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251
REPONSE
EN
PERCUSSIONNELLE SPATIOTEMPORELLE DIFFRACTION POLYCHROMATIQUE
p a r
Georges B O N N E T
Profcsseur /t la Facultd des Sciences *
Rt~SUMs - - Les relations de transfert ~ travers un sgst~me optique lindaire et achromatique, dtudides en lumiOre polychromatique, entrenl dans le cadre d'un opdraleur lin~aire de l'espace-temps, lequel se comporte comme un fiItre lindaire sur ta dimension-temps. Cet opdrateur est entiOrement ddfini par sa rdponse percussionnelle, grandeur spatio-temporelle rdsultant de la diffraction sur la pupille de sortie du syst~me. On dtabIit I' expression de la rdponse percussionnelle darts le cadre le plus gdndral d'une pupille quelconque, rayonnant en lumi~re polarisde ; elle apparaft comme la ddrivde temporelle d'une fonction lindaire du champ pupillaire, la fonction de profil. Rdsultant de l'intersection de la surface d'onde pupillaire et d'une sphere centrde sur le point d'obser- vaUon, dont le rayon cro~t lindairement avec le temps, la fonction de profil fail donc intervenir conjointement la rdparlition spatiale du champ pupillaire el le profil gdomdtrique de la surface d'onde. AprOs avoir dtabli une formulation scalaire de la rdponse percussionnelle pour des syst~mes gt ouverture moddrde, on s'attache ~ la ddtermination analytique pratique de la fonction de profil, pour une diffraction d distance finie ou infinie. Cette ddtermination peut dtre grandement simplifide par une mdthode de perturbation utilisant la notion d'dcart normal, propre d l'optique gdomdtrique. Enfin, lu du cas particulier des pupilles cylindriques permet de faire ressortir les contributions respectives d la rdponse percussionnelle : du c h a m p , qui inlervient par la ddr ivde spatiale de sa distribution sur la pupille de sorlie (profit de champ), de la su r f ace d ' o n d e , qui inter- vienl par la c o u r b u r e de son profil gdomdtrique. Une m~thode de mesure de la rdponse percussionnetle est ddcrite ; elle ddrive des procddds en usage pour l'analyse des syst~mes et utilise un interfdrom~tre-corrdlateur,
allaqud en lumiOre blanche corrigde par un filtre spectral upproprid.
PLAN. - - �9 1 : G~n~ral i t~s . �9 2 : R~ponse percussionnelle spatiotemporelle 2.1. Source polgchromatique ; 2.2. Surface d'onde ; 2.3. Opdrateur lindaire spatiotemporel objel-image ; 2.4. Champ dlectrique pupillaire el diffraction; 2.5. Rdponse percussionnelle; 2.6. Interprdtation phgsique; fonction de profit; 2.7. Gain complexe. �9 3 : Formulation scalaire de la r~ponse percussionnelle 3.1. Hgpoth~se C ; 3.2. Fonction de p r o f i l e t r@onse percussionnelle. �9 4 : D~termination analytique de la ~onction de prolil 4.1. Diffraction t'l distance f inie; 4.2. Diffraclion h l ' in f in i ; 4.3. Formulation approchde de la diffraction d l ' in f in i ; 4.4. Pupilles cglindriques. �9 5 : Ddterminafion expdrimentale de la rdponsepercussionnelle 5.1. Analyse des sysl~mes; 5.2. Interf~rombtre eorrdlaleur; 5.3. Rdponse d l ' infini. � 9 (7 rdf.).
S Y M B O L E S E T N O T A T I O N S I X] m o d u l e de X, sgn X s igne de X ( = • 1),
[a, b[ i n t e r v a l l e , f e rmd en a, o u v e r t en b,
* X*( t ) c o n j u g u d e c o m p l e x e de X( t ) , E{Z} e s p d r a n c e m a t h d m a t i q u e de la g r a n -
# X # ( t ) = X * ( - - t) f o n e t i o n a d j o i n t e , d e u r a lda to i r e Z,
E a p p a r t i e n t 'h, c cdldr i td de la l u m i ~ r e d a n s le v ide ,
i m p l i q u e , Cj c o u r b e de n i v e a u su r la su r f ace
V que l que soi t , d ' o n d e ,
t r a n s f o r m d e de F o u r i e r , d d i s t a n c e e n t r e ~) e t M,
T F t r a n s f o r m d e de F o u r i e r , ~ d o m a i n e affeetd h u n e v a r i a b l e ,
< U- V > p r o d u i t s ca l a i r e des v e c t e u r s U e t V, d P d l d m e n t d i f fd ren t ie l de su r f ace
( X yr Y)(t) p r o d u i t de c o n v o l u t i o n des d i s t r i - d ' o n d e ,
b u t t o n s X e t Y, p o r t a n t su r la D(P , M) d i s t a n c e algdbrique e n t r e les p o i n t s
v a r i a b l e l, P e t M,
(AB) c h e m i n o p t i q u e de A h B, ~P0 ou ~ ( P - - P0) d i s t r i b u t i o n de D i r a c de s u p p o r t P 0 ,
* GROUPE D'I~TUDE SIGNAUX ET SYSTEMES (GESSY), Chfiteau Saint-Michel, F 83130 La Garde. (*) Certains signcs et symboles de cet article ne sont pas conformes aux recommandations des normes fran~aises actuel-
l~ment en vigueur, mats ils sont retenus dans lc projct de norme ISO/R 31 : (, Signes et symboles mathdmatiques 5 employer dans ies sciences i)i~ysiqnes ct la technique ,.
1/1_9 A. Tg:LEC., 30, n ~ 7-8, 1975
252 G. B O N N E T . - - B I ~ P O N S E P E B C U S S I O N N E L L E E N D I F F R A C T I O N P O L Y C H R O M A T I Q U E
A(P) E(P) F
G(M, t) g(M, ~)
H(M, t) h(M, v)
Im
L
M
M n
N
"9
P
lit Re
St
8 Z
Zo t
0
F(t) @ f(~)
V
~cart normal h la surface d 'onde ,
champ ~lectrique pupi l la i re ,
frdquence spat ia le ,
champ diffractS,
composan te spectrale du champ diffractd,
surface finie d ' in te rsec t ion sur la surface d 'onde ,
r~ponse percussionnelle ,
gain complexe,
pa t t i e imaginai re de,
hau t eu r d 'une pupil le cyl indr ique,
longueur d 'onde en milieu image,
cons tan te mdtrologique,
po in t d 'observa t ion ,
indice de rdfract ion du milieu image,
normale uni ta i re h la surface d 'onde (ou h la surface de r~fdrence),
frdquence temporel le ,
po in t couran t sur la surface d 'onde ,
p lan mobile d ' in tersec t ion ,
pa r t i e rdelle de,
sphere var iab le d ' in te rsec t ion ,
syst~me opt ique,
surface d 'onde pupi l la i re ,
surface pupi l la i re de rdfdrence,
temps,
angle orient~ entre V e t /V,
t emps de t r ans i t in tdr ieur source-
pupil le ,
modu la t i on tempore l le du champ ~lectrique,
d i rect ion uni ta i re de diffraction,
po in t de r6f6rence commun h la pupil le et h la surface d 'onde .
I . G]~NEBALIT~.S
On consid~re un sgst~me oplique 8 (form6 de dioptres , de miroirs , d '6crans absorban t s ou aber- ran ts , etc.), ainsi qu 'un objet lumineux, sur lequel on choisit un point de rdfdrence S (Fig. 1). Cet obje t
Fro. L - - Dispositif g~n~ral.
pour ra const i tuer , indiffdremment, une source pri- maire ou secondaire.
On rep~rera la pupille de sortie I] du syst+me 8 par ses points P, dont l 'un, ~ , servira de r~fdrence.
On cherche h expr imer le champ ~lectrique en un poin t M de l 'espaee image h pa r t i r de re la t ions de t r ans fe r t h t ravers le syst~me 8, et ceei en lumi~re po lyehromat ique . Cette 6tude sera ainsi condui te dans l ' e spr i t du th~or~me de C. Frcehly, A. Lacour t , J. Ch. Vienot [1] lesquels ont i n t rodu i t les premiers la not ion de fonction de t rans fe r t temporel le d 'une pupil le op t ique dans le cas cy l indr ique et h I ' infini.
Les hypotheses adoptdes seront les su ivantes :
HYPOTHI~SE A: l indar i l d - t o u s l e s mi l ieux opt iques cons t i tuan t l ' espace-obje t , le syst~me 8 et l ' espace- image t r ava i l l en t darts des condi t ions de s t r ic te lindaritd.
HYPOTItI~SE B : non-dispersion - le syst~me 8 est par - f a i t ement a e h r o m a t i s ~ dans t ou t e l ' d tendue du spectre utile. En outre, le mil ieu image est non dispersif, homog~ne et isotrope, d ' indice de r~fract ion n.
2. B ~ P O N S E P E I ~ C U S S I O N N E L L E S P A T I O T E M P O R E L L E
2.1. Sources polychromatiques.
2 .1 .1 . Fonct ion de G r e e n .
Les ph~nom~nes de diffract ion sont fondamen ta - l ement lin~aires, de m~me que les mi l ieux en cause soumis h l 'hypoth~se A.
De ce fait , le t r ans fe r t h t ravers le syst~me opt ique 8 du vec teur champ ~lectrique F(S, t) rayonnd par la surface obje t [point S, da te t ] v e r s le champ G(M, t ' ) per~u dans l 'espace d 'obse rva t ion [point M, da te 1'] est repr~sentd par un opdrateur lindaire spatiotemporel A.
En tou te g6ndralit~, ce t r ans fe r t s ' expr ime par :
(0) G ( M , t ' ) = A ( F ( S , t ) } = ~ K ( M , S ; t ' , I ) , F ( S , t ) >~,
Une telle dcriture expr ime :
- - d 'une pa r t un produit matriciel entre une mat r i ce carrde K et le vec tcur c on t r a va r i a n t Iv;
- - d ' au t r e pa r t une forme lindaire (dventuel lement une simple intdgrale) p o r t a n t sur les dimensions S et t de l 'Espace-Temps . La mat r i ce K (M, $; t', l) joue donc le rble de fonction de Green de l ' opdra teur l indaire A.
Cette fonction (gdndralisde) de Green est ici spat io- temporel le et elle t r adu i t , pa r ddfinit ion, le champ dlectr ique cr~d au po in t M e t h la da te t ' , h t ravers le syst~me 8, par une source uni ta i re occupan t un point de l'espace-temps et r a y o n n a n t aiusi un champ ~lectrique de t ype
F0(S, t) : ~S" ~S" U,
off ~ S = ~ ( Q - S ) est une d i s t r ibu t ion de Dirac de
A. T~LEC. , 30, n ~ 7-8 , 1 9 7 5 2/19
G. BONNET. Rt~PONSE P E R C U S S I O N N E L L E EN D I F F R A C T I O N P O L Y C H R O M A T I Q U E 2 5 3
support S e t U un vecteur unitaire el fixe, d~crivant
la direction (stable dans le temps) du champ ~lec-
t r ique rayonnd. On a ainsi :
A{~S- ~t" U} : K(M, S; t', t) U.
2.1.2. Adaptation au transfert optique.
L' in te rven t ion de la fonction de Green permet de circonscrire l 'dtude au t ransfert lumineux entre un point objet S et le point d 'observat ion M, pris comme r6f6rence image ]sans que ce dernier terme n ' impl ique n6cessairement un t ransfer t limit6 h la seule forma-
t ion d 'une image]. Si l 'on vent faire in tervenir une lumi~re poly-
chromatique, on fera done appel h des sources ponc- tuelles r ayonnan t un champ 6lectrique de t y p e :
(1) F(S, t) 8 5 �9 F(t) ,
off F(t) est une fonction vectorielle (on dis t r ibut ion
tempdr6e) du temps t.
2.2. Surface d'onde isochrone.
D'apr~s l 'hypoth~se B de non-dispersion, le chemin optique L entre la source S e t un point donn6 de l 'espace image est i n d @ e n d a n t de la longueur
d 'onde k ; il e n e s t alors de m~me du temps de t ran-
sit L I e : (e @16ritd dans le vide). On peut done ddfinir, i n d @ e n d a m m e n t de k, une
surface d'onde isochrone E au niveau de la pupille de sortie : Y, est l 'ensemble des points P e n isochro-
nisme avec le point de rdfdrence s de la pupille, c 'est-h-dire correspondant au temps de transit interne
commun zi :
Z : ( S p ) - : ( S ~ ) ) - 0 ~ , V X ; V P ~ Z .
