République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la

Recherche Scientifique

UNIVERSITE D’ORAN ES-SENIA

Faculté des Sciences Département de Mathématiques

Thèse Présentée par

Khadra NACHI

Pour Obtenir

LE DIPLOME DE DOCTORAT D’ETAT

Spécialité : Mathématiques Option : Analyse Non Linéaire et Optimisation

Intitulée : ‘’Sensibilité et Stabilité en Optimisation Abstraite, en Points Fixes et en

Solutions d’Inclusions ‘’

Soutenue le 30/06/2007

Devant la commission de Jury composée de :

Pr. H. GHOUALI Université A. Belkaid de Tlemcen Président

Mr. H. Mokhtar-KHARROUBI, Université d’Es-Sénia Rapporteur

Pr. J-P. PENOT, Université de Pau et des Pays de l’Adour Co-Rapporteur

Mr. L. BARBET, Université de Pau et des Pays de l’Adour Examinateur

Pr. M. BENYETTOU. U.S.T. D’Oran Examinateur

Mr. A. SMAIL, Université d’Es-Sénia Invité

Année Universitaire 2006-2007

Table des matières

0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I Analyse de sensibilité en optimisation abstraite 9

0.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Etude avec stricte complémentarité 12

1.1 Existence dun champ optimal C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Estimation des premières variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Etude sans complémentarité stricte 24

2.1 Existence dun champ optimal lipschitzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Etude de la di¤érentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

II Stabilité de points xes 49

3 Comparaison de quelques notions de convergence 51

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Principales notions de convergence considérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Comparaison avec la convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4 Comparaison avec la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5 Unicité de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.6 Variantes des principales notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1

3.6.1 Lien avec la convergence simple et la convergence uniforme . . . . . . . . 63

4 Convergence dune suite de points xes de k-contractions 66

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 Convergence de la suite de points xes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.1 Convergence de points xes existants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.2 Caractérisation de lexistence du point xe de la contraction limite . . . . 70

4.2.3 Existence et convergence des points xes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.4 Convergence dune sous-suite de points xes . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3 Cas des itérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3.1 Application : approximation de Galerkin et convergence de la méthode de

Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3.2 Approximation interne dun espace normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3.3 Convergence de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3.4 Application à la résolution de léquation Ax = y . . . . . . . . . . . . . . 84

5 Existence dun point xe pour lapplicaton limite 86

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2 Existence de point xe pour lapplication limite . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.1 Limite dune suite dapplications équicontinue . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.2 Limite dune suite dapplications contractantes . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2.3 Limite dune suite dapplications contractives . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2.4 Cas non-dilatant : limite forte dune sous-suite de points xes . . . . . . . 96

5.3 Cas non-dilatant : limite faible dune sous-suite de points xes . . . . . . . . . . 98

6 Convergence des points xes sous une hypothèse de convergence généralisée

(H) des opérateurs 101

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.2 Existence de points xes de lapplication limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2.1 Cas où T1 à graphe fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.2.2 Cas où T1 est demi-compacte et à graphe fermé . . . . . . . . . . . . . . 106

2

6.3 Convergence dune suite de points xes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.4 Convergence faible dune suite de points xes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.4.1 Cas où T1 est non-dilatante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.4.2 Cas où T1 est à graphe séquentiellement faiblement fermé . . . . . . . . . 111

6.5 Cas dune itération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7 Existence et convergence de points xes sous des hypothèses locales 115

7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.2 Convergence simple : propriété (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.3 Convergence au sens (H) : propriété (J) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.4 Cas dune itération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8 Résultats de stabilité relatifs à diverses distances 124

8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.2 Convergence au sens (G) de contractions relatives à diverses distances . . . . . . 126

8.3 Convergence au sens (H) vers une contraction relative à diverses distances. . . . 129

8.4 Convergence au sens (I) dapplications contractives relatives à diverses distances. 130

9 Cas multivoque 133

9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.1.1 Rappels de quelques notions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.2 Notions de convergence considérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.3 Convergence dune sous-suite de points xes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.3.1 Résultat de Nadler via la convergence (Gm). . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.3.2 Résultat de Nadler via la convergence (Hm). . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.4 Convergence de la suite (FixTn) vers FixT1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9.4.1 Rappels de quelques résultats connus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9.4.2 Quelques généralisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9.5 Convergence faible dune suite de points xes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.5.1 Cas non-dilatant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.5.2 Cas où T1 est à graphe séquentiellement faiblement fermé . . . . . . . . 153

3

III Inversion de multiapplications et inclusions di¤érentielles 159

.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

.3 Di¤erentiability of multifunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

.4 An inversion theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

.5 A parametric inversion theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

.6 Comparisons with other notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

.7 Application to di¤erential inclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

IV Annexe 200

.1 Notions de convergence considérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

.1.1 Lien entre les propriétés (Fm); (Gm) et (Hm) . . . . . . . . . . . . . . . 202

.1.2 Comparaison avec la convergence simple et uniforme . . . . . . . . . . . . 202

4

0.1 Introduction

Dans des disciplines aussi diverses que léconomie, la biologie, la physique, la mécanique,

etc... de nombreux phénomènes sont modélisables sous forme de problèmes mathématiques. Cette

mise en forme permet dutiliser les ressources des mathématiques appliquées : programmation

mathématique, recherche de points xes et résolution dinclusions généralisées ou di¤érentielles.

Il arrive souvent que ces phénomènes soient soumis à des perturbations. Dans de tel cas, celles-

ci se traduisent par lintroduction de paramètres dans le modèle considéré. En conséquence,

pour appréhender les propriétés de "persistance", de "stabilité" et "dinversibilité" dun système

ainsi modélisé, il convient détudier lincidence de la variation des paramètres sur les solutions

éventuelles du problème paramétré considéré.

Lobjet des présents travaux est détudier, dans la première partie, la sensibilité dun pro-

blème de programmation non linéaire lorsque celui-ci est formulé en dimension innie. La

deuxième partie est relative à la "persistance" et à la "stabilité" de points xes associés à

des applications (resp. multi-applications) dénies sur di¤érentes parties dun espace métrique.

Létude locale de multi-applications en utilisant certains concepts de di¤érentiabilité est abordée

dans la troisième partie.

Les questions de sensibilité en programmation mathématique non linéaire pour des problèmes

paramétrés ont retenu lattention des mathématiciens depuis de nombreuses années. Des résultats

très divers et complémentaires ont été établis.

Dans lanalyse de sensibilité qui sera développée dans la première partie, un point crucial

concerne lutilisation dune condition de qualication des contraintes et dune condition du se-

cond ordre. Plus précisément, dans un premier chapitre, on établit lexistence dune représenta-

tion continûment di¤érentiable (par rapport aux paramètres) des solutions optimales (primales

et duales) dun problème de minimisation dune fonction paramétrée soumise à des contraintes

elles-même paramétrées. Un des points clés de ces travaux est lutilisation dune condition de

complémentarité stricte permettant de rechercher les points stationnaires par la résolution locale

dune équation mettant en évidence des conditions doptimalité du premier ordre.

5

Dans le chapitre 2 de cette première partie, lhypothèse de complémentarité stricte est omise ;

une condition du second ordre joue un rôle crucial. Le résultat fondamental de ces travaux est

lobtention dune représentation lipschitzienne et directionnellement di¤érentiable (par rapport

aux paramètres) des solutions optimales dun problème doptimisation paramétré.

La seconde partie des travaux présentés dans cette thèse concerne létude de stabilité des

points xes dune suite dapplications (Tn : Xn ! X) dénies sur di¤érentes parties Xn dun

espace métrique (X; d):

Lorsque les di¤érentes parties coïncident avec tout lespace, la stabilité des points xes de

la suite dapplications (Tn : X ! X) (plus généralement de multi-applications) a fait lobjet de

nombreux travaux aboutissant à des résultats très intéressants. Le résultat principal, dans le cas

univoque, concerne la convergence de la suite de points xes associés à (Tn : X ! X) vers le

point xe de lapplication limite T1 : X ! X. Dans le cas multivoque, le résultat fondamental

est la convergence au sens de Hausdor¤ de la suite des ensembles de points xes vers lensemble

des points xes de la multi-application limite.

Dans le chapitre 3, on introduit des notions de convergence pour les domaines, les opérateurs

et les graphes. Les dénitions énoncées sont comparées entre elles et avec les notions classiques

de convergences simple et uniforme. Des exemples sont donnés précisant les di¤érences entre ces

diverses notions.

Le chapitre 4 concerne la stabilité des points xes associés à une suite de contractions. Un

fait notable est que le domaine de chaque contraction varie. Ceci fait que la convergence simple

est inapplicable et justie lintroduction dune notion de "convergence simple généralisée". Le

résultat principal de ce chapitre est la convergence de la suite de points xes dune suite de

k-contractions vers le point xe de lapplication limite.

Le chapitre 5 est consacré à lexistence de points xes pour lapplication limite. Le résultat

fondamental fournit une généralisation dun résultat de Nadler en remplaçant la condition de

contraction par une propriété "déquicontinuité généralisée" de la suite dapplications. On obtient

des conséquences intéressantes pour le cas lipschitzien.

6

Dans le chapitre 6 de la deuxième partie, on considère une suite dapplications quelconques

satisfaisant une propriété de "convergence uniforme généralisée". En imposant certaines condi-

tions sur lapplication limite T1 : X1 ! X (spéciquement, dêtre à graphe fermé ou demi-

compacte), on établit que toute valeur dadhérence dune suite de points xes associés à la suite

dapplications considérée est un point xe de lapplication limite. Lorsque lapplication limite est

une contraction, on obtient un résultat de stabilité similaire au théorème principal du chapitre

4. Enn, en considérant des itérations, on présente aussi une généralisation dun résultat de

Istr¼atescu.

