Provisionnement en assurance non vie et risque

Provisionnement en assurance non vie et risque

Rédigé par:

MENKUI Sophie Christelle

dirigé par:

Pr. Dr. FONO Louis Aimé- Maître de Conférences

M. Eric MANIABLE, Actuaire

Année Académique 2013/2014

Douala, le 13 février 2015

Dédicaces

Je dédie ce travail à mes parents.

Pour tous les sacrifices que vous faites pour moi.

i

Remerciements

Je remercie le seigneur tout puissant pour les grâces qu’il ne cesse de m’accorder.

Je remercie particulièrement le Pr Louis Aimé FONO et M. Eric MANIABLE pour

m’avoir proposé ce sujet, encadrés tout au long de la réalisation de ce mémoire, et fait

bénéficier de leur expérience.

Je remercie tous les enseignants du département de mathématiques en particulier le

Pr Samuel BOWONG et le Dr TEMGOUA Anatole.

Je remercie le Dr Siméon FOTSO pour ses suggestions.

Je remercie M. NANA André pour son aide.

Je remercie également ma famille pour leur soutien et conseils.

Enfin, je remercie mes amis, camarades de promotion et tous ceux qui auraient contri-

bué à la rédaction de ce mémoire.

ii

Résumé

L’objet de ce mémoire est d’étudier des modèles déterministes et stochastiques de pro-

visionnement, leurs critères de validation ainsi que l’évaluation de l’incertitude autour de

la prédiction des réserves.

Nous appliquons les différentes méthodologies sur des données provenant de différentes

branches d’assurance du portefeuille d’une compagnie de la zone CIMA 1 afin de proposer

aux assureurs de la zone des solutions pour modéliser aux mieux les réserves dans un

contexte où l’approche réglementaire d’évaluation du montant minimal de la marge de

solvabilité des sociétés IARD 2 est mécanique et simpliste.

Mots clés : Provisions, Chain Ladder, Paid Incurred Chain, Modèles linéaires géné-

ralisés, Modèles linéaires généralisés hiérarchiques, Incertitude.

1. Conférence Interafricaine des Marchés d’Assurances2. Incendies, Accidents et Risques divers

iii

Abstract

The purpose of this dissertation concern is to study deterministic and stochastic claims

reserving models, their validation criteria, and the assessment of uncertainty around the

prediction of reserves.

We apply the different methodologies on data coming from different insurance branches

of the portfolio of an insurance company in the area CIMA in order to propose to the

insurers solutions to better model the reserves in a context where the evaluation of the

minimum margin solvency of insurances companies is mechanical and simplistic.

Keywords : Claims reserving, Chain Ladder, Paid Incurred Chain, Generalized linear

models, Hierarchical generalized linear models, Uncertainty.

iv

Table des matières

Dédicaces i

Résumé iii

Abstract iv

Introduction 1

1 Aspect réglementaire et contexte général 3

1.1 Activité d’assurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Contrat d’assurance et catégories d’assurance . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Branches techniques de l’assurance non vie . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Provisions techniques en assurance non vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Motivation : Inversion du cycle de production et ses conséquences . 7

1.2.2 Provision Technique et composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Provisions pour sinistres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Provisions techniques en Zone CIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 CIMA : Création, objectifs et organisation . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Acteurs sur le marché des assurances . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 Réglementation sur la solvabilité des sociétés d’assurance non-vie

en zone CIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Méthodes déterministes de provisionnement 14

2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Méthodes Chain Ladder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 La méthode de Chain Ladder standard . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 Méthode Chain Ladder pondérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.3 Méthode London Chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

v

Table des matièresvi

2.3 Méthodes basées sur les ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 Loss ratios simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.2 Méthode de Bornhuetter-Ferguson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.3 Méthode Cape Cod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Modèles factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Modèles stochastiques 23

3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Modèles classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1 Modèle de MACK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.2 Modèle Munich Chain Ladder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.3 Modèles GLM : modèle Poissonnien de Renshaw et Verrall (1998) . 29

3.3 Modèles récents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.1 Modèles linéaires généralisés hiérarchiques (HGLM) . . . . . . . . . 34

3.3.2 Paid Incurred Chain reserving method (PIC) . . . . . . . . . . . . . 40

4 Evaluation du risque de provisionnement 45

4.1 Generalités sur le risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.1 Risque de volatilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.2 Risque d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.3 Evènements extrêmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2 Mesures de risque : Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.1 VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.2 La TVaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Mesures de l’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.1 Mesure de l’incertitude à l’ultime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.2 Mesure de l’incertitude à un an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.3 Mesure de l’incertitude pluriannuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Applications 52

5.1 Présentation des données et analyse descriptive . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1.1 Description et prétaitement de la base de sinistres . . . . . . . . . . 52

5.1.2 Statistiques descriptives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Applications au portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2.1 Méthode Chain Ladder standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2.2 Méthode London Chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

MENKUI Sophie Christelle c©UD 2014Provisionnement en assurance non vie et risque

Table des matièresvii

5.2.3 Méthode Chain Ladder pondérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2.4 Méthode des moindres carrés de DeVylder . . . . . . . . . . . . . . 60

5.2.5 Le modèle de Mack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2.6 Modèle Munich Chain Ladder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2.7 GLMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Applications sur le Portefeuille segmenté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3.1 Chain Ladder standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3.2 London Chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3.3 Chain Ladder Pondérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3.4 De Vylder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3.5 Mack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3.6 GLMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Conclusion et perspectives 74

Annexes 78


Table des figures

5.1 Répartition des sinistres par exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Durée de traitement des sinistres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3 Règlements moyens par exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4 Charge moyenne à la clôture par exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.5 Vérification de l’hypothèse de linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.6 Analyse graphique des résidus standardisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.7 Fonction de répartition des IBNR, avec l’ajustement Gamma en rouge. . . 64

5.8 Au dessus : histogramme des provisions (IBNR) totales simulées (à gauche),

fonction de répartition empirique des IBNR totales (à droite). En dessous :

charge ultime par année d’origine (à gauche), comparaison entre payements

effectués et valeurs simulées (à droite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.9 Au dessus : Comparaison des méthodes Chain Ladder, et Munich Chain

Ladder, en montant à gauche, et en valeurs relatives à droite. En dessous :

Corrélations entre les triangles de développement des paiements, et des

charges dossier/dossier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.10 Q-Q plot sur les résidus de pearson du modèle de poisson . . . . . . . . . . 68

5.11 Q-Q plot sur les résidus de pearson du modèle Gamma . . . . . . . . . . . 70

12 Code de la fonction Chain Ladder standard . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

13 Code de la fonction Chain Ladder pondérée . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

14 Code de la fonction London Chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

15 Code de la fonction de DeVylder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

16 Règlement pour le calcul des IBNR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1

Introduction

L’assurance est un service qui fournit une prestation lors de la survenance d’un risque

en échange de la perception d’une cotisation ou prime. Son activité se caractérise par une

inversion du cycle de production, c’est-à-dire, la prime est encaissée immédiatement alors

que la prestation et le règlement de l’indemnité interviennent ultérieurement. Ainsi, les

compagnies d’assurances sont tenues par la loi de constituer des provisions techniques leur

permettant de faire face à tout moment à leurs engagements. Les provisions techniques

sont des sommes d’argent en réserve et destinées à couvrir les engagements de l’assureur

vis-à-vis des assurés et des bénéficiaires de contrat. Par conséquent, ces provisions doivent

être suffisantes pour permettre à l’assureur de s’acquitter intégralement de ses obligations.

Par ailleurs, un sur-provisionnement revient à immobiliser du capital supplémentaire qui

pourrait être investi dans des valeurs à de meilleurs taux de rendement que celui généré par

les actifs de la compagnie. Une préoccupation importante de la communauté scientifique

est de proposer des outils mathématiques pour évaluer cette provision.

L’objetif de ce mémoire est de contribuer à la réflexion sur le provisionnement non

vie en explicitant des méthodes d’evaluation de ces reserves basées sur des techniques de

triangulation, en évaluant le risque y afferent et en implementant sur un cas pratique de

la zone CIMA.

Ce travail s’articule selon le plan suivant :

– Dans le Chapitre 1, intitulé "Aspect réglementaire et contexte général" nous dé-

finissons le cadre de l’assurance non vie, la notion de provision technique et ses

composantes. Nous rappelons aussi l’environnement réglementaire de la zone CIMA

afin de mieux se familiariser avec le type d’information disponible.

– Le Chapitre 2, intitulé "Méthodes déterministes de provisionnement" présente les

éléments de base et les principales méthodes déterministes d’évaluation de la provi-

sion de sinistres tout en insistant sur leurs critères de validation.

– Le Chapitre 3, intitulé "Modèles stochastiques" présente des méthodes stochastiques

1

Table des figures2

(classiques et récentes) d’évaluation de provision.

– Dans le Chapitre 4, intitulé "Evaluation du risque de provisionnement" nous définis-

sons la notion de risque de provisionnement et présentons les différentes approches

de son évaluation.

– Dans le Chapitre 5, intitulé "Applications" nous appliquons des méthodes étudiées

sur un portefeuille d’assurance et sur chacun les segments de ce portefeuille (Multi

Risques Habitation (MRH) & AUTO, Responsabilité civile (RC) et les autres types

de risques). Pour cela, nous faisons une présentation et une analyse descriptive des

données, ainsi que le traitement effectué afin d’obtenir des triangles de développe-

ment et produire des résultats par simulation.


? ? Chapitre Un ? ?

Aspect réglementaire et contexte

général

Dans une démarche de modélisation, il est essentiel de connaître les spécificités des

risques et leur importance. Cette première partie est donc l’occasion de rappeler les princi-

pales dimensions de l’activité d’assurance non-vie, afin de mettre en exergue le rôle central

des provisions. L’assurance non-vie couvre des catégories de risque très diverses. Chaque

catégorie possède des caractéristiques et représente un poids plus ou moins considérable

dans l’activité de chaque assureur. Les provisions constituent l’évaluation des engagements

auxquels fait face l’assureur, elles sont donc primordiales pour la gestion stratégique des

risques, et sont constituées des éléments réglementés.

Dans ce Chapitre, nous présentons les notions préliminaires de l’assurance utiles pour

la suite de ce travail et le cadre des provisions techniques en Zone CIMA.

L’objet de la Section suivante est de décrire l’activité d’assurance en général et déli-

miter le cadre de l’assurance non vie.

1.1 Activité d’assurance

1.1.1 Contrat d’assurance et catégories d’assurance

Contrat d’assurance

Une opération d’assurance est une opération synallagmatique (bilatéral) : une partie

appelée assureur s’engage à payer une somme ou une prestation à une autre partie appelée

assuré en cas de survenance d’un sinistre prédéfini à l’avance. Ce dernier paie une prime

3

1.1. ACTIVITÉ D’ASSURANCE 4

(ou cotisation) à l’assureur à la date ou aux échéances définies par le contrat.

Dans un contrat d’assurance, il convient de distinguer :

– l’assuré ou celui qui court le risque,

– le souscripteur ou celui qui signe le contrat,

– le bénéficiaire ou celui qui perçoit la prestation.

Par exemple, dans le cas d’un accident de voiture, le souscripteur peut être le proprié-

taire du véhicule, l’assuré le conducteur occasionnel du véhicule qui a causé l’accident et

qui est couvert par la garantie, et le bénéficiaire est le tiers accidenté.

Nous distinguons deux types de contrats : (i) le contrat individuel où le souscripteur

est une personne physique, et l’assuré est une ou plusieurs personnes et (ii) le contrat col-

lectif souscrit par une personne morale pour le compte de nombreux assurés ou adhérents.

Un risque assurable est un évènement futur, aléatoire (quant à sa probabilité ou sa date

de réalisation), légalement assurable et mesurable. Sa réalisation ne doit pas dépendre de

la volonté exclusive d’une partie. La nature du (des) risque(s) garanti(s) par le contrat

(ou encore l’objet de la garantie) permet de distinguer l’activité d’assurance non-vie de

celle de l’assurance-vie, la première étant le champ d’application de ce mémoire.

Catégorie d’assurance

En fonction de leur finalité, on distingue trois catégories d’assurance : les assurances

de biens, les assurances de responsabilité et les assurances de personnes.

– Assurances de biens : Elles couvrent des biens matériels appartenant à l’assuré contre

les accidents, incendies, vols et autres dommages involontaires.

En général, l’assuré, le souscripteur et le bénéficiaire ne forment qu’une seule et

même personne.

– Assurances de responsabilité : Elles prennent en charge les conséquences financières

des dommages (matériels ou corporels) dont l’assuré est responsable vis-à-vis d’un

(ou de) tiers : l’assureur indemnise les victimes à la place de l’assuré et le bénéficiaire

est un tiers.

Notons que les assurances de biens et de responsabilité, encore appelées, assurances

de dommages (ou IARD) ont pour objet la protection du patrimoine de l’assuré.

– Assurances de personnes : Elles ont pour objet de garantir la personne humaine.

L’assureur s’engage à verser une rente ou un capital en cas de réalisation d’un


1.1. ACTIVITÉ D’ASSURANCE 5

risque touchant la personne même de l’assuré (maladie, accident, décès, survie).

Ainsi, nous distinguons les trois types suivants :

• l’assurance sur la vie ou "assurances-vie" où le risque porte sur le décès ou la

survie de l’assuré ;

• le contrat de capitalisation ou le contrat d’épargne garantissant un capital dé-

terminé à l’échéance du contrat.

• l’assurance de dommage corporel regroupant l’assurance des risques d’atteinte à

l’intégrité physique en cas de maladie ou d’accident corporel.

L’assurance non-vie comprend les assurances de biens, de responsabilité et de dom-

mages corporels. Dans la section suivante, nous présentons les branches techniques de

l’assurance non vie.

1.1.2 Branches techniques de l’assurance non vie

La détermination de la provision pour de nombreux risques couverts par l’assurance

non-vie se fait par branche technique. La segmentation par branche permet d’avoir des

entités homogènes, mais la provision globale n’est pas nécessairement égale à la somme

des provisions des segments retenus (plus on segmente et plus la variabilité augmente).

Ainsi, les différentes branches de l’assurance non vie sont :

– Les accidents corporels et maladie : Cette catégorie recouvre les frais de soins,

les rentes invalidité, les rentes d’incapacité, les accidents du travail. . .

– Assurances automobile : Elles se différencient en deux branches :

• La responsabilité civile automobile (obligatoire)

• Les autres risques auto ou assurances de dommages englobant toute une série de

garanties : vol, incendie, dommages. . .

– Les incendies et autres dommages aux biens : elles comprennent l’assurance

contre l’incendie, le vol, les dégâts des eaux. D’un point de vue statistique, le déve-

loppement des sinistres de cette branche est relativement court (sinistres connus en

moins de 24 mois).

– La responsabilité civile générale : Cette assurance prend en charge le rem-

boursement des dommages matériels et corporels causés aux autres par l’assuré au

quotidien. L’analyse des provisions de cette branche s’avère ardue dans la pratique

car la taille des portefeuilles sinistres des compagnies étant limitée, la maîtrise des

engagements ne peut être atteinte sans disposer d’informations nombreuses et va-

riées.


1.2. PROVISIONS TECHNIQUES EN ASSURANCE NON VIE 6

Pour l’essentiel, le chiffre d’affaire de cette branche d’assurances de dommages pro-

vient des risques professionnels et d’entreprises. Sa principale caractéristique réside

dans les délais particulièrement longs (15 voire 20 ans) qui s’écoulent entre la surve-

nance des sinistres leur règlement définitif génerant ainsi un montant de provisions

techniques en moyenne supérieur au montant des cotisations annuelles.

– Assurances de transport : Elles sont subdivisées en trois branches d’activité

spécialisées :

• Les assurances maritimes : elles sont destinées à couvrir les marchandises trans-

portées, les corps de navire et les constructions offshore. Les risques couverts

peuvent être les risques liés à la construction, à la navigation, au séjour dans les

ports et au remorquage.

• Les transports aériens : cette branche est très fortement réassurée étant donné

les capitaux en jeu.

• Les autres transports comprennant les assurances de marchandises transportées

(facultés) dans les domaines terrestre, maritime, fluvial . . .

Ces risques sont en général à développement court, et les traitements statistiques

classiques fonctionnent bien si le portefeuille est assez développé.

– Les autres risques directs : elles comprennent les assurances construction et

multirisques habitation. . .

Notons que l’assurance de dommages est parfois étendue à d’autres activités spécifiques

telles que les assurances crédit.

