Publication Papier Prevision 130104

Prvision court terme : mthodes

de lissage exponentiel

AUTEURS : CATHERINE PARDOUX & BERNARD GOLDFARB

TABLISSEMENT : UNIVERSIT PARIS-DAUPHINEDURE : CE MODULE REPRSENTE 8H DE TRAVAIL POUR UN

TUDIANT DE NIVEAU L3

Janvier 2013

Version 1.3

Table des matires

Objectifs 7

Introduction 9

I - Section 11

II - Cadre gnral - Prsentation des sries tudies 13

A.Dfinitions...............................................................................................13

B.La prvision court terme.........................................................................14

C.Prsentation des sries tudies................................................................15 1.Sries chronologiques non saisonnires.....................................................................15 2.Sries chronologiques avec saisonnalit....................................................................17

D.Indices lmentaires (exemple base 2005)..................................................19

E.Questions sur les indices...........................................................................20

F.Exercice rdactionnel................................................................................22

III - Modles et mthodes 25

A.Mthodes d'extrapolation..........................................................................25

B.Principe des mthodes de lissage exponentiel..............................................26

C.Choix des paramtres de lissage................................................................27

D.Caractristiques des mthodes de lissage exponentiel..................................28

E.Les diffrents lissages exponentiels............................................................28

F.Exercice..................................................................................................29

IV - Le lissage exponentiel simple (LES) 31

3

A.Le lissage exponentiel simple.....................................................................31

B.Formules de mise jour............................................................................32

C.Choix de la valeur initiale..........................................................................32

D.Mise en uvre : calcul des prvisions par LES.............................................32

E.Rsum des erreurs de prvision................................................................33

F.Reprsentation graphique..........................................................................33

G.Exercice rdactionnel................................................................................35

V - La mthode de Holt 37

A.Le lissage exponentiel de Holt....................................................................37

B.Choix des valeurs initiales.........................................................................38

C.Calcul des prvisions par le lissage de HOLT................................................38

D.Reprsentation graphique.........................................................................38

E.Exercice rdactionnel................................................................................39

VI - La mthode de Winters 41

A.Deux modles de composition, deux mthodes............................................41

B.Valeurs initiales........................................................................................42

C.Cas d'un modle additif.............................................................................42 1.Consommation trimestrielle d'essences aviation.........................................................42 2.Dcomposition saisonnire......................................................................................43 3.Prvision avec le modle additif................................................................................44 4.Mise en oeuvre.......................................................................................................44 5.Calcul des prvisions par le lissage de Winters...........................................................44 6.Reprsentation graphique........................................................................................45

D.Cas d'un modle multiplicatif.....................................................................45 1.Indices de fabrication de prparations pharmaceutiques..............................................45 2.Dcomposition saisonnire......................................................................................46 3.Prvision avec le modle multiplicatif........................................................................47 4.Mise en uvre.......................................................................................................47 5.Calcul des prvisions par le lissage de Winters...........................................................47 6.Reprsentation graphique........................................................................................48

E.Exercice rdactionnel................................................................................49

VII - Conclusion gnrale 51

A.Conclusion gnrale.................................................................................51

VIII - Annexe 53

A.Dcomposition saisonnire........................................................................53

B.Version imprimable du module...................................................................53

Solution des exercices rdactionnels 55

4

Solution des exercices 61

Signification des abrviations 63

Bibliographie 65

5

Objectifs

Bienvenue dans ce module de formation Prvision court terme : Mthodes de lissage exponentiel ! Ce module prsente les mthodes de lissage exponentiel (Lissage Exponentiel Simple, Lissage Exponentiel de Holt et Lissage Exponentiel de Winters). Ces mthodes sont trs utilises par les praticiens de la gestion (notamment pour la gestion des stocks) et les conomistes. Leur succs est d la qualit des rsultats. Elles ne reposent sur aucune hypothse probabiliste et fournissent des prvisions ponctuelles. Compte tenu de leur simplicit, elles sont enseignes au niveau licence.

Objectifs du module : - Prsenter le contexte et les mthodes ;- Appliquer les mthodes de lissage exponentiel des sries chronologiques relles

; - Choisir la mthode de prvision adapte une srie chronologique ;- Mise en uvre des mthodes de lissage exponentiel l'aide d'un logiciel de calcul

(Microsoft Excel, OpenOffice Calc), choix des paramtres de lissage ;- Comparaison des prvisions aux observations.

Pr-requis : - Connaissances de base en statistique descriptive : indicateurs de tendance

centrale (moyenne, mdiane) et indicateurs de dispersion (cart-type, cart absolu moyen), reprsentations graphiques, ajustement linaire par la droite des moindres carrs ;

- Matrise du logiciel Microsoft Excel ou OpenOffice Calc (savoir utiliser la poigne de recopie et saisir une fonction).

Sommaire : - Chapitre 1 : Cadre gnral - Prsentation des sries tudies.- Chapitre 2 : Modles et mthodes. - Chapitre 3 : Le lissage exponentiel simple (L.E.S). - Chapitre 4 : La mthode de Holt. - Chapitre 5 : La mthode de Winters

i. cas d'un modle additifii. cas d'un modle multiplicatif

7

Introduction

Pour utiliser ce module Prvision court terme : Mthodes de lissage

exponentiel , vous aurez besoin : - D'un casque ou de haut-parleurs ; - D'un tableur (Microsoft Excel, OpenOffice Calc) ; - D'un lecteur de documents PDF (Adobe Reader ou autre) ;- Du lecteur Flash Player : testez sur ce site si votre ordinateur dispose de ce

plug-in : http://www.adobe.com/fr/software/flash/about/ .

Ce module reprsente 8h de travail pour un tudiant de niveau L3

Notre conseil :

Si vous n'avez aucune connaissance sur les lments constitutifs d'une srie chronologique et la dcomposition d'une srie chronologique, consultez pour commencer l'annexe "Dcomposition saisonnire".

9

I - Section I

auteurs

11

II - Cadre gnral -Prsentation dessries tudies

II

Dfinitions 13

La prvision court terme 14

Prsentation des sries tudies 15

Indices lmentaires (exemple base 2005) 19

Questions sur les indices 20

Exercice rdactionnel 22

Ce chapitre prsente les diffrentes catgories de sries chronologiques selon la prsence ou l'absence de tendance et/ou de saisonnalit, la notion de prvision court terme, et un bref aperu sur les indices lmentaires.

