RDM T r a v a u x D i r i g é s Proposé par : A. Gharairi – ISEAHT 2006

Version 2006-02-14

I S E A H T

A. Ghrairi I S E A H T

2005 – 2006

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CALCUL DES

SOLLICITATIONS

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Exercice 1 :

1- Déterminer l’expression de M(x) en fonction de m, L et q ; pour le schéma

suivant :

2- On prendra m = 1,5m ;

L = 0,5m ;

n = 2,0m et q = 30 t/m.

Dessiner sur la structure étudiée le diagramme de M(x) et indiquer les valeurs

extrémes.

Exercice 2 :

Fig. - 1.1 : schéma statique de la poutre étudiée

Déterminer :

1 – Les trois réactions d’appuis.

2 – Le diagramme des efforts tranchants

3 – Le diagramme des moments fléchissant

q =150kg/m

L = 3m L

x

y F = 2,5t

0 1 2 n° Appuis :

q (t/m)

m

+ x

L n

Fig. - 2.1

y

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Exercice 3 :

1 – Déterminer les réactions d’appuis et tracer le diagramme des moments

fléchissant M (x) pour la structure suivante :

2 – Déterminer les réactions d’appuis et déterminer Ma (x) : moment fléchissant

dans la section d’abscisse x en fonction de a et des donnés du problème, pour

la structure S2.

3 – On traitera par la suite la structure S3 :

Pour a = l/2=2.5m, F = 20KN et q=35KN ; calculer Ma = l/2 (l /2). En

déduire les valeurs des réactions d’appuis

L

+

x

y

q = 1KN

Figure : Schéma statique de la Structure S1

F a

L

+

x

y

Figure : Schéma statique de la Structure S2

l

+

x

y

q =35KN F

a

Figure : Schéma statique de la Structure S3

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Exercice 4 :

On se propose d’étudier la poutre hyperstatique suivante :

Fig. - 3.1 : Schéma statique de la poutre continue étudiée

1 - Déterminer le degré hyperstatique de la poutre ?

2 - Illustrer par un schéma les inconnus du problème.

3 - Déterminer l’expression des réactions d’appuis en fonction des

données du problème.

4 - D’après la formule des trois moments déterminer alors M2 (moment

fléchissant sur l’appui intermédiaire Fig.-3.1) en fonction des

données du problème.

5 - En déduire les expressions des réactions d’appuis et du moment

fléchissant sur l’appui intermédiaire M2, dans le cas où (L1 = L2 = L).

6 - Refaite les questions 2, 3 et 4 dans le cas d’un chargement uniforme

d’intensité q (on prendra : L1 = L2 = L).

Fig. - 2.1 : Schéma statique de la poutre continue étudiée

7 - On pose F = qL. Exprimer, alors, les résultats trouvés dans 6 en

fonction de F.

8 - Comparer les résultats trouvés dans 6 avec ceux issues de 5.

Conclure ?

F

L1 L2

x

y F

l/2 l/2

q

L L

x

y

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Exercice 5 :

On se propose d’étudier la poutre hyperstatique suivante :

Fig. - 2.1 : Schéma statique de la poutre continue étudiée

Question 1 :

1 - Déterminer le degré hyperstatique de la poutre ?

2 - Illustrer par un schéma les inconnus du problème.

Question 2 :

1- Rappeler la formule des trois moments.

2 - On se propose tout d’abord de calculer les rotations au niveau des appuis

d’une poutre isostatique soumise à une charge uniformément répartie sur toute

sa longueur (voir Fig.-2.2).

Fig. - 2.2 : Désignation des rotations sur appuis

et convention de signe

a – Déterminer M(x) : moment fléchissant dans une section d’abscisse

x, en fonction de q, l et x.

b – calculer w’’ en fonction de q et l.

Question 3 :

D’après la formule des trois moments déterminer alors M2 (moment fléchissant

sur l’appui intermédiaire Fig.-2.1) en fonction des données du problème.

l1 l1

x

y

l2

Q2

Q1

Q3

l1 l1

x

y

l2

Q2

Q1

q

l

w’ w’’

+ x

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Exercice 6 :

On se propose d’étudier la stabilité de l’ouvrier

qui figure dans la photo n°1.

Le schéma statique représentatif de la plateforme

sur la quelle se déplace l’ouvrier est représenté

par la figure n°1.

