RESSAUT HYDRAULIQUE CLASSIQUE ET CONTROLE DANS …

LARHYSS Journal, N°.01, Mai 2002

RESSAUT HYDRAULIQUE CLASSIQUE ET CONTROLE DANS QUELQUES PROFILS DE CANAUX (Première partie)

B. ACHOUR, M. DEBABECHE, M. KHATTAOUI, A. BEDJAOUI

RESUME

Le ressaut hydraulique à écoulement amont non développé, évoluant dans une galerie circulaire brusquement élargie est examiné du point de vue théorique et expérimentale. La relation fonctionnelle liant les divers paramètres intervenant au phénomène est définie et permet en particulier le calcul du taux d'élargissement de la galerie nécessaire à la formation du ressaut. Enfin, les caractéristiques de celui-ci, telles que ses longueurs et son profil de surface axial, sont quantifiées. Le contrôle d'un ressaut par seuil à paroi mince et épaisse dans un canal profilé en U est examiné d'un point de vue théorique et expérimental. Sous certaines hypothèses simplificatrices, le développement théorique conduit à des relations explicites des hauteurs relatives des seuils, tout en tenant compte de l'effet de la vitesse d'approche de l'écoulement. Ceci a permis de déduire la relation fonctionnelle régissant le contrôle du ressaut dans un canal rectangulaire, en remplacement de l'équation de Forster et Skrinde qui nécessite un réajustement. Une étude particulière est présentée pour définir les conditions d'un seuil relatif minimal à paroi épaisse. Enfin, la longueur relative du ressaut est quantifiée en tenant compte de l'influence de la hauteur relative de l'écoulement incident. Le contrôle du ressaut hydraulique par un seuil continu à paroi mince dans un canal de section triangulaire à angle d'ouverture de 90° est analysé par voie expérimentale. Une relation traduisant le contrôle du ressaut sous des conditions quelconques de formation est présentée en termes adimensionnels afin de lui donner un caractère de validité générale. L'effet du seuil sur la compacité du bassin amortisseur est observé et quantifié. Cette recherche trouve son application dans les raies d'irrigation de forme triangulaire, utilisant la capacité du ressaut à surélever le plan de charge à l'aval de l'écoulement.

Ressaut hydraulique classique et contrôle dans quelques profils de canaux

LARHYSS Journal, N°.01, Mai 2002 38

I. INTRODUCTION

Le ressaut hydraulique a fait l'objet de nombreuses études, aussi bien théoriques qu'expérimentales. C'est surtout le canal rectangulaire qui a attiré l'attention de nombreux chercheurs, en raison sans doute de sa simplicité géométrique et de la facilité de sa mise en œuvre. L'expérimentation a montré qu'en règle générale, le ressaut est bien régi par l'équation de la quantité de mouvement quelque soit la forme du canal considéré. Cette équation a pour but de déterminer le rapport des hauteurs conjuguées du ressaut classique évoluant dans des profils prismatiques tel que le canal rectangulaire, ou la hauteur relative du ressaut pour le cas des canaux circulaire et profilé en U qui intéressent particulièrement le présent rapport. Le profil en U est constitué à la base d'un demi cercle, surmonté latéralement de deux parois verticales. Dans une telle géométrie, le ressaut peut évoluer dans la partie circulaire du canal ou dans l'ensemble du profil en U. Les premiers développement relatifs au ressaut dans ce canal, caractérisé par un diamètre D, sont certainement ceux de Hager (1989). L'étude a également concerné le ressaut évoluant dans la zone semi-circulaire et la fonction f(q,y1,y2)=0 issue de l'équation de la quantité de mouvement a été entièrement définie par une approche théorique, où

5/ gDQq = est le débit relatif, y1=h1/D et y2=h2/D désignent respectivement la hauteur relative initiale et finale du ressaut. L'équation proposée traduit l'interdépendance des paramètres précédemment cités quelque soit le lieu géométrique dans lequel évolue le ressaut. Une légère différence a été observée entre les hauteurs relatives y2 mesurées et calculées et cette différence a été essentiellement attribuée à l'effet des frottements laissé hors considération lors du développement théorique. L'étude des caractéristiques du ressaut a montré que sa longueur relative Lj/h2 est en moyenne égale à 6, valeur comparable à celle du ressaut classique dans le canal rectangulaire. Ce résultat a été expérimentalement obtenu dans la gamme 2,5<F1<9 du nombre de Froude incident et pour des hauteurs relatives y1 variant entre 0,1 et 0,4. La définition adoptée pour la mesure de Lj est celle proposée par Rajaratnam (1967) et selon laquelle cette longueur correspond à la distance horizontale séparant la section initiale du ressaut à la section aval de plus grande profondeur. L'influence de plus faibles valeurs de y1 sur Lj/h2 a été expérimentalement examinée par Achour et Debabèche (2002). Aucune étude n'est également à signaler concernant le contrôle du ressaut par un seuil à parois mince et épaisse dans un canal profilé en U, à l'exception de celle de Achour et Debabèche (2002). Cette étude vise principalement à définir la hauteur relative des seuils à parois mince et épaisse nécessaire au contrôle du ressaut. Un développement théorique est proposé et défini notamment les conditions d'un seuil relatif minimal franchi par un écoulement en régime critique. L'étude s'intéresse également à la quantification de la longueur relative du ressaut et à sa variation sous l'influence de la hauteur relative initiale de l'écoulement. L'étude a permis notamment de déduire la relation



générale régissant le contrôle du ressaut dans un canal rectangulaire, tout en tenant compte de l'influence de la vitesse d'approche de l'écoulement. La relation obtenue est explicite et a été suggérée en remplacement de celle de Forster et Skrinde (1950). L'un des ouvrages le plus souvent rencontré en pratique est la galerie circulaire brusquement élargie (Achour, 2000), généralement associée aux évacuateurs de crues en puits. Elle est connectée au puits de l'évacuateur par l'intermédiaire d'un coude de diamètre de sortie très inférieur à celui de la galerie. Ce type d'ouvrage fonctionne sous des charges très élevées impliquant une importante énergie cinétique à la sortie du coude, c'est à dire au droit de l'élargissement. L'écoulement dans le coude est le plus souvent en charge, tandis que la galerie est en règle générale le siège d'un écoulement à surface libre. La galerie s'étend sur une longueur souvent importante pour aboutir plus à l'aval dans l'oued dans lequel elle déverse le débit recueilli par l'évacuateur. La profondeur de l'écoulement dans l'oued peut s'élever et son influence sur le comportement de l'écoulement dans la galerie peut ne pas être insignifiant. Si le plan de charge à l'aval de l'élargissement est tel que l'écoulement y est en régime fluvial, un ressaut peut prendre naissance à l'intérieur de la galerie et dont la position initiale dépendra fortement des conditions de l'écoulement incident. L'objectif principal de l'étude de Achour (2000) a été d'observer expérimentalement le comportement du ressaut dans une galerie horizontale et circulaire brusquement élargie. Le ressaut est créé de telle manière que l'écoulement incident soit non développé. La relation fonctionnelle liant les divers paramètres intervenant au phénomène a été définie et présentée en termes adimensionnels afin de lui donner un caractère de validité générale. L'influence du taux d'élargissement a été également observée ainsi que celle du débit relatif rapporté au tronçon initial de la conduite circulaire générant l'écoulement incident. Les caractéristiques du ressaut telles que ses longueurs ainsi que son profil de surface ont été quantifiées et des relations simples adimensionnelles ont été proposées. Le ressaut hydraulique évoluant dans une conduite ou une galerie circulaire partiellement occupée par l'écoulement n'a fait l'objet que de quelques recherches. Les travaux les plus significatifs et qui ont contribué à définir les caractéristiques du ressaut tel que le rapport Y des hauteurs conjuguées sont ceux de Lane et Kindsvater (1938), Rajaratnam (1964; 1965; 1967) et Kunstatsky et Vybora (1966). Ces travaux ont surtout montré que les rapports Y expérimentaux sont légèrement inférieurs aux rapports théoriques; cette particularité a été par ailleurs confirmée par les essais de Silvester (1964). Les travaux de Rajaratnam (1964; 1965; 1967) ont notamment mis l'accent sur la formation latérale d'une expansion de l'écoulement incident caractérisant le pied du ressaut, aussi bien pour le canal à géométrie exponentielle que circulaire.