Objectifs :

Expliquer des notions de base : srie chronologique, prvision, tendance, saisonnalit, indices lmentaires ;

Observer par les graphiques les composantes d'une srie (tendance, saisonnalit, priode).

La notion d'indice lmentaire est expose partir d'exemples.

A.Dfinitions

Dfinition : Qu'est-ce qu'une srie chronologique ?Srie chronologique ou srie temporelle ou chronique :Suite d'observations rgulirement espaces dans le temps , , ........ , , ........ , . La priode des relevs peut tre :

L'anne, Le trimestre, Le mois,

13

La semaine, La journe...

Srie chronologique

AttentionLes sries chronologiques formes par des observations irrgulirement espaces peuvent tre tudies par des mthodes plus complexes, dpassant largement le cadre de ce cours.

B.La prvision court terme

Objectifs 1. Dcrire : identifier les composantes ; 2. Expliquer : valuer la tendance, la saisonnalit ; 3. Contrler : agir, anticiper, dcider ; 4. Prvoir : ici, avec un horizon court terme.

Fondamental : Qu'est-ce que la prvision court terme ?L' horizon d'une prvision court terme dpend du contexte tudi :

En gestion, marketing, le court terme est de l'ordre de quelques mois En mto, le court terme est de l'ordre d'une ou deux journe(s)

Avec un horizon court terme : On suppose que le phnomne ne dpend que de ses valeurs passes

Cadre gnral - Prsentation des sries tudies

14

Mthodes par extrapolation : parmi elles, les mthodes de lissage exponentiel sont trs largement utilises.

RemarqueSeule la prvision court terme sera traite dans ce module.

C.Prsentation des sries tudies

1.Sries chronologiques non saisonnires

Objectifs Prsenter les sries chronologiques tudies ; Observer graphiquement les composantes d'une srie

chronologique relle ; Identifier la tendance ; Expliquer le choix de la mthode de lissage pour chaque

srie chronologique.

a)Pas de tendance mais un changement de niveau

Cours d'une action (en )

Srie sans tendance mais un changement de niveau

Cette srie chronologique prsente l'volution du cours d'une action (en ).


15

La srie ne prsente ni tendance, ni saisonnalit, mais un changement de niveau entre les dates 8 et 9.

ComplmentVous pouvez :Tlcharger le fichier de la srie :Cours d'une action (cf. Cours d'une action).

b)Prsence d'une tendance la hausse

Transport annuel de passagers par Air France sur des vols internationaux de 1982 2008 (en milliers de milliards de passagers-km), source INSEE

Srie non saisonnire, prsente d'une tendance la hausse.

Nous analyserons cette srie, non saisonnire, par la mthode de HOLT, mthode adapte aux sries sans saisonnalit et prsentant une tendance.

ComplmentVous pouvez galement :Visiter le site de l'INSEE1 (Institut National de la Statistique et des tudes conomiques).Tlcharger le fichier de la srie : Transport annuel de passagers par Air France sur des vols internationaux de 1982 2008 (en milliers de milliards de passagers-km) (cf. Transport de passagers par Air France).

1 - http://www.insee.fr/


16

2.Sries chronologiques avec saisonnalit

Objectifs Prsenter les sries chronologiques tudies ; Observer graphiquement les composantes d'une srie

chronologique relle ; Identifier et diffrencier la tendance et la saisonnalit ; Expliquer le choix de la mthode de lissage pour chaque

srie chronologique.

a)Srie chronologique avec saisonnalit trimestrielle

Consommation trimestrielle d'essences aviation du premier trimestre 1995 au quatrime trimestre 2008 en France (milliers de tonnes), source CPDP (Comit Professionnel du Ptrole)

Srie avec une saisonnalit trimestrielle.

Nous analyserons cette srie, saisonnire et sans tendance, avec la mthode de Winters, mthode adapte aux sries avec saisonnalit.

ComplmentVous pouvez galement :Visiter le site du CPDP2 (Comit Professionnel du Ptrole).Tlcharger le fichier de la srie : Consommation trimestrielle d'essences aviation du 1er trimestre 1995 au 4e trimestre 2008 en France (milliers de tonnes) (cf. Consommation d'essences

2 - http://www.cpdp.org/


17

d'aviation).

b)Srie chronologique avec saisonnalit mensuelle

Indices bruts de la production industrielle (base 100 en 2005) : fabrication de prparations pharmaceutiques de janvier 1990 dcembre 2008, source INSEE

Srie avec une saisonnalit mensuelle.

Nous analyserons cette srie, saisonnire et avec une tendance, par la mthode de Winters, mthode adapte aux sries saisonnires.

ComplmentVous pouvez galement :Visiter le site de l'INSEE3 (Institut National de la Statistique et des tudes conomiques).Tlcharger le fichier de la srie :Indices bruts de la production industrielle (base 100 en 2005) : fabrication de prparations pharmaceutiques de janvier 1990 dcembre 2008 (cf. Indices Production industrielle prparations pharmaceutiques).

D.Indices lmentaires (exemple base 2005)

Le tableau suivant prsente les indices bruts de la production industrielle de prparations pharmaceutiques (base 100 en 2005) pour l'anne , source



18

INSEE4.

Tableau 1 Indices 2005 Production industrielle

MthodeComment ont t calculs ces indices base en ?

1. On calcule la moyenne mensuelle de la production totale en ; 2. On divise ensuite chacune des productions mensuelles de la srie par cette

moyenne ; 3. On multiplie chaque rsultat par pour un indice exprim en pourcentage.

RemarqueL'anne de base choisie est l'anne : La moyenne des mois de est donc gale .

E.Questions sur les indices

Voici prsent l'extrait relatif l'anne du tableau de donnes "Production industrielle de prparations pharmaceutiques" (base 100 en 2005).



19

Anne Indices bruts

janv.-05 97,5fvr.-05 92,7mars-05 100,9avr.-05 102,2mai-05 94juin-05 102juil.-05 97,8aot-05 90,3sept.-05 112,2oct.-05 107nov.-05 102,5dc.-05 100,9

Somme 1200 Moyenne 100

Tableau 2 Indices 2006

Rappel : Dans quelle unit est exprim un indice ?Un indice est un nombre sans unit. Si les quantits sont par exemple des valeurs en euros, quand on calcule l'indice, on divise des euros par des euros : on obtient donc un nombre sans unit.

Fondamental : Que signifie la valeur d'un indice ?Un indice exprime une variation par rapport la valeur de la date de rfrence. Pour un indice base 100 en 2005 :

Une valeur infrieure signifie une diminution par rapport la moyenne de .

