Quantification du champ electromagnetique au voisinage d'un miroir

We quantify the electromagnetic field in a half-space b o ~ ~ n d e d by a perfect mil-ror. By analogy with the quantization near a dielectric. by Carniglia and Mandel. we use d o ~ ~ b l e t modes obtained by superposition of incident and reflected waves satisfying Fresnel's conditions. These functions form a complete basis in the space of the field states. By expanding the electromagnetic field in terms of these doublet modes, the energy and the impulsion parallel to the mirror reduce to the sum of the contributions of independent harmonic oscillators. It is therefore possible to quantify a s in a free field. We use successively Maxwell-Minkowski's tensor and de Broglie's. With the latter. the calculus is more straightforward and easier than with the former. The interest in quantum formalism of doublet modes is that interactions with the electromagnetic field near a mirror can be studied a s in a free field.

Can. J . Phyh. . 5.5. 1259(1977)

1. Introduction 1'Ctude des interactions mati6re-rayonnement au

plan metallique

Lnhortrtoirc, tic Recl7e1~cllc,s Optiq~~c. .~, F(rcr11tP r1e.c Scic~~lce.~ dr Reir?r.s, B. P. 347, 51062 Reirns CPcles, F~.c~tlce

RAYMOND PAYEN Dkpl,crrternerlt cle Mertlic;nrcrtic/r~e.r, Fcrcr~ltP dc's S(.ii,rlc.~.\ (Ic Reims, B. P. 347. 51062 Reirns CPde.r, Frcrnce

ReGu le 26janvier 1977'

Nous q~lantifions le cliamp electromagn6tique dans Lln demi-espace limite par Lln miroir plan metal l iq~~e p:ufait. Cette quantification, inspiree de celle que Carniglia et Mandel ont proposee pour I'ktude des phenomenes d'intelnction matiere-rayonnement all voisinage d ' ~ ~ n dioptre, est obtenue p:~rdecomposition du champ electromagnetique au voisinage d'nn miroir sur une frimille de modesdo~~bletsconstr~~itsparsuperposition des parties incidente et reflechied'une onde plane homogene. La decomposition du champ ClectromagnCtique sur la base de ces modes doublets permet d'ecrire son Cnergie ainsi que son imp~llsion parallele aL1 miroir comme sommes de contributions d'oscillateurs harmoniques independants et donc de le quantifier comme le champ libre. Nous effectuons cette quantification en utilisant s~rccessivement les tenseurs densites d'energie-impulsion de Maxwell-Minkowski et de de Broglie. L'emploi du tenseur de d e Broglie s'avere, et pa~ticulierement dans notre cas, plus simple et mieux i~dapte aLI formalisme q u a n t i q ~ ~ e que celui du tenseur d e Maxwell-Minkowski pourtant plus couramment utilisk. Ce formalisme quantique des modes doublets, permet de traiter les problemes d'interaction matiere- rayonnement au voisinage d'un miroir plan, en utilisant les methodes employees habituellement pour les interactions dans un champ libre.

Nous quantifions le champ ClectromagnCtique dans un demi-espace limit6 par un miroir plan mitallique parfait.

Cette quantification est obtenue en dCcom- posant le champ ClectromagnCtique au voisinage du n~iroir sur une famille orthogonale compl6te de modes doublets construits par superposition des parties incidente et rCflCchie d'une onde plane homoghe. La dCcomposition du champ Clectro- magnitique sur la base de ces modes permet d'tcrire son Cnergie totale comme la somme des contributions d'oscillateurs harmoniques indC- pendants et donc de le quantifier comine le champ libre. Cette f a ~ o n de procCder est analogue a celle que Carniglia et Mandel(l971) ont proposCe pour

'Revision reGue le 24 mars 1977.

voisinage d'un dioptre plan. Nous Clargissons cependant leur Ctude en abordant un certain nombre de questions nouvelles. Nous Ctudions en particulier le probleme de la quantification de l'impulsion parallde au miroir, du champ Clectromagnttique. Notre dimonstration du caract6re complet de la famille des modes doublets est diffirente de celle que Bialynicki- Birula et Brojan (1972) ont proposC pour les modes triplets de Carniglia et Mandel et Cvite I'emploi de I'opCrateur A - I dont l'existence serait A justifier.