1.2 Provisions techniques en assurance non vie

Si, en assurance-vie, l’incertitude peut porter uniquement sur la date de réalisation

d’un évènement (cas d’un capital directe), l’incertitude en assurance non vie porte la

plupart du temps à la fois sur la réalisation du risque (l’assureur ignore si un sinistre va

affecter le bénéficiaire du contrat au cours de la période de couverture), et le cas échéant,

sur la date de réalisation de ce risque et le montant du sinistre survenu.

L’incertitude sur les prestations que l’assureur devra verser caractérise l’inversion du

cycle de production en assurance.



1.2.1 Motivation : Inversion du cycle de production et ses consé-

quences

Dans une entreprise traditionnelle, le prix de revient du produit est connu et payé

avant le prix de vente. En assurance, le cycle de production est inversé : les primes (prix

de vente) sont connues et perçues avant que les règlements des indemnités de sinistres

(prix de revient) interviennent, le cas échéant. L’assureur perçoit directement le prix de

vente (cotisation) ainsi il dispose immédiatement de fonds et s’engage en contrepartie à

verser une indemnité en cas de survenance du sinistre au cours de la période de vali-

dité du contrat. Du fait des conséquences différés des sinistres 1, des délais d’obtention

de l’information, des expertises, des recours, etc, l’assureur décaissera son prix de revient

(règlement effectif) dans le futur, souvent au cours d’un exercice comptable différent de

celui auquel la cotisation a été émise.

Dans l’intervalle de temps entre l’encaissement du prix de vente et le décaissement

du prix de revient, il est important de mesurer la capacité de l’assureur à honorer les

engagements pris vis-à-vis des assurés.

1.2.2 Provision Technique et composantes

L’inversion du cycle de production de l’activité d’assurance entraîne un traitement

comptable particulier : une compagnie d’assurances doit comptabiliser en plus de ses dettes

certaines, ses dettes probables à l’égard de ses assurés et des bénéficiaires de contrats, ce

qu’on appelle les provisions techniques. Ainsi, Les provisions techniques sont les provi-

sions destinées à permettre le règlement intégral des engagements pris envers les assurés

et bénéficiaires de contrats.

De manière plus détaillée, les provisions techniques correspondent :

1. aux charges à prévoir pour faire face aux prestations non encore versées mais prévi-

sibles des contrats en cours. Par exemple, dans le cas d’un sinistre automobile déjà

déclaré à l’assureur, ces charges représentent les sommes qui seront probablement

versées aux bénéficiaires. Ces prestations concernent à la fois les sinistres déclarés

à l’assureur (sinistres « ouverts ») et les sinistres déjà survenus mais pas encore

notifiés à l’assureur (sinistres « tardifs ») ;

1. Les dommages peuvent se produire longtemps après la survenance du fait dommageable



2. à une anticipation des prestations futures auxquelles l’assureur devra faire face lors-

qu’un engagement prendra effet : par exemple, une partie des primes d’assurance

payée au cours d’une période comptable peut être destinée à couvrir des risques de

la période comptable suivante (provision pour primes non acquises, provisions pour

risques en cours, provisions pour risques croissants).

Ces provisions sont essentiellement de trois types en assurance non-vie :

– les provisions pour primes, par exemple, les Provisions Pour Primes Non Acquises

(PPNA) qui représentent la portion des primes nécessaires pour couvrir les risques

non encore courus

– Les provisions pour sinistres

– Les provisions concernant les actifs qui contiennent, la réserve de capitalisation

permettant de réguler les variations des prix des actifs détenus par l’assureur.

Le montant de ces provisions est fortement contrôlé par des Régulateur 2. En effet, dans

un contexte où les compagnies d’assurances sont responsables de milliers de contrats, une

faillite entraînerait des conséquences économiques et sociales graves.

Dans la suite, nous décrivons les types de provisions que nous étudierons dans ce

mémoire.

1.2.3 Provisions pour sinistres

Les provisions pour sinistres permettent de couvrir la sinistralité future issue de la

souscription des contrats. Elles sont essentiellement de deux types : les PSAP et les IBNR

(qui se différencient en IBNeR et IBNyR).

Provisions pour Sinistres à Payer (PSAP)

Les PSAP 3, représentent la base de l’estimation des provisions. La méthode d’estima-

tion de ces provisions, faite par les gestionnaires sinistres, est dite "dossier par dossier".

Leur origine provient du décalage qui peut exister entre la connaissance du sinistre lui

même et la connaissance du coût du sinistre pour l’assureur, parfois obtenue bien des

années plus tard. De part leur nature, ces provisions ne concernent que le coût futur des

sinistres survenus et déclarés.

2. en Afrique francophone la CIMA3. «Outstandings losses» en anglais


1.3. PROVISIONS TECHNIQUES EN ZONE CIMA 9

IBNR

Les IBNR, qui complètent la PSAP pour ainsi couvrir l’ensemble des sinistres survenus,

connus ou non, se divisent en deux catégories :

– Les IBNeR pour "Incured But Not enough Reserved". Le sinistre est survenu, l’as-

sureur en a connaissance mais son coût à l’ultime a été insuffisamment provisionné.

Ainsi, cette provision permet de palier à cette insuffisance.

– Les IBNyR, pour "Incurred But not yet Reported". Le sinistre est survenu, mais

l’assureur n’en a pas encore connaissance et n’a donc aucune idée de l’ampleur du

coût de ce dernier. Autrement dit, le sinistre est non déclaré à la date de clôture de

l’exercice. Plus communément appelé "tardif", cette provision permet de faire face

à ce type de sinistre.

1.3 Provisions techniques en Zone CIMA

1.3.1 CIMA : Création, objectifs et organisation

La Conférence Interafricaine des Marchés d’Assurances (CIMA) qui se substitue à l’an-

cienne CICA 4 a été instituée en 1992 par un traité ratifié par les pays de la zone Franc

CFA suivants : Bénin, Burkina Faso, Cameroun, Centrafrique, Congo, Côte d’Ivoire, Ga-

bon, Guinée Bissau, Guinée Équatoriale, Mali, Niger, Sénégal, Tchad et Togo.

Les objectifs de ce traité sont [21] :

– renforcer la coopération des États membres dans le domaine des assurances afin

d’adapter leur couverture aux réalités économiques de leurs marchés,

– développer les organismes d’assurances et de réassurance opérant dans les pays

membres pour leur permettre de souscrire et de gérer les grands risques de nos

marchés par des techniques adéquates,

– favoriser l’investissement au profit de l’économie des pays membres ou de la région,

des provisions techniques et mathématiques générées par les opérations d’assurance

et de réassurance en tenant compte des impératifs techniques de gestion des risques,

– poursuivre la formation des cadres et techniciens d’assurances pour le besoin des

marchés ou des entreprises d’assurances,

– créer des structures communes chargées de l’étude et de la mise en œuvre des orien-

4. Conférence Internationale des Contrôles d’Assurances



tations politiques et des décisions dans les domaines précités, notamment en favo-

risant la constitution d’un marché élargi et intégré dans les meilleures conditions

techniques, économiques et financières,

– poursuivre la politique d’harmonisation et d’unification des dispositions législatives

et réglementaires relatives aux opérations techniques d’assurance et de réassurance,

notamment en instituant une législation unique,

– soutenir financièrement et matériellement les institutions communes à créer.

Ce traité met en place une loi unique ou commune, appelée "Code des assurances

CIMA", applicable dans l’ensemble des pays de la zone, en vigueur depuis le 15 février

1995. Elle se substitue aux lois nationales anciennes, éparses, inadaptées et résultant pour

l’essentiel de la transposition des lois françaises d’avant 1960. La CIMA propose au Conseil

des Ministres les révisions, améliorations et précisions à apporter à cette Loi.

La réglementation dudit code porte à la fois sur les contrats d’assurances, les mé-

thodes d’indemnisation des victimes d’accidents automobiles avec un barème indemni-

taire, le fonctionnement des sociétés, les obligations incombant aux agents généraux et

aux courtiers. Elle renforce le pouvoir de contrôle des États et en confie l’exercice à la

CIMA.

Les sociétés d’assurances mobilisent, en effet, une épargne importante affectée plus

largement à l’investissement productif selon les dispositions du code des assurances. En

outre, ce code encourage le développement de la branche "vie", peu développée à ce jour

dans de nombreux pays, et contribue ainsi à une meilleure allocation de l’épargne.

La CIMA a également la mission essentielle de contrôle des sociétés d’assurances, avec

le pouvoir d’injonction et de sanction.

Terminons cette Section par l’organisation de la CIMA qui comporte trois organes,

deux institutions autonomes et des directions nationales.

Les trois organes sont :

– le Conseil des Ministres des Assurances (CMA).

– la Commission Régionale de Contrôle des Assurances Commission Régionale de

Contrôle des Assurances (CRCA),

– le Secrétariat général avec pour siège Libreville au Gabon.

Le Secrétariat général et la CRCA sont en place depuis août 1995.

Les institutions autonomes annexes sont :



– la Compagnie Commune de Réassurance des États membres (CICARE)

– l’Institut International des Assurances (IIA) qui assure, à Yaoundé (Cameroun), les

formations diplômantes de haut niveau et coordonne l’action des centres nationaux

chargés de la formation des techniciens du secteur.

Les Directions Nationales des Assurances des États membres constituent des relais à

l’action de la CIMA.

1.3.2 Acteurs sur le marché des assurances

Comme acteurs intervenants dans le marché des assurances en zone CIMA nous avons :

– La CIMA

– Les Directions Nationales des Assurances des États membres : Ministère des Fi-

nances / Division des Assurances dans le cas du Cameroun

– Les Compagnies d’assurance proprement dites regroupées en deux marchés : marché

de l’assurance dommage, marché de l’assurance vie.

– Les intermédiaires d’assurance : courtiers et sociétés de courtage, agents et manda-

taires

– Les réassureurs : qui sont l’assureur de l’entreprise d’assurance

– Les clients : Assurés, souscripteurs, Sociétés, individus, etc

Le courtier d’assurances ou de réassurance est une personne physique ou morale

ayant le statut de commerçant des produits d’assurance et n’étant pas lié par une exclu-

sivité contractuelle à une ou plusieurs entreprises d’assurances. Il agit pour le compte de

ses clients et, en cas de faute, il engage en principe sa responsabilité professionnelle. Pour

vendre des contrats d’assurance, le courtier a l’obligation de souscrire une assurance de

responsabilité civile professionnelle et de justifier d’une garantie financière auprès d’une

banque ou d’une société d’assurances.

L’agent général d’assurances est une personne physique ou morale exerçant une pro-

fession libérale et ayant signé un mandat exclusif avec une ou plusieurs entreprises d’assu-

rances lui permettant d’indemniser certains sinistres ne dépassant pas un montant déter-

miné. Il représente sur le terrain la société d’assurances dont il engage la responsabilité.



1.3.3 Réglementation sur la solvabilité des sociétés d’assurance

non-vie en zone CIMA

L’un des objectifs de la CIMA est de s’assurer de la solvabilité des compagnies d’as-

surances. Ainsi l’article 337-2 du code des assurances intitulé "montant minimal de la

marge de solvabilité des sociétés IARD" stipule que le montant minimum réglemen-

taire de la marge de solvabilité est égal au plus élevé des résultats obtenus par application

des deux méthodes suivantes :

a) Première méthode (calcul par rapport aux primes)

A 20% du total des primes directes ou acceptées en réassurance émises au cours de l’exer-

cice et nettes d’annulations est appliqué le rapport existant, pour le dernier exercice, entre

le montant des sinistres demeurant à la charge de l’entreprise après cession et rétrocession

en réassurance et le montant des sinistres bruts de réassurance, sans que ce rapport puisse

être inférieur à 50%.

b) Deuxième méthode (calcul par rapport à la charge moyenne annuelle des sinistres)

Au total des sinistres payés pour les affaires directes au cours des trois derniers exer-

cices, sans déduction des sinistres à la charge des cessionnaires et rétrocessionnaires, sont

ajoutés, d’une part, les sinistres payés au titre des acceptations en réassurance ou en ré-

trocession au cours des mêmes exercices, d’autres parts, les provisions pour sinistres à

payer constituées à la fin du dernier exercice, tant pour les affaires directes que pour les

acceptations en réassurance. De cette somme sont déduits, d’une part, les recours encais-

sés au cours des trois derniers exercices, d’autre part, les provisions pour sinistres à payer

constituées au commencement du deuxième exercice précédant le dernier exercice, tant

pour les affaires directes que pour les acceptations en réassurance. Il est appliqué un pour-

centage de 25% au tiers du montant ainsi obtenu. Le résultat déterminé par application

de la deuxième méthode est obtenu en multipliant le montant calculé à l’alinéa précédent

par le rapport existant, pour le dernier exercice, entre le montant des sinistres demeurant

à la charge de l’entreprise après cession en réassurance et le montant des sinistres brut

de réassurance, sans que ce rapport puisse être inférieur à 50%.

Toutefois, certaines critiques ont été faites à l’encontre de cette façon d’évaluer le

montant minimal de la marge de solvabilité des sociétés IARD :

– Elle est trop simpliste avec une approche mécanique du risque.

– Elle n’assure pas la prudence de provisionnement et de tarification.

– Elle ne tient pas compte du profil de risques de la compagnie. En effet, la sinistralité



est inférieure à 60% des primes car les frais généraux sont de 30% et les commissions

de 12% des primes. Ainsi 25% de la sinistralité est inférieure à 15% des primes donc

en général c’est la première méthode qui est utilisée et celle-ci est totalement en

déphasage avec le risque.

En terme de solvabilité, l’entreprise devrait constituer le plus possible de provisions, mais

en terme de performance et de rentabilité vis à vis des actionnaires, elle souhaite en

constituer le moins possible. La difficulté consiste à prédire les prestations futures. Une

bonne estimation de celle-ci est donc un enjeu majeur pour l’entreprise.


? ? Chapitre Deux ? ?

Méthodes déterministes de

provisionnement

2.1 Généralités

Les méthodes statistiques de provisionnement reposent principalement sur les données

historiques de sinistralité. Ainsi ces méthodes sont d’autant plus performantes que le passé

est régulier et le présent est peu différent du passé.

Les sinistres, rapportés à des périodes (en général il s’agit de l’année d’exercice allant

du 1/1 au 31/12), sont rattachés à leur année d’origine qui peut être l’année de surve-

nance, l’année de souscription ou l’année de déclaration.

Aussi analyser ces sinistres individuellement est une activité complexe qui ne peut

se faire que sur des sinistres connus, c’est-à-dire, au minimum déclarés à la compagnie

d’assurance or la réglementation stipule qu’il convient de provisionner pour les sinistres

survenus (déclarés ou non). Un des principaux rôle de l’actuaire est alors d’estimer la pro-

vision pour des sinistres survenus mais non encore connus de l’assureur (IBNR). Pour ce

faire, l’hypothèse forte émise est que : le passé est indicatif du futur et l’historique des don-

nées comptables sur des branches de risques homogènes se présente sous forme de triangle.

Nous considérons une branche dont les sinistres se déroulent sur (n+ 1) années. Pour

i ∈ {0, ..., n} et j ∈ {0, ..., n}, i est l’année d’origine du sinistre et j est le délai de

règlement à compter de l’année de survenance et xij la mesure de sinistralité (exposition

au risque) correspondant à i et à j.

Dans ce travail, nous supposons que nous traitons de paiement de sinistre. Ainsi en se

plaçant au 31/12/n, les paiements de sinistres antérieurs à cette date sont mis (de manière

14

2.1. GÉNÉRALITÉS 15

classique) sous la forme d’un triangle complet de liquidation de montants ayant (n+1)(n+2)2

données et présenté par le tableau ci-dessous. xij est le montant des sinistres, survenus au

cours de l’année i, reglé j année après la survenance.

Délai de règlement

Année d’origine 0 1 . . . j . . . n− i . . . n− 1 n

0 x00 x01 . . . x0j . . . . . . . . . x0,n−1 x0n

1 x10 x11 . . . x1j . . . . . . . . . x1,n−1

......

... . . ....

...

i . . . . . . . . . xij . . . xi,n−i...

......

...... . . . . . . . . . xn−j,j...

n− 1 xn−1,0 xn−1,1

n xn,0

La sommen∑i=0

xi,n−i représente le paiement total effectué au cours de l’année n toutes

années d’origine confondues.