Une valeur suprieure signifie une augmentation par rapport la moyenne de .

Exemple 1. L'indice gal en aot signifie une diminution de en aot

, par rapport la moyenne de l'anne . 2. L'indice gal en septembre signifie une augmentation de

en septembre , par rapport la moyenne de l'anne .

Remarque : Pourquoi les indices sont-ils exprims avec 1 dcimale ?Exprimer les indices en avec un chiffre dcimal revient exprimer la variation avec une prcision de dcimales, ce qui est considr comme tout fait suffisant.

F.Exercice rdactionnel

Exercice :Le tableau suivant prsente des donnes provenant du Ministre du Tourisme :

Recettes : dpenses (millions d') des touristes trangers en France ; Dpenses : dpenses touristiques (millions d') des franais hors de la

France.Ces donnes vont vous permettre de tester vos connaissances.


20

Anne Indices brutsjanv.-06 100,9fvr.-06 103,3mars-06 115,8avr.-06 106,3mai-06 107,8juin-06 111,9juil.-06 106,2aot-06 96,4sept.-06 120,1oct.-06 123,7nov.-06 113,5dc.-06 107,3

Tableau 3 Exercice sur les indices

Vous pouvez :Tlcharger le fichier de la srie : Indices Tourisme (cf. Exercice sur les indices).

Q u e s t i o n 1[Solution n1 p 53]

Calculez les indices base de ces deux sries :


Reprsentez graphiquement les deux sries chronologiques des indices


Commentez : tendance, saisonnalit, modle de compositionOn tudie les sries des indices sur la priode :

La priode est courte et les sries sont rgulires.


Utilisez la mthode des moindres carrs pour prvoir les valeurs de la srie Indices des Recettes du premier trimestre . (Pour la dsaisonnalisation de la srie "Indices des dpenses", voir l'annexe "Dcomposition saisonnire".)Comparez les prvisions aux ralisations.


21

Recettes Dpenses2003 T1

T2 T3 T4

2004 T1 T2 T3 T4

2005 T1 T2 T3 T4

2006 T1 T2 T3 T4

2007 T1 T2 T3 T4

2008 T1 T2

6167 4602 8704 5097

10080 6470 7395 4544 6125 5011 9037 5919

10010 6835 7764 4843 6604 5456 9689 6409

11014 7595 8074 5086 6889 5522

10107 6486 11489 7686 8422 5147 7186 5588

10543 6564 12130 7863 8951 5296 7772 6098

11321 7130

* *

*

Avec l'tude de la srie Indices des recettes , une prvision par extrapolation a t ralise.La droite des moindres carrs a t calcule pour ajuster la srie corrige des variations saisonnires (srie CVS). Puis pour les deux premiers trimestres de 2008, la tendance a t value en extrapolant cette droite des moindres carrs.Les prvisions ont ensuite intgr la composante saisonnire pour chacun des deux schmas envisags, additif et multiplicatif.Dans beaucoup de cas, ce mode de prvision ne peut pas s'envisager car on n'a pas de fonction analytique sa disposition pour ajuster la tendance (une fonction affine reprsente par une droite, pour l'exemple trait).Les chapitres suivants vont dvelopper des mthodes de prvision par lissage exponentiel qui reposent sur l'hypothse d'une tendance soit constante, soit localement linaire.


22

III - Modles etmthodes

III

Mthodes d'extrapolation 25

Principe des mthodes de lissage exponentiel 26

Choix des paramtres de lissage 27

Caractristiques des mthodes de lissage exponentiel 28

Les diffrents lissages exponentiels 28

Exercice 29

Ce chapitre est consacr la prvision par extrapolation, et expose le principe du lissage exponentiel et ses diffrentes mthodes dpendant chacune d'un ou plusieurs paramtre(s).

Objectifs :

Connatre le principe de la prvision par extrapolation ; Expliquer et diffrencier les mthodes de lissage exponentiel ; Comprendre l'interprtation d'un paramtre de lissage.

Attention :

Pour suivre ce chapitre, vous devez avoir des connaissances sur les composantes constitutives d'une srie (tendance, saisonnalit).

A.Mthodes d'extrapolation

Mthode : En quoi consiste la prvision par extrapolation ?Prvoir par extrapolation consiste prolonger l'volution passe ; il faut choisir :

Jusqu' quelle date on remonte ; Quelles sont les observations les plus importantes (pondration des

observations).

23

Mthodes d'extrapolation

FondamentalLes mthodes de lissage exponentiel sont un compromis entre ces trois types d'extrapolation puisqu'elles tiennent compte de toutes les observations, mais en diminuant leur importance au fur et mesure que l'on remonte dans le pass.

B.Principe des mthodes de lissage exponentiel

Mthode Les mthodes de lissage exponentiel sont des mthodes de prvision court

terme ; Elles supposent que le phnomne tudi ne dpend que de ses valeurs

passes ; Ce sont des mthodes d'extrapolation qui donnent un poids prpondrant

aux valeurs rcentes : les coefficients de pondration dcroissent exponentiellement en remontant dans le temps ;

Chacune des mthodes dpend d'un ou plusieurs paramtres (paramtres de lissage) compris entre et ;

Le poids de chacune des valeurs passes se calcule partir de ces paramtres.

Complment Les mthodes de prvision se sont dveloppes au cours de la seconde

Modles et mthodes

24

moiti du XXe sicle. La mthode de lissage exponentiel simple a t introduite par Brown en

. Elle a ensuite t gnralise par Holt et Winters. Ces mthodes sont largement diffuses et utilises. Leur succs est d la

fois leur simplicit et la qualit des prvisions obtenues.Autres mthodes :

D'autres mthodes de prvision reposant sur des hypothses probabilistes ont t dveloppes depuis les annes .

Elles reposent sur une premire approche due Box et Jenkins, qui a fait ensuite l'objet de nombreuses extensions utilises notamment dans des modles complexes de finance.

C.Choix des paramtres de lissage

Cours d'une action (en )

Choix des paramtres de lissage

Mthode : illustration du choix de la valeur des paramtres de lissagePour cette srie Cours d'une action , srie sans tendance, ni saisonnalit, mais avec un changement de niveau, on a ralis deux lissages exponentiels simples (le LES ncessite le choix d'un seul paramtre) :

1. avec un paramtre de lissage 2. avec un paramtre de lissage

Remarquez que les prvisions commencent la date .

