REPRESENTATION ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS DE … · 342 ROBERT SIPS [February numeriques appreciables. Pour les autres valeurs de n, et en particulier pour 77=0 (et = 7r) la formule

REPRESENTATION ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONSDE MATHIEU ET DES FONCTIONS

SPHEROIDALES, II

BY

ROBERT SIPS

Introduction

Dans un travail anterieur [l], nous avons etudie la representation

asymptotique des fonctions de Mathieu et des fonctions spheroidales lorsque

le parametre prend des valeurs elevees.

Les representations obtenues montrent que les fonctions en question

n'acquierent dans ce cas des valeurs appreciates que dans le voisinage im-

mediat du maximum absolu de la fonction. Dans cette region, les formules

asymptotiques donnent des valeurs remarquablement exactes, l'exactitude

etant d'autant meilleure que le nombre de zeros de la fonction est plus petit.

Cependant, au fur et a, mesure que Ton s'eloigne du maximum absolu, les

valeurs fournies par les formules asymptotiques deviennent de plus en plus

inexactes et finissent par ne plus meme avoir l'ordre de grandeur correct. De

plus, les valeurs dans cette region sont extremement faibles (de l'ordre de

e_>":, alors que d'apres les formules asymptotiques, cet ordre serait e-1'2^) et

il devient materiellement impossible de les calculer au moyen des developpe-

ments en serie habituellement en usage.

Dans les present travail, nous donnons des formules asymptotiques qui

permettent le calcul direct des valeurs des fonctions dans le domaine ou les

formules etablies anterieurement sont inutilisables.

I. Fonctions de Mathieu

1. Les fonctions de Mathieu sont les solutions periodiques, de periode

27r, de l'equation differentielle

d2y ( (Xc)2 \(1) -+(«- —cos 2„)y = 0.

Dans ce qui suit, nous representerons, de la maniere habituelle, par cen(v)

et sen(n) celles de ces solutions qui, pour Xc = 0, se reduisent respectivement a,

cos nn et sin nn, et qui, de plus, verifient la condition de normalisation

/, 2x 2 r2* icen(v)dv = I sen(ri)din = tr.

o J o

La valeur correspondante de la constante de separation sera representee

par an ou bn-

Received by the editors April 29, 1957.

340

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REPRESENTATION DES FONCTIONS DE MATHIEU 341

On sait que, lorsque Xc est tres grand et que n est compris 0 et ir, cenin) et

se,4(ij) sont represented asymptotiquement par les formules suivantes

ceniv) ^T , s 1 /Dn+iia) Dn+2ia) re(re + 1)

se„ir)) L 2Xc \ 16 4 4

re(re-l)(re-2)(«-3) \ 1 /Z)n+8(a) 7>n+6(«)

16 7 (2Xc)2\ 512 64

re + 2 re2 — 25re — 36-— 7>„+4(a) H-—- T9„+2(a)

16 64

re(re- l)(-w2 - 27w+ 10)(3) +-^—- 7J„_2(a)

64

, »(» - 1)2(» - 2)(re - 3)i-—- Dn-iia)

16

re(re - 1) • • ■ (re - 5)-—- 7»„_6(a)

64

re(re — 1) • • • (re — 7) \ 1+--J^- Dnsia)) + 0(X<T») J

ou a = (2Xc)1/2 cos i) et ou la constante C a la valeur

(ttXc)1/4 r ci c2 "1

(4) C = —- 1 +-+——+■••21'2(«!)1'2 L 2Xc (2Xc)2 J

avec

ci = n + 1/2,

(re + 1) • • • (re + 4) + re(re - 1) • • • (re - 3)c2 =-

256

(re+ l)(re+ 2) + re(re - 1)

16

2re2 + 2re + 1+ 9-7,-

8

Nous avons donne, dans [l], ces formules sous une forme un peu diffe-

rente.

La representation asymptotique (3) donne la valeur des fonctions cen et

sen, lorsque c est assez grand et re assez petit, avec une exactitude remarquable

pour les valeurs de r\ contenues dans un domaine assez etroit voisin de

■n=w/2, domaine ou, en fait, les fonctions prennent seulement des valeurs


342 ROBERT SIPS [February

numeriques appreciables. Pour les autres valeurs de n, et en particulier pour

77=0 (et = 7r) la formule (3) donne des valeurs totalement inexactes qui n'ont

meme pas l'ordre de grandeur correct.

Nous donnerons ci-dessous des formules utilisables dans cette derniere

region.

2. Les fonctions cen et sen satisfont a, deux groupes d'equations integrates

lineaires

a.

(5) cen(n) = Xn J eiXc cos ' oos *<cen(vo)dVo,

(6) sen(-n) = p„ I eiXc cos«cos*> sin 77 sin r)0sen(vo)drio.

J —jr

b.

(7) cein(v) = hn j eXc sin ' sin i<>ce2n(vo)dr,o,

(8) se2n+x(ri) = jEi2„+i I eXc sin ' sin *> se2n+x(r)o)dvo,

(9) sein(i)) = piin I eXc sin ' sin 10 cos t) cos T]osein(r)o)dvo,

(10) ce2n+i(ri) = X2n+1 I eXc sin ' sin '» cos -n cos r,0cein+x(vo)dvo.J —JT

De ces equations on deduit immediatement que

Xin (if \(11) ce2n(0) = — cein( —),

X2n \ 2 /

t X2n+1 , / 7T\

(12) ce2„+i(0) =-ce2n+il — 1,Xc X2n+i \ 2 /

, t/I2n , / x \

(13) se2n(0) =-•^"I't)'M2n \ 2 /

• / M2n+1 / X \

(14) se2n+x(0) = Xc- se2n+xl—-YPin+l \ 2 /

de sorte que le probleme de la determination de la valeur asymptotique des

fonctions cen et sen pour 77 =0 se ramene a. la determination de la representa-

tion asymptotique des constantes caracteristiques X„, pn, Xn, p„.

Nous avons deja donne precedemment [2] les valeurs asymptotiques des

constantes X„ et p„, que nous reproduisons ci-dessous


1959] REPRESENTATION DES FONCTIONS DE MATHIEU 343

(2Xc)1'2r 2re + 1 16k2 + 16» + 7 "j-1(15) X„ = »■-— l +-+-+ • • • ,V 4(7r)1'2L 4Xc 32(Xc)2 J

(2XC)1'2 f 2w + 1 8re2 + 8re + 5 T1(16) un+i = in-1-• • •

4W1'2L 4Xc 32(Xc)2 J

et nous allons maintenant rechercher les representations correspondantes des

constantes X„ et Jxn-

3. Considerons pour commencer l'equation (7) et supposons 0<?7^7r, de

sorte que sin ?j>0. Alors Xc sin n sin -qo sera positif pour 0<rjo^rj etnegatif

pour —irî7o<0. D'autre part, pour Xc tres grand, cc2„(r;o) ne prend des

valeurs appreciables qu'aux environs de r]o=tr/2. II en resulte que le partie

de l'integrale prise entre — t et 0 sera de l'ordre de e~2U par rapport a. la

partie prise entre 0 et it et pourra en consequence etre negligee.

On aura done asymptotiquement

(17) ce2nin) = X2n I eXc sin 'sin "»ce2nir,0)dr,o + 0(e"2Xc).

