1Elments deRsistance des Matriaux

T. Ciblac

2Rappels sur la Rsistance Des Matriaux

Dfinition Hypothses de la RDM Notion de poutre Sollicitations et efforts de la RDM Diagramme des efforts de la RDM Flambement Contraintes dduites des efforts Comportement des matriaux en fonction des contraintes :

dformations, contraintes limites Comparaison des contraintes calcules avec les

contraintes limites, notion de coefficient de scurit

3Rsistance des matriaux

Dfinition :

La rsistance des matriaux (ou RDM) est un outil de calcul des contraintes et dformations des poutres (solides dont la longueur est beaucoup plus importante que les dimensions transversales) permettant ainsi leur dimensionnement.

La RDM sappuie sur la mcanique des milieux continus laquelle sajoutent des hypothses complmentaires simplificatrices.

Remarque : La thorie des plaques est ltude des solides longs en voiles minces et sinspire de la thorie des poutres.

4POUTREDfinition : Elment structural allong gnr par le dplacement dune figure plane A. G (centre de gravit de A) parcourt une courbe donne appele fibre moyenne.

Le plan de A est orthogonal la fibre moyenne

Les dimensions de A sont petites vis--vis de la longueur parcourue

Remarque : cette dfinition ne fait pas dhypothse sur la position que doit avoir une poutre ni sur sa

rectitude. Elle peut tre horizontale, verticale, incline, droite ou courbe.

[ Studer - Frey ]

5Hypothses et principes de la Rsistance Des Matriaux

Hypothses sur le matriau : lastique linaire (dformations rversibles et proportionnelles aux

contraintes). Homogne (mme nature du matriau dans tout le solide). Isotrope (mmes proprits dans toutes les directions).

A ces hypothses sur le comportement sajoutent des principes fondamentaux de la RDM, vrifis exprimentalement, et contribuant simplifier la formulation mathmatique du problme.

6Principes de la Rsistance Des Matriaux

Principe de superposition des effets des forces : Les effets lastiques (contraintes, dformations et dplacements) en un point dune poutre soumise plusieurs forces extrieures sont la somme des contraintes, dformations et dplacements produits en ce mme point par chaque force prise isolment.

[ Studer - Frey ]

7Principes de la Rsistance Des Matriaux

Principe de Saint-Venant : Dans une section loigne des points dapplication des forces concentres (forces donnes ou ractions dappuis), les contraintes et les dformations ne dpendent que de la rsultante et du moment rsultant du systme de forces.

Principe de Navier-Bernoulli :Aprs dformation de la poutre, les sections normales la fibre moyenne restent planes et normales la fibre moyenne.

8Domaine pratique de validit des hypothses de la Rsistance Des Matriaux

Dimensions transversales de la poutre petites par rapport sa longueur : Llancement (=hauteur de la section/ longueur) entre deux appuis successifs, pour une poutre droite est le plus souvent compris entre 1/5 et 1/40.Un lancement trop grand impliquerait des dformations trop importantes pour tre ngliges (fils). Pour les arcs on peut toutefois aller jusqu 1/100 compte tenu des faibles moments flchissants.

Rayon de courbure de la fibre moyenne grand par rapport aux dimensions transversales:Au moins 5 fois la hauteur des sections droites.

9Sollicitations

[Meistermann]

10

Principe de la coupe

[ Studer - Frey ]

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Efforts internes : application du principe de la coupe

[Meistermann]

Les efforts internes au niveau de la coupure assurent lquilibre de la poutre.Dans la matire les efforts internes sont mobiliss par le matriau (forces intermolculaires) jusqu une certaine limite de rsistance.Si lon reprsente graphiquement pour chaque section les efforts le long de la fibre moyenne on obtient les diagrammes des efforts.

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Convention de signe

+x

y

Nous dfinissons les efforts de la RDM comme tant les rsultantes des forces et moments en G de la partie droite (2) de la coupure sur la partie gauche (1).

Gauche (1) Droite (2)

Repre local de la poutre Les conventions de signes sont fixes de manire conventionnelle.Nous allons dfinir ici les efforts de la RDM suivant la convention utilise dans le logiciel RDM6.Laxe x est tangent la fibre moyenne.Le signe des efforts est donn par rfrence au tridre de rfrence.

O

Origine

Section S

Efforts de la RDM : F et M

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Efforts normaux : N

[Meistermann]

Suivant la convention de signe utilise, le signe de leffort normal N est : + : traction- : compression

Cble tendu Mur en maonnerie

Diagrammes des efforts normaux

+

x

y

Repre local de la poutreCas de la traction

O

Section S

O O

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Efforts tranchants : V

Console Poutre simpleCharge linaire uniforme Charge linaire uniforme

Diagrammesdes efforts tranchants

[Meistermann]

Efforts tranchants : efforts agissant perpendiculairement la fibre moyenne

Le signe des efforts est dfini suivant la convention prcdente et en fonction de lorigine indique sur le dessin.

x

y

O

x

y

O

--

+

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Moments flchissants : M

[Meistermann]Console Poutre simpleCharge linaire uniforme Charge ponctuelle

Diagrammesdes momentsflchissants

+

x

y

O

Le signe des efforts est dfini suivant la convention prcdente et en fonction de lorigine indique sur le dessin.

x

yO

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Efforts tranchants : V

-+

+

x

y

O

+

x

y

O

On remarque que le moment flchissant est extrmal quand leffort tranchant est nul.

