Rappel sur la théorie des circuits - data0.eklablog.comdata0.eklablog.com/master-eea-toulouse/perso/archives/m1/eset... · Convention de signe voir théorème de Thévenin ou Norton

FFoorrmmaattiioonn LL..II..NN..EE..LL..

OOppttiioonn EElleeccttrroonniiqquuee

Rappel surla théorie

des circuits

année 2008

par Sylvain GERONIMI

Université Paul Sabatier Rappel sur la théorie des circuits

TABLE DES MATIERES

Circuits résistifs

Eléments de circuits Mise en équations

Loi de Kirchhoff Méthode des courants et tensions de branche Méthode des noeuds

Théorèmes fondamentaux Théorème de superposition Théorème de Thévenin Théorème de Norton Théorème de Millman Théorème de Kennely

Circuits en régime dynamique

Réponse temporelle Régime sinusoïdal établi Régime quelconque Théorèmes fondamentaux

Fonctions de transfert

Définition Propriétés Représentation du comportement

Conditions de réalité physique Conditions de stabilité

Fonctions de transfert de base Stabilité de systèmes électroniques

Système électronique asservi Conditions réelles d’un bon fonctionnement Compensation d’un système électronique asservi

Quadripôles

Représentation d’un quadripôle Caractérisation dynamique Mesures physiques de caractéristiques dynamiques Méthode de travail pour quadripôles en cascade Adaptation d’impédances

Annexes

Définitions et propriétés de la transformation de Laplace Tableau des transformées de Laplace

Exercices et problèmes

Théorèmes fondamentaux et mise en équations Réponse d’un circuit RL Fonction de transfert d’un amplificateur aux basses fréquences Corrélation entre temps de montée et fréquence de coupure haute Sonde passive d’oscilloscope Caractérisation d’un quadripôle Sensibilité d’un pont de Wheatstone

Sylvain Géronimi Page 1




Circuits résistifs Lors des études statique ou dynamique que l’on entreprendra, le schéma électrique se compose de sources de tension et de courant indépendantes et dépendantes, et de résistances élémentaires et équivalentes. L’introduction de composants à stockage d’énergie s’effectuera au paragraphe suivant. Eléments de circuits - Un nœud est un point du circuit. - Une branche est un élément du circuit compris entre deux nœuds et traversé par le même

courant. - Une maille est une boucle formée par des branches. - Un dipôle est une portion de circuit entre deux nœuds (actifs ou passifs). Sources de tension et de courant indépendantes

v

i

Valim

RGiG

viG RG

i

vG

vG

sources idéales sources réelles Sources de tension et de courant contrôlées (dépendantes)

RS i

v REα vRβ i

vλ v

i

δ i

source de courant contrôlée par la tension source de tension contrôlée par la tension

(ou le courant) d’une autre branche (ou le courant) d’une autre branche Résistance et dipôle

IRV = 0

0

iv

r =

i0

v0dipôle

I

RV

Convention de signe voir théorème de Thévenin ou Norton



Mise en équations Lois de Kirchhoff Loi des nœuds : la somme de tous les courants qui entrent dans un nœud est égale à la somme des courants qui quittent le nœud. Le nombre d’équations indépendantes égale le nombre n de nœuds moins le nœud de référence (masse), soit n-1 équations. Loi des mailles : la somme de toutes les chutes de tension le long d’une maille est nulle. Le nombre d’équations indépendantes égale le nombre m de mailles indépendantes. Méthode des courants et tensions de branches L’analyse du circuit conduit à la résolution d’un système de m+n-1 équations à m+n-1 inconnues qui sont les courants de branche.

Exemple 1 : diviseur de tension à vide en régime statique

circuit à 1 maille et 0 nœud, d’où système de 1 équation à 1 inconnue (I)

( ) IRRVE 21 +=

IRVS 2= ⇒ ES VRR

RV21

2

+=

VE

VS

R1

R2

I

Exemple 2 : diviseur de tension en charge en régime statique

circuit à 2 mailles et 1 nœud, d’où système de 3 équations à 3 inconnues (I, I1, I2)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=−

=−+

21

1223

121

00

IIIIRIR

VIRIR E

23 IRVS = ⇒ ES VRRRRRR

RRV213132

32

++=

R1

VE

R2 VSR3

I1

I2

I

Combinaisons série et parallèle de résistances Le même courant parcourt les deux résistances de l’exemple 1 et selon la loi de la maille :

21 RRI

VR E +=≡

La résistance totale d’un circuit série égale la somme des résistances.



La même tension est appliquée aux bornes des deux résistances de l’exemple 2 et selon la loi des nœuds :

SV

32

32

32'11

'1

RRRR

RRRV

IR S +

=⇒+=≡

La conductance totale d’un circuit parallèle égale la somme des conductances.

Reprise de l’exemple 2 : le circuit divise la tension '1 RR +

EES VRRRRRR

RRVRR

RV213132

32

1 ''

++=

+=

Le circuit divise le courant 32 // RR

IRR

RI

RR

RIVRR

I S32

2

32

32

32 11

111

+=

+=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

Exemple 3 : deux sources indépendantes

circuit à 2 mailles, 1 nœud, d’où R1

VSV1

R2

R3

V2

I1 I2

I3

système de 3 équations à 3 inconnues (I1, I2, I3)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+

=−+

=−+

00

0

321

23322

13311

IIIVIRIR

VIRIR

2313221

11

313221

23 V

RRRRRRRV

RRRRRRRI

+++

++=⇒

Calcul de la tension de branche 2313221

311

313221

3233 V

RRRRRRRRV

RRRRRRRRIRVS ++

+++

==

Méthode des nœuds Si le nombre de tensions nodales est inférieur au nombre de mailles indépendantes, l’analyse du circuit conduit à la résolution d’un système de n-1 équations à n-1 inconnues qui sont les tensions de nœuds, les courants de branche étant définis par la loi d’Ohm.

Reprise de l’exemple 2 : circuit à 1 nœud et 2 mailles, soit n-1 < m

équation du nœud → avec 21 III +=1RVV

I SE −= ,

21 R

VI S= ,

32 R

VI S=

d’où ES V

RRR

RV

321

1111

1

++= (même résultat)



Les théorèmes fondamentaux Théorème de superposition La réponse d’un circuit linéaire à plusieurs sources indépendantes égale la somme des réponses des sources considérées séparément. Pour calculer la réponse d’une source, les autres sources sont éteintes (uniquement les sources indépendantes idéales de tension et de courant assimilées respectivement à des courts-circuits et des circuits ouverts et non les sources contrôlées).

Reprise de l’exemple 3 : deux sources indépendantes, soit deux réponses

première réponse (V2 éteinte) 1323121

32 VRRRRRR

RRVS ++=

deuxième réponse (V1 éteinte) 2323121

31 VRRRRRR

RRVS ++=

d’où 2323121

311

323121

32 VRRRRRR

RRVRRRRRR

RRVS +++

++=

Théorème de Thévenin Tout circuit linéaire, fournissant une tension continue ou alternative, est équivalent à une source de tension en série avec une résistance vues entre ses bornes.

dipole

I I

V0VTh

RTh

V0

ThV : tension à vide , 0V

ThR : résistance calculée en court-circuitant toutes les sources de tension indépendantes et en ouvrant toutes les sources de courant indépendantes.