Au triangle des règlements non cumulés précédent, nous associons celui des règlements

cumulés de la façon suivante :

Soient i ∈ {0, ..., n} et j ∈ {0, ..., n}, notons par Cij =

j∑k=0

xik le montant cumulé des

règlements pour l’année d’origine i jusqu’au délai de règlement j. En d’autres termes, Cijest la somme des paiements effectuées pour les sinistres survenus au cours de l’année i

après j années. Ainsi le triangle des règlements cumulés associé au triangle des règlements

non cumulés est le suivant :



Délai de règlement

Année d’origine 0 1 . . . j . . . n− i . . . n− 1 n

0 C00 C01 . . . C0j . . . . . . . . . C0,n−1 C0n

1 C10 C11 . . . C1j . . . . . . . . . C1,n−1

......

... . . ....

...

i . . . . . . . . . Cij . . . Ci,n−i...

......

...... . . . . . . . . . Cn−j,j...

n− 1 Cn−1,0 Cn−1,1

n Cn,0

La question principale du provisionnement est d’estimer au 31/12/n, à partir des

données du tableau précédent, les trois valeurs suivantes :

1. La charge sinistre Si = Cin de chaque année d’origine i. L’année d’origine étant

complètement déroulée S0 = C0n

2. La provision Ri = Cin−Ci,n−i à constituer pour chaque année d’origine i (i = 0...n)

avec R0 = 0

3. La provision globale R=n∑i=0

Ri (toute année d’origine confondue).

Pour répondre à cette question, nous aurons besoin des deux notions suivantes :

1. Les facteurs de développement (fj)j∈{0,...,n−1} définis par : fj =Ci,j+1

Ci,j.

2. Les cadences cumulés de règlement

∀j ∈ {0, ..., n− 1}, pcj =CijCin

. (2.1)

Par convention pcn = 1.

La relation entre les deux notions est :

fj =pcj+1

pcjet pcj =

1

fj × fj+1...× fn−1

.

Illustrons les notions précédentes par l’exemple suivant (Partrat et al [19]) :

Exemple 2.1.1. – Le tableau suivant présente des données agrégées pour la catégorie

dommages automobile au 31/12/1993 pour un déroulement complet de sinistre en 6



ans. Les années d’origine sont celles de survenance des sinistres, les montants sont

exprimés en millions de francs (MF).

Exercice 0 1 2 3 4 5

1988 0 3209 1163 39 17 7 21

1989 1 3367 1292 37 24 10

1990 2 3871 1474 53 22

1991 3 4239 1678 103

1992 4 4929 1865

1993 5 5217– Le triangle des règlements cumulés associé au tableau de règlements non cumulés

est le suivant :

Exercice 0 1 2 3 4 5

1988 0 3209 4372 4411 4428 4435 4456

1989 1 3367 4659 4696 4720 4730

1990 2 3871 5345 5398 5420

1991 3 4239 5917 6020

1992 4 4929 6794

1993 5 5217– Les facteurs de developpements pour la seule année complètement déroulée 1988

sont :

j 0 1 2 3 4

fj 1,3624 1,0089 1,0039 1,0016 1,0047

Les sinistres survenus au cours de l’année i se règle d (d ∈ {o, .., n}) années après.

Lorsque d ≥ 1, il s’écoule au moins d années entre la survenance du sinistre et son règle-

ment. L’inflation des montants de sinistres générée durant ces d années est susceptible de

perturber une analyse de provisionnement. L’hypothèse que le passé est indicatif du futur

ne devrait être retenue que sous reserve d’une étape d’actualisation (traitement) de ces

paiements.

Après traitement du triangle de montants cumulés, l’objectif est de determiner un modèle

qui estime les provisions par année d’origine et donc la provision globale.

Dans la Section suivante, nous présentons les principales méthodes déterministes de pro-

visionnement.

Ces méthodes peuvent être reparties en trois classes : les méthodes Chain Ladder, les


2.2. MÉTHODES CHAIN LADDER 18

méthodes basées sur les ratios et les modèles factoriels.

2.2 Méthodes Chain Ladder

Les méthodes de cette classe s’appliquent aux triangles utilisés pour provisionner et

sont basées sur les facteurs de développement. Elles supposent que les facteurs de déve-

loppement sont constants pour toutes les années d’origine.

2.2.1 La méthode de Chain Ladder standard

La méthode Chain-Ladder constitue certainement la méthode de provisionnement la

plus simple et la plus utilisée par les compagnies d’assurance.

Hypothèses et estimation

Pour j = 1, ..., n, les facteurs de développement sont indépendants de l’année de

survenance du sinistre i. Sous cette hypothèse pour j = 0 . . . n− 1,

C0,j+1

C0,j

=C1,j+1

C1,j

= . . . =Cn−j−1,j+1

Cn−j−1,j

Dans la pratique, le facteur de développement est estimé par :

fj =

n−j−1∑i=0

Ci,j+1

n−j−1∑i=0

Ci,j

.

Le triangle des règlements cumulés est complété en un rectangle complet à partir de

Ci,j = Ci,n−i

j−1∏k=n−i

fk.

Et donc la charge ultime est :

Ci,n = Ci,n−i

n−1∏k=n−i

fk.

La provision pour l’année i vaut :

Ri = Ci,n − Ci,n−i.

Enfin, la réserve à l’ultime pour l’ensemble des sinistres vaut :

R =n∑i=0

Ri


2.2. MÉTHODES CHAIN LADDER 19

Validation du modèle

Le d-triangle

Le triangle formé des facteurs individuels (fi,j) est appelé d-triangle. L’hypothèse sous

jacente à cette méthode n’est acceptable que si les éléments de chaque colonne de ce tri-

angle sont sensiblement constants.

CC-plots

C’est une méthode graphique. Sous l’hypothèse du modèle, pour une année de déve-

loppement donné j = 0, 1, . . . n− 1 les couples (Cij, Ci,j+1)i=0,...,n−j−1 doivent être alignés

par une droite passant par l’origine.

Back-texting

Elle consiste à appliquer de manière rétrospective les facteurs de développement aux

triangles, et de comparer ensuite les écarts entre les données historiques observées et les

données estimés avec les facteurs de développement Chain-Ladder.

2.2.2 Méthode Chain Ladder pondérée

Cette méthode définit le facteur de développement fj du délai j et pour toutes les

années d’origine comme étant une fonction des facteurs individuels, c’est-à-dire, fj =

g(f0,j...fn−j−1,j).

La fonction g la plus utilisée est le barycentre de la famille des facteurs individuels pon-

derés (fi,j, wi,j) où les pondérations (wi,j)i∈{0...n−j−1} sont judicieusement choisies. Ainsi,

le facteur de développement fj est définit par :

fj =

n−j−1∑i=0

wi,jfi,j

n−j−1∑i=0

wi,j

.

2.2.3 Méthode London Chain

Introduite par Benjamin et Eagles [1986], cette méthode suppose pour j fixé, l’existence

de paramètres αj, aj tels que :

∀i ∈ {0, ..., n− j − 1}, Ci,j+1 = αjCi,j + aj.


2.3. MÉTHODES BASÉES SUR LES RATIOS 20

Le couple de paramètres (αj, aj) est déterminé par la méthode des moindres carrés en

minimisant la fonction :

4j =

n−j−1∑i=0

(Ci,j+1 − aj − αjCi,j)2.

2.3 Méthodes basées sur les ratios

Les méthodes de cette classe utilisent, en plus du triangle, une information complé-

mentaire sous la forme d’un indicateur d’exposition au risque ou de sinistralité Ei pouvant

être le montant de prime, le nombre de sinistres ou le nombre de contrats.

Nous utiliserons les notations :

∀i, j ∈ {0, ..., n}, Lij =Ci,jEi

et Li =Ci,nEi

=SiEi.

2.3.1 Loss ratios simple

Cette méthode, opérationnelle sur les bases de données totalement stables, suppose

que les Li sont constants sur toutes les années d’origines. L0 étant connu, nous avons :

∀i ∈ {0, ..., n}, Li = L0. Or Li =Si

Ei, alors Si = Ei × Li = Ei × L0.

2.3.2 Méthode de Bornhuetter-Ferguson

Cette méthode suppose que l’indicateur d’exposition au risque Ei est un montant de

prime et est noté Pi.

En remplaçant j par (n− i) dans (2.1), nous avons Ci,n−i = pcn−iCin.

Or Si = Cin = Ci,n−i + Cin − Ci,n−i = Ci,n−i + Cin − pcn−iCin,

Si = Ci,n−i + (1− pcn−i)Cin. (2.2)

De plus, Li =CinPi

donne

Cin = PiLi. (2.3)

(2.2) et (2.3) donnent

Si = Ci,n−i + (1− pcn−i)PiLi. (2.4)


2.4. MODÈLES FACTORIELS 21

Cette méthode stipule que le ratio inconnu Li est substitué dans (3.3) par un ratio

Φi determiné le plus souvent à l’aide de considérations exogènes au triangle. Ainsi nous

déduisons que

Si = Ci,n−i + (1− pcn−i)ΦiPi

Ri = (1− pcn−i)ΦiPi.

2.3.3 Méthode Cape Cod

Cette méthode stipule la subdivision de l’ensemble des années d’origine en groupe

d’années semblables et l’attribution d’un Loss ratio pour chaque groupe selon la formule

suivante : ∀A ⊆ {0, ..., n}, LA =

∑kεA

Ck,n−k∑kεA

Pn−kPk.

Si Ai est le groupe d’appartenance de i, alors

Ri = Si − Ci,n−1 = (1− PCn−i)LAiPi.

2.4 Modèles factoriels

Ces méthodes sont basées sur l’utilisation des montants non cumulés ∀i, j ∈ {0, ..., n}, xi,jsous la forme d’un produit des trois facteurs suivants :

– xi paramètre du facteur année d’origine

– yj paramètre du facteur délai de règlement

– λi+j paramètre du facteur année calendaire qui exprime l’inflation sur la période

allant de l’année i à l’année j.

La méthode des moindres carrées de DE VYLDER

Introduite par De Vylder [1978], cette méthode est utilisée sous l’hypothèse que l’in-

flation annuelle est constante dans le triangle analysé. Pour cette méthode, le paramètre

λi+j est constant et pris en compte dans les deux autres facteurs, alors les montants non

cumulés (xi,j)i,j∈{0,...,n} sont produit de deux facteurs : xi correspondant à la charge ultime

des sinistres survenus au cours de l’anné i et yj la proportion du montant xi payé l’année

j. Plus précisement, ∀i, j ∈ {0, ..., n}, xi,j = xiyj.

Le triangle des paiements s’écrit alors :


2.4. MODÈLES FACTORIELS 22

exercice 0 1 . . . n-1 n

0 x1y1 x1y2 . . . x1yn−1 x1yn

1 x2y1 x2y2 . . . x2yn−1

......

...

n-1 xn−1y1 xn−1y2

n x1y1

Alors Ci,j =

j∑k=0

xi,k =j∑

k=0

xiyk =xiYj avec Yj =

j∑k=0

yk etCi,j+1

Ci,jest indépendante de

i. On retrouve ainsi l’hypothèse de base de la méthode chain ladder.

Les 2(n+ 1) paramètres (xi) et (yj) sont obtenus en minimisant la somme des carrés des

écarts entre les valeurs observées xij et leur forme théorique xiyj, soit :

∆ =∑i+j≤n

(xij − xiyj)2 avec pour contrainte d’identifiabilitén∑j=0

yj = 1.

Les méthodes déterministes sont simples à mettre en œuvre, mais elles ne donnent

qu’une estimation de la charge ultime et sont très sensibles à des variations dans les

données utilisées. Pour mesurer cette incertitude dans la projection de nos réserves, il

faut recourir aux méthodes stochastiques de provisionnement.


? ? Chapitre Trois ? ?

Modèles stochastiques

Les modèles stochastiques sont nés du besoin de pouvoir quantifier la variabilité des

réserves estimées, notamment par la construction d’intervalles de confiance, et ainsi d’ob-

tenir une marge d’erreur sur le montant des provisions. Ceux-ci sont adaptés, puisqu’ils

considèrent les réserves sous un angle probabiliste en considérant leur distribution.

3.1 Généralités

Les modèles stochastiques reposent sur une modélisation stochastique parametrée du

rectangle de liquidation où les paramètres du modèle sont estimés à l’aide des données du

triangle supérieur.

Ils considèrent que les montants cumulés (Ci,j)i,j∈{0,...,n} ou non cumulés (Xi,j)i,j∈{0,...,n},

sont des v.a.r. On suppose que (xi,j)i+j≤n est la réalisation de (Xi,j)i+j≤n. Parmi les (n+1)2

variables du triangle de liquidation, celles du triangle supérieure ont été observées. Ainsi

la provision pour la ieme année d’origine notée Ri et définie par : Ri = Ci,n − Ci,n−i =n∑

k=n−i+1

Xi,k est une v.a.r et la provision globale R =n∑i=1

Ri est aussi une v.a.r.

Notons par : FR la fonction de repartition de R, MR(S) = E(SR) la fonction gé-

nératrice des moments de R, E(R) et V (R) (σ(R)) les deux premiers moments de R,

µ3(R) = E{[R−E(R)]3} le moment centré d’ordre 3 de R et γ1(R) =µ3(R)

σ3(R)le coefficient

d’asymétrie de R.

Pour 1− η fixé dans ]0, 1[, le quantile d’ordre 1 1− η de R est définit par : V aRη(R) =

q1−η(R) = F−1R (1 − η). Ce quantile est considéré comme la provision suffisante dans

100(1− η)% des cas.

1. aussi appelé value-at-risk d’ordre η,

23


Les paramètres possibles de provisionnement liés à la probabilité de R ou à FR sont :

– un indicateur de valeur centrale de la loi de R (E(R), médiane, quantile...)

– un indicateur de volatilité : V (R) et σ(R)

– un indicateur margé : V (R) + γσ(R)

– la probabilité d’insuffisance d’une provision R0 à priori : P (R > R0) = 1− FR(R0)

– un indicateur de queue : V aR d’ordre ε fixé définit par P (R > V aRε) = ε

– un indicateur d’hyper queue : la tail V aRε definit comme E(R|R > V aRε)

Notons par Π(FR) l’un de ces paramètres et Π = Π[(Xi,j)i+j≤n] son estimateur.

L’incertitude liée à cette estimation est mesurée par l’écart quadratique moyen (mean

square error) :

MSE(Π) = E{[Π− Π(FR)]2} = V (Π) + [E(Π)− Π(FR)]2.

Si cet estimateur est sans biais, alors

MSE(Π) = V (Π).

L’erreur standard absolue est :

s.e(Π) =

√MSE(Π).

Ces fonctions de la loi de R sont estimées par :

MSE(Π) et s.e(Π).

L’intervalle de confiance de Π(FR) au niveau α a pour bornesA[(Xi,j)i+j≤n] etB[(Xi,j)i+j≤n]

telles que P (A ≤ ΠFR ≤ B) = 1− α.

On veut prévoir f [(Xk,h)h+k≥n] fonction des v.a.r du triangle inférieure à l’aide de

h[(Xk,h)h+k≤n] fonction des v.a.r du triangle supérieure.

La prédiction correspondante est h[(xk,h)h+k≤n] et son incertitude est mesurée par l’écart

quadratique moyen :

MSEP (h) = E{[h(Xi,j)−f(Xk,h)]2} = V [f(Xk,h)h+k≥n]+E{{h(Xk,h)h+k≤n−E[f(Xk,h)h+k≥n]}2}.


3.2. MODÈLES CLASSIQUES 25

3.2 Modèles classiques

3.2.1 Modèle de MACK

Proposé par MACK en 1993, ce modèle rend aléatoire le modèle Chain Ladder en y

ajoutant des indicateurs de risque de prédiction. Il est non paramétrique car aucune

hypothèse de distribution n’est faite sur les composantes du triangle.

Hypothèses

– indépendance des exercices d’origine, c’est-à-dire, pour i1 6= i2 les v.a.r (Ci1,j)j=1,...,n

et (Ci2,j)j=1,...,n sont indépendantes.

– pour j = 1, ..., n − 1, il existe un paramètre fj tel que pour i = 1, ..., n on ait :

E(Ci,j+1/Ci,1...Ci,j) = fjCi,j

– pour j = 1, .., n il existe un paramètre σ2j tel que :

∀i ∈ 1, ..., n, V (Ci,j+1/Ci,1...Ci,j) = σjCi,j

Principe et estimateurs

Posons T = {Ci,j : i+ j ≤ n+ 1}. Nous avons :

E(Ci,n/T ) = fn−1 × ...× fn−i+1Ci,n−i+1.

