PCSI 2 Régime libre en électricité

2018 – 2019 1/12

REGIME LIBRE EN ELECTRICITE I On considère le circuit ci-contre composé de deux branches de même résistance R comportant en outre l'une une self pure L et l'autre un condensateur de capacité C. Elles sont alimentées par un générateur de tension continue de f.e.m. E et de résistance interne négligeable.

1) Le condensateur étant déchargé, on ferme à l'instant t = 0 l'interrupteur K. On désignera respectivement par i1 et i2 les intensités dans la branche contenant la self et dans la branche contenant le condensateur.

a) Déterminer en fonction du temps le régime transitoire i1(t) et tracer l'allure de la courbe correspondante. b) Déterminer de même le régime transitoire i2(t) et tracer l'allure de la courbe correspondante. c) A quel instant aura-t-on i1 = i2 si les deux constantes de temps sont identiques ?

Application numérique : L = 1 H ; C = 1 µF ; R = 103 W. 2) On considère toujours le même circuit alimenté par le même générateur. K étant fermé, le régime permanent est établi. A un instant que l'on choisira comme nouvelle origine des temps, on ouvre l'interrupteur K.

a) Établir les équations différentielles du second ordre relatives à la charge q du condensateur d'une part, à l'intensité i du courant d'autre part. b) Indiquer quelles sont à l'ouverture de K les expressions initiales de q et de i. c) En déduire en fonction du temps les expressions, en régime transitoire, de la charge q(t) et de l'intensité i(t). On discutera des différents cas possibles suivant les valeurs de R, L et C mais on ne cherchera pas à déterminer les constantes d'intégration. d) Application numérique : L = 1 H ; C = 1 µF ; R = 103 W; E = 10 V. Déterminer complètement q(t) et i(t).

Réponse : 𝑖" =$%&1 − 𝑒*

+,-. ; 𝑖0 =

$%𝑒*

1+2; t = 0,69 ms ; + 2 %

7 + "

79𝑞 = 0; 𝚤 + 2 %

7𝚤 + "

79𝑖 = 0;

𝑞 = 𝐴𝑒*+,-𝑐𝑜𝑠 @A "

79− %B

7B𝑡 + 𝜑E si 𝑅 < A7

9; 𝑞 = (𝐴𝑡 + 𝐵)𝑒*

+,- si 𝑅 = A7

9;

𝑞 = 𝑒*+,- @𝐴𝑒A

+B

,B* K,2- + 𝐵𝑒*A

+B

,B* K,2-E si 𝑅 > A7

9; 𝑞 = 10*M𝑒*"NNN- et 𝑖 = −10*0𝑒*"NNN-.

II Soit le montage suivant comportant une bobine d'auto-inductance L et de résistance interne R, en série avec un conducteur ohmique de résistance Ro = 470 Ω. Un ordinateur permet de mesurer simultanément les tensions UAB (voie 1) et UBD (voie 2) à intervalles de temps réguliers (ici 100 µs). Ces mesures ne se déclenchent que si UBD est supérieure à un seuil fixé ici à 0,5 V. Le tableau ci-dessous donne les résultats des mesures obtenues après avoir abaissé l'interrupteur. Sur un même graphique on a tracé UAB= f(t) et UBD= g(t) en ayant pris t = 0 à la date de la première mesure.

1) Que peut-on dire de la somme UAB+UBD à chaque instant ? 2) La trentième mesure montre que l'on atteint pratiquement un régime stationnaire. Préciser la signification de ce terme. En déduire la valeur de R. 3) En utilisant une des courbes et en justifiant les calculs, déterminer la valeur de l'intensité du courant i circulant dans le circuit, à la date correspondant au point n°5. 4) Déterminer di/dt à la même date par une méthode que l'on explicitera.

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2018 – 2019 2/12

5) En déduire la valeur de L.

Réponse : R = 122 W; i = 3,66 mA ; di/dt = 4,26 A/s ; L = 0,5 H. III Une bobine, d’inductance propre L = 0,2 H et de résistance R = 0,1 W, est alimentée par un générateur de f.e.m. E = 120 V et de résistance interne r = 40 W. On branche à ses bornes, à un instant que l’on prendra comme origine des temps, un condensateur non chargé de capacité C = 100 µF.

