Ondes et vibrationsFondamentaux et applications à l’acoustique et à la diffusion de la chaleur

Ronan Lefort

© Dunod, 2017

���������������� ����������� www.dunod.com

ISBN 978-2-10-075943-9

Illustration de couverture : © Bht2000 – Fotolia.com

Table des matières

Avant-propos 13

Liste des animations 17

Notations utilisées 21

Partie I Les fondamentaux

1 Oscillateurs harmoniques et anharmoniques 25I Mouvements autour d’un équilibre : relaxation, oscillation . . . . . . 25

A Minimum d’énergie et écart à l’équilibre . . . . . . . . . . . . 25B Période des oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II Oscillations de faible amplitude : l’approximation harmonique . . . . 28A L’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

A.1 Oscillations libres sans frottement . . . . . . . . . . 28A.2 Relaxation de l’oscillateur harmonique . . . . . . . . 30

B Approximation harmonique de systèmes plus complexes . . . 31B.1 L’approximation harmonique dans le cas général . . 31B.2 Exemple : le pendule simple . . . . . . . . . . . . . 33

III Oscillations de forte amplitude : le rôle des non-linéarités . . . . . . 38

2 Vibrations moléculaires 41I Hypothèse harmonique, ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . 42

A Potentiel interatomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42B Représentation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

II Modes de vibration moléculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46A Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

A.1 Exemple 1 : Une partie mobile à deux dimensions . 46A.2 Exemple 2 : Plusieurs parties mobiles . . . . . . . . 51

B Méthode générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57B.1 Équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 57B.2 Notion de mode de vibration . . . . . . . . . . . . . 59B.3 Matrice dynamique, pulsations propres, modes propres 60B.4 Mouvement de vibration général . . . . . . . . . . . 62

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TABLE DES MATIÈRES

C Approche énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62C.1 Énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62C.2 Énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63C.3 Énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63C.4 Application aux systèmes moléculaires . . . . . . . . 63

III Un exemple : la molécule de CO2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64A Molécule isolée (en phase gaz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

A.1 Interprétation de la forme des modes . . . . . . . . 66A.2 Coordonnées normales . . . . . . . . . . . . . . . . . 66A.3 Amplitude quadratique moyenne . . . . . . . . . . . 67

B Molécule en phase condensée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68IV Classification de la symétrie des modes de vibration . . . . . . . . . 68

A Symétrie des modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69B Outils de classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

B.1 Théorie des groupes et de leurs représentations . . . 69B.2 Application aux vibrations moléculaires . . . . . . . 70B.3 Règles de sélection en spectroscopie . . . . . . . . . 72

C Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72C.1 H2O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72C.2 Retour sur CO2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3 Systèmes de grande dimension 77I Systèmes fermés et ondes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A La chaîne plombée unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . 78A.1 Modes longitudinaux et transverses . . . . . . . . . 78A.2 Observations expérimentales . . . . . . . . . . . . . 79A.3 Matrice dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.4 Fréquences propres de la chaîne . . . . . . . . . . . 81A.5 Vecteurs propres des modes de la chaîne . . . . . . . 86

B Onde stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86C Corde vibrante continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

C.1 Équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88C.2 Fréquences de vibration, relation de dispersion . . . 88C.3 Mélange de modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

II Systèmes ouverts et propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4 Ondes 93I Ondes tridimensionnelles usuelles dans un milieu non dispersif . . . . 94

A Ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94B Ondes sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95C Atténuation, évanescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

II Puissance transportée et impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A Densité de puissance et impédance . . . . . . . . . . . . . . . 97

A.1 Densité de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

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TABLE DES MATIÈRES

A.2 Impédance spécifique du milieu . . . . . . . . . . . . 99B Cas d’une impédance complexe : la puissance réactive . . . . 100

B.1 Exemple d’une onde atténuée . . . . . . . . . . . . . 102B.2 Exemple d’une onde stationnaire . . . . . . . . . . . 102