Les études les plus récentes effectuées sur le ressaut dans une conduite circulaire, dépourvue d'élargissement, sont celles de Hager (1987; 1989), mais les essais ont cependant été menés dans une conduite profilée en "U". Le modèle physique testé a permis en outre une étude comparative des caractéristiques du ressaut évoluant dans une conduite circulaire et une conduite en "U". Pour la même valeur de la hauteur relative initiale du ressaut et du débit relatif évacué par le canal, les essais ont montré que le rapport Y des hauteurs conjuguées ne sont que légèrement différents. Pour les valeurs élevées de la hauteur relative initiale de l'écoulement incident, les caractéristiques du ressaut dans le canal profilé en "U" sont comparables à celles du ressaut évoluant dans un canal de section droite rectangulaire. Le ressaut hydraulique évoluant dans un canal de section droite triangulaire n'a pas connu un aussi grand intérêt que celui accordé à son homologue du canal rectangulaire. Cependant, bien que rares, les études qui y ont été consacrées tendent à montrer que le ressaut hydraulique dans un canal triangulaire est beaucoup plus avantageux vis-à-vis de la dissipation d'énergie et requiert une plus faible hauteur finale à l'aval pour la même valeur du nombre de Froude incident (Hager et Wanoschek,1985). Toutefois, le choix de la section d'un bassin amortisseur ne repose pas seulement sur le seul critère d'efficacité mais également sur l'aspect économique lié à sa réalisation ainsi que sur la stabilité du ressaut. Les premiers travaux connus sont ceux d'Argyropoulos (1962) et de Rajaratnam (1964) à travers son analyse des recherches de Silvester (1964). Tandis que le premier a mené son expérimentation dans un canal symétrique d'angle d'ouverture de 47° environ, le second a testé un canal d'angle d'ouverture de 60°. Les résultats ont montré, en règle générale, que l'équation de la quantité de mouvement demeure suffisante pour évaluer le rapport Y des hauteurs conjuguées, bien que les points de mesures tendent à indiquer que Y expérimental est légèrement inférieur au rapport Y théorique. Cet écart, estimé à environ 5% est également observé à travers l'analyse des résultats obtenus par Hager et Wanoschek (1985) pour le canal triangulaire d'angle d'ouverture de 90°. Il faut cependant signaler que cette dernière étude a été expérimentalement entreprise dans un canal semi-triangulaire d'angle d'ouverture de 45° composé d'une paroi verticale et d'une paroi inclinée et les résultats obtenus ont été extrapolés au ressaut évoluant dans le canal triangulaire symétrique d'angle d'ouverture de 90°. Cette extrapolation peut paraître peu fiable eu égard à l'influence que peut avoir la paroi verticale sur les caractéristiques d'un tel ressaut dont le comportement est de nature tridimensionnelle. En effet, des travaux plus récents (Achour, 1997) et relatifs au ressaut dans un canal symétrique d'angle d'ouverture de 90° ont abouti à des conclusions différentes de celles de Hager et Wanoschek (1985), notamment en ce qui concerne les longueurs caractéristiques du ressaut. Par ailleurs, la bibliographie montre que les travaux concernant le contrôle du ressaut par seuil n'ont été entrepris que sur le



canal de section droite rectangulaire, tels que ceux de Forster et Skrinde (1950) et de Hager et Li (1992). L'étude de Achour (1997) s'est proposée d'examiner, par la voie de l'expérimentation au laboratoire, le ressaut hydraulique contrôlé par un seuil continu à paroi mince dans un canal symétrique d'angle d'ouverture de 90°. L'influence du seuil sur les caractéristiques du ressaut tel que Y ainsi que sur la compacité du canal a été observée. Des relations adimensionnelles liant les divers paramètres intervenant au phénomène ont été proposées, notamment celle régissant le contrôle du ressaut sous des conditions quelconques de formation. Il faut cependant noter que la forme triangulaire n'est pas du tout adaptée aux grandes structures telles que les bassins amortisseurs, mais elle présente de multiples avantages lorsqu'elle est utilisée, à titre d'exemple, dans les raies d'irrigation. Dans ce cas, il est intéressant d'exploiter la capacité naturelle ou contrôlé d'un ressaut triangulaire à surélever le plan de charge aval (Achour, 1989) et cette particularité est souvent recherchée pour le prélèvement du débit requis. C'est dans ce domaine que ce travail trouve son application. Le présent rapport se propose de présenter les travaux effectués par le laboratoire LARHYSS et relatifs au ressaut dans quelques profils géométriques de canaux, notamment ceux que nous venons de citer. Notre attention portera essentiellement sur le canal profilé en U ainsi que sur la galerie circulaire brusquement élargie de l'évacuateur de crues en puits. Une étude particulière du ressaut contrôlé dans un canal triangulaire symétrique à angle d'ouverture de 90° sera également présentée. II. RESSAUT CONTROLE PAR SEUIL DANS UN CANAL EN U

II.1. Théorie

II.1.1. Seuil relatif minimal à paroi épaisse

1

1 c

seh hh2

2-2

D

x ≅ Lj

V1

2

2

c H1

∆H

seQ

∇ h

∇ h1

∇H2

∇

Hc V2

2/2g

00 V2

Figure 1 : Ressaut contrôlé par un seuil à paroi épaisse franchi en régime critique.

Schéma de définition



La figure 1 montre un ressaut contrôlé par seuil à paroi épaisse de hauteur se dans un canal profilé en U caractérisé par le diamètre D. Le seuil dénoyé est placé à une distance x environ égale à la longueur Lj du pied du ressaut dont les hauteurs conjuguées sont h1 et h2. L'écoulement étant en régime fluvial à l'amont et torrentiel à l'aval, le seuil est alors franchi en régime critique dans la section c-c de profondeur relative yc = hc/D et d'aire relative A*

c = Ac /D2 satisfaisant la condition (q2/A*

c3)(∂A*

c/∂yc)=1. Lorsque yo=ho/D = (yc+se/D)≤1/2, on a A*

c = (q2 sinθo)1/3 où θo = cos-1(1 – 2yo), et lorsque yo > 1/2, on a A*

c = q2/3. Mais pour l'ensemble des valeurs yo ≥ 0, on peut écrire avec une excellente approximation A*

c = [q2ϕ (yo)]1/3 où )/y(y)y( 9512 ooo −=ϕ . La condition critique s'écrit (figure 1) : H2/D = se /D + Hc /D (1) où H2/D = y2 + q2/(2A*

2 2) est la charge totale relative dans la section 2-2, d'aire

relative A*2 = A2/D2 = (y2 – Co), avec Co= (1–π/4)/2.

La charge relative critique est 3/2

oc2*

c

2

cc )(21

2/

+=+=

yqy

AqyDH

ϕ.

La relation (1) devient donc :

3/2

oo2

o2

2

2 )(21

)(21

+=

−+

yqy

Cyqy

ϕ (2)

Les paramètres y2 et q sont liés à la hauteur relative initiale y1 du ressaut par l'équation de la quantité de mouvement appliquée sous sa forme classique entre les sections 1-1 et 2-2 de la figure 1. On peut alors écrire que :

)/()/( 22

2212

11 gAQAhgAQAh +=+ , où 113

13

1 cos)2/(sin)12/( θθ DADh −= est la position du centre de gravité de la section amont A1,

[ ] )/(6/1)2)(()2/( o2o222 2/12/1 CyCyyDh −+−+−= est la position du centre de gravité de la section aval A2 et θ1 = cos-1(1 – 2y1). Pour y1 < ½ et y2 ≥ ½, l'équation de la quantité de mouvement est donc:

)12)(142(8)sin1(32cos)cossin(

cossin32

222

2

13

1111111

2

−+−+−

=θ−−θθθ−θ−θθ−θ

yCyCy

qqo

o

(3)

Un ajustement de la relation (3) a permis d'écrire que le débit relatif q doit être tel que q ≥ 0,432y1

0,85, R2 = 0,999. Pour une valeur donnée de y1 et de q, l'inégalité précédente permet de prévoir le lieu géométrique dans lequel évoluera le ressaut. La figure 2 indique la variation de yo = f (q) selon les relations (2) et (3) dans la gamme 0 < y1 < 1/2 et pour diverses valeurs de y2. Elle montre d'une part que yo < y2 et que pour la même valeur de yo il existe deux valeurs distinctes du débit relatif q d'autre part. Les courbes obtenues passent par un minimum yo min tel que dyo/dq = 0 et correspondant à un débit relatif q = qo. La figure 2 montre également que yo > 2/5 et par suite [ϕ(yo)]2/3 → 1.



La relation (2) permet alors d'écrire que dyo/dq = q/(y2 – Co)2 – (3q1/3)-1, soit :

3

o23/2o

Cyq −= (4)

En substituant (4) dans (2), il vient :

8,0931

o2

omino ≅

−=

−−Cy

Cy (5)

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4

q

y o

0,6 0,5

0,7

0,8 0,9

1 y 2

Figure 2 : Variation de yo = f (q) selon les relations (2) et (3)

pour 0 < y1 < 1/2.(- - -) yo min = ψ (q) selon la relation (6).

La combinaison des relations (4) et (5) permet d'écrire

o3/2

omino )313( Cqy +−= . En tenant compte des relations (3) et (4), on peut

montrer que o1 )5/3( qy ≈ . Avec (A*o–A*

s) = [q2ϕ (yo)]1/3=q2/3, et pour yo > 2/5, l'approximation A*

o ≈ ( yo – Co ) donne, avec une erreur inférieure 0,25%: q2/3 = yo – A*

s – Co (6) Lorsque q = qo, la relation (6) devient :

3/2o

3/2osss

*s )5/2()3/43(4/)cossin( qqA ≈−=−= θθθ et étant donné que

qo>0,1, on peut écrire avec une erreur inférieure à 3%, que

1o.mine )3/5()/(2 yqDs =≈ . On peut donc conclure qu'un seul des paramètres y2 , q = qo et y1 permet d'évaluer la hauteur relative minimale (se/D) min du seuil. La relation (6) montre que, pour se /D ≥ 1/3, yc = hc /D → q2/3, et la variation de la profondeur critique relative yc au-dessus d'un seuil placé dans un canal profilé en U est alors identique à celle dans un canal rectangulaire de largeur b= D.



