RDM

Jean-Pierre BassetPatrice CartraudChristian JacquotAntoine LeroyBernard PeseuxPierre Vaussy

Introduction larsistance desmatriaux

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Table des matires

Gnralits Concepts gnraux Reprsentation et repre Description lagrangienne

Petites dformations dun milieu continu Dplacement et transformation Interprtation gomtrique de la transformation Dformation autour dun point Variation dangle entre deux axes de rfrence Variation angulaire de deux directions quelconques Dilatation cubique lments propres de la matrice des dformations Invariants du tenseur des dformations Conditions dintgrabilit Reprsentation de Mohr

Contraintes dans un milieu continu quilibre dun domaine solide Notion de contraintes tat de contrainte en un point Proprits de la matrice des contraintes Reprsentation gomtrique des contraintes

Relation de comportement en lastostatique Coefficients lastiques Essai de torsion Critres limites de dimensionnement

nergie de dformation dun milieu continu lastique nergie de dformation Potentiel lastique

lasticit linaire Position du problme Rsolution Principe de Saint-Venant Applications

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Introduction la thorie des poutres Introduction Problme de Saint-Venant Une thorie approche des poutres

Treillis Dfinition Effort normal Contraintes et dformations quations cinmatiques nergie de dformation Rsolution

Thormes nergtiques Thorme de rciprocit de Maxwell-Betti Thorme de Castigliano

Flexion des poutres droites Poutre droite et notations gnrales quations locales Flexion plane

Assemblages hyperstatiques de poutres Hyperstaticit des systmes plans Applications Poutre sur appuis dnivelables Mthode des trois moments

Effort tranchant Position du problme Contraintes de cisaillement et effort tranchant dans une section droite Solution approche et formule de Bredt Centre de cisaillement

Torsion des poutres Centres de torsion et de cisaillement Poutres de section pleine Section pleine admettant un centre de symtrie Poutres de section paroi mince ferme

Stabilit de lquilibre des poutres lastiques longues Formulation du problme Modlisation linaire du flambement Flambement des pices longues Influence de leffort tranchant Calcul de la charge critique dEuler Dversement des poutres en flexion simple Torsion et traction/compression Stabilit des arcs et anneaux

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A Problme de Saint-Venant Mthode des dplacements Mthode des contraintes Comparaison des deux mthodes

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Gnralits

. Concepts gnraux

La rsistance des matriaux, appele galement mcanique des corps dformables,

fait appel aux notions dquilibre de la mcanique statique, aux notions de dplace-

ments tudies en cinmatique et aux proprits des matriaux, auxquelles on a re-

cours pour valuer les dimensions de pices structurales ou dlments de machines.

Lobjet de cet enseignement est ltude statique des milieux continus dformables.

La rsistance des matriaux est une partie de la mcanique qui a pour objectif le

dveloppement de modles permettant de dimensionner les structures. Ces modles

sont labors dans le cadre dhypothses simplificatrices. Ils constituent le premier

niveau des mthodes de calcul des structures. Ils se rapportent en gnral des corps

gomtriquement simples qui constituent les lments de base de la construction

mcanique et du gnie civil :

les corps lancs pour lesquels une dimension est beaucoup plus grande que

les deux autres et qui sont appels poutres ;

les corps minces, plaques et coques, pour lesquels une dimension, lpaisseur,

est beaucoup plus petite que les deux autres.

Ltude de la rsistance des matriaux a pour but dassurer quon utilise dans une

pice donne, une quantit minimale de matriau, tout en satisfaisant aux exigences

suivantes :

Rsistance la pice doit pouvoir supporter et transmettre les charges externes

qui lui sont imposes ;

Rigidit la pice ne doit pas subir de dformation excessive lorsquelle est solli-

cite ;

Stabilit la pice doit conserver son intgrit gomtrique afin que soient vites

des conditions dinstabilit (flambement, dversement) ;

Endurance la pice, si elle est soumise un chargement cyclique (rpt), doit

pouvoir, sans rupture, supporter un certain nombre de cycles (fatigue).

Dans les problmes traits, nous supposerons que les matriaux satisfont un cer-

tain nombre dexigences. Cela nous permettra la fois de rduire la complexit des

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. Gnralits

dveloppements mathmatiques et de conserver cependant une certaine gnralit.

Les hypothses de base que nous posons sont les suivantes :

. lchelle microscopique, la matire a une structure granulaire avec des liai-

sons rsultant dactions distance. On sintressera unmatriau idal continu,

sans fissure ni cavit. Cette hypothse de continuit du matriau permet diso-

ler une partie infinitsimale de celui-ci et dexprimer son comportement selon

un systme de coordonnes, laide de fonctions mathmatiques continues ;

. Pour des lments de machines ou de constructions, il est commode de tra-

vailler lchelle macroscopique. On peut alors, dans nombre de cas, repr-

senter la matire par un modle idalis homogne, isotrope, continu. Un ma-

triau continu prsente des proprits physiques et mcaniques qui peuvent

tre variables mais suivent des lois continues et drives continues en fonc-

tion des coordonnes des points. Un matriau homogne a les mmes propri-

ts en tout point. La plupart des matriaux dingnierie satisfont ce critre,

du moins lchelle macroscopique. Mme des matriaux qui sont peu homo-

gnes (bton, bois, matriaux composites. . . ) peuvent tre considrs comme

homognes pour des calculs simplifis.

Un matriau isotrope a, en un point donn, les mmes proprits dans

toutes les directions. Les matriaux qui ont des orientations prfrentielles

(bois, matriaux lamins. . . ) ne sont pas isotropes et ils font lobjet de m-

thodes de calcul spcialises ;

. Les transformations correspondent des petits dplacements et des petites

dformations, en statique, et sans change de chaleur ;

. Les hypothses lies la gomtrie des poutres, des plaques ou des coques

permettent de ramener les quations de la mcanique des milieux continus

des quations diffrentielles ordinaires auxquelles on peut associer une forme

gnrale de solution correspondant aux sollicitations type. La linarit des mo-

dles dvelopps permet la superposition des solutions lmentaires en vue du

traitement dun problme pratique ;

. Les liaisons internes la matire sont reprsentes par des forces de surface

que lon appelle contraintes. Lquilibre dun lment courant lintrieur de

la matire est assur sous laction des contraintes et des forces extrieures di-

rectement appliques dont celles des liaisons mcaniques du systme son

environnement.

. Reprsentation et repre

Sous laction de forces externes ou de changements de temprature, un corps dfor-

mable ragit de telle sorte que chacun de ses points se dplace dans lespace. On

cherchera prciser la position des particules (ou points matriels) qui constituent

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. Description lagrangienne

le corps dformable chaque instant. Pour tudier lvolution dun systme il est

M

O

(D)(D0)

x

X

M0

(R)e1e2

e3

Figure . Repre et configurations initiale et dforme du systme tudi

ncessaire de procder sa description et son reprage. Le solide est tudi dans

un rfrentiel absolu ou galilen de repre orthonorm, centr en O : R(O,e1,e2,e3).

Lensemble des particules constituant le corps dformable occupe chaque ins-

tant t, un ensemble de positions dans lespace euclidien : cest la configuration ac-

tuelle (D) du systme linstant t. Le reprage de la configuration peut se faire aumoyen du vecteur position OM. On pourra dfinir ce vecteur par ses coordonnes

(X1,X2,X3) dans (R). On introduit aussi la notion de configuration de rfrence (ou

configuration initiale) : cest la configuration particulire (D0) du systme lins-tant initial t0. Les coordonnes des vecteurs positionsOM0 dans le repre (R) seront

notes (x1,x2,x3). Ainsi, on note OM0 = x de coordonnes (x1,x2,x3) et OM = X de

coordonnes (X1,X2,X3).

. Description lagrangienne

Pour dfinir le mouvement dun corps dformable dans le rfrentiel (R) on peut,

ayant choisi une configuration de rfrence (D0), se donner chaque instant lex-pression du vecteur position OM de la particule situe enM0 dans (D0) :

OM =(OM0, t) (.)

ou encore :

X =(x, t) (.)

o est une fonction vectorielle qui vrifie :

x =(x,0), M0 (D0), t (.)On dit que lon se donne une description lagrangienne du mouvement du corps d-

formable puisque lon suit le mouvement dune particule que lon identifie sur la

configuration initiale. Pour que cette description reprsente effectivement un mou-

vement de milieu continu, on impose la fonction de satisfaire les conditions

mathmatiques suivantes :

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. Gnralits

doit tre une bijection de (D0) sur (D) pour tout t. On dsigne par safonction rciproque telle que t, M0 (D0) et M (D) :

OM0 =(OM, t)

x =(X, t)

OM =(OM0, t)X =(x, t) (.)

et sont continues par rapport lensemble des variables despace et de

temps.

et sont en rgle gnrale supposes de classe C1, voire C2.Des hypothses ci-dessus, introduites pour formaliser les concepts demilieu continu,

rsultent les consquences suivantes :

. Deux points matriels qui occupent dans (D0) des positions infiniment voi-sines, restent infiniment voisins dans toute configuration ;

. Des points matriels qui occupent dans (D0) un domaine connexe, occupentdans (D) un domaine connexe de mme ordre (volume, surface, courbe). Cedomaine, transport par le mouvement, est appel domaine matriel ;

. Les points matriels qui se trouvent dans (D0), lintrieur dune surface fer-me, restent tout instant t lintrieur de la surface transporte (surface

matrielle) ;

. Les points matriels situs sur la frontire (D0) dans (D0), demeurent surcette frontire tout instant. Autrement dit, la frontire du systme est une

surface matrielle ;

. On dsigne par J(x, t) le jacobien de linstant t en (x1,x2,x3), cest--dire le

dterminant de la matrice jacobienne des drives premires des Xi par rap-

port aux xj :

J(x, t) =D(X1,X2,X3)D(x1,x2,x3)

(.)

et tant continment drivables, on en dduit que J(x, t) est continu par

rapport x et t. De plus il ne peut tre ni nul ni infini, les matrices jacobiennes

de et devant tre inversibles. Il conserve donc un signe constant sur (D0)et au cours du mouvement. En consquence puisque J(x,0) = 1, M0 (D0),J(x, t) est positif et :

0 < J(x, t) < +, M0 (D0), t (.)