Le chapitre 7 est principalement consacré à la convergence des points xes sans supposer

luniformité de la constante de contraction comme dans le chapitre 4 (resp. la propriété de

contraction de lapplication "limite uniforme généralisée"). En faisant appel à des hypothèses

de compacité locale ou de complétude locale, on présente une généralisation du théorème de

Fraser-Nadler pour une suite dapplications dont les domaines varient.

Cette deuxième partie se poursuit par une étude prenant en compte la variation possible des

distances dn sur Xn: On généralise un résultat de Fraser-Nadler pour une suite dapplications

k-lipschitziennes sur (Xn; dn) où la suite (dn) converge en un certain sens vers une distance

d. Un aspect intéressant est que les hypothèses de Fraser-Nadler sont a¤aiblies en renonçant

à lhypothèse que chaque distance dn soit topologiquement équivalente à la distance d: Ces

résultats font lobjet du chapitre 8.

On achève cette partie par des généralisations au cas multivoque de certains résultats établis

aux chapitres précédents. On donne aussi un résultat de convergence faible en utilisant la condi-

tion dOpial et en a¤aiblissant les hypothèses par rapport au théorème de Lim. Ces questions

sont traitées au chapitre 9.

La troisième partie des travaux présente un calcul di¤érentiel des applications multivoques

pour linversion locale de multi-applications. Le but nal consiste en la résolution dinclusions

généralisées ce qui nécessite lutilisation dun théorème du type "multi-fonctions implicites".

Il convient donc de¤ectuer une étude locale des multi-applications. Le but principal de cette

étude étant la généralisation du théorème dinversion locale ainsi que du théorème des fonctions

7

implicites.

Lextension du théorème classique de lapplication ouverte pour les multi-applications a

fait objet de plusieurs études. La littérature est très fructueuse sur ce thème. Précisément,

di¤érents concepts de di¤érentiabilité dune multi-application ont été introduits et de nombreuses

méthodes ont été développées aboutissant à divers résultats.

Le point clé de cette étude est lutilisation du théorème de point xe pour des multi-

applications pseudo-contractives, comme dans le cas classique dune application univoque, et

non pas par les techniques danalyse non lisse sappuyant sur le principe variationnel dEkeland.

Pour cet objectif, on introduit, dans un premier temps, une nouvelle notion de di¤érentiabilité

pour les multi-applications. Lapproche considérée est proche de la di¤érentiabilité au sens de

Fréchet. On établit, par cette théorie, des règles de calcul ainsi quune version du théorème des

accroissements nis pour les multi-applications. On dénit, dans un second temps, la notion plus

forte de "péri-di¤érentiabilité" dune multi-application, généralisant la notion de stricte di¤éren-

tiabilité dans le cas univoque. On établit alors diverses propriétés en donnant plusieurs exemples.

Le résultat central de cette partie est la généralisation au cas multivoque du théorème dinversion

locale. Une version paramétrée de ce résultat est aussi donnée. Ceci permet dobtenir un théo-

rème de multi-applications implicites. Les propriétés de di¤érentiabilité de la multi-application

inverse sont étudiées en mettant en évidence des critères pour que la multi-application inverse sa-

tisfasse certaines propriétés de régularité. On présente aussi quelques comparaisons avec dautres

notions de di¤érentiabilité de multi-applications. On achève cette partie par une application de

cette théorie à la résolution dune inclusion di¤érentielle. Précisément, sous les hypothèses clas-

siques de Filippov, on montre lexistence dune solution de linclusion di¤érentielle considérée

sur un certain intervalle.Analyse de sensibilité en programmation mathématique

8

Première partie

Analyse de sensibilité en

optimisation abstraite

9

0.2 Introduction

Les questions de sensibilité en programmation mathématique non linéaire pour des pro-

blèmes paramétrés ont retenu lattention des mathématiciens depuis de nombreuses années. Des

résultats très divers et complémentaires ont été établis. Plus particulièrement, un des résultats

fondamentaux de ces travaux est lobtention dune représentation (fonction) lipschitzienne direc-

tionnellement di¤érentiable (par rapport aux paramètres) des solutions optimales du problème

de minimisation dune fonction paramétrée soumises à des contraintes elles-mêmes paramétrées

(voir références citées ci-dessous et aussi ; Antoine-Zouaki [4], Arutyunov-Izmailov ([5], [6]),

Bonnans-Cominetti-Shapiro [14], Dafermos [20], King-Rockafellar [41], Klatte [42], Levitin [45],

Levy ([46], [47]), Levy-Rockafellar ([48], [49]), Minchenko ([52]), Minchenko-Bondarenko [53],

Minchenko-Volosevich ([54], [55]), Shapiro ([71], [72]), Yen [73], Yen-Lee [74],...). De façon plus

détaillée, on pourra consulter le livre de Bonnans-Shapiro [15] sur loptimisation paramétrée.

Notons que le problème standard en dimension nie (avec un nombre ni de contraintes

égalités-inégalités) a été étudié notamment par Fiacco-MacCormick [30], Fiacco [29], Cornet-

Laroque [18], Bergounioux [12], Bertsekas [13], Buys-Gonin [17] qui ont démontré la di¤érentia-

bilité des points stationnaires (i.e. solutions du système de Kuhn-Tucker) et des multiplicateurs

de Lagrange associés. Lutilisation du théorème des fonctions implicites est à la base de ces ré-

sultats. Dautre part, des hypothèses de "complémentarité stricte" et "dindépendance linéaire"

(des gradients des contraintes actives ou saturées) sont supposées satisfaites ainsi quune condi-

tion du second ordre.

Lorsque la complémentarité stricte nest pas assurée, Robinson [61] et Jittorntrum [40] ont

étudié la continuité localement lipschitzienne des points stationnaires et des multiplicateurs de

Lagrange pourvu quune condition du second ordre plus forte soit satisfaite. Les démonstrations

font aussi intervenir une hypothèse essentielle sur la régularité des contraintes et sont basées sur

lutilisation dun théorème généralisé des fonctions implicites (Robinson [62], [63], [61], Dontchev

[22], Dontchev-Hager [24],...). Jittorntrum [40] a aussi établi lexistence et la caractérisation de

la dérivée directionnelle des points stationnaires et multiplicateurs associés. Dautres résultats

de continuité lipschitzienne et de di¤érentiabilité ont été obtenus par Cornet-Vial [19], Kyparisis

[43] et par Aubin [7] et Malanowski [50] dans le cas convexe.

10

Les propriétés de di¤érentiabilité de la valeur optimale ou de la fonction de performance ont

été étudiées par de nombreux auteurs dont principalement Auslender-Cominetti [10], Gauvin-

Dubeau [32], Janin [39], Rockafellar [66], Seeger [68], Shapiro ([69], [70]).

Dans le cadre général dun problème de programmation mathématique posé en dimension

innie, létude de la sensibilité a connu un développement très important en surmontant plu-

sieurs di¢ cultées liées notamment à des propriétés de compacité et aussi à la forme même des

contraintes. Sur cet aspect, on pourra consulter les travaux de : Alt ([1], [2], [3]), Barbet [11],

Dontchev-Hager ([23],.[25]), Dontchev-Rockafellar [26], Ito-Kunisch [36], Lempio-Maurer [44],

Penot ([59], [60]),...

Notons aussi que di¤érentes approches ont été adoptées par le biais des lagrangiens clas-

siques ([28], [64], [18], [40], [12], [36], [23],..), des pénalités ([28], [31],..) et enn des lagrangiens

généralisés ou augmentés ([35], [27], [16], [17], [13], [65], [67], [57],..).

Létude présentée dans cette partie est une réponse à quelques questions laissées ouvertes dans

la thèse de magister [57]. Dans lanalyse de sensibilité qui sera développée en deux chapitres, deux

techniques sont mises en évidence où la condition du second ordre et la condition de régularité

du domaine jouent un rôle crucial. La première concerne lutilisation du théorème classique des

fonctions implicites pour la recherche de points stationnaires. Lune des hypothèses essentielles

est la condition de complémentarité stricte permettant détablir lexistence dune représentation

continûment di¤érentiable (par rapport aux paramètres) des solutions optimales (primales et

duales) dun problème doptimisation paramétré. Notons que cette technique sera adoptée par

le biais des méthodes lagrangiennes classiques dans le cadre général despaces de Banach.

Lorsque lhypothèse de complémentarité stricte est omise, lun des points clés des résultats

obtenus est lutilisation dun théorème de Robinson sur les inclusions généralisées ([61]) ainsi

que lutilisation du théorème classique de points xes. Le résultat fondamental de ces travaux est

lobtention dune représentation lipschitzienne et directionnellement di¤érentiable (par rapport

aux paramètres) des solutions optimales dun problème doptimisation paramétré. Létude dans

cette seconde étape sappuie sur les méthodes lagrangiennes généralisées dans le cadre hibertien.

11

Chapitre 1

Etude avec stricte complémentarité

1.1 Existence dun champ optimal C1

Dans ce chapitre, on se place dans le cadre fonctionnel suivant. SoientX un espace de Banach,

E un espace de Banach et � un espace vectoriel normé. Soient aussi des fonctions f : X��! R,

g : X � �! E et h := (hi)i=1;:::;s : X � �! Rs:

On considère, pour tout paramètre ! 2 �; le problème de programmation mathématique P!qui consiste à trouver x! 2 X satisfaisant :

g(x!; !) = 0; hi(x!; !) � 0 et f(x!; !) = infx2D!

f(x; !):

où D! := fx 2 X : g(x; !) = 0 et hi(x; !) � 0 (i = 1; : : : ; s)g :

Le but général est détudier la dépendance, par rapport au paramètre !; des solutions éven-

tuelles et de la fonction de performance v(!) := infx2D!

f(x; !) (i.e. la fonction valeur du problème

P! formulé ci-dessus) lorsque ! varie au voisinage dune valeur !0 donnée.

