Embed Size (px)
Citation preview
Mécanique & Industries 3 (2002) 253–260
Relation contrainte pariétale–débit pour un écoulement pulsé à deuxphases en conduites déformables, poreuses à parois élastiques
et anisotropes
Wall shear stress in distensible, porous, elastic and anisotropic tubes,for two-phase pulsatile flows of non-Newtonian fluids
M. Taibi, M. Kerroum, K. Gueraoui, A. El Hammoumi, G. Zeggwagh
Groupe de Mécanique des Fluides et des Structures, Laboratoire de Mécanique et des Matériaux, Faculté des Sciences, Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014,Rabat, Maroc
Reçu le 28 septembre 2000; accepté le 1er février 2002
Résumé
L’objet du présent travail est l’élaboration d’une relation contrainte pariétale–débit dans le cas des écoulements non permanents à deuxphases fluide Newtonien–fluide Ostwaldien, à faible nombre de Womersley, dans des conduites déformables poreuses à parois élastiqueset anisotropes. La relation établie a l’avantage de généraliser les lois précédemment obtenues par d’autres auteurs. En effet, elle permetde résoudre les systèmes d’équations locales et intégrales du fluide séparément et permet d’apporter des informations essentielles à lacompréhension de plusieurs processus pathologiques. 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved.
Abstract
The main of the present work is to elaborate an expression between wall shear stress and flow rate in porous, anisotropic and elastic tubes,for pulsatile two-phase flows Newtonian fluid–Ostwaldian one. This study is done for the case of small values of Womersley parameter. Thepresent expression generalizes a lot of laws of other authors, allows a direct and separate solution of the local and integral equations governingthe flow and brings some information to understand some pathologic processes. 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Allrights reserved.
1. Introduction
La modélisation de l’écoulement sanguin, bien que tenantsouvent compte d’hypothèses simplificatrices, conduit sou-vent à des équations très complexes. Ces complexités peu-vent provenir d’une part, de la loi de comportement du fluideétudié ainsi que de son type d’écoulement (permanent, oscil-latoire ou pulsé) et d’autre part, de la nature de la paroi arté-rielle (rigide, élastique ou viscoélastique, isotrope ou aniso-trope, ou encore imperméable ou poreuse) [1,2].
Un grand nombre de travaux théoriques et expérimentauxmontre que le comportement rhéologique du sang obéit soità la loi de Newton, soit à des lois non Newtoniennes du typeCasson, Ostwald ou Quemada [3–5] par exemple, suivantla gamme des gradients de vitesse considérés et la tailledes vaisseaux. Notons aussi que le caractère non Newtonien
intervient dans la grande circulation de manière marquéedans le système veineux et de manière moins sensible dansla grande circulation artérielle [6].
Cependant, la description des phénomènes hémodyna-miques ne peut se faire d’une manière correcte sans prendreen compte la nature de la paroi artérielle [7].
L’étude de l’influence de l’élasticité de la paroi est d’unintérêt certain dans des cas pathologiques tels ceux de l’hy-pertension ou de l’athérosclérose [7,8]. Les propriétés élas-tiques des parois peuvent aussi être modifiées par dégéné-rescence des tissus, ceux ci devenant plus rigides (vaisseauxathéroscléreux).
La distensibilité des parois est aussi modifiée avec l’âge.Le vieillard, sans pour autant présenter des signes patho-logiques, a des artères relativement rigides [8–10]. Il est àsavoir aussi que plus on se rapproche de la petite circula-
1296-2139/02/$ – see front matter 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved.PII: S1296-2139(02 )01165-X
254 M. Taibi et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 253–260
Nomenclature
Lp coefficient de filtrationν3 coefficient de PoissonWn composante axiale de la vitesse dans le noyauUn composante radiale de la vitesse dans le noyauWp composante axiale de la vitesse dans le plasmaUp composante radiale de la vitesse dans le plasmak consistance du fluideτp contrainte pariétale de l’écoulementqf débit de fuite latéraleQn débit instantané du fluide centralQp débit instantané du fluide périphériqueQ débit globalA déplacement axial de la paroiB déplacement radial de la paroih épaisseur de la paroim indice de comportement du fluideL longueur de la conduite à l’état déforméL0 longueur de la conduite au reposρ masse volumique du fluideρp masse volumique du conduitEθ module d’Young dans la direction azimutaleEz module d’Young dans la direction longitudinaleE0 module d’Young effectif
β nombre de WomersleyRe nombre de Reynoldsε,α petits paramètres géométriquesT période du phénomènePt pression transmuraleP pression à l’intérieur de la conduitePext pression à l’extérieur de la conduiteω pulsation du mouvementR rayon moyen de la conduiteR0 rayon de la conduite au reposα0 rapport entre le rayon du noyau et le rayon de la
conduiteR1 rayon de la phase centraler variable radialez variable axialet variable du tempsW0 vitesse de l’écoulement permanent dans la
direction axialeq vitesse de débitηn viscosité apparente du fluideηp viscosité Newtonienne du fluideC0 vitesse de Moens–KortewegCv vitesse de propagation du cisaillement
tion plus le caractère viscoélastique de la paroi intervient,jusqu’à devenir prépondérant au niveau de la microcircula-tion [6,11].
