Quelques réflexions sur Quelques réflexions sur l'enseignement de la l'enseignement de la géométrie au collègegéométrie au collège

Argumenter démontrer Argumenter démontrer Utilisation du dessinUtilisation du dessin

Quelques réflexions sur Quelques réflexions sur l'enseignement de la l'enseignement de la géométrie au collègegéométrie au collège

Argumenter démontrer Argumenter démontrer Utilisation du dessinUtilisation du dessin

Sylvie CoppéSylvie CoppéIUFM de LyonIUFM de Lyon

Évolution du contrat• La plupart des objets géométriques

sont construits dès l’école primaire

• Evolution du rapport institutionnel à la géométrie au cours du cycle de 6ème, 5ème et 4èmene porte pas sur les objets mais de nombreux changements portent sur le contrat

Evolution porte sur : • Les types de tâches (reconnaître,

construire, justifier, démontrer, décrire, etc)

• L’utilisation du dessin

• Les types d’argumentation

• Les écrits

Programme du collège

6ème 5ème 4ème

- expérience, intuition- construction, reconnaissance- dessin/objet matériel

- raisonnement, déduction- démonstration- dessin/outil-représentant

GGéométrie pratique Géométrie théoriqueGéométrie théoriqueDualitéDualité

Cadre théorique d’interprétation

• Travaux de Houdement et Kuzniak sur le passage d’une géométrie pratique à une géométrie théorique suite aux travaux de Gonseth– Intuition– Expérience– Déduction

Comparaison des Géométries

Géométriepratique

Géométriethéorique

Intuition Sensible et perceptive

Liée aux figures

Expérience Liée à l’espace mesurable

Schéma de la réalité

Déduction Proche du réel et liée à l’expérience par la vue

Démonstration basée sur des axiomes

Liens entre Intuition, Expérience, Déduction

ExpérienceExpérience IntuitionIntuition

nourritnourrit

structurestructure

« La déduction avance mais ne voit pas.L’intuition voit mais n’avance pas. »

1)

2)

3)Évidence renseignement

issue de l’intuition # issu de l’expérience

Résultat d’une expérience # conclusion d’un raisonnement 

Exemple d’évolution du contrat

Prouver que (AH) et (d) sont parallèles.Justifier la réponse.

Exercice:

Dessin/ figure• Dessin : trace matérielle sur une feuille

représentant un objet géométrique• Figure : objet théorique• « La figure géométrique est l’objet

géométrique décrit par le texte qui la définit, une idée, une création de l’esprit tandis que le dessin en est une représentation. »(Parzysz 1988)

Statut du Dessindessin-objet

matériel dessin-outil

- Produit attendu. - Reproduire, décrire, reconnaître, construire.

- Lire des informations, illustrer des énoncés. - Aider à la conjecture. - Soutenir une démonstration. - Vérifier des résultats.

Programmes• « Les diverses activités de géométrie

habitueront les élèves à expérimenter et à conjecturer, et permettront progressivement de s'entraîner à des justifications au moyen de courtes séquences déductives… » (programme de 5ème)

Argumentation/démonstration(Duval)

• Continuité ? • Oui car activités de raisonnement, de preuve.

démonstration forme particulière de raisonnement : convaincre l'autre en utilisant des arguments

• Rupture ?• Oui sur le statut des arguments produits. Le statut

des propositions ne dépend pas du contenu des propositions mais du statut théorique fixé. (hypothèse, théorème, définition, etc).

De l’analyse à la prescription

• Analyse proposée par Duval de la structure d’un pas de déduction- permet de comprendre comment le savoir

fonctionne - permet d’analyser les productions des

élèves

• Prescription sur la rédaction d’une démonstration

Conséquences • Travail sur la démonstration est devenu un

travail sur une trace publique conforme à un schéma imposé

• Structure écrite figée des démonstrations– On sait que …– Si ….alors– Conclusion

• Tâche de l’élève : suivre ce schéma et non plus chercher à résoudre des problèmes

Pour le professeur• Évaluation porte trop sur la conformité à ce

schéma et non sur le raisonnement de l’élève.– Faut-il citer les théorèmes en entier ou non ?– Liste des propriétés– Car ? Comme ?– Problème du « on sait que »– Aspect recherche de problème en retrait– Rupture entre collège /lycée

Questions d’enseignement (1)

• Comment amener les élèves à passer d’une géométrie pratique avec un contrat didactique basé sur l’observation, l’utilisation des instruments, l’argumentation à partir du dessin à une géométrie théorique dont l’outil essentiel est la démonstration ?

• Les professeurs sont-ils conscients de cette évolution du contrat ?

