Results in Mathematics Vol. 27 (1995)

0378-6218/95/040387-08$1.50+0.20/0 (c) 1995 Birkhliuser Verlag, Basel

REMARQUES SUR LA FONCTION DE PLURALITE

ZENON MOSZNER

Dedie a Monsieur Ie Professeur Janos Aczel a I' occasion de son 70eme

anniversaire avec les plus chaudes felicitations

RESUME:

On fait quelques

dans [31 et [41 et

remarques au sujet

Jouissanle un rOle de la fonctlon

dans la theorle

de

du

certains probH~~mes concernants cette fanelion, quelques-uns

On montre l' importance de l' axiome du chalx dans ces probH~:mes.

lCey words: fonctlon de pi urallte (pi ural I ty function),

(Indicator function), equations fonctlonnelles (functional equations).

1991 Mathematics Subject Classification: 39B20

pi ural! te,

chalx, et

formules

fanelion

Introdulte

on resout

dans [41.

d'lndlce

I. J'ai demontre dans [2] que la fonction f:Rn --> Rn, ou Rn=[O,+oo)n \ {a}, + .... + -

remplissante l'equation conditionnelle (f est nommee dans ce cas une fonction

lie avec la fonction de pluralite [3], [4] - ici nous nommons cette fonction:

la fonction de pluralite)

f(x)f(y)*Q ~ f(x+y)=f(x)f(y), (1)

ou Q=(O, ... ,O)eRn et pour a= (a , ... ,a ), b= (b , ... ,b ) 1 n 1 n

on a

a+b=(a +b , ... ,a +b ), 1 1 n n

ab=(a b , ... ,a b ), 1 1 n n

pour laquelle il existe un nombre rationnel r*l tel que

f(rx)=f(x) , (2)

doit avoir les valeurs dans l'ensemble

388 Moszner

O(n)={(x ....• x )eRn:x =0 ou xv=1 pour v=1 •... • n}. 1 n + V

(pour r=2 <;a est demontre dans [4). en posant en meme temps la question

est-ce que cette propriete reste vraie pour r irrationnel ?

Je vais montrer que cette propriete est vraie aussi pour un nombre

algebrique r~1. c. a d. je vais demontrer Ie theoreme suivant.

Theoreme:Si la fonction f:Rn --> Rn satisfait a (1) et il existe un nombre + +

algebrique r~1 tel que (2) a lieu. dans ce cas feRn) c O(n). +

Demonstrat ion. Soit f=(f •.... f) et 2 ={xeRn:f (x)~O}. 1 n V + V

On sai t ( [2) que

2vv{Q} forme un cone sur Ie corps Q des nombres rationnels. La fonction

a( x )=In f (x) pour xe2 et a( 0 )=0 est une fonct ion addi t i ve sur 2 v{ O}. On V V V -

peut donc prolonger ([1). Th.2. p.86) cette fonction a la fonction a(x) sur

lin(Zpv{Q})=:Ep additive. Si nous prenons la base B de

a(rx)=a(w rb + ... +w rb )=w a(rb )+ . . . +w a(rb )= 11k k 11k k

E p

W a(rb )+ ... +w a(rb )=w In f (rb )+ .. . +w In f (rb )= 11k k 1 V 1 k V k

W In f (b )+ ... +w In f (b )=w ' aCb )+ ... +w alb )= 1 V 1 k V k 11k k

donc

a(rx)=a(x) .

tel que BcZp et

(3)

Remarquons qu'il existe pour chaque nombre algebrique r~l un polynome p(x)

des coefficients rationnels tel que p(r)=O et p(l)= -1 . En effet soit p (x) un 1

polynome des coefficients rationnels tel que P1 (r)=O. On peut supposer que

puisque dans Ie cas contraire il suffit prendre pour p (x) 1

Ie

quotient P1(X)/(X_ll k • ou k est la multiplicite de la racine 1 pour p (x). 11 1

suffit poser p(x)= - P1(X)/p (1) pour avoir Ie polynome exige. On peut donner 1

Ie polynome p(x) la forme suivante

p(x)=(x-1)[a xm+ .. . +a x+a )-1 m 1 0

avec aveQ pour v=O.l •.. .. m. puisque Ie polynome p(x)+l a Ie nombre 1 comme la

Moszner

racine. Puisque p(r)=O nous avons

Puisque f v

«rm+ ... +a = l/r-l. m 0

remplit (2), si xeZv '

donc rx=w1rb 1 + ... +wkrbk

alors rxeZ. v

et puisque rbeZv

Si xeEv '