Outre les propriétés mécaniques d’élasticité ou de visco-élasticité, la paroi artérielle présente des propriétés de filtra-tion. Bien que dans les conditions physiologiques, la quan-tité de liquide qui subit la filtration pariétale soit faible,l’étude des échanges de fluide à travers la paroi artérielleentre le secteur de la suspension sanguine et le secteur inter-stitiel est essentielle à la compréhension par exemple de laphysiopathologie des oedèmes [5]. Au niveau de la grande etde la petite circulation le caractère non permanent de l’écou-lement est pris en compte pour une modélisation plus finede ce dernier [12]. On considère, en général, le cas où lapression se propage le long du vaisseau sanguin sous formed’onde progressive [13]. Ce type de propagation stipule quel’onde ne subit pas de réflexions et se retrouve totalementamortie à l’infinie aval.
La résolution des équations non linéaires régissant l’écou-lement non permanent à deux phases fluide Newtonien–fluide d’Ostwald en conduite déformable nécessite la con-naissance de la contrainte pariétale. Certains auteurs se don-nent, à partir d’un profil initial, la valeur de cette contraintepariétale qu’ils corrigent au fur et à mesure jusqu’à conver-gence à l’aide d’une méthode itérative [1,8]. En plus des pro-blèmes de convergence, cette méthode nécessite un temps decalcul important et atteint rapidement ces limites dans le cas
de l’étude d’un réseau. D’autres auteurs proposent, dans lecas de faible instationnarité et pour des fluides Newtoniens,une approximation de la contrainte en fonction du débit [14](cas d’une conduite rigide) [3,4,15,16] (cas d’une conduitedéformable).
L’originalité de la présente étude provient de la prise enconsidération simultanée du caractère élastique et anisotropede la paroi, de ses déplacements axial et radial, de la porositéde la conduite, du caractère non Newtonien du fluide et ducaractère diphasique de l’écoulement. Nous établissons alorsune relation locale liant la contrainte pariétale au débit pourun écoulement non permanent.
2. Modèle théorique
2.1. Mise en équations de la conduite
La conduite concernée est un tube axisymétrique, de lon-gueur à l’état déforméL et de longueur au reposL0, d’épais-seurh, de masse volumiqueρp, d’axe de révolution�oz, derayon à l’état déforméR(z, t) et de rayon au reposR0. Lesdéplacements axial et radial de la paroi sont respectivementA(z, t) etB(z, t).