J 0

De meme, si sin n<0, on aura

(170 ce2niv) = X2n | e-Xc 8in '8in '»ce2„(i?0)rfi7o + Oie~2Xc).J 0

On peut montrer de la meme maniere que, pour 0<??^7r

(18) se2n+i(rf) = M2n+i I eXc sin » sin ^se2n+iivo)dr,o + 0(e-2Xc)

J o

et, de plus, comme les representations asymptotiques de ce2n et se2n+i sont

identiques pour 0^n^r/2, on aura egalement l'egalite asymptotique sui-

vante

(19) X2„ = /i2„+i.

4. Posons, dans l'equation (17)

(20) a = (2XC)1'2 cos V, a0 = (2Xc)I/2 cos r,0

ce qui la transforme en

hn r (2XC)1'2 2 1/2 2 1/2

(2Xc)1/2J_(2xc)1/2

(21)

yinioto)-(ta0.

(l - <)'"\ 2XcJ



ou nous avons pose

(22) ce2n(rj) = Cy2n(a)

c'est-a-dire que yn(a) represente la quantite entre crochets dans (3). Xc

etant tres grand, nous pourrons prendre comme limites d'integration — oo et

oo. En faisant encore a = 0, nous obtenons finalement

(23) y2„(0) = 2" e"x< f e-"2i^(a)y2n(a)da(2Xc) J-x

en posant encore, pour abreger

,, "p(>c(('-0"-' + f))=-?77Zr-

\ 2Xc)

En developpant 2(a) suivant les puissances decroissantes de Xc on trouve

1 12(a) = 1 -|-(23a2 - a4) A.-(26 • 3 • a4 - 25a6 + a8)

26Xc 211(Xc)2

1(25) -1-(29-3-5a6 - 26-32-5a8 + 23-32-a10 - a12)

21«-3-(Xc)3

1-1-(212-3-5-7a8 - 212-3-7-a10

223-3-(Xc)4

+ 27-3-7a12 - 26-3a14 + a16) + • • ■ .

En introduisant dans (23) cette valeur de 2(a) ainsi que la representation

asymptotique (1) (dans laquelle il nous a fallu encore tenir compte en plus

des termes en Do(a)/(2Xc)3 s'ils existent) on obtient finalement, apres un

calcul simple, mais assez fastidieux, les valeurs suivantes

(2XC)1'2 / 1 3 \(26) Xo = flx =-— e-Xc (1-• • • ],

(2T)1'2 \ 8Xc 64(Xc)2 /

(2Xc)3'2 / 11 19 \(27) X2 = p3=i--— e-Wl-• • • ).

(2X)1'2 \ 8Xc 32(Xc)2 /

Le terme dominant du developpement asymptotique de X2n a la forme

suivante

(2Xc)"+1'2(28) %2nÂ2ng-u___.



Nous avons calcule la valeur de la constante ^42„ pour re = 0, 1, 2, 3 et avons

obtenu les valeurs suivantes

Ao = 1, A2 = 4,

Ai = 16/3, At = 64/15.

On constate que pour ces valeurs de re

23nre!

(29) A2n = — ■2re!

II parait probable, bien que nous n'ayons pas jusqu'ici reussi a, le demontrer,

que cette formule est generale. Si cette hypothese est exacte, on aura

23"re! (2Xc)"+1/2(30) X2n-e-*°-

2re! (27T)1'2

5. Dans le cas des fonctions ce2„+i et se2n, nous utiliserons, de la meme

maniere que plus haut, les equations integrates (9) et (10). En admettant

que 0<-!?^7t/2, il suffira encore une fois de considerer uniquement l'integrale

prise entre 0 et it, et on constatera de plus que, asymptotiquement

(31) X2„+l = p2n+2-

La valeur de X2n+i sera donnee par la relation suivante, analogue a (23)

/CO

e-<"2/4aS(a)y2„+1(a)cfQ:.-OO

En introduisant dans cette relation le developpement (25) de 2(a) et la

representation asymptotique (1) (dans laquelle il faudra cette fois ci tenir

compte des termes en 7>i(a)/(2Xc)3, s'ils existent), on trouve, apres un calcul

simple, mais assez laborieux, les valeurs suivantes

Ai = p2

(2Xc)3'2 / 3 15 \(33) =---r^ 1-• • • ),

(27T)1'2 \ 8Xc 64(Xc)2 /

^3 = Pi

(2Xc)6'2 / 17 87 \(34) = 4/3-— e-^(l-• • • ) •

(2X)1'2 \ 8Xc 128(Xc)2 /

Le terme dominant du developpement asymptotique de X2„+i a la forme sui-

vante



(2Xc)"+3/2

(35) X2n+1 = B2n+ie-^ ——— ■

(25T)1'2

Nous avons calcule la valeur de laconstante B2n+i pour re = 0, 1 et 2, et

obtenons

Tii = 1,

Bz = 4/3,

Bf, = 16/15.

On constate que pour ces valeurs de re

23"re!(36) B2n+i =-

2re + 1!

II parait fort probable que cette formule, comme (29), est generate. On aura

done dans ce cas

23"re! (2Xc)"+3'2(37) X2n+i-e"x< / N , •

2re+l! (2x)^2

6. Comme verification numerique des formules obtenues ci-dessus, nous

avons compare les valeurs exactes, pour Xc = 12, de ce0(0), ceÔ), ce2(0),

ce3(0) et de se/(0), se2 (0), seiiO), obtenues a. partir des tables de E. L. Ince

[3], avec les valeurs asymptotiques de ces memes quantites calculees au

moyen des formules (11), (12), (13) et (14). Les valeurs des fonctions pour

n=ir/2 ont ete calculees au moyen de (3) et (4) et celles de A„, un et X», pn

respectivement en utilisant (15), (16) et (26), (27), (33) et (34). Les resultats

sont donnes dans le tableau ci-dessous:

Valeur exacte. Valeur approchie.

ce0(w/2) 1,737833 1,73769ceo(0) 0,0000306 0,0000300

sei(ir/2) 1,737833 1,73769sei'(0) 0,0003508 0,000350ce[(w/2) -8,226091 -8,22597cei(0) 0,0002968 0,0002936

sei(*/2) -8,226091 -8,22597i«2'(0) 0,0030894 0,0030705

ce2(x/2) -1,182423 -1,18565ce2(0) 0,0019718 0,0019465

sei(ir/2) -1,182427 -1,18565se'3(0) 0,0182617 0,018336

cel{ir/2) 9,388572 9,17212ce3(0) 0,0103295 0,010725



On remarquera que, comme toujours, l'exactitude diminue notablement

pour une meme valeur de Xc, lorsque ra augmente.

Comme autre exemple numerique, nous avons calcule la valeur de ce0(0)

pour Xc = 80. Cette valeur a deja ete calculee precedemment par G. Blanch

[4] par une methode sur laquelle nous reviendrons plus loin. G. Blanch trouve

que

ceo(0) = 1,44-10"34

tandis que nos formules asymptotiques donnent

ce0(0) = 1,43782-10-34.

On voit que l'accord est excellent et, en fait, la seconde valeur est certaine-

ment plus exacte que la premiere.

7. Ayant ainsi obtenu la representation asymptotique de cen(0) et de

seH(0), il nous faut maintenant rechercher la valeur des fonctions cen(v) et

sen(ri) elles-memes aux environs de 77 = 0.

Nous utiliserons dans ce but les equations integrales (7), (8), (9) et (10).

Comme nous l'avons deja dit plus haut, lorsque Xc est grand, les fonctions

cen et sen ne prennent des valeurs appreciates qu'aux environs de t) = -k/2,

c'est-a-dire precisement dans le domaine d'utilisation de la representation

asymptotique (3).