Reprise de l’exemple 2 : ( ) IRRV ThTh 3+=

R1 VE

R2 VS

R3

avec ETh VRR

RV21

2

+= et 21 // RRRTh =

⇒ IRVS 3= ThTh

S VRR

RV3

3

+=

Reprise de l’exemple 3 : Sylvain Géronimi Page 6


Théorème de superposition

222

2 VRR

RVRR

R

Th

ThTh

Th ++

+=VS

avec 131

3 VRR

RV et Th += RTh 31 // RR=

R1

VS V1

R2

R3 V2

Théorème de Norton Tout circuit linéaire, fournissant un courant continu ou alternatif, est équivalent à une source de courant en parallèle avec une résistance vues entre ses bornes.

I I

V0 V0

INo RNodipole

NoI : courant de court-circuit,

NoR : résistance calculée en court-circuitant toutes les sources de tension indépendantes et en ouvrant toutes les sources de courant indépendantes. La dualité des théorèmes de Norton et Thévenin montre la transformation réciproque

V0=VTh

RNoINo

VTh

RTh

V0=RNo INo

II

V R NoNoTh IR= = NoTh RTh

ThNo R

VI =

Il faut remarquer qu’une source parfaite ne peut être remplacée par une source de l’autre type. Théorème de Millman Lorsque plusieurs sources de tension sont connectées en parallèle, on les transforme en sources de courant par transformation Thévenin → Norton.

Exemple 4 :

VS

R1R R2

I1R

V2

I I

I2VS

R1

V1

R2



RRR

RRV

RV

R

IV

k

kS 111

0

1

21

2

2

1

1

+⋅⋅⋅++

+⋅⋅⋅++==

∑∑ avec

k

kk R

VI =

Reprise de l’exemple 3 :

321

2

2

1

1

111RRR

RV

RV

VS++

+= (même résultat)

Ce théorème est utile pour déterminer un potentiel de nœud (calcul de filtres actifs avec AOI, par exemple). Théorème de Kennely Ce théorème permet la transformation d’un circuit en étoile (ou en T) en un circuit en triangle (ou en Π) et réciproquement.

R1

R1'

R2

R3

R3'

R2'

T → Π 1

'1 R

RR = , 2

'2 R

RR = , 3

'3 R

RR = avec 133221 RRRRRRR ++=

Π → T '

'3

'2

1 RRRR = , '

'1

'3

2 RRRR = , '

'2

'1

3 RRRR = avec '

3'2

'1

' RRRR ++=



Circuits en régime dynamique En régime dynamique ou variable, on a trois écritures possibles :

- écriture de la réponse temporelle (variable t), - écriture imaginaire en régime sinusoïdal (variable jω) - écriture symbolique en régime quelconque (variable de Laplace p).

Exemple 5 : circuit RC avec FCkR µ1,1 =Ω=

R

vE C

Réponse temporelle

Résistance )()( tiRtvR =

Condensateur ∫= dttiC

tvC )(1)(

Inductance )()( tidtdLtvL =

Il faut résoudre un système d’équations intégro-différentielles. Lorsque la solution analytique existe, la résolution demeure difficile. Les simulateurs de circuits mettent en œuvre des méthodes d’intégration numériques afin de fournir de façon exhaustive toute variable temporelle d’un circuit complexe.

Application à l’exemple 5 : réponse à un échelon de tension d’amplitude VE avec le condensateur déchargé à t=0.

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=

)()()(

)()(

tvtiRtv

tvdtdCti

CE

C ⇒ )()()( tvtvdtdtv CCE += τ avec RC=τ

qui conduit à la résolution de l’équation différentielle du 1° ordre ττ

)()(1)(

tvtvtv

dtd E

CC =+

- équation homogène (équation sans second membre)

0)(1)( =+ tvtvdtd

CC τ ⇒

τdt

vdv

C

C −= ⇒ τλtv

Log C −= d’où τλt

C etvH

−=)(

- variation de la constante (équation complète)

τλ

τλ

τλ τττ E

ttt Vetetet =++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−−

)(1)('1)( ⇒ τ

λ τ Et

Vet =−

)(' d’où τττ

λt

E

tE eVdteVt == ∫)(

- solution particulière de l’équation complète

τλt

C ettvP

−= )()( d’où EC Vtv

P=)(



- solution globale

E

t

CCC VetvtvtvPH

+=+=−τλ)()()( avec ⇒ d’où 0)0( =Cv EV−=λ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−τt

EC eVtv 1)(

Temps

0s 1.0ms 2.0ms 3.0ms 4.0ms

vE(t)

vC(t)

0V

0.4V

0.8V

1.2V

t = 3 ms

VC = 95 % de VE

de VE

VC = 63.2 %

t = 1 ms

, , pente à l’origine VVE 1= ms1=ττE

tC

Vtv

dtd

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=0)( , , VvC 632.0)( ≅τ VvC 95.0)3( ≅τ

Application à l’exemple 5 : réponse à une excitation de tension sinusoïdale d’amplitude crête VE

avec le condensateur déchargé à t=0. Le second membre diffère ( )tVtv EE ωsin)( = . - variation de la constante

( ) [ tjEEt

emVtV

et ωτττ

ωλ ℑ==

− sin)(' ] ⇒

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+ℑ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ℑ= ∫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ωτ

ττλ

ωτ

ωτ

j

emeV

dtemV

ttjt

Etj

E1

)(1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )αωωωωτω

τω

τ

ωω−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+ℑ ttt

j

tjtm sincossin11

11

sincos2

2

en posant τ

α1cos = et ⇒ ωα =sin 11 2

2 =+ ωτ

avec ( )τωα arctg=

d’où ( ) ταωαλt

E etVt −= sincos)(

- solution particulière de l’équation complète

τλt

C ettvP

−= )()( d’où ( )αωα −= tVtv ECP

sincos)(

- solution globale

)()( tvetvPC

t

C +=−τλ avec ⇒ 0)0( =Cv ααλ sincosEV=

d’où ( )αωααα τ −+=−

tVeVtv E

t

EC sincossincos)( Le premier terme correspond au régime transitoire et le second terme au régime établi ou permanent.



Temps

0s 2.0ms 4.0ms 6.0ms 8.0ms

vE(t)

vC(t)

-1.0V

0V

1.0V

régime transitoire régime établi

kHzf 1= , , , crêteE VV 1= ( ) °≅π=α 812arctg crêteC mVV 157cos ≅= α On observe les conditions initiales nulles sur le condensateur à t = 0 et le régime transitoire qui s’éteint rapidement. Pour plus de détails sur le régime permanent (ou établi), voir la réponse au paragraphe suivant.

Régime sinusoïdal établi Soit le courant sinusoïdal . ( )θω += tIti sin)( On calcule dans le domaine complexe, l’écriture devient

( ) ( )[ ] ( ) tjtj eIeItjtI ωθωθωθω ==+++ +sincos avec θjeII = le courant complexe.