2.3. Op6rateur lin6aire spat iotemporel objet- image .
2.3.1. Filtre Un~aire temporel.
On observe que les ph~nom~nes de t ransfer t lumi- neux entre la source S et le point d 'observat ion M poss6dent la double propri6td suivante (cf. hypo- th~se A) :
1. ils sont lin6aires,
2. ils laissent invariante la frdquence (temporelle) de tou t r ayonnemen t monochromat ique 6mis par S [cas off F(t) = exp (2 7:i~t) U].
Ces deux propri~t~s d6mont ren t ainsi [2] que le
t ransfer t lumineux entre un point fixe S e t le point M c o n s t r u e un filtre lindaire sur la dimension temps.
2.3.2. Rdponse percussionnelle.
En t a n t que filtre lin~aire temporel, l 'op~rateur lindaire A est donc invar i an t par t rans la t ion darts le temps. De ce fait, sa fonction de Green ne d@end
que de la diffdrence des dates t ' et t. Ecrivons :
(2) H ( M , S ; 0 ) - K ( M , S ; I ' , t ) avec 0 - t ' - - t ,
Nous nommerons rdponse percussionnelle cette forme particuli6re H que revfit la fonction de Green aupr6s des phdnom~nes optiques.
2.3.3. Relations de transfert.
a) Le champ G(WI, S ; t ' ) cr66 en M par la source ponctuelle polychromat ique de type g6n6ral (1) est alors d6termin6 par la relation fondamenta le de
t ransfer t (0), so i t :
G ( M , S ; t ' ) = A{~sF( t ) } - - ~ H(M, Q ; t ' - t ) , ~ ( Q - S) > , F(t) >
= < H(M, S; t ' - - t), F ( t )> , OH encore :
(3) �9 G(M, S ; t) -- ( H . F)(t),
Cette relation t r adn i t le th6or~me de Vaschy, lequel r6git les relations de filtrage dans la repr6sen- ta t ion d'espace temps [3] : il s 'agit ici d ' un filtrage limitd d la seule dimension temps. Le produi t de convolut ion, limitd h la variable temps, t r adu i t une relat ion matricielle dans l 'espace euclidien : il repr6- sente en v6rit6 une combinaison de produits de convo-
lution lemporels.
b) I1 est alors facile d ' a t te indre le champ G(M, t) crdd au point M de l '~cran par l'objet dans son
ensemble.
- - La cont r ibut ion d 'un voisinage du point S de
l 'objet est :
dG(M, t) - G(M, S ; t) (IS,
oh dS symbolisera l'616ment de surface sur l 'objet . I1 in te rv ient ici une dis t r ibut ion F(S, t) sur l 'objet ,
de type g6ndral, laquelle se subst i tue darts la rela-
t ion (3) h la source ponctuelle 8sF(I).
Le champ global s 'exprime alors, 6 tant donn6
(3), par :
t) = / (H[M, $ ; t] . F[S, t])(t) G(M, ( l ~ .
c) Cette 6criture intdgrale peut n '6tre que symbo- lique, et reprdsenter une forme lindaire si G(M, S ; l) est une distribution tempdrde. Dans ce cas, c 'est la relation universelle (0) qui pr6vaut ; elle donne direc- t ement compte t enu de ce qui prdc6de :
G(M, t) < 1, (H . F)(t) >(s) -- H([M, S, ; t] . F[S, t l ) ( t ;s=o) ,
et c 'est ainsi un produi t de convolut ion spatiotemporel
contractd qui repr6sente le champ G.
2.3.4. Gain complexe.
2.3.4.1. Introduisons m a i n t e n a n t la matrice t rans-
�9 Ce signe typographique indique les 6quations encadr6es sur le manuscrit.
3/19 A. TfLEC., 30, n ~ 7-8, 1975
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form~e de Four ie r (part iel le , pa r r appo r t h la d imension- temps) de la r6ponse percussionnel le (*), soit :
(4) h(M, S ; ~) ~- H(M, S ; t),
(o/1 ~- symbol ise la t ransform6e de Four ie r (TF) sur les var iables conjugu6es t ~--~).
Dans le langage des t616eommunications, ce t te g randeur h(M, S ; ~ ) por te le nom de Gain complexe qne nous lui conservons ici (voir w 2.7.3 c). Ce gain complexe pe rme t de t r adu i r e les re la t ions g6n6rales enlrde-sortie du filtre dans un domaine res t re in t aux seules fr~quences temporelles : en effet, l ' app l i ca t ion fi (3) du th6or~me de Planchere l d o n n e :
(5) g(M, S ; ~) = h(M, S ; ~) f(,),
lorsque
f(v) ~ F(/) est la reprdsenta t ion-f r~quence [3], ou composante spectrale, de la modulation F(t) de la source ponctuel le S.
g ( M , S ; ~ ) ~ G ( M , S ; t ) est la t ransform~e de
Four ie r (part iel le , pa r r a p p o r t h la d imens ion- temps) du champ ~lectrique per~u au po in t M ; au t r emen t dit , la composante spectrale (vectorielle, c 'es t -h-dire
t r id imensionnel le) de ce champ pour la frdquence tempore l le v (ou encore pour la longueur d 'onde )~ = c[n,~ en milieu image).
2.3.4.2. Soit :
- - g (M,~) ~ G(M, t) la t ransformde de Four ie r
(part ie l le pa r r a p p o r t au temps) du champ per~u au po in t M de l '6cran et issu de l'cnsemble de l'objet. -- f(S, ~) ~ F(S, t) la t ransform~e de Four ie r par t ie l le
du champ 6mis pa r l ' ob je t . Alors, 6 tant donn~ la re la t ion (5) pr6c6dente, nous
obtenons :
g(M, ~) : ~ s h(M, S ; v) f(S, v) d S ,
ce qui est la re la t ion de t r ans fe r t ob je t - image des composan tes spectrales .
2.3.~.3. On sai t pa r ail leurs [3] que le gain complexe est la valeur propre d 'un filtre lin~aire pour la fonction propre temporelle exp (2Mvt). Ce qui, ici, s ' expr ime pa r
A{~ S exp(2M~t)U} = h(M, S ; ~) U e x p ( 2 M v t ) , V~.
A u t r e m e n t dit , le gain complexe h(M, S ; v ) t r a d u i t l 'amplitude complexe (vectoriel le) du champ c r ~ au po in t d ' obse rva t ion M par une source ponetuelle
monochromatique el unilaire,
F(S, t) : 8S e27~l'n U =:> F(/) = e 27zi'~t U ; f(,~) = 8~ U,
plac~e au po in t S.
2.3.4.4. Ainsi, pour a t t e ind re la r6ponse percus-
(*) Toutes les transform~es de Fourier ~voqu~es ici sont prises au sens des distributions ternp~rdes : leur existence est ainsi toujours assur~e.
sionnelle, nous aurons 5 accompl i r une double d~marche.
1. Ddterminalion du gain complexe h(/F/, S ; v ) .
D'apr~s ce que nous savons m a i n t e n a n t , celui-ci r6sulte s implement de ph~nom~nes de diffraction monochromatique, pour lesquels on m e t t r a en cause la pupil le de sortie.
2. Transformation de Fourier inverse (part ie l le sur la var iable v ~-* t) laquelle, cf. (4), donnera la r6ponse percussionnelle.
2.4. Champ 61ectrique pupil laire et diffrac- t ion.
2.4.1. Champ pupil laire dif~ractant.
a) Les re la t ions de t r ans fe r t ent re la source S e t la pupil le de sort ie sont h leur t ou r repr~sent6es pa r un opdrateur lindaire. De plus, et pour les raisons 6vo- qu6es au pa rag raphe 2.3.1, cet op6ra teur est un fillre lindaire sur la dimension-temps. La rdponse percus- sionnelle R(P, S ; t) de cet op6ra teur repr6sente , pa r d6finition, le champ cr6~ au niveau P de la pupil le de sort ie pa r la source ponctuel le Fo(S , l) 6voqu6e au pa rag raphe 2.1.1. E t a n t donn6 l 'isochronisme sur la surface d'onde pupillaire ~ , cet te r6ponse percus- sionnelle est donc repr6sent6e :
- - temporellement : pa r une d i s t r ibu t ion de Dirac 8~1, alias 8(l - - ~t), laquelle t r a d u i t le t emps de t r ans i t =~,
- - spalialement : pa r la surface d 'onde v , sur laquelle est distr ibu6, h la da t e t = Ti, un cer ta in champ 61ectrique E(P).
Par suite, la rdponse percussionnelle source -~ pupil le est de la forme
R(P, S ; t) - E(P, S) ~(t -- =d, P ~ Z.
off E(P , S) est une mat r ice carrde de champs ~lec- tr iques.
Elle est ainsi s~parable en une con t r ibu t ion spa- t ia te et une cont r ibu t ion temporel le .
b) Le gain complexe r (P, S ;~) en t re source et pupil le r6sulte (cf. w 2.3.4.1) d 'une t r ans fo rma t ion de Four ie r de R(P, S ; t), par t ie l le sur la var iab le t ; soit :
(6) r(P, S ; v) E(P, S) e - 2 n i ~ .
Cette quant i t6 reprdsente pa r ailleurs, en t a n t que va leur propre du filtre source-pupil le , l ' a m p l i t u d e complexe matr ic ie l le du champ cr66 sur la surface d 'onde pupi l la i re pa r la source ponctuelle mono- chromatique et uni ta i re du pa rag raphe 2.3.4.2.
De ce fait , r (P, S ; v) est la composan te spectra le matr ic ie l le du champ diffractanl sur la pupil lc, tcquel engendre j u s t emen t au po in t ,M r le gain complexe h(M, S ; ~) du syst~me 8.
Le fair que ce gain complexc pupi l la i re soit sdpa- rable en une composante spa t ia le et une composante
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fr~quentielle va s 'av6rer par la suite d 'une impor tance capi ta le .
c) N. B. - - En raison de la re la t ion b iunivoque ex i s tan t entre le champ rayonn~ pa r l ' ob je t et le champ qui r~gne sur la pupil le de sortie, la donn6e de l 'une ou de l ' au t r e de ees grandeurs est ~quivalente en ce qui eoneerne la d~termina t ion de la r6ponse percussionnelle. De ee faR, et dans le bu t d 'al l~ger l '6cri ture, nous eesserons d6sormais de ment ionner , sauf cas par t ieul ier , la source S. Ainsi HIM, S ; t), par exemple, deviendra HIM, t), etc.
2.4.2. Dif[raction monochromatique.
a) In t roduisons m a i n t e n a n t (Fig. 2 ) :
- - N Normale uni ta i re au poin t P de la surface d 'onde , portde pa r le vec teur de Poyn t ing et or ient@ dans le m6me sens,
"~- ~ ~ M
Fro. 2. -- Veeteurs assoei6s ~ la diffraction.
- - V vec teur uni ta i re port6 pa r PM, M d tan t le poin t d 'obse rva t ion de l ' espace- image et P l e poin t couran t sur la surface d 'onde pupi l la i re X .
b) En ver tu de la thdorie 6lect romagn6t ique de G. Darmois et at. [4], le vec teur qui r6git au poin t P la diffraction dans la direct ion V e s t uu vec teur E? d~duit du champ 61ectrique E par
1 E t = ~ v A (EA i v + N]).
I1 est ainsi or thogonal h la di rect ion de diffract ion V, et son module v a u t
I + < V - N > IE*I = 2 IEI"
N. B. - - La dague t symbol i se ra dans ee t ex te le champ di f f rac tant effectif, champ de Darmois , assoei6 au champ pupi l la i re , affectd de la m~me let tre.
c) Pla~ons-nous h la fr6quence tempore l le ~, eor- r e spondan t h la longueur d 'onde k - - e[n, en milieu image. Compte tenu de l ' express ion (6) de la composante speetrale r iP , , ) du champ dif f ractant , la composante spectrale h iM, v) du champ diffract6 pa r la pupil le au poin t M est /lderite, puisqu ' i l s ' ag i t d ' un r6gime monoehromat ique , pa r (ef. [4 ] ) :
i ? 2 D(P,M)[DIP,M)[ hiM, ~) = v F r , (P, v) exp
+ x l ! dP
IO(P,M)l '
ou encore ( k = c /nv) :
(2 :ziv) .~ ' E t ( P ) • n
(7) , h(M,v) 2 ~ c
n DIp, M) D~P,M~i, ,~ exp . - - 2 ~ i v =~ + c I '
expressions dans lesquelles :
- - DIP, M) est la d is tance algdbrique entre P e t M :
sgn DIP, M ) - - sgn < V . N > ,
(si la pupil le est en amon t du po in t d 'obse rva t ion , DIP, M) est ainsi posit if)
d P symbol ise l'61~ment diffdrentiel de surface d 'onde Y~.
d) On a vu que h iM, v) repr6sente le gain complexe du syst~me 8. La formule (7) est donc l ' abou t i s semen t de notre premi6re ddmarche.