Nos calculs de quantification sont effectuCs en utilisant successivement les tenseurs densit6 d'inergie-impulsion de Maxwell-Minkowski et de de Broglie (de Broglie 1940). Ils mettent en evidence que ce dernier tenseur est d 'un emploi

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plus rapide parce que mieux adapt6 au for- malisme quantique.

Ce travail, qui permet ainsi d'aborder un certain nombre de questions thkoriques con- cernant la quantification au voisinage d'un milieu, permet Cgalement de definir Lln for- malisme quantique simple permettant dlCtudier les interactions matiere-rayonnement au voisi- nage d ' ~ l n miroir comme si elles avaient lieu dans un champ libre.

1. DCcomposition du champ Clectromagnktique en modes doublets

On considere, dans un systeme d'axes ortho- norm& Osyz, le demi-espace vide z > 0 dC- limit6 par 1111 miroir mCtallique plan infini, suppose parfait, plact en z = 0 et dont la surface rkfltchissante est toilrnCe vers les I. > 0.

La reflexion sur le miroir (fig. 1) d'une onde plane homogene incidente (indice supCrieure "I") E1(K, s, r ) de pulsation o, de vecteur d'onde K = (K,, K,, K,), K, < 0 et de polarisation s (s valant respective~nent 1 OLI 2 s'il s'agit d'une onde transverse Clectrique (TE) ou transverse magnktique (TM)) donne naissance i une onde reflechie (indice superieur "R") ER(K, S, r) de vecteur d'onde: K R = (KIR, KZR, K3R), et de m&me polarisation.

Les lois de la reflexion conservant le caractere TE ou T M de I'onde et imposant A K et K R de verifier les relations :

nous choisissons de caracttriser les deux parties, incidente et rCflCchie, de l'onde homogene par le seul vecteur d'onde K de la partie incidente, et par I'indice de polarisation s.

Au point r = (x, y, z) les amplitudes com- plexes du champ Clectriq~le E(K, s, I.) et du champ magnCtique B(K, s, r ) s'exprimeront donc en fonction de leurs deux parties incidente et rCflCchie de la maniere suivante:

Soient, c le vecteur unitaire dans la direction K du vecteur d'onde de l'onde incidente, cR celui de la direction KR de I'onde rCflCchie, et E le vecteur unitaire perpendiculaire au plan d'inci- dence (dont le sens sera celui de c,, A z oh c , , est la composante de c parall6le au miroir, et z le vecteur unitaire de I'axe Oz). Ces vecteurs dCpendent de K mais cette dCpendance n'a pas CtC explicitke

FIG. 1. Description du rtftrentiel et des grandeurs caracttristiques d'un mode doublet.

dans les notations pour ne pas les alourdir. Lorsque nous aurons i considirer un autre vecteur d'onde K', nous les Ccrirons respective- ment c'. ciR. E' . , ,

Les vecteurs de polarisation ~ ( s ) et zR(s) (S = 1, 2) de la partie incidente et de la partie rCflCchie sont donc, pour s = 1 :

le signe - dans ~ ~ ( 1 ) provient des conditions de continuit6 du champ Clectrique lors d'une riflexion metallique parfaite qui iniposent un dCphasage de ~c entre I'onde incidente et l'onde rCflCchie, et pour s = 2:

[4] ~ ( 2 ) = - C E, ER(2)= -cR A E

(le vecteur ~ ~ ( 2 ) est le symitrique de ~ ( 2 ) par rapport i l'axe Oz et peut slCcrire sous la fornie indiquCe car E, = 0).

Avec ces notations, on a dans le demi-espace z > 0:

et, pour z < 0 :

Pour le champ magnktique:

[7] BJ(K, s, r ) = c A E'(K, s, r )

[8] B R ( ~ , s, u ) = cR A ER(K, S, i.)

Le coefficient 1/a qui apparait dans les ex- pressions [5] et [6] sera justifit lors de la quantification du champ Clectromagnktique au voisinage du miroir: avec ce choix du facteur de

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normalisation, 1'Cnergie d'un mode doublet de pulsation o sera h o .

Avec toutes ces pricisions, les deux Cq~rations 2 dkfinissent ce que nous appellerons Lrn "mode doublet" du champ ClectromagnCtique. Ces modes, analogues aux modes "triplets" intro- d~rits par Carniglia et Mandel (1971) pour quantifier le champ au voisinage d'un diClectri- que, sont nuls pour z < 0, satisfont 1'Cquation de Helmholtz dans le vide:

et sont de divergence n~rlle dans le demi-espace z > 0:

11s forment, nous allons le voir, une base orthonormale complete du sous-espace des fonctions de divergence nulle, nulles pour tout z < 0.

