Representations approchees d'un groupe dans une algebre de banach

manuscripta math. 22, 293 - 310 (1977)

�9 by Springer-Verlag 1977

REPRESENTATIONS APPROCHEES D'UN GROUPE

DANS UNE ALGEBRE DE BANACH

Pierre de la HARPE et Max KAROUBI

Let T be a continuous map from a compact group G to

the group of invertible bounded linear operators on a

Hilbert space H, the latter being endowed with the norm

topology. If the norms ~IT[gh) - TCg]T[h]IJ are small enough Cg,h e G], we show that T is a small perturbation of some norm continuous representation of G on H.

I. Introduction. Soient Gun groupe topologique, Hun

espace de Hilbert complexe et GL[H) le groupe des op@ra-

teurs lin@aires born@s inversibles sur H muni de la topo-

logie normique. Soit S : G + GLCH] un homGnorphisme con-

tinu, c'est-~-dire une representation normiquement conti-

nue de G dans H. Si T : G § GL[H] est une application

continue voisine de S Cau sans cO la norme de T[g] - SCg)

est petite pour tout g e G], alors Test une "repr@sen-

tation approch@e" de G dans H Cau sans cO la norme de

T[gh] - TCg]TCh) est petite pour tous g,h e G]. Il nous

a paru natural de poser le probl~me inverse : une repr@-

293

2 DE LA HARPE - KAROUBI

sentation approoh6e de G dens H est-elle toujours voi-

sine d'une "vraie" repr@sentation ? L'objet de ce tra-

vail est de montrer que la r~ponse est affirmative lors-

que G est compact. Notre r@sultat principal s'@nonce

plus pr6cis~ment comme suit.

Th@or~me : Soient Gun groupe compact et K,~ deux nom-

bres r@els avec K ~ I , e > O. Alors il existe un nom-

bre r@el 6 > 0 ayant la propri@t@ suivante :

Pour toute application continue T : G § GLCH] telle

que ~IT[g)l[ ~ K et liT[g]-111 ~ K pour tout g ~ G, et

telle que llT[gh] - T[g]T[h]ll ~ 6 pour teus g,h e G, il

existe un homomorphisme continu S : G § GL[H] tel que

llS[gJ - T[g]ll ~ e pour tout g ~ G.

En un sens, le probl~me de perturbation que nous

oonsid@rons ale m@me rapport aveo lss repr@sentations

normiquement continues des groupes que les travaux de

Berg El) aveo les op@rateurs normaux. Comme le note e•

plicitement Berg, il est int@ressant de comparer cette

situation CoO certaines identit@s sont vraies modulo des

erreurs petites en norme] ~ celle popularis@e par Brown,

Douglas, Fillmore [4], et d'autres [cO les identit@s

sont vraies modulo des erreurs qui sont des op~rateurs

compacts). Les deux situations n~cessitent en g@n@ral

des approches tr@s diff6rentes. [L'une des raisons en

est que d'importantes propri@t@s du spectre d'un op@ra-

teur sont invariantes modulo les perturbations compactes,

mais extr@mement sensibles aux perturbations normiques].

Ii est donc remarquable que, dens l'@tude des groupes

294

DE LA HARPE - KAROUBI 3

compacts, certaines m@thodes sont utiles dans les deux

cas. IIen est ainsi de la r6duction au groupe 8 deux

~l~ments, permise par la projection PT ; voir ci-dessous

ainsi que [63.

La nature de nos m~thodes nous conduit 8 g6n~rali-

ser le probl~me pos~. Ainsi remplagons-nous GL[H) par

le groupe des ~14ments inversibles d'une alg~bre de

Banach A. Pour ~viter des confusions, nous introduisons

aussi un A-module M ; il suffirait de prendre partout

pour N l'espace sous-jacent 8 A muni de sa structure ca-

nonique de A-module ~ droite.

Le deuxi~me paragraphe est un pr~liminaire sur les

idempotents dans une alg@bre de Banach ; il fournit

aussi un oas particulier du r6sultat principal, avec G

le groupe & deux @l@ments. Le troisi@me paragraphe est

la preuve du r@sultat principal.

Le premier auteur remercie le "Ponds national suisse

de la Recherche scientifique" pour son g@n@reux support.