(beZ v

) ,

389

(4)

alors

alors

rxeEv et de la wrqx e Ev pour chaque x e Ev ' weQ et qeNv{O}.Il en resulte que

roc r m+ ... +oc r+oc JxeE

pour chaque xeEv ' d'ou par (4)

pour chaque xeEv '

m 1 0 V

(lIr-llx e E v

De plus (3) nous donne a( (r-l )x)=O pour chaque xeEv ' puisque a(x) est

additive. En posant x=(l/r-l)x nous voyons que a(x)=O pour chaque xeEv et de

la In fv(x)=a(x)=O pour xeZv ' d'ou f v (x)=1 sur Zv' c.q.f.d.

Remarques:

11 Si

on peut prolonger la fonction In fv(x) definie sur

la fonction av(x) additive et remplissante (3) sur (5)

dans ce cas on a av «(r-l)x)=O pour xeRn et de la a (x)=O sur Rn, donc f (x)=1 v v

sur Zv' sans la supposition que rest algebrique. La condition (5) est

naturallement remplie si E =Rn. v

21 II resulte de la demonstration du theoreme que (r-l)x, sans la supposition

que rest algebrique, est un monomorphisme Ev dans Ev ' donc si

la dimension de E est finie v

(6)

ce monomorphisme doit etre sur Ev ' c. a d. x/r-l eEv si xeEv ' D'apres Ie fin

de la demonstration du theoreme nous constatons que f v (x)=1 sur Zv'

31 II resulte des remarques precedentes que pour f telle que

\lv= 1, ... ,n ( (5) ou (6)),

Ie theoreme est vrai pour chaque r (aussi pour transcendant!).

Le probleme est-ce que Ie theoreme est vrai pour r transcendant reste

390 Moszner

encore ouvert.

41 Si la fonction f est continue, dans ce cas d'apres Ie th.3 dans [2] on a

z =~ ou Z =Rn pour chaque v=l, ... ,n, d'ou nous avons (5) si Z =Rn (E =Rn) ou v v + v + v

(6) si Z ='" (E ={O}). Il en resulte que pour f continue Ie theoreme reste v 't' v

valable pour r~l arbitraire (aussi pour r transcendant).

II. L'implication (1) 9 (6) n'est pas exacte dans Ie theoreme 6 dans [4],

puisque la fonction d'indice (indicator plurality function dans [4]) ne

doit pas etre monotone au sens defini dans [4] p.170. Cette definition est

suivante:

-la fonction f:Rn --> Rn est dite monotone si

et

(b)

+ +

si f I (c)=O pour

alors fi(d)=O pour i=i 1,··· ,i k .

d <c I

La fonction f:Rn-->O(n) est une fonction d'indice si +

fl(c t ,··· ,cn )=1 # Cl~Cj pour j=1, ... ,no

en outre,

(7)

Puisque pour Ia fonction d'indice f pour n=2 nous avons f(1,1)=(1,1) et

f(2,3)=(0,1) nous voyons que cette fonction n'est pas monotone, donc (1)

n'entraine pas (6) dans Ie theoreme 6 dans [4].

Analogiquement la fonction

ftc ,c )= 2min(cl,c2) iCc ,c ), t 2 1 2

(8)

ou iCc t 'c2) est Ia fonction d'indice, definie dans Ia remarque 1 dans [4]

p.169, n'est pas monotone, au contraire a la remarque 3 dans [4] p.173.

Mais si nous affaiblissons la definition de la monotonicite en ce sens que

nous prenons dans la defini t ion pI us haut k=l, dans ce cas la fonct ion

d'indice sera deja monotone en ce sens nouvel.