Le jacobien sinterprte comme la dilatation volumique dans le mouvement

entre les configurations (D0) et (D).

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Petites dformations dun milieu

continu

Nous travaillerons, comme il a t mentionn au chapitre , sur le problme quasi

statique, sans change de chaleur avec lextrieur, du comportement dun milieu

continu soumis des charges extrieures appeles sollicitations.

Les petites dformations dun milieu continu (D0) limit par une surface (D0)munie en tout point dune normale extrieure sont connues quand, tant donn un

point courant M0 appartenant (D0), on sait calculer les dplacements de M0, lesvariations de longueur et dangle de deux segments de droite quelconques issus de

M0 et la variation de volume dun lment courant en M0.

. Dplacement et transformation

.. Vecteur dplacement

Dans un repre fixe, on note M0(x) ou M0(x1,x2,x3) un point dans la configuration

initiale et M(X) ou M(X1,X2,X3), le point correspondant dans la configuration d-

forme. Le vecteur dplacement de M0 estM0M, il est not U(M0) :

U(M0) = u1(x1,x2,x3)e1 +u2(x1,x2,x3)e2 +u3(x1,x2,x3)e3 (.)

Nous supposerons que les dplacements ui sont petits devant les dimensions du do-

maine (D) tudi. Les Xi seront reprsents par des fonctions uniformes et continuesdes xj , en consquence :

sont exclus les problmes de chocs, de fissuration et de glissement qui corres-

pondent des discontinuits de la transformation ;

un point initial M0 correspond un seul point matriel M aprs dformation :

il sagit dune transformation bijective ;

seuls les cas o les ui et les ui /xj peuvent tre reprsents par des fonctions

continues qui restent des grandeurs du premier ordre sont considrs.

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. Petites dformations dun milieu continu

.. Transformation gomtrique

Dans la configuration initiale, considrons deux points voisinsM0(x1,x2,x3) et P0(x1+

dx1,x2 + dx2,x3 + dx3). Le vecteur M0P0 se transforme en MP comme dcrit sur la fi-

gure ..

M0

P0

M

Pdx

dX

x

X

O

e1e2

e3

U+dU

U

Figure . Champ de dplacement

M

X1 = x1 +u1(x1,x2,x3)

X2 = x2 +u2(x1,x2,x3)

X3 = x3 +u3(x1,x2,x3)

P

X1 +dX1 = x1 +dx1 +u1(x1,x2,x3) + du1

X2 +dX2 = x2 +dx2 +u2(x1,x2,x3) + du2

X3 +dX3 = x3 +dx3 +u3(x1,x2,x3) + du3

(.)

On a :

MP = dX = dx+dU (.)

et aprs diffrentiation, on obtient :

dXi = dxi +uix1

dx1 +uix2

dx2 +uix3

dx3 (.)

autrement dit, sous forme matricielle :

dX1dX2dX3

=dx1dx2dx3

+1u1 2u1 3u11u2 2u2 3u2

1u3 2u3 3u3

dx1dx2dx3

avec jui =uixj

(.)

soit, en criture contracte :

dX = dx+Hdx = (I+H)dx (.)

ou encore sous forme tensorielle :

dX = (I +H) dx (.)

avec H tenseur gradient des dplacements et H, sa matrice dans la base (e1e2e3). La

transformation est linaire et bijective.

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. Interprtation gomtrique de la transformation

.. Dcomposition du tenseur des gradient des dplacements

En tout point M0 de (D0), nous allons dcomposerH en une somme de deuxmatrices,lune symtrique, lautre antisymtrique. Posons :

(M0) =H (M0) +H (M0)

t

2; (M0) =

H (M0)H (M0)t2

(.)

les deux matrices dont les composantes sont :

ij =12

(uixj

+uj

xi

); ij =

12

(uixj

ujxi

)(.)

Lquation (.) devient alors :

dX = (I+ + )dx (.)

Nous montrerons que (M0) est la matrice des dformations pures et (M0), la ma-

trice de rotation.

. Interprtation gomtrique de la transformation

La relation (.) permettant de passer dun vecteur lmentaire quelconque M0P0 son transformMP peut tre compose en une somme dapplications linaires :

une translation (on retrouveM0P0) ;

une rotation de vecteur = 1/2rotU reprsente par la matrice ;

une dformation pure dfinie par la matrice .

Le rotationnel sinterprte comme une rotation densemble daxe rotU autour du

point M0 condition que le dplacement rsultant dU soit infiniment petit devant

dX. Il nintroduit pas de dformation au voisinage de M0 si :

uixj

1 (.)

Cette hypothse est trs forte, elle limite ltude des dformations des milieux conti-

nus tudis ici celles des dformations infinitsimales. Si elle nest pas respecte, il

faut faire appel la thorie des grandes dformations.

(D0)

M0

+

Figure . Transformation par composition dune translation, dune rotation et

dune dformation

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. Dformation autour dun point

.. Variation de longueur dun segment et dilatation linique

Le vecteur MP est de longueur dX, de mme, le vecteur M0P0 est de longueur dx et

son vecteur unitaire est l0 de cosinus directeurs (1,2,3) et on peut crire :

M0P0 = dx = dxl0 (.)

on a donc :

dX2 = dXt dX = dxt(I+Ht)(I+H)dx = dxt(I+ (Ht +H) +HtH

)dx (.)

Avec lhypothse des petites transformations, cest--dire lorsque les termes de H

sont petits devant lunit, on peut ngliger le terme quadratique HtH devant H et il

vient :

dX2 ' dxt(I+2)dx (.)

avec :

=H+H2

t(.)

et en dveloppant :

dX2 ' dx2lt0(I+2)l0 = dx2(1 + 2lt0l0) (.)

La matrice est, dans la base (e1e2e3), la matrice du tenseur des petites dformations

(partie symtrique du tenseur gradient des dplacements) et donc les composantes

de cette matrice symtrique sont :

ij =12

(uixj

+uj

xi

)(.)

La dilatation linique dans la direction l0, note l , est dfinie par :

l =dX dxdx

(.)

En exprimant :

dX2 dx2dx2

=(dX dx)(dx +dX)

dx2(.)

et compte tenu de lhypothse des petites dformations, on peut crire :

dX2 dx2dx2

' (dX dx)(dx +dx)dx2

= 2(dX dx)

dx= 2l (.)

et partir de (.), en calculant (.), on dduit quavec lhypothse des petites

perturbations, la dilatation linique dans la direction l0 est donne par :

l = lt0l0 =

2111 +

2222 +

2333 +21212 +22323 +23131 (.)

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. Dformation autour dun point

Elle sexprime donc en fonction des six composantes de la matrice des dformations

et des cosinus directeurs de la direction l0. Les ii sont les dilatations liniques dans

chacune des directions des axes du rfrentiel. Pour vrifier cette proposition, consi-

drons successivement e1 = (1,0,0)t, e2 = (0,1,0)t et e3 = (0,0,1)t. Il vient par identi-

fication :

11 = e1 22 = e2 33 = e3 (.)

La dilatation linique dans la direction l0 peut tre obtenue par une autre dmarche.

Compte tenu de lexpression du tenseur des dformations et de lhypothse sur

lordre de grandeur des termes de H, on en dduit que les termes de la matrice des

dformations sont petits devant lunit, l0 tant lunitaire, il sensuit que :

dXdx

=1+2lt0l0 1+ lt0l0 (.)

et donc que :

lt0l0 =dX dxdx

(.)

Il apparat ainsi que lt0l0, caractrise la variation relative de longueur l (dilatation

linique) dans la direction l0, au point considr.

.. Vecteur dformation

Un vecteur courantM0P0 = dxl0 se dforme enM0P dunitaire l. Le vecteur P0P not

M0P est le vecteur dformation tel que P0P =D(M0, l0)dx avec D(M0, l0) = l0. Ona D(M0, l0) = (D l0) l0 + l0 (D l0), soit D(M0, l0) = lt0 l0l0 + gt0 o g = tt0l0. En

M0 P0 N

P

l0

lt0

dx

Figure . Dcomposition du vecteur dformation

projetant M0P sur l0 et sur t0, vecteur directement perpendiculaire l0, la dfor-

mation se traduit dans le plan M0P0P pour M0P0 par deux composantes, celle sur l0correspondant lallongement, celle sur t0 correspondant la dviation angulaire

de la direction l0 :

P0P = M0P = P0N+NP =M0P0(M0, l0)l0 +M0P0g(M0, l0)t0 (.)

soit :

D(M0, l0) = (M0, l0)l0 + g(M0, l0),t0 (.)

o P0N est lallongement deM0P0 donc (M0, l0) = l est lallongement relatif suivant

l0 et NP = tan() est la dviation angulaire de l0, note g(M0, l0).

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. Variation dangle entre deux axes de rfrence

Nous allons montrer que la diminution de chaque angle droit du rfrentiel sex-

prime en fonction des quantits 2gi appeles glissements et nots :

12 = 2g3 = 12 13 = 2g2 = 13 23 = 2g1 = 23 (.)

Considrons deux unitaires e1,e2 de la base locale. Compte tenu de la dcomposition

du vecteur dformation pure ( (M0, `0) ,g (M0, `0)) de lquation (.), nous allons

tudier la variation de langle droit (e1,e2) avec lhypothse des petites perturbations.

On a :

g (M0,e1) = e1 (D(e1) e1) g (M0,e2) = e2 (D(e2) e2) (.)

Dans le plan (e1,e2), on a pour la diminution de langle (e1,e2) :

12 = g(M0,e1)e2 + g(M0,e2)e1 = (e1,D(e1) e1,e2) + (e2,D(e2) e2,e1)= (D(e1) e1) e3 + (D(e2) e2) e3 = (e1,D(e1),e3) + (D(e2),e2,e3)=D(e1) e2 +D(e2) e1= 212 = 2g3 = 12

(.)

On trouve des rsultats similaires pour les autres angles entre les axes du rfrentiel.