Si done nous introduisons ce developpement dans les equations integrales,

le resultat sera certainement une bonne approximation des fonctions cen et

sen pour toutes les valeurs de 77.

Considerons, pour commencer, les fonctions ce2„ et se2n+x et, pour simpli-

fier, nous n'utiliserons que le premier terme de (3). Done, entre 0 et it,

ce2n(v) ~ se2n+i(y) ~ CD2n(a),

et entre x et 2-ir,

ce2n(v) ~ — se2n+i(r>) ~ CD2n(a).

On peut par consequent ecrire

cein(n) %2n ) r*12(38) = C (eXcsin'5in"»± e^Xcsin'sin'<')72n((2Xc)1/2cos77o)<f77o.

•S«2n+l(77) Pin+l J J -r/i

La fonction a. integrer passant, pour 770 = 0, par un maximum tres accentue

lorsque Xc est tres grand, nous obtendrons une valeur approchee de l'integrale

definie en remplacant partout sin 770 et cos 770 respectivement pas 770 et 1 — 770/2

et en prenant comme limites d'integration + 00. II vient ainsi

(39) f (ex= ̂ n ,d-,o2/2) + e-Xcsin'(1-™2/2))e-x"'»2/277e2n((2Xc)1/27?o)^77oJ —M



oil 77e2n designe le polynome d'Hermite. Ceci peut encore s'ecrire

eXc sin , f g-2Xc cos2 (t/4-,/2) ■ 1<,2l*He2n((2\c) 1/277o)<Tr;o

(40)/% oo

+ g-Xc sin , | g-2X, sin2 (r/4-,/2) V/2/7e2B((2Xc) ^2r,o)dV0.

J -co

On sait d'autre part que

(41) f e-**l2He2niax)dx = ^tt)1'2 —— (a2 - 1)»J-co 2"w!

et par consequent, finalement

,Jn, ce2niv) = A„ ) „ (2X)1'2 2»+12re!

(42) > C-sc2„+i(t>) = M2n+J (2Xc)"2 re! cos '-+'17

.[gXc sin , CQS 4n+l(x/4 _|_ ^/2) + g-Xc sin , sin4»+l („./4 _(_ ,,/2)].

Nous retrouvons ainsi le premier terme d'un developpement asymptotique

des fonctions de Mathieu du a, S. Goldstein [5], mais avec en plus un coeffi-

cient numerique permettant directement le raccordement avec le developpe-

ment (3).

S. Goldstein avait obtenu le developpement (42) directement a. partir de

l'equation differentielle (1). Son precede, qui est sans aucun doute le plus

commode pour obtenir les termes suivants du developpement, ne peut ce-

pendant pas fournir la valeur du coefficient numerique correspondant a.

la normalisation (2) puisque (42) devient infini pour rj=ir/2.

II est facile de voir pourquoi le developpement (42) n'est pas utilisable

pour ?7=7r/2. En effet, pour cette valeur, la seconde integrate definie de (40)

devient infinie. En fait, un calcul plus exact montre que la seconde integrate

definie de (38) est 0(e-2Xc) pour r\=ir/2 et est done negligeable. II reste done

uniquement la premiere. En la calculant, on trouve qu'avec l'approximation

utilisee plus haut, elle s'annule identiquement, sauf pour « = 0.

Ceci montre que l'approximation fournie par l'utilisation de la methode

du col est insuffisante pour n voisin de x/2.

On arrive evidemment a. la meme conclusion si Ton considere les fonctions

ce2n+iiv) et se2nin). On trouve, pour 77 voisin de 0:

ce2n+iiv) = Wi) (27r)^2 2"+32re + 1!

(43) se2n+2iv) = p2n+2] (2Xc)3'2 re! cos2^2 r,

• [ex<: sin 1 cos4^3 (tt/4 + n/2) ± e~u sin ' sin4n+3 (x/4 + t?/2)].

Les formules (42) et (43) peuvent evidemment etre utilisees pour le calcul

des valeurs numeriques des fonctions ce et se aux environs de 77 = 0. A titre



d'exemple, nous reprendrons le cas cite plus haut de ce0(0) pour Xc = 80. La

formule (42) donne, en ne conservant que le terme dominant dans (4)

(2XC)1'2 (xXc)1'4 (2x)x'2ceo(0) =--— e-*«--—— 2(2)!'2 = 2(xXc)1'4e-Xc

(2x)4'2 (2)1'2 (2XC)1'2

(44) = 1,43724-10"34.

Si Ton desire utiliser, pour plus d'exactitude, plusieurs termes du de-

veloppement de Goldstein, on devra, pour determiner le coefficient de rac-

cordement, utiliser la valeur de ce„(0) ou de sef, (0) obtenue par la methode

indiquee plus haut. On constate, en procedant ainsi, que les deux developpe-

ments asymptotiques (3) et (42), bien qu'ayant des domaines d'utilisation

differents, donnent des valeurs concordantes dans une region assez etroite.

C'est cette propriete qui a ete utilisee par G. Blanch pour calculer la valeur

de ce„(0) pour Xc = 80.

Pour representer les fonctions de Mathieu aux environs de n=ir/2, on

peut envisager egalement de developper, dans (38), la premiere exponentielle

en serie de puissances decroissantes de Xc la de maniere suivante

2 4 2 2 4. „ T 8ao — a + 2a ao — ao

(45) eXc Bin ' sin ,0 = eXc— 1'4'a +ao '1-1_(- • • •

L 32(Xc)2 J

et utiliser, sous le signe integrale, la representation (3).

La calcul montre que Ton retrouve par cette methode le meme developpe-

ment (3). On peut evidemment calculer ainsi X„ et jln, mais le calcul est encore

plus laborieux que par le precede utilise plus haut, et le resultat est identique.

II. Fonctions spheroidales allongees

1. Les fonctions spheroidales associees a l'ellipsoide de revolution allonge

sont les solutions de l'equation differentielle

d T dy~\ / 77t2 \

(1) *L<1-"',*J + (°-x',:V-r37)' = 0

telles que le produit (1 —p2)~ml,y(p) est regulier aux environs des points

P=+YDans ce qui suit, nous designerons par Pe™(p) celle de ces solutions qui

se reduit a la fonction spherique associee P%(p.) lorsque c = 0 et qui verifie la

condition de normalisation habituelle

F1 r m , 2 ra — ml(2) [Pen(»)]2dn = —— ——- •

J -i 2n + 1 n + ml

La valeur correspondante de la constante de separation a sera representee

par a™.



On sait que, lorsque Xc est tres grand, les fonctions Pe„(p) peuvent etre

representees asymptotiquement, aux environs de p, = 0, par la formule suivante

m i mli I 1 I 1 mPen(n) = C(l-p) { Dp(a) + — -- 7p+4(a) + — 7p+2(a)

1 2XcL 16 2

«M-1)_ , ,,P(P~ l)(7>-2)(/>-3) "IH-~-■ Dp-2(a) H-—-7p_4(a)

2 16 J

1 r 1 m 2p + 5 - Am2+ (^ L5T2Dp+sia) ~ n Dp+6(a) ~ - ~ir ~ Dp+i{a)

(3)(p2 - 25p - 36)m (p2 + 27p- 10)p(p - Y)m

-32-Dp+2(a> ^-7~2-7p_2(a)

(2p-3 + 4m2)p(p - l)(p - 2)(p - 3)-32-Dp-i(oi)

p(p - 1) • • • (p - S)»-32- ^-e(a)

p(p - 1) ■ ■ ■ (p - 7) -] )+ —-^-—-" 7p_8(a)J + 0((Xc)->)j

ou a = (2Xc)1/2/i et ou la constante C a la valeur suivante

1 /4Xc\1/4/ /> + 2ml \112 ( cx c2 V1'2(4) C = — -) (—-) c„ + -+ ---+••)

pl\ w J \2p + 2m + 1/ \ 2Xc (2Xc)2 /

avec c0 = l, cx= —m(p + l/2),

(p + l)(p + 2)(p + 3)(p + 4) + p(p - l)(p - 2)(p - 3)c2 =-

256

, AP + D(P + 2) + p(p - 1) 2p2+2p+l— 3ml-V 3m(m — 1)- •

4 2

Le nombre p est egal a n — m.