2.5. R6ponse percussionnelle.
a) La r6ponse percussionnelle HIM, t) du syst~me 8 est (w 2.3.4.1) la t ransform6e de Four ier inverse (par-
. B t ielle sur la var iab le ~ ~-, t) du ga ln ,complexe h iM, v) prdeddent.
b) Ainsi, 6 tan t donn6 la re la t ion connue
(2 niv) exp( - - 2 ~i~ T) ~ 8' (t - - T) ,
o/l 8' est la d6riv6e premibre de la d i s t r ibu t ion de
Dirae, la r6ponse percussionnelle s 'expr ime, d 'apr~s (7), pa r :
(8a)
d P
]DIP,M) ! ' ou encore p a r :
(8b) . HIM, t ) - 5t 2~-e E t ( P ) 8 t - - ~ - - , ) s
n ] d P DIP, M) " {DIP, M ) I
2.5.1. Relations de trans[ert en lumi@re poly- chromatique.
Dans le cas g6n6ral d 'une lumi~re po lychromat ique , la l iaison entre :
la repr6senta t ion spa t io tempore l le 8sF( t ) du signal 61ectromagn6tique (1) h l'entrde du syst~me 8,
- - l a repr6senta t ion spa t io tempore l le G(M, t) du signal h la sortie est exprim6e par la re la t ion de Vaschy (3) :
G(M, t)= ( H . F)(t) �9
E t a n t donnd l ' express ion (8 a) de la rdponse percus- sionnelle, le champ per~u en M s '@ri t ainsi :
5/19 h. T~LEC., 30, n ~ 7-8, 1975
256 G. B O N N E T . -- R I ~ P O N S E P E R C U S S I O N N E L L E E N D I F F R A C T I O N P O L Y C H R O M A T I Q U E
(9) �9 G(/TI, S ; l ) - - n ~ E ? ( p ) d [ 2 ~ c ~ F t - - " e l - -
n D ( P , M ) ] d P o ] D ( P , M ) I "
2.6 . I n t erpr6 ta t ion p h y s i q u e et f o n c t i o n de prof i l .
On peu t ddcomposer en cinq dtapes successives l 'dlabora~ion de la rdponse percussionnelle :
2.6.1. Premiere 6tape.
Ddtermina t ion de la surface d'onde E, en t a n t que surface iSochrone pas san t pa r la rdf~rence pupil le ~ , avec un t emps de t r ans i t vi = (S~) /c . Cette dd te rmina t ion entre dans le cadre du calcul des ins t ruments d 'op t ique .
2.6.2. Deuxi~me dtape.
Ddtermina t ion du champ pupillaire spatial E(P).
a) On a vu (w 2.4.1 b) que E(p ) est la mat r i ce d'amplilude du champ 61ectrique crd6 en chaque po in t P de la surface d 'onde pupi l la i re Z pa r une source monochromatique unitaire situde au po in t source S e t orient6e selon le vec teur U.
b) E t a n t donnd l ' hypo thbse B de non-dispers ion, le choix de la frdquence ~ de la source monochroma- t ique se rvan t h ce calcul est arbilraire (du moins l ' i n td r ieur du spectre utile).
I1 s 'agi t , ici encore, d ' un probl~me d 'op t ique ins t rumenta le .
2.6.3. Trois i~me drape.
Rdsolut ion d 'un probl~me gdomdtrique. Pour une dale t donnde, la prdsence d 'une dis tr i -
bu t ion de Dirac dans l ' express ion (8 b) mon t re que l ' in tdgra le por te un iquemen t sur l ' ensemble des points de la pupil le situds h une dis tance du po in t d 'obser- r a t i o n M, telle que
C �9 D(P, M) = - (t --Ti) �9
n
a) Cet ensemble de poin ts reprdsente ainsi (Fig. 3) l'interseclion de la surface d'onde E e t d 'une calotte
I M t t t2
~ A t , 0 ~'i tl
F r o . 3. - - E l a b o r a t i o n d e l a f o n c t i o n d e p r o f i l .
t
sphdrique St de centre M a y a n t pour r ayon algdbrique c(l - ":O/n.
Plus pr6eis6ment, la ca lo t te sph6rique est consti- t u t e pa r l ' ensemble des poin ts Q de l 'espace image situds ~ une dis tance de M 6 g a l e ~ c ] t - - ~ i ] / n et tels que :
s g n < ( M - - Q ) ' N a ~ = s g n ( t - - ~ ) ,
si Nu est la normale uni ta i re au po in t de r6fdrence de la surface d 'onde.
b) Le domaine d ' in t6gra t ion dans (8) est donc const i tud d 'une famille de courbes Cj(j ~ 1, 2, ..., J) avec, 6ventuel lement , une famille de surfaces finies ou, encore, de points isolds.
2.6.4. Quatri~me drape.
Fonction de profit. Nous in t roduisons une g randeur auxi l ia i re ~(/F/, l) qui sera ddnommde fonction de profil. Celle-ci t r a d u i t l 'dvolu t ion au cours du t emps de la va leur de l ' in tdgra le dans (8 b ) ; soit symbol i - quement :
n 2
(10) r t) - 2= c21t - ~,[ •
[j:~ fCjEt (P) dP l D(P,M)=r "
2.6.4.1. Remarque 1. Les intdgrales seront en g6n~- ral des irttdgrales curvilignes; dventue l lement des int6grales de surface. Par contre, la con t r ibu t ion de points isol~s dventuels est negligeable, puisque corres- p o n d a n t h u n ensemble de mesure nulle.
2.6.4.2. Remarque 2. La fonct ion de profil p rend ainsi la s ignif icat ion d 'une valeur mogenne du champ pupi l la i re sur une famille de courbes de niveau 6vo- l uan t au cours du temps , et lides de ce fa i t au profil de la surface d 'onde.
2.6.4.3. Remarque 3. La vitesse de croissance du rayon de la sphere St est dgale, d 'apr~s le pa ra - graphe 2.6.3, h c[n: c 'es t -h-dire fi la vi tesse de la lumi~re dans le milieu image. Ce rdsu l ta t est une t r aduc t ion indirecte du principe de Hugghens, dans la fa~on dont est rdgie la con t r ibu t ion successive des dldments de la surface d 'onde d i f f rac tante E.
2.6.5. Cinqui~me drape.
Ddrivation temporelle de la fonct ion de profil. Elle rdsulte d i rec tement de la fo rmula t ion (8 b) de
la rdponse percussionnelle, soit
5 (11) s H(M, t) = ~ O(M, t) .
2.6.6. Support de r~ponse percussionnelle.
2.6.6.1. Remarque 4. Pla~ons le po in t d 'obse rva- t ion /Y/ en aval de la pupil le ( ~ V . N ~ ~ 0 ) : la d is tance D(P, lYl r) est done positive (cf. w 2.4.2 c).
a) Si t ~ ~ , la ca lo t te sph6rique est si tude
A. T~LEC., 30, n os 7-8, 1975 6/19
G. B O N N E T . - R I ~ P O N S E P E R C U S S I O N N E L L E E N D I F F R A C T I O N P O L Y C H R O M A T I Q U E 257
(cf. w 2.6.3 a) en aval du point d'observation Yl, ear ( M - - Q ) . N a > ~ 0. I1 n ' y a done pas d'intersection possible avec la
surface d 'onde pupillaire E, situ6e en amont de M.
b) Par suite, ~( t ) ~ O, s i t ~ zi ; au t rement dit, puisque z~, temps de t rans i t in terne du syst~me, est ndcessairement positif ou nul.
(12) �9 H ( M , t ) = 0, si t < 0,
ce qui ddmontre que le filtre de rdponse percussion- helle H(/ff, t) respecte le principe de causalitd.
2.6.6.2. Bemarque 5. La calotte sphdrique St com- mencera h toucher la surface d 'onde E h une certaine date t 1 ) 0, et cessera son contact h une date ultd-
rieure t e . Par suite, ~ ( M , t) ne diffdrera de zdro que
pour t ~ [t 1, t2]. I1 en rdsulte que la rdponse percussionnelle H(M, t)
est une distribution & support temporel bornd [t I , l 2].
2 . 7 . G a i n c o m p l e x e .
2.7.1. Cas particulier : imagerie.
Si le t ransfer t entrde-sortie du syst~me optique a
t ra i t h des relations d'imagerie, et si la condit ion
d'isoplandtisme est rdalisde, alors la r6ponse percus- sionnelle devient dgalement invar ian te par translation dans l' espace.
De ce fait, H(M, S ; t ) ne ddpend plus que de la diffdrence M - - S ; dcrivons :
H~so(M-- S ; t) - H(M, S ; t).
Par suite, l 'opdrateur de t ransfer t d 'une imagerie
isoplandtique est un fillre lindaire sur les quatre dimensions de l 'espace temps.
2.7.1.1. Transfert en reprdsentation d'espace-temps.
a) Ce t ransfer t s 'exprime par le thdor~me de Vaschy ; on obtient , h la place de la relat ion (6) et compte t enu du changement de rdfdrences S ~ M,
t ' - -+ t, entre l 'objet et son i m a g e :
GiM, t) = (H~o[M, t] ~ F[M, tl)(M.t).
b) En particulier, a v e c l a source ponctuelle poly- chromatique (1), on retrouve comme pr6cddemment une relat ion de convolut ion por tan t sur la seule variable temps :
G(M, S ; t) - (H~so[M-- S ; t] ~ F[t])(t).
2.7.1.2. Transfert en reprdsentation-frdquence [3].
- - Soit N le vecteur frdquence spatiale (3 dimen- sions a priori).
- - Soit lq(N, v) ~ Hiso(M, t) la matrice trans-
form6e de Fourier spatiolemporelle de la rdponse percussionnelle isoplandtique. Les relations de t rans- fert associent, h travers le filtre lindaire d ' imagerie :
- - d 'une part , la reprdsentat ion-frdquence du signal d 'entr~e :
f(N, v) ~ F(M, t ) ,
- - d ' a u t r e part , la reprdsentation-frdquence du signal de sor t ie :
~,( N, ,) ~ G(M, t) .
Elles s 'expr iment h par t i r de la relat ion dans l 'espace- temps et par applicat ion de la r~gle de Plancherel,
sous la forme :
(13) y(N, v) = YI(N, v) f(N, v) .
2.7.2. Fonction de transfert d'imagerie.
a) Prenons eomme objet la source polychromat ique ponetuelle (1) plae6e au point S, pris iei eomme ori-
gine. On a :
- - s i f(v) ~ F(I) est la transform6e de Fourier
temporelle de F i t ) :
f (N, "~) ~ ~(S) F(t) ::> f (N, v) : f (v ) , S,t
b) En particulier, si la source est monochromatique,
F(t) = e 27:|v0t U ~ f (v)= ~ ( v - v o) U,
on volt alors dans (13) que la quant i td
~q(N, Vo)
repr~sente la [onetion de transfert (d'imagerie spatiale)
du syst~me optique 8 dotd de la pupille H : eela pour
la longueur d 'onde k o - e]nv o .
2.7.3. Gain complexe.
a) Nous avons obtenu au paragraphe 2.3.4 la rela- t ion (5), soit (en 6criture simplifide, S dtant supprimd) :
(5) g(M, v) = h(M, v) f(v).
C'est une relat ion de t ransfer t de m~me allure que
la relation 03 ) prdcddente, mats elle porte un iquemen t sur des grandeurs spectrales, au sens habi tuel du terme (spectro-spatiales serait plus exac t ) : il s 'agit
de transformdes de Fourier partielles (sur la variable
t +-+ v) des repr6sentat ions spatiotemporelles corres-
pondantes : G(M, t), H(M, t), ~sF( t ) .
b) Le facteur de t ransfer t h i M ,v) a 6td exprim6 par (7). Reprenons-le ic i :
n (7) h(M, v) = ~ (2::iv) ET(P) •
- D ( P , M ) exp -- 2~:iv TI + c [D(P,M)I
c) Nous conserverons h h(M, v) la d6nominat ion de gain complexe, de fa~on h 6tablir une dis t inct ion avec la fonction de t ransfer t pr6c6dente.
