resume-Maths terminale et premiere

8/7/2019 resume-Maths terminale et premiere

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RAPPELS DE TRIGONOMETRIE

Valeurs et formules remarquables

xx sin2

cos =

xx cos

2sin =

xx sin2

cos =

+

xx cos

2sin =

+

Formules daddition

( ) bababa sinsincoscoscos =+ ( ) bababa sinsincoscoscos +=

( )ba

baba

tantan1

tantantan

+=+

( ) bababa sincoscossinsin +=+ ( ) bababa sincoscossinsin =

( )ba

baba

tantan1

tantantan

+

=

Formules de linarisation

( ) aaaaa 2222 sin211cos2sincos2cos === ( ) aaa cossin22sin =

Rsolution dquations

coscos =x [ ] 2=x ou [ ] 2=x sinsin =x [ ] 2=x ou [ ] 2=x

RAPPELS DE GEOMETRIE

Thorme de la mdiane : soit ABC un triangle quelconque,

et I le milieu de [BC], on a2

22

222 BCAIACAB +=+

Dans un triangle quelconque, lquivalent du thorme de

Pythagore est la relation dAl Kashi : cos2222 bccba +=

Dans un repre orthonormal, un cercle de centre ( )00 ; yx et de

rayon R a pour quation : ( ) ( ) 2202

0 Ryyxx =+

DERIVEE PRIMITIVE

u

u

u2

u

u uln

2u

u

u

1

ueu ue

( )uuv . ( )uv

uun

1

1

+

+

n

un

unun 1 nu

xx

2

2tan1

cos

1+= xtan

( )bax +cos ( )

a

bax +sin

( )bax +sin ( )

a

bax +cos

x 06

4

3

2

cos x 12

32

22

1 0

sin x 02

12

22

3 1

Laire dun triangle est donn par : On en dduit :

sin2

1sin

2

1sin2

1abacbcS ===

cba

sinsinsin==


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COMPLEXES

Equation du second degr

0 =++ cbzaz acb 4 =

a

bz2

1

= et

a

bz2

2

+=

))(( 21 zzzzacbzaz =++

Module

yxz += est la longueur qui spare lorigine et le point daffixe z.

'.' zzzz = '' zzzz ++ (ingalit triangulaire)'' z

z

z

z=

Conjugu

Le conjugu de iyxz += est iyxz = . On a les relations :

. yxzz += '.'. zzzz = 2

)Re(zz

z+

=

1

zz

z=

'' zz

zz =

2

)Im( zzz =

Arguments

( ) 'argarg'arg zzzz += 'argarg'arg zzzz

=

znzn arg)arg( = += zz arg)arg(

Notations trigonomtriques et exponentielles

( ) sincos irz += est la forme trigonomtrique dun complexe. On acos)Re( rz = et sin)Im( rz = . irez = est la forme exponentielle.

Formule de Moivre : ( ) inn

i ee =

Formules dEuler :2

cos

ii

ee+

= eti

eeii

2sin

=

Utilisation en gomtrie

Considrons trois points distincts A, B et C dans un repre ( )jiO ,, .

)()( ABABABAB yyixxzzz +== donne laffixe de AB .

2

BA

I

zzz

+= avec I le milieu de [AB].

ba

bzaz

zBA

G+

+

= avec G le barycentre de ( ) ( ){ }bBaA ;,; .

( ) ( ) ( ) [ ]2argargarg;

==

AB

AC

ABACzz

zzzzzzACAB

AB et AC sont colinaires [ ]20arg =

AB

AC

zz

zz

AB et AC sont orthogonaux [ ] 22

arg =

AB

AC

zzzz

Transformations

M(z) M'(z+a) est la translation de vecteur v

(a).

M(z) ( )izeM est la rotation de centre O et d'angle . rzz A = dfinit le cercle de centre ( )AzA et de rayon r.


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LIMITES ASYMPTOTES

Formes indtermines

+ : factorisation du terme dominant (+ haut degr).

: factorisation du terme dominant, simplification.

00 : factorisation du terme tendant vers 0, simplification.

0 : peut en gnral se ramener ou

00 .

Si des racines carres interviennent, on pourra multiplier par la

quantit conjugue .