Modles et mthodes

25

Pour un paramtre de lissage , on s'adapte beaucoup plus vite au changement de niveau que pour un paramtre

Les pondrations dcroissent exponentiellement en remontant le pass. La dcroissance est d'autant plus rapide que le paramtre de lissage est lev.

Pour un paramtre de lissage gal , les pondrations des premires observations sont donc beaucoup plus faibles que pour un paramtre de lissage gal

C'est la raison pour laquelle on s'adapte beaucoup plus rapidement un changement de niveau avec un paramtre de lissage lev.

Remarque : Quelle valeur choisir pour le paramtre de lissage ?C'est une question que nous traiterons. On peut dj mentionner que pour une chronique pas trop chahute , on adopte gnralement des paramtres compris entre et .

D.Caractristiques des mthodes de lissage exponentiel

Simplicit des calculs ; Petit nombre des donnes garder en mmoire ; Elles permettent de travailler sur des sries courtes ou changeant de

structure ; Cependant, on considre que :- Pour une srie sans saisonnalit, un historique d'au moins

observations est ncessaire ;- Pour une srie avec saisonnalit, un historique d'au moins annes est

ncessaire (au moins observations pour une srie trimestrielle, au moins observations pour une srie mensuelle).

Le succs de ces mthodes est d :

1. Leur simplicit ; 2. La qualit des prvisions obtenues.

E.Les diffrents lissages exponentiels

Le lissage exponentiel simple dpend d'un seul paramtre de lissage ; Le lissage de Holt dpend de deux paramtres : l'un relatif au niveau,

l'autre la tendance ; Le lissage de Winters dpend de trois paramtres : l'un relatif au niveau, un

autre relatif la tendance, et le dernier la saisonnalit.

Modles et mthodes

26

Tableau 4 Les diffrents lissages exponentiels

F.Exercice

[Solution n1 p 59]Exercice :Quelle est la mthode de lissage exponentiel adapte la srie chronologique ?Glissez les sries chronologiques sous les mthodes de lissage exponentiel qui leur correspondent. Cliquez sur la boue ci-dessus pour obtenir un indice.

- i Transport annuel de passagers par Air France. - ii Cours d'une action (en ). - iii Indices bruts mensuels de la production industrielle (base 2005) de

prparations pharmaceutiques - iv Srie CVS de la consommation d'essences aviation. - v Indices des dpenses des touristes franais hors de France - vi Consommation trimestrielle d'essences d'aviation

Lissage Exponentiel Simple (LES)

Lissage de Holt Lissage de Winters

* *

*

Avant de choisir une mthode de prvision, il importe de bien analyser la srie : tendance, composante saisonnire.Une bonne connaissance de l'historique de la srie est indispensable pour un choix pertinent de la mthode de prvision.

Modles et mthodes

27

NON OUI

NON

OUI Mthode de Holt

Saisonnalit Tendance

Lissage Exponentiel

simple

Mthode de Winters

Mthode de Winters

IV - Le lissageexponentielsimple (LES)

IV

Le lissage exponentiel simple 31

Formules de mise jour 32

Choix de la valeur initiale 32

Mise en uvre : calcul des prvisions par LES 32

Rsum des erreurs de prvision 33

Reprsentation graphique 33


Ce chapitre est consacr la prvision par lissage exponentiel simple (LES) ; il expose le principe, l'importance du choix du paramtre, la mise en uvre, et aborde les erreurs de prvision.

Objectifs :

Connatre le contexte d'application du LES ; Matriser le dveloppement de la mthode sur tableur ; Comprendre l'interprtation du paramtre de lissage.

Attention :

Pour suivre ce chapitre, vous devez savoir dvelopper des calculs avec formules dans un tableur (Microsoft Excel, Open Office Calc, ...).

A.Le lissage exponentiel simple

DfinitionLe lissage exponentiel simple (LES) s'applique des sries chronologiques sans

29

saisonnalit et tendance localement constante.Soit la prvision la date pour l'horizon , c'est--dire pour la date

Dans le cadre du LES qui s'applique des sries sans tendance, la prvision faite la date est une valeur constante indpendante de l'horizon :

o est un paramtre compris entre et

B.Formules de mise jour

SyntaxeLe LES va tre appliqu la srie Cours d'une action .Pour les calculs, on utilise une des deux formules de rcurrence :

o est l'erreur de prvision.

Remarque Ce sont ces formules qui sont utilises pour pratiquer le lissage exponentiel

simple sur une chronique. La seconde est peut-tre la plus pratique. Elles demandent le choix d'une valeur initiale, ce que nous allons traiter en

page suivante.

C.Choix de la valeur initiale

On peut choisir pour valeur initiale : La moyenne de la srie chronologique. La premire observation de la srie chronologique.

RemarqueCompte tenu de sa simplicit, les prvisions par LES peuvent se raliser avec un tableur (Microsoft Excel, Open Office Calc)Nous avons choisi pour initialiser le calcul des prvisions par LES de la srie Cours d'une action .

D.Mise en uvre : calcul des prvisions par LES

Le paramtre est celui qui minimise la moyenne des carrs des dernires erreurs de prvision.

Le lissage exponentiel simple (LES)

30

ComplmentVous pouvez :Tlcharger le fichier de la srie : Cours d'une action (cf. Cours d'une action) .

E.Rsum des erreurs de prvision

Mean Error (ou Erreur Moyenne) :

si mthode adapte, Mean Square Error (ou Erreur Quadratique Moyenne) :

Mean Absolute Error (ou Erreur Absolue Moyenne) :

Remarque L' Erreur Absolue Moyenne accorde moins d'importance aux erreurs leves

que l'Erreur Quadratique Moyenne. On peut chercher le paramtre qui minimise l'Erreur Quadratique

Moyenne, mais on peut prfrer minimiser l'Erreur Absolue Moyenne qui accorde moins d'importance aux erreurs leves que l'Erreur Quadratique Moyenne.

Nanmoins, les prvisions sont faites pour le futur, et pas pour le pass. Dans cet esprit, on peut chercher le paramtre pour lequel la somme des carrs du dernier tiers des erreurs, par exemple, est minimum.

F.Reprsentation graphique


31

Prvisions cours d'une action

La valeur initiale a d'autant moins d'influence sur les prvisions que la srie est longue.

Remarque L'adaptation au changement de niveau se fait avec retard. La valeur d'une prvision ne dpend pas de l'horizon puisque la srie est

sans tendance.

