Résolutiondeproblèmes,calculetdémarchesd’investigation

MichèleArtigueLDAR,UniversitéParis– Diderot

ESPEdeParis,20novembre2018

Plandel’exposé

• Résolutiondeproblèmes:recherchesetprogrammes• Résolutiondeproblèmesetcalcul• Delarésolutiondeproblèmesauxdémarchesd’investigation

Résolutiondeproblèmes:recherchesetprogrammes

Desréférencesincontournables

GeorgesPolya (1887-1985)

Unevisionheuristique delarésolution deproblèmes

Unprocessus enquatreétapes :1. Comprendre leproblème2. Concevoirunplan3. Mettre leplanàexécution4. Examiner lasolution

Desréférencesincontournables

L’accentmis :• surles limites d’uneapprocheentermes

d’heuristiques générales• surlanon-linéarité duprocessus• surlesdifférencesentrenovices

etexperts

Unemodélisation delarésolutionmettantl’accentsur:• lerôledesressources spécifiques

dudomaine• lamétacognition• lescroyances

Desfeuilles deroutestructurées pourguideretaccompagner larésolution

Lechampderecherchedu« Problem solving »

• Unchampderechercheparticulièrementflorissantdanslesannées80et90.• Unpointdevuedominant:

• ledéveloppement decompétences derésolution deproblèmes commeunobjectifensoi ;

• l’importance accordéeàlarésolution deproblèmes inédits.• unerésolution desproblèmes envisagée aposteriori,pourappliqueretexploiter lessavoirsmathématiques enseignés.

• Malgrécela,uneréellediversitédevisionsdelarésolutiondeproblèmesetdesenjeuxd’apprentissageassociés.

Lechampderecherchedu« Problem solving »

• Unchampderecherchequidevientprogressivementmoinscentral.• Larésolutiondeproblèmesdavantageperçueégalementcommeunmoyendel’apprentissagedesavoirsmathématiques:• delarésolutiondeproblèmesisolésàcelledesériesorganiséesdeproblèmes ;• delarésolutiondeproblèmespourréinvestirlesconceptsettechniquesenseignésàcelledeproblèmespourmotiveretintroduiredenouveauxconcepts.

• Unerecherchequidoitaussisesituerparrapportauxperspectivesouvertesparlestravauxsurlamodélisationpuislesdémarchesd’investigation.• Uneévolutionquiréduitladistanceaveclarecherchedidactiquefrançaisedontlavisiondelarésolutiondeproblèmess’estessentiellementforgéeautourdelathéoriedessituationsdidactiquesetdecelledeschampsconceptuels.

Larésolutiondeproblèmesdanslesprogrammesetl’enseignement• Unegrandeimportanceaujourd’huigénéralementaccordéeàlarésolutiondeproblèmesdanslesprogrammes,maisunevariétéindéniable:• danslesensdonnéaumot« problème »,lescatégorisationsdeproblèmesproposées;

• danslesfonctionsaccordéesàlarésolutiondeproblèmes,etleschoixdeproblèmesassociés;

• danslesapprentissagesassociésàlarésolutiondeproblèmesetleurhiérarchisation;• danslespratiquesd’enseignementassociées.

• Etaussi,trèssouvent,leconstatd’undécalagefortentrelesdiscoursetattentescurriculairesetlaréalitédelarésolutiondeproblèmesdanslequotidiendesclasses.

Larésolutiondeproblèmes:lesprogrammesfrançais• Uneprésencedepuislongtempsattestéedanslesmanuels,avecuneviséed’applicationdessavoirsenseignésàdesproblèmessuggérésparlaviecouranteouprofessionnelle ;desproblèmesessentiellementnumériques,cataloguéscommelestechniquesderésolutionassociées.• Unstatutdéstabiliséparlaréformedesmathématiquesmodernes:rejetdesproblèmestraditionnelsauprofitdeproblèmesvisantlacompréhensiondesnotionsmathématiquesetdeleursrelations.• Apartirdelaréformede1978:

• uneplacecentraleaccordéeàlarésolutiondeproblèmesdansl’apprentissagedesmathématiques;

• ladifférenciationdeleursfonctions(approcheretconstruiredesnotionsettechniques;réinvestir;exercercréativitéetraisonnementdansdessituationsplusouvertesetpluscomplexes);

• l’introductiond’unedimensiond’apprentissageméthodologique.