2. Ouelques lemmes sur les idempotents d'une alg~bre

de Banach. Soit A une alg@bre de Banach unif~re com-

plexe ; nous notons I l'unit6 de A ; nous convenons que

IIxYll ~ IIxII rIyll pour tous x,y ~ A et que I111i = I. Le

spectre de x dans A est not~ Sp[x).

I Soient run nombre r@el avec 0 < r < ~ et 0 le do-

maine du plan complexe d~fini par

295


La #ronti~re ~de D est la r@union disjointe du cercle

, de rayon r eentr@ ~ l'origine, et du cercle , de

rayon r centr@ en I j nous les supposons munis de leurs

orientations standards.

Lemme I. Soit ~ un nombre r@el avec 0 ~ ~ N I. Soit Pun

idempotent non nul de Aet soit @ c A avec

4 r

110 - PII < ~ ~ I IP I1-3 .

A l o r s : [ j ) Sp(P) c { 0 , 1 } e t I I [P-X)

si X s ~ - D

( j j ] Sp(@] c D e t t ) l l [ O _ X ) - I

l II co-x? -1

si X ~ ~ - O.

-111 s 4r-21IPlt

II -< ar-211PII

- ( P - X ) - 1 l l -< I -~ItPI1-1

P r e u v e . [ j ) S i X ~ { 0 , 1 } , l ' i n v e r s e de P-X e s t

s• X ~ r - o avec j Xl -< lIP If + 1, on a dana

1 -~-P X[X-1] '

Jl CP-XI-11I < I+ IXI+I tPI I < 2 r -2 [ l lP i l+1) < 4r-211PiI J - IXl I X - l l -

s i IZl >-IIPII + 1, on a

21Xl 2 < 2 ~ I [P -X ) - I I I - < I Z l l Z - l l < IXl----TT-1 IIPl--q

qui est aussi inq@rieur ~ 4r-211Pll.

(j j) Soit X ~ $ - D, On a O-X =

(P-l){1+[P-l) -I[O-P)} avec

296


4 r 1 tlCm-h]-l[o-m]ll ~ 4r-211PII ~3-~2611PII-3 < 7' Iien r~sulte

-I que I + [P-hi [O-P] est inversible, que la norme de son

inverse ne d@passe pas 2, donc que Q-h est inversible et

que IIEO-h]-lll ~ 21liP-hi-Ill ~ 8r-211pll. Enf in

tl [O'-h]-~-EP-h]-~ll-<ll[P-h]-lll II[P-h]-[O-h]ll IIEO-h) 4

_ _ ~ - 1 4r-211Pll~3226 llPll-36r-211pii = T~IIPII ,

-Iii _<

Lemme 2. Soient U = {X e WIRe[hi # ~} et f : U § W la

#onction holomorphe d@~inie par {[hi

1 = IO si Re(hi < 7

I si Re[hi > z 2

Soient ~, Pet @ oomme dans le lemme I, et

1 f #[h)dX R = 2~.~T y h-@ '

Alors : [j] Rest un idempotent et IIRII -< 8r-lllpli

I f f[l]dX [JJ] P - 2iw T I-P

c~r I [jjj] YIR-PII -< 7T IlPll-

(jv] tout @l@ment de A qui commute Q Q commute

aussi ~ R.

Preuve. [j] Rest un idempotent car [f(l]] 2 = f[h] pour

tout X { U ; la norme de 2~R est born6e par le produit

de la longueur de Y2 et de la borne sup@rieure de [h-Q] -2

L8 r le lemme sur Y2' c'est-~-dire par [2~r] ~ IIPII] vu

1[jj]. De m@me [jjj] r@sulte de la seconde in6galit6 du

lemme 1[jj]. Les assertions [jj] et [jv] sont des pro-

pri@t6s @l@mentaires du caloul ~onctionnel holomorphe.

-I

297


Lemme 3. Les notations @tant comme ci-dessus, soit

V = I-P-R+2RP. Alors !IV-Ill ~ ~, Vest inversible,

IIV-I-III ~ ~ et R = VPV-I.

Preuve. Comme P e t R sont des idempotents, RV = VP = RP.