En l’absence d’efforts volumiques, la déformation de laconduite est décrite par le système d’équations adimension-
M. Taibi et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 253–260 255
nelles suivant (effet d’inertie négligeable devant l’effet deviscosité) :
αε3X3∂2B
∂t2= X1X2
X4Pt
+ 2εX22
( −α
1− ν23
BEθ − ν3
1− ν23
Ez∂A
∂z
)
εX3∂2A
∂t2 = −X1X2
X4
(∂Wp
∂x
)(x = 1)
+ αX1X2
X4B
(∂Wp
∂x
)(x = 1)
+ 2εX22
1− ν23
(Ez
∂2A
∂z2+ αν3Eθ
∂B
∂z
)
(1)
avecPt = P − Pext, α = h/R0, où P et Pext sont respec-tivement les pressions à l’intérieur et à l’extérieur du tube,Wp la composante axiale de la vitesse du fluide dans leplasma,Eθ et Ez sont respectivement les modules d’Youngdans les directions azimutale et longitudinale, etν3 le coef-ficient de Poisson. Puis,X1 = T/Tc, où Tc = L0/W0 est letemps de convection dans la direction axiale.X2 = T/Te, oùTe = L0/C0 est le temps caractéristique lié à l’élasticité dela paroi.X3 = ρph/(ρR0) est le rapport des masses fluide–paroi. X4 = C0/Cv avecC2
0 = hE0/(2ρR0) le carré de lavitesse de Moens–Korteweg,Cv = ηp/(ρR0) la vitesse depropagation du cisaillement,E0 étant le module d’Young ef-fectif (il peut être estimé à partir d’un modèle entièrementsimplifié conduisant à la formule de Moens–Korteweg).
Les caractéristiques de la paroi telles que la porosité,l’anisotropie et le déplacement axial apparaissent implicite-ment au niveau des termesEz, Eθ et ∂Wp/∂x(x = 1) dansle système d’équations (1).
Dans la plupart des études théoriques de l’écoulementsanguin, le problème des embranchements n’est pas consi-déré. Toutefois, certains auteurs ont proposé de remplacer larépartition discrète des embranchements le long de l’aorte,ou de tout autre vaisseau, par une répartition continue. Cecirevient à considérer, d’une certaine manière, la paroi vascu-laire comme un tube poreux. Notre problème n’est pas d’étu-dier l’écoulement à travers la paroi, mais il nous est seule-ment nécessaire de connaître la quantité de fluide perdue àtravers la paroi le long du tube. Cette quantité est expriméesous forme d’un débit volumique par unité de longueur dutube. Ce débit est considéré comme une fonction de la pres-sion [9], et sera modélisé par la loi de Starling [5] :
qf = Lp(P − Pext) = LpPt
où LpPt représente le transfert pariétal à travers la paroi etLp le coefficient de filtration.
2.2. Équations du mouvement des deux phases fluides
Le mouvement des deux phases fluides est décrit par leséquations locales traduisant la conservation de la quantité demouvement et de continuité. L’écoulement diphasique com-prend un noyau central de viscositéηn et un manchon plas-
matique de viscosité constanteηp. Compte tenu des hypo-thèses simplificatrices, motivées par les ordres de grandeursdes différents paramètres en microcirculation, l’écoulementest unidimensionnel et les termes convectifs d’accélérationsont négligés [5,8,11,12] :ε2 � 1 etReε � 1 avec :
ε = R0
L0, Re = ρ
W0R0
ηpet β = R0
√ρω
2πηp
oùε est un paramètre géométrique assez petit,Re le nombrede Reynolds etβ le nombre de Womersley.
Ces simplifications conduisent à un gradient de pressiontransversal nul en chaque section. Dans ces conditions, leséquations adimensionnelles locales au sein de chaque phasede l’écoulement s’écrivent sous la forme :
• Pour le noyau: 0 ≤ r ≤ R1,
β2∂Wn
∂t= −∂P
∂z+ 1
r
∂
∂r(rPrzn)
∂Wn
∂z+ 1
r
∂
∂r
(rUn) = 0
(2)
avec :
Przn = ηn
(∂Wn
∂r
)∂Wn
∂r
oùWn etUn sont respectivement les composantes axialeet radiale de la vitesse du fluide dans la phase centrale.
• Pour le plasma: R1 ≤ r ≤ R,
β2∂Wp
∂t= −∂P
∂z+ 1
r
∂
∂r(rPrzp)
∂Wp
∂z+ 1
r
∂
∂r
(rUp) = 0
(3)
avec :
Przp = ηp
(∂Wp
∂r
)∂Wp
∂r
où Up est la composante radiale de la vitesse du fluidedans le plasma etR1 le rayon de la phase centrale.