2. Relations d'orthogonalit6 Le calcul des prod~rits scalaires des modes

doublets [2], effect~rC en utilisant les formules [5] [8] conduit aux relations d'orthogonalitC suivantes :

[ I l l jE'$(K, s, r ) . E(K', st, r ) d3r = 4(27~)~8(K - K')6,,,

[I21 jB'"K, s, r ) . 23(K1, s', r ) d3r = 4 ( 2 7 ~ ) ~ 6 ( ~ - K1)8,,,

Pour dCmontrer la premiere de ces relations, dCveloppons le prod~rit E'::(K, s, r ) . E(K1, s t , r ) suivant ses parties incidentes et rCflCchies en utilisant [2]:

[13] jE:!:(K, s, I . ) . @(Kt, sf, r) d3r = jE1:"K, s, r ) . E1(K', s ' , r ) d3r + jE1":(K, s, r ) . ER(K', s', r) d3r

+ jER*(K, s, r ) . E1(K', s f , r ) d3r + jER:::(K, 3, r ) . OR(K', s ' , r ) d3r

Les relations [I] liant les cornposantes paralleles au miroir des vecteurs d'ondes incident et rCflCchi, et les expressions explicites [5] et [6] de O1(K, s, r ) et ER(K, S, r ) permettent de mettre en facteur dans l'expression [I31 l'intigrale suivante:

[I41 c I - - jjdX dy e j ( K ~ ' - K ~ ) * e j ( h . z ' - " z ) ~ = (2n)28(~1 - K ~ ~ ) ~ ( K ~ - K ~ / )

qui i~nplique que seuls les modes E(K, s, r ) et @(Kt, s', r ) ayant m h e plan d'incidence ont line contribution non nulle a l'intigrale [13]. I1 s'ensuit alors, d'apris la definition de E que E = E ' , donc:

et 1'intCgrale [13] ne sera diffkrente de 0 que si s f = s. ConsidCrons d'abord le cas s = s' = 1 (modes transverses Clectriques). Notons E et O' au lieu de

O(K, s, r ) et E(Kf, s', r). Les quatre intCgrales au second membre de [13] calculCes a l'aide de [5] et [6] deviennent, puisque E . E' = 1

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En regroupant ces quatre rks~lltats, les parties principales s'kliminent. I1 reste donc B considkrer les niesures de Dirac 6(K3 + K,') et 6(K3 - K,'). La premiire a tvidemment une contribution nulle dans toutes les intkgrales que nous aurons a considkrer puisque K3 et K,' sont tous deux negatifs d'apres [I]. I1 vient alors:

On dkmontre de la ni&nie nianiere [ l l ] pour s = s' = 2 (niodes transverses magnktiques), et I'kgalitk [12].

Des calculs analogues conduisent aux relations

qui interviendront dalis le calcul des grandeurs dynamiques des champs. On en dkduit

P o ] J(E(K, s, r ) . E(K1, s f , r ) + 9 ( K , s , r ) . 9(K ' , s f , r)) d3r. = 0

3. Caract6re complet de la base des modes doublets Bien qu'inspirke de la niCthode employte par Bialynicki-Birula et Brojan (1972) lors de leur ktude

du caractere coliiplet de la base des liiodes triplets de Carniglia et Mandel (1971), la mkthode que nous dkveloppons ici est diKkrente, et evite I'emploi de l 'operate~lr inverse A - ' dont la dkfinition devrait Etre justifike.

NOLIS eniployons le formalisme des espaces de Hilbert et considkrons les niodes doublets et les champs Clectromagnttiques comme appartenant B I'espace H des fonctions de R3 dans C 3 de carrks sommables. Notons H I le sous-espace de H des ktats ~ L I champ Clectromagnktiq~~e (c'est-$-dire le sous-espace des fonctions nulles pour z < 0 et de divergence nulle pour z > 0) et H, le sous-espace de H engendrk par la fa~nille des fonctions E(K, s , r ) dkfinies par [I], [S] et [6].