Nous avons donne ces formules, sous une forme un peu difference, dans

[1].La representation asymptotique qui precede donne la valeur de la fonc-

tion Pe^(p), lorsque Xc est grand et ra et rat petits, avec une exactitude re-

marquable pour les valeurs de p. contenues dans un domaine assez etroit

voisin de ju = 0, domaine ou, en fait, la fonction prend seulement des valeurs

numeriques appreciables. Pour les autres valeurs de p, et en particulier aux

environs de p = l, la formule (3) donne des valeurs totalement inexactes et

qui n'ont meme pas l'ordre de grandeur correct.



Nous donnerons ci-dessous des formules utilisables dans cette derniere

region.

2. Les fonctions Pe™(u) verifient deux groupes d'equations integrates

lineaires

a.

rc\ u *"/ -v \m C -**•/( 2\m/2/i 2\m/2Dmr \J(5) Pe„in) = X„ I e (1 — /* ) (1 — /io) Pen(no)dno.

h.

m m C r i l/2 2n1/21 "•/(6) Pen(u) = An I 7m[Xc(l — u) (1 — no) JPc„(yuo)aMo (n — m pair).

m m f* r 2n1/2/ 2s1/2l "V(7) Pe„(M) = A„ I 7m[Xc(l — u ) (1 — u0) \nnoPen(iio)duo (re — re? impair).

De ces equations on deduit que, pour re— m pair

. . rn, v m f , 2^m/2_ m, . .

(8) Pe„(0) = \n J (1 - /i ) Pen(u)d,x,

, , , ,—m/2 m, , m (Xc)m /* 2 m/2 m, ,

(9) lim (1 - m2) PenW = An - I (1 - u ) Pen(»)dviM-i 2mm! J_i

et, par consequent

2 —m/2 m (Xc) Are m(10) lim(l-M) Pen(u) = -^- —- Pen(0).

m=i 2™re»! X™

Pour n—m impair, on a

(11) PeT(0) = - i\c\nf (1 - u)ml2nPeZ(tx)du,

—m/2 m m (At) C 2 m/2 m

(12) lim (1 - u2) PeM = An- I (1 - u ) uPen(u)duii-i 2mm\ J_i

et, par consequent

. .TO—1 m

2 —m/2 m VAC) Are /m(13) lim (1 - u) Pen(n) = i —-Pen (0).

p.=i 2mml Xm

La determination de la valeur asymptotique des premiers membres de (8) et

(9) se ramene done a. la recherche de la representation asymptotique des

constantes caracteristiques X™ et A„\



3. II resulte de la representation asymptotique (3) que la fonction Pe^(p)

ne prend des valeurs appreciables que dans le voisinage de p = 0. Dans ces

conditions, nous pourrons, dans les equations integrales (6) et (7), remplacer

la fonction de Bessel par son developpement asymptotique

e' f 4m2 - 1 (im2 - l)(4m2 - 9) "I(14) Im(z) = - 1 +-+ --'-+... .

(2xz)1'2L 8z 128z2 J

En developpant suivant les puissances decroissantes de Xc, on obtient

(15) 7„[\c(l - m2)1/2](1 - M2)m/2 = (2xXc)-1/2eXc"°'2/42<-"(«)

ou, comme plus haut,

a = (2Xcyi2/x

et oil on a pose

1 r2<»0(a) = 1-[22(2m - l)a2 + a4]

25Xc

1-|-[2H2m - l)(2m - 5)a4 + 2H2m - 3)a6 + a8

2u(Xc)2

1-I-\-2\2m - l)(2m - 5)(2m - 9)a6

3-216(Xc)3

(16) - 24-3(4w2 - 20m + 19)a8 - 22-3(2w - 5)a10 - a12]

-^-D^-^t^-^ + a4]

H-[24(2m - 3)(2m - 7)a4 + 23(2m - 5)a6 + a8]l2 (Xc) )

+ (4m2 - l)(4m2 - 9) <-[22(2w - 5)a2 + a4]ll2'(Xc)2 2I2(Xc)sL j

1- (4m2 - l)(4m2 - 9) (Am2 - 25)-

3-210(Xc)3

Supposons maintenant ra — m impair. Nous aurons

/X r , 2 1/2, m, .Im[Xc(l - M ) ]Pen(u)du

C n (2Ac)1/2

= - I 7m(Xc(l - a2/2Xc)1/2)(l - a/2Xc)m'2uZ(oi)da(2XC)1'2 J_(2xc)V2



en appelant re"(a) la quantite entre crochets dans (3). Pour Xc tres grand,

ceci pourra encore s'ecrire

eXc ~ co _a2/2 (ro)

= C- I e 2 (a)un(a)da2\cW1'2J-x V

et par consequent, en tenant compte de (6)

1/2 — Xc m, „. •» (2) Xce «„(0)(17) An =-■ •

1 rx- j e~a2l4XM(a)u^(a)da(2ir)1'2J^ "W

De meme, pour n — m impair, on aura

.. m 2(2) (Xc)e 11,(0)

- I e~"2'4a'S(m'>(a)uZ(a)da(2t)1I2J-x

4. Le calcul effectif des valeurs asymptotiques de A™ a. partir de ces

formules et de (3) est long et fastidieux. Nous donnerons ci-apres les valeurs

calculees pour les 10 premieres fonctions Pe™. II est a noter que, pour ce

calcul, nous avons du, dans certains cas, tenir compte de termes en (Xc)-3

dans le developpement (3).

a. n—m pair.

0 , Nl/2 -xc/ 1 19 \Ao = (2) Xce (1-),

V 22Xc 27(Xc)2/

1 , „ 1/2 -Xc / 1 15 \Aj = (2 'Xce (lH-H-),

\ 22Xc 27(Xc)7

2 , Ni/2 -xcA 7 429 \A2 = (2) Xce (1 +-+-),

V 22Xc 27(Xc)2/(19)

3 ,/2 -xo/ 17 1466 \A3=(2 Xce (1+-+-),

V 22Xc 27(Xc)2/

0 „ ,1/2, s2 -Xc / 6 117 \Aj = 8(2) (Ac) e (1-),

V 22Xc 27(Xc)2/

i 2 -xo / 20 2461 \A3 = 8(2)!'2 Xc) e (1-+--).

\ 22Xc 27(Xc)2/



b. w—wt impair.

0 1/2 2 — Xc / 1 55 \

i:-i?m»MW,—L-JZL),3 \ 22Xc 27(Xc)2/

(20)1 , , 1/2, ,2 -Xc / 27 \

A,-2(2) M. (i + ...+_),

2 , i/2/ N2-Xc/ 3 729 \A, = 2(2 Xc) e (1+-+-).

V 2Xc 27(Xc)2/

Le calcul des 17 premieres valeurs de A™ nous a montre que, dans tous les

cas, le terme dominant du developpment asymptotique avait la forme suivante

a. w— m pair.

m 2H-1/2 .P/2+1 (7>/2)! -Xc(21) An = 2 (Xc) -e .

pl

b. ra—rat impair.