On volt dans (7) que ce gain complexe r~sulte :
- - d 'une fonctionnelle lindaire du champ pupillaire. Celle-ci reprdsente une moyenne, sur la surface d 'onde,
du champ 61ectrique pond6rd par un facteur de phase. Cette ponddrat ion fait in tervenir le temps de transit total :
n v : x~ § - D ( P ,M) ,
O
7/19 A. T~LEC., 30, n ~ 7-S~ 1975
258 G. BONNET. -- RI~PONSE PERCUSSIONNELLE EN DIFFRACTION POLYCHROMATIQUE
entre la source S e t le poin t d 'obse rva t ion M ; soit encore :
"7 = ( S P M ) / r ;
- - d 'une mul t ip l i ca t ion par (2 ~iv).
2.7.3.1. Remarque 6. Du fai t que la rdponse percus- sionnelle est h suppor t t empore l born6 (cf. Remarque 5, w 2.6.6.2), le gain complexe sera dans t o u s l e s cas (en t a n t que t ransformde de F o u r i e r ) :
- - une vraie fonction de ~ vectoriel le (c 'est-h-dire, const i tu6e d 'un groupe de 3 composantes) ,
- - inddfiniment ddrivable en ~ ; c 'es t ce qui a p p a r a i t d 'a i l leurs dans la fo rmula t ion (7).
De ce fait , et h l 'oppos6 de la propridt6 d 'une fonc- t ion de t r ans fe r t spat ia le , le gain complexe ne prd- sente pas de frdquenee de coupure : les fr6quenees t em- porelles ~ sont t ransmises jusqu 'h l ' infini.
2.7.3.2. Remarque 7. On note, h l 'oppos6, que
h(M, o) = o, y M , ~ H(M, t) dt = 0,
ee qui t r a d n i t le fa i t que, eonform~ment aux 6qua- t ions de Maxwell , le champ ~lectrostat ique n ' es t pas diffraet~ :
h(M, ~) ~('0 = h(M, O) ~(~) =- O.
2.7.3.3. Remarque 8. Du fai t que la r~ponse per- eussionnelle est eausale {H(M, t ) = 0 pour t < 0} les par t ies r6elle et imaginai re du gain eomplexe sont des fonetions en quadrature fr6quentielle, e 'es t -~-dire des t ransform~es de Hi lber t . On a done :
(15) R e h ( M , , ~ ) = I m h ( M , ~ ) ~ - - , 7~J (~)'
(16) Im h(M, ,~) = Re h(M, ,~) . - - " ~'~ /,' (~)
ce qui const i tue les relations de dispersion (ou re la t ions de Kramers -Kron ig ) pour les ph~nom~nes de diffraction po lychromat ique .
2.7.4. Cohdrence e t spec tromdtr ie .
Le gain complexe h(M, S ; ~ ) joue un rSle fonda- menta l , celui de rdgir les densitds spectrales, dnergd- tique el d'interaction, de la lumi~re per~ue sur l 'dcran d 'observa t ion .
En effet, le champ 6mis pa r l ' ob je t est repr6sent6 pa r son ampl i tude spa t io tempore l le F(S, t ) : il s ' ag i t d 'une dislribulion aldatoire qui, dans l 'hypoth6se d 'une dmission h l 'dqui l ibre , est slalionnaire dans le temps. On peu t donc lui assoeier, sur le couple de points ($1 , $2) de l ' ob j e t :
a) une cohdrence mutuelle spa t io tempore l le [3, 5] :
r s ( S ~ , S~ ; ~) = E { F ( S ~ , t) F*(S~, t - - ~)},
(oh E symbol ise l ' espdrance ma thdmat ique ) ;
b) une densild speclrale d'interaclion [3, 6 ] :
y s S ( 1 , $2 ; v) @ r s ( S 1 , $2 ; =) , T
qui est la t ransformde de Four ie r par t ie l le , sur la var iable temporel le x de la eohdrence.
2.7.4.1. Densitds speclrales.
Le t rans fe r t du couple ($1 , Sz) de l ' ob je t vers le couple (M1, M2) de l 'dcran, reprdsente un couple de filtres sur la d imension- temps . I1 en rdsulte (cf. [3] : formule des inlerl~rences ) la con t r ibu t ion du voisinage du couple (S 1 , $2) h la densi td speetra le d ' i n t e rac t ion sur l 'dcran :
d2yM(M1 , M 2 ; v) - h ( M 1 , S 1 ; v) h * ( M 2 , $2 ; v) •
y s ( S 1, S~;~) d S 1 , d S 2.
a) Par suite, la densitd spectrale d'interaction, pour le couple de points ( M 1 , M~) de l 'dcran, s 'dcri t :
~ M ( M I , M 2 ; v ) : _ ~..~" h ( M 1 , $ 1 ; ~)) h*(M2, S2; ~J) x
y s ( S z , S 2 ;v) dS 1 S d 2,
chaque in t6gra t ion 6rant 6tendue h la surface de l 'ob je t .
b) La densild spectrale dnergdtique re la t ive h u n poin t M de l '6cran s 'en d6dui t en p renan t
M -- M 1 - M 2 : y M ( M , M ; ~ ) .
c) I1 en rdsulte l ' express ion de l'intensitd lumineuse sur l'dcran
I(M) = ~ _ _ ~ ]y(M, M ; v)[ d r .
2.7.4.2. Cohdrence spaliotemporelle.
a) La cohdrence mutuelle re la t ive au couple de points ( M 1 , M2) de l '6cran s ' ob t i en t pa r t ra i ls form6e de Four ie r inverse, sur la var iable v, de la densit~ spect ra le d ' in te rac t ion . P a r t a n t de l ' express ion pr6cd- dente de cet te derni6re et u t i l i san t la r6gle de Plan- cherel, nous avons donc :
r M ( M 1 , M 2 ; = ) : ~ ( H [ M 1 , ' I ; ' r ] ~
H*[M 2 , S 2 ; - - ~:] ~- r s [ s 1 , $2 ; =])(~) dS l d S 2,
oh le double p rodu i t de convolut ion, fa isant in te rven i r les r6ponses percussionnelles, por te sur la var iable tempore l le z. Cette expression mont re que c 'es t la rdponse percussionnelle qui r6git d i rec tement le trans- fert de la cohdrence spatiolemporelle h t ravers le sys- t~ine opt ique.
b) La cohdrence propre, re la t ive h u n po in t M de l '6cran, s 'en d6dui t en p r e na n t
M =- M 1 ~ M 2 : rM(M,M;~:).
c) L'intensitd lumineuse s ' expr ime dgalement pa r
I(M) = [ r / ( M , M ; 0)[,
et pe rme t de ddcrire le degrd de cohdrence [5] sur l '6cran :
~ ( M ~ , M~; =) = ~/I(M~) I(M~)
A. T~LEc., 30, n~ 7-8, 1975 8/19
G. B O N N E T . R I s P E R C U S S I O N N E L L E E N D I F F R A C T I O N P O L Y C H R O M A T I Q U E 259
3. F O R M U L A T I O N S C A L A I R E DE LA R ~ P O N S E P E B C U S S I O N N E L L E
Les expressions (8) de HI/if, t) sont rigoureuses et valables sans aucune restriction dans le cas le plus g6n6ral. Elles conduisent h des calculs tr~s complexes, voire inextricables, en raison de leur na ture vecto-
rielle. Si l 'on t ient compte cependant des condit ions qui
seront presque toujours rencontrdes clans la r6alit6 expdrimentale, il est possible de simplifier consid6ra- b lement l 'approche de la rdponse percussionnelle. Nous introduirons dans ce bu t une nouvelle hypoth~se.
3.1. H y p o t h ~ s e C.
La surface d 'onde pupillaire ~ est situde dans un
voisinage ( ~ ~.) d 'un ellipso'ide passant par le point ~) de la pupille et de centres de courbures pr incipaux
CT et Cs situ6s sur la normale N~ en ~ : ~o. Eu outre, l'ouverlure angulaire est moddrde (Fig. 4).
FI6. 4. - - Conditions de l'hypoth~se C.
3.1.1. Remarque 1.
Les cas particuliers de l'ellipso~de de r~f~rence sont :
une sphbre (CT Cs), un cylindre de r6volution (CT
oU Cs - ~ ) ou un plan (CT et Cs ~ ) .
d 'etre h une distance de la pupille grande devant les dimensions de cette derni~re. De ce fait, et puisque la surface d 'onde est ext r6mement voisine de Zo:
- - d 'une part , la normale N h la surface d 'onde fait, en chacun de ses points, un angle faible avec la normale Nu au point ~ ,
d 'au t re part , le champ 61ectrique E(p) forme,
en tou t point de la surface d 'onde, un angle faible
avec le champ 61ectrique E(~2).
N. B. - - On considbre comme angles faibles des angles dont le cosinus est de l'ordre de l'unitd. Pour fixer les iddes, une limite de 30 ~ sera acceptable.
3.1.4. Directions V de diffraction.
Pour respecter la n6cessit6 d 'une ouverture moddr6e, il convient dgalement que le point d 'observat ion M soit h une distance de la pupille grande devan t les dimensions de cette derni6re. De ce f a i t :
a) la direction V de diffraction forme, en tou t point de la surface d 'onde, un angle faible avec la direc-
t ion Va au point ~ ,
b) le champ 61ectrique de Darmois ET(P) (cf. w 2.3.2b) forme, en tou t point de la surface d 'onde, un angle faible avec le champ E t ( ~ ) ,
c) le produi t scalaire < V . N > , qui rdgit le module
du champ de Darmois, conserve une valeur sensi- b lement constante en chaque point de la surface d'onde. S i0 est l 'angle de Va et de N n , on a ainsi :
(17) < V . N > ~ c o s 0 .
3.1.5. Distance D(P, M).
Son module in te rv ient comme diviseur dans l ' int~- grale qui condui t h la fonction de profil. Or l 'hypo- th6se C fait que
(18) l D(P, M)] ~ I D(~, M) l = d,
et il suffira d 'uti l iser cette valeur approchde, laquelle sortira ainsi de l ' intdgrale.
3.1.2. Remarque 2.
L'hypoth6se C nous place dans des condit ions sensi- b lement moins restrictives que les conditions de
Fresnel: on notera bien que le point M n'est , ici, aucunemen t tenu de demeurer dans un voisinage du centre d 'une sphbre pupillaire (ou darts une direction voisine de la normale au plan pupillaire si ce centre est rejet6 "~ l 'infini).
Par suite, le produit scalaire < V . N > pourra
prendre loule valeur entre 0 et 1 (0 ~ ] - - ~ [ 2 , + ~/2D, 6ehappant ent ibrement au domaine paraxial.
3.1.3. Normales N d la surface d'onde.
La ndcessit~ d 'une ouverture mod~rde impose aux centres de conrbure de l 'ellipsoide de rdfdrence Eo
3.2. F o n c t i o n de profil et r6ponse percus - s ionne l l e .
D'apr6s ce qui pr6@de, une formulation scalaire est possible dans l 'hypoth6se C :
- - l e s champs de Darmois seront remplacds par 1 + cos 0
2 E(P), E(P) ~tant la longueur alg~brique
du champ 61ectrique pupillaire,
- - le champ diffract~ sera rempla@ par sa longueur
alg6brique ; de m~me la fonction de profil, la r~ponse percussionnelle et le gain complexe deviendront de
simples scalaires,
- - on aura, s ta t is t iquement , les m~mes possibilit~s en lumi6re non polaris@.
9/19 A. TI~LEC., 30, n ~ 7-8, 1975
260 G. B O N N E T . -- R I ~ P O N S E P E R C U S S I O N N E L L E E N D I F F R A C T I O N P O L Y C H R O M A T I Q U E
3.2.1. Fonction de profil.
En nous repor tan t h l 'expression vectorielle (8b), la fonction de profil devient ma in tenan t , eompte
tenu de (18):
n(1 § cos 0) (19) �9 (:I)(M, t) -- •
4 r:cd
E(P) 8 t - - - ~ t - - ~ D ( P , M ) dP,
On remarquera que, une fois connue, la fonction de profil (I)(/Y/, t), il est possible d'accdder di rectement au gain complexe en calculant la transform~e de
Fourier temporelle de la fonction de profil :
~(M, ~) :~ (I)(M, t). Alors la relation (21) d o n n e :
(23) h(M, ~) = 2 ~:i~ ?(M, ~).
ou encore, plus symbol iquement :
n(1 + cos O) (20) r t ) : •
4 r : e d
[ i : ~ c j E ( P ) dPID(P,)M_~(t-,I,
a) Comme pr~e~demment, au paragraphe 2.4.2., les C 1 reprdsentent les j courbes de niveau qui forment,
la date t, l ' in terseet ion de la surface d 'onde Y, et e
de la calotte sph~rique St de rayon alg6brique - ( t - - ~ ) n
(Fig. 3).
b) E(P) 6 tant une ampl i tude r~elle (ear mesurde sur une surface d'onde), il en rdsulte que ( P e s t une fonetion ou une dis t r ibut ion rdelle.
c) La relat ion (19) montre elairement que le champ pupillaire in te rv ien t sous deux aspects :
- - par la rdpart i t ion sur la pupille de son amplitude, E(P) (r61e d 'une pupille d'amplitude),
- - par la rdpart i t ion du temps de transit, e'est-fi- dire par la forme de la surface isoehrone Y (r61e d 'une
pupille de phase dtendu au r6gime polychromat ique : nous parlerons de pupille de transit).