II.1.2. Relation générale régissant le contrôle du ressaut

La combinaison des relations (2) et (6) permet d'écrire, pour [ϕ(yo)]2/3 → 1 :

*s

3/22

o2

2

o2 23

21

)()( Aq

CyqCy =−−

+− (7)

ou bien, en divisant par y1 :

11

*s

1

3/2

211o

31

21

1o 23

21

)()( −

−− =−

−+− yA

yq

yCYyqyCY (8)

avec Y = h2/h1 le rapport des hauteurs conjuguées du ressaut. L'expérience montre que le second terme de l'équation (7), σ1U = [q/( y2 – Co )]2/2 = V2

2/(2gD) est négligeable, V2 étant la vitesse moyenne de l'écoulement à l'aval du ressaut. Par contre, le facteur σ2U = q2/[ 2y1

3 (Y - Coy1-1)2] = V2

2/(2gh1) = σ1U/y1 de la relation (8) est non négligeable. En effet, nos propres essais ainsi que ceux de Hager (1989) indiquent que, selon la valeur du nombre de Froude incident, 0,13≤ σ2U ≤ 0,27. Par analogie à la relation approchée de Hager (1987), on peut écrire A*

s = (4/3)(se /D)3/2 (1 – se /3D), et l'équation (7) devient :

−

=−−

Ds

DsCqy e

2/3e

o3/2

2 31

34

23 1 (9)

Pour se /D ≥ 1/3 ( yc → q2/3 ), on peut même écrire que A*s ≈ (se /D – Co) avec

une erreur inférieure à 3%. Les relations (7) et (8) deviennent alors explicites en se /D et en Se = se /h1 et s'écrivent respectivement :

3/212

e

23 qy

Ds

U −+= σ (10)

1

3/2

2e 23

yqYS U −+= σ (11)

En ce qui concerne le seuil à paroi mince de hauteur sm , la configuration de la surface libre à l'aval du ressaut permet d'écrire que y2 ≈ yc + sm/D, avec yc→ q2/3. Ainsi, la relation régissant le contrôle du ressaut par un seuil à paroi mince s'écrit : sm /D = y2 – q2/3 (12) ou bien, avec Sm = sm /h1:

1

3/2

m yqYS −= (13)

Une étude comparative entre les relations (10) et (12) pour σ1U = 0 montre que le contrôle du ressaut implique des hauteurs de seuil à paroi mince supérieures à celles du seuil à paroi épaisse .



II.1.3. Canal rectangulaire

Le contrôle du ressaut par un seuil à paroi épaisse dans un canal rectangulaire de largeur b = D peut être considéré comme un cas particulier du précédent. Cette configuration correspond à Co = 0 et les relations (10) et (11) s'écrivent respectivement :

3/2

2

22 2

321 q

yqy

Ds

−

+= (14)

3/21

21

23

21 F

YFYS −

+= (15)

Le débit relatif est q = y13/2F1 où F1 = [Q2/(gb2h1

3)]1/2 est le nombre de Froude incident. La relation (15) traduit donc de manière explicite la variation de la hauteur relative S du seuil en fonction du nombre de Froude F1. Dans l'intervalle 3,10 ≤ F1 ≤ 9,20, nos essais ont montré que le facteur cinétique σR=F1

2/(2Y 2) = V22/(2gh1) varie entre 0,273 ≤ σR ≤ 0,317 et cet effet est à

considérer. Le développement théorique proposé par Forster et Skrinde (1950) repose sur deux principales considérations simplificatrices : la hauteur de vitesse d'approche V2

2/2g est négligée (figure 3), soit H = (h2 – s) et la hauteur minimale hm au droit su seuil est telle que 2hm ≅ (h2 – s), selon les essais effectués par Doeringsfeld et Barker (1941). Sous ces conditions, l'équation de la quantité de mouvement appliquée entre les sections 2-2 et m-m mène à une relation implicite en S (Forster et Skrinde, 1950): (8/3)F1

2 = Y (Y – S)3 / (Y + S) (16)

h2 s

Lo

hm

∇

2

2

m

m

H = h2 - s

Figure 3: Définition de l'écoulement franchissant un seuil à paroi épaisse selon

Forster et Skrinde (1950). L'équation (16) devrait s'écrire, en tenant compte de l'influence de σR : (8/3)F1

2 = Y (Y + σR – S)3 / (Y + S) (17)



Les relations (15), (16) et (17) sont représentées graphiquement sur la figure 4. Un écart, variant entre 9% et 26%, est observé entre les relations (15) et (16).

0

2

4

6

8

3 4 5 6 7 8 9 10

S

F1

Figure 4 : Variation de S en fonction de F1 dans le canal rectangulaire.

(o) Points expérimentaux actuels. (.........), (-----), () courbes selon (15), (16) et (17).

II.2. Étude expérimentale

II.2.1. Installation

La figure 5 montre le schéma de l'installation expérimentale, tandis que la photographie 1 montre une vue d'ensemble du modèle expérimental et une vue en direction de l'écoulement. Le canal profilé en U a une longueur de 6 m et un diamètre D = 0,245 m. Il est composé à la base d'une conduite circulaire en PVC surmontée latéralement de deux parois verticales dont l'une est en tôle et l'autre en plexiglas transparent permettant la visualisation de l'écoulement. Le canal est alimenté en circuit fermé par une pompe axiale. Les débits Q, mesurés par un débitmètre à diaphragme à ± 0,5 l/s, se situent entre 3 l/s et 30 l/s. L'écoulement incident est généré par un système boite-convergent. Le pied du ressaut est positionné à l'aval immédiat du convergent dont l'ouverture est assimilée à la hauteur initiale de l'écoulement. Des seuils à paroi mince d'une épaisseur de 2 mm ont été confectionnés en tôle, ainsi que des seuils à paroi épaisse d'une longueur de 400 mm. La position des seuils correspond approximativement à la longueur Lj. Les profondeurs de l'écoulement ont été mesurées au moyen de limnimètres avec une précision du demi millimètre, tandis que les longueurs caractéristiques du ressaut ont été évaluées avec un ruban graduée à ± 0,10 m. L'expérimentation a concerné 7 séries d'essais correspondant chacune à sept hauteurs initiales du ressaut h1 = 1 cm ; 1,60 cm; 2 cm ; 2,30 cm ; 3,35 cm ; 5 cm et 6 cm. Les essais ont eu pour buts d'évaluer, (1) les profondeurs du ressaut telles que h2 >D/2, (2) les hauteurs correspondantes des seuils à paroi mince et épaisse ainsi que (3) les longueurs Lj du ressaut. Les mesures expérimentales obtenues sont regroupées dans le tableau 1 en annexe. De faibles valeurs de h1 ont été volontairement considérées afin d'observer essentiellement l'influence de y1 sur la longueur



relative du ressaut. Les effets d'échelle, qui auraient pu être causés par ces faibles profondeurs, n'ont pas été observés lors de la représentation graphique des mesures expérimentales.

∇∇

x ≅ Lj

Bassinde restitution

Débitmètre àdiaphragme

Vanne de réglagedu débit

Pompe axiale

h2

QQ

0 x

Convergenten charge

Paroi du canal

s

Boite souspression

h1

Figure 5 : Schéma du dispositif expérimental

a) b)

Photographie 1 : a) Vue d'ensemble du dispositif expérimental, b) Vue en direction de l'écoulement.

II.2.2. Résultats et Discussion

II.2.2.1 Vérification de l'équation de la quantité de mouvement

L'objectif de cette partie de l'étude est d'observer les effets de frottement sur la hauteur aval du ressaut lors du contrôle par un seuil à parois mince et épaisse. Les hauteurs relatives expérimentales y2 exp sont confrontées, dans la figure 6, aux hauteurs relatives théoriques y2 th calculées selon la relation (3). Aucun effet de frottement n'a été donc observé et la mise en place du seuil n'a pratiquement aucun effet réducteur sur la profondeur relative finale du ressaut.



0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

y2th

y 2exp

Figure 6 : Variation de la hauteur relative y2 exp expérimentale en fonction de la hauteur relative

y2 th théorique calculée selon la relation (3) pour 0,041 ≤ y1 ≤ 0,245. (- - -) y2 exp = y2 th .

II.2.2.2 Hauteur relative du seuil à paroi épaisse

La figure 7 montre la variation de la hauteur relative se/D expérimental en fonction de se/D théorique calculé selon les relations (7) et (10) pour σ1U = 0. Les points obtenus se répartissent uniformément autour de la première bissectrice, montrant ainsi la validité de l'approximation A*

s ≈ (se/D – Co) même pour des valeurs se /D < 1/3. Les valeurs expérimentales répondent mieux à la relation théorique (10) lorsque le facteur cinétique σ1U = 0, soit se / D = y2 – (3/2)q2/3. On peut déduire que pour obtenir une hauteur relative y2 ≥ 1/2, il faut que se /D ≥ (1 – 3q2/3 )/2.

se/Dexp

se/Dth0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figure 7 : Variation de se/D expérimental en fonction de se/D théorique calculé

selon : (•) relation (7), avec σ1U ≠ 0, (o) relation (10), avec σ1U = 0.