1) Quelle est l’équation différentielle du deuxième ordre satisfaite par i(t), intensité du courant circulant dans la bobine ?

2) Donner les valeurs i(0+) et di/dt(0+). 3) Donner l’expression numérique de i(t) avec t en seconde et i en ampère. On précisera la nature du régime.

Réponse : OBP

O-B+ &%

7+ "

Q9. OPO-+ "

79&1 + %

Q. 𝑖 = $

Q79 ; i(0+) = 3 A ; di/dt(0+) = - 1,5 A.s-1

; i(t) = 3-8.10-3 e-125t sin(186t). IV Un circuit électrique est composé d’une résistance R, d’une bobine d’inductance pure L et d’un condensateur de capacité C. Ces dipôles sont disposés en série et l’on soumet le circuit à un échelon de tension U(t) de hauteur E tel que :

U(t) = 0 pour t < 0 U(t) = E pour t ≥ 0 Les choix du sens du courant i dans le circuit et de la plaque portant la charge q du condensateur sont donnés sur la figure ci-contre. On pose 𝛾 = %

07 et 𝜔N =

"√79

. 1) Expliquer simplement pourquoi, à t = 0, la charge q et le courant i sont nuls.

E

r

L, R

i

t = 0

C

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C L

R1

R2

E

uL

uR1

2) Établir l’équation différentielle vérifiée par la charge q(t) du condensateur pour t > 0. Préciser, en les justifiant soigneusement,

les valeurs initiales de la charge q(0+) et de sa dérivée dq/dt(0+).

Le circuit présente différents régimes suivant les valeurs de R, L et C. On suppose, dans la suite, la condition w0 > y réalisée. 3) Montrer que l’expression de la charge pour t > 0 peut se mettre sous la forme : 𝑞(𝑡) = (𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑤𝑡 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡)𝑒*W- + 𝐷,

où l’on déterminera w, A, B et D en fonction de C, E, w0 et g.

4) Exprimer le courant i(t) dans le circuit pour t > 0 en fonction de C, E, w0 et g. 5) Donner l’allure des courbes q(t) et i(t). Quelles sont leurs valeurs à la fin du régime transitoire ? Justifier par des considérations simples ces valeurs atteintes.

6) Déterminer l’énergie totale Eg fournie par le générateur ainsi que l’énergie ELC emmagasinée dans la bobine et le condensateur à la fin du régime transitoire en fonction de C et E. En déduire l’énergie dissipée par effet Joule dans la résistance. Ces résultats dépendent-ils du régime particulier dans lequel se trouve le circuit ? Interpréter le résultat paradoxal qui apparaît dans le cas limite 𝑅 → 0.

Réponse : + 2𝛾 + 𝜔N0𝑞 =$7; q(0+) = 0 ; dq/dt(0+) = 0 ; 𝜔 = 𝜔NZ𝜔N0 − 𝛾0; D = CE ; A = - CE ; 𝐵 = *W9$

A[\B*WB;

𝑖(𝑡) = [\B9$

A[\B*WB𝑒*W-𝑠𝑖𝑛 &Z𝜔N0 − 𝛾0𝑡. ; 𝑞(∞) = 𝐶𝐸; 𝑖(∞) = 0; 𝐸 = 𝐶𝐸0; 𝐸79 =

"0𝐶𝐸0; 𝐸% =

"0𝐶𝐸0.

V Régime transitoire Un système électronique comporte deux résistors de résistances R1 = 2 kW et R2 = 5 kW, un condensateur de capacité C = 200 nF, une bobine supposée idéale d’inductance L = 10 mH, un générateur idéal de tension stationnaire E = 12 V, et un interrupteur initialement fermé.

1) Déterminer, en régime stationnaire établi (ou permanent), la tension aux bornes du résistor R1.

2) Déterminer, en régime stationnaire établi (ou permanent), la puissance moyenne reçue par le résistor R2. 3) On suppose le régime établi atteint, puis, à un instant pris comme origine des temps (t = 0), on ouvre l’interrupteur. Quelle est

l’équation différentielle vérifiée par uL(t)?