Pour i = 1, ..., n et j = 1, ..., n− 1, les quatre estimateurs de cette méthode sont :

– les facteurs Chain Ladder fj =

n−j−1∑i=0

Ci,j+1

n−j−1∑i=0

Ci,j

sont des estimateurs des paramètres fj

– Ci,n = Ci,n−i × fn−i × ...× fn−1 est un estimateur de E(Ci,n|T )

– Ri = Ci,n − Ci,n−i est un estimateur de Ri

– R =n∑i=0

Ri est un estimateur de R

Proposition 3.2.1. 1. Les facteurs Chain Ladder fj sont des estimateurs sans biais

et non corrélés de fj.

2. Ri = Ci,n − Ci,n−i est un estimateur sans bias Ri.

Preuve : 1) Soit j ∈ {1, ..., n}.i) Justifions que fj est donc un estimateur sans biais de fj.

Posons Tj = {Cih : h ≤ j, i+j ≤ n+1}. Par hypothèse, nous avons : E(Ci,j+1|Ci,1...Ci,j) =

E(Ci,j|Tj) = fjCi,j.



Donc

E(fj|Tj) =

n−j−1∑i=0

E(Ci,j+1|Tj)

n−j−1∑i=0

Ci,j

=

n−j−1∑i=0

fjCij

n−j−1∑i=0

Cij

= fj.

Ainsi E[fj] = E[E[fj|Tj]] = fj.

ii) Soit k ∈ {1, ..., n} tel que j < k. Justifions que Cov[fj, fk] = E[fj fk]−E[fk]E[fj] = 0.

Nous avons E[fj fk] = E[E[fj fk|Tk]] = E[fjE[fk|Tk]] = E[fk]E[fj]. La preuve ci-dessus

donne E(fj|Tk) = fk. Ainsi Cov[fj, fk] = E[fj fk]− E[fk]E[fj] = 0.

2) Justifions que Ri = Ci,n − Ci,n−i est un estimateur sans biais de Ri.

De ce qui précède, le montant des reserves estimés Ri = Ci,n − Ci,n−i est un estimateur

non biasé du vrai montant de reserves Ri = Ci,n − Ci,n−i. 2

On obtient exactement les mêmes montants qu’avec la méthode Chain Ladder.

Erreur de prévision et Intervalle de confiance

– Erreur de prévision

Pour cette méthode, nous avons les trois estimateurs suivants :

• Pour j ≤ n− 2, un estimateur sans biais de σj est :

σ2j =

1

n− j − 1

n−j∑i=1

Ci,j

[Ci,j+1

Ci,j− fj

]2

.

Pour j = n− 1, un estimateur sans biais de σj = σn−1 est :

σ2n−1 = min

(σ4n−2

σ2n−3

, σ2n−2, σ

2n−3

).

• Pour i = 1, ..., n, MSEP (Ri) peut être estimé par :

MSEP (Ri) = C2i,n

n−1∑j=n−i+1

σ2j

f 2j

[1

Ci,j+

1n−j∑k=1

Ck,j

].

• MSEP (R) est estimé par :

MSEP (R) =n∑i=2

{MSEP (Ri) + Cin(

n∑k=i+1

Ckn)n−1∑

j=n−i+1

2σ2j

fj

n−j∑h=1

Chj

}.



– Intervalle de confiance

Mack propose de construire des intervalles de prédiction pour la provision en faisant

des hypothèses portant sur la distribution "prédictive" conditionnelle de R. Le choix

d’une distribution reste arbitraire et les deux paramètres de la distribution retenue

sont les estimations de la moyenne et de l’écart-type conditionnels de R soit E[R] =

R et se(R).

Exemple 3.2.1. – Si la distribution choisie est une distribution normale N(µ, σ2),

alors µ = R et σ = se(R).

L’intervalle de confiance à 95% conditionnel pour R est :[R− 1.96se(R); R + 1.96se(R)

].

L’estimateur du quantile d’ordre η de R est : qη(R) = R + se(R)qη où qη est le

quantile de la loi normale standard.

– Si la distribution choisie est une distribution LogNormale LogN(µ, σ2), c-a-d,

ln(R) suit la loi Normale N(µ, σ2), alors µ et σ2 sont déterminés par le système : eµ+σ2

2 = R

e2µ+σ2(eσ

2 − 1)

= (se(R))2.

Ainsi, σ2 = ln

(1 + (se(R))2

R2

)et µ = lnR− σ2

2.

L’intervalle de confiance pour R est [eµ−1.96σ; eµ+1.96σ] et le quantile d’ordre η de

R, eµ+σqη .

3.2.2 Modèle Munich Chain Ladder

Le modèle Munich Chain Ladder intègre une correlation naturelle entre paiements et

charges par exercice d’origine pour les même délais en introduisant les nouveaux facteurs

qui prennent en compte cette correlation et qui varient d’un exercice à l’autre.

Nous aurons besoin des notations suivantes :

Notations

Pour i, j ∈ {1, ..., n}.– Pij le paiement cumulé de l’année d’origine i après j années de developpement

Pi(j) = (Pik)1≤k≤j

– Iij la charge sinistre de l’année d’origine i, vue en fin de jieme année

Ii(j) = (Iik)1≤k≤j



– Les ratios P/I (la part de la charge estimée effectivement payée) et I/P définit par :

(P/I)ij =PijIij

et (I/P )ij =IijPij

.

– (P/I)j =

n∑k=1

Pkj

n∑k=1

Ikj

.

– Bi(j) = {Pi(j), Ii(j)}– Qi = (Qij)1≤j≤n où Qij =

PijIij

et Q−1ij =

IijPij

.

– étant donnée une v.a.r X et une condition C, le résidu conditionnel standardisé de

X, noté Res(X|C), est définit par : Res(X|C) =X − E(X|C)

σ(X|C).

En particulier : Res[Pi,j+1

Pij|Pi(j)

]=

Pi,j+1

Pij− fpj

σpj

√Pij.

Certaines de ces quantités sont connues pour i + j ≤ n + 1 et seront projetées au delà,

c’est-à-dire, pour n+ 1 < i+ j ≤ 2n.

La particularité de cette méthode repose sur l’hypothèse que, conditionnellement les fac-

teurs standardisés Res[Pi,j+1

Pij|Pi(j)

]sont linéairements corrélés aux ratios (I/P ) standar-

disés soit aux Res[Q−1ij |Pi(j)

].

Présentons dans ce qui suit les hypothèses du modèle.

Hypothèses

– H1) Les v.a (P1j, I1j)1≤j≤n,...,(Pnj, Inj)1≤j≤n sont indépendantes, c-a-d, l’indépen-

dance des paiements par exercice d’origine.

– H2) Pour j ∈ {1, ..., n − 1}, il existe un paramètre fpj réel tel que conditionnelle-

ment : E(Pi,j+1

Pij|Pi(j)) = fpj .

– H3) Pour j ∈ {1, ..., n−1}, il existe un paramètre σpj > 0 tel que conditionnellement :

V (Pi,j+1

Pij| Pi(j)) =

(σpj )2

Pij.

– H4) Pour j ∈ {1, ..., n−1}, il existe un paramètre λp > 0 tel que conditionnellement :

E =

{Res

[Pi,j+1

Pij|Pi(j)

]|Bi(j)

}= λpRes

[Q−1ij |Pi(j)

]où λp le coefficient de correlation linéaire (conditionnel) entre Pi,j+1

Pijet Q−1

ij est

supposé indépendant de j.



Estimation des paramètres

De manière semblable au modèle de Mack, les estimateurs de ce modèle sont :

– q−1j =

n∑k=1

Ikj

n∑k=1

Pkj

est l’estimateur de E[Pi,j+1

Pij|Pi(j)

].

–ρpj√Pij

où ρ(p)j

2

=1

n− j

n−j+1∑k=1

Pkj(Q−1kj − qj

−1)2 est l’estimateur de σ[Pi,j+1

Pij|Pi(j)

].

– Pour j ≤ n−1,

Res(Pi,j+1

Pij|Pi(j)

)=

Pi,j+1

Pij− fpj

σpj

√Pij et Res

(Q−1ij |Pi(j)

)=Q−1ij − qj

−1

ρpj

√Pij

sont des estimateurs de Res[Pi,j+1

Pij|Pi(j)

]et Res

[Q−1ij |Pi(j)

]respectivement.

– λ(p) =

∑i,j

Res(

Pi,j+1

Pij|Pi(j)) Res(Q−1

ij |Pi(j))

∑i,j

[Res(Q−1ij |Pi(j))

]2 est l’estimateur des moindres carrés de

λ(p).

De ces estimations et de l’hypothèse (H4) on déduit pour l’exercice i, la formule recursive

suivante permettant de projeter le triangle en rectangle.

∀j ∈ {n− i+ 1, ..., n}, Pi,j+1 = Pij

[fpj + λ(p)

σ(p)j

ρ(p)j

(Qij

−1− qj−1)

]

où Q−1ij =

Iij

Pij.

Pour le triangle des charges, il suffit d’un échange P → I et nous obtenons la formule

recursive suivante :

Ii,j+1 = Iij

[f Ij + λ(I)

σ(I)j

ρ(I)j

(Qij − qj)]

où Qij =Pij

Iij.

3.2.3 Modèles GLM : modèle Poissonnien de Renshaw et Verrall

(1998)

En 1998, Renshaw et Verrall sont parvenus à répliquer les resultats obtenus par la mé-

thode standard de Chain-Ladder à l’aide d’un modèle modèle linéaire généralisé (GLM).



Avant de détailler le cas particulier du modèle de Renshaw et Verrall, nous allons pré-

senter de façon générale en quoi consiste les méthodes de provisionnement basées sur les

modèles GLM.

Modèles linéaires généralisés(GLM)

Introduit par Nelder et Wedderburn en 1972, les GLMs sont une extension du modèle

linéaire normal. Leur utilisation pour la détermination stochastique des provisions pour

sinistre remonte aux années 1990.

La méthode GLM est une méthode qui consiste à trouver un lien entre une variable à

expliquer (ou variable réponse) Y et des variables explicatives X1...Xp.

Un GLM est définit par 3 composantes : la composante aléatoire, la composante sys-

tématique et la fonction de lien.

Composante aléatoire

Elle correspond à la variable à expliquer Y dont la distribution appartient à la famille

exponentielle définie ci-dessous :

Définition 3.2.1. Soit θ est un paramètre réel appelé paramètre naturel, φ > 0 un para-

mètre de dispersion et Y une v.a.r.

La loi de Y appartient à la famille exponentielle de paramètre θ et φ s’il existe trois

fonctions a(.), b(.) et c(.) dérivables telles que

– b(.) soit 3 fois derivable et sa derivée première est inversible

– sa fonction densité est definie par :

fθ,φ(y) = exp

{(yθ − b(θ))

a(φ)+ c(y, φ)

}.

Pour une variable Y de densité fθ,φ définit ci-dessus, il est établit que :

E(Y ) = b′(θ) = µ et V ar(Y ) = b′′(θ)a(φ) = V (µ).

La fonction b′(.) étant inversible, θ = (b′)−1(µ). En général, la fonction a(φ) est de

la formeφ

ωoù ω représente la pondération que l’on veut affecter aux observations. Dans

la suite de ce travail, on suppose sans perte de généralité que ω = 1, ce qui donne a(φ) = φ.



Les principales lois de la famille exponentielle utilisées dans les GLM sont : la loi Nor-

male, la loi de Poisson, la loi Gamma et la loi Binomiale.

Dans le cas du provisionnement, les paiements incrémentaux correspondent à la com-

posante aléatoire. Ils sont supposés indépendants et suivent une loi appartenant à la

famille exponentielle.

La composante systématique

(X1, ..., Xp) sont les variables explicatives du modèle et x = (x1, ..., xp) une observation

desdites variables.

Le prédicteur linéaire associé à ces observations est définit par : η(x) =

p∑i=1

xiβi où

β = (β1, ..., βp) est un vecteur de paramètres qui devront être estimés.

Dans le cas du provisionnement, la composante systematique s’écrit : ∀i, j ∈ {0, ..., n}, ηij =

µ+αi + βj, où αi représente la variable année d’origine, βj la variable délai de règlement

et µ représente la variable année calendaire.

Avec contrainte d’identifiabilité du modèle α0 = β0 = 0.

La fonction lien

Notons par g(.) une fonction qui fait le lien entre la composante aléatoire et la com-

posante systématique. Elle relie l’espérance de la variable à expliquer Y , notée µij, au

prédicteur linéaire η définit par : ηij = g(µij).

On suppose que g est une fonction monotone et derivable. Les plus utilisées sont :

identité ηij = µij, log ηij = ln(µij) et inverse ηij = µ−1ij .

La fonction lien qui vérifie la relation µij = g−1(ηij) ou ηij = g(µij) est appelée fonction

de lien canonique. Les fonctions de lien canonique des différentes distribution sont :

– Normale : Identité µij– Poisson : logarithme népérien ln(µij)

– Gamma :Inverse − 1

µij

– Binomiale : Logit ln(

µij1−µij

)



Estimation du modèle

Il s’agit de déterminer les estimateurs des paramètres µ, (αi) et (βj).

Sous l’hypothèse d’indépendance des Xij, le produit des densités de la distribution de

type exponentiel sélectionnée conduit à la fonction de vraisemblance : L[(xij)i+j≤n; ξ, (φ)]

associée aux observations du triangle supérieur et au paramètre ξ = [µ, (αi), (βj)].

Determiner les estimations revient à déterminer les paramètres qui maximise L[(xij)i+j≤n; ξ, (φ)].

En appliquant la condition du 1er ordre qui stipule d’annuler les dérivées partielles de

ln(L) par rapport aux paramètres de régression µ, (αi), (βj), nous obtenons le système

des équations suivantes dites de Wedderburn :

∀k ∈ {1, ..., 2n+ 1},n∑

i,j=1,i+j≤n

ωij(xij − µij)V (µij)

δµijδηij

η(k)ij = 0,

où η(k)ij est la dérivée partielle de ηij par rapport au kieme élément de la suite µ, (αi), (βj).

Notons que dans ce système, le paramètre φ n’apparaît pas.

Ce système n’est soluble que numériquement (par un algorithme standard de Newton-

Raphson par exemple) et sa résolution conduit à l’estimateur du maximum de vraisem-

blance : ξ = [µ, (αi), (βj)] de ξ = [µ, (αi), (βj)].

Sélection du modèle

La qualité de l’ajustement est évaluée à l’aide de la statistique du χ2 de Pearson.

Les résidus de Pearson sont définis comme :

r(p)ij =

xij − µij√V (µij)

Par sommation sur les cellules, on en déduit la statistique de pearson

χ2 =1

φ

∑i+j≤n

(r(p)ij )2

χ2 est asymptotiquement distribué selon une loi du chi-2, de paramètre :

p =(n+ 1)(n+ 2)

2− (2n+ 1)

Un estimateur de φ est :

φ =φχ2

p=

1

p

∑i+j≤n

(r(p)ij )2



Les résidus de Pearson doivent asymptotiquement suivre une loi N (0, φ).

Cas particulier du modèle de Renshaw et Verrall

Comme nous l’avons évoqué précédemment, le modèle de Renshaw et Verrall (1998)

est un cas particulier de modèle GLM. Il s’agit en fait d’un modèle "Log poisson" dans

lequel les composantes aléatoires suivent une loi de Poisson et où la fonction lien est lo-

garithmique g = ln.

Dans ce cas, nous avons : φ = 1, V (µi,j) = µij et ln(µij) = µ + αi + βj. Les mon-

tants de provisions estimés par ce modèle coïncident exactement avec ceux obtenus grâce

à la méthode Chain-Ladder standard dans un triangle de liquidation à incréments positifs.

Dans ce cas, la log-vraissemblance L a pour expression :

L[(xij)i+j≤n; ξ, (φ)] =1

φ

n∑i,j=1,i+j≤n

(xijln(µij)− µij) +n∑

i,j=1,i+j≤n

C(xij, φ). (3.1)

Dans la suite du raisonnement C(xij, φ) n’a pas d’importance car elle s’annule lors-

qu’on dérive la fonction.

ln(µij) = µ+ αi + βj alors 3.2 devient :

L[(xij)i+j≤n; ξ, (φ)] =1

φ

n∑i,j=1,i+j≤n

(xijlnµ+αi+βj−eµ+αi+βj)+n∑

i,j=1,i+j≤n

C(xij, φ). (3.2)

Pour déterminer nos 2n+ 1 paramètres, on dérive la log-vraisemblance par rapport à

µ, α1, . . . , αn, β1, . . . , βn, on obtient alors les équations :

∂L

∂µ=

n∑i,j=1,i+j≤n

(xij − eµ+αi+βj) = 0

...,

∂L

∂αk=

n−k∑j=1

(xkj − eµ+αk+βj) = 0 k=1,. . .,n

...