Fondamental Si on cherche le paramtre qui minimise la somme des carrs du dernier

tiers des erreurs, il s'agit des dernires erreurs. Les calculs ont montr qu'avec , on minimise la somme des carrs

des dernires erreurs, et qu'avec , on minimise la somme des valeurs absolue des 5 dernires erreurs.

Le choix de alpha ( ) dpend de la rgularit de la srie. Pour une srie assez rgulire, on choisit un paramtre compris entre et

. Ici, le choix d'un paramtre plus lev est d au changement de niveau.

ComplmentVous pouvez :Tlcharger le fichier de la srie : Prvision Cours d'une action (cf. Prvision du cours d'une action)


32

G.Exercice rdactionnel

Exercice : le lissage exponentiel simpleOn considre la srie trimestrielle du taux de variation du taux de chmage (CVS) en France sur la priode allant du 1er trimestre 1984 au 4me trimestre 2001. Cette srie est donne dans le tableau ci-dessous.

Tableau 5 Question 1


Calculez les taux de variation du taux de chmage pour les quatre trimestres 2001.


Prvision par lissage exponentiel simple : Justifiez le recours au lissage exponentiel simple pour la prvision du taux

de variation du taux de chmage. Compltez le tableau ci-dessous et donnez les prvisions du taux de

variation du taux de chmage pour les deux premiers trimestres 2002.

Tableau 6 Question 2


33

Anne Trimestre Taux de chmage Taux de variation du taux de chmage

2000 1 9,8 -0,06 2 9,5 -0,03 3 9,4 -0,01 4 9 -0,04

2001 1 8,7 ? 2 8,6 ? 3 8,9 ? 4 9 ?

Anne Trimestre Taux de variation du taux de chmage

2000 4 -0,04 -0,022001 1 ? ?

2 ? ? 3 ? ? 4 ? ?

2002 1 ? 2 ?

Prvision par LES avec =0,3

* *

*

La mthode du lissage exponentiel simple a permis de mettre en vidence l'importance du choix du paramtre :

Un paramtre proche de 1 donne plus d'importance aux observations rcentes, tandis qu'un paramtre proche de 0 renforce l'importance du pass plus lointain.

Les chapitres suivants abordent des mthodes de lissage exponentiel avec deux ou trois paramtres.Du choix de leurs valeurs dpendent les prvisions.


34

V - La mthode deHolt

V

Le lissage exponentiel de Holt 37

Choix des valeurs initiales 38

Calcul des prvisions par le lissage de HOLT 38

Reprsentation graphique 38


Ce chapitre est consacr la prvision par la mthode de Holt : lissage exponentiel pour srie sans saisonnalit et tendance localement linaire.Il expose le principe, l'importance du choix des paramtres, et la mise en uvre.

Objectifs :

Connatre le contexte d'application du lissage exponentiel de Holt ; Comprendre le dveloppement de la mthode sur tableur ; Savoir choisir les paramtres de lissage.

Attention :

Pour suivre ce chapitre, vous devez savoir reconnatre les composantes d'une srie chronologique, et savoir dvelopper des calculs avec formules dans un tableur (Microsoft Excel, Open Office Calc, ...).

A.Le lissage exponentiel de Holt

Dfinition Le lissage exponentiel de Holt s'applique aux sries chronologiques sans

composante saisonnire et tendance localement linaire. - Niveau :

- Pente :

35

o et sont des paramtres compris entre et

Prvision la date pour l'horizon , c'est--dire pour la date :

Remarque On suppose la tendance localement linaire. Cette tendance est donc dfinie chaque date par son ordonne appele

niveau , et la pente qui dfinit la direction de la droite de prvision.

B.Choix des valeurs initiales

La pente initiale de la tendance est choisie gale :

Le niveau initial de la tendance est dfini par :

Remarque Ce sont les valeurs initiales choisies pour ce cours. D'autres valeurs peuvent

tre envisages.

C.Calcul des prvisions par le lissage de HOLT

Les paramtres utiliss : - -

La prvision pour est comparer avec l'observation

Remarque La srie chronologique qui illustre le lissage de Holt est celle du transport

des passagers Air France. Nous disposons des observations de . Le lissage est mis en uvre sur les observations de pour prvoir

la valeur en et la comparer l'observation.

D.Reprsentation graphique

La mthode de Holt

36

Prvision Air France

Un ajustement linaire n'est pas du tout adapt si on tient compte de toutes les observations. Aucune fonction analytique ne peut ajuster cette srie.

Le lissage exponentiel de Holt suppose une tendance localement linaire. Il permet de s'adapter, certes avec retard, aux changements de la tendance.

ComplmentVous pouvez Tlcharger le fichier Prvisions Air France (cf. Prvisions pour Air France)

E.Exercice rdactionnel

Exercice :Le lissage de Holt


Que signifient :


Ralisez le lissage de Holt avec :

La mthode de Holt

37

- -

Comparez ce lissage avec celui prsent dans le cours.

* *

*

La mthode de Holt repose sur deux paramtres et suppose la tendance localement linaire.A chaque date, on remet jour le niveau et la pente de la tendance.Dans le prochain et dernier chapitre consacr aux sries avec composantes saisonnires, on utilisera un troisime paramtre pour la mise jour de la saisonnalit.

La mthode de Holt

38

VI - La mthode deWinters

VI

Deux modles de composition, deux mthodes 41

Valeurs initiales 42

Cas d'un modle additif 42

Cas d'un modle multiplicatif 45


Ce chapitre est consacr la prvision par la mthode de Winters : lissage exponentiel pour srie avec saisonnalit. La mthode est prsente d'abord pour un modle additif puis pour un modle multiplicatif. Dans chaque cas on expose le principe, l'importance du choix des paramtres, et la mise en uvre.

Objectifs :

Connatre le contexte d'application du lissage exponentiel de Winters ; Comprendre le dveloppement de la mthode sur tableur ; Savoir choisir les paramtres de lissage.

Attention :

Pour suivre ce chapitre, vous devez savoir reconnatre les composantes d'une srie chronologique, savoir choisir un modle de composition (additif/multiplicatif), et savoir dvelopper des calculs avec formules dans un tableur (Microsoft Excel, Open Office Calc, ...).

A.Deux modles de composition, deux mthodes

Le lissage de Winters concerne les sries chronologiques saisonnires. On commence par choisir le modle de composition, car :

- Il y a une mthode de lissage pour les chroniques avec saisonnalit additive ;

39

- Et une autre mthode de lissage pour les chroniques saisonnalit multiplicative.

