Rhéologie, Mines de Paris[1].pdf

Rhologie

Georges Cailletaud

Centre des MatriauxEcole des Mines de Paris/CNRS

Plan

Plan

1 Essais mcaniquesStructuresElments de volume

2 Modles rhologiquesLes briques de basePlasticitViscolasticitElastoviscoplasticit

3 Bilan

Georges Cailletaud (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Rhologie 27 fvrier 2006 2 / 50

Plan



3 Bilan

Essais mcaniques Structures

Tests dun avion civil

www.mts.com



Vibration dune aile

www.mts.com



Structures biologiques

www.mts.com



Alimentaire

www.mts.com


Plan



3 Bilan

Essais mcaniques Elments de volume

Machines dessai

www.mts.com



Compression du gypse

Doc. Mines Paris-Gosciences



Rsultat de compression du gypse

Doc. Mines Paris-Gosciences



Traction sur fibre

www.mts.com



Traction sur alliage mtallique

www.mts.com



Rsultat de traction sur un alliage daluminium

Domaine dlasticit, coulement plastiqueLimite dlasticit conventionnelle, qui donne 0.2% de dformation rsiduelle ladcharge

0

100

200

300

400

500

600

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

s tr e

s s ( M

P a)

strain (mm/mm)

Tension curve, aluminium alloy

Doc. Mines Paris-CDM, Evry



Rsultat de traction sur un acier inoxydable

Doc. ONERA-DMSE, Chtillon



Pliage




Rsultat du pliage : retour lastique

Voir le miniprojetDoc. Mines Paris-CDM, Evry



Traction et compression sur un alliage daluminium

Essai dformation impose symtrique 0.3%A contrainte nulle, il reste une dformation positiveA dformation nulle, la contrainte est devenue ngative

-300

-150

0

150

300

-0.003 -0.0015 0 0.0015 0.003

S tr e

s s

Strain

E=150000,C=70000,D=1000,n=7

VaLoFCoeFS-0

K=400,R0=100




Modles schmatisant les rsultats prcdents

y

E

0

a. lastiqueparfaitement plastique0

E

TE

y

b. lastiqueplastique linaire

Module lastoplastique, ET = d/d.

Le module lastoplastique est nul pour un matriau lastique-parfaitement plastique, constant pour un matriau lastique-plastiquelinaire ; il sera dpendant de la dformation dans le cas gnral.



Fonctionnement dun modle de plasticit instantane

0 0

A

B

Dcomposition de la dformation, = e + p ;Domaine dlasticit, dfini par une fonction fEcrouissage, variables dcrouissage, AI .



Rsultat de traction sur un acier haute temprature

Effet de la viscosit : le niveau de contrainte dpend de la vitesse de sollicitation

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

(MPa)

725C

= 2.4 104s1

= 8.0 105s1

+

++

++

+ ++ +

+ +

+

= 1.6 105s1

Doc. Ecole des Mines, Nancy



Essai de fluage sur fil tain-plomb

Voir lexercice

Mines Paris-CDM, Evry



Rsultat de fluage sur une fonte (1)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0 200 400 600 800 1000

p

t (s)

=12MPa

=16MPa

++++++

++

++

++

++

+

+

+

+

+

++

+

=20MPa

=25MPa




Rsultat de fluage sur une fonte (2)

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

1 10 100

p (s1)

(MPa)

T=500C

T=600C

+

+

+

+

+

++

T=700C

T=800C




Schma en fluage

Fluage primaire, durcissement du matriauFluage secondaire, ou stabilisp est une fonction puissance de la contrainte appliqueFluage tertiaire, endommagement conduisant la rutpureil faut des variables spciales reprsentant la perte de rsistance

p

III

III

t



Schma en relaxation

Le point reprsentatif est obtenu comme la somme de la contrainte seuil s et dela contrainte visqueuse v

v

p

s

t

E


Plan



3 Bilan

Modles rhologiques Les briques de base

Les briques de base pour les modles de matriau


Modles rhologiques Les briques de base

Diffrents types de rhologies

Plasticit indpendante du temps

= e + p dp = f (...)d

Elasto-viscoplasticit = e + p dp = f (...)dt

ViscolasticitF(, ,, ) = 0


Plan



3 Bilan

Modles rhologiques Plasticit

Plasticit indpendante du temps



Modle lastiqueparfaitement plastique

f () = ||y

- domaine dlasticit si : f< 0 ( = e = /E)- dcharge lastique si : f= 0 et f< 0 ( = e = /E)- coulement plastique si : f= 0 et f= 0 ( = p)

f sappelle fonction de charge,la condition f = 0 est la condition de cohrence



Modle de Prager

f (,X) = |X |y avec X = Hp

coulement plastique si on vrifie la fois f = 0 et f = 0.f +

fX X = 0

signe(X) signe(X) X = 0 = X , et : p = /H

p =E

E +H



Ecriture gnrale des quations de llastoplasticituniaxiale

- domaine dlasticit sif (,Ai)< 0 ( = /E)

