Rappels de théorie des circuits notions associées à un quadripole

ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction1

• Rappels de théorie des circuits

• notions associées à un quadripole

• matrice d’impédance et d’admittance

• gain, puissance

• paramètres S - matrice de répartition

• définition des paramètres S?

• Propriétés de la matrice S

• Méthode de calcul: théorie des graphes et règle de Mason

Paramètres S


• A basse fréquence, un quadripole est caractérisé par des tensions et courants.

• Les paramètres Z (matrice d’impédance) sont utilisés pour décrire complètement le circuit:

V1 = Z11 I1 + Z12 I2 V2 = Z21 I1 + Z22 I2

Z11 Z12

Z21 Z22

Z =

Z11 Z22

Z12 I2 Z21 I1

I1 I2

V1 V2

+

-

+

-

Théorie des circuits


• Z11 = V1/ I1 lorsque I2 = 0 (accès de sortie ouvert)

Z12 = V1/ I2 lorsque I1 = 0 (accès d’entrée ouvert)

Z22 et Z21 obtenus similairement

• D’autres matrices sont aussi utilisées pour les quadripoles: matrices Y, H,…

Toutes ces matrices utilisent une représentation courant/tension


Z11 Z22

Z12 I2 Z21 I1

I1 I2

V1 V2

+

-

+

-



Z11 Z22

Z12 I2 Z21 I1

I1 I2

V1 V2

+

-

+

-

+

-

Zg

VgZL

• Puissance fournie au quadripôle par le générateur

2

*221

*111 )4/1()()2/1()()2/1(

gin

ininginf

ZZ

ZZVZReIIVReP

• Puissance fournie à la charge par le quadripôle

2

*2

11

212

*2

1212 )4/1()4/1(Lout

LL

g

g

Lout

LLf ZZ

ZZZZVZ

ZZZZIZP

• Gain de puissance fournie

),,(1

2ijLg

f

f ZZZGPP

G 22

11

2112 ZZZZZZ

gout

Zin Zout



Zg

I1

V1

+

-Vg

ZL=RL+jXL

• Puissance fournie à une charge ZL par un générateur d’impédance Zg

22

2

2

*2*11

2)4/1()4/1()()2/1(gLgL

Lg

gL

LLgf

XXRRRV

ZZ

ZZVIVReP

• Si RL > 0 et Rg > 0 la puissance maximale fournie à la charge par le quadripôle

est obtenue pour :

Zg=Rg+jXg

gLgLgL ZZsoitXXetRR

et est notée puissance disponibleL

gd R

VP

8

2

0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

RL/RG

Pf/(Vg2/8Rg)



• Si RL > 0 et Rg > 0 la puissance maximale fournie à la charge par le quadripôle

est obtenue pour : gLgLgL ZZsoitXXetRR

L

gd R

VP

8

2



Z11 Z22

Z12 I2 Z21 I1

I1 I2

V1 V2

+

-

+

-

+

-

Zg

VgZL

1

2

d

fT P

PG

• Notion de gain transductique: rapport entre la puissance fournie à la charge et la puissance disponible à la source

fL

fI P

PG 2

• Notion de gain d’insertion: rapport entre la puissance fournie à la charge(Pf2) et la puissance fournie à cette

même charge lorsqu’elle est connectée directement au générateur (notée PfL)

2

*2)4/1(

gL

LLgfL

ZZ

ZZVP


•Aux hyperfréquences: longueur des éléments

théorie des lignes de transmission applicable

des ondes de courant, tension doivent être considérées V1= V10 cos (t - z) = Re{V10 exp j(t - z)}

• il est souvent difficile à ces fréquences

• de mesurer des courants et/ou des tensions

• de créer des circuits ouverts ou des courts-circuits

Généralisation à des ondes qui sont des racines carrées de Watts

Intérêt des paramètres S ?


• définition des ondes généralisées:

ai = (Vi + Zci Ii )/2Rci avec Rci = Re{Zci}bi = (Vi - Z*ci Ii )/2Rci

où: ai est l’onde incidente à l’accès “i”bi est l’onde réfléchie à l’accès “i”Zci est l’impédance de référence au port “i”

Les impédances de références sont choisies arbitrairement mais pourraient être prises égales aux impédances caractéristiques des lignes de transmission incidentes aux accès

• L’onde réfléchie s’annule à l’ “adaptation conjuguée”, c-à-dire lorsque l’impédance que présente le quadripole à l’accès i est égale au conjugué de l’impédance de référence Zci :

Vi = Z*ci Ii

I1 I2

V1 V2

ciiciii

ciiciii

RIZVb

RIZVa

2/)(

2/)(*



• Les paramètres S décrivent complètement un quadripole

ou

• Les paramètres S sont obtenus comme

• Si l’impédance caractéristique de référence est réelle adaptation conjuguée = adaptation ligne