(- - -) se /D exp = se/D th .



II.2.2.3 Hauteur relative du seuil à paroi mince

La figure 8 montre la variation de la hauteur relative sm/D expérimental en fonction de sm/D théorique calculé en appliquant la relation (12). Les points obtenus se répartissent également de manière uniforme autour de la première bissectrice d'équation sm/D exp = sm/D th . Ceci permet de conclure la validité de la relation (12).

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

sm/Dexp

sm/Dexp

Figure 8 : Variation de sm/D exp expérimental en fonction de sm/D th théorique calculé

selon la relation (12). (- - -) sm/D exp = sm/D th . II.2.2.4 Longueur relative du ressaut

La longueur Lj a été définie comme la distance entre la section initiale du ressaut et la section de plus grande profondeur. L'objectif principal de cette partie de l'étude est de quantifier la longueur relative Lj/h2 dans la gamme de valeurs testées de la hauteur relative y1. La figure 9 montre le rapport Lj/h2=f(F1) où F1 = (8qsin1/2θ1)/(θ1 - sinθ1cosθ1)3/2.

0

4

8

12

16

0 5 10 15 20 25 30

F1

Lj/h2

Figure 9 : Variation expérimentale de Lj/h2 en fonction de F1 pour diverses valeurs de y1

.(♦) y1 = 0,041; ( ) y1 = 0,065; (∆) y1 = 0,082; (o) y1 = 0,095; (•) y1 = 0,137 ; ( ) y1 = 0,204; ( ) y1 = 0,245.

(×) mesures de Hager (1989) pour y2 > 1/2 et 0,088 ≤ y1 ≤ 0,450.



Il apparaît ainsi que Lj/h2 diminue avec l'augmentation de F1, pour une valeur donnée de y1. Pour une même valeur de F1, Lj/h2 diminue également lorsque y1 augmente. La longueur relative Lj/h2 → 6 pour les valeurs élevées de y1, ce qui rejoint les observations de Hager (1989). Une meilleure représentation graphique a été obtenue en exprimant la variation de Lj/h2 = ζ (q) (figure 10). En effet, une courbe unique met en évidence cette variation pour l'ensemble de la gamme de valeurs y1 testées.

0

5

10

15

20

25

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Lj/h2

q

Figure 10 : Variation expérimentale de Lj/h2 en fonction du débit relatif q,

pour 0,04≤ y1 ≤ 0,245. Notation selon la figure 9. (- - -) courbe selon la relation (18). (............) Lj/h2 = 6.

Un ajustement, basé sur la méthode des moindres carrées non linéaires, permet d'écrire avec une excellente approximation :

q

j 5,3hL

2

= (18)

L'expérimentation semble indiquer que la relation (18) est également applicable lorsque y2 ≤ 1/2. III. RESSAUT DANS UNE GALERIE CIRCULAIRE BRUSQUEMENT

ELARGIE

III.1. Théorie

III.1.1. Condition d'apparition du ressaut

La figure 11 représente de manière schématique un ressaut hydraulique évoluant dans une galerie circulaire brusquement élargie de diamètre D. L'écoulement incident est généré par une conduite circulaire de diamètre d et le ressaut est localisé à x ≅ 0, où x représente la coordonnée longitudinale. Toutes les configurations de l'écoulement telles qu'elles sont représentées sur la figure 11 correspondent à l'égalité Ho = H1 des charges dans les sections voisines 0-0 et 1-1 :



24

2

42

2

)cossin(88

2 αααπ −+=+

gDQh

dgQd

(19)

Q est le débit volume, α est le demi-angle au centre, mesuré en radian, du segment circulaire de hauteur h et tel que α = cos-1(1 – 2h/D), g est l'accélération de la pesanteur. La relation (1) peut s'écrire en termes adimensionnels :

])cossin(1[

)2/1()8/( 242

22*−− −−

−=

αααβπβτ

πdQ (20)

2/152* )]/([ gdQQd = est le débit relatif rapporté au diamètre d, β = D/d est le taux d'élargissement de la galerie et τ = h/D est le paramètre de forme du segment circulaire dans la section 1-1 (figure 11). Les racines, obtenues par application de la relation (20), n'ont un sens physique que sous la condition βτ ≥ 1, ou bien h/D ≥ 1; ce résultat était prévisible étant donnée la configuration de l'écoulement pour x = 0 (figure 12). Lorsque le régime d'écoulement dans la galerie devient critique, l'inégalité précédente se transforme en égalité et s'écrit: τc = β -1 (21) L'indice "c"désigne l'écoulement critique. En outre, l'écoulement critique dans la galerie circulaire se traduit par la condition :

1)cossin(

sin643

2*

=− ccc

cDQααα

α (22)

*2/52/152* )]/([ dD QgDQQ −== β , αc = cos-1(1 - 2τc ). En tenant compte de (21) et (22), la relation (19) s'écrit :

cc

cccdQ

ατααα

sin64)cossin(

5

32* −= (23)

C'est la relation (23) qui permet de définir le débit limite Q*d,lim. au-delà duquel

le ressaut apparaît dans la galerie circulaire brusquement élargie et caractérisé par un écoulement amont non développé tel qu'il est représenté sur la figure 11. III.1.2. Relation générale régissant le ressaut dans la galerie circulaire

brusquement élargie

L'application du théorème de la quantité de mouvement dans la direction longitudinale, entre les sections initiale 0-0 et finale 2-2 du ressaut correspondant respectivement à x = 0 et x = Lj (figure 11), conduit à écrire, en admettant une répartition hydrostatique de la pression et une distribution uniforme de la vitesse :



2

2

22

2

gAQAhF

gAQAh x

ooo +=++ (24)

2/dho = désigne le centre de gravité de la section initiale,

223

23

2 cos)2/(sin)12/( αα DADh −= est la position du centre de gravité de la section A2 = (D/2)2( α2 - sinα2cosα2 ) comptée à partir de la surface libre et où α2 = cos-1(1 - 2τ ) est le demi-angle au centre, mesuré en radian, du segment circulaire de hauteur h2, Fx est la force de pression exercée par la paroi de l'élargissement dans la direction longitudinale. Par analogie à la relation de Borda-Carnot et au vu de la forme de la relation (24), il est admissible d'écrire que Fx ≅ 0,5(D – d )h1

2, avec h1 = d. La relation (24) s'écrit alors :

])cossin(1)[/32(

)1(4)]cossin(cossin)3/2[(1

2222

2222233

2*−− −−

−−−−−=αααπβπ

πβαααααβdQ (25)

Lorsqu'il s'agit de répondre à un besoin de dimensionnement, l'application de la relation (25) permet d'évaluer le taux d'élargissement β et par suite la valeur du diamètre D de la galerie, à partir des valeurs connues du débit relatif Q*

d et du taux de remplissage aval imposé τ = h2/D. III.2. Etude expérimentale

III.2.1. Installation

La figure 11 et la photographie 2 montrent le modèle expérimental testé. Celui-ci est composé d'une galerie circulaire en Plexiglas transparent d'une longueur de 3 m et de diamètre intérieur D = 0,289 m. La galerie est connectée à son extrémité amont à un tronçon de conduite interchangeable, de section droite circulaire et de diamètre d, directement alimenté par une pompe axiale assurant un débit maximum de 30 l/s. L'écoulement dans ce tronçon de conduite initiale est sous pression pour toute la gamme des débits et des diamètres utilisés. L'écoulement incident est donc généré par le tronçon de conduite initiale alimentant la galerie et la position initiale du ressaut peut être réglée par le déplacement verticale de la vanne de fond située à l'extrémité aval du banc d'essai. La galerie débouche dans un canal de restitution de forme rectangulaire par lequel transite l'écoulement avant de déverser dans un bassin d'accumulation qui précède la pompe. Tout le dispositif ainsi décrit fonctionne en circuit fermé. Cinq valeurs de d variant entre 5 cm et 12 cm ont été considérées et autant de valeurs du taux d'élargissement β = 5,780 ; 4,128; 3,211; 2,890 et 2,408. Les débits Q, mesurés à ±0,5 l/s au moyen d'un débitmètre à diaphragme préalablement étalonné, se trouvent dans la gamme 2,4 l/s et 23 l/s. La longueur de la galerie a été suffisante pour contenir l'ensemble des profils de surface du ressaut créés. Les profondeurs de l'écoulement, telles que la profondeur finale et les hauteurs h(x) du profil de



surface du ressaut ont été mesurées pour chacun des débits volumes Q. La mesure de ces grandeurs a été rendue possible grâce à une série de prises de pression statique placées le long de la génératrice inférieure de la galerie et reliées à un tableau manométrique (photographie 2a et 2b). En raison des fluctuations parfois importantes de la surface libre, les profondeurs correspondantes ont été mesurées à ±1 cm. Les longueurs caractéristiques du ressaut, c'est à dire la longueur Lr du rouleau de surface ainsi que la longueur Lj du ressaut, ont été mesurées avec une précision de ±10 cm à l'aide d'un ruban gradué. La longueur Lr a été visiblement associée à la section aval de l'écoulement indiquant la fin du rouleau de surface, tandis que la longueur Lj a été associée à la section aval pour laquelle l'écoulement tend à devenir parallèle à la génératrice inférieure de la galerie. Ceci a pu être aisément observé grâce aux prises de pression statique placées à l'aval de la galerie. Une large gamme de valeurs de la profondeur h2 du ressaut a pu être expérimentalement obtenue et correspond à 7 cm ≤ h2 ≤ 28,9 cm ou à un taux de remplissage aval de 0,245 ≤ τ ≤ 1. Le taux de remplissage aval maximal τ=1 n'a pu être strictement atteint que pour la plus grande valeur du taux d'élargissement β = 5,780. La photographie 2.b montre clairement un rouleau de surface obtenu pour un taux de remplissage aval égal à l'unité.