Résistance tjtjR eIReV ωω = ⇒ IRVR =

avec θjR eIRV = (la tension en phase avec le courant)

Condensateur tjtjC eI

CjeV ωω

ω1

= ⇒ IjC

VC ω1

=

avec ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= 2π

θ

ω

j

C eCIV (la tension en retard de π/2 par rapport au courant )

Inductance tjtjL eILjeV ωω ω= ⇒ IjLVL ω=

avec ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= 2π

θω

j

L eILV (la tension en avance de π/2 par rapport au courant )

Application au circuit RC :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

IjC

V

IjC

RV

C

E

ω

ω1

1

⇒ EC VRCj

Vω+

=1

1 et EVRCj

CjIωω

+=

1

2221 CR

VV

EC

ω+= et ( )RCarctgEC ωϕϕ −= avec Cj

CC eVV ϕ= et EjEE eVV ϕ=



EVCR

CI2221 ω

ω

+= et ( )RCarctgE ωπϕθ −+=

2

Temps

6.0ms 6.5ms 7.0ms 7.5ms 8.0ms 1 vE(t) vC(t) 2 i(t)

-1.0V

0V

1.0V 1

-1.0mA

0A

1.0mA 2

avance de 9° courant en

en retard de 81° tension VC

reference (0°) tension VE de

crêteE VV 1= , , °= 0Eϕ crêteC mVV 15741

12≅

π+= , ( ) °−≅−= 812πϕ arctgC

crêtemAI 141

1022

3≅

π+

π=

−

, °+≅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= 921π

θ arctg

Notion d’impédance et d’admittance L’impédance (ou l’admittance) est une grandeur complexe issue du rapport de la tension vectorielle au courant vectoriel.

jXRIV

Z +== avec R et X respectivement résistance et réactance.

jBGZ

Y +==1 avec G et B respectivement conductance et susceptance.


Impédance vue de la source ωC

jRI

VZ

E 1−==

Admittance vue de la source 222222

22

111

ωω

ωω

CRCj

CRRC

ZY

++

+==

Régime quelconque On utilise les variables de Laplace pour résoudre les systèmes d’équations intégro-différentielles à coefficients constants. La pulsation généralisée est ici et le régime sinusoïdal est un cas particulier tel que .

ωσ jp +=ωjp =

Le tableau des transformées de Laplace, donné en annexe, sera l’outil mathématique pour le passage F(p) ↔ f(t). Si l’on considère des conditions initiales nulles et [ ] [ ])()(,)()( tvpVtipI XX LL ==



Résistance )()( pIRpVR =

Condensateur )(1)( pIpC

pVC =

Inductance )()( pIpLpVL = La méthode de travail est alors la suivante :

1) écrire les équations temporelles 2) passer en variables de Laplace 3) résoudre les équations pour obtenir la variable souhaitée 4) revenir à la fonction temporelle de cette variable.


A partir de l’équation dans le domaine temporel, on écrit

ττ

)()(1)(

tvtvtv

dtd E

CC =+ → )(1)(1)( pVpVpVp ECC ττ=+

ou directement, d’après les relations au-dessus :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

)(1)(

)(1)(

pICp

pV

pIpC

RpV

C

E

⇒ p

pVpV EC τ+

=1

)()( avec RC=τ

- Réponse à l’échelon de tension p

VpV EE =)(

( )τ

+−=

τ+=

11)(

p

Vp

Vpp

VpV EEEC

Tableau des transformées α+

=p

pF 1)( → , )()( tuetf t ⋅= −α

d’où ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−τt

EC eVtv 1)(

On vérifie les théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale qui donnent immédiatement, sans qu’il soit nécessaire de calculer vC(t), la valeur de cette fonction à l’origine et au temps infini :

pVpVp E

C τ+=

1)( ⇒ 0)(lim)(lim

0==

→∞→tvpVp CtCp

et ECtCpVtvpVp ==

∞→→)(lim)(lim

0

- Réponse à l’excitation sinusoïdale 22)(

ωω+

=p

VpV EE



⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+−+

++= 22

22

1

11

1)(

ωτ

ττω

τω

p

p

pVpV EC

On pose τ

α1cos = et ⇒ ωα =sin 11

22 =+

τω avec ( )τωα arctg= .

Tableau des transformées ( )αωω

ααω−=→

+

−= ttf

pppF sin)(sincos)( 22

d’où ( )αωααα τ −+=−

tVeVtv E

t

EC sincossincos)( L’application du théorème de la valeur finale ne peut s’appliquer dans ce cas, car t

tωsinlim

∞→

est indéterminée. De façon plus générale, il faut que la dérivée de la fonction temporelle décroisse quand , donc que . ∞→t 0<σ

Le tableau des transformées permet donc une résolution plus simple du problème. De plus, il faut remarquer que ce circuit RC est un circuit passe-bas dont la fonction de transfert en

tension RCppV

pV

E

C

+=

11

)()( fournit un pôle

RCp 1

−= qui détermine la constante de temps RC=τ (voir

paragraphe suivant). Théorèmes fondamentaux Les théorèmes fondamentaux restent valables pour tous les régimes. Le changement d’écriture est tel que :

R → Z ou et → )(pZ )(tvE EV ou )(pVE


En régime sinusoïdal → EC VZZ

ZV

21

2

+= avec RZ =1 et

ωjCZ 1

2 =

En régime quelconque → )()()(

)()(

21

2 pVpZpZ

pZpV EC +

= avec et RpZ =)(1 CppZ 1)(2 =



Fonctions de transfert Définition Soit un système linéaire (montage électronique) à une entrée e(t) et une sortie s(t) régi par une équation différentielle à coefficients constants

)()()()()()( 01

1

101

1

1 tsbtsdtdbts

dtdbteate

dtdate

dtda n

n

nn

n

nm

m

mm

m

m +++=+++−

−

−−

−

− LL

Dans le cas de conditions initiales nulles, on prend la transformée de Laplace des deux membres avec [ ])()( tepE L= et [ ])()( tspS L= , soit

[ ] [ ] )()( 01

101

1 pSbpbpbpEapapa nn

nn

mm

mm +++=+++ −

−−

− LL

⇒ avec )()()( pEpHpS ⋅=0

11

01

1)(bpbpbapapa

pHn

nn

n

mm

mm

+++

+++=

−−

−−

L

L

La fonction de transfert H(p) (ou transmittance) caractérise le comportement du système linéaire. Si l’on applique à l’entrée du système une impulsion de Dirac unitaire , on a d’où

. Ainsi, la fonction de transfert n’est rien d’autre que la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle du système.

)()( tte δ= 1)( =pE)()( pHpS =

Propriétés Conditions de réalité physique

Tous les coefficients ak et bi sont réels dans le cas présent d’un système linéaire. Il en résulte que les racines des polynômes du numérateur et du dénominateur sont réelles ou complexes conjuguées. On peut donc décomposer la fonction de transfert en produits

( )

( )∏

∏

=

=

−

−

= n

i

i

m

k

k

pp

zp

KpH

1

1)(

Dans tout système physique, l’amplitude de la réponse tend vers zéro lorsque la fréquence tend vers l’infini. Il en résulte qu’en régime sinusoïdal permanent

( ) nmjKjH −ω→ω)( soit mnK nm >⇒→− 0ω Attention, si l’on s’intéresse qu’aux basses fréquences d’un montage électronique à large bande, la fonction simplifiée sera telle que (passe-haut). nm =

Les termes et , appelés respectivement les zéros et les pôles de la fonction, sont réels ou complexes conjugués.

kz− ip−

Le nombre de pôles est supérieur (ou égal pour un passe-haut) au nombre de zéros.



