MÉCANIQUEQUANTIQUECOURS 10 – RÉSONANCE MAGNÉTIQUE NUCLÉAIREQUENTIN GLORIEUX3P001 – UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE 2015-2016

QUIZZ

A. AB. d

C. dsaD. vxcE. wq

| i hSzi = h |Sz| i| i P+

On considère une particule de spin 1/2 (comme l’électron) dont l’état de spin est décrit par le ket . On appelle la valeur moyenne de Sz dans l’état et la probabilité que la mesure de Sz donne le résultat +h/2.Quelles sont les 2 expressions correctes ?

RÉSUMÉ

Résonance magnétique nucléaire 3

MOMENTMAGNÉTIQUENUCLÉAIRE• On a vu que l’électron porte un moment magnétique intrinsèque

• Qu’en est il pour le noyau ?• Le proton porte un spin :

Mais ce spin est négligeable devant celui de l’électron :

• On a : et

Résonance magnétique nucléaire 4

~µe = �e~Se�e ' 2

qe2me

= �2qp2me

Spz = ±~2

mp � me |�p| ⌧ |�e| |µpz| ⌧ |µez|

�p ' 5.59qp2mp

�n ' �3.83qp2mp

RÉSONANCEMAGNÉTIQUENUCLÉAIRE

1. Sphère de Bloch

2. Opérateur rotation

3. Principe de la RMN

4. Applications de la RMN

Résonance magnétique nucléaire 5

SYSTEMEADEUXETATSETSUPERPOSITION

6

En dimension deux, on a de façon générale :

Pour décrire cet état, on utilise unereprésentation géométrique : la sphère de Bloch :

| i = cos

�✓2

�|0i + ei� sin

�✓2

�|1i

SPIN1/2Dans la base les matrices de Pauli sont :

Quelle est la projection de sur le vecteur ?

sont vecteurs propres dede valeurs propres

On a

et

Résonance magnétique nucléaire 7

Sx

=~2

✓0 11 0

◆Sy =

~2

✓0 �ii 0

◆Sz =

~2

✓1 00 �1

◆{|+iz, |�iz}

~S ~u

|+i~u, |�i~u ~S.~u±~/2

ˆ~S.~u =

~2

✓cos ✓ e�i'

sin ✓ei' sin ✓ � cos ✓

◆

UTILITÉDELASPHEREDEBLOCH

Résonance magnétique nucléaire 8

On peut toujours décrire l’état quantique d’un spin 1/2 par un point sur la sphère de Bloch :

A une phase globale pres, on peut ecrire :

L’état est entierement déterminé par (à une phase globale près) par la connaissance de

SPHEREDEBLOCH

A.B.C.D.

On considère deux vecteurs unitaires diamétralement opposés sur la sphère de Bloch ( ). On appelle respectivementet , les vecteurs d’états associés. Quelle est la valeur du produit scalaire hermitien entre les deux vecteurs d’état ?

~u0 = �~u | i = |+i~u| 0i = |�i~u0

h 0| i = �1

h 0| i = 0

h 0| i = 1/p

(2)

h 0| i = 1

RÉSONANCEMAGNÉTIQUENUCLÉAIRE

1. Sphère de Bloch

2. Opérateur rotation

3. Principe de la RMN

4. Applications de la RMN

Résonance magnétique nucléaire 10

OPÉRATEURROTATION

On en déduit la forme matricielle :

On peut vérifier l’unitarité de .Résonance magnétique nucléaire 11

ˆR↵ =

✓e�i↵/2

0

0 ei↵/2

◆= exp

⇣�i

↵

~ˆSz

⌘

R↵

ROTATIOND’UNSPIN1/2

A.B.

C.D.