Les coefficients ij de la matrice sont appels les demi glissements gk . Ils caract-

risent la variation des angles droits entre les axes du rfrentiel.

. Variation angulaire de deux directions quelconques

Dans la configuration initiale, en un point M0, on considre deux directions quel-

conques M0P0 = dx = dxl et M0Q0 = dx = dxl , qui font entre elles un angle . Cesdirections sont transformes en MP = dX et MQ = dX qui font entre elles un angle +d. Nous allons calculer la variation angulaire +d. On a dune part :

dX dX = dX dXcos( +d) = dXdX cos( +d) (.)

soit encore daprs (.) :

cos( +d) =dX dXdXdX

=dX dX

dx(1 + l)dx(1 + l )(.)

dautre part, en tenant compte de (.) :

dX dX = dxt(I+Ht)(I+H)dx dxt(I+2)dx = dxlt(I+2)l dx (.)

et donc :

cos( +d) =lt(I+2)l

(1 + l)(1 + l )(.)

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. Dilatation cubique

Avec lhypothse des petites dformations, d est petit et :

cos( +d) = cos sind (.)

et dans le cas particulier o les deux directions initiales l et l sont perpendiculaires,la variation angulaire (diminution algbrique) est note +d = pi2 (l, l) et :

(l, l) =lt(I+2)l

(1 + l)(1 + l )(.)

Or, dans lhypothse des petites dformations, (l, l) est petit et en tenant comptede l l = 0, une approximation de la relation prcdente est donne par :

(l, l) = 2ltl (.)

Lorsque les directions l et l concident avec les directions (e1, e2, ou e3) du repre,les relations (.) sont restitues.

. Dilatation cubique

Un paralllpipde lmentaire dcoup dans le solide avant dformation a pour

volume dv0 = dx1dx2dx3 et devient aprs dformation :

dv = dX1(x1,x2,x3)dX2(x1,x2,x3)dX3(x1,x2,x3) (.)

La dilatation cubique relative est :

(M0) =dv dv0dv0

(.)

Les Xj tant des fonctions continues des xi , on a bien sr comme pour tout change-

ment de variables :

dv =D(Xi)D(xj )

dv0 = Jdv0 (.)

Le dterminant J est le jacobien de la transformation dfinie au chapitre . La gn-

ralisation de (.) i = 1,2,3 entrane :

D(Xj )

D(xi )=

1X1 2X1 3X11X2 2X2 3X21X3 2X3 3X3

=1+1u1 2u1 3u11u2 1+2u2 3u21u3 2u3 1+3u3

(.)En dveloppant le jacobien et en ngligeant les termes dordre suprieur un, il

vient :

dv = dv0 (1 +1u1 +2u2 +3u3) = dv0(1 + ) (.)

soit, partir de U(M0) = (u1(M0),u2(M0),u3(M0))t :

= divU(M0) (.)

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. lments propres de la matrice des dformations

La matrice est une matrice hermitienne qui admet trois valeurs propres relles et

trois vecteurs propres perpendiculaires associs. Dans la base propre locale (eIeIIeIII),

la matrice est diagonale :

=

I

II

III

(.)Les directions eI, eII et eIII sont les directions principales des dformations et I, IIet III sont les dilatations liniques principales. Pour les directions principales, les

glissements sont nuls.

. Invariants du tenseur des dformations

Les trois invariants du tenseur des dformations sont dfinis partir de lquation

caractristique :

det( I) = 3 + I12 I2+ I3 (.)

et on obtient :

I1() = divU= trace= I + II + III = 1 + 2 + 3=(M0)

(.)

I2() =12

((trace)2 trace()2

)= III + IIIII + IIII= 12 + 23 + 31 g23 g22 g21

(.)

I3() = IIIIII = det (.)

. Conditions dintgrabilit

Ce sont les conditions que doivent vrifier les composantes de la matrice sym-

trique pour que cette matrice soit celle des dformations infinitsimales. Il faut,

daprs (.) :

=12(H t +H) (.)

oH sexprime en fonction deU champ de vecteur dplacement infinitsimal. Il faut

donc quil existe un champ de vecteur U, dont les neuf drives partielles premiresuiXj

satisfassent aux six quations scalaires (.) o la matrice est donne. Les

conditions cherches sont dites conditions dintgrabilit du vecteur U ou encore

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. Reprsentation de Mohr

conditions de compatibilit des composantes ij de la matrice . Pour les obtenir, on

part de la dfinition (.). En drivant deux fois les six quations qui donnent les

ij , il vient :

2ij

xkxl=12

3uixkxlxj +3uj

xkxlxi

i, j,k, l = 1,2,3 (.)Une combinaison linaire de ces relations conduit aux conditions de compatibilit

des dformations :

2ij

xkxl

2ikxkxi

=2lj

xkxi

2lkxjxi

i, j,k, l = 1,2,3 (.)

On dmontre que ces conditions ncessaires sont galement suffisantes.


.. Directions perpendiculaires une direction principale

En un point M0, supposons que lon connaisse la direction principale eIII des dfor-

mations[], le plan (e1,e2) perpendiculaire la direction eIII est alors plan principal

des dformations. Dans ce plan, on cherche les deux autres directions principales

et les dformations liniques principales associes ainsi que les directions de glis-

sement maximum. Cette recherche peut se faire dune manire algbrique en cher-

chant les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice :

=

11 12 0

12 22 0

0 0 III

(.)Nous allons ici entreprendre cette recherche dune manire gomtrique en utilisant

la reprsentation plane deMohr des dformations en travaillant dans le plan princi-

pal (e1,e2) et en considrant uniquement la matrice 2 2 reprsentative de ltat dedformation dans ce plan comme dcrit sur la figure (.). Si les directions (eI,eII) et

M0 e1 11

12

e2

e1

e221

22

Figure . Plan principal des dformations (e1,e2)

[] Cest le cas lorsquon considre un point M0 de la surface libre dune pice de normale eIII.

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dformations principales (I,II) sont connues, alors la dilatation linique dans une

direction l0 = (cos,sin) est donne par (.) :

l = I cos2 + II sin

2 (.)

La distorsion angulaire entre les directions l0 et t0, perpendiculaires[], scrit :

12(l0,t0) =

12lt = g = (I II) sincos (.)

soit encore, en exprimant ces relations en fonction de langle double :

l =I + II

2+I II2

cos2

g =I II2

sin2(.)

Lorsque dans le plan (eI,eII), ou bien (e1,e2), on fait varier langle de la direction

l0, dans le plan (g), le point Ml reprsentatif de ltat de dformation dans cette

direction dcrit le cercle C(C,R) de centre C = (0, I+II2 ) et de rayon R =III2 . Cest le

cercle de Mohr des dformations du plan principal (eI,eII). Lorsque langle varie

g

g3

g3

D(M,e2)

D(M,e1)

III

2211

(a) Cercle de Mohr dans le plan (eI,eII)

g

g3

g3

2211IIII II

(b) Tricercle de Mohr

Figure . Diffrentes configurations du cercle de Mohr

de pi dans le plan (eI,eII), le point Ml dcrit compltement le cercle C(O,R).

En considrant successivement les trois plans principaux de dformations, on

peut construire trois cercles de Mohr et on obtient ainsi le tricercle de Mohr des

dformations. Dautre part, on peut montrer que pour une direction n quelconque,

le point reprsentatif de ltat de dformation dans le plan (, g) avec = ntn et

g = |n n| se situe dans la partie dlimite par les trois cercles de Mohr corres-pondant aux plans principaux. Sur le tricercle de Mohr, le point o le glissement

g est maximum (gal au rayon du grand cercle de Mohr) est pi/2 des points re-

prsentatifs des directions principales donc, dans le plan (eI,eIII), les directions l

et t de distorsion angulaire maximum sont les directions bissectrices des directions

principales.

[] On rappelle que les directions l0 et t0 sont telles que la base (t0, l0, eIII) est directe.

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.. Extensomtrie

La dformation en un point peut tre value exprimentalement laide de rosettes.

Description de la rosette

Figure . Jaugede dformation

Une jauge de dformation peut tre assimile une rsistance

mtallique constitue dun fil rectiligne trs fin, que lon colle

sur la surface de la structure tudie. On transmet ainsi au fil

de la rsistance les dformations de la structure, do une varia-

tion de sa longueur, qui produit une variation de sa rsistance,

quon mesure grce un pont de Wheastone. On peut alors en

dduire la dformation du fil, ce qui correspond une mesure

de la dilatation linique dans sa direction. On peut ainsi obtenir avec prcision lal-

longement linique x selon la direction x de la jauge.

Pour mesurer la dilatation linique dans une direction donne, il suffit de coller

une jauge dans cette direction. Cependant dans le cas gnral de dformation dans

un plan (e1,e2), il faut trois mesures de dformations pour connatre exactement

ltat de dformation en un point : 11, 22 et 12 ou bien ltat de dformation princi-

pal comprenant les dformations liniques I,II et directions (eI,eII). Ces mesures se

font laide de rosettes qui donnent les dformations dans les directions a,b,c. Dans

la pratique, on trouve des rosettes et (voir figure .).

a

bc

a

bc

Figure . Rosettes

Dpouillement

partir de a, b et c, les dilatations liniques dans trois directions a, b et c, on peut

dterminer les valeurs principales des dformations. En notant ltat de dformation

principal en un point M0 dune surface par :

(eI,eII) =

I II (.)

la dformation linique dans une direction faisant un angle a, a(cosa,sina), par rap-

port la direction eI, est donne par la relation (.) :

a =I + II

2+I II2

cos2a (.)

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de mme dans les directions b et c, on obtient si est langle de la rosette, soit

= (a,b) = (b,c) :

b =I + II

2+I II2

cos2(a+) (.)

c =I + II2

+I II2

cos2(a+2) (.)

Le systme de trois quations (.), (.) et (.) permet de dterminer les deux

dformations liniques principales I, II et langle not a entre la direction princi-

pale eI et la direction a.