C Relation de continuité et densité volumique d’énergie . . . . . 103D Remarques et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

D.1 Remarques sur les ondes planes . . . . . . . . . . . 104D.2 Remarques sur les ondes sphériques . . . . . . . . . 104D.3 Le câble coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104D.4 Onde de déformation élastique dans un solide . . . . 105

III Réflexion et transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106A Coefficients de réflexion et transmission en amplitude . . . . 106

A.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106A.2 Relation avec les impédances . . . . . . . . . . . . . 107

B Coefficients de réflexion et transmission en énergie . . . . . . 108IV Phénomènes ondulatoires particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

A Battements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109B Vitesses de phase et de groupe, paquet d’ondes . . . . . . . . 109C Effet Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

C.1 La source est en mouvement . . . . . . . . . . . . . 113C.2 La source et le récepteur sont en mouvement . . . . 114

D Onde de choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115D.1 « Bang » supersonique en aviation . . . . . . . . . . 115D.2 Effet Cerenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5 Relaxations et phénomènes de transport 119I Ondes suramorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

A Ondes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121B Ondes propagatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

B.1 Amortissement faible (γ � ω) . . . . . . . . . . . . 124B.2 Amortissement fort (γ � ω) . . . . . . . . . . . . . 125

II Processus incohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126A Polarisation d’orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

A.1 Processus aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127A.2 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 128A.3 Quelques solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

B Marche au hasard 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131B.1 Concentration de particules . . . . . . . . . . . . . . 131B.2 Flux de particules : loi de Fick . . . . . . . . . . . . 131B.3 Conservation de la matière et équation d’onde . . . 132

C Extension du modèle à 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133D Étude d’une diffusion unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . 133

D.1 Solution d’onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . 133D.2 Condition initiale particulière . . . . . . . . . . . . . 134

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TABLE DES MATIÈRES

6 Oscillations forcées et ondes avec source 137I Oscillations forcées de chaînes fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

A Oscillateur harmonique forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138B Oscillateur paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140C Oscillations forcées de chaînes fermées . . . . . . . . . . . . . 141

C.1 Bilan des forces pour une chaîne d’oscillateurs forcés 142C.2 Équation du mouvement et solution formelle en ré-

gime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143C.3 Recherche de la base adaptée . . . . . . . . . . . . . 144C.4 Aspects méthodologiques . . . . . . . . . . . . . . . 145

D Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147D.1 Filtrage mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147D.2 Règles de sélection en spectroscopie infra-rouge (du

point de vue de la physique classique) . . . . . . . . 149II Ondes avec source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

A Équation de d’Alembert dans un système ouvert avec source 152A.1 Avec condition aux limites . . . . . . . . . . . . . . 153A.2 Avec force extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

B Système continu fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159B.1 Application à la corde de violon . . . . . . . . . . . 160B.2 Force périodique ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . 162B.3 Exemple d’une force périodique étendue . . . . . . . 163

Partie II Quelques applications

7 Ondes acoustiques 167I Pression et flux acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167II Ondes sonores dans un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

A Équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169B Énergie et impédances acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . 170

III Ondes sonores dans un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171A Approximation unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 171B Ondes longitudinales et transverses dans un solide isotrope . 172

B.1 Onde élastique longitudinale . . . . . . . . . . . . . 173B.2 Onde élastique transverse . . . . . . . . . . . . . . . 173B.3 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

IV Quelques instruments de musique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175A Étude simplifiée des vibrations d’une membrane de timbale . 175B Quelques instruments à cordes . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

8 Acoustique technique 181I L’oreille humaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

A Perception auditive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

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TABLE DES MATIÈRES

B Échelle sonore et décibels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183C Élements subjectifs d’écoute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

II Acoustique des salles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185A Coloration et réverbération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

A.1 Réflexion, Absorption, Modes de salle . . . . . . . . 186A.2 Échos, filtrage par réflexion . . . . . . . . . . . . . . 187A.3 Champs acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187A.4 Réverbération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