4) Déterminer uL(0+).

5) Exprimer l’énergie Ec reçue par le condensateur au cours de ce régime transitoire (t > 0). Réponse : 𝑢%K = 𝐸 ; P = 0 ; Ob,

O-+ %B

7𝑢7 = 0 ; 𝑢7(0c) = − %B

%K𝐸 ; 𝐸d = −"

0𝐶𝐸0.

VI 1) Le circuit représenté sur la figure 1 est alimenté par une source de tension continue de force électromotrice E et de résistance interne négligeable devant R. On ferme l'interrupteur K à l'instant t = 0. Établir l'expression de l'intensité i du courant dans le circuit en fonction de E, R, L et du temps t.

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2) Le même générateur alimente le circuit représenté sur la figure 2.

a) Déterminer la différence de potentiel vAB entre les points A et B en fonction de E, R1, R2, L1, L2 et t. b) Déterminer la relation entre L1, L2, R1 et R2 pour que vAB soit indépendante du temps.

3) La relation établie à la question précédente étant vérifiée, calculer l'énergie WAB consommée dans le tronçon de circuit AB pendant l'intervalle de temps [0, t] en fonction E, L1,

R1, R2 et t. On fera apparaître la variable %K7K𝑡.

4)

a) La relation établie à la question 2 étant toujours vérifiée, déterminer la différence de potentiel vBD entre les points B et D. b) Donner alors les relations entre L1, L2, L3, L4, R1, R2, R3, R4 pour que vBD soit constamment nulle.

Réponse : 7K7B= %K

%B ; 𝑊fg = 𝐸0 7K

(%Kc%B)Bh%K7K𝑡 − i1 − 𝑒*

+K,K-jk ; %K

%B= 7l

7m= 7K

7B= %l

%m.

VII Un circuit inductif constitué d’un résistor de résistance R monté en parallèle sur une bobine d’inductance L et de résistance interne r est soumis à un échelon de courant

délivré par un générateur de courant idéal : I(t) = 0 pour t < 0 et I(t) = Io = constante pour t ≥ 0.

1) Établir l’équation différentielle vérifiée par l’intensité du courant i(t) qui traverse la bobine. 2) En déduire sa solution i(t) ; on précise que toutes les intensités dans le circuit sont nulles pour t < 0. 3) En déduire les expressions de l’intensité i’(t) dans le résistor ainsi que de la tension u(t) aux bornes de la dérivation. 4) Tracer l’allure des courbes i(t) et u(t).

Réponse : OP

O-P+ %cQ

7𝑖 = %

7𝐼N ; 𝑖(𝑡) = %o\

%cQp1 − 𝑒*-/rs avec 𝜏 = 7

%cQ ; 𝑖′(𝑡) = o\

%cQp𝑟 + 𝑅𝑒*-/rs ; 𝑢(𝑡) = %o\

%cQp𝑟 + 𝑅𝑒*-/rs.

VIII Mesures de capacités

Partie 1 : Détermination graphique Un dipôle comporte entre ses bornes un résistor de résistance R et un condensateur de capacité C placés en série. On le relie aux bornes d'un générateur de force électromotrice E

et de résistance interne Rg en série avec un interrupteur K. Initialement, le circuit est

ouvert et le condensateur déchargé. Soit uc la tension aux bornes du condensateur. À l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K.

1.1. Déterminer les valeurs uc(0+) et i(0+) en fonction de E, Rg, R ou C en les justifiant.

1.2. Établir l'équation différentielle à laquelle obéit uc(t). 1.3. Déterminer la constante de temps τ du circuit, et donner son interprétation physique.

i'

L, r

i

u R I(t)

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1.4. Établir l'expression de uc(t).

1.5. Déterminer l'expression de t1 pour que uc(t1) = 0,90E. Dans l'étude expérimentale du circuit RC, on observe l’oscillogramme suivant, en utilisant un générateur délivrant des signaux en créneaux.

