Rapport de stage de M2

Calculs de deplacements lumineux de l’ion HD+

Baptiste DaillyUniversite Paris Sud M2 Laser et Matiere

Tuteur de stage :Jean-Philippe Karr

Laboratoire Kastler BrosselCNRS-ENS-UPMC

7 septembre 2013

Table des matieres

1 Introduction 2

2 Contexte experimental 32.1 Les horloges a ions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Precision des horloges a ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.3 Principe d’evaluation du deplacement lumineux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Spectroscopie de l’ion HD+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.1 Experience de l’universite d’Amsterdam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Calcul de la polarisabilite de l’ion HD+ 63.1 Theorie des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.1 Perturbations stationnaires appliquees a la polarisabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.1.2 Perturbations dependantes du temps appliquees a la polarisabilite dynamique . . . . . 73.1.3 Representation tensorielle irreductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Implementation numerique 84.1 Calcul des fonctions d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Calcul du deplacement lumineux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.3 Resultats obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3.1 Calculs preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.3.2 Influence de la frequence du laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.4 Calcul de deplacements lumineux pour la spectroscopie de HD+ . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4.1 Contexte experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4.2 Niveau ro-vibrationnel L=2, v=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4.3 Niveau ro-vibrationnel L=3, v=8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.5 Resultats concernant le deplacement lumineux du au rayonnement corps noir . . . . . . . . . 124.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 ANNEXES 165.1 Raies CO proches de la resonnance avec des niveaux de l’ion HD+ . . . . . . . . . . . . . . . 16

1

Chapitre 1

Introduction

Ce rapport presente le stage effectue au sein de l’equipe “Metrologie de l’ion H+2 ” du laboratoire Kastler

Brossel a Jussieu. Ce travail s’inscrit dans le cadre des activites theoriques de l’equipe, qui visent a cal-culer tres precisement les niveaux d’energies de systemes quantiques a trois corps, en particulier des ionsmoleculaires H+

2 et HD+.Mon travail a porte sur l’un des principaux effets systematiques qui affecte la precision des mesures : le

deplacement lumineux 1 des niveaux d’energie induit par un faisceau laser.La motivation de cette etude est double :– D’une part, cet effet doit etre pris en compte pour interpreter correctement les resultats experimentaux

de spectroscopie a haute resolution. Plusieurs experiences de ce type sont en cours 2 [1, 2, 3, 4]. Leurobjectif principal est d’obtenir, par une comparaison entre la theorie et l’experience, une nouvelledetermination tres precise d’un constante fondamentale : le rapport

mp

medes masses du proton et

de l’electron. Dans le cadre d’une collaboration avec le groupe de Jeroen Koelemeij et Wim Ubachs(LaserLab, universite VU d’Amsterdam) qui mene une experience de spectroscopie de HD+, j’ai calculeles deplacements lumineux induits par differents faisceaux laser utilises dans l’experience.

– D’autre part, la connaissance precise de la polarisabilite dynamique de HD+ 3 permet d’envisager del’utiliser pour calibrer celle d’autres especes, en mesurant leurs deplacements lumineux respectifs enpresence d’un meme champ laser. On pourrait ainsi ameliorer la precision sur la polarisabilite dyna-mique des ions utilises dans les horloges optiques. Ceci permettrait d’estimer - et donc de compenser- plus precisement le deplacement lumineux induit par le rayonnement du corps noir 4 emis par lesmateriaux environnants .

Jeroen Koelemeij a calcule la polarisabilite dynamique de certains niveaux de HD+, mais en se placantdans le cadre de l’approximation de Born Oppenheimer, ce qui limite la precision des resultats a environ 10-3

[5]. Mes calculs se placent dans une approche exacte a trois corps ce qui devrait permettre d’atteindre uneprecision de 10-4 (limitee par l’existence de corrections relativistes). L’equipe “Metrologie de l’ion H+

2 ” duLKB a calcule des deplacements lumineux associes a des transitions a deux photons, mais ces resultats sontlimites a des transitions entre etats de moment cinetique L=0.

Le stage s’est deroule en deux temps. Dans un premier temps j’ai etudie la theorie pour avoir uneconnaissance suffisante des concepts physiques et outils mathematiques necessaires. Dans un deuxieme tempsj’ai pu ecrire, en prenant comme base de depart les programmes mis au point dans l’equipe, le code permettantde calculer effectivement le deplacement lumineux des niveaux d’energie de systemes a trois corps.