Introduisons le lagrangien classique associé à P! :

L : X � E� � Rs � �! R tel que pour tout (x; p; q; !) 2 X � E� � Rs � �

L(x; p; q; !) := f(x; !) + hp; g(x; !)iE;E� + (q j h(x; !))Rs

12

où h�; �iE;E� est le crochet de dualité entre E et E�; (� j �)Rs est le produit scalaire dans Rs:

Notre étude sera faite sous les hypothèses générales suivantes :

(H1) : [Existence dune solution]

Le problème P0 admet une solution locale en x:

(H2) : [Régularité des données]

Les fonctions f; g; (hi)i=1;:::;s sont de classe C2 au voisinage de (x; 0):

(H3) : [Qualication des contraintes]

Im

24 g0x(x; 0)h0x(x; 0)

35 = E � Rm où h := (hi)i=1;:::;m avec m := cardI(x) oùI(x) := fi 2 f1; : : : ; sg : hi(x; 0) = 0g est lensemble des indices des contraintes actives. Pour

simplication décriture, on omet la dépendance en ! et on écrira I(x) := f1; : : : ;mg (ce qui est

possible quitte à changer lordre des contraintes dinégalités).

(H4) : [Condition du second ordre]

9� > 0;9(p; q) 2 E� � Rs+ un multiplicateur de Lagrange associé à x tels que L00x(x; p; q; 0)

soit ��coercif sur Ker

24 g0x(x; 0)h0x(x; 0)

35 :

v; L00x(x; p; q; 0)v

�X;X�

� � kvk2 8v 2 Ker

24 g0x(x; 0)h0x(x; 0)

35 :(H5) : [Stricte complémentarité]

qi > 0 8i 2 I(x):

Notons que les hypothèses (H1); (H2) et (H3) assurent lexistence dun multiplicateur de

Lagrange (ou dun état adjoint) (p; q) 2 E��Rs+; i.e., tel que le système suivant (i.e. le système

13

de Karush-Kuhn et Tucker) soit satisfait :

KKT (0)

8>>>>>:L0x(x; p; q; 0) = 0;

g(x; 0) = 0;

(q j h(x; 0))Rs = 0; h(x; 0) � 0; q � 0:

Lhypothèse (H3) permet aussi de montrer que létat adjoint est unique. On reconnait aussi

les conditions su¢ santes du second ordre de minimalité locale (le système ci-dessus et lhypothèse

(H4) ; voir Maurer-Zowe [51]) : x est assurément minimum local strict de f(�; 0) sur D0 ou une

solution locale stricte de P0 dans le sens suivant :

Un point x est une solution locale stricte dun problème doptimisation (P ) de type infx2D

f(x)

si

9V 2 V(x);8x 2 V \D (x 6= x) : f(x) � f(x):

Enn, grâce à lhypothèse (H5); le système KKT (0) ci-dessus se réduit à un système dégalités.

Notons aussi que lorsque X := Rd et E := Rn; lhypothèse (H3) de qualication des

contraintes se traduit par la propriété :

(H3)0 : (rxgi(x; 0);rxhi(x; 0))i2f1;:::;ng[I(x) sont linéairement indépendants.

Dautre part, la condition su¢ sante du second ordre (H4) est équivalente à la propriété (H4)0

suivante :

(v j r2xL(x; p; q; 0)v)Rd > 0; 8v 6= 0 tel que8 0:

14

Il prouve alors, sous les hypothèses (H1); (H2); (H3)0; (H4)0 et (H5); lexistence dun champ

optimal local (x(!); p(!); q(!)) (de classe C1 par rapport au paramètre) et donne aussi une

première approximation de ce champ au voisinage dune perturabation donnée. Sous les mêmes

hypothèses et toujours en dimension nie, Buys-Gonin [17, 1977] ont établi des résultats sem-

blables en utilisant les méthodes lagrangiennes augmentées, i.e., par convexication locale du

problème doptimisation en question. Le théorème classique des fonctions implicites est à la

base de ces résultats assurant lexistence dune représentation continûment di¤érentiable dun

champ (x(!); p(!); q(!)) satisfaisant les conditions nécessaires doptimalité. Loptimalité de ce

champ est alors obtenue grâce à la compacité de la boule unité doù la di¢ culté en dimension

innie. Remarquons aussi que lhypothèse (H4)0 nest pas une condition su¢ sante doptimalité

en dimension innie, elle doit être renforcée par (H4):

Nous proposons, dans ce chapitre, une généralisation à la dimension innie banachique des

résultats de Fiacco [29, 1976] par le biais des Lagrangiens classiques. Pour les travaux de Buys-

Gonin [17, 1977], une extension à la dimension innie hilbertienne a été donnée dans [57, Th 2.1 p

68]. Loutil clé de ces généralisations étant, dans une première étape, lutilisation du théorème des

fonctions implicites pour lobtention dun point stationnaire (x(!); p(!); q(!)) au voisinage dun

paramètre donné (voir Théorème 1.1). La seconde étape sappuie sur lutilisation du théorème

de lapplication ouverte pour satisfaire la condition su¢ sante du second ordre doptimalité de

ce point critique (voir Théorème 1.2).

Notre premier résultat sénonce comme suit :

Théorème 1.1 Il existe W 2 V(0) dans �; U�V 2 V(x; p; q) dans X�E��Rs et une fonction

z(�) := (x(�); p(�); q(�)) :W ! U � V de classe C1 tels que :

a) z(0) = (x; p; q):

b) 8! 2W; (x(!); p(!); q(!)) satisfait le système de Karush-Kuhn-Tucker en !.

Démonstration. La preuve fera usage du théorème des fonctions implicites, nous allons donc

exhiber une application satisfaisant les conditions dapplication.

Notons Z := X � E� � Rs; z := (x; p; q).

15

Considérons lapplication : Z � �! X� � E � Rs dénie par

(z; !) :=�L0x(x; p; q; !); g(x; !); q1h1(x; !); :::; qshs(x; !)

�où z = (x; p; q) et q = (q1; :::; qs):

Comme (p; q) 2 KKT (0); on a (z; 0) = 0 ; de plus, daprès la régularité des données, il est

clair que est de classe C1 au voisinage de (z; 0) et que :

0z(z; 0) =

26664L00x(z; 0) g

0�x (x; 0) h

0�x (x; 0)

g0x(x; 0) 0 0

qh0x(x; 0) 0 diag(hi(x; 0))i=1;:::;s

37775 :

Justions que lopérateur linéaire 0z(z; 0) est inversible. Tout dabord, grâce aux hypothèses

(H3); (H4) et (H5), on montre facilement linjectivité de 0z(z; 0): En e¤et, soit (v; p; q) 2 Z tel

que 0z(z; 0)(v; p; q) = 0: Introduisons les ensembles dindices suivants :

I := fi 2 f1; :::; sg : hi(x; 0) = 0; qi > 0g ; J := fi 2 f1; :::; sg : hi(x; 0) < 0g

et K := fi 2 f1; :::; sg : hi(x; 0) = 0; qi = 0g :

Daprès (H5), lensemble K est vide et ainsi I [ J = f1; :::; sg et I = I(x). On obtient donc

le système dégalités suivant :

8>>>>>>>>>>>:

L00x(z; 0)v + g0�x (x; 0)p+ h

0�x (x; 0)q = 0;

g0x(x; 0)v = 0;

qih0ix(x; 0)v = 0; i 2 I

hi(x; 0)qi = 0; i 2 J:

On en déduit immédiatement que v 2 Ker

24 g0x(x; 0)h0x(x; 0)

35 et que q = (qI ; 0J):La première équation donne alors hv; L00x(z; 0)viX;X� = 0 et lhypothèse de second ordre (H4)

16

permet de conclure que v = 0: On en déduit que

0@ pqI

1A 2 Ker � g0�x (x; 0) �h0�x (x; 0) � = f0gdaprès lhypothèse (H3): On conclut que lopérateur 0z(z; 0) est injectif.

Soit maintenant (x�; y; �) 2 X� � E � Rs; létude de la surjectivité de lopérateur revient à

la résolution du système suivant :

8>>>>>>>>>>>:

L00x(z; 0)v + g0�x (x; 0)p+ h

0�x (x; 0)q = x

�;

g0x(x; 0)v = y;

qih0ix(x; 0)v = �i; i 2 I

hj(x; 0)qj = �j ; j 2 J:

Comme hj(x; 0) < 0 (8j 2 J), de la dernière équation on obtient : qj =�j

hj(x; 0):

Considérons alors le système :

(S)

8>>>>>>>:L00x(z; 0)v + g

0�x (x; 0)p+

�h0�x (x; 0)qI = x��

Pj2J

�h0�jx(x; 0)qj ;

g0x(x; 0)v = y;

�h0x(x; 0)v = �I := (�iqi)i2I

Daprès la surjectivité de lopérateur B0 :=

24 g0x(x; 0)h0x(x; 0)

35 : X ! E � Rm; il existe un vecteurw 2 X satisfaisant les équations suivantes :8

Donc, pour tout vecteur v 2 KerB0;8

On en déduit que u� � L00x(z; 0)� 2 ImB�0 (image étant fermée), i.e. :

9(p; qI) 2 E� � Rm : u� � L00x(z; 0)� = g0�x (x; 0)p+ �h0�x (x; 0)qI :

Ce qui permet de conclure que 0z(z; 0) est une surjection.

Daprès le théorème de Banach, 0z(z; 0) est donc un isomorphisme.