3.2.2. Rdponse percussionnelle et gain complexe.
3.2.2.1. La rdponse percussionnelle est m a i n t e n a n t
une grandeur sealaire H(M, t).
a) Son expression, selon (11), v a u t :
5 (21) �9 H(M, t) = ~ (:I:)(M, t).
b) Son in tervent ion , dans les relations objet- image exprim~es dans le domaine spatiotemporel , s 'exprime
par :
G(M, t)= (H *r F)(t) ,
pour l 'ob je t ponctuel polychromat ique repr~sentd par
~sF(t). Sa connaissance fourni t alors l'616ment de
base de l ' imagerie d ' un objet dtendu.
3.2.2.2. Le gain complexe exprim6 ant6r ieurement
par (15) devient , dans l 'hypoth~se C, la grandeur
scalaire :
n(1 + cos O) (22) h(M, ~) -- (2T:i~) x
4 ~ c d
[ t E(P) exp - - 2 ~ i ~ ~ + ~ D ( P , ~ dP .
~. D ~ T E B M I N A T I O N A N A L Y T I Q U E DE LA F O N C T I O N DE P B O F I L
N. B. - - On se placera dans l'hypothOse C, c'est-h-dire dans les conditions d'une repr6sentation scalaire de la diffraction.
4.1. Diffraction ~ distance finie.
L'interpr~tatioa physique du paragraphe 2A.2. nous amine tout naturellement ~ eonduire le calcui en tradui- sant l'intersection de la surface d'onde par une sphere de rayon variable, centr6e sur le point d'observation. La variable principale est donc le rayon de cette sphere et le probl~me est ainsi h traiter en coordonn6es sph~riques.
4.1.1. Rd[drentiel.
On utilise des coordonn~es sph~riques (p, ~, 9) ayant pour origine le point d'observation M (Fig. 5), avec :
p : D(P, M), quantitd positive d~s lots que M est en aval de la pupille,
a e [0, ~/2[, colatitude, 9 ~ [-- r:, + ~[, longitude.
/ 2
FIG. 5. - - Coordonn6es sph6riques.
4.1.2. Contribution des courbes de niveau p = constante.
On prend sur la surface d'onde Z des coordonn6es curvilignes : p e t (par exemple) ~. La surface d'onde est alors reprdsentde par :
P : P ; ~ ; 9(P,~)-
I1 lui correspond l'dldment diff6rentiel de surface: dP : a(p, a) dp dg,
a v e c
~(p,~)= l+sin2~L\ P~) + \ ~ / j .
A. T~LEC., 30, n ~ 7-8, 1975 10/19
G. B O N N E T . -- R I ~ P O N S E P E R C U S S I O N N E L L E E N D I F F R A C T I O N P O L Y C H R O M A T I Q U E 261
Enfin, le champ pupillaire E(P) , decrit par une fonction E(~, ~, q~) s 'exprime, duns le syst6me curviligne, par une fonction E ~ (~, ~). Ce qui donne, pour le champ diffractant de Darmois, les trois 6critures dquivalentes :
1 + c o s O 1 ~ cosO E*(P) 2 E(P) -- 2 •
I + cos 0 E(p, ~, c?) - - 2 E*(p, ~).
a) I1 faut s 'a t tendre h c e que 9(P, :r soit uile fonction multiforme, d~s lors que l ' intersection de la surface d'onde E et de la sph6re St de rayon p(t) sera constitude par une ]amille de courbes C~ {] = O, 1, 2, ..., J(p)}.
Dans ces conditions, c;(p, ~) et E*(?, ~) seront dgalement multiformes.
b) La fonction (p(p, c~) n'est pas d~finie lorsque l ' inter- section de E et de St est formde d 'une ou plusieurs sur- /aces f in ics: ce cas sera traitd au paragraphe 4.1.3.
c) En reprenant la formulation profil est donn6e par :
n(l + cos 0) / ' / " <I)(M, t)
et comnle
(19), la fonction de
%
z(p, ~) dpd~,
I n C P (t "r~ , t - - "~ - - ~ ~ n n
on obtient, pour la contribution % des courbes de nivcau = Cte ~ la fonetion de profit :
I + cos 0 (24) @ ( I ) , ( M , t) 4 g ~ )<
off ~i reprdsente le dolnaine affect6 ~ la variable m sur chacune des courbes de niveau C/.
4 . 1 . 3 . C o n t r i b u t i o n d e s surfaces t i n i e s d ' i n t e r - s e c t i o n p = C t e .
Supposons que la sph6re variable St forme successi- vement sur t2 un hombre K de surfaces d' intersection finies (les points isol6s sont exclus, cf. w 2.4.2.4). Ces sur- faces F~ sprit d61imitdes par des courbes gauches dont la repr6sentation est du type
et l'616ment diffdrentiel de surface correspondant est celui port6 par une sph6re de rayon p~, sp i t :
dP - p ~ s i n ~ d a d z
I1 en r6sulte que la contribution % d'6ventuelles surfaces finies p : Cte h la fonetion de profil s 'expr ime p a r :
n(~ + cos 0) (25) �9 % ( m , t) ~ , : c d •
[ff, ( n ) E ( p l c , ~ , ? ) s i n a d ~ d ? p~8 t - - ~ , - - ~ p~ . k : t k
Cette contribution prend ainsi l 'aspect d 'une suite tem- porelle de distributions de Dirac.
4 .1 .4 . R d p o n s e p e r c u s s i o n n e U e .
a) La forme gdndrale de la fonction de profi] est ainsi :
+(M, t) -- %(M, t) + %(M, t),
avec (I)~ et <P~ exprimds respect ivement par (24) et (25).
b) Par suite, la rdponse percussionnelle
b H(m, t) = ~ +(m, t)
comprendra, dans le eas gdndral, deux sortes de eontri- butions :
- - une contribution continue, qui est celle apportde par les courbes de niveau (cf. (24)); elle t radui t la vitesse d' ivolution de l ' intdgrale du champ le long des courbes de niveau assocides ~ la sph6re variable St ; in terviennent donc la <,aleur du champ, la longueur de ces courbes et l ' incl inaison de la surface d'onde sur le rayon de St ;
- - une contribution discrdte, sous forme d 'une suite de ddrivdes premi6res, ( n)
S' t - - ' r i - - ~ plc ,
de la distribution de Dirac. Cette contribution, si elle existe, provient des surfaces finies d ' intersection X ] S t . Le poids affect6 ~ ehaque distribution $' correspond (el. (25)), au f lux du champ fi travers ee8 surfaces.
4 . 2 . D i f f r a c t i o n ~ l ' i n f i n i .
4 . 2 . 1 . A d a p t a t i o n a u c a s p a r t i c u l i e r .
Spit V la direction de diffraction 6tudide.
Les modifications sont les suivantes :
- - la pupille de rdfdrence E oest plane. Elle passe par D e t a pour normale N, avec
< V . N > -- cos0.
La surface d 'onde Z est situde duns un voisinage de ce plan (hypoth6se C),
- - le champ sur la sph6re ~ l ' infini devier~t un champ angulaire G(V, t) rapport6 /~ une sph6re unit& I1 corres- pond h une rdponse percussionnelle H(V, t),
- - la sph6re d' intersection St du paragraphe 2.4.2.3 se transforme en un plan l i t orthogonal ~ V et se ddplagant parall~lement h V avec une vitesse ( - - o / n ) ,
- - la distance D(P, M) s 'exprime par :
D ( P , M ) -- D ( ~ ' ~ , M ) - - < ~ P . V > ,
et il convient d 'a t t r ibuer une valeur de r6f6rence, finie, h D ( ~ , M).
4 . 2 . 2 . R d f d r e n t i e l .
L'interprdtat ion physique du pbdnom~ne donne main- tenant h la distance entre ~2 e t le plan [ i t le rbie de variable principale.
a) On adopte doric un rdfdrentiel orthouormd X Y Z d'origine ~ , et dont l 'axe X est parall~le h Y (Fig. 6).
Y
j M x
r
z
Fx~. 6. - - R~f6rentiel pour diffraction ~t I'infini.
11/19 A. Ts 30, n ~ 7-8, 1975
262 G. B O N N E T . -- R E P O N S E P E R C U S S I O N N E L L E E N D I F F R A C T I O N P O L Y C H R O M A T I Q U E
b) En ce qui concerne le champ diffract6, la rdfdrence des temps sera, par convention, prise au point ~. De ce fair, la r@onse percussionnelle sera obtenue h une trans-
n lation prds darts le temps, dgale ~t vp = ~ D(~2, M).
c) Darts cette r6fdrence espace-temps, la distance D*(P, M) s 'exprime doric p a r :
(26) D*(P,M) = D ( P , M ) - - D ( ~ , M ) = - - < ~ P . V > ~ - - X .
4.2.3. Contribution des courbes de niveau X = Cte.
On prend, sur la surface d'onde, les coordonn~es curvi- lignes X et (par exemple) Z. Cette surface d'onde est donc repr6sentde par :
P : x ; Y ( X , Z ) ; z .
I1 lui correspond l'616ment diffdrentiel de surface:
(27 a) dP = ~(X, Z) dX dZ,
(27b) avec ~(X,Z) : I + ~ ) § .
En outre, le champ pupillaire E(P) est reprdsentd par une fonction E(X, Y, Z) et, dans le syst6me curviligne, par une fonction E*(X,Z). D'ofi les dcritures du champ diffractant sur la pupille :
i + cos0 E$(P) -- 2 E(P) --
I + cos 0 2 E(X, Y, Z)
I § cos 0 -- ~ E*(X, Z).
a) Si l ' intersection de la surface d 'onde 23 et du plan X = Cte est constitu6e par une famille de courbes :
Cj(/ = 0, 1, 2 . . . . . J(X)),
la fonction Y(X, Z) sera multi/orme, ainsi que ~ et E*. b) L'expression gdndrale (19) de la fonction de profil
fair intervenir une distance d entre la pupille et le point M. Lorsque le champ angulaire dans la direction V se substi tue au champ spatial en M, d doit disparaitre. On exprime ainsi la relation (19) adaptde ~ la diffraction /~ l ' infini sous la forme :
I + c o s O ] ) : E * ( X , Z ) ~ ( t - - ' v $ + - ~ X ) X c d v , t) = c ~ .
z(X, Z) dX dZ,
off C est une constante mdtrologique. I1 en r6sulte la contr ibution q)l des courbes de niveau X = Cte ~ la fonction de profil :
I + cos 0 (us) �9 r = M ~ , •
V ~ loF i = , Z L l n * - - n ( t - - ~ ) , Z : - - n
r ou M = - C et ~)j est le domaine affect6 ~t la variable Z
n sur chacune des courbes de niveau Cj.
4.2.4. Contribution des surfaces finies d' inter- section X = Cte.
Si le plan mobile Ht forme successivement sur Z on hombre K de surfaces d' intersection finies, ees surfaces rlr d'abscisse Xk sont d61imit6es par des courbes planes du type :
Y : f(Z) ~(X - - X/c),
et l'61dment diffdrentiel sur ces surfaces (planes) e s t :
dP = d Y dZ.
D'ofi la contribution (I)~ d'dventuelles surfaces finies X = Cte h la fonction de profil :
n I + cos 0 (29) �9 r = ~ M ~ •
K n
k~__t~.:Fk E(Xk, Y, Z) dY dZ] $ ( t - - "r i + -~ Xk) .