B Concepts architecturaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190C Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

C.1 Les théâtres antiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 191C.2 Le Royal Albert Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . 191C.3 La salle Pleyel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192C.4 La Philharmonie de Paris . . . . . . . . . . . . . . . 192

D Éléments et matériaux actifs d’une salle d’écoute . . . . . . . 193D.1 Absorbeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193D.2 Diffuseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

III Isolation phonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194A Bruit et atténuation du bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195B Mesures et normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

B.1 Indice d’exposition sonore . . . . . . . . . . . . . . . 196B.2 Isolation des bruits aériens . . . . . . . . . . . . . . 196B.3 Isolation des bruits de choc . . . . . . . . . . . . . . 197B.4 Réglementation actuelle . . . . . . . . . . . . . . . . 197

C Matériaux et assemblages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198C.1 Lois des masses et des fréquences . . . . . . . . . . . 198C.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

9 Transferts thermiques 201I Mécanismes de transfert thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

A La chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202B Flux thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203C Conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203D Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204E Rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

II Quelques situations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205A Régimes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

A.1 Paroi simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205A.2 Échangeur à ailettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

B Transferts hors équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208B.1 Diffusion de la chaleur à travers une paroi semi-infinie208B.2 Température de contact entre deux milieux . . . . . 210

III Introduction à la thermique des bâtiments . . . . . . . . . . . . . . . 212A Grandeurs techniques et parois réelles . . . . . . . . . . . . . 212

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TABLE DES MATIÈRES

A.1 Résistance thermique d’une paroi . . . . . . . . . . 212A.2 Pont thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214A.3 Spécificité des parois vitrées . . . . . . . . . . . . . 215A.4 Inertie thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

B Réglementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216B.1 La conception bioclimatique . . . . . . . . . . . . . 217B.2 La consommation d’énergie primaire . . . . . . . . . 218

10 Vagues 219I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219II Forme de vagues de faible amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

A Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221B Forme de l’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

B.1 Référentiel et conditions aux limites . . . . . . . . . 222B.2 Lois de l’hydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . 223B.3 Discussion de la forme . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

III Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226A Établissement de la loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226B Discussion des cas limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

B.1 Longueur capillaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229B.2 Ondes de gravité en eaux profondes . . . . . . . . . 229B.3 Ondes de gravité en eaux peu profondes . . . . . . . 230B.4 Tsunamis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

IV Vagues de grande amplitude : les solitons . . . . . . . . . . . . . . . 230A Équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

A.1 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231A.2 Non-linéarités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231A.3 Introduction dans l’équation d’onde . . . . . . . . . 232

B Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

11 Propagation de la lumière dans un matériau diélectrique 235I Ondes électromagnétiques dans la matière . . . . . . . . . . . . . . . 235

A Champs électromagnétiques dans la matière . . . . . . . . . . 236A.1 Interaction rayonnement – matière . . . . . . . . . . 236A.2 Réponses électriques d’un matériau . . . . . . . . . 237A.3 Réponses magnétiques d’un matériau . . . . . . . . 238

B Les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239C Dispersion dans un matériau neutre et isolant . . . . . . . . . 240D Puissance et impédance électromagnétique . . . . . . . . . . . 241

II Propriétés optiques des diélectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241A Champ local et polarisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

A.1 Milieux dilués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242A.2 Milieux denses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

B Le modèle de l’électron élastiquement lié . . . . . . . . . . . . 243

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TABLE DES MATIÈRES

C Propriétés optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244C.1 Indice optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244C.2 Loi de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Partie III Problèmes et exercices

12 Énoncés 249I Outils mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

A Changement de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250B Le choix des axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250C La classique cycliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

II Oscillateurs à un degré de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252A Oscillations verticales d’un iceberg . . . . . . . . . . . . . . . 252B Résonateur de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252C Le salaire de la peur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

III Oscillateurs à N degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253A Molécule de biphényle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253B La molécule d’ammoniaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