.... m 2p-l/2 p/2+3/2 ((/> - l)/2) ! _Xc(22) A„ = 2 (Xc)-e .

Ces relations sont vraisemblablement exactes dans tous les cas, mais nous

n'avons pas pu le demontrer jusqu'ici.

5. Nous allons maintenant calculer la valeur asymptotique des constantes

caracteristiques X™ de l'equation integrale (5). Ce calcul est beaucoup moins

complique que celui des A™. On remplace, dans l'equation, p. par (2Xc)_1/2a

et Pe™ par son developpement asymptotique (3), puis on developpe en serie

de puissances decroissantes de Xc. En prenant comme limites d'integration

— oc et oo au lieu de ±(2Xc)1/2 et en tenant compte de ce que

f e-i^nDp(ao)dao = 2i-p(iryi2Dp(a)

on constate que le second membre peut se mettre sous forme d'une serie de

fonctions paraboliques. En identifiant les coefficients de Dp(a) dans les deux

membres, on trouve que

„ P (2XC)1'2 r m(2p+l)

Xn = I - 1-2(x)!'2 L 2Xc

(23)m2(4p2 + 4p+ 1) - 3m(2p2 + 2p + 1) "l"1

+ ~ 8(Xc)2 ' ' ' J



Le calcul est en tous points identique a celui des constantes caracte-

ristiques de l'equation integrate (I, 5) des fonctions de Mathieu.

6. Connaissant ainsi la valeur des constantes A™ et X^1, il est maintenant

possible de calculer

2 —m/2 m

hm (1 — u ) Pen(fi)ju=l

a partir de (10) et (13).

Pour verifier numeriquement l'exactitude de nos formules, nous avons

compare les valeurs numeriques qu'elles fournissent avec cedes obtenues au

moyen des tables de J. A. Stratton et al [6] pour la valeur de Xc la plus

elevee contenue dans ces tables, c'est-a-dire Xc = 8.

Pour cette comparaison, nous avons tenu compte de ce que la condition

de normalisation de ces tables est differente de la normalisation rationnelle

generalement admise et exprimee par (2). Le tableau ci-dessous contient les

resultats obtenus. On voit que, comme toujours avec ce genre de developpe-

ments, l'exactitude est tres bonne pour re et m petits, mais diminue progres-

sivement au fur et a mesure que re et m augmentent.

n= 0 12 12 2

m= 0 0 0 112

P<£(0) exact 1,7628 0 -0,5195 1,4434 0 3,9051

Pe"(0) approximate 1,7634 0 -0,5246 1,4192 0 3,7640

Pe'l{0) exact 0 3,8451 0 0 7,3873 0Pe'™(0) approximatif 0 3,8573 0 0 7,3052 0

Pe"(n) exact 0,005726 0,02400 0,08790 0,01881 0,1604 0,1179lim-•

"-1 (1-m2)"*/2 approx. 0,005732 0,02415 0,09014 0,01842 0,1579 0,1116

7. Ayant ainsi obtenu la representation asymptotique de

2 — m/2 m

hm (1 — n ) PenWC=l

il nous faut maintenant rechercher la valeur de la fonction Pe^(p) elle-meme

aux environs de u= 1.

Nous utiliserons pour cela les equations integrates (6) et (7) ou, dans le

second membre, nous remplacerons la fonction Pem(/u) par sa valeur asymp-

totique (3). II est bien evident que le calcul se ramene a celui des integrates

definies suivantes



(24) ll = j ]7m[Xc(l - mY/2(1 - Mo)1/2]e"XC',o!/277c2j)((2Xc)1/2Mo)ô!

m C* r 2\1/2/ 2\1/2i -Xcm2/2 1/2(25) lip+i = I 7m[Xc(l — a) (1 — mo) jMMoe He2p+i((2Xc) moMmo.

La fonction 7m(z) est une fonction rapidement croissante de z pour les

valeurs pas trop faibles de z et pas trop grandes de wt, ce qui est le cas actuelle-

ment, mais on sait que si Ton pose

(26) Im(z) = e*d>m(z)

la fonction <pm(z) ne varie que tres lentement avec z. En posant

(27) Mi = (1 - M2)1'2

nous pourrons done ecrire, en remplacant dans l'exponentielle (l—p.2,)112 par

l-Mo/2,

m leu f° -X«(l+Mi)|.,*/* f , -. . ^c/*l 2 ,J-ip = e I e d>m(Xcni)-mo<p™(Xcmi,)

•7 —oo L £

H-mo01'(Xcmi) — • • • 77e2p((2Xc)1/2Mo)^Mo8 J

ou encore, en posant en outre

(Xc(l + Mi))1/Vo = t,

eXca, „co I- ti

lip = -■-e~*/2 <£»-4>m(Xc(l+Ml))1/2J-W L 2(1 +Ml)

MiV 1 / /l + Mi\-1/2\ 3

8(1+mi)2 J \\ 2 / /

En tenant compte des integrales definies suivantes

(28) f e-lii2He2p(at)dt = (2x)^2 — (a2 - 1)',J-* 2ppl

(29) f <r'*lH2Heip(at)dt = (2x)J'2 — [(2/> + l)(a2 - 1)" + 2p(a2 - l)*-1],J-oc 2'pl

[ e-''l2tiHeip(at)dt = (2x)J'2 — [(2p + l)(2p + 3)(a2 - 1)"J~x 2ppl

(30)+ 4p(2p + l)(a2 - l)"-1 + 4p(p - l)(a2 - l)p~2]

il vient



eXc"! 2pl r (1 - ui\p

h>- (xc(i+,!))- {2*)m^rm\T+-ji)

-^^((2p + t)C-^y+2pC-^r1, x 2(1+mi) V Vl+Mi/ Vl+Mi/(31)

Ml<Am / /l - Ml\P

+*<*+1) (i^f' + m -1) (^)'~) -••■].Comme, d'autre part

ez(pm(z) = Im(z),

(32) e?4U.z) = 2-\Im+iiz) - 2Im(z) + 7m_1(z)),

ezc/>m(z) = - 4-1(7m+2(z) - 47m+i(s) + 67m(z) - 47m_i(z) + 7m_2(z))

on a done finalement l'expression asymptotique desiree qui ne contient que

des fonctions parfaitement connues.

En faisant tendre ui vers 0, on trouve

—mm (2irj

hm mi 72p(m) =ci=o (Xc)1/2

(33)2/>!(Xc)m r (4/>+l)w (16p2 + 8p + 3)m(m - 1) 1

2pp\2mmVL 4Xc 8(Xc)2 J"

La meme valeur s'obtient directement en faisant tendre 1 — p? vers 0 dans

(24), ce qui montre que les expressions asymptotiques que nous avons ob-

tenues pour 7™ sont utilisables j usque p = l.

