Résumé cours de mathématiques - infomaths.cominfomaths.com/ace/livre_chermak.pdf · Résumé cours de mathématiques BTS CGO 2 mai 2012 Saïd Chermak e-classe.com infomaths.com

Résumé cours de mathématiques

BTS CGO

2 mai 2012

Saïd Chermak e-classe.com infomaths.com 2012

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Table des matières

I ALGÈBRE 11

1 NOMBRES 13

1.1 CALCULS NUMÉRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 DIFFÉRENTS SIGNES MATHÉMATIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 OPÉRATIONS dans R 19

2.1 DIVISEURS de NOMBRES ENTIERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 RAPPEL sur les FRACTIONS 33

3.1 PROPORTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 RAPPEL sur les PUISSANCES 43

4.1 PUISSANCES de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 RACINES CARRÉES 49

6 CALCULATRICE 53

6.1 PARENTHÈSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2 SIMPLIFICATION DE FRACTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7 EXPRESSIONS ALGÉBRIQUESMONÔMES - POLYNÔMES 55

7.1 EXPRESSION ALGÉBRIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.2 MONÔMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.3 POLYNÔMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8 DÉVELOPPEMENT ET FACTORISATION 61

8.1 IDENTITÉS REMARQUABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.2 FACTORISATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3Saïd Chermak e-classe.com infomaths.com 2012

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4 TABLE DES MATIÈRES

II ÉQUATIONS - INÉQUATIONS 73

9 GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS 75

9.1 DÉFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.2 RÈGLES DE CALCUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

10 ÉQUATIONS DU 1ER DEGRÉ 79

10.1 RÉSOLUTION ET DISCUSSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

10.2 ÉQUATIONS PRODUITS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

11 RÉSOLUTION D'INÉQUATIONS 87

11.1 ORDRE ET OPÉRATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

11.2 INTERVALLES DE R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

11.3 INÉQUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

11.4 SIGNE DU PREMIER DEGRÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

11.5 INÉQUATIONS ET TABLEAU DE SIGNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

11.6 EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

12 NOTION DE FONCTIONS 99

12.1 NOTION DE FONCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

12.2 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D'UNE FONCTION . . . . . . . . . . . . . . 100

12.3 CALCUL de L'IMAGE et de L'ANTÉCÉDENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

12.4 TABLEAU DE VALEURS D'UNE FONCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

13 FONCTION LINÉAIRE 105

13.1 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE f(x) = ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

14 LES FONCTIONS AFFINES 111

14.1 DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

14.2 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

14.3 PROPORTIONNALITÉ DES ACCROISSEMENTS : . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

14.4 MÊME COEFFICIENT DIRECTEUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

14.5 DROITES REPRÉSENTATIVES PERPENDICULAIRES . . . . . . . . . . . . . . 117

14.6 Signe du binôme a.x + b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

14.7 ÉTUDE DE FONCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

15 SYSTÈMES d'ÉQUATIONS LINÉAIRES 129

15.1 ÉQUATION LINÉAIRE À DEUX INCONNUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

15.2 SYSTÈME DE DEUX ÉQUATIONS LINÉAIRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131


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TABLE DES MATIÈRES 5

15.3 MISE EN ÉQUATION DE PROBLÈMES CONDUISANT À UN SYSTÈMED'ÉQUA-TIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

15.4 EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

16 SYSTÈMES d'INÉQUATIONS LINÉAIRES 13916.1 LES INÉQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

16.2 RÈGLES DE TRANSFORMATION DES INÉQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . 141

16.3 INÉQUATIONS LINÉAIRES À UNE VARIABLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

16.4 INÉQUATIONS LINÉAIRES À DEUX VARIABLES . . . . . . . . . . . . . . . . 143

16.5 LES SYSTÈMES D'INÉQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

16.6 SYSTÈME D'INÉQUATIONS LINÉAIRES À 2 INCONNUES . . . . . . . . . . . 146

16.7 RÉSOLUTION D'UN SYSTÈME D'INÉQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

17 TRINÔME DU SECOND DEGRÉ 15117.1 FONCTION CARRÉE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

17.2 FONCTION f(x) = ax2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

17.3 GÉNÉRALITÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

17.4 FORME CANONIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

17.5 DISCUSSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

17.6 INTERPRÉTATION GRAPHIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

17.7 SOMME ET PRODUIT DES RACINES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

17.8 SIGNE DU TRINÔME DU 2ème DEGRÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

17.9 EXTREMA DU TRINÔME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

18 INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ 17118.1 DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

18.2 MÉTHODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

18.3 EXEMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

III ANALYSE 179

19 GÉNÉRALITÉS sur les FONCTIONS 18119.1 DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

19.2 NOTATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

19.3 ENSEMBLE DE DÉFINITION D'UNE FONCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

19.4 ÉCRITURE DU DOMAINE DE DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

19.5 COURBE REPRÉSENTATIVE DE LA FONCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

19.6 SENS DE VARIATION D'UNE FONCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

19.7 TABLEAU DE VARIATION D'UNE FONCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189


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19.8 EXEMPLES D'ÉTUDE DU SIGNE D'UNE FONCTION . . . . . . . . . . . . . . 191

19.9 RÉSUMÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

20 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE 19520.1 FONCTIONS AFFINES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

20.2 FONCTION CARRÉE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

20.3 FONCTION CUBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

20.4 FONCTION RACINE CARRÉE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

20.5 FONCTION INVERSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

20.6 FONCTION VALEUR ABSOLUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

21 TANGENTE A UNE COURBE 20321.1 INTERPRÉTATION DU COEFFICIENT DIRECTEUR D'UNE DROITE . . . . . 203

21.2 CALCUL DE LA TANGENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

21.3 FONCTION DÉRIVÉE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

22 DÉRIVÉES 21522.1 PRÉSENTATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

22.2 RAPPEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

22.3 FONCTION DÉRIVÉE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

22.4 EXERCICES SUR LES DÉRIVÉES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

23 LIMITES DE FONCTIONS 22723.1 DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

23.2 FORMES INDÉTERMINÉES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

23.3 LIMITES de FONCTIONS de RÉFÉRENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

23.4 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

23.5 INDÉTERMINATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

23.6 NOTIONS d'ASYMPTOTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

24 PRIMITIVES ET INTÉGRALES 23924.1 DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

24.2 TABLEAU des PRIMITIVES USUELLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

24.3 CALCUL INTÉGRAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

25 LOGARITHMES 24925.1 COURS FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

25.2 APPLICATION DE LA DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

25.3 PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

25.4 ÉTUDE DES LIMITES DE LA FONCTION LN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256


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25.5 TABLEAU DE VARIATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

25.6 GRAPHE DE LA FONCTION LN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

26 FONCTION EXPONENTIELLE 261

26.1 INTRODUCTION À LA RÉCIPROCITÉ D'UNE FONCTION . . . . . . . . . . . 261

26.2 DÉFINITION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE. . . . . . . . . . . . . . . . 263

26.3 SENS DE VARIATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

26.4 TABLEAU DE VARIATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

26.5 GRAPHE DE LA FONCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

26.6 LIMITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

IV PROBABILITÉS 273

27 LES PROBABILITÉS ÉLÉMENTAIRES 275

27.1 DÉFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

27.2 VOCABULAIRE DES ÉVÉNEMENTS : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

27.3 CALCUL DES PROBABILITÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

27.4 INTERPRÉTATION de L'ÉNONCÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

28 PROBABILITÉ CONDITIONNELLE 281

28.1 DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

28.2 PROBABILITÉS TOTALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

28.3 ARBRE de PROBABILITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

29 ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS 285

29.1 INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÈNEMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

30 VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE 297

30.1 DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

30.2 ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

30.3 RAPPEL DE STATISTIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

30.4 VARIANCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

30.5 ÉCART TYPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

31 DÉNOMBREMENT 307

31.1 TIRAGE SUCCESSIF AVEC REMISE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

31.2 TIRAGE SUCCESSIF SANS REMISE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

31.3 TIRAGE SIMULTANÉ SANS REMISE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314


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32 LOI BINOMIALE 317

32.1 DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

32.2 EXEMPLE CLASSIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

32.3 RAPPEL de DÉNOMBREMENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

32.4 GÉNÉRALISATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

32.5 RÉDACTION EXERCICE TYPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

33 EXERCICES - LOI BINOMIALE 327

33.1 RAPPEL DE RÉDACTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

33.2 EXERCICE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

33.3 EXERCICE 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

33.4 EXERCICE 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

33.5 EXERCICE 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

34 LOI NORMALE 331

34.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

34.2 ILLUSTRATION de CONTINUITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

34.3 EXEMPLE INTRODUCTIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

34.4 DENSITÉ de PROBABILITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

34.5 DÉFINITION de la DENSITÉ de PROBABILITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

34.6 VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

34.7 LOI NORMALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

34.8 LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

35 OPÉRATIONS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES 343

35.1 OPÉRATIONS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES. . . . . . . . . . . . . . . . 343

35.2 DÉMONSTRATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

36 EXERCICES LOI NORMALE 349

36.1 EXERCICE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

36.2 EXERCICE 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

36.3 EXERCICE 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

36.4 EXERCICE 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

36.5 EXERCICE 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

36.6 EXERCICE 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

36.7 INTERPOLATION AFFINE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

36.8 EXERCICE 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

36.9 EXERCICE 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360


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37 SUITES NUMERIQUES 365

37.1 SUITES ARITHMETIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

37.2 SUITES GEOMETRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

V REVISIONS 377

38 RÉVISIONS 379

38.1 Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

38.2 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

39 REVISIONS 383


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Première partie

ALGÈBRE


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Chapitre 1

NOMBRES

1.1 CALCULS NUMÉRIQUES

Nombres

Il existe plusieurs ensembles de nombres.

L'ensemble des nombres entiers naturels N = 0, 1, 2, ...n

L'ensemble des nombres entiers naturels privés de 0, N* = 1, 2, ..., n

L'ensemble des nombres entiers relatifs Z = ... − 4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, ..., n, c'est l'ensemble desentiers positifs (c'est à dire naturels) et l'ensemble des entiers négatifs.

Donc tous les entiers naturels sont des entiers relatifs. On dit que N ⊂ Z ( lire l'ensemble N estinclus dans l'ensemble Z) .L'ensemble des décimaux D. Un nombre décimal est un nombre à virgule. Les entiers sont desdécimaux particuliers. On peut écrire 3 ou 3,0 ;

L'ensemble des nombres rationnels ou fractionnaires Q est l'ensemble des nombres de la forme ab

où a et b sont des entiers relatifs b 6= 0.

Attention ne pas confondre 13et 0,33. La fraction 1

3est un nombre juste tandis que 0,33 est une

approximation à 0,01 près de 13, par contre le décimal 0,75 est égal au rationnel 3

4.

On a donc N ⊂ Z ⊂ D ⊂ QSe lit : L'ensemble N est inclus dans l'ensemble Z qui est lui même inclus dans l'ensemble D quiest lui même inclus dans l'ensemble Q .

Certains rationnels ne peuvent pas être écrits sous forme décimale. Ils ont une écriture décimaleillimitée.

Par exemple 27

= 0, 285714285714285714...


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14 CHAPITRE 1. NOMBRES

La séquence de chires 285714 se répétant indéniment. On parle aussi de suite périodique dechires de période 285714. La division ne tombant jamais juste va de nouveau donner le mêmereste qui va répéter cette suite de chires indéniment. On peut retrouver le rationnel a dontl'écriture décimale illimitée est 0, 37373737........

En eet 100a = 37 + a, d'où 99a = 37 donc le nombre a = 3799

L'ensemble des nombres à virgule comme√

2, π, ... sont des nombres qu'on ne peut pas mettresous la forme a

bce ne sont pas des rationnels : ce sont des nombres irrationnels.

Autrement dit il n'existe pas de nombre de la forme aboù a et b sont des entiers et tel que a

b=√

2.

On peut le montrer de la façon suivante. Supposons que√

2 soit un rationnel, c'est à dire qu'ilexiste deux entiers a et b premiers entre eux (ils n'admettent que 1 pour diviseur commun) telsque a

b=√

2. On en déduit que (ab)2 = 2 soit a2 = 2b2.

Par conséquent a est un nombre pair car si a avait été impair alors a2 serait également impair. Eneet un nombre impair est de la forme 2n+1 et son carré (2n+ 1)2 = 4n2 + 4n+ 1 serait égalementimpair. Comme a est pair alors on peut poser a = 2n comme a2 alors 4n2 = 2b2 soit b2 = 2n2. Parconséquent b serait également pair car b2 l'est.

Ce résultat est en contradiction avec la supposition que a et b soient premiers entre eux.

Donc il n'existe pas de fraction abtelle que (a

b)2 = 2. On en conclut que

√2 n'est pas un nombre

rationnel mais un irrationnel.


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1.1. CALCULS NUMÉRIQUES 15

Tous ces ensembles constituent l'ensemble des nombres réels R . On en conclut que N ⊂ Z ⊂ D ⊂Q ⊂ R.

Figure 1.1 Les diérents Ensembles

L'ensemble des nombres réels R privés de 0 : R*L'ensemble des nombres réels R privés de 0 et uniquement positifs : R∗+Ci dessous la représentation de la droite numérique ou droite réelle supportant l'ensemble desnombres réels :

Figure 1.2 La droite réelle


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1.2 DIFFÉRENTS SIGNES MATHÉMATIQUES

Voici la liste et la signication des principaux signes.

Signes d'opérations

+ (plus) indique une addition

- (moins) indique une soustraction

x (multiplication). Le signe peut être remplacé par un point ou être sous entendu lorsque lesfacteurs sont représentés par des lettres.Exemple : a.b.c ou abc ou a X b X C. Dans ce polycopié on emploie aussi l'étoile à la placedu signe multiplié X .3 X 7 ou 3 * 7 pour éviter de le confondre avec l'inconnue x.

: (division) Elles sont souvent notées sous forme de fractions a : b ou ab

an (a élevé à la puissance n) n est l'exposant.n√a (racine énième de a) le nombre n représente l'indice de la racine. Quand cet indice est 2, cet

indice est sous entendu.

Signes de relation

= (égal) égalité entre deux quantités.

> (plus grand que) la quantité placée à gauche du signe est plus grande que celle placée à droitedu signe (5 > 3).

< (plus petit que) la quantité placée à gauche du signe est plus petite que celle placée à droite dusigne (2 < 8 ).

≥ supérieur ou égal à

≤ inférieur ou égal à

' sensiblement égal

≡ identique à

6= diérent de

( ) parenthèses. Elles indiquent que les opérations qu'elles renferment doivent être eectuées enpriorité.Ne pas confondre le calcul :2 + 3 X 5 + 4 = 21 avec (2 + 3 ) X (5 + 4) = 45 . Les parenthèses changent l'ordre depriorité.

[ ] les crochets. Pour mettre entre parenthèses une expression déjà entre parenthèses, on se sertde crochets.Exemple : 16 X [15(a - b)].

Les accolades. Pour mettre entre parenthèses une expression déjà entre crochets, on se sertd'accolades.


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1.2. DIFFÉRENTS SIGNES MATHÉMATIQUES 17

Autres signes :

∩ intersection entre deux membres d'une expression

∪ union entre deux membres d'une expression

∈ ( appartient à )

/∈ ( n'appartient pas à )

∀ (quelque soit, pour tout)

∃ (il existe)

⇒ (implique que )

⇔ (équivalent) signe de réciprocité


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Chapitre 2

OPÉRATIONS dans R

Valeur absolue

La valeur absolue d'un réel x, noté |x|, est le nombre réel toujours positif :

égal à x si x > 0 : |+2| = 2

égal à -x si x < 0 : |-2| = - (-2) = 2

Distance de deux nombres

Soit a et b deux réels.

Le nombre b - a est appelé la distance de a à b. On le note d(a,b) ou encore :

|a - b| = |b - a| = d(a,b).

Comme notée au dessus, une distance est toujours positive.

Règle de calculs pour l'addition

Pour additionner deux nombres algébriques (nombres réels) de même signe, on fait la somme desdeux nombres en gardant leur signe commun.

5 + 3 = 8 ; ( - 5) + ( - 10 ) = - 15

On eectue la somme des valeurs absolues de chaque nombre et on garde le signe commun auxdeux nombres.

Pour additionner deux nombres algébriques (nombres réels) de signes opposés, on fait la diérencede leur valeur absolue en gardant le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue.

(+4) + (−10) = −6 ; que l'on écrit couramment :4 + (−10) = −6 ; Le signe + est sous entendudevant un nombre

(+13) + (−2) = 11 ; que l'on écrit couramment :(+13) + (−2) = 11 ; Le signe + est sous entendudevant un nombre

L'absence de signe devant un nombre signie que le nombre est positif (signe +).


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20 CHAPITRE 2. OPÉRATIONS DANS R

Somme de plusieurs nombres

Pour eectuer la somme de plusieurs nombres, on eectue la somme des deux premiers, puis onajoute le troisième au résultat ainsi obtenu, puis le quatrième, etc...

a+ b+ c+ d = [(a+ b) + c] + d

5 + 3 + 8 + 4 = [(5 + 3) + 8] + 4⇔ 5 + 3 + 8 + 4 = (8 + 8) + 4⇔ 16 + 4 = 20

Propriétés de l'addition

commutativité : a+ b = b+ a

associativité : a+ (b+ c) = (a+ b) + c

a+ 0 = 0 + a = a

a+ (−a) = (−a) + a = 0

(−a)est l'opposé de a

Propriétés de la diérence

Dénition : la diérence de deux nombres algébriques a et b est le nombre c qu'il fautajouter à b pour obtenir a .

a− b = c

Dans une égalité on peut faire passer un terme d'un membre à l'autre en changeant son signe.

a− b = c

a = c+ b

Emploi des parenthèses

Lorsqu'une parenthèse est précédée du signe + , on supprime les parenthèses sans rien changera+ (b+ c− e) = a+ b+ c− e5 + (2 + 3− 4) = 5 + 2 + 3− 4

Lorsqu'une parenthèse est précédée du signe - , on supprime les parenthèses en changeant lessignes des facteurs contenus dans les parenthèsesa− (b+ c− e) = a− b− c+ e5− (2 + 3− 4) = 5− 2− 3 + 4


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21

Propriétés de la multiplication

commutativité : a ∗ b = b ∗ aa ∗ 0 = 0 ∗ a = 0

a ∗ 1 = 1 ∗ a = a

a ∗ 1a

= 1a∗ a = 1(a 6= 0). 1

aest l'inverse de a.

associativité : a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ cdistributivité :a ∗ (b+ c) = a ∗ b+ a ∗ c)

Le produit de deux nombres algébriques de même signe est un nombre positif dont la valeur absolueest le produit des valeurs absolues des deux nombres.

(−2) ∗ (−3) = +6;

Le produit de deux nombres algébriques de signes opposés est un nombre négatif dont la valeurabsolue est le produit des valeurs absolues des deux nombres.

(−3) ∗ (+5) = −15

Le produit de plusieurs nombres est égal au produit des valeurs absolues de chaque nombre précédé:

- du signe moins si le nombre de signes moins est impair

- du signe plus si le nombre de signes moins est pair (−1)(+2)(−3)(−4) = −24 ; (−1)(+2)(−3)(+5) =+30


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Tableau des signes

soit le produit des nombres a et b

Figure 2.1: Tableau des signes

Explications On a : a(b+ c) = ab+ ac (1)

Si on considère c comme l'opposé de b alors c = −b et b+ c = 0

l'égalité (1) équivaut à a ∗ 0 = ab+ a(−b)Or a ∗ 0 = 0 donc ab+ a(−b) = 0 (2)

En ajoutant −(ab) aux deux membres de l'égalité (2) on obtient :

ab+ a(−b)− (ab) = −(ab) soit

a(−b) = −(ab)

Exemple : 5 ∗ (−3) = −(5 ∗ 3) = −15

En considérant a comme l'opposé de d alors a = −dL'égalité (2) équivaut à (−d)(−c) + (−d)(c) = 0 ou à (−d)(−c)− (dc) = 0. (3)

En ajoutant dc aux deux membres de l'égalité (3) on obtient (−d)(−c) − (dc) + dc = dc, soit(−d)(−c) = dc

Multiplication d'une somme par un nombre

Pour multiplier une somme par un nombre, il faut multiplier chaque terme de la somme par lenombre.

m(a+ b+ c) = ma+mb+mc

5(2 + 3 + 4) = 10 + 15 + 20 = 45⇔ 5 ∗ 9 = 45

Multiplication d'une somme par une somme

Pour multiplier une somme par une somme, il faut multiplier chaque terme de la première parchaque terme de la seconde :

(a+ b− c)(d+ e) = ad+ ae+ bd+ be− cd− ceChacune des deux sommes est appelée facteur du produit


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Produit nul

Si l'un des deux facteurs d'un produit est nul, le produit est nul.

a ∗ b = 0 si a = 0 ou si b = 0

Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il sut que au moins un des facteurs soit nul.

Règle des signes pour le quotient

Le quotient de deux nombres algébriques est un nombre algébrique dont la valeur absolue est lequotient des valeurs absolues des deux nombres et dont le signe résulte de la règle des signes (RDS- voir Tableau ci dessus).

Le signe du quotient abobéit à la même règle que celle du produit ab

Le quotient de deux nombres a et b se note abou a : b ,

a est le dividende, b le diviseur q le quotient

ab

= q; −14−2

= +7; −126

= −2; 18−6

= −3

IL faut b 6= 0 la division d'un nombre par zéro est impossibleab

= q ⇔ a = bq

si a = 0⇔ ab

= q = 0

Division d'une somme par un nombre

Pour diviser une somme par un nombre, il sut de diviser chaque terme de la somme par ce nombrea+b+cm

= am

+ bm

+ cm

4+8+102

= 42

+ 82

+ 102

= 11

Priorité de la multiplication et de la division

En l'absence de parenthèses, la multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et lasoustraction.

7 + 2 ∗ 3 = 7 + 6 = 13; 5 ∗ 7− 12 = 35− 12 = 23

Attention aux erreurs faites avec la calculatrice !

consultez le chapitre 6 la section 6.1, page 53.


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2.1 DIVISEURS de NOMBRES ENTIERS

INTRODUCTION

Posons la division du nombre 37 par le chire 3. Le nombre 37 est le dividende, le chire 3 est lediviseur et le chire 1 est le reste.

Figure 2.2 division

Considérons la division sans reste de 35 par 7. Le quotient est 5 et le reste est nul. On dit que :

- 35 est un multiple de 7 ou

- 35 est divisible par 7 ou

- 7 est un sous multiple de 35 ou

- 7 est un diviseur de 35.

Un nombre est multiple d'un autre s'il contient cet autre un nombre exact de fois :

Ex : 35 est multiple de 7 car il contient 7 exactement 5 fois.

DÉFINITIONS :

1° DIVISEUR D'UN NOMBRE

- Un nombre est diviseur d'un autre s'il est contenu un nombre exact de fois dans cet autre, c'està dire que le reste est nul.

Ex : 15 est le diviseur de 105 car 15 est contenu 7 fois dans 105.

Ex : 60 a pour diviseur 1,2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

2° PRINCIPES DE DIVISIBILITÉ

- Tout nombre qui en divise plusieurs autres divise leur somme. 7 divise les nombres 21,35, 49. Le chire 7 divise leur somme 105. En eet :

21 = 3 fois 7

35 = 5 fois 7

49 = 7 fois 7

En ajoutant membre à membre, on obtient : 21 + 35 + 49 = 3 fois 7 + 5 fois 7 + 7 fois 7 105 =15 fois 7 ainsi 7 divise 105 puisqu'il est contenu 15 fois dans ce nombre.

- Tout nombre qui en divise un autre divise les multiples de cet autre. 5 divise 15 ; lechire 5 divise 60 soit 4 fois 15 . En eet, 60 est la somme de quatre nombres égaux à 15 : 60 =15 + 15 + 15 + 15


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2.1. DIVISEURS DE NOMBRES ENTIERS 25

Le chire 5 divisant 15, divise les 4 parties de cette somme et, par conséquent, la somme entière60.

- Si un nombre est divisible par un deuxième nombre, il est divisible par les sousmultiples de ce deuxième nombre. 60 est divisé par 15 ; le nombre 15 divise 4 fois 60 ; le chire5 divise 3 fois 15 mais aussi 3 X 4 fois 15 soit 12 X 15 = 60.

De même tout multiple de 4 est un multiple de 2, tout multiple de 9 est un multiplede 3.

- Tout nombre qui en divise deux autres divise leur diérence. 9 divise 99 et 45. Il diviseleur diérence 54. En eet :

99 = 11 fois 9

45 = 5 fois 9

En retranchant membre à membre :

99 - 45 = 11 fois 9 - 5 fois 9

54 = 6 fois 9

CARACTÈRES DE DIVISIBILITÉ

On appelle caractère de divisibilité, une règle permettant de reconnaître, sans eectuer la division,si un nombre est divisible par un autre donné.

- Divisibilité par 2 : Un nombre est divisible par 2 lorsque le chire de ses unités est zéro ou unchire pair. Les chires pairs sont : 2, 4, 6, 8.

Ex : 10 = 2 X 5 ; donc, 2 divise 10 et, par suite, tous les multiples de 10, c'est à dire tous lesnombres terminés par 0.

Ex : Soit le nombre 356, terminé par un chire pair, il est divisible par 2. En eet :

356 = 350 + 6

2 divise 350 qui est terminé par 0, il divise aussi 6 ; divisant 350 et 6, il divise aussi leur somme356.


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- Divisibilité par 5 : Un nombre est divisible par 5 lorsque le chire de ses unités est un zéro ouun 5.Ex : 10 = 5 X 2 ; donc 5 divise 10 et , par suite tous les multiples de 10, c'est à dire tous lesnombres terminés par 0.Ex : 285 terminé par 5 il est divisible par 5. En eet :285 = 280 + 55 divise 280 qui est terminé par 0, il divise aussi 5 ; divisant 280 et 5, il divise aussi leur somme285. 15, 20, 35 , 45, 275, 625 sont divisibles par 5

- Divisibilité par 4 : Un nombre est divisible par 4 lorsque ces derniers chires à droite sont deszéros ou forment un nombre divisible par 4.Ex : 100 = 4 X 25 ; 4 divise 100 donc tous les multiples de 100, c'est à dire tous les nombresterminés par deux zéros.Ex : 1524 : les deux derniers chires forment le nombre 24, divisible par 4. 1524 est divisible par4. En eet :1524 = 1500 + 244 divise 1500 qui est terminé par deux zéros ; il divise 24 ; divisant 1500 et 24 il divise leur somme1524. 300, 1700 , 3200 sont divisibles par 4.

- Divisibilité par 25 : Un nombre est divisible par 25 lorsque ces derniers chires à droite sontdes zéros ou forment un nombre divisible par 25.Ex : 100 = 25 X 4 ; donc 25 divise 100, et par suite, tous les multiples de 100, c'est à dire tous lesnombres terminés par deux zéros.Ex : Soit le nombre 1375, dont les deux derniers chires forment le nombre 75, divisible par 25 ;1375 est divisible par 25. En eet :1375 = 1300 + 7525 divise 1300 qui est terminé par deux zéros ; il divise aussi 75 ; divisant 1300 et 75, il divise leursomme 1375.300, 1700, 3200 sont divisibles par 25.1375 est divisible par 25 parce que 75 est divisible par 25.

- Divisibilité par 3 : Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme des valeurs absolues de seschires est divisible par 3.Ex : 12 est divisible par 3 car la somme : 1 + 2 = 3 est divisible (est un multiple) de 3.Ex : 2934 est divisible par 3 car la somme : 2 + 9 + 3 + 4 = 18 est divisible (est un multiple) de3. 2934 : 3 = 978.

- vi par 9 : Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme des valeurs absolues de ses chiresest divisible par 9.Ex : 27 est divisible par 9 car la somme : 2 + 7 = 9 est divisible (est un multiple) de 9.Ex : 2934 est divisible par 9 car la somme : 2 + 9 + 3 + 4 = 18 est divisible (est un multiple) de9. 2934 : 9 = 326.


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Ex : 364527 est divisible par 9 car la somme : 3 + 6 + 4 + 5+ 2+ 7 = 27 est divisible (est unmultiple) de 364527 : 9 = 40503. On pourrait même dire la somme 27 est divisible par 9 car lasomme 2 + 7 = 9 est divisible par 9 donc 364527 est un multiple de 9.


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Nombre premier : Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactementdeux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette dénitionexclut 1, qui n'a qu'un seul diviseur entier positif ;

Formons un tableau de nombres premiers inférieurs à 100. Écrivons tous les nombres de 1 à 100 etnous supprimerons tous les nombres qui ne sont pas premiers. Les nombres supprimés sont grisés.

Pour cela, nous supprimerons :

- tous les multiples de 2, c'est à dire tous les nombres de 2 en 2 à partir du plus petit qui est 2 X2 = 22 = 4.

- tous les multiples de 3, le plus petit 3 X 2 (multiple de 2) a déjà été grisé. On commence donc à3 X 3 = 32 = 9, et nous supprimerons tous les nombres de 3 en 3.

- tous les multiples de 4. Or cela est déjà fait puisque ces nombres sont multiples de 2. - tous lesmultiples de 5 en commençant à 5 X 5 = 52 = 25, car 5 X 2, 5 X 3, 5 X 4 multiples de 2, 3, 4,sont déjà supprimés.

- tous les multiples de 6, multiples de 2, sont déjà tous supprimés.

- tous les multiples de 7, en commençant à 7 X 7 = 72 = 49, car 7 X 2, 7 X 3, 7 X 4, 7 X 5, 7 X 6multiples de 2, 3, 4, 5, 6, sont déjà supprimés.

- tous les multiples de 8. Or cela est déjà fait puisque ces nombres sont multiples de 2.



- tous les multiples de 11, en commençant à 11 X 11 = 112 = 121 ; mais 121 dépasse 100. Tousles multiples de 11 inférieurs à 100 sont déjà supprimés. Pour la même raison, il ne reste aucunmultiple des nombres supérieurs à 11 ; donc les nombres qui restent sont des nombres premiers.

Figure 2.3 crible d'Ératosthène

Remarque : Le nombre 97, non supprimé dans le tableau est premier car il n'estdivisible que par 1 et par lui-même . Tout nombre qui n'admet aucun diviseurinférieur à un nombre a donné et qui est inférieur à a2 est un nombre premier.


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Reconnaître si un nombre est premier

Pour savoir si un nombre est premier il faut regarder s'il n'est pas divisible par les nombres qui luisont inférieurs en faisant les essais avec les nombres premiers.

Ex : Soit le nombre 127.

Ce nombre n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11, 13. Or 132 = 169 qui est supérieur à 121. Laremarque ci dessus permet de conclure que 127 est un nombre premier.

Règle : On arrêtera les essais au premier nombre dont le carré est supérieur au nombre donné.

Dire que 127 est inférieur à 132 , c'est dire que 127 est inférieur à 13 fois 13, c'est donc dire quele quotient de 127 par 13 est inférieur à 13 donc :

Règle (plus commode)On arrêtera les essais dès que l'on aura trouvé un quotient inférieurau diviseur essayé.

Ex : 173 est il premier ?

Il n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7 , 11. essayons par 13, puis par 17 :

Figure 2.4 recherche du diviseur

En divisant 173 par 17, le quotient 10 est inférieur au diviseur , il est donc inutile de continuer ;173 est un nombre premier.


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Les nombres premiers inférieurs à 1000 sont :

Figure 2.5 Tableau des nombres premiers inférieur à 1000

Décomposition d'un nombre en facteurs premiers :

Cette opération à pour but de remplacer un nombre donné par une multiplication denombre entier.

Exemple : Décomposition de nombre 240 en produit de facteurs premiers :

240 = 2Ö120 (2 est le plus petit nombre premier qui divise le nombre 240)





5 = 5Ö1 (5 est un nombre premier, donc la décomposition est terminée)

alors : 240 = 2Ö2Ö2Ö3Ö5 = 23 Ö 3 Ö 5

Exemple : Décomposition de nombre 1274 en produit de facteurs premiers :

1274 = 2 x 637 (2 est le plus petit nombre premier qui divise le nombre 1274)



13 = 13 x 1 (13 est nombre premier, la décomposition est terminée)

alors 1274 = 2 x 72 x 13


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Pour réaliser pratiquement cette décomposition, on trace un trait vertical à droite du nombre àdécomposer. En appliquant, quand on le peut, les caractères de divisibilité, on cherche le pluspetit diviseur premier du nombre donné. On fait la division et l'on place le quotient trouvé sous lenombre à décomposer. On opère de même sur ce quotient ... ainsi de suite jusqu'à ce que le dernierquotient soit égal à 1.

Figure 2.6 décomposition en facteurs premiers

P.G.C.D.

Le P.G.C.D. (Plus Grand Commun Diviseur) de deux nombres est le produit des facteurs premierscommuns au deux nombres. Ces facteurs premiers étant aectés des exposants les plus petits.1278 = 2 * 32 * 71 276 = 22 * 3 * 23 Exemple : le PGCD de 1278 et 276 noté pgcd(1278 ; 276) =2 * 3 = 6

Nombres premiers entre eux

Deux nombres sont premiers entre eux lorsqu'ils n'ont pas de facteur premier commun, leseul diviseur commun est 1. Exemple : 10 et 27 sont premiers entre eux mais ne sont pas desnombres premiers 10 = 2 X 5 27 = 3 X 3 X 3 On dit que le P.G.C.D. de deux nombres premiersest 1.

P.P.C.M

Le P.P.C.M. (Plus Petit Commun Multiple) de deux nombres est le produit de tous les facteurspremiers (communs ou non) des deux nombres, chacun étant aecté de l'exposant le plus élevéqu'il ait dans l'une ou l'autre des deux compositions.

1278 = 2 * 32 * 71

276 = 22 * 3 * 23

Le P.P.C.M. de 1278 et de 276 = 22 * 32 * 23 * 71 = 58 788


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Exemples : Trouver le P.G.C.D et le P.P.C.M. de : 378, 1764, 630

378 = 2 x 33 x 7

1764 = 22 x 33 x 72

630 = 2 x 32 x 5 x 7

a) P.G.C.D. = 2 * 32 * 7 = 126.

126 est le plus grand nombre contenu à la fois dans 378, 1764, 630. On peut donc écrire : (378 +1764 + 630) = 126 (3 + 14 + 5)

b) P.P.C.M. = 22 * 33 * 5 * 72 = 26 460

26460 est le plus petit nombre contenant à la fois 378, 1764, 630.

26460 = 70 fois 378

26460 = 15 fois 1764

26460 = 42 fois 630

La décomposition en facteur premiers, le P.G.C.D. et le P.P.M.C. seront employés dans la mise enfacteurs de polynômes et dans la simplication des fractions.

Emploi de la calculatrice

consultez le chapitre 6 la section 6.2, page .53


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Chapitre 3

RAPPEL sur les FRACTIONS

Dénitions

Divisons deux nombres entre eux, sans eectuer l'opération de division. C'est un quotient. Cecise représente par ce que l'on appelle une fraction, qui est formée des deux nombres écrits l'un audessus de l'autre et séparés par un trait. Le nombre du dessus s'appelle le numérateur, celui dudessous, le dénominateur qui ne doit jamais être nul.

Une fraction est une ou plusieurs parties de l'unité divisée en un de nombre de parties égales.

Exemple : 37;

L'unité à été divisée en 7 parties égales, et 3 parties on été choisies.

Quand le numérateur égale le dénominateur la fraction à pour valeur l'unité.

Exemple : 44

= 1

Comparaisons de deux fractions

1. Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grandnumérateur.Exemple : 5

11et 3

11. La plus grande est 5

11, on écrira donc 5

11> 3

11

2. Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit déno-minateur.Exemple : 11

5et 11

3. La plus grande est 11

3, on écrira donc 11

3> 11

5

3. Quand les deux exemples ci-dessus ne peuvent s'appliquer, pour comparer des fractions ilfaut soit :- les réduire au même dénominateur,- les transformer en nombres décimaux en eectuant la division.


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34 CHAPITRE 3. RAPPEL SUR LES FRACTIONS

Inverse d'un nombre, d'une fraction

si a 6= 0 l'inverse de a : 1aet a x 1

a= 1

L'inverse d'une fraction est la fraction obtenue en intervertissant numérateur et dénominateur.Les fractions 3

8et 8

3sont inverses.