PARTIE A

On suppose dans un premier cas de figure qu’il

s’agit d’une plateforme constituée de planche

d’épaisseur 2cm comme indique la figure n°2.

On vous demande tout d’abord de calculer les

caractéristiques mécaniques et géométriques de

la section transversale de la plateforme.

1. Calculer le moment statique de la section relativement à l’axe (zz’) passant par le

centre de gravité de la section étudiée.

2. Calculer le moment d’inertie Izz’ de la section transversale (70cm x 2cm).

3. On note par P le poids de l’ouvrier, par a sa position relativement à l’appuis gauche et

par E le module d’Young du bois.

3.1 – Exprimer la variation de l’effort tranchant T dans les différentes

sections de la structure étudiée en fonction de P, a et L ?

L

+

x

P y

a 1

1

Figure 1 : Schéma Statique de la plateforme étudiée

Photo 1 : Plateforme à étudier

Coupe 1 - 1

e = 2cm

b = 70cm

Figure 2 : Coupe Transversale de la plateforme

étudiée

xx’

zz’

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3.2 – Exprimer le moment fléchissant M dans les différentes sections de

la structure étudiée en fonction de P, a et L ?

4. Exprimer w’ et w’’ en fonction de E, a, L, Izz’ et P ?

PARTIE B

1. En déduire d’après 2° et 4° les valeurs numériques de w’ et w" quand l’ouvrier passe

par le milieu de la plateforme (a=L/2), Sachant que le module d’Young E du bois est

de 10 000 MPa et que le poids de l’ouvrier est de (P = 85kg) et la portée de la

plateforme est de 3m.

2. La rotation limite de rupture est de (2,8 10-3

rd). Est-ce que l’ouvrier est en sécurité ?

Justifier votre réponse.

3. Vérifier la stabilité de cet ouvrier pour (a = L/2), dans le cas où la plateforme est

constituée de madriers d’épaisseur (e = 5cm).

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VERIFICATION

DES ELEMENTS

EN

BETON ARME

PROBLEMES DE

SYNTHESE

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PROBLEME 1 :

CONTEXTE GENERALE

On se propose d’étudier la traverse

A1 d’un portique en béton armé (voir

figure 1). L’enrobage des armatures

est de 4cm.

PARTIE A : CARACTERISTISUES MECANIQUES DES MATERIAUX

1 – Caractéristique du Béton : (1pts)

Sachant que la résistance caractéristique du béton à la compression est : fc28 = 25 MPa.

Calculer donc fbu : la résistance de calcul à l’Etat Limite Ultime ?

2 – Caractéristique de l’Acier : (1pts)

Sachant que la résistance à la traction de l’acier employé est : fe = 400 MPa. Calculer donc

fed : la résistance de calcul relative à l’armature longitudinale à l’Etat Limite Ultime ?

PARTIE B : SOLLICITATIONS

Les sollicitations dans le portique sont les suivantes :

Moments en section médiane de la traverse :

(Mg = 200 KNm) et (Mq = 70 KNm).

Effort tranchant au voisinage des appuis :

(Tg = 0,4 MN) et (Tq = 0.1 MN).

1 – Calculer la valeur du Moment Fléchissant ultime MU dans la section médiane. (1pts)

2 – Calculer la valeur de Effort Tranchant ultime TU au voisinage des appuis. (1pts)

PARTIE C : DIMENSIONNEMENT ET JUSTIFICATION A L’ELU

1 – Proposer un pré-dimensionnement de la traverse.

(1pts)

2 – Calculer la section d’armature nécessaire : A et

A’ (théorique). (4pts)

3 – Faire le dessin de ferraillage de la section

étudiée. (3pts)

b

h

Coupe A1

Fig. 2 : Coupe transversale de la

poutre étudiée

Fig.1- Plan de Coffrage

H = 3.5m (40x40)

L= 800cm

A1(bxh)

(40x40)

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7 – On se propose dans une deuxième étape du

travail, d’effectuer les justifications vis à vis des

sollicitations tangentes à l’ELU de l’âme de la

traverse.

a – Effectuer les justifications nécessaires sachant que la fissuration est jugée

préjudiciable. (2,5pts)

b – Calculer la section d’armatures longitudinale nécessaire pour équilibrer l’effort

tranchant. (2,5pts)

c – Proposer une disposition d’armatures transversales, et justifier votre choix. (3pts)

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PROBLEME 2 :

On se propose d’étudier le dimensionnement du poteau P5 et de la poutre A8 d’un

bâtiment constitué de deux niveaux (RDC+1) et dont la conception est présentée

dans les figures 1, 2 et 3 donnée ci-après :

PARTIE A

1 – Calculer la surface du Terrasse

reprise par le poteau P4 ?