IV Oscillateurs à grand nombre de degrés de liberté . . . . . . . . . . . 254A Phonons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254B Étude d’une chaîne d’oscillateurs électriques couplés . . . . . 255C Corde de guitare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258D Corde de piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

V Zones de dispersion réactives, ondes évanescentes . . . . . . . . . . . 259A Chaîne de pendules couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259B Barrière tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

VI Lignes de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260A Câble coaxial sans pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260B Réflexion, impédance caractéristique ou de ligne . . . . . . . 260

VII Acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261A Pavillon d’un instrument à vent . . . . . . . . . . . . . . . . . 261B Le monde du silence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262C Champ direct et champ réverbéré . . . . . . . . . . . . . . . . 262D Isolation phonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

VIII Thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262A Chauffer le café . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262B Cuire les pâtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

IX Vagues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263A Forme des ondes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263B Dispersion des ondes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

X Optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265A Propriétés optiques de miroirs métalliques . . . . . . . . . . . 265

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TABLE DES MATIÈRES

13 Corrigés 267I Outils mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

A Changement de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268B Le choix des axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268C La classique cycliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

II Oscillateurs à un degré de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269A Oscillations verticales d’un iceberg . . . . . . . . . . . . . . . 269B Résonateur d’Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270C Le salaire de la peur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

III Oscillateurs à N degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270A Molécule de biphényle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270B La molécule d’ammoniaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

IV Oscillateurs à grand nombre de degrés de liberté . . . . . . . . . . . 272A Phonons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272B Étude d’une chaîne d’oscillateurs électriques couplés . . . . . 274C Corde de guitare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279D Corde de piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

V Zones de dispersion réactives, ondes évanescentes . . . . . . . . . . . 282A Chaîne de pendules couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282B Barrière tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

VI Lignes de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285A Câble coaxial sans pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285B Réflexion, impédance caractéristique ou de ligne . . . . . . . 286

VII Acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287A Pavillon d’un instrument à vent . . . . . . . . . . . . . . . . . 287B Le monde du silence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289C Champ direct et champ réverbéré . . . . . . . . . . . . . . . . 289D Isolation phonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

VIII Thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292A Chauffer le café . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292B Cuire les pâtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

IX Vagues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296A Forme des ondes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296B Dispersion des ondes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

X Optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299A Propriétés optiques de miroirs métalliques . . . . . . . . . . . 299

Partie IV Annexes

A Rappels sur le théorème du moment cinétique 303

B Représentations complexes d’ondes 305I Représentation complexe d’une fonction sinusoïdale du temps . . . . 305

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TABLE DES MATIÈRES

A Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305B Traitement de la phase constante . . . . . . . . . . . . . . . . 306C Calculs linéaires en représentation complexe . . . . . . . . . . 306

C.1 Somme de représentations . . . . . . . . . . . . . . . 306C.2 Produit par un scalaire complexe . . . . . . . . . . . 306

II Représentation complexe d’une onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307A Représentation complexe d’une onde plane propagative . . . 307B Représentation complexe d’une onde stationnaire . . . . . . . 307C Représentation complexe de la puissance d’une onde . . . . . 307

C Groupes ponctuels de symétrie 309I Quelques tables de caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

D Séries et transformées de Fourier et Laplace 311I Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311II Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

A Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312B Quelques transformées de Fourier usuelles . . . . . . . . . . . 312

III Transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313A Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313B Quelques transformées de Laplace usuelles . . . . . . . . . . . 313

IV Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314A Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314B Relation avec les transformées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

V Application à la résolution d’équations différentielles, fonctions de Green314A Réponse impulsionnelle, fonction de Green . . . . . . . . . . . 315B Réponse générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Bibliographie 316

Index 317

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Avant-propos

De l’importance des phénomènes oscillatoiresen physique et en chimie

Il est bien connu que tout système à l’équilibre (mécanique, thermodynamique...)se trouve dans un état de minimum d’énergie (potentielle, libre...). Ce constat peutêtre fait dans la totalité des branches de la physique qui servent à décrire des objetsaussi variés que des systèmes planétaires, les phases d’un corps à une températuredonnée, des pièces mécaniques en interaction, des solutions chimiques réactives, lesétats de l’atmosphère, les phénomènes électriques au sein des matériaux...