Aux systèmes (2) et (3), on adjoint les conditions auxlimites suivantes :
• conditions d’adhérence:
Wp = β2
Reε
∂A
∂t− LpPt
∂R
∂zpourr = R
Up = β2
Reε
∂B
∂t+ LpPt pourr = R
• conditions d’axisymétrie:
∂Wn
∂r= 0 pourr = 0
Un = 0 pourr = 0
256 M. Taibi et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 253–260
• continuité du champ de vitesses et des contraintestangentielles:
Wn = Wp pourr = R1
Un = Up pourr = R1
ηn∂Wn
∂r= ∂Wp
∂rpourr = R1
2.3. Système des équations intégrales
Le système des équations intégrales est obtenu en multi-pliant les équations du système (2) et (3) par (2r), en inté-grant sur la zone qui correspond à chaque phase fluide, et enintroduisant les définitions :
Qn = 2∫ R1
0rWn dr et Qp = 2
∫ R
R1
rWp dr
qui sont respectivement le débit instantané du fluide centralet du fluide périphérique à travers la section droite considé-rée du tube. Le débit global est alors défini par :
Q = Qn + Qp (4)
L’équation intégrale traduisant la conservation de laquantité de mouvement de l’écoulement s’écrit alors :
β2∂Q
∂t= −R2∂P
∂z+ 2Rτp + 2β4
ReεR
∂R
∂t
∂A
∂t
− 2Lpβ2R
∂R
∂z
∂R
∂tPt (5)
avec :
τp = ∂Wp
∂r
∣∣∣∣r=R
est la contrainte pariétale de l’écoulement.
3. Processus de calcul
Dans une première étape, on établira une relation con-trainte pariétale–débit dans le cas général de deux fluides àloi inversible. Ensuite, le résultat obtenu sera appliqué aumodèle de la microcirculation à savoir : manchon plasma-tique Newtonien et fluide central Ostwaldien.
3.1. Calcul relatif à la phase centrale de l’écoulement
L’expression du gradient de pression déduite de l’équa-tion intégrale (5) conduit à :
−∂P
∂z= β2
R2
∂Q
∂t− 2β2
R
∂R
∂tWp(R) − 2
Rτp (6)
En injectant cette expression dans la première équation dusystème (2) et en l’intégrant de 0 àr, on obtient :
Przn = r
Rτp − β2
2
r
R2
∂Q
∂t+ β4
Reε
r
R
∂R
∂t
∂A
∂t
− Lpβ2 r
R
∂R
∂z
∂R
∂tPt + 1
rβ2
∫ r
0
∂Wn
∂tr dr (7)
Comme la loi de comportement de la phase centrale del’écoulement est inversible, on peut écrire alors :
∂Wn
∂r= fn(Przn)
Pour des écoulements à faible nombre de Womersley(β2 faible) [17], on se limitera au développement limité defn(Przn) à l’ordre 1 enβ2 au voisinage de la contraintepariétale :
fn(Przn) = fn
(r
Rτp
)+ β2
[−1
2
r
R2
∂Q
∂t− Lp
r
R
∂R
∂z
∂R
∂tPt
+ 1
r
∫ r
0r∂Wn
∂tdr
]f ′
n
(r
Rτp
)
avec
Qn =∫ R1
02rWn dr = R2
1Wn(R1) −
∫ R1
0r2fn(Przn)dr
En introduisant les changements de variables suivants :
x = τp
Rr et α0 = R1
R
on obtient :
Qn = α20τ
2pWn(α0τp) + β2
2R2
∂Q
∂t
R4
τ4p
∫ α0τp
0x3f ′
n(x)dx
+ Lp
Rβ2∂R
∂z
∂R
∂tPt
R4
τ4p
∫ α0τp
0x3f ′
n(x)dx
− R3
τ3p
∫ α0τp
0x2fn(x)dx
− β2R4
τ4p
∫ α0τp
0xf ′
n(x)
(∫ x
0y∂Wn
∂tdy
)dx (8)
3.2. Calcul relatif au manchon périphériquede l’écoulement