Le générateur impose donc alternativement une tension E1 et –E1 au circuit. On suppose que le régime permanent est pratiquement atteint en fin de chaque alternance. Les sensibilités sont : 1 V/carreau vertical ; 0,1 ms/carreau horizontal. On néglige les caractéristiques de l'oscilloscope, au sens où l’on suppose que le branchement de l’oscilloscope ne perturbe aucunement le fonctionnement du circuit. Les conditions initiales sont différentes de celles de la partie précédente.

1.6. Identifier les courbes (1) et (2) aux voies A et B en justifiant votre choix, notamment en discutant les valeurs prises par les

tensions uA et uB respectivement observées en voie A et B au voisinage de l’instant to où est déclenché un régime transitoire.

1.7. Préciser l'expression de la tension au point P en fonction de E1, R et Rg. Sachant que R = 100 Ω, déterminer la valeur de Rg.

1.8. Déduire des graphes fournis les valeurs de C et E1. 1.9. Estimer une majoration de la fréquence du signal créneaux utilisé. 1.10. Comment pourrait-on observer l'intensité ?

Partie 2

e(t)

Rg R

C

e(t)

E1

-E1

voie B voie A

t

masse

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2018 – 2019 6/12

On étudie la réponse u(t) à un échelon de tension e(t) produit à l’aide d’un

signal créneau d’amplitude E2 = 2,5 V dans le circuit ci-contre.

2.1. Déterminer la valeur u(∞) vers laquelle tend u(t) lorsque la valeur de

e(t) est E2, en dessinant un schéma en régime permanent. On donne E2 =

2,5 V, R1 = 1,0 kΩ et R2 = 4,0 kΩ. 2.2. Établir l’équation différentielle régissant l’évolution de la tension u(t) aux bornes du condensateur :

𝑑0𝑢(𝑡)𝑑𝑡0 + 2𝜆

𝑑𝑢(𝑡)𝑑𝑡 + 𝜔N0𝑢(𝑡) = 𝜔N0𝑢(∞)

et exprimer λ et ω0 en fonction de L, C, R1 et R2. Les sensibilités sont : 1 V/carreau vertical ; 0,2 ms/carreau horizontal.

2.3. On observe sur un oscilloscope la courbe u(t) qui précède. Déterminer la valeur numérique de la pseudo-période T. 2.4. Déterminer à l’aide de la courbe enregistrée la valeur numérique du décrément logarithmique δ défini par :

𝛿 =1𝑛 𝐿𝑛 @

𝑢(𝑡) − 𝑢(∞)𝑢(𝑡 + 𝑛𝑇) − 𝑢(∞)E

où les instants t et t+nT sont séparés d’un nombre entier n de pseudo périodes T, l’instant t pouvant être choisi à la convenance.

2.5. Exprimer la forme mathématique de u(t) en fonction de λ, ω0, u(∞) et t. On ne cherchera pas à déterminer les constantes d'intégration. 2.6. Déterminer la relation existant entre les quantités δ, λ et T. En déduire la valeur numérique de λ.

2.7. Sachant que R1 = 1,0 kΩ, R2 = 4,0 kΩ, L = 100 mH, déterminer la valeur numérique de C.

Partie 3 : réalisation d’un capacimètre électronique

3.1. Source de courant commandée en tension On envisage le circuit ci-contre. Hormis les deux résistors de résistances R et

Rch et le générateur de tension de fem Uo, le dispositif comporte un circuit intégré nommé Amplificateur Opérationnel. Aucune connaissance préalable n’est nécessaire sur ce composant pour traiter ce sujet. Dans les conditions de fonctionnement envisagé, ce composant présente une différence de potentiel nulle entre ses deux bornes d’entrées (notée + et – sur le schéma) et n’admet aucun courant sur ses entrées.

Il délivre un courant de sortie iSAO. On note i le courant électrique traversant

la résistance Rch, de valeur opposée à iSAO. Dans un montage électronique, les potentiels électriques sont référés par rapport à la masse, de potentiel nul par convention, et se

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confondent donc avec la différence de potentiel entre le point considéré et la masse.

a) Montrer que l’intensité i circulant dans le résistor Rch est indépendante de sa résistance et exprimer i en fonction de R et Uo. b) Le fonctionnement effectif de l’Amplificateur Opérationnel impose des limitations sur les valeurs : * de sa tension de sortie : |𝑉~| < Vsat = 15 V ;

* de l’intensité iSAO débitée à sa sortie : |𝑖~f| < Isat = 25 mA.