Ayant remarquk que H , est inclus dans H I (ce point est inimkdiat puisque, par dkfinition, les nlodes do~tblets sont des fonctions vectorielles nulles pour z < 0 et de divergence nulle pour z > 0) i l suffit, pour dCmontrer que la fan~ille des modes doublets est une base complete de H , , de montrer que H I est inclus dans H,.

Pour dkmontrer cette inclusion nous dkfinissons le projecteur I? de H sur H , et nous montl.erons que la restriction de I? H , est I'identitk.

3.1. E,xpression esplicite r(u projecteur I? cle H ssur H , Puisque, par dtfinition, H, est engendrk par les fonctions @(K, s, r ) qui sont orthogonales d7apri.s

[ l l ] , cette faniille de fonctions constitue une base orthogonale de H,. Le projecteur sur H, est donc la transformation qui, B Llne fonction f ( r ) E H, de coniposantes fi(r) (i = 1, 2, 3), fait correspondre la fonction g(r ) de composantes gi(r) telle que

Ei(K, s, r ) dksignant le i'"" composante de E(K, s , r). Puisque les vecteurs ~lnitaires &(I) et ~ ( 2 ) forment avec le vecteitr K un triidre orthogonal, on a la

formule bien connue:

qui va perlnettre de simplifier les calculs. Pour utiliser cette formule [22] dkfinissons q j ( j = 1, 2, 3)

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par q , = q z = - 1 , q 3 = I . D'apres [3] et [4], et en tenant colnpte du fait que &,(I) = ~ ~ ~ ( 1 ) = 0, o n a pour tout i ( i = 1, 2, 3 ) e t t o u t s ( s = 1, 2):

[23 I ~ ~ ~ ( s ) = 11; E;(s) L~ ,-&me composante E,(K, s, r ) s'tcrit alors (0(z) t tant la fonction d'Heaviside).

et I'on a :

(ejKsz + q i e-jK~=)(e-jK~z' + q j ejK3" )e(z)e(z') En utilisant [22], et en dtveloppant [25],

On fait donc apparaitre dans la deuxieme inttgrale le facteur:

En considtrant les difftrentes valeurs de i et j, il apparait qu'en changeant K, en - K,, ce facteur se change en:

Par constquent, en effectuant le change~nent de variable K, + - K, dans la seconde inttgrale de [26], I'inttgrant devient celui de la premiere inttgrale, tandis que le domaine d'inttgration devient K, > 0. Donc [26] se ramene 8 une seule inttgrale e f fec t~~ te sur tout I'espace des K:

3.2. La restriction de K ci H, ?st I'iclentite' Soit l ~ ( r ) une fonction vectorielle appartenant 8 H,, i.e., nulle pour z < 0 et de divergence 11~1lle

pour z > 0, et soit ( ~ k ) ( r ) sa transfornite par K, c'est-8-dire sa projection sur H,. ALL vecteur r = (.K, y, z) associons le vecteur i. = (x, J*, -z). 11 rtsulte de [27] que:

Par hypothese, k(r) est nulle pour tout z < 0, donc

/lj(rl) O(zl) = 17j(r')

et puisque la divergence de h(r) est nulle presque partout, on a par transformte de Fourier

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donc,

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0

Pour z > 0, hi(?) = 0, et l'on a bien le rtsultat cherchC:

[29 I (I? ( r ) = l l i ( ~ )

Toute fonction de H l appartient a Ho et puisque nous savions dCja que Ho c H I , i l s'ensuit que H , = H I . La fa~nille des modes doublets est donc une base complkte de H I .

4. Quantification 4.1. Eqression d ~ r chan7p e'lectrot17agne'tiq~re

Tout champ Clectrique E(r, t ) peut &tre dCcomposC suivant la base orthonor~nale des fonctions E(K, s, r ) oh K3 < 0, s = 1, 2. En unitCs MKSA, l'expression la plus gCntrale de E(r, t ) s'Ccrit:

Pour le champ niagnttique, on a la proprittk analogue:

Dans ces expressions, oh v(K, s) est une amplitude complexe, le facteur J- a t t t choisi de f a ~ o n a donner ulterieurement une forme simple au hamiltonien du champ.