Additions, soustractions de fractions au même dénominateur : ab

+ cb

= a+cb

73

+ 13

= 83; 3

7+ 9

7= 12

7ab− c

b= a−c

b; 7

3− 1

3= 6

3; 9

7− 3

7= 9−3

7= 6

7

Transformations de fractions

(ici l'étoile représente le signe de la multiplication)- Lorsqu'on multiplie le numérateur d'une fraction par 2, 3, 4, ..., n, on rend cette fraction 2, 3, 4,..., n fois plus grande.Exemple : 1

2∗ 3 = 1∗3

2= 3

2

- Lorsqu'on divise le numérateur d'une fraction par 2, 3, 4, ..., n, on rend cette fraction 2, 3, 4, ...,n fois plus petite.Exemple : 9

12: 3 = 9:3

12= 3

12

- Lorsqu'on multiple le dénominateur d'une fraction par 2, 3, 4, ..., n, on rend cette fraction 2, 3,4, ..., n, plus petiteExemple : 9

12> 9

12∗3- Lorsqu'on divise le dénominateur d'une fraction par 2, 3, 4, ..., n, on rend cette fraction 2, 3, 4,..., n, plus grandeExemple : 9

12< 9

12:3; car 9

12< 9

4

On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant ou en divisant ses deux termes par unmême nombre, en eet si on multiplie le numérateur par n la fraction devient n fois plusgrande et si on multiplie le dénominateur par n la fraction devient n fois plus petite.Finallement la fraction conserve toujours la même valeur.ab

= a∗nb∗n avec b 6= 0

Simplication de fractions

Simplier une fraction c'est la remplacer par une fraction égale ayant des termes les plus petitspossibles.Pour simplier une fraction, il sut de diviser numérateur et dénominateur par un de leur commundiviseur commun.Exemple : 1278

276= 639∗2

138∗2 = 639138

Fraction irréductible

Pour rendre une fraction irréductible il sut de diviser numérateur et dénominateur par leurP.G.C.D.


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35

Elle est irréductible quand on ne peut plus la simplier.

Exemple : 1278276

= 1278:6276:6

= 21346

;

2910648510

= 29106:970248510:9702

= 35

29106 = 2 ∗ 33 ∗ 72 ∗ 11

48510 = 2 ∗ 32 ∗ 5 ∗ 72 ∗ 11P.G.C.D. = 2 ∗ 32 ∗ 72 ∗ 11 = 9702

voir rubrique décomposition en facteur premier 2.1 page 31

On peut simplier une fraction que si le numérateur et dénominateur sont des produits.

Exemple : 12+1848−27

diérent de 1+23+4

obtenu en simpliant 12 et 48 par 12, 18 et 27 par 9 !

On doit eectuer les opérations au numérateur, puis celles au dénominateur, et éventuellementsimplier le résultat.12+1848−27

= 3021

= 107

Réduction au même dénominateur :

Réduire les fractions au même dénominateur, c'est chercher des fractions respectivement égalesaux premières et qui aient toutes le même dénominateur. Cette réduction ne peut se faire de façonsimple qu'en partant de fractions rendues irréductibles par simplication.

1° Forme littérale :

le facteur commun est le produit des dénominateurs.

Exemple : Additions de fractions avec un dénominateur diérent :ab

+ cd.

Le numérateur et le dénominateur de la 1ère fraction est multiplié par le dénominateur de ladeuxième et le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction est multiplié par le dénominateurde la première fraction. On obtient donc :ab

+ cd

= adbd

+ bcbd

= ad+bcbd

;


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2° Forme numérique :

le dénominateur commun est le P.P.C.M. des dénominateurs : 1315; 718

15 = 3 ∗ 5 ; 18 = 2 ∗ 32 ;

ppcm(15 ; 18 ) = 2 ∗ 32 ∗ 5 = 90

Ces fractions deviennent : 13∗615∗6 = 78

90; 7∗5

18∗5 = 3590

23

+ 85

= 2∗53∗5 + 8∗3

5∗3 = 10+2715

= 3415

Attention avant d'eectuer un calcul il faut simplier les fractions :

218− 3

12+ 5

2; ici 3

12est simpliable car le numérateur et le dénominateur peuvent être divisés par 3.

218− 3

12+ 5

2= 21

8− 1

4+ 5

2. Maintenant il faut voir que le dénominateur commun est 8.

218− 3

12+ 5

2= 21

8− 1∗2

4∗2 + 5∗42∗4 = 21−20+20

8= 39

8

Multiplication de fractions

Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on multiplie le numérateur de la fraction parle nombre sans changer le dénominateur.

3 ∗ 75

= 3∗75

= 215

Pour multiplier une fraction par une fraction ou pour prendre la fraction d'une fraction, on multipleles numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

ab∗ cd

= acbd

72∗ 5

3= 35

6

Divisions de fractions

pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première par l'inverse de la seconde :

ab

: cd

= ab∗ dc

= adbc

75

: 6 = 75

: 61

= 75∗ 1

6= 7

3025

: 37

= 25∗ 7

3= 14

15ab

c=

abc1

= ab∗ 1c

= abc;

73

2=

7321

= 73∗ 1

2= 7

6

ab∗ x = ax

b

Prenons les 35de 300¿ : 3

5∗ 300 = 3∗300

5= 3∗5∗60

5= 3 ∗ 60 = 180¿


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37

Simplier les expressions suivantes

a) 2− 13

+ 37;

on réduit au même dénominateur , on obtient :

2∗2121− 1∗7

3∗7 + 3∗37∗3 = 42−7+9

21= 44

21

b) 1+ 14

23

on réduit le numérateur au même dénominateur et on eectue la division :

1+ 14

23

=5423

= 54∗ 3

2= 15

8

c) 16− 3

(45

+ 3)

à l'intérieur de la parenthèse on réduit au même numérateur et on eectue la multiplication :

16− 3(4

5+ 3) = 1

6− 3(4

5+ 3

1) = 1

6− 3(4

5+ 3∗5

1∗5) = 16− 3(19

5)

16− 3

(195

)= 1

6− 3

1∗ 19

5= 1

6− 3∗19

1∗5 = 16− 57

5= 1∗5

6∗5 −57∗65∗6 = 5−342

30= −337

30

d) x−23

+ 2x+32

on réduit au même numérateur et on eectue l'addition :

x−23

+ 2x+32

= 2x−46

+ 6x+96

= 2x−4+6x+96

= 8x+56

Remarques :

Que la fraction soit purement numérique ou algébrique il faut veiller au signe - (moins) devant unefraction ; en général lors du calcul le signe est aecté au numérateur de la fraction qui comportesouvent des calculs (addition, soustraction, multiplication ...) , il faut alors placer les parenthèsespour englober ces calculs :

Ex : −x+5−3∗28

= −(x+5−3∗2)8

= −x−5+3∗28

ne pas confondre : −x+82

et −x+82

l'écriture n'est pas équivalente, attention à la place du signe - !


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Exercice de synthèse

des sections P.G.C.D. P.P.M.C. et simplications, réduction au même dénominateur et multiplica-tion et divisions de fractions

Eectuer l'opération :(

1872

+ 4563− 83

115

): 2

7

Il faut simplier chaque fraction avant de réduire au même dénominateur.

18 = 2 ∗ 9 = 21 ∗ 32

72 = 2 ∗ 36 = 2 ∗ 2 ∗ 18 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 9 = 23 ∗ 32

45 = 9 ∗ 5 = 32 ∗ 5

63 = 9 ∗ 7 = 32 ∗ 7

83 = 83

115 = 5 ∗ 23(1872

+ 4563− 83

115

): 2

7=(

2∗3223∗32 + 32∗5

32∗7 −83115

): 2

7=(

14

+ 57− 83

115

): 2

7

P.P.C.M (4; 7; 115) = 22 ∗ 7 ∗ 5 ∗ 23 = 3220

(14

+ 57− 83

115

): 2

7=[

1(5∗7∗23)4(5∗7∗23)

+ 5(22∗5∗23)7(22∗5∗23)

− 83(22∗7)115(22∗7

]: 2

7= 781

3220: 2

7

7813220

: 27

= 11∗7122∗5∗7∗23

: 27

= 11∗7122∗5∗7∗23

∗ 72

= 11∗7122∗5∗23

= 781920

EMPLOI DE LA CALCULATRICE

consultez le chapitre 6 la section 6.2, page 53.


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3.1. PROPORTIONS 39

3.1 PROPORTIONS

On appelle proportion l' égalité de deux rapports :

Exemples : ab

= cd; 1

2= 3

6; 2

5= 40

100

a, b, c, d sont les termes de la proportion ; a et d sont les termes extrêmes , b et c lestermes moyensComme l'on ne change pas la valeur d'une fraction si on multiplie le numérateur et le dénominateurpar un même nombre, on peut écrire :ab

= cd

ab

= adbd

et cd

= bcbd

soit adbd

= bcbd

Les dénominateurs étant semblables, l'égalité de ce dernier rapport implique : ad = bc

Propriété 1

Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, encoreappelé produit en croix.Exemples : 1

2= 3

6⇒ 1 ∗ 6 = 2 ∗ 3 ; 2

5= 40

100⇒ 2 ∗ 100 = 5 ∗ 40

Propriété 2

Le produit de deux nombres étant indépendant de leur ordre, on peut écrire :

2 ∗ 100 = 5 ∗ 40⇒ 100 ∗ 2 = 40 ∗ 5

ce qui revient à changer de place les termes extrêmes entre eux et les termes moyens entre eux.25

= 40100⇒ 100

40= 5

2

Étant donné une proportion, on obtient de nouvelles proportions : en permutant les moyens : 1

2= 3

6⇒ 1

3= 2

6;

en permutant les extrêmes : 12

= 36⇒ 6

3= 2

1;

en permutant à la fois les extrêmes et les moyens : 12

= 36⇒ 6

2= 3

1;

Propriété 3

Soit la proportion ab

= cd. Ajoutons 1 aux deux membres, on obtient :

ab

+ 1 = cd

+ 1⇒ ab

+ bb

= cd

+ ddc'est à dire

a+ b

b=c+ d

d

Étant donné une proportion, on obtient une nouvelle proportion en ajoutant au nu-mérateur de chaque quotient le dénominateur correspondantExemple : 1

2= 3

6⇒ 1+2

2= 3+6

6

D'après la propriété 2 on peut écrire : ba+b

= dc+d

exemple : 12

= 36⇒ 1+2

2= 3+6

6


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Propriété 4

Soit la proportion ab

= cd

Soustrayons 1 aux deux membres, on obtient :ab− 1 = c

d− 1⇒ a−b

b= c−d

dc'est à dire :

a− bb

=c− dd

Étant donné une proportion, on obtient une nouvelle proportion en ajoutant au nu-mérateur de chaque quotient le dénominateur correspondant.

Exemple : ab− 1 = c

d− 1⇒ 1−2

2= 3−6

6soit −1

2= −3

6

D'après la propriété 2 on peut écrire : ba−b = d

c−d

Exemple : 12

= 36⇒ 1−2

2= 3−6

6⇒ 2

1−2= 6

3−6

Propriété 5

Considérons une suite de rapport :21

= 42

= 63

= 84. Ces quotients exacts sont tous égaux à : 2

Soit une suite de rapports égaux : ab

= cd

= ef

= gh

= q ; On peut écrire :ab

= q ⇔ a = bq (1)cd

= q ⇔ c = dq (2)ef

= q ⇔ e = fq (3)gh

= q ⇔ g = hq (4)

En ajoutant membre à membre les égalités (1), (2), (3), (4) on obtient :

a+ c+ e+ g = bq + dq + fq + hq

a+ c+ e+ g = q(b+ d+ f + h) donc a+c+e+gb+d+f+h

= q

mais comme ab

= cd

= ef

= gh

= q

q est la valeur commune des rapports donc on peut écrire :

a

b=c

d=e

f=g

h=a+ c+ e+ g

b+ d+ f + h

Lorque l'on a une suite de rapports égaux, la somme des numérateurs et la sommedes dénominateurs forment un nouveau rapport égal à chacun des premiers rapports.

Remarque : 21

= 42

= 63

= 84

= 2+4+6+81+2+3+4

= 2010

= 2 n'est pas égal à la somme de chaque rapport, c'estun nouveau rapport égal à chaque rapport .


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3.1. PROPORTIONS 41

TRANSFORMATIONS DANS UNE PROPORTION

Comme l'on ne change pas la valeur d'une fraction si on multiplie le numérateur et le dénominateurpar un même nombre, on peut écrire :

a

b=c

d=ma

mb=nc

nd=ma+ nc

mb+ nd=ma− ncmb− nd

m et n pouvant être des réels quelconques.

APPLICATION 1

Calculer deux nombres x et y connaissant leur somme 60 et leur rapport 3

Nous avons : x+ y = 60 ; xy

= 3 ; ou xy

= 31

Permutons les moyens dans la proportion : x3

= y1. On peut écrire :

x3

= y1

= x+y3+1

= 604

= 15 d'oùx = 15 ∗ 3 = 45

y = 15 ∗ 1 = 15

APPLICATION 2

Un ls à 28 ans de moins que son père. Trouver l'âge de chacun sachant que le rapport des âgesest de 3

10.

Soit x l'âge du père et y celui du ls , nous obtenons :

x− y = 28 ; yx

= 310

Permutons les extrêmes dans la proportion : 10x

= 3y. On peut écrire :

10x

= 3y

= 10−3x−y = 7

28= 1

4d'où

10x

= 14⇔ x = 10 ∗ 4 = 40

3y

= 14⇔ y = 3 ∗ 4 = 12

APPLICATION 3

Utilisons la transformation dans une proportion pour écrire une fonction homographique particu-lière.52

= 5∗32∗3 = 5x

2x= 5x−15

2x−6

Ces fonctions seront étudiées ultérieurement.


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Chapitre 4

RAPPEL sur les PUISSANCES

Dénition :

On appelle puissance nieme d'un nombre algébrique a le produit de n facteurs égaux à a :

an = a ∗ a ∗ a ∗ ... ∗ a n fois

54 = 5 ∗ 5 ∗ 5 ∗ 5 = 625

Remarques :

Le produit de deux facteurs égaux à a s'énonce : a puissance deux ou a au carré et s'écrit: a2

Le produit de trois facteurs égaux à a s'énonce : a puissance trois ou a au cube et s'écrit :a3

Signe de an

si a est positif anest toujours positif : 53 = 125 si a est nul anest toujours nul : 03 = 0 si a est négatif :anest positif si n est pair: (−5)2 = 25anest négatif si n est impair: (−5)3 = −125

Ne pas confondre (−5)2 = 25 et - 52 = −25

Posons a 6= 0 alors a0 = 1 ; 20 = 1

N'importe quel nombre élevé à la puissance 0 est égal à 1.

N'importe quel nombre élevé à la puissance 1 est égal à lui même

Produit de Puissances

Le produit de puissance d'un même nombre est une puissance de ce nombre qui a pour exposantla somme des exposants


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44 CHAPITRE 4. RAPPEL SUR LES PUISSANCES

an ∗ am ∗ ap = an+m+p; 23 ∗ 27 = 210

NB : an ∗ a−n = an−n = a0

dont nous connaîtrons la valeur au paragraphe quotient de deux puissances

Puissances de Puissances

La puissance d'une puissance d'un nombre est une puissance de ce nombre qui a pour exposant leproduit des deux exposants

(an)m = an∗m ; (43)2 = 43 ∗ 43 = 43∗2 = 46 ; (52)3

= 52 ∗ 52 ∗ 52 = 52+2+2 = 56 = 52∗3

Puissances de produit

La puissance niemed'un produit de facteurs est égale au produit des puissances niemesde chacun desfacteurs

(ab)n = (ab) ∗ (ab) ∗ ..(nfois) = anbn

(abc)3 = a3b3c3

(2 ∗ 3)2 = 22 ∗ 32 = 4 ∗ 9 = 36

Puissances de quotient

La puissance niemed'une fraction est une fraction qui a pour numérateur la puissance niemesdunumérateur et pour dénominateur la puissance niemes du dénominateur de la fraction(ab

)n= a∗a∗a∗...n.fois

b∗b∗b∗...n.fois = an

bn

(72)3 = 73

23= 343

8

Quotient de deux puissances d'un même nombre

Le quotient de deux puissances d'un même nombre est égal à la puissance de ce nombre qui a pourexposant l'exposant du numérateur moins l'exposant du dénominateur.am

ap= am−p Quel que soit (∀) m et p car

am

ap= am+p−p

ap= am−p∗ap

ap= am−p de même

am

ap= am

ap+m−m= am

ap−m∗am = 1ap−m

d'oùam

ap== am−p = 1

ap−m= 1

a−(m−p)

Puissance nulle

Nous avons déjà écrit : a0 . Dans la dernière formule remplaçons p par mam

am= am−m = a0 mais comme am

am= 1 alors a0 = 1


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4.1. PUISSANCES DE 10 45

Inverse de la puissance nieme d'un nombre

L'inverse de la puissance niemed'un nombre est égal à la puissance de ce nombre qui a pour exposantl'opposé den.1an

= a−n car 1an

= a0

an= a0−n = a−n

Exemples : a1 ∗ a−1 = a1−1 = a0 = 1⇒ a−1 = 1a1

= 1a

an+(−n) = 1 ; an ∗ a−n = 1⇒ a−n = 1an

10−3 = 1103

= 0, 001 ; 10−1 = 1101

= 0, 1 ; 2−1 = 121

= 0, 5 ; 2−2 = 122

= 14

an

am= an ∗ a−m = an−m; 27

23= 27−3 = 24 en eet 2∗2∗2∗2∗2∗2∗2

2∗2∗2∗ = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = 24!34

37= 34−7 = 3−3 = 1

33

a1 = a; 21 = 2

a2 = a ∗ a;an = a ∗ a ∗ a....(n fois a avec n > 2) ;

32 = 3 ∗ 3 = 9; 25 = 32 ; 24 = 16; 104 = 10 ∗ 10 ∗ 10 ∗ 10 = 10000

10n = 10 ∗ 10 ∗ ....( n fois 10) = 1 suivi de n zéros

4.1 PUISSANCES de 10

Elles sont extrêmement importantes, elles permettent : une écriture plus condensée d'éviter les erreurs de mettre tous les nombres sous la forme d'un produit d'un nombre compris entre 1 et 10 etd'une puissance de 10exemple : 2590000 = 2, 59 ∗ 106 ; 100 = 1; 101 = 10; 102 = 100; 103 = 1000...

On remarque que l'exposant est égal au nombre de zéros qui suivent le chire 1 donc 10n = 1 suivide n zéros !

1012 = 1000000000000

10−1 = 0, 1; 10−2 = 0, 01; 10−3 = 0, 001

Dans ce dernier cas nous dirons que le chire 1 est au 3ème rang après la virgule ou qu'il estprécédé de 3 zéros !

10−n = 0, 00....01

Dans ce dernier cas nous dirons que le chire 1 est au n ième rang après la virgule ou qu'il estprécédé de n zéros !

- Multiplier un nombre par 10n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la droite : 12, 45 ∗104 = 124500

- Multiplier un nombre par 10−n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la gauche :32, 7 ∗ 10−3 = 0, 0327


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Notation scientique

Écrire un nombre en notation scientique c'est faire le produit d'un chire (non nul à droite de lavirgule) compris entre 0 et 9 par une puissance de 10 !

soit : 0 < a 9 , a * 10n est une écriture scientique.

0, 756 = 7, 56 ∗ 10−1; 357, 24 = 3, 5724 ∗ 102

Ordre de Priorités de Calcul

Il faut commencer les calculs qui comportent des parenthèses. Celles ci indiquent qu'il faut eectueren premier le calcul entre parenthèses.

En l'absence de parenthèses, on eectue les calculs en commençant par ordre de priorité :

- puissances

- multiplication, division

- addition, soustraction

Exemple :

3 ∗ 7− 5 ∗ 22 + 1 = 21− 5 ∗ 4 + 1 = 21− 20 + 1 = 2

A= 3− 5+11−3

Ici le trait de fraction se comporte comme une parenthèse le calcul revient à :

A = 3−[

(5+1)(1−3)

]= 3− 6

−2= 3− (−3) = 3 + 3 = 6


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4.1. PUISSANCES DE 10 47

Soit l'expression : x−23− 2x+3

2

on réduit au même numérateur et on eectue la soustraction, ici le trait de fraction se comportecomme une parenthèse :x−2

3− 2x+3

2= 2x−4

6− 6x+9

6= 2x−4−(6x−9)

6= 2x−4−6x−9

6= −4x−13

6

Soit à eectuer le calcul suivant : 1− 32

13

+ 56

Il faut d'abord eectuer le calcul du numérateur puis du dénominateur et enn eectuer la division.1− 3

213

+ 56

=2−32

2+56

=−1276

= −12∗ 6

7= −6

14= −3

7

CALCUL LITTERAL

L'opposé de : a est -a. La valeur absolue est inchangée seul le signe change :

- s'il était +, il devient -

- s'il était -, il devient +

L'opposé de : (3− a) devient −(3− a) = −3 + a

L'opposé de : (−5− a) devient −(−5− a) = 5 + a

L'opposé de : (a+ 1) devient −(a+ 1) = −a− 1

Quand on a une succession de parenthèses, il faut commencer les calculs par la parenthèse la plusintérieure. Les crochets remplissent le même rôle que les parenthèses :

[−(x+ 2)− (−1 + (1 + 5))] on commence par la parenthèse (1 + 5)

[−(x+2)−(−1+6)] puis on eectue les opérations en supprimant les parenthèses puis les crochets.[−x− 2 + 1− 6] = −x− 7

Exemple :

A = −3− [3 + (7a− 5b+ 4)] + [−6− (3a− b)− 2]. On commence le calcul par les parenthèses lesplus intérieures.

A = −3− [3 + 7a− 5b+ 4] + [−6− 3a+ b− 2]

A = −3− (7a− 5b+ 7) + (−3a+ b− 8)

A = −3− 7a+ 5b− 7− 3a+ b− 8 = −10a+ 6b− 18


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Chapitre 5

RACINES CARRÉES

Rappel :n√x indique une racine à extraire. Le nombre n indique l'indice de la racine. Quand cet indice

est deux, on le sous-entend : 2√

16 s'écrit plus simplement√

16.

RACINES CARRÉES DES NOMBRES ARITHMÉTIQUES

Soit A un nombre positif (ou arithmétique) donné. On appelle racine carrée de A le nombrepositif a dont le carré est égal à A

a =√A⇔ a2 = A

Tout nombre positif admet une racine carrée unique.

exemple :√

169 = 13

RACINES CARRÉES DES NOMBRES ALGÉBRIQUES

Soit A un nombre algébrique donné. On appelle racine carrée de A le nombre positif a dontle carré est égal à A

a =√A⇔ a2 = A√

4 = 2 ;√

9 = 3

Soit a un nombre réel positif a ≥ 0√a est le nombre réel positif tel que (

√a)2 = a

La racine carré d'un nombre négatif n'existe pas : il n'existe, par exemple, aucun nombre dont lecarré soit égal à (−9)√

9 =√

32 = 3√(−3)2 = 3√a2 = |a| ∀a (quelque soit a )

Si on élève au carré deux nombres opposés, on obtient un même résultat positif

(+7)2 = (−7)2 = 49

Nous écrirons :


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50 CHAPITRE 5. RACINES CARRÉES

√49 = +7 et

√49 = −7

Résoudre :

a2 = 25⇔√a2 =

√25⇔ |a| = 5 soit a = 5 ou a = −5

Nous aurions pu aussi écrire (introduction à la rubrique suivante) :

a2 − 25 = 0⇔ (a− 5)(a+ 5) = 0

Le produit est nul si un des facteurs est nul, donc :

- soit (a− 5) = 0⇔ a = 5 ou

- soit (a+ 5) = 0⇔ a = −5

Règles :

- La racine carrée d'un produit de facteurs est égale qu produit des racines carrées de chaquefacteur.√a ∗√b ∗√c =√abc

2√

75−7√

50 =2√

3 ∗ 25−7√

2 ∗ 25 = (2∗√

3∗√

25)−(7∗√

2∗√

25) = (2∗√

3∗5)−(7∗√

2∗5) =

10√

3− 35√

2√

48 =√

16 x 3 =√

16 x√

3 = 4√

3

Attention, ne pas commettre l'erreur suivante :√a2 + b2 =

√a2 +

√b2= a+ b qui est erroné ! car

√(a2 + 2ab+ b2) =

√(a+ b)2 = |a+ b| = a+ b

si a et b sont positifs !

(√

32 + 42 6=√

32 +√

42 = 3 + 4 = 7) car (√

32 + 42 =√

25 = 5)

- La racine carrée d'un quotient de deux nombres est égal au quotient des racines de ces nombres√ab

=√a√b√

34

=√

3√4

=√

32;√

14

=√

1√4

= 12

- Rendre rationnel le dénominateur d'une fraction

Le dénominateur ou le numérateur d'une fraction est rationnel s'il ne contient pas de radical : a) le dénominateur se présente sous la forme d'un seul radical :dans ce cas on multiple le numérateur et le dénominateur par ce radical

a√b

= a∗√b√

b∗√b

= a√b

b√

2√3

=√

2∗√

3√3∗√

3=√

63

Chassons le radical de la fraction suivante :√

23√

5√

23√

5=√

2∗√

53√

5∗√

5=√

1010


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51

b) le dénominateur se présente sous la forme (a+√b)

dans ce cas on multiplie numérateur et dénominateur par (a−√b) qui est appelée l'expression

conjuguée de (a+√b)

Soit la fraction : 1√2−1

. Pour enlever le radical du dénominateur, il sut de multiplier le numérateur

et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur à savoir (√

2 + 1) :1√2−1

= 1(√

2+1)

(√

2−1)(√

2+1)=√

2+12−1

=√

2 + 1.

Le dénominateur est de la forme (a− b)(a+ b).

Exemple : 215−√

2= 21(5+

√2)

(5−√

2)(5+√

2)= 105+21

√2

25+5√

2−5√

2−√

2√

2= 105+21

√2

23

- PUISSANCE 12

Soit à calculer A12 .Élevons ce terme au carré.

(A12 )2 = A

22 = A La racine carrée de A se note :

√A = A

12

GÉNÉRALISATION DE LA NOTION DE PUISSANCE

De même que√A = A

12nous pouvons écrire n

√A = A

1n

ainsi que la formule généralisée extrêmement importante : n√Ap = A

pn

Les radicaux se traitent donc comme des puissances, en utilisant les mêmes règles de calcul.Exemples :

Démontrer√ABC =

√a ∗√b ∗√c

√ABC = (ABC)

12 = A

12 xB

12 xC

12 ⇔

√ABC =

√A x√B x√C

Calculern√Apm√Bq

n√Apm√Bq = A

pn

Bqm

Calculern√Apm√Bq

n√Apm√Aq = A

pn

Aqm

= Apn− qm = A

pm−qnmn

CAS PARTICULIER DES RACINES PAIRES ET IMPAIRES

Une racine est paire si son indice est pair : (2n).Une racine est impaire si son indice est impair : (2n+ 1). Seuls les nombres positifs ont des racines paires : 2n

√+A existe

Exemple : 4√

81 = +3 Les nombres négatifs n'ont pas de racine paire : 2n

√−A n'existe pas

Les nombres positifs et négatifs ont des racines impaires : (2n+1)√

+A et (2n+1)√−A existent

Exemple : 3√

27 = +3 ; 3√−27 = −3


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52 CHAPITRE 5. RACINES CARRÉES


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Chapitre 6

CALCULATRICE

6.1 PARENTHÈSES

Attention aux erreurs faites avec la calculatrice !

soit l'opération à eectuer : 7+53

, si à la calculatrice vous tapez la séquence suivante : 7 + 5 : 3alors vous faites une erreur car en réalité vous divisez 5 par 3 et vous ajoutez 5 car la division estprioritaire sur l'addition.

Pour obtenir le bon résultat vous devez employer les parenthèses pour indiquer que la somme estprioritaire : (7 + 5 ) : 3 pour indiquer à la calculatrice que la somme 7 + 5 soit être divisée par 3 !

6.2 SIMPLIFICATION DE FRACTION

En fait les calculatrices modernes (exemple casio graph 100) intégrent plusieurs fonctions dont lessuivantes : factor : menu cas (F1) trns (3) factor qui décompose un nombre en facteurs premiers :factor(1274) = 2 ∗ 72 ∗ 13

gcd : menu cas (F2) calc (A) gcd qui renvoie le PGCD de deux nombres :gcd(240, 276) = 12

combine : menu cas (F1) trns (7) combin qui réduit une fraction : combine(378/1764) = com-bine(1/2+1/3) = 5

6

combine( (18/72 + 45/63 - 83/115) / (2/7) ) = 781920


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54 CHAPITRE 6. CALCULATRICE


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Chapitre 7

EXPRESSIONS ALGÉBRIQUESMONÔMES - POLYNÔMES

7.1 EXPRESSION ALGÉBRIQUE

Dénition :

Une expression algébrique est un ensemble de nombres et de lettres réunis par des signes quiindiquent des opérations à eectuer sur ces nombres et ces lettres.

Exemple : 3ab2; ax+b2x−1

;√

x+1x−m

Parmi les termes d'une expression algébrique on trouve : des nombres ou lettres auquels on attribue des valeurs xes et connues, ce sont des constantes :

(3) ; (−2) ; (a) ; (b) ; ... des lettres pouvant prendre des valeurs numériques quelconques, ce sont des variables : x ,mla lettre x est plus spécialement appelée inconnue la lettre m est plus spécialement appelée paramètre

EXPRESSION ALGÉBRIQUE RATIONNELLE, IRRATIONNELLE, EN-TIÈRE

Une expression algébrique est dite rationnelle si elle ne contient pas de variable sous un radical ;dans le cas contraire elle est dite irrationnelle.

Une expression algébrique est dite entière si une variable ne gure pas au dénominateur, dansle cas contraire elle est dite fractionnaire .

Exemples : (ax+b

c) est une expression algébrique entière, rationnelle

(ax+bcx

) est une expression algébrique fractionnaire, rationnelle

(√ax+bcx

) est une expression algébrique fractionnaire, irrationnelle


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56 CHAPITRE 7. EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES MONÔMES - POLYNÔMES

REMARQUE

La valeur particulière prise par une expression algébrique f(x) lorsque l'on donne à x la valeurparticulière a se désigne par f(a).

Soit :

f(x) = 3x2 + 2x− 5

f(a) = 3a2 + 2a− 5

f(1) = 3 ∗ 12 + 2 ∗ 1− 5 = 3 + 2− 5 = 0

f(−2) = 3 ∗ (−2)2 + 2 ∗ (−2)− 5 = 12− 4− 5 = +3

EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES IDENTIQUES

Deux expressions algébriques sont identiques si elles ont la même valeur numérique quelles quesoient les valeurs attribuées aux variables.

Soit : (x2 − y2) ≡ (x+ y)(x− y)

7.2 MONÔMES

Dénitions :

On appelle monôme toute expression algébrique dont les éléments ne sont reliés que par dessignes de multiplication.exemple : 2a2b3

parmi les éléments du monôme, on distingue :- le coecient numérique- la partie littérale

Un monôme est dit réduit lorsqu'il est sous la forme la plus condensée possible.exemple : (−4)a2b3(−2)b5c3(3)bd = (−4)(−2)(3)a2b3b5bc3d = 24a2b9c3dSous cette dernière forme le monôme est réduit.

Degré d'un polynôme :

par rapport à l'une des variables : c'est le degré ou exposant porté par cette variable dansl'expression du monôme réduit.

par rapport à l'ensemble des variables : c'est la somme des exposants des variables contenuesdans le monôme.Exemple : 4a3b4

- est du 3ème degré en a- du 4ème degré en b- du 7ème degré en a et b.


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7.3. POLYNÔMES 57

Monômes semblables :

Deux monômes sont dits semblables lorsqu'ils ne dièrent que par leurs coecients.

Exemple : (48a3b5c2) ; (−12a3b5c2) ; (433a3b5c2)

Somme algébrique de monômes semblables.

La somme algébrique de monômes semblables est un monôme semblable dont le coecient est lasomme des coecients.

Exemple : 15ab2 − 7ab2 + 10ab2 = 18ab2

REMARQUE

La somme de plusieurs monômes non semblables n'est plus un monôme mais un polynôme.

Produit de monômes

Le produit de deux ou plusieurs monômes est un monôme qui a pour coecient le produit descoecients et pour partie littérale, la partie littérale formée de toutes les lettres des monômesfacteurs, chacun ayant pour exposant la somme de tous ses exposants dans les divers monômes.

Exemple : (−23a2x3)(3

5ax2)(1

4a4b) = − 1

10a7bx5

Quotient de deux monômes

Le quotient de deux monômes est la fraction qui a pour numérateur le monôme dividende et pourdénominateur le monôme diviseur.

Des simplications sont souvent possibles.

Exemples : 8a2mx3

2an2x= 4amx

2

n2 ; 8a2mx3

2ax= 2amx2

Dans ce dernier exemple ou le quotient est un monôme, on dit que le dividende est divisible par lediviseur.

7.3 POLYNÔMES

Dénition :

On appelle polynôme, la somme algébrique de plusieurs monômes.

Exemple : 5a3b− 10a2b2c2 + 7ab− 12a3

Un polynôme contenant deux termes est un binôme

Exemple : 5a3b− 10a2b2c2


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Un polynôme contenant trois termes est un trinôme

Exemple : 5a3b− 10a2b2c2 + 7ab− 12a3 ainsi que ax2 + bx+ c

Polynôme à une seule variable

Un polynôme à une seule variable est dit ordonnée si les monômes qu'il renferme sont écritsdans l'ordre des puissances : décroissantes : −14x4 + x3 − 2x2 +−5 croissantes : −5 + x− 2x2 + x3 − 14x4

Degré d'un polynôme : Le degré d'un polynôme par rapport à une variable est le degré d'un polynôme de plus hautdegré par rapport à cette variable.

Le degré d'un polynôme à une seule variable est celui de son monôme de plus haut degré.

Exemples : a) 5a3b− 10a2b2c+ 7ab− 12a3 + b2

ce polynôme est du :- 3ème degré en a- 2ème degré en b- 1er degré en c.

b) x3 − 5x2 + 2x− 3Ce polynôme est du 3ème degré

Polynôme homogène Un polynôme est homogène par rapport à plusieurs variables quand sestermes sont tous du même degré par rapport à ces variables.

Exemple : x4 − 5x2z2 + 2xyz2 − 5yz3

Opérations

Somme

La somme de plusieurs polynômes est le polynôme obtenu en écrivant les polynômes considérés lesuns à la suite des autres avec le signe correspondant.

Exemple :

(3a2b+ 7ab2)− (2a2b+ 8ab2)

= 3a2b+ 7ab2 − 2a2b− 8ab2

= a2b− ab2 = ab(a− b)

Produit

Le produit de deux polynômes est le polynôme obtenu en multipliant chaque monôme du premierpar chaque monôme du second.


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7.3. POLYNÔMES 59

Figure 7.1 multiplication algébrique

Exemple :

(3x2 − 5x+ 3)(2x− 1) = 6x3 − 10x2 + 6x− 3x2 + 5x− 3

(3x2 − 5x+ 3)(2x− 1) = 6x3 − 13x2 + 11x− 3

Dans les cas compliqués, on peut poser la multiplication comme pour la multiplication de deuxnombres.

Quotient

Quotient d'un polynôme par un monôme : un polynôme étant une somme de monômes, il sutde diviser chaque monôme composant le polynôme par le monôme diviseur.

12a2x−15ax2+3ax−3ax

= −4a+ 5x− 1

Quotient d'un polynôme par un polynôme : on écrit le quotient sous forme de fraction qu'on

essaie ensuite de simplier par des mises en facteurs astucieuses. Les mises en facteurs seront

étudiées plus en détails au chapitre suivant.

Exemples :

12a−3b8ax−4ab−2bx+b2

= 3(4a−b)(4a−b)(2x−b) = 3

2x−b

x+2y2

5x2−20y4= x+2y2

5(x+2y2)(x−2y2)= 1

5(x−2y2)

Lorsque les mises en facteurs ne sont pas apparentes, on peut tenter de poser la division commeune division de nombres. Si cette division se fait sans reste, le problème est résolu, sinon il faudrarechercher une autre méthode.

Exemple :

donc 35a3−41a2+54a−247a−4

= 5a2 − 3a+ 6


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Figure 7.2 division algébrique


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Chapitre 8

DÉVELOPPEMENT ETFACTORISATION

Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme (ou soustraction ).

Prenons une expression qui est un produit de deux termes : a(b+ c)

- le premier terme (ou facteur) a , le deuxième terme (b + c). Distribuons le facteur a entenant compte de la règle des signes.

1°) a(b+ c) = ab+ ac

2°) a(b− c) = ab− acExemple :

7x(3x+ 2) = 21x2 + 14x

3x(4x− 5) = 12x2 − 15x

Double distributivité :

3°)(a+ b)(c− d) = a(c− d) + b(c− d) = ac− ad+ bc− bdExemple :

4°)(2x− 3)(5x+ 1) = 10x2 + 2x− 15x− 3 = 10x2 − 13x− 3

A = (2x− 7)(3x− 1) = 6x2 − 2x− 21x+ 7 = 6x2 − 23x+ 7

8.1 IDENTITÉS REMARQUABLES

CARRÉ d'une SOMME

(a+ b)2 = (a+ b) ∗ (a+ b) = a2 + ab+ ab+ b2 = a2 + 2ab+ b2

Le carré d'une somme est égal au carré du premier terme + le double produit des deux termes +le carré du second terme.

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

(x+ 7)2 = x2 + 2 ∗ 7x+ 72 = x2 + 14x+ 49

(3x+ 5)2 = (3x)2 + 2(3x)(5) + (5)2 = 9x2 + 30x+ 25


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62 CHAPITRE 8. DÉVELOPPEMENT ET FACTORISATION

CARRÉ d'une DIFFÉRENCE

(a− b)2 = (a− b) ∗ (a− b) = a2 − ab− ab+ b2 = a2 − 2ab+ b2

(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

Le carré d'une diérence est égal au carré du premier terme moins le double produit des deuxtermes plus le carré du second terme.

