La La géométrie géométrieienmontbrison42.free.fr/Animations/geometrie%20cycle3/Geom%E9trie%20au... · Montbrison 1er avril 2009 1 R. R. Charnay Charnay -- G. G. CombierCombier

Montbrison 1er avril 2009 1

R. R. CharnayCharnay -- G. G. CombierCombier -- 20092009 11

La La géométriegéométrieau cycle 3au cycle 3

A propos des programmesA propos des programmes

Deux points importants pour Deux points importants pour penser leur mise en œuvrepenser leur mise en œuvre

R. Charnay R. Charnay -- G. Combier G. Combier -- 20092009 22


Sur les enjeuxSur les enjeux

�La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement , l’imagination et les capacités d’abstraction , la rigueur et la précision .

� L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification .


Sur la résolution de problèmesSur la résolution de problèmes�La maîtrise des principaux éléments de

mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes , notamment à partir de situations proches de la réalité. (Socle commun, 2006)

� La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (Programmes, 2008)




GéométrieGéométrieDe quoi parleDe quoi parle--tt--on on

de l'école au collège ?de l'école au collège ?


Du spatial auDu spatial au géométriquegéométrique

Le plus court cheminLe plus court chemin

A

B



Trois modes deTrois modes de résolutionrésolution

�� Résolution Résolution "pratique", sur le terrainsur le terrain

� Résolution "pratique", sur le papier, avec modélisation des objets (maisons : points, rivière : droite)

� Résolution mathématique :utilisation de connaissances


AB

M

C

P



Comparaison d'airesComparaison d'aires

Les 2 triangles ont-ils la même aire ?


Quatre modes de résolutionQuatre modes de résolution

�� Résolution perceptiveRésolution perceptive : estimation: estimation

�� Résolution pratiqueRésolution pratique : découpage, collage…: découpage, collage…

�� Résolution praticoRésolution pratico--mathématiquemathématique : : mesurage, mesurage, calcul (formules)calcul (formules)

�� Résolution mathématique : raisonnement: raisonnement



A B

D C

hhM


La géométrie de l'école au collègeLa géométrie de l'école au collègeC1 et C2C1 et C2

� Géométrie de la perceptionperception� Est vrai ce qui est "vu" comme tel� Boîte à outils géométrique : l’œill’œil

Fin C2 et C3Fin C2 et C3

� Géométrie instrumentéeinstrumentée� Sont vraies les propriétés contrôlées à l’aide d'instruments� Boîte à outils géométrique : instrumentsinstruments

CollègeCollège

� Géométrie déductivedéductive� Est vrai ce qui est démontré� Boîte à outils géométrique : théorèmesthéorèmes



Déterminer une longueur…Déterminer une longueur… (éva 6(éva 6e, e, 1998)1998)

Sur ce dessin à main levée (les vraies grandeurs sont écrites en cm). On a représenté un rectangle ABCD et un cercle de centre A qui passe par D. Ce cercle coupe le segment [AB] au point E.

Trouve la longueur du segment [EB] :……………………………..Explique ta réponse :……………………………….

Victor : 3,5 cm (le cercle est au milieu du segment) 26,3 %Adrien : 1 cm 8 (j’ai mesuré) 16,6 %Lise : 3 cm (car 7 cm – 4 cm = 3 cm) 10,3 %


Reconnaissance du carréReconnaissance du carré

�� Au CP, seul A est reconnu comme un carré

� Au CE2, B devrait l'être aussi

� En 6e, C également

A

B

C



Evaluation 6Evaluation 6 ee 20042004

Losange ou carré 53,2% Carré 40,7%

Losange et carré 5,1% Rectangle 29,6%


QUELQUES REPÈRESQUELQUES REPÈRESpour l'enseignementpour l'enseignement



Un conceptUn conceptDifférents aspectsDifférents aspects


PerpendicularitéPerpendicularité









Plusieurs aspects pour un même concept

PerpendicularitéPerpendicularité

Angle particulier :

- angle d'une figure connue (carré, rectangle)

- limite aigu/obtus

- quart de tour

ou

4 angles égaux de même sommet recouvrent le plan



PerpendicularitéPerpendicularité- Vertical/horizontal

- Droite d’équilibre ou demi-angle plat

- Axe de symétrie d'une droite (pliage)

- Plus courte distance d'un point à une droite



ParallélismeParallélisme


ParallélismeParallélisme- Ne se rencontrent pas, non sécantes

- Vont dans la même direction ou

Même inclinaison par rapport à une droite donnée

- Ecart constant




ParallélismeParallélisme

- Perpendiculaires à une même autre droite

- Symétriques par rapport à un point



Perpendicularité Perpendicularité Evolution de la notion à Evolution de la notion à

l’écolel’école



Une première étape au CE1

L'angle droit lié au "coin" du carré

Mise en débat : carré / pas carré

Les gabarits avant l'équerre


Des angles droits dans d'autres figures



Portrait :

Qui suis-je ?