Bassin

∇_⊕ ∇_ ∇

x Lr Lj

0 1 2 ∇ D

Débitmètre Pompe axiale

Q 0 1 2

0

h(x) h2 d

Q

Figure 11 : Schéma simplifié du dispositif expérimental



a) b)

Photographie 2 : a) Vue d'ensemble du dispositif expérimental en direction de l'écoulement, b) Vue de profil de la galerie et du rouleau de surface.

III.2.2. Résultats et discussion

III.2.2.1 Relation générale

L'objectif de cette première partie de l'étude est de vérifier expérimentalement la validité de la relation (25). La figure 12 montre la variation expérimentale et théorique de τ en fonction du débit relatif Q*

d pour chacune des valeurs testées du taux d'élargissement β de la galerie. La courbe limite d'apparition du ressaut, tracée selon la relation (23) y est également représentée. Nous pouvons ainsi clairement observer que les points expérimentaux répondent de manière satisfaisante aux courbes théoriques. Il faut noter également que l'apparition du ressaut dans la galerie ne correspond pas à l'égalité τ = β -1 mais satisfait l'inégalité τ >β -1; ainsi, le taux de remplissage aval de la galerie est tel que β -1 < τ ≤ 1.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

τ

Q*d

Figure 12 : Variation théorique et expérimentale du taux de remplissage aval τ = h2/D de la

galerie en fonction du débit relatif Q*d = [Q2/(gd5)]1/2. (- - -) courbes théoriques tracées selon la

relation (25). (- -•- -) courbe limite d'apparition du ressaut selon la relation (23). Points expérimentaux : (×) β = 2,408; (o) β = 2,890; (∆) β = 3,211; (□) β = 4,128; (◊) β = 5,780.



III.2.2.2 Longueurs caractéristiques du ressaut

Les longueurs Lr et Lj du ressaut ne peuvent être quantifiées que par la voie expérimentale. En raison de l'instabilité horizontale du ressaut et de l'imprécision avec laquelle sont localisées les sections correspondantes, la représentation graphique de la variation des longueurs relatives Lr/h2 et Lj/h2 caractéristiques du ressaut se traduit par un nuage de points plus ou moins épais selon la précision de l'appareillage et de la justesse du manipulateur. Les figures 13.a et 13.b montrent respectivement la variation expérimentale des longueurs relatives Lr/h2 et Lj/h2 en fonction du débit relatif Q*

d et pour l'ensemble des valeurs testées du taux d'élargissement β de la galerie. Nous pouvons ainsi observer que les mesures expérimentales se traduisent par un nuage de points relativement mince qui permet de conclure que les points obtenus se répartissent uniformément autour d'une courbe plate ou même autour d'une valeur moyenne. En outre, les figures 13.a et 13.b n'indiquent aucune influence significative du débit relatif Q*

d et du taux d'élargissement β sur les longueurs relatives du ressaut. Ce résultat est surtout observé pour Q*

d ≤ 6 et nous pouvons écrire : Lj/h2 = 7,00 ± 0,5 (26)

Lj/h2=6,50 ± 0,5 (27)

a) 4

6

8

10

0 2 4 6 8

L r / h 2

Q * d

4

6

8

10

0 2 4 6 8

L j / h 2

Q * d b)

Figure 13 : Variation expérimentale des longueurs relatives du ressaut dans une galerie

circulaire brusquement élargie, en fonction du débit relatif Q*d

et pour divers taux d'élargissement β. a) longueur relative du rouleau, b) longueur relative du ressaut. Notation selon la figure 12.



Les relations (26) et (27) indiquent que les longueurs relatives du ressaut dans une conduite circulaire brusquement élargie et correspondant à une position telle que x ≅ 0 sont légèrement plus grandes, mais toutefois comparables, que celles du ressaut évoluant dans une conduite circulaire dépourvue d'élargissement pour lequel Lj/h2 = 6 (Hager, 1987). III.2.2.3 Profil de surface axial du ressaut

L'étude expérimentale du ressaut à écoulement amont non développé dans une galerie circulaire brusquement élargie n'a montré aucune asymétrie de l'écoulement par rapport à l'axe longitudinal de la conduite. Une relative instabilité horizontale a été cependant observée pour toute la gamme des débits Q et des taux d'élargissement β. L'objectif que vise la présente partie de l'étude est de définir le profil de surface du ressaut dans l'axe longitudinal de la galerie. Pour une valeur fixée de β, il est possible d'obtenir différents profils de ressauts selon le débit évacué. En règle générale, le profil de surface du ressaut est défini comme étant la courbe moyenne de la surface libre entre les sections initiale et finale du ressaut de profondeur respective h1 et h2. Nous adopterons alors le schéma de définition représenté par la figure 11. L'introduction des variables y et X telles que ]/(])([ 121 hhhxhy −−= et X = x/Lj, ( 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ X ≤ 1 ), a permis de définir le profil de surface généralisé du ressaut à travers une relation unique adimensionnelle. La figure 14 traduit la variation expérimentale de y en fonction de X pour l'ensemble des valeurs testées du taux d'élargissement β. Nous pouvons ainsi remarquer que l'ensemble des couples (y , X) se situent sur une courbe unique. Il a été enfin remarquable de constater que cette courbe unique répond avec une excellente approximation à la relation :

)90sin( Xy °= , 0 ≤ X ≤ 1 (28)

0

0,5

1

0 0,5 1

X

y

Figure 14 : Profil de surface généralisé y(X) du ressaut à écoulement amont non développé dans une galerie circulaire brusquement élargie : 0,32 ≤ Q*

d ≤ 14,30 ; 2,408 ≤ β ≤ 5,780. (- - -) relation (28).



IV. RESSAUT CONTROLE PAR SEUIL DANS UN CANAL TRIANGULAIRE

IV.1. Position du problème

La mise en place d'un seuil continu à paroi mince de hauteur s (figure 15) dans un canal triangulaire horizontal, à une distance x du pied du ressaut, provoque l'apparition de celui-ci. Le ressaut est généré par un convergent C inséré au pied d'un réservoir R. Pour une valeur donnée du débit Q1 et pour une hauteur choisie s1 du seuil, le ressaut peut s'étendre sur une longueur Lj1 nettement inférieure à x (figure 15,a). L'accroissement du débit à Q2 > Q1 entraîne à la fois le déplacement du ressaut vers l'aval ainsi que l'augmentation de sa longueur à Lj2 (figure 15,b). En dépit de l'augmentation du débit, la tranche d'écoulement en régime torrentiel de longueur ∆x peut être réduite par la surélévation du seuil. L'accroissement de Q et de s implique une longueur relative Lj/x de plus en plus grande et à la limite égale à l'unité (figure 15,c). Plus la longueur x est grande et plus les valeurs de Q et de s doivent être élevées afin d'atteindre une longueur relative Lj/x égale à l'unité. Si la longueur ∆x est suffisamment courte, la hauteur initiale h1 du ressaut peut être raisonnablement assimilée à l'ouverture ao du convergent générant l'écoulement incident. Si l'on considère un seuil à paroi mince dénoyé, la hauteur h3 à l'aval du seuil n'a aucune influence sur le débit et même sur le comportement du ressaut. Les paramètres intervenant au phénomène sont alors Q, h1, s, x, Lj, g et θ , où g et θ représentent, respectivement, l'accélération gravitationnelle et l'angle d'inclinaison des parois du canal par rapport à l'horizontale. Ces paramètres permettent de composer les produits adimensionnels tels que le nombre de Froude de l'écoulement incident 2/15

122

1 )]/(2[ hgmQF = avec m = cotθ où cot est la cotangente et h1 ≈ ao , la hauteur relative du seuil S = s/h1 , la position relative du seuil X = x/h1 et enfin xL jj /=λ , qui sont liés par la relation fonctionnelle 0),,,( 1 =jXSFf λ . L'un des objectifs de la présente étude est de définir f pour l'ensemble des configurations du ressaut, c'est à dire pour toute valeur de la longueur relative λj, et notamment pour λj = 1.