Rosette

Langle des directions (a,b) et (b,c) est , donc les relations (.) et (.) scrivent :

a =I + II

2+I II2

cos2a

b =I + II

2+I II2

cos(2a+

pi

2

)c =

I + II2

+I II2

cos(2a+pi)

(.)

soit :

a =I + II

2+I II2

cos2a

b =I + II

2 I II

2sin2a

c =I + II2

I II2

cos2a

(.)

et on dduit par exemple en posant :

d =I + II2

et r =I II2

(.)

que :

I = d + r et II = d r (.)

avec :

d =a + c2

; r =12

(c a)2 + (a + c 2b)2; tan2a =

b dc d

(.)

Rosette

Langle des directions (a,b) et (b,c) est , donc les relations (.), (.) et (.)

scrivent maintenant :

a =I + II

2+I II2

cos2a

b =I + II

2+I II2

cos(2a+

2pi3

)c =

I + II2

+I II2

cos(2a+

4pi3

) (.)

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soit :

a =I + II

2+I II2

cos2a

b =I + II

2 I II

2

(122a+

32

sin2a

)

c =I + II2

+I II2

(12cos2a+

32

sin2a

) (.)

et on dduit :

d =a + b + c

3

r =13

(2a b c)2 +3(c b)2

tan2a =

33c ba d

(.)

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Contraintes dans un milieu

continu

. quilibre dun domaine solide

.. Bilan de forces

Au sein dun solide homogne, isolons par la pense un domaine de volume V et de

frontire S. Ce domaine (D) peut tre sollicit par deux types de forces : les forces de volume qui sexercent sur toutes les particules de (D). Ce sont desactions distance. Si dV est un domaine lmentaire de (D) centr au point M,la force lmentaire volumique peut scrire :

dFv(M) = fv(M)(M)dV (.)

o fv est un vecteur densit de force et (M), la masse volumique locale. La

norme de dFV(M) tend vers zro comme dV ; si on considre une dimension

caractristique du volume lmentaire comme un infiniment petit du premier

ordre, dFV(M) est donc un infiniment petit dordre trois.

les forces de surface qui sexercent uniquement sur les particules de la surface

S frontire de V[]. Elles reprsentent les actions de contact produites par le

milieu environnant contigu S. Si dS est une surface lmentaire de S centre

en M la force lmentaire surfacique peut scrire :

dFS(M) = fs(M)dS (.)

o fs(M) a la dimension dune pression. La norme de dFs(M) tend vers zro

comme dS(M) ; dFs(M) est donc un infiniment petit dordre deux.

R Si, parmi les forces surfaciques, il existe des forces ponctuelles ou descouples, de module fini, on ne peut videmment pas dfinir de vecteur

fs(M) pour ces efforts dits concentrs.

[] Il peut sagir, par exemple, de la pression sur un corps immerg dans un fluide.

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. Contraintes dans un milieu continu

.. quations dquilibre

Conditions dquilibre dun solide

Pour quune position (S0) dun solide (S), dans un espace galilen, soit une position

dquilibre, il faut et il suffit que, au repos, le torseur des efforts extrieurs sur (S)

plac dans la position (S0) soit le torseur nul.

R Les conditions dquilibre dun solide (S) fournissent six quationsscalaires (trois dans le cas dun systme plan). Supposons que le tor-

seur des efforts extrieurs soit la somme dun torseur defforts donns

Td(S) et dun torseur defforts inconnus (de liaison) Tl (S), les conditionsdquilibre du solide S scrivent alors :

Td (S) + Tl(S) = (0,0)

autrement dit, six quations scalaires. Si le nombre dinconnues de

liaison est gal six, ces six quations permettent de les calculer. Lesolide est dit isostatique. Si le nombre dinconnues est suprieur six,

le solide est dit hyperstatique.

Le solide considr tant suppos fixe par rapport un repre galilen de rf-

rence, lquilibre statique du volume matriel V se traduit par les deux quations

vectorielles :

SfS(M)dS+

VfV(M)(M)dV+

i

Fi (Pi) = 0

SOM fS(M)dS+

VOM fV(M)(M)dV+

i

OPi Fi(Pi ) +j

Cj = 0(.)

o

SfS(M)dS reprsente les efforts rpartis sur la surface,

VfV(M)(M)dV, les

forces de volume,

j Fi (Pi) reprsente lensemble des efforts concentrs appliqus en

certains points de la surface et

j Cj , lensemble des moments concentrs appliqus

en certains points de la surface.

. Notion de contraintes

.. Hypothses

Les dplacements du milieu sont faibles devant ses dimensions et les dformations

sont des termes infiniment petits du premier ordre voir chapitre . Il en rsulte

que :

leffet des forces nest pas modifi par les dplacements quelles provoquent ;

le calcul des contraintes est effectu dans la configuration initiale du milieu et

non dans ltat dform.

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. Notion de contraintes

.. Vecteur contrainte

Si un solide est en quilibre sous laction defforts extrieurs, il existe en un point

courant M du solide des forces intrieures qui assurent la cohsion interne de ce

solide. Ces efforts intrieurs sont appels contraintes. On peut mettre en vidence

ces forces en divisant le solide en deux parties (I) et (II) par une surface plane Scquelconque passant par M comme indiqu sur la figure .. Lquilibre du solide

Sc

dSc

M

(II)(I)

ndF

(SI)

Figure . Division par la pense dun solide en deux parties

tant assur, toute partie de ce solide est elle-mme en quilibre. On admet que

les actions de (II) sur (I) (ce sont des actions de contact) sont rparties de manire

continue sur Sc. crivons lquilibre de la partie (I). La section Sc de (I) est munie

dune normale unitaire n, extrieure (I).

La partie (I) est en quilibre sous laction :

des forces extrieures volumiques qui sexercent sur toutes les particules de (I)

ainsi que des forces extrieures rparties ou concentres qui sexercent sur la

surface SI du solide ;

des forces surfaciques sur Sc reprsentant laction de (II) sur (I).

Sur toute surface lmentaire dSc centre en M appartenant Sc, laction de (II) sur

(I) peut tre dfinie par le vecteur force lmentaire dF(M). Cette force lmentaire

est une force extrieure dans les quations dquilibre de la partie (I) mais devient

une force intrieure dans les quations dquilibre de la totalit du solide considr.

On appelle vecteur contrainte en M, relativement la direction n, le vecteur :

T(M,n) = limdSc0

dF(M)dSc

(.)

Le vecteur contrainte est donc dfini en un point du solide et sa dtermination d-

pend de lorientation de la surface lmentaire (ou facette) sur laquelle il sexerce.

Il a la dimension dune pression et sexprime dans lunit lgale le Pascal (Pa =

N/m2) ou lun de ses multiples le mgapascal (MPa).

.. Dcomposition du vecteur contrainte

Le vecteur contrainte en M sur une facette dSc centre en M peut tre projet sur la

normale n la facette et dans son plan.

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T(M,n)

dSC

M

n

Figure . Dcompositiondu vecteur contraintes

On appelle contrainte normale sur dSc :

= T(M,n) n (.)

et contrainte tangentielle ou de cisaillement :

= T(M,n) n = n (T(M,n) n) (.)

Il y a quelques cas particuliers intressants :

si T n = = 0, la facette dSc est soumise uncisaillement pur ;

si = 0, la facette est soumise une traction ou

une compression pures.

. tat de contrainte en un point

Ltat de contrainte en un point M du solide sera parfaitement connu si, en ce point,

et quelle que soit lorientation de la facette centre en M, on peut dterminer le

vecteur contrainte T(M,n).

n

e1

e2

e3

A

B

C

M

Figure . Volume lmentaire

Montrons que la connaissance du vecteur

contrainte sur trois facettes orthogonales deux

deux, de sommet commun M, suffit pour d-

terminer le vecteur contrainte sur une facette

dorientation quelconque (centre en M).

Considrons un volume lmentaire tel que

le ttradre de la figure . o les sommets A,

B et C sont suffisamment proches de M pour

pouvoir supposer que le vecteur contrainte est constant sur chacune de ses quatre

faces. Les trois facettes (MBC), (MAC) et (MAB) sont respectivement de normale

extrieure e1, e2 et e3. Dcomposons le vecteur contrainte sur ces trois facettesen sa composante normale et sa composante tangentielle, elle-mme projete sur la

base (e1,e2,e3), on obtient :

T(M,e1) = T(M,e1) = (11e1 + 21e2 + 31e3)T(M,e2) = T(M,e2) = (12e1 + 22e2 + 32e3)T(M,e3) = T(M,e3) = (13e1 + 23e2 + 33e3)

(.)

La facette (ABC) est de normale extrieure n dont les cosinus directeurs sont ,

et . Soit S son aire. Celle des trois autres facettes sexprime en fonction de S et des

cosinus directeurs de n ; on a SMBC = S, SMAC = S et SMAB = S. La premire des

quations dquilibre du ttradre scrit :

T(M,e1)S+T(M,e2)S+T(M,e3)S+T(M,n)S + fV(M)VMABC = 0 (.)

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. tat de contrainte en un point

La force volumique tant un infiniment petit dordre suprieur celui des termes

surfaciques, il vient, lorsque S tend vers zro :

T(M,e1)S+T(M,e2)S+T(M,e3)S+T(M,n)S = 0 (.)

do la proprit annonce :

T(M,n) = T(M,e1) + T(M,e2) +T(M,e3) (.)

Appelons X, Y et Z les composantes du vecteur contrainte sur la facette de normale

extrieure n, on obtient, par projection de lquation dquilibre (.) :

X = 11 + 12 +13

Y = 21 + 22 +23

Z = 31 + 32 +33

(.)

ou sous forme matricielle :

T(M,n) = (M)n avec (M) =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(.)

Pour un point M fix, n est un vecteur arbitraire et T(M,n) un vecteur indpendant

de la base choisie, donc la matrice (M) est la matrice dun endomorphisme.

Exemple Traction pure On considre le barreau de la figure . soumis un effortnormal N. Le barreau est coup en deux parties (I) et (II) spares par une section droite Sc.En supposant la contrainte uniforme sur cette section de normale n e1, la matrice des

(I) (II)e1N

11

Sc

Figure . Essai de traction pure

contraintes en M est :

(M) =

11 0 0

0 0 00 0 0

(.)Le vecteur contrainte en M sur une facette de normale n, dangle avec e1, est :

T(M,n) = 11n = 11 cose1 (.)