- dcharge lastique sif (,Ai)= 0 et f (,Ai)< 0 ( = /E)

- coulement plastique sif (,Ai)= 0 et f (,Ai)= 0 ( = /E + p)

condition de cohrence :f (,Ai) = 0



Illustration des deux types dcrouissage



Modle dcrouissage isotrope

dR/dp = H (p, dformation plastique cumule : p = |p|)

f (,R) = ||RyEcoulement plastique ssi f = 0 et f = 0

f +

fR R = 0

sign() R = 0 = sign() R, and : p = sign() /H

- Ramberg-Osgood : = y +Kpm- Loi exponentielle : = u +(y u)exp(bp)La variable dtat est la dformation plastique cumule


Plan



3 Bilan

Modles rhologiques Viscolasticit

Viscolasticit



Rponses lmentaires en viscolasticit

Maxwell : = /E0 +/Voigt : = H+, ou encore : = (H )/

Maxwell :

fluage sous une contrainte 0 : = 0/E0 +0 t /relaxation la dformation 0 : = E00 exp[t/]

Voigt :

fluage sous une contrainte 0 : = (0 /H)(1exp[t/])

Les constantes = /E0 et = /H sont homognes un temps, dsignant le temps de relaxation du modle de Maxwell



Modles composs

a. KelvinVoigt

(E0)(H)

()

b. Zener

()(E2)

(E1)

Rponses en fluage et en relaxation

(t) = C(t)0 =(

1E0

+1H(1exp[t/f ])

)0

(t) = E(t)0 =(

HH +E0

+E0

H +E0exp[t/r ]

)E00


Plan



3 Bilan

Modles rhologiques Elastoviscoplasticit

Elasto-viscoplasticit

Schma du modle Rponse en traction

X = Hvp v = vp |p| y = X +v +p

Domaine dlasticit, dont la frontire est |p|= yGeorges Cailletaud (Centre des Matriaux/UMR 7633 ) Rhologie 27 fvrier 2006 43 / 50


Equations du modle

Trois rgimes de fonctionnement :

(a) vp =0 |p|= |Hvp| y(b) vp >0 p =Hvp vp =y(c) vp intrieur ou frontire du domaine dlasticit (|p| < y )(b) et (c) => coulement (|p|= y et |p| = 0 )En posant < x >= max(x ,0) :

vp = |X |y signe(X)ou :

vp =< f >

signe(X) , avec f (,X) = |X |y



Fluage avec un modle de Bingham

t

o y-

H

vp

Dformation viscoplastique en fonctiondu temps

Xo

y

vp

volution dans le plancontraintedformation viscoplastique

vp =o y

H

(1exp

( t

f

))avec : f = /H



Relaxation avec un modle de Bingham

H-E

vp

y

a. Relaxation

H

Transitoire : OA = BC

Relaxation : AB

Effacementincomplet : CDO

A

B

DC

vp

b. Effacement

= yE

E +H

(1exp

( t

r

))+

EoE +H

(H +E exp

( t

r

))avec : r =

E +H



Ingrdients des modles classiques de viscoplasticit

vp = (f ) , avec (0) = 0 , monotone croissanteModle avec crouissage isotrope et cinmatique en traction simple :

= y +X +R +1(vp) = y +X +R +vv = f =>Contrainte visqueuse, dpassement du domaine dlasticit

vp =

|X |RyK

nsigne(X)

X dsigne la contrainte interne, internal stress (crouissage cinmatique)R +y dsigne la contrainte de friction, friction stress (crouissage isotrope)v est la contrainte visqueuse, drag stress



Modles viscoplastiques sans crouissage

Modles sans seuil : le domaine dlasticit peut se rduire lorigine ( = 0)Modle de Norton

vp =

( ||K

)nsigne()

Modle de Sellars-Tegart

vp = Ash( ||

K

)signe()

Modles seuilModle de Perzyna

vp =

||yK

nsigne() , vp = 0

||y

1n

signe()



Modles viscoplastiques crouissage

Notion dcrouissage additif : le durcissement provient des variables qui exprimentle seuil (X et R)

vp =

|X |RyK

nsigne(X)

Notion dcrouissage multiplicatif : on fait varier la contrainte visqueuse, parexemple :

vp =

( ||K (p)

)nsigne() =

( ||K0|p|m

)nsigne()

(crouissage par la dformation, ou strain hardening)


Bilan

En plasticit et en viscoplasticit...

domaine dlasticit dfini par une fonction de charge f < 0variables dcrouissage isotrope et cinmatique

En plasticit :coulement dfini par la condition de cohrence si f = 0, f = 0coulement plastique instantan :

dp = g(, . . .)d

En viscoplasticit :coulement dfini par la fonction de viscosit si f > 0possibilit dcrouissage sur la contrainte visqueusecoulement viscoplastique retard

dvp = g(, . . .)dt


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