L’ordre de l’équation différentielle du système correspond au degré n du polynôme du

dénominateur de la fonction de transfert. La fonction de transfert est donc d’ordre n. Conditions de stabilité Un système est dit stable si, lorsqu’il est écarté momentanément de l’état d’équilibre par une perturbation, il y revient lorsque la perturbation disparaît. La fonction H(p) représentant la réponse impulsionnelle du système, on peut décomposer S(p) en éléments simples si l’on suppose qu’on a n pôles simples :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++−

+−

=n

n

ppA

ppA

ppA

KpS L2

2

1

1)( → ( )tpn

tptp neAeAeAKts +++ +++= L2121)(

- cas d’un pôle réel iip σ=

ti

i

i ieAp

A σ

σ→

−

- cas de deux pôles complexes conjugués et iii jp ωσ +=1 iii jp ωσ −=2

( )ϕωωσωσ

σ +→+−

+−−

teAjp

Ajp

Ai

t

ii

i

ii

i i cos21

- cas de deux pôles imaginaires et ii jp ω=1 ii jp ω−=2

( ϕωωω

+→+

+−

tAjp

Ajp

Ai

i

i

i

i cos21 ) ⇒ l’amplitude du signal reste constante (oscillateur)

- cas particulier des pôles réels multiples d’ordre k

( ) ( ) ( )t

k

ikiiki

ik

i

i

i

i iektAtAA

pA

pA

pA σ

σσσ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+++→

−++

−+

−

−

!1

1

21221 LL

Le système linéaire sera stable si tous ses pôles sont à partie réelle négative, soit . 0<iσ Ces divers cas sont illustrés pour une fonction de transfert d’ordre 2 de la forme

121)(

020

2++

=pp

pH

ωζ

ω

dont les racines de l’équation caractéristique sont 12002,1 −±−= ζωζωp .

Système stable si : ( ) 00 >⇒<ℜ ζipe

- → 1>ζ tptp eAeAts 2121)( +=

- → 1=ζ ( ) tetAAts 021)( ω−+=

- → 10 <<ζ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−= − ϕζωζω teAts t 2

0 1cos)( 0

- → (cas particulier de l’oscillateur) 0=ζ ( ϕω += tAts 0cos)( )



Temps

0s 5ms 10ms 15ms 20ms s(t)

-2.0V

0V

2.0V

pôles réels (ζ = 1)

(ζ = 0) pôles imaginaires purs (oscillateur)

(ζ = 0.2) pôles complexes conjugués

système stable partie réelle de p < 0

Système instable si ( ) 00 <⇒>ℜ ζipe :

- → 1−<ζ tptp eAeAts 2121)( +=

- → 1−=ζ ( ) tetAAts 021)( ω+=

- → 01 <<− ζ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−= − ϕζωζω teAts t 2

0 1cos)( 0

Temps

0s 5ms 10ms 15ms 20ms s(t)

-50V

-25V

0V

25V

50V

(ζ = -1)pôles réels

pôles complexes conjugués (ζ = -0.2)

partie réelle de p >0 système instable

Représentations du comportement Le signal musical présenté à l’entrée d’un système audio peut aller de 20 Hz à 20 kHz. Son amplification doit être sans distorsion d’amplitude et de phase. Il faut donc connaître l’amplitude (ou le module) et le déphasage (ou l’argument) de la fonction de transfert H(p) du circuit pour chaque fréquence.

)(pVouV SS )(pHouH

)(pVouV EE



En régime quelconque → )()()(

pVpVpH

E

S= avec conditions initiales nulles

En régime sinusoïdal → ( ) ( )ωω jbaV

VH

E

S+== avec ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=+=abarctgbaH Hϕet22


01

1)(

ωω

ωj

jHH+

== avec RC1

0 =ω ⇒ 2

01

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

ωω

H et ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

00

ωωϕ arctgH

On peut représenter le comportement de la fonction de transfert de plusieurs manières :

Représentation de Bode : deux tracés indépendants - diagramme du module H défini en abscisse par la fréquence ou la pulsation sur

échelle logarithmique et en ordonnée par 20 log H en dB sur échelle linéaire. - diagramme de l’argument défini en abscisse par la fréquence ou la pulsation sur

échelle logarithmique et en ordonnée par l’argument en degrés ou radians sur échelle linéaire.

Hϕ

Représentation de Nyquist : un seul tracé dans le plan complexe du lieu des extrémités

des vecteurs, pour chaque fréquence ou pulsation. Ces vecteurs sont définis par le module H et l’argument Hϕ

Représentation de Black : un seul tracé dans un plan défini en abscisse par l’argument et en ordonnée par le module 20 log H dans les deux cas sur échelle linéaire.

En électronique, la représentation de Bode est retenue pour déterminer le comportement en fréquence d’un circuit. En effet, la nature des diagrammes permet de tracer simplement des caractéristiques approximatives appelées diagrammes asymptotiques de Bode. De plus, toute fonction de transfert étant le produit de fonctions de base, il suffit de représenter indépendamment chacune d’elles en module et en phase, puis d’en faire d’une part, la somme des modules à cause des valeurs logarithmiques et d’autre part, la somme des arguments à cause des propriétés des nombres complexes, ceci afin d’obtenir le résultat global. Fonctions de transfert de base On étudie ici les fonctions de transfert de base les plus utilisées.

ApH =)(0

En régime sinusoïdal ⎪⎩

⎪⎨⎧

°=

=→+=

0

log200)(

0

00

ϕω

AHjAjH dB



0

1 )(ωppH =

En régime sinusoïdal 0

1 )(ωω

ω jjH = → ⎪⎩

⎪⎨

⎧

°+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

90

log20

1

01

ϕ

ωω

dBH

0ωω = → dB01log20 =

010ωω = → dB2010log20 +=

100ω

ω = → dB20101log20 −=

Fréquence

1.0Hz 10Hz 100Hz 1.0KHz 10KHz dB(H1(jω))

-40

0

40

+20 dB/décadepente

f0, 0 dB

Fréquence

1.0Hz 10Hz 100Hz 1.0KHz 10KHz arg(H1(jω))

0°

25°

50°

75°

100°

90°

0

2 1)(ωppH +=

En régime sinusoïdal 0

2 1)(ωωω jjH += →

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

02

2

02 1log20

ωω

ϕ

ωω

arctg

HdB



Aux basses fréquences 10<<

ωω ⇒ et (asymptotes horizontales) dB01log20 = °→ 02ϕ

Aux hautes fréquences 10>>

ωω ⇒

0log20

ωω (droite de pente + 20 dB par décade)

010ωω = → et dB2010log20 += °≅ 3.842ϕ

0100ωω = → et dB40100log20 += °≅ 4.892ϕ

0ωω = → dB32log20 += et °= 452ϕ

Fréquence


0

10

20

30

40

f0, +3 dB pente +20 dB/décade

Fréquence


0°

25°

50°

75°

0°

+90°

f0, +45°

0

31

1)(

ωp

pH+

=

En régime sinusoïdal

0

31

1)(

ωω

ωj

jH+

= →

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

03

2

03

0

1log200

ωω

ϕ

ωω

arctg

HdB



Les représentations de H3(p) sont symétriques de celles de H2(p) par rapport à l’axe des abscisses.