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2 M

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. Proprits de la matrice des contraintes

Rcrivons les quations dquilibre dun domaine de volume V et de surface fron-

tire S :

pour la rsultante :ST(M,n)dS +

VfV(M)(M)dV = 0 (.)

pour le moment :SOMT(M,n)dS +

VOM fV(M)(M)dV = 0 (.)

.. quations dquilibre

Dans lquation (.), lintgrale de surface peut tre transforme en une intgrale

de volume laide de la formule dOstrogradski et devient :ST(M,n)dS =

S(M)ndS =

Vdiv(M)dV (.)

La premire quation dquilibre scrit alors :V(div(M) + fV(M)(M))dV = 0 (.)

Cette quation devant tre vrifie quel que soit le volume choisi, lintgrand doit

tre nul, do :

div(M) + fV(M)(M) = 0 M D (.)

sachant que div(M) = ij ,j(M)ei pour i = 1,2,3, lquation vectorielle peut scrire :

ij ,j + fVi = 0 i [1,2,3] (.)

ce qui conduit aux trois quations dquilibre au point M dans la base (e1,e2,e3) :

11x1

+12x2

+13x3

+ fV1 = 0

21x1

+22x2

+23x3

+ fV2 = 0

31x1

+32x2

+33x3

+ fV3 = 0

(.)

R Les quations dquilibre (.) peuvent aussi scrire en coordonnescylindriques :

rrr

+1r

(r

+ rr )+rzz

+ fVr = 0

rr

+1r

(

+2r

)+zz

+ fV = 0

rzr

+1r

(z

+2rz

)+zzz

+ fVz = 0

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avec :

(M) =

rr r rz

r zzr z zz

.. Rciprocit des cisaillements

Effectuons maintenant la mme opration sur lquation (.) de faon nous ra-

mener une seule intgrale de volume. En posant T(M,n) = ijnjei , ou pour une

composante k quelconque, Tk = klnl , lintgrale de surface devient :SOMT(M,n)dS =

SijkxjTkei dS = ei

Sijkxjklnl dS

= ei

Vijk(xjkl ),l dV = ei

Vijk(xj,lkl + xjkl,l)dV

(.)

mais xj,lkl = jlkl = kj , do :SOMT(M,n)dS = ei

Vijk(kj + xjkl,l )dV (.)

Dautre part :VOM fV(M)(M)dV = ei

VijkxjfVk dV (.)

En regroupant les deux intgrales de volume, lquation (.) devient :

ei

Vijk(xj,lkl + xj (kl,l + fVk))dV = 0 (.)

qui, compte tenu de lquation (.), se simplifie pour donner :

ei

Vijkxj,lkl dV = 0 (.)

mais xj,lkl = jlkl = kj , donc :

ei

Vijkkj dV = 0 (.)

Cette relation ne peut tre vraie pour toute forme de volume V, que si, en chaque

point ijkkj = 0 soit en dveloppant, et en ne gardant que les termes non nuls :

12332 + 13223 = 0

23113 + 21331 = 0

31221 + 32112 = 0

32 = 23

13 = 31

21 = 12

(.)

Ces trois relations constituent une proprit des contraintes en un point M appe-

le rciprocit des cisaillements. Par exemple, sur deux facettes orthogonales cen-

tres en M, de normales extrieures e1 et e2 et en supposant 13 nulle, les deux

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e1 e1

e2e2

12

21

MM

T(M,e2)T(M,e1)

Figure . Illustration de lgalit 12 = 21

vecteurs contraintes T(M,e1) et T(M,e2) sont tels que 12 = 21, galit illustre sur

la figure .. Plus gnralement, si t et n sont deux vecteurs unitaires orthogonaux

quelconques, alors :

n T(M,t) = t T(M,n) (.)

La matrice des contraintes en un point quelconque M du milieu tudi est donc

symtrique et prend la forme suivante dans une base quelconque (e1,e2,e3) :

[(M)] =

11 12 13

12 22 23

13 23 33

(.)

La figure . rappelle la signification des termes de la matrice (M). Le terme ijreprsente la composante dans la direction ei du vecteur contrainte sur la facette de

normale ej . La connaissance de ltat de contrainte en un point M dumilieu ncessite

23

33

13

32

221221

31

11

e3

e2

e1

Figure . Termes ij avec 12 = 21, 13 = 31 et 32 = 23

donc la dtermination des six grandeurs 11, 22, 33, 12, 23 et 31.

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2 M

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.. Contraintes principales

La matrice des contraintes (M) tant symtrique, elle est diagonalisable. Il existe

donc au moins un repre (M;eIeIIeIII) dans lequel la matrice scrit :

(M) =

I 0

II

0 III

(.)

Les valeurs propres de la matrice (M) sont les contraintes normales principales I, II

et III en M, sexerant sur trois facettes orthogonales deux deux, dont les directions

des normales (appeles directions principales des contraintes) sont dfinies par les

vecteurs propres associs aux valeurs propres.

Chaque facette dont la normale est colinaire une direction principale ne subit

donc aucun cisaillement et travaille uniquement en traction ou compression suivant

le signe de la contrainte normale principale associe.

.. Conditions aux limites

En un point M de (S), frontire du domaine de normale extrieure n, le vecteur

contrainte T(M,n) est gal la rpartition surfacique fs(M) :

T(M,n) = n = fs(M) (.)

.. Cas particuliers

Il existe quelques cas particuliers de rpartition des contraintes :

tat non contraint : les trois contraintes principales sont nulles, le vecteur con-

trainte T(M,n) est nul quelle que soit lorientation de la facette centre en M ;

tat anti-plan : deux des trois contraintes principales sont nulles ;

tat plan : une des trois contraintes principales est nulle ;

tat isotrope : les trois contraintes principales sont gales ;

tat axisymtrique : deux des trois contraintes principales sont gales.

.. Invariants scalaires

Lquation caractristique issue de det((M)I) = 0 scrit, aprs dveloppement :

3(11+22+33)2(1122+2233+3311212223231)det(M) = 0 (.)

or les contraintes normales principales ne dpendent que de ltat de contrainte au

point M, ce qui signifie que les racines de lquation caractristique ne dpendent

pas de la base dans laquelle est exprime (M) ou encore que les coefficients de

lquation caractristique sont invariants. On peut donc dfinir (de la mme faon

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2 M

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que pour les dformations) trois invariants scalaires :

S1 = 11 + 22 + 33 = I + II + III

S2 = 1122 + 2233 + 3311 212 223 231 = III + IIIII + IIIIS3 = det((M)) = IIIIII

(.)

.. Dcomposition en parties sphrique et dviatoire

Posons :

(M) =S13I+D(M) (.)

Le terme D(M) est appel partie dviatoire de (M), elle est de trace nulle et a

mmes directions propres que (M) ; les valeurs propres valent :

I S13; II

S13; III

S13

(.)

Le terme S(M) =S13 I est appel partie sphrique de (M), elle a mme trace que

(M), trois valeurs propres gales S1/3 et admet donc toute direction comme di-

rection propre.

Il sensuit que la partie du vecteur contrainte T(M,n) due S(M) est normale

la facette et que son module ne dpend pas de n (valeurs propres confondues), et

dautre part que la partie dviatoire D(M) est seule responsable du cisaillement et

de la diffrence de avec S1/3.

. Reprsentation gomtrique des contraintes

T(M,n)

t

M

n

Figure . Vecteur T(M,n)

On reprsente le vecteur contrainte T(M,n) en un

point M, dans un plan contenant M et dfini par

les axes n et t, supports respectivement de la com-

posante normale et de la composante tangentielle

du vecteur contrainte T(M,n) = n+ t. Le vecteur

t est tel que :

Si n nappartient pas un plan principal,

alors = t et =T2 2 ;

Si n appartient au plan principal orthogonal

eI alors le triplet (t,n,eI) est une base di-

recte et = T(M,n) t.Dans la base principale des contraintes (M;eIeIIeIII), le vecteur contraintes T(M,n) a

pour expression :

T(M,n) = nIIeI +nIIIIeII +nIIIIIIeIII (.)

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sion

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2 M

ay 2

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o nI, nII et nIII sont les cosinus directeur de n dans la base principale. On en dduit

immdiatement que :

T2(M,n) = 2 + 2 = n2I 2I +n

2II

2II +n

2III

2III (.)

et enfin :

= T(M,n) n = nII +nIIII +nIIIIII (.)

avec n2I +n2II +n

2III = 1. De ces trois quations aux trois inconnues n

2J , on tire :

n2I =2 + 2 (II + III) + IIIII

(I II)(I III)

n2II =2 + 2 (I + III) + IIII

(II I)(II III)n2III =

2 + 2 (I + II) + III(III I)(III II)

(.)

En supposant I > II > III, pour raliser n2J > 0, il faut donc vrifier :

2 + 2 (II + III) + IIIII > 02 + 2 (I + III) + IIII 6 02 + 2 (I + II) + III > 0

(.)

IIII II

Figure . Vecteur contrainte

sur une facette dorientation quel-

conque dans le plan de Mohr

Lextrmit du vecteur contrainte dans le

plan (,) ne peut donc appartenir qu la

zone grise limite par les trois cercles de

Mohr de diamtres III, IIIII et IIII.La reprsentation dans le plan de Mohr

de lextrmit du vecteur contrainte sur une

facette dorientation quelconque par rapport

la base principale nest pas particulire-

ment simple. Nous nous limiterons dans la

suite au trac dans le plan deMohr de ltat

de contrainte sur une facette dont la normale

est orthogonale une des directions principales. Supposons, par exemple, que la fa-

cette a sa normale orthogonale eI. Dans ce cas nI est nul et la premire inquation

devient une quation. Lextrmit du vecteur contrainte appartient donc au cercle de

diamtre IIIII, et de centre C(II+III2 ,0). En gnral, le problme se pose ainsi : tra-cer les cercles deMohr relatifs ltat de contrainte en M reprsent par la matrice :

(M) =

I 0 0

0 22 320 23 33

(.)connue dans une base (eI,e2,e3) dont une des directions de la base est principale.