4.2.5. R~ponse percussionnelle.
a) La fonction de profil gdndrale s 'exprime p a r :
(p(v, t) : (I)l(v, t) + (I)dv, t),
et la r@onse percussionnelle angulaire est donnde p a r :
H(V,t) = ~ r t).
b) On fera sur la r6parti t ion en contributions continue et discrete ~ la rdponse percussionnelle et sur leurs modes de gdn6ration, les m~mes remarques qu 'au paragraphe ~AA.
4 .3 . F o r m u l a t i o n a p p r o c h 6 e de la d i f f r a c t i o n l ' inf in i .
Si l 'on se place dans l'hypoth~se C au sens ]ort, la surface d 'onde E est extr6mement proche du plan pupillaire et, de plus, la normale fi la surface d 'onde diff6re en tous points de la normale au plan d 'un angle tr~s petit.
On obtiendra alors une bonne approximation en uti- l isant une mdthode de perturbation, pour laquelle la dis- tance entre plan et surface d 'onde sera traitde comme une perturbation. De ce fair, on substitue l'intersection du plan mobile IIt et du plan pupillaire ~ l ' intersection (ou aux intersections) du plan Ht et de la surface d'onde : dans l 'hypoth6se C renforc~e, la date d ' intersection et le champ sur l ' intersection se t rouveront modifids d 'une fagon n@ligeable.
4.3.1. Rdf$rentiel physique.
On conserve le rdfdrentiel orthonorm6 (G, XYZ) du paragraphe 4.2.2. pr6c~dent, mats on choisit l'axe Z orthogonal au plan (V, N).
Par suite, les intersections du plan mobile 1-I t avec le plan pupillaire Z o sont des segments de droite paralldles d Z, puisque le plan pupillaire a pour coordonn~es curvi- lignes :
X P0: X ; Y : t g 0 ' Z.
4.3.2. Element de surface.
a) Le profil de la sur/ace d'onde joue un rSle physique p rddominan t ; il ne doit donc pas disparaltre dans la subst i tut ion du plan pupillaire h cette surface d'onde. On t iendra compte de ce profil par l 'entremise de l'dld- ment di/]drentiet de sur]ace.
b) Darts ce but, nous introduisons l'dcart normal A(P) la surface d'onde, grandeur abondamment utilisde dans
la thdorie des aberrations [7]. C'est une quanti t6 algd- brique qui reprdsente la distance entre le plan pupillaire de rdfdrence E o et la surface d 'onde E tr6s voisine de ce dernier ; distance mesur6e le long de la normale N (Fig. 7). Soit :
f fP = A(P) N.
Cet dcart normal est ainsi la t raduct ion directe du profil gdomdtrique de la sur/ace d'onde, et c'est lui qui joue le r51e d 'une perturbation�9
On a eu ou t re , par hypoth6se : A(K~) = 0.
A. T~-LSC., 30, n o. 7-8, 1975 12/19
G. B O N N E T . -- R E P O N S E P E R C U S S I O N N E L L E E N D I F F R A C T I O N P O L Y C H R O M A T I Q U E 263
e) Le point P de l ' intersection rdelle du plan Ht avec la surface d'onde se ddduit du point Po de l ' intersection nominale avec le plan pupillaire par la condition (cf. Fig. 7) :
< ( P - - P o ) ' N > A ( p ) ~ A ( p o ) .
/ Ze
u
Po
FIG. 7. - - Ecart normal A dans une section Z : eonstante.
Or, les composantes de la normale N sont :
N : c o s 0 ; s i n 0 ; 0.
Traduisons l 'deart normal en coordonndes curvilignes (X, Z) sur le plan pupillaire :
A ( P o ) A * ( X , Z ) .
Par suite, les coordouudes curvilignes du point P sont :
i t X A*(X'--Z)\/ �9 Z" P : X ; Y 0 sinO / '
d) Les ddrivdes partielles intervenant dans le calcul de l 'dldment de surface sont alors :
bY 1 1 hA* bY 1 hA*
b X - - t g 0 s in0 bX ' bZ s in0 bZ '
et, conime A* est nn infiniment peti t (hypothdse C), l 'dldment diffdrentiel de surface, limitd au terme de premier ordre, s 'exprime maintenant , selon (27), p a r :
bA*~ dX dZ dP -- z(X, Z) dX dZ (, I cos 0 ~ - j ~ + O(A*2).
4.3.3. Fonction de profil.
a) Puisque l ' intersection est calculde re la t ivemeut au plan pupillaire Zo, on n 'a a ddcompter qu 'une courbe de niveau unique, C. En outre, il n 'y a pas de sur]ace finie d'intersection, sauf pour 0 -- 0. C'est donc l 'dquation (28) qui rdgit la fonction de profil.
b) Le champ E(Po) au point Po du plan se substitue au champ E(P) sur l ' intersection rdelle avec la surface d'oude.
c) La fonction de profil s 'exprime ainsi (cf. (28)) par
(30) ( P ( V , t ) ~ cotg~ E* - - n ( t - - x i ) ,Z •
l - - c o s 0 ~ A * - - ( t - - v i ) , Z d Z ,
cec~ pour 0 ~- 0 et ~ reprdsentant l 'dtendue de la pupille dans la direction de l 'axe Z, lorsque X a la valeur :
C - - ( t - ~ i ) .
n
d) Dans un voisinage de 0 -- O, c'est l 'dquation (29) qui donne la fonction de profil ; soit ici :
(31) O(N,t ) ~ ~ M E ( Y , Z ) d Y d Z ~ ( t - - z ~ ) , 0
oil E(Y, Z) ddcrit le champ de Darmois E(Po) sur la pupille plane lorsque les axes Y e t Z sont dans son plan.
La fonction de profil est doric une distribution de Dirac ~t la date : i , ponddrde par le flux du champ h travers route la pupille.
4.3.4. Rdfdrentiel pupillaire.
a) Le recours exclusif au rdfdrentiel prdcddent, orient6 darts la direction de diffraction, dtait rendu obligatoire par la nature physique du probl6me. I1 dtait en particulier le seul apte ~ traduire correctement l ' influence du profil gdomdtrique de la surface d'onde, par l ' intermddiaire de l 'dldment diffdrentiel de surface dP.
I1 est possible, a posteriori, de faire appel h u n rdfd- rentiel plus directement lid h la pupille, pour ddcrire le rdsultat (30).
b) Le ri]~rentiel pupillaire (~xyz) conserve l 'origine ~l. Son axe x est darts la direction de la normale N au plan de la pupille ; son axe z e s t orthogonal au plan (V, N). I1 rdsulte doric du rd]drentiel physique pr6cddent par une rotation - - 0 autour de l 'axe Z (Fig. 8).
y
Y
X
v
x / '~2 ! -
Fia. 8. - - B~f~rentiels physique (f~XYZ) et pupillaire (~xyz).
c) Les modifications sont les suivantes :
- - l 'dquation de la pupille est x -- 0, avec l imitat ion par un certain contour,
- - l '6quation de l ' intersection nominale pupille/plan IIt est :
Po: x - - 0 y = X / s i n 0
avec z limitd par le contour de la pupille,
le champ E(Po) sur la pupille sera reprdsentd par E ( y , .%
- - l '@art normal A(Po) sera ddcrit par A(y, z),
- - puisque z - Z et y =- X]sin O, les correspondances d'dcriture avec le rdfdrentiel physique (~X YZ) sont ainsi :
E*(X, Z) - E I X / s i n 0 , Z), cf. paragraphe 4.2.3,
A*(X, Z) -- A(X/sin 0, Z), cf. paragraphe 4.3.2 c.
4.3.5. Fonction de prolil darts le rdfdrentiel pup i l la i re .
a) Di/]raction normale (V = N). (Plus exactement V e s t dans un voisinage de la nor-
male N). La relation (31) devient :
(32) (I)(N,t) ~ M E(y,z) d y d z ~ ( t - - T l ) . 0
13/19 A. T~:LEC., 30, n ~ 7-8, 1975
264 G. B O N N E T . -- R t ~ P O N S E P E R C U S S I O N N E L L E E N D I F F R A C T I O N P O L Y C H R O M A T I Q U E
b) Di]fraction oblique ( V ~ N avec ~ V. N ~ : cos 0).
La relation (30) conduit ~ :
(33) (O(V, t) ~ cotg~ E ns]n()- , z •
l - - c o t g 0 ~ y A z dz, n sin 0 '
off ~D reprdsente l 'dtendue de la pupille dans la direction de l 'axe z, lorsque y a la valeur - - c ( t - - :~)]n sin 0 Au voisinage de 0 = 0, cette formule n 'est plus valable : se reporter ~ (32)
4.3.6. Remarque importante.
La m~thode de per turbat ion ne peut apporter des r~sul- tats valables que dans la mesure off l 'ensemble des courbes de niveau ou surfaces d' intersection r~elles demeure groupd dans un voisinage de l ' intersection nominale avec la pupille. Les r~sultats seront d ' au t an t plus douteux que l 'angle 0 sera plus petit, ~ l'~chelle des angles entre nor- males h la surface d 'onde et normale h la pupille : un bon exemple d ' invalidit6 est fourni par une surface d 'onde p6riodique; un bon exemple de validit6 par la pupille d 'un ins t rument bien corrigd de ses aberrations.
4.4. Pupilles cylindriques.
Une pupille cylindrique est telle que :
- - l e profil gdomdtrique de la surface d 'onde est un cylindre dont la hauteur est thdoriquement infinie (en pratique, hauteur L grande devant la dimension trans- versale),
- - le champ ~lectromagndtique poss~de une rdpartit ion cylindrique.
Le probl~me consiste donc h dtudier la diffraction dans une section droite.
4.4.1. Diffraction d distance finie.
Dans l 'hypoth~se C, la pupille de r~f~rence est un ~l~- ment de cylindre de r~volution E o dans le voisinage duquel se situe la surface d'onde.
La sphere d' intersection St du paragraphe ~..i est rem- placde par un cylindre de r~volution de rayon var iable ; son axe, parall~le i~ la gdn~ratrice de la pupille, passe par le point d 'observation M.
~A. l . l . Rd/drentiel. On utilise des coordonn~es polaires (p, ~r ayant le point M pour origine : p = D(P, M) sera toujours positif,
:~ ~ - - ~ , § , angle polaire.
4A.t.2. Coordonndes curvilignes. La surface d 'onde est repr~sentde dans sa section droite p a r :
P : i~; cr .
a) Si L e s t la hauteur de la pupille, il lui correspond l 'dl~ment differentiel de surface
d P : L(~(p) dp,
( d~\'2 (34) avec (~(p) : I q- p ~ - ~ .
b) Le champ scalaire E(P) sur la pupille est ddcrit par une fonction E(~, a), laquelle devient E*(t~) en coor- donndes curvilignes. D'ofi les expressions dquivalentes du champ de Darmois.
1 § t § I § E?(P) -- 2 E ( P ) - 2 E(p, cr ~ E*(p)
4 4 1 3 Contribution des courbes de nieeau p = Cte
a) L'intersection du cylindre de rdvolution variable St et de la surface d 'onde sera, en gdu~ral, constitude par une ]amille de droites Cj parall~les h la g~ndratrice :
(/ = 0, ~, 2 . . . . . J(p))
De ce fait, a, ~ e t E* sont a priori des fonctions muhi- /ormes.
b) D'apr~s la formulation (19), la contr ibution q)~ de ces courbes de niveau ~ la fonction de profil est ainsi :
I § c o s 0 ~ ~ ~c 1 (35),, r ~ : ~ / : , E ~ t ~ ( t ~) •
Jln(t ~ 4 1 4 . Contribution des sur]aces finies d'intersection
p = Cte
Si le cylindre de rdvolution variable St forme successi- vement sur Z un nombre K de surfaces finies d ' i n t e r section, celles-ci seront des bandes cylindriques co r t e s pondant h un certain domaine Ak de ~
L'Udment diff~rentiel de surface est doric:
d P = LOg da,
et il en rdsulte que la contr ibution dventuelle (1)~ h la fonction de profil s 'exprime p a r :
(36) . @2(M,t) -- L n ( t + c o s O ) ~ [ f E ( p k , ~ ) d ~ ] • 4 ~ c d ~=~L~, Ak ( n)
off les Pk reprdsentent les distances successives des K sur- faces d'intersection relat ivement h M.
4.4.2. Diffraction d l'infini.
La pupille de r~f~rence est ma in tenan t un plan E 0 et le cylindre d'intersection se transforme en un plan mobile II t .