Mais dans la quasi-totalité des cas, les systèmes considérés ne sont jamais réel-lement statiques (ou ne sont pas utiles s’ils sont statiques) : ils sont en mouvementautour de leur position d’équilibre. Une corde de violon à l’équilibre ne produitaucun son, elle doit être mise en mouvement par un archet pour cela. La surface dela mer n’est jamais plane et horizontale : elle est naturellement agitée de vagues.Un solide cristallin, même supposé parfait, n’est pas constitué d’atomes immobiles :les atomes sont animés de mouvements de vibration (phonons) dus à l’énergie ther-mique. L’air ambiant à l’équilibre véhicule une multitude de sons qui témoignent devariations locales de sa pression par rapport à la pression atmosphérique moyenne,et la lumière existe dans le vide : elle est elle-même constituée de fluctuations deschamps magnétiques et électriques qui seraient nuls à l’équilibre. On pourrait mul-tiplier les exemples de la sorte.

Si l’importance de ces phénomènes dynamiques hors équilibre en science de lamatière comme dans la vie de tous les jours apparaît comme une évidence, leurorigine peut parfois être complexe. Elle peut être liée à des fluctuations aléatoires(vent agitant la surface de l’eau, soubresauts d’un amortisseur de voiture, agitationthermique d’un ensemble de molécules...), ou bien à des phénomènes parfaitementcohérents (vibration d’une corde de piano, lumière laser...). Très souvent, ces mou-vements se répètent de manière périodique au cours du temps, et on parle alors dephénomènes vibratoires, oscillatoires, ou d’ondes (si le phénomène se propagedans l’espace).

Dans le domaine des sciences des matériaux, ces phénomènes dynamiques au-tour d’un équilibre revêtent une importance capitale. Les vibrations mécaniques desatomes d’une molécule apparaissent à des fréquences caractéristiques de la struc-

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Avant-propos

ture moléculaire : elles en sont comme l’« empreinte digitale » qui peut être faci-lement analysée par des techniques de spectroscopie. La structure des matériauxde construction va déterminer comment ils répondent à des sollicitations hors équi-libre (échauffement, vibrations sonores...) et ainsi façonner leurs qualités d’isolationthermique ou phonique. Les oscillations des électrons déterminent entièrement lespropriétés optiques d’un matériau (transparence, couleur...)

L’objectif de ce cours est de présenter les caractères universels de ces mou-vements proches d’un équilibre stable, ainsi que les outils conceptuels nécessairesà leur description. Des exemples seront choisis dans plusieurs domaines de la phy-sique afin d’en illustrer la diversité. En fonction de la nature fermée (molécule,corde...) ou ouverte (atmosphère...) des systèmes considérés, les phénomènes serontdécrits comme des vibrations (stationnaires) ou au contraire comme des ondes quise propagent. Que ce soit pour décrire la propagation du son, de la lumière ou bienles vibrations atomiques, de nombreuses situations peuvent être décrites par une ap-proche mécanique (mouvement de molécules dans un gaz, mouvement d’électrons...).Bien qu’apparaissant parfois assez académique, cette approche présente l’avantagede la simplicité : les notions de vibrations et ondes seront abordées en premier lieuà l’aide de ce point de vue mécanique, qui permettra d’introduire simplement lesnotions essentielles de modes de vibration, de propagation et de loi de dispersion.