On note :

= priode de la composante saisonnire

= moyenne de l'anne = nombre d'annes compltes

Remarque On suppose que la srie a t observe sur un nombre d'annes

compltes, c'est--dire que le nombre total d'observations utilises pour le lissage est gal , puisque la priode de la saisonnalit est gale .

B.Valeurs initiales

DfinitionLes valeurs initiales sont dfinies ainsi :

Pente :

Niveau :

Les coefficients saisonniers initiaux sont obtenus en faisant la dcomposition saisonnire de la srie.

RemarqueAprs avoir choisi le modle de composition, et avant la mise en uvre du lissage exponentiel de Winters, on value les composantes saisonnires.

C.Cas d'un modle additif

1.Consommation trimestrielle d'essences aviation

La srie chronologique qui va illustrer le lissage de Winters pour le modle additif est celle de la consommation trimestrielle d'essences d'aviation.

Avec une saisonnalit de priode , la suite des moyennes mobiles de longueur donne une valuation de la tendance

La mthode de Winters

40

Prvision essence aviation

RemarqueLa moyenne mobile de longueur limine la composante saisonnire de priode . Elle filtre la tendance.

ComplmentPour tous les calculs concernant la dsaisonnalisation :Tlcharger le fichier Essences aviation (cf. Dsaisonnalisation de la srie Essence Aviation) .

2.Dcomposition saisonnire

On peut considrer que pour cette srie, la saisonnalit s'additionne la tendance.

On va mettre en uvre le lissage sur la priode , prvoir les valeurs de la consommation pour , et on comparera les prvisions aux ralisations.

La dcomposition saisonnire sur la priode donne les valeurs suivantes pour les coefficients saisonniers : -- - -


41

3.Prvision avec le modle additif

Prvision la date pour l'horizon : -

si -

si

Niveau :

Pente :

Saisonnalit :

avec :- - -

4.Mise en oeuvre

Les paramtres utiliss : , et

Niveau : - -

Pente :-

Saisonnalit : -- Valeurs initiales :

Prvision :-

RemarqueLes paramtres choisis sont tels que seul le niveau est remis jour.

5.Calcul des prvisions par le lissage de Winters


42

Tableau 7 Tableau de calcul par la mthode de Winters

RemarqueLes prvisions pour 2008 sont comparer aux observations.

6.Reprsentation graphique

ComplmentVous pouvez :Tlcharger le fichier Prvisions Consommation essences aviation (cf. Prvision de la consommation d'essence d'aviation)

D.Cas d'un modle multiplicatif

1.Indices de fabrication de prparations pharmaceutiques

La srie chronologique qui va illustrer le lissage de Winters pour le modle multiplicatif est celle des indices mensuels de la production industrielle (base

en ) pour la fabrication de prparations pharmaceutiques


43

Trimestre Niveau Pente Saisonnalit Prvision

6,679 -0,02711995 T1 4,5 6,586 -0,0271 -1,9323 4,72

T2 8,2 6,645 -0,0271 1,3531 7,91T3 9,1 6,675 -0,0271 2,2927 8,91T4 4,7 6,578 -0,0271 -1,7135 4,93

1996 T1 3,8 6,305 -0,0271 -1,9323 4,62T2 7,7 6,299 -0,0271 1,3531 7,63T3 8,6 6,282 -0,0271 2,2927 8,56T4 4,4 6,213 -0,0271 -1,7135 4,54

: : : : : :: : : : : :: : : : : :2006 T1 3,6 5,380 -0,0271 -1,9323 3,38

T2 6,7 5,351 -0,0271 1,3531 6,71T3 7,4 5,259 -0,0271 2,2927 7,62T4 3,9 5,346 -0,0271 -1,7135 3,52

2007 T1 3,7 5,413 -0,0271 -1,9323 3,39T2 6,4 5,284 -0,0271 1,3531 6,74T3 7,1 5,122 -0,0271 2,2927 7,55T4 4,1 5,311 -0,0271 -1,7135 3,38

2008 T1 3,6 -1,9323 3,35T2 5,7 1,3531 6,61T3 7,1 2,2927 7,52T4 3,7 -1,7135 3,49

xt

Avec une saisonnalit de priode , la suite des moyennes mobiles de longueur donne une valuation de la tendance.

Srie avec saisonnalit trimestrielle

RemarqueLa moyenne mobile de longueur 12 limine la composante saisonnire de priode

. Elle filtre la tendance.

ComplmentPour tous les calculs concernant la dsaisonnalisation :Tlcharger le fichier Dsaisonnalisation pharmacie (cf. Dsaisonnalisation de la srie Pharmacie) .

2.Dcomposition saisonnire

On peut considrer que pour cette srie, la saisonnalit est proportionnelle la tendance.

On va mettre en uvre le lissage sur la priode , prvoir les valeurs pour , et on comparera les prvisions aux ralisations.


44

La dcomposition saisonnire sur la priode donne les valeurs suivantes pour les coefficients saisonniers :

3.Prvision avec le modle multiplicatif

Prvision la date T pour l'horizon h :-

Si -

Si

Niveau :

Pente :

Saisonnalit :

avec : - - -

4.Mise en uvre

Les paramtres utiliss :- - -

Niveau : -

-

Pente : -

Saisonnalit : -- Valeurs initiales :

Prvision : -

RemarqueLes paramtres choisis sont tels que seul le niveau est remis jour.


45

5.Calcul des prvisions par le lissage de Winters

Tableau 8 Prvision pour la srie Pharmacie

Remarque Les prvisions pour 2008 sont comparer aux observations.