De la même manière que pour le noyau, l’équation localetraduisant la conservation de la quantité de mouvement danscette zone de l’écoulement, s’écrit :
β2∂Wp
∂t= 1
r
∂
∂r(rPrzp) + β2
R2
∂Q
∂t− 2β2
R
∂R
∂tWp(R) − 2
Rτp
Par intégration entrer et R, et en tenant compte du fait quePrzp|r=R = τp, nous obtenons :
Przp = r
Rτp − β2
2R2 r∂Q
∂t+ β2
2r
∂Q
∂t− β4
Reε
R
r
∂R
∂t
∂A
∂t
+ β4
Reε
r
R
∂R
∂t
∂A
∂t+ Lpβ
2R
r
∂R
∂z
∂R
∂tPt
− Lpβ2 r
R
∂R
∂z
∂R
∂tPt − β2
r
∫ R
r
r∂Wp
∂tdr
La loi de comportement du fluide modélisant le plasmaest aussi inversible. On peut alors écrire :
∂Wp
∂r= fp(Przp)
M. Taibi et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 253–260 257
Pour des écoulements faiblement instationnaires (β2 pe-tit), le développement limité defp(Przp) à l’ordre 1 enβ2,au voisinage de la contrainte pariétale conduit à :
fp(Przp) = β2[
1
2r
∂Q
∂t+ Lp
R
r
∂R
∂z
∂R
∂tPt − r
2R2
∂Q
∂t
− Lpr
R
∂R
∂z
∂R
∂tPt − 1
r
∫ R
r
r∂Wp
∂tdr
]
· f ′p
(r
Rτp
)+ fp
(r
Rτp
)
avec :
Qp = R2Wp(R) − R1Wp(R1) −
∫ R
R1
r2fp(Przp)dr
En posant à nouveau :x = (τp/R)r, il vient :
Qp = R2Wp(R) − α20τ
2pWp(α0τp) − R3
τ3p
∫ τp
α0τp
x2fp(x)dx
− β2[
R2
2τ2p
∂Q
∂t
∫ τp
α0τp
xf ′p(x)dx
− R2
2τ4p
∂Q
∂t
∫ τp
α0τp
x3f ′p(x)dx
+ LpR3
τ2p
∂R
∂z
∂R
∂tPt
∫ τp
α0τp
xf ′p(x)dx
− LpR3
τ4p
∂R
∂z
∂R
∂tPt
∫ τp
α0τp
x3f ′p(x)dx
− R4
τ4p
∫ τp
α0τp
xf ′p(x)
(∫ τp
x
y∂Wp
∂tdy
)dx
](9)
Compte tenu des équations (4), (8) et (9) et de la conditionde continuité à l’interfacer = R1 entre les deux fluides, onobtient :
Q = R2Wp(R) − R3
τ3p
[∫ τp
α0τp
x2fp(x)dx
+∫ α0τp
0x2fn(x)dx
]
+ ∂Q
∂t
R2β2
2τ4p
[∫ τp
α0τp
x3f ′p(x)dx +
∫ α0τp
0x3f ′
n(x)dx
]
+ Lpβ2R3
τ4p
∂R
∂z
∂R
∂tPt
[∫ τp
α0τp
x3f ′p(x)dx
+∫ α0τp
0x3f ′
n(x)dx
]
− β2R4
τ4p
[∫ α0τp
0xf ′
n(x)
(∫ x
0y∂Wn
∂tdy
)dx
−∫ τp
α0τp
xf ′p(x)
(∫ τp
0y∂Wp
∂tdy
)dx
]
− β2
2
R2
τ2p
∂Q
∂t
∫ τp
α0τp
xf ′p(x)dx
− β2LpR3
τ2p
∂R
∂z
∂R
∂tPt
∫ τp
α0τp
xf ′p(x)dx
On applique ce résultat au modèle proposé pour les écou-lements sanguins en microcirculation où les deux phasessont constituées d’un manchon plasmatique à comportementNewtonien tel quefp(x) = x et d’un noyau central à com-portement non Newtonien modélisé par la loi d’Ostwald
fn(x) = x|x|(1−m)/m
k1/m
oùm est l’indice de comportement du fluide.L’injection de ces deux expressions dans l’équation
précédente conduit à :
Q = R2(
β2
Reε
∂A
∂t− Lp
∂R
∂zPt
)− R3τp
4
(1− α4
0
)
− R3
k1/m
m
3m + 1|α0τp|(1−m)/mα4
0τp
+ β2R2
2
∂Q
∂t
[1− α4
0
4− 1− α2
0
2
+(
1
k
)1/m α40
3m + 1|α0τp|(1−m)/m
]
+ Lpβ2R3∂R
∂z
∂R
∂tPt
[1− α4
0
4− 1− α2
0
2
+(
1
k
)1/m α40
3m + 1|α0τp|(1−m)/m
]
− Lpβ2R4
4
∂
∂t
(Pt
∂R
∂z
)[1− α2
0 − 1− α40
2
]
− β2
16R4 ∂
∂t(Rτp)
[1− α2
0
2− 1− α4
0
2
]
− R6
4β2 ∂
∂t
(τp
R
)[1− α2
0
4− 1− α6
0
16
]
+ β2Lp
2
R4
3m + 1
(1
k
)1/m
α40
∂
∂t
(Pt
∂R
∂z
)|α0τp|(1−m)/m
+ m
(m + 1)(3m + 1)
β2R4
2
(1
k
)2/m
· |α0τp|(1−m)/mα(5m+1)/m0
∂
∂t
(τpR|τp|(1−m)/m
)
− m2β2