Quelles sont les valeurs acceptables pour R si Uo = 1,0 V ? Quelles valeurs de Rch peut-on envisager pour que le système

fonctionne correctement si l’on a Uo = 1,0 V et R = 1,0 kΩ ?

3.2. On remplace Rch dans le dispositif précédent par un condensateur de capacité C que l’on souhaite mesurer. L’interrupteur K est initialement fermé.

Que vaut alors la tension VS ? Que dire de la charge portée alors par le condensateur ?

3.3 L’intensité i est imposée à une valeur invariante Io reliée à R et Uo (question 3.1). Le circuit est donc équivalent à la structure ci-contre. L’ouverture de K déclenche le compteur, piloté par une horloge délivrant des impulsions

créneaux à une fréquence d’horloge fH = 32768 Hz (1 unité est décomptée à chaque impulsion).

L’arrêt du compteur est commandé par le fait que la tension VS atteigne la valeur –Vsat. La liaison au compteur ne perturbe en rien le fonctionnement du montage à amplificateur opérationnel (intensité du courant nulle à l’entrée du compteur).

Expliciter la tension VS(t) en fonction de Io, C et t puis de Uo, R, C et t pour t > 0.

3.4. Uo = 1,0 V. Quelle valeur donner à R pour que le nombre N affiché par le compteur en fin de mesure corresponde à la valeur

de la capacité C exprimée en nanofarad (1 nF = 10-9 F) ?

Quelle sera la durée de la mesure pour C = 1,0 μF = 1,0. 10-6 F ?

Réponse : uC(0+) = 0 et 𝑖(0c) = $%c%

; 𝑢9(𝑡) = 𝐸(1 − 𝑡/𝜏) avec 𝜏 = p𝑅 + 𝑅`s𝐶 ; t1 = 2,3 t ; (1) = (B) et (2) = (A) ; 𝑉 =%*%%c%

𝐸" ;

Rg = R/2 ; E1 = 3,0 V et C = 1,2 µF avec t1 = 0,43 ms ; f < 500 Hz ; 𝜔N = A "79&%Kc%B

%B. et 𝜆 = "

0&%K7+ "

%B9. ; T = 0,6 ms ; d = 1,4 :

𝑢(𝑡) = 𝐴𝑒*-𝑐𝑜𝑠 &Z𝜔N0 − 𝜆0 + 𝜑. + 𝑢(∞) ; d = lT ; l = 2,3.103 s-1 ; C = 0,11 µF ; i = U0/R ; R > 40 W ; Rch < 15 kW ;

𝑉~(𝑡) = − \%9𝑡 ; R = 2,0.103 W ; 3,1.10-2 s.

IX Mesure d’une résistance par la méthode de “perte de charge” Pour mesurer une résistance R élevée de plusieurs MW, on réalise le montage électrique ci-contre avec un condensateur réel modélisé par un condensateur idéal de capacité C en dérivation avec une résistance de fuite

Rf. On donne C = 10,0 μF.

• On bascule le commutateur en position 1 ; lorsque le condensateur est chargé, le voltmètre numérique V (supposé idéal donc de résistance

infinie) indique la tension U0 = 6,00 V. • On ouvre le commutateur (position intermédiaire) ce qui a pour effet de provoquer la décharge du condensateur idéal dans sa

résistance de fuite ; au bout du temps t1 = 20,0

s, le voltmètre V indique U1 = 5,10 V.

• On charge de nouveau le condensateur sous la tension U0 (commutateur dans la position 1) puis on le bascule brusquement

Io C VS

V

U0 R

1 2

Rf

C

Condensateur

Commutateur

UC

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2018 – 2019 8/12

dans la position 2 ce qui provoque à nouveau la décharge du condensateur mais cette fois-ci avec la présence simultanée de R et

de Rf; au bout du temps t2 = 20,0 s, le voltmètre indique U2 = 4,60 V.