Dans les cas particuliers ou m=0, p = 0, ou 2, on trouve

/«« r«/^ {-2^m \r .Mifr-I,) 3mi(37„ - 47i + 72) "I(33.1) loifi) = - 70 i-r • • • ,

(Xc(1+mi))1/2L 2(1+ Ml) 16(1+ Ml)2 J

7o 3(2^ r/i-M.y

(Xc(l+Ml))1/2L\1+Ml/

(33 2)

2(1 + «) V \i + «/ Vi + *J) J

Un calcul en tous points semblable donne*



^ Xc(1+mi)3/2 2»#! L Vl+Mi/

- -"**- i(2p + 3) (i^*Y + 2p (Izj^T)2(1+mi) V Vl+Mi/ Vl+Mi/ /

(34) , „

+i^((^^+5,(i^y

+<**+*> (v^r+4* -" (i^y)+■■■]et

,. -- , , 2(x)"22/>+ l!(Xc)"'lim mi 72p+i(m) =-—-mi=o Xc2»pl2mm<

(35)r (4p + 3)m (Up2 + 24p + 15)m(m - 1) A

L 4Xc 8(Xc)2 ' J"

Dans les cas particuliers ou wt=0, p=0 ou 2, on trouve

o 2m(x)"2 T 3ui(h-Ii) 15mi(370 - 47! + 72) "I(35.1) 7i = - 7o +-1-• ■ ■ ,

Xc(1+mi)3/2L 2(1 + Ml) 16(1+Ml)2 J

30m(x)"2 r (i -ma27s = - 7o I-1

Xc(l+Mi)3/2L Vl + Mi/

M,(7o-71)//i-^y + JL^\) +...1

2(1 + Ml) V \1 + Ml/ \1 + Ml// J

Connaissant 7™, on en tirera maintenant facilement la valeur asymp-

totique de Pe„(p). On a en effet

m m m

„ m, s ^ »r,» , 1 / ^p+4 , w-^p+2 , m/>(/> — l)7p_a

P*G0 = CA.1/.+ —^-— + ~ +-2-M~ l)(/>-2)(j>-3) . \ 1 -]

+ " "irT "H+(2^('")+--'J-Lorsque le produit Xc/x est assez grand, on a approximativement

(2X)1'2 2pl (1 - miVPen(u) = CA„-1-) 7m(XcMi) (ra — rat = 2*)

(Xc(1 + mi))1/2 2^! \1 +Mi/

m 2m(x)4'2 2/>+ 1!/1 -miV , x ,= CA„-)7m(XcMi (n-i»= 2^+1).

Xc(l + mi 3/2 2ppl \1 + mi/



En prenant pour AJ? et C egalement les termes dominants des developpements

asymptotiques, (en admettant que (21) et (22) sont exacts dans tous les cas),

on trouve finalement

1 /» + w!\1/2/t\1/4 (1 - Mi)pPen(n) = -(- ) ( — ) 23*+3'2(Xc)*+1e-Xc —-7„(Xcmi) ,

2T>!\2«+1/ VXc/ (1+mi)p+1/2

(re — m = 2p)

1 /n + m\112 m(1 - Mi)pPe„in) =-(- -1 (47rXc)1/423P+6'2(Xc)p+Ie-Xc-^-— 7ot(Xcmi),

(37) 2p+V.\2n+l/ (1 + mi)p+3/2

in - m = 2p + 1).

Dans le cas particulier ou p = m=0, ceci devient

(36.1) Peo(M) = 2(2)1/V1/4(Xc)3/VXc(l + Mif ^(Xcm,),

(37.1) Pe%) = 8(3)~1/V1/4(Xc)6/V"C(1 + mi)~3/ Vo(Xcmi).

Comme verification numerique de ces formules, nous y ferons mi = 0, p. = 1,

Xc = 8, ce qui donne

Pe°(l) = irI/4216/V8 = 0,006004 (exact: 0,005726),

Pei(l) = -n-1/489/43_1/V8 = 0,02775 (exact: 0,02400),

Etant donne qu'on n'a tenu compte que du terme dominant du developpe-

ment asymptotique et que la valeur Xc = 8 n'est pas particulierement elevee,

l'exactitude obtenue peut etre consideree comme tres bonne.

Pour le calcul effectif de la fonction Pe™ip), il y a avantage a utiliser la

relation suivante, qui se deduit immediatement de (31), (33), (34), et (35)

Penjn)

lim (1 - M2)-m/2PC(M)

(38)m

^^(-^^••^ -

J5«-[^ + s(-J^+-)+-]et a utiliser la valeur du denominateur du premier membre calculee comme

indique plus haut, (10) et (13).

On trouve ainsi, en particulier, pour m = 0, n = 0 et 1



Pel(n) AcX1'2/ 3 \"T » 1 o 1

(38I) m»'\a) ('"id ['»*>-is;'***]

Pe\(p) /XcX1'2/ 15 \-Jr i 1 o "1

(38-2) -m=k) O-w l/^-s^-Hou on utilisera pour 1%, ll, Ix et 7j? les valeurs (33.1), (33.2), (35.1) et (35.2).

A titre d'exemple numerique, nous avons compare les valeurs obtenues

ainsi pour m = 0,9,Xc = 8 avec les valeurs exactes fournies par les tables de

J. A. Stratton et al. On trouve, tous calculs faits

7c°o(0,9)- = 6,2853 (Valeur exacte: 6,2643),

Pe°0(l)

Pe\(0,9)-= 4,1640 (Valeur exacte: 4,1825).

Pe\(l)

On voit que l'erreur ne depasse pas 0,5% environ, bien que, comme nous

l'avons deja dit, la valeur Xc = 8 ne soit pas specialement elevee.

III. Fonctions spheroidales aplaties

1. Les fonctions spheroidales associees a, l'ellipsoide de revolution aplati

sont les solutions de l'equation differentielle

d f dy~\ / m2 \(1) TXil-'')Tj + (' + xv''-r^)'"'

telles que le produit

(1 - m2)—/23'(m)

est regulier aux environs de m= iL

Dans ce qui suit, nous designerons par Pe™(p) la solution de (1) qui se

reduit a la fonction spherique associee 7™(m) pour Xc = 0 et qui verifie la

condition de normalisation habituelle

J1 r— m ,2 2 ra — rat![Pen(a)] du = ——.—-— •

_i 2ra + 1 ra + rat!

La valeur correspondante de la constante de separation sera representee

par COn sait que lorsque Xc est tres grand, les fonctions Pe„(p) peuvent etre

representees asymptotiquement, aux environs de p = l, par la formule sui-

vante



- m/2 -,12 ((m) 1 |~ jp + 1)JP+ 2) Km)Pen(/u) = Ct e <LP it) -\-7p+2(/)

( 2Xc L 4

, P+l r(m)/A P + m r^rA , iP + m)ip + m- 1) (») "IH-"— LjH-i(,f) H- Lp-i{t) H-Lp-2\l)

2 2 4 J

, 1 r(^+l)(/J + 2)(^ + 3)(/» + 4) (m)+ (^L ~^~ woip + 1)(P + 2)(3p + S) (m) (#+i)(# + 2)(4# + 2f»+5) (w)

-~-Lp+W- Lp+2(t)24 o

,., (p + l)(p2 + pm - 12p - 6m - 12) (m)(3)-Lp+i(T)

8

(/> + m)(p2 + pm + Up + 7m + 1) (m)H-Lp-i(l)

o

(/> + m - l)(/> + «)(# + m + 1) („)H-:-Lp-2(l)

4

(/> + #»)(# + m - l)(p + m - 2) („)H-Lp-a(t)

o

(p + m)(p + m - l)(p + m - 2)(p + m - 3) (m) 1 _, )H-—-Z.p_4(/) + 0(Xc ) V

ou t =Xc(l — m2) et ou la constante C a la valeur suivante

/(Xc)m+1 re + w!*! \1/2/ ci c2 V1'2(4) C= 2<»+1>'2( —-) (c„ +-+--+•••)

\2n+i n - m\p + m\) \ 2Xc (2Xc)2 /

avec c0 = l, Ci=m + 2p + \,

(p + l)(p + 2)(p + m + l)(p + tn + 2) 3(p + l)(p + m + 1)c2 =-

16 4

3p(p + m) p(p— l)ip + m)ip + m - 1) 3(2^ + m + I)2+ I-1-.