∂L

∂βk=

n−k∑i=1

(xik − eµ+αi+βk) = 0 k=1,. . .,n

Enfin, l’estimateur du maximum de vraissemblance de µij est µij = g−1(ηij) avec

ηij = µ+ αi + βj.


3.3. MODÈLES RÉCENTS 34

Une fois ces estimateurs obtenus, on peut calculer un estimateur Cin de la charge

ultime, on obtient donc ensuite une estimation des réserves :

∀i = 1, . . . , n, Cin = Ci,n−i+1 +n∑

k=n−i+2

eµ+αi+βj

3.3 Modèles récents

3.3.1 Modèles linéaires généralisés hiérarchiques (HGLM)

Motivations

Dans les modèles linéaires généralisés (GLM), les observations sont supposées indé-

pendantes les unes des autres (compte tenu des variables prédictives). Cependant il existe

des situations où ce type d’indépendance n’est pas valable, par exemple dans le cas où

les observations appartiennent à différents groupes et chaque groupe ayant ses propriétés

spécifiques, les GLM mixtes (GLMM) ont géré ce type de dépendance entre observations

en introduisant en plus des effets fixes usuels des effets aléatoires, ces derniers étant sup-

posés normalement distribués.

Le HGLM, introduit par Lee et Nelder (1996) est une extension du GLM et du GLMM

qui, en plus des effets fixes usuels, admet des effets aléatoires ne suivant pas seulement une

loi normale dans le prédicteur linéaire et introduisant ainsi une structure de dépendance

particulière entre les variables réponse.

Les modèles stochastiques de provisionnement classiques supposent l’indépendance

des incréments Xij. Puisque cette hypothèse n’est généralement pas vérifiée, l’approche

la plus naturelle est de supposer que les observations d’une même année d’origine sont

dépendantes. C’est à cet effet que l’utilisation des HGLMs pour le calcul des réserves a

été introduit par Gigante,P. Picech,L. Sigalotti,L. (2013)[6]

Les données sont agrégées dans un triangle de paiements comme décrit précédemment.

Composantes (variables et paramètres) du HGLM

Les composantes d’un HGLM sont les suivantes :

– Les variables réponse Xij, i, j = 0, ..., n sont des incréments ou paiements non cu-

mulés.

– Le paramètre de risque Ui, i = 0, ..., n relatif à l’année d’origine i. Ainsi U =

(U0, ...Un)t.



– yij le vecteur des covariables ou des valeurs explicatives du modèle. Ce vecteur inclut

tout paramètre qui affecte la distribution des variables réponse. Dans notre cas, il

s’agit des paramètres année d’origine, année calendaire et délai de règlement.

Les HGLM sont des modèles mixtes dans lesquels les variables réponse conditionnées

aux paramètres de risque ainsi que les paramètres de risque suivent des distributions de

la famille exponentielle.

Modèle linéaire généralisé hiérarchique conjugué (HGLMc)

Hypothèses du HGLMc

Les hypothèses du modèle sont les suivantes :

H1) Hypothèse d’indépendance

(U0, X00, ..., X0n),...,(Un, Xn0, ..., Xnn) sont indépendantes.

(Xij|U = u).= (Xij|Ui = ui) c’est à dire Xij est conditionnellement indépendant (Ui = ui

donné) du paramètre de risque relatif à une année d’origine différente de i.

Cette hypothèse stipule que : “Le paramètre ui décrit le risque qui caractérise l’année

d’origine i, les variables réponses des années d’origine différentes sont indépendantes. Ce-

pendant, dûs aux paramètres de risque, pour chaque année d’origine i les réponses Xij

pour des années de développement différentes, j = 0, ..., n ne sont pas indépendantes, ceci

peut être dû soit à une corrélation entre paiements pour une année d’origine fixée ou à

l’hétérogénéité résiduelle entre les observations de la même année d’origine.”

H2) Hypothèse de distribution pour la réponse conditionnée sur le paramètre de risque.

Xij|Ui = ui suit une distribution de la famille exponentielle

fXij |Ui=ui(x;ϑij, φ) = exp

{ωijφ

(xϑij − b(ϑij))}c(x, φ)

où ωij > 0 est un poids connu, ϑij est le paramètre canonique et φ est le paramètre de

dispersion.

L’espérance et la variance de Xij|Ui = ui sont données par :

E(Xij|Ui = ui) = b′(ϑij) = µij,

V ar(Xij|Ui = ui) =φ

ωijV (µij),

où V est la fonction variance définie par : V (µ) = b′′(b′−1(µ)) Cette hypothèse stipule

que : dans un HGLM, les réponses conditionnelles suivent un modèle linéaire généralisé,

avec fonction de lien canonique.



H3) Hypothèse de structure

µij = g−1(ytijβ + wi), avec wi = g(ui) et g = b′−1 (fonction de lien canonique).

Cette hypothèse stipule que : dans le prédicteur linéaire du HGLM, en plus du terme ytijβ

qui prend en compte les variables connues, nous avons le terme additif wi donné par la

valeur du paramètre de risque transformé via le lien canonique.

H4) Hypothèse de distribution pour le paramètre de risque.

Wi = b′−1(Ui) suit une distribution de la famille exponentielle conjuguée à celle de

Xij|Ui = ui,

fWi(w) = exp

{1

λi(ψiw − b(w))

}d(ψi, λi).

Cette hypothèse stipule que le paramètre de risque transformé suit une distribution conju-

guée à celle des réponses conditionnelles.

L’exemple ci-dessous donne quelques correspondances entre la loi exponentielle de la ré-

ponse conditionnelle et celle du paramètre de risque associé, cette seconde loi étant la

version conjuguée de la première.

Exemple 3.3.1. Les distributions normale, de poisson, binomiale et gamma ont respec-

tivement pour conjugués les distributions normale, gamma, beta et gamma inverse.

Notons que les paramètres de regression β sont appelés effets fixes, les composantes

wi, i = 0, ..., n sont appelées effets aléatoires, φ et λ = (λ0, ..., λn)t sont des paramètres de

dispersion.

Fonction de Vraisemblance

À des fins inférentielles dans les HGLMs, Lee et Nelder (1996) ont introduit la vrai-

semblance hiérarchique ou h-vraisemblance.

Définition 3.3.1. Soit X = (xij, i + j ≤ n)t les observations du triangle supérieure et

W = (W0, ...,Wn)t le vecteur risque.

1. La log-vraissemblance pour Y |U = u est définie par :

lY |W=w =∑

i,j:i+j≤n

ωijφ

[xijθij − b(θij)].

2. Le logarithme de la densité de W est lW =n∑i=0

1

λi[ψiwi − b(wi)].



3. La h-vraisemblance basée sur les observations du triangle supérieure X = (xij, i+j ≤n)t est le logarithme de la fonction de densité conjointe de X = (xij, i + j ≤ n)t et

W = (W0, ...,Wn)t définit par :

h ≡ logfX,W = lY |W=w + lW .

Dans le modèle spécifié, en ignorant le terme constant (impertinent) on a :

h(β, w;φ, λ;x, ψ, ω) =∑

i,j:i+j≤n

ωijφ

[xijθij − b(θij)] +n∑i=0

1

λi[ψiwi − b(wi)]. (3.3)

où

θij = yTijβ + ωi (3.4)

Si on pose ωi = φ/λi, alors l’expression (3.3) devient :

h(β, w;φ, λ;x, ψ, ω) =∑

i,j:i+j≤n

ωijφ


ωiφ

[ψiwi − b(wi)]. (3.5)

Estimations des paramètres

Si en plus du triangle des données x = (xiji+j ≤ n)t et du paramètre ψ, les paramètres

de dispersion φ et λ sont connus, les estimations des paramètres effets fixes et aléatoires β

et w sont obtenus par maximisation de la h-vraissemblance en résolvant :

∂h/∂β = 0

∂h/∂w = 0

Ces estimateurs sont appelés les estimateurs du maximum de la h-vraissemblance.

Les ψi, i = 0, ..., n étant supposés connus, la h-vraissemblance (3.5) peut être vue

comme la log-vraissemblance d’un GLM augmenté pour les données xij, i + j ≤ n et

pseudo-données ψi, i = 0, ..., n. On note par X ij, i + j ≤ n et Ψi, i = 0, ..., n les variables

réponses correspondantes.

Le GLM a la structure suivante :

– les variables réponse X i, i + j ≤ n et Ψi, i = 0, ..., n indépendantes suivent une

distribution de la famille exponentielle caractérisé par la fonction b ou de façon

équivalente par la fonction variance V avec paramètre de dispersion φ et les poids

ωij, i+ j ≤ n et ωi, i = 0, ..., n;

– les prédicteurs linéaires : ηij = ytijβ + wi, i+ j ≤ n et ηi = wi, i = 0, ..., n;

– la fonction de lien canonique g = b′−1. Les espérances et les variances des variables

réponse du GLM sont donnés par :

E(X ij) = b′(ytijβ + wi) = µij,



V ar(X ij) =φ

ωijV (µij) i+ j ≤ n

E(Ψi) = b′(wi) = ui

V ar(Ψi) =φ

ωiV (ui) = λiV (ui), i = 0, ..., n

La matrice de conception et les paramètres de regression sont :

T =

Y Z

0 In+1

(3.6)

δ = (βt, wt)t, où Y = (ytij) désigne la matrice de conception pour les effets fixes, In+1 la

matrice identité d’ordre n+ 1 et Z est la matrice de conception pour les effets aléatoires.

Ainsi les estimateurs des effets fixes et aléatoires dans le HGLM peuvent être obtenu

par estimation des paramètres de regression δ du GLM ci-dessus par la méthode itérative

des moindres carrés pondérés usuelle.

Propriétés des estimateurs

Dans des conditions appropriées, l’estimateur β des effets fixes est asymptotiquement

équivalent à celui obtenu à partir de la vraisemblance marginale et l’estimateur des effets

aléatoires ω est asymptotiquement le meilleur prédicteur non biaisé.

En outre, l’evaluation au point δ de l’inverse l−1 de la matrice d’information de Fisher du

GLM, est une estimation de la matrice de variance-covariance.

V ar

β

w −W

(3.7)

Modèles linéaires généralisés hierarchiques

Les HGLMs conjugués peuvent être étendus afin de permettre différentes combinai-

sons de distribution et fonctions de liaison pour les réponses conditionnelles Xij|U = u et

n’importe quelle distribution conjuguée de la famille exponentielle pour des paramètres

de risque transformés par n’importe quelle fonction de lien.

Toutes les hypothèses du HGLM sont conservées à l’exception des deux hypothèses

suivantes qui sont modifiées :

Dans l’hypothèse structurelle (H3) la fonction de lien g n’est pas nécessairement une

fonction de lien canonique. De plus, dans le prédicteur linéaire, l’effet aléatoire est donné



par wi = g1(ui) où g1 est une fonction strictement monotone.

L’hypothèse (H4), la distribution deWi = g1(Ui) peut être une conjuguée de la famille

exponentielle avec fonction de variance V1(µ) = b′′1(b′−11 (µ)) et des hyperperamètres ψi, λi.

Ainsi dans ce modèle, la h-vraissemblance de la Definition 3.3.1 devient :

h(β, w;φ, λ;x, ψ, ω) =∑

i,j:i+j≤n

ωijφ


1

λi[ψiwi − b(wi)], (3.8)

où θij = b′−1(g−1(ytijβ + wi)).

Cette h-vraissemblance est comme la vraissemblance d’un modèle de regression aug-

menté pour les variables réponse (X ij)i+j≤n et (Ψi)i=0,...,n avecE(X ij) = µij et V ar(X ij) =

φ

ωijV (uij) pour i+ j ≤ n

E(Ψi) = ui et V ar(Ψi) = λiV1(ui) =φ

ωiV1(ui) pour i = 0, ..., n.

et les prédicteurs linéaires

ηij = g(µij) = ytijβ + wi pour i+ j ≤ n

ηi = g1(ui) = wi pour i = 0, ..., n.

Comme pour l’estimation des paramètres du HGLM, lorsque les paramètres de dis-

persion (φ, λ) sont connus, l’estimateur de δ = (βt, wt)t peut être calculé par la méthode

itérative des moindres carrés pondérés.

L’étape de mise à jour de l’algorithme est :

T tWaTδ = T tWaZa

où T est donné en (3.6), Wa est une matrice diagonale à bloc où les deux blocs non

nuls sont :

W = diag

[ωij

φg′(µij)2V (µij)

]W1 = diag

[1

λig′1(µij)2V1(ui)

] et les variables dépendantes sont définies par

Za = (Zt, Zt1)t où les composantes de Z et Z1 sont respectivement,

Zij = ηij + g′(µij)(xij − µij), i+ j ≤ n et Z1,i = wi + g′1(ui)(ψi − ui), i = 1, ..., n.



3.3.2 Paid Incurred Chain reserving method (PIC)

Introduction

Introduite par Merz,M. Wüthrich,M.V. (2010)[17] cette méthode combine paiements et

charges pour provisionner. Elle est basée sur la combinaison du modèle de provisionnement

lognormal de Hertig [15] pour les paiements et du modèle bayesien de gogols pour les

charges.

L’idée est d’utiliser le modèle de Hertig pour la distribution de la charge ultime anté-

rieur necessaire dans le modèle de Gogol ce qui conduit à la PIC.

En utilisant les propriétés de base des distributions gaussiennes multivariées, on obtient

un modèle mathématique rigoureux et consistant pour la combinaison des deux canaux

d’informations : les paiements de sinistre et les charges de sinistre.

Ce modèle fournit une seule estimation de la provision (basée sur les deux canaux

d’informations), contrairement à celui de Munich chain Ladder. De plus il a l’avantage

que l’on peut mesurer l’incertitude de la prédiction.

Notations et hypothèses

Lorsque toutes les demandes sont réglées (à l’ultime) les paiements et charges doivent

avoir la même valeur.

On suppose que toutes les demandes sont réglés après J années de developpement. On

note par :

Pij le paiement cumulé de l’année d’origine i après j années de developpement.

Iij la charge sinistre de l’année d’origine i, vue en fin de jieme année.

De plus, on suppose à l’ultime Pij = Iij avec la probabilité 1.

Les paiements et les charges sont définies respectivement jusqu’à l’année j par :BPj = {Pil; 0 ≤ i ≤ J, 0 ≤ l ≤ j}BIj = {Iil; 0 ≤ i ≤ J, 0 ≤ l ≤ j}Bj = BPj ∪ BIj

Hypothèses du modèle

1) Conditionnellement, pour Θ = (φ0, ..., φJ , ψ0, ..., ψJ−1, σ0, ..., σJ , τ0, ..., τJ−1) on a :

– Le vecteur aléatoire (ξ00, ..., ξJJ , ζ00, ..., ζJ,J−1) a une distribution gaussienne mul-

tivariée avec des composantes non correlées données par ξij ∼ N (φj, σ2j ) pour

i ∈ {0, ..., J} et j ∈ {0, ..., J},ζkl ∼ N (ψl, τ

2l ) pour k ∈ {0, ..., J} et l ∈ {0, ..., J − 1}



– Les paiements cumulés sont donnés par la recursion Pi,j = Pi,j−1exp(ξi,j−1) avec

valeur initiale Pi,0 = exp{ξi0};– Les charges Iij sont donnés par la recursion arrière Ii,j−1 = Iijexp{−ζi,j−1} avec

valeur initiale IiJ = PiJ .

2) Les combinaisons de Θ sont indépendantes et σj, τj > 0 pour tout j.

Remarque: 3.3.1. – L’hypothèse IiJ = PiJ garantit que la charge ultime coïncide

pour le triangle des paiements et des charges. De plus, elle suppose

E(PiJ |Θ) = E(IiJ |Θ) = exp

{ J∑m=0

φm + σ2m/2

}.

– Les paiements cumulés Pij satisfont le modèle de Hertig conditionné sur les para-

mètres Θ et les charges Iij satisfont le modèle de Gogol avec moyenne de la charge

ultime antérieure E[Pij|Θ]

– On suppose l’indépendance conditionnelle entre tous les ξij et les ζkl. Cette hypo-

thèse peut être remise en cause car Quarg et Mack (2004)[19] ont trouvé une forte

corrélation entre les ratios incurred-paid

– Le modèle PIC lognormal a l’avantage que les distributions conditionnés des Pij, Θ,

Bj, Bpj ou BIj donnés peuvent être calculées explicitement. Une autre hypothèse de

distribution ne permettrait que des solutions numériques.