On a

Itv-qlI = IIR[P-R] + [R-P]PII < IIR-PIIClIRII + IIPII] -<

c~r ,. , ,, . c~r -I 1- -8 - I l e l i - 1 [ s r - l+ l ] l lP l l -< ~ [Br-1+r ] = ~

O0

par suite, Vest inversible et ~Iv-1-11} -< r flV-lll j < ~.

j=1 Nous r@sumons les informations obtenues comme suit.

Proposition I. Soit ~ un nombre r@el avec 0 ~ ~ ~ 1.

Soient Pun idempotent de Aet @ s A avec

IIQ-PII ~ ~2-14~IPII-3. Alors il existe un idempotent R de

A ayant les propri@t~s suivantes :

(j] Tout @l@ment de A qui commute ~ @ commute

aussi & R.

[jj] Si V = I-P-R+2PR, alors Vest inversible,

R = VPV -1 e t I IV-1 It ~ ~ , I I V - 1 - I Ii ~ ~ .

4 I - - < = - - ] t e l PreuVe.r -T Soit_8 r < ~ (d 'oG a u s s i r9 ~21 -4 162-89

que T ~ 2 . A l o r s les lemmes 1 8 3 s ' a p p l i q u e n t .

Nous n'avons pas eherch@ ~ optimiser les bornes ci-

dessus, qui sont certainement tr~s grossi@res.

Corollaire. Soient I e A une racine carr@e de l'unit~

et J ~ A un @l@ment voisin de I. Alors il existe un con-

jugu6 K de I voisin de J [et donc aussi de I] qui tom-

298

DE LA HARPE KAROUBI 7

mute @ tousles @l~ments qui commutent & J.

P r e u v e . S i P = � 8 9 e t 0 = ~ ( J + 1 ] , i l s u f f i f i de p o s e r

K = 2R - 1, oO R e s t comme dans l a p r o p o s i t i o n I .

3. Repr@sentations approch@es d'un groupe compact dens

un module de Banach. Oans tout ce paragraphe, A est

une elg#bre de Banach unif~re complexe comme plus heut.

Nous d@signons par M un A-module de Banach unif~re

droite ("unit linked Banach right A-module" dens Bonsell

et Ouncan O2] - et on convient de plus que

l[vxll ~ 41vlIIIxll pour tous v ~ Met x e AJ. Nous @crivons

LACM) l'alg~bre de Banech des op6reteurs lin~eires born@s

sur M qui sont aussi des endomorphismes de A-module, et inv

LA[MJ le groupe des ~l@ments inversibles de LA(M] muni

de la topologie normique. Si O est un espace topologique,

T : O + LA(M) inv une application continue et K un nombre

r6el positif, nous dirons que Test de borne K si

IIT(~]II ~ K et i[T[~]-111 ~ K pour tout w ~ O.

D@finition 1. Soient Gun groupe topologique, K et ~ deux

K ~ q et ~ ~ 0) et T : G § LA[M) inv nombres r ~ e l s (evec

une application continue de borne K. Nous dirons qua T

est une r epr@sentation approch6e de G dens M de d@faut

si 11T[gh] - T[g)T[h)lj g 6 pour tous g,h c G. Nous note-

runs Rep(~,KjCG,HJ l'ensemble de toutes les applications

de ce type.

O~sormais, G sere un groupe compact et dg sa mesure

2[G) des classes de Hear normalis@e. L'espace de Banach L M

299


d'@quivalence de fonctions de cart@ sommable de G dans M

[voir BourbaKi [3], chapitre IV] est muni de sa struc-

ture naturelle de [G,A]-bimodule : si g { G, nous notons

Lg l'op@rateur d@{ini sur L~[G]-_ par [Lg~][h] = ~[g-lh]

pour tout h ~ G ; six ~ A, nous notons ~i )~x l'op@ra-

2[G] par [@x ] [h ] = [ @ [ h ] ] x pour t o u t teur d@fini sur L M

h ~ G. On prendra garde que l'homomorphisme g. ~ L de G g dans GL[L M 2[G]) n'est en g@n@ral pas normiquement eontinu

mais seulement #ortement continu.

inv Si T : G --~LA[M] est dans R e p [ ~ , K ] [ G , M ] , on d~-

#init comme dans [8] les applications

2[G] M > L M

i T : v l ~ [ g ~ ) T[g -1 ] v ]

2[G) L M

mT : 91 ) I T[g G

- 1 ) - l ~ ( g ] d g

2 PT = iTmT : LM[G)

2[G] } L M .