(m + 1)(3m + 1)(4m + 2)
(1
k
)2/m
|α0τp|(1−m)/m
· R(5m+1)/mα(5m+1)/m0
∂
∂t
((1
R
)1/m
|τp|(1−m)/mτp
)
(10)
Cette dernière équation constitue la relation contraintepariétale–débit recherchée. A partir d’une telle relation,
258 M. Taibi et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 253–260
on retrouve les modèles obtenus par divers auteurs aussibien dans le cas d’un écoulement monophasique (α0 = 1),d’un fluide Newtonien (m = 1 et k = 1), que d’un modèlediphasique bi-Newtonien. A titre d’exemple, on cite les loisproposées par :
• la relation de Poiseuille [18] pour un écoulement per-manent à travers une conduite rigide, est retrouvée enposant :
β2 = 0,∂R2
∂t= 0, Lp = 0, B = 0 et A = 0
soit,
τp = −4Q
R3
• l’expression de Lambossy [14] pour un écoulement nonpermanent en conduite rigide, est retrouvée en posant :
∂R2
∂t= 0, B = 0, Lp = 0 et A = 0
soit,
τp = −4Q
R3 − β2
6R
∂Q
∂t
• le modèle de Zagzoule [16], est également obtenu enposant :
k = η, Lp = 0, B = 0, m = 0 et A = 0
soit,
τp = − Q
R3
4− ((2β2)/3)∂R2/∂t
1− (β2/12)∂R2/∂t
− β2
6R
∂Q
∂t
1
1− (β2/12)∂R2/∂t
• le modèle de Thomas [19], est obtenu en posant :
β2 = 0,∂R2
∂t= 0, m = 1, k = η, Lp = 0
A = 0 et B = 0
soit,
τp = − 4Q
R3(1− α40(1− 1/η))
• l’expression incrémentale, liant la contrainte pariétaleau débit proposée par Kerroum [4], pour l’écoulementnon permanent d’un fluide diphasique bi-Newtonienen conduite déformable, est également retrouvée enposant :
m = 1, k = η, Lp = 0, A = 0 et B = 0
soit,
τp = − Q
R3
4+ 2β2E1∂R2/∂t
E3 + E4(3β2/2)∂R2/∂t
− 4β2
R
∂Q
∂t
E2
E3 + E4(3β2/2)∂R2/∂t
oùE1,E2,E3 etE4 sont fonctions deα0 etη ;
• l’expression proposée par Amar [3] est obtenue enposant :
Lp = 0, A = 0 et B = 0
4. Résultats numériques et discussion
La relation (10) précédemment établie, constitue une re-lation de fermeture pour le système des équations intégralesque l’on peut maintenant résoudre directement suivant unschéma numérique choisi, sans faire appel aux équations lo-cales. A titre d’illustration, nous présenterons les profils depression et de débit pour la sectionZ = L/2 au cours d’unepériodeT .
Les Figs. 1 et 2 permettent de juger l’importance de lavariation de l’indice de comportementm du fluide tout engardant les autres paramètres constants. Nous avons effectuéle calcul pour deux valeurs de l’indice de comportement,soit :m = 0,77 etm = 0,5.
Sur la Fig. 1, on constate que l’indice de comportementn’a aucune influence sur la pression. Ceci est sans doute dûà la donnée de la pression à l’entrée et à la sortie du conduit.On remarque sur la Fig. 2, qu’une diminution de l’indice decomportementm, qui se traduit par une pseudoplasticité plusmarquée, s’accompagne d’une diminution de la viscositéapparente qui entraîne donc une augmentation des valeursde débit.