Le théorème des fonctions implicites nous assure que léquation (z; !) = 0 admet une

solution au voisinage de (z; 0): Plus précisément, il existe des voisinages (ouverts) W 2 V(0);

U � V 2 V(z) et il existe une fonction z(�) := (x(�); p(�); q(�)) : W ! U � V de classe C1 tels

que :

a) x(0) = x; p(0) = p; q(0) = q:

b) (z(!); !) = 0 (8! 2W ) :

8>>>>>:L0x(z(!); !) = 0;

g(x(!); !) = 0;

qi(!)hi(x(!); !) = 0; i = 1; :::; s:

(1.1)

De plus, comme pour i 2 I; qi(0) > 0 et qi(�) est continue en 0; il existe donc un voisinage W de

0 (W assez petit) tel que qi(!) > 0 pour tout ! 2 W . On conclut par la troisième égalité dans

(1.1) que hi(x(!); !) = 0 (8i 2 I): Dautre part, pour i 2 J on a hi(x(0); 0) < 0 et comme les

fonctions sont continues en 0, il existe un certain voisinage W de 0 tel que hi(x(!); !) < 0 pour

! 2 W et i 2 J , donc daprès (1.1), qi(!) = 0 (8i 2 J): Or I [ J = f1; :::; sg ; on en déduit que

qi(!) � 0 et hi(x(!); !) � 0 pour tous ! 2W et i 2 f1; :::; sg :

Donc (x(!); p(!); q(!)) satisfait le système KKT (!) au voisinage de ! = 0. �

Il existe donc un champ de Karush-Kuhn-Tucker continûment di¤érentiable au voisinage du

paramètre ! = 0. Le résultat suivant montre que ce champ est, en fait, optimal :

Théorème 1.2 Sous les hypothèses du théorème précédent, il existe un voisinage de 0 dans

�, noté W , tel que pour tout ! 2 W , x(!) est une solution locale stricte du problème P! et

(p(!); q(!)) est lunique état adjoint associé.

19

Démonstration. Il sagit de vérier les conditions doptimalité du second ordre ([51]). Pour cela,

il su¢ t de montrer que :

(a) il existe � > 0 et il existe un voisinage W de 0 tels que

v; L00x(z(!); !)v

�X;X�

� � kvk2 (8v 2 KerB!) (8! 2W ):

et

(b) la condition de qualication des contraintes reste satisfaite au voisinage de ! = 0; i.e.,

lopérateur B! :=

24 g0x(x(!); !)h0x(x(!); !)

35 est surjectif pour tout ! dans un certain voisinage W de 0:Pour le point (a) : Comme lapplication ! ! A! := L00x(z(!); !) est continue en 0 alors,

en utilisant lhypothèse (H4), pour tout ! dans un certain voisinage W de 0; on a (�0 :=�

2)

hv;A!viX;X� � �0 kvk2 (8v 2 KerB0): (1.2)

Fixons ! dans W ; considérons v 2 KerB!: Lopérateur B0 : X ! E�Rm étant linéaire continu

surjectif alors, daprès le principe de lapplication ouverte (voir [9], [8]) la multi-application B�10

est lipschitzienne, i.e. il existe une constante l > 0 telle que pour tout w;w0 2 E � Rm :

B�10 w � B�10 w

0 + l

w � w0

BX ; (1.3)

où BX est la boule unité dans X:

En particulier, pour w := B0v et w0 := B!v; comme v 2 B�10 (B0v); il existe �v 2 X tel que

B0�v = B!v = 0 et

k�v � vk � l kB0 �B!k kvk : (1.4)

Linégalité triangulaire donne alors un encadrement de k�vk :

(1� l kB0 �B!k) kvk � k�vk � (1 + l kB0 �B!k) kvk : (1.5)

Soient maintenant �0 :=�0

2=�

4et � 2

�0; 12

�; en utilisant la continuité en 0 des opérateurs A!

20

et B!; il existe un voisinage W de 0 et il existe une constante c 2 R�+ (c := kA0k+ 1) tels que

kA!k � c et l kB0 �B!k � min(�; �c�12 (1 +

c

�0)�

12 (�0 � �0)

12 ): (1.6)

Posons w := �v � v ; on a v = �v � w avec �v 2 KerB0: Daprès (1.2), il vient

hv;A!viX;X� � �0 k�vk2 � 2 hw;A!�viX;X� + hw;A!wiX;X�

� �0 k�vk2 � 2 kA!k k�vk kwk � kA!k kwk2 :

Utilisant linégalité classique

2ab � �a2 + 1�b2 (8� 2 R�+);

on obtient

hv;A!viX;X� � (�0 � �0) k�vk2 � (1 +

kA!k�0

) kA!k kwk2 :

Donc, des inégalités (1.4), (1.5) et (1.6), il vient :

hv;A!viX;X� � ((�0 � �0)(1� l kB0 �B!k)2

� (1 + c�0)cl2 kB0 �B!k2) kvk2

� (�0 � �0)((1� �)2 � �2) kvk2

� �0

2(1� 2�) kvk2 :

Par conséquent, pour tout ! 2W (quite à changer le voisinage W ), lopérateur A! est �-coercif

sur KerB! avec � :=�0

2(1� 2�) > 0: Ce qui achève la preuve du point (a).

En conclusion, x(!) est une solution locale stricte de P! pour chaque ! 2W .

Pour le point (b) : A nouveau par continuité de lapplication ! ! B! 2 L(X;E �Rm) en

! = 0; pour "0 > 0 xé, il existe un voisinage de 0; noté W tel que pour tout ! 2W :

9"! 2 L(X;E � Rm) : "! := B! �B0 avec k"!kL(X;E�Rm) � "0: (1.7)

21

Dautre part, B0 est surjectif, pour tout x 2 X; il existe x! 2 X satisfaisant "!(x) = B0x!;

i:e: B!x = B0(x+ x!) et tel que kB0x!k � "0 kxk : Ainsi, pour tout ! 2W , il vient

8x 2 X; 9x! 2 X : B!(x� x!) = B0(x): (1.8)

Notre but est de montrer que, pour tout ! 2 W; B! est surjectif. Soit alors y 2 E � Rm,

il existe donc un vecteur x 2 X tel que B0x = y: Daprès la propriété (1.8), il existe x! 2 X :

B!(x� x!) = B0(x) = y: Doù la surjection de lopérateur B! pour ! voisin de 0:

En conséquence, (p(!); q(!)) est lunique multiplicateur de Lagrange (ou état adjoint) associé à

la solution x(!) pour tout paramétre ! dans un certain voisinage W de 0: Doù le théorème. �

1.2 Estimation des premières variations

Le champ optimal étant continûment di¤érentiable au voisinage de la perturbation nulle et

satisfait, pour tout ! 2W , les égalités dans (1.1), nous pouvons alors donner lexpression de sa

dérivée en ! = 0: Nous déduisons aussi une approximation dordre 1 de la solution et de son

multiplicateur au voisinage de ! = 0: En e¤et, on a :

Corollaire 1.1 Sous les mêmes hypothèses, on a

(a)

26664x0!(0)

p0!(0)

q0I!(0)

37775 = �M�1N : �! X � E� �Rm et q0J!(0) = 0:

(b)

26664x(!)

p(!)

qI(!)

37775 =26664�x

�p

�qI

37775�M�1N(!) + o(!):(c) la fonction de performance v(�) :W ! R telle que v(!) := f(x(!); !) est de classe C1 et

v0!(0) = L0!(z; 0):

22

Avec

M :=

26664L00x(z; 0) g

0�x (x; 0)

�h0�x (x; 0)

g0x(x; 0) 0 0

�h0x(x; 0) 0 0

37775 et N :=26664L00!;x(z; 0)

g0!(x; 0)

�h0!(x; 0)

37775 :Démonstration. Comme pour tout ! 2W; on a le système dégalités suivant :

8>>>>>>>>>>>:

L0x(x(!); p(!); q(!); !) = 0

g(x(!); !) = 0

hi(x(!); !) = 0 i 2 I

qj(!) = 0 j 2 J

Par di¤érentiation par rapport au paramétre, on obtient :

8>>>>>>>>>>>:

L00x(z; 0) � x0!(0) + L00p;x(z; 0) � p0!(0) + L00q;x(z; 0) � q0!(0) = �L00!;x(z; 0)

g0x(x; 0) � x0!(0) = �g0!(x; 0)

h0ix(x; 0) � x0!(0) = �h0i!(x; 0)

q0j!(0) = 0;

donc 26664x0!(0)

p0(0)

q0I(0)

37775 = �26664L00x(z; 0) g

0�x (x; 0)

�h0�x (x; 0)

g0x(x; 0) 0 0

�h0x(x; 0) 0 0

37775�1 26664

L00!;x(z; 0)

g0!(x; 0)

�h0!(x; 0)

37775 :Ce qui permet dobtenir les expressions données dans (a) et de deduire (b):

Dautre part, la fonction de performance v(�) :W ! R telle que v(!) := f(x(!); !) est de classe

C1 et on a v(!) = L(x(!); p(!); q(!); !): Doù v0!(0) = L0!(z; 0) car :8>>>>>>>>>>>:

L0x(z; 0) = 0

L0p(z; 0) = g(x; 0) = 0

L0Iq(z; 0) = h(x; 0) = 0

L0Jq(z; 0) = �qJc = 0:

23

Chapitre 2

Etude sans complémentarité stricte

2.1 Existence dun champ optimal lipschitzien

Ce chapitre concerne létude de la sensibilité des problèmes doptimisation paramétrés par le

biais les méthodes lagrangiennes généralisées. Les méthodes lagrangiennes généralisées (appelées

aussi méthode des multiplicateurs "method of multipiers") ont reçu un intérêt très important

en programmation mathématique. Sur ce sujet on pourra consulter Bertsekas [13], Buys [16],

Fiacco-McCormick [30], Everett [27], Hestenes [35], Gould [34], Nakayama-Sayama-Sawaragi [56],

Roode [67]. Brièvement, ces méthodes consistent à chercher les solutions optimales en améliorant

directement les multiplicateurs de Lagrange par la résolution du problème dual. Elles constituent

ainsi un outil clé en programmation non convexe, particulièrement, en dualité non convexe. En

e¤et, elles permettent, par une convexication locale du problème doptimisation non convexe

considéré, détablir des résultats et des propriétés qui sont valides pour la programmation convexe

tout en utilisant des techniques classiques.