1. ou ”lightshift”

2. l’une d’entre elle sur l’ion H+2 se deroule dans l’equipe

3. Le deplacement lumineux est proportionnel a la polarisabilite dynamique4. ou ”Blackbody radiation shift”

2

Chapitre 2

Contexte experimental

2.1 Les horloges a ions

2.1.1 Principe de fonctionnement

Dans les annees 50 sont apparues les horloges atomiques. Leur fonctionnement repose sur l’asservissementde la frequence d”un oscillateur sur la transition energetique entre deux etats d’un atome. Etant donne leurgrande precision (de l’ordre de 10-15), elle servent maintenant de reference pour la definition du temps. Laseconde est, depuis 1967, definie comme la duree correspondant a 9 192 631 770 periodes de la radiationcorrespondant a la transition entre deux niveaux hyperfins de l’atome de cesium 133. Dans une horloge acesium, un jet de cesium (dont l’etat energetique a ete prealablement selectionne) interagit deux fois avec unchamp micro-onde produit par un oscillateur a quartz, selon la methode des franges de Ramsey. En detectantla proportion d’atome passes dans l’etat excite, on peut asservir l’oscillateur de telle facon que sa frequencecorresponde a celle de la transition entre les deux etats hyperfins.

Figure 2.1 – Principe de fonctionnement d’une horloge ionique a aluminium

Dans une horloge a ions, le principe est sensiblement le meme mais sa mise en œuvre differe legerement.Un ion unique est place dans un piege de Paul. Cet ion est refroidi pour servir de reference d’oscillation.Lorsque le refroidissement par laser de l’ion est impossible (Al+), un refroidissement sympathique a l’aided’un deuxieme ion (par exemple Be+) est utilise [8]. En detectant l’etat de l’ion, on asservit un laser ultra-

3

stable qui servira de reference de temps.Dans une horloge ionique on peut tres bien isoler et localiser l’ion etudie. On a donc un controle plus

grand des effets systematiques que dans les horloges atomiques.Les horloges fonctionnant avec l’ion Al+, utilisent des longueurs d’onde du laser de reference dans le

visible (horloge optique). La periode de reference est plus petite que dans le cas des horloges micro-onde eton ameliore ainsi la precision.

2.1.2 Precision des horloges a ion

On distingue deux types d’incertitude sur la mesure du temps par une horloge atomique :– L’incertitude statistique (stabilite de l’horloge) qui depend essentiellement de la largeur de la transition

observee et du rapport signal sur bruit.– L’incertitude systematique (exactitude de l’horloge) qui reflete l’ecart possible entre deux horloges

construites sur le meme modele.Il est possible d’ameliorer la precision en evaluant les effets systematiques. L’un d’entre eux est du

au rayonnement de corps noir emis par les materiaux environnant le piege de Paul. Un rayonnementelectromagnetique entraıne une probabilite de transition entre certains etats. Il se produit donc une legerehybridation qui va decaler les niveaux energetiques. Ce deplacement lumineux va ainsi legerement modifierla frequence du laser ultra-stabe et la mesure du temps correspondante.

Figure 2.2 – Spectre de rayonnement corps noir a 25 ˚C

2.1.3 Principe d’evaluation du deplacement lumineux

Le calcul de la polarisabilite theorique des ions utilises dans les horloges est peu precis a cause de lacomplexite des ions utilises. On ne peut donc pas calculer precisement le deplacement lumineux du aurayonnement de corps noir. On sait que le deplacement lumineux a une frequence donnee peut etre calculea partir de la polarisabilite dynamique de l’ion :

∆E = −1

2αε(v,L)(ω)

I(ω)

c(2.1)

4

L’idee serait de mesurer tres precisement la polarisabilite de l’ion horloge, pour un ensemble de frequencesbien choisies, reparties sur le spectre du rayonnement corps noir, grace a un ion de calibration HD+.