(2x− 7)2 = (2x)2 − 2(2x)(7) + (7)2 = 4x2 − 28x+ 49(12x− 3

)2=(

12

)2 − 2(

12x)

(3) + (3)2 = 14x2 − 3x+ 9

DIFFÉRENCE DE CARRÉS

(a− b)(a+ b) = a2 − ab+ ab− b2 = a2 − b2 ⇒(a− b)(a+ b) = a2 − b2

(5x− 3)(5x+ 3) = 25x2 − 9 avec a = 5x et b = 3

(2x− 3)(2x+ 3) = 4x2 − 9

Utilisons cette dernière propriété pour eectuer un calcul : 99 ∗ 101 = (100 − 1)(100 + 1) =1002 − 12 = 10000− 1 = 9999

IDENTITÉS DU TROISIÈME DEGRÉ

(a+ b)3 = (a+ b)(a+ b)2

(a+ b)3 = (a+ b)(a2 + 2ab+ b2)

(a+ b)3 = a3 + 2a2b+ ab2 + a2b+ 2ab2 + b3

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

(a− b)3 = (a− b)(a− b)2

(a− b)3 = (a− b)(a2 − 2ab+ b2)

(a− b)3 = a3 − 2a2b+ ab2 − a2b+ 2ab2 − b3

(a+ b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3

(a+ b)(a2 − ab+ b2) = a3 − a2b+ ab2 + a2b− ab2 + b3

(a+ b)(a2 − ab+ b2) = a3 + b3

(a− b)(a2 + ab+ b2) = a3 + a2b+ ab2 + a2b− ab2 − b3

(a− b)(a2 + ab+ b2) = a3 − b3


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8.1. IDENTITÉS REMARQUABLES 63

Développer et simplier les expressions suivantes

A(x) = (3x− 7)2 − 5(x− 2)(x+ 2)A(x) = (9x2 − 42x+ 49)− 5(x2 − 4) = (9x2 − 42x+ 49)− (5x2 − 20)A(x) =9x2 − 42x+ 49− 5x2 + 20 = 4x2 − 42x+ 69

A = (3x+ 1)2 − (2x− 3)2

A = (9x2 + 6x+ 1)− (4x2 − 12x+ 9) = 9x2 + 6x+ 1− 4x2 + 12x− 9A = 5x2 + 18x− 8

B = (2x− 3)2 − (5x− 9)(2x− 3)B = 4x2 − 12x+ 9− (10x2 − 15x− 18x+ 27)B = 4x2 − 12x+ 9− 10x2 + 15x+ 18x− 27B = −6x2 + 21x− 18

C = (5x− 3)2 − 4x(5x− 3)C = 25x2 − 30x+ 9− (20x2 − 12x)C = 25x2 − 30x+ 9− 20x2 + 12xC = 5x2 − 18x+ 9

D = (x− 4)2 + (x− 4)(x+ 8)D = x2 − 8x+ 16 + x2 + 8x− 4x− 32D = 2x2 − 4x− 16

E = (x− 3)(x+ 7)− (2x− 7)(x− 3)E = x2 + 7x− 3x− 21− (2x2 − 6x− 7x+ 21)E = x2 + 4x− 21− 2x2 + 6x+ 7x− 21E = −x2 + 17x− 42

F = 49− (3x− 5)2

F = 49− (9x2 − 30x+ 25)F = 49− 9x2 + 30x− 25)F = −9x2 + 30x+ 24

G = (x+ 1)2 − 2(x+ 1)(3x− 4)G = x2 + 2x+ 1− 2(3x2 − 4x+ 3x− 4)G = x2 + 2x+ 1− 2(3x2 − x− 4)G = x2 + 2x+ 1− 6x2 + 2x+ 8G = −5x2 + 4x+ 9


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I = 25− x2 − (5− x)2

I = 25− x2 − (25− 10x+ x2)I = 25− x2 − 25 + 10x− x2

I = −2x2 + 10x

J = 6(4x− 5)− (4x− 5)2J = 24x− 30− (16x2− 40x+ 25)J = 24x− 30− 16x2 + 40x− 25J = −16x2 + 64x− 55

L = (3x− 1)2 − (2− x)2

L = 9x2 − 6x+ 1− (4− 4x+ x2)L = 9x2 − 6x+ 1− 4 + 4x− x2

L = 8x2 − 2x− 3

M = (3x+ 2)2 − 9M = 9x2 + 12x+ 4− 9M = 9x2 + 12x− 5

N = (3x+ 2)2 − (x+ 3)(3x+ 2) + 15x+ 10N = 9x2 + 12x+ 4− (3x2 + 2x+ 9x+ 6) + 15x+ 10N = 9x2 + 12x+ 4− 3x2 − 2x− 9x− 6 + 15x+ 10N = 6x2 + 16x+ 8

P = (2a+ 3)2 − (a− 5)2

P = 4a2 + 12a+ 9− (a2 − 10a+ 25)P = 4a2 + 12a+ 9− a2 + 10a− 25P = 3a2 + 22a− 16

Q = (5x− 7)2− 4(x+ 5)2Q = 25x2 − 70x+ 49− 4(x2 + 10x+ 25)Q = 25x2 − 70x+ 49− 4x2 − 40x− 100Q = 21x2 − 110x− 51

R = (x+ 3)(x− 7) + (x+ 2)(x− 7) + (2x+ 5)(2x+ 8)R = x2 − 7x+ 3x− 21 + x2 − 7x+ 2x− 14 + 4x2 + 16x+ 10x+ 40R = 6x2 + 15x+ 39

Voici quelques monômes (1 seul terme ) : 3x ; 8x2 ; −4x3

Voici un binôme (deux termes) du premier degré : bx + c . On dit du premier degré car c'est ledegré de l'exposant de x qui est 1 (sous entendu)

Voici quelques polynômes (plusieurs termes) : 3x4 + 7x− 2 ; 8x2 − x ; −4x2 − 5x+ 8 . Ce dernierpolynôme comporte 3 termes, on l'appelle trinôme, de plus le premier terme est du 2ème degré en x , on l'appellera trinôme du second degré.


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8.1. IDENTITÉS REMARQUABLES 65

Il est de la forme standardisé : ax2 + bx+ c.

B(x) = (1− 5x)(2 + 3x)− 3(2x+ 5)2

B(x) = (2 + 3x− 10x− 15x2)− 3(4x2 + 10x+ 25)B(x) = (2 + 3x− 10x− 15x2)− 12x2 − 30x− 75B(x) = −15x2 − 7x+ 2− 12x2 − 60x− 75 = −27x2 − 67x− 73


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8.2 FACTORISATION

Factoriser c'est la transformation d'une somme en produit

Règle : lorsque chaque terme d'un polynôme P est divisible par un monôme, on peut décomposerle polynôme en un produit de deux facteurs l'un de ces facteurs est le monôme, l'autre est lepolynôme P' obtenu en divisant chaque terme de P par le monôme.

Exemple : P = 12a2x− 15ax2 + 3ax

Nous voyons que chaque terme de P est divisible par le monôme 3ax ; nous pouvons mettre 3axen facteur.

P = 3ax(4a− 5x+ 1)

Mises en facteur successives P = w2xy + wx2z + wy2z + xyz2

P = (w2xy + wx2z) + wy2z + xyz2

P = wx(wy + xz) + yz(wy + xz)P = (wx+ yz)(wy + xz)

P = 32x2y2 − 50y4

Mettons d'abord 2y2en facteur :P = 2y2(16x2 − 25y2)Appliquons l'identité remarquable (a2 − b2) = (a+ b)(a− b)P = 2y2(4x+ 5y)(4x− 5y)

Pour factoriser, il faut essayer de trouver un facteur commun :

- soit le facteur est apparent

- soit penser à utiliser les identités remarquables

ab+ ac = a(b+ c) le terme a est commun

ab+ bc = b(a+ c) le terme b est commun

ab+ a = (a ∗ b) + (a ∗ 1) = a(b+ 1) ; pour vérier on redéveloppe

a2 + ab = (a ∗ a) + (a ∗ b) = a(a+ b) ; pour vérier on redéveloppe

2x2 − 10x = 2x(5x− 5) ; pour vérier on redéveloppe

A(x) = (3x− 7)(x+ 2)− 5(x+ 2) = (x+ 2)[(3x− 7)− 5] = (x+ 2)(3x− 12) = 3(x+ 2)(x− 4)

B(x) = (3x− 1)(x− 2)− (3x− 6)(x+ 1) = (3x− 1)(x− 2)− 3(x− 2)(x+ 1)B(x) = (x− 2)[(3x− 1)− 3(x+ 1)] = (x− 2)(3x− 1− 3x− 3) = −4(x− 2)

A(x) = −(x− 5)2 − 3(x− 5)(2x+ 3)A(x) = (x− 5)[−(x− 5)− 3(2x+ 3)]A(x) = (x− 5)(−x+ 5− 6x− 9) = (x− 5)(−7x− 4)A(x) = (x− 5)(−7x− 4) = −(x− 5)(7x+ 4)


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8.2. FACTORISATION 67

B(x) = (x− 2)(3x− 1)− (2− 6x)(2x+ 3)B(x) = (x− 2)(3x− 1)− 2(1− 3x)(2x+ 3)B(x) = (x− 2)(3x− 1) + 2(3x− 1)(2x+ 3)B(x) = (3x− 1)[(x− 2) + 2(2x+ 3)]B(x) = (3x− 1)(x− 2 + 4x+ 6)B(x) = (3x− 1)(5x+ 4)

C(x) = (2x− 3)2 − 16 de la forme a2 − b2 = (a− b)(a+ b)C(x) = (2x− 3− 4)(2x− 3 + 4)C(x) = (2x− 7)(2x+ 1)

D(x) = 4x2 − 12x+ 9− 7(2x− 3)(x+ 5)D(x) = (4x2 − 12x+ 9)− 7(2x− 3)(x+ 5)

La première parenthèse ressemble à : (a− b)2 avec a = 2x et b = 3. Soit :

D(x) = (2x− 3)2 − 7(2x− 3)(x+ 5)D(x) = (2x− 3)[(2x− 3)− 7(x+ 5)]D(x) = (2x− 3)(2x− 3− 7x− 35)D(x) = (2x− 3)(−5x− 38)D(x) = −(2x− 3)(5x+ 38)

A = (3x+ 1)2 − (2x− 3)2 de la forme a2 − b2 = (a− b)(a+ b)A = [(3x+ 1)− (2x− 3)][(3x+ 1) + (2x− 3)]A = (3x+ 1− 2x+ 3)(3x+ 1 + 2x− 3)A = (x+ 4)(5x− 2)

B = (2x− 3)2 − (5x− 9)(2x− 3)B = (2x− 3)[(2x− 3)− (5x− 9)]B = (2x− 3)(2x− 3− 5x+ 9)B = (2x− 3)(−3x+ 6)B = −3(2x− 3)(x− 2)

C = (5x− 3)2 − 4x(5x− 3)C = (5x− 3)[(5x− 3)− 4x]C = (5x− 3)(5x− 3− 4x)C = (5x− 3)(x− 3)

D = (x− 4)2 + (x− 4)(x+ 8)D = (x− 4)[(x− 4) + (x+ 8)]D = (x− 4)(x− 4) + x+ 8)D = (x− 4)(2x+ 4)D = 2(x− 4)(x+ 2)


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E = (x− 3)(x+ 7)− (2x− 7)(x− 3)E = (x− 3)[(x+ 7)− (2x− 7)]E = (x− 3)(x+ 7− 2x+ 7)E = (x− 3)(−x+ 14) ou E = −(x− 3)(x− 14)

F = 49− (3x− 5)2 de la forme a2 − b2 = (a− b)(a+ b)F = [7− (3x− 5)][7 + (3x− 5)]F = (7− 3x+ 5)(7 + 3x− 5)F = (−3x+ 12)(3x+ 2)F = −3(x− 4)(3x+ 2)

J = 6(4x− 5)− (4x− 5)2

J = (4x− 5)[6− (4x− 5)]J = (4x− 5)(6− 4x+ 5)J = (4x− 5)(−4x+ 11) ou J = −(4x− 5)(4x− 11)

L = (3x− 1)2 − (2− x)2 de la forme a2 − b2 = (a− b)(a+ b)L = [(3x− 1)− (2− x)][(3x− 1) + 2− x]L = (3x− 1− 2 + x)(3x− 1 + 2− x)L = (4x− 3)(2x+ 1)

M = (3x+ 2)2 − 9 de la forme a2 − b2 = (a− b)(a+ b)M = (3x+ 2− 3)(3x+ 2 + 3)M = (3x− 1)(3x+ 5)

N = (3x+ 2)2 − (x+ 3)(3x+ 2) + 15x+ 10N = (3x+ 2)2 − (x+ 3)(3x+ 2) + 5(3x+ 2)N = (3x+ 2)[(3x+ 2)− (x+ 3) + 5]N = (3x+ 2)(3x+ 2− x− 3 + 5)N = (3x+ 2)(2x+ 4)N = 2(3x+ 2)(x+ 2)

P = (2a+ 3)2 − (a− 5)2 de la forme a2 − b2 = (a− b)(a+ b)P = [(2a+ 3)− (a− 5)][(2a+ 3) + (a− 5)]P = (2a+ 3)− a+ 5)(2a+ 3 + a− 5)P = (a+ 8)(3a− 2)

Q = (5x− 7)2 − 4(x+ 5)2 de la forme a2− b2 = (a− b)(a+ b). Attention 4 est le carré de 2Q = [(5x− 7)− 2(x+ 5)][(5x− 7) + 2(x+ 5)]Q = (5x− 7− 2x− 10)(5x− 7 + 2x+ 10)Q = (3x− 17)(7x+ 3)


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R = (x+ 3)(x− 7) + (x+ 2)(x− 7) + (2x+ 5)(2x+ 8)R = (x− 7)[(x+ 3) + (x+ 2)] + (2x+ 5)(2x+ 8)R = (x− 7)(2x+ 5) + (2x+ 5)(2x+ 8)R = (2x+ 5)[(x− 7) + (2x+ 8)]R = (2x+ 5)(3x+ 1)I = 25− x2− (5− x)2

I = 25− x2− (5− x)2 de la formea2 − b2 = (a− b)(a+ b). Attention 25 est le carré de 5I = 52− x2− (5− x)2I = (5− x)(5 + x)− (5− x)2I = (5− x)[(5 + x)− (5− x)]I = (5− x)(5 + x− 5 + x)I = (5− x)(2x) = 2x(5− x)

Cas particuliers

1°) 16x2 − 25 = (4x− 5)(4x+ 5)

2°) (3x− 2)2 − 9 = (3x− 2 + 3)(3x− 2− 3) = (3x+ 1)(3x− 5)

3°)(2x+ 1)2 − (x− 5)2 = [(2x+ 1) + (x− 5)][(2x+ 1)− (x− 5)] = (3x− 4)(x+ 6)

4°)x2−10x+ 25 + (2x−10)(x−3) = x2−10x+ 25 + 2(x−5)(x−3) = (x−5)2 + 2(x−5)(x−3) =(x− 5)(x− 5) + 2(x− 5)(x− 3).

Mettons(x− 5) en facteur : (x− 5)[(x− 5) + 2(x− 3)] = (x− 5)[x− 5 + 2x− 6] = (x− 5)(3x− 11)

Factorisez Les expressions suivantes

A(x) = 4x2 − 9 ; B(x) = 25x2 − 144 ; C(x) = 9x2 − 16 ; D(x) = (x2 + 12x + 36) ; E(x) =−2x2 + 28x− 98

Solutions :

A(x) = 4x2 − 9⇔ (2x+ 3)(2x− 3) ;

B(x) = 25x2 − 144⇔ (5x+ 12)(5− 12);

C(x) = 9x2 − 16⇔ (3x+ 4)(3x− 4);

D(x) = (x2 + 12x+ 36)⇔ (x+ 6)2;

E(x) = −2x2 + 28x− 98⇔ −2(x2 − 14x+ 49)⇔ −2(x+ 7)2;

FORME CANONIQUE

1° Exemple : x2 − 4x+ 3

Considérons x2 − 4x comme le début du carré d'une identité remarquable, x2 le carré de x , (-4x) est le double produit de (-2x) donc on obtient le premier terme x et le second (- 2) soitl'identité :(x− 2)2. Si on développe cette identité on obtient :

x2 − 4x+ 4 donc x2 − 4x = (x− 2)2 − 4. L'équation d'origine devient :

(x2 − 4x) + 3 = [(x− 2)2 − 4] + 3


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x2 − 4x+ 3 = (x− 2)2 − 1

qui est la forme canonique (la variable x n'apparaît qu'une seule fois)

de la forme a2 − b2 = (a− b)(a+ b)

x2 − 4x+ 3 = [(x− 2)− 1][(x− 2) + 1]

x2 − 4x+ 3 = (x− 3)(x− 1)

2° Exemple : x2 − 2x− 8

Considérons x2 − 2x comme le début du carré d'une identité remarquable, x2 le carré de x , (-2x) est le double produit de(−1x) donc on obtient le premier terme x et le second (- 1) soitl'identité : (x− 1)2 . Si on développe cette identité on obtient :

x2 − 2x+ 1donc x2 − 2x = (x− 1)2 − 1. L'équation d'origine devient

x2 − 2x− 8 = [(x− 1)2 − 1]− 8

x2 − 2x− 8 = (x− 1)2 − 9 de la forme a2 − b2 = (a− b)(a+ b)

x2 − 2x− 8 = [(x− 1)− 3][(x− 1) + 3]

x2 − 2x− 8 = (x− 4)(x+ 2)

3° Exemple plus complexe : 3x2 + x− 2

3x2 + x− 2 = 3(x2 + x3− 2

3)

3x2 + x− 2 = 3[(x+ 16)2 − 1

36− 2

3]

3x2 + x− 2 = 3[(x+ 16)2 − 1

36− 24

36]

3x2 + x− 2 = 3[(x+ 16)2 − 25

36]

de la forme a2 − b2 = (a− b)(a+ b).

3x2 + x− 2 = 3[(x+ 16)− 5

6][(x+ 1

6) + 5

6]

3x2 + x− 2 = 3[(x− 46)][(x+ 1]

3x2 + x− 2 = 3(x− 23)((x+ 1)

3x2 + x− 2 = (3x− 2)((x+ 1)

4° Étude du cas général

ax2 + bx+ c avec a 6= 0

ax2 + bx+ c = a(x+ bax+ c

a)

ax2 + bx+ c = a[(x2 + b2a

)2 − b2

4a2+ c

a]

ax2 + bx+ c = a[(x2 + b2a

)2 − b2

4a2+ 4ac

4a2]

ax2 + bx+ c = a[(x2 + b2a

)2 − b2+4ac4a2

]

Posons ∆ = b2 − 4ac alors

ax2 + bx+ c = a[(x2 + b2a

)2 − 44a2

]


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pour pouvoir eectuer l'opération a2− b2 = (a− b)(a+ b), il faut que 4 soit positif ou nul :∆ ≥ 0

si ∆ = 0⇒ ax2 + bx+ c = a(x+ b2a

)2

si∆ > 0⇒ ax2 + bx+ c = a[(x+ b2a

)2 − 44a2

]

ax2 + bx+ c = a[(x+ b2a

)−√4

2a][(x+ b

2a) +

√4

2a]

ax2 + bx+ c = a(x+ b−√4

2a)(x+ b+

√4

2a)

ax2 + bx+ c = a(x− −b+√4

2a)(x− −b−

√4

2a)

DIVISIBILITÉ PAR (x− a)

Règle : si un polynôme P = f(x) est divisible par (x − a) , il s'annule pour x = a. En eet, si Pest divisible par (x− a) il peut se mettre sous la forme :

P = f(x) = (x− a) ∗ g(x)

Faisons x = a dans cette expression :

P = (a− a) ∗ g(a) = 0 ∗ g(a) = 0

Réciproque : si un polynôme P = f(x) s'annule pour x = a , il est divisible par (x − a), c'est àdire que l'on peut mettre P = f(x) sous la forme :

P = f(x) = (x− a) ∗ g(x)

Vérions sur un exemple du 3iemedegré .

Soit le polynôme : P = f(x) = 2x3 − 3x2 − x − 2 s'annulant pour x = 2. En eet : f(2) =16− 12− 2− 2 = 0

Nous établirons la division f(x)x−2

et nous constaterons que le reste est nul.

Figure 8.1 division d'un polynôme par un monôme

Ce polynôme qui s'annule pour x=2 , peut donc bien se mettre sous la forme :

P = f(x) = 2x3 − 3x2 − x− 2 = (x− 2)(2x2 + x+ 1)

Cette règle et sa réciproque sont d'une extrême importance notamment dans la simplication desopérations sur les monômes et les polynômes.


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Deuxième partie

ÉQUATIONS - INÉQUATIONS


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Chapitre 9

GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS

9.1 DÉFINITIONS

INTRODUCTION

Une égalité est soit vraie soit fausse

7 + 3 = 10 égalité vraie, vériée

7 + 3 = 15 égalité fausse, non vériée

x+ 3 = 12 égalité vraie sous certaines conditions suivant la valeur de x.

Si x = 1, l'égalité est fausse, si x = 9 cette égalité est vraie. Ceci s'appelle une équation à 1inconnue x . La solution, ou racine de cette équation, est l'ensemble des valeurs des variables pourlaquelle cette égalité est vraie. x = 9 est une solution alors que x = 5 n'est pas solution car l'égalitéest fausse.

ÉQUATION

On appelle équation une égalité ente deux expressions algébriques qui n'est vériée que pourcertaines valeurs attribuées aux variables qu'elles contiennent.

Le degré de l'équation est le degré du terme du plus haut degré aectant la variable.

Exemple : x+ 2 = 2x− 4Équation du 1er degré vériée pour x = 6

x2 − 5x+ 6 = 0Équation du 2ème degré vériée pour x = 2 et pour x = +3.


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76 CHAPITRE 9. GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS

SOLUTION

La solution ou racine d'une équation, est l'ensemble des valeurs des variables qui vérient cetteéquation

Dans les exemples précédents, 6 est racine de la première équation ; 2 et 3 sont les racines de laseconde.

9.2 RÈGLES DE CALCUL

Pour résoudre une équation il est préférable de la mettre sous une forme particulière. Les diversesformes sont :

ax+ b = 0 pour le 1er degré

ax2 + bx+ c = 0 pour le 2ème degré

ax3 + bx2 + cx+ d = 0 pour le 3ème degré

Pour amener une équation dans ces formes on utilise les règles de calcul suivantes :

1ère règle :

soit une égalité a = b alors si on rajoute ou retranche à chaque membre un même nombre onobtient une autre égalité.

Exemples :

a = b ; a+ c = b+ c ; a− c = b− cx+ 3 = −2 ; x+ 3− 3 = −2− 3 ;x = 5

Pratiquement on revient à dire que l'on peut faire passer un terme d'un membre à l'autre enchangeant son signe.

x+ 3 = −2 ;

x = −2− 3 ;

x = 5

x+ a = b

x = b− a


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9.2. RÈGLES DE CALCUL 77

2ème règle :

soit une égalité a = b alors si on multiplie ou divise chaque membre par un même nombre non nulon obtient une autre égalité.

Exemple : x+22

= 2x−33

Multiplions les deux membres par 66(x+2)

2= 6(2x−3)

3⇔ 3(x+ 2) = 2(2x− 3)

Pratiquement on en revient à énoncer la règle déjà vue au chapitre des proportions : dans uneproportion le produit des extrêmes est égal au produit des moyensx+2

2= 2x−3

3

3(x+ 2) = 2(2x− 3)

avec c 6= 0⇒ ac

= bcou ac = bc

3ème règle :

On peut élever à une même puissance les deux membres d'une équation ; mais on peut de ce fait,introduire des solutions étrangères : il est donc nécessaire de vérier si les racines trouvées sontbien des solutions de l'équation proposée.

Exemple 1 :√

2x2 − 1 = x+ 2 (1)

élevons les deux membres de l'équation (1) au carré

2x2 − 1 = x2 + 4x+ 4

x2 − 4x− 5 = 0

Les deux racines -1 et 5 vérient l'équation (1), en eet :√2− 1 = −1 + 2 et

√50− 1 = 5 + 2

Exemple 2 :√

3x− 5 = x− 3 (2)

levons les deux membres de l'équation (2) au carré

3x− 5 = x2 − 6x+ 9

x2 − 9x+ 14 = 0

Les racines sont +2 et +7. Vérions pour x = 2 :√6− 5 = 2− 3 ; comme 1 6= −1alors x = 2 n'est pas solution

Vérions pour x = 7 :√21− 5 = 7− 3 ; comme 4 = 4 alors x = 7 est solution de l'équation (2)

L'élévation à une puissance est donc un procédé dangereux que l'on devra néanmoins utiliserlorsque l'équation proposée contient des radicaux. Il faudra toujours vérier si les racines nalessont bien des solutions de l'équation initiale.


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78 CHAPITRE 9. GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS

4ème règle :

Équation contenant deux radicaux (carrés)

On élève une première fois les deux membres au carré de façon à ce qu'il ne reste plus qu'un radicaldans la nouvelle expression de l'équation.

On isole ce radical et on élève une seconde fois au carré. On vérie ensuite chacune des racinestrouvées.

Exemple : (√x+ 1) =

√3x+ 1 .

Élevons au carré : x+ 2√x+ 1 = 3x+ 1

Isolons le radical : 2√x = 3x+ 1− x− 1⇔ 2

√x = 2x

Élevons une seconde fois au carré : 4x = 4x2 ⇔ x = x2 ⇔ x2 − x = 0

x2 − x = 0⇔ x(x− 1) = 0

Il y a deux racines : x = 0 et x = 1

Vérications :

pour x = 0 : 0 + 1 =√

0 + 1⇔ 1 = 1 La solution x = 0 convient

pour x = 1 : 1 + 1 =√

3 ∗ 1 + 1⇔ 2 = 2 La solution x = 1 convient


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Chapitre 10

ÉQUATIONS DU 1ER DEGRÉ

10.1 RÉSOLUTION ET DISCUSSION

Une équation du 1er degré à une inconnue est de la forme : ax+ b = 0

Résoudre cette équation c'est déterminer la ou les valeurs de x pour lesquelles cette égalité estvériée.

ax+ b = 0

ax+ b− b = 0− bax = −bCela revient à passer un terme d'un membre dans l'autre membre en changeant son signe. Distin-guons 3 cas : cas 1 ) a 6= 0;ax

a= −b

a⇒ x = −b

a; Soit S la ou les solutions. S = −b

a

cas 2 ) a = 0, et b = 0 ; 0x = 0 ; toutes les valeurs de x conviennent, nous avons une innitéde solutions. S = R

cas 3) a = 0, b 6= 0 ; 0x = −b Ici l'égalité est impossible, il n'y a pas de solution.S = Ø (ensemble vide).

Exemple :

3(2x− 1) = 5− 3(7x+ 2)

Développons

6x− 3 = 5− 21x− 6⇒ 6x− 3 = −21x− 1

Passons les mêmes termes de chaque côté en changeant les signes quand les termes changent decôté :

6x+ 21x = −1 + 3⇒ 27x = 2⇒ x = 227

S = 227


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80 CHAPITRE 10. ÉQUATIONS DU 1ER DEGRÉ

Exemple :

2x− 7 = 3(1− 3x)

2x− 7 = 3− 9x

2x + 9x = 3 +7

11x = 10

x = 1011

S = 1011

Exemple : (3x− 7)2 − (x− 2)(x+ 2) = (2x− 1)(4x+ 5)

A priori cette expression n'apparaît pas du 1er degré. Simplions l'écriture

9x2 − 42x+ 49− (x2 − 4) = 8x2 + 10x− 4x− 5

9x2 − 42x+ 49− x2 + 4 = 8x2 + 6x− 5

8x2 − 42x+ 53 = 8x2 + 6x− 5

−42x+ 53 = +6x− 5

−42x− 6x = −5− 53

−48x = −58

x = −58−48

= 2924

S = 2924

Une propriété intéressante :ab

= cd⇔ ad = bc en eectuant le produit en croix. Le produit des

extrêmes est égal au produit des moyens termes.

Exemple : 2x−35

= x+82

2(2x− 3) = 5(x+ 8)

4x− 6 = 5x+ 40

4x− 5x = 40 + 6

−x = 46

x = −46

S = −46


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10.2. ÉQUATIONS PRODUITS 81

Exemple : 2x+13− 5(1−x)

6= x+2

2

(2x+1)∗23∗2 − 5(1−x)

6= (x+2)∗3

2∗32(2x+ 1)− 5(1− x) = 3(x+ 2)

4x+ 2− 5 + 5x = 3x+ 6

4x+ 5x− 3x = 6 +−2 + 5

6x = 9

x = 96

= 32

S = 32

Équations contenant l'inconnue au dénominateur :

Écarter toutes les valeurs de x qui annulent le dénominateur. Réduire les deux membres de l'équation au même dénominateur. Multiplier les deux membres de l'équation par ce dénominateur commun non nul Résoudre et discuter l'équation obtenue

Exemple : 3x2+13−x = 2− 3x

La division par 0 étant impossible on doit avoir : 3− x 6= 0⇔ x 6= 33x2+13−x = (2−3x)(3−x)

(3−x)⇔ 3x2 + 1 = (2− 3x)(3− x) = 6− 2x− 9x+ 3x2 = −11x+ 5

x = − 511

S = − 511

10.2 ÉQUATIONS PRODUITS

(ax+ b)(cx+ d) = 0

A ∗B = 0 si A = 0 ou B = 0

Un produit est nul si au moins 1 de ces facteurs est nul. Ici (ax+ b) = 0 ou cx+ d = 0ax+ b = 0 ⇔ x = −b

a

cx+ d = 0 ⇔ x = −dc

avec a 6= 0 et c 6= 0

S = − ba;−d

c


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Exemple : (2x− 3)(x+ 7) = 02x− 3 = 0 ⇔ 2x = 3⇔ x = 3

2

x+ 7 = 0 ⇔ x = −7

S = −7; 32

Résoudre : (x− 2)(x+ 3) = 0

x− 2 = 0⇔ x = 2 ou x+ 3 = 0⇔ x = −3

S = −3; 2

Résoudre : (x− 3)(2x+ 1)− 5(x− 3) = 0

Factorisons par (x− 3)

(x− 3)[(2x+ 1)− 5] = 0

(x− 3)(2x− 4) = 0

Un produit est nul si au moins 1 de ces facteurs est nul.

a) x− 3 = 0⇔ x = 3

ou

b) 2x− 4 = 0⇔ 2x = 4⇔ x = 42⇔ x = 2

S = 2; 3

Résoudre : 5x2 − 7x+ (10x− 14)(x− 1) = 0

Le facteur commun n'apparaît pas directement, nous allons eectuer des mises en facteurs inter-médiaires.

x(5x− 7) + 2(5x− 7)(x− 1) = 0

(5x− 7)[x+ 2(x− 1)] = 0

(5x− 7)(x+ 2x− 2) = 0

(5x− 7)(3x− 2) = 0


a) 5x− 7 = 0⇔ 5x = 7⇔ x = 75

ou

b) 3x− 2 = 0⇔ 3x = 2⇔ x = 23

S = 23; 7

5


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Résoudre : x2 − 9 = 0

x2 − 9 = (x− 3)(x+ 3) = 0


a) x− 3 = 0⇔ x = 3

ou

b) x+ 3 = 0⇔ x = −3

S = −3; 3

Résoudre : 3x3 − 12x = 0

3x(x2 − 4) = 0

3x(x− 2)(x+ 2) = 0


a) 3x = 0⇔ x = 0

ou

b)x− 2 = 0⇔ x = 2

ou c) x+ 2 = 0⇔ x = −2

S = −2; 0; 2

Résoudre :(5x− 3)2 − 16 = 0


[(5x− 3)− 4][(5x− 3 + 4] = 0

(5x− 7)(5x+ 1) = 0


a) 5x− 7 = 0⇔ 5x = 7⇔ x = 75

b) x+ 1 = 0⇔ x = −1

S = −1; 75

Résoudre : (3x− 1)2 = (2x− 5)2

(3x− 1)2 − (2x− 5)2 = 0


[(3x− 1)− (2x− 5)][(3x− 1) + (2x− 5)] = 0

(3x− 1− 2x+ 5)(3x− 1 + 2x− 5) = 0

(x+ 4)(5x− 6) = 0


a) x+ 4 = 0⇔ x = −4

b) 5x− 6 = 0⇔ 5x = 6⇔ x = 65

S = −4; 65

Résoudre : 4x2 − 12x+ 9 = (x− 1)2


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Au préalable il faut reconnaître l'identité remarquable (a− b)2 .

4x2 − 12x+ 9 = (2x− 3)2 donc l'expression s'écrit :

(2x− 3)2 = (x− 1)2

(2x− 3)2 − (x− 1)2 = 0


[(2x− 3)− (x− 1)][(2x− 3) + (x− 1)] = 0

(2x− 3− x+ 1)(2x− 3 + x− 1) = 0

(x− 2)(3x− 4) = 0


a) x− 2 = 0⇔ x = 2

b) 3x− 4 = 0⇔ 3x = 4⇔ x = 43

S = 43; 2

Résoudre f(x) = (2x+ 3)2 = 9

(2x+ 3)2 − 9 = 0 ; de la forme (a2 − b2) = (a+ b)(a− b) = 0

[(2x+ 3) + 3][(2x+ 3)− 3] = 0⇔ (2x+ 6)(2x) = 0 ;

soitx = 0

soit 2x+ 6 = 0⇔ 2x = −6 =⇔ x = −62

= −3

S = −3; 0

Résoudre x2 − 3x = 2x2 + 5x

x2 − 2x2 − 3x− 5x = 0⇔ −x2 − 8x = 0

−x(x+ 8) = 0⇔ 2 solutions :

x = 0 ;

x+ 8 = 0⇔ x = −8

S = −8; 0


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Résoudre (2x− 1)2 − (x+ 3)2

de la forme a2 − b2 = (a+ b)(a− b)[(2x− 1) + (x+ 3)][(2x− 1)− (x+ 3)] = 0

(3x+ 2)(x− 4) = 0

a) 3x+ 2 = 0⇔ 3x = −2⇔ x = −23

b) x− 4 = 0⇔ x = 4

S = −23

; 4

Résoudre (x+ 1)2 − 3x(x+ 1) = 0

(x+ 1)[(x+ 1)− 3x)] = 0⇔ (x+ 1)(−2x+ 1) = 0 ;

a) x+ 1 = 0⇔ x = −1 ;

b) −2x+ 1 = 0⇔ −2x = −1⇔ x = −1−2

= 12

S = −1; 12

Résoudre (2− x)(3 + x) = 2(3− 2x)(2− x)

3 + x = 2(3− 2x)⇔ 3 + x = 6− 4x ;

3− 6 + x+ 4x = 0⇔ −3 + 5x = 0 ;

5x = 3⇔ x = 35

S = 35

Résoudre (x− 2)2 = 0

Il faut surtout pas développer car dans ce cas on obtient une équation du second degré plus longueà résoudre. Il faut voir que :

(x− 2)2 = 0⇔ (x− 2)(x− 2) = 0


(x− 2) = 0⇔ x = 2

S = 2


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Chapitre 11

RÉSOLUTION D'INÉQUATIONS

11.1 ORDRE ET OPÉRATIONS

ORDRE ET ADDITIONS

On peut ajouter ou retrancher le même réel aux deux membres d'une inégalité sans changer le sensde cette inégalité.

a < b⇔ a+ c < b+ c

exemple :

a < 7⇔ a− 3 < 7− 3

a < 7⇔ a+ 5 < 7 + 5

ORDRE ET MULTIPLICATION

On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par le même réel strictement positifsans changer le sens de cette inégalité.

a < b⇔ ac < bc avec c > 0

a < b⇔ ac< b

cavec c > 0

On doit changer le sens d'une inégalité si on multiple ou on divise ses deux membres par le mêmeréel strictement négatif.

a < b⇔ ac > bc avec c < 0

a < b⇔ ac> b

cavec c < 0

exemple :

a < 7⇔ −4a > −4 ∗ 7

a < 7⇔ a−3

> 7−3


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88 CHAPITRE 11. RÉSOLUTION D'INÉQUATIONS

11.2 INTERVALLES DE R

Etant donné deux nombres a et b tels que a < b, l'ensemble des nombrescompris entre a et b s'appelle un intervalle et se note (a,b).

Les nombres a et b en constituent les bornes. Si celles ci font partie de l'intervalle, celui ciest dit fermé. Il est ouvert dans le cas contraire Les innis ( -∞ ou +∞ ) ne sont jamais compris dans les bornes. Du côté de l'inni, l'intervalleest toujours ouvert .

x ≤ a ⇔ x ∈] −∞; a] comme a est compris (égalité) l'intervalle est fermé (crochet tournévers le nombre a).

x < a ⇔ x ∈] −∞; a[ comme a est exclu (intervalle strict) l'intervalle est ouvert (crochettourné vers l'extérieur).

x ≥ a⇔ x ∈ [a; +∞[ comme a est compris (égalité) l'intervalle est fermé. x > a⇔ x ∈]a; +∞[ comme a est exclu (intervalle strict) l'intervalle est ouvert. a ≤ x ≤ b ⇔ x ∈ [a; b] comme a et b sont compris (égalité) l'intervalle est fermé des 2côtés.

a < x ≤ b ⇔ x ∈]a; b] comme a est exclu et comme b est compris l'intervalle est semiouvert

a < x < b⇔ x ∈]a; b[ comme a est exclu et comme b est exclu l'intervalle est ouvert .