En choisissant une jauge transverse, le potentiel vecteur s'Ccrit de meme:

4.2. Expression de I'e'nergie totale du champ &lectrot17agr7Ptique En utilisant la densitt d7Cnergie de Maxwell-Minkowski, l'hamiltonien du champ s'tcrit dans le

vide :

Les relations [30], [31], [ I l l , [12] et [20] conduisent alors sans difficult6 l'expression: 2

C341 d 3 ~ 1 hw{v*(K, s)v(K, s) + v(K, s)v*(K, s))

4.3. Quantification du chai17p. Ope'rateurs de cre'ation et d'annilzilatior7. Etats du char~y e'lectroi17agi7e'tique

L'expression prkctdente [34] montre que l'tnergie totale du champ tlectromagnttique est tgale la somme des contributions de chacun des modes pris indkpendamment les uns des autres. Chaque mode satisfaisant a l'tquation 9 de Helmholtz la situation est donc exactement celle que I'on trouve pour le champ libre oh l'tnergie s'exprime comme la somme des Cnergies d'oscillateurs harmoniques indtpendants. Pour quantifier, nous proctderons comme dans ce dernier cas, en faisant correspondre aux amplitudes complexes v'YK, s) et v(,K, s) du champ [30] les optrateurs de crtation a+(K, s) et

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GROSSEL ET AL. 1265

d'annihilation D(K, s ) du mode (K, s). On impose Q ces opCrateurs les relations de commutation:

[351 [8(K, s ) , D(K1, s t ) ] = [D+(K, s ) , D+(K1, s ' ) ] = 0

[361 [D(K, s) , b+(K', s ' )] = g(K, s ) 6(K - K') 6,,.

Dans cette dernikre Cgalitt, g(K, s ) est un nombre complexe qui doit &tre pris tgal B 1 pour que l'optrateur ,.

soit l'opirateur nombre de modes. Donc

[371 [D(K, s) , D+(K1, s ' )] = 6(K - K1)6,,,

L'introduction des optrateurs D(K, s ) et b+(K, s ) permet d'tcrire les opCrateurs E(r, t ) , ~ ( r . , t ) et A(,., t ) :

et d7aprCs [34] I'opCrateur Hamiltonien s'Ccrit:

H = S d 3 K 2 h : ( b i ( ~ , s)B(K, s ) + B(K, s)6+(K, s)) K 3 < 0 s= 1

ou, encore, sous forme normale:

Soit ( 0 ) l'ttat vide du champ ClectromagnCtique. On a :

D(K, s) ( 0 ) = 0

et l'ttat IK, s ) du champ Q un quantum de lumiere correspondant ail mode doublet de vecteur d'onde K, et de polarisation s est:

[43 1 IK, s ) = 2' (K, s)10)

qui, d'apres [37], vtrifie

(K ' , s'lK, S ) = 6(K - K1)6,,.

4.4. It?7pulsion hr chan~y On appelle impulsion la grandeur physique liCe l'invariance par translation. Dans le demi-

espace z > 0, le champ ClectromagnCtique expriniC a l'aide des modes doublets est invariant i~nique- ment lors d'une translation parallele au miroir. Nous ne difinirons donc qile l'impulsion parallele au miroir de composantes P, et P,. En d'autres termes, la localisation partielle du champ dans la direction Oz (dans le demi-espace z > 0) mkne Q I'impossibilitC de dCfinir l'impulsion perpendiculaire au miroir, a partir d'un principe d'invariance par translation.

En i~tilisant la densit6 d'impulsion de Maxwell-Minkowski, l'impulsion P,, (parallele a u miroir) d u champ s'tcrit, en unitts MKSA:

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1266 C A N . J . P H Y S . V O L . 55. 1977

En rempla~ant les champs E(r, t ) et B(r, t ) par leurs expressions [30] et [31] on a :

x x x {v*(K, s)v(Kf, s') e""-"')'(E*(K, s, r.) A 23(K1, s f , S 5 '

+ v(K, s)v(K1, s') e-j(Of "')' (C(K, s, r ) A 23(K', s', + c.c.)