Pour cela, on remplace dans un premier temps l’ion aluminium par l’ion HD+. Il est possible de calculernumeriquement la valeur de la polarisabilite de cet ion. Les deux ions etant mis dans les memes conditionset l’approximation dipolaire etant respectee, l’intensite est la meme pour les deux ions. On envoie un laserde frequence donnee sur ceux-ci. Le deplacement lumineux du au laser peut etre mesure pour les deux ions.Ces valeurs experimentales permettent d’obtenir la valeur de la polarisabilite de l’ion aluminium :

αAl+ = αHD+ · ∆EAl+

∆EHD+

(2.2)

En utilisant plusieurs lasers de differentes frequences, il est possible de calculer la polarisabilite de l’ionaluminium a differents endroits du spectre corps noir. Une fois ces valeurs connues, il serait theoriquementpossible de calculer le deplacement lumineux avec une bonne precision :

∆E = − 1

2c

∫αε(v,L)(ω)I(ω)dω (2.3)

2.2 Spectroscopie de l’ion HD+

2.2.1 Experience de l’universite d’Amsterdam

Une partie des traveaux de l’equipe de Jeroen Koelemeij consiste dans la spectroscopie haute-resolution dela structure hyperfine de l’ion HD+. Pour sonder la structure hyperfine, on utilise des micro-ondes. Celles-cipermettent le passage entre des etats hyperfins. Pour detecter le changement d’etat, on utilise une transitionvers un etat d’energie beaucoup plus haute. Un laser de plus haute energie est envoye sur les ions. Celui-cipermet de detecter la transition hyperfine. Lorsqu’une transition hyperfine a lieu, le second laser peupleun niveau vibrationnel excite qui est ensuite photodissocie par un deuxieme laser (Resonance RnhancedMultiphoton Dissociation).

Figure 2.3 – Principe de l’experience de spectrocopie de l’equipe d’Amsterdam

5

Chapitre 3

Calcul de la polarisabilite de l’ionHD+

3.1 Theorie des perturbations

3.1.1 Perturbations stationnaires appliquees a la polarisabilite

Pour evaluer la polarisabilite de l’ion HD+, on considere l’interaction avec le champ electro-magnetiquecomme une perturbation vis-a-vis de H0. On developpe les differentes variables a l’ordre 2 en notant W laperturbation :

H = H0 + λ ·W (3.1)

ψ = ψ0 + λ · ψ1 + λ2 · ψ2 (3.2)

E = E0 + λ · E1 + λ2 · E2 (3.3)

Pour cela, on developpe l’equation de Schrodinger a l’aide de la theorie des perturbations au deuxiemeordre :

< ψn|H|ψn >= En = E0n + λ · E1

n + λ2 · E2n (3.4)

On developpe le membre de gauche de cette equation :

< ψn|H|ψn >=< ψ0n + ψ1

n · λ+ ψ2n · λ2 | H0 + λ ·W | ψ0

n + ψ1n · λ+ ψ2

n · λ2 > (3.5)

On egalise ensuite les differentes puissances de λ.– A l’ordre 0 :

< ψ0n|H0|ψ0

n >= E0n (3.6)

– A l’ordre 1 :< ψ0

n|W |ψ0n >= E1

n (3.7)

En developpant l’ordre 1, on peut trouver l’expression suivante pour la fonction d’onde :

|ψ1 >=∑k

< ψ0k|W |ψ0

n >

E0n − E0

k

|ψ0k > (3.8)

6

On peut ensuite reinjecter ce resultat dans l’equation obtenu pour l’ordre 2. On obtient ainsi l’expressionde l’energie a l’ordre 2 :

E2n =

∑ | < ψ0n|W |ψ0

k > |2

E0n − E0

k

(3.9)

3.1.2 Perturbations dependantes du temps appliquees a la polarisabilite dyna-mique

On peut exprimer le deplacement lumineux d’un niveau rovibrationnel (L,v) cause par un faisceau mo-nochromatique de pulsation ω, d’intensite I et de polarisation ~ε a l’aide de la polarisabilite α :

∆E = −1

2αε(v,L)(ω)

I

c(3.10)

En utilisant la theorie des perturbations dependantes du temps au second ordre (meme type de calculque pour la perturbation independante du temps), on peut exprimer la polarisabilite dynamique :

αε(v,L)(ω) = −4πa03(Qε(v,L)(Ev + hω) +Qε(v,L)(Ev − hω)) (3.11)

Ou les fonctions de Green ont pour expression :

Qε(v,L)(E) =1

4πε0a30< ψ(v,L)|~d.~ε

1

E −H~d.~ε|ψ(v,L) > (3.12)