Nous avons porté sur les Figs. 3 et 4 la distribution desdébits et des pressions à la section médiane pour deux va-leurs de la consistance (k = 0,03 etk = 0,04). On constate
Fig. 1. Évolution temporelle de la pression au cours d’une période enz = L/2 pour deux valeurs de l’indice de comportementm.
Fig. 2. Évolution temporelle du débit au cours d’une période enz = L/2pour deux valeurs de l’indice de comportementm.
M. Taibi et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 253–260 259
Fig. 3. Évolution temporelle de la pression au cours d’une période enz = L/2 pour deux valeurs de la consistancek.
Fig. 4. Évolution temporelle du débit au cours d’une période enz = L/2pour deux valeurs de la consistancek.
Fig. 5. Évolution temporelle de la pression au cours d’une période enz = L/2 pour les cas d’une paroi anisotrope et isotrope.
Fig. 6. Évolution temporelle du débit au cours d’une période enz = L/2pour les cas d’une paroi anisotrope et isotrope.
sur la Fig. 3, que la variation de la consistance n’a prati-quement aucune influence sur la pression. Par contre, sur laFig. 4, une augmentation de la consistancek s’accompagned’une diminution de la valeur moyenne des oscillations. Ceciest dû à l’accroissement du frottement interne entre les di-
Fig. 7. Évolution temporelle de la pression au cours d’une période enz = L/2 pour deux valeurs du coefficient de filtrationLp.
Fig. 8. Évolution temporelle du débit au cours d’une période enz = L/2pour deux valeurs du coefficient de filtrationLp.
verses couches coaxiales du fluide. Nous obtenons des ré-sultats semblables à ceux obtenus par Rakotomolala [20] etGueraoui [9].
L’influence de l’anisotropie de la paroi sur la pression etsur le débit est portée sur les Figs. 5 et 6. L’anisotropie peutêtre prise en compte en considérant un module d’Young pluspetit dans la direction azimutale que dans la direction axiale.Ceci se traduit, pour cette dernière, par une diminution del’élasticité, donc une faible déformabilité et par conséquent,une augmentation des valeurs de la pression et de débit.
Sur les Figs. 7 et 8, on a porté l’évolution des profils dela pression et du débit pour deux valeurs différentes du co-efficient de filtrationLp = 4,2·10−3 et Lp = 4,2·10−4. Onconstate qu’une diminution deLp provoque une augmenta-tion des valeurs de la pression et de débit. Nous obtenons desrésultats similaires à ceux obtenus par différents auteurs ElHammoumi [21], Zeggwagh [5].
5. Conclusion
L’expression proposée pour la contrainte pariétale enfonction du débit, généralise celles obtenues par d’autres au-teurs dans le cas des écoulements non permanents à deuxphases fluide Newtonien–fluide non Newtonien en conduitesrigides ou déformables poreuses ou imperméables. Ellepermet d’apporter des informations essentielles à la com-préhension de plusieurs processus pathologiques. En effet,des contraintes de cisaillement pariétales peu élevées peu-vent conduire à la formation, sur la paroi vasculaire, des
260 M. Taibi et al. / Mécanique & Industries 3 (2002) 253–260
plaques athéromateuses ; alors que des contraintes de ci-saillement pariétales importantes peuvent altérer la paroidu vaisseau. De plus, la prise en compte de la relationcontrainte pariétale–débit permet d’une part, la résolutionsans itérations du système des équations globales régissantl’écoulement sans avoir recours aux équations locales pourlesquelles la connaissance des solutions n’est pas souventessentielle en microcirculation. D’autre part, elle permetl’étude des réseaux microcirculatoires ainsi que l’obtentiondes relations analytiques qui approchent l’impédance com-plexe longitudinale et le déphasage entre le débit et le gra-dient de pression dans certains cas. Pour des écoulementsen conduites rigides ou lorsque le mouvement de la paroiest connu, comme c’est le cas pour les écoulements péristal-tiques que l’on rencontre dans l’industrie pour le transportdes matières corrosives, dans les pompes utilisées en chi-rurgie extracorporelle ou intestinal, la seule connaissance dudébit permet, moyennant la prise en compte de cette relation,la détermination du cisaillement pariétal.