Ce cas correspond à l’application au circuit RC, circuit passe-bas dont la fonction de transfert en

tension RCppV

pV

E

C

+=

11

)()( fournit un pôle

0

11ω

−=−=RC

p qui détermine la constante de temps

. RC=τ

Fréquence


-40

-30

-20

-10

-0

f0, -3 dB -20 dB/décade pente

Fréquence


-75°

-50°

-25°

-0° 0°

-90°

f0, - 45°

20

2

0

4

21

1)(

ωωζ pp

pH++

=

ζ représentant le coefficient d’amortissement et ω0 la pulsation du système non amorti.



En régime sinusoïdal

020

24

21

1)(

ωωζ

ωω

ωj

jH+−

= →

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

20

20

4

2

0

2

20

2

4

1

2

21log20

ωωωωζ

ϕ

ωωζ

ωω

arctg

HdB

Aux basses fréquences 120

20

2<<<<

ωωζ

ωω ⇒ et dB01log20 = °→ 04ϕ

(droites asymptotiques horizontales)

Aux hautes fréquences 120

20

2>>>>

ωωζ

ωω ⇒

0log40

ωω

−

(droite asymptotique de –40 dB par décade et coupant l’axe des abscisses pour ) 0ωω =et (droite asymptotique horizontale) °−→ 1804ϕ Pour la réponse réelle, trois cas :

ζ = 1 (racines doubles)

)(

1

1)( 232

0

4 pHp

pH =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

ω

pour ⇒ et (2 fois module et argument de H0ωω = dB62log20 −=− °−= 904ϕ 3(p)) ζ > 1 (racines réelles distinctes)

)()(11

1)( "3

'3

21

4 pHpHpp

pH =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

ωω

avec ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+= 12

01 ζζωω , ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−= 12

02 ζζωω et . 2021 ωωω =

ζ < 1 (racines imaginaires distinctes)

Si 7.021

≅<ζ , dépassement de 212

1log20ζζ −

à la pulsation de résonance

20 21 ζωω −=R .

On appelle coefficient de surtension 212

1

ζζ −=Q (

ζ21

≅Q pour ζ <<1 ).



Fréquence


-40

0

-70

30

ζ = 0.05f resonance

ζ = 0.7 f0, -3 dB

ζ = 1 f0, -6 dB

ζ = 5 f2, -3 dB

f1, -3 dB ζ = 5

pente-40 dB/décade

-20 dB/décadepente

Fréquence


-150°

-100°

-50°

-0°

ζ = 5

ζ = 1

ζ = 0.7

ζ = 0.05

f2, -135° f0, -90°

f1, -45°

Stabilité des systèmes électroniques Système électronique asservi Un système électronique linéaire est, dans la plupart des cas, asservi (ou contre-réactionné).

ε(p)E(p)

B(p)

G(p)S(p)+

-

G(p) : fonction de transfert de la chaîne directe B(p) : fonction de transfert de retour G(p).B(p) : fonction de transfert de la boucle ouverte H(p) : fonction de transfert de la boucle fermée

)()(1)()(

)()(

pBpGpGpH

pEpS

+==



En régime sinusoïdal → ( ) ( )( ) ( )ωω+

ω=ω

jBjGjGjH

1

Lorsque ou encore ( ) ( ) 1−=ωω jBjG( ) ( )

( ) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=

πωω

ωω

jBjG

jBjG

arg1

, le dénominateur s’annule. Il y a instabilité

du système. Conditions réelles d’un bon fonctionnement Les conditions précitées ne sont valables que dans le domaine de la théorie et en régime établi. Un système asservi doit conserver ses performances en régime transitoire, ce qui impose de nouvelles conditions que l’on peut présenter par deux méthodes d’études couramment rencontrées. - 1° méthode : étude des diagrammes de Bode de ( ) ( )ωω jBjG

Le système est en boucle ouverte. Pour ( ) ( ) 1=ωω jBjG , il faut une marge de phase φM minimale de 45°, c’est-à-dire . ( ) ( )[ ] °−= 135arg ωω jBjGOn peut aussi utiliser la marge de gain de –10 dB lorsque ( ) ( )[ ] °−= 180arg ωω jBjG , qui est plus rarement utilisée en électronique.

- 2° méthode : étude de la fonction de transfert H(p)

Le système est en boucle fermée et la méthode demande de connaître l’analytique de la fonction H(p). Si l’ordre de la fonction est importante, l’étude devient rapidement difficile et on se rabat vers le tracé de Bode. Toute fonction réelle peut se décomposer en produits de fonctions du premier et du second ordre (formes canoniques) :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

∏

∏

2

2

2

2

211

211)(

kk

k

j

ll

l

i

ppp

ppp

pH

ωωζ

ω

ωωζ

ω

Les coefficients d’amortissement ζ des fonctions du second ordre doivent être plus grands ou égaux à 0.5 (pour les circuits électroniques).

Pour φM = 45° (1° méthode) correspond à peu près ζ = 0.5 (2° méthode) et la réponse impulsionnelle du système asservi produit un dépassement (overshoot) d’un peu moins de 20% de l’impulsion excitatrice (ou éventuellement d’un échelon).

Application à un A.O. de type 1 : ( )

8.621

105

ppG

+= ,

10001)( =pB

- 1° méthode (boucle ouverte)

8.621

100)()(p

pBpG+

=



Fréquence

10mHz 1.0Hz 100Hz 10KHz1 arg(G(jω)B(jω) 2 dB(G(jω)B(jω))

-100°

-50°

0° 1

-40

0

40 2

système stable

pente -20 dB/décade

fréquence de cassure10 Hz

+37 dB, -45°

0 dB, -89.5° 1 kHz

marge de phase de 90.5°

A la fréquence de 1 kHz (0 dB), la marge de phase est φM = 90°. Le système est stable (on ne peut définir une marge de gain car la phase ne peut atteindre –180°).

- 2° méthode (boucle fermée)

62801

1000

8.62101

10)(5

pppH

+≅

+=

Un système asservi du premier ordre est inconditionnellement stable.

Application à un A.O. de type 2 : ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=

5

5

1028.61

8.621

10pp

pG , 1)( =pB

- 1° méthode (boucle ouverte)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=

5

5

1028.61

8.621

10)()(pp

pBpG

Fréquence

1.0Hz 1.0KHz 1.0MHz 10mHz 100MHz dB(G(jω)B(jω)) dB(R(jω)) dB(G(jω)B(jω)R(jω))

0

50

100

-40

310 kHz, 0 dB 80 kHz, 0 dB

-40 dB/décade

-20 dB/décade

réseau correcteur

(instable) système non compensé

(stable) système compensé

10 Hz, 97 dB

1 Hz, 97 dB

-20 dB



Fréquence

1.0Hz 1.0KHz 1.0MHz 10mHz 100MHzarg(G(jω)B(jω)) arg(R(jω) arg(G(jω)B(jω)R(jω)

-200°

-100°

0°

-135°

310 kHz, -162° (0 dB)80 kHz, -129° (0 dB)

système compensémarge de phase de 51°

(stable)

(instable) marge de phase de 18° système non compensé

(retard de phase) réseau correcteur

A la fréquence de 310 kHz (0 dB), la marge de phase est φM = 18°, donc très inférieure à 45°. Le système est inutilisable car oscillatoire amorti.