R

h1 ∇ ∇

ao

s1 ∇h3 Q1

∇ h2

x

∆x Lj1

C

∇

∇ ∇

∆x

ao h1 ∇

h2

Lji

si h3 Qi

x ≈ Lji

∇

∇ ∇

∆x

ao h1 ∇

h2

Lj2

s2

h3 Q2

x

R

R

C

C

a)

b)

c)

Figure 15: Configurations à débit croissant du ressaut contrôlé par un seuil à paroi mince.

IV.2. Procédure expérimentale

Le canal horizontal (figure 16), de section droite triangulaire symétrique et dont les parois sont inclinées de θ = 45° est d'une longueur de 4 mètres, suffisante à la formation complète du ressaut pour toute la gamme des débits Q utilisés 4 l/s ≤ Q ≤ 30 l/s. Ceux-ci ont été évalués par un débitmètre à diaphragme à ± 0,5 l/s. L'écoulement incident est généré par la mise en place d'un convergent en charge C de section droite triangulaire dont le rôle est d'une part de provoquer un écoulement à grande vitesse et d'éviter la mesure de la profondeur h1 d'autre part; il est en effet très délicat de procéder à la lecture limnimétrique de h1 en raison du caractère fortement torrentiel de l'écoulement incident. Pour chacune des valeurs expérimentalement obtenues de F1 telles que 1,60 ≤ F1 ≤ 10,90 , la hauteur s du seuil a été choisie de telle sorte que la longueur ∆x soit environ égale à 4 à 5 cm. Cette distance n'a pu être réduite davantage en raison de l'instabilité horizontale du ressaut. Les hauteurs d'eau amont h1 qui correspondent à l'ouverture de sortie du convergent C ont été telles que 40 mm ≤ h1 ≈ ao ≤ 80 mm. Les distances horizontales ont été



∇∇

x ≈ Lj

Bassinde restitution

Débitmètre Pompe

h2

QQ

0 x

Paroi du canal

sh1

∇ao

Bassin d'alimentation

Figure 16 : Schéma du dispositif expérimental.

A

∇

∇

h2

h3 s

Paroi du canal

Seuil à paroi

A

s

2s

45°

a) b)c)

Figure 17 : Ressaut contrôlé par un seuil à paroi mince.

a) profil de l'écoulement au-dessus du seuil, b) vue en plan du canal,

c) Vue suivant A-A.



mesurées à l'aide d'un ruban gradué, notamment la longueur Lj estimée à ± 10 cm. Cette longueur Lj a été associée à la section de l'écoulement caractérisée par une remontée de bulles d'air à la surface; celle-ci est par ailleurs quasi parallèle au fond du canal de mesures. La hauteur aval h2 du ressaut a été mesurée à l'aide d'un limnimètre à vernier à double précision à ± 1 cm à 1,5 cm, en raison des fluctuations parfois importantes de la surface libre aval. Afin de contrôler la position du ressaut, des seuils à paroi mince ont été utilisés. Dix neuf seuils d'épaisseur de 2 mm ont été testés et dont la hauteur s est telle que 4 cm ≤ s ≤ 20 cm correspondant à 0,50 ≤ S ≤ 4,5. L'expérimentation a montré que le caractère dénoyé de l'écoulement (figure 17,a) est obtenu pour une profondeur h3 à l'aval du seuil telle que h3 < h2 – (3/4)s, comme dans le cas du canal rectangulaire. L'installation a permis de faire varier X et λj dans les larges gammes 4 ≤ X ≤ 47 et 0,03 ≤ λj ≤ 0,98. Chaque série d'essais a été exécutée sous une hauteur h1 constante.

IV.3. Résultats expérimentaux

IV.3.1. Influence du seuil sur le rapport des hauteurs conjuguées du ressaut

Théoriquement, le seuil ne devrait avoir aucun effet réducteur sur la hauteur finale h2 du ressaut, puisque celui-ci n'est pas encore forcé (Rajaratnam, 1964). En d'autres termes, la hauteur aval *

2Th du ressaut "classique triangulaire" doit être égale à la hauteur Th2 du ressaut contrôlé par le seuil, sous les mêmes conditions d'écoulement incident. Dans un premier temps, notre démarche a consisté à évaluer le rapport *

TY expérimental du ressaut classique triangulaire et le comparer au rapport *

TY théorique, pour la même valeur de F1. Cette première étape a été nécessaire afin d'observer un éventuel effet de frottement sur le rapport des hauteurs conjuguées. La figure 18 compare la variation théorique et expérimentale de )( 1

* FfYT = , en notant que *

TY théorique a été évalué par l'équation suivante (Hager et Wanoschek, 1985):

)1(3

)1(2*

*2*2*2

1 +++

=T

TTTT Y

YYYF (29)

La figure 18 ne montre aucun effet de frottement dans une large gamme de valeurs considérée de F1 et la relation (1) demeure donc suffisante pour évaluer le rapport *

TY .



1

2

3

4

5

6

1 3 5 7 9 11

F1

Y*T

Figure 18 : Variation théorique et expérimentale de Y*T=f(F1) du ressaut "classique

triangulaire" (m = 1). (........) relation (29). Points expérimentaux obtenus pour 2,32 ≤ F1 ≤ 11 : ( ) h1 = 45 mm , (∆) h1 = 49,5 mm , (◊) h1 = 52 mm , (×) h1 = 56,7 mm ,

( ) h1 = 60 mm , ( ) h1 = 65,8 mm , ( ) h1 = 70 mm , (+) h1 = 78,5 mm. La figure 19 indique la variation expérimentale du rapport sY du ressaut contrôlé par seuil à paroi mince en fonction de F1. La relation (29) y est également représentée et nous pouvons noter que l'égalité *

Ts YY = n'est satisfaite que pour une certaine gamme de F1. L'influence du seuil sur le rapport des hauteurs conjuguées apparaît à des valeurs de F1 supérieures à 7,50 environ. Cette influence s'accroît avec l'augmentation de F1 mais elle n'est cependant pas significative; nous avons pu observer en effet que pour F1 ≈ 11, l'écart relatif est %5/)( ** ≅− TsT YYY . Nous pouvons ainsi admettre que la relation théorique (29) reste applicable au ressaut contrôlé par un seuil dans un canal triangulaire à angle d'ouverture de 90° puisqu'elle offre une certaine sécurité. Dans toute la gamme de F1 testée, c'est à dire 1,60 ≤ F1 ≤ 10,90 , un ajustement des valeurs expérimentales a montré que la variation de )( 1FfYs = est de type logarithmique :

999,0,5

441 21 =

++= RFLnYs (30)

1

2

3

4

5

6

1 3 5 7 9 11

Ys

F1

Figure 19: Variation expérimentale de Ys = f (F1) dans un canal triangulaire lors du contrôle du

ressaut par un seuil à paroi mince. (.......) courbe du ressaut "classique triangulaire" tracée selon la relation (29).



Selon (30), la condition F1 = 1 correspond Ys = 1. L'analyse des mesures expérimentales a montré la possibilité de corréler Ys et la hauteur relative S. La figure 20 montre la variation expérimentale de )()1( SYs ζ=− pour le cas du seuil à paroi mince. Il ressort que cette variation suit une loi linéaire et un ajustement a permis d'écrire avec une excellente approximation Ys= (1+ 0,96S), R2 = 0,999, où bien plus simplement : Ys ≅ 1 + S (31) Cette dernière égalité montre que (h2 – s) = h1, ce qui permet de conclure que le seuil est franchi par une lame d'eau d'épaisseur égale à la hauteur amont. Il ressort des relations (30) et (31) que :

+=

544 1FLnS (32)

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

Ys-1

S

Figure 20: Variation expérimentale de (Ys - 1) = ζ (S) lors du contrôle du ressaut par un seuil à

paroi mince dans un canal triangulaire (m = 1). (......) relation (31).

IV.3.2. Relation générale régissant le contrôle du ressaut

Comme nous l'avons montré sur la figure 15, le ressaut peut présenter diverses configurations pour une valeur choisie de la position x du seuil et de la hauteur initiale h1. Ainsi, pour une même valeur de la position relative X = x/h1, la longueur relative λj = Lj/x peut être inférieure ou à la limite égale à l'unité selon les conditions de l'écoulement incident, c'est à dire selon la valeur de F1 lié à S par la relation (32). Pour la position extrême du ressaut correspondant à la valeur limite λj ≅1, l'analyse des mesures expérimentales a montré que la meilleure représentation graphique adimensionnelle de la relation fonctionnelle 0),,( 1 =XSFf répond à l'équation :

999,0,)10(127,0 25/21 =+=+ RXFS (33)



La relation (33) est applicable pour λj ≅1 et X ≥ 4, condition largement satisfaite dans la pratique. Nous présentons sur la figure 21 les résultats obtenus pour le cas du seuil à paroi mince.

0

2

4

6

8

10

0 10 20 30 40 50

S + F12/5

X

Figure 21: Variation expérimentale de )()( 5/2

1 XFS ϕ=+ lors du contrôle du ressaut par un seuil à paroi mince dans un canal triangulaire ( m = 1) tel que λj ≅ 1. (- - -) relation (33).