Proprits

)()()( xhxfxg et lxhxg == )(lim)(lim lxf =)(lim

)()( xglxf et 0)(lim =xg lxf =)(lim

bxfax

=

)(lim et lygby

=

)(lim lxfgax

=

)(lim

Limites usuelles

La limite d'une fonction polynme en + ou en est la limite duterme dominant. La limite d'une fonction rationnelle en + ou en est la limite du quotient des termes dominants du numrateur et du

dnominateur.1

sinlim0

= x

x

xet 0

1coslim0

=

x

x

x

Asymptotes

=)(lim xf

ax asymptote verticale d'quation x=a

bxfx

=)(lim asymptote horizontale d'quation y=b

0)()(lim =+

baxxfx

asymptote oblique d'quation y=ax+b

DERIVEE

Nombre driv

0

000

00

)()(lim)()(lim)('0 xx

xfxf

h

xfhxfxfxxh

=+=

Pour que f soit drivable en 0x , il faut que les nombres drivs

gauche et droite de 0x soient finis et gaux. La tangente au point

d'abscisse 0x a pour quation )())((' 000 xfxxxfy +=

Bijection

f est drivable est strictement croissante sur [a;b] donc f ralise une

bijection de [a;b] sur [ ])();( bfaf et pour tout de [ ])();( bfaf lquation =)(xf admet une solution unique dans [a;b].

Ingalits des accroissements finis

f est drivable sur [a;b] et pour tout x de [a;b] on a :

m f'(x) M m(b-a) f(b)-f(a) M(b-a) |f(x)| M |f(b)-f(a)| M |b-a|

Position de la courbe par rapport la tangente

La position de (C) la courbe reprsentative de f par rapport (T) lacourbe reprsentative de g est donne par le signe de h(x)=f(x)-g(x)h>0 : (C) est au dessus de (G)

h


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RECURRENCE

Soit une proprit P dpendant dun entier n et 0n un entier fix.

- Initialisation : Si )( 0nP est vraie,

- Transmission : et si )(nP )1( +nP pour tout 0nn ,

- Conclusion : alors )(nP est vraie pour tout entier 0nn .

LOGARITHME NEPERIEN

ln est une bijection strictement croissante de ] [+;0 sur ] [+ ;

( )u

uu =ln ( ) 11lnlim

0=+

x

x

x 0

lnlim =

+ nx x

x ( )0>n

).ln( ba = aln + bln )ln( na = an ln.

b

aln = aln - bln aln = aln

2

1

FONCTION EXPONENTIELLE

exp est une bijection strictement croissante de ] [+ ; sur ] [+;0

( ) uu eue .= 11lim0

=

x

ex

x 0lim =

+ x

n

x

e

x ( )0>n

bae + = ae . be nae = ( )nae bae =b

a

e

e

FONCTION PUISSANCES

xexxfln

)( == est dfinie et drivable sur ] [+;0 . La drive1.)(

= xxf est du mme signe que do la monotonie de f.

Pour 0> : 0lnlim =

+ x

x

x 0lim =

+

x

xex

limx

x

e

x+

= +

PARITE / SYMETRIE

f est paire f est centr en 0 et f(-x)=f(x) f est impaire f est centr en 0 et f(-x)=-f(x)

);( 00 yx est centre de symtrie 000 2)()( yhxfhxf =++

0xx = est axe de symtrie )()( 00 hxfhxf =+

EQUATIONS DIFFERENTIELLES

ayy = a pour solutions l'ensemble des fonctions dfinies parax

ekxf .)( = avec a et k des rels. La solution de lquationdiffrentielle vrifiant la condition initiale 00 )( yxy = est la

fonction dfinie par 0.)( 0xx

eyxf= .

02 =+ yy a pour solutions l'ensemble des fonctions dfinies

par yBxAxf .sin.cos)( += avec , A et B des rels. La

solution de lquation diffrentielle vrifiant la condition initiale00 )( yxy = est la fonction dfinie par 00 )( yxy = .


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INTEGRALES

Dfinition

[ ] )()()()( aFbFtFdttf bab

a== est lintgrale de f entre a et b.

x

adttf )( est la primitive de f qui s'annule en a.

Si pour tout [ ]bax ; on a )()( xgxf , alors l'aire de la partie du plancomprise entre les deux courbes et les droites d'quations x=a et x=b

est donne en unit d'aire par ( ) b

a dttftg )()( .