Lemme 4. Soit T comme ci-dessus.

[j) Les applicationsi T, m T et PT sont des op~ra-

teurs lin@aires born@s : lliTIl < K , ~ImTl~ ~ K , IIPTII ~ K 2 -

ce sont aussi des homomorphismes de A-module, et PT est 2

un projecteur sur le sous A-module Im[i T] de LN[G].

[jj) Soient de plus T' e Rep(~,K][G,M) st

d = sup l~T ' (g ] - T (g ] II ; a l o r s lIP T - PT' I~ s 2KSd, gcG

3OO

DE LA HARPE - KAROUBZ g

Preuve. Nous laissons au lecteur le soin de v@rifier (j]~

il ~aut noter que mTi T = id M. Pour [jj] :

-1 -1 supl lT ' [g) -T(g) t lssupl lT'(g] g~G g~G

-IIIIITCg)-T'CglIIItTCg]-III~K2d

de sorte que

II PT-PT ,II-< ~i T Ii llmT-m T ,II + lliT-i T ,II II mT,ll _<r, K2d+dK<2K3d.

Lemme 5. Soit T comme ci-dessus. Pour tout g s G, on a

I]LgPT-PTLg[ I g 2K36 ~ en particulier, si Test un homomor-

phisme, alors PT est G-6quivariant. Oans tousles cas,

les applications

2iS] ] G ----~LA[L M

lg t" ~LgPT-PTLg i G ~ LA[L~(G]]

e t l g l > L -IPTLg g

sont continues.

Preuve. Soient g e Get v r M ; alors

LgiT[v)

>M

> { T ( k - l g ] - T [ k - 1 ) T [ g ) } v

est de L~(G]-norme inf@rieure ~ ~l[v[], Par suite, en tant

qu'op@rateur de M dans L~[G), Lgi T - iTT[g) est de norme

in@@rieure 8 6. O'autre part, pour get h voisins dens G:

I ]Lg iT- iTT(g) -Lh lT+ iTT[h) I I

s u p l t { T ( k - l g J - T [ k - l h ] } - { T [ k -1 g~G

-1 )T [g ] -T [h )T(g]}ll

301


qui est petit puisque Test uniform6ment continue ;donc

Lgi T - iTT[g ] d~pend c o n t i n a m e n t de g .

2 Soient g s Get ~e LM[G] ; alors

{T[g]mT-mTLg }[q:))=I T(g]T(K -1]- lO2[k]dk- I TCK -1 G G

I {T [g ]T l :K1 ] - l -T [k - lg -1 ] - l }uT [k ]dk G

] - l (# [g- lk ]dk=

est de M-norme inf6rieure ~ 6K211~11; ceci r6sulte de

l'in6galit6 de H~Ider [voir Bourbaki [3], chapitre IV]

et de

- -I -I I[T(g]T[K 1 ) - l - T [ k - l g ] I1

1 -1 -1 -1 i lT [k- lg - ] t l l lT[k- lg ]T[g)-T[K ]IIIIT[K-1)-IlI~K~K ,

2 Par suite, en rant qu'op@rateur de LM[G] dans M,

T[glmT-mTLg est de norme ins ~ 6K 2, D'autre part,

pour @ et h voisins dans G :

IIT{g]mT-mTLg-T(h]mT+mT L h II-<

supll{T(g]T[k-1]-l_T(h]T[k-1]-l} _

z(G {T[K-1 -1 -1 Ih- I 1 g ] -Tl:k- ] - } II

qui est petit ; done T[g]mT-mTLg d@pend continOment de g.

I1 en r6sulte que, pour tout @ s G, l'op@rateur

LgPT-PTLg={LgiT-iTT[g]}mT+iT{T[g]mT-mTLz} d@pend conti-

nOment de g, et que IILgPT-PTLglIS6K+K6K2~26K 3.

302


Soient alors g,h ~ Get soit e l'@l@ment neutre de

G ~ alors

L g - I P T L g - L h - I P T L h = { ( L g - I - L h - 1 ) P T - P T ( L g - I - L h - 1 ) } L g +

-L )PT-PT{Lh 1L -L ) } . Lh - I {PT [ Lg-Lh) - { Lg-Lh} PT}+{ [ Lh - lLg e g e

IIen r~sulte que l'applieation -I

} L PTLg g

est continue, ce qui ach@ve la preuve du lemme 5.