Pour calculer cette expression, ttudions stpartmelit les inttgrales sur r des deux produits vectoriels intervenalit dans [44]. En utilisant [7] et [8] , en notant ell la composante de c parallele au plan du niiroir, et en relnarqua~it I'tgalite c l l R = e l , , on a :

[45] ld3r(E(K,s, r ) A 'T3(K1, s t , = 1 {OZi'(K, s, r ) A (c' A O1(K',s', r ) )

+ O'?(K, s , r ) A (cIR A ER(K', s ' , 1'))),/ d3r

= [ {(eq c.' K, s, r ) . B(K1, s ' , r ) ) e l ! ' - (E3(K, s , r ) . c')

x EI l1 (K ' , s', r ) - (E';'(K, s, r ) . c fR) E l lR(K ' , s t , r ) ) d3r

Utilisant la relation d'orthogonalitt [ I 1 ] le premier terlne de cette dernitse inttgrale s'tcrit:

[46 1 J(E:k(K, s, r ) . E(K1, s f , r ) )cI i1 d3r = J(27rI3 6(K - K')S,,, c I l '

Pour tvaluer les deux autres ternies, nous dtcomposons les tgalitts [ 5 ] et [6] suivant les coni- posantes paralleles ail niiroir indicees par 1 1 , et les colnposantes perpendiculaires ail miroir indictes par 1. O n a, puisque = - :

[47] J {(B*(K, s, r ) ~ c l ) . C I 1 ' ( K ' , s f , r ) + (E*(K, s, r ) ~ c ' R ) ~ B , l R ( K ' , st, I.)) d3r

d3r(e-jKR.~'. ejKL. + e-jK.v.ejKr~.v) E ' s') +- ( E l ( s ) . c , , - EL(.). c;)

La prtsence simultante de exp j(K,' - K,)z et exp j(K3 - K3')z dans la premiere intkgrale, et de exp j ( K , + K,')z et exp j(- K, - K3')z dans la seconde, Climine les parties principales. I1 ne reste i considtrer que les mesures de Dirac. La seconde inttgrale conduit ail ternie 6(K3 + K,') qui a ilne contribution nulle dans I'inttgrale [44] donnant P l i puisque K3 < 0 et K,' < 0. La premiere intt- grale donne un terme en 6(K - K t ) Ceci exige que les deux modes O(K, s, r ) et O(K1, s ' , r ) aient le m i m e plan d'incidence et qile les vecteurs c et c' soient tgaux. L'inttgrale correspondante est alors nulle p~l isqi~e:

et [45] se rtduit au seul terme [46]. La seconde inttgrale intervenant dans [44] se calcule de maniere analogue en rempla~ant O:"(K,

s, r ) par B(K, s, r ) et l 'on a

[48] l d 3 r ( B ( ~ , s, r ) A 23(K1, s ' , r . ) ) ( ( = + ( 2 ~ ) ~ 6 ( ~ , + KI f )6 (K2 + K2')6(K3 - K,') 6,,, ell' Reportant ces rtsultats dans [44], et introduisant le vecteur

K = ( - K 1 , -K2 , K3) si K = ( K 1 , K2, K3)

l'impulsion paralli.le s'Ccrit :

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Dans la derniere intkgrale de [49], l'integrant est Line fonction impaire de K , et K2, donc cette intigrale est nulle et, finaleiiient, on a pour I'impulsion parallele au miroir

1 0 2

P - - ' I - ' j K 3 < 0

d3K 1 hKll(u*(K, s)u(K, s) + u(K, s)u*(K, s)) s= 1

Le remplacement des anipli t~~des coinplexes u'>(K, s) et v(K, s ) par les opCrateurs Df(K, s) et D(K, s ) perinet d'icrire I'expression q~~antifiCe de l'impulsion parallde Pl l du chanip ClectroniagnCti- que :

~5 11 ~ K ~ ~ ( D + (K , s)D(K, s) + D(K, s)Df (K , s))

La comparaison de cette relation avec l'expression [41] de fi montre que les opirateurs D f (K , s) D(K, s ) peuvent i tre interpretes coinme les densitis du no~nbre inoyen de modes IK, s ) , d'energie hw, de polarisation s, et dont l ' iiiip~~lsion parallele au miroir est h K I I .

4.5. Einl~ioi tei?seLir cle de Broglie Costa de Beauregard et al. (1971) ont montrC que le tenseur de Maxwell-Minkowski lie dCcrivait

pas de maniere adeq~iate les proprittes des q ~ ~ a n t a de luiniere dans I'oiide Cvanescente, et que le tenseur asymitrique de de Broglie (1940) Ctait mieux approprik a cette Ctude.