Proprits

=a

b

b

adttfdttf )()( =

b

a

b

adttfkdttkf )())((

f est paire

=

aa

a

dttfdttf0

)(2)(

f est impaire 0)( =a

adttf

f est priodique de priode T =+ TTa

adttfdttf

0)(2)(

+=b

a

c

b

c

adttfdttfdttf )()()( (relation de Chasles)

( )

+=+

b

a

b

a

b

a

dttgdttfdttgf )()()( (linarit)

Thorme de la moyenne

La valeur moyenne de f est donne par =

b

adttf

ab)(

1

f est drivable sur [a;b] et pour tout x de [a;b] on a :

m f(x) M m(b-a) b

adttf )( M(b-a)

|f(x)| M b

adttf )( M(b-a)

Intgration par parties

[ ] =b

a

b

a

b

adttvtutvtudttvtu )().()().()().(

Calcul de volumes

Pour un solide dont l'intersection avec le plan de cote z a pour aireS(z), le volume entre les plans de cote a et b est donn par :

=b

adzzSV )(

SUITES

Suites arithmtiques

rUU nn

+=+1

rpnUU pn )( += nrUUn += 0

22

)1( 100

1

0

=

+=

+= ni

n

i

UUnr

nnnUU

Suites gomtriques

qUU nn =+1

n pn pU U q= 0

n

nU U q=

1q ( )nU na pas de limite et diverge de 0U

10 q ( )nU tend vers

qUU

qqUU n

n

in

i =

=

= 111 0

01

0


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Suites monotones, bornes, priodiques

Si la fonction f est croissante sur [ [+;a , la suite dfinie par)(nfUn = est croissante pour an . Attention : la rciproque

est fausse (la suite peut-tre croissante alors que la fonction ne

lest pas). Une suite la fois majore et minore est appele suite borne. ( )nU est priodique de priode p lorsque npn UU =+ .

Limites de suites

0lim = lUn lUn =lim

nn VlU et 0lim =nV lUn =lim

lWV

WUV

nn

nnn

==

limlim lUn =lim (Thorme des gendarmes)

lUn =lim et 'lim lVn = et nn VU 'll

lUn =lim et 'lim lVn = et 'll < nn VU <

Les termes de ( )nU appartiennent lintervalle de la fonction f :lUnn

=+lim et ')(lim lxf

lx=

')(lim lUf n

n=

+

BARYCENTRE

( )ii

n

iMAv

0==

est le vecteur associ un systme de points pondrs.

00

==

i

n

i v

est constant, il est indpendant de M.

00

=

i

n

i il existe un point G appel barycentre du systme,

et vrifiant les deux proprits quivalentes :

( ) 00

=

=ii

n

iGA

( )

i

n

i

ii

n

iMA

MG

0

0

=

=

=

Proprits

On peut changer l'ordre des points pondrs. On peut multiplier tous les coefficients par un nombre 0k .

On peut remplacer une partie des points par leur barycentrepartiel affect de la somme leurs coefficients (associativit).

Les coordonnes ou laffixe du barycentre sont donnes par :

( )

i

n

i

ii

n

i

G

zz

0

0

=

=

=

( )

i

n

i

ii

n

i

G

xx

0

0

=

=

=

( )

i

n

i

ii

n

i

G

yy

0

0

=

=

=

Isobarycentre

L'isobarycentre des points { }nii

A 1 est le barycentre de ces

points tous affect du mme coefficient non nul.

Lisobarycentre de deux points A et B est le milieu de [AB]. Lisobarycentre de trois points A, B et C est le centre de gravit

du triangle ABC (point d'intersection des mdianes).

Ensemble de points

rMG = dans le plan : cercle de centre G et de rayon r.dans lespace : sphre de centre G et de rayon r.

21 MGMG = dans le plan : mdiatrice de [ ]21GG dans lespace : plan mdiateur de [ ]21GG

021

== MGMG plan : cercle de diamtre [ ]21GG

espace : sphre de diamtre [ ]21GG


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DENOMBREMENT

Cardinal dun ensemble

Le cardinal dun ensemble fini est le nombre dlments de cetensemble. Soit A et B deux vnements dun univers fini .Dans tous les cas, ( ) ( ) ( ) ( )BACardBCardACardBACard += .Si A et B sont incompatibles, ( ) ( ) ( )BCardACardBACard += .Si complmentaires, ( ) ( ) ( ) ( )=+= CardBCardACardBACard .Pour dterminer les cardinaux de certains ensembles, on saide dediagrammes, tableaux ou arbres ou schmas case.