112

2

662

2

55

5

1028.61028.61

1

1028.61028.68.62101

10)(ppppp

pH++

≅++++

=

On identifie à la forme canonique du second ordre

srad /102 60 =ω ou encore et kHzf 3160 = 16.0≅ζ

La faible valeur de ζ indique que le système est oscillatoire amorti. La fonction de transfert H(p) du système asservi correspond à un amplificateur opérationnel monté en suiveur (retour unitaire) instable (rapide).

Compensation d’un système électronique asservi La deuxième application montre un système présentant deux pôles au-dessus de l’axe 0 dB (sans présence de zéro). Le but de la compensation est de déplacer ces pôles en utilisant des circuits correcteurs afin d’obtenir une marge de phase correcte ( ). °≥ 45Mφ

Application à un A.O. de type 2 : On utilise un réseau correcteur passif R(p), dit à retard de phase, pour rendre le système stable. Mis en cascade avec les autres blocs, le but est de positionner le deuxième pôle de G(p)B(p) sur l’axe 0 dB (-135°). Pour cela, le zéro de R(p) inhibe le premier pôle de G(p)B(p) et le pôle de R(p) devient le nouveau premier pôle de G(p)B(p) à déplacer vers la gauche (ici d’une décade).

28.61

8.621

)(p

p

pR+

+=



On vérifie la stabilité du système par les deux méthodes. - 1° méthode (boucle ouverte)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

=

5

5

1028.61

28.61

10)()()(pp

pRpBpG

La marge de phase est alors φM = 51°.


102

2

552

2

55

5

1028.61028.61

1

1028.61028.628.6101

10)(ppppp

pH++

≅++++

=

On identifie à la forme canonique du second ordre

srad /1028.6 50 =ω ou encore et kHzf 1000 = 5.0=ζ

La valeur de ζ est bien en accord avec la marge de phase.



Quadripôles Un dipôle est un circuit à une paire de bornes (résistance, impédance, admittance, circuit équivalent de Thévenin ou de Norton, …). Un quadripôle est un circuit à deux paires de bornes, un dipôle d’entrée et un dipôle de sortie, ces dipôles n’ayant pas nécessairement un point commun. Le quadripôle est décrit par quatre variables qui sont les courants et les tensions des dipôles. On considère que deux de ces variables sont indépendantes et que les deux autres sont dépendantes, le système d’équations étant linéaire. En régime statique → et en régime dynamique → . Cette représentation est surtout utilisée en régime dynamique :

2211 ,,, IVIV 2211 ,,, iviv

i1 i2

quadripôle v2v1

Représentation d’un quadripôle Les combinaisons de variables prises deux à deux possibles, conduisent aux paramètres z, y, h, h’ et éventuellement à la matrice de transfert T et à la matrice caractéristique γ, L’écriture de ces paramètres est fonction de la pulsation généralisée p dans le domaine fréquentiel, ici la notation est simplifiée. Paramètres z

z21 i1z11

v2 v1

i1 z22z12 i2

i2

⎩⎨⎧

+=+=

2221212

2121111

izizvizizv

→

01

111

2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

iivz impédance d’entrée, sortie ouverte

01

221

2=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

iivz transimpédance directe, sortie ouverte

02

112

1=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

iivz transimpédance inverse, entrée ouverte

02

222

1=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

iivz impédance de sortie, entrée ouverte

Paramètres y

y21 v1

1 / y22

i2

v1

i1

1 / y11

y12 v2

v2

⎩⎨⎧

+=+=

2221212

2121111

vyvyivyvyi

→



01

111

2=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

vviy admittance d’entrée, sortie en court-circuit

01

221

2=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

vviy transadmittance directe, sortie en court-circuit

02

112

1=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

vviy transadmittance inverse, entrée en court-circuit

02

222

1=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

vviy admittance de sortie, entrée en court-circuit

Paramètres h

h21 i1h11

v2v1

i1

1 / h22

h12 v2

i2

⎩⎨⎧

+=+=

2221212

2121111

vhihivhihv

→

01

111

2=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

vivh impédance d’entrée, sortie en court-circuit

01

221

2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

viih gain direct en courant, sortie en court-circuit

02

112

1=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ivvh gain inverse en tension, entrée ouverte

02

222

1=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ivih admittance de sortie, entrée ouverte

Paramètres h’

h’12 i2 h’22

v1 v2

i2

1 / h’11

h’21 v1

i1

⎩⎨⎧

+=+=

2221212

2121111

''''

ihvhvihvhi

→

01

111

2

'=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ivih admittance d’entrée, sortie ouverte

01

221

2

'=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ivvh gain direct en tension, sortie ouverte

02

112

1

'=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

viih gain inverse en courant, entrée en court-circuit

02

222

1

'=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

vivh impédance de sortie, entrée en court-circuit



Remarques : - les paramètres y et h, définissant une source dépendante de courant en sortie (schéma de

Norton), sont utilisables pour modéliser le comportement de certains composants électroniques (transistors à effet de champ, transistors bipolaires, …),

- les paramètres z et h’, définissant une source dépendante de tension en sortie (schéma de Thévenin), sont utilisables pour l’étude des générateurs de tension (alimentations stabilisées, régulées, …).

Caractérisation dynamique De manière exhaustive, caractériser un quadripôle consiste à évaluer l’impédance d’entrée ZE, l’impédance de sortie ZS, et les différents transferts (gain en courant AI, gain en tension AV, gain en puissance AP, transimpédance ZT, transadmittance YT). Soit un quadripôle représenté par les paramètres h, excité par une source indépendante de tension réelle et chargé par une résistance R. La caractérisation s’effectue ici en régime dynamique avec des paramètres réels.

h R

RG

v1

i1 i2

v2vG

Equations du quadripôle → ⎩⎨⎧

+=+=

)2()1(

2221212

2121111

vhihivhihv

Equations des dipôles → ⎩⎨⎧

−=

−=

)4()3(

22

11

iRviRvv GG

- Gain en courant 1

2

iiai =

(2) et (4) → ⇒ 2221212 iRhihi −= )5(1 22

21

Rhhai +

=

- Impédance d’entrée 1

1

ivze =

(1), (4) et (5) → ⇒ 1121111 iaRhihv i−= )6(1 22

211211 Rh

Rhhhze +−=

- Gain en tension 1

2

vva v =

(4), (5) et (6) →e

i zvaRv 1

2 −= ⇒ )7(11

21

RhhRha v ∆+

−= avec 21122211 hhhhh −=∆

- Impédance de sortie 2

2

ivzs =

La méthode de travail est le calcul de l’impédance du dipôle vue aux bornes de sortie du quadripôle, la source indépendante étant éteinte et la charge absente.

(1), (3) et (2) → 211

121 v

Rhh

iG+

−= ⇒ )8(1

11

211222

Gs Rhhhh

z +−=



- Gain en puissance vip aaa =

(5) et (7) ⇒ ( ) ( ) )9(1 1122

221

RhhRhRhap ∆++

=

Le quadripôle excité par la source indépendante réelle peut être représenté par différentes topologies. On retient ici les topologies où le dipôle de sortie apparaît sous son schéma de Thévenin ou de Norton à vide.

On change de notation en posant ZE = ze. L’impédance de sortie de l’ensemble quadripôle + charge est alors et la tension à vide est RzZ sS //= 120

vAv V= avec ( )svV zRRaA += .