3.1.3 Representation tensorielle irreductible

L’operateur Qε = ~d.~ε 1E−H

~d.~ε est symetrique de rang 2. Il peut donc s’ecrire comme la somme d’un

operateur de rang 0, Q(0), et d’un operateur de rang 2, Q(2) [14]. Connaissant les elements de matrice reduits

Q(0)v,L =< vL||Q(0)||vL > et Q

(2)v,L =< vL||Q(2)||vL > , on peut en deduire Qεv,L pour n’importe quelle

polarisation ~ε . Par exemple pour une polarisation lineaire :

Qπ(v,L) =< vL||Q(0)||vL >√

2L+ 1− L(L+ 1)− 3M2√

L(L+ 1)(2L− 1)(2L+ 3)

< vL||Q(2)||vL >√2L+ 1

(3.13)

7

Chapitre 4

Implementation numerique

4.1 Calcul des fonctions d’ondes

Afin d’evaluer la valeur de la polarisabilite, l’equation (3.12) montre qu’il est necessaire de disposerdes fonctions d’ondes precises de HD+. Pour ce faire on utilise une methode variationnelle. L’equation deSchrodinger est developpee sur une base de fonctions {|αi >} judicieusement choisie.

H|ψ >= E|ψ > (4.1)

devient alors : ∑j

< αi|H|αj >< αj |ψ > = E∑j

< αi|αj >< αj |ψ > (4.2)

On peut donc maintenant se ramener a un calcul matriciel de la forme :

Aψ = EBψ (4.3)

avec A, matrice du hamiltonien, et B, matrice de recouvrement.L’energie trouvee est toujours surestimee. Plus on agrandit la base de fonction de depart, plus la precision

obtenue sur l’energie et la fonction d’onde resultat est grande.On a utilise une base de fonctions d’onde de la forme :

ψl1l2LM (~r1, ~r2) =

∞∑i=1

CiYl1l2LM rl11 r

l22 e−αir1−βir2−γir12 (4.4)

avec l1 + l2 = L ou L+ 1 selon la parite.Les Y l1l2LM representent les harmoniques spheriques bipolaires, partie angulaire de la solution de l’equation

∆ψ = 0. Chaque fonction d’onde de la base est definie par le jeu de parametres (l1, l2, αi, βi, γi). Lesexposants (αi, βi, γi) sont generes de facon pseudo-aleatoire dans des intervalles judicieusement choisis. Cesont les bornes de ces intervalles qui jouent le role de parametres variationnels. On donne ensuite le nombrede fonctions d’ondes qui seront generees dans chaque intervalle. Le programme se charge ensuite de genererune base possedant le nombre specifie de valeurs dans l’intervalle donne. Pour faire ce calcul, on a utilise lesprogrammes de la bibliotheque de Vladimir Korobov [11].

4.2 Calcul du deplacement lumineux

D’apres l’equation (3.12), Qε(v,v) peut se mettre sous la forme < ψd|ψ1 >.

avec |ψd >= ~d · ~ε|ψv,L >et |ψ1 >= 1

E−H |ψd >

8

Les fonctions d’ondes ”intermediaires” |ψd > et |ψ1 > sont calculees en les developpant sur une basede fonction qui n’est pas necessairement la meme que celle utilisee pour calculer la fonction d’onde dedepart. Cette base intermediaire correspond a la fonction d’onde apres une interaction avec le champelectromagnetique. Elle doit donc posseder la bonne parite. Une interaction avec le champ electromagnetiquene doit pas avoir une grosse influence sur la forme des orbitales. On utilise donc les memes parametres pourla base intermediaire et pour l’etat de depart.

4.3 Resultats obtenus

4.3.1 Calculs preliminaires

Afin de verifier que le programme fonctionne correctement, j’ai commence par faire une serie de tests. Ilsont permis de verifier les valeurs obtenues par rapport a celles ayant deja ete calculees par certaines equipesde recherche [7, 13]. Une etude sur l’evolution de la polarisabilite en fonction du deplacement lumineux aaussi ete menee. Elle a permis d’evaluer l’influence de la longueur d’onde sur celui-ci. C’est interessant d’avoirune idee de son influence potentielle, le deplacement lumineux du rayonnement de corps noir s’etalant surtoute une gamme de frequence. D’autre calculs portant sur des variations des parametres de la methodevariationnelles ont permis d’evaluer l’imprecision du calcul.