Moszner 391

Puisque dans la demonstration de l'implication (6) ~ (1) dans la

demonstration du theoreme 6 dans [4] nous tirons profit seulement de la

monotonicite au sens nouvel (k=l). Ie theoreme 6 dans [4] sera vrai si nous

rempla90ns dans (6) de ce theoreme la monotonocite definie dans [4] par la

monotonicite au sens nouvel.

Puisque la fonction (8) est monotone au sens nouvel la remarque 3 dans [4]

est vraie pour Ie theoreme 6 modifie comme plus haut.

Remarquons encore qu'il ne faut pas donner toutes les deux conditions (a)

et (b) dans la definition de la monotonicite au sens nouvel. i I suffi t

prendre la condition (a) ou la condition (b) puisque (a) ~ (b) dans ce cas

(pour k=l la condition (b) est la contraposition de la condition (a)). On peut

donc definir la monotonicite de f:Rn --> Rn de la maniere suivante:

- si f (c)*O. d >c 1 1 1

1 1 1

+ +

et dl~cl en outre. alors fl (d)*O 1

ou de la maniere suivante equivalente a la precedente

- si fl (c)=O. d <c 1 1

1 1 1

et dl~cl en outre. alors fl (d)=O. 1

III. M. F. S. Roberts a pose en fin de la note [4] Ie probleme est-ce que les

conditions

fl (X1( 1)" ..• X1( n) )=f1( I) (Xl'" .. Xn) (9)

OU 1( est une permutation arbitraire de l'ensemble {1 •...• n} (c-Neutrality

dans [4]).

f(rel)=e l pour chaque r reel positif et i=1 •...• n. (10)

OU e l=(0 •...• 0.1.0 ....• 0) avec 1 a la position "i" (c-Homogeneous faithfulness

dans [4]) et la condition (ll (c-Consistency dans [4]) entrainent que la

fonction fest la fonction d' indice (sans la supposition que f(Rn)c O(n)) ? +

La reponse a ce probleme est negative. Et voila un exemple pour n=2:

f(x.y)=(f (x.y).f (x.y)):R2 --> R2, 1 2 + +

392 Moszner

f 1 (x,y)= { ex~ y pour x~y, pour x<y,

f (x,y)= { 0 pour x>y, 2 exp x pour xsy.

La condition (9) a pour n=2 la forme

f (x,y)=f (y,X) 1 2

et on peut facilement verifier qu'elle a lieu pour notre fonction f.

Nous avons

f(r(l,O))=f«r,O))=(l,O)

et

f ( r( 0, 1) ) =f ( (0, r) ) = ( 0, 1) ,

donc (10) a lieu.

La fonction f remplit aussi (1). Cela resulte du theoreme 1 dans (2) ou on

peut Ga verifier directement.

La fonction f ne satisfait pas a la condition (7) puisque f(2,2)=

(exp 2,exp 2), donc elle n'est pas la fonction d'indice.

En fin de (4) est pose aussi la question est-ce que les conditions (9), (1)

et

(11) f(rei)=e i pour r positif irrationel et i=l, ... ,n

(c-Homogeneous irrat ional fai thfulnees dans (4)) entarainent que fest une

fonction d'indice7 La reponse est ici aussi naturellement negative puisque la

condition (10) implique (11).