Les modifications par rapport au paragraphe 4.2 sont les suivantes :
a) l 'axe Z du r6f6rentiel est orthogonal ~ la section droite, laquelle contient la direction de diffraction V;
b) la surface d'onde est repr6sent6e, dabs la section droite, par les coordonn~es curvilignes :
P : X ; Y ( X ) ;
c) l 'dl~ment diff~rentiel de surface e s t :
d P = L~(X) d X ,
(37) avec ~(X) = I § \ d X / '
d) le champ (scalaire) E(P) sur la pupille est d~crit par une fonction E(X, Y), laquelle devient E*(X) en coor- donn~es curvilignes, ll en ddcoule les expressions dqui- valentes du champ de Darmois :
1 § i +cos0 t § 0 ET(P) = ~ E ( P ) - - ~ E(X, Y)= ~ E* (X).
4A.2.1. Contribution des courbes de ni~eau X = Cte.
u) Si l ' intersection de la surface d 'onde E et du plan X = Cte est constitude d 'une ]amille de droites C/(/ = 0, 1, 2 . . . . . J(X) la fonction Y(X)), ainsi que ~(X), et E*(X) sont multiformes.
A. T~LEC., 30, n ~ 7-8, 1975 14/19
G. BONNET. -- REPONSE PERCUSSIONNELLE EN DIFFRACTION POLYCHROMATIQUE 265
b) L'expression (28) de la contr ibution (Pt des courbes de niveau h la fonction de profil devient ainsi :
I @c0sOJ~ I C ( t - - ' ~ i ) l N - - n (38) �9 (I)I(V, t ) M L ~ i = E ~
off r est donnd par (37).
4.4.2.2. Contribution des X = Cte.
i ~ f ~ ); ( t - ~i) ,
sur/aees flutes d'interseetion
Darts l 'dventualit~ d' intersections successives sous la forme d 'un nombre K de rubans F~ parallbles /~ la gdn6- ratrice et orthogonaux ~ la direction V de diffraction, la contr ibution % ~ la fonction de profil, exprim6e antd- rieurement par (29), devient ic i :
n I + cos 0 (39) �9 o2(g ,t) M L - - x
c 2
E(X#, Y) d Y 8 ( \ t - - v 1 + - Xk , k=t ~ /
off les Xx sont les abscisses successives des K rubans d'intersection.
4.4.3. Formulation approch~e de la diffraction cylindrique d l'infini.
On utilise la mdme rrglhode de perturbation qu'au para- graphe 4.3, laquelle revient /~ substi tuer l ' intersection du plan mobile [I t e t du plan pupillaire de rdf6rence ~ l ' inter- section r6elle de lI t et de la surface d'onde.
Dans l 'hypoth6se cylindrique, la variable Z disparait, et les rdsultats obtenus au paragraphe 4.3.~ deviennent (en coordonn@s pupillaires) :
pour la diMraetion normale (g dans un voisinage de N (cf. (32)) :
" F/; (40) O(N, t) ,~, ~ M L E(y) dy 8(t z i ) ,
off ~) est le domaine affect~ h y sur uue section trans-
versale de la pupille,
t + cos 0 2 E(y) est le champ (scalaire) de Darmois
sur la pupille.
pour la diffraction oblique (V ~: N) (of. (33)) :
M L 0 ( 7 C ( t ~ vi)~ (41) (I)(V,t) ~ - cotg~ n \ n s i n 0 J •
- - C ( t - vi) t - - c o t g 0 ~ y y A ( n s i n O '
\ / A
off A(y) t raduit l'~eart normal sur la surface d 'onde (profil g6om~trique).
4.4.4. Cas particulier d'une pupille d'amplitude (diffraction t) l'infini).
La surface d 'onde E est r igoureusement plane et l 'on a done :
~ ( P ) - o , V P .
4.4.4.1. Di]]raction oblique. a) L'dquation de E dans le rdf@entiel physique du
paragraphe 4.2 est :
X dY I P : X ; Y
tg0 d X - - t g0"
Par suite, l'616ment diff@entiel de surface qui intervient au paragraphe 4.4.2 est, selon (37), exprim6 /~ partir de :
1 (42) ~(X) isin 01 , VX.
b) Du fait que la surface d 'onde est plane, son inter- section avec le plan mobile [I t e s t unique, pour t donnd (J(t) 1, Vt) : elle consiste en une courbe de niveau, /~ l 'exclusion de toute surface finie (sauf pour 0 -- 0).
e) La relation entre le champ dlectrique E*(X) exprimd dans le rdfdrentiel physique et E(y) exprimd dans le rdfd- rentiel pupillaire du paragraphe 4.3.4 est ic i :
(43) E*(X) = E s~n--n0 ' (y - X / s i n 0).
d) En portant (42) et (43) dans l 'expression (38) de la fonction de profil, on obtient par d6rivation la r@onse percussionnelle /~ l ' infini d 'une pupille d 'ampli tude mono- dimensionnelle plane :
(44) �9 H(V, t ) (It O(t) X
d _ / - - e (t - - r162
(eeci pour 0 V= 0), formule qui rejoint celle de J. C. Vidnot et al. [1].
Cette expression montre que c'est la pente du profil d'amplitude du champ pupillaire qui rdgit la r@onse percussionnelle d 'une pupille d 'ampli tude.
e) L'expression (44), qui est rigoureuse, pourrait ~tre obtenue directement h part ir de l 'expression approchde (41). Cette identification est d'ailleurs normale, car la m~thode de perturbat ion du paragraphe 4.3 devient rigoureuse d6s lois que l '@art normal A est ident iquement nul.
4.4.4.2. DiMraetion normale (0 -- 0). L' intersection avec le plan mobile l l t est unique : il s 'agit de la pupille elle- m~me. On utilise la relation (39) darts laquelle :
K - - 1, X 1 0, Y y si 0 - - 0 ;
ou encore, ce qui revient au m~me, la relation (40) qui est ici rigoureuse. D'ofi, apr~s ddrivation, l a r @ o n s e percussionnelle :
(45) �9 H(N, t) = ( = M L E(y) dy 8 ' ( t - - -r/).
4.4.5. Cas particulier d'une pupille de transit (diffraction d l'infini).
Ce genre de pupille (qui gdn~ralise en lumi6re poly- chromatique la notion de pupille de phase, ou pupille aberrante) n ' in tervient que par sa r@art i t ion superficielle des temps de transit , d@omptds depuis la source ponctuelle jusqu 'a la face de sortie de la pupille. Celle-ci est donc d@rite par la forme gdom6trique de la surface d 'onde E, en tout point de laquelle on a :
E(y) = Cte -- E, Vy .
On utilisera la/ormulat ion approchde du paragraphe 4.4.3.
4.5.4.1. Di/jraetion normale (V ~ N). La formule (40) conduit ~ la r@onse percussionnelle :
n (46) H(N, t) ~ - M S E 8'(t - - zi) ,
e
off S est la surface de la pupille.
4.4.5.2. DiMraction oblique (V ~ N). En ddrivant par rapport /~ t l 'expression (41), dans le cas off E(y) = Cte, on aboutit h :
cos 0 It(V, t) ~ - - M L E 4 sin 2 0/~ sgn 0 •
dt ~y A - - ns~m-nO / A '
15/19 A. TI~:LEC., 30, n ~ 7-8, 1975
266 G B O N N E T . - - R I ~ P O N S E P E R C U S S I O N N E L L E E N D I F F R A C T I O N P O L Y C H R O M A T I Q U E
ce qui donne :
) (t~7) �9 H(V, t) ,-~ M L E ~ sinZ 0]~ •
dy ~ A -- , (0 =/= 0). n sin 0 ]
Cette expression montre que e'est la courbure du profil de la surface d'onde qui intervient dans la r6ponse percus- sionnelle d'une pupille de transit.
5. D ~ . T E R M I N A T I O N E X P ~ . . I ~ I M E N T A L E DE LA R ] ~ P O N S E P E B C U S S I O N N E L L E
pr6c6dente se r6duit tou t s implement fi :
H(~) -- F ~ ( z ) .
5.2. Interf6romStre eorrblateur.
5.2.1. Structure.
Pour appliquer ce qui prdc~de h la d6terminat ion de la r6ponse percussionnelle H(/Y/, S ; t) d ' un syst~me
optique, nous pouvons envisager l'interfEromOtre corrElateur dont le schdma de principe est d6erit figure 10. Nous t ra i tons d 'abord le cas d 'une r~ponse
h distance finie.
Le Laboratoire d 'opt ique de Besan~on a ddcrit [1] plusieurs m~thodes pe rme t t an t d ' a t te indre exp~ri- men ta lemen t la fonction de correlation temporelle de la r~ponse h l ' inf ini d 'une pupille cylindrique. Nous
nous proposons m a i n t e n a n t d 'envisager l '~tape sui- vante , qui consiste h d6terminer directement la r~ponse
d ' un systbme optique, en module et en signe, y com-
pris h distance finie. Pour y parvenir , nous nous appuierons sur un proc6d6 ~prouv6, en usage dans
l 'analyse des syst~mes.
5 .1 . A n a l y s e des s y s t ~ m e s (identif ication des
processus).
II
D LS [ - ~ D A : ' ~ - - - ~ - I : '
C:
R x
Fro. 10. - - Interf6rom~tre corrdlateur; schdma de principe.
a) Soit 3E un filtre, dont la r6ponse percussion-
nelle H(t) est h ddterminer. On excite le filtre par un signal X(t) aIdaloire stationnaire, dont la covariance propre Fx('r) est suppos6e ent i6rement connue :
Fx(~) = E {X(I) X* (t - - v)}.
b) On d~montre en thdorie du filtrage des s ignaux al6atoires [3] que la covariance mutuelle entrEe-sortie
est donn6e par le produi t de convolut ion :
Fyx('r) = E {Y(t) X* (t - - -r)} = (H ~r I~)(~),
c) Par suite, la mesure de cette covariance mutuelle, effectu~e au moyen d ' u n corrdlateur C (Fig. 9), permet
- {H " Vx)rr I
Fro. 9. - - Identification des processus. Schema fonctionnel.
d'aec6der h la rdponse percussionnelle H(t). Dans le cas g6n6ral, il faudra proc6der pour ce faire h une
dEconvolution par calculateur p rog ramm6: mais il existe une possibilit6 d 'dviter tou t recours h cette
op6ration. En effet, si le signal al~atoire est ~t corrdlalion
microscopique (brui t blanc), sa covariance est une dis t r ibut ion de Dirac, I~x(-~)= 8(-r), et la formule
a) Un diaphragme D 1 isole un voisinage du point S
de l 'espace-objet. I1 est 6clair6 par une source stable A de lumi~re
blanche, dont le champ 61ectrique rayonn~ suit une 6volution temporelle reprdsentde par la fonction
aldatoire stationnaire X(I). On synth6tise ainsi la source ponctuelle :
F(S, t) = ~sX(t) .
b) Le syst~me optique 8 h ~tudier est plac6 dans le bras sup6rieur de l ' interf~rombtre corr61ateur. Un diaphragme D 2 isole un voisinage du point /Y/, off l 'on d6sire mesurer la r6ponse percnssionnelle de S. Le champ en /Y/ est repr6sent6 tempore l lement par la fonetion al6atoire Y(t) (H ~ X)( 0 et le dia- phragme consti tue une source secondaire.
e) Un objectif 02, s t igmat ique et achromatique (ou mieux, un miroir parabolique), dont le foyer-objet
est appliqu~ au point M, engendre une surface d 'onde isochrone plane Y~I, parallble au plan R qu'elle 6claire.
d) Une fraction de la lumibre 6raise par la source S
vers le syst~me ~ est d6riv6e vers l 'objectif 01 , s t igmat ique et achromatique, par une lame semi- t ransparen te LS1, de fa~on telle que le foyer-objet de 01 soit en S. La surface d 'onde isochrone plane E~ qui en est issue 6claire le rficepteur R par l ' inter- m~diaire de la lame semi- t ransparente LSz, du miroir N e t d 'une troisi~me lame semi- t ransparente
A. T~LEC. , 30 , n ~ 7 -8 , 1 9 7 5 16/19
G . B O N N E T . - - R I ~ P O N S E P E R C U S S I O N N E L L E E N D I F F R A C T I O N P O L Y C H R O M A T I Q U E 267
LSz. Eventuel lement , une densit6 neutre T permet de rdgler l ' ampl i tude lumineuse transmise.
e) La longueur du bras infdrieur est ajustde en modif iant la distance d entre le miroir N e t la lame LS~.
f) L ' incl inaison z( de la surface d 'onde ~u sur le plan du rdcepteur R e s t ajustde par rota t ion de la lame LSa.