Des investissements considérables et des études approfondies de di¤érents problèmes en opti-

misation (resp. statistiques, écoulements, mécaniques, éléctromagnétiques,...) ont aboutit à des

résultats théoriques et numériques très intéressants. Ces méthodes sont, en fait, e¢ caces en

pratique ; elles sont très advantageuses dans la convergence des algorithmes.

Notons que ces méthodes sont une combinaison des méthodes lagrangiennes classiques et des

méthodes de pénalisation. En fait, une fonction lagrangienne généralisée ; associé à un problème

24

de minimisation de f(x) sous les contraintes gi(x) � 0 (i = 1; :::; s) ; est dénie (selon [34], [67])

comme suit :

LA(x; q) := f(x) +G(g(x); q);

où G : Rs � Rs ! R une fonction satisfaisant les propriétés suivantes :

(i) G(0; q) = 0 pour tout q � 0 ;

(ii) G(g(x); 0) = 0 pour tout point x réalisable ;

(iii) Si gi(x) > 0 pour au moins un i; alors il existe une suite (qn), kqnk ! 1; telle que

limG(g(x); qn) =1;

(iv) G(g(�); q) est monotone (croissante) par rapport à gi:

La fonction lagrangienne classique est un exemple trivial de fonction lagrangienne généralisée

([27]), en e¤et, il su¢ t de prendre G(g(x); q) := (g(x) j q)Rs . Parmi dautres exemples, on cite :

(1) LA(x; r) := f(x) +1

r

Pi2f1;:::;sg

[max(0; gi(x))]2; (Pénalité extérieure ; [30]) ;

(2) LA(x; r) := f(x) + rP

i2f1;:::;sg

1

gi(x); (Pénalité intérieure ; [30]) ;

(3) LA(x; q) := f(x)+P

i2f1;:::;sg

8>>>:qigi(x) +

12cg

2i (x) si qi + cgi(x) � 0

�q2i

2csi qi + cgi(x) < 0:

;

(Lagrangien augmenté ; [31], [16]).

Notons aussi que le problème dual consiste alors à maximiser la fonction h(q) sous la

contrainte q � 0; où h(q) := infx2X

LA(x; q):

Pour notre part, on se propose détudier la sensibilité des solutions optimales et de la fonction

de performance dun problème doptimisation paramétré par les méthodes lagrangiennes géné-

ralisées. Cette analyse est faite sans supposer la complèmentarité stricte. On est alors amené

à utiliser les techniques de résolution des équations généralisées selon lapproche de Robinson.

Le résultat principal étant alors lexistence dun champ optimal lipshitzien au voisinage de la

perturbation nulle et admettant des derivées directionnelles suivant une direction donnée.

25

La structure hilbertienne des espaces étant essentielle dans ce chapitre, on se place donc

dans le cadre où X et E sont des espaces de Hilbert et � espace vectoriel normé. Et soient les

fonctions f : X � �! R, g : X � �! E et h := (hi)i=1;:::s : X � �! Rs:

La famille de problèmes considérée est toujours du type :

P!

8>>>>>:inf f(x; !)

g(x; !) = 0

hi(x; !) � 0; i := 1; :::s:

Associons à P! le lagrangien généralisé introduit par Nakayama-Sayama-Sawaragi [56] : pour

tout (x; p; q; !) 2 X � E � Rs � �;

LA(x; p; q; !) : = f(x; !) + (p j g(x; !))E +1

2c kg(x; !)k2E

+X

i2f1;:::;sg'(hi(x; !); qi);

avec

'(hi(x; !); qi) :=

8>>>>>:qihi(x; !) +

12ch

2i (x; !) si hi(x; !) � 0

q2i hi(x; !)

qi � c=2hi(x; !)si hi(x; !) < 0:

On supposera que les hypothèses (H1); (H2); (H3) et (H4) données au chapitre précédent

sont satisfaites.

Soient les ensembles

I := fi 2 f1; :::sg ; hi(x; 0) = 0; qi > 0g ; i := cardI;

K := fi 2 f1; :::sg ; hi(x; 0) = 0; qi = 0g ; k := cardK;

J := fi 2 f1; :::sg ; hi(x; 0) < 0g ; j := cardJ;

et :

H+ := (h0ix(x; 0))i2I ; Ho := (h0ix(x; 0))i2K ; H

� := (h0ix(x; 0))i2J et

G := g0x(x; 0): De même, posons :

q+ := (qi)i2I ; qo := (qi)i2K ; q

� := (qi)i2J ; et

26

z := (x; p; q) = (x; p; q+; qo; q�) 2 Z := X � E � Rs:

Et notons par S! le système suivant :

S!

8>>>>>>>>>>>>>>>>>:

LA0x(z; !) = 0

g(x; !) = 0

hi(x; !) = 0; i 2 I

hi(x; !) � 0; qi � 0; qihi(x; !) = 0; i 2 K

qi = 0; i 2 J

Remarque 2.1 Il est clair que z est solution du système S! si et seulement si

0 2 (z; !) +N(Y; z): (2.1)

Avec (z; !) :=

26666664LA

0x(z; !)

�g(x; !)

�h(x; !)

q�

37777775 pour tout (z; !) 2 X � E � Rs � �;

Y := X � E � Ri � Rk+ � Rj et N(Y; z) est le cône normal à Y au point z:

Rappelons que le cône normal à un sous ensemble convexe C dun espace de Hilbert H en un

point x 2 C est donné par

N(C; x) := fv 2 H : (v j u� x)H � 0 8u 2 Cg

Le résultat principal de ce chapitre sénonce comme suit :

Théorème 2.1 [Existence dun champ optimal lipschitzien]

Sous les hypothèses (H1); (H2); (H3) et (H4); il existe W 2 V(0) dans �; U � V 2 V(x; p; q)

dans X � E � Rs et une fonction lipschitzienne z(�) := (x(�); p(�); q(�)) :W ! U � V tels que :

a) z(0) = (x; p; q):

b) 8! 2W; x(!) est une solution locale stricte de P!:

c) 8! 2W; (x(!); p(!); q(!)) est lunique solution du système de KKT associé à P!:

27

Loutil de base de ce résultat est le théorème de Banach-Picard sur les points xes. Il sagit

donc de construire une application contractante admettant un unique point xe qui est la solution

de S!: De plus, la preuve de ce résultat sappuie essentiellement sur un lemme fondamental

[57] généralisant celui de Robinson [61] sur les équations généralisées à la dimension innie

hilbertienne. Pour une bonne compréhension de la démonstration du Théorème 2.1, donnons

lénoncé de ce lemme :

Lemme 2.1 Soient X;Y deux espaces de Hilbert, K un convexe fermé non vide de Y et

A :=

24 A11 A12A21 A22

35 : X � Y ! X � Y avecA11 : X ! X; A12 : Y ! X; A21 : X ! Y et A22 : Y ! Y des opérateurs linéaires.

Soit T : X � Y � X � Y une multi-application dénie par :

Tw := Aw +N(X �K;w) 8w 2 X � Y:

Pourque T�1 soit une application lipschitzienne dénie dans X � Y ,

il su¢ t que :

1) lopérateur A11 soit inversible.

2) lopérateur A := A22 �A21A�111 A12 soit autoadjoint et coercif.

Démonstration du Théorème (2.1). Soit (z; !) := (x; p; q; !) 2 X � E � Rs � � et posons

z = (x; p; q); considérons les applications dénies par :

r(z; !) : = 0z(z; 0)(z � z)�(z; !);

�!(z) : = T�1(r(z; !)):

Avec T la multi-application dénie par :

T (z) := 0z(z; 0)(z � z) +N(Y; z);

28

i.e., v 2 T (z) () 9�o 2 N(Rk+; qo) :

v :=

26666666664

LA00x(z; 0) G� (H+)� (Ho)� 0

�G 0 0 0 0

�H+ 0 0 0 0

�Ho 0 0 0 0

0 0 0 0 Ij

37777777775

26666666664

x� x

p� p

q+ � q+

qo � qo

q� � q�

37777777775+

26666666664

0

0

0

�o

0

37777777775:

La preuve se fait en plusieurs étapes. Prenons z := 0 dans toute la suite (on ne restreind pas la

généralité).

Etape 1. Montrons que T�1 est une application lipschitzienne. Pour cela, on applique le

résultat du lemme fondamental (2.1) en considérant :

A :=

24 A11 A12A21 A22

35avec

A11 :=

26664LA00x(0; 0) G

� (H+)�

�G 0 0

�H+ 0 0

37775 : X � E � Ri ! X � E � Ri,

A12 :=

26664(Ho)�

0

0

37775 : Rk ! X � E � Rk;

A21 :=h�Ho 0 0

i: X � E � Ri ! Rk et A22 := [0] : Rk ! Rk:

Il est clair que lopérateur A11 est inversible.

Il reste à montrer que lopérateur A := A22 �A21A�111 A12 est symétrique déni positif.