Références
[1] K. Gueraoui, A. El Hammoumi, G. Zeggwagh, Résolution numériqued’écoulements pulsés de fluides inélastiques en conduites viscoélas-tiques poreuses et anisotropes, La Houille Blanche 7 (1998) 13–20.
[2] M. Kerroum, Écoulements pulsés de fluides diphasiques en conduitesdéformables de faibles diamètres. Modélisation de la microcirculationsanguine, Thèse de Doctorat Es-Sciences, Rabat, Maroc, 1994.
[3] H. Amar, M. Kerroum, G. Zeggwagh, Modélisation de la contraintepariétale pour un écoulement pulsé de fluide diphasique en conduitedéformable de faible diamètre, C. R. Acad. Sci. Paris série II 326(1998) 197–204.
[4] M. Kerroum, A. El Hammoumi, G. Zeggwagh, Relation contraintepariétale–débit pour un écoulement non permanent d’un fluide dipha-sique binewtonien dans une conduite déformable, C. R. Acad. Sci. Pa-ris série II 317 (1993) 443–449.
[5] G. Zeggwagh, Modélisations théoriques et expérimentales de l’hémo-dynamique en microcirculation, Thèse de Doctorat Es-Sciences, INP,Toulouse, 1988.
[6] S. Middelman, Transport Phenomena in the Cardiovascular System,Wiley Interscience, New York, 1972.
[7] P. Flaud, Influence des propriétés non linéaires sur la dynamique desécoulements dans un tuyau déformable, Thèse de Doctorat d’État,Paris VII, 1979.
[8] H. Buthaud, Analyse non linéaire et bidimensionnelle de l’écoulementsanguin dans un modèle de l’aorte, C. R. Acad. Sci. Paris série B 282(1978) 115–118.
[9] K. Gueraoui, Écoulements pulsés de fluides inélastiques en conduitesdéformables poreuses à parois viscoélastiques, anisotropes et épaisses,Thèse de Doctorat Es-Sciences, Université Mohammed V, Rabat,1998.
[10] A.R. Rakotomalala, D. Bellet, Écoulements transitoires et périodiquesde fluides non Newtoniens en conduites tronconiques, J. Phys. 1 (1991)87–102.
[11] A.C. Burton, Physiologie et Biophysique de la circulation, Masson,Paris, 1972.
[12] C.G. Caro, T.J. Pedley, R.C. Schraoter, W.A. Seed, The Mechanics ofthe Circulation, Oxford University Press, 1978.
[13] J.R. Womersley, An elastic tube theory of pulse transmission andoscillatory flow in mammalian arteries, Wright Air DevelopmentCenter, Technical Report, WADC TR, 1957, pp. 56–614.
[14] P. Lambossy, Oscillations forcées d’un liquide incompressible etvisqueux dans un tube horizontal : calcul de la force de frottement,Helvetica Physica Acta 25 (1952) 371–386.
[15] B. Hillen, T. Gaasbek, W.H. Hoogstraten, A mathematical model of theflow in the posterior communicating arteries, J. Biomechanics 15 (6)(1982) 441–448.
[16] M. Zegzoule, J. Khalid-Naciri, J. Mauss, Unsteady wall shear stressin cerebral circulation as simulated by mathematical model, J. Biome-chanics 24 (6) (1991) 435–439.
[17] J.R. Womersley, Oscillatory motion of a viscous liquid in a thin walledelastic tube, Philos. Mag. 46 (1955) 199.
[18] J.L.M. Poiseuille, Recherches sur les causes du mouvement du sangdans les vaisseaux capillaires, C. R. Acad. Sci. Paris 7 (1835).
[19] H.W. Thomas, The wall effects in capillary instruments: An improvedanalysis suitable for application to blood and other particulate suspen-sions, J. Biorheology 1 (1961) 41–56.
[20] A.R. Rakotomalala, Écoulements non-Newtoniens en conduites ri-gides et déformables, Thèse de Doctorat d’état, INP, Toulouse, 1989.
[21] A. El Hammoumi, Résolution numérique d’écoulements pulsés defluides Newtoniens en conduites déformables poreuses, Thèse deDoctorat d’État Es-Sciences, Université Mohammed V, Rabat, 1995.