Lorsque l'inégalité est au sens strict ( < ou > ) alors l'intervalle est ouvert.

Lorsque l'inégalité est au sens large (≤ ou ≥) alors l'intervalle est fermé.

Figure 11.1: diérents intervalles


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11.3. INÉQUATION 89

11.3 INÉQUATION

Une inéquation du premier degré à une inconnue est une inéquation pouvant après application desrègles de simplication énoncées plus haut, être ramenée à une des formes suivantes :

ax+ b ≤ 0 ou ax+ b < 0 ou ax+ b ≥ 0 ou ax+ b > 0

Résoudre cette inéquation, c'est déterminer l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles l'inéquationest vériée.

Cet ensemble de solutions lorsqu'il existe est un intervalle ou une réunion d'intervalles.

Si on doit résoudre ax+ b ≤ 0 il faut appliquer les règles suivantes :

On peut ajouter ou retrancher le même réel aux deux membres de l'inégalité sans changer le sensde cette inégalité.

On peut écrire ax+ b ≤ 0⇔ ax+ b− b ≤ −bax+ b ≤ 0⇔ ax ≤ −b

11.4 SIGNE DU PREMIER DEGRÉ

Soit une expression du 1er degré : ax+ b ≤ 0

Pour résoudre cette inéquation, il faut isoler x :ax ≤ −bPour diviser les 2 membres de cette inégalité par un nombre, il faut savoir :

- si ce nombre est positif a > 0 , alors il n'y a pas de changement de sens du signe d'inégalité

- si ce nombre est négatif a < 0, alors il y a changement de sens du signe d'inégalité.

a > 0 a < 0

x ≤ −ba

x ≥ −ba

si a = 0 alors ax+ b ≤ 0⇔ 0x ≤ −bsi b > 0 alors S = Ø, si b < 0 alors S = R


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Prenons un exemple numérique :

2x− 7 ≥ 0⇔ 2x ≥ 7⇔ x ≥ 72

Ici nous avons divisé par le nombre positif 2. Avant 72, x est négatif après 7

2, x est positif.

Figure 11.2 Tableau de signes 2x− 7 ≥ 0

En cas de doute, vérions et choisissons une valeur quelconque supérieure à 72, par exemple 5 et

remplaçons x par 5. On obtient 2 ∗ 5 − 7 = 3. Le résultat est positif ce que traduit le tableau.De même choisissons une valeur inférieure à 7

2, par exemple 0 et remplaçons x par 0. On obtient

0 ∗ 0− 7 = −7, le résultat est un nombre négatif.

Prenons un deuxième exemple numérique :

7− x ≥ 0⇔ −x ≥ −7⇔ x ≤ 7

Ici nous avons divisé par le nombre négatif -1. Il faut changer le signe de l'inéquation.

Figure 11.3: Tableau de signes 7− x ≥ 0

En cas de doute, vérions et choisissons une valeur quelconque supérieure à 7 , par exemple 9et remplaçons x par 9. On obtient 7 − 9 = −2. Le résultat est négatif ce que traduit le tableau.De même choisissons une valeur inférieure à 7 , par exemple 1 et remplaçons x par 1. On obtient7− 1 = 6, le résultat est un nombre positif.


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11.5. INÉQUATIONS ET TABLEAU DE SIGNES 91

11.5 INÉQUATIONS ET TABLEAU DE SIGNES

Déterminer le signe d'une expression c'est déterminer les intervalles sur lesquels cette expressionest positive et ceux sur lesquels elle est négative.

Ces résultats sont consignés dans un tableau comportant des signes + et - appelé tableau de signes.

L'expression ax+ b, avec a non nul, s'annule et change de signe en x = −ba

On retiendra le tableau de signes suivant :

x −∞ - ba

∞signe de (ax+b) signe de (-a) 0 signe de (a)

Table 11.1 signe de (ax + b)

Le signe de certaines expressions est immédiat :

- Comme un carré est toujours positif alors x2 + 5, 3x2 + 1, et 3x2+2

sont toutes des expressionspositives

- si x > 0 alors x+ 5x, x+ 6 + 7

x+1, x+2x+3

, sont toutes des expressions positives.

- si x < 0 alors x+ 5x, x− 2 + 5

x−1sont toutes des expressions négatives.

Le signe de certains produits et de certains quotients nécessitent un tableau de signes. On étudierale signe de chaque expression que l'on portera dans le même tableau et on appliquera ensuite larègle des signes.

Prenons des exemples d'inéquations dont la résolution nécessite un tableau de signes.

Exemple 1

(2x− 6)(1− x)(x+ 5) ≥ 0

Figure 11.4 Tableau de signe de (2x− 6)(1− x)(x+ 5) ≥ 0

s =]−∞;−5] ∪ [1;3]


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Exemple 2

x(2x+8)2−x ≥ 0

Cette inéquation est dénie pour tout réel x tel que 2−x 6= 0 car la division par zéro est impossible.L'ensemble de dénition de cette inéquation est donc Df = R− 2.

Comme pour l'exemple précédent on doit dresser un tableau de signes.

Figure 11.5: Tableau de signe de x(2x+8)2−x ≥ 0

S =[−4, 0]∪]2,+∞[

Vous remarquerez la double barre (en 2) qui représente la valeur interdite.

Exemples particuliers

- L'inéquation 3x−2x−5≥ 1 n'est pas équivalente à l'inéquation 3x−2 ≥ x−5 car en faisant le produit

en croix on a supposé x− 5 > 0, ce qui n'est pas évidemment le cas. Le sens de l'inégalité dépenddu signe de x− 5 que l'on ne connaît pas.

Pour résoudre cette inéquation il faut procéder ainsi :

Pour tout x de D = R− 5, 3x−2x−5≥ 1⇔ 3x−2

x−5− 1 ≥ 0 soit :

3x−2x−5≥ 1⇔ 3x−2−(x−5)

x−5≥ 0⇔ 3x−2−x+5

x−5≥ 0

3x-2x−5≥ 1⇔ 2x+3

x−5≥ 0

Figure 11.6 Tableau de signe de2x+3x−5≥ 0


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11.5. INÉQUATIONS ET TABLEAU DE SIGNES 93

L'ensemble des solutions est :

S = ]−∞,−32]∪]5,+∞[

L'inéquation x2−3x+7x2+2

≥ 1 est équivalente à x2− 3x+ 7 ≥ x2 + 2 car on peut dans ce cas multiplierles deux membres de cette inégalité par le même réel strictement positif x2 + 2 ( un carré esttoujours positif, additionné à un nombre positif, le résultat est positif ) sans changer de sens.

Après simplication on obtient l'inéquation équivalente −3x+7 ≥ 2, dont l'ensemble des solutionsest :

S =]−∞; 53]

- L'inéquation (x− 3)(3x+ 7) ≤ (x− 3)(x+ 1) n'est pas équivalente à 3x+ 7 ≤ x+ 1 même pourx 6= 3 car en divisant les deux membres de l'inégalité par x − 3 on a supposé x − 3 > 0, ce quin'est pas évidemment le cas.

Le sens de l'inégalité dépend du signe de x− 3 que l'on ne connaît pas.

Pour résoudre cette inéquation il faut procéder ainsi :

(x− 3)(3x+ 7) ≤ (x− 3)(x+ 1)⇔ (x− 3)(3x+ 7)− (x− 3)(x+ 1) ≤ 0

(x− 3)(3x+ 7) ≤ (x− 3)(x+ 1)⇔ (x− 3)[(3x+ 7)− (x+ 1)] ≤ 0

(x− 3)(3x+ 7) ≤ (x− 3)(x+ 1)⇔ (x− 3)(2x+ 6) ≤ 0

S = [−3; 3]

- L'inéquation (−x2 − 5)(2x− 7) ≥ (−x2 − 5)(x+ 1) est équivalente à l'inéquation 2x− 7 ≤ x+ 1car on peut dans ce cas diviser les deux membres de cette inégalité par le même réel strictementnégatif (−x2 − 5) mais en changeant de sens.

2x− 7 ≤ x+ 1⇔ 2x− 7− x− 1 ≤ 0

2x− 7 ≤ x+ 1⇔ x− 8 ≤ 0⇔ x ≤ 8

L'ensemble des solutions de cette inéquation est : S = ]−∞; 8]

REMARQUES :

On ne peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inéquation par une expression contenantl'inconnu que si cette expression est strictement positive ou négative. Pensez à changer de sens sil'expression est strictement négative.


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11.6 EXERCICES

Résoudre (1+x)2(5−x)1−2x

≤ 0

Le dénominateur doit être 6= 0

1− 2x 6= 0

−2x 6= −1⇔ 2x 6= 1⇔ x 6= 12

Étudions le signe de chaque monôme dans un tableau de signes

Figure 11.7 Tableau de signes (1+x)2(5−x)1−2x

≤ 0

Df = [−1]∪]12; +5]

Résoudre (x+1)2(x−2)(2-x)(3−2x)

≥ 0

Le dénominateur doit être 6= 0

2− x 6= 0⇔ −x 6= −2⇔ x 6= 2

3− 2x 6= 0⇔ −2x 6= −3⇔ x 6= 32

Étudions ce polynôme dans un tableau de signes

Figure 11.8 Tableau de signes (x+1)2(x−2)(2-x)(3−2x)

≥ 0

Df =[−1]∪]32; 2[∪]2; +∞[


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11.6. EXERCICES 95

Résoudre x2(1− x) = 0

x2 = 0⇔ x = 0 ;

1− x = 0⇔ −x = −1⇔ x = 1 ;

S = 0; 1

Résoudre x2(1− x) ≤ 0

Dressons le tableau de signes

Figure 11.9 Tableau de signes de (x+1)2(x−2)(2-x)(3−2x)

≥ 0

Df = [0] ∪ [1; +∞[

Résoudre (x−1)(x+1)

> 2

(x−1)(x+1)

> 2⇔ (x−1)−2(x+1)(x+1)

> 0⇔ −x−3x+1

> 0

a) −x− 3 = 0⇔ −x = 3⇔ x = −3

b)x+ 1 = 0⇔ x = −1

Figure 11.10 Tableau de signes de (x−1)(x+1)

> 2

Dressons le tableau de signes.

Df =]− 3;−1[


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Résoudre −5x+32x+1

≥ 2

−5x+32x+1

− 2 ≥ 0⇔ −5x+3−2(2x+1)2x+1

≥ 0

−9x+12x+1

≥ 0

a) −9x+ 1 = 0⇔ −9x = −1⇔ x = 19;

b) 2x+ 1 = 0⇔ 2x = −1⇔ x = −2 ;

Dressons le tableau de signes. x 1 12 19 +19x+ 1 + + 0 2x+ 1 0 + +f(x) + 0 Figure 11.11 Tableau de signes de −5x+3

2x+1≥ 2

Df =]−12

; 19]

Résoudre 2x+3x+4≥ 3

2x+3−3(x+4)x+4

≥ 0⇔ −x−9x+4≥ 0

a) −x− 9 = 0⇔ −x = 9⇔ x = −9 ;

b) x+ 4 = 0⇔ x = −4 ;

Dressons le tableau de signes.

Figure 11.12 Tableau de signes de 2x+3x+4≥ 3

Df = [−9; 4[

Résoudre (x− 5)(x+ 3)(1− x) ≥ 0

Étudier le domaine de dénition de l'inéquation : P (x)→ (x− 5)(x+ 3)(1− x) ≥ 0


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11.6. EXERCICES 97

Ici P(x) est un produit de polynômes. Le signe du polynôme dépend du signe du produit. Étudionsle signe de chaque monôme et reportons ce signe dans un tableau de signes

x− 5 = 0⇔ x = 5 ; x+ 3 = 0⇔ x = −3 ; 1− x = 0⇔ −x = −1⇔ x = 1x 1 3 1 5 +1x 5 0 +x+ 3 0 + + +1 x + + 0 P (x) + 0 + 0 Figure 11.13 Tableau de signes de (x− 5)(x+ 3)(1− x) ≥ 0

Df =]−∞;−3] ∪ [1; 5]

Résoudre P (x)→ (x−5)(x+3)(1−x)

≥ 0

Étudier le domaine de dénition de l'inéquation : P (x)→ (x−5)(x+3)(1−x)

≥ 0

Ici P(x) est un quotient de polynômes. Le signe du polynôme dépend du signe du quotient. Étudionsle signe de chaque monôme et reportons ce signe dans un tableau de signes

Attention au dénominateur, il faut exclure la valeur pour laquelle celui ci s'annule. Ceci apparaîtrapar une double barre dans le tableau des signes (en dernière ligne).

x− 5 = 0⇔ x = 5 ; x+ 3 = 0⇔ x = −3 ; 1− x = 0⇔ −x = −1⇔ x = 1

Figure 11.14 Tableau de signes de (x−5)(x+3)(1−x)

≥ 0

Df =]−∞;−3]∪]1; 5]

NB : voir la diérence de crochets par rapport à l'exercice précédent.

Rappel : Pour un polynôme du 1er degré de la forme ax+ b = 0, ce dernier s'annule pour x = −a ,dans le tableau on place à droite de cette valeur d'annulation le signe de x, donc à gauche le signede −x.


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Résoudre P (x) : 2(5−x)

− 1x+2≤ 0

Étudier le domaine de dénition de l'inéquation : P (x) = 2(5−x)

− 1x+2≤ 0

Ici il s'agit d'une diérence de quotient de polynômes. Réduisons au même dénominateur.

P (x) = 2(5−x)

− 1x+2≤ 0⇔ P (x) = 2(x+2)

(5−x)− 1(5−x)

x+2≤ 0

P (x) = 2x+4−5+x(5−x)

≤ 0⇔ P (x) = 3x−1(5−x)(x+2)

≤ 0

Étudions le signe de chaque monôme et reportons ce signe dans un tableau de signes. Attention ici ily a plusieurs monômes au dénominateur, il faut exclure les valeurs pour lesquelles le dénominateurs'annule. Ceci apparaîtra par une double barre dans le tableau des signes (en dernière ligne).

5− x = 0⇔ −x = −5⇔ x = 5 ;

x+ 2 = 0⇔ x = 2 ;

3x− 1 = 0⇔ 3x = 1⇔ x = 13;x 1 2 13 5 +15 x + + + 0 x+ 2 0 + + +3x 1 0 + +P (x) + 0 +

Figure 11.15 Tableau de signes de 2(5−x)

− 1x+2≤ 0

Df =]− 2; 13[∪]5; +∞[


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Chapitre 12

NOTION DE FONCTIONS

12.1 NOTION DE FONCTION

Une fonction f est un processus qui, à un nombre x fait correspondre un autre et unique nombref(x).

Notation : f : x 7→ f(x) (on lit : fonction f qui à x associe f(x)

Vocabulaire : x est un antécédent de f(x)f(x) est l'image de x par la fonction f

Propriété : un nombre peut avoir qu'une seule imageun nombre peut avoir plusieurs antécédents

Exemple : à un nombre on associe le carré de ce nombre.

Notons cette fonction par une lettre, f par exemple.

Cette fonction peut se noter : f : x 7→ x2

Le carré de 7 est 49 . Dans le langage des fonctions, on le traduit par : 49 est l'image de 7 par la fonction f. On écrit f(7) = 49 7 est un antécédent de 49 par la fonction f.

Remarque : 49 a plusieurs antécédents : 7 et -7.


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100 CHAPITRE 12. NOTION DE FONCTIONS

12.2 REPRÉSENTATIONGRAPHIQUE D'UNE FONCTION

Dans un repère, la courbe représentative d'une fonction f est formée de tous les points dont lescoordonnées sont de la forme (x; f(x)) ou encore (x; y) avec y = f(x)

Figure 12.1 graphe d'une fonction quelconque

Comment lire sur un graphique :

Énoncé : f est la fonction dénie par le graphique ci-dessous :

1. lire l'image de 5

2. lire les antécédents de 4

Figure 12.2 lecture sur un graphique


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12.2. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D'UNE FONCTION 101

Solution :

1. On repère sur l'axe des abscisses (axes des antécédents) le nombre dont on cherche l'image

2. On construit à partir du nombre un chemin en pointillés comme ci dessous

3. On lit la valeur de l'image sur l'axe des ordonnées.

Réponse : L'image de 5 est -2. Soit f(5) = −2

Figure 12.3 Lire une image d'un nombre

On repère le nombre 4 sur l'axe des ordonnées.on construit à partir du nombre un chemin en pointillés comme ci dessousOn lit les valeurs des antécédents sur l'axe des abscisses (axe des x)Réponse : 4 a pour antécédent : -1 ; -2,3 ; et 7

Figure 12.4 Lecture de l'antécédent


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12.3 CALCUL de L'IMAGE et de L'ANTÉCÉDENT

CALCULER L'IMAGE D'UN NOMBRE ET UN ANTÉCÉDENT D'UN NOMBRE PAR UNEFONCTION DÉTERMINÉE PAR UNE FORMULE

Comment calculer l'image d'un nombre

Exemple :

Calculer l'image des nombres -6 et√

5 par la fonction f : x 7→ 3x2 + 2

Solution : La fonction f est dénie par f(x) = 3x2 + 2

L'image du nombre -6 est f(−6) et l'image du nombre√

5 est f(√

5)

f(−6) = 3 ∗ (−6)2 + 2⇔ f(−6) = 3 ∗ 36 + 2⇔ f(−6) = 108 + 2⇔ f(−6) = 110

f(√

5) = 3 ∗ (√

5)2 + 2 ⇔ f(√

5) = 3 ∗ 5 + 2⇔ f(√

5) = 15 + 2⇔ f(√

5) = 17 Conclusion :

l'image de -6 par la fonction f est 110 l'image de

√5 par la fonction f est 17

Comment calculer un antécédent d'un nombre

Exemple :

Calculer l'antécédent du nombre 8 par la fonction g : x 7→ −5x− 2

Ici la fonction g joue le même rôle que la fonction f vue précédemment.

Solution : La fonction g est dénie par g(x) = −5x− 2

On doit résoudre l'équation g(x) = 8

on a donc :

−5x− 2 = 8⇔ −5x = 8 + 2⇔ −5x = 10⇔ x = 10−5⇔x = −2

Conclusion : L'antécédent du nombre 8 par la fonction g est -2


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12.4. TABLEAU DE VALEURS D'UNE FONCTION 103

12.4 TABLEAU DE VALEURS D'UNE FONCTION

Un tableau de valeurs permet de connaitre les valeurs prises par une fonction f pour certainesvaleurs de la variable .

Exemple

Énoncé : On considère la fonction h dénie par h : x 7→ 3x2 + 2x− 5

Recopier et compléter le tableau de valeurs.

x -2 -1 0 3h(x)

Solution : On calcule l'image de chaque nombre

h(−2) = 3 ∗ (−2)2 + 2 ∗ (−2)− 5 ; h(−1) = 3 ∗ (−1)2 + 2(−1)− 5

h(−2) = 3 ∗ 4− 4− 5 ; h(−1) = 3 ∗ 1− 2− 5

h(−2) = 3 ; h(−1) = −4

h(0) = 3 ∗ 02 + 2 ∗ 0− 5 ; h(3) = 3 ∗ 32 + 2 ∗ 3− 5

h(0) = −5 ; h(3) = 3 ∗ 9 + 6− 5⇔ h(3) = 28

x -2 -1 0 3h(x) 3 -4 -5 28

La fonction h met en relation le nombre 3 et 28

h : 37→28


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Chapitre 13

FONCTION LINÉAIRE

DÉFINITION ET NOTATION

Soit a un nombre xé. On appelle fonction linéaire de coecient a le processus opératoirequi au nombre x associe le produit ax .Une fonction linéaire de coecient a se note f :7→ ax (On lit la fonction f qui a x associeax

Exemple 1 : la fonction f : x 7→ −3x est une fonction linéaire de coecient -3

Exemple 2 :Soit la fonction f : x 7→ 7x alors :f(−2) = 7 ∗ (−2) = −14

-14 est l'image de -2 par la fonction f ; on note f(−2) = −14

f(4) = 7 ∗ 4 = 28

28 est l'image de 4 par la fonction f ; on note f(4) = 28

f(12) = 7 ∗ 12 = 84

84 est l'image de 12 par la fonction f ; on note f(12) = 84

x -2 4 12f(x) -14 28 84

Une fonction linéaire traduit une relation de proportionnalitéExemple 1 : mouvement uniformeLors du test d'une voiture roulant à vitesse constante sur un circuit, les mesures ont permis deréaliser le tableau suivant :

Figure 13.1 relation de proportionnalité


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106 CHAPITRE 13. FONCTION LINÉAIRE

le coecient de proportionnalité est : 6404

= 160

Si t est la durée du parcours, le calcul 160t représente la distance parcourue par la durée t

Cette situation de proportionnalité est associée à une fonction linéaire de coecient 160.On note cette fonction t 7→ 160t

Exemple 2 : périmètre d'un carréCoté d'un carré en cm 1 2 3 4 5 10 4,1

Périmètre de ce carré en cm 4 8 12 16 20 40 16,4

On dit qu'un tableau est un tableau de proportionnalité si les termes de la deuxième ligne s'ob-tiennent en multipliant ceux de la première par un même nombre. Ce nombre s'appelle le coecientde proportionnalité.REPÉRAGE DANS LE PLANUn repère orthogonal du plan est formé de deux droites graduées, perpendiculaires et de mêmeorigine.

Figure 13.2 repère cartésien orthonormé

Un point peut être représenté par deux nombres relatifs appelés les coordonnées du pointCoordonnées du point A : A (-4 ; 2) (abscisse, ordonnée). Le premier nombre est toujours l'abscisse.Le tableau ci dessus est un tableau de proportionnalité. le coecient multiplicateur est 4.

Figure 13.3 fonction croissante y = 4x


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13.1 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE f (x) = ax

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repèreExemple :la représentation graphique de la fonction linéaire f : x 7→ −3x est la droite D passant par l'originedu repère et par le point A(2;−6)

En eet f(2)= −3 ∗ 2 = −6

La droite D a alors pour équation y = −3x et on dit que -3 est le coecient directeur de ladroite D ou pente de la droite représentative de la fonction. Il indique l'inclinaison de la droite

Figure 13.4 équation y = −3x

Exemple : Mouvement uniforme (suite)

Figure 13.5 mouvement uniforme


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13.1. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE F (X) = AX 109

INTERPRÉTATION DU COEFFICIENT DIRECTEUR D'UNE DROITE

Donner le sens de variation d'une fonction linéaire

La variation d'une fonction linéaire f dénie par f(x) = ax dépend du signe du coecient a :

a > 0 : f est croissante

a < 0 : f est décroissante

Cas où le coecient directeur est positif : a > 0

On considère la fonction f dénie par : f : x 7→ 2x

La droite (d) est la représentation graphique de la fonction f

le coecient directeur de la droite (d) est : 2

Soit A un point quelconque de la droite (d). Si on augmente de 1 son abscisse et si on augmentede 2 son ordonnée, on obtient les coordonnées d'un nouveau point B de la droite. Ici la fonctionest croissante

Figure 13.6 fonction croissante y = 2x

Nous pouvons dresser le tableau suivant :x 1 +1f(x)Figure 13.7 Tableau de variation y = 2x


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Cas où le coecient directeur est négatif : a < 0

On considère la fonction f dénie par : g : x 7→ −2, 5x

le coecient directeur de la droite (D) est : -2,5

Soit C un point quelconque de la droite D. Si on augmente de 1 son abscisse et si on diminue de2,5 son ordonnée, on obtient les coordonnées d'un nouveau point D de la droite. Ici la fonction estdécroissante.

Figure 13.8 fonction décroissante y = −2, 5x

Nous pouvons dresser le tableau suivant :x 1 +1f(x)Figure 13.9 Tableau de variation y = −2, 5x

Parmi les expressions de fonctions linéaires suivantes, indiquer celles qui dénissent des fonctionsdécroissantes.f(x) = −2, 5x ;g(x) = x

3; h(x) = −0, 5x

f(x) le coecient a = −2, 5 est < 0 , négatif donc la fonction est décroissante

g(x) le coecient a = 13 est > 0 , positif donc la fonction est croissante

h(x) le coecient a = −0, 5 est < 0 , négatif donc la fonction est décroissante


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Chapitre 14

LES FONCTIONS AFFINES

INTRODUCTION 1

Exemple : le prix de location d'une voiture est de 20 euros puis de 0,10 euro du kilomètre eectué.

On peut alors compléter le tableau suivant :

nombre de kilomètres parcourus 100 120 250 320 500prix payé en euros 30 32 45 52 70

Lorsque l'on parcourt x kilomètres, le prix y vaut : y = 0, 10x+ 20

14.1 DÉFINITION

Étant donné deux nombres réels a et b , le procédé qui à tout nombre x fait correspondrele nombre ax+ b s'appelle une fonction ane. On note : x 7→ ax+ b (qui se lit : qui à x associele nombre ax+ b ). On dit que ax+ b est l'image de x.

On considère la fonction ane f(x) = a.x + b. Tout réel x a une image par cette fonction f ,c'est à dire que quelque soit la valeur donnée à x , on peut calculer f(x). L'étude de la fonctionf se fera donc sur l'intervalle ]−∞; +∞[

Cas particuliers : les fonctions linéaires sont un cas particuliers des fonctions anes. En eet, sib = 0, alors la fonction s'écrit :x 7→ ax . Dans le cas où a = 0, la fonction s'écrit: x 7→ b. C'est unefonction constante.

14.2 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE

La représentation graphique de la fonction ane x 7→ ax + b est la droite d'équation y = ax + b. a est le coecient directeur de la droite, b est l'ordonnée à l'origine.

1. cours les fonctions anes issu du site l'ile des mathématiques


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112 CHAPITRE 14. LES FONCTIONS AFFINES

Exemple : Traçons la représentation graphique de la fonction f(x) = 2x+ 6 .f est une fonction ane, sa représentation graphique est la droite (d1) d'équation y = 2x + 6Comme f(−2) = 2×(−2)+6 = −4+6 = 2, alors (d1) passe par le point de coordonnées (−2; 2).Comme f(1) = 2 × 1 + 6 = 2 + 6 = 8, alors (d1) passe par le point de coordonnées (1; 8). (envert sur le dessin)

Traçons la représentation graphique de la fonction g(x) = −x+ 3g est une fonction ane, sa représentation graphique est la droite (d2) d'équation y = −x + 3.Comme g(3) = −3 + 3 = 0, alors (d2) passe par le point de coordonnées (3; 0). Comme g(−1) =−(−1) + 3 = 1 + 3 = 4, alors (d2) passe par le point de coordonnées (−1; 4). (en rouge sur ledessin)

Traçons la représentation graphique de la fonction h(x) = xh est une fonction linéaire, sa représentation graphique est la droite (d3) d'équation y = x. Ellepasse par O. Commeh(3) = 3, alors (d3) passe par le point de coordonnées (3; 3). (en bleu surle dessin)

Traçons la représentation graphique de la fonction j(x) = 5j est une fonction ane (constante), sa représentation graphique est la droite (d4) d'équationy =5 (en violet sur le dessin)

Figure 14.1 diérents coecients directeurs


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14.2. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE 113

La fonction linéaire dénie par f(x) = ax est une fonction ane de la forme f(x) = ax + b avecb = 0 (exemple : f(x) = 2x)

La fonction constante dénie par f(x) = b est une fonction ane de la forme f(x) = ax + b aveca = 0 (exemple : f(x) = 5 Quelque soit la valeur donnée a x , y reste constant)

et enn nous avons x = b (exemple : x = 4 Quelque soit la valeur donnée a y , x reste constant)

Figure 14.2 y = 2x


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14.3 PROPORTIONNALITÉ DES ACCROISSEMENTS : 2

Qu'est qu'un accroissement ?

Dans une situation donnée nous parlons d'accroissement lorsqu'entre une valeur de départ (va-leur initiale) et une valeur d'arrivée (valeur nale), nous constatons une augmentation ou unediminution. Lorsqu'il n'y a aucun changement nous disons que la valeur est stable ou encore quel'accroissement est nul (égal à 0).

Un accroissement est calculé en faisant : valeur nale - valeur initiale

Une augmentation est appelée accroissement positif alors qu'une diminution est appelée accroisse-ment négatif.

Pour symboliser cette notion, appelons x0 la valeur initiale et x1 la valeur nale. L'accroissementcorrespondant est donc x1 − x0.

Par exemples : x0 = 2 et x1 = −3 , l'accroissement est −3− 2 = −5 (accroissement négatif). x0 = −2 et x1 = 3 , l'accroissement est 3− (−2) = 3 + 2 = 5 (accroissement positif)

Pour une fonction ane :

Soit la fonction ane f(x) = ax+ b. Si x augmente (ou diminue) que devient son image f(x) ?

Choisissons une valeur initiale arbitraire x0 et une valeur nale toute aussi arbitraire x1.

L'accroissement est donc : x1 − x0.

Les images de ces valeurs sont : f(x0) = ax0 + b et f(x1) = ax1 + b.

L'accroissement sur les images est f(x1)− f(x0) c'est à dire :

(ax1 + b)− (ax0 + b) = ax1 + b− ax0 − b donc :f(x1)− f(x0) = ax1 − ax0 et :

f(x1)− f(x0) = a(x1 − ax0) ⇔ f(x1)−f(x0)(x1−ax0)

= a

Cette fraction difference des ordonneesdifference des abscisses

est appelé taux d'accroissement.

Observons bien ce résultat. Il montre que l'accroissement des images (c'est à dire (f(x1)− f(x0))est obtenu en multipliant l'accroissement des valeurs par le coecient directeur a de la fonctionane.

Exemple : si la fonction ane est f(x) = 2x + 1 et que la valeur de x passe de 3 à 1 alorsl'accroissement des images est : f(1)− f(3) = 2(1− 3) = −4.

Quelques soient les valeurs initiales et nales de x , l'accroissement des images est 2 fois l'accrois-sement des valeurs de x . Ce qui correspond à une situation de proportionnalité, le coecientde proportionnalité étant le coecient directeur de la fonction ane :

2. paragraphes issus du site http ://mathsgeo.net/


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14.3. PROPORTIONNALITÉ DES ACCROISSEMENTS : 115

Les accroissements des images sont proportionnels aux accroissements des antécédents. Le coecient de proportionnalité est le coecient directeur de la fonction ane.

Notez bien : si vous connaissez deux nombres et leurs images par une fonction ane inconnue, enutilisant la propriété ci dessus, vous pouvez calculer simplement le coecient directeur de cettefonction ane.

On en déduit les formules permettant de calculer le coecient directeur d'une fonction ane f :

A partir de deux nombres x1 et x2 et de leurs images par f : a = f(x1)−f(x2)x1−x2

A partir deux points A et B de la représentation graphique de f : a = ya−ybxa−xb

Sur une représentation graphique :

Reprenons la fonction anef(x) = 2x+ 1 et représentons la dans un repère d'axe (x′x) et (y′y) :

Figure 14.3 y = 2x+ 1

Un autre exemple est représenté : lorsque x passe de -2 à 4, les images passent de -3 à 9. A unaccroissement de 4− (−2) = 6 correspond un accroissement de 9− (−3) = 12. ce qui correspondà 6 multiplié par le coecient directeur 2.


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14.4 MÊME COEFFICIENT DIRECTEUR

Soient les fonctions f(x) = ax+b et g(x) = ax+b′. Ces deux fonctions anes ont même coecientdirecteur a . Nous avons la propriété suivante : Si deux fonctions anes ont même coecientdirecteur alors elles sont représentées par deux droites parallèles.

Ce qui peut encore s'énoncer dans un repère du plan : Si deux droites ont même coecient directeuralors elles sont parallèles.

Réciproquement :

Si deux fonctions anes sont représentées par des droites parallèles alors elles ont le même coe-cient directeur. Ou encore dans un repère du plan : Si deux droites sont parallèles alors elles ontmême coecient directeur.

Exercice : Déterminer l'équation d'une droite parallèle à une autre droite :

soit D1 d'équation y = 2x− 1. Trouver l'équation de D2 // D1 et passant par le point A = (3; 1)

Solution : une droite étant la représentation graphique d'une fonction ane a une équation dela forme y = ax+ b

- deux droites parallèles ont même coecient directeur donc D2//D1⇒ a = 2

- D2 est une droite d'équation y = 2x+ b

- pour trouver b on se place sur le point A où l'on a x = 3 et y = 1

- l'équation de D2 en A devient ainsi 1 = 2 Ö 3 + b d'où b = -5

- D2 a donc pour équation y = 2x− 5

Figure 14.4 y = 2x+ 5(rouge)


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14.5. DROITES REPRÉSENTATIVES PERPENDICULAIRES 117

14.5 DROITES REPRÉSENTATIVES PERPENDICULAIRES

Si , dans un repère orthonormal, deux fonctions anes sont représentées par des droites perpen-diculaires alors leurs coecients directeurs a et a′ sont tels que aa′ = −1

Réciproquement :

Si, dans un repère orthonormal, les coecients a et a′ de deux droites représentatives est tel queaa′ = −1 alors ces deux droites sont perpendiculaires.

Exercice : Déterminer l'équation d'une droite perpendiculaire à une autre droite

Méthode : le principe est identique au cas précédent. On utilise le fait que si deux droites sont

perpendiculaires, les coecients directeurs a et a' de leur équation sont liés par la relation

a× a′ = −1

Soit f(x) = 2x− 5. Pour obtenir une droite perpendiculaire à cette fonction, nous devons avoir les

coecients directeurs des droites tels que axa′ = −1 soit a = 2 et a′ = −12

Nous aurons la droite perpendiculaire représentée par la fonction g(x) = −12x + b. Suivant la

valeur donnée à b on obtiendra une famille de droites parallèles entre elles et perpendiculaires

à f(x) = 2x− 5

(par exemple : f(x) = −0, 5x− 2 ; f(x) = −0, 5x ; ...)

Faisons passer ces droites par un point A(0 ;2). Quelle est l'équation de cette droite h(x) ?

L'équation générale est y = −0, 5x+ b .Au point A, nous obtenons 2 = −0, 5x0 + b⇔ b = 2 donc

h(x) = −0, 5x+ 2

Figure 14.5 h(x) = −0, 5x+ 2 (bleu)


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APPARTENANCE À UNE DROITE

Appartenance d'un point à une droite représentative :

Soit la fonction ane f(x) = ax + b. Pour que le point P (xP , yP ) appartienne à la droite repré-sentative de f , il sut que yP = axP + b.

Exemple : f(x) = 3x− 1 ; (D) la droite représentative de f , A(2; 12) et B(1; 2).

- L'équation de la droite représentative est y = 3x− 1. Nous avons :yA = 1

2

3xB − 1 = 3Ö2− 1 = 5

Comme yA est diérent de 3xA − 1 alors A n'est pas un point de (D)

- Pour B nous avons :yB = 2

3xB − 1 = 3Ö1− 1 = 2

Comme yB = 3xB − 1 alors B est un point de (D)

Figure 14.6 appartenance à une droite y = 3x− 1


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Exercice : Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points connus :

- déterminer l'équation de la droite D passant par A = (−1; 3) et B = (2; 1)

Solution utilisant le taux de variation : la droite passant par deux points A = (x1; y1) et B =(x2; y2)

a pour coecient directeur :

a = y2−y1x2−x1 = 1−3

2−(−1)= −2

3

C'est le taux de variation de la fonction entre les points A et B.

La droite D a une équation de la forme y = −23x+ b

En A l'équation devient 3 = −23× (−1) + b d'où b = 3− 2

3= 7

3

Ainsi, D a pour équation : y = −23x+ 7

3

Figure 14.7 droite de la fonction y = −23x+ 7

3passant par deux points


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Exercice : Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points connus :

- déterminer l'équation de la droite D1 passant par A = (2;−3) et C = (0, 5;−1, 5) et déterminerl'équation de la droite D2 passant par A = (2;−3) et B = (0;−7)

Solution utilisant le taux de variation :

la droite passant par deux points A = (x1; y1) et C = (x2; y2) a pour coecient directeur :

a = y2−y1x2−x1 = −1,5−(−3)

0,5−2)= 1,5−1,5

= −1

C'est le taux de variation de la fonction entre les points A et C.

La droite D1 a une équation de la forme y = −1x+ b = −x+ b

En A l'équation devient −3 = (−1)× (2) + b d'où b = −3 + 2 = −1

Ainsi, D1 a pour équation : y = −x− 1

La droite passant par les deux points A = (x1; y1) et B = (x2; y2) a pour coecient directeur :

a = y2−y1x2−x1 = −7−(−3)

0−2)= −4−2

= 2

C'est le taux de variation de la fonction entre les points A et C.