IV. M. F.S. Roberts a pose dans (4) aussi la question est-ce que la fonction

f:Rn --> O(n) remplissante (1), (9) et (10) pour r=l, doit satisfaire a la +

condition (9)7 M.S.Z. Rosenbaum dans (5) et independamment moi dans (2) (pour

n=2) nous avons donnes la reponse negative a cette question, en tirant profit

de I' existence de la base de Hamel (donc en vertu de I' axiome du choix du

Moszner 393

Zermelo). Le probleme se pose si la reponse a cette question sera la meme sans

I' acceptat ion de I' axiome du choix ? Nous allons montrer que pour n=2 la

reponse a cette question est negative, c. a d. que la reponse a la question du

Roberts est positive, en demontrant que l'existence de la fonction

f=(f f ):R2 --> 0(2) remplissante (1), (9) et (10) pour r=l et ne l' 2 +

satisfaisante pas a (9) entraine l'existence de l'ensemble non-mesurable au

sens de Lebesgue. En effet nous savons d'apres [2] que les ensembles

Q des

nombres rationnels. Supposons que E1 et E' 1

soient mesurable au sens de

Lebesgue. Puisque E1u E~=R+, au mains un de ces ensembles passede la mesure

positive et d' apres Ie theoreme de Steinhaus [6] cet ensemble de mesure

positive doit avoir l'interieure non-vide comme un cone sur Q, d'ou il doit

etre egal a R+. Si E' =R, dans ce cas E =~, ce qui est impossible d' apres 1 + 1

f 1(1,0)=1. Si E1=R+ nous avons demontre dans [2] p.185-186 que la fonction f

doit remplir (9), ce que finit Ie raisonnement.

v. J'ai demontre dans [2) th.4 que chaque fonction

f: {(x , ... ,x )eRn:x + ... x ~c} --> R+n, 1 n + 1 n

pour creel positif, qui remplit la condition

x + ... +x +y + ... +y ~c et f(x)f(y)*O ~ f(x+y)=f(x)f(y) 1 n 1 n -

(12)

peut etre prolongee uniquement a une solution de (1), en faisant comme une

conclusion la remarque suivante: ce resultat montre que la generalisation des

considerations au sujet du choix du cas des nombres entiers au cas des nombres

reels n' est pas bonne puisque Ie result at des choix pour une population

minuscule determinerait Ie resultat des choix pour toute la population.

Remarquons que cette anomalie n'a pas lieu si nous remplaGons les nombres

reels par les nombres entiers Z, puisque dans ce cas Ie theoreme analogue au

theoreme 4 dans [2] cite plus haut n' est pas vrai. En effet considerons la

394 Moszner

fonction f definie de la maniere suivante:

f(1,0)=f(2,0)=f(1,1)=(1,0) et f(0,1)=f(0,2)=(0,1).

Cette fonction remplit (12) pour c=2 et n=2 et elle est prolongeable sur Z2 au +

moins a deux fa90ns, puisque on peut verifier comme dans la demonstration du

th.1 dans [2] que les fonctions, definies pour (m.k)eZ2 comme il suit +

F (m k)= { (1,0) pour m~k, l' (0,1) pour m<k

et

F (m k)= { (1,0) pour m*O, 2' (0,1) pour m=O

forment les deux prolongements differents de la fonction f.

VI. Remarquons enfin qu'une fonction f=(f , ... ,f ):Rn --> Rn remplit (1) si et 1 n + +

seulement si

1 f( x)f( y) 1 1 f( x+y) -f (x)f (y) 1 =0,

ou 1.1 designe la norme simple dans ou si et seulement si ses

fonctions-coordonnees satisfont a l'equation n n

[ L fv(x)fv(Y)][ L Ifv(x+y)-fv(x)fv(Y) 1]=0. V;l V;l

TRAVAUX CITt:s:

[ 1] H. lCuczma, An introduction to the theory of functional equations and

inequali ties. Cauchy's equation and Jensen's inequality, PWN Uniwersytet

Slaski, Wal'szawa - K.rakow -Katowice, 1985.

[2] z. Moszner, Sur les fonctions de pluralile,

(1994), 175-190.

[3] F.S. Roberts, Characterizations of the pi urali ty

21(1991), 101-127.

[4] F.S. Roberts, On the indicator

Soc. Sci. 22(1991), 163-174.

functi on of the

Aequatlones Hath. 47.2-3

function, Hath. Soc. ScI.

pi urali ty function, Hath.

[5] S.Z. Rosenbaum, P290S2, Aequationes Hath.46(1993), 317-319.

[6] H. Steinhaus, Sur les distances des

positive, Fund. Hath. 1(1920), 99-104.

Eingegangen am 6. Juli 1994

pOints des ensembles de mesure

Ecole Normale Superieure WSP

Institut de Mathematique

PL-30-084 Krakow, Pologne