$. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, SCrie I, p. 43-48, 1997 Equations aux dCriv6es partielles/Partia/ Differential Equations

Quelques remarques sur les ophrateurs de Fredholm et application k 1’6quation de transport

Aref JERIBI

Dbpartement de Mathbmatiques, kquipe d’analyse spectrale, CNRS URA 2053,

Universit6 de Corse, Quartier Grossetti B.P. 52, 20250 Corte, France.

E-mail : jeribi@lotus.univ-corse.fr

Rhm& Nous prksentons quelques rksultats portant sur les opkrateurs de Fredholm faisant interveuir des opkrateurs B puissances compactes. Nous discuterons ensuite leur incidence sur l’kquation de transport.

Some remarks on Fredholm operators and application

to transport equation

Abstract. We present some results on Fredholm operators involving power compact operators. Their influence on transport equation is also discussed.

Abridged English Version

Let A be a closed, densely defined operator in a Banach space X. A is a Fredholm operator if the null space N(A) of A is finite-dimensional and the range R(A) of A is closed and finite- codimensional in X. The Fredholm domain of A, @A, is given by:

(PA := {A E C such that X - A is a Fredholm operator on X}.

We definite the Fredholm spectrum of A by:

aF(A) = {A E C such that X $! @‘A},

and the essential spectrum of A by:

~ss(A) = f-) 4-4 + C), CoqX)

where K(X) stands for the ideal of all compact operators on X.

Note prhentbe par Pierre-Louis LIONS.

0764~4442/97/03250043 0 Acadhie des Sciences/Elsevier. Paris 43

A. jeribi

DEFINITION. - An operator A E C(X) is called strictly singular if the restriction of A to any infinite-dimensional subspace of X is not an isomorphism.

Let (0, C, CL) be a measure space and let K be a compact metric space. The main result of this Note is the following:

THEOREM. - Let X be a Banach space isomorphic to one of the spaces L,(R, dp), 1 2 p 5 30, or to C(K), and let Al, A2 be two closed densely dejked operators on X. If there exists X E p (A,) n p(A2) such that (X - Al)-’ - (X - AZ)- ’ is a strictly singular operator on X, then

m(Al) = m(4).

G&rther, oess(Al) = am and f is a complex-valuedfunction holomorphic in some neighbourhood of a(A1) U a(Az), then

f(aess(Ai)) = o&f(A)), i = 172.

1. Notations et dkfinitions

Soit X un espace de Banach. Nous designons par L(X) (resp. C(X)) l’espace des operateurs lineaires born& (resp. non born&, fermes a domaines denses) sur X. Un operateur A est dit de Fredholm si R(A) est ferme et les deux quantites a(A) := dim[N(A)] et ,0(A) := codim[R(A)] sont finies, ou N(A) (resp. R(A)) d’ ‘g es1 ne 1 e noyau (resp. l’image) de l’operateur A. Le nombre i(A) := a(A) - ,0(A) est appele l’indice de A, et l’ensemble des X E C tels que XI - A est un operateur de Fredholm est nod @A. L’ensemble de tous les operateurs de Fredholm sur X est design6 par Q(X). Enfin, p(A) (resp. a(A)) designe l’ensemble resolvant (resp. le spectre) de l’operateur A.

Definissons l’ensemble P(X) par :

P(X) = {F E C(X) tel qu’il existe r E N* verifiant F’ E K(X)},

ou K(X) est l’ensemble des operateurs compacts sur X.

2. Rhltats

Soit A un operateur de Fredholm borne. Definissons les quantites r(A) et r’(A) par :

r(A) := J& a(A”), r’(A) := Jlap(A”) ;

et considerons l’ensemble

Q*(X) := {A E a(X) tel que r(A) < co et r’(A) < CQ}.

PROPOSRION 1. - Suit F un element de P(X) t e soit A = I - F. Alors il existe un entier nature1 n 2 1 tel que N(A”) = N(A’) et R(A”) = R(A”) pour tout k 2 n.

Notons que, si A = I - F avec F E P(X), alors, en utilisant la proposition 1 et [I%], theoreme 2.1, on voit que A E (a*(X) et r(A) = r’(A). Le th Coreme suivant presente une caracterisation des elements de G*(X).

THBOR~ME 1. - Suit A E ,C(X). L es d eux conditions suivantes sont equivalentes :

(i) A E a*(X), (ii) il existe un entier n 2 1, U E C(X) et F E P(X) tels que UA” = A”U = I - F.