Remarquons en premier que par un calcul simple des dérivés secondes, lexpression de

LA00x(0; 0) est donnée par :

LA00x(0; 0) = L00x(0; 0) + cB

�0B0:

29

Les hypothèses (H3) et (H4) permettent de montrer quil existe deux constantes �c > 0 et � > 0

telles que, pour tout c � �c; lopérateur LA00x(0; 0) est �-coercif sur tout X ; voir [57, Lemme

1.1] donnant la généralisation du résultat de Debreu [21] qui a¢ rme que si une matrice A est

dénie positive sur KerB alors il existe une constante positive � telle que A+�BTB soit dénie

positive sur tout lespace.

Posant maintenat :

M := LA00x(0; 0); N :=

24 GH+

35 et S := NM�1N� : E � Ri ! E � Ri:Alors lexpression de A�111 est donnée par :

A�111 =

24 M�1(I �N�S�1NM�1) �M�1N�S�1S�1NM�1 S�1

35 :On en déduit lexpression de A par :

A = HoM�1(I �N�S�1NM�1)Ho� : Rk ! Rk:

Il est clair que A est symétrique, remarquons aussi quon peut écrire A sous la forme suivante :

A = R�MR

avec

R :=M�1(I �N�S�1NM�1)Ho�:

Comme lopérateurhG� (H+)� (Ho)�

i: E �Ri�Rk ! E �Ri�Rk est injectif, il est facil

de vérier que A est déni positif, i.e.

�v j Av

�Rk := (Rv jMRv)X > 0; 8v 2 R

k; v 6= 0:

Les conditions dapplication du lemme fondamental 2.1 étant satisfaites, on conclut que T�1

est une fonction univoque lipschitzienne. Ce qui achève la première étape de la preuve.

30

Etape 2. La seconde étape est la conséquence de la proposition suivante :

Proposition 2.1 Il existe W 2 V(0) dans � et il existe � > 0 tels que lapplication �!(�)

admette un unique point xe z(!) dans B(0; �) pour tout ! 2W:

Démonstration : Il sagit de montrer que �!(�) est une application contractante dénie sur une

boule fermée B(0; �) et telle que �!(B(0; �)) � B(0; �) pour tout paramètre ! dans un certain

voisinage de 0:

Rappelons que :

�!(z) := T�1(r(z; !))

avec r(z; !) := 0z(0; 0)z �(z; !) et (z; !) :=

26666664LA0x(z; !)

�g(x; !)

�h(x; !)

q�

37777775 :Soient z1; z2 2 Z; ! 2 � et k la constante de lipschitz de T�1 alors

k�!(z1)� �!(z2)kZ � k kr(z1; !)� r(z2; !)kZ :

Daprès le théorème des accroissements nis, on a :

k�!(z1)� �!(z2)kZ � k kz1 � z2k supt2[0;1]

r0z((1� t)z1 + tz2; !)

L(Z;Z) ;avec r0z(z; !) =

0z(0; 0)�0z(z; !):

Considérons maintenant � > 0 tel que k� < 1 (exemple � 2 (0; 1k(1+k))). Comme les données

sont régulières, il existe W 2 V(0) dans � et il existe � > 0 tels que

0z(z; !)�0z(0; !)

L(Z;Z) � �;8! 2W;8z 2 B(0; �):On conclut quil existe � := k� 2 (0; 1) tel que pour tout ! 2W et tous z1; z2 2 B(0; �) on a

k�!(z1)� �!(z2)kZ � � kz1 � z2k :

31

Il reste à vérier que �!(B(0; �)) � B(0; �): Soit alors z 2 B(0; �); comme z := 0 est solution

du problème P0; il est donc point xe de �0(�). Doù :

k�!(z)k � k�!(z)� �!(0)k+ k�!(0)� �0(0)k ;

� � kzk+ k kr(0; !)� r(0; 0)k ;

� � kzk+ k k(0; !)k :

Par la continuité de la fonction (0; �) en 0, on en déduit que, pour tout ! 2 W (quitte à le

changer), on a :

k(0; !)k � (1� �)�k

et donc k�!(z)k � �:

Ainsi pour tout ! 2 W; �!(�) : B(0; �) ! B(0; �) est une application contractante ; elle admet

donc par le théorème de Banach-Picard, un unique point xe z(!) 2 B(0; �); i.e.

8! 2W;9!z(!) 2 B(0; �) : z(!) = �!(z(!)): (2.2)

�

Etape 3. Daprès la proposition 2.1, il existe une application z(�) : W ! B(0; �) telle que

z(!) = �!(z(!)); 8! 2W: Il est immédiat, par unicité, que z(0) = 0; i.e. z(0) = z := (x; p; q):

Montrons que lapplication z(�) est lipschitzienne.

Considérons !; � 2 W et estimons kz(!)� z(�)kZ : Comme �! est ��contractante et T�1

est k-lipschitzienne, on obtient les inégalités suivantes :

kz(!)� z(�)kZ � k�!(z(!))� �!(z(�))k+ k�!(z(�))� ��(z(�))k ;

� � kz(!)� z(�)k+ k�!(z(�))� ��(z(�))k ;

� 11� �

T�1(r(z(�); !))� T�1(r(z(�); �))

;� k

1� � kr(z(�); !)� r(z(�); �)k ;

� k1� � k(z(�); !)�(z(�); �)k :

32

On en déduit que :

kz(!)� z(�)kZ � � k! � �k� :

où � :=k�

1� � et � := sup0�t�1k0!(z(�); (1� t)! + t�)k obtenu par application du théorème des

accroissements nis à la fonction (z; �):

Etape 4. Enn, la proposition ci-dessous permet dachever la preuve du théorème.

Donnons tout dabord la remarque suivante utile pour cette étape.

Remarque 2.2

z = �!(z) () z est solution du système S!:

En e¤et :

z = �!(z) () z = T�1(r(z; !));

() r(z; !) 2 T (z);

() 0 2 (z; !) +N(Y; z);

() z est solution du système S!:

Proposition 2.2 Il existe W 2 V(0) dans � tel que 8! 2W; x(!) est un minimum local strict

du problème non contraint :

minx2X

LA(x; p(!); q(!); !):

Démonstration : Grâce à la remarque 2.2 et (2.2), z(!) est solution du système S! (8! 2W ):

Dautre part, comme qi(0) > 0 (8i 2 I) et hi(x(0); 0) < 0 (8i 2 J), on en déduit, par la

continuité des fonctions qi(�) et hi(x(�); �) que z(!) est solution du système Kuhn-Tucker, i.e.,

pour tout ! dans un certain voisinage W de 0, z(!) satisfait :

KKT (!)

8>>>>>>>>>>>>>>>>>:

LA0x(z(!); !) = L0x(z(!); !) = 0

g(x(!); !) = 0

h(x(!); !) � 0

q(!) � 0

(q(!) j h(x(!); !))Rs = 0

(2.3)

33

Doù la condition de premier ordre, à savoir, LA0x(x(!); p(!); q(!); !) = 0 est satisfaite. Pour

conclure le résultat de la proposition, il reste à vérier la condition doptimalité du second

ordre. Sachant que LA00x(z(0); 0) est �-coercif sur X et que lopérateur LA00x(z(�); �) est continu

au voisinage de ! = 0 alors pour ! assez petit, LA00x(z(!); !) est�

2-coercif surX. Par conséquent,

pour tout ! 2W , x! := x(!) est une solution locale sticte du problème non contraint

minx2X

LA(x; p(!); q(!); !):

i.e., 8! 2W;9V! 2 V(x!);8x 2 V! (x 6= x!) :

LA(x!; p(!); q(!); !) � LA(x; p(!); q(!); !):

En particulier, pour tout x 2 V! tel que g(x; !) = g(x!; !) et hi(x; !) � hi(x!; !) (i = 1; ::s).

Or, daprès (2.3), pour tout ! 2W , on a :

8

2.2 Etude de la di¤érentiabilité

On se propose détudier la di¤érentiabilité de la fonction lipschitzienne z(�) : ! ! z(!)

lorsque le paramètre ! varie dans une certaine direction. Il sagit donc de prouver lexistence

des dérivées directionnelles et de les estimer. Loutil de base de cette étude est un résultat de

Robinson [61] sur les équations généralisées. En fait, sous les hypothèses (H1); (H2); (H3) et

(H4); on montre (voir [61]) lexistence de voisinages W de 0; V de 0 (i.e. de z) et il existe une

fonction ~z(�) :W ! V tels que ~z(!) est lunique solution de linclusion linéarisée suivante :

0 2 (0; !) + 0z(0; 0)(z) +N(Y; z) (2.4)

et

k~z(!)� z(!)k � "(!) k!k avec "(!) !!!0

0: (2.5)

Il est clair que la fonction ~z(�) est lipschitz continue en 0 et que ~z(0) = z(0):

Dautres propriétés sont données par la :

Proposition 2.3 Soient !0 xé dans � et (tn) une suite dans R�+ telle que tn !n!1 0:

(1) La fonction t! t�1(~z(t!0)� ~z(0)) est bornée au voisinage de 0:

(2) Si limn!1

t�1n (~z(tn!0)� ~z(0)) existe alors limn!1t�1n (z(tn!0)� z(0)) et les deux limites coin-

cident.

Démonstration : la première propriété se déduit de (2.5) et de la lipschitzité de la fonction z(�).

En e¤et, on a :

k~z(t!0)� ~z(0)k � k~z(t!0)� z(t!0)k+ kz(t!0)� z(0)k ;

� t("(t!0) + �) k!0k ;

t�1(~z(t!0)� ~z(0))

� ("(t!0) + �) k!0k :Doù le résultat car "(t!0)! 0 lorsque t! 0:

Remarquons tout de suite que la suite (t�1n (~z(tn!0)�~z(0)))n admet une sous-suite faiblement

convergente.