ZEv1

RG

AV v1v2o

i1

vG

i2

ZS

ZT i1

Transformation Thévenin → Norton ⇒ et avec NoTh ZZ = 1vYI TNo =S

VT Z

AY = (transconductance)

ZSv2o

v1 ZE

i1

RG

YT v1

AI i1vG

i2

Loi d’Ohm ⇒ (transrésistance) et 11 iZv E= EVT ZAZ = ES

VI Z

ZA

A = (gain en courant).

Mesures physiques de paramètres dynamiques A l’intérieur de sa bande passante, un amplificateur (qu’il travaille en tension ou en puissance) est défini par trois paramètres fondamentaux, à savoir la résistance d’entrée RE, la résistance de sortie RS et le gain en tension à vide AV. La caractérisation qui en découle se traduit sous la forme du quadripôle suivant :

RE

RS

iE

vSo

iS

vE

AV vE



- Détermination du gain en tension à vide

Théoriquement : avec SSEVS iRvAv +=0

E

SVS v

vAi 00 =⇒=

Pratiquement :

vSo

iE iS

AV vE

vE

RG RS

RE

vG

On applique, à l’entrée de l’amplificateur, un générateur de tension d’amplitude vG et de résistance interne RG et on récupère le signal de sortie non déformé.

- Détermination de la résistance d’entrée

Théoriquement : E

EE i

vR =

Pratiquement :

RG RE

vSo vE

iE

RS

R iS

AV vEvG

On s’intéresse à la tension de sortie pour un amplificateur de tension (vS > vE) afin obtenir une plus grande précision des mesures (faible niveau d ‘entrée, rapport signal sur bruit médiocre, …). Deux étapes sont nécessaires :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++=→≠

+=→=

GVEG

ES

GVEG

ES

vARRR

RvR

vARR

RvR

02

01

0

0 ⇒ G

S

SE R

vv

RR −−

=1

02

01

Cas particulier si l’on règle R pour obtenir en sortie RRv

v ES

S ≅⇒=2

01

02 si R >> RG.

- Détermination de la résistance de sortie

Théoriquement : méthode d’évaluation de la résistance d’entrée d’un dipôle.

v0 RS

RE

i0

AV 0

RG



Pratiquement :

vG

iS

RS

AV vE

iE

RE

RG

vE vS

R

Deux étapes sont nécessaires :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=→∞≠

→>>

0

0

SS

S

SS

vRR

RvR

vRR ⇒ R

vv

RS

SS ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 10

Cas particulier si l’on règle R pour avoir en sortie RRv

v SS

S =⇒=2

0 .

Dans tous les cas, on s’assure de toujours avoir des signaux sur l’oscilloscope à l’image du signal délivré par le générateur, afin de satisfaire le contexte d’amplification linéaire. Méthode de travail pour quadripôles en cascade En pratique, un amplificateur est constitué de plusieurs étages à fonctions élémentaires, caractérisés sous forme de quadripôles. Pour chaque étage en cascade, le dipôle de sortie, représenté par le schéma équivalent de Thévenin à vide, est à l’image d’un générateur d’attaque pour l’étage suivant et ainsi de suite.

AV1 v1

RS1

v3

AV2 v2

RG RSnRS2

RE2v2RE1

AVn vn

v1vS

vG

REnvn

La méthode de travail, aux fréquences moyennes, consiste

- à découper la chaîne en n étages, - à calculer les résistances de sortie de chaque étage avec la présence de la résistance de

Thévenin à l’entrée de l’étage ( avec iSR

1−iSR GS RR ≡0

) et indépendamment de l’étage qui suit, en itérant du premier étage jusqu’au dernier,

- à calculer les gains en tension de chaque étage attaqué par la tension à vide de l’équivalent de

Thévenin de l’étage qui le précède associé à la résistance de sortie et non chargé par l’étage qui suit, en itérant du premier étage jusqu’au dernier,

iVA

1−iSR

- à calculer les résistances d’entrée de chaque étage chargé par la résistance d’entrée de l’étage qui suit, en itérant du dernier étage jusqu’au premier.

iER



La caractérisation de la chaîne d’amplification sera telle que

- le gain en tension global AV est égal au produit des gains en tension de chaque étage en prenant en compte les atténuations inter-étage

∏=

==n

i

VE

SV i

AvvA

1

- la résistance de sortie ZS de l’amplificateur est égale à la résistance de sortie du dernier étage

nSS RR =

- la résistance d’entrée ZE de l’amplificateur est égale à la résistance d’entrée du premier étage 1EE RR =

Adaptation d’impédances Soit une source réelle de tension indépendante (générateur de fonctions, …) ou dépendante (dipôle de sortie d’un amplificateur sous forme Thévenin) de force électromotrice vG et de résistance RG et une charge R (résistance ou dipôle d’entrée d’un amplificateur).

RG

i

vG

vR

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

G

G

GG

RRv

i

vRR

Rv

On calcule la puissance transmise à la charge → ( )2

22

GG

RRRv

RvP

+==

Etude des variations → ( )3

2

G

GG

RRRR

vdRdP

+

−=

Condition pour que la puissance dans la charge soit maximale → ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

⇒=

G

G

G

RvP

RR

dRdP

40 2

max

Pente à l’origine → 2

2

0 G

G

R Rv

dRdP

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=

Tracez la courbe P(R).



- Adaptation au maximum de puissance → R = RG L’adaptation d’impédances est la condition nécessaire pour que la puissance transférée d’un circuit (équivalent de Thévenin) dans un autre circuit (charge) soit maximale. En H.F., pour transmettre l’énergie par câble coaxial, il faut que celui-ci soit adapté, c’est-à-dire qu’il voit à ses bornes une résistance égale à son impédance caractéristique ZC.

- Adaptation au maximum de tension → R >> RG

Il n’y a pas d’atténuation due au pont de résistances, la tension sur la charge est maximale ( ), le courant minimal et le transfert en puissance moindre. Gvv ≅L’attaque d’un étage collecteur commun sur un amplificateur à forte impédance d’entrée reporte la presque totalité de la tension.

- Adaptation au maximum de courant → R << RG

Cas dual du précédent, à savoir courant maximal, tension minimale et le transfert en puissance moindre. Le courant d’attaque d’un OTA sur une charge est, à peu de chose près, celui de court-circuit.

Exemple : en B.F., un amplificateur audiofréquence de résistance de sortie de 4 Ω, transmettra le maximum de puissance à une charge de 4 Ω ou à deux charges de 8 Ω en parallèle, mais il pourra fonctionner correctement sur une charge de 8 Ω. Cependant, un amplificateur audiofréquence de résistance de sortie de 8 Ω, ne pourra fonctionner correctement sur une charge de 4 Ω qu’à volume réduit afin que le courant de sortie reste convenable à cause de la puissance dissipée dans les transistors (et attention au court-circuit en sortie !).





Annexes Définition et propriétés de la transformation de Laplace Transformée directe

A une fonction f(t) correspond . [ ] ∫+∞ −+

==0

)()()( dtetftfpF tpL

On remarque que f(t) doit être nulle pour t < 0. )0( +f représentera la valeur de f(t) au temps t = 0 (condition initiale).