Larésolutiondeproblèmes:lesprogrammesfrançais

• 1985-1991-1995:pasdechangementsmajeursmalgrél’introductionen1991d’unerubriquespécifiqueRésolutiondeproblèmesquidisparaîtensuite ;lerôlecentraldelarésolutiondeproblèmesdansleprocessusd’apprentissagedèssondébutetlaresponsabilité àydonnerauxélèves,deplusenplusnettementaffirmé.• 2002:disparitiondesprescriptionsméthodologiques;quatrecatégoriesdeproblèmesdistinguées:desproblèmesderechercheavecunedoublefonction(construiredenouvellesconnaissancesouseplacerdansuneposturederecherche),desproblèmesd’applicationetderéinvestissement,desproblèmespourl’utilisationconjointedediversesconnaissancesdansdessituationspluscomplexes.• 2008:desprogrammestrèscourts,peuexplicites,etunrôledesproblèmesmoinsclairetnondifférencié.

Larésolutiondeproblèmes:lesprogrammesactuelsducycle3• Laplacecentralereconnueàlarésolutiondeproblèmesdansl’apprentissage:

Larésolutiondeproblèmesconstituelecritèreprincipaldelamaitrisedesconnaissancesdanstouslesdomainesdesmathématiques,maiselleestégalementlemoyend'enassureruneappropriationquiengarantitlesens.• L’accentmissurlesproblèmesd’origineextra-mathématique:Lessituationssurlesquellesportentlesproblèmessont,leplussouvent,issuesd'autresenseignements,delaviedeclasseoudelaviecourante.Lesélèvesfréquententégalementdesproblèmesissusd'uncontexteinterneauxmathématiques.• Desproblèmesaussipourapprendreàchercheretseconfronteràdessituationsplusouvertes:

Onveilleaussiàproposerauxélèvesdesproblèmespourapprendreàchercherquinesoientpasdirectementreliésàlanotionencoursd'étude,quinecomportentpasforcémentuneseulesolution,quineserésolventpasuniquementavecuneouplusieursopérationsmaisparunraisonnementetdesrecherchespartâtonnements.

Unediversitéterminologiqueauxcontoursflous,descaractérisationsnécessairementrelatives

• Problème/exercice - problèmesroutinier/nonroutinier• Problèmesd’application/de réinvestissement/d’approfondissement• Tâchecomplexe• Problèmeàprised’initiative• Situation-problème• Problèmeouvert- Problèmepourchercher - Situationderecherchepourlaclasse- Narrationderecherche• ……

RésolutiondeproblèmesetcalculL’interactiondialectiqueentrerésolutiondeproblèmesetcalculàpartirdequelquesexemples

Leplusgrandproduit:unproblèmepourchercherVrai,Faux,Onendébat! (INRP)

• OnconsidèreunentierpositifN(parexemple,N=10).• Onledécomposeensommed’entierspositifs(parexemple,10=5+5ou10=5+3+2)• Achaquedécomposition,onassocieleproduitdestermesdeladécomposition(5x5à5+5 ,5x3x2à5+3+2)• Aquelledécompositionestassociéleplusgrandproduit?

Unproblèmequiassocieétroitementraisonnementetcalcul• Unproblèmedontlarésolutionestnaturellementsourcedemultiplescalculs,mobiliseàlafoisdescompositionsetdécompositionsadditivesetmultiplicativessimplesmaisnonlimitéesauxtablesd’additionetdemultiplication.• Uneorganisationdesessaisnumériquesnécessaireàlaprogressiondanslarésolution,etunraisonnementquipermetprogressivementderéduirelespossibilités.• Lapossibilitéderésoudreleproblèmeaveclesseulesressourcesmathématiquesducycle3.• Lapossibilitéd’entrerdansunprocessusdegénéralisationàpartirdelarésolutiondececasparticulier.