De l’utilisation de cet ouvrage

Cet ouvrage s’adresse aux étudiants de physique et chimie des seconds cyclesuniversitaires et écoles d’ingénieurs. Les étudiants de licence trouveront dans la pre-mière partie du livre les briques fondamentales indispensables à leur progression etpourront faire des connexions avec les enseignements d’électromagnétisme, de phy-sique quantique ou de physique du solide. Les élèves ingénieurs trouveront tout aulong du texte, et en particulier dans la seconde partie, des illustrations de l’im-portance des phénomènes vibratoires et ondulatoires au travers de divers domainesd’application (spectroscopie, acoustique, thermique...). Ces applications prendrontun sens plus particulier pour les étudiants des formations d’ingénieurs matériauxou de filières physique-chimie, qui pourront tirer parti très directement des thèmesabordés.

En support du cours, les lecteurs pourront trouver un certain nombre d’outilsayant pour but de faciliter leur assimilation des notions et savoir-faire à acquérir :

— des exercices corrigés : qui se veulent un accompagnement de l’appren-tissage des notions fondamentales par l’exemple, et mettent l’accent sur dessavoir-faire essentiels ou au contraire sur des difficultés techniques particu-lières,

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— des annexes : qui permettent de faciliter la lecture du texte principal en lesoulageant de ses aspects les plus techniques, tout en proposant les boîtes àoutils nécessaires aux étudiants qui souhaitent approfondir leur travail,

— des animations vidéo : permettant de mieux visualiser les dépendancestemporelles des phénomènes ondulatoires. Ces dernières sont disponibles enligne et leurs URL d’accès sont précisées dans le texte. Afin de faciliter l’accèsà ces liens, des QR codes sont également donnés, « flashables » à l’aide d’unsmartphone (cf. exemple figure 1).

Figure 1 – Exemple de QR code pointant vers une vidéo d’illustration du cours. Utilisezun smartphone muni d’une application dédiée et d’un accès internet pour flasher l’image etaccéder à l’animation.

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Liste des animations

page 53 Mouvement de deux oscillateurs harmoniques couplés

https://youtu.be/5Tgogjk3Yso

page 54 Modes propres de deux oscillateurs harmoniques couplés

https://youtu.be/4azWF2HKMDk https://youtu.be/tte5_G-4AuA

page 79 Second mode transverse d’une corde vibrante

https://youtu.be/gOwX9bkp_v8

page 95 Ondes longitudinales et transverses

https://youtu.be/c2QB2Z0j7UU https://youtu.be/8G02QWTIbL4

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Liste des animations

page 112 Propagation d’un paquet d’ondes gaussien dans un milieu faiblementdispersif

https://youtu.be/AHy6FFdFask

page 122 Mouvement idéalisé d’une corde vibrante pincée sans dissipation

https://youtu.be/IP_perHlcws

page 161 Déformation idéalisée d’une corde de violon sous l’effet d’une force constante(temps courts)

https://youtu.be/8vVYZJZXegQ

page 162 Déformation idéalisée d’une corde de violon sous l’effet d’une force constante(temps longs)

https://youtu.be/1drwe0LUfOM

page 164 Phénomènes de résonance sur les ponts de Tacoma et du Millenium

https://youtu.be/uhWQ5zr5_xc https://youtu.be/gQK21572oSU

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page 168 Onde plane de pression dans un gaz

https://youtu.be/TDfAu9P74aQ

page 222 Mouvement des molécules d’eau lors de la propagation d’une vague delongueur d’onde comparable à la profondeur

https://youtu.be/OMJje5M82No

page 225 Forme d’une vague en grande profondeur

https://youtu.be/EpoaPByYrWg

page 227 Forme d’une vague en faible profondeur

https://youtu.be/8M2OQUfkasU

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Notations utilisées

z Nombre réel

z Nombre complexe

z∗ Nombre complexe conjugué

3 = −3 (Pour gagner de la place dans les écritures matricielles)

[A] Matrice

|A| Déterminant de la matrice A

|u〉 =

∣∣∣∣∣∣∣

.

.

.Vecteur colonne

〈v| =(

. . .)