La droite D2 a une équation de la forme y = 2x+ b

En A l'équation devient −3 = (2)× (2) + b d'où b = −3− 4 = −7

Ainsi, D2 a pour équation : y = 2x− 7

Figure 14.8 y = 2x− 7

Exercice :


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- déterminer l'intersection au point I de D1 et D2 sachant que

l'équation de D1 est y = −x+ 5

l'équation de D2 est y = x2

+ 2

Solution par équation aux abscisses :

Au point d'intersection on a : −x+ 5 = x2

+ 2 D'où

5− 2 = x2

+ 2⇔ 3 = 3x2⇔ x = 2

On reporte dans l'équation de D1 y = −2 + 5 et y = 3

La solution cherchée est donc le point I = (2; 3)

Figure 14.9 intersection de y = −x+ 5 et de y = x2

+ 2


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14.6 Signe du binôme a.x + b.

Déterminer le ou les antécédents de 0 par le fonction f. Pour les trouver, il nous faut résoudrel'équation f(x) = 0.

f(x) = 0 équivaut à a.x+ b = 0 équivaut à : a.x = −b équivaut à x = −b/aDonc l'unique antécédent de 0 par la fonction f est −b/a. Cette trouvaille est riche de conséquences.En eet :

Quand a est négatif, la fonction f est décroissante. Positionnons −b/a dans le tableau devariation de f . x 1 ba +1f(x) 0

Figure 14.10 Tableau de valeurs pour fonction ane décroissante

−b/a est le point où f(x) change de signe...

Donc lorsque x est situé avant −b/a, alors f(x) est plus grand que f(−b/a) = 0. donc avant−b/a, f(x) est positif.

De même lorsque x est situé après −b/a, alorsf(x) est plus petit que f(−b/a) = 0. donc après−b/a, f(x) est négatif. x 1 ba +1ax+ b + 0

Figure 14.11 Tableau de signes pour fonction ane décroissante

Quand a est positif, la fonction f est croissante. Positionnons là encore−b/a dans le tableau devariation de f . x 1 ba +1f(x) 0

Figure 14.12 Tableau de valeurs pour fonction ane croissante

−b/aest le point oùf(x) change de signe...


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14.6. SIGNE DU BINÔME A.X + B. 123

Lorsque x est plus petit que−b/a, alors f(x) est également plus petit que f(−b/a) = 0. donc avant−b/a, f(x) est négatif.

Lorsque x est plus grand que−b/a, alors f(x) est également plus grand que f(−b/a) = 0. doncaprès −b/a, f(x) est positif.

Conclusion : nous connaissons le signe du binôme a.x+ b en fonction de x . Cela est résumé parle tableau de signe suivant : x 1 ba +1ax+ b 0 +

Figure 14.13 Tableau de signes pour fonction ane croissante


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14.7 ÉTUDE DE FONCTION 3

Étude de la fonction ane f(x) = 1, 5.x+ 2

Une page est consacrée à l'étude des fonctions anes en générale. A beaucoup, cela paraitrasans doute trop abstrait et peu parlant.C'est pourquoi, nous étudierons deux fonctions anesparticulières. Voici l'une d'entre elle...

Étudions la fonction ane f dénie par : pour tout réel x (]−∞; +∞[), f(x) = 1, 5.x+ 2

Ici,a = 1, 5 et b = 2.

Courbe représentative.

La courbe représentative de la fonction f est la droite D d'équation y = 1, 5.x + 2. Traçons cettecourbe.

Pour tracer une droite, il faut en connaitre deux points. Comme f(0) = 1, 5 × 0 + 2 = 2, alors ladroite D passe par le point M(0; 2). De même, vu que f(1) = 1, 5× 1 + 2 = 3, 5, alors la droite Dpasse par le point N(1; 3, 5). Ce qui donne la courbe suivante :

Figure 14.14 f(x) = 1, 5.x+ 2

Variations de la fonction f.

Vu que tout réel x a une image par cette fonction f, l'étude de celle-ci se fera donc sur l'intervalle]−∞; +∞[.

Soient x et y deux réels tels que x < y. Classiquement, intéressons-nous au signe de ladiérence f(y)− f(x).

f(y)− f(x) = (1, 5.y + 2)− (1, 5.x+ 2) = 1, 5.y + 2− 1, 5.x− 2 = 1, 5.y − 1, 5.x = 1, 5.(y − x)

Comme y est plus grand que x alors le facteur y − x est positif.

En tant que produit de deux facteurs positifs, la diérence est elle aussi positive. Ainsi :

3. issu du site http ://tanopah.jo.free.fr/seconde


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14.7. ÉTUDE DE FONCTION 125

Si x < y alors f(y) − f(x) > 0 ⇔ f(x) < f(y). donc la fonction f est croissante sur R . Ce quel'on résume par le tableau de variation suivant :

Figure 14.15 Tableau de variation de f(x) = 1, 5.x+ 2

Signe du binôme 1, 5.x+ 2.

Pour parvenir à nos ns, déterminons le ou les antécédents de 0 par f. Pour les trouver, il nousfaut résoudre l'équation : f(x) = 0.

f(x) = 0 équivaut à 1, 5.x + 2 = 0 équivaut à 1, 5.x = −2 équivaut à x = −2/1, 5 équivaut àx = −4/3

Donc l'unique antécédent de 0 par la fonction f est -4/3. Or la fonction f est croissante. Positionnons-4/3 dans son tableau de variation.

Figure 14.16 Tableau de valeur de f(x) = 1, 5.x+ 2

Donc :

Lorsque x est plus petit que −4/3, alors f(x) est également plus petit que f(−4/3) = 0. donc avant−4/3, f(x) = 1, 5.x + 2 est négatif. Lorsque x est plus grand que −4/3, alors f(x) est égalementplus grand que f(−4/3) = 0. donc après −4/3, f(x) = 1, 5.x+ 2 est positif.

Conclusion : Le signe du binôme 1, 5.x+ 2 en fonction de x est donc :

Figure 14.17 Tableau de signes de f(x) = 1, 5.x+ 2


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Étude de la fonction ane f(x) = −2.x+ 1

Étudions la fonction ane f dénie par : pour tout réel x, f(x) = −2.x+ 1

Ici,a = −2 et b = 1.

Courbe représentative.

La courbe représentative de la fonction f est la droite D d'équation y = −2.x+ 1.

Traçons cette courbe. Pour tracer une droite, il faut en connaitre deux points.

Comme f(0) = −2 × 0 + 1 = 1, alors la droite D passe par le point M(0; 1). De même, vu quef(1) = −2 × 1 + 1 = −1, alors la droite D passe par le point N(1;−1). Ce qui donne la courbesuivante :

Figure 14.18 y = −2x+ 1

Variations de la fonction f.

Vu que tout réel x a une image par cette fonction f, l'étude de celle-ci se fera donc sur l'intervalle]−∞; +∞[.

Soient x et y deux réels tels que x < y. Classiquement, intéressons-nous au signe de la diérencef(y)− f(x).

f(y) - f(x) = (-2.y + 1) - (-2.x +1) = −2.y + 1 + 2.x− 1 = −2.y + 2.x = 2.(x− y)

Comme y est plus grand que x alors le facteur x−y est négatif. En tant que produit de du nombrepositif 2 et du facteur négatif x− y, la diérence est donc négative. Ainsi :

Si x < y alors f(y)− f(x) < 0⇔ f(x) > f(y). donc la fonction f est décroissante sur R .

Ce que l'on résume par le tableau de variation suivant :


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14.7. ÉTUDE DE FONCTION 127

Figure 14.19 Tableau de variations pour y = −2x+ 1

Signe du binôme −2.x+ 1.

Pour parvenir à nos ns, déterminons le ou les antécédents de 0 par f.

Pour les trouver, il nous faut résoudre l'équation f(x) = 0.

f(x) = 0 équivaut à −2.x + 1 = 0 équivaut à −2.x = −1 équivaut à x = (−1)/(−2) équivaut àx = 0, 5

Donc l'unique antécédent de 0 par la fonction f est 0,5. Or la fonction f est décroissante. Posi-tionnons 0,5 dans son tableau de variation.

Figure 14.20 Tableau de valeurs pour y = −2x+ 1

Donc :

Lorsque x est inférieur à 0,5, alors f(x) est supérieur à f(0, 5) = 0. donc avant 0,5, f(x) = −2.x+1est positif.

Lorsque x est supérieur à 0,5, alors f(x) est inférieur à f(0, 5) = 0. donc après 0,5, f(x) = −2.x+1est négatif.

Conclusion : Le signe du binôme -2.x + 1 en fonction de x est donc :

Figure 14.21 Tableau de signes pour y = −2x+ 1


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Chapitre 15

SYSTÈMES d'ÉQUATIONS LINÉAIRES

15.1 ÉQUATION LINÉAIRE À DEUX INCONNUES

Une équation linéaire à deux inconnues est une équation de la forme :

ax+ by = c

où a, b, c sont des nombres réels donnés avec (a; b) 6= (0; 0) et x et y sont les inconnues. Unesolution de cette équation est un couple (x; y) qui vérie l'égalité ax+ by = c.

On considère l'équation (E) : 3x+ 2y = 5

1° Trouver 3 solutions de l'équation (E).

2° Combien cette équation admet elle de solutions ?

3° On ne peut énumérer toutes les solutions, on va donc les représenter graphiquement en associantà chaque couple solution(x; y) le point du plan de coordonnées (x; y).

a) Exprimer y en fonction de x dans l'équation (E).

b) On appelle D l'ensemble des points dont les coordonnées vérient l'équation (E).

Quelle est la nature de D ? Tracer D. Retrouver les solutions précédentes.

On considère la droite D1 d'équation (E1) : y = −35x+ 4 et la droite D2 d'équation (E2) : x = 7

2

Proposer une écriture de (E1 ) et de (E2 ) sous forme d'équation linéaire à deux inconnues. Cesformes sont elles uniques ?

Propriété : Toute équation linéaire du type ax + by = c, où a, b, c sont des nombres réels donnésavec (a; b) 6= (0; 0) et (x; y) le couple inconnu, est l'équation d'une droite D. Lorsque a et b ne sontpas simultanément nuls, on peut toujours écrire ax+ by = c sous l'une des formes :y = mx+ p oux = k.


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130 CHAPITRE 15. SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES

En eet :

- si b 6= 0, alors ax + by = c, est équivalent à y = −ax + c , la droite D admet le réel − bacomme

coecient directeur.

- si b = 0 avec a 6= 0 et ax + by = c, est équivalent à x = ca, la droite D est parallèle à l'axe des

ordonnées.

Le système peut être résolu graphiquement ou algébriquement.

Réciproquement l'équation de toute droite peut se ramener à une équation linéaire du type :ax+by = c avec (a; b) 6= (0; 0)


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15.2. SYSTÈME DE DEUX ÉQUATIONS LINÉAIRES 131

15.2 SYSTÈME DE DEUX ÉQUATIONS LINÉAIRES

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est un système de la forme :

(S) =

ax+ by = c

a′x+ b′y = c′

où a, a', b, b', c, et c' sont des nombres réels donnés avec (a; b) 6= (0; 0) et (a′; b′) 6= (0; 0) et ( x ety ) est le couple des inconnues.Une solution de ce système est un couple (x; y) vériant simultanément les deux équations.

Résoudre graphiquement le système

3x+ 2y = 5 (1)

-x+ 2y = 9 (2)

Dans le cas général, en utilisant l'interprétation graphique faîte précédemment, indiquer le nombrede solutions que peut avoir un tel système.

INTERPRÉTATION GRAPHIQUE :

soit le système (S) :

ax+ by = c (1)

ax+ by = c (2)

avec (a; b) 6= (0; 0) et (a′; b′) 6= (0; 0).

- Le plan étant muni d'un repère (O,−→i ,−→j ), les équations (1) et (2) dénissent 2 droites D1 et

D2 . Un couple (x; y) de nombres réels est solution de (S) si, et seulement si, le point M(x; y)appartient à D1 et D2 .Résoudre (S) revient donc à étudier la position relative des droites D1 et D2 , c'est à dire àdéterminer s'il existe des point de coordonnées (x; y) appartenant simultanément à ces 2 droites.Il peut se présenter 3 cas distincts

Figure 15.1 Solutions en fonction des positions des droites

b) cas où b = 0 ou b′ = 0

Alors, l'une des droites D1 et D2 , au moins, est parallèle à l'axe des ordonnées. Il est aisé dansce cas de savoir si D1 et D2 sont sécantes, ou parallèles disjointes, ou confondues.


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MÉTHODES NUMÉRIQUES DE RÉSOLUTION DANS LE CAS D'UNE SOLU-TION UNIQUE

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE de SUBSTITUTION :

La méthode consiste à exprimer x (respectivement y) en fonction de y (respectivement de x ) dansune des deux équations puis à reporter cette expression dans l'équation restante.

Exemple :

5x+ 3y = 4 (1)

7x-y = 2 (2)

D'après (2) on a y = 7x− 2

Remplaçons y par sa valeur dans (1)5x+ 3(7x-2) = 4

y = 7x-25x+ 21x− 6 = 4

y = 7x-226x = 10

y = 7x− 2x = 5

13

y = 7x− 2x = 5

13

y = 7x 513-2

on en déduit :

x = 5

13

y = 913


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15.2. SYSTÈME DE DEUX ÉQUATIONS LINÉAIRES 133

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE COMBINAISON LINÉAIRE

Cette méthode consiste à transformer le système an d'éliminer successivement chacune des in-connues en combinant les deux équations. Pour cela on peut multiplier les membres d'une (ou desdeux) équation(s) par un nombre non nul puis ajouter ou retrancher membre à membre les deuxéquations ainsi obtenues.

Exemple :

3x-2y = 5 (1)

5x+ 4y = 1 (2)

On peut éliminer par addition en multipliant l'équation (1) par 23x-2y = 5(*2)

5x+ 4y = 16x-4y = 10

5x+ 4y = 1

Par addition des deux égalités membre à membre, on en déduit que 11x = 11

Soit x = 1 et y = −1


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CAS DE RÉSOLUTION DANS LE CAS OÙ LE SYSTÈME N'A PAS une SOLU-TION UNIQUE

On considère le système (S) :

4x-6y = 9

6x-9y = 2

a) Combien le système admet il de solutions ?

b) Multiplier la première équation par 3 et la deuxième équation par 2.

c) Conclure.

On obtient

12x-18y = 27

12x− 18y = 4Ce système n'admet aucune solution.

On considère le système (S) :

2x+ 6y = 8

3x+ 9y = 12

a) Combien le système admet il de solutions ?

b) Multiplier les deux équations par des nombres bien choisis an de rendre les coecients de xégaux.

c) Conclure.

On multiple la première équation par 3 et la deuxième équation par 2.

On obtient :

6x+ 18y = 24

6x+ 18y = 24⇔ 6x+ 18y = 24

Ce système admet une innité de couples solution.


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15.3. MISE EN ÉQUATION DE PROBLÈMES CONDUISANT ÀUN SYSTÈMED'ÉQUATIONS135

15.3 MISE EN ÉQUATION DE PROBLÈMES CONDUI-SANT À UN SYSTÈME D'ÉQUATIONS

Exemples :

1) En terrasse : Deux cocas, trois oranginas : 11,2¿ , trois cocas, cinq oranginas : 19,9¿ Combien coûte le coca ? l'orangina ?

Mise en équations du problème. Soit x le prix d'un coca et y le prix d'un orangina.

On en déduit le système suivant :

2x+ 3y = 11, 2

3x+ 5y = 17, 9dont la solution est

x = 2, 3

y = 2, 2

2) Au restaurant : Des personnes ont toutes pris le même menu. Si elles donnent chacune 12¿,il manque au total 9¿ ; si elles donnent chacune 14¿, le restaurant leur rend 3¿. Retrouver lenombre de convives ainsi que le prix du repas par personne.

Mise en équation du problème. Soit x le nombre de convives e y le prix total de l'addition.

On en déduit le système suivant :

12x = y-9

14x = y + 3dont la solution est

x = 6

y = 81

Donc le nombre de convives est 6 et le prix de repas 816¿ soit 13,50¿.

3) Une boîte contient des boules rouges et des boules noires. Si l'on ajoute une boule rouge, lesboules rouges représentent alors 25% du contenu de la boîte. Si l'on retire une boule rouge, lesboules rouges représentent alors 20% du contenu de la boîte. Combien y a-t-il de boules rouges etde boules noires dans la boîte ?

Mise en équation du problème. Soit x le nombre de boules rouges et y le nombre de boules noires.x+ 1 = 0, 25(x+ y + 1)

x− 1 = 0, 20(x+ y-1)x+ 1 = 0, 25x+ 0, 25y + 0, 25

x-1 = 0, 2x+ 0, 2y-0, 20, 75x-0, 25y = -0, 75

0, 8x-0, 2y = 0, 8

en multipliant la première équation par 4 et la deuxième par 5, on obtient le système suivant :3x-y = -3

4x-y = 4

On en déduit la solution

x = 7

y = 24Soit 7 boules rouges et 24 boules noires.


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15.4 EXERCICES

SYSTÈME de 2 ÉQUATIONS À 2 INCONNUES3x+ 5y = 41 (1)

x+ 2y = 16 (2)

Par la méthode de substitution : exprimons x en fonction de y dans l'équation (2) et remplaçonsx par la valeur obtenue dans l'équation (1).

3(16-2y) + 5y = 41 (1)

x = 16-2y (2)⇔

48-6y + 5y = 41 (1)

x = 16-2y (2)⇔

48− y = 41 (1)

x = 16-2y (2)

-y = 41-48

x = 16-2y⇔

−y = −7 (1)

x = 16− 2y (2)⇔

y = 7 (1)

x = 16− 2y (2)

y = 7 (1)

x = 16− 2 ∗ 7 (2)⇔

y = 7

x = 2

SYSTÈME de 2 ÉQUATIONS À 2 INCONNUES3x+ 5y = 41 (1)

x+ 2y = 16 (2)

Même exercice que ci dessus par la méthode de combinaisons linéaires : utilisation de multiplica-tions, divisions, additions et soustractions. Ici nous allons éliminer x par addition mais au préalablenous allons multiplier l'équation (2) par le réel −3. On obtient :

3x+ 5y = 41

x+ 2y = 16 [*(−3)]⇔

3x+ 5y = 41 (1)

-3x− 6y = -48 (2)additionnons l'équation (1) et (2).

5y − 6y = 41− 48⇔ −y = −y ⇔ y = 7

Remplaçons y par sa valeur dans l'une ou l'autre des équations : remplaçons y dans la deuxièmeéquation. On obtient :

−3x− 6 ∗ 7 = −48⇔ −3x− 42 = −48⇔ −3x = −6⇔ 3x = 6⇔ x = 2x = 2

y = 7noté (x; y) = (2; 7)


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15.4. EXERCICES 137

SYSTÈME de 3 ÉQUATIONS À 3 INCONNUESx+ 2y + 3z = 20 (1)

2x+ 3y + z = 20 (2)

3x+ y + 2z = 14 (3)

Résolution par la méthode du pivot de GAUSS : la méthode consiste à éliminer par additions etmultiplications 1 inconnue dans la 2ième équation d'abord puis à éliminer une inconnue dans la3ième équation an d'obtenir un système triangulaire de la forme suivante.αx+ βy + γz = δ (1)

0x+ β′y + γ′z = δ′ (2)

0x+ 0y + γ′′z = δ′′ (3)

Nous allons transformer l'équation (2). Faisons l'addition de la ligne 2 et de la ligne 1 ( multipliéepar - 2), et remplaçons la ligne 2 par le résultat obtenu.

Nous allons transformer l'équation (3). Faisons l'addition de la ligne 3 et de la ligne 1 ( multipliéepar - 3), et remplaçons la ligne 3 par le résultat obtenu.

La 1ère équation restant inchangée. Voici la notation :x+ 2y + 3z = 20 (1)

2x+ 3y + z = 20 (2)L2 ← −2L1 + L2

3x+ y + 2z = 14 (3)L3 ← −3L1 + L3

⇔

x+ 2y + 3z = 20 (1)

0x− y-5z = -20 (2)

0x-5y-7z = -46 (3)

Maintenant il ne reste plus qu'à éliminer y dans la 3ieme équation.

Nous allons transformer l'équation (3). Faisons l'addition de la ligne 3 et de la ligne 2 ( multipliéepar - 5), et remplaçons la ligne 3 par le résultat obtenu. Les deux premières équations restantinchangées.x+ 2y + 3z = 20 (1)

0x− y-5z = -20 (2)

0x-5y-7z = -46 (3)L3← −5L2 + L3

⇔

x+ 2y + 3z = 20 (1)

0x− y-5z = -20 (2)

0x-0y + 18z = 54 (3)

Nous avons obtenu le système triangulaire cherché.

18z = 54⇔ z = 5418

= 3


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Portons cette valeur dans l'équation (2), on obtient :

−y − 5 ∗ 3 = −20⇔ −y = −20 + 15⇔ −y = −5⇔ y = 5

Portons la valeur de z et de y dans l'équation (1), on obtient :

x+ 2 ∗ 5 + 3 ∗ 3 = 20⇔ x = 20− 10− 9 = 1

S =

x = 1

y = 5

z = 3

Pour vérier il sut de remplacer ces valeurs dans les équations d'origines !


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Chapitre 16

SYSTÈMES d'INÉQUATIONSLINÉAIRES

16.1 LES INÉQUATIONS

- Une inéquation est un énoncé algébrique qui comporte une ou plusieurs variables et un symboled'inégalité.

- Une inéquation est aux inégalités ce qu'une équation est aux égalités. On utilisera pour uneinéquation les signes :

> signiant : plus grand que ...

< signiant : plus petit que ...

≥signiant : supérieur ou égal à ...

≤ signiant : inférieur ou égal à ...

Voici quelques exercices pour tenter de trouver ces relations d'inégalités :

Traduction en inéquations

- Pour traduire une information en une inéquation, on doit :

1° identier la ou les variables dans les situations données ;

2° établir les expressions algébriques à comparer ;

3° écrire l'inéquation en choisissant le symbole d'inégalité approprié ;

- Les valeurs qui vérient une inéquation sont appelées des solutions de l'inéquation. L'ensemblede ces valeurs est appelé l'ensemble-solution.

Exemples :

1° Je cherche un fournisseur de service Internet. La compagnie A peut me fournir 30 heures deconnexion pour un maximum de 15¿.

Variable : coût total de connexion (x)

Traduction x ≤ 30


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140 CHAPITRE 16. SYSTÈMES D'INÉQUATIONS LINÉAIRES

Figure 16.1 relations d'inégalités

2° Julien et Virginie aimeraient bien acheter un jeu vidéo. Ils ont remarqué qu'ils possèdent en-semble un total de moins de 60¿. Comment mathématiser cette situation ?

Variables : argent de Julien (x), argent de virginie (y)

Traduction : x+ y < 60


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16.2. RÈGLES DE TRANSFORMATION DES INÉQUATIONS 141

16.2 RÈGLES DE TRANSFORMATIONDES INÉQUATIONS

1° Règle d'addition ou de soustraction

- L'addition ou la soustraction d'une même quantité aux deux membres d'une inéquation conservele sens de cette inéquation.x > y

x+ 5 > y + 5;

z < y

z − 10 < y − 10

2° Règle de multiplication ou de division

- La multiplication ou la division de deux membres d'une inéquation par un nombre strictementpositif conserve le sens de l'inéquation.

(x+ 5) > y − 10⇔ (x+ 5) ∗ 2 > (y − 10) ∗ 2⇔ x+53> y−10

3

- La multiplication ou la division de deux membres d'une inéquation par un nombre strictementnégatif inverse le sens de l'inéquation.

(x+ 5) > y − 10⇔ (x+ 5) ∗ (−2) < (y − 10) ∗ (−2)⇔ x+5−3

< y−10−3

Remarques : Ces modications transforment les inéquations en inéquations équivalentes donc leurensemble-solution ne change pas.


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16.3 INÉQUATIONS LINÉAIRES À UNE VARIABLE

- Elles sont du type :

x > constante x < constante x ≥ constante x ≤ constante

On pourra représenter l'ensemble-solution sur une droite numérique. Si on a les signes > ou <, on utilise un point vide sur la droite et dans les deux autres cas, on utilise un point plein.

Exemple 1 :

Résoudre l'inéquation : 18− 4x ≥ x+ 33

18− 18− 4x ≥ x+ 33− 18

−4x ≥ x+ 15

−4x− x ≥ x− x+ 15

−5x ≥ 15−5x−5≤ 15−5

x ≤ −3

On représente donc l'ensemble-solution comme suit :

Figure 16.2 inéquation : 18− 4x ≥ x+ 33

Exemple 2 :

Résoudre l'inéquation :x+ 3 > 5

x > 5− 3

x > 2

Figure 16.3 inéquation :x+ 3 > 5


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16.4. INÉQUATIONS LINÉAIRES À DEUX VARIABLES 143

16.4 INÉQUATIONS LINÉAIRES À DEUX VARIABLES

- Tous les points dont les coordonnées vérient une inéquation sont situés du même côté de ladroite correspondant à l'équation formée à partir de cette inéquation.

- On représente la droite frontière du demi-plan par une ligne droite pleine lorsque l'équation faitpartie de l'inéquation ( ≤ ou ≥ ) ou par une ligne droite pointillée lorsque l'équation en est exclue(< ou >). Habituellement, on colorie ou on hachure ce demi-plan.

- Un demi-plan est fermé lorsque sa droite frontière est représentée par un trait plein et ouvertlorsque cette droite correspond à un trait pointillé.

Figure 16.4 inéquation : régionnement du plan

Exemple :

Les ingénieurs forestiers classient parfois les forêts selon leur densité. On qualie une forêt de dense lorsqu'on y dénombre plus de 1000 arbres par hectare. On s'intéresse au nombre de conifères(x) et de feuillus (y) par hectare qui peuplent une forêt de l'Abititi dans le but de classier cetteforêt.

Condition de densité : x+ y > 1000

Pour représenter cette inéquation et son ensemble-solution, on suggère de se ramener à la formey > ax+ b . Ensuite, on trace l'équation y = ax+ b en pointillé car on a le signe >.

Le fait d'écrire l'inéquation sous la forme y > ax + b permet d'obtenir directement le taux devariation et l'ordonnée à l'origine des fonctions ce qui peut accélérer le tracé de ces droites.

- Procédure pour déterminer l'ensemble-solution d'une inéquation du premier degré à deux va-riables.

1° Écrire l'inéquation sous la forme y > ax+ b, y < ax+ b, y ≥ ax+ b ou y ≤ ax+ b.

2° Tracer la droite frontière d'équation y = ax+ b d'un trait plein ou pointillé selon que l'équationfait partie ou non de l'inéquation.

3° Colorier ou hachurer le demi-plan au-dessous de la droite si le symbole est <, ou au-dessus dela droite si le symbole est >.


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16.5 LES SYSTÈMES D'INÉQUATIONS

SYSTÈME D'ÉQUATIONS

Le point d'intersection de 2 équations représentées par des droites nous donne les coordonnées dela solution de ce système d'équations. On l'appelle couple-solution.

Pour la résolution, on utilise les méthodes de résolution : comparaison, substitution.

Exemples :

y = 2x+ 3

4x+ y − 5 = 0⇔ y = −4x+ 5

- Par comparaison : 2x+ 3 = −4x+ 5⇔ 6x = 2⇔ x = 13alors y = 2(1

3) + 3 = 8

3Couple-solution :

( 1 ; 8 ) 3 3

- Par substitution : 4x + 2x + 3 − 5 = 0 ⇔ 6x − 2 = 0 ⇔ x = 13alors y = 2(1

3) + 3 = 8

3

Couple-solution :(13; 8

3)

SYSTÈME D'INÉQUATIONS

Lorsque l'on utilise plutôt des inéquations dans un système, on va trouver la région du planqui vérie simultanément toutes les inéquations. La diculté réside toujours dans la traductionmathématique des énoncés.

Exemple : Quatre saisons et peu de vents .

... au moins 2 fois plus d'instruments à cordes que d'instrument à vents ...

... moins de 30 musiciens et musiciennes ...

Si x représente le nombre d'instruments à cordes et y le nombre d'instruments à vent, les inéquationsdeviennent :

x ≥ 2y

x+ y ≤ 30

Pour pouvoir résoudre, il faudra procéder graphiquement. Pour cela, on vous suggère d'isolerla variable y de chaque côté et de produire une table de valeurs pour chacune des inéquationsrencontrées.

- pour la première inéquation :x ≥ 2y ⇔ y ≤ x2

x 0 2y 0 1

- pour la deuxième inéquation : x+ y ≤ 30⇔ y ≤ 30− x

x 0 30y 30 0


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16.5. LES SYSTÈMES D'INÉQUATIONS 145

Figure 16.5 inéquations simultanées

La zone qui vérie les 2 solutions en même temps sera appelée l'ensemble-solution du systèmed'inéquations. Cet ensemble-solution sera représenté dans le plan par un polygone de contraintes.

Tous les points se retrouvant dans l'ensemble solution seront eux-mêmes couples-solutions dusystème.

De même tous les points se situant sur une ligne pleine frontière seront des couples-solutions.

Par contre si les droites frontières sont tracées en pointillé, ils ne font pas partie de l'ensemble-solution.


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16.6 SYSTÈMED'INÉQUATIONS LINÉAIRES À 2 INCON-NUES

- Une inéquation de ce type pourrait se présenter comme : x + y ≤ 10. Cette inéquation admetplusieurs solutions : par exemple les couples (1; 1), (0; 0), (2; 9), ... La liste de solutions dans R estinnie, c'est la raison pour laquelle lorsqu'il y a un système d'inéquations la résolution ne peutêtre que graphique, c'est l'utilisation du plan.

Pour cette inéquation traçons la droite D1 d'équation x + y = 10 écrite sous sa forme réduite :y = −x+ 10. An de tracer cette droite déterminons au moins 2 points :

x 0 10y 10 0

La droite passera donc par ces points (0; 10) et (10; 0). Il faut dénir un plan avec un repère.

Déterminons graphiquement les couples solutions de l'inéquation. La droite D1 partage le plan endeux demi-plan P1 et P2. L'ensemble des solutions appartient à l'un des demi-plan, jamais unesolution sera dans un demi-plan et une autre solution dans l'autre demi-plan.

Pour déterminer le demi-plan qui correspond à l'ensemble des solutions il faut prendre un pointquel-conque du plan et déterminer s'il vérie l'inéquation. Si la droite ne passe pas par l'originenous choisirons le point qui permet de simplier les calculs, le point O de coordonnées : (0; 0)

Dans l'inéquation remplaçons x et y par 0. On obtient : 0+0 ≤ 10. Ce point vérie l'inéquation doncle demi plan qui le contient comprend l'ensemble des solutions. Tous les points [couple-solution(x ;y)] de ce demi plan sont solutions. Il faut hachurer la partie qui ne convient pas.

Figure 16.6 inéquation x+ y ≤ 10

A cette inéquation ajoutons des conditions supplémentaires


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16.6. SYSTÈME D'INÉQUATIONS LINÉAIRES À 2 INCONNUES 147x ≥ 0

y ≥ 0

x+ y ≤ 10

Hachurons tous les x négatifs, puis les y négatifs. L'ensemble solution est la partie triangu-laire non hachurée.

Figure 16.7 inéquation x+ y < 10


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16.7 RÉSOLUTION D'UN SYSTÈME D'INÉQUATIONSX + Y ≤ 10

X + 3Y ≤ 24

0 ≤ X≤ ≤ 8

0 ≤ Y ≤ 6

Procédons comme l'exercice ci dessus mais en traçant 4 droites. Il faut dénir un plan avec unrepère.

- Pour la première inéquation traçons la droite D1 d'équation x + y = 10 écrite sous sa formeréduite : y = −x+ 10. An de tracer cette droite déterminons au moins 2 points :

x 0 10y 10 0

La droite passera donc par ces points (0; 10) et (10; 0).

- Pour la deuxième inéquation traçons la droite D2 d'équation 2x + 3y = 24 écrite sous formeréduite : y = −2x+24

3= −2x

3+ 8

An de tracer cette droite déterminons au moins 2 points :

x 0 12y 8 0

La droite passera donc par ces points (0; 8) et (12; 0).

- Pour la troisième inégalité traçons la droite D3 d'équation x = 8.

- Pour la quatrième inégalité traçons la droite D4 d'équation y = 6.

Les droites D1et D2 se coupent au point (6; 4)

Résolvons ce système en suivant la démarche du premier exemple, en prenant le point d'origineO (0; 0) pour déterminer les parties de plan qui sont solutions. Les parties non concernées sonthachurées.

- Dans l'inéquation 1 remplaçons x et y par 0. On obtient : 0+0 ≤ 10. Ce point vérie l'inéquationdonc le demi plan qui le contient comprend l'ensemble des solutions. Tous les points [couple-solution(x ; y)] de ce demi plan sont solutions. Il faut hachurer la partie qui ne convient pas.

- Dans l'inéquation 2 remplaçons x etypar 0. On obtient : 2 ∗ 0 + 3 ∗ 0 ≤ 24. Ce point vériel'inéquation donc le demi plan qui le contient comprend l'ensemble des solutions. Tous les points


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16.7. RÉSOLUTION D'UN SYSTÈME D'INÉQUATIONS 149

Figure 16.8 inéquation avec conditions

[couple-solution(x ; y)] de ce demi plan sont solutions. Il faut hachurer la partie qui ne convientpas.

- Pour la double inégalité 0 ≤ x ≤ 8, il faut éliminer en hachurant tout ce qui est x ≤ 0 et tout cequi est x ≥ 8 . On ne conserve que la zone comprise entre 0 et 8.

- Pour la double inégalité 0 ≤ y ≤ 6, il faut éliminer en hachurant tout ce qui est y ≤ 0 et tout cequi est y ≥ 6. On ne conserve que la zone comprise entre 0 et 6.

L'ensemble des solutions est la partie non hachurée, l'hexagone (6 cotés de points O, A, B, C, D,E).

Tous les couples-solutions de cette inéquation est donc dans cette zone non hachurée. Les segmentsde droites font aussi partie du système car non exclues (≤).


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Chapitre 17

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

17.1 FONCTION CARRÉE

Étudions la fonction y = x2

Donnons à x diérentes valeurs comprises entre −∞ et +∞ et consignons ce résultat dans untableau de variations. x 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 +1x2 +1 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 +1x2 +1 0 +1

Figure 17.1 Tableau de variation de la fonction y = x2

Quelque soit la valeur attribuée à x , y est toujours positif.

de −∞ à 0 la fonction décroit, de 0 à +∞ la fonction croit

la fonction montre en son sommet un minimum y = 0 pour x = 0, sa représentation graphique estune parabole. L'axe y'y est axe de symétrie.

Figure 17.2 graphe de la fonction y = x2


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152 CHAPITRE 17. TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

17.2 FONCTION f (x) = ax2

Étudions la fonction y = 3x2 .

Donnons à x diérentes valeurs comprises entre −∞ et +∞ et consignons ce résultat dans untableau de variations.x 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 +1x2 +1 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 +13x2 +1 75 48 27 12 3 0 3 12 27 48 75 +1x2 +1 0 +1

Figure 17.3 Tableau de variation de la fonction y = 3x2

Quelque soit la valeur attribuée à x , y est toujours positif.

de −∞ à 0 la fonction décroit, de 0 à +∞ la fonction croit

la fonction montre en son sommet un minimum y = 0 pour x = 0, sa représentation graphique estune parabole. L'axe y'y est axe de symétrie.

Figure 17.4 minimum de la fonction y = 3x2


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17.2. FONCTION F (X) = AX2 153

Étudions la fonction y = −3x2 .

Donnons à x diérentes valeurs comprises entre −∞ et +∞ et consignons ce résultat dans untableau de variations.x 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 +1x2 +1 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 +13x2 1 75 48 27 12 3 0 3 12 27 48 75 13x2 1 0 1

Figure 17.5 Tableau de variation de la fonction y = −3x2

Quelque soit la valeur attribuée à x , y est toujours négatif.

de −∞ à 0 la fonction croit, de 0 à +∞ la fonction décroit

la fonction montre en son sommet un maximum y = 0 pour x = 0, sa représentation graphique estune parabole. L'axe y'y est axe de symétrie.

Figure 17.6 maximum de la fonction y = −3x2


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Étudions la fonction y = −3x2 + 4 .

Donnons à x diérentes valeurs comprises entre −∞ et +∞ et consignons ce résultat dans untableau de variations.



Le graphe coupe l'axe x'x en deux points : −2√

33

et +2√

33

. Entre ces deux abscisses la fonction estpositive.

Figure 17.7 graphe de la fonction y = −3x2 + 4

Étudions la fonction y = −2x2 + 8x− 6 .

Mettons ce trinôme sous une forme particulière que nous allons étudier dans les prochains para-graphes. Mettons -2 en facteur :

−2x2 + 8x− 6 = −2(x2 + 8x−2− 6−2

) = −2(x2 − 4x+3).(I)

x2 − 4x est le début du carré (x− 2)2 = x2 − 4x+ 4 donc x2 − 4x = (x− 2)2 − 4

par conséquent (I) peut s'écrire : −2[(x− 2)2 − 4+3] = −2[(x− 2)2 − 1] soit : −2(x− 2)2 + 2

Donnons à x diérentes valeurs comprises entre −∞ et +∞ et consignons ce résultat dans untableau de variations.