On note par NG la force de

compression issue des charges

permanentes et par NQ la force de

compression issue des surcharges

d’exploitations.

2 – Indiquer la valeur de NG et de NQ,

Sachant qu’on néglige le poids propre

du poteau, que la charge permanente

du plancher est de 600kg/m² et que la

surcharge d’exploitation est de

100kg/m² ?

3 – En déduire la force ponctuelle

Ultime NU agissante sur le poteau P4.

4 – Déterminer pour le poteau P4 la section d’armature longitudinale nécessaire pour

équilibrer la force de compression NC = 1.15 NU.

P2

P3 P4

P5 P6

P1

350

27

27

300

27

27 27

700

Fig.1-Plancher Terrasse

P2

P3

P5 P6

P1

350

27

27

300

27

27 27

700

27

27

677 DP

e=20cm

Fig.3-Plancher Haut RDC

R1(27x21)

R1(27x21) A

8(2

7x60)

NG

NQ

Terrasse

Plancher Haut

RDC

Fig.2- Coupe en élévation

P4

P6 P2

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PARTIE B

On se propose dans la suite d’étudier la poutre A8(27x60) du plancher Haut RDC. La figure

n°4 montre le schéma statique de la poutre en question :

Fig. 4 : schéma statique et coupe transversale de la poutre étudiée

1 – En se basant sur les figures 1,2 et 3, identifier la valeur numérique de a.

2 – Déterminer les différents cas de charges ?

3 – Calculer pour chaque cas de chargement la valeur du moment fléchissant M

dans la section d’abscisse (x = L/2). Sachant que (g = 1,8t/ml) et (q = 1,5t/ml).

Présenter les résultats dans un tableau.

4 – Identifier les différentes combinaisons Ultimes envisageables ? Calculer

pour chaque combinaison M(x=L/2) ? Quel est la valeur la plus défavorable

(noté Mmax(x=L/2)) ?

5 – Pour un moment fléchissant Mmax(x=L/2) ; calculer la section du ferraillage

longitudinale nécessaire ?

(N.B : NG et NQ sont respectivement les forces permanentes et d’exploitations issues du

plancher terrasse et qui sont transmises à la poutre A8 par le poteau P4. Leurs actions

peuvent ne pas être simultanées avec les charges g et q issues du plancher Haut RDC).

q

L=677 cm

+ x

NG ; NQ y

a A

A

b = 27cm

h = 60cm

Coupe A–A

g

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PROBLEME 3 :

On se propose d’étudier le dimensionnement du poteau P5 et de la poutre A8 d’un bâtiment

constitué de d’un niveau (RDC) et dont la conception est présentée dans la figure 1 donnée

ci-après :

PARTIE A

1 – Calculer la surface du Terrasse reprise par les poteaux P4 et P6?

On note par NG la force de compression issue des charges permanentes et par NQ la force de

compression issue des surcharges d’exploitations.

2 – Indiquer la valeur de NG et de NQ, Sachant qu’on néglige le poids propre du poteau, que la

charge permanente du plancher est de 0,65t/m² et que la surcharge d’exploitation est de

0,15t/m² ?

3 – En déduire la force ponctuelle Ultime NU agissante sur le poteau P4.

4 – Déterminer pour le poteau P4 la section d’armature longitudinale nécessaire pour

équilibrer la force de compression NC = 1,15 NU.

P2

P3 P4

P5 P6

P1

350

27

27

350

27

27 27

300

Fig.1- Plancher Terrasse

R1(27x21)

R1(27x21)

A2

(27

x3

0)

A2

(27

x3

0)

R2(27x21)

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PARTIE B

On se propose dans la suite d’étudier la poutre A2(27x30) du plancher Haut RDC. La figure

n°2 montre le schéma statique de la poutre en question :

Fig. 2 : schéma statique et coupe transversale de la poutre étudiée

1 – Déterminer les différents cas des charges ?

2 – Calculer pour chaque cas de chargement la valeur du moment fléchissant M

dans la section d’abscisse (x = L/2).

On prendra (g = 0,98t/ml) et (q = 0,225t/ml). Présenter les résultats dans un

tableau.

3 – Identifier les différentes combinaisons Ultimes envisageables ?