[ Studer - Frey ]

+-

17

Efforts intrieurs et dformations

[ Studer - Frey ]

18

Contraintes

Les efforts traduisent les conditions globales dquilibre du solide.

Or, pour valuer la rsistance des matriaux, ce sont les contraintes qui sont utiles.

Une contrainte se dfinit sur un petit lment de surface par le rapport entre les efforts appliqus celle-ci et son aire.

Unit : Pascal : 1 Pa = 1 N/m2

Il faut donc dduire les contraintes des efforts de la RDM pour valuer la capacit de rsistance des matriaux de la structure.

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Contraintes sur une section

[ Studer - Frey ]

Contrainte normale

: Contrainte de cisaillement

20

Contraintes dduites des efforts

[ Studer - Frey ]

21

Contrainte et dformations :Traction ou compression uniaxiale

Dformation :

= L/LL = longueur initiale (m)

L = variation de longueur (m) est sans dimension (car m/m=1)

Contrainte :

= N/AN = Effort normal (N : Newton)

A = Aire de la section (m2)

est homogne une pression son unit est le Pa. (1 Pa = 1 N/ m2)

N

LA

Les units sont donnes dansle systme international.La contrainte normale est aussi note x x

y

O

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Relation entre contraintes et dformations :Elasticit linaire

Loi de Hooke :

Ut tensio sic vis ( Telle extension telle force )

= E

= contrainte = dformationE = module dlasticit

= module dYoung

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Flexion pure :dformations et reprise du moment flchissant sur une section

[Meistermann]Valeurs pour une poutre de section rectangulaire

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Flexion pure : dformations

[ Studer - Frey ]

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Flexion pure : valuation des allongements ou raccourcissements des fibres, moment dinertie.

[ Studer - Frey ]

Elasticit linaireLa section reste plane

Cas o M

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Flexion pure : rpartition des contraintes normales dans une section

[ Studer - Frey ]

Avec la convention de signe dfinie prcdemment on a la rpartition des contraintes normales sur la surface : = - M y / I

Cas o M0 traction

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Flexion compose : effort normal N et flexion M

Avec la convention de signe dfinie prcdemment on a la rpartition des contraintes normales sur la surface : = N/A - M y / I

Flexion(cas o M>0 )

traction

0 traction

G G+ =

compression

Effort normal

compression

compression traction

traction

Flexion compose

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Bilan des contraintes intrieures

[ Studer - Frey ]

29

Flambement (ou flambage)

[ Studer - Frey ]

Instabilit la compression des pices lances : Phnomne brutal et dangereux.

La pice ne se raccourcit plus dans le sens de la compression : elle ne scrase pas mais flchit sous leffet dun lger excentrement de leffort normal.

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Flambement (ou flambage)

[ Salvadori ] valeurs en b et c corriges[ Gordon ]

Exemple de charge critique en fonction des liaisons et de L

P : charge critique dEULER

0.5 kg

8 kg

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Comportement du matriaux :Relation entre contraintes et dformations, rupture

[ Studer - Frey ]

Matriau ductile

Domainelastique

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Comportement du matriaux :Relation entre contraintes et dformations, rupture

[ Studer - Frey ]

Matriau fragileEx : bton, pierre,

brique, verre

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Valeurs de proprits mcaniques de matriaux non mtalliques

[ Studer - Frey ]

Attention :

1 kN/cm2 = 107 Pa

= 10 MPa

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Contraintes limites pour le pr-dimensionnement

[ Studer - Frey ]

Attention :

1 kN/cm2 = 10 MPa

Contrainte limiteTraction / Compression

Flambement

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Bibliographie

Frey Fanois et Studer Marc-Andr, Introduction lanalyse des structures. Presses polytechniques et universitaires romandes, 2008.

Pirard A. La statique graphique, 3me dition, Dunod, 1967.

Meistermann Alfred, Basics Systmes porteurs, Editions Birkhauser, 2007.

Mouterde Rmi et Fleury Franois, Comprendre simplement la rsistance des matriaux, Editions le Moniteur, 2007.

Torroja Eduardo, Les structures architecturales. Leur conception. Leur ralisation. 2me dition. Eyrolles, 1971.

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RDM6

Adresse du site internet :

http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi

Rappel convention de signe :Effort normal en compression : ngatifContrainte normale en compression : ngative

Code couleur des diagrammes :Rouge : signe ngatifVert : signe positif