4 16 2

Le nombre p est defini par n — m = 2p ou re — m = 2p + l suivant que n—m est

pair ou impair.

Nous avons donne ces formules, sous une forme un peu differente, dans

[l]. II est a. noter que la valeur de c2, dans ce travail, est inexacte.

La representation asymptotique qui precede donne la valeur de la fonc-

tion Pe™(p), lorsque Xc est grand et re et m petits, avec une exactitude re-

marquable pour les valeurs de p. contenues dans un domaine assez etroit



voisin de p = l, domaine ou, en fait, la fonction prend seulement des valeurs

apreciables. Pour les autres valeurs de p, la representation asymptotique

ci-dessus donne des valeurs totalement inexactes et qui n'ont meme pas

l'ordre de grandeur correct.

Nous donnerons ci-apres, des formules utilisables dans cette derniere

region.

2. Les fonctions spheroidales aplaties verifient deux groupes d'equations

integrales lineaires

a.

/<r\ 75 mt \ Tm f ^""o,. \ml2,, 2\m/2T5 "V \j(5) 7e„(M) = Xn j e (1 - m ) (1 - Mo) Pen(uo)duo.

h.

— m -m C r 2 1/2 2 1/2-.— m(6) Pen(n) = A„ I Jm[Xc(l — m ) (1 — Mo) J7en(Mo)flMo (» — m pair),

(7) Pen(u) = iC I 7m[Xc(l - m ) (1 - Mo) ]MMo7eT(Mo)^Mo (« — m impair).

De ces equations on deduit que, pour ra—wt pair

(8) Pen(0) = Xn J (1 - m ) Pen(v)dp

et

2 -mli— m —m (Xc)'" C 1 im/i—m, ,

(9) lim (1 - m ) Pen(u) = A„- (1 - p ) Pen(uWu=i 2mml J-i

d'ou

do) _Pe"(0) _ = -J=—lim (1 - m2)-""27C(m) (Ac)* _m>.=i -A„

2mw«!

tandis que pour ra—rat impair

(11) 7elm(0) = XcX" f (1 - J)mlinPemn(n)dix,J -i

2 -m/2_ m, . —m (Xc)m /* 2 m/2 — !»..,

(12) lim (1 - m ) Pe.0*) = A„ ±-1— (1 - m ) nPen(ii)da„=i 2mm! J_i

d'ou


1959] REPRESENTATION DES FONCTIONS DE MATHEIU 363

Pe'n(0) _ XcK

(13) lim (1 - M2)-"/2Penm(M) " (Xc)" — '„ An2"w!

La determination de la valeur asymptotique de Pe™(0) et Pe™(0) se

ramene done a celle des constantes caracteristiques X™ et A™.

3. Si Ton pose

•rr "*, -</2 m/2 , „(14) Pe„(M) = e / y(0

on aura evidemment

2 —m/2_ m m/2

(15) lim (1 - m ) Pen(u) = (Xc) y(0)M=l

et le developpement asymptotique de y(0) se deduit immediatement de (3).

Considerons maintenant l'equation integrate (5) et supposons Xc tres

grand et positif. Alors, seule la partie de l'integrale prise entre 0 et 1 aura une

valeur appreciable. En prenant / comme variable au lieu de p., on pourra

ecrire

-mX /*

y(0) =-— j exc(i-(/xc)>'2-«/2r(i _ t/xc)-ll2y(t)dt2(\c)m+1Jo

(16)gXc\ /• co

-— I e-'tm2(l)y(t)dt2(\c)™+1Jo

en posant

(17) 2(/) = (1 - //\C)-l/2eXc(l-</Xc)1"-Xc+</2<

En developpant suivant les puissances decroissantes de Xc, on trouve en-

suite

1(1 l2\ 1 (3t2 ts t*\2(0 = 1 + —(-) +-(-+—J

Xc\2 23/ (Xc)2\23 23 2 V

1 /5T3 15/4 3;6 T6 \

(Xc)3\24 27 2s 3-210/

En introduisant la valeur (3) de y(0 et le developpement (18) de 2(0 dans

la relation (16), on peut en deduire la representation asymptotique de X™.

Un calcul assez fastidieux conduit aux expressions suivantes

p=0

- 2(Xc)m+1e-^r m + 1 (m + l)(m - 2)(2m + 3) "1(19.1) X„=^^- 1-+---+•••

ml I 4Xc 144(Xc)2 J



P = l

m 2HXc)m+2e-Xc T 2wt + 5 rat3 - m2 + 34m - 54 "1(19.2) Xn=—^- 1-+-+••••

rat+1! L 23Xc 25(Xc)2 J

Le tableau suivant montre que ces deux relations suffisent pour les dix

premieres fonctions Pe„(p).

n= 0123123233

m= 0 0 0 0 1112 2 3

p= 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0

Un calcul plus pousse montre que, pour p = 0, 1 et 2, on a

m 22p+1(Xc)m+p+1e~x°

(20) X„= -^—-(!+•••)■wt + pl

II parait probable que cette relation est generate, mais nous n'avons pas

jusqu'ici pu le demontrer.

4. Nous calculerons ensuite la valeur asymptotique des constantes Am.

Supposons tout d'abord ra —rat pair. Avec les memes notations que plus haut,

nous pourrons ecrire (6) sous la forme

—m

(21) y(t) = — r"/m((«o)1/2)r'o/2/o"/2(l - to/Xc)~ll2y(t0)dto.Xc J o

En tenant compte de la relation bien connue suivante

tLpm\t) = (2p + m+ l)Lpm\i) - (p + m)Lpm-\ - (p + l)L%\(t)

et de celles qui s'en deduisent, et en utilisant (3), on pourra developper la

quantite (1 — t/\c)~ll2y(t) en serie de fonctions de Laguerre. L'equation

integrale

(22) e-mtmnL.T(0 = (-1)72 Cjm((tto)VVtalitTLpm\to)dtoJ o

montre ensuite que le second membre est lui-meme une serie de fonctions de

Laguerre. En identifiant les coefficients de Lvm\t) dans les deux membres,

on trouve finalement, tous calculs faits

P T 2* + rat + 1An=(-l)P(Xc/2) 1 + -^—-

L 2Xc(23)

16p2 + 16pm + 3m2 + 16p + 8m + 5 "1 -l

+ 8(Xc)2 '"'J



Pour n — m impair, on partira de la relation (7) pour obtenir

—m

(24) y(0 = — (1 - t/Xc)'1'2 f JmÛoiV^h^y^dtoXc J o

et en procedant de la meme maniere, on obtiendra

. , T 2p + m+ 1An = (-1) (Xc/2) 1 - J-—-

L -Âc(25)

16p2 + 16pm + 3m2 + 16p + 8m + 5 l'1

+ ~ 8(Xc)2 +---J

5. Nous avons maintenant tout ce qu'il nous faut pour calculer Pe™(0)

et Pe™(0) au moyen de (10) et (13).

Pour verifier numeriquement l'exactitude de nos formules, nous avons

compare les valeurs qu'elles fournissent avec celles obtenues a, partir des

tables de J. A. Stratton et al. pour c = 8, toujours bien entendu en adoptant

la normalisation rationnelle (2).