Le facteur de dilatation

Tout les calculs sont fait en developpant les fonctions d’ondes ”intermediaire” sur une base exponentiellede fonction d’onde. Ces fonctions sont de la forme indique dans 4.4. Les fonctions de la base sont determineesde maniere aleatoire dans un intervalle pour chaque variable (αi, βi, γi). Pour etudier la pertinence desintervalles de depart, on fait une variation globale en les multipliant par un meme facteur de dilatation. Ontrace ensuite l’evolution du deplacement lumineux en fonction du facteur de dilatation. L’extremum obtenucorrespond au choix optimum des parametres.

La polarisabilite a ete ici calculee en prenant comme base de depart des parametres qui avaient eteoptimises pour la resolution de l’hamiltonien sans perturbation. On voit ici que la base choisie reste pertinentecar le coefficient de dilatation est optimum pour une valeur proche de 1 (environ 0,9). Ces calculs ontete repetes avec differentes valeurs de frequences de laser et differents etats ro-vibrationnels. Les resultatsobtenus sont a peu pres similaires. On se rend compte que les parametres correspondant au calcul de l’etatro-vibrationnel de depart sont pertinents pour le calcul du deplacement lumineux de ces memes etats (uneinteraction avec le champ electro-magnetique ne peut faire passer le moment cinetique qu’aux valeurs L+1ou L-1). Ces resultats prouvent que l’on peut utiliser les jeux de parametres utilises pour calculer les energiesdes etats ro-vibrationnels pour nos calculs.

Precision du calcul

Plus le nombre de fonctions d’onde de la base est grande, plus celle-ci permettra de representer fidelementles fonctions d’ondes. Ainsi, dans les methodes variationnelles, la precision du calcul augmente avec la taille dela base. Pour connaıtre la precision du calcul numerique, on effectue celui-ci en utilisant differentes tailles debase. En comparant les chiffres communs des valeurs obtenues, on peut connaıtre le dernier chiffre significatifde la plus petite base.

Pour l’etat de depart L=0, v=2 et Lz=0, avec un laser de frequence 532nm, on obtient un lightshift de-9.210645015e-15 ua pour une taille de base de 2 000 et de -9.210645025ua pour une taille de base de 3 000.On en deduit que ce resultat a ete obtenu avec 8 chiffres significatifs.

4.3.2 Influence de la frequence du laser

Une etude de l’influence de la frequence du laser sur la polarisabilite de l’etat ro-vibrationnel a ete menee.J’ai balaye un domaine d’energie du laser allant d’une valeur nulle jusqu’a une energie du photon legerement

9

superieure a l’energie de dissociation.

10

Le comportement de la courbe peut se comprendre a partir de la formule (3.12). La polarisabilite presentedes poles lorsque E±hω correspond a l’energie d’un etat propre du hamiltonien de depart.

On remarque que la courbe evolue tres rapidement aux alentours de la frequence nulle. Ceci est du acoincidence avec les niveaux rotationnels (v=0, L=1 ou 3). La polarisabilite evolue ensuite lentement avecdes accidents ponctuels. Ces accidents correspondent a des resonances du laser avec des etats vibrationnelsexcites. Si on prenait un pas plus petit, certains points se rapprocheraient de la resonance et on aurait plusd’accidents.

4.4 Calcul de deplacements lumineux pour la spectroscopie deHD+

4.4.1 Contexte experimental

L’experience en cours a Amsterdam porte sur le niveau ro-vibrationnel (v=0, L=2) de l’ion HD+ [2]. Ilest utilise dans deux configurations differentes :

– spectroscopie Radio Frequence de la structure hyperfine de niveau (v=0, L=2)– spectroscopie de la transition ro-vibrationnelle (v=0, L=2) → (v=8,L=3)Dans ces experiences les ions HD+ sont eclaires par 3 faisceaux laser :– un faisceau a 313 nm utilise pour refroidir les ions Be2+ par laser, afin de refroidir sympathiquement

HD+ (puissance P = 2mW , waist w0 = 100µm)– un faisceau a 532 nm utilise pour photodissocier les ions dans l’etat v=8, afin de detecter la transition

(v=0) → (v=8) (puissance P = 50mW , waist w0 = 100µm)– un faisceau a 782 nm utilise pour exciter la transition (v=0) → (v=8) (puissance P = 150mW , waistw0 = 100µm)

Ces experiences visent a obtenir les niveaux d’energie avec une grande precision. Il etat donc necessaired’evaluer l’odre de grandeur des deplacements lumineux eventuels qui existent dans l’experience. Les ionssont en interaction avec trois faisceaux differents. On a calcule les deplacements lumineux correspondants.