Lagénéralisation:uncalculgéométriquepourmontrerqueseuls2,3et4peuventintervenir

• Pourtoutnombresupérieurà4,n-2estsupérieur àn/2.

• Pourtoutnombresupérieurà4,leproduitde2etn-2est doncsupérieur àn,etnnepeutêtreutilisé dansladécomposition additive.

• Uneouverturesurlacomparaisondecroissances

Mêmeaire

Unedécisionàprendredansuncontextedeviequotidienne

Onm’aoffertungrandvaseenformedeprismedroitàbasecarréede25cmdecôtéetde40cmdehautquej’ai installédansl’entrée.Jevoudraisleremplird’eauaux¾.• Jepenseutiliserpourleremplirunebouteilled’eauvidede1,5litres.Ilmefautentre1et2minutespourchaquevoyage.Est-ceraisonnable?• Etsi,pourgagnerdutemps,jeportaislevaseàlacuisinepourleremplir,puisleramenaisdansl’entrée?• Etsilabaseauncôtéde10,15,20,25,30cm,commentvarielevolume?• Etsilevaseestuncylindreaulieud’êtreunprisme ?

Unproblèmedansledomainedesgrandeursetmesuredontlarésolution

• Metenjeudescalculssurdesgrandeursvariéesetnécessitedeschangementsd’unités.• Mobilisel’utilisationdeformulesd’aireetdevolume.• Montrelapertinenceducalculapproché,d’estimationspourrésoudredesproblèmesextra-mathématiques.• Etaboutitàdesrésultatssouventperçuscommecontre-intuitifs.• Illustreaussilapossibilitéetl’intérêtdevariationsautourd’unmêmeproblème,amenantàmobiliserdesnotionsmathématiquesetdestechniquesvariées.

Unexempledetâchecomplexe(http://www.univ-orleans.fr/ires/irem/les-volumes-au-college)

Transmath4e - Nathan2011

Unproblèmepourintroduireunenotion

Cesrectanglesont-ilslamêmeforme?

1

2

3

Unproblème

• Souventintroduitàpartirdephotosavantd’êtreformuléainsi.• Qui,commelasituationbienconnuedupuzzledeGuyBrousseau,permetdedisqualifierunmodèleadditifdelanotiond’agrandissement,maisobéitàuneautrelogique,visantàfaireapparaîtreunediversitédefaçonspertinentesd’approcherlaquestion.• Oùlecalculestunmoyenderésolutionparmid’autrespossiblesetoùinteragissentétroitementgéométrie,grandeursetnombres.• Quis’inscritdansunesuccessiondeproblèmesvisantdesapprentissagesmathématiquesprécis,reliantnotammentagrandissement/réductionetproportionnalité.• Unréinvestissementpossiblepourcomprendreetdifférencier lefonctionnementdegestesdetraitementd’imagesurordinateur.

Résolutiondeproblèmesetdémarchesd’investigation

Unbrefhistorique

Al’origine, desactionsquidébutentdanslesannées90etvisentessentiellementl’enseignement dessciences,notammentàl’écoleprimaire(cf.LamainàlapâteenFrance),l’actiond’académiesdessciencesetdel’IAP(InterAcademy Panel)auprèsdelaCommissioneuropéennequivasetraduireparlefinancementdequelquesprojets(ScienEduc,Pollen,Sinus),puisladécisiondeconfieràMichelRocard,lapréparationd’unrapportavecunpetitgrouped’experts.

LerapportRocard(2007)

• Unconstatdedésaffectionpourlesétudesetcarrièresscientifiquesquimetenpérillacompétitivité économiquedel’Europe.• L’attribution decettedésaffectionpourpartieàdesméthodesd’enseignementdessciencesetdesmathsinadaptées.• Unesolutionàrechercherdanslapromotionetgénéralisationdesdémarchesd’investigationetderésolutiondeproblèmesdansl’enseignement dessciences(respectivementdemathématiques).• Lademanded’unsoutienfortdel’Europeàdetelsprojets(60M€)enrenforçantdesinitiativestellesquePollenetSinus.