Arrangements

Un arrangement est une liste ordonne de p lments distinctschoisis parmi les n lments dun ensemble. On lutilise par exemplepour un tirage avec ordre et sans remise.

)!(!)1()2()1(pn

npnnnnAp

n

=+=

Permutations

Une permutation est un arrangement des n lments de lensemble.On lutilise par exemple pour trouver tout les anagrammes dun mot.

1)2()1(! == nnnnAn

n

Combinaisons

Une combinaison est une liste non-ordonne de p lments choisis

parmi les n lments dun ensemble (une combinaison est une partie).On lutilise pour un tirage sans ordre et sans remise.

)!(!

!

!!

)1()2()1(

pnp

n

p

A

p

pnnnnC

p

np

n

==+

=

Proprits des combinaisons

1

1

1 ++

+ =+ pnp

n

p

n CCC (somme)pn

n

p

n CC= (parit)

10 == nnn CC nCCn

nn ==11

Lesp

nC sont donnes par le triangle de Pascal :

Les coefficients des galits remarquables sont ceux du triangle de

Pascal. La formule du binme de Newton les rsume :( ) ppnpn

n

p

nn

n

n

n

n

n

n

n

nbaCbaCbaCbaCbaCba

=

=++++=+0

022211100

Pour a=b=1, on a un cas particulier et nnnnnp

n

n

pCCCC 2

10

0=+++=

=

Le nombre de combinaisons dun ensemble n lments est n2 .

Introduction aux probabilits

Les formules pour les probabilits sont similaires celles ducardinal (incompatibilit, complmentarit).

Lorsque tous les lments dun univers ont mme probabilits,

il y a quiprobabilit. La probabilit pour chaque lment est

( )Card1

et pour tout vnement A, on aura ( )( )( )

=Card

ACardAp .


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PROBABILITES

Probabilits conditionnelles

A et B sont deux vnements et ( ) 0Bp . La probabilit conditionnellede A sachant que B est dj ralise est dfinie se note :

( )( )

( )BpBAp

BAp

= ( ) ( ) ( )BpBApBAp =

A et B sont indpendants lorsque ( ) ( ) ( )BpApBAp = . On a donc :( ) ( )ApBAp = et ( ) ( )BpABp =

Arbres pondrs

La somme des probabilits desbranches issues dun mme nud

est toujours gale 1.La probabilit dun chemin est leproduit des probabilits desbranches de ce chemin.La probabilit dun vnement estla somme des probabilitsconduisant cet vnement.

Variable alatoire

Une variable alatoire X est une application de lunivers dans R.X : { }n,,, 21 = ( ) { }nxxxX ,,, 21 =

( )ixX = est lensemble des lments de qui ont pour image ix .La probabilit de lvnement ( )ixX = est not ( ) ii pxXp == .

Etude dune variable alatoire

On dtermine la loi de probabilit de X en trouvant toutes lesprobabilits des vnements associant une partie de luniversaux diffrentes valeurs prises par la variable alatoire.

1211

=+++==

ni

n

i

pppp

La fonction de rpartition est dfinie par ( )ixXpxF =)( pour tout rel x. Cest une fonction en escalier qui prsente des sauts . Elle est croissante, minore par 0 et majore par 1.

Lesprance mathmatique, ou moyenne de X, est dfinie par :

( ) nniin

i

pxpxpxpxXE +++== =

22111

La variance de la variable alatoire est un rel positif dfini par :

( ) ( ) ( )[ ]

22

1

2

1 )( XEpxXExpXV ii

n

iii

n

i

== ==

Lcart type de X est le nombre rel positif dfini par :

)()( XVX =

Schma de Bernoulli

Une preuve de Bernoulli est une exprience alatoire ne comportantque deux issues : le succs ou lchec. Un schma de Bernoulli est larptition n fois, de faon indpendante, dune preuve de Bernoulli.