6.Reprsentation graphique


46

Anne Mois Saisonnalit Pente Niveau Prvision0,0632 15,646

1990 1 38,8 1,0275 0,3694 20,120 16,142 33 0,9756 0,3694 23,156 19,993 41 1,0398 0,3694 26,707 24,46: : : : : :: : : : : :

11 40,2 0,9934 0,3694 40,486 40,2212 39,3 1,0229 0,3694 40,368 41,79

1991 1 42,1 1,0275 0,3694 40,785 41,862 40,8 0,9756 0,3694 41,288 40,153 39,4 1,0398 0,3694 40,904 43,32: : : : : :: : : : : :

2007 1 125,4 1,0275 0,3694 113,830 114,85: : : : : :: : : : : :

11 113,9 0,9934 0,3694 116,491 116,1812 107,6 1,0229 0,3694 114,526 119,54

2008 1 117,30 1,0275 118,052 113,80 0,9756 112,453 109,10 1,0398 120,244 114,90 1,0195 118,265 103,90 0,9367 109,016 115,50 1,0186 118,917 114,40 0,9797 114,748 93,20 0,8301 97,529 120,70 1,0498 123,7210 129,00 1,1006 130,1211 109,10 0,9934 117,8112 114,10 1,0229 121,68

xt

Prvisions pharmacie

ComplmentVous pouvez :Tlcharger le fichier Prvisions Indices Pharmacie (cf. Prvision pour la srie Pharmacie)

E.Exercice rdactionnel

Exercice :La srie chronologique tudie est la production de poissons (en milliers de Frs constants ) des quartiers maritimes de Brest, Morlaix, Paimpol de janvier dcembre .Compte tenu d'une faible tendance la hausse, les deux modles multiplicatif et additif sont envisageables.

Tlcharger le fichier des donnes : Production de poissons (cf. Production de poissons)

Q u e s t i o n [Solution n9 p 56]

Utilisez les observations pour prvoir la production en avec un schma multiplicatif, puis un schma additif.Les paramtres proposs sont :


47

* *

*

La mthode de Winters dveloppe le principe du lissage exponentiel pour des sries prsentant une composante saisonnire.La premire tape consiste choisir le modle, additif ou multiplicatif, et dsaisonnaliser la srie tudie.Compte tenu des trois paramtres (niveau, pente et saisonnalit), la mise en application sur un tableur demande une mise jour chaque tape, dont la complexit (toute relative) implique une macro ds qu'il y a plus d'un paramtre non nul.Les exemples traits reposaient sur un seul paramtre non nul ; le traitement sur tableur tait donc simple.


48

VII - Conclusiongnrale

VII

Conclusion gnrale 51

A.Conclusion gnrale

Conclusion de ce module

Les mthodes de prvision par lissage exponentiel ne prennent en compte que l'historique, ainsi elles ignorent toute information pouvant tre obtenue en parallle, ou tout

prsuppos historique. Elles supposent donc un environnement sans forte perturbation.Ce sont des mthodes de prvision court terme : dans le cas de sries priodiques, elles devraient tre utilises pour faire des prvisions mensuelles (ou trimestrielles) pour trois six mois (ou un deux trimestre(s) ), plutt que pour une anne complte.Ces mthodes sont trs largement utilises depuis plusieurs dcennies.Les logiciels qui les ont intgres proposent souvent, pour valeurs des paramtres, celles qui optimisent l'erreur quadratique moyenne sur tout l'historique. Mais quelle est la justification de ce choix, sachant que c'est le futur qui nous intresse ?D'autres possibilits existent :

optimiser l'erreur quadratique moyenne sur le dernier tiers (ou dernier quart) de la srie,

ou tout simplement essayer des valeurs qui, compte tenu des connaissances sur le domaine tudi, apparaissent pertinentes.

49

bravo1

VIII - Annexe VIII

Dcomposition saisonnire 53

Version imprimable du module 53

A.Dcomposition saisonnire

Attention : Cette annexe est un rappel sur : 1. Les composantes d'une srie chronologique. 2. Les modles de composition. 3. Dfinition d'une moyenne mobile centre de longueur paire. 4. Dcomposition saisonnire d'une chronique.

ComplmentVous pouvez :Tlcharger le fichier de l'annexe : Dcomposition saisonnire (cf. Annexe : dcomposition saisonnire)

B.Version imprimable du module

ComplmentVous pouvez :tlcharger la version "papier" du module. (cf. Version papier du module "Prvision court terme")

51

Solution des exercices rdactionnels

> Solution n1 (exercice p. 21)

Indices base 100 2005

Tableau 9 Solution de l'exercice : calcul des indices


Reprsentation graphique

53

Recettes Dpenses Indices des Recettes Indices des Dpenses2003 T1 6167 4602 69,7 75,0

T2 8704 5097 98,4 83,1 T3 10080 6470 114,0 105,4 T4 7395 4544 83,6 74,0

2004 T1 6125 5011 69,2 81,7 T2 9037 5919 102,2 96,5 T3 10010 6835 113,2 111,4 T4 7764 4843 87,8 78,9

2005 T1 6604 5456 74,7 88,9 T2 9689 6409 109,5 104,4 T3 11014 7595 124,5 123,8 T4 8074 5086 91,3 82,9

2006 T1 6889 5522 77,9 90,0 T2 10107 6486 114,3 105,7 T3 11489 7686 129,9 125,3 T4 8422 5147 95,2 83,9

2007 T1 7186 5588 81,2 91,1 T2 10543 6564 119,2 107,0 T3 12130 7863 137,1 128,1 T4 8951 5296 101,2 86,3

2008 T1 7772 6098 87,9 99,4 T2 11321 7130 128,0 116,2

400 400 100 100

Somme 2005 35381 24546 Moyenne 2005 8845,3 6136,5

Solution de l'exercice : reprsentation graphique


Pour les deux sries, une lgre tendance la hausse et une composante saisonnire de priode 4 (sries trimestrielles),

Le modle additif comme le modle multiplicatif peuvent tre envisags : l'volution de la tendance est faible sur 4 ans, de sorte que la saisonnalit peut tre considre soit comme s'additionnant la tendance, soit proportionnelle la tendance.


Les prvisions des Recettes avec le modle additif :- Premier trimestre 2008 ==> 88,03- Deuxime trimestre 2008 ==> 123,47- Erreur Quadratique Moyenne = 10,22- Erreur Absolue Moyenne = 2,18

Les prvisions des Recettes avec le modle multiplicatif :- Premier trimestre 2008 ==> 84,85 - Deuxime trimestre 2008 ==> 124,40- Erreur Quadratique Moyenne =10,96 - Erreur Absolue Moyenne = 3,30

Remarque

Tous ces rsultats sont dans les fichiers Microsoft Excel ci-dessous

Annexe

54

Complment Calcul des deux sries d'indices et leurs reprsentations graphiques :

- Tlcharger le fichier solution de la srie Calcul des indices Tourisme (cf. Indices tourisme : solution de l'exercice)

Dcomposition saisonnire et prvision pour la srie Indices des Recettes :- Tlcharger le fichier solution de la srie Srie Indices des Recettes (cf.