5.2.2. Analyse.
5.2.2.1. Onde ~ i . - - Elle est issue de la source S par deux transferts successifs, h t ravers le syst~me 8 (rdponse H), puis par diffraction (rdponse K) de la
source secondaire M.
a) La fonction de profil (w 2.6.4) relative h la rddmission de M est reprdsentde :
spatialement, par la surface d 'onde isochrone Z i , plane et parall~le au plan du rdcepteur R,
temporellement, par une dis t r ibut ion de Dirac qui t i en t compte de la durde 0 i d u t r a n s i t ; soit ~( t - - O~ .)
Par suite, la rdponse percussionnelle K--bcg[bt correspondante, per~ue sur le plan rdcepteur, est reprdsentde h u n facteur pros par 8 ' ( t - 0~).
b) I1 en rdsulte que la rdponse percussionnelle globale du point S au rdcepteur s 'exprime par
(H[S, /Y/; t] . ~' [t - - 0il)(t) .
5.2.2.2. Onde ~ . - - Il faut de m~me tenir compte de la diffraction du point S, ce qui donne lieu fi une rdponse percussionnelle reprdsentde :
spatialement, par l 'onde isochrone plane ~u
d ' incl inaison :( sur le plan rdcepteur,
temporellemenl, par ~ ' ( t - -0z) , off le temps de
t rans i t 0z ddpend de la longueur d du bras rdglable.
Si l 'on rapporte cette rdponse au plan du rdcepteur, il existe une relation b iunivoque entre l 'abscisse x
d ' u n de ses points Q et le temps de t rans i t local -~ occasionn6 par l ' incl inaison de l 'onde Y~:
x tg~/c .
La rdponse percussionnelle au point Q est ainsi
proport ionnelle h ~'(t --(}e - - z). Le rdcepteur t radui ra alors une plage de valeurs de z ; cette plage peut ~tre rdglde, en position, en agissant sur d, en largeur en agissant sur ~.
5.2.2.3. Rdcepteur. Supposons que sa rdponse soit proport ionnelle h l ' intensi td lumineuse en chacun de ses points : il fourni t alors la moyenne stalistique du carrd du champ rdsultant , puisque ce dernier est aldatoire s ta t ionnaire (thdor~me ergodique).
A cause de la liaison biuuivoque entre v et x, nous
exprimerons l ' intensi td lumineuse au point Q(x) par ~(~).
Enfin, la s ta t ionnari td des phdnom~nes ne faisant
ddpendre le rdsultat s tat is t ique que de la seule diffd-
fence (0 i - 0 z ) des temps de t ransi t , nous ferons disparaitre cette quant i td du ra i sonnement : elle sera impl ic i tement contenue dans z.
5.2.3. Thdorie.
5.2.3.1. Schdma fonctionnel. Ce qui prdc~de nous conduit h reprdsenter l ' interfdrom~tre corrdlateur par le schdma fonctionnel 6quivalent de la figure 11, dans lequel :
•
L2 ~--7~ ~ Z I{7)
FIG. 11. - - Schdma fonetionnel de l'interfdrom~tre eorr61ateur.
a) L'entrde est le signal aldatoire s ta t ionnaire X(t) dont la covariance propre ['x('~) est eelle qui r6gne au point source S [terminologie correspondant h la cohdrence temporelle de l 'opt ique] ;
b) la vole 1 comporte deux filtres en it6ration, de r6ponses percussionnelles H (syst~me optique) et 8'
(diffraction de la source secondaire M); la rdponse percussionnelle rdsultante est d o n c :
(48) H 1 = (H . ~ ' ) ,
et le signal de sor t ie :
/ dX' , r - (n x) (,. u
c) la vole 2 comporte le filtre de rdponse percus- sionnelle (diffraction de la source S) :
(49) H 2 = ~',
et fourni t en sortie :
dX Z = ( 8 ' * X ) = d~- ;
ce filtre ddrivateur de diffraction est suivi d 'une ligne d retard, dont le retard ~ e s t associd au point Q du rdcepteur ;
d) les voies 1 et 2 about issent h u n sommateur, suivi du rdcepteur R, qui dlabore l 'espdrance math6- mat ique du carrd de son en t r6e : c'est l ' in tensi td lumineuse au point Q :
I(~) = E {[Y(t)+ Z ( t - ~)[2} ,
ou encore :
(50) I(v) = Py(0) § Fz(0) § 2 Re Fyz(T),
Py(0) et Pz(0) sont les valeurs h l 'origine respectives des covariances propres de Y et de Z (intensit6s lumineuses individuelles des voies 1 et 2),
Fyz(T ) est la covariance mutuelle, alias cohdrence mutuel le temporelle ,du couple (Y, Z,).
5.2.3.2. Intensild lumineuse.
a) La thdorie des signaux aldatoires montre [3]
que
Fy : (H i * H~ * rx),
(51) Pz = (H 2 . H~ . Px),
Fyz= ( H i * H~ . Px),
17/19 A. T~LEC. , 30, n ~ 7-8 , i 9 7 5
268 G. B O N N E T . -- REiPONSE P E R C U S S I O N N E L L E EN, D I F F R A C T I O N P O L Y C I t R O M A T I Q U E
off H#(t) = H*( - - t ) reprfsente la distribution (ou fonction) adjointe; en particulier, [8'(t)] # -- - -~ ' ( t ) .
b) E t a n t donn6 les expressions (48) et (49) de H 1 et de H2, l ' in tensi t6 lumineuse au point Q du r6cep- teur vau t ainsi :
(52) I ( = ) = - - ( U * U ~ . P ~ ) ( 0 ) - - F x ( 0 ) - -
2 Re ( H . F~)(~),
off H est la r6ponsc percussionnelle H(M, S ; t ) du
syst~me o p t i q u e ; P ~ ( ~ ) = (Px * ~")(~) la d6riv6e seconde de la covariancc propre de la source S. Les deux premiers termes sont des constantes, entach6es de fluctuations stat is t iques que nous n 'd tudierons pas ici. La pat t ie principale du r6sultat de la mesure sur
le r6cepteur correspond ainsi au terme variable :
(53) . a(~) = (H . Fx)(~) .
5.2.3.3. Rdponse percussionnelle.
a) Pour que la mesure t raduise la rdponse percus-
sionnelle recherch6e, on voit daus (53) qu' i l est ndces- saire que (h un facteur cons tan t pros) :
(54) P~(=) = 8(~) ~ H(M, S ; =) = J(=).
b) Faisons in te rveni r par t ransformat ion de Fourier la densit~ spectrale dnergdlique yx(v)~-Px(~) de la source S. I1 en r6sulte la condit ion, valable h u n
facteur cons tan t p r6s :
( 5 5 ) �9 yx(U) = 1 / 4 7 r 2 V 2-
b) Traduisons cette condit ion en termes de longueur d'onde. L'intensitd spectrale ax(k) = (c/k 2) yx(C/k),
doit fitre telle que :
(56) �9 ~x(k) = Cte, V k.
I1 faut douc util iser une source dont la courbe spee-
trale d'~nergie est constante. c) Expr imons m a i n t e n a n t ce qui pr6c6de du point
de rue d e la pra t ique expdrimentale. Une source de lumi~re blanche, corrigde pour fournir
la courbe spectrale voulue darts la plage de 400 h 800 nm environ, possddera une longueur de cohdrence de l 'ordre du micron. Cette quant i t6 est tr6s petite h l '@helle de la pupille du syst6me optique, de l 'ordre de quelques centimStres. Le mfime rapport va sub- sister, dans le cas gdndral, entre le temps de coh6rence de la source et l '6 tendue temporelle de la rdponse percussionnelle. De ce fait, la d6rivde seconde ]?"x de la covariance de la source peut 16gitimement ~tre assimil6e h la d is t r ibut ion 8 : la source X(t) est h
eorrdlation microscopique [plus prdcisdment sa d6ri- vde X'(t)] et l ' interf6rom6tre corr61ateur fourni t ainsi
directement la rdponse percussionnelle ddsir&.
�9 H(M, S ; "~) = J(z).
d) Ce West que dans le cas off la rdponse percus-
sionnelle serait recberch6e dans un voisinage de l'axe du sgsl~me que cette approximat ion peut se t rouver en ddfaut ; il faut alors extraire la r6ponse percus- sionnelle de la relation (53) par un calcul de
ddconvolution.
5 .3 . R 6 p o n s e p e r c u s s i o n n e l l e ~ l ' inf in i .
5.3.1. Adaptation de l'interfdromdtre corr6- lateur.
Si l 'on cherche h ddterminer la rdponse percussion- helle d 'un syst6me diffractant h l ' infini , il est ndcessaire
de modifier le montage de la figure 10. I1 faut en effet isoler le r ayonnemen t dans la direc-
t ion V souhaitde, en faisant jouer au diaphragme D 2 le r61e d ' un filtre spatial.
Ce diaphragme sera alors plac6 au foyer-image d ' un objectif auxiliaire 0 a. Dans ces conditions, le t rans- fert entre la pupille de sortie du syst6me et le plan du rdcepteur R correspond au passage d 'une onde plane h une autre onde plane (syst6me afocal 0 a - - 02) : il s 'agit d 'une ligne & retardl
5.3.2. Intensit~ lumineuse sur le r~cepteur.
Ainsi, le schema fonctionnel de la figure 11 ne comporte plus de d6rivateur dans sa vole 1 et H 1 = H.
La relation (52) devient :
(57) Ioo('O=(H.H#.Fx)(o)--F~(O)--2 Re (H.F~)(~) ,
et le r6cepteur fourni t ainsi une grandeur associ6e h la d&ivde premiere de la covariance propre de la source :
(58) �9 J~(=) ( H . P~)(~).
5.3.3. Densit6 spectrale de la source.
I1 rdsulte de (58) que la covariance propre n6ces- saire est, fi un facteur cons tan t pros, telle que :
F~(~)oo = 8(~).
a) La densit6 spectrale 6nergdtique h rdaliser est done proport ionnelle h :
Tx(v)oo = f / 2 n "~.
b) L ' intensi t6 spectrale doit 6tre proportionnelle h :
�9 Zx(k)~ = 1/2 n)~.
En prat ique, elle d6croitra comme l ' inverse de la longueur d 'onde dans un spectre le plus large possible.
C O N C L U S I O N
La pr6sente 6tude a essentiel lement pour bu t d ' int~grer les ph6nom~nes de t ransfer t au sein des syst~mes optiques dans le cadre de la Thdorie des Sgst~mes lindaires.
Ant6r ieurement , une telle d~marche a 6t~ entre-
prise avec succ~s pour ee qui touche aux relations d' imagerie monochromat ique et, pour ne citer qu ' un exemple, le c61~bre concept de Fonction de transfert optique, qui e n e s t rdsult6, d~montre a bonda mmen t l ' int6r~t de cette m6thodologie.
A. TkLEC., 30, n ~ 7-8, 1975 18/19
G. B O N ~ I E T . - - R I ~ P O N S E P E R C U S S I O N N E L L E E N D I F F R A C T I O N P O L Y C H R O M A T I Q U E 269
I1 nous est donc appa ru n6cessaire d 'a l ler bien au- delh du domaine res t re in t de ces re la t ions obje t - image, observ6es sur une seule longueur d 'onde, pour mont re r que la Th6orie des Syst6mes lindaires est pa r fa i t ement suscept ible de rendre compte du compor- t emen t des syst~mes opt iques les plus g6ndraux, eu pr6sence d 'un r a y o n n e m e n t 6galement tou t h fair g6n6ral, donc polychromatique.
Darts ces condit ions, la g randeur descr ip t ive d ' un syst~me opt ique, sa Rdponse percussionnelle, concerne
la fois les dimensions d 'Espace et de Temps ; nous nous sommes a t tachds h e n 6tudier la s t ructure , la gen6se et la d6 te rmina t ion darts ce cadre spat io- t empore l issu du rejet de la cou t ra in te monochro- mat ique.
Consid~rant ddsormais Rdponse percussionnclle et Gain complexe comme les 6ldments f o n d a m e n t a u x des ph6nom6nes de t ransfer t opt ique, il nous est loi- sible d 'envisager de t r a i t e r dans ce nouveau forma-
lisme les probl6mes de diffraction po lychromat ique ,
de t rans fe r t de la coh6rence part iel le , de t r ansparence
opt ique, etc., avec, comme dessein final, une opt ique pa rax ia le coh~rente des syst6mes centrds e~l lumi6re
po lychromat ique : ce qui fera l ' ob je t de publ ica t ions ultdrieures.
Manuscrit re~u le 3 mars 1975.
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19/19 A. T~Le:C., 30 , n o~ 7-8, 1 9 7 5