Le tableau ci-dessous contient les resultats ainsi obtenus. L'exactitude,

encore une fois, est d'autant meilleure que re et m sont plus petits.

re= 0 12 12 2

m= 0 0 0 112

Pe"(0) exact 0,00538 0 -0,0682 0,0245 0 0,2479Pe"(0) approximatif 0,00539 0 -0,0708 0,0243 0 0,2551

Pe'"(0) exact 0 0,0215 0 0 0,1887 0Pe'"(0) approximatif 0 0,0220 0 0 0,2077 0

Pe"(v) exact 3,863 2,230 1,559 8,266 11,098 38,987lim-(•-l (i-jji)*./! approx. 3,872 2,235 1,602 8,363 11,221 40,553

6. II nous reste maintenant a. obtenir la representation asymptotique de

la fonction Pe™(u) elle-m^me aux environs de m = 0.

L'equation integrate (5) peut s'ecrire sous la forme suivante

/07\ "d"V 1 \m C t XC""° J. -UM\t, \m,2l1 \ml2—m(27) Pen(ix) = Xn | (e + e )(1 — p) (1 — u0) Pen(po)dno

les signes + et — correspondant respectivement k n — m pair et impair. On

voit immediatement que le probleme se ramene au calcul de l'integrale

definie suivante



m C Xcupo —Xcmit,IP = I (e ± e )

J o(28) . \ml2,, 2 m/2 -(Xc/2)(l-„2) (m) 2

•(1— M) (1 - mo) e Lp (Xc(l — Mo))«Mo

qui peut encore s'ecrire, en faisant mo = (1 — t/\c)ll2^l —t/2\c

- eXc"(l - M2)""2 f* -u+,)«/2 »,, .„.rwn.= -2(Xc)*+1-J € l/2Xc)Lp (t)dt

e~^(l - m2)""2 /- -(WW,, ,„, w<->, w± —^TT^Ti— e l (1 + '/2Xc)L* (0*.

/(Xcj"1"1" «/ o

En tenant compte des relations suivantes

C -kt m (rn),, /> + m! (k- l)p29.1) 6/7, '(0* = —T- \ ' '

Jo />! £p+m+i

N r-*(R+i (») , p + mir, (k-iy (k - iy-n29.2 j e t Lp(t)dt = -- (£ + m+l ---£--—

Jo pl L kp+m+2 kp+m+1 J

on trouve

m p m+l p + ml

Ip= (-lf(2/Xc)+ "-—(1-m2)""2pl

(30)tm p + m + 1 m+l p m+l. ~|

<£p(m) H-4>p (m) + — <t>p-iWXc Xc J

en posant

(31) *;(,) = 2- re- (1 " »>' ± e- (1 + »>' 1.L (1 + M)m^+1 (1 - M)m+7,+1J

On deduit de ceci, en particulier, que

(32.1) 0p(O) = 1 (ra - rat pair),

(32.2) — [(1 — m ) *W(m)L=o = Ac (ra — rat impair).dp

II est important, pour ce qui suit, de connaitre la valeur asymptotique de

7,m(0). On a d'abord

7;m(M)

C1 Xcuu0 -Xciwo \ml2,, 2 m/2 -(Xc/2)(l-/i') ,(»>)., ,. 2= Xc I (e ± e )(1 — m ) (1 — Mo) c 7p (Xc(1 — moJ)mo"Mo

J 0

d'ou



7-""/rv\ /"v \~m C °° ~U2,mr(m)l,\j,In (0) = (Xc) I e I Lp (t)dt

J o(33)

p 2™+1 p + m\= (-l)v --

(Xc)"1 pi

resultat different de ce que donnerait l'application directe des relations (30)

et (32, 2).

Lorsque Xc est suffisamment grand, on a, avec une tres bonne approxima-

tion

— m m/2_m m

Pen(n) = C(Xc) XnIp(u).

En ne conservant que les termes dominants, et en admettant que (20) est

exact dans tous les cas, on aura

/ re + w!*! V'2C = 2 <m+1> '2(Xc)(m+1) /2 I-) ,

\(2re + l)re — m\p + ml/

m 22p+1(Xc)m+p+1e-x°

K =-m + pi

et par consequent

-7S m, \ f .NP«2H"3m/2+2 p+(m+l)/2Pe„(u) = (—1) 2 (Xc)

(34) / 2 n + ml 1 \1/2-xC/ 2 m/2 », ,•I-) e (1 - m ) c6p(m).\2w +1 n — ml pip + ml/

Pour avoir une idee de l'exactitude de cette formule, nous ferons le calcul

pour m = 0, Xc = 8,

m = n = p = 0:

Peo(0) = 4(2Xc)1/2e~X<: = 0,005367 (exact: 0,005378),

m =p = 0, n = 1:

Pei°(0) = 2(3)_1/2(2Xc)3/VXc = 0,0248 (exact: 0,0215),

m = n = l, p = 0:

Pe\(0) = 16(3)"1/2Xce~Xc = 0,02479 (exact: 0,02451).

Etant donne qu'on n'a tenu compte que des termes dominants des

developpements asymptotiques et que la valeur 8 de Xc n'est pas specialement

elevee, l'exactitude peut etre consideree comme tres bonne.

Pour le calcul effectif de la fonction Pe™(p), on utilisera la relation sui-

vante, qui se deduit immediatement de (30), (32.1), (32.2) et (33)


368 ROBERT SIPS

Pen(n)

Pemn(0)

(35) rM + ̂ -\-^±M±l^M + ...] + ...2Xc L 4 J

= (1 - M2)"''2-

i r (p+ i)(p + 2) m a'•m + ^[- 4 'W0)+ ■■■]+■■•

et on prendra pour Pe„(0) la valeur plus exacte obtenue anterieurement. A

titre d'exemple, on trouve ainsi

0 ll ^°/\ lo- o, 4>oW + — </>o(m) — — <t>2W — -—0i(m)Peo(n) Xc 4Xc 4Xc

(35.1) TeoiO) = ' 1 + l/2Xc {n -m = °> Pair)'

0 1 1 1 0 1 0- a, . 4>M + — <l>o(u) — —- <^>2(m) — -—<#>i(m)7ci(m) Xc 4Xc 4Xc

(35.2) =r—— = - (n — m= 1, impair).Pe'i(O) 1 - l/2Xc F ;

Pour Xc = 8, p = 0, 1, ces relations donnent

7eo(0, 1)--^— = 1,2636 (exact: 1,2584),

7eS(0)

Pel(0, 1)- = 0,1088 (exact: 0,1087).Pe'\(0)

BlBLIOGRAPHIE

1. R. Sips, Representation asymptotique des fonctions de Mathieu et des fonctions d'onde

spheroidales. Trans. Amer. Math. Soc. vol. 66 (1949) pp. 93-134.

2. -, Les constantes caracteristiques de l'equation integrate des fonctions de Mathieu,

Bull. Soc. Roy. Sci. Liege (19S2) pp. 141-157.3. E. L. Ince, Tables of the elliptic cylinder functions, Proc. Roy. Soc. Edinburgh vol. 52

(1932) pp. 355-433.4. G. Blanch, Tables relating to Mathieu functions, New York, Columbia University Press,

1951.5. S. Goldstein, Mathieu functions, Transactions of the Cambridge Philosophical Society

vol. 23 (1927) pp. 303-336.6. J. A. Stratton, P. M. Morse, L. J. Chu, J. D. C. Little and F. J. Corbato, Spheroidal

wave functions, New York, Wiley, 1956.

Brussels, Belgium


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REPRESENTATION ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS DE … · 342 ROBERT SIPS [February numeriques appreciables. Pour les autres valeurs de n, et en particulier pour 77=0 (et = 7r) la formule