Dans le cas d'une onde honiogene se propageant dans le vide, tel celui que nous Ctudions, il est cependant bien connu que les deux tenseurs conduisent 5 des expressions identiques de I'impulsion et de I'Cnergie totale du champ. Nous avons pourtant pens6 qu'il ne serait pas inutile de presenter les calculs effectues a l'aide du tenseur de de Broglie, et de les coiiiparer avec ceux issus du tenseul- de Maxwell-Minkowski, car I'ClCgance et la siniplification apportCes par le tenseur de de Broglie est encore plus nette que dans le cas usuel.

Introduisa~it le tenseur t lectromagntt iq~~e H'j,

Hi' = a i ~ ' - 3 ' ~ '

et I'opCrateur de Gordon [ a ' ] = a i - a i

3 t

le tenseur asymitrique de densite d'inergie-impulsion de de Broglie s'icrit:

T" = +~j"[a i ] A,

soit encore, la jauge Ctant choisie transverse dans le repere du miroir:

[521 ~ ' j = g ( a i A . a j ~ - ( a i j ~ ) . A )

La densite d'energie correspond au terme T44, la densit6 de la composante i de I'impulsion a u terme Ti4.

Calculons pour commencer l'hainiltonien du champ. Utilisant [52], on a, en unitis MKSA:

La grande siniplification des calculs provient du fait que la derivation par rapport au temps se r a m h e au produit de I'intkgrant par f jw, et fait ainsi directenient apparaitre les relations d'ortho-

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1268 CAN. J. PHYS. VOL. 55. 1977

x {(v(K, s)v(Kf, s1)E(I(, s, r.).E(K1, st, r . ) e-j("'"')'

+ v*(K, s)v(K1, s1)E*(K, s, r.).E(K1, st , r.) ej(w-"')' ) + c.c.}

Les relations [I I ] et [I81 font apparaitre les lnesures de Dirac 6(K - K') et 6(K - Kt) , ce qui conduit, lors de l'integration en K', B prendre w = to'. Les deux terlnes en E(K, s, r . ) . E(K1, s f , r . ) de ( a ~ l a t ) ~ annulent ceux de - (a2A/at2) . A, et l'on retrouve l'expression [34]:

1 P 2

Calculons maintenant les composantes x et y de l'impulsion du champ. L'expression [52] de T'" conduit pour Px a :

Le calcul sera aussi simple que celui de H, puisque les dtrivations par rapport a t et x reviennent multiplier les termes de I'intCgrant de [55] respectivement par -jo et jK,, et conduisent B des expressions oiI apparaissent, coln~ne dans le calcul de H, les relations d'ortho- gonalitC [I 11 et [Is]. On retrouve ainsi l'kgalite 15 1 I.

La comparaison de ces calculs avec ceux effectuCs i l'aide du tenseur de Maxwell- Minkowski permet de mettre en Cvidence leur grande simplicitC: le tenseilr de Maxwell- Minkowski conduisait pour PI, i des somnies de doubles produits vectoriels dont il fallait calculer toutes les composantes. Le tenseur de de Broglie conduit directenient aux relations d'orthogonalitC Ctablies pour quantifies le champ. Le calcul est alors non seuleinent plus direct, niais mieux adapt6 au formalisme quan- tique.

5. Conclusion La dtcomposition du champ ClectromagnCti-

que, au voisinage d'un miroir, en modes doublets, fournit un formalisme oh la prCsence du miroir intervient i~niquement dans la dCfini- tion des Ctats du champ. I1 en rksulte que les mCthodes habiti~elles d7Ctudes des interactions mati2re-rayonnement dans un champ libre s'appliqueront directement ail voisinage du miroir, comme nous l'avons fait pour Ctudier I'effet Cerenkov, l'absorption et I'effet Ralnan au voisinage d'un dioptre plan et, en particulier dans I'onde evanescente de Fresnel (Vigoureux et Payen 1974, 1975a,b).

BIALYNICKI-BIRULA, I . et BROJAN, J . B. 1972. Phys. Rev. D, 5,485.

DE BROGLIE, L. 1940. La mecanique ondulatoire du photon, Hesmann. Paris, France.

CARNIGLIA, C. K. et MANDEL, L. 1971. Phys Rev. D, 3, 280.

COSTA DE BEAUREGARD, O., IMBERT, C. et RICARD, J . 1971. Int. J . Theor. Phys. 4, 125.

VIGOUREUX, J . M. e t PAYEN, R. 1974. J. Phys Paris, 35, 617. - 1975rr. J . Phys. Paris, 36,631. - 19751~. J . Phys. Paris, 36, 1327.

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