4- Calculer pour chaque combinaison les moments à mi-travée 0-1 et 1-2 (notés

M0-1 et M1-2 ) ainsi que le moment sur appuis M2 ? Quelles sont les valeurs les

plus défavorables ?

4 – Calculer la section du ferraillage longitudinale nécessaire à mi-travée 1-2 ?

5 – Calculer la section du ferraillage longitudinale nécessaire sur appuis 2 ?

b = 27cm

h = 30cm

Coupe A–A

X

A

A

g

L=3,5m L

Y

0 1 2 n° Appuis :

q

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PROBLEME 4 :

CONTEXTE GENERALE

On se propose d’étudier un bâtiment constitué d’un RDC et de 3 étages. Les quatre planchers

sont identiques (voir figures 1 et 2).

Fig.1- Plan de Coffrage

RDC

1er Etage

2ème

Etage

3ème

Etage

Terrasse

Fig.2- Coupe 1-1

1

P3

P6

P8

P10 P11

P1

350

27

27

350

27

27 500

A1

A7

P12

P9 P5

0

P4 P5

P7

500 300 400 27 27 27 27

P2

A4

A2

A8

A5

R1(22x21)

A6 R1(22x21)

A3

1

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PARTIE A : CARACTERISTISUES MECANIQUES DES MATERIAUX

1 – Caractéristique du Béton : (0,5pts)

Sachant que la résistance caractéristique du béton à la compression est : fc28 = 23MPa.

Calculer donc fbu : la résistance de calcul à l’Etat Limite Ultime ?

2 – Caractéristique de l’Acier : (0,5pts)

Sachant que la résistance à la traction de l’acier employé est : fe = 400 MPa. Calculer donc

fed : la résistance de calcul relative à l’armature longitudinale à l’Etat Limite Ultime ?

PARTIE B : DESCENTE DE CHARGE

On note par NG la force de compression issue des charges permanentes et par NQ la force de

compression issue des surcharges d’exploitations.

1 – Calculer la surface du plancher repris par les poteaux P1, P6 et P7? (1,5pts)

2 – Indiquer la valeur de NG et de NQ transmise aux semelles des poteaux P1, P6 et P7,

Sachant qu’on néglige le poids propre des poteaux et des poutres, que la charge permanente

du plancher prise en considération est de 0,63t/m²,que la surcharge d’exploitation est de

0,15t/m² et que le Terrasse est non accessible? (3pts)

3 – En déduire la force de compression Ultime NU agissante sur les semelles des poteaux

étudiés. (0,5pts)

4 – Représenter les résultats obtenus dans 1, 2 et 3 dans un tableau récapitulatif. (1pts)

PARTIE C : DIMENSIONNEMENT DES POUTRES

On se propose dans la suite d’étudier les poutres A1 et A2 du plancher terrasse.

1 – Tracer le schéma statique représentatif des deux travées A1 - A2 (1pts)

2 – Proposer un pré–dimensionnement de la

structure en question. (0,5pts)

3 – Indiquer le diagramme des charges

permanentes et d’exploitations qui agissent sur la

structure étudiée sachant que le plancher terrasse

est muni d’un acrotère en béton armé dont la

coupe transversale est représentée dans la figure

ci-contre : (4pts)

12

30

60

15

Fig.2- Coupe sur Acrotère

(les dimensions sont en cm)

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On donne :

1. Le poids propre du plancher est de

0,07 kg/cm².

2. La masse volumique du béton est

de 2500 kg/m3.

4 – On suppose ensuite que les deux travées A1 et A2 sont chargées. Calculer dans ce cas le

moment fléchissant ultime sur l’appui (P2). (1pts)

5 – Calculer la section d’armature nécessaire : A et A’ (théorique). (4pts)

6 – Faire le dessin de ferraillage de la section étudiée. (0,5pts)

7 – On se propose dans une deuxième étape du travail, d’étudier la poutre A3 dont la section

transversale est représentée dans la figure 4.

a – Calculer la valeur du moment fléchissant

ultime MU dans la section d’abscisse (x = l/2). On

prendra (Mg = 3,1 t.m) et (Mq = 0,52 t.m).

(0,5pts)

b – Calculer la section du ferraillage longitudinale

théorique nécessaire à mi-travée ? (2,5pts)

b = 22cm

h = 30cm

Coupe A3–A3

Fig. 2 : Coupe transversale

de la poutre étudiée