O~finissons 0 T = I Lg-lPTLgdg dens LA[L~[G)) ~ G

e'est la derni~re affirmation du lemme 5 qui rend cette

d@finition possible.

2 Lemme 8. [j) L'op6rateur O T sur LM{G} est un endomor-

phisme de [G,A)-bimodule, iI@TII~K 2 et ~I@T-PTII~2K3~ ; en

particulier, si Test un homomorphisme, alors 0 T = PT"

{jj} Soit de plus T' comme dens le lemme 4

a l o r s ll@ T - @T,ll ~ 2Kgd.

Preuve, Cela r@sul te des lemmes pr@c@dents et de l ' i n -

v a r i a n c e de la mesure de Hear sur G,

-6 Proposition 2. Soit gun nombre r@el avec 0 ~ g ~ 2 .

[G,M) avec 6 ~ eC2K} -9, Alors il existe Soit T E Rep{~,K) inv

un homomorphism ~ continu S : G > LA(H) avec

supllSCg] - T [g ) l l ~ s. g~G

Preuve. Les op@rateur PT et QT @tent d@finis comme plus

303


haut, les lemmes 6 et 4[j] impliquent

I]QT-PTIf~s2-BK-6~s2-811PTII-3. On peut donc d@finir

RT - 2i~I ~I f[X]dletx_o__~_ VT = I-PT-RT+2RTPT comme dans le pa-

ragraphe 2 ; la proposition I implique que R Test un

2[G] et un endomorphisme de (G,A]-bimo- projecteur sur L M

dule, que V Test inversible, et que les normes de VT-I -I

et de V T -I sont born~es par I.

g ( G, posons S[g] = mTVT-ILgVTiT ; mon- Pour tout

G --~LA[M] trons d'abord que S : est une application con-

g~-~S[g]

tinue. Les restriotions de V T et de R I 6 l'image de i I

[qui est aussi oelle de PT] coincident, Comme R Iet kg

commutsnt pour tout g ~ G, l'op@rateur S[g] est le com-

pos6 de mTV T 1R T avec r : v i

g,h e G, ona

2[G] > L M

LziT[v]

tl{r162 = {I II{T(K-lg)-T[K-1 G

[ s u p l i T ( k - l g ] - T [ k - l h ] l l ] t l v l l ~ g~G

. Pour tous

I

h) }v lIEdk} 2 _<

par suite, ~[g] d@pend continOment de get S(g] aussi.

Montrons que S est un homomorphisme de G dans

LA[M] inv Soient g,h ~ Get e l'616ment neutre de G ; -I

alors S[e] = mTV T VTi T = id Met

S[g)S[h] = mTVT-ILgVTiTmTVT-ILhVTiT . Par la proposition

J, VTiTmTVT -I = VTPTVT -I = R T, qui commute 6 L h ; done

S[g]S[h] = mTVT-ILzLhRTVTi T ; mais

304


[RTVT]i T = [VTPT)i T = VTi T et S[g)S[h) = Sigh).

Montrons en#in que Test une perturbation ad hoc

de S. Soit g ~ G. Alors

-I V ' -IVTiTT(g)II < !IS[g]-T[g)l[=IImTV T Lg TzT-mTV T

II m T II IIVT-III {If LgVT-VTL J lli T II*II v T II IILgiT-iTT [g] II}.

Mais II LgVT-VTLg~ s IILgPT-PTLg 1I*2 IIR T II IILgPT-PTLgtl per d@finition de V T at oompte tenu de ce que R T commute b Lg

done IILgVT-VTLgII~E2-8 K-8[I+21IRTII) par le lemme 5.

Comme IIRTII z 8r-IIIPTII per le lemme 2 [on choisi r stric-

tement in#@rieur ~, mais voisin de ~), on a

1+2 tlRTll ~ 1+18r - lK 2 ~ 64K 2 par le lemme 4 [ j ] . On

a done IILgVT-VTLgl I ~ g2-2K -4. Par s u i t e

- ~-2+46K]s IIS(g]-T(g]IIs2K{~2 2K-4K+2~}=[

(voir le d~but de la preuve du lemme 5).