Modèle

1. Paiements cumulés.

Pour Θ donné, les paiements cumulés Pij satisfont les hypothèses suivantes du mo-

dèle log-normal de Hertig :

Conditionnellement sur Θ, pour j ≥ 0,

logPijPi,j−1

∣∣{Bpj−1}

∼ N (φj, σ2j )

où Pi,−1 = −1 : ceci est la propriété du modèle Chain Ladder (voir [17]).

Ainsi les paiements cumulés moyens sachant Bpj sont :

E[Pij|Bpj ,Θ] = Pi,j−1exp{φj + σ2j/2}.

Pour {Bpj ,Θ} donné, à l’ultime

E[PiJ |Bpj ,Θ] = Pijexp{J∑

l=j+1

φl + σ2l /2}.



2. Charge de sinistre

Les propriétés du modèle sur les charges Iij sont dans l’esprit du modèle de Gogol

qui stipule que : étant donné Θ, les charges ultimes IiJ = PiJ ont une distribution

lognormale et conditionnellement les charges de sinistres Iij ont aussi une distribu-

tion lognormale. Ceci permet alors l’inférence bayésienne sur les Iij.

Le lemme clé est la propriété suivante bien connue pour des distributions gaussiennes

multivariées.

Lemme 3.3.1. On suppose que (X1, ..., Xn)′ suit une distribution gaussienne mul-

tivariée de moyenne (m1, ..,mn) et de matrice de covariance définie positive Σ.

La distribution conditionnelle est donnée par :

X1|{X2,...,Xn} ∼ N (m1 + Σ1,2Σ−122 (X(2))−m(2),Σ1,1 − Σ1,2Σ−1

22 Σ2,1)

où X(2) = (X2, ..., Xn)′ est gaussienne multivariée de moyenne m(2) = (m2, ...,mn)′

et de matrice de covariance définie positive Σ1,2, Σ1,1 est la variance de X1 et Σ1,2 =

Σ′2,1 est le vecteur de covariance entre X1 et X(2)

Ce lemme conduit à la Proprosition suivante (preuve [17]) :

Proposition 3.3.1. Sous les hypothèses du modèle, on obtient pour

0 ≤ j < j + l ≤ J

logIi,j+l|{BIj ,Θ} ∼ N (µj+l +v2j+l

v2j

(logIij − µj), v2j+l(1− v2

j+l/v2j )),

où les paramètres sont donnés par :

µj =

J∑m=0

φm −J−1∑n=j

ψn

v2j =

J∑m=0

σ2m +

J−1∑n=j

τ 2n

.

Notons que le résultat précédent stipule µj =J∑

m=0

φm et v2j =

J∑m=0

σ2m.

Avec la propriété de Markov, nous obtenons le corollaire suivant.

Corollaire 3.3.1. Sous les hypothèses du modèle nous obtenons pour l’espérance de

la charge ultime Iij. Etant donné {BIj ,Θ}

E[Iij|BIj ,Θ] = I1−αjij exp

{(1− αj)

J−1∑l=j

ψl + αj(µj + v2j )/2

}

= Iijexp

{ J−1∑l=j

ψl + τ 2l /2

}× exp

{αj(µj − logIij −

J−1∑l=j

τ 2l /2

},



avec les poids de crédibilité

αj = 1− v2J

v2j

=1

v2j

J−1∑l=j

τ 2l |2.

3. Paiements cumulés et charges de sinistre.

La prévision de la charge ultime s’obtient à travers les deux résultats suivants.

Le Théorème suivant énonce, par application du modèle PIC, la loi de la charge ultime.

Les paramètres θ du modèle sont supposés connus.

Théorème 3.1. Sous les hypothèses du modèle, la loi de la charge ultime PiJ = IiJ est

définie par : {Bj,Θ}, 0 ≤ j < J,

logPiJ |{Bj ,Θ} ∼ N (µj + (1− βj)(logPij − ηj) + βj(logIij − µj), (1− βj)(v2j − ω2

j )),

où les paramètres sont donnés par : ηj =∑J

m=0 φm et ω2j =

∑jm=0 σ

2m, et les poids de

crédibilité sont donnés par :

βj =v2J − ω2

j

v2j − ω2

j

> 0.

Le Corollaire suivant propose l’évaluation de la charge ultime esperée.

Corollaire 3.3.2. (Prédiction par la PIC de la charge ultime) : Sous les hypothèses du

modèle, on obtient pour la charge ultime esperée IiJ = PiJ sachant {Bj,Θ} :

E[PiJ |Bj,Θ] = Pijexp

{∑Jl=j+1 φl +

σ2l

2

}× exp

{βj

(IijPij− (ηj − µj) +

∑Jl=j+1

σ2l

2

)}= Iijexp

{∑J−1l=j ψl

}× exp

{(1− βj)

(PijIij− (µj − ηj)−

∑Jl=j+1

σ2l

2

)}= exp

{(1− βj)(logPij +

∑Jl=j+1 φl) + βj(logIij +

∑J−1l=j ψl)

}× exp{(1− βj)(v2

j − w2j )/2}.

Estimation des paramètres

Toutes les considérations faites plus haut supposent les paramètres Θ connus, ce-

pendant en général, ils sont inconnus et doivent être estimés à partir des observations

DPJ = {Pij : i+ j ≤ J}, DI

J = {Pij : i+ j ≤ J}, DJ = DPJ ∪DI

J .

Dans une approche Bayésienne complète on choisit une distribution antérieure appro-

priée pour le vecteur de paramètres Θ.

Pour des observations DJ données,

Θ|{DJ} ∼ N (Θpost(Dj),Σpost(DJ))



où la moyenne postérieure Θpost(DJ) et la matrice de covariance postérieure Σpost(DJ)

peuvent être calculées analytiquement (inférence bayésienne sur les paramètres Θ.)

Le prédicteur du PIC de PiJ est la moyenne pondérée de crédibilité

E[PiJ |DJ ] = exp{(1− βJ−i)logPi,J−i + βJ−i)logIi,J−i}

× exp{(1− βJ−i)J∑

l=J−i+1

φpostl + βJ−i

J∑l=J−i+1

ψpostl }

× exp{(1− βJ−i)J∑

m=J−i+1

σ2m

2 m+e′iΣ

post(Dj)ei2

},

avec les poids de crédibilité (σm pour les paiements et τn pour les charges)

βj =

∑Jm=j+1 σ

2m∑J

m=j+1 σ2m +

∑Jn=j+1 τ

2n

ei = (0, . . . , 0, 1− βJ−i, . . . , 1− βJ−i, 0, . . . , 0, βJ−i, . . . , βJ−i)′ ∈ R2J+1.


? ? Chapitre Quatre ? ?

Evaluation du risque de

provisionnement

4.1 Generalités sur le risque

La source du risque de provisionnement est l’incertitude liée à l’estimation des provi-

sions. Les facteurs de cette incertitude sont associés à trois types de risques : le risque de

volatilité, le risque d’incertitude et les évènements extrêmes.

4.1.1 Risque de volatilité

Le risque de volatilité est associé aux fluctuations aléatoires de la fréquence ou de la

valeur d’un évènement. Il est considéré comme diversifiable car la loi des grands nombres

assure la baisse de la volatilité du montant moyen de sinistres lorsque le nombre de risques

assurés identiques et indépendants augmente.

4.1.2 Risque d’incertitude

Le risque d’incertitude correspond au risque d’une mauvaise spécification de la modé-

lisation de la sinistralité ou d’une estimation erronée des paramètres. Il n’est donc pas un

risque diversifiable car il ne peut être réduit par l’augmentation de la taille du portefeuille.

• Risque de paramètres

L’estimation des provisions, basée sur l’extrapolation des prestations futures à partir

des observations passées, est exposée à un risque d’échantillon car les historiques de

prestations disponibles étant courts contraignent à estimer leurs paramètres à partir

d’un faible nombre d’observations. De façon générale, les branches sont d’autant plus

exposées au risque qu’elles sont volatiles en nombre et en montant de prestations.

Dans le cas des méthodes par facteurs, le risque est important dans le calcul des

45

4.2. MESURES DE RISQUE : DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS 46

coefficients de passage des dernières années, basé sur peu de données.

• Risque de modèle

La capacité du modèle à estimer les prestations futures repose en fait sur le respect de

deux hypothèses implicites. Tout d’abord, on suppose que le passé est correctement

modélisé : les variables explicatives de la formation des prestations sont pertinentes

et exhaustives et la structure du modèle bien spécifiée. Ensuite, en supposant que les

caractéristiques des prestations futures de sinistres resteront conformes au modèle,

on postule également l’absence de changements fondamentaux ou changements de

régime dans la formation des prestations. Dans la pratique, des décisions réglemen-

taires ou judiciaires influent sur le niveau moyen des prestations, des changements

dans la procédure interne de gestion des sinistres ou dans la nomenclature des pro-

duits, la révision de contrats de réassurance sont autant de causes susceptibles de

rendre caduque la cadence des paiements utilisée dans la projection des prestations

futures. Ces facteurs d’incertitude peuvent conduire à des changements gradués ou

brutaux des paramètres réels du modèle de provisionnement. Citons par exemple,

lorsque les résidus présentent une hausse soudaine ou suivent une tendance régu-

lière, dans l’analyse des résidus définis par la différence entre les prestations payées

et celles estimées par le modèle, alors il y’a lieu de suspecter l’existence d’un chan-

gement de régime.

4.1.3 Evènements extrêmes

Ils sont caractérisés par une faible fréquence et un impact important. Du fait de leur

rareté, leur occurrence ne peut être prédite à partir de l’extrapolation d’évènements plus

communs. Il est difficile de leur attribuer un montant de perte probable et par extension

de capital requis.

4.2 Mesures de risque : Définitions et propriétés

Le but de la mesure de risque est généralement de pouvoir représenter par un chiffre

réel une incertitude ou une grandeur dont la valeur est inconnue, à l’aide d’un étalon de

mesure adéquat, de manière à pouvoir exprimer l’exposition au risque de cette grandeur.

Une mesure de risque est une fonction notée ρ qui associe à une variable aléatoire X,

modélisant dans ce cas une perte, un réel ρ(X).

Une mesure de risque est dite cohérente si elle vérifie les conditions suivantes :


4.2. MESURES DE RISQUE : DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS 47

– Invariance par translation : ∀X, ∀c ∈ R, ρ(X + c) = ρ(X) + c.

– Sous additivité : ∀X, Y, ρ(X + Y ) ≤ ρ(X) + ρ(Y ).

– Homogénéité positive : ∀X, ∀λ ≥ 0, ρ(λX) = λρ(X).

– Monotonie : ∀(X, Y ), X ≤ Y ⇒ ρ(X) ≤ ρ(Y ).

4.2.1 VaR

La Valuation du risque ou "value-at-risk" en anglais au seuil α ∈ [0, 1] de la variable

X est le quantile d’ordre α :

V aR(X,α) = F−1X (α)

Bien que très utilisée dans la pratique, la VaR présente quelques inconvénients majeurs :

– Elle ne vérifie pas la propriété de sous additivité, elle n’est donc pas une mesure de

risque cohérente. Cet aspect est particulièment gênant en assurance car les assureurs

travaillent sur plusieurs branches bénéficiant ainsi d’un effet de diversification dont

la VaR n’est pas capable de rendre compte

– Elle donne le niveau de provision nécessaire pour couvrir toute la sinistralité infé-

rieure au quantile α, mais elle ne fournit aucune information sur la réalisation de la

variable au delà de ce seuil.

Les critiques précédentes nous amènent à présenter une autre mesure de risque utilisée

en assurance et qui présente l’intérêt d’être cohérente et de fournir une information sur

la distribution au delà du seuil α choisie

4.2.2 La TVaR

La TVaR ou tail value-at-risk se définit par :

∀α ∈ [0, 1], TV aR(X,α) =1

1− α×∫ 1

α

V aR(X, q)dq.

La TVaR est la moyenne des VaR de niveau de confiance supérieur ou égal à α. Pour des

distributions continues nous obtenons :

TV aR = E[X|X > V aR(X,α)]

Autrement dit, il s’agit de la traduction mathématique du concept de "perte moyenne

dans les pires (1− α)% des cas".

Au même niveau de sécurité, la TVaR est un étalon de mesure de risque plus pru-

dent que la VaR. Dans la réalité, une distribution des dommages présentera certainement


4.3. MESURES DE L’INCERTITUDE 48

quelques pertes extrêmement élevées mais dont la probabilité est très faible. Pour ces cas,

la TVaR est plus appropriée que la VaR car elle intègre aussi l’ampleur de ces pertes

extrêmes. Contrairement à la VaR, la TVaR quantifie le coût moyen de l’un des 100.α%

pires événements. En pratique, on constate que la TVaR est plus stable que la VaR. Mal-

gré tous les avantages de la TVaR par rapport à la VaR, la mesure de risque utilisée pour

déterminer le capital de solvabilité requis en pratique est la VaR.

4.3 Mesures de l’incertitude

Il existe plusieurs approches concernant la mesure de l’incertitude liée au provisionne-

ment : l’approche à long terme ou à l’ultime introduite par Mack (1993) [13], l’approche

à très court terme ou à un an introduite par Merz et Wüthrich (2008) [15] et l’approche

puriannuelle introduite par Diers et Linde (2013) [4].

Pour présenter ces trois approches de mesure d’incertitude, nous introduisons deux en-

sembles d’information qui nous seront utiles tout au long de cette partie : DI = {Cij|i ≤I, i+ j ≤ I} les paiements disponibles à la date t = I, et DI+1 = {Cij|i ≤ I, i+ j ≤ I+ 1}les paiements disponibles à la date t = I + 1.

4.3.1 Mesure de l’incertitude à l’ultime

Ce modèle prédit la variabilité de la charge totale en se basant simplement sur sa

valeur à l’ultime. Il a l’avantage de permettre d’obtenir un intervalle de confiance pour

le montant des paiements futurs et ainsi, de calculer une provision permettant d’avoir

suffisamment de fonds pour indemniser les assurés dans 99% des cas par exemple. Plus

formellement, nous avons la définition suivante :

Définition 4.3.1. L’incertitude à l’ultime est l’erreur de prédiction de la charge totale

définie par :

MSE(Ri) = E[(Ri −Ri)2|DI ]. (4.1)

La Proposition suivante justifie que l’incertitude à l’ultime MSE(Ri) est la somme

des deux erreurs suivantes :

– l’erreur de modélisation V ar(Ci,J |DI) qui mesure la variabilité interne du modèle, en

effet Ci,J étant une variable aléatoire, il en resulte forcément une certaine variabilité,

ce terme permet donc de mesurer l’écart à la moyenne de cette variable



– l’erreur d’estimation (E[Ci,J |DI ] − C2i,J)2 qui reflète l’incertitude dans l’estimation

des paramètres.

Proposition 4.3.1.

MSE(Ri) = V ar(Ci,J |DI) + (E[Ci,J |DI ]− C2i,J)2.

Preuve : Comme Ri − Ri = CiJ − Ci,I−i − (CiJ − Ci,I−i) = CiJ − CiJ , alors (4.1)

D’où, MSE(Ri) = E[(Ci,J − Ci,J)2|DI ] = MSE(CiJ).

Mais, MSE(CiJ) = E[(Ci,J − CiJ)2|DI ] = E[C2i,J − 2CiJCi,J + C2

iJ |DI ] = E[C2i,J |DI ]−

2CiJE[Ci,J |DI ] + E[C2i,J |DI ] + E[Ci,J |DI ]2 − E[Ci,J |DI ]2 = V ar(Ci,J |DI) + (E[Ci,J |DI ]−

C2i,J)2. 2

Cet indicateur nous donne l’erreur commise sur le calcul de la reserve totale estimée.

Plus cet indicateur est élevé, moins le modèle est adéquat pour évaluer les provisions du

triangle, le but est donc de minimiser cette erreur.

4.3.2 Mesure de l’incertitude à un an

L’incertitude à un an prédit la variation de la charge ultime à un an, c-à-d, la diffé-

rence entre la valeur de la charge ultime calculée en date t + 1 et sa valeur calculée en

date t. En provisionnement, tous les ans, une nouvelle diagonale se rajoute dans le tri-

angle, correspondant au montant des paiements effectués durant cette nouvelle année. Il

convient alors de mettre à jour la prédiction de coûts de sinistres à payer. Si l’estimation

de la charge ultime est revue à la hausse, l’assureur annonce des malis (les provisions

initialement constituées se sont avérées insuffisantes) tandis qu’il annoncera des bonis s’il

revoit l’estimation à la baisse. C’est précisément cette variation dans les prédictions de

la charge ultime (ou best estimate) entre deux exercices qu’il conviendra de couvrir par

une provision pour incertitude. Contrairement à l’approche à l’ultime qui quantifie l’in-

certitude associée à l’estimation de la charge ultime, cette approche quantifie l’incertitude

associée au montant de boni ou de mali ou la variabilité entre la charge ultime calculée

cette année et celle de l’année prochaine.

