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__________________________________________________________________________________ Rachid MESRAR Applications pédagogiques – Cinématique du solide

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Les applications pédagogiques

Rachid MESRAR

APPLICATIONS PEDAGOGIQUES-2

*** CINEMATIQUE DU

SOLIDE


2

Application pédagogique n° Application pédagogique n° Application pédagogique n° Application pédagogique n° 1111 : mouvement d’une demi : mouvement d’une demi : mouvement d’une demi : mouvement d’une demi----boule en contact avec un plan fixeboule en contact avec un plan fixeboule en contact avec un plan fixeboule en contact avec un plan fixe Notions abordéesNotions abordéesNotions abordéesNotions abordées ::::

Paramétrage d'un solideParamétrage d'un solideParamétrage d'un solideParamétrage d'un solide

Torseur cinématiqueTorseur cinématiqueTorseur cinématiqueTorseur cinématique

Axe instantané de rotation et de glissement (AIRG)Axe instantané de rotation et de glissement (AIRG)Axe instantané de rotation et de glissement (AIRG)Axe instantané de rotation et de glissement (AIRG)

Invariant scalaire Invariant scalaire Invariant scalaire Invariant scalaire –––– Invariant vectoriel Invariant vectoriel Invariant vectoriel Invariant vectoriel

On considère une demi-boule homogène (S), de rayon R, de masse m et de centre d’inertie

G. On note O le centre du cercle de la base et on admettra que 8

R3OG = . Un repère

orthonormé direct ),,,( zyxGRrrr est lié à (S) de telle sorte que l’axe ),( zG

r soit confondu avec

GO et de même sens (voir figure).

Cette demi-boule est en contact ponctuel en I avec le plan ),,( 000 yxO

rr d’un repère orthonormé direct ),,,( 00000 zyxOR

rrr que l’on suppose galiléen. Le solide (S) est situé dans la région 0zO 00 ≥ , le point O restant à la cote z = R dans (R0).

(S)

ϕ

ur

0zr

zr

0zr

0yr

θ

ψ I

O0 G

0xr

O


3

Q1- Paramétrer la position de la demi-boule en utilisant les angles d’Euler. Q2- Construire les figures de calcul. Q3- Déterminer le vecteur instantané de rotation de (S) dans son mouvement par rapport à (R0) et donner ses composantes dans la base ),,( zwu

rrr . Q4- Déterminer la condition géométrique de contact entre (S) et le plan ),,( 00 yxO

rr .

Q5- Quel est alors le nombre de degrés de liberté du système ? Q6- Calculer la vitesse du centre d’inertie G de (S) par ses composantes dans la base ),,( zwu

rrr . Q7- Calculer l’accélération du centre d’inertie G de (S) par ses composantes dans la base ),,( zwu

rrr .


4

Solution détailléeSolution détailléeSolution détailléeSolution détaillée R1- La position de (S) peut être définie par les coordonnées (x, y, z) de G dans (R0) et par les angles d’Euler ),,( ϕθψ déterminés par la succession des repères orthonormés directs suivants :

),,,(),,,(),,,(),,,(' ),(),(),( zyxGRzwuGRzvuGRzyxGR z2

u01

z000

0rrrrrrrrrrrr rrr

→ → → ϕθψ (R’) a ses axes respectivement parallèles à ceux de (R0) et de même sens. R2-

xr

yr

zr

zr

R3- Le vecteur instantané de rotation de (S) dans son mouvement par rapport à (R0) est donné par :

00112200 zuzRRRRRRRRRSr

&r&r

&rrrrr

ψθϕΩΩΩΩΩ ++=++== )/()/()/()/()/(

Avec ),,,( 01 zvuGR

rrr le premier repère intermédiaire et ),,,( zwuGR2

rrrest le deuxième

repère intermédiaire. Soit :

zuzRS 00

r&

r&r&

rϕθψΩ ++=)/(

Ou encore dans la base ),,( zwu

rrr :

zwuRS 0

r&&

r&

r&r

)cos(sin)/( θψϕθψθΩ +++=


5

R4- Le contact géométrique en I est nécessairement traduit par une condition sur les paramètres de position ),,,,,( ϕθψzyx . Celle-ci est obtenue en exprimant que si le contact a lieu alors :

0zIO 00 =r.

0zOIGOGO 00 =++⇒r

).(

0zzRz8

R3zzyyxx 00000 =−+++⇒

rrrrr).(

D’où :

R5- La condition (Lg) obtenue dans la question 4- permet de réduire le nombre de paramètres de position indépendants de 6 à 5.

