Rep + Saint AUTOUR DE L’AIRE Chamond 2016 · Dès le CM1, on compare et on ... souvent sans plus de sens. A portée de maths. Remarque : ... les compétences travaillées ( voir

Rep + Saint

Chamond

2016AUTOUR DE L’AIRE

28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon

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http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

Résoudre à votre niveau, individuellement ou par deux, les cinq activités suivantes :

Quel est le plus lourd ?

Forme

Modifier la figure

Le double

L’aire du triangle


DES ACTIVITÉS

Ces formes sont celles de

gâteaux de même

épaisseur, faits dans la

même pâte.

Si on les pesait, lequel

serait le plus lourd ?

Lequel serait le moins

lourd ?


QUEL EST LE PLUS LOURD ?

Range les formes A, B ,C ,D

de la plus petite à la plus

grande,

suivant leur aire…

puis suivant leur périmètre.


FORMES

Modifier la figure A pour obtenir une figure ayant même

périmètre mais un carreau de plus


MODIFIER LA FIGURE

Modifier la figure A pour obtenir une figure ayant même

périmètre mais un carreau de moins


MODIFIER LA FIGURE

Modifier la figure A pour obtenir une figure ayant même aire

que A mais un périmètre plus grand


MODIFIER LA FIGURE

Modifier la figure A pour obtenir une figure ayant même aire

que A mais un périmètre plus petit


MODIFIER LA FIGURE

Dessine un

rectangle dont le

périmètre est le

double de celui de

ce rectangle


LE DOUBLE

Dessine un carré dont l ’aire est le double de celle de ce carré

Quelle est l’aire de ce triangle ?


L’AIRE DU TRIANGLE


LES DIFFICULTÉS


DIFFICULTÉS D’ ÉLÈVES DE PRIMAIRE

Évaluation entrée

en 6eme 2001

Réponse correcte

16%

Rectangle d’aire 12 carreaux

(confusion aire et périmètre)

35,7%

Autres réponses

44,6%

Absence de réponse

3,7%


DIFFICULTÉS DE COLLÈGIENS

A B

C

D


DIFFICULTÉS D’ÉTUDIANTS


QUELLE PROGRESSSION

EN CYCLE 3 ?

Les notions de grandeur et de mesure de la grandeur se

construisent dialectiquement, en résolvant des problèmes

faisant appel à dif férents types de taches (comparer, estimer,

mesurer).

Aire

Comparer, classer et ranger des surfaces selon leurs aires sans avoir

recours à la mesure.

Différencier aire et périmètre d’une surface.

Déterminer la mesure de l’aire d’une surface à partir d’un pavage

simple ou en utilisant une formule (carré, rectangle, triangle, disque)

Estimer la mesure d’une aire par différentes procédures.

Unités usuelles d’aire : multiples et sous-multiples du m2 et leurs

relations, are et hectare


LES PROGRAMMES 2016

Les aires : Tout au long du cycle, il convient de choisir la procédure adaptée pour comparer les aires de deux surfaces , pour déterminer la mesure d’une aire avec ou sans recours aux formules.

Dès le CM1, on compare et on classe des surfaces selon leur aire. La mesure ou l’estimation de l’aire d’une surface à l ’aide d’une surface de référence ou d’un réseau quadrillé est ensuite abordée.

Une fois ces notions stabilisées, on découvre et on utilise les unités d’aire usuelle et leurs relations.

On peut alors construire et utiliser les formules pour calculer l ’aire d’un carré, d’un rectangle, puis en 6ème, calculer l’aire d’un triangle rectangle, d’un triangle quelconque dont une hauteur est connue, d’un disque.


REPÈRES DE PROGRESSIVITÉ 2016

1) Avec surfaces dessinées sur papier blanc

que l’on peut découper.


PROGRESSION POUR LES AIRES

• Comparaison

Il s’agit de comparer des

surfaces planes selon leur

« étendue » pour comprendre

la relation «avoir même

aire».

1) Avec surfaces dessinées sur papier blanc

que l’on peut découper.



• Construction de

surfaces de même

aire qu’une surface

de référence et de

formes différentes,

des surfaces d’aire

double ou triple.

2) Avec des surfaces

dessinées sur papier

quadrillé ou pointé .

Comparaison

On accède alors à

la mesure de l’aire,

par comptage

d’unités d’aire

Distinction aire /

périmètre



A

B

C

D

3 ) Des unités usuelles

Des « formes différentes » pour le centimètre

carré



4) Calcul d’aires

Il n’existe pas d’instrument usuel de mesure directe des aires. La mesure d’aires résulte très souvent d’un calcul, réalisé à partir d’une formule.

La connaissance de l’aire du rectangle est importante car elle permet d’en déduire l’aire de nombreuses autres surfaces : triangle rectangle, polygone



La partie hachurée est -elle la moitié du rectangle ?


L’AIRE DU TRIANGLE


L’AIRE DU DISQUE

R

π R

π R

R

Le tableau dit « de conversion des unités » ne

doit pas être proposé avant qu’un certain

nombre d’exercices de transformation de

mesures ait permis aux élèves de prendre

conscience des régularités, dues à la

compatibilité du système métrique avec

l’écriture décimale numérique.



En imaginant quelques activités phares, donnez les grandes

l ignes de ce que pourrait être une progression au cycle 3 :

Sur les périmètres

Sur les angles

Sur les volumes

Sur les masses

Sur les durées


A VOUS


A PROPOS DES

CONVERSIONS

Convertir

1.combien y a-t-il de mètres dans 27 km 3 hm ?