Linéarité [ ] )()( pFktfk =L

Addition [ ] )()()()( 2121 pFpFtftf +=+L

Dérivation )0()()( +−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ fpFptfdtdL

Dérivations multiples ∑=

+−−−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ n

k

kknnn

nfppFptf

dtd

1

)1( )0()()(L

Intégration ppFdf

t )()(0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫ ττL

Translation de la variable p [ ] )()( λλ −= pFtfe tL

Produit de convolution [ ] )()()()( pHpFthtf ⋅=∗L

Théorème de la valeur initiale )0()(lim +

∞→= fpFp

p

Théorème de la valeur finale )(lim)(lim0

tfpFptp ∞→→

=

Transformée inverse A une fonction F(p) correspond [ ])()( 1 pFtf −= L



Tableau des transformées de Laplace

F(p) f(t)

1 ( )tδ

p1 )(.1 tu

21

p )(. tut

1!+np

n )(. tut n

α+p1 )(. tue tα−

( )21α+p

)(. tuet tα−

( )( )βα ++ pp1

αβ

βα

−− −− tt ee

( )2α+

+

pkp ( )[ ] tetk αα −+− 1

( )( )βα +++

ppkp ( ) ( )

αββα βα

−−−− −− tt ekek

( )21α+pp

( )2

11αα α tet −+−

( )( )βα ++ ppp1

( )αβαβαβ

αβ

βα

−−

−−− tt ee1

22 ωω+p

tωsin

22 ω+pp tωcos

22sincos

ωϕϕω

+

±

pp ( )ϕω ±tsin

22sincos

ωϕωϕ

+pp m ( )ϕω ±tcos

( )( ) 22

sincosωλ

ϕλϕω

++

+±

pp ( )ϕωλ ±− te t sin

( )( ) 22

sincosωλ

ϕωϕλ

++

+

pp m ( )ϕωλ ±− te t cos

(à partir de la septième ligne le produit par u(t) est sous-entendu)



Exercices et problèmes Théorèmes fondamentaux et mise en équations Diviseur de tension / courant

R1

VE

R3

VSR2

Exprimez la tension en fonction de . SV 321 ,,, RRRVE

R1 R2

I

R3

I2

Exprimez le courant en fonction de . 2I 321 ,,, RRRI Applications de Thévenin / Norton

R1

10

R2

30

V 10 V

R

5

I

Evaluez le courant I.

R2

A

B

I

R1

V

R3

Donnez le générateur de Thévenin équivalent au dipôle.



R1

k i1 Rchargev R2

i1

Donnez le générateur de Thévenin équivalent au dipôle.

AR1

1k

v1Vac0Vdc

B

R4

100

R2

1k

-105 vB

Rcharge

1k

R31Meg

Evaluez les éléments du générateur de Thévenin équivalent au dipôle. Application du théorème de Millman

Y4

Y1 Y3

veY2

+

-

Y5

vs

A B

Exprimez le rapport des tensions e

s

vv en fonction des admittances du circuit, l’amplificateur de

tension étant idéal (entrées équipotentielles

iY

−+ = vv ).



Réponse d’un circuit RL Soit le circuit RL avec condition initiale nulle.

vE L

100mH

R

100

Une excitation sinusoïdale d’amplitude crête VE est appliquée au circuit. Le but du problème est d’obtenir les réponses du courant circulant dans la maille et de la tension aux bornes de l’inductance par les trois techniques suivantes :

)(ti)(tvL

Réponse temporelle (variable t) 1. Ecrivez l’expression analytique du courant. 2. Ecrivez l’expression analytique de la tension. 3. Démontrez que la tension est en avance de π/2 par rapport au courant en régime permanent. Régime sinusoïdal établi (variable jω) 4. Ecrivez les expressions du module et de l’argument du courant et de la tension. 5. Comparez ces résultats à ceux obtenus précédemment en régime permanent. Transformées de Laplace (variable p) 6. Ecrivez la fonction de transfert en tension )()( pVpV EL . 7. Tracez les courbes de réponse dans le plan de Bode (module et argument). 8. Par transformées de Laplace, donnez l’expression de la tension. Fonction de transfert d’un amplificateur aux fréquences basses Soit la fonction de transfert

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=

2001

63.01

21

63285)(pp

pp

pH

1. Démontrez que cette fonction est décomposable en fonctions de transfert de base. 2. Représentez les réponses en fréquence dans le plan de Bode en prenant comme variable la

pulsation ω (module et argument).



Corrélation entre temps de montée et fréquence de coupure Soit le circuit RC avec condition initiale nulle.

R

vE C

Réponse à un échelon unité de tension 1. Ecrivez l’expression du temps de montée défini par la différence des temps pour atteindre

respectivement 90% et 10% de la valeur finale. rt

Réponse en fréquence 2. Ecrivez la relation entre la fréquence de coupure du circuit passe-bas et le temps de montée. hf (Réponse : tr = 2.2 τ, fh = 0.35 / tr) Sonde passive d’oscilloscope Soit le schéma de principe d’une sonde passive atténuatrice.

capacitévE R0

1Meg

CC

100pdu câble

RS

entrée de l'oscilloscope

CP

13p

CS

embout de sonde

câble de mesure

v0

L’amplificateur vertical de l’oscilloscope est représenté par le schéma équivalent parallèle - aux 0R pCbornes duquel existe la tension . 0v 1. Ecrivez la fonction de transfert )()(0 pVpV E . 2. Donnez la condition pour que la fonction de transfert soit indépendante de la fréquence. Evaluez

la résistance pour avoir une atténuation de rapport 1/10 et déduisez la valeur de la capacité découlant de la condition.

SR

0SC3. Déterminez l’impédance d’entrée de la sonde branchée sur l’oscilloscope, sous forme d’un

schéma R-C parallèle à la condition précédente. 4. Calculez et tracez les réponses temporelles de à un échelon de tension unité pour une

capacité de sonde réglée aux valeurs )(0 tv

SS CC ∆±0

(on supposera que 10SS CC ∆>> et que les bandes passantes de la sonde et de l’oscilloscope sont très larges).

(Réponse : RS = 9 MΩ, CSo = 12.56 pF, 10 MΩ // 11.3 pF)



Caractérisation d’un quadripôle Le schéma suivant représente un étage amplificateur excité par une source réelle de tension et chargé par une résistance.

R1

k i1 RvG

i1

R2

RG

v2v1

i2

1. Ecrivez l’expression de la résistance d’entrée du quadripôle chargé par R. ER2. Ecrivez les expressions de la résistance et de la tension de Thévenin constituant le

dipôle de sortie chargé par R. ThR Thv

3. Dessinez le schéma équivalent du quadripôle en utilisant les éléments précédents. Sensibilité d’un pont de Wheatstone Le schéma du pont de Wheatstone est le suivant :

1

R4

R1

2

R3

VE

1Vdc

VM

R2

1. Ecrivez l’expression analytique de la tension différentielle VM aux points de mesure 1 et 2 et

déduisez la condition pour que cette tension soit nulle. 2. Déterminez la sensibilité du pont et écrire la condition sur les résistances pour que cette

sensibilité soit maximale. 3. Pour des résistances à tolérance 1%, évaluez l’erreur maximale sur la tension VM dans le cas

d’une sensibilité maximale du pont. (Réponse : ∆VM = 10 mV)




Documents

Rappel sur la théorie des circuits - data0.eklablog.comdata0.eklablog.com/master-eea-toulouse/perso/archives/m1/eset... · Convention de signe voir théorème de Thévenin ou Norton