Questions d’enseignement (2)

• Quelles situations vont favoriser ce passage ?

• Quel travail est fait par les professeurs pour introduire la nécessité de démontrer ?

• Quels outils les professeurs ont -ils à leur disposition ?

• Comment signifier aux élèves le changement de contrat et comment leur faire accepter ?

Questions d’enseignement (3)

• Est-ce que le dessin est utilisé comme un outil par les élèves ? Et comment peut-il l’être ?

• Est-ce qu’un travail est fait par les professeurs sur l’utilisation du dessin ? En quelle classe ?

• Est ce que les professeurs sont conscients du statut et du rôle du dessin ?

• Rôle et statut des définitions et des théorèmes ?

Questions d’enseignement (4)

• Quelles exigences sur la démonstration– à différents niveaux ?– notamment sur la rédaction ?

• Quel usage et quelle distinction est fait des définitions et des propriétés ?

• Quelle distinction entre recherche et rédaction est montrée par les professeurs ?

• Quelle formation donner aux enseignants sur la démonstration ?

Des réponses Étude des manuels de

5ème

• Formulation des questions :– « Quelle règle du cours permet d'affirmer que

….? » – « Choisis parmi les propriétés du cours celle

qui te permet de justifier que… »

Mais ….• Toujours trop d’exercices « fermés »

Montrer que ….

Plutôt que des questions ouvertes

• Souvent les résultats sont trop évidents

• Confusion avec le « on sait que »

Exercice ouvert : un exemple

Parmi les deux rectangles EMDL et ENBK, quel est celui qui a la plus grande aire ?Justifier la réponse.

Exercice:

Entrée – Tâches - SortieEntrée Tâches Sortie

dessin reproduction dessin

dessin description, justification

texte

texte construction dessin

texte justification texte

Classification des dessinsdessin singulier

• 1- Dessins respectant la description faite et les mesures d'angles, de longueur ou les rapports de longueur ainsi que les codages et indications

• 2 -Dessins faits à la règle respectant le parallélisme ou l'orthogonalité, les rapports de longueur mais pas les mesures de longueur ou d'angle

Classification des dessinsclasse de dessins

• 3 -Dessin faits à la règle sans aucune mesure indiquée et sans aucune indication (souvent à compléter)

• 4 -Dessins faits à la règle avec indication de parallélisme ou perpendicularité ou sur quadrillage ou sur papier pointé sans aucune mesure

Classification des dessins

• 5- Dessins à main levée : les traits sont volontairement non droits pour accentuer l'aspect dessin sans instruments

• 6 -Dessins explicitement désignés comme faux: ces dessins, tracés à la règle, ne respectent aucune indication et aucune dimension.

Conclusions• En entrée, variation d’un manuel à l’autre et

parfois dans un même manuel– Soit toujours de type 1 soit 2– Soit variable dans le manuel

• En sortie variation dans un même manuel– Quelquefois on demande de type 1, ou 2 ou 5,

cela dépend de l’exercice

Conclusions (suite)• Pour le dessin outil, c’est -à-dire qui sert à

l’argumentation :– Soit dessin particulier avec les mesures données,

propriété générale demandée– Soit figure décrite générale, propriété à démontrer

générale, dessin à main levée demandé.– Soit pas demandé explicitement, laissé à la

charge de l’élève.

Dessin faux Exercice n°1 : En utilisant les indications portées sur la figure à main levée, dire quelle est la nature du parallélogramme ABCD. Justifier la réponse.

Dessin à main levée• Intérêt pour l’élève : il peut reporter les

données de l’énoncé sans se soucier de l’exactitude du tracé.

• Moins long à tracer, pas d’instruments

• Aide à la conjecture, permet de se représenter la situation

Dessin à main levée: intérêt pour le professeur

• L’élève ne peut effectuer de contrôle perceptif simple ou instrumenté: on pense que cela devrait le forcer à passer au raisonnement déductif.

• MAIS souvent c’est cet aspect qui est privilégié et non l’aspect aide à la démonstration

En guise de conclusion• Redonner une place au dessin à main levée

en tant qu’outil de recherche et de conjecture • Ouvrir les questions des problèmes• Favoriser la résolution de problèmes

géométriques et les phases de recherche plutôt que les exigences de rédaction

Conclusion (suite)• Mettre en place des activités qui permettent

de travailler sur le statut des propositions ou sur le codage des dessins à côté des activités de démonstration

• Laisser se construire l’apprentissage de la démonstration tout au long du collège

• Redonner une place à la démonstration en algèbre pour donner du sens à l’outil algébrique