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Quelques remarques sur les opikateurs de Fredholm et application A I’kquation de transport

REMARQUE 1. - Le theoreme 1 ameliore [ 121, theoreme 5.2, p. 124, oh la compacite de F est exigee. Comme consequence immediate du theoreme 1, now avons :

COROLLAIRE 1. - Soit A un ope’rateur de Fredholm tel que i(A) > 0 et r(A) < cc. Alors il existe un entier n 2 1, U E L(X) et F E P(X) tels que UA” = A”U = I - F.

Notons que la conclusion du corollaire 1 subsiste si, au lieu d’imposer i(A) > 0 et r(A) < 00, nous supposons i(A) < 0 et r’(A) < co.

D~~FINITION 1. - Un operateur A E L(X) est dit strictement singulier si sa restriction a tout sous-espace de X de dimension infinie n’est pas un isomorphisme.

Nous rappelons qu’un operateur compact est strictement singulier. La reciproque est, en general, fausse. Neanmoins, lorsque X est un espace de Hilbert, nous avons K(X) = S(X), ou S(X) designe l’ensemble des operateurs strictement singuliers dans X. Pour les proprieds de l’espace S(X) on pourra consulter, par exemple, [2], [5] et [ll].

Soit A E C(X). On d&nit le spectre de Fredholm de A par :

CTF(A) = {X E C tel que X $ +.A}

et le spectre essentiel de A par :

u,,,(A) = n c(A+ C). CEK:(X) Soit (a, C, p) un espace mesure et K un espace metrique compact. Darts ce qui suit, nous aurons besoin de l’hypothese suivante :

(H) X est isomorphe a l’un des espaces L,(R, dp), 1 5 p 5 cc, ou a C(K).

Nous deduisons imrrkdiatement, moyennant [ll], theoreme 1, et [ 131, theoreme p. 87, que si l’hypothitse (H) est satisfaite, alors S(X) c P(X).

Soit .T(X) l’ensemble des operateurs @-admissibles sur X, i.e. V E F(X) si et seulement si

v + u E qx> p our tout U E Q(X). Notons que si l’hypothbse (H) est verifiee, F(X) n’est autre que l’espace S(X) ( voir [2], [ll] et [13]). En utilisant cette remarque et [5], theoreme 2a. p. 286, une demonstration analogue a celle de [9], theoreme 2.1 (ii), conduit au resultat de stabilite suivant :

TH~ORPME 2. - Soit X un espace de Banach ve’rzjiant Z’hypothtse (H) et Al, A2 E C(X). S’il existe X E p(Al) n ,o(Az) tel que (X - Al)-l - (X - Aa)-l E S(X), alors

a = w(A2).

Comme consequence immediate du theoreme 2 et du thkoritme spectral de Dunford (spectral mapping theorem) pour OF(.) (voir [3], thboreme 7 (a)), nous avons :

COROLLAIRE 2. - Supposons que les hypothkes du thtforkme 2 sont ve’ri$e’es. Si, de plus, gF(A1) = a,,,(Al) et si f est une fonction 2 valeurs complexes holomorphe duns un voisinage de a(A,) U o( AZ), alors

aess(f(Ai)) = f(ness(Ai)), i = 1,2-

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A. Jeribi

3. Application h 1’Cquation de transport

Dans ce qui suit, now appliquerons les resultats obtenus dans le paragraphe ci-dessus a l’equation de transport monodimensionnelle avec des conditions aux limites g&kales. Outre le theoreme 2, notre analyse utilise les resultats de compacite obtenus dans [6]. Designons par AH l’opkrateur

oti x E [-a,~], ( E [-l,l], a(.) E L”[-1, l] et K E C (&[(--a,~) x (-l,l),dz&]), p E [l,cc). Enfin, TH = AH - K designe l’operateur d’advection.

En vertu du fait que K est borne, nous avons :

D(AH) = II = {$ E I&‘, tel que II+’ = #},

ou W, = {

$ E &([-a,a] x [-l,l],dxd<) telque < 2 E &([-a,~] x [-l>Ij,rlrdc)}.