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2 M

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Convention de Mohr Pour chaque facette dont la normale est orthogonale une

direction principale, on dfinit une base directe (t,n,eI). Dans le plan de Mohr,

T(M,n) sera reprsent par :

= n T(M,n) et = t T(M,n) (.)

.

e3

T(M,e2)e2 = n

M

e1

32

22

t

(a) = 22, = 32

.

e3

T(M,e3) e2 = n

Me1

33 23

(b) = 33, = 23

Figure . Vecteur contrainte dans une base locale

Sur une facette de normale n quelconque faisant un angle avec e2, le vecteur

contrainte T(M,n) de composantes et est donn par :

T(M,n) =

I 0 0

0 22 230 23 33

0

cos

sin

=

0

22 cos + 23 sin

23 cos + 33 sin

(.)do :

= n T(M,n) = 22 cos2 +223 sincos + 33 sin2 = t T(M,n) = 22 sincos + 23 sin2 23 cos2 33 sincos

(.)

avec t = n eI = sine2 cose3, soit, en passant larc double :

=22 + 33

2+22 33

2cos2 + 23 sin2

=22 33

2sin2 23 cos2

(.)

On obtient lquation du cercle de Mohr dans le plan principal (e2,e3). La connais-

sance des deux vecteurs, T(M,e2) et T(M,e3) indiqus sur la figure . suffit pour

tracer le cercle reprsentant ltat de contrainte sur toute facette centre en M et de

normale orthogonale eI. Les extrmits des deux vecteurs sont des points diam-

tralement opposs du cercle. Ce cercle est centr sur laxe des abscisse (22 + 33)/2

et son rayon vaut :

R =

(22 33

2

)2+ 223 (.)

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23

32

2233

III III

T(M,e3)

T(M,e2)

Figure . Diffrentes configurations du cercle de Mohr

Exemple On considre ltat de contrainte en M, dont la matrice dans la base (e1e2e3)scrit :

(M) =

1 0 2

0 2 02 0 5

(les composantes sont en hbar) (.)Il a pour reprsentation dans le plan de Mohr de la figure .. On trouve III = 3+ 2

2 =

5,8 hbar, I = 3 22 ' 0,171 hbar, II = 2 hbar et max = 2,5 +

2 = 3,9 hbar. On rappelle

que 1 hbar = 10 MPa.

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III

II

I

3

n

t

(a)

IIII II

23

(b)

I

II

III

1

n

t

(c)

IIII II

21

(d)

I

II

III 2

n

t

(e)

IIII

II

22

(f)

Figure . Reprsentation dans le plan de Mohr de lextrmit du vecteur

contrainte sur une facette dorientation quelconque

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2 M

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max

M(e1)

M(e3)

I IIIIIM(e2)

-

-

-

-

--

Figure . Extrmit du vecteur contrainte sur une facette dorientation quel-conque dans le plan de Mohr

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Relation de comportement en

lastostatique

Base sur lhypothse des petites perturbations, la thorie des dformations du cha-

pitre a t dveloppe partir dune formulation linarise en fonction des com-

posantes du gradient des dplacements. Cette premire linarit dite gomtrique

a permis de scinder la transformation du milieu sous laction du champ de dpla-

cement U en une dformation et une rotation reprsentes respectivement par les

oprateurs ij et ij en tout point du milieu.

En faisant lhypothse dun tat de contrainte indpendant de la rotation, ce der-

nier ne dpend plus que de ltat de dformation ij . Lorsque les dformations nex-

cdent pas une valeur de lordre de %, on met en vidence un deuxime type de li-

narit concernant les relations entre contraintes et dformations. Dans un domaine

restreint, la relation entre contraintes et dformations est linaire : cest la linarit

de comportement. Ces deux linarits vrifies simultanment sont lorigine du

chapitre dtaillant llasticit linaire.

. Coefficients lastiques

Les solides sont caractriss par le fait que des dformations ne peuvent exister que

si des contraintes sont, ou ont t, appliques. Si on se restreint aux matriaux m-

talliques, dans un domaine limit en contraintes, les dformations sont rversibles,

cest le domaine dlasticit. Pour des contraintes plus leves, des dformations irr-

versibles (plastiques) apparaissent. Enfin, il existe un troisime phnomne extrme-

ment important engendr par les sollicitations, cest lendommagement qui conduit

la rupture. Les relations liant contraintes et dformations sont fondes sur lexp-

rimentation et principalement sur les essais mcaniques de traction/compression et

de torsion.

Nous nous limitons ici aux essais mcaniques appliqus des matriaux iso-

tropes. Signalons galement que les relations contraintes-dformations sont formu-

les dans un cadre thermodynamique cohrent et en accord avec diffrents principes

de la physique.

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. Relation de comportement en lastostatique

.. Essais mcaniques et caractristiques mcaniques

Lobjet des essais mcaniques est dobtenir une relation entre contraintes et dforma-

tions. Le rve du praticien de lidentification serait un appareil ralis autour dun

petit cube reprsentant llment de volume et permettant dappliquer indpendam-

ment les six composantes du tenseur des contraintes ou les six composantes du ten-

seur des dformations. Dans la ralit, ce sont des machines de traction-compression

ou des machines de traction-torsion ou plus rarement des machines dessais bidi-

mensionnelles et tridimensionnelles. Ajoutons la possibilit de faire des essais en

temprature et lon aura la panoplie complte de lexprimentateur en lois de com-

portement.

.. prouvettes dessais

Figure . prou-vettes de traction

Dune faon gnrale, on appelle prouvette la pice qui

permet disoler un lment de volume reprsentatif ser-

vant identifier le comportement du matriau considr.

Sa gomtrie est laboutissement dune rflexion, issue

dun certain nombre de critres. La norme europenne EN

reprend la norme internationale ISO et fixe

les modalits dessai de traction pour les matriaux mtal-

liques comme celle indique sur la figure .. La principale

rgle est le respect de la taille du volume lmentaire re-

prsentatif (V.E.R.). La dimension de llment de volume

reprsentatif (V.E.R.) devra tre gale fois la di-

mension de lhtrognit lmentaire du matriau considr.

.. Essai de traction simple

La figure . reprsente unemachine de traction et son dispositif dacquisition. Cette

machine permet de caractriser le matriau considr en traction ou compression

Figure . Machine de traction M.T.S. avec son systme dacquisition

jusqu la phase ultime de la rupture. Durant lessai mcanique de traction, lprou-

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. Coefficients lastiques

vette est sollicite par une force cre par un vrin hydraulique. Durant lessai, on

tudie comment varie la contrainte normale dans laxe de lprouvette 11 en fonc-

tion de la dformation normale axiale 11. Dans le cas dune prouvette constitue

dun matriau homogne isotrope, on peut dterminer le module dYoung E et le

coefficient de Poisson du matriau considr. Ces deux coefficients caractrisent le

matriau dans son domaine dlasticit.

.. Mesure de la dformation

On utilise un extensomtre mcanique ou optique qui mesure le dplacement relatif

de deux repres distants dune longueur L0 tracs sur lprouvette. Au dpart, la

longueur entre les deux repres est L0, aprs sollicitation de lprouvette la longueur

entre les deux repres devient L. La dformation 11 dans laxe de lprouvette est la

quantit scalaire suivante :

11 =L L0L0

(.)

Un autre moyen pour la mesure de dformation est la jauge de dformation fil

rsistant colle sur lprouvette dessai. La jauge se dforme de manire proportion-

nelle lprouvette. La jauge ne peut pas tre dcolle pour une autre utilisation.

.. Mesure de la contrainte

La contrainte est inaccessible la mesure directe. Un systme dynamomtrique per-

met dobtenir la force F cre par la machine dessai. La contrainte axiale uniform-

ment rpartie dans la section S de lprouvette est dfinie par :

11 =FS

(.)

Courbe dcrouissage

La courbe dcrouissage reprsente la contrainte axiale 11 en fonction de la dfor-

mation axiale 11. Elle est le rsultat de lessai de traction ou de compression simple.

La figure . reprsente la courbe dcrouissage pour diffrents matriaux.

11 1111

e

e

e

IJ

IJ

IJ

1111 11

Figure . Courbes dcrouissage obtenues avec une machine de traction

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Domaine dlasticit

Tant que la contrainte reste infrieure une certaine valeur e, le phnomne de

dformation ne met en jeu que des mouvements relatifs datomes rversibles et li-

naires par rapport la contrainte. On dfinit :

E, le module dYoung () qui exprime la raideur de lprouvette ;

, le coefficient de Poisson. Une jauge place normalement laxe de traction,

mesure la dformation de contraction transversale. Son rapport avec la dfor-

mation longitudinale est constant et permet de dfinir le coefficient de Pois-

son :

= 2211

(.)

Dans le domaine dlasticit |11| 6 e, la loi dlasticit unidimensionnelle est dfi-nie, dans la base (e1,e2,e3), par :

11 =11E

; =

11 0 0

0 0 0

0 0 0

; =11 0 0

0 11 00 0 11

(.)On peut montrer que dans le cas des matriaux isotropes, seuls deux coefficients

sont ncessaires pour caractriser le comportement du matriau dans le domaine

lastique. Certaines valeurs sont listes dans le tableau ..

matriaux E (MPa) T (C)

acier XC ,

acier inoxydable A , , ,

T/ fibre car-

bone et rsine poxy ,

duralumin AUG ,

bton ,

bois (sens fibre) ,

rsine poxy ,

polymre araldite ,

caoutchouc ,

Tableau . Caractristiques de quelques matriaux

.. Limite dlasticit

Les mcanismes responsables des non linarits de la courbe dcrouissage sont d-

pendants des matriaux. Les propos suivants sont relatifs auxmatriauxmtalliques.

partir de e, il apparat des dformations permanentes ou plastiques dues des

dplacements de couches datomes par glissements. Les dformations lastiques e

continuent dexister lchelle des atomes, les dformations plastiques prennent

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. Essai de torsion

naissance lchelle plus grande des assemblages datomes ou plutt des dfauts

dempilement des atomes. Au lieu dtre bien organiss en maille gomtrique, les

mtaux contiennent des lignes de dfauts dempilement dues aux champs lectroma-

gntiques locaux irrguliers, les dislocations. Lors de sollicitations lasto-plastiques

du matriau, la dformation totale est = e + p. Si ces dislocations nexistaient pas,

les mtaux seraient environ cent fois plus rsistants mais on ne pourrait pas les

mettre en formes, ils seraient lastiques mouvement relatif datome et fragiles

dcohsion des atomes. Ces dislocations permettent le glissement des couches

datomes dans des plans. Les dformations plastiques saccompagnent dune consoli-

dation du matriau, cest le phnomne dcrouissage. Hors du domaine dlasticit,

la courbe est non linaire et la contrainte monotone croissante. Cette courbe est la

caractristique de plasticit du matriau.