La relation (33) peut être généralisée à l'ensemble des configurations que peut prendre le ressaut telles qu'elles sont représentées sur la figure 15 et répondant à l'inégalité λj < 1. Pour le cas du seuil à paroi mince, les essais que nous avons effectués ont pu aboutir à plus de 150 mesures expérimentales du couple (ψ, λj), où ψ = (S + F1

2/5 – 1,278)/(0,127X). La variation expérimentale de ψ (λj) est représentée sur la figure 22, qui montre que des points expérimentaux uniformément répartis autour de la courbe d'équation: ψ = 0,8λj

3/2 + 0,2 (34) Pour la position extrême du ressaut correspondant à λj = 1, l'application de (34) indique que ψ = 1 et la relation (33) est alors reproduite.

0

0.5

1

0 0.5 1

ψ

λj

Figure 22: Variation expérimentale de ψ en fonction de la longueur relative λj = Lj/x lors du

contrôle du ressaut par un seuil à paroi mince. (- - -) relation (34).



IV.3.3. Relation générale régissant le contrôle du ressaut

Nous avons montré que la mise en place d'un seuil à paroi mince n'a pas d'effet réducteur significatif sur le rapport des hauteurs conjuguées du ressaut. La présence du seuil ne sert essentiellement qu'à contrôler la position du ressaut. La présente partie de l'étude a pour but d'observer et de quantifier l'effet réducteur du seuil sur la compacité du bassin amortisseur. Cela revient à montrer que, sous les mêmes conditions d'écoulement incident, la longueur

*jTL du ressaut "classique triangulaire" est supérieure à la distance x

correspondant à la position du seuil. L'étude expérimentale du ressaut "classique triangulaire" (Achour, 1997), a montré que la longueur relative 1

* / hLjT est 956,0*1

* )1(40,12/ −= TjT YhL , qui peut approximativement s'écrire : )1(40,12/ *

1* −= TjT YhL (35)

La relation (35) a été obtenue pour 6,52 * ≤≤ TY correspondant à 1150,2 1 ≤≤ F . Pour la même valeur de la hauteur initiale h1, nous pouvons

écrire que )//(/ 1** hLXLx jTjT = où X = x/h1 est la position relative du seuil telle

que λj ≅1 et répondant à la relation (33) dans laquelle S est lié au nombre de Froude incident F1 par la relation (32). Ainsi, en tenant compte des relations (32) et (33), nous pouvons écrire :

)1(575,1

270,15

44/ *

5/21

1

*

−

−+

+

=T

jT Y

FFLnLx (36)

La relation (36) ainsi que les valeurs expérimentales de */ jTLx sont

représentées sur la figure 23. Celle-ci montre que le rapport */ jTLx est inférieur à l'unité et même inférieur à 0,90 dans toute la gamme considérée de F1.

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 3 5 7 9 11

F1

x/L*jT

Figure 23: Variation expérimentale de x/L*

jT en fonction de F1 lors du contrôle du ressaut par un seuil à paroi mince dans un canal triangulaire. (- - -) relation (36).



La courbe expérimentale ci-dessus obtenue peut cependant être subdivisée en quatre zones suivant la gamme de valeurs de F1. C'est ainsi que pour les faibles valeurs de F1 tel que 1<F1≤3, */ jTLx croît rapidement et subit un accroissement lent dans la gamme 3≤F1≤5. Par contre, dans la gamme 5≤F1≤7,

*/ jTLx demeure quasi constant et subit une légère diminution au fur et à mesure que F1 croît dans la gamme 7≤F1≤11. Ce sont les deux dernières zones qui sont à considérer puisqu'elles correspondent à des valeurs pratiques de F1 et montrent alors que */ jTLx <0,90. Ce résultat implique que la mise en place du seuil à paroi mince réduit la longueur du bassin de plus de 10% (12% pour F1 = 9). V. CONCLUSION

Le contrôle des ressauts par seuil à parois mince et épaisse dans un canal profilé en U a été examiné d'un point de vue théorique et expérimentale. Une étude particulière de l'écoulement franchissant le seuil à paroi épaisse a permis de définir les conditions de la hauteur relative minimale du seuil. Il apparaît que celle-ci peut être évaluée par l'un des trois paramètres y2, q ou y1. Tenant compte de la vitesse d'approche de l'écoulement, le développement théorique définit de manière explicite les relations fonctionnelles s/D = f (q , y2) et s/h1 = ψ (q,Y) pour les deux types de seuils considérés. Ces relations montrent que la hauteur du seuil à paroi épaisse est nettement inférieure au seuil à paroi mince. L'étude a proposé une relation explicite de la hauteur relative du seuil à paroi épaisse même dans le canal rectangulaire, et remplace l'équation implicite de Forster et Skrinde (1950). Enfin, les essais ont permis de montrer l'influence du débit relatif q sur la longueur relative Lj/h2 du ressaut. Celle-ci décroît avec l'augmentation de q. Le ressaut hydraulique à écoulement amont non développé et évoluant dans une galerie horizontale circulaire brusquement élargie a été également étudié du point de vue théorique et expérimentale. Tenant compte de l'influence de la réaction de la paroi de l'élargissement, l'application du théorème de la quantité de mouvement dans le sens longitudinal a permis d'établir la relation liant le débit relatif Q*

d = [Q2/(gd5)]1/2 rapporté au diamètre d amont, le taux d'élargissement β = D/d de la galerie où D est le diamètre de celle-ci et enfin le taux de remplissage aval τ = h2/D. Le débit limite relatif Q*

d,lim. d'apparition du ressaut a été défini et correspond à la condition βτ = 1. L'étude expérimentale s'est basée sur cinq valeurs du taux d'élargissement β correspondant à la gamme 2,408 ≤ β ≤ 5,780. Le taux de remplissage aval τ de la galerie, c'est à dire la hauteur relative finale du ressaut, a été tel que 0,245 ≤ τ ≤1. L'analyse des mesures expérimentales a montré que les longueurs relatives Lr/h2 du rouleau de surface et Lj/h2 du ressaut sont indépendantes du



débit relatif Q*d et du taux d'élargissement β ; ces longueurs relatives sont en

outre comparables à celles du ressaut évoluant dans une conduite circulaire dépourvue d'élargissement. L'étude expérimentale s'est enfin intéressée au profil de surface axial du ressaut. Le contrôle du ressaut par un seuil à paroi mince dans un canal triangulaire d'angle d'ouverture de 90° a fait l'objet d'une étude expérimentale. L'écoulement incident non développé est généré par la mise en place d'un convergent en charge. L'analyse des mesures expérimentales montre que la mise en place du seuil n'a pas d'effet réducteur significatif sur la rapport des hauteurs conjuguées du ressaut pour X ≥ 1. En outre, la représentation graphique des mesures expérimentales montre que (Ys -1) augmente au fur et à mesure que la hauteur relative S du seuil croît; l'interdépendance des paramètres adimensionnels S et F1 est alors mise en évidence. La relation générale régissant le contrôle du ressaut est proposée en termes adimensionnels pour toute configuration telle que λj ≤ 1; la relation obtenue permet en particulier le dimensionnement du bassin pour la position extrême du ressaut correspondant à λj = 1. Si l'effet réducteur du seuil sur le rapport des hauteurs conjuguées du ressaut n'est pas significatif, sa mise en place induit cependant un effet de compacité non négligeable. L'étude montre en effet que la longueur du bassin est réduite d'au moins 10%.

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

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SYMBOLES UTILISES ET LEUR UNITE

A (m2) Aire de section D (m) Diamètre de la galerie D (m) Diamètre d (m) Diamètre initial F1 (-) Nombre de Froude incident g (ms-2) Accélération de la pesanteur h (m) Profondeur d'écoulement h1 (m) Profondeur de l'écoulement incident h2 (m) Profondeur finale du ressaut Lj (m) Longueur du ressaut m (-) Cotangente de l'angle d'inclinaison de la paroi du triangle par

rapport q (-) Débit relatif 5/ gDQq = Q (m3s-1) Débit volume Q*

d (-) Débit relatif rapporté à d, Q*d = [Q2/(gd5)]1/2

Q*D (-) Débit relatif rapporté à D, Q*

D = [Q2/(gD5)]1/2 s (m) Hauteur de seuil S (-) Hauteur relative de seuil 1/ hsS = se (m) Hauteur du seuil à paroi épaisse sm (m) Hauteur du seuil à paroi mince V1 (ms-1) Vitesse moyenne de l'écoulement incident V2 (ms-1) Vitesse moyenne à l'aval du ressaut X (-) Coordonnée relative longitudinale, X = x/Lj , Position relative de seuil 1/ hxX = x (m) Position de seuil ou coordonnée longitudinale y (-) Profondeur adimensionnelle de l'écoulement Y (-) Rapport des hauteurs conjuguées du ressaut y1 (-) Hauteur relative de l'écoulement incident



(Canal en U) Dhy /11 = y2 (-) Hauteur relative du ressaut (Canal en U) Dhy /22 = Ys (-) Rapport des hauteurs conjuguées du ressaut contrôlé par seuil τ (-) Taux de remplissage aval de la galerie, τ = h2/D β (-) Taux d'élargissement de la galerie, β = D/d λj (-) Rapport de la longueur du ressaut à la position du seuil xLjj /=λ



ANNEXE 1:

RESSAUT CONTROLE EN CANAL PROFILE EN "U" MESURES EXPERIMENTALES

Série 1: h1 = 1 cm N° Q (l/s) h2

(cm) se (cm) sm (cm) Lj (cm)

01 3,00 12,50 9,45 10,00 235 02 3,20 13,50 9,65 10,50 245 03 3,35 13,80 10,30 11,00 250 04 3,65 14,80 11,25 12,00 270 05 4,00 16,40 12,25 12,50 275

Série 2: h1 = 1,60 cm N° Q (l/s) h2 (cm) se (cm) sm (cm) Lj (cm) 01 4,85 14,20 9,20 11,00 200 02 6,00 17,00 11,40 13,00 230 03 6,80 19,00 13,00 14,50 235 04 7,80 21,50 15,00 17,00 275 05 8,35 23,00 16,00 18,00 280

Série 3 : h1 = 2 cm

N° Q (l/s) h2 (cm) Seuil épais se (cm)

Seuil mince sm (cm) Lj (cm)

01 5,20 12,50 9,45 10,00 195 02 6,00 13,50 9,65 10,50 200 03 7,10 13,80 10,30 11,00 210 04 8,00 14,80 11,25 12,00 220 05 9,15 16,40 12,25 12,50 225 06 10,00 23,40 15,50 17,50 245 07 11,80 27,30 18,50 21,00 260

Série 4 : h1 = 2,30 cm



01 6,90 15,20 9,00 11,00 190 02 7,75 16,80 10,00 12,00 195 03 8,40 18,10 11,00 13,00 205 04 9,80 20,80 13,00 15,00 210 05 11,20 23,50 14,50 17,50 225 06 12,45 26,00 16,50 20,00 250 07 14,20 29,20 19,00 22,00 270 08 16,00 32,80 21,50 25,00 275 09 16,70 34,30 22,50 26,00 290



ANNEXE 1 (SUITE ET FIN)

RESSAUT CONTROLE EN CANAL PROFILE EN "U" MESURES EXPERIMENTALES

Série 5 : h1 = 3,35 cm



01 7,55 13,00 6,00 8,50 145 02 8,45 14,20 7,00 9,00 150 03 10,75 17,70 9,00 12,00 170 04 11,40 18,60 9,70 13,00 175 05 12,80 20,60 11,00 14,50 210 06 14,95 23,80 13,00 17,00 215 07 16,95 26,80 15,00 20,00 220 08 17,50 27,50 15,50 19,00 230 09 20,30 31,50 18,50 21,00 245 10 22,40 34,60 20,50 25,00 250 11 24,45 37,50 22,80 27,00 250




01 12,35 15,60 6,00 10,00 135 02 14,00 17,30 7,00 11,00 145 03 16,80 20,20 8,70 12,00 150 04 18,40 22,00 9,80 14,50 165 05 20,80 24,70 11,50 16,00 190 06 23,70 27,80 13,50 18,00 205 07 27,30 31,80 15,50 21,00 210




01 17,40 18,80 6,70 11,00 145 02 21,40 22,50 8,70 13,00 160 03 22,75 23,70 9,50 14,50 170 04 25,45 26,20 11,00 16,00 175 05 29,65 30,10 13,00 18,00 190



ANNEXE 2. DONNEES EXPERIMENTALES DU RESSAUT CONTROLE PAR UN SEUIL

A PAROI MINCE POUR λJ ≈ 1 (CANAL TRIANGULAIRE).

F1 1,64 1,96 2,24 2,26 2,27 2,47 2,58 2,62 2,75 2,99 3,02 Ys 1,50 1,68 1,86 1,88 1,89 2,00 2,06 2,09 2,20 2,30 2,32 S 0,50 0,71 0,90 0,92 0,93 1,10 1,11 1,15 1,24 1,38 1,40 X 4,50 5,85 8,08 8,20 8,40 9,60 10,07 10,03 11,04 12,75 12,96

F1 3,12 3,22 3,34 3,35 3,49 3,64 3,78 3,83 4,24 4,29 4,44 Ys 2,38 2,45 2,50 2,50 2,58 2,65 2,72 2,76 2,95 3,00 3,06 S 1,44 1,50 1,57 1,60 1,66 1,75 1,81 1,85 2,00 2,08 2,15 X 13,52 14,43 14,85 14,95 15,80 16,83 17,60 18,23 20,48 20,00 21,75

F1 4,65 4,79 4,90 5,08 5,09 5,57 5,78 6,03 6,64 7,23 7,37 Ys 3,15 3,20 3,26 3,35 3,36 3,56 3,62 3,75 4,00 4,22 4,27 S 2,25 2,31 2,37 2,45 2,46 2,68 2,75 2,87 3,12 3,35 3,40 X 22,80 23,34 23,73 24,63 24,83 26,80 27,51 29,15 31,35 33,73 33,95

F1 7,50 7,58 7,66 7,75 7,83 7,89 7,93 8,05 8,26 8,38 8,47 Ys 4,30 4,33 4,37 4,39 4,41 4,42 4,46 4,48 4,56 4,60 4,62 S 3,44 3,46 3,51 3,53 3,55 3,54 3,60 3,60 3,72 3,74 3,75 X 34,42 34,97 35,32 35,49 35,58 35,91 37,31 37,06 37,59 38,16 37,72

F1 8,58 8,67 8,75 8,82 8,95 9,05 9,23 9,38 9,47 9,62 9,77 Ys 4,65 4,70 4,70 4,73 4,77 4,80 4,85 4,91 4,95 5,00 5,01 S 3,80 3,83 3,86 3,88 3,92 3,96 4,01 4,07 4,13 4,15 4,18 X 38,32 39,22 39,07 39,31 39,92 39,82 40,50 41,06 41,87 42,20 42,75

F1 9,85 10,14 10,38 10,52 10,75 10,86 10,92 Ys 5,05 5,13 5,20 5,23 5,30 5,30 5,33 S 4,20 4,32 4,36 4,38 4,47 4,50 4,48 X 42,36 42,95 44,10 46,23 47,10 46,43



ANNEXE 3.

QUELQUES DONNEES EXPERIMENTALES DE LA FONCTION ψ POUR λJ < 1. (CANAL TRIANGULAIRE)

Série A : x = 248 cm , h1 = 4,95 cm ψ 0,4140 0,4623 0,5045 0,5187 0,6127 0,6170 0,6670 0,6657 0,6988 0,7486 λj 0,3064 0,4839 0,5080 0,5242 0,6048 0,6935 0,6572 0,6935 0,7500 0,7863 ψ 0,7612 0,7879 0,7925 0,8089 0,8242 λj 0,8064 0,8024 0,8145 0,8185 0,8145

Série B : x = 283 cm , h1 = 5,20 cm ψ 0,3550 0,3910 0,4403 0,5000 0,5391 0,5651 0,5961 0,6230 0,6714 0,7312 λj 0,3286 0,3569 0,4205 0,4876 0,5653 0,5653 0,6466 0,6713 0,6820 0,7243 ψ 0,7374 0,7852 λj 0,7455 0,7986

Série C : x = 248,5 cm , h1 = 5,67 cm ψ 0,3689 0,3925 0,3989 0,4386 0,4580 0,5107 0,5401 0,5592 0,5625 0,5963 λj 0,3559 0,3675 0,3868 0,3945 0,4062 0,5300 0,5880 0,6267 0,5797 0,6692 ψ 0,6299 0,6692 0,6872 0,7349 0,7593 0,7705 0,7984 0,8288 0,8413 0,8505 λj 0,6886 0,7000 0,7466 0,7621 0,8278 0,8317 0,8626 0,8704 0,8781 0,8936

Série D : x = 266,6 cm , h1 = 6 cm ψ 0,1586 0,2276 0,3437 0,3631 0,3833 0,4017 0,4120 0,4295 0,4725 0,4939 λj 0,0788 0,0975 0,2438 0,3900 0,4313 0,4388 0,4538 0,4538 0,4726 0,4876 ψ 0,5368 0,5648 0,5926 0,6076 0,6155 0,6502 0,6791 0,7057 0,7428 0,7774 λj 0,5514 0,5814 0,6039 0,6376 0,6564 0,6939 0,6977 0,7164 0,7164 0,7127 ψ 0,8198 0,8440 0,8644 0,8841 λj 0,7689 0,7877 0,8252 0,9040

Série E : x = 274,5 cm , h1 = 6,58 cm ψ 0,2022 0,3131 0,3204 0,3419 0,4127 0,5000 0,5928 0,6096 0,6282 0,7080 λj 0,1056 0,2331 0,2186 0,2805 0,3497 0,5574 0,5828 0,6266 0,6448 0,7468 ψ 0,7309 0,7656 0,8117 0,8441 0,8566 λj 0,7614 0,8124 0,8634 0,9362 0,9508

Série F : x = 299 cm , h1 = 7,85 cm ψ 0,2708 0,3077 0,4278 0,4798 0,5000 0,5254 0,5343 0,5856 0,5952 0,6794 λj 0,1672 0,3177 0,4180 0,4682 0,5017 0,5418 0,5518 0,6120 0,6421 0,6689 ψ 0,6928 0,7060 0,7342 0,7717 0,7922 λj 0,7358 0,7525 0,8027 0,8361 0,8528

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