Vecteur ligne

〈v|u〉 Produit scalaire

{E} Base (d’un espace vectoriel)

|u, E〉 Vecteur exprimé dans la base {E}

|X〉 = ddt |X〉 Dérivée par rapport au temps

|X〉 = d2

dt2 |X〉 Double dérivée par rapport au temps

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Notations utilisées

f Transformée (de Fourier ou de Laplace) de la fonction f

�∇ =

∣∣∣∣∣∣∣

∂∂x∂

∂y∂∂z

Vecteur « nabla »

�∇f Gradient d’une fonction f

�∇.�u Divergence d’un champ de vecteur �u

�∇ ∧ �u Rotationnel d’un champ de vecteurs �u

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Première partie

Les fondamentaux

1

Oscillateurs harmoniqueset anharmoniques

Sommaire

I Mouvements autour d’un équilibre : relaxation, oscillation 25A Minimum d’énergie et écart à l’équilibre . . . . . . . . . . 25B Période des oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II Oscillations de faible amplitude : l’approximation har-monique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28A L’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28B Approximation harmonique de systèmes plus complexes . 31

III Oscillations de forte amplitude : le rôle des non-linéarités 38

I Mouvements autour d’un équilibre :relaxation, oscillation

Une première description élémentaire d’un phénomène vibratoire et des ingré-dients minimaux qui en sont à l’origine peut être abordée via un exemple mécaniquetrès simple.

A Minimum d’énergie et écart à l’équilibre

Considérons une bille qui roule sur un chemin dans une direction (Ox), le cheminayant une altitude variable z(x). Si cette altitude possède un minimum pour uneposition x0, alors cette dernière constitue une position d’équilibre stable pour la bille(figure 1.1).

Lorsque la bille se déplace le long du chemin suivant la coordonnée x, son altitudesuit z(x), et donc son énergie potentielle de pesanteur suit une fonction de même

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Chapitre 1. Oscillateurs harmoniques et anharmoniques

x0

z(x)

A

Figure 1.1 – Position d’équilibre stable d’une bille roulant sur un chemin d’altitude variable.

forme (Ep(x) = mgz(x)). Si on suppose que la bille est maintenue immobile enx = x0 et que z(x0) = 0, alors l’équilibre stable correspond à une énergie mécaniquenulle.

Supposons que l’on écarte la bille jusqu’au point A, et qu’on la lâche à t = 0sans vitesse initiale. À t = 0, l’énergie mécanique n’est donc plus nulle : elle vautEm = mgzA. La bille va acquérir une vitesse et redescendre vers x0.

Un premier cas de figure est un roulement soumis à un frottement important,qui dissipe rapidement toute l’énergie mécanique. La bille dans ce cas va s’arrêterexactement en x0 : son mouvement est un simple retour vers l’équilibre stable. Onparle dans ce cas de relaxation vers l’équilibre.

Un second cas de figure correspond au frottement nul. L’énergie mécanique dansce cas se conserve : au fur et à mesure que la bille descend et perd de l’énergie poten-tielle, elle gagne en énergie cinétique (elle accélère), et arrive en x0 (minimum de Ep)avec un maximum de vitesse. Elle va donc dépasser son point d’équilibre stable etcontinuer son mouvement en remontant (et donc en ralentissant jusqu’à un point Boù sa vitesse va s’annuler). Le point B (de même altitude que A) ne correspondantpas à un équilibre, la bille va repartir vers le point A, et ce indéfiniment : on observedonc des oscillations autour de la position d’équilibre stable (cf. figure 1.2 ).

On constate qu’il suffit de très peu d’éléments pour générer des oscillations :i) l’existence d’une position d’équilibre stable (qui va être associée à une force derappel vers cet équilibre si le système est mis hors équilibre), et ii) un apport initiald’énergie (mécanique) au système, qui ne peut ainsi pas rester dans sa positiond’équilibre stable, pour laquelle son énergie cinétique est maximale.

L’analyse mécanique des oscillations dans le cas d’école précédent est très simple.Au cours de son mouvement, l’énergie mécanique de la bille s’écrit :

Em =12

mv(x)2 + Ep(x)

et sa variation au cours du temps :dEm

dt= mxx +

dEp

dt

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