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17.2. FONCTION F (X) = AX2 155x 1 1 0 1 2 3 4 5 +1(x 2)2 +1 9 4 1 0 1 4 9 +12(x 2)2 1 18 8 2 0 2 8 18 12(x 2)2 + 2 1 16 6 0 2 0 6 16 12(x 2)2 + 2 1 2 1Figure 17.8 Tableau de variation de fonction y = −2x2 + 8x− 6



Le graphe coupe l'axe x'x en deux points : 1 et 3 . Entre ces deux abscisses la fonction est positive.


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17.3 GÉNÉRALITÉS

Soit f(x) un trinôme du second degré. Il est tel que f(x) = ax2 + bx+ c avec a 6= 0 .

Avant de factoriser f(x) on va s'appuyer sur des exemples pour expliquer la méthode utilisée.

On a établi que (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

On en déduit quea2 + 2ab = (a+ b)2 − b2

Ce résultat général peut être illustré par les exemples suivants :

x2 + 2x = (x+ 1)2 − 1 car (x+ 1)2 = x2 + 2x+ 1

x2 − 6x = (x− 3)2 − 9 car (x− 3)2 = x2 − 6x+ 9

x2 + 5x = (x+ 5)2 − 254

x2 − x = (x− 1)2 − 14

3x2 + 6x = 3(x2 + 2x) = 3[(x + 1)2 − 1]. Il faut dans ce cas mettre 3 en facteur pour retrouver leforme précédente.

Il faut préalablement rappeler que : a2 − b2 = (a+ b)(a− b) on parle de diérence de carrés.

C'est cette forme qui apparaitra dans les exemples qui vont suivre pour eectuer une factorisationlorsque cette dernière sera possible.

Factoriser en s'appuyant sur les résultats précédents les expressions suivantes :

exemple 1

x2 + 2x− 8 = (x+ 1)2 − 1− 8 car x2 + 2x = (x+ 1)2 − 1 résultat établi plus haut.

x2 + 2x− 8 = (x+ 1)2 − 9 on reconnaît la forme a2 − b2 où a = (x+ 1) et b = 3

La factorisation est immédiate. En eet (x+ 1)2 − 9 = [(x+ 1)− 3][(x+ 1) + 3]

On en conclut que x2 + 2x− 8 = (x− 2)(x+ 4)

exemple 2

x2 − 6x− 7 = (x− 3)2 − 9− 7 car x2 − 6x = (x− 3)2 − 9x2 − 6x− 7 = (x− 3)2 − 16 on reconnaîtune diérence de carrés d'où x2 − 6x− 7 = [(x− 3)− 4][(x− 3) + 4) On obtient donc :

x2 − 6x− 7 = (x− 7)(x+ 1)

exemple 3

x2 + 5x+ 4 = (x+ 5)2 − 254

+ 4

2x2 + 5x+ 4 = (x+ 5)2 − 254

+ 164

2x2 + 5x+ 4 = (x+ 5)2 − 94

= (x+ 52− 3

2)(x+ 5

2+ 3

2)

on a donc : x2 + 5x+ 4 = (x+ 1)(x+ 4)


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17.3. GÉNÉRALITÉS 157

exemple 4 conduisant à une factorisation impossible

x2 − 2x+ 5 = (x− 1)2 − 1 + 5 = (x− 1)2 + 4

Cette expression est une somme et non pas une diérence de carrés.

Autrement dit le trinôme x2 − 2x+ 5 ne peut pas être factorisé.

exemple 5 a 6= 1

Jusqu'à présent nous n'avons traité que les trinômes dont le coecient de x2 est égal à 1.

Prenons pour exemple le trinôme 3x2 − 8x+ 5

Pour ramener cette écriture à une écriture équivalente aux précédentes, il sut de mettre 3 enfacteur. On peut donc écrire :

3x2 − 8x+ 5 = 3(x2 − 83x+ 5

3)

x2 − 83x = (x− 4

3)2 − 16

9

on a donc 3x2 − 8x+ 5 = 3[(x− 4)2 − 169

+ 53]

3x2 − 8x+ 5 = 3[(x− 4)2 − 169

+ 159

]

3x2 − 8x+ 5 = 3[(x− 4)2 − 19]

3x2 − 8x+ 5 = 3(x− 43− 1

3)(x− 4

3+ 1

3)

On en déduit que 3x2−8x+5 = 3(x− 53)(x−3) que l'on peut aussi écrire 3x2−8x+5 = (3x−5)(x−3)

en multipliant le premier terme entre parenthèses par le facteur 3.

Remarque :

Avant de factoriser les trinômes du second degré proposés on a successivement obtenu les formessuivantes :

(x+ 1)2 − 9 ; (x− 3)2 − 16 ; (x+ 52)2 − 9

4; (x− 1)2 + 4 ; 3[(x− 4

3)2 − 1

9]

Ces expressions (ne comportant qu'une seule fois l'inconnue) portent le nom de forme canonique.La factorisation n'est possible que lorsque cette dernière est une diérence de carrés.


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17.4 FORME CANONIQUE

La forme générale de l'équation du second degré est :

ax2 + bx+ c = 0 avec a 6= 0

sinon l'équation se réduit à une équation du premier degré.

La forme canonique est une forme ou l'inconnue n'apparaît qu'une fois

Figure 17.9 forme canonique 2nd degré

en posant 4 = b2 − 4ac . Cette expression notée 4 (lire delta) est appelée discriminant .


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17.5. DISCUSSION 159

17.5 DISCUSSION

ax2 + bx+ c = a[(x+ b

2a

)2 − 44a2

](I)

Trois cas sont alors à considérer :

1ER CAS

4 = b2 − 4ac > 0

Si 4 est positif on peut extraire la racine carrée et l'équation peut se mettre sous la forme de ladiérence de deux carrés.

ax2 + bx+ c = (x+ b2a

)2 − (√b2−4ac√

4a2)2 ⇔ (x+ b

2a)2 − (

√b2−4ac

2a)2

de la forme a2 − b2 = (a+ b)(a− b)ax2 + bx+ c = (x+ b

2a+√b2−4ac

2a)(x+ b

2a−√b2−4ac

2a) (II)

Ce polynôme du 2ème degré est donc mis sous la forme d'un produit de deux binômes du 1er degré.

Il y aura donc 2 racines. Ce produit s'annule pour :

La première que l'on notera x1 :

(x+ b2a

+√b2−4ac

2a) = 0 (I)

x = − b2a−√b2−4ac

2a= −b−

√b2−4ac

2a= −b−

√4

2anotée

x1 = −b−√4

2a

La deuxième que l'on notera x2 :

(x+ b2a−√b2−4ac

2a) = 0 (II)

x = − b2a

+√b2−4ac

2a= −b+

√b2−4ac

2a= −b+

√4

2anotée

x2 = −b+√4

2a

L'équation a 2 racines condensée souvent en une seule formule :

x = −b±√

∆2a

S = x1 = −b−√4

2a; x2 = −b+

√4

2a

On peut aussi écrire : ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2) en remplaçant dans l'expression (II) :b

2a+√b2−4ac

2apar −x1 et b

2a−√b2−4ac

2apar −x2

2ÈME CAS

4 = b2 − 4ac = 0

L'équation devient : (x+ b2a

)(x+ b2a

) = (x+ b2a

)2 = 0

Il y a une seule racine, appelée racine double : x = − b2a

On peut aussi écrire : ax2 + bx+ c = a(x− x1)2


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3ÈME CAS

4 = b2 − 4ac < 0

Dans ce cas : − b2−4ac4a2

> 0 positif

l'équation : ax2 + bx + c = a[(x+ b

2a

)2 − 44a2

]comprend deux termes positifs, la somme ne peut

être nulle, c'est impossible. L'équation proposée n'a pas de racines. On dit que l'ensemble S de solutions est vide.

On le note S=Ø

NOTA

Si les coecients a et c de l'équation du 2ème degré ax2 + bx + c = 0 sont de signescontraires, cette équation admet deux racines distinctes.

En eet, si a et c sont de signes contraires :

ac < 0

−4ac > 0

b2 − 4ac > 0⇒4 > 0

et l'équation admet 2 racines distinctes.

Cette équation ( a et c de signes contraires) est susante, elle n'est pas nécessaire ; en eetl'équation peut avoir a et c de même signe et admettre deux racines distinctes.


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17.6. INTERPRÉTATION GRAPHIQUE 161

17.6 INTERPRÉTATION GRAPHIQUE

Figure 17.10 Interprétation graphique du trinôme du second degré

Exemple 1 :

2x2 − 3x+ 1 = 0

a = 2 et c = 1 sont de même signe, calculons le discriminant 44 = b2 − 4ac = (−3)2 − 4 ∗ 2 ∗ 1 = 9− 8 = 1

4 > 0 il y a deux racines distinctes :

x1 = −b−√4

2a= −(−3)−

√1

2∗2 = 24

= 12

x2 = −b+√4

2a= −(−3)+

√1

2∗2 = 44

= 1

2x2 − 3x+ 1 = 2(x− 12)(x− 1) = (2x− 1)(x− 1)

Exemple 2 :

2x2 − x+ 1 = 0

a = 2 et c = 1 sont de même signe, calculons le discriminant 44 = b2 − 4ac = (−1)2 − 4 ∗ 2 ∗ 1 = 1− 8 = −7

le discriminant 4 = b2 − 4ac < 0 , l'équation n'a pas de racine.

Exemple 3 :

2x2 − x− 1 = 0


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a = 2 et c = −1 sont de signe contraire, calculons le discriminant 44 = b2 − 4ac = (−1)2 − 4 ∗ 2 ∗ (−1) = 1 + 8 = 9


x1 = −b−√4

2a= −(−1)−

√9

2∗2 = −24

= −12

x2 = −b+√4

2a= −(−1)+

√9

2∗2 = 44

= 1

2x2 − x− 1 = 2(x− (−12)(x− 1) = 2(x+ 1

2)(x− 1) = (2x+ 1)(x− 1)

Exemple 4 :

x2 + 2x− 1 = 0

a = 1 et c = −1 sont de signe contraire, calculons le discriminant 44 = b2 − 4ac = (2)2 − 4 ∗ 1 ∗ (−1) = 4 + 4 = 8


x1 = −b−√4

2a= −2−

√8

2∗1 = −2−√

4∗22

= −2−2√

22

= −1−√

2

x2 = −b+√4

2a= −2+

√8

2∗1 = −2+√

4∗22

= −2+2√

22

= −1 +√

2

x2 + 2x− 1 = [x− (−1−√

2)][x− (−1 +√

2)] = (x+ 1 +√

2)(x+ 1−√

2)

Exemple 5 :

x2 + 2x+ 1 = 0

calculons le discriminant 44 = b2 − 4ac = (2)2 − 4 ∗ 1 ∗ 1 = 4− 4 = 0

4 = 0 il y a une seule racine :

x = − b2a

= − 22∗1 = −1

x2 + 2x+ 1 = [x− (−1)]2 = (x+ 1)2


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17.7. SOMME ET PRODUIT DES RACINES 163

17.7 SOMME ET PRODUIT DES RACINES

Dénition : quand 4 = b2 − 4ac > 0 l'équation du 2ème degré admet deux racines.

Établissons la somme de ces racines :

x1 + x2 = −b−√4

2a+ −b+

√4

2a= −2b

2a= − b

a

Établissons le produit de ces racines :

x1 ∗ x2 = (−b−√4

2a) ∗ (−b+

√4

2a) de la forme (a− b)(a+ b) = a2 − b2

= (−b)2−(√4)2

2a= b2−(b2−4ac)

4a2= 4ac

4a2= c

a

S = x1 + x2 = − ba

P = x1 ∗ x2 = ca

Application : Calculer deux nombres connaissant leur somme S et leur produit P.

Il sut de former l'équation : x2 − Sx + P = 0. Les racines de cette équation sont les nombrescherchés.

Exemple 6 :

Trouver deux nombres dont la somme soit 15 et le produit 36.

Ces deux nombres sont racines de l'équation : x2 − 15x+ 36 = 0

4 = b2 − 4ac = (−15)2 − 4 ∗ 1 ∗ 36 = 225− 144 = 81

x1 = −b−√4

2a= −(−15)−

√81

2∗1 = 15−92

= 3

x2 = −b+√4

2a= −(−15)+

√81

2∗1 = 15+92

= 12

Exemple 7 : Résoudre 7x2 − 3x = 0

7x2 − 3x = 0⇔ x(7x− 3) = 0

7x2 − 3x = 0⇔ x = 0 ou x = 37

S = 0; 37


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Exemple 8 : Résoudre 3x2 − 12 = 0

3x2 − 12 = 0⇔ 3(x2 − 4) = 0

3x2 − 12 = 0⇔ 3(x+ 2)(x− 2)

3x2 − 12 = 0⇔ x = −2 ou x = 2

S = −2; 2

Exemple 9 : Résoudre 3x2 − 7x+ 4 = 0 ;

3x2 − 7x+ 4 = 0 ; a = 3 ; b = −7 ; c = 4

4 = (−7)2 − 4x3x4 = 1

comme 4 > 0 alors l'équation admet deux racines distinctes.

x1 = −(−7)−12x3

= 1 ; x2 = −(−7)+12x3

= 43d'où

S = 1; 43

Une des racines étant égale à 1 alors l'autre racine est égale à cadonc à 4

3

Exemple 10 : Résoudre 13x2 − 2x+ 3 = 0 ;

13x2 − 2x+ 3 = 0 ; a = 3, b = −2, c = 3

4 = (−2)2 − 4x13x3 = 4− 4 = 0

comme 4 = 0 alors l'équation admet une racine double : x = −22x 1

3

= 3

S = 3

Exemple 11 : Résoudre 2x3 − 4x2 + 2 = 0 ;

Mettons x en facteur pour ramener cette équation à un second degré

2x(x2 − 2x+ 1) = 0⇔ x = 0 ou (x2 − 2x+ 1) = 0

Calculons le discriminant :4 = b2− 4ac = (−2)2 − 4x1x1 = 0

comme 4 = 0 alors l'équation admet une racine double x = −b2a

= −(−2)2x1

= 1

Ce résultat est immédiat carx2 − 2x+ 1 = (x− 1)2

S = 0; 1

Exemple 12 : Résoudre x3 − 25x = 0 ;

Mettons x en facteur pour ramener cette équation à un second degré

x(x2 − 25) = 0⇔ x = 0 ou (x2 − 25) = 0

(x2 − 25) = 0⇔ (x+ 5)(x− 5) = 0⇔ x = −5 ou x = 5

S = −5; 0; 5


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17.7. SOMME ET PRODUIT DES RACINES 165

Exemple 13 : Résoudre 2x2 − 5x− 3 = 0

4 = b2 − 4ac = (−5)2 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49

x1 = −b−√4

2a= 5−7

2x2= −2

4= −1

2

x2 = −b+√4

2a= 5+7

2x2= 12

4= 3

S = −12; 3

Exemple 14 : Résoudre −3x2 + 4x+ 4 = 0

4 = b2 − 4ac = (4)2 − 4(−3)(4) = 16 + 48 = 64

x1 = −b−√4

2a= −4−8

2x(−3)= −12−6

= 2

x2 = −b+√4

2a= −4+8

2x(−3)= 4−6

= −23

S = −23; 2

Exemple 15 : Résoudre x2 + 2x− 5 = 0

4 = b2 − 4ac = (2)2 − 4(1)(−5) = 4 + 20 = 24 ;√4 =

√24 =

√4x6 = 2

√6

x1 = −b−√4

2a= −2−2

√6

2x1= −1−

√6

x2 = −b+√4

2a= −2+2

√6

2x1= −1 +

√6

S = −1−√

6;−1 +√

6

Exemple 16 : Résoudre 3x2 + 8x+ 5 = 0

4 = b2 − 4ac = (8)2 − 4(3)(5) = 64− 60 = 4 ;√4 =

√4 = 2

x1 = −b−√4

2a= −8−2

2x3= −10

6= −5

3

x2 = −b+√4

2a= −8+2

2x3= −6

6= −1

S = −53;−1

Exemple 17 : Résoudre−2x2 + 4x− 8

Étudions ce trinôme du second degré.

∆ = b2− 4ac = 42− 4(−2)(−8) = −48 ; Pas de racines dans R.s = Ø

Exemple 18 : Résoudre 3x2 + 21x+ 30 = 0

4 = b2 − 4ac = (21)2 − 4(3)(30) = 81 ;√4 =

√81 = 9

x1 = −b−√4

2a= −21−9

2x3= −30

6= −5

x2 = −b+√4

2a= −21+9

2x3= −12

6= −2

S = −5;−2


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Exemple 19 : Résoudre 3(x+ 5)(x+ 2) = 0

Développons. On obtient : 3(x2 + 5x+ 2x+ 10) = 3x2 + 21x+ 30 ;

Nous sommes revenus au problème précédent mais nous pouvons aussi remarquer que cette formed'écriture correspond à : a(x − x1)(x − x2) et on en déduit que −x1 = +5 et que −x2 = +2 soitx1 = −5 et x2 = −2

Mais encore que 3(x + 5)(x + 2) = 0 est du 1er degré. Un produit est nul si un des facteurs estnul : x+ 5 = 0⇔ x = −5 et x+ 2 = 0⇔ x = −2 !

Exemple 20 : Résoudre 2x2 + 7x− 4 = 0

4 = b2 − 4ac = (7)2 − 4(2)(−4) = 81 ;√4 =

√81 = 9

x1 = −b−√4

2a= −7−9

2x2= −46

4= −4

x2 = −b+√4

2a= −7+9

2x2= 2

4= 1

2

S = −4; 12

Exemple 21 : Résoudre 2(x+ 4)(x− 12) = (x+ 4)(2x− 1)

Développons. On obtient :

2x2 + 8x− x− 4 = 2x2 + 7x− 4

Nous sommes revenus au problème précédent.

On peut aussi s'apercevoir qu'en distribuant le facteur 2 aux termes de la deuxième parenthèse onobtient les termes à droite du signe d'égalité !

2(x+ 4)(x− 12) = (x+ 4)2(x− 1

2) = (x+ 4)(2x− 1)


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17.8. SIGNE DU TRINÔME DU 2ÈME DEGRÉ 167

17.8 SIGNE DU TRINÔME DU 2ème DEGRÉ

si 4 = b2 − 4ac < 0

l'équation : ax2 + bx+ c = a[(x+ b

2a

)2 − 44a2

]comprend deux termes positifs entre les crochets,

donc le signe de l'équation ne dépend que du facteur a . si 4 = b2 − 4ac = 0

L'équation : ax2 + bx + c = a(x+ b

2a

)2comprend un carré ( toujours positif) donc le signe de

l'équation ne dépend que du facteur a .

Un trinôme dont le discriminant est négatif ou nul : 4 ≤ 0 est quelque soit x du signe ducoecient a de son terme de plus au degré.

si 4 = b2 − 4ac > 0L'équation : ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2) et son signe dépend du signe du produit (x −x1)(x− x2). Pour étudier ce produit établissons un Tableau de signes et supposons x1 < x2.x 1 x1 x2 +1x x1 0 + +x x2 0 +(x x1)(x x2) + 0 +a(x x1)(x x2) signe de a 0 signe de a 0 signe de a

Figure 17.11 signe du trinôme du second degré

Un trinôme du second degré dont le discriminant est positif 4 > 0 est : du signe du coecient a pour les valeurs de la variable à l'extérieures à l'intervalle des racines

(x < x1) ou (x > x2) et du signe de -a les valeurs de la variable intérieures à l'intervalle des racines (x1 < x < x2)

Exemple 22 :

f(x) = 3x2 − 2x− 5

4 = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 ∗ 3 ∗ (−5) = 64 ;√4 = 8

x1 = −b−√4

2a= −(−2)−

√64

2∗3 = 2−86

= −1

x2 = −b+√4

2a= −(−2)+

√64

2∗3 = 2+86

= 53

f(x) > 0⇒]−∞;−1[∪]53; +∞[

f(x) < 0⇒]− 1; 53[

f(x) = 0 pour x = −1 et x = 53

Exemple 23 :

f(x) = −4x2 + 8x− 5


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4 = b2 − 4ac = 82 − 4(−4)(−5) = 64− 80 = −16

Le trinôme est du signe de −4 donc négatif.

Exemple 24 :

f(x) = 9x2 − 24x+ 16

soit on reconnait le carré (3x− 4)2soit on détermine le discriminant :

4 = b2 − 4ac = (−24)2 − 4 ∗ 9 ∗ 16 = 576− 576 = 0

x = − b2a

= −−242∗9 = 4

3

On peut aussi écrire : ax2 + bx+ c = a(x− x1)2 ⇔ 9x2 − 24x+ 16 = 9(x− 43)2

Le trinôme est du signe de 9 donc positif.

Exemple 25 :

f(x) = −4x2 + 8x− 4

4 = b2 − 4ac = 82 − 4(−4)(−4) = 64− 64 = 0

On peut aussi écrire : ax2 + bx+ c = a(x− x1)2 ⇔ −4x2 + 8x− 4 = −4(x− 1)2

Le trinôme est du signe de -4 donc négatif.

Exemple 26 :

f(x) = 4x2 − 3 = 0

Ici le trinôme est incomplet. On peut calculer le discriminant 4 mais on peut voir que c'est unediérence de carré.

f(x) = 4x2 − 3 = (2x)2 − (√

3)2 = (2x+√

3)(2x−√

3)

Il y a 2 racines :

2x+√

3 = 0⇔ 2x = −√

3⇔ x = −√

32

2x−√

3 = 0⇔ 2x = +√

3⇔ x = +√

32

f(x) > 0⇒]−∞;−√

32

[∪]√

32

; +∞[

f(x) < 0⇒]−√

32

;√

32

[

f(x) = 0 pour x = −√

32et x =

√3

2

Exemple 27 :

f(x) = 4x2 − x = 0

Ici le trinôme est incomplet. On peut calculer le discriminant 4mais on peut voir que l'on peutfactoriser.

f(x) = 4x2 − x = x(4x− 1) équation produit.

Il y a 2 racines :

x = 0


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17.8. SIGNE DU TRINÔME DU 2ÈME DEGRÉ 169

4x− 1 = 0⇔ 4x = 1⇔ x = 14

f(x) = 4x2 − x = 0⇔ f(x) = 4(x− 0)(x− 14)

Entre les racines 0 et 14le trinôme est du signe de -a donc ici négatif et

sera positif à l'extérieur des racines :f(x) > 0]−∞; 0[∪]− 14; +∞[

Mise en équations de petits problèmes

1 ) Quel nombre entier faut il ajouter au numérateur et au dénominateur de la fraction 47pour

obtenir une fraction égale à45?

2 ) Peut on trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme vaut 129 ?

3 ) Peut on trouver trois nombres consécutifs impairs dont la somme vaut 66 ?

Solution

1 ) soit x ce nombre. Traduisons plus simplement l'énoncé :4+x7+x

= 45

En eectuant le produit en croix, on obtient : 5(4+x) = 4(7+x)⇔ 20+5x = 28+4x⇔ 5x−4x =28− 20

soit le nombre cherché x = 8

2 ) Soit x le premier nombre, x + 1 et x + 2 les nombres suivants. on a donc :

x+ (x+ 1) + (x+ 2) = 129

3x+ 3 = 129⇔ 3x = 126⇔ x = 42

en eet : 42 + 43 + 44 = 129

3 ) le premier nombre impair s'écrit : 2x+ 1, et les suivants sont 2x+ 3 et 2x+ 5

Leur somme : 2x+ 1 + (2x+ 3) + (2x+ 5) = 66

soit en simpliant : 6x+ 9 = 66 ; on en déduit x = 576.

La réponse à la question est donc non car x n'est pas un nombre entier.


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17.9 EXTREMA DU TRINÔME

Le trinôme du second degré s'écrit :

ax2 + bx+ c = a[(x+ b

2a

)2 − b2−4ac4a2

]= a

[(x+ b

2a

)2 − 44a2

]Dans l'expression entre crochets, seule la variable x varie. Intéressons nous au terme

(x+ b

2a

)2.

Faisons varier x de : −∞ à +∞.

Ce carré est toujours positif ou nul lorsque x+ b2a

= 0 soit pour x = − b2a. Le terme entre crochets

vaut alors − 44a2

.

Pour la valeur particulière x = − b2a

la fonction prend la valeur :

ax2 + bx+ c = a[(0)2 − 4

4a2

]= − a4

4a2= −4

4a

si a est positif alors nous obtenons un minimum si a est négatif alors nous obtenons un maximum le sommet de la fonction a pour coordonnées (− b

2a;−4

4a) quelque soit la valeur de 4

voir la représentation graphique (17.6) page 161

f(x) = 2x2 − 14x+ 20⇒ −44a

= −4, 5;− b2a

= 3, 5

f(x) = −3x2 − 12x− 9⇒ −44a

= +3;− b2a

= −2

f(x) = −3x2 − 12x− 13⇒ −44a

= −1;− b2a

= −2

f(x) = 2x2 − 14x+ 26, 5⇒ −44a

= +2;− b2a

= +3, 5

Figure 17.12 diérents extrema du second degré


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Chapitre 18

INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

18.1 DÉFINITION

Une inéquation du second degré à une inconnue est une inéquation qui peut se mettre sousl'une des quatre formes suivantes :

ax2 + bx+ c > 0

ax2 + bx+ c ≥ 0

ax2 + bx+ c < 0

ax2 + bx+ c ≤ 0

avec a 6= 0 car si a = 0 alors l'inéquation est du premier degré

Dans certains cas, on sait résoudre ce genre d'inéquations :

Exemple 1.

Résoudre l'inéquation : 4x2 + 28x+ 49 > 0

On constate que : 4x2 + 28x+ 49 = (2x+ 7)2

Or, pour tout réel x, on a : (2x + 7)2 ≥0 et, plus précisément : (2x + 7)2 =0 uniquement pourx = −7

2. On en déduit l'ensemble des solutions de cette équations :

S =]−∞;−72[∪]− 7

2; +∞[

Exemple 2.

Résoudre l'inéquation : 2x2 − 9 ≤ 0

L'inéquation est équivalente à : x(2x− 9) ≤ 0

On dresse un tableau de signes :


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172 CHAPITRE 18. INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉx 1 0 92 +1x 0 + +2x 9 0 +x(2x 9) + 0 +Figure 18.1 signes de 2x2 − 9 ≤ 0

En tenant compte du fait que l'inégalité de l'inéquation est une inégalité large, les solutions sont :

S =[0; 9

2

]Les exemples précédents nous permettent de faire deux observations :

Pour résoudre une inéquation du second degré, il convient de savoir déterminer le signe d'untrinôme du second degré ;

La détermination du signe d'un trinôme du second degré est d'autant plus aisée qu'on a pu, sicela est possible, le factoriser.x 1 x1 x2 +1x x1 0 + +x x2 0 +(x x1)(x x2) + 0 +a(x x1)(x x2) signe de a 0 signe de a 0 signe dea

Figure 18.2 signe du trinôme


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18.2. MÉTHODE 173

Résoudre une inéquation du second degré :

18.2 MÉTHODE

s'il n'y a pas de racine, 4 = b2 − 4ac < 0 , ou si la racine est nulle 4 = b2 − 4ac = 0 le trinômeP (x) = ax2 + bx+ c est du signe de a .

s'il y a des racines, 4 = b2−4ac > 0 on factorise le trinôme, on étudie le signe de chaque facteuret on applique la règle du signe d'un produit ·

18.3 EXEMPLES

Exemple 3 :

Résoudre l'inéquation : 2x2 + 9x− 5 ≤ 0·Solution :

4 = b2 − 4ac = 92 − 4(2)(−5) = 121

x1 = −b−√4

2a= −9−

√121

2∗2 = −204

= −5

x2 = −b+√4

2a= −9+

√121

2∗2 = 24

= 12

L'inéquation devient donc : 2(x+ 5)(x− 12) ≤ 0⇔(x+ 5)(2x− 1) ≤ 0

On étudie le signe de x+ 5 > 0⇔ x > −5

On étudie le signe de 2x− 1 > 0⇔ x > 12

Cela permet de construire le tableau suivant :

Figure 18.3 signe de 2(x+ 5)(x− 12) ≤ 0

D'où la solution de l'inéquation : −5 ≤ x ≤ 12c'est à dire S = [-5 ;1

2]


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174 CHAPITRE 18. INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

Exemple 4 :

Résoudre l'inéquation 3x2 − 2x− 1 > 0

Solution :

4 = b2 − 4ac = (−2)2 − 4(3)(−1) = 16

x1 = −b−√4

2a= −(−2)−

√16

2∗3 = −26

= −13

x2 = −b+√4

2a= −(−2)+

√16

2∗3 = 66

= 1

L'inéquation devient donc : 3[x− (−13)](x− 1) > 0⇔(3x+ 1)(x− 1) > 0

On étudie le signe de 3x+ 1 > 0⇔ x > −13

On étudie le signe de x− 1 > 0⇔ x > 1

Cela permet de construire le tableau suivant :x 1 13 1 +13x+ 1 0 + +x 1 0 +(3x+ 1)(x 1) + 0 +Figure 18.4 signe de l'inéquation 3[x− (−1

3)](x− 1) > 0

ou bien on étudie le signe du polynôme 3x2 − 2x− 1

3x2− 2x− 1est du signe de 3 à l'extérieur de ses racines −1/3 et 1 il est du signe de -3 à l'intérieurdes racines. On retrouve directement la dernière ligne du tableau ci dessus

S = −∞;−13[∪]1; +∞[


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18.3. EXEMPLES 175

Exemple 5 :

Résoudre l'inéquation : −2x2 − x+ 10 > 0

Le discriminant 4 vaut : 4 = (−1)2 − 4× (−2)× 10 = 1 + 80 = 81 = 92

. Le trinôme −2x2 − x+ 10 > 0 s'annule donc pour :

x1 = −b−√4

2a= 1−9

2∗(−2)= −8−4

= 2

x2 = −b+√4

2a= 1+9

2∗(−2)= 10−4

= −52

Sur ]−∞;−52[∪]2; +∞[ le trinôme −2x2 − x+ 10 ne s'annule pas et est du signe de a ( -2 ) :

il prend donc des valeurs strictement négatives ;

Sur ]− 52; 2[ le trinôme −2x2− x+ 10 ne s'annule pas et est du signe de - a : il prend donc des

valeurs strictement positives ;

Pour -52et 2, le trinôme −2x2 − x+ 10 s'annule.

Finalement, l'ensemble des solutions de l'inéquation −2x2 − x+ 10 > 0 s'écrit : S =]− 52; 2[

Nous aurions pu aussi , une fois obtenu les racines, factoriser le polynôme :

−2x2 − x+ 10 > 0⇔ −2[x− (−52)](x− 2) > 0⇔ −(2x− 5)(x− 2) > 0

Le tableau de signes issu de cette factorisation :x 1 52 2 +1x 2 0 + +2x+ 5 0 +(x 2)(2x+ 5) 0 + Figure 18.5 signes de l'inéquation : −2x2 − x+ 10 > 0

Remarque : à titre de vérication partielle (seulement !), on peut considérer une valeur simple del'ensemble obtenu et calculer son image par la fonction f.

Par exemple ici, on peut considérer x = 0 . Il vient alors : f(0) = −2× 0− 0 + 10 = 10 .

On a bien f(0) > 0

Exemple 6 :

Résoudre l'inéquation 2x2 − 3x+ 2 < 0

∆ = 0 donc 8x2 + 8x+ 2 est du signe de a donc 8x2 + 8x+ 2 est positif ou nul

Exemple 7 :

Résoudre l'inéquation 8x2 + 8x+ 2 ≤ 0

∆ < 0 donc 2x2 − 3x+ 2 est strictement du signe de a donc 2x2 − 3x+ 2 est positif.


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Exemple 8 :

Résoudre l'inéquation −x2 − 3x+ 10 < 0

4 = (−3)2 − 4(−1)(10) = 9 + 40 = 49 ;√4 = 7

∆ > 0 donc −x2 − 3x + 10 est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de - a àl'intérieur.

. Le trinôme −x2 − 3x+ 10 < 0 s'annule donc pour :

x1 = −b−√4

2a= −(−3)−7

2∗(−1)= −4−2

= 2

x2 = −b+√4

2a= 3+7−2

= 10−2

= −5

−x2 − 3x+ 10 admet comme racines 2 et - 5

Donc −x2 − 3x+ 10 > 0 lorsque x appartient à ]− 5; 2[

−x2 − 3x+ 10 < 0 lorsque x appartient à ]−∞;−5[∪]2; +∞[

−x2 − 3x+ 10 = 0 lorsque x = −5 ou x = 2

Nous aurions pu aussi , une fois obtenu les racines, factoriser le polynôme :

−x2 − 3x+ 10 < 0⇔ −(x+ 5)(x− 2) < 0

Le tableau de signes issu de cette factorisation :x 1 5 2 +1x 2 0 + +x+ 5 0 +(x 2)(x+ 5) 0 + Figure 18.6 signes de l'inéquation −x2 − 3x+ 10 < 0


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18.3. EXEMPLES 177

Exemple 9 :

Résoudre dans R l'inéquation : (x−5)2(x2+2)3−x ≥ 0

Cette inéquation est une fraction rationnelle ( polynôme au numérateur et polynôme au dénomi-nateur). Elle existe (est calculable) pour tout dénominateur diérent de zéro donc :

3− x 6= 0⇔ x 6= 3

Quelque soit x (∀x) (x− 5)2 ≥ 0 c'est un carré ! et égal à 0 pour x = 5.

Quelque soit x (∀x) (x2 + 2) > c'est la somme d'un carré et d'un nombre positif.

Finalement le signe de cette fraction rationnelle ne dépend que du signe du dénominateur puisquele numérateur est soit nul soit positif.

3− x > 0⇔ x < 3

S =]−∞; 3[

Exemple 10 :

Résoudre dans R l'inéquation : x2−34x2+3x−1

≥ 1

La division par 0 étant impossible nous devons éliminer les valeurs qui annulent le dénominateur

Calculons le discriminant du dénominateur :

4 = 32 − 4(4)(−1) = 9 + 16 = 25;√4 = 5

x1 = −b−√4

2a= −3−5

2∗4 = −88

= −1

x2 = −b+√4

2a= −3+5

2∗4 = 28

= 14

Ces deux valeurs sont à rejeter : Df =]−∞;−1[∪]− 1; 14[∪]1

4; +∞[.

La fraction rationnelle peut désormais s'écrirex2−3

4x2+3x−1≥ 1⇔ x2−3

4x2+3x−1− 1 ≥ 0⇔ x2−3−1(4x2+3x−1)

4x2+3x−1≥ 0⇔ x2−3−4x2−3x+1

4x2+3x−1≥ 0

x2−34x23x−1

≥ 1⇔ −3x2−3x+14x2+3x−1

≥ 0

Calculons le discriminant du numérateur :

4 = (−3)2 − 4(−3)(−2) = 9− 24 = −16

Le numérateur n'a pas de racine, ce trinôme est du signe de a donc toujours négatif. La fractionne dépend que du signe du trinôme du dénominateur qui est :

- positif de]−∞;−1[∪]14; +∞[

- négatif de ]− 1; 14[

nalement la fraction rationnelle est :

- négative de ]−∞;−1[∪]14; +∞[

- positive de ]− 1; 14[

Bien entendu, nous aurions pu établir un tableau de signes en factorisant le dénominateur.


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Troisième partie

ANALYSE


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Chapitre 19

GÉNÉRALITÉS sur les FONCTIONS

Ce chapitre fait suite au Chapitre Notions de Fonctions

19.1 DÉFINITION

Une fonction numérique f est une relation d'un ensemble E (partie de R) vers un ensemble Rqui à tout élément x de E associe au plus un nombre réel appartenant à l'ensemble Ff : E −→ F

f : x 7→ f(x)(se lit : soit la fonction f qui à x associe f de x )Ce nombre réel s'appelle image de x par f , il est noté f(x).

Figure 19.1 dénition d'une fonction

À tout élément x de l'ensemble E (ensemble de départ, partie de R, contient donc des réels). Ondénit une relation qui va relier les éléments de E aux éléments de l'ensemble F (ensembled'arrivée, partie de R, contient donc des réels). Cette relation s'appelle une fonction .Tout élément x de E (ensemble de départ) admet au plus un élément dans l'ensembled'arrivée F . Cet élément de F s'appelle une image de x par f c'est f(x), à contrarioon dira que l'image de F à pour antécédent l'élément de E .


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182 CHAPITRE 19. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

Admet au plus un élément signie que l'élément x de E admet une image mais peutne pas en avoir, mais certainement pas plus d'une image.

19.2 NOTATION

La fonction se note f , l'image de x par f notée f(x) est un nombre réel et non une fonction.On écrira donc :

Soit la fonction f dénie par f(x) = expression (exemple :f(x) = 2x+ 1)

Soit la fonction qui à x associe le double de ce nombre :

f : x 7→ 2x

Calculons le double de 3 : f(3) = 2(3) = 6. On remplace x par 3. Le réel 6 est l'image de 3 parla fonction f , le réel 3 est l'antécédent du réel 6 par la fonction f .

Si on écrit : f(x) = 18, le réel est 18 et l'on doit chercher l'antécédent x par la fonction f .

f(x) = 18⇔ 2x = 18⇔ x = 182

= 9

L'antécédent est le réel 9, l'image est le réel 18.