On applique une rotation d’un angle 2pi à un spin 1/2 intialement dans l’état avec . On appelle et l’état du systeme et sa valeur moyenne après la rotation de 2pi.Quelles sont les 2 propositions correctes ?

| i hSi = h |S| i | 0i hS0i

| 0i = | i| 0i = �| i

hS0i = hSihS0i = �hSi

RÉSONANCEMAGNÉTIQUENUCLÉAIRE

1. Sphère de Bloch

2. Opérateur rotation

3. Principe de la RMN

4. Applications de la RMN

Résonance magnétique nucléaire 13

SPIN½DANSUNCHAMPUNIFORMEOn a vu l’effet de précession de Larmor.Le Hamiltonien s’écrit :Pour le proton :

L’effet d’un champ magnétique sur un protonest de lever la dégénerescence des états + et –

Résonance magnétique nucléaire 14

H0 = �B0µz = ��B0Sz = !0Sz

��B0Sz = !0 < 0

H0 =~!0

2

✓1 00 �1

◆

DISPOSITIFEXPERIMENTAL• Création d’un champ magnétique B0 • Ajout d’une petite composante oscillante B1(t) l’aide de bobines en

configuration de Helmholtz

Résonance magnétique nucléaire 15

HAMILTONIENDUPROBLEME

Résonance magnétique nucléaire 16

RÉFÉRENTIELTOURNANTOn se place dans un référentiel tournantautour de l’axe z à la fréquence Dans ce référentiel, le champ B1 tournantsera fixe.Quelle est la rotation que l’on doit faire subirà l’état pour faire cette transformation ?

Résonance magnétique nucléaire 17

!

| (t)i

EQUATIONDESCHRODINGERDANSLEREFERENTIELTOURNANTOn a :On cherche une équation de la forme :avec un Hamiltonien effectif indépendant du temps.

Résonance magnétique nucléaire 18

| (t)i = R(t)| (t)ii~d| (t)i

dt= Heff (t)| (t)i

Heff (t) = R(t)H(t)R†(t) + i~dR(t)

dtR†(t)

Heff

= =~2

✓!0 � ! !1

!1 �(!0 � !)

◆= (!0 � !)S

z

+ !1Sx

INTERPRETATIONDUHAMILTONIENEFFECTIFOn aurait pu trouver ce résultat immédiatement à l’aide d’un raisonement géométrique :

Le Hamiltonien effectif donne naissance à un champ magnétique effectif

Précession de Larmor autour de Beff à la fréquence (fréquence de Rabi)

Résonance magnétique nucléaire 19

Heff

= =~2

✓!0 � ! !1

!1 �(!0 � !)

◆= (!0 � !)S

z

+ !1Sx

Dans le référentiel tournant, le champ B1 est fixe et reste aligné selon l’axe x

Dans le référentiel tournant la fréquence de précession de Larmor autour de B0 n’est plus mais !0 !0 � !

Heff = �� ~S. ~Beff

| ~Beff | = |⌦/�|

⌦ =q(!0 � !)2 + !2

1

⌦

ANIMATION

Résonance magnétique nucléaire 20

PROBABILITÉDETRANSITIONOn cherche à résoudre

avec

On pose On a alors puis

On en déduit :

Proba de mesurer –h/2 sur Sz :

Résonance magnétique nucléaire 21

Heff =~2

✓!0 � ! !1

!1 �(!0 � !)

◆i~d| i

dt= H| i

| i = b+(t)|+i+ b�(t)|�i

| (t)i

GÉOMÉTRIEDANSLASPHEREDEBLOCH

Résonance magnétique nucléaire 22

OSCILLATIONSDERABIOn a vu :

Or (cf quizz) :

On a donc

Résonance magnétique nucléaire 23

P�(t) =!21

⌦2sin2 ⌦t/2

⌦ =q(!0 � !)2 + !2

1

! = !0! 6= !0

SPECTROSCOPIEPARRMNOn a vu :

En moyenne temporelle :

Résonance magnétique nucléaire 24

P�(t) =!21

⌦2sin2 ⌦t/2 ⌦ =

q(!0 � !)2 + !2

1

P = P�(t) =1

2

!21

(!0 � !)2 + !21