35

Pour la deuxième propriété, posons _z := limn!1

t�1n (~z(tn!0)� ~z(0)) supposé exister.

Comme :

t�1n (z(tn!0)� z(0))� _z

�

t�1n (z(tn!0)� ~z(tn!0))

+

t�1n (~z(tn!0)� ~z(0))� _z

;

� "(tn!0) k!0k+

t�1n (~z(tn!0)� ~z(0))� _z

:

On conclut que _z := limn!1

t�1n (z(tn!0)� z(0)) i.e., on a existence et égalité des deux limites: �

Notons que la réciproque de la propriété (2) est aussi vraie et que daprès (1),

w � limn!1

t�1n (~z(tn!0)� ~z(0) existe (quitte à prendre une sous-suite). De plus :

w � limn!1

t�1n (~z(tn!0)� ~z(0)) = w � limn!1t�1n (z(tn!0)� z(0)): (2.6)

Une remarque évidente est que létude de la di¤érentiabilité directionnelle de la fonction z(�)

solution de linclusion (2.1) revient à celle de la fonction ~z(�) solution de linclusion linéarisée

(2.4). Dautre part, si de plus, la limite faible dans (2.6) est en fait une limite forte alors la

fonction ! ! z(!) admettra une dérivée directionnelle en 0 dans la direction !0:

Enonçons un premier résultat donnant une condition nécessaire dexistence de points dac-

cumulations faibles pour la fonction t! t�1(z(t!0)� z(0)) lorsque t! 0+:

Théorème 2.2 Supposons les hypothèses (H1); (H2); (H3) et (H4) satisfaites et soit

( _x; _p; _q) := w � limt!0

t�1(z(t!0)� z(0)):

Alors ( _x; _p; _q) satisfait :

0 2

26666666664

LA00x;!(0; 0)!0 +A _x+G� _p+H+� _q+ +Ho� _qo

�g0!(0; 0):!0 �G: _x

�h+0! (0; 0):!0 �H+: _x

�ho0! (0; 0):!0 �Ho: _x+N(Rk+; _qo)

_q�

37777777775: (2.7)

36

Démonstration. Rappelons que ( _x; _p; _q) := w � limn!1

t�1n (~z(tn!0) � ~z(0)) pour tn ! 0+ et que

~z(!) (! := tn!0) est solution de (2.4) :

0 2 (_z; !) + 0z(

_z; 0)(z �

_z) +N(Y; z)

i.e., sachant que_z = (�x; �p; �q) = z(0) = ~z(0), on a :

8>>>>>>>>>>>>>>>>>:

LA0x(_z; !) +A(~x(!)� �x) +G�(P! � �p)

+H+�(~q+(!)� �q+) +Ho�(~qo(!)� �qo)= 0

g(�x; !) +G(~x(!)� �x) = 0

h(�x; !) +H(~x(!)� �x) 2 N(Rs+; ~q(!)):

(2.8)

Comme LA0x(_z; 0) = 0 et g(�x; 0) = 0; il vient pour !0 xé et (tn)! 0+ :8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

t�1n (LA0x(_z; tn!0)� LA0x(

_z; 0)) +A:t�1n (~x(tn!0)� ~x(0))

+G�t�1n (~p(tn!0)� ~p(0))

+H+�t�1n (~q+(tn!0)� ~q+(0)) +Ho�t�1n (~qo(tn!0)� ~qo(0)) = 0

t�1n (g(�x; tn!0)� g(�x; 0)) +G:t�1n (~x(tn!0)� ~x(0)) = 0:

Passant à la limite, on obtient les deux premières équations dans (2.7), i.e.

0 2

264 LA00x;!(0; 0)!0 +A _x+G� _p+H+� _q+ +Ho� _qo�g0!(0; 0):!0 �G: _x

375 :Dautre part, ~q+(!) � 0 pour tout ! très petit et comme

h+(�x; !) +H+:(~x(!)� �x) 2 N(Ri+; ~q+(!)),

37

i.e., pour tout vecteur v 2 Ri+; on a :

�h+(�x; !) +H+:(~x(!)� �x) j v � ~q+(!)

�Rs � 0;

et on conclut que

h+(�x; !) +H+:(~x(!)� �x) = 0:

Ainsi, en suivant une même démarche que précédement (avec �x := 0; ! := tn!0), on obtient la

troisième équation :

h+0! (0; 0)!0 +H+:

�x = 0:

De plus, comme �qo := qo(0) := 0 et qo(!) � 0 alors _qo � 0: Dautre part, ho(�x; 0) = 0 et

ho(�x; !) +Ho:(~x(!)� �x) 2 N(Rk+; ~qo(!))

ou encore, pour tout v 2 Rk+,

((ho(�x; !)� ho(�x; 0)) +Ho(~x(!)� �x) j v � (~qo(!)� �qo))Rs � 0:

Donc

((ho(�x; tn!0)� ho(�x; 0)

tn) +Ho:(

~x(tn!0)� �xtn

) j v � ( ~qo(tn!0)� �qo

tn))Rs � 0:

Passant à la limite, par les mêmes arguments, que

ho0! (0; 0):!0 +Ho: _x 2 N(Rk+; _qo):

Finalement, la dernière égalité, i.e. _q� = 0; est évidente.

En conclusion :

Si ( _x; _p; _q) := w � limt!0

t�1(~z(t!0) � ~z(0)) = w � limt!0

t�1(z(t!0) � z(0)) alors le système (2.7)

est satisfait par ( _x; _p; _q):

Remarquons aussi que sous les hypothèses (H1); (H2); (H3) et (H4) on montre que le système

38

(2.7) admet au plus une solution.

Nous allons montrer, dans ce qui suit, que ( _x; _p; _q) est, en fait, une limite au sens fort de

t�1(z(t!0)� z(0)). En e¤et, nous obtenons le résultat suivant :

Théorème 2.3 Soit ( _x; _p; _q) = w� limt!0

t�1(z(t!0)� z(0)) alors ( _x; _p; _q) est la dérivée direction-

nelle de (x(!); p(!); q(!)) en ! = 0 dans la direction !0: De plus, la fonction de performance

est Gâteaux di¤érentiable.

Démonstration. Soit (tn) une suite réelle telle que tn ! 0+ et considérons

( _x; _p; _q) = w � limt!0

t�1n (z(tn!0) � z(0)) = w � limt!0

t�1(~z(t!0) � ~z(0)): Il sagit de montrer que

s� limt!0

t�1n (~z(tn!0)� ~z(0)) existe.

Posons, par notation, (x(tn); p(tn); q(tn)) := ~z(tn!0) et !n := tn!0:

Il est clair que _q = s� limt!0

t�1n (q(tn)� q(0)), i.e. que q(�) admet une dérivée directionnelle en

! = 0 dans la direction !0:

Etudions maintenant la convergence de la suite (x(tn)� x(0)

tn):

Lopérateur G := g0x(0; 0) : X ! E étant surjectif alors

8n;9!�(tn) 2 E : GG��(tn) = Gx(tn);

i.e., en posant w(tn) := G��(tn) 2 ImG� = (KerG)?, on a :

8n;9!w(tn) 2 (KerG)? : Gw(tn) = Gx(tn) = �g(0; !n):

Ainsi, daprès lhypothèse de régularité des données, les limites suivantes existent et :

limn!1

G(w(tn)� w(0)

tn) = lim

n!1G(x(tn)� x(0)

tn) = � lim

n!1g(0; tn!0)� g(0; 0)

tn: (2.9)

Notre objectif est détablir que s� limn!1

x(tn)� x(0)tn

existe.

39

Pour cela, on montre, dans un premier temps, que s� limn!1

w(tn)� w(0)tn

existe et dans le second,

que s� limn!1

y(tn)� y(0)tn

existe où y(tn) := x(tn)� w(tn) 2 KerG:

Soit � := limn!1

G(w(tn)� w(0)

tn) qui existe par (2.9): La bijection de lopérateur GG� : E ! E

assure lexistence dun unique vecteur, noté _� 2 E; tel que � = GG� _�: Considérons le vecteur

_w := G� _� 2 X qui est unique tel que � = G _w:

Par dénition de w(tn); on a

limn!1

GG�(�(tn)� �(0)

tn) = GG� _�:

Le théorème de Banach ((GG�)�1 est continu) permet de conclure que

s� limn!1

�(tn)� �(0)tn

= _�;

et donc

s� limn!1

w(tn)� w(0)tn

= _w:

Dautre part, Comme (x(tn); p(tn); q(tn)) satisfait le système (2.8) et

(�x; �p; �q) = 0, alors8>>>:(LA0x(0; !n) +Ay(tn) +Aw(tn) +H

�q(tn) j v � y(tn)) = 0; 8v 2 KerG

avec y(tn) 2 KerG:(2.10)

car LA0x(0; !n) +Ay(tn) +Aw(tn) +H�q(tn) = G�p(tn):

Notons par �KerG lopérateur projection sur le sous espace fermé KerG, et par

(tn) := LA0x(0; !n)+Aw(tn)+H

�q(tn): On en déduit immédiatement que, s� limn!1

(tn)� (0)tn

existe.

De plus, daprès (2.10), pour tout vecteur v 2 KerG; on a :

(�KerG(Ay(tn) + (tn)) j v � y(tn))X = 0:

40

En particulier, pour v := �KerG(Ay(tn) + (tn)) + y(tn);

k�KerG(Ay(tn) + (tn))k2 = 0:

On conclut que :

�KerGAy(tn) = ��KerG( (tn)); ou encore Aj�KerGy(tn) = ��KerG( (tn)) (2.11)

avec Aj�KerG : KerG! KerG tel que

Aj�KerG := �KerG �A � iKerG ;

et iKerG : KerG! X est lopérateur injection.