La loi binomiale permet de calculer la probabilit dobtenir k succs.Soit p la probabilit du succs chaque preuve et X la variable

alatoire qui compte le nombre de succs au cours des n preuves :

( ) knkknk ppCP

= 1

ix 1x 2x nx

ip 1p 2p np


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PRODUITS SCALAIRE - VECTORIEL

Produit scalaire

Le produit scalaire est une valeur numrique relle. Soit H leprojet orthogonal du point B sur la droite ( )OA :

( )

== AOBOBOAOHOAOBOA cos

uvvu

= ( ) ( )vukvuk

= ( ) wuvuwvu

+=+

Norme et produit scalaire

uuuuu

== 22

( )vuvuvu

+= 2222

( ) ( )22

vuvuvu

=+ 2

222vuvu

vu

+

=

Orthogonalit dans lespace

vu

0= vu

222

vuvu

+= 222 zyxu ++=

Un vecteur est normal un plan si et seulement si il est orthogonal deux vecteurs non colinaires de ce plan.

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteurnormal lun est orthogonal un vecteur normal lautre.

Lensemble des points M de lespace tel que 0= uAM est le plan

passant par A et de vecteur normal 0

u .

Orientation de lespace

Un repre est dit positif ou direct lorsque ses vecteurs unitairesrespectent la rgle des trois doigts de main DROITE.

Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs est un troisime vecteurnormal au plan form par les deux autres vecteurs :

( )

= AOBOBOAOBOA sin

( )OCOBOAO ;;; est une base directe

( )uvvu

= ( ) ( )vukvuk

= ( ) wuvuwvu

+=+

Colinarit et alignement

0

= vu u

et v

sont colinaires.

0= ACAB A, B, C sont aligns.

Expression analytique

Soit ( )zyxu ;;

et ( )zyxv ;;

dans un repre orthonormal, on a :

zzyyxxvu ++=

=

=

=

=

=

=

xyyxyy

xxZ

zxxzxx

zz

Y

yzzyzz

yyX

vu

( ) ( ) ( )kxyyxjzxxziyzzyvu

++=

La norme du produit vectoriel de deux vecteurs est gale lairedu paralllogramme construit partir de ces vecteurs. Laire dutriangle ABC est donc gale la moiti de cette norme.


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COURBES PARAMETREES

Reprsentation paramtrique dune droite

Le systme dquations paramtriques de la droite (D) passant par lepoint ( )AAA zyxA ;; et de vecteur directeur ( )cbau ;;

dtermine

lappartenance ou non dun point de lespace la droite.

( ) DzyxM ;;

+=

+=

+=

A

A

A

ztcz

ytby

xtax

Les coefficients du systme sontles coordonnes dun vecteurdirecteur de la droite.

Equation cartsienne dun plan

Lquation cartsienne du plan (P) passant par le point ( )AAA zyxA ;; et de vecteur normal ( )cban ;;

dtermine lappartenance ou non dun

point de lespace au plan.

( ) ( )PzyxM ;; 0= nAM ( ) ( ) ( ) 0=++ AAA zzcyybxxa

0=+++ dczbyax

Les coefficients de lquationsont les coordonnes dunvecteur normal au plan.

Astuce : si on connat trois points non aligns du plan (P), on pourra

se servir du produit vectoriel pour trouver un vecteur normal (P).

Courbes paramtres

Soient f et g deux fonctions dfinies sur un intervalle donn.Lorsque la variable t dcrit cet intervalle, le point M(t) de

coordonnes ( ))();( tgtf dcrit une courbe paramtre.( )( )

=

=

tgy

tfxest la reprsentation paramtrique de la courbe.

Vecteur driv en un point

Sil nest pas nul, le vecteur driv ( )( ))();( 000 tgtftv est unvecteur directeur de la tangente la courbe en ( )0tM .

0)( 0 = tf la courbe admet une tangente verticale en ( )0tM .0)( 0 = tg la courbe admet une tangente horizontale en ( )0tM .

Mthode pour tracer une courbe paramtrique :- rechercher lensemble de dfinition des fonctions f et g- rduire le domaine dtude par priodicit et symtrie- faire un seul tableau de variation pour f et g

- placer les points remarquables et les tangentes- joindre dans le sens des t croissants en lissant au mieux- complter par les intervalles de symtrie et priodicit.

ThAts aLL !

Ces fiches de cours ont t ralises parSoULiAne

avec laide de quelques livres, du cours du profet de lexcellent site http://xmaths.free.fr

Faites attention tout de mme et vrifiez toujours avecle cours de votre prof car je ne suis pas labris desfautes de frappes !! Merci de me signaler les erreurs

que vous trouverez en mcrivant ladresse ci-dessus.

Ensuite, quand vous aurez le bac, vous pourreztlcharger les fiches pour le DEUG MIAS sur

http://mathinfo.free.fr (cest mon site de cours).

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