4.4.2 Niveau ro-vibrationnel L=2, v=0

Une etude a ete mene sur le niveau L=2, v=0. Ceci a permis de voir que dans les conditions experimentalesde l’experience d’Amsterdam, les lightshifts du aux differents lasers etait de l’ordre de quelques dizaines dehertz. L’experience mise en oeuvre vise a obtenir une precision de l’ordre du kHz. Mes calculs ont doncpermis de confirmer le fait que les deplacements lumineux sont negligeables.

Figure 4.1 – Resultats des calculs pour le niveau L=2, v=0

4.4.3 Niveau ro-vibrationnel L=3, v=8

J’ai mene une serie de calculs sur le niveau L=3, v=8. Les resultats ont montre une tres grande volatilite.En effet, le niveau ro-vibrationnel ayant une energie plus grande que dans le cas L=2, v=0, un photon peutfaire passer l’ion dans etat du continuum. Cela se manifeste par le fait que dans l’equation (3.11) la partieen Qε(v,L)(Ev + hω) ne converge plus. La methode variationnel n’est ici plus adaptee. J’ai cependant scinde

le calcul pour faire apparaıtre les differentes composantes en Q(Ev − hω) et Q(Ev + hω) . La composante

11

correspondant a E-hv se comporte ”normalement” et on obtient des deplacements lumineux du meme ordrede grandeur que pour l’etat L=2, v=0. On peut donc les negliger dans les conditions de l’experience.

Figure 4.2 – Resultats obtenus pour la composante en E-hv

Pour la composante en E+hv, les resultats ne convergent pas et il est impossible d’avoir une valeur pourla polarisabilite.

4.5 Resultats concernant le deplacement lumineux du au rayon-nement corps noir

Pour pourvoir mesurer la polarisabilite de HD+ dans l’ensemble su spectre du rayonnement du corpsnoir, il est necessaire de disposer de raies laser compatibles avec le rayonnement du corps noir. D’apres legraphique 2.1.2, le rayonnement corps noir correspond a des longueurs d’onde maximum vers 10 microns.Parmi les lasers existant, les plus proches de ces longueurs d’onde sont les lasers CO2 et les laser CO. Pouravoir un deplacement lumineux appreciable, il est necessaire que les raies lasers selectionnees soit prochesd’un ecart entre 2 niveaux ro-vibrationnels de HD+.

Pour faire une mesure, on part d’un etat stable de HD+ avec un nombre quantique vibrationnel nul.On envoie ensuite un laser permettant de passer a un des niveau ro-vibrationnels interessant. En envoyantun deuxieme laser a la bonne longueur d’onde, on peut evaluer le deplacement lumineux sur le niveauro-vibrationnel selectionne.

J’ai ecrit un petit programme permettant de determiner les raies laser interessantes pour les lasers a CO2

(lesraies pour les lasers a CO sont donnees en annexe).Dans ce tableau, L1, v1, L2, v2, correspondent aux etats ro-vibrationnels dont l’ecart d’energie se rap-

proche d’une raie laser. L correspond au moment cinetique de HD+ au depart (v n’est pas precise car il esttoujours nul).

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Figure 4.3 – Resultats obtenus pour la composante en E+hv

Figure 4.4 – Resultats obtenus pour la composante en E+hv

Des calculs ont ete fait pour tout les niveaux interessants. Les calculs ont ete fait avec une puissancemaximale de 1 W pour un waist de 50 microns. Les resultats donne des deplacements lumineux qui vont dequelques kHz a quelques MHz (voir fichier excel joint avec tout les resultats) donc facilement mesurable. Unedeuxieme approche consiste a utiliser des laser QCL accordable en frequence. On peut donc selectionner lesniveaux vibrationnels de HD+ les plus proches des frequences du rayonnement corps noir.

Dans le tableau les ecart d’energie ont ete calcules pour les differents niveaux de depart (le momentcinetique peut prendre la valeur L-1 ou L+1). Les calculs ont ete menes pour ces niveaux avec une puissancede 20 mW (hypothese la plus defavorable pour un QCL) sur un waist de 50 microns avec un desaccord a laresonnance de 0,2 cm-1. Les resultats sont de quelques dizaines a quelques centaines de kHz donc mesurablesexperimentalement avec une bonne precision.