1) En déduire les valeurs de la résistance de fuite Rf du condensateur et de la résistance R. On détaillera soigneusement les différentes étapes, de l’établissement de l’équation différentielle jusqu’à la réponse. 2) Dans la dernière expérience, à quel instant le condensateur est-il déchargé de la moitié de son énergie initiale ? 3) On enregistre à l’aide d’une carte d’acquisition la charge du condensateur (commutateur en position 1) en enregistrant la tension UC à ses bornes. On obtient le graphe suivant :

On interprète son allure par l’existence d’une résistance interne pour le générateur : représentation de Thévenin de f.e.m. U0 et de résistance interne r0.

Déduire de la courbe la valeur de r0 (on prendra Rf infinie pour cette question).

Réponse : Rf = 12,3 MW ; R = 19,4 MW ; 26,1 s ; ro = 5 W. X Alimentation stabilisée Un circuit RC série est attaqué par un générateur à caractéristique rectangulaire.

Le condensateur est initialement déchargé pour t ≤ 0.

Déterminer les graphes des fonctions i(t), u(t), uC(t) pour t positif. On pourra poser t = RC. Représenter l’évolution du point de fonctionnement au cours du temps.

On pourra poser R0 = U0/I0 et on envisagera plusieurs cas selon la valeur de R comparée à celle de R0. Réponse : * Si R > R0 : 𝑖(𝑡) = \

%𝑒*-/r ; u(t) = U0 ; 𝑢9(𝑡) = 𝑈Np1− 𝑒*-/rs.

* Si R < R0 : i(t) = I0 pour 𝑡 < 𝑡N = 𝜏 &%\%− 1. et 𝑖(𝑡) = 𝐼N𝑒

1\1 pour t > t0 ;

𝑢(𝑡) = 𝑅𝐼N &1 +-r. pour t < t0 et u(t) = U0 pour t > t0 ;

𝑢9(𝑡) =o\9𝑡 pour t < t0 et 𝑢9(𝑡) = 𝑈N − 𝑅𝐼N𝑒

1\1 pour t > t0.

UC

(en

volt)

t (en microseconde)

Charge du consensateur

u

i

U0

I0 0

R

C uC

u

i

Alim Stab

t = 0

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XI Stockage de l’énergie électrique

Partie A : Batterie d’accumulateurs

Une batterie au plomb est un ensemble de six accumulateurs (cellules électrochimiques plomb – acide sulfurique) raccordés en série et réunis dans un même boîtier. Une batterie possède un caractère générateur durant sa décharge et un caractère récepteur durant sa charge (conversion réversible entre énergie électrique et énergie chimique). Ce type de batterie est largement utilisé dans l’industrie, dans l’équipement des véhicules automobiles ou pour stocker de l’énergie produite par intermittence (énergie solaire ou éolienne).

1. Étude d’un accumulateur : on ne s’intéresse pour le moment qu’à un seul des six accumulateurs de la batterie.

Par définition, sa tension à vide Eaccu est la tension à ses bornes lorsqu’il ne débite aucun courant. On donne ci-dessous (figure 1) la courbe représentant la tension “à vide” d’un accumulateur en fonction de son pourcentage de charge.

Figure 1 – Tension à vide d’un accumulateur en fonction de son pourcentage de charge Lorsque l’accumulateur débite un courant I non nul, la tension U à ses bornes devient inférieure à sa tension à vide. On donne ci-dessous (figure 2) la courbe représentant la tension U aux bornes d’un accumulateur chargé à 50 % en fonction du courant I qui le traverse en convention générateur.

Figure 2 – Caractéristique statique d’un accumulateur chargé à 50 %

Dans cette partie, la charge de l’accumulateur étudié sera constamment comprise en 20 % et 90 %.

1.1) Un accumulateur est-il un dipôle linéaire ou non, actif ou passif, symétrique ou polarisé (justifier les réponses) ?