.. Endommagement et rupture

Lessai de traction se poursuivant, des micro-cavits ou micro-fissures samorcent

par dcohsion datomes au voisinage de dfauts ou impurets l o les sollicita-

tions extrieures crent des concentrations de contraintes. Cest le phnomne den-

dommagement. Il se situe une chelle plus grande que la plasticit, lchelle des

cristaux (/ /mm). Des micro-fissures se rejoignent pour former une ma-

cro fissure qui se propage jusqu rupture de lprouvette en deux parties pour la

contrainte ultime e ou la dformation rupture r . La dgradation d du matriau

peut tre mise en vidence par le changement du module dYoung lors du charge-

ment :

d = 1 E

E(.)

On distingue classiquement lendommagement fragile qui conduit la rupture sans

dformation plastique apprciable (bton), lendommagement ductile qui saccom-

pagne de grandes dformations plastiques (aciers faiblement allis), lendommage-

ment de fatigue qui est provoqu par la rptition de sollicitations durant un grand

nombre de cycles.

. Essai de torsion

Dans le cas des matriaux isotropes, cet essai est utilis pour dterminer le module

de cisaillement du matriau considr. Lprouvette est rigidement maintenue une

extrmit et sollicite sur lautre extrmit par un couple appliqu perpendiculai-

rement laxe du barreau. La figure . reprsente un essai de torsion. Le rapport

de la contrainte de cisaillement la dformation de cisaillement reprsente le mo-

dule dlasticit de cisaillement. Si on dveloppe en plan une surface cylindrique de

rayon r de lprouvette en dcoupant cette surface suivant une gnratrice dforme,

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analogue celle tudie pour introduire le cisaillement. La distorsion angulaire est

reli la contrainte tangentielle par la loi de Hooke :

G =

avec G=

E2(1 + )

(.)

On constate que :

=r

Lavec

L= (.)

avec , angle unitaire de torsion. Lexpression de la contrainte est = Gr.

T

T

L

21

(a)

2pir

r

L

(b)

e1 e2

e3

(c)

Figure . Essai de Torsion

.. Loi dlasticit linaire tridimensionnelle

Tant que la contrainte reste infrieure la limite dlasticit caractrise par , les

dformations sont rversibles et le plus souvent linaires. La loi de Hooke ()

traduit ces proprits dans le cas de sollicitations unidimensionnelles tendues plus

tard aux cas tridimensionnels. La loi de Hooke sapplique tous les solides dans

leur domaine dlasticit pour rendre compte de leur dformation lastique qui ne

dpassent jamais 0,2%, 0,5% ou au plus % (sauf le caoutchouc). Un matriau est

isotrope sil possde les mmes proprits mcaniques lastiques dans toutes les di-

rections en un point quelconque du corps. Un matriau isotrope est caractris par

deux constantes lastiques indpendantes. Lorsque le matriau ne prsente pas une

forme quelconque de symtrie lastique, il est dit anisotrope. Un matriau aniso-

trope est caractris par constantes lastiques indpendantes. Lorsquun mat-

riau possde trois plans perpendiculaires de symtrie lastique, il est dit orthotrope

(neuf constantes lastiques indpendantes). Un matriau est dit lastique linaire

sil existe une relation linaire bi-univoque entre le tenseur des contraintes et le ten-

seur des dformations :

ij = Cijklkl et ij = Sijklkl (.)

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. Essai de torsion

o les tenseurs des modules Cijkl et des complaisances Sijkl dlasticit sont inverses

lun de lautre. Le respect des symtries matrielles impose :

Cijkl = Cjikl car est symtrique

Sijkl = Sijlk car est symtrique(.)

Le tenseur desmodules est donc dfini par composantes indpendantes. La convexit

de lnergie libre impose la relation suivante :

Cijkl = Cklij (.)

Le tenseur des modules Cijkl est donc compos de constantes lastiques indpen-

dantes pour un matriau anisotrope.

.. Matriaux isotropes et loi de Hooke

Un matriau pour lequel les composantes du tenseur Cijkl sont identiques dans

toutes les directions en un point quelconque est fonction de deux paramtres et

est dit isotrope. Le tenseur des modules se dcompose sous la forme suivante :

Cijkl = (ikjl + iljk) +ijkl (.)

Les coefficients et reprsentent les coefficients de Lam. Le tenseur des complai-

sances Sijkl dlasticit scrit aussi en fonction du module dYoung et du coefficient

de Poisson. En fonction des coefficients de Lam et ou des constantes dlasticit

E et , les relations contraintes dformations scrivent :

ij = 2ij +kkij et par inversion ij =1+ E

ij

Ekkij (.)

soit :

11 = (+2)11 +(22 + 33)

22 = (+2)22 +(11 + 33)

33 = (+2)33 +(11 + 22)

(.)

ou :

11 =1E(11 (22 + 33))

22 =1E(22 (33 + 11))

33 =1E(33 (11 + 22))

et

12 =12G

=3G

23 =23G

=1G

31 =31G

=2G

(.)

Les relations entre les coefficients et et le module dYoung et le coefficient de Poisson

sont :

=E

2(1 + ); =

E(1+ )(1 2) (.)

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.. Cas particuliers

tat de dformations planes

Un tat de dformations planes, est caractris par un champ des dplacements bi-

dimensionnel (composantes non nulles suivant e1 et e2) et tel que 33 = 13 = 23 = 0.

Dans ces conditions :

11 =1E(11 (22 + 33))

22 =1E(22 (33 + 11))

12 =12G

=3G

(.)

et 33 = (11 + 22). Les coefficients de Lam sont dfinis par la relation (.).

tat de Contraintes planes

Un tat de contraintes planes, est caractris par un champ des dplacements bi-

dimensionnel (composantes non nulles suivant e1 et e2) et tel que 33 = 13 = 23 = 0.

Dans ces conditions :

11 =1E(1122); 22 =

1E(2211); 12 =

3G; 33 =

E(11+22) (.)

Dans ce cas, les coefficients de Lam deviennent :

=E

2(1 + 2); =

E(1+ )(1 2) (.)

. Critres limites de dimensionnement

Les critres limites de dimensionnement, ou critres de rupture, sont utiliss lorsque

lon cherche concevoir une pice, pour sassurer que celle-ci est capable de rsister

aux sollicitations quon lui fait subir. Ils reposent sur lhypothse dun comporte-

ment lastique fragile. Ils sont en gnral dduits des critres de limite dlasticit

utiliss notamment pour lanalyse du comportement en plasticit des matriaux m-

talliques. Dans le cas unidimensionnel (traction) cette vrification se rduit assurer

que |11| 6 e avec e, la limite lastique en traction. Dans le cas tridimensionnel, ilfaut vrifier un critre de limite dlasticit qui scrit :

f () 6 e (.)

o f () est une fonction relle, la fonction seuil lastique. Il existe un grand nombre

de critres, certains sont valables pour des matriaux isotropes fragiles (fontes, b-

ton), dautres pour des matriaux ductiles (alliages cuivreux, alliages daluminium,

aciers doux). Il nexiste pas de critres universels valables pour tous les matriaux.

.. Critre de Coulomb

Ce critre est dfini par une relation linaire entre la contrainte normale et le ci-

saillement. Il est applicable aux sols mais pas aux mtaux.

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. Critres limites de dimensionnement

plastique

lastique

(a) sable

plastique

lastique

(b) argile

Figure . Critre de Coulomb

.. Critre de Tresca

Ce critre sapplique plutt auxmatriaux ductiles. Des essais sur des matriaux duc-

tiles confirment que le dbut de la plastification en traction a lieu suivant des plans

inclins par rapport la direction de chargement. Cette direction correspond

un tat de contrainte de cisaillement maximum et e est la contrainte tangentielle

de cisaillement :12sup |I III| 6 e ou sup |I III| 6 e (.)

e

IIII

Figure . Critre de Tresca

.. Critre de Mohr-Cacquot

Si on considre une prouvette et son tat de contrainte en un point quelconque (M)

associ un chargement donn, si lon trace pour chaque chargement le plus grand

cercle de Mohr correspondant au passage dans le domaine plastique, on constate

quils admettent une enveloppe suppose unique ne dpendant que du matriau :

la courbe intrinsque. Cest une courbe souvent ouverte obtenue partir dessais

simples : traction, compression cisaillement. On peut approcher la courbe intrin-

sque par deux droites tangentes aux cercles de Mohr de traction pure et de com-

pression pure.

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plastique

point de dcohsion

lastique

(a) sable (b) argile

Figure . Critre de Mohr-Cacquot

R Si la limite lastique en traction e est gale la limite lastique encompression e on retrouve le critre de Tresca.

On peut galement approcher la courbe intrinsque par une parabole. Dans le

plan (,), lquation gnrale est :

= A2 + B (.)

les constantes A et B dpendent du matriau. Si on choisit la parabole tangente aux

cercles deMohr de traction et compression, on a :

= 22

e + e e

e

8(e + e)

(.)

et le critre de plasticit scrit :

(I III)2 (e + e)(I + III) 6 ee (.)