Le cadre fonctionnel du probleme est le suivant : Soit X, := &([-a, u] x [-1, 11, dx d[)

(1 I P < m), a > 0,

Xp” := J%({-u) x [-LO], ltldl) x Lp({u) x [O, 11, ItI&) := Xl”,p x X&c

llG”; X;ll := b%‘; Xi’,Jp + II@; x,q,llpl~ = [lo I1l(-~>E)IPIJldl + s’ ld4M’l&j ‘. -1 0

De man&e analogue, soit

X; := 44-u) x [o, 11, Ill@) x up x [-1,01, WE) := Xi,, x X&,

ll@,x;ll = [ll& Xf,Jlp + ll&; xf,J”]+ = [J’ I$+-v31PlW + 1” lN4l’ltl&] ‘. 0 -1

L’operateur front&e H, apparaissant dans l’expression des domaines, relie les flux sortant et rentrant et est don& par :

{

H : xp - xi H E L(X,“; X;‘,.

Notons que tout Clement II, de W, admet des traces aux points {-u} et {a}, elements des espaces Xi et Xi (uoir, par exemple, [l]). Nous les noterons, respectivement, go et @. Nous rappelons aussi (voir [7], theoreme 3.1) que le spectre de l’opkrateur d’advection TO (i.e., H = 0) est reduit a son spectre continu oc(To). D’autre part, en vertu des inclusions am C I et gc (TO) C OF (To) et de [7], lemme 4.1, nous deduisons

(1) cry = gess(To) = {X E C tel que ReX 2 -A*}.

Nous posons

-A* si IlHll 5 1, x0 :=

-A* + $ 1% (IIHII) si llHl[ > 1.

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Quelques remarques sur les opkrateurs de Fredholm et application ii I’bquation de transport

Pour ReA > X0, X E I, et nous avons la relation

(A - TH)-l - (A - To)-’ = c Bx H(Mx H)” GA, ?I>0

oti MA, Bx et GA sont des opkateurs born& (pour les d&ails, voir [6]). Moyennant [5], lemme 461, nous dkduisons que, si H est strictement singulier, alors (X - TH)-~ - (X - To)-l l’est aussi. D’oti, le thCori?me 2 conduit au rksultat suivant :

PROPOSITION 1. - Supposons que E’ope’rateur frontibre H est strictement singulier, alors

DEFINITION 2. - L’opCrateur de collision K est dit rkgulier sur X, si sa restriction g l’espace L,([-1, 11, d<) est compacte.

FSMARQUE 2. - 11 est important de noter que la rkgularitC de K n’entraine pas ntkessairement sa compacitC sur X,. En effet, il suffit de prendre K de rang un sur Lp( [ - 1, l] , d<).

Soit B (X, ) l’ensemble

B(X,) = {K E ,C(X,) tel que (X - TH)-~K E S(X,) pour X E ~(Z’H)}.

Comme X(X,) C S(X,), nous dkduisons de [6], thCor8me 2.1, l’inclusion

{K E ,L(X,) tel que K est rkgulier } c S(X,).

Soit X E p(TH) tel que ro[(X - TH)-‘K] < 1 (T,(.) dksigne le rayon spectral). Alors X E I et

(2) (A - AH)-’ - (A - TH)-l = c[(X - TH)-lKln (X - T&l. $1

THI?OF&ME 3. - Soit p E [l, cu). Supposons que l’ope’rateur de collision K E B(X,). Alors

De plus, si l’opkateur de bord H est strictement singulier, aiors nous avons : (i) OF = {X E C tel que ReX 5 -X*},

(ii) si f est une fonction B valeurs complexes holomorphe dans un voisinage du spectre MY de AH. Aiors

aess(f(&)) = .f(~ss(A~))-

La ddmonstration de la premibre partie du thCor&me et de l’assertion (i) s’appuie sur l’kquation (2), le thCor&me 2.1 de [6] et le thCor&me 2. Quant B celle de (ii), elle repose sur (1) et le corollaire 2.

Notons que le thkorhme spectral de Dunford pour le spectre essentiel est, en g&&al, faux. (Pour un contre-exemple, voir [3], p. 23.)

On trouvera les d&ails des rksultats annon& ainsi que d’autres resultats dans [lo].

Remerciements. Je tiens 2 remercier le professeur K. Latrach de m’avoir suggCrk ce problbme et de l’aide constante qu’il m’a apportke tout au long de ce travail.

Note remise le 27 septembre 1996, acceptCe aprks revision le 24 mars 1997.

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A. Jeribi

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