obt ient

[ (exp [i(~c] sin ~c)Bo,n r (1)1-~tC1~ [ (exp [i(~no] sin (Snel~o,n - 1 < tC~- - l ] '-{- -~ --1271 "

co

0

co

(~)2-2c' C12" 2 [ f , r ~ [ l 2 7 , r e x p ] o

on ehoisit ~ fini, < 1, tel que les int6grales por tan t sur les potentiels convergent 7 ce qui est toujours possible.

PROPRI]~T]~S ANALYTIQUES DE L~AMPLITUDE DE DIFFUSION :ETC. 3 2 7

R I A S S U N T 0 (*)

Si presenta una deduzione rigorosa delle proprieth analitiche dell'ampiezza di scat- tering in onda S quando, in aggiunta ad una sovrapposizione di potenziali di u

presente un'interazione coulombiana. La dimostrazione parte dall 'usuale funzione di range effettivo, che, come 5 ben noto, b priva di singolarit~ coulombiane. Si dimostra che questa funzione di range effettivo ~ analitica in una striscia del piano complesso k. Poi, facendo uso delle propriet~ analitiche delle sovrapposizioni di potenziali espo- nenziali rispetto alia distanza r si pub risolvere l 'equazione di SchrSdinger lungo un raggio nel piano r e ruotare la striscia iniziale di analitieits del piano k. Effett ivamente si trova che la funzione di range effettivo ~ meromorfica su tut to fl piano k eccetto due tagli. Come nel caso non coulombiano la matrice S si pub scrivere come rapporto di due funzioni, una col taglio inferiore, un 'a l t ra col taglio superiore. Gli zeri del deno- minatore di S nel semipiano k superiore possono ancora essere interpretati come stati legati situati sull'asse lc immaginario. Si stabilisce rigorosamente la connessione fra le successive approssimazioni di Born e la discontinuit~ di S nel semipiano superiore e, dalla rappresentazione integrale di S, si ottiene facilmente l 'equazione integrale che mette in rapporto la discontinuits nel semipiano superiore ed S stessa. Infine si studia il comportamento asintotico di S.

(*) 7 ' r a d u z i o ~ e a e u r a d e l l a ICedazione .