Notons que TIS(g)I[ s IIT[g)It + g ~ K * g pour tout

g ~ G, c'est ~ dire que S est de borne K + e.

O@finition 2. L~ensemble des applications de G dens

LA[M)inv est muni de Ia distance d@qinie par

d(T,T') = suplIT[g)-T'(g]ll. Pour tous K et s comme dens gs

la d6#inition I, l'ensemble Rep[6,K)(G,H) est muni de la

distance induite.

Proposition 3. Soient K et 6 deux nombres r@els aveo

305

14 DE LA HARPE KAROUBI

K -> I e t @ _< 2-15K -g. Pour tout T E Rep(@,K][G,M], notons

S T l ' homomorph i sme d@-?ini dana,,, l a p r e u v e de l a p r o p q s i - -6

tion 2. Alors, pour s -- 2 , l'applicatioll

t Rep[B.K, [G,M) ;, R e P ( o , K + g )

T I ) S T

[G.M]

est uniform@ment continue

Remarque. L'espace but est form@ de "vraies" repr@senta-

tions ; si Test une "vraie" repr@sentation, alors

S T = T.

Preuve. Nous conservons les notations pr@c6dement intro-

duites. Soient T,T' ~ Rep(~,K][G,M) et d = d[T,T']. Par

le lemme 6[jj], on a fIQT-@T,II ~ 2K3d. Par le lemme 6(j],

on a JlQT-PTII ~ 2K36 et IIOT,-PT, II 4 2K3~. De plus

2K36 ~ 2-14K-6 ~ 2-1411PTII -3 par le lemme 4(j]. ll r@sul-

te danc du lemme 1(jj] que [avec r comme au paragraphe

I ] 1

I1[ X-OT ] -q - (X-O T , ) -111 < IIC Z-O T) -~11 I I [X-O T , ) - [ X-OT)t l II (;~- Q T , ) - I I I

8r-2K22KSd8r-2K 2 = 27r-4KTd.

On lit done sur la d@#inition de R T et RT, que

IIRT-RT, I I ~ 27r-3K7d. II existe done une constante C telle

que

306


II VT-V T , II = 11 -PT+PT , -RT+R T , +2RTPT-2R T , PT' II -<

II 2RT-I I I I IPT-PT, I I + I IRT-RT, I I 112P T, -1 It -< Cd ,

- - - - I i lv T 1-VT,- l l t -< IIVT-111 I IVT,-VTI I llV T, fl -< 4Cd .

Ii est facile de v@rifier qu'on peut m@me choisir C pour

que ~mT-mT,II ~ Cd et TIlT-iT,If ~ Cd. II en r@sulte qu'il

existe une constante 0 telle que

- -1LgVT ' i lST[g) -ST, [g ] l l = IlmTV T ILgVTiT-mT,VT, iT , I I ~ Od

pour tout g ~ G.

Choisissons maintenant pour M l'espace de Banach

sous-jacent ~ A, muni de sa structure canonique de A-mo-

dule ~ droite. Les applications

I A ~ LA[M] I LA[M] ~A et

zp ) Ix ~>zx] Za >Z [1 ]

sont des isomorphismes unif@res et isom@triques d'alg@-

bres de Banach, inverses l'un de l'autre ; le groupe

A inv des @l@ments inversibles dans A est done canonique- inv

ment isomorphe a LA[N) .Les propositions 2 et 3 s'ex-

priment alors comme suit.

Soient Gun groupe compact et A une alg@bre de Ba-

nach, comme au d~but du paragraphe II. Soient K et

307


deux nombres r e e l s avec K > 1 e t 6 < 2-15K -9 - - ; s o i t

Rep[~,K)[G,A) l'espace des applications normiquement

Ainv continues T : G ~ telles que

SuplIT(g)II~K SuplIT[g)-IlI~K g~G g~G

sup ] I T [ g h J - T [ g J T ( h ) l l ~ 6 g, h~G

qui est un espace mEtrique pour la distance dEfinie par

d [ T , T ' ) = s u p l l T [ g ) - T ' [ g ) t l . g~G

Si ~ = 0, on Ecrit ReP{Kj[G,A) au lieu de ReP[0,K ) CG,A).

Proposition 4. Ii existe une application uniformEment

continue

{ Rep[~,Rj[G,AJ ~ ReP{2K)

Tl '> S T

CS,A2

qui induit l'identitE sur ReP[Kj[G,A).