Déterminer la valeur (l'image) du polynômeA(x) = 5x2−4x−7 pour les valeurs suivantes :−1; 3;√

2;−√

5 ;

A(−1) = 5(−1)2 − 4(−1)− 7⇐⇒ A(−1) = 5 + 4− 7 = 2 ;

A(3) = 5(3)2 − 4(3)− 7⇐⇒ A(3) = 5x9− 4x3− 7 = 45− 12− 7 = 26 ;

A(√

2) = 5(√

2)2 − 4(√

2)− 7⇐⇒ A(√

2) = 5x2− 4√

2− 7 = 3− 4√

2 ' −2, 65 ;

A(−√

5) = 5(−√

5)2 − 4(−√

5)− 7⇐⇒ A(−√

5) = 5x5 + 4√

5− 7 = 18 + 4√

5 ' 26, 94 ;

Exemple :

Soit la fonction f : x −→ 1, 196x , on peut dire soit la fonction f qui à x prix hors taxeassocie le prix ttc. La fonction f est dénie par f(x) = 1, 196x.

Calcul du prix d'un article hors taxe de 1000¿.

f(1000) = 1, 196 ∗ 1000 = 1196¿. Le réel 1000 a remplacé la valeur x .


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19.3. ENSEMBLE DE DÉFINITION D'UNE FONCTION 183

19.3 ENSEMBLE DE DÉFINITION D'UNE FONCTION

1° ) Soitf(x) = 7. Cette fonction est une fonction constante car pour n'importe quelle valeur de x le résultat (l'image de x par f ) sera toujours 7.f(−3) = 7 ; f(1) = 7 ; f(10) = 7

2° ) soit f(x) = x2 + 3x+ 7. C'est une fonction polynôme (elle comprend plusieurs termes appelésmonômes), fonction polynôme de degré 2 car le plus grand coecient de x est 2.f(−3) = 32 +3∗3+1 = 10 ; f(−1) = (−1)2 +3(−1)+1 = −1 ; f(1

2) = (1

2)2 +3(1

2)+1 = 11

4;f(0) = 1

Existe t-il une valeur à laquelle on ne puisse pas calculer l'image de x ?Non, dans cette fonction on peut remplacer x par n'importe quelle valeur, on trouvera toujoursune image de x par f .La fonction f est dénie pour toute valeur de x , son domaine de dénition est R (l'ensembledes réels).

3° ) soit f(x) = 2x−1x−5

C'est une fonction rationnelle, un rapport entre deux polynômes. Calculonsquelques images.

f(0) = 2∗0−10−5

= −1−5

= 15; f(5) = 2∗5−1

5−5= 9

0.

Ce calcul est interdit, une division par 0 est impossible.Dans ce cas, on dira que la fonction f dénie par x : f(x) = 2x−1

x−5n'est pas dénie pour x

= 5, son domaine de dénition est toutes les valeurs appartenant à R à l'exception de 5.

4° ) Soit f(x) =√x− 2. C'est la fonction racine carrée. Calculons quelques images.

f(2) =√

2− 2 =√

0 = 0 ; f(11) =√

11− 2 =√

9 = 3 ; f(0) =√

0− 2.Ce calcul est interdit, on ne peut extraire la racine 2

√ d'un nombre négatif. Dans ce cas, on diraque la fonction f dénie par x : f(x) =

√x− 2 n'est pas dénie pour x = 2. L'ensemble

de dénition d'une fonction f ou domaine de dénition d'une fonction f , noté Df estl'ensemble des valeurs prises par x pour lesquelles f(x) est calculable ( ou est déni, ou existe).Si la fonction s'appelle g ou h ou ... alors le domaine sera noté Dg , Dh D... .

N'est pas calculable :- la division par 0. Dans le cas d'une division nous devrons nous assurer que le dénominateur estnon nul.- la racine carré d'un nombre négatif. Dans ce cas, on devra s'assurer que le radicande est positifou nul.- le logarithme d'un nombre inférieur ou égal à 0. Pour cette opération, on devra s'assurer que lenombre sera supérieur à 0 ( fonction étudiée dans un chapitre ultérieur).Le domaine de dénition de f est l'ensemble des valeurs de R prises par x tel quef(x)existe. Dfx ∈ R tel que f(x) existe.


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19.4 ÉCRITURE DU DOMAINE DE DÉFINITION

- fonction polynôme :

f : x 7→ 3x2 − 12x+ 7 ;

Cette fonction est dénie pour toute valeur de x appartenant à l'ensemble 2 des réels. Df = R.

- fonction rationnelle :

f : x 7→ 3x−5x−2

; Il faut que x − 2 6= 0 ⇔ x 6= 2 ; car la division par 0 est impossible. Écrivons ledomaine de dénition :

Df = R− 2ou bien Df =]−∞; 2[∪]2;∞[ ou Df = R\2 (R privé de 2).

f : x 7→ x−5x2+7

; Il faut que le dénominateur soit 6= 0 (car la division par 0 est impossible), ce quiest toujours le cas ici car un carré est toujours positif et on additionne à ce carré un chire positif.Écrivons le domaine de dénition :Df = R .

- fonction racine carrée :

f : x 7→√x− 3 ;

Il faut s'assurer que le radicande est positif soitx − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3. Écrivons le domaine dedénition :

Df = [3;∞[ ;

Toutes les valeurs supérieurs ou égales à 3 conviennent, toutes seules inférieurs à 3 sont à rejeter.f(1) =

√1− 3 = −2 n'a pas de sens, on ne peut extraire la racine carrée que d'un nombre positif.

f : x 7→√x− 1 +

√10− x ;

Il faut que simultanément les deux radicandes soient positifs.x− 1 ≥ 0⇔ x ≥ 1

10-x ≥ 0⇔ x ≤ 10par conséquentDf = [1; 10]

f : x 7→√x+2

x2-7x+6;

Il faut que simultanément le radicande et le dénominateur soient positifs. Pour l'équation du seconddegré il faut chercher les racines qui annulent ce polynôme.

4 = b2− 4ac = 72 − 4(1)(6) = 49− 24 = 25 ;√4 = 5 ;

x1 = −b−√4

2a= 7−5

2x1= 2

2= 1;

x2 = −b+√4

2a= 7+5

2x1= 12

2= 6

x+ 2 ≥ 0⇔ x ≥ −2

x2 − 7x+ 6 6= 0⇔ x 6= 1;x 6= 6

par conséquent Df = [−2; 1[∪]1; 6[∪]6;∞[

que l'on peut aussi écrire Df = [−2;∞[ \ 1 ; 6 ou Df = [−2;∞[ -1 ; 6


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19.5. COURBE REPRÉSENTATIVE DE LA FONCTION 185

19.5 COURBE REPRÉSENTATIVE DE LA FONCTION

Soit un plan muni d'un repère (O, i , j ) et un point M (x, y) caractérisé par ses coordonnées, x son abscisse et y son ordonnée. Tout point du plan est caractérisé par des coordonnées (x,y). La courbe Cf représentative d'une fonction f est l'ensemble M du plan de coordonnées (x,y) tel que y = f(x).

Figure 19.2 graphe d'une fonction

FONCTION AFFINE

Une fonction ane est une fonction f : x 7→ ax+ b ; la représentation graphique de la fonction f(x)= ax + b est toujours une droite.

Soit f : x 7→7→ x − 3 comme sa représentation graphique est toujours une droite, il sut dedéterminer 2 points pour tracer la droite. Dressons un petit tableau de valeurs pour déterminerces points :

x 0 3 6f(x) -3 0 1

Dans le plan plaçons deux de ces points et traçons la droite les reliant.


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FONCTION LINÉAIRE

C'est une fonction ane à laquelle on attribue la valeur 0 au paramètre b soit donc f(x) = ax.Si on dresse un tableau de valeurs pour cette fonction, on s'aperçoit que pour x = 0 alors f(0) = 0.La représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.

Figure 19.3 fonction linéaire et ane

FONCTION CARRÉE

Une fonction ane est une fonctionf : x 7→ x2 . Dressons un petit tableau de valeurs pourdéterminer ces points :

x -3 -2 -1 0 1 2 3f(x) 9 4 1 0 1 4 9

Nous pouvons remarquer que pour les valeurs positives ou négatives de x , f(x) prend la mêmevaleur.f(−3) = f(3) = 9.

On dit que cette fonction est paire , sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axedes ordonnées.

Dans le plan, plaçons tous les points correspondants aux abscisses x = 1, x = 2, x = 3, ... et parsymétrie d'axe y'Oy plaçons les points d'abscisses x = -1 , x = -2, x = -3, ... et traçons la courbejoignant tous ces points.

C'est la représentation graphique de f(x) = x2 , on l'appelle une parabole.


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19.5. COURBE REPRÉSENTATIVE DE LA FONCTION 187

x ∈ Dfson opposé −x ∈ Df , f(−x) = f(x) la fonction est paire de symétrie d'axe y'Oy.

Figure 19.4 fonction carrée


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19.6 SENS DE VARIATION D'UNE FONCTION

Supposons que la fonction f est dénie sur un intervalle I , et soient deux réels a et b éléments de I ; a ∈ I, b ∈ I .

Figure 19.5 sens de variation d'une fonction croissante

sur la gure ci dessus on s'aperçoit que lorsque x croit, f(x) croit. Si a < b si f(a) < f(b) dans cecas la fonction est strictement croissante.

Figure 19.6 sens de variation d'une fonction décroissante


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19.7. TABLEAU DE VARIATION D'UNE FONCTION 189

Sur la gure ci dessus on s'aperçoit que lorsque x croit, f(x) décroit. Si a < b si f(a) > f(b) dansce cas la fonction est strictement décroissante. Pour connaître le sens de variation nous pouvonscalculer le taux de variation d'une fonction sur un intervalle I par la formule :4y4x = f(x)−f(x0)

x−x0

Ici le symbole 4 signie variation.

Si sur l'intervalle le taux est positif alors : la fonction est croissante,si ce taux est négatif alors la fonction est décroissante sur cet intervalle.

Par la suite on déterminera le sens de variation d'une fonction grâce au calcul sur les dérivées.

19.7 TABLEAU DE VARIATION D'UNE FONCTION

Soit la fonction f : x 7→ x4 − 2x2 − 4

Figure 19.7 y = x4 − 2x2 − 4

Sur l'intervalle -2 ; -1 la fonction décroit, puis croit sur l'intervalle -1 ; 0 puis décroit de nouveausur l'intervalle 0 ; 1 puis croit à nouveau sur l'intervalle 1 ; 3. Voici le tableau de variations :

Figure 19.8 Tableau de variation fonction y = x4 − 2x2 − 4


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Quand la fonction est croissante puis décroissante elle passe par un maximum relatif, quand lafonction décroit puis croit elle passe par un minimum relatif, on dit aussi qu'elle passe par unextremum. Le pluriel de maximum est maxima, celui de minimum est minima et celui de extremumest extrema.

Quand on dispose du graphique de la fonction, par lecture on peut en tirer des renseignements, parexemple chercher pour quelles valeurs de x la fonction prend une certaine valeur, c'est la recherchedes antécédents.

Exemple 1 :f(x) = 3, 5.

On trace la droite d'équationy = 3, 5 donc parallèle à l'axe des x , les abscisses des pointsd'intersections de cette droite avec le graphe de la fonction sont les solutions (valeurs) de x recherchées. Soit S les solutions S = -0,54 ; 0,54 ; 1,3

Exemple 2 :f(x) = 2.

On trace la droite d'équation y = 2, donc parallèle à l'axe des x . Comme cette droite n'a aucunpoint commun avec le graphe de la fonction, il n' y a aucune solution. S = Ø

Exemple 3 : f(x) > 3, 5

Cette inéquation revient à chercher les abscisses des points de la courbe situés au dessus de 3,5.

Graphiquement il sut de noter les abscisses de l'intervalle des points de la courbe situés au dessusde 3,5.

S =]− 0, 54; 0, 54[∪]1, 3; 1, 6]


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19.8. EXEMPLES D'ÉTUDE DU SIGNE D'UNE FONCTION 191

19.8 EXEMPLES D'ÉTUDE DU SIGNE D'UNE FONCTION

soit la fonction : f(x) = (x− 3)(x2 + 7)

Ici la fonction est un produit de facteurs, il faut étudier séparément le produit de chaque facteur.Dans un premier abord nous allons donner diérentes valeurs à x pour visualiser le comportementde cette fonction.

soit x = 2 alors f(x) = (x− 3)(x2 + 7) devient f(2) = (2− 3)(22 + 7) = (−1)(11) = −11

donc f < 0 , f est négative

soit x = 3 alors f(x) = (x− 3)(x2 + 7) devient f(3) = (3− 3)(32 + 7) = (0)(16) = 0

donc f = 0 , f est nulle

soit x = 8 alors f(x) = (x− 3)(x2 + 7) devient f(8) = (8− 3)(82 + 7) = (5)(71) = 355

donc f > 0 , f est positive

GÉNÉRALISATION

Il faut étudier séparément le produit de chaque facteur et appliquer la règle des signes.

Reprenons la fonction : f(x) = (x− 3)(x2 + 7)

Le premier facteur (x− 3) s'annule pour x = 3, positif pour x > 3 et négatif pour x < 3.

Le deuxième facteur (x2 + 7) comporte un second degré en x. Le carré d'un nombre est toujourspositif ou nul, x ≥ 0. On peut donner n'importe quelle valeur à x, ce résultat est toujours vrai.

- soit x = −3 alors x2 = (−3)2 ⇒ x2 = 9, nombre positif, x > 0

- soit x = 0 alors x2 = (0)2 ⇒ x2 = 0, nombre nul, x = 0

- soit x = 7 alors x2 = (7)2 ⇒ x2 = 49, nombre positif, x > 0

Rajoutons 7 aux résultats déjà obtenu. Il est évident que (x2 + 7) ≥ 0 + 7 soit (x2 + 7) ≥ 7 . Lenombre (x2 + 7) est donc positif.

Soit le produit ab, avec b positif, le résultat de ce produit est positif si a est positif et par conséquentle résultat de ce produit est négatif si a est négatif.

RÉDACTION

La fonction f(x) est du signe de (x− 3) car (x2 + 7) est toujours strictement positif. La fonctionf(x) est positive,f(x) > 0, si et seulement si (ssi) (x− 3) est positif, (x− 3) > 0 que l'on écrit :

f(x) ≥ 0⇔ (x− 3) ≥ 0⇔ x ≥ 3. Voici son tableau de signes :


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Figure 19.9 Tableau de variation fonction :f(x) = (x− 3)(x2 + 7)

Exemple 2

Soit la fonction f(x) = (1− x)(−x2 − 2).

Elle comprend deux termes, le premier du premier degré, le second terme est du deuxième degré.Le premier terme ne présente pas de dicultés. Le deuxième terme comprend le signe moins devantle carré. Nous pouvons écrire :

(−x2 − 2) = −(x2 + 2)

or (x2 + 2) est toujours positif donc−(x2 + 2) est toujours négatif donc(−x2 − 2) < 0. Voici sontableau de signes :

Figure 19.10 Tableau de signes fonction : f(x) = (1− x)(−x2 − 2

Nous pouvons aussi raisonner sans le tableau de signes.

La fonctionf(x) = (1−x)(−x2−2) peut s'écrire f(x) = (1−x)[−(x2+2)] = f(x) = −(1−x)(x2+2)

La fonction f(x) = (1− x)(−x2 − 2) est du signe de−(1− x) car (x2 + 2) est toujours strictementpositif (x2 + 2) > 0.

La fonction f(x) est positive,f(x) ≥ 0, si et seulement si (ssi)−(1 − x) est positif, −(1 − x) ≥ 0que l'on écrit :

f(x) ≥ 0⇔ −(1− x) ≥ 0⇔ x ≥ 1


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19.9. RÉSUMÉ 193

19.9 RÉSUMÉ

Dénition d'une courbe représentative :

On appelle courbe représentative de la fonction f l'ensemble des points M(x; f(x)) avec x appartenant au domaine de dénition de f .

Propriété

Un point A(xa; ya) appartient à la courbe représentative de la fonction f si et seulement si f(xa) =ya

Propriété

Toute courbe ne représente pas une fonction . Seules les courbes ayant avec toutes les droitesverticales une unique intersection représentent des fonctions .

Dénition algébrique d'un extremum

On dit que la fonction f dénie sur I un intervalle admet un maximum en a élément de I si etseulement si pour tout x de I : f(x) < f(a)

On dit que la fonction f dénie sur I un intervalle admet un minimum en a élément de I si etseulement si pour tout x de I : f(x) > f(a)

Conséquence graphique d'un extremum

Si la fonction f admet un maximum en a , alors sa courbe a un sommet en a .

Si la fonction f admet un minimum en a , alors sa courbe a un creux en a

Dénition algébrique des variations

On dit qu'une fonction f dénie sur un intervalle I est croissante sur cet intervalle si et seulementsi pour tout x et y de I tels que x < y on a alors f(x) < f(y)

On dit qu'une fonction f dénie sur un intervalle I est décroissante sur cet intervalle si et seulementsi pour tout x et y de I tels que x < y on a alors f(x) > f(y).

Conséquence graphique des variations

La courbe d'une fonction croissante monte.

La courbe d'une fonction décroissante descend.


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Chapitre 20

FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Nous allons résumer les propriétés de quelques fonctions de référence

20.1 FONCTIONS AFFINES

f

R→ Rx 7→ ax+ b

a et b sont deux nombres donnés non (a non nul).

Df = R

1er cas : a > 0 x 1 ba +1f(x) 0Figure 20.1 Tableau fonction ane croissante

f est strictement croissante sur R


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196 CHAPITRE 20. FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Figure 20.2 fonction ane y = 3x− 2

2ème cas : a < 0 x 1 ba +1f(x) 0Figure 20.3 Tableau fonction ane décroissante

f est strictement décroissante sur RReprésentation graphique

Figure 20.4 graphe de la fonction y = −23x+ 7

3


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20.2. FONCTION CARRÉE 197

20.2 FONCTION CARRÉE

Propriétés

f

R→ Rx 7→ x2

Df = Rf est paire (symétrique par rapport à l'axe des ordonnées y'y, dans un repère orthonormé)

f est strictement décroissante sur ]−∞; 0] et f est strictement croissante sur [0; +∞[x 1 0 +1x2 0Figure 20.5 Tableau variation y = x2

La courbe représentative est une parabole.

Figure 20.6 Graphe fonction y = x2


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20.3 FONCTION CUBE

Propriétés

f

R→ Rx 7→ x3

Df = Rf est impaire

f est strictement croissante sur [0; +∞[x 1 0 +1x3 0Figure 20.7 Tableau variation fonction cube

Le point 0 origine est centre de symétrie du graphe

Figure 20.8 graphe fonction y = x3


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20.4. FONCTION RACINE CARRÉE 199

20.4 FONCTION RACINE CARRÉE

Propriétés

f

R+ → Rx 7→

√x

Df = R+ = [0; +∞[

f est strictement croissante sur [0; +∞[x 0 +1px 0 +1Figure 20.9 Tableau variation y =

√x

Le point 0 origine est centre de symétrie du graphe

Figure 20.10 graphe de la fonction racine carrée


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20.5 FONCTION INVERSE

Propriétés

f

R∗ → Rx 7→ 1

x

Df = R∗ =]−∞; 0[∪]0; +∞[

f est impaire

f est strictement décroissante sur ]−∞; 0[∪]0; +∞[x 1 0 +11x 0 1 +1 0Figure 20.11: Tableau de variation y = 1

x

La courbe représentative est une hyperbole.

Le point 0 , l'origine est centre de symétrie du graphe.

Figure 20.12 graphe de la fonction y = 1x


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20.6. FONCTION VALEUR ABSOLUE 201

20.6 FONCTION VALEUR ABSOLUE

Propriétés

f

R→ Rx 7→ |x|

Df = R=]−∞; +∞[

f est paire

f est strictement décroissante sur ]−∞; 0] et f est strictement croissante sur [0; +∞[x 1 0 +1jxj 1 0 +1Figure 20.13 Tableau de variation fonction |x|

L'axe des ordonnées est axe de symétrie du graphe( repère orthonormé).

Figure 20.14 graphe de la fonction y = |x|


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Chapitre 21

TANGENTE A UNE COURBE

Rappel :nous avons vu les notions de coecient directeur au chapitre 13 Fonction Linéaire et auchapitre 14 Fonctions Anes.

Figure 21.1 coecient directeur négatif

La droite D a alors pour équation y = −3x et on dit que -3 est le coecient directeur de ladroite D ou pente de la droite représentative de la fonction. Il indique l'inclinaison de la droite.

21.1 INTERPRÉTATION DU COEFFICIENT DIRECTEURD'UNE DROITE

Donner le sens de variation d'une fonction linéaire

La variation d'une fonction linéaire f dénie par f(x) = ax dépend du signe du coecient a :

a > 0 : f est croissante

a < 0 : f est décroissante Cas où le coecient directeur est positif : a > 0

On considère la fonction f dénie par : f : x 7→ 2x


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204 CHAPITRE 21. TANGENTE A UNE COURBE

La droite (d) est la représentation graphique de la fonction f

Le coecient directeur de la droite (d) est : 2

Soit A un point quelconque de la droite (d). Si on augmente de 1 son abscisse et si on augmentede 2 son ordonnée, on obtient les coordonnées d'un nouveau point B de la droite. Ici la fonctionest croissante

Figure 21.2 coecient directeur positif

Nous pouvons dresser le tableau suivant :x 1 +1f(x)Figure 21.3 Tableau de variation fonction ane croissante

Cas où le coecient directeur est négatif : a < 0

On considère la fonction f dénie par : g : x 7→ −2, 5x

Le coecient directeur de la droite D est : -2,5

Soit C un point quelconque de la droite D. Si on augmente de 1 son abscisse et si on diminue de2,5 son ordonnée, on obtient les coordonnées d'un nouveau point D de la droite. Ici la fonction estdécroissante.


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21.1. INTERPRÉTATION DU COEFFICIENT DIRECTEUR D'UNE DROITE 205

Figure 21.4 coecient directeur négatif

Nous pouvons dresser le tableau suivant :x 1 +1f(x)Figure 21.5 Tableau de variation fonction ane décroissante

Précédemment au chapitre 14 nous avions vu la représentation graphique de la fonction anex 7→ ax + b qui est la droite d'équation y = ax + b. a est le coecient directeur de la droite, b est l'ordonnée à l'origine.


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Exemple : représentation graphique de la fonction f(x) = 2x+ 6 . (en vert sur le dessin) représentation graphique de la fonction g(x) = −x+ 3 (en rouge sur le dessin) représentation graphique de la fonction h(x) = x (en bleu sur le dessin) représentation graphique de la fonction y = 5 (en violet sur le dessin)

Figure 21.6 diérents coecients directeurs

Solutions graphiques Cherchons graphiquement le coecient directeur de diérentes droitesde la forme y = ax+ b

Coefficient directeur a =difference des ordonnees

difference des abscisses

Coecient directeur de la droite y = 2x− 1

Figure 21.7 Coecient directeur a=2


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21.1. INTERPRÉTATION DU COEFFICIENT DIRECTEUR D'UNE DROITE 207

Coecient directeur de la droite y = −2x+ 3

Figure 21.8 Coecient directeur a = −2

Coecient directeur de la droite y = 0, 5x− 2

Figure 21.9 Coecient directeur a = 0, 5

Coecient directeur de la droite y = −1/3x+ 2

Figure 21.10 Coecient directeur a = −13


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21.2 CALCUL DE LA TANGENTE

Représentons le graphe de la fonction y = 2x2 − 6x+ 1

no

Figure 21.11 notion de tangente

Soit un point A de coordonnées A(x0; y0) ; Soit la droite D d'équation y = ax + b ; au point Al'équation de la droite D s'écrit : y0 = ax0 + b on obtient le système de deux équations :y = ax+ b

y0 = ax0 + b⇔ y-y0 = ax-ax0 + b-b soit y − y0 = a(x− x0)

Ce résultat est l'équation d'une droite de coecient directeur a et passant par le point A(x0; y0).

Le coecient directeur est :

a =y-y0

x-x0

=f(x)-f(x0)

x-x0

Soit le graphe ci-dessus, La courbe Cf = 2x2−6x+ 1 et la droite D d'équation y = −x−1 passantpar les points A et C.

Le coecient directeur (pente) de la droite AC est a = y-y0x− x0

= f(x)-f(x0)x−x0 . Quand la droite D pivote

sur le point A(2 ;-3), le point C(0,5 ;-1,5) se rapproche du point A, l'abscisse x du point C serapproche de l'abscisse x0 du point A, la droite AC qui était sécante à la courbe Cf prend uneposition limite qui devient une droite tangente à la courbe Cf au point A .


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21.2. CALCUL DE LA TANGENTE 209

La pente de la tangente à la courbe au point A est la limite du rapport f(x)-f(x0)x-x0

, lorsque x tend vers x0. 1

Ce rapport est le coecient directeur de la tangente T à la courbe Cf au point A(x0; y0).

Cette limite s'appelle nombre dérivé de f(x0) et s'écrit f ′(x0) ou y′(x0) . Ceci s'écrit :

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x-x0

(se lit f prime de x0 est égal à la limite quand x tend vers xo du rapport f(x)− f(x0) sur x− x0)

Il faut que cette limite existe et et fournit une valeur bien déterminée c'est à dire que f'(x) soit unnombre diérent de ±∞.

Le nombre f ′(x) étant la pente de la tangente, on en déduit l'équation de la Tangente T :

f ′(x0) = limx→x0f(x)−f(x0)

x-x0= y−f(x0)

x−x0 ⇔ y − f (x0) = f ′ (x0) (x− x0)

y = f ′ (x0) (x− x0) + f (x0) . (I)

Faisons varier la fonction f en donnant une variation h à x0 ; la fonction varie de : f(x0 + h)−f(x0). Calculons le nombre dérivé :

f ′(x0) = limh→0f(x0+h)−f(x0)

(x0+h)-x0que nous pouvons aussi écrire :

f ′(x0) = limh→0f(x0+h)−f(x0)

h(II)

Exemples :

déterminer les nombres dérivés en un point x0 des fonctions suivantes :

Exemple 1 :soit la fonction linéaire f (x) = 6x . Appliquons la formule ci dessusf(x0+h)−f(x0)

h

f ′(x) = limh→0

6h

h= 6

Exemple 2 :soit la fonction ane f (x) = 7x− 3 . Appliquons la formule ci dessusf(x0+h)−f(x0)

h

f ′(x) = limh→0

7h

h= 7

Exemple 3 :soit la fonction carrée : f(x) = x2

f(x0+h)−f(x0)h

=(x0+h)2−x20

h=

x20+2x0h+h2−x20h

= 2x0h+h2

h

1. est très très proche de x0 : la diérence entre x− x0 est presque nulle, elle tend vers 0


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= h(2x0+h)h

f ′(x0) = limh→0

h(2x0 + h)

h= 2x0

Exemple 4 :soit la fonction trinôme du second degré : f(x) = 2x2 − 6x+ 1

f(x0+h)−f(x0)h

=2(x0+h)2−6(x0+h)+1−(x20−6x0+1)

h

=2x20+4x0h+2h2−6x0−6h+1−2x20−+x0−1)

h

= 2h2+4x0h−6hh

== h(2h+4x0−6)h

= 4x0 − 6 + 2h

f ′(x0) = limh→0

4x0 − 6 + 2h = 4x0 − 6

Calculons f' pour x0 = 1. Pour ce faire remplaçons x0 par 1 dans f ′(x0) = 4x0 − 6 :on obtient : f ′(1) = 4(1)− 6 = −2.Ce coecient est négatif, à cet endroit la courbe est décroissante.

Exemple 5 : soit la fonction inverse f(x) = 1x

f(x0+h)−f(x0)h

=1

x0+h− 1x0

h=

1(x0)(x0+h)x0

− 1(x0+h)x0(x0+h)

h

=x0−x0−h(x0+h)x0

h= −h

hx0(x0+h)= −1

x0(x0+h)

f(x) = limh→0

−1

x0(x0 + h)=−1

x20

Exemple 6 : à titre d'exemple, cherchons l'équation de la tangente de la fonction f(x) = 2x2 −6x+ 1 : (voir paragraphe : 21.2 page 208)Au point A d'abscisse : x0 = 2 par application de la formule :

y = f ′ (x0) (x− x0) + f (x0) .

Calculons f ′ au point x0 = 2 : f ′(2) = 4(2)− 6 = 8− 6 = 2Calculons f au point x0 = 2 : f(2) = 2(2)2 − 6(2) + 1 = 8− 12 + 1 = −3équation de la tangente T : y = f ′ (x0) (x− x0) + f (x0) = 2(x− 2)− 3 = 2x− 4− 3 = 2x− 7revoir l'exercice sur l'équation des droites anes

Au point d'abscisse 1 (exemple 4 ci ci-dessus)Calculons f ' au point x0 = 1 : f ′(1) = −2Calculons f au point x0 = 1 : f(1) = 2(1)2 − 6(1) + 1 = 2− 6 + 1 = −3équation de la tangente T : y = f ′ (x0) (x− x0)+f (x0) = −2(x−1)−3 = −2x+2−3 = −2x−1


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Exemple 7 : f(x) 7→ x2 − 3xDéterminer le coecient directeur de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse x0 = 1.Calculons la dérivée f ′(x) = 2x− 3 ;Le coecient directeur en 1 est f(1) = 2(1)− 3 = −1Équation de la tangente à la courbeCf au point d'abscisse x0 .y − y0 = a(x− x0) ; y − f(x0) = f(x0)(x− x0)⇔ y = f(x0)(x− x0) + f(x0)

Figure 21.12 Tangente à la courbe f(x) = x2 − 3x

Exemple 8 : f : x 7→ x3 − 2x+ 7Cherchons l'équation T de la tangente au pointx0 = 4 ;y − f(x0) = f(x0)(x− x0)⇔ y − f(4) = f(4)(x− 4)f ′(x) = 3x2 − 2 ; f ′(4) = 3(4)2 − 2 = 46f ′(4) = 64− 8 + 7 = 63y − 63 = 46(x− 4)⇔ y = 46x− 121

Figure 21.13 Tangente à la courbe f(x) = x3 − 2x+ 7


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Soit une courbe Cf et 3 droites tangentes à cette courbe

Figure 21.14 Trois tangentes

Sur un même graphe nous pouvons avoir plusieurs tangentes tracées.

Une tangente au point x = −1 coecient directeur de la droite bleue : 0 d'équation y = −0, 5 ;

Une tangente au point x = −2 coecient directeur de la droite verte : -1 d'équation y = −x−1, 5 ;

Une tangente au point x = +2 coecient directeur de la droite rouge : 0 d'équation y = 3 ;


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INTERPRÉTATION DU NOMBRE DÉRIVÉ Le coecient directeur de la tangente Tà la courbe Cf d'équation y = f(x) au point M d'abscisse x0 est égal à f ′(x0). Avec une tangentehorizontale on aura un maximum relatif ou minimum relatif, son coecient directeur est égal à 0.

Figure 21.15 interprétation du nombre dérivé

sur le graphe on lit :

f(2) = 3 ; f ′(2) = 0 ;

f(−1) = 0, 5 ; f ′(−1) = 0 ;

f(−2) = 0 ; f ′(−2) = −1 ;

Les tangentes permettent de tracer la courbe Cf de manière plus précise.

Calculer la tangente T à f(x) = 3x2 − x+ 1 au point x0 = −1 ;

y − y0 = a(x− x0) ; y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)⇔ y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0)

T : y − f(−1) = f ′(−1)(x− (−1)) ;

f ′(x) = 6x− 1 ; f ′(−1) = −6− 1 = −7 ; f(−1) = 3 + 1 + 1 = 5

y − 5 = −7(x+)⇔ y − 5 = −7x− 7⇔ y = −7x− 2


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Exercice g(x) = 4x2−36xx−12

Démontrer que g′(x) = 4x2−36x(x−1)2

et étudiez le sens de variations de la fonction sur l'intervalle [0; 10].

g(x) = 4x2−36xx−12

est de la forme uv⇒ g′(x) = (u′v−uv′)

v2;

u(x) = 4x2 − 36x⇒ u′(x) = 8x− 36

v(x) = x− 12⇒ v′(x) = 1

g′(x) = (8x−36)(x−12)−1(4x2−36x)(x−12)2

= 4[(2x−9)(x−12)−(x2−9x)(x−12)2

g′(x) = 4(2x2−36x+108−x2+9x)(x−12)2

= 4(x2−24x+108)(x−12)2

Étudions le trinôme du second degré :

4 = b2 − 4ac = 242 − 4(1)(108) = 144;√4 = 12

x1 = −b−√4

2a= 24−12

2= 6

x2 = −b+√4

2a= 24+12

2= 18

g′(x) est donc négatif entre les racines car du signe de (−a). Sur l'intervalle [0; 10] (x − 2)2 estpositif, donc g′(x) dépend du signe du monôme−(x−6) car le monôme (x−18) est toujours négatif.g′(x) ≥ 0 ssi −(x− 6) ≥ 0⇔ x− 6 ≤ 0⇔ x ≤ 6

g′(x) ≤ 0⇔ x ≥ 6

Dressons le tableau de variations.

Figure 21.16 Tableau de variation de g(x) = 4x2−36xx−12

21.3 FONCTION DÉRIVÉE

Soit une fonction f dénie sur tout un ensemble I donc calculable sur cet intervalle. Si pour toutréel x de cet ensemble I, il existe un nombre dérivé f ′(x) alors on dit que la fonction f estdérivable sur cet intervalle.La dérivée d'une fonction f est une fonction qui, à tout nombre pour lequel f admet un nombredérivé, associe ce nombre dérivé.La fonction f : x 7→ f ′(x) s'appelle la fonction dérivée de f.Le calcul des fonctions dérivées fait l'objet d'un chapitre particulier.


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Chapter 22

DÉRIVÉES

22.1 PRÉSENTATION

INTRODUCTION

Les physiciens, les économistes ... s'intéressent aux variations d'une fonction en réponse à diérentesvaleurs prises par la variable indépendante x sur un intervalle donné.

22.2 RAPPEL

Le calcul dérivé est un outil qui nous permet donc de calculer un taux de variation pour unevariation innitésimale de la variable x.

La variation de x est très faible, notons 4x cette variation quand cette variation de x est prochede 0.

Si ce taux de variation est positif sur un intervalle, alors la fonction est croissante sur cet intervalle.

Si ce taux de variation est négatif sur un intervalle, alors la fonction est croissante sur cet intervalle.

Le taux de variation d'une fonction f sur un intervalle [a; b] est égal à : f ′.

Taux = f(b)−f(a)b−a

4x étant une très faible variation de x, le taux s'écrit :

Taux = f(x+4x)−f(x)4x

Exemple : Soit la fonction f(x) = x2 étudiée sur l'intervalle [1; 3].

Calculons le taux de variations : Taux = f(b)−f(a)b−a ;

f(b)→ f(3) = 32 = 9 ; f(a)→ f(1) = 12 = 1 ; (b− a)→ 3− 1 = 2

Taux = 9−12

= 82

= 4


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216 CHAPTER 22. DÉRIVÉES

Regardons comment se comporte une fonction f lorsque la variable x varie.

Soit : x 7→ f(x) ; faisons varier x qui passe de x à x +4x (x→ x +4x) avec 4x proche de zéroque l'on note 4x→ 0.

Taux = f(x+4x)−f(x)x+4x−x = f(x+4x)−f(x)

4x

DÉFINITION D'UN NOMBRE DÉRIVÉ

Nombre dérivé en x0.

Soit f une fonction dénie sur un intervalle contenant x0.

Dans la formule f(x+4x)−f(x)4x remplaçons x par x0 et 4x par h, on dit que f est dérivable en x0 si

f(x0+h)−f(x0)h

admet une limite lorsque h tend vers 0.

Cette limite est appelée nombre dérivé de f en x0. Il est noté f ′(x0). On a donc :

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

Exemples : déterminer les nombres dérivés en x0 des fonctions suivantes f (x) = 7x− 3 . Appliquons la formule ci ci-dessus

f(x0 + h)− f(x0)

h=

[7(x0 + h)− 3]− (7x0 − 3)

h=

7x0 + 7h− 3− 7x0 + 3

h=

7h

h

f ′(x) = limh→0

7h

h= 7

f(x) = x2

f(x0+h)−f(x0)h

=(x0+h)2−x20

h=

x20+2x0h+h2−x20h

= 2x0h+h2

h

= h(2x0+h)h

f ′(x0) = limh→0

h(2x0 + h)

h= 2x0


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22.3. FONCTION DÉRIVÉE 217

INTERPRÉTATION GRAPHIQUE DU NOMBRE DÉRIVÉ

Le nombre dérivé f ′ (x0) s'il existe, est le coecient directeur de la tangente à la courbe représen-tative de la fonction f au point M(x0; f(x0))

Figure 22.1 Taux d'accroissement

Coefficient directeur a =difference des ordonnees

difference des abscisses=f(x)− f(x0)

x− x0

La limite (quand x tend vers x0) de ce rapport est égal au nombre dérivé :

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

On en déduit l'équation de la Tangente T :

y − f (x0) = f ′ (x0) (x− x0).