2.combien y a-t-il de g dans 0,5 hg ?

3.combien y a-t-il de cL dans 5/4 de L ?

4.combien y a-t-il de cm² dans 3 m² ?

5.combien y a-t-il de minutes dans 2,40 h ?

6.combien y a-t-il de mètres dans 27,3 km ?


DES CONVERSIONS

UNE PROBLÈME DE 4ÈME

PROPORTIONNELLE

B Anselmo ESPE de Lyon

1 hg 100g

0,5 hg ?

1 L 100 CL

5

4L ?

1 h 60 min

2,4 h ?

28/04/2016

DES PROCÉDURES COMPLEXES

B Anselmo ESPE de Lyon

km hm dam m dm cm mm

2 7 3 0 0

27,3 km = 2 7km + 3 dixièmes de km =

27 km + 3 hm = 27 km 300 m

millier centaine dizaine unité dixième centième millième

28/04/2016

MÉTHODES DE CONVERSIONS

Les manuels de cycle 3 montrent plusieurs méthodes :

Groupement et échange (J’apprends les maths

CM1, capmaths)

Multiplication/division par 10, 100 ou 1000..

(J’apprends les maths CM2)

Tableau de conversion (presque tous les (autres)

manuels)


GROUPEMENTS ET ÉCHANGE

Une unité est présentée comme un groupement d’unités plus petites (10, 100, 1 000)

L’observation des instruments gradués rend les équivalences visibles : il suffit de compter combien de mm dans 1 cm, de cm dans 1 m, de mm dans 1 m, de m dans 1 dam.

Les équivalences usuelles doivent être mémorisées.

La conversion est un échange.

Comme 1 cm = 10 mm ;

25 cm = 25 paquets de 10 mm = 250mm

4 cm 5 mm = 4 paquets de 10 mm et 5 mm = 45 mm ;

30 mm = 3 paquets de 10 mm = 3 fois 1 cm = 3 cm.

1 mm apparaît comme 1 cm partagé en dix parties égales, donc 1 mm = 1/10 cm (un dixième de cm)

35 mm = 3 fois 1cm + 5 dixièmes de cm = 3,5 cm


MULTIPLICATION/DIVISION PAR 10, 100 OU

1000…

Il faut avoir intégrer la valeur d’une unité en fonction d’une autre : 1 mm est 10 fois plus petit qu’un 1 cm ; 1 cm est 10 fois plus grand qu’1 mm.

Si une longueur est donnée en cm et que je veux l ’exprimer en mm, j ’en aurai plus, et même 10 fois plus, je multiplie par 10.

Donc 25 cm = 250 mm.

Si une longueur est donnée en mm et que je veux l ’exprimer en cm, j ’en aurai moins et même 10 fois moins, je divise par 10.

Si une longueur est donnée en m et que je veux l ’exprimer en km, j ’en aurai moins et même 1000 fois moins, je divise par 1000.


TABLEAU DE CONVERSION

Le tableau sert souvent à présenter les unités. Ensuite son usage est dicté comme un moyen technique possible ou obligatoire, souvent sans plus de sens.

A portée de maths.

Remarque : une utilisation exclusive de cette méthode est aberrante : la conversion 4 km = ….m demandée à l ’évaluation CM2 doit être faite sans tableau de conversion !!!


TABLEAU DE CONVERSION


Consigne

Construire une situation-problème dans le domaine que vous

expérimenterez en classe ou en activité interclasse et qui

s'appuie ou non sur une partie de ce matériel .

Préciser : le problème posé, les variables, les procédures

possibles,

le niveau de classe

les compétences travaillées ( voir programme de maths)

la situation : les consignes, la présentation du problème,

l'évolution de la situation, les variantes suivant le moment du cycle.

Recherche par groupe multiniveau, sur ordi . 1h


DES ACTIVITÉS AUTOUR D’UN MATÉRIEL

D’après Problème ouvert et Situation -Problème IREM de

Lyon, Gilbert Arsac, Gilles Germain, Michel Mante

SITUATION-PROBLÈME

L’élève doit pouvoir s’engager dans la résolution du problème ;

l’élève peut faire des essais, des erreurs qui sont considérées comme des étapes de l’apprentissage,

les échanges entre élèves sont favorisés .

Les connaissances de l’élève sont

insuffisantes pour qu ’il résolve

immédiatement le problème ;

La connaissance que l’on désire

voir acquérir par l’élève doit être

l’outil le plus adapté pour la

résolution du problème au niveau

de l’élève ;

La situation doit permettre à l’élève

de décider si une solution trouvée

est convenable ou pas ;

La comparaison entre sa production

et le but à atteindre est un moment

essentiel

A propos de la manipulation…

(extrait programme 2002)

Il faut se convaincre que ce n’est pas la

manipulation d’un matériel qui constitue

l’activité mathématique….

…mais les questions qu’elle suggère.

Il convient de distinguer les tâches de

constat ou d’observation qui invitent l’élève

à lire une réponse sur le matériel…

…des tâches d’anticipation qui lui

demandent d’élaborer, de construire par

lui-même une réponse dont il pourra

vérifier la validité.

avril 16 48

ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situation

Matériel

Favorise

l’appropriation de

la situation et du

problème

Anticipation

Incite à l'expérience

mentale

Permet la validation

de la réponse ou d'une

procédure

Oblige à élaborer des

procédures

avril 16 49

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