Retour sur les problèmes ouverts

Le calcul mental au cycle 3Les nombres décimaux

CE2 La somme de mes trois chiffres est 3

et leur produit est 0.Quelles sont les solutions?

CM1

La sorcière Maléfix a rangé 36 balais dans 3 armoires A, B et C.Dans l’armoire A, il y a six balais de plus que dans l’armoire B.Dans l’armoire C, il y a deux fois moins de balais que dans l’armoire B.

Combien de balais Maléfix a-t-elle rangé dans chaque armoire ?

CM2 Trois chameaux forment une caravane. Sur chaque chameau, il y a trois paniers ; dans chaque panier il y a trois chattes et chacune des chattes est accompagnée de trois chatons.

Dans la caravane, combien y-a-t-il de pattes en tout ?

Être capable de résoudre un problème

Être capable de traiter soi-même des calculs

•De façon automatisée ou raisonnée

•Pour aboutir à un résultat exact ou approché

Être capable d'organiser un calcul pour le rendre exécutable par une machine(calculatrice, tableur...)

Calcul mental

Résultats exacts ou approchés

Résultats mémorisés (répertoire) et procédures automatisés

Résultats (re)construits

Calcul instrumenté (calculatrice, tableur)

Organisation du calcul, qui suppose…

… une connaissance des fonctionnalités de l’outil

… et des moyens de contrôle

Moyen de calcul limité (souvent à l’addition)

Des objectifs pour son enseignement

Capacité à calculer dans « des cas raisonnables » pour limiter l’asservissement à la machine

Compréhension Lien avec la numérationLien avec les propriétés des opérations

?

Ce qu’il faut mémoriser ou automatiser

les tablesquelques doubles et moitiés,le calcul sur les dizaines et les centaines entières, les compléments à la dizaine supérieure …

Ce qu’il faut reconstruire

idée de rendre plus simple un calcul, souvent en procédant par étapes plus nombreuses, mais en s’appuyant sur ce qui est connu

Calcul mental

Tout ne se passe pas sans écrit

Calcul écrit – opération posée

requiert la connaissance des tables et la gestion des retenues, donc du calcul mental.

Renoncer au calcul poséS’autoriser un support écrit

• dans la consigne• dans la formulation du résultat• voir même au cours du calcul

Le calcul automatiséLe calcul réfléchi

Calcu

l

auto

mat

isé

7 + 6 et 7 + 6 sont égaux à 13

Il faut ajouter 6 à 7 pour aller à 13

Il faut ajouter 7 à 6 pour aller à 13

13 – 6 est égal à 7

Décompose 13 en 7 + 6 ou 6 + 7

Calcul

automatisé

8 x7 et 7 x 8 sont égaux à 56

Dans 56, il y a 7 fois 8

dans 56, il y a 8 fois 7

56 : 8 est égal à 7 et 56 : 7 est égal à 8

56 se décompose, entre autres, en 8 x7 et en 7 x8

Calcul

automatisé

Calcul

automatis

é

Comprendre pour mieux mémoriser

Des résultats reconstruits avant d’être mémorisés

Construire le répertoire

Structurer le répertoire (points d’appui)

Commutativité

Appui sur des résultats connus (doubles, voisins)

Régularités

Etapes de l’apprentissage

Par zones numériques pour l’addition

Par tables pour la multiplication

Conscience de ce qui est su et de ce qui reste à apprendre

Entraînement

Conditions de mémorisation et conditions de rappel

Calcul

réfléchi

Il y a toujours plusieurs procédures correctes de traiter un calcul

Il faut pouvoir s’appuyer sur des résultats mémorisés sûrs

La connaissance de quelques propriétés des opérations est indispensable

Calcul

réfléchi

Calcul

réfléchi

Action JustificationCalcul de 42 + 18 On peut permuter les 2 termes.42 + 8 + 10 On peut décomposer un terme

(avec +)42 + (20 – 2) On peut décomposer un terme

(avec -)40 + 10 + 2 + 8 On peut décomposer les 2

termes puis regrouper… …

Calcul

réfléchi

Action Justification(25 x 10) + (25 x 2) On peut décomposer un terme

(avec + ou -) et distribuer25 x 4 x 3 On peut décomposer un terme

(avec x) et associer(12 : 4) X 100 utilisation du fait que 25 est le quart de 100, en

divisant d’abord 12 par 4, puis en multipliant le résultat par 100 (ou multiplication de 12 par 100, puis divisiondu résultat par 4).

Entretien et contrôle de la mémorisation des

résultats

(tables, relations entre nombres du type 5, 20,

25, 50, 75, 100…)

Automatisation de procédures

compléments à la dizaine supérieure,

multiplication ou division par 10 ; 100…

Calcul automatisé

Laisser du temps aux élèves pour chercher

Expliciter les procédures

Justifier du point de vue de leur pertinence

Conclure par une brève synthèse

Calcul réfléchi

Dans tous les cas (calcul automatisé ou calcul réfléchi)

, les questions peuvent porter directement sur les

nombres ou être situées dans le cadre de la résolution

de « petits problèmes », dans des contextes variés

Sens des opérations et entraînement au calcul mental

sont alors travaillés simultanément.