Srie indices des recettes) Pour la dcomposition de la srie Indices des Dpenses , voir l'annexe

Dcomposition saisonnire .- Tlcharger le fichier Annexe Dcomposition saisonnire (cf. Annexe :

dcomposition saisonnire)


Tableau 10 Rponse 1


La srie initiale est une srie CVS, et la srie des taux de variation est une srie sans tendance puisque en calculant un taux de variation, on limine la tendance linaire. Le LES est donc adapt.

Tableau 11 Rponse 2

RemarqueAu numrateur d'un taux de variation, on a la diffrence

Annexe

55

Anne Trimestre Taux de variation du taux de chmage

2000 4 -0,043 -0,0222001 1 -0,033 -0,028

2 -0,011 -0,030 3 0,035 -0,024 4 0,011 -0,007

2002 1 -0,001 2 -0,001

Prvision par LES avec = 0,3

Anne Trimestre Taux de chmage Taux de variation du taux de chmage

2000 1 9,8 -0,06 2 9,5 -0,03 3 9,4 -0,01 4 9 -0,04

2001 1 8,7 -0,03 2 8,6 -0,01 3 8,9 0,04 4 9 0,01

Si la tendance est linaire : , alors En faisant la diffrence entre deux observations conscutives, on limine donc une tendance linaire.

ComplmentVous pouvez :Tlcharger le fichier solution exercice LES (cf. Solution de l'exercice LES)


: chaque date, le niveau est gal la valeur observe. : chaque date, le niveau est gal la dernire prvision. : la pente est gale la diffrence des deux dernires valeurs du

niveau. : la pente est constante et gale la valeur initiale.


Au vu des reprsentations graphiques, ces nouveaux paramtres sont moins bien adapts que et

Avec , on donne un poids moins important aux valeurs rcentes qu'avec .

ComplmentVous pouvez :Tlcharger le fichier Corrig Exercice mthode de Holt (cf. Corrig de l'exercice Mthode de Holt)


Pour les premiers mois de : - Erreur Moyenne

avec le modle multiplicatif avec le modle additif

- Erreur Quadratique Moyenne avec le modle multiplicatif avec le modle additif

Pour les mois de : - Erreur Moyenne

avec le modle multiplicatif avec le modle additif

- Erreur Quadratique Moyenne avec le modle multiplicatif avec le modle additif

Le modle additif se rvle le plus pertinent si on se restreint aux prvisions des trois premiers mois.Dans les deux cas, les prvisions sont toutes sous-values. Il faudrait chercher comprendre la raison.

Annexe

56

ComplmentVous pouvez :Tlcharger le fichier des rsultats Prvision Production de poissons (cf. Prvision de la production de poissons)

Annexe

57

Solution des exercices


Lissage Exponentiel Simple (LES) Cours d'une action (en ).Srie CVS de la consommation d'essences aviation.

Lissage de Holt Transport annuel de passagers par Air France.

Lissage de Winters Consommation trimestrielle d'essences d'aviationIndices bruts mensuels de la production industrielle (base 2005) de prparations pharmaceutiquesIndices des dpenses des touristes franais hors de France

Le choix de la mthode de lissage exponentiel se fait en fonction de deux critres : La prsence ou non d'une tendance. La prsence ou non d"une saisonnalit.

Pour vous aider, tlchargez les sries : Transport annuel de passagers par Air France (cf. Transport de passagers

par Air France) Consommation trimestrielle d'essences d'aviation (cf. Consommation

d'essences d'aviation) Indices des dpenses des touristes franais hors de France (cf. Indices des

dpenses des touristes francais hors de France) Srie CVS Consommation Essence aviation (cf. Srie CVS Essences

d'aviation) Indices bruts mensuels de la production industrielle (base 2005) de

prparations pharmaceutiques (cf. Indices Production industrielle prparations pharmaceutiques)

Cours d'une action (en ) (cf. Cours d'une action)

59

Signification des abrviations

- L.E.S Lissage Exponentiel Simple

61

Bibliographie

[Introduction la mthode statistique] Introduction la mthode statistique. GOLDFARB B., PARDOUX C. (2011), DUNOD, Collection Economie Module, 6me dition

[L'analyse statistique des donnes : apprendre, comprendre et raliser avec Excel. ] L'analyse statistique des donnes : apprendre, comprendre et raliser avec Excel. AUBERT H., CHAPELAIN K., CHATELIN Y.-M., GOLDFARB B., GOUET H., GOUPY J., GRENIER E., MARTIN O., MORINEAU A., PARDOUX C., VAILL J. (2005) Editions ELLIPSES

[Mthodes de prvision court terme] Mthodes de prvision court terme. MLARD G. (2008) Editions de l'Universit de Bruxelles, Collection SMA, 2me dition

63

A. Dfinitions B. La prvision court terme C. Prsentation des sries tudies 1. Sries chronologiques non saisonnires a) Pas de tendance mais un changement de niveau b) Prsence d'une tendance la hausse

2. Sries chronologiques avec saisonnalit a) Srie chronologique avec saisonnalit trimestrielle b) Srie chronologique avec saisonnalit mensuelle

D. Indices lmentaires (exemple base 2005) E. Questions sur les indices F. Exercice rdactionnel A. Mthodes d'extrapolation B. Principe des mthodes de lissage exponentiel C. Choix des paramtres de lissage D. Caractristiques des mthodes de lissage exponentiel E. Les diffrents lissages exponentiels F. Exercice A. Le lissage exponentiel simple B. Formules de mise jour C. Choix de la valeur initiale D. Mise en uvre : calcul des prvisions par LES E. Rsum des erreurs de prvision F. Reprsentation graphique G. Exercice rdactionnel A. Le lissage exponentiel de Holt B. Choix des valeurs initiales C. Calcul des prvisions par le lissage de HOLT D. Reprsentation graphique E. Exercice rdactionnel A. Deux modles de composition, deux mthodes B. Valeurs initiales C. Cas d'un modle additif 1. Consommation trimestrielle d'essences aviation 2. Dcomposition saisonnire 3. Prvision avec le modle additif 4. Mise en oeuvre 5. Calcul des prvisions par le lissage de Winters 6. Reprsentation graphique

D. Cas d'un modle multiplicatif 1. Indices de fabrication de prparations pharmaceutiques 2. Dcomposition saisonnire 3. Prvision avec le modle multiplicatif 4. Mise en uvre 5. Calcul des prvisions par le lissage de Winters 6. Reprsentation graphique

E. Exercice rdactionnel A. Conclusion gnrale A. Dcomposition saisonnire B. Version imprimable du module

Documents

Publication Papier Prevision 130104