Plus formellement, la différence des estimations faites entre l’année calendaire I et

l’année calendaire I + 1, appelée Claim Development Result (CDR), est la quantité :

CDRi(I + 1) = E[CiJ |DI ]− E[CiJ |DI+1].



Elle est dite CDR réelle et est estimée par la CDR observable

CDRi(I + 1) = CIiJ − CI+1

iJ

où CIiJ et CI+1

iJ correspondent respectivement à l’estimation du règlement cumulé final

faite en fin d’année calendaire I et celle faite en fin d’année I + 1.

La volatilité à un an est l’erreur standard de la variable aléatoire CDRi(I + 1).

Cette méthode de calcul de l’incertitude est préconisée par la nouvelle norme de solva-

bilité européenne qui impose l’immobilisation d’un montant de capital minimal assurant

le financement de ses engagements dans les cas où les ressources primaires constituées des

primes, des provisions et des revenus financiers ne suffisent pas à honorer les engagements

contractés auprès des assurés. Ce montant est équivalent à une VaR(99,5%) : c’est la

valeur permettant de couvrir 99,5% des réalisations de la sinistralité.

Mais plus récemment, une approche puriannuelle a été introduite par Dorothéa Diers

et Marc Linde [2013]. Ici les années calendaires futures sont prises en compte afin de

répondre aux questions de gestion telles que "À combien d’années de charges globales

élevées ou de paiements défavorables des sinistres pouvons-nous résister à un certain

niveau de confiance sans avoir besoin de capitaux extérieurs ?" ou "Combien de capital

risque avons-nous besoin pour survivre les cinq prochaines années sans apport de capitaux

extérieurs" ?

4.3.3 Mesure de l’incertitude pluriannuelle

On suppose que tous les sinistres sont réglés après n années de developpement et

Cin = Ui est le montant de la charge ultime. À la fin de la période T = n, un triangle

Dn = {Cik, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ n + 1 − i} des paiements observés jusqu’à T = n est

disponible.

Notons m ∈ N le nombre d’années calendaires futures. Pour une année de survenance

arbitraire i ∈ {2, . . . , n+m} et j ∈ {n−i+2, . . . , n}, les paiements futurs sont Xij, j ∈{n − i + 2, . . . , n}. La provision estimée est notée Rn

i et la charge ultime estimée Uni où

Uni = Ci,n+1−i + Rn

i . L’indice supérieure n indique que ces estimateurs sont basés sur le

triangle des données Dn.Les nouveaux paiements observés dans les années calendaires [n + 1, . . . , n + m], à la

fin de la période T = n+m sont agrégés dans le triangle

Dn+m = {Cik, 1 ≤ i ≤ n+m, 1 ≤ k ≤ min(n+ 1 +m− i, n)}



Seuls les paiements futures Xij, j ∈ {n+ 2 +m− i, . . . , n} restent inconnus. On suppose

que la méthode de provisionnement utilisée initialement à T = n est re-appliquée aux

triangles de règlement Dn+m pour obtenir un nouveau best-estimate des reserves R(n+m)i

et donc une mise à jour de l’évaluation des charges ultimes. Un+mi = Ci,n+1+m−i + R

(n+m)i .

Pour m années calendaires d’informations supplémentaires, l’extension de l’approche

de Merz et Wüthrich (2008) mesurant la différence entre l’évaluation ultime initiale Uni à

T = n et l’évaluation mise à jour U (n+1)i est donnée par la définition suivante.

Définition 4.3.2. Le CDR pluriannuel pour une seule année de survenance i est définit

comme :

CDR(n→n+m)

i = U(n)i − U

(n+m)i = R

(n)i − (

∑min(m,i−1)i=1 Xi,n+1+t−i)− R(n+m)

i .

D’après la structure du modèle le règlement final de l’année de survenance i est atteint

à la période m = i− 1. Ainsi il n’ya pas de fermeture du best-estimate de reserve à la fin

de la période T = n+ i− 1.

CDR(n→n+i−1)

i = R(n)i −

∑i−1t=1Xi,n+1+t−i, est appelée CDR ultime définie dans l’approche

ultime classique. Cela justifie l’approche pluriannuelle comme le lien manquant entre les

perspectives à un an et à l’ultime.


? ? Chapitre Cinq ? ?

Applications

5.1 Présentation des données et analyse descriptive

5.1.1 Description et prétaitement de la base de sinistres

Description

La base sinistre étudiée comporte 24 565 dossiers survenus entre 2000 et 2012 pour 18

312 136 911 FCFA de règlements cumulés (net de recours, ceux-ci représentant moins de

3% des règlements), 8 460 449 754 FCFA de provisions constituées par les gestionnaires,

soit une charge de 26 772 586 665 FCFA à fin 2012. Les détails sont récapitulés dans le

tableau 5.1.

Clos Ouverts Total

Nombres de dossiers 19 144 5 421 24 565

Règlements cumulés 15 918 372 292 2 393 764 619 18 312 136 911

Provisions 0 8 460 449 754 8 460 449 754

Charges 15 918 372 292 10 854 214 373 26 772 586 665

Table 5.1 – Détails de la base de sinistres

La base comprend pour chaque sinistre :

– un numéro de sinistre ou de dossier, la date de situation ou d’évaluation, la police,

le nom, la catégorie

– la date de survenance

– la date de déclaration ou de notification du sinistre à l’assureur

– la date d’ouverture

– la date de réouverture le cas échéant : la réouverture concerne généralement peu de

cas, ils peuvent être plus fréquents pour des dommages corporels, car des aggrava-

tions médicales peuvent survenir très tardivement.

52

5.1. PRÉSENTATION DES DONNÉES ET ANALYSE DESCRIPTIVE 53

– le montant des frais évalués par date de situation

– les paiements cumulés par date de situation

– les provisions dossier-dossier constituées par date de situation

– les recours encaissés : L’assureur dispose après avoir réglé son client du droit à

récupérer auprès des tiers responsables les sommes versées. Dans le cas où l’assureur

ne peut pas mener une action contre le tiers responsable, une action contre l’assureur

de ce dernier reste généralement possible.

– la date de clôture du sinistre le cas échéant : la clôture intervient lorsque les règle-

ments de la victime et des tiers-payeurs sont effectués.

Prétaitements effectués

La base de sinistres initiale comprend une ligne par date de situation et par sinistre,

nous avons procédé à une agrégation des données afin de passer à une ligne par sinistre

résumant sa vie au cours des années de développement. La nouvelle base contient l’évo-

lution de la charge et les paiements effectués des sinistres de leur notification à l’assureur

à la clôture.

5.1.2 Statistiques descriptives

Répartition des sinistres par année

La représentation du nombre de sinistres de la base en fonction de leur année de

survenance est illustrée dans La figure 5.1.

Figure 5.1 – Répartition des sinistres par exercice



Clôture

La figure 5.2 présente la durée moyenne de traitement des dossiers par année de clôture.

Figure 5.2 – Durée de traitement des sinistres

La durée moyenne de traitement des dossiers en fonction de l’année de clôture aug-

mente parallèlement à l’ancienneté de l’entreprise, mais la moyenne est très élevée et donc

contraire aux directives de la CIMA. Cette tendance ne devrait pas se poursuivre suite

aux contrôles de la CIMA.

Règlements moyens par exercice

la figure 5.3 présente les règlements moyens en fonction de l’année d’exercice.

Figure 5.3 – Règlements moyens par exercice



Les règlements varie entre 1 200 000 FCFA et 2 100 000 FCFA avec des baisses légères

en 2003, 2007, et au cour de la période 2009-2011. Ceci traduit une constance dans la

gestion des sinistres.

Charges finales par exercice

La figure 5.4 présente la charge moyenne par année de clôture.

Figure 5.4 – Charge moyenne à la clôture par exercice

La charge moyenne à la cloture ne présente aucune tendance manifeste.

Dans la suite de ce chapitre, nous appliquons toutes les méthodes de provisionnement à

l’exception des méthodes déterministes à Loss ratios et des modèles stochastiques récents

au portefeuille. Nous segmentons ensuite le portefeuille en trois : Auto & Multi Risques

Habitation (MRH), Responsabilité Civile (RC) et les autres risques. Nous appliquons ces

méthodes à chacun des trois segments et nous comparons les valeurs estimées à celles

obtenues du portefeuille global.

Les montants sont libellés en milliers de FCFA. Les simulations sont faites à l’aide du

logiciel R.


5.2. APPLICATIONS AU PORTEFEUILLE 56

5.2 Applications au portefeuille

5.2.1 Méthode Chain Ladder standard

Estimations

Les facteurs de développement obtenus en appliquant le modèle au triangle des règle-

ments sont récapitulés dans la Table 5.2.

Délai fj Délai fj Délai fj

0-1 2.447 4-5 1.032 8-9 1.013

1-2 1.235 5-6 1.020 9-10 1.012

2-3 1.078 6-7 1.012 10-11 1.003

3-4 1.048 7-8 1.013 11-12 1.002

Table 5.2 – Facteurs de développement Chain Ladder - triangle des règlements



La méthode chain ladder standard est appliquée aux triangles des règlements et de

charges. Les résultats sont consignés dans la Table 5.3 :

Règlements Charges

Année Payé en 2012 Ultime Provision Ultime Provision

2000 1 374 718 1 374 718.0 - 1 407 036 32 318.00

2001 1 180 029 1 182 427.0 2 398.024 1 258 834 78 805.40

2002 1 504 107 1 511 364.3 7 257.343 1 559 510 55 402.95

2003 916 822 932 444.1 15 622.067 1 035 761 118 938.86

2004 1 719 226 1 770 945.2 51 719.248 1 608 729 -110 497.06

2005 1 832 620 1 911 903.8 79 283.841 1 803 409 -29 210.73

2006 1 372 290 1 448 614.7 76 324.666 1 384 511 12 220.77

2007 2 195 491 2 363 107.1 167 616.080 2 047 576 -147 914.83

2008 1 766 252 1 961 827.6 195 575.608 1 719 260 -46 991.98

2009 2 390 508 2 782 772.1 392 264.008 2 164 230 -226 278.01

2010 1 035 923 1 300 466.2 264 543.161 1 528 467 492 543.79

2011 805 987 1 249 645.2 443 658.189 1 487 897 681 910.13

2012 606 684 2 301 291.4 1 694 807.369 1 894 239 1 287 754.58

Total 18 700 457 22 091 527 3 391 070 20 899 459 2 199 002

Table 5.3 – Résutats obtenus par la méthode Chain ladder standard

Selon cette méthode, le montant des provisions techniques est de 3.391 milliards de

FCFA pour le triangle des règlements et de 2.199 milliards pour le triangle des charges.

L’explication des résultats paradoxaux issus du triangle des charges réside dans la forte

dégradation de la charge à l’ultime. Les charges sinistres sont la somme des paiements et

des provisions dossier-dossier constituées par les gestionnaires, donc un changement dans

la gestion des sinistres affecterait inévitablement ces montants.

Vérification graphique des hypothèses du modèle

Pour que l’hypothèse du modèle soit vérifiée, il faut que pour toute année de deve-

loppement j fixé, les représentations de Ci,j+1 en fonction de Cij s’alignent sur une droite

passant par l’origine de pente fj. Dans notre cas, pour j ∈ {1, 2}, nous obtenons les

graphiques de la figure 5.5 :



Figure 5.5 – Vérification de l’hypothèse de linéarité

De ces graphiques, on relève deux insuffisances : les points sont dispersés autour de

la droite de regression et les droites de regression ne passent pas par l’origine, donc la

méthode Chain Ladder n’est pas appropriée. Pour lever la seconde insuffisance, nous

appliquons la méthode London Chain qui suppose elle aussi un alignement des points sur

une même droite mais relâche l’hypothèse d’alignement avec l’origine.

5.2.2 Méthode London Chain

La Table 5.4 donne les valeurs estimées des paramètres de la méthode London Chain.

Délai αj aj Délai αj aj Délai αj aj

0 1.802 280 543.87 4 1.067 49 564.74 8 0.949 76 867.25

1 1.086 162 025.22 5 1.008 15 931.34 9 1.084 -96 240.46

2 0.988 124 118.89 6 1.008 4 675.86 10 1.019 -21228.08

3 1.027 28 518.12 7 0.996 21 742.63 11 1.002 0.00

Table 5.4 – Valeurs estimées des paramètres de la méthode London Chain.

De ces paramètres, nous déduisons les valeurs estimées des charges ultimes et provisions

consignées dans la Table 5.5.



Règlements Charges

Année Payé en 2012 Ultime Provision Ultime Provision

2000 1 374 718 1 374 718.0 - 1 407 036.0 32 318.00

2001 1 180 029 1 182 427.0 2 398.024 1 258 834.4 78 805.40

2002 1 504 107 1 515 237.2 11 130.229 1 659 826.4 155 719.40

2003 916 822 895 968.2 -20 853.781 899 881.5 -16 940.46

2004 1 719 226 1 773 743.6 54 517.587 1 757 716.4 38 490.42

2005 1 832 620 1 908 252.8 75 632.803 2 103 809.8 271 189.79

2006 1 372 290 1 443 039.7 70 749.719 1 416 496.2 44 206.18

2007 2 195 491 2 347 579.8 152 088.849 2 527 067.3 361 576.35

2008 1 766 252 1 964 171.6 197 919.573 2 023 019.4 256 767.42

2009 2 390 508 2 782 199.7 389 691.683 2 908 165.9 517 657.89

2010 1 035 923 1 329 418.9 293 495.881 1 666 396.9 630 473.42

2011 805 987 1 331 051.9 525 064.907 1 619 961.8 813 974.75

2012 606 684 2 041 672.5 1 435 188.455 2 119 602.1 1 513 118.12

Total 18 700 457 21 887 481 3 187.024 23 397 814 4 697 357

Table 5.5 – Resultats obtenus par la méthode London Chain

Le montant des réserves obtenu par la méthode London Chain est de 3.187 milliards

de FCFA pour le triangle des règlements cumulés soit un montant de réserves inférieur à

celui obtenu par la méthode de référence Chain ladder. L’écart relatif s’élève à 4%.

5.2.3 Méthode Chain Ladder pondérée

Nous appliquons la méthode Chain Ladder pondérée, en choisissant les pondérations

wij = 1, wij = i+ j + 1, et wij = (i+ j + 1)2. Les provisions obtenus sont consignés dans

la Table 5.6



wij = 1 wij = i+ j + 1 wij = (i+ j + 1)2

Année Règlements Charges Règlements Charges Règlements Charges

2000 0 32 318.00 0 32 318.00 - 32 318.00

2001 2 398.024 78 805.398 2 398.024 78 805.398 2 398.024 78 805.398

2002 7 119.02 54 376.264 7 037.713 53 217.784 6 956.713 52 063.676

2003 14 949.105 118 193.561 15 030.014 117 307.669 15 133.692 116 435.275

2004 54 915.916 -133 652.370 57 224.847 -116 655.677 59 688.628 -119 738.163

2005 84 488.144 -35 219.660 86 904.102 -39 030.719 89 464.855 -42 734.730

2006 80 803.210 9 232.098 82664.981 8 675.793 84 736.272 8 248.576

2007 175 456.103 -155 855.762 181 267.780 -161 612.65 187 669.791 -167 423.051

2008 198 918.459 -57 564.468 206 587.847 -55 712.907 216 122.418 -53 686.299

2009 399 557.800 -241 364.312 411 272.279 -232 380.733 428 287.927 -224 438.356

2010 283 188.295 484 634.431 266 071.600 487 609.882 263 659.429 489 961.125

2011 477 472.848 682 399.796 462 680.596 713 915.933 461 062.506 726 568.328

2012 1 878 361.24 1 310 226.8 1 824 634.3 1 283 933.2 1 796 767.21 1 234 905.74

Total 3 657 628 2 166 530 3 603 774 2 170 451 3 611 947 2 131 278

Table 5.6 – Provisions estimés par Chain ladder ponderée

Notons que wij = i + j + 1 est une pondération par année calendaire, et fait jouer

un rôle marqué aux années récentes relativement aux plus anciennes. La pondération

wij = (i+ j + 1)2 accentue cet effet (voir [19] p41).

Les résultats obtenus sont très proches ce qui confirme la constance des règlements.