Corollaire. Si T et T' sont deux 61Ements suffisament

voisins de Rep[6,K][G,A), alors les deux representations

S T et ST, sont conjuguEes.

Preuve. S T et ST, satisfont alors les hypoth@ses du

lemme 7 qui suit.

Lemme 7. Soient Set S' deux homomorphismes continus de

G dans A inv tels que ]IS[g)-S' [g)ll < [su~llS'(g)ll) -I g~b

308

DE LA HARPE KAROUBI 17

Alors Set S' sont conjugu6s.

Preuve. S o i t O = f | SCg)S ' [ g -1 ]dg ; a l o r s S{g)@ = @S'{g) J G

pour t o u t g E G, et i l r e s t e ~ v 6 r i f i e r que Q es t i n v e r -

sible. Mais II1-QII~ II1-SCg)S'Cg 1)lldg G

fsll - S ' [ g 1 ] l l l t s ' [ g ) - S [ g ] l l d g < 1 par hypoth~se, d 'oa le

r 6 s u l t a t .

Soient d6sormais Hun espace de Hilbert complexe et

L[H) l'alg~bre stellaire des op6rateurs lin6aires bombs

sur H ; notons GL(H) le groupe des 616ments inversibles

de L[H) et U(H) son sous-groupe des @l@ments unitaires,

tous deux munis de leurs topologies normiques. Soit

T ~ Rep[6 ,K)CG,L [H) ] avec 6 et K comme darts la p r o p o s i -

t i o n 4, On s a l t que S T e s t conjugu6e ~ une r e p r ~ s e n t a - u

tion unitaire de G dans H, disons S T, par un 616ment

proche de I [voir par exemple E63, proposition 2). Soient

[no)o~ ~ la famille des multiplicit6s des repr6sentations

u [les notations sont celles de irr@ductibles de G darts S T

Dixmier [5], n ~ 15.1). Le corollaire & la proposition 4

dit alors que l'application ainsi d~finie de

Rep[6,K){G,L[H)) dans l'ensemble des fonctions & valeurs A

enti@res positives sur G est localement constante. On

peut m@me voir qu'elle s@pare les composantes connexes

de Rep[6,K]{G,L{H)). On salt aussi que les ~amilles

[no]oe G de son image n'ont qu'un nombre fini de termes non

nuls [73.

Ii n'y a aucune diSficult~ ~ formuler et ~ montrer

l'analogue de la proposition 4 pour les applications nor-

miquement continues de G dans le groupe U{H), ni ~ con-

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sid@rer un espace de Hilbert r@el j nous en laissons le

soin au lecteur.

REFERENCES

[I] BERG I.D : "On approximation of normal operators by weighted shifts". Michigan Math. J. 21 377-383 [1974). Voir aussi "Index theory for perturbations of direct sums of normal operators and weighted shifts", paraStre.

[2] BONSALL F.F. st DUNCAN J. : "Complete normed algebras". Springer 1973.

[3] BOURBAKI N. : "Int6gration, chapitres I ~ IV, 26 @dition". Hermann 1965.

[4] BROWN L.G., DOUGLAS R.G. et FILLMORE P.A. : "Unitary equivalence modulo the compact operators and exten- sions of C*~algebras". Springer Lecture Notes in Mathematics 345 ~1973) 58-128.

E5] OIXMIER J. : "Les C*-alg~bres et leurs repr@sentations [26 ~dition)". Gauthier-Villars 1989.

[6] DE LA HARPE P. et KAROUBI M. : "Perturbations compactes des repr@sentations d'un groupe dans un espace de Hilbert, I". Bull. Soc. math. France, M@moire 46, 1978, 41-65

E6] KALLMAN R.R. : A characterization of uniformly continuous representations of connected locally compact groups. Michigan Math. J. 16 [1969) 257-263.

Pierre de la HARPE Universit@ de Gen6ve Section de Math@matiques 2-4, rue du Li6vre - Case postale 124 1211GENEVE 24

Max KAROUBI Universit@ de Paris VII U.E.R. de Math@matiques 2, Place Jussieu 75007 PARIS

(Requ le 6 Juillet, 1977)

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Representations approchees d'un groupe dans une algebre de banach