1.2) Justifier que l’on puisse modéliser l’accumulateur par l’association en série d’une source idéale de f.é.m. constante Eaccu et

d’un résistor de résistance raccu et donner la représentation de Thévenin équivalente à un accumulateur. Exprimer alors la tension à

accu

accu

2,2,2

PCSI 2 Régime libre en électricité

2018 – 2019 10/12

ses bornes U en fonction de Eaccu, raccu et I l’intensité du courant qui le traverse en convention générateur.

1.3) Déterminer graphiquement les valeurs numériques de Eaccu et raccu. 2. Caractéristiques de la batterie : la batterie étudiée comporte un ensemble de six accumulateurs identiques à celui étudié précédemment.

2.1) Comment doit-on associer ces six accumulateurs de façon à obtenir une batterie de tension à vide Ebat maximale ?

2.2) Donnez la représentation de Thévenin équivalente à la batterie alors constituée. On précisera la valeur de Ebat et celle de rbat, la résistance interne de la batterie.

3. Charge de la batterie On étudie maintenant la "charge" d’une batterie initialement complètement déchargée (pourcentage de charge nul), on considère alors

ebat = 0. Au fur et à mesure de la charge ebat augmentera. De façon à effectuer la charge, on utilise une alimentation électrique modélisée par un générateur de force électromotrice E = 16 V constante et de résistance interne négligeable.

On réalise le montage représenté figure 3 ci-dessous : on a placé deux résistors de résistances respectives R1 = 2,0 W et R2 = 5,0 W pour contrôler la charge de la batterie.

Figure 3 – Circuit utilisé pour charger la batterie

3.1) Au début de la charge, la batterie est totalement déchargée, on considère alors ebat = 0 V. À quel dipôle passif la batterie est-

elle alors équivalente ? En déduire, par la méthode de votre choix, la valeur i0 de l’intensité i du courant la traverse. Faire l’application numérique.

3.2) Lorsque ebat n’est pas nul, c’est à dire en cours de charge, écrire le système d’équations vérifiées par les deux inconnues I et i. On ne demande pas de résoudre ce système d’équations sur cette question. 3.3) Par la méthode de votre choix, montrer que 𝑖 = $%B*(%Kc%B)1

(%Kc%B)Q1c%K%B.

3.4) Pour quelle valeur de ebat l’intensité i s’annule-t-elle ? D’après le graphe de la figure 1, quel sera alors le pourcentage de charge des accumulateurs de la batterie ? 3.5) On souhaite que i s’annule lorsque la batterie est chargée à 100 %. Quelle sera alors la valeur de ebat ?

On conserve R1 = 2,0 W. Quelle valeur numérique faut-il maintenant donner à R2 ?

Partie B : Utilisation d’un condensateur

De façon à utiliser un système de stockage plus "portable" que la batterie étudiée précédemment, on décide d’utiliser un condensateur

de capacité C élevée. Ce condensateur réel comporte des éléments résistifs que l’on modélisera par une résistance Rf dit "résistance de fuite" placée en parallèle avec C (figure 4).

On donne : C = 100 µF et Rf = 10 MΩ. On considèrera le condensateur comme initialement complètement déchargé. 4. Charge d’un condensateur réel à travers un résistor :

On place un interrupteur K, une résistance R = 10 W et le condensateur réel de capacité C et de résistance de fuite Rf en série aux bornes d’un générateur de tension idéal de force électromotrice constante E = 12 V (figure 4). À l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K.

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FIGURE 4 – Charge d’un condensateur réel à travers un résistor

4.1) Déterminez la valeur uC(0+) et uC(∞) de la tension uC(t) respectivement juste après la fermeture de K et au bout d’un temps très long (infini). Justifiez vos réponses (sans utiliser de calcul différentiel).

4.2) Même question pour i, l’intensité du courant qui traverse R : on donnera i(0+) et i(∞). 4.3) On se place à t ≥ 0.

a) Quelle est la relation liant i(t) à uC(t) ?

b) Établir l’équation différentielle à laquelle obéit uC(t) sous la forme :

Expliciter la quantité τ en fonction de R, Rf et C.

c) En déduire l’expression de la tension uC(t) pour t ≥ 0.

d) Tracez l’allure de la courbe représentative de la fonction uC(t). On fera apparaître la tangente à l’origine et l’asymptote.

