Roland Charnay - 20081. La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l imagination et les capacités d abstraction,

Roland Charnay - 2008 1

APPRENTISSAGE DES MATHÉMATIQUES

RÉSOLUTION DE PROBLÈMES


Sur les enjeux

La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision. (socle commun)

L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. (programme)


Sur la résolution de problèmes

La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. (socle commun, 2006)

La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (programmes, 2008)


Sur l’articulation avec le collège

Fractions : addition (même dénominateur) CM2 pas évoqué en 6e / exigible en 5e

Décimaux : valeur approchée CM2 6e (mais hors socle)

Calcul posé Commentaire 6e : Les nombres doivent rester

de taille raisonnable, aucune virtuosité technique n’est recherchée

Division décimale d’un décimal par un entier CM2 6e avec ce commentaire : Le

dividende comporte au maximum 2 chiffres après la virgule


Règle de trois CM1 et CM2 6e sous la forme : Passage par

l’unité (ou « règle de trois ») Pourcentage

CM2 6e et 5e avec ce commentaire en 6e : Les élèves doivent connaître le sens de l’expression « … % de » et savoir l’utiliser dans des cas simples où aucune technique n’est nécessaire

Echelles CM2 5e (mais hors socle) et rien en 6e


QUELQUES INDICATEURS

sur les acquis des élèves


Evaluation sixième

Plus d'1 élève sur 5 a des difficultés avec les "compétences nécessaires pour profiter pleinement des situations pédagogiques de sixième" (pour plus de 2/3 des items considérés).

Deux domaines particuliers de difficultés le calcul mental :

72 % de réussite aux questions "de base" Exemples : le quart de 100 (68 %)

36 divisé par 4 (56 %) la résolution de problèmes


Comparaison internationale (PISA 2003)

Deux points faibles caractéristiques

Des élèves plus angoissés que les autres face aux mathématiques

Une faiblesse particulière lorsqu'il faut "prendre des initiatives, expérimenter (faire des essais, critiquer, recommencer…)"


Un exemple

Un menuisier dispose de 32 m de planches et souhaite s'en servir pour faire la bordure d'une plate-bande dans un jardin. Il envisage d'utiliser un des tracés suivants pour cette bordure :

Indiquez pour chacun des tracés s'il peut être réalisé avec les 32 m de planches.


ANALYSE DES DIFFICULTÉS


Evaluation 6e - 2003

Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.

Chaque page contient 6 photos.a) Combien y a-t-il de pages complètes ?b) Combien y a-t-il de photos sur la page

incomplète ?

Il y a ……… pages complètes. 54 %

Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %


Procédures possibles

Division par 6 Division (stabilisée au CM1)

Encadrement par deux multiples de 6 Table de multiplication (CE2)

Addition de 6 en 6 Addition (CE1)

Schématisation des pages et des photos

Dénombrement (CP)


Une question

Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème…- ne pensent-ils pas…- n’osent-ils pas…- ne se croient-ils pas autorisés…

… (à) les utiliser pour répondre à la question ?


UN CADRE POUR TRAVAILLER SUR L'ORIGINE DES DIFFICULTÉS


Schéma d’analyse sommaire

Connaissances

et compétences

en lecture (ordre des

informations, place de la question)

sur le contexte

sur les concepts

mathématiques

relatives au raisonnem

ent

en calcul

Connaissanc

essur ce qui est attendu

sur ce qui est permis

sur ce qui marche souvent

sur "l'accueil"

des erreurs


A la bonne place (éva CE2)

Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient.

367 582 309

300

400 500 600

300

309 400 367 500 582 600


QUELQUES PISTES

POUR "APPRENDRE À RÉSOUDRE"


Apprendre ce qu’est chercher

Un mot à double sens

Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées

Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur


Deux exemples de « problèmes pour chercher » CM1-Cap Maths


Favoriser l’appropriation du problème

Ne pas confondre lecture d'énoncé et résolution de problème

Plusieurs supports de présentation Situation réelle Situation représentée : dessin, schéma,

document Situation communiquée oralement Situation communiquée par un énoncé

écrit


Limiter les références possibles à des indices « extérieurs » au problème.

Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours

Eviter les aides « de surface »


Exploiter la diversité des procédures

Favoriser la diversité

Exploiter la diversité

Aider à progresser vers les résolutions expertes


Largeur de la bibliothèque : 1 m (ou 100 cm)

établie dans la question 3

CE2 – Cap Maths


Deux stratégies de résolution

Déterminer le nombre total d'encyclopédies qui peuvent être placées, puis le nombre de celles qui peuvent être ajoutées

Déterminer d'abord la "place" déjà occupée, puis la "place" restante, puis le nombre d'encyclopédies qui peuvent être mises sur cette "place".


Plusieurs procédures pour la 2e stratégie

Un schéma, support de calculs (résolution "pratique")

6 12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

78

84

90

96

Addition

6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 48

48 + 6 = 54 + 6 = 60 + 6 = 66 + 6 = 72 + 6 = 78 + 6 = 84 + 6 = 90 + 6 = 96


Multiplication et addition

6 x 8 = 48 4 8 6 + 6 + 6 + 6 = 24 + 5 2 24 + 24 = 48 1 0 0

Multiplication et soustraction

6 x 8 = 48 1 0 0 6 x 8 = 48 - 4 8 6 x 9 = 54 5 2

Multiplication et proportionnalité6 x 8 = 48 48 x 2 = 96 8 x 2 = 16


Correction ou mise en commun ?

Correction Aboutir au

corrigé, à LA solution

Conséquence : « résolution » unique dont il faut s’approcher le plus possible

Mise en commun

Inventorier les « résolutions »

Débattre de leur validité

Les comparer Conséquence : la

diversité est possible


Trace écrite ?

Pas de trace écrite cette fois-ci

Un montage de différentes « résolutions » correctes

Une « résolution » correcte, au choix de chaque élève


Aider à progresser… Prise de conscience au cours de la mise

en commun

Mise en lien, établissement de ponts entre des « résolutions » en apparence différentes

Choix des variablesExemples :

60 images, 5 par page

250 images, 6 par page

Un exemple de dispositif d’enseignement

2007 Roland Charnay 30

L’apprentissage de l’équivalence entre

soustraction et complément

312007 Roland Charnay

Aide à la prise de conscience à partir d'une situation

Combien de points cachés ? Cap Maths CE2

MATERIEL DE L'ENSEIGNANT

une feuille de points

(nombre de points connu des élèves)

une feuille cache


La questionTrouver combien de points sont cachés ?


Les problèmes Les solutions

Carte avec 20 points

- 5 visibles- 16 visibles

Complément ou soustraction Complément

Carte avec 34 points - 4 visibles

- 20 visibles - 15 visibles

Complément ou soustractionComplément ou soustractionComplément


Importance de la validation :

cacher les "visibles" et dévoiler les autres !

Question : Compléter de 11 à 34

Vérification de la

réponse : Soustraire

11 de 34


La taille des nombres augmenteLes outils de calcul se diversifient


Le rôle des situations expérimentales REEL /

ANTICIPATION

RéelFavorise

l’appropriation de la situation et du

problème

Anticipation

Incite à l'expérience mentale

Permet la validation de la réponse ou d'une

procédure

Oblige à élaborer des procédures


Aide à la prise de conscienceà partir de questions de calcul mental

2 pour aller à 47 plutôt soustraction 36 pour aller à 40 plutôt complément 20 pour aller à 50 plutôt ?

52 – 4 plutôt soustraction 61 – 58 plutôt complément 60 – 35 plutôt ?

Documents

Roland Charnay - 20081. La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l imagination et les capacités d abstraction,