5.2.4 Méthode des moindres carrés de DeVylder

La Table 5.7 présente aux colonnes 2 et 3 les paramètres estimés de la méthode de

DeVylder et à la dernière colonne les provisions déduites.



i xi yi Ri

0 1 196 010.1 0.262 -

1 1 094 164.0 0.390 1 452 088.611

2 1 504 918.2 0.150 683 863.673

3 922 189.1 0.056 364 034.646

4 2 031 991.9 0.040 261 938.856

5 1 815 758.3 0.031 203 285.671

6 1 362 905.1 0.018 137 889.565

7 2 457 157.5 0.011 102 235.429

8 2 049 410.6 0.011 69 771.141

9 2 698 959.6 0.011 53 516.537

10 1 204 231.7 0.014 38 195.277

11 1 250 229.9 0.003 10 237.144

12 2 315 487.8 0002 5 399.532

Total 3 382 456

Table 5.7 – Résultats obtenus par la méthode de De Vylder

Le montant estimé des réserves est de 3.382 milliards de FCFA soit un écart relatif de

1.9% par rapport à la méthode Chain Ladder.

5.2.5 Le modèle de Mack

Estimation

La méthode de Mack est appliquée au triangle des règlements. Les résultats obtenus

sont consignés dans la Table 5.8.



Table 5.8 – Résultats obtenus par la méthode de Mack pour le triangle des règlements

Avec cette méthode, on retrouve l’estimation du montant total de provisions de la mé-

thode Chain Ladder soit un montant de 3.391 milliards de FCFA et l’incertitude autour de

cette prédiction est de 722 millions de FCFA qui représente 21% du montant de provision.

Vérification des hypothèses du modèle de Mack

Les 2 premières hypothèses sont les mêmes que celles du modèle Chain Ladder clas-

sique. Pour que la troisième hypothèse portant sur la variance de Cij soit vérifiée, pour j

fixé, il faut que le graphe des résidus normalisés rij =Cij − fjCi,j−1√

σ2jCij

ne présente aucune

structure non aléatoire, en particulier pas de tendance. Dans notre cas, pour j ∈ {1, 2, 3, 4}les résidus sont representés à la figure 5.6.



Figure 5.6 – Analyse graphique des résidus standardisés

Il n’y a aucune tendance manifeste permettant de rejeter l’hypothèse 3.

Distribution des provisions par Bootstrap

Introduit par Efron B. et Tibshirani R.J. (1993) [5], son application aux résidus normés

rij =Cij − fjCi,j−1√

σ2jCij

du modèle permet d’estimer la distribution des provisions calculées

par la méthode de Mack, où en pratique Cij est le règlement constaté des données du

portefeuille. les fj sont estimés par la méthode de Mack et Ci,j−1 =1

fjCij calculés à

partir de la dernière diagonale Ci,n−i+1.

Les résidus rij , sont ré-échantillonnés, pour obtenir un nouveau triangle de résidus

rbij et reconstruire un triangle de règlements Cbij définis par : Cb

ij = rbij

√σ2jCij + fjCi,j−1.

A partir de chaque triangle de règlement reconstruit, et suivant la méthode de Mack,

de nouveaux coefficients fj sont estimés et la charge totale est recalculée à partir de la

dernière diagonale Ci,n−i+1 des données initiales.

Pour le triangle des règlements cumulés, 20 000 échantillons ont été générés, pour les-

quels ont été estimés la moyenne, les quantiles (VaR), l’erreur de prédiction des provisions.

Ces estimations sont consignés dans la Table 5.9



Payé en 2012 18 700 457

Moyenne des charges ultimes 22 139 530

Moyenne des provisions 3 439 073

MSEP(R) 746 502

VaR (0.75) 3 874 946

VaR (0.95) 4 734 663

VaR (0.99) 5 557 654

VaR (0.995) 5 917 900

Table 5.9 – Résultats obtenus par simulation bootstrap

VaR (0.995)=5 917 900 000 FCFA est le montant nécessaire pour couvrir 99,5% des

réalisations de la sinistralité de la compagnie, pour le faire elle doit constituer 3 439 073 000

FCFA de provision et détenir 2 478 827 FCFA de fonds propres.

La figure 5.7 représente la fonction de répartition des provisions en noire et l’ajuste-

ment à une loi gamma en rouge.

Figure 5.7 – Fonction de répartition des IBNR, avec l’ajustement Gamma en rouge.

Elle traduit le fait que les provisions estimées s’ajustent bien à une distribution

Gamma.

La fonction plot de la librairie ChainLadder donne les graphiques de la figure 5.8, qui



illustrent les résultats obtenus .

Figure 5.8 – Au dessus : histogramme des provisions (IBNR) totales simulées (à gauche),

fonction de répartition empirique des IBNR totales (à droite). En dessous : charge ultime

par année d’origine (à gauche), comparaison entre payements effectués et valeurs simulées

(à droite)

5.2.6 Modèle Munich Chain Ladder

Dans l’application de la méthode Chain Ladder, les projections de charges ultimes

issues du triangle des paiements et celui des charges ne sont pas convergents. Le modèle

munich chain ladder est appliquée dans le but de réduire l’écart entre les évaluations de

charges ultimes sur les triangle de charges et de règlements cumulés. Les résultats obtenus

sont consignés dans la Table 5.10



chain ladder sur les règlements chain ladder sur les charges

Année payé en 2012 ultime provision ultime provision

2000 1 374 718 1 374 718.0 - 1 407 036 32 318.00

2001 1 180 029 1 182 880.2 2 851.2 1 256 844 76 815

2002 1 504 107 1 510 978.9 6 871.9 1 562 781 58 674

2003 916 822 937 580.7 15 20 758.7 1 017 248 100 426

2004 1 719 226 1 740 615.2 21 389.2 1 677 776 -41 450

2005 1 832 620 1 887 521.0 54 901 1 861 748 29 128

2006 1 372 290 1 432 015.6 59 725.6 1 425 350 53 060

2007 2 195 491 2 300 208.7 104 717.7 2 206 871 11 380

2008 1 766 252 1 904 810.3 138 558.3 1 844 930 78 678

2009 2 390 508 2 632 260 241 752 2 473 210 82 702

2010 1 035 923 1 378 707.3 342 784.3 1 441 979 406 056

2011 805 987 1 356 472.6 550 485.6 1 400 358 594 371

2012 606 684 2 131 379.4 1 524 695.4 2 084 198 1 477 514

Total 18 700 457 21 770 143 3 069 686 21 660 329 2 959 872

Table 5.10 – Résultats obtenus par la méthode Munich Chain ladder

La comparaison des projections de charges ultimes issues du triangle des paiements et

celui des charges montre une convergence améliorée.

Les graphiques de la figure 5.9 permettent de mieux visualiser les résultats obtenus



Figure 5.9 – Au dessus : Comparaison des méthodes Chain Ladder, et Munich Chain

Ladder, en montant à gauche, et en valeurs relatives à droite. En dessous : Corrélations

entre les triangles de développement des paiements, et des charges dossier/dossier.

5.2.7 GLMs

Modèle de Renshaw et Verrall (ou de poisson)

Nous avons appliqué le modèle de Renshaw et Verrall à notre triangle des incréments.

Les estimateurs du maximum de vraisemblance obtenus sont consignés dans la Table 5.11



Table 5.11 – Estimateurs du maximum de vraisemblance des αi et des βk

Après calcul on obtient un montant de reserves de 3,391 milliards de FCFA qui corres-

pond au montant obtenu avec le modèle Chain Ladder ce qui corrobore avec la littérature

qui stipule que le modèle de Renshaw et Verrall donne les mêmes montants de réserves

que la méthode Chain-Ladder. L’incertitude autour de ce montant est de 728 millions de

FCFA qui représente 21.5% du montant de provision.

Validation du modèle par analyse graphique des résidus

Figure 5.10 – Q-Q plot sur les résidus de pearson du modèle de poisson



La figure 5.10 montre que les résidus sont dispersés et éloignés par rapport à l’origine

(l’unité de l’axe des ordonnés est de l’ordre de 200 ) et les résidus du test du Q-Q plot ne

suivent pas la première bissectrice.

Modèle Gamma

On suppose que nos incréments suivent une distribution Gamma. Les paramètres es-

timés sont consignés dans la Table 5.12

Table 5.12 – Estimateurs du maximum de vraisemblance des αi et des βk

Nous obtenons un montant de reserves de 3.134 milliards de FCFA soit un écart relatif

de 5.5% par rapport au montant de reserves du modèle Chain Ladder. Par contre, l’écart

relatif par rapport au résultat obtenu par la méthode London Chain est de 1.6% modèle

qui conduisait à de meilleurs résultats. La dispersion autour de la prédiction du montant

des provisions est de 1 140 608 FCFA ce qui représente 0.04% de ce montant.


5.3. APPLICATIONS SUR LE PORTEFEUILLE SEGMENTÉ 70

validation du modèle par analyses graphiques des résidus

Figure 5.11 – Q-Q plot sur les résidus de pearson du modèle Gamma

La figure 5.11 illustrent que les résidus sont concentrés autour de l’origine (entre -1 et

2 ) et les résidus du test du Q-Q plot suivent la première bissectrice. Ceci et l’erreur de

prediction justifient que dans notre cas, les incréments s’ajustent mieux à une distribution

Gamma qu’à celle de poisson.

5.3 Applications sur le Portefeuille segmenté

L’estimation des réserves faite sur le portefeuille suppose un déroulement des sinistres

en 13 ans, cependant ceci n’est pas le cas pour toutes les branches considérées. Nous avons

donc segmenté le portefeuille en entités homogènes (de même durée de déroulement).

Comme nous l’avons mentionné au chapitre1, la responsabilité civile est une branche

technique à déroulement long. Ainsi la responsabilité civile automobile et générale consti-

tue le premier segment. Les branches Auto et MRH ont un déroulement quasi identiques

elles constituent donc le deuxième segment. Enfin, les branches RC, AUTO et MRH re-

présente plus de 85% de notre portefeuille, ainsi les autres risques constituent le troisième

segment dû au faible nombre de données.



5.3.1 Chain Ladder standard

Payé en 2012 Charge ultime Provision

RC 5 552 309 6 857 323 1 305 014

Auto & MRH 7 858 303 9 053 576 1 195 273

Autres risques 2 150 414 2 714 039 563 625

TOTAL 15 561 026 18 624 938 3 063 911

Table 5.13 – Résultats obtenus par Chain Ladder standard

Le montant de provision obtenu sur le portefeuille segmenté est de 3,063 milliards. Il

est inférieure à celui obtenu sur le portefeuille non segmenté soit un écart relatif de 9%.

5.3.2 London Chain


RC 5 552 309 7 045 934 1 493 625

Auto & MRH 7 858 303 8 971 028 1 112 725

Autres risques 2 150 414 2 624 648 474 234

TOTAL 15 561 026 18 641 610 3 080 584

Table 5.14 – Résultats obtenus par London Chain

Le montant obtenu est de 3,080 milliards. Il est inférieure à celui obtenu sur le porte-

feuille non segmenté soit un écart relatif de 3,4%.

5.3.3 Chain Ladder Pondérée

wij = 1 wij = i+ j + 1 wij = (i+ j + 1)2

RC 1 477 757 1 411 778 1 417 002

Auto & MRH 1 292 083 1 339 662 1 353 068

Autres risques 701 007 714 993 703 148

TOTAL 3 470 847 3 466 433 3 473 218

Table 5.15 – Provisions obtenus par Chain Ladder pondérée



Les provisions estimés sont supérieures à celles obtenues sur le potefeuille non seg-

menté.

5.3.4 De Vylder


RC 5 552 309 6 698 054 1 145 745

Auto & MRH 7 858 303 9 066 376 1 208 073

Autres risques 2 150 414 2 702 904 552 490

TOTAL 15 561 026 18 467 334 2 906 308

Table 5.16 – Résultats obtenus par De Vylder

La provision estimée est de 2.906 milliards. Elle est inférieur à celle obtenue sur le

portefeuille non segmenté soit un écart relatif de 14%.

5.3.5 Mack

Les montants obtenus sont les mêmes que ceux obtenus par la méthode Chain Ladder.

La variabilité autour des prédictions est présenté dans la Table suivant :

MSEP(R) sep(R)/R

RC 299 699 23%

AUTO & MRH 498 493 42%

Autres 277 208 49%

Table 5.17 – Incertitudes sur les prédictions du modèle de Mack

La segmentation a diminué l’estimation des reserves, Cependant la dispersion autour

des montants prédits a augmentée.



5.3.6 GLMs

Modèle de Poisson

Les montants de réserves estimés sont les mêmes que ceux obtenus par la méthode

Chain ladder. La variabilité autour des montants prédits est présenté dans la Table 5.18 :

MSEP(R) sep(R)/R

RC 130 647 10%

AUTO & MRH 241 705 20%

Autres 247 847 44%

Table 5.18 – Incertitudes sur les prédictions de Renshaw et Verral

Modèle Gamma

Provisions MSEP(R) sep(R)/R

RC 1 383 041 18.05 0.001%

AUTO & MRH 1 159 165 32.62 0.003%

Autres 500 923 17.5 3.35e-4

Total 3 043 129

Table 5.19 – Résultats obtenus par le Modèle Gamma

La provision estimée est de 3,043 milliards de FCFA. Elle est inférieure au montant

obtenu sur le portefeuille non segmenté. Le risque lié à cette prédiction est minimal. Ce

qui traduit une bonne adéquation du modèle aux données.


Conclusion et perspectives

Les assureurs sont à la recherche des techniques qui leur permettent d’évaluer leur

niveau de provisionnement et de garantir leur solvabilité.

Les méthodes déterministes sont simples à mettre en œuvre ce qui justifie leur utili-

sation courante par les compagnies d’assurance. Cependant, elles ne permettent pas de

prendre en compte l’aléa lié à l’estimation des réserves, leur emploi prive donc les assureurs

d’une mesure du risque, utile au pilotage de leur activité.

Les méthodes stochastiques apportent une information sur le risque inhérent au ni-

veau de dotation retenu. Leur utilisation permet ainsi de déterminer le niveau de fonds

propres nécessaire à la garantie de la pérennité de la compagnie. De plus, depuis les tra-

vaux de Mack (1993)[13], plusieurs approches ont été proposées pour appréhender l’erreur

d’estimation des provisions.

À travers ce mémoire, nous avons examiné les méthodes de provisionnement existantes,

appliqué lesdites méthodes à un portefeuille d’une compagnie de la zone CIMA. Ceci nous

a permis de ressortir les disparités des réserves estimées, et par conséquent d’aborder la

question de la méthode la plus adaptée à l’historique des sinistres à étudier.

L’examen des résultats obtenus sur notre portefeuille relève que l’estimation par la

méthode GLM associé à la loi de poisson coïncide avec celle de Chain Ladder. Ce constat

corrobore avec la littérature rappelée au Chapitre 3. L’estimation par la méthode GLM

associé à la distribution gamma est proche de celle obtenue avec la méthode London Chain

et est celle qui minimise le risque. Cette dernière est donc meilleure que celle de poisson.

En outre, quelle que soit la méthode de provisionnement utilisée, les provisions estimées

sont de l’ordre de 3 à 4 milliards tandis que les provisions constituées par les gestionnaires

s’élèvent à 8 milliards. Ce qui indique que la compagnie est surprovisionnée ceci n’est

pas mauvais d’un point de vue prudentiel, mais du point de vue de la rentabilité car la

compagnie immobilise du capital qui pourrait être investi dans des actifs plus rentables.

Enfin, la segmentation du portefeuille augmente ou réduit la charge de provisionnement

74


suivant la méthode utilisée, cependant elle augmente la variabilité.

Une piste d’amélioration de ce travail est la prise en compte de l’inflation.

Nous recommandons :

– Aux compagnies de la zone CIMA : d’avoir une base de données complète et de

prendre soin du recueil des données, d’utiliser les méthodes actuarielles de provi-

sionnement et d’adapter leurs logiciels pour ces méthodes.

– À la CIMA : d’introduire les méthodes actuarielles dans la réglementation (À l’exemple

des nouvelles tables de mortalité récemment introduites.)

– Aux Actuaires : de travailler avec les universitaires pour la mise à niveau de leurs

connaissances sur les nouvelles méthodes actuarielles developpées dans la recherche

fondamentale en Mathématiques appliquées à l’Actuariat.


Bibliographie

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[21] Traité et code des assurances CIMA (2012)


Annexes

Figure 12 – Code de la fonction Chain Ladder standard

78

Annexes 79

Figure 13 – Code de la fonction Chain Ladder pondérée


Annexes 80

Figure 14 – Code de la fonction London Chain

Figure 15 – Code de la fonction de DeVylder


Annexes 81

Figure 16 – Règlement pour le calcul des IBNR


Documents

Provisionnement en assurance non vie et risque