4.4) Exprimez l’énergie EC(∞) emmagasinée par le condensateur lorsque sa charge est terminée en fonction de C, R, Rf et E.

Calculer numériquement EC(∞). 4.5) Quelle est la puissance dissipée par effet Joule dans le condensateur réel lorsque sa charge est terminée ? Faites l’application

numérique pour Rf = 10 MW. Commentez.

Réponse : Eaccu = 2,0 V ; raccu = 0,05 W ; Ebat = 12,0 V ; rbat = 0,30 W ; 𝑖N =%B$

%K%BcQ1(%Kc%B)= 6,6𝐴 ; 𝑒′- =

%B$%Kc%B

= 11𝑉 ; 10% ;

𝑅0 =%K1$*1

= 11Ω ; 𝑢9(0) = 0 ; 𝑢9(∞) =%$

%c% ; 𝑖(0) = $

% ; 𝑖(∞) = $

%c% ; 𝜏 =

%%9

%c% ; 𝑢9(𝑡) = 𝑢9(∞)p1− 𝑒*-/rs ;

𝐸9(∞) ="0𝐶 i

%$

%c%j0 ; 𝑃 = 𝑅𝑖0(∞).

XII Défibrillateur Certains accidents cardiaques se traduisent par une désynchronisation des contractions du muscle cardiaque, pouvant amener un arrêt cardiaque (fibrillation). Le seul moyen d’obtenir une resynchronisation consiste en un choc électrique appliqué au patient au moyen d’un appareil nommé défibrillateur. La situation est modélisée par le circuit suivant. Un dispositif, non représenté sur le schéma, permet d’obtenir une tension électrique d’alimentation de f.é.m. E = 2,5 kV. Le circuit constitué du défibrillateur, des électrodes de contact et du corps du patient est représenté par un condensateur de capacité C = 80 µF, une bobine idéale d’inductance L = 40 mH et un résistor de résistance R = 45 Ω.

A t < 0, le condensateur a été connecté au générateur, et la tension uc existant à ses bornes est supposée avoir atteint la valeur uc(0-) = E = 2,5 kV. A l’instant t = 0, l’interrupteur K bascule de façon à connecter le condensateur sur la branche contenant la bobine d’inductance L et la résistance R.

E

C

L

R uC uR

K i

Condensateur réel

PCSI 2 Régime libre en électricité

2018 – 2019 12/12

1. Déterminer les valeurs initiales imposées par le fonctionnement de l’appareil pour la tension uc(t), pour sa dérivée temporelle

duc/dt, ainsi que pour la tension uR(t) aux bornes du résistor et sa dérivée temporelle duR/dt.

2. Établir une équation différentielle déterminant uc(t) et faisant intervenir les paramètres R, L et C. En déduire l’équation

différentielle dont uR(t) est solution.

3. On met l’équation sur uR(t) sous la forme : % + 2𝛼𝜔N% + 𝜔N0𝑢% = 0.

3.1 Expliciter les quantités ωo et α en fonction de R, L et C. Calculer numériquement α et ωo.

3.2 Quelle sera la nature du régime d’évolution de la tension uR(t) ? Justifier.

3.3 La tension uR(t) est supposée s’écrire sous la forme générale : 𝑢%(𝑡) = (𝐴𝑡 + 𝐵)𝑒*[\-

où A et B sont des constantes d’intégration. Déterminer A et B en fonction des paramètres du circuit.

3.4 Proposer une allure du graphe uR(t).

3.5 Déterminer l’instant tmax où uR(t) va passer par un maximum. Calculer la valeur uRmax atteinte à cet instant.

Réponse : uC(0)=E ; duC/dt(0)=0 ; duR/dt(0) = RE/L ; 9 +%79 +

"79𝑢9 = 0; 7 +

%7% +

"79𝑢% = 0; 𝜔N =

"√79

;

𝛼 = %0A97; régime critique ; 𝑢%(𝑡) =

%$7𝑡𝑒*[\-; tmax = 1/w0 ; 𝑢% = 𝑅𝐸A9

7𝑒*".