-J'ai un seul angle droit

- J’ai 8 côtés, 6 angles droits et un axe de symétrie

-J'ai 4 côtés et 2 angles droits


Une deuxième étape au CE2

Des gabarits aux équerres

Différentes équerres

- Repérage des angles droits

Les équerres pour

- Identifier des angles droits

- Reconnaître des figures(carré, rectangle, trianglerectangle)

- Reproduire, compléter,construire des figures



Une troisième étape au CE2

La perpendicularité

Point de départ

- Horizontal / vertical

�2 directions déterminées par le fil à plomb et le niveau à bulle

Lien avec angle droit

� Retrouver la trace du fil à plomb lorsque qu'on fera coïncider cette ligne avec le niveau à bulle.

DéfinitionDeux droites qui se coupent en formant un angle droit

sont deux droites perpendiculaires.


Une quatrième étape au CE2

Entraîner et enrichir la perpendicularité

Tracer, � à main levée

� avec l'équerre

Identifier� à vue

�avec l'équerre



Une cinquième étape au CM1

L'angle droit parmi d'autres angles

Angle droit = quart de tour 2 perpendiculaires : 4 angles droits


Optimisation du tracé de deux droites perpendiculaires

Tracé 1 Tracé 2 Tracé 3



Une sixième étape au CM1

Perpendicularité outil

Exemple : pour la symétrieExemple : pour la symétrieExemple : pour le parallélismeExemple : pour le parallélisme

A

Avec uniquement l'équerre, sans mesurer, tracer une droite qui passe par le point A et qui est parallèle à la droite d.

A

d


Une septième étape au CM2

Un nouvel aspect de la perpendicularité

A

d

A

d

1) Trouver le point de la droite Dqui est le proche du point A.

2) Ecrire une méthode qui permet de trouver, du premier coup,le point d'une droite qui est le plus proche d'un point qui n'est pas sur la droite.



Une huitième étape au CM2

Réinvestissement de la perpendicularité

- Pour décrire une figure

- Pour reproduire une figure

- Pour construire une figure

- d'après une description

- d'après un schéma…


La suite au collège

- Tracé à la règle et au compas (relation avec médiatrice et axe de symétrie)

- Mesure : 90°(utilisation du rapporteur)

- Perpendicularité et distance d'un point à une droite

- Perpendicularité et PythagoreABC est rectangle en A<=> BC2=AB2+AC2

- Perpendicularité et demi-cercle



Enseigner la géométrie Enseigner la géométrie à l’écoleà l’école


Une approche par les problèmesUne approche par les problèmes

�� Localiser : décrire une position, repérer

� Reproduire

� Décrire , en vue de faire reproduire ou reconnaître

� Représenter

� Construire , à partir d'une description, d'un programme de construction, d'un schéma

� Classer

� Agrandir, réduire



Quelles notions (relations) ?Quelles notions (relations) ?

� Relations spatiales ordinaires

� Alignement

� Égalité de longueurs, milieu

� Perpendicularité

� Parallélisme

� Comparaison et égalité d’angles

� Axes de symétrie


Des compétences attendues Des compétences attendues sur les objets suivantssur les objets suivants

� Objets de base (mais pas premiers !) : point, droite, segment, angle

� Polygones : triangles et cas particuliers (hauteur), carré, rectangle, losange, parallélogramme (angles, côtés, pas les diagonales)

� Cercle

� Polyèdres : cube, pavé droit, prisme droit, pyramide, cylindre



Quels instruments et techniques ?Quels instruments et techniques ?

� Gabarits : angle droit, angles, longueurs

� Règle graduée ou non, équerres (ordinaire, réquerre, téquerre)

� Guide-âne

� Compas

� Calque, pliage, géomiroir, papier quadrillé, papier pointé


Vocabulaire Vocabulaire : une attention particulière: une attention particulière

�� Les mots ne sont pas les concepts

� Polysémie : exemple du mot "droit"

� Formulations spécifiques� La droite d est parallèle à la droite f� Les droites d et f sont parallèles� Tracer la droite parallèle à la droite d qui

passe par le point A



Quelques exemples de problèmes

Autour du cercle…


Au CM1…Au CM1…

Des exemples de pièces qui "passent" ou qui ne "passent pas" sont montrés au préalable.

A la fin une validation expérimentale est possible.



1ère étape : tous les moyens sont possibles.

Problème : faire apparaître un diamètreProblème : faire apparaître un diamètre

2e étape : les instruments de géométrie sont interdits.


Utiliser ses connaissancesUtiliser ses connaissances

Analyser la figure, dans le but d'en compléter un agrandissement… dans une position différente.



Triangles CM2Triangles CM2


ExercicesExercices



Triangles particuliers

Groupes A : équerre et calque

Groupes B : équerre et compas

Choisir un triangle et le décrire pour qu'un groupe différent qui dispose du même matériel puisse le reconnaître


En conclusionEn conclusion

� Des références spatialesspatiales� Des problèmesproblèmes et différentes conceptionsconceptions� Différents langageslangages : vocabulaire, dessin

précis, schéma� Des techniquestechniques et des instrumentsinstruments de

référence� Un outil pour le raisonnementraisonnement

Un concept géométriqueUn concept géométrique



Deux exemples de problèmes "de raisonnement"

Documents

La La géométrie géométrieienmontbrison42.free.fr/Animations/geometrie%20cycle3/Geom%E9trie%20au... · Montbrison 1er avril 2009 1 R. R. Charnay Charnay -- G. G. CombierCombier