13

Figure 4.5 – Raies du laser CO2 compatibles avec des niveaux ro-vibrationnels de HD+

Figure 4.6 – Transitions entre des niveaux ro-vibrationnels de HD+ proche du maximum d’intensite durayonnement du corps noir

4.6 Conclusion

Des calculs precis de deplacement lumineux ont pu etre mene pour les laser non resonnants. L’etapesuivante serait de prendre en compte la structure hyperfine pour pouvoir traiter le cas des lasers quasi-resonnants.

Concernant les horloges a ions, un certain nombre de raies laser ont ete identifiees qui permettraientd’induire un deplacement lumineux allant jusqu’a quelques MHz. De tels deplacements lumineux pourraientetre mesures avec une bonne precision relative. Ces premiers resultats semblent valider la possibilite demesurer la polarisabilite dynamique d’une autre espece ionique a l’aide de l’ion HD+.

Les resultats complets sont trop nombreux pour apparaıtre dans ce rapport. Ils sont fournis en annexe

14

dans un fichier excel.

15

Chapitre 5

ANNEXES

5.1 Raies CO proches de la resonnance avec des niveaux de l’ionHD+

Les lignes surligne sont les raies pour lesquelles des calculs ont ete conduit.

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17

Figure 5.1 – Raies du laser CO compatibles avec des niveaux ro-vibrationnels de HD+

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Bibliographie

[1] U. Bressel, A. Borodin, J. Shen, M. Hansen, I. Ernsting, and S. Schiller, Manipulation of individualhyperfine states in cold trapped molecular ions and application to HD+ frequency metrology, Phys. Rev.Lett. 108, 183003 (2012).

[2] J.C.J. Koelemeij, D.W.E. Noom , D. de Jong, M.A. Haddad, and W. Ubachs, Observation of the v =8− v = 0 vibrational overtone in cold trapped HD+, Appl. Phys. B 107, 1075 (2012).

[3] J.-Ph. Karr, A. Douillet, and L. Hilico, Photodissociation of trapped H+2 ions for REMPD spectroscopy,

Appl. Phys. B 107, 1043 (2012).

[4] M. Hori et al., Two-photon laser spectroscopy of antiprotonic helium and the antiproton-to-electronmass ratio, Nature 475, 484 (2011).

[5] J.C.J. Koelemeij, I nfrared dynamic polarizability of HD+ rovibrational states, Phys. Chem. Chem.Phys. 13, 18844 (2011).

[6] L. Hilico, N. Billy, B. Gremaud, and D. Delande, Polarisabilities, light shifts and two-photon transitionprobabilities between J = 0 states of the H+

2 and D+2 molecular ions, J. Phys. B 34, 1 (2001).

[7] J.-Ph. Karr, S. Kilic, and L. Hilico, Energy levels and two-photon transition probabilities in the HD+

ion, J. Phys. B 38, 853 (2005).

[8] T. Rosenband et al., Frequency ratio of Al+ and Hg+ single-ion optical clocks ; Metrology at the 17th

decimal place, Science 319, 1808 (2008).

[9] T. Rosenband, W.M. Itano, P.O. Schmidt, D.B. Hume, J.C.J. Koelemeij, J.C. Bergquist, and D.J. Wi-neland, Blackbody radiation shift of the 27Al+ 1S0 to 3P0 transition in Proceedings of the 20th EuropeanTime and Frequency Forum, p. 289-291 (2006).

[10] G. Grynberg, These de Doctorat d’Etat de l’Universite Pierre et Marie Curie (Paris 6), 1976.

[11] V.I Korobov, Coulomb three-body bound-state problem : Variational calculations of nonrelativistic ener-gies, Phys. Rev. A 61, 064503 (2000).

[12] R.E. Moss and L. Valenzano, The dopole polarizability of the hydrogen molecular cation HD+ and otherisotopomers, Molec. Phys. 100, 1527 (2002).

[13] R.E. Moss, Calculation for vibration-rotation levels of HD+, in particular for high N , Mol. Phys. 78,371 (1993).

[14] G. Grynberg, Spectroscopie d’absorption a deux photons sans elargissement doppler. Application a l’etudedu sodium et du neon, These d’etat, Laboratoire de physique de l’ecole normale superieure, (1976)

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