22.3 FONCTION DÉRIVÉE

La fonction dérivée de la fonction f est :

la fonction f ′ : x 7→ f ′ (x)

f ′ (x)étant le nombre dérivé obtenu en remplaçant x0par x.

Le nombre dérivé en x0 : f ′ (x0), la dérivée de f sera f ′(x).


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TABLEAU DES DÉRIVÉES USUELLES

f(x) = b f ′(x) = 0 f = u+ v f ′ = u′ + v′

f(x) = ax+ b f ′(x) = a f = k ∗ u f ′ = k ∗ u′f(x) = x2 f ′(x) = 2x f = u ∗ v f ′ = u′v + v′uf(x) = x3 f ′(x) = 3x2 f = u2 f ′ = 2u ∗ u′f(x) = xn f ′(x) = nxn−1 f = un f ′ = nun−1 ∗ u′f (x) = 1

xf ′(x) = − 1

x2f = 1

vf ′ = − v′

v2

f(x) = ln (x) f ′(x) = 1x

f = uv

f ′ = u′v−v′uv2

f(x) = ex f ′(x) = ex f = ln(u) f ′ = u′

u

f = eu f ′ = u′ ∗ eu

Table 22.1 dérivées usuelles

Exemples :

f(x) = 3→ f ′(x) = 0 ; f(x) = 12→ f ′(x) = 0 ; f(x) = π

7→ f ′(x) = 0 ; f(x) = ln 7→ f ′(x) = 0

f(x) = x→ f ′(x) = 1 ;

f(x) = x2 → f ′(x) = 2x

f(x) = x5 → f ′(x) = 5x5−1 = 5x4

f(x) = x10 → f ′(x) = 10x10−1 = 10x9

f(x) = 1x→ f ′(x) = − 1

x2

f(x) = lnx→ f ′(x) = 1x. La fonction ln (logarithme népérien sera étudiée ultérieurement.

f(x) = ex → f ′(x) = ex. La fonction ex (fonction exponentielle sera étudiée ultérieurement.

f(x) = x2 + x+ 7→ f ′(x) = 2x+ 1 + 0 = 2x+ 1 de la forme f = u+ v

f(x) = 7x3 → f ′(x) = 7 ∗ (3x2) = 21x2 de la forme f = k ∗ u. Ici k = 7

f(x) = 8 lnx+ 7x+ 5→ f ′(x) = 8 ∗ 1x

+ 7 ∗ 1 + 0 = 8x

+ 7

f(x) = (3x+ 7) ∗ lnx de la forme f = uv → f ′ = u′v + v′u

Posons :

u(x) = 3x+ 7→ u′(x) = 3

v(x) = ln(x)→ v′(x) = 1x


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22.3. FONCTION DÉRIVÉE 219

donc f ′(x) = u′v + v′u = 3 ∗ ln(x) + 1x(3x+ 7)

f(x) = u2(x) = u(x) ∗ u(x) = u′(x) ∗ u(x) + u′(x) ∗ u(x) = 2u′(x)u(x)

f(x) = u3 → f ′(x) = 3u2u′

f(x) = u5 → f ′(x) = 5u4u′

f(x) = (x2 + 3x+ 1)2 de la forme f = u2

Posons u(x) = x2 + 3x+ 1→ u′(x) = 2x+ 3

f = u2 → f ′ = 2uu′ → f ′(x) = 2(x2 + 3x+ 1)(2x+ 3)

f(x) = (ln x)2 de la forme f = u2

Posons : u(x) = ln x→ u′(x) = 1xdonc f ′(x) = 2 ∗ lnx ∗ 1

x= 2 lnx

x

f(x) = 13x+7

de la forme f = 1v→ f ′ = − v′

v2

Posons : v(x) = 3x+ 7→ v′(x) = 3

f ′(x) = − 3(3x+7)2

f(x) = 3x+12x−8

de la forme f = uv→ f ′ = u′v+v′u

v2

Posons : u(x) = 3x+ 1→ u′(x) = 3

v(x) = 2x− 8→ v′(x) = 2

f ′(x) = 3(2x−8)−2(3x+1)(2x−8)2

= 6x−24−6x−2(2x−8)2

= −26(2x−8)2


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22.4 EXERCICES SUR LES DÉRIVÉES

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

EXERCICE 1

1. f(x) = x2 + x− 8 →f ′(x) = 2x+ 1

2. f(x) = −5x2 →f ′(x) = −5 ∗ 2x = −10x

3. f(x) = 3x

+ 2x− 6→ f ′(x) = 3 ∗ −1x2

+ 2 = ce−3x2

+ 2

4. f(x) = −2 ln(x) + 7x− 1→ f ′(x) = −2 ∗ 1x

+ 7 = −2x

+ 7

5. f(x) = −23ex − x+ 9→ f ′(x) = −2

3ex − 1

EXERCICE 2

1. f(x) = ln(x2 + 5) de la formef = lnu → f ′(x) = u′

u

Posons : u(x) = x2 + 5→ u′(x) = 2x donc f ′(x) = 2xx2+5

2. f(x) = −5e(2x+3) de la forme f = −5e(u) → f ′(x) = −5u′e(u)

Posons : u(x) = 2x+ 3→ u′(x) = 2 donc f ′(x) = −5 ∗ 2e(2x+3) = −10e(2x+3)

3. f(x) = 5x2+2

de la forme f = 5∗ 1u→ f ′ = 5 ∗ (− u′

u2)

Posons : u(x) = (x2 + 2)→ u′(x) = 2x donc f ′(x) = − 5∗2x(x2+2)2

= − 10x(x2+2)2

4. f(x) = 7ex+3

de la forme f = 7 ∗ 1u→ f ′ = 7 ∗ (− u′

u2)

Posons : u(x) = ex + 3→ u′(x) = ex donc f ′(x) = − 7∗ex(ex+3)2

5. f(x) = −3ln(2x−1)

de la forme f = −3 ∗ 1u→ f ′ = −(−3)u′

u2

Posons : u(x) = ln(2x− 1)→ u′(x) = 22x−1

f ′(x) =3∗ 2

2x−1

[ln(2x−1)]2=

6(2x−1)

[ln(2x−1)]2= 6

(2x−1)[ln(2x−1)]2

EXERCICE 3

1. f(x) = x ln(x) de la forme f = uv → f ′ = u′v + v′u→ f ′(x) = 1 ln(x) + 1x∗ x = ln(x) + 1

2. f(x) = (2x− 1)ex de la forme f = uv → f = u′v + v′u

Posons :

u = 2x− 1→ u′ = 2

v = ex → v′ = exdonc f ′(x) = 2ex + ex(2x− 1)

f ′(x) = ex(2 + 2x− 1) = ex(2x+ 1)


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22.4. EXERCICES SUR LES DÉRIVÉES 221

3. f(x) = ex−5ex+2

de la forme f = uv→ f ′ = u′v+v′u

v2

Posons :

u = ex − 5→ u′ = ex

v = ex + 2→ v′ = exdonc f ′(x) = ex(ex+2)−ex(ex−5)

(ex+2)2

f ′(x) = ex[(ex+2)−(ex−5)](ex+2)2

= 7ex

(ex+2)2

4. f(x) = [ln (x)]2de la forme f = u2 → f ′ = 2uu′

Posons :u(x) = ln (x)→ u′(x) = 1

xdonc

f ′(x) = 2 ln (x) ∗ 1x

= 2 ln(x)x

5. f(x) = ln(

2x−1x+3

)de la forme f = ln (u)→ f ′ = u′

u

Posons :

u = 2x+1

x+3= v

w→ u′ = v′w−w′v

w2

v = 2x− 1→ v′ = 2

w = x+ 3→ w′ = 1

donc u′(x) = 2(x+3)−1(2x+1)(x+3)2

u′(x) = 2x+6−2x+1(x+3)2

= 7(x+3)2

nalement f ′(x) =7

(x+3)2

2x−1x+3

= 7(x+3)2

∗ x+32x−1

= 7(x+3)(2x−1)

EXERCICE 4 :

f(x) = −2x3 + x− 2⇒ f ′(x) = −6x2 + 1 ;

g(x) = 2x2 − 3x+ 1π⇒ g′(x) = 4x− 3 ; remarque : 1

πest une constante

h(t) = t2

2+ 1

3⇒ h(t) = 1

2t2 + 1

3⇒ h′(t) = 2t

t= t ;

y(x) = x3

3− x2

2+ x

5+ 1

5⇒ y′(x) = 3x2

3− 2x

2+ 1

5⇒ y′(x) = x2 − x+ 1

5;

u(x) = 4√x+ 1

x− π2 ⇒ u′(x) = 4

(1

2√x

)− 1

x2⇒ u′(x) = 2√

x− 1

x2;

EXERCICE 5 :

f(x) = (x2 + 1)(−2x3 + 3x− 7)

de la forme f = uv ⇒ f ′ = u′v + uv′ ;

u(x) = x2 + 1⇒ u′(x) = 2x ;

v(x) = (−2x3 + 3x− 7)⇒ v′(x) = −6x2 + 3 ;

f ′(x) = 2x(−2x3 + 3x− 7) + (x2 + 1)(−6x2 + 3) ;

f ′(x) = -4x4 + 6x2-14x-6x4 − 6x2 + 3x2 + 3 ;


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f ′(x) = −10x4 + 3x2 − 14x+ 3 ;

Autre méthode - développer f(x) = (x2 + 1)(−2x3 + 3x− 7) ;

f(x) = −2x5 + 3x3 − 7x2 − 2x3 + 3x− 7 ;

f(x) = −2x5 + 3x3 − 7x2 + 3x− 7 ;

f ′(x) = −10x4 + 3x2 − 14x+ 3.

f(x) = (2x2 − x+ 4)2

de la forme u2 = 2uu′ ;

u(x) = 2x2 − x+ 4⇒ u′(x) = 4x− 1 ;

f ′(x) = 2(2x2 − x+ 4)(4x− 1) = 2(4x− 1)(2x2 − x+ 4).

g(x) = 13x+6

de la forme f = 1u⇒ f ′ = − u′

u2;

u(x) = 3x+ 6⇒ u′(x) = 3 ;

g′(x) = − 3(3x+6)2

;

Remarque : reprenons le calcul de la dérivée de g(x), au lieu d'appliquer de la forme g = 1u⇒

g′ = − u′

u2on peut appliquer la forme : g = u

v⇒ g′ = u′v−uv′

v2;

on arrive au même résultat :

u(x) = 1⇒ u′(x) = 0 ;

v(x) = 3x+ 6⇒ v′(x) = 3 ;

g′(x) = u′v−uv′v2

= 0(3x+6)−1(3)(3x+6)2

= − 3(3x+6)2

.

h(x) = 2x+13x−6

de la forme h = uv⇒ h′ = u′v−uv′

v2

u(x) = 2x+ 1⇒ u′(x) = 2 ;

v(x) = 3x− 6⇒ v′(x) = 3 ;

h′(x) = 2(3x−6)−3(x2+1)(3x−6)2

= 6x−12−6x−3(3x−6)2

= − 15(3x−6)2

.

f(x) = 1−3x2+12

+ 13

de la forme f = 1u⇒ f ′ = − u′

u2;

u(x) = −3x2 + 12⇒ u′(x) = −6x ;

f ′(x) = − (−6x)(−3x2+12)2

= + 6x(−3x2+12)2

;


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EXERCICE 6 :

f(x) = 3x2+2

de la forme f = ku

= f = k( 1u) ;

f ′ = k(− u′

u2) ;

u(x) = x2 + 2⇒ u′(x) = 2x ;

f ′(x) = 3(−2x

(x2+2)2

)= − 6x

(x2+2)2.

g(x) = 5−3x+12

+ 3x+125

g(x) = 5( 1−3x+12

) + (15)(3x+12

1) ;

de la forme f = ku⇔ f = k( 1

u) et f = u

k⇔ f = ( 1

k)u ;

g′(x) = 5(

−(−3)(−3x+12)2

)+ 1

5(−3) = 15

(−3x+12)2− 3

5.

f(x) = (x2 + 2)√x


f ′(x) = 2x√x+ 1

2√x(x2 + 2) ;

f ′(x) =2x√x(2√x)+(x2+2)

2√x

= 4x2+x2+22√x

;

f ′(x) = 5x2+22√x

= 5√x4+2

2√x

= 5√x5+2

√x

2x.

g(x) = (x3 + 2x)(√x+ 1)

g′(x) = (3x2 + 2)(√x+ 1) + 1

2√x(x3 + 2x) = 3x2

√x+ 2

√x+ 3x2 + 2 + x3+2x

2√x

;

g′(x) = 3x2√x)(2√x)+(2

√x)(2√x)+(3x2)(2

√x)+2(2

√x)+x3+2x

2√x

;

g′(x) = 6x3+4x+6x2√x+4√x+x3+2x

2√x

=7x3+6x2

√x+6x+4

√√x

2√x

;

g′(x) = 7x3

2√x

+ 3x2 + 3x√x

+ 2 = 7x3(√x)

(2√x)√x

+ 3x2 + (3x)(√x)

(√x)(√x)

+ 2 ;

g′(x) = 72x2√x+ 3x2 + 3

√x+ 2 .

f(x) = 4(2x− 5)3 ;

de la forme f = 4u3 ⇒ f ′ = 4(3)u2u′ ;

u(x) = (2x− 5)⇒ u′(x) = 2 ;

f ′(x) = 4(3)(2x− 5)2(2) = 24(2x− 5)2 .


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EXERCICE 7

f(x) = x2−3x2+1

de la forme f = uv⇒ f ′ = u′v−uv′

v2;

u(x) = x2 − 3⇒ u′(x) = 2x ;

v(x) = x2 + 1⇒ v′(x) = 2x ;

f ′(x) = 2x(x2+1)−2x(x2−3)(x2+1)2

= 2x3+2x−2x3+6x(x2+1)2

= 8(x2+1)2

.

f(x) = 23x2−x+1

de la forme f = 2( 1u)⇒ f ′ = 2(− u′

u2) ;

u(x) = 3x2 − x+ 1⇒ u′(x) = 6x− 1 ;

f ′(x) = − 2(6x−1)(3x2−x+1)2

= −12x+2(3x2−x+1)2

.

f(x) = 4e4−5x

de la forme f = 4eu ⇒ f ′ = 4u′eu ;

u(x) = 4− 5x⇒ u′(x) = −5 ;

f ′(x) = 4(−5)e4−5x = −20e4−5x.

f(x) = 5ex

4−ex (A faire après le cours sur les exponentielles )

de la forme f = 5(uv)⇒ f ′ = 5(u

′v−uv′v2

) ;

u(x) = ex ⇒ u′(x) = ex ;

v(x) = 4− ex ⇒ v′(x) = −ex ;f ′(x) = 5

(ex(4−ex)−(−ex)(ex)

(4−ex)2

)= 5(4ex−e2x+e2x)

(4−ex)2= 20ex

(4−ex)2.

f(x) = (2− x) ln(3x− 2)


u(x) = 2− x⇒ u′(x) = −1 ;

v(x) = ln(3x− 2)⇒ v′(x) = 33x−2

de la forme lnu = u′

u;

f ′(x) = −1[ln(3x− 2)] + (2− x)( 33x−2

) = − ln(3x− 2) + 3(2−x)3x−2

;

f ′(x) = 6−3x−(3x−2) ln(3x−2)(3x−2)

= −(3x−6)−(3x−2) ln(3x−2)(3x−2)

.


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EXERCICE 8

f(x) = 3ln(5−x)

de la forme f = 3( 1u)⇒ f ′ = −3( u

′

u2) ;

u(x) = ln(5− x)⇒ u′(x) = −15−x de la forme lnw = w′

w;

f ′(x) = −3( −1

5−x[ln(5−x)]2

)= 3

(5−x)[ln(5−x)]2.

f(x) = (2x− 3)e5x


u(x) = (2x− 3)⇒ u′(x) = 2 ;

v(x) = e5x ⇒ v′(x) = 5e5x ;

f ′(x) = 2e5x + 5(2x− 3)e5x = e5x(2 + 10x− 15) ;

f ′(x) = e5x(10x− 13).

f(x) = ln(e2x+3 + 5) ( à voir après le cours sur les exponentielles et logarithmes)de la forme f = lnu⇒ f ′ = u′

u;

u(x) = e2x+3 + 5⇒ u′(x) = 2e2x+3

f ′(x) = 2e2x+3

e2x+3+5;

Remarque : ln(u) doit être positif, ce qui est le cas : eu + 5 > 0.

f(x) = ln[ln(7x+ 3)]( à voir après le cours sur les logarithmes)de la forme f = lnu⇒ f ′ = u′

u;

u(x) = ln(7x+ 3)⇒ u′(x) = 77x+3

;

f ′(x) =7

7x+3

ln(7x+3)= 7

(7x+3)[ln(7x+3)];

Remarque : il faut que ln(7x+ 3) > 0 ou ln(7x+ 3) > ln(1) soit 7x+ 3 > 1⇒ 7x > 1− 3 ;x > −2

7.

i(x) = 12(x2+1)

de la forme i = 12( 1u)⇒ i′ = −1

2u′

u2;

u(x) = x2 + 1⇒ u′(x) = 2x ;i′(x) = − 1(2x)

2(x2+1)2= − x

(x2+1)2.


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EXERCICE 9

j(x) = x2−3x+12x2+1

de la forme j = uv⇒ j′ = u′v−uv′

v2;

u(x) = x2 − 3x+ 1⇒ u′(x) = 2x− 3 ;v(x) = 2x2 + 1⇒ v′(x) = 4x ;j′(x) = (2x−3)(2x2+1)−4x(x2−3x+1)

(2x2+1)2= 4x3+2x−6x2−4x3+12x2−4

(2x2+1)2;

j′(x) = 6x2+2x−7(2x2+1)2

.

h(x) =√x

−x2−1

de la forme h = uv⇒ h′ = u′v−uv′

v2;

u(x) =√x⇒ u′(x) = 1

2√x;

v(x) = −x2 − 1⇒ v′(x) = −2x ;

h′(x) =1

2√x

(−x2−1)+2x√x

(−x2−1)2=

12√x

(−x2−1)+(2x√x)(2√x)

2√x

(−x2−1)2;

h′(x) = (−x2−1)+(2√x)(2x

√x)

(2√x)(−x2−1)2

= (−x2−1)+4x2

(2√x)(−x2−1)2

;

h′(x) = 3x2−1(2√x)(−x2−1)2

.

f(x) =√

4x+ 8de la forme f =

√u⇒ f ′ = u′

2√u;

u(x) = 4x+ 8⇒ u′(x) = 4 ;f ′(x) = 4

2√

4x+8= 2√

4x+8= 2√

4(x+2)= 1

(√

4)(√

(x+2)= 1√

(x+2).

h(x) = 34(x+1)2

de la forme h = 34( 1u)⇒ h′ = −3

4( u′

u2) ;

u(x) = (x+ 1)2 ⇒ u′(x) = 2(x+ 1) ;h′(x) = − 3(2)(x+1)

4[(x+1)2]2= − 3(x+1)

2(x+1)4= − 3

2(x+1)3.

f(x) = 3x2 − 7x+ 8f ′(x) = 6x− 7.

f(x) =√x(x2 + 7)

de la forme f = uv ⇒ f ′ = u′v + uv′ ;u =√x⇒ u′(x) = 1

2√x;

v(x) = x2 + 7⇒ v′(x) = 2x ;f ′(x) = 1

2√x(x2 + 7) + 2x

√x


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Chapitre 23

LIMITES DE FONCTIONS

23.1 DÉFINITION

Dans une première approche, abordons les limites de façon intuitive. Soit la fonction dénie f(x) =2x + 3. Quelle valeur prend f(x) quand x tend (s'approche) vers 2 en donnant à x desvaleurs de plus en plus proches de 2. On peut s'approcher de 2 par valeurs inférieures ( 1,9 ; 1,99 ;1,999 ) ou par valeurs supérieures ( 2,1 ; 2,01 ; 2,001 ...) que l'on note :

limx→2,001

f(x) = 2 x 2, 001 + 3 ' 7

limx→1,999

f(x) = 2 x 1, 999 + 3 ' 7

Ici la fonction f(x) étant dénie en 2, la limite de f(x) quand x tend vers 2 est :

limx→2

f(x) = 2 x 2 + 3 ' 7

Comme la fonction est dénie pourx = 2, nous avons aecté la valeur 2 à x et nous avonseectué le calcul ci dessus. Le résultat obtenu est un nombre, on dit que la fonction tend vers unelimite nie 7.

Soit f(x) = 2x2 − 5x+ 1.

Quelle est la limite de f(x) quand x tend vers 0. Comme cette fonction est dénie en 0, alors

limx→0 f(x) = 2x2 − 5x+ 1 = f(0) = 2(0)2 − 5(0) + 1 = 1

On peut calculer la limite de cette fonction rationnelle car elle est dénie en 4.

limx→4

f(x) =x+ 1

x− 3= f(4) = 5

Lorsque x tend vers un nombre a la fonction tend vers un nombre ni l (la lettre Lminuscule) :

limx→a

f(a) = l


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228 CHAPITRE 23. LIMITES DE FONCTIONS

Soit la fonction rationnelle f(x) = x+1x−3

. Cette fonction n'est pas dénie en 3 car le dénominateurs'annule pour cette valeur. Df = R 3.

Il n'y a pas de problème pour calculer une limite de cette fonction pour une valeur où cette fonctionest dénie ( par exemple pour x qui tend vers 5), mais pour x qui tend vers 3, valeur pourlaquelle la fonction n'est pas dénie, on ne peut plus remplacer x par 3 car on aurait f(3) = 4

0

. La division par 0 est impossible.

Il faut donc trouver un moyen de calculer limx→3 f(x). Il ne sera plus question de donner à x la valeur 3 mais de s'en approcher le plus possible soit :

- par valeurs inférieures pour x tendant vers 3 par valeurs inférieures (2,99 ; 2,999 ; 2,99999...)que l'on note :

limx→3−

f(x)

- par valeurs supérieures pour x tendant vers 3 par valeurs supérieures (3,01 ; 3,001 ; 3,000...01)que l'on note :

limx→3+

f(x)

Intéressons nous à certains types de limites.

soitf(x) = x2 + x+ 1.

Df =]−∞; +∞[. Calculons quelques limites de cette fonction.

limx→0

f(0) = 1

limx→3

f(3) = 13

Intéressons nous au comportement de f(x) au voisinage de ses bornes de dénition. Donnons à x des valeurs positives très grandes (106 , 1020 , 1010...0 ), la fonction trinôme prendra des valeurstrès très grandes que l'on écrit :

limx→+∞

f(x) = +∞+∞+ 1 =∞

Le chire 1 est négligeable devant l'inni.

Donnons à x des valeurs négatives très grandes ( −106 , −1020 , −1010...0 ), la fonction trinômeprendra des valeurs très très grandes que l'on écrit :

limx→−∞

f(x) = +∞−∞+ 1 =???

dans ce dernier cas la fonction carré positive les valeurs, mais que peut on dire de l'opération∞−∞, en fait on abouti à une indétermination encore appelée Formes Indéterminées (F.I.)


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23.2. FORMES INDÉTERMINÉES 229

23.2 FORMES INDÉTERMINÉES

Les formes :

+∞−∞ =???

∞∞ =???

00

=???

0 x∞ =???

Ces 4 résultats sont des formes indéterminées (F.I.).

23.3 LIMITES de FONCTIONS de RÉFÉRENCE

x 7→ xn =⇒ limx→+∞ f(x) = +∞ quelque soit l'exposant (pair ou impair)

x 7→ xn =⇒ limx→−∞ f(x) = +∞ si l'exposant est pair sinon

x 7→ xn =⇒ limx→−∞ f(x) = −∞ si l'exposant est impair.

f : x→ 1x; Df =]−∞; 0[∪]0; +∞[

Étudions les limites aux bornes de l'intervalle. Dressons un tableau de valeurs an de mieuxvisualiser les variations

x -100000 -1000 -10 10 1000 1000001x

-0,00001 -0,001 -0,1 0,1 0,001 0,00001

Quand x tend vers l'inni, 1xtend vers 0.

limx→−∞

f(x) = 0−

limx→+∞

f(x) = 0+

x -0,1 -0,001 -0,00001 0,00001 0,001 0,000011x

-10 -1000 -10000 1000000 1000 100000

limx→0+

f(x) = +∞

limx→0−

f(x) = −∞


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Conclusions :

- 1 nombre divisé par l'inni tend vers 0

- 1 nombre divisé par un nombre qui tend vers 0 tend vers ∞.

Bien entendu, nous devons respecter la règle des signes.

Soit la fonction f : x 7→ 1xn

limx→+∞ f(x) = 0+

limx→−∞ f(x) = 0−

limx→0+ f(x) = +∞

limx→0− f(x) = +∞ si n est pair, limx→0− f(x) = −∞ si n est impair

f : x 7→ ln (x) ; Df =]0; +∞[

limx→+∞ f(x) =∞

limx→0+ f(x) = −∞ (attention ici 0 du côté positif seulement)

f : x 7→ e(x) ; Df =]−∞; +∞[

limx→−∞ f(x) = 0+

limx→+∞ f(x) = +∞


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23.4. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 231

23.4 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

SOMME

Soient les fonctions :f(x), g(x) et leur somme

limx→a f(x) L L L +∞ -∞ +∞limx→a g(x) L' +∞ -∞ +∞ -∞ -∞

limx→a(f + g)(x) L+L' +∞ -∞ +∞ -∞ ?F.I.

PRODUIT

Soient les fonctions :f(x), g(x) et leur produit

limx→a f(x) L L(6= 0) 0 +−∞

limx→a g(x) L' +−∞ +

−∞ +−∞

limx→a(f x g)(x) L x L' +−∞(RdS) ?F.I. +

−∞ (RdS)

RdS = Règle des Signes

QUOTIENT

Soient les fonctions :f(x), g(x) et leur quotient

limx→a f(x) L L(6= 0) L +−∞ 0 +

−∞limx→a g(x) L'(6= 0) 0 +

−∞ L' 0 +−∞

limx→a(fg)(x) L

L′+−∞(RdS) 0 +

−∞(RdS) ?F.I. ?F.I.


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23.5 INDÉTERMINATION

Techniques pour lever l'indétermination pour :

Un polynôme

- soit f : x 7→ 2x2 + 3x− 1

limx→+∞

f(x) = +∞+∞− 1 =∞

limx→−∞

f(x) = +∞−∞− 1 = F.I.???

qui est une forme indéterminée. Dans une fonction polynomiale lorsque l'on a une forme indéter-minée en l'inni on va factoriser par le monôme du plus haut degré.

f(x) = 2x2 + 3x− 1 = x2(2 + 3x− 1

x2)

limx→−∞ x2(2 + 3

x− 1

x2) =∞(2 + 3

∞ −1∞) =∞(2 + 0− 0) =∞

- soit f : x 7→ x3 − 3x− 7

limx→+∞ f(x) = +∞−∞− 7 = F.I.???. Levons l'indétermination

limx→+∞ f(x) = x3 − 3x− 7 = x3(1− 3x2− 7

x3) =∞(1− 1

∞ −1∞) =∞(2− 0− 0) =∞

Une fraction rationnelle

1° ) Soit f(x) = 3x−7x+8

limx→+∞ f(x) = ∞∞ = F.I.

Levons l'indétermination en l'inni en factorisant au numérateur et au dénominateur par le termede plus haut degré.

f(x) = 3x+7x+8

=x(3+ 7

x)

x(1+ 8x

)=

(3+ 7x

)

(1+ 8x

)

limx→+∞ f(x) = limx→+∞(3+ 7

x)

(1+ 8x

)= 3

1= 3

2° ) Soit f(x) = 3x−75x2+8

limx→+∞ f(x) = ∞∞ = F.I.


limx→+∞ f(x) = 3x−75x2+8

= limx→+∞x(3− 7

x)

5x2(1+ 8x

)= limx→+∞

3x5x2

= limx→+∞3

5x= 0


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23.5. INDÉTERMINATION 233

3° ) Soit f(x) = 5x3−72x2−8x+1

limx→+∞ f(x) = ∞∞ = F.I.


limx→+∞ f(x) = 5x3−72x2−8x+1

= limx→+∞5x3

2x2= limx→+∞

5x2

=∞

4° ) Soit la fonction rationnelle

f(x) = 5x−1x−2

; Df =]−∞; 2[∪]2; +∞[

limx→2+(5x− 1) = 9

limx→2+(x− 2) = 0+

limx→2+5x−1x−2

= 90+

= +∞

limx→2−5x−1x−2

= 90−

= −∞

FONCTION LOGARITHME

1° ) Soit f(x) = ln(x)x

limx→+∞ f(x) = ln(x)x

= 0

Le numérateur de cette fraction est beaucoup plus petit que le dénominateur. Sur le graphique cidessous on s'aperçoit bien des variations des 2 fonctions.

Figure 23.1 limite de f(x) = ln(x)x


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2° ) Soit f(x) = ln(x)xn

limx→+∞ f(x) = ln(x)xn

= 0 pour n > 0

limx→0 f(x) = x ln (x) = 0

limx→0 f(x) = xα ln (x) = 0 pour α > 0

FONCTION EXPONENTIELLE

limx→∞ex

x=∞

Figure 23.2 limx→∞ex

x=∞

Le numérateur de cette fraction est beaucoup plus grand que le dénominateur. Sur le graphique cidessus on s'aperçoit bien des variations des 2 fonctions.

limx→−∞ xex = 0

limx→−∞ xαex = 0 avec α > 0


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23.5. INDÉTERMINATION 235

EXEMPLES

1° ) Soit f(x) = ln (x) + 7x− 5 ; Df =]0;∞[ ;

limx→0 f(x) = −∞+ 0− 5 = −∞

limx→∞ f(x) = +∞+∞− 5 =∞

2° ) Soit f(x) = ln (x)− 7x− 5 ; Df =]0;∞[ ;

limx→∞ f(x) = +∞−∞− 5 = F.I.

Levons l'indétermination en mettant x en facteur :

f(x) = x(

ln(x)x− 7− 5

x

)limx→∞

(ln(x)x− 7− 5

x

)= 0− 7− 0 = −7

limx→∞ f(x) =∞(−7) = −∞

3° ) Soit f(x) = ex − 7x+ 3

limx→∞ f(x) =∞−∞ = F.I.

Levons l'indétermination en mettant x en facteur :

f(x) = x( ex

x− 7+ 3

x)

limx→∞ f(x) = x( ex

x− 7 + 3

x) =∞(∞− 7 + 0) = +∞


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23.6 NOTIONS d'ASYMPTOTES

ASYMPTOTE HORIZONTALE

Figure 23.3 Asymptote horizontale

Soit la fonction f(x) = 5x−1x−2

déjà étudié.

Quand x tend vers l'inni, le graphe se rapproche de plus en plus de la droite horizontale (quel'on peut noter b ) qui a ici la valeur 5. On écrit donc :

limx→∞ f(x) = b, dans ce cas la droite y = b est asymptote à la courbe f(x) en ∞.

Si nous devons étudier la position de cette courbe par rapport à la droite asymptote, il fautsimplement étudier le signe de la diérence entre la courbe et l'asymptote c'est à dire : f(x)− b.Ici la diérence est positive car la courbe est au dessus de la droite asymptote horizontale.

Exemple :

Soit f(x) = 3− ln(x)x

; limx→∞ f(x) = 3 ;

La droite d'équation y = 3 est une asymptote horizontale à la courbe Cf graphe de f(x).

Quand limx→∞ f(x) = b ou limx→−∞ f(x) = b alors y = b est l'équation d'une asymptote horizon-tale.

- si f(x)− b > 0 alors la courbe est au dessus de l'asymptote,

- si f(x)− b < 0 alors la courbe est au dessous de l'asymptote.


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23.6. NOTIONS D'ASYMPTOTES 237

ASYMPTOTE OBLIQUE

Quand x tend vers l'inni, le graphe se rapproche de plus en plus de la droite oblique (que l'onpeut noter y = ax+ b ). L'écart entre les deux graphes tend vers zéro. On écrit donc :

limx→∞ f(x) = ax+ b , dans ce cas la droite y = ax+ b est asymptote à la courbef(x) en ∞.

Si nous devons étudier la position de cette courbe par rapport à la droite asymptote, il fautsimplement étudier le signe de la diérence entre la courbe et l'asymptote c'est à dire :f(x)−(ax+b).

Quand limx→∞ f(x)− (ax+ b) = 0 ou limx→−∞ f(x)− (ax+ b) = 0 alors y = ax+ b est l'équationd'une asymptote oblique.

- si f(x)− b > 0 alors la courbe est au dessus de l'asymptote oblique,

- si f(x)− b < 0 alors la courbe est au dessous de l'asymptote oblique. f(x) = 2x− 7 + 3x+8

Figure 23.4 Asymptote oblique

limX→∞[f(x)− (2x− 7)]) = limx→∞3

x+8= 0

y = 2x− 7 est une asymptote à la courbe f(x) en +∞, en fait il est est de même pour -∞ !


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ASYMPTOTE VERTICALE

Figure 23.5 asymptote verticale

Soit la fonction f(x) = 5x−1x−2

déjà étudié.

limx→2+ f(x) =∞ ou limx→2− f(x) = −∞alors la droite d'équation x = 2 (droite verticale d'abscisse 2 ) est une asymptote verticale à lacourbe Cf , graphe de la fonction f(x) = 5x−1

x−22 .

Le plus souvent , quand une fonction n'est pas dénie en 1 point, elle admet une asymptoteverticale en ce point.


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Chapitre 24

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

24.1 DÉFINITION

Soit f une fonction dénie sur un intervalle I . On appelle PRIMITIVE de la fonction f, unefonction F dénie sur un intervalle I du domaine de dénition Df , et qui a pour dérivée lafonctionf ainsi quelque soit x qui appartient à l'intervalle du domaine de dénition ( ∀x ∈ I),F ′(x) = f(x) . Sur l'exemple suivant, si F ′(x) = f(x) alors

F :7→ x2 − 5x+ 7 est une primitive de f :7→ 2x− 5

G :7→ x2 − 5x + 3 est aussi une primitive de f(x) ! car G′(x) = f(x) Ainsi, une fonction admetnon pas une primitive, mais des primitives, en eet : si F et G sont des primitives d'une mêmefonction f sur Df , alors : ∀x ∈ Df , F (x) = G(x) + k, k ∈ R, ainsi les primitives d'une mêmefonction sont toutes égales, mais à une constante additive près.

D'une manière générale une primitive de f(x) sera F (x) :7→ x2− 5x+C qui représente l'ensembledes primitives de f(x).

C représente n'importe quel réel. Si on xe une condition initiale, on peut déterminer LA primitivetel que F(0) = 5.

Dans F (x) remplaçons x par 0. F (x) = x2−5x+C = 5⇒ F (0) = 0 x 2−5 x 0+C = 5⇔ C = 5et la primitive sera F (x) = x2 − 5x+ 5.

24.2 TABLEAU des PRIMITIVES USUELLES

Dérivée Primitive Dérivée Primitivea a ∈ R ax au′ + bv′ au+ bv

xn n 6= −1 xn+1

n+1u′un un+1

n+1

− 1x2

x 6= 0 1x

− u′

u21u

1x

ln |x| u′

uln |u|

ex ex u′eu eu1

2√x

√x


infom

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240 CHAPITRE 24. PRIMITIVES ET INTÉGRALES

Les résultats de ces tableaux s'établissent en vériant que l'on a bien F ' = f sur l'intervalleconsidéré.

f(x) = 12⇒ F (x) = x

2+ C

f(x) = x⇒ F (x) = x2

2+ C

f(x) = x2 ⇒ F (x) = x3

3+ C

f(x) = x−3 ⇒ F (x) = x−2

−2+ C = − 1

2x2+ C

f(x) = − 1x2

= −x−2 ⇒ F (x) = −x−2+1

−2+1= −x−1

−1= 1

x+ C

f(x) = 1x⇒ F (X) = ln |x|+ C soit ln(x) si x > 0 ou soit ln(−x) si x < 0

f(x) = ex ⇒ F (x) = ex + C

f(x) = 12√x

= 1

2x12

= x−12

2⇒ F (x) = 1

2

(x−12 +1

−12

+1

)= x

12 =√x+ C

f(x) = u′ + v′ ⇒ F (x) = (u+ v) + C

f(x) = au′ ⇒ F (x) = au+ C

f(x) = x2 + 1x− 2⇒ F (x) = x

33 + ln |x| − 2x+ C

f(x) = 5ex de la forme au' ⇒ F (x) = 5ex + C

f(x) = −3x2 + 7x⇒ F (x) = −3x3

3+ 7 ln |x|+ C = −x3 + 7 ln |x|+ C

Primitives de fonctions composées (partie droite du tableau) :

f(x) = 2(2x+ 7)3

Posons u(x) = 2x+ 7 ; u′(x) = 2 alors f(x) = u′u3

F = u4

4 ⇒ F (x) = (2x+7)4

4+ C

g(x) = (2x+ 1)(x2 + x+ 7)2 ;

posonsu(x) = (x2 + x+ 7) ; u′(x) = (2x+ 1)

g = u′u2 ⇒ G = u3

3⇒