Laseconderecommandationdurapport

Lesaméliorations enmatièred’enseignement dessciencesdoivent êtremenéesparlebiaisdel’introduction denouvellesformesdepédagogie.L’introduction d’approches baséessurladémarche d’investigation danslesécoles,lesprogrammes deformation desprofesseursàl’IBSEetledéveloppement deréseauxdeprofesseursdoiventêtreactivementpromusetencouragés.

IBSE:Inquiry Based ScienceEducation

Unediversitédeprojets:www.scientix.eu

www.fibonacci-project.eu

Lavisionlargedel’IBEproposéedansPRIMAS

Valued outcomes• Inquiring minds• Prepared for uncertain future

and life long learning• Understanding of nature of science & math

Teacher guidance• Values and builds upon students’

reasoning/scaffolding• Connects to students’ experience

Type of questions• Open, multiple solution strategies• Experienced as real and/or

scientifically relevant

What students do• Pose questions• Inquire / 5 e’s engage, explore,

explain, extend, evaluate• Collaborate

Classroom culture• Shared sense of purpose / justification• Value mistakes, contributions (Open-minded)• Dialogic• Shared ownership

Essential ingrediens in inquiry based education

Desexemplesdesituations(Primas)

Plusdelaitouplusdecafé?

Lachaisegéante S’approvisionnereneau

Ilenrésulte

• Ungrandnombrederessourcesintéressantesproduitesàlafoispourl’enseignementetpourlaformationdesenseignants;desmodèlesdedisséminationdel’IBEs’attaquantàladifficultéduchangementd’échelle.• Maisdesressourcesquidoiventpouvoir:

• pourl’enseignement, s’adapteràunediversité deconditions curriculaires etconstituent généralement desobjetsrelativement isolés, noninsérés dansdesprogressionsthématiques ;

• pourlaformation,s’adapter àdesconditions deformationcontinueetdéveloppement professionnel desenseignants quirestentsouventencoretrèsinsatisfaisantes.

• Unapportdavantagepourdesactivitésdemodélisation,desactivitésinterdisciplinaires,destâchescomplexes,desprojetscourts,quepourl’inscriptiondelarésolutiondeproblèmesdansdevéritablesprogressionscurriculaires.

Mercipourvotreattention!

Références

• Artigue,M.,&Baptist,P.(2012).Inquiry inMathematics Education.Fibonacci project.https://www.fondation-lamap.org/sites/default/files/upload/media/minisites/action_internationale/inquiry_in_mathematics_education.pdf• Coppé,S.,&Houdement,C.(2009).Résolutiondeproblèmesàl’écoleprimairefrançaise:perspectivescurriculaireetdidactique.ConférenceaucolloqueCOPIRELEM2009.https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00959613• ERMEL(1999). Vrai?Faux?… Onendébat?Paris:INRP• Maaβ,K.,Artigue,M.,Doorman,M.,Krainer,K.,&Ruthven,K.(Eds.)(2013).Implementation ofinquiry-based learning inday-to-dayteaching.ZDM– TheInternational JournalonMathematics Education,45(6).

Références

• Maaβ,K.,&Reitz-Koncebovski (Eds.)(2013).Inquiry-based education inmathsandscienceclasses.PRIMAS.http://www.primas-project.eu• Polya,G.(1945).Howtosolve it (traductionfrançaise:Commentposeretrésoudreunproblème.Paris:EditionsGabay)• Rocard,M.etal.(2007).L’enseignementscientifiqueaujourd’hui:unepédagogierenouveléepourl’avenirdel’Europe.CommissionEuropéenne.• Schoenfeld,A.(1985).Mathematical Problem Solving.Orlando:AcademicPress.• Törner,G.,Schoenfeld,A.,&Reiss,M.C.(Eds.)(2007).Problem Solvingaround theWorld:Summing UptheStateoftheArt.ZDM- TheInternationalJournalonMathematics Education,39(5-6).