.. Critre de Von Mises

Ce critre sapplique galement aux matriaux ductiles et met en uvre lnergie

de distorsion. Notant quun tat de contrainte hydrostatique change seulement le

volume et non la forme du matriau, le critre scrit :32Tr(DD) 6 e avec Dij = ij

13Tr()ij (.)

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nergie de dformation dun

milieu continu lastique

. nergie de dformation

.. Expression gnrale et relation avec le travail des forces

Isolons un corps (D) lastique auquel nous ferons subir une transformation quasi

statique et sans change de chaleur le faisant passer dun tat initial (i) un tat

final (f ) sous laction de forces extrieures directement appliques. Si on note :

dQ, la quantit de chaleur fournie (nulle ici) ;

dTe, le travail des forces extrieures ;

dTi , le travail des forces intrieures ;

dEc, la variation dnergie cintique (nulle ici) ;

dU, la variation dnergie interne,

alors, lquation de conservation qui scrit :

dQ +dTe = dEc +dU (.)

et le thorme de lnergie cintique :

dEc = dTe +dTi (.)

vont nous permettre dexprimer le travail des forces intrieures en ngligeant la

quantit de chaleur fournie et la variation dnergie cintique :

dTe +dU dTi (.)

Le travail des forces extrieures appliques un milieu continu se dformant trs

lentement en restant une temprature voisine de lambiante est gal sa variation

dnergie interne (potentiel lastique). Il est gal et oppos au travail des forces in-

trieures (forces rsistantes). Il ne dpend que de ltat final et de ltat initial tant

donn la rversibilit de la transformation.

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. nergie de dformation dun milieu continu lastique

.. Potentiel lastique en fonction des contraintes et dformations

Compte tenu de la loi de comportement linaire, lnergie de dformation :

ne dpend que de ltat initial et de ltat final ;

peut sexprimer partir des paramtres de la dformation. Ceux de la transla-

tion et de la rotation ninterviennent pas ;

est un scalaire, nous pourrons travailler avec nimporte quels axes, en particu-

lier avec des axes locaux et principaux.

On peut par un raisonnement simple, calculer lnergie de dformation en fonction

des contraintes et des dformations et ramener le rsultat une expression en fonc-

tion des seules contraintes ou des seules dformations en utilisant la loi de com-

portement. Lnergie de dformation sexprime en fonction des sollicitations et des

dplacements. En un point courant dun solide, considrons un paralllpipde l-

mentaire principal, de cts dXI, dXII, dXIII. Les faces sont soumises respectivement

des contraintes principales qui prennent pour valeur I, II, III en fin de trans-

formation. Par hypothse de comportement lastique, au cours de la transformation

les forces extrieures et les contraintes qui en rsultent voluent progressivement.

Supposons qu tout instant, lors de leur application, les forces extrieures soient

proportionnelles un paramtre voluant lentement, et tel que partant dune va-

leur nulle avant application, il atteigne lunit en fin de dformation. un instant

courant les contraintes principales valent I, II et III. Les dformations qui en

rsultent sont I, II et III. On peut reconstituer le processus de dformation en

imaginant quau voisinage dune valeur courante si lon donne une variation d,

les contraintes ont pour valeurs ( + d)I, ( + d)II, ( + d)III. Les forces corres-

pondantes appliques sur chaque face, vont travailler dans des dplacements l-

mentaires, soit dIdXI, dIIdXII, dIIIdXIII. Le travail fournir pour obtenir la

dformation est la somme des travaux effectus par les contraintes rparties respec-

tivement sur les facettes perpendiculaires XI, XII, XIII lorsque passe de 0 1[] :

dW(4) =

IdXIIdXIIIIIdXIdXIIIIIIdXIdXII

T

IdXIIIdXIIIIIdXIII

d (.)Pour un volume lmentaire dv = dXI dXII dXIII on a[] :

dW(3) = 10d

(II + IIII + IIIIII

)dXIdXIIdXIII avec

10d =

12

(.)

donc par unit de volume :

dWdv

=12

(II + IIII + IIIIII

)(.)

[] Dans lquation (.), lexposant (4) indique que dW est une diffrentielle du quatrime ordre[] Dans lquation (.), lexposant (3) indique que dW est une diffrentielle du troisime ordre

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. Potentiel lastique

Lnergie est linvariant linaire du tenseur associ , cest--dire dans des axes

quelconques :

dWdv

=12trace() =

12(1111 + 2222 + 3333) + 1212 + 1313 + 2323 (.)

En utilisant la loi de Hooke pour liminer les dformations ou les contraintes, on

remarque que :

lnergie de dformation sexprime en fonction des contraintes seules :

dWdv

=12E

(I21() 2(1 + )I2()

)(.)

avec (cf chapitre ) :

I1() = I + II + III = 11 + 22 + 33

I2() = 1122 + 2233 + 3311 212 213 223(.)

lnergie de dformation sexprime en fonction des dformations seules :

dWdv

=12

((+2)I21() 4I2 ()

)(.)

avec (chapitre ) :

I1() = 11 + 22 + 33

I2() = 1112 + 2233 + 3311 212 231 223(.)

et les coefficients de Lam (chapitre ) :

=E

(1 + )(1 2) ; =E

2(1 + )(.)

Lnergie totale de dformation dun solide est gale :

W =12

D

(1111 + 2222 + 3333 +2(1212 + 2323 + 1313)

)dv (.)

autrement dit :

W =12

Dtdv (.)

avec :

= {11,22,33,12,23,31} vecteur contrainte = {11,22,33,12,23,31} vecteur dformation

(.)


.. Travail des sollicitations extrieures

Soit un systme matriel lastique initialement en quilibre. Appliquons lui progres-

sivement un systme de sollicitations (forces et couples) lamenant jusqu un nouvel

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. nergie de dformation dun milieu continu lastique

tat dquilibre. Les forces extrieures (charges et forces de liaison) qui constituent

tout instant un systme en quilibre, effectuent un travail non nul indpendant du

repre choisi.

Ce travail se retrouve bien sr intgralement en travail des forces lastiques

puisque nous avons suppos que pour toutes ces transformations, il ny avait pas

dnergie cintique, dnergie dissipe sous forme de chaleur et que nous suppose-

rons toujours que les ractions des liaisons intrieures ne travaillent pas.

.. nergie interne en fonction des forces extrieures

Mj

Mj

Fj

Fini

nj

MiMi

Figure . Application des efforts extrieurs

Soient Mi et Mj deux points courants du solide o sont appliques les forces

Fi ,Fj de supports dfinis respectivement par les vecteurs unitaires ni ,nj , comme

indique sur la figure .. Nous noterons vi la composante sur ni , du dplacement

de Mi . On lappelle flche.

La linarit des dformations en fonction des efforts nous permet dobtenir les

dplacements en un point Mi sous la forme gnrale :

vi =j

AijFj (.)

Les coefficients Aij reprsentent la flche cre en Mi par une force unit applique

en Mj . On les appelle coefficients dinfluence. Considrons un paramtre dapplica-

tion progressive des efforts. Au voisinage de pour une volution d :

Fi passe de Fi (1 +d)Fi ;

vi passe de vi (1 +d)vi ,

do un accroissement du dplacement suivant ni de dvi . Le travail lmentaire

correspondant est dT = Fivid et pour toute la transformation et pour toutes les

forces :

T =12

i

Fivi =12

j

i

AijFiFj (.)

donc :

T =DtdV =

12

j

i

AijFiFj (.)

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R Les efforts extrieurs peuvent tre des forces ou des couples ; avec cesderniers, les dplacements sont dfinis, par analogie aux flches, de lamanire suivante : en un point courant Mi , le vecteur rotation local d

toutes les forces et tous les couples appliqus donne la rotation i ,analogue de vi , par projection sur laxe dumoment du couple appliqu

en Mi :

i =j

Bijj T =12

i

ii =12

i

j

Bijij

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lasticit linaire

Ce chapitre sintresse lvolution dun systme mcanique qui, partir dun tat

initial non charg (les contraintes sont nulles en tout point), va atteindre un nouvel

tat dquilibre sous laction de sollicitations extrieures. On propose de dterminer

ce nouvel tat, la connaissance des contraintes dans le systme permettant lanalyse

de sa tenue aux sollicitations, laide des critres vus prcdemment.

Ltude est limite un systme constitu dun matriau homogne et isotrope,

comportement lastique linaire[], subissant des dformations isothermes, sous

laction de sollicitations extrieures appliques trs progressivement.

La prsentation comprend le systme dquations rsoudre ainsi que des m-

thodes utiles la la recherche dune solution analytique, cur de la thorie de llas-

ticit linaire.

Il convient de prciser quune solution analytique nest accessible que dans des si-

tuations relativement simples, et que pour traiter un problme pratique, lingnieur

doit en gnral avoir recours des mthodes numriques. Cependant, il est sou-

vent possible dapprocher un problme complexe par un problme simplifi, dont

on connat la solution analytique, ce qui permet une analyse critique des rsultats

obtenus par des mthodes numriques. Dautre part, la thorie de llasticit peut r-

soudre une grande varit de problmes et est la base de thories simplifies telle

que la thorie des poutres utilise en Rsistance des Matriaux.

. Position du problme

.. quations de champs

On a vu, au chapitre , que les contraintes sont caractrises par six composantes, et

rgies par trois quations dquilibre :

div + f = 0 (.)

ce qui donne en coordonnes cartsiennes :

ij ,j + fi = 0 (.)

[] Ce comportement suppose lhypothse des petits dplacements et des petites dformations.

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. lasticit linaire

Il est vident que ces quations sont insuffisantes pour dterminer compltement

les contraintes. Comme le suggre lexprience[], le matriau constitutif joue un

rle dans la rponse du systme, il faut donc faire intervenir sa loi de comportement.

Celle-ci scrit dans le cas dun matriau isotrope (chapitre ) :

ij = kkij +2ij (.)

o et sont les coefficients de Lam. Si on ajoute la relation dformations-dpla-

cements, qui scrit en coordonnes cartsiennes :

ij =12

(ui,j +uj,i

)(.)

on dispose de 3 + 6 + 6 = 15 quations de champs aux drives partielles pour 15

inconnues correspondant aux composantes des contraintes, des

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