Comme A := LA00x(0; 0) est symétrique coercif, il en est de même pour la restriction de A sur

KerG donc ~A := Aj�KerG est un opérateur inversible.Doù, daprès (2.11), on a :

y(tn) = � ~A�1�KerG( (tn)) 2 KerG:

Et donc :y(tn)� y(0)

tn= � ~A�1�KerG(

(tn)� (0)tn

):

Sachant que s� limn!1

(tn)� (0)tn

existe, il est immédiat, daprès la continuité des opérateurs

�KerG et ~A�1 (Théorème de Banach), que s� limn!1

y(tn)� y(0)tn

existe.

Doù s� limn!1

x(tn)� x(0)tn

existe (limite de la sous-suite considérée initialement): Il est facil de

montrer que toute sous-suite converge en fait vers la même limite et par conséquent, x(�) admet

une dérivée directionnelle en ! = 0 dans la direction !0 et

_x = s� limn!1

x(tn)� x(0)tn

:

Il reste à montrer que s� limn!1

p(tn)� p(0)tn

existe.

41

Pour cela, comme (x(t); p(t); q(t)) est solution du système (2.8), on a

G�(p(t)� �p

t) = �(LA

0x(0; t!0)� LA0x(0; 0)

t+A(

x(t)� �xt

) (2.12)

+H+�(q+(t)� �q+

t) +Ho�(

qo(t)� �qot

)): (2.13)

Comme chaque terme à droite de légalité (2.12) admet une limite lorsque t! 0+; ainsi

s� limt!0

G�(p(t)� p(0)

t) existe. Lopérateur GG� : E ! E étant un homéomorphisme avec lopé-

rateur G : X ! E continu, il vient (par application de (GG�)�1G) que s� limt!0

p(t)� p(0)t

existe

(mêmes arguments que précédement). Ainsi p(�) admet une dérivée directionnelle en ! = 0 dans

la direction !0 et

_p = s� limt!0

p(t)� p(0)t

:

Il est clair que la fonction de performance est Gâteaux di¤érentiable (dérivée directionnelle

existe pour toute direction). �

Finalement, donnons quelques remarques sur les hypothèses posées dans ce chapitre :

(1) Les fonctions f; g; hi ont besoin dêtres dénies que dans un voisinage de (x; !);

(2) Les fonctions f; g; hi ont besoin dêtres de classe C2 que par rapport à x telle que f; g; hi

et leurs dérivées premières et secondes sont continues au voisinage de (x; !);

(3) Les fonctions f(x; �); g(x; �); hi(x; �) sont lipschitzienne au voisinage de (x; !) (uniformé-

ment par rapport à x).

Enn, notons que la condition du second ordre supposée ici est plus faible que celle supposée par

[36]. En e¤et létude dans [36], on pose lhypothèse suivante (où h+ := (hi)i2fi:hi(x;0)=0;qi>0g) :

9� > 0;9(p; q) 2 E� � Rs+ un multiplicateur de Lagrange associé à x tels que L00x(x; p; q; 0)

soit ��coercif sur Ker

24 g0x(x; 0)h+0x (x; 0)

35 :

v; L00x(x; p; q; 0)v

�X;X�

� � kvk2 8v 2 Ker

24 g0x(x; 0)h+0x (x; 0)

35 :

42

Bibliographie

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48

Deuxième partie

Stabilité de points xes

49

Notations

Soit (Xn)n2N une suite de sous-ensembles non vides dun espace métrique (X; d):

S : ensemble des applications strictement croissantes de N dans N:

(xn) écriture allégée de la suite (xn)n2N:

(xn) �M (abus de notation) : (xn) suite déléments de M où M � X:

�nXn écriture allégée de �n2NXn :

(xn) 2 �nXn signie :

(xn)n2N est une suite dans X telle que xn 2 Xn (8n 2 N).

�nXs(n) écriture allégée de �n2NXs(n) où s 2 S :

(xs(n)) 2 �nXs(n) signie :

(xs(n))n2N est une suite dans X telle que xs(n) 2 Xs(n) (8n 2 N).

lim infXn := fx 2 X : 9(xn)n2N 2 �nXn; xn ! xg :

lim supXn :=�x 2 X : 9s 2 S;9(xs(n))n2N 2 �nXs(n); xs(n) ! x

:

L(X;Y ) : espace des applications linéaires continues dun espace normé (X; k�kX) dans un

espace normé (Y; k�kY ).

k�kL(X;Y ) : norme dans L(X;Y ):

h�; �iX;X� : crochet de dualité entre X et X�:

(� j �)X : produit scalaire sur un espace de Hilbert X:

*: convergence faible dans espace de Banach.

w � lim supXn :=�x 2 X; 9s 2 S;9(xs(n))n2N 2 �nXs(n) : xs(n) * x

:

50

Chapitre 3

Comparaison de quelques notions de

convergence

3.1 Introduction

Lobjet de ce chapitre est double. Dune part, dénir des notions (nouvelles) de convergence

pour les domaines, les fonctions, les graphes, etc, et ce, pour developper dans les chapitres ulté-

rieurs, certains résultats de stabilité pour des problèmes de points xes. Dautre part, détudier

et de comparer ces nouvelles notions ; diverses implications entre-elles ou des comparaisons avec

des notions classiques (telle les convergences simples et uniforme) seront analysées.

Si nous avons choisi de regrouper toutes ces dénitions et propriétés basiques dans un même

chapitre, cest an de pouvoir sy reporter aisément car certaines sont utilisées dans divers

chapitres ultérieurs. Bien sûr, ce choix a pour conséquence de rendre quelque peu techniquece

premier chapitre. Mais un autre avantage sera de ne pas se disperser dans les chapitres principaux

sur des résultats secondaires et de se concentrer sur les principaux résultats concernant la stabilité

de points xes dune suite dapplications.

Précisons quelque peu le cadre dans lequel nous nous plaçons. Nous considérerons une famille

(Xn)n2N[f1gde sous-ensembles non vides dun espace métrique (X; d) : Nous considérerons aussi

une famille dapplications (Tn : Xn ! X)n2N[f1g. Dans les chapitres à venir, nous étudirons

51

principalement la convergence de (xn)n2N vers x1 où chaque xn est un point xe de Tn : xn 2 Xn, Tnxn = xn (n 2 N[f1g). Nous sommes amené à dénir des notions de convergences de la suite

(Tn : Xn ! X)n2N vers T1 : X1 ! X: Bien entendu, la convergence simple et la convergence

uniforme ne sont pas dénies dans ce cadre général, les domaines des applications pouvant varier.

Nous donnons, au § 2, quelques dénitions relatives à une suite dapplications

(Tn : Xn ! X)n2N équicontinue(en un sens généralisé) notée (E), une famille

(Tn : Xn ! X)n2N[f1g dapplications lipschitziennes (resp. contractantes, resp. non-dilatantes)

et nous introduisons quelques notions de convergence notées respectivement (D); (F ); (G) et

(H).

Aux § 3 et § 4, des résultats de comparaison entre les notions de convergence introduites et

les notions classiques (convergence simple, notée (S0), et la convergence uniforme notée (U0))

sont donnés lorsque les domaines de dénition sont égaux. Lorsque la suite (Tn : M ! X)n2Nest équicontinue sur une partie M non vide de X; nous obtenons une équivalence entre (G) et

(S0): Dautre part, lorsque lapplication T1 : M ! X est uniformément continue sur M , nous

établissons une équivalence (H) et (U0): Des contre-exemples sont donnés pour le cas général.

Les questions dunicité lapplication limite relative aux notions introduites sont examinées

aux § 5. Enn, au dernier paragraphe, nous introduisons quelques variantes des notions consi-

dérées aux § 3 et § 4. Nous donnons aussi des propriétés de comparaison entre ces nouvelles

dénitions de convergence.

3.2 Principales notions de convergence considérées

Soient (X; d) un espace métrique, (Xn)n2N[f1g une famille de sous-ensembles non vides de

X et (Tn : Xn �! X)n2N[f1g une famille dapplications. On introduit une notion déquicon-

tinuitéau sens généralisé de la suite (Tn) de la façon suivante :

Dénition 3.1 La suite (Tn)n2N satisfait la condition (E) sur X1 si

(E) 8x 2 X1;8" > 0;9� > 0;8n 2 N;8u; v 2 Xn \B(x; �) : d(Tnu; Tnv) < ":

Remarque 3.1 Lorsque tous les sous-ensembles Xn sont égaux à une partie M non vide de

lespace X; la dénition ci-dessus correspond à la dénition classique de léquicontinuité de

52

(Tn :M ! X)n2N sur M ; car la propriété (E) sécrit alors

(E0)8x 2M;8" > 0;9� > 0;8u 2M \B(x; �) : d(Tnu; Tnx) < " 8n 2 N:

Dénition 3.2 (Tn)n2N[f1g est une famille dapplications lipschitziennes si chaque application

Tn est lipschitzienne, i.e.

8n 2 N [ f1g ;9kn � 0;8(x; y) 2 Xn �Xn : d(Tnx; Tny) � knd(x; y):

Si chaque kn 2 [0; 1[ ; (Tn)n2N[f1gest dite famille dapplications contractantes ou famille de

contractions.

Si chaque kn := k � 0 (resp. kn := k 2 [0; 1[), (Tn)n2N[f1g est dite famille dapplications

k-lipschitziennes (resp. k-contractantes).

Si chaque kn := 1; (Tn)n2N[f1g est appelée famille dapplications non-dilatantes.

Remarque 3.2 Si (Tn)n2N est une suite dapplications kn-lipschitziennes, la suite (kn)n étant

bornée, alors la condition (E) est satisfaite:

Comme déjà remarqué, lorsque les domaines de dénition varient,