I1 I2

V1 V2

iciiiciiciii IZVaRIZVa 02/)(

2221212

2121111

aSaSbaSaSb

aSb

0222201221

0211201111

12

12

////

aa

aa

abSabSabSabS

Sij est obtenu en connectant à l’accès j une charge ZLj = Zcj

c’est-à-dire une charge « adaptée » à l’impédance de référence


S11

a1

S22

S21

S12

b2

a2b1

graphe de transfert associéI1 I2

V1 V2ZL1 ZL2


• Si Rci > 0, et qu’une source d’impédance Zg = Zci est placée à l’accès i, la puissance disponible à l’accès “i” est

• La puissance fournie à l’accès i est

• La matrice de répartition est reliée aux coefficients de réflexion de façon immédiate si on suppose les impédances de référence réelles (ex. lignes d’accès à faibles pertes):

Zci = Zci* = Rci

22*)( iiiifi baIVReP

2ia

ciiciii

ciiciii

RIRVb

RIRVa

2/)(

2/)(

i

cii

cii

icii

iciiaiiii RZ

RZIRVIRVabS

ij

)(

)()()(/ 0

S11/22 est le facteur de réflexion (au sens ligne) obtenu à l’entrée/sortie du quadripôle lorsque sa sortie/entrée est chargée par une impédance Zcj

(condition pour que aj soit nul)


(Pdisp correspond à Zin = Zg * = Zci

* , donc bi = 0)


ciiciii

ciiciii

RIRVb

RIRVa

2/)(

2/)(

i

cii

cii

icii

iciiaiiii RZ

RZIRVIRVabS

ij

)()(

)()(/ 0


)()()( zVzVeVeVzV zz

)()()( zVzVYeVeVYzI ozz

o

zLezV

zVz 2

)()()(

facteur de réflexion à l’abscisse z

Analogie avec ligne de transmission de longueur L:

)0(1 VV

)0(1 II

)(2 LVV

)(2 LII

01221

01111

2

2

//

a

a

abSabS 0V 011 S

LeS 21ligne adaptée 02222

02112

1

1

//

a

a

abSabS 0V

LeS 12

022 Sligne adaptée

c

c

RVb

RVa

2/

2/

1

1

cL

cL

ReVb

ReVa

2/

2/

2

2

si Yo=Yc



Paramètres S pour une ligne de transmission adaptée:

00

2221

1211L

L

ee

SSSS

Par analogie avec une ligne de transmission, la définition de paramètres S

permet donc sous certaines conditions (Zci réelle), de caractériser un quadripole

en terme de transmission et de réflexion du signal hyperfréquences:

• S11 et S22 traduisent la réflexion du signal incident à chacun des accès

• S21 et S12 traduisent la propagation du signal à travers le quadripole

(déphasage et atténuation)

Intérêt des paramètres S pour un quadripole:le comparer avec le comportement d’une ligne de transmission (adaptée)

a1e- L

b2

a2b1

e- L


Propriétés particulières

22*)( iiiifi baIVReP

La puissance fournie à l’accès i est

Sous forme matricielle:

aSSa

aSSaaa

bbaaPP

TT

TTT

TT

ifitot

)1( **

***

**

Quadripôle passif et sans pertes: Ptot = 0 1* SST

Quadripôle passif: Ptot > 0 SST*1 est définie positive

Quadripôle réciproque: SST

Lien entre matrices S et Z: 11* ))(( FGZGZFS)( ciZdiagG 1)2( ciRdiagF


• calcul des fonctions de transfert à partir de la théorie des graphes

z

x

yu w r

v

avec D = 1 - T’ + T’’ - T’’’ + …T’ transmittance de boucleT’’ produit 2 à 2 des transmittances de boucles qui ne se touchent pasT’’’ produit 3 à 3 des …

N = Tab Dp

Tab chacun des trajets liant y à x Dp calculé comme D, mais pour graphe dont Tab est supprimé

Règle de Mason

DN

xy

wr1

)1( wru )1( zrv=


a1

b1

S11 S22

S21

L

S12

Règle de Mason

I1 I2

V1 V2

a2 = L b2

2

2

22

22

22

22

//

ba

IZVIZV

ZIVZIV

ZZZZ

c

c

c

c

cL

cLL

impédance de charge ZL = Zc

?? Facteur de réflexion en entrée du quadripôle ??

1

1

11

11

11

11

//

ab

IZVIZV

ZIVZIV

ZZZZ

c

c

c

c

cin

cinin

22

12212211

1

1

1)1(S

SSSSDN

ab

L

LLin

b2

a2


L

Règle de Mason pour une ligne de transmission

Hypothèses

ligne d’impédance caractéristique Zc

impédances de références Zci choisies = Zc

I1 I2

V1 V2

S11

a1

S22

S21

S12

b2

a2b1

2

2

22

22

22

22

//

ba

IZVIZV

ZIVZIV

ZZZZ

c

c

c

c

cL

cLL

impédance de charge ZL Zc

a1

e- Lb2

a2b1

e- L

a2 = L b2

LL

LL

L

in eeeDN

ab

2

1

1

01

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