Le nombre de degrés de liberté du système est alors 5 qui sont ),,,,( ϕθψyx . R6-

000

R

00 z

8

R3yyxx

dt

GOdRGV

0

r&r&

r&

rθθ sin)/( ++=

=

)cos(sinsin

)sincoscoscos(sin)sinsincossin(cos

zw8

R3

zwuyzwux

rr&

rrr&

rrr&

θθθθ

θψθψψθψθψψ

++

−+++−=

D’où :

+−

++−

+

=

θθθθψθψ

θθθψθψ

ψψ

cossinsincossinsin

sincoscoscossin

sincos

)/(

),,(

&&&

&&&

&&

r

rrr 8

R3yx

8

R3yx

yx

RGV 2

zwu

0

R7-

02

00

R

00 z

8

R3yyxx

dt

RGVdRG

0

r&&&r&&

r&&

r)cossin(

)/()/( θθθθγ +++=

=

)cos8

31( θ−= Rz (Lg)


6

)cos)(sincossin(

)sincoscoscos(sin)sinsincossin(cos

zw8

R3

zwuyzwux

2 rr&&&

rrr&&

rrr&&

θθθθθθ

θψθψψθψθψψ

+++

−+++−=

D’où :

++−

+++−

+

=

θθθθθθψθψ

θθθθθθψθψ

ψψ

γ

cos)cossin(sincossinsin

sin)cossin(coscoscossin

sincos

)/(

),,(

2

2

zwu

0

8

R3yx

8

R3yx

yx

RG

&&&&&&&

&&&&&&&

&&&&

r

rrr


7

Application pédagogiqueApplication pédagogiqueApplication pédagogiqueApplication pédagogique n° 2 n° 2 n° 2 n° 2 : mouvement d’un système pendulaire : mouvement d’un système pendulaire : mouvement d’un système pendulaire : mouvement d’un système pendulaire Notions abordéesNotions abordéesNotions abordéesNotions abordées

Condition de roulement sans glissementCondition de roulement sans glissementCondition de roulement sans glissementCondition de roulement sans glissement

Torseur cinématiqueTorseur cinématiqueTorseur cinématiqueTorseur cinématique

Soit le système (S) constitué des deux solides suivants :

- (D) est un disque de masse m1, de centre C et de rayon R. - (T) est une tige rectiligne de masse m2, de centre d’inertie G et de longueur 2L.

La tige (T) est articulée sur le disque (D) par une liaison rotoïde sans frottement d’axe ),( 0zC

r . Le disque (D) roule sans glisser sur l’axe ),( 0xO

r du repère de référence ),,,( 0000 zyxORrrr .

On notera I le point de (D) en contact avec l’axe ),( 0xOr .

Les paramètres la position de (S) sont :

- x(t) l’abscisse du centre C de (D). - ),()( CMxt 0

r=ϕ où M est un point lié à (D) (voir figure) - ),(),()( vyuxt 00

rrrr ==θ .

Q1- Montrer que la condition de roulement sans glissement au point I de (D) sur l’axe ),( 0xO

r est :

(D)

θ 0yr

0xr

x(t) (T)

M

I

0yr

0xr

vr

ur

O

G

C

ϕ

θ

EEEE


8

0Rx =+ ϕ&&

Dans la suite du problème cette relation sera prise en compte.Dans la suite du problème cette relation sera prise en compte.Dans la suite du problème cette relation sera prise en compte.Dans la suite du problème cette relation sera prise en compte.

Q2- Déterminer les élément de réduction en C du torseur cinématique de (D) dans son mouvement par rapport à (R0). Q3- Donner les élément de réduction en G du torseur cinématique de (T) dans son mouvement par rapport à (R0).


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Solution détailléeSolution détailléeSolution détailléeSolution détaillée R1-

0000000 xRxyRzxxCIRDRDCVRDIVr

&&rr

&r&

rrr)()()/()/()/( ϕϕΩ +=−∧+=∧+∈=∈

La condition de roulement sans glissement impose :

0RDIV 0

rr=∈ )/(

Soit :

0Rx =+ ϕ&& R2- Les élément de réduction en C du torseur cinématique de (D) dans son mouvement par rapport à (R0) sont :

[ ]

=)/(

)/()/(

0

0

C

0RCV

RDRD r

rΩϑ

Avec

00 zRDr&

rϕΩ =)/(

Et

00

R

0 xRxxdt

OCRCV

0

r&

r&

rϕ−==

=)/(

D’où :

[ ]

−==

=00

00

C

0xRRCV

zRDRD r

&r

r&

r

ϕϕΩϑ

)/(

)/()/(

R3-


10

Les élément de réduction en G du torseur cinématique de (T) dans son mouvement par rapport à (R0) sont :

[ ]

=)/(

)/()/(

0

0

G

0RGV

RTRT r

rΩϑ

Avec

00 zRTr&

rθΩ =)/(

Et

uLxRuLxxvLzxxCGRTRCVRGV 0000000

r&r&

r&r&

rr&r&

rrrθϕθθΩ +−=+=−∧+=∧+= )()/()/()/(

D’où :

[ ]

+−==

=uLxRRGV

zRTRT

00

00

G

0 r&r&

r

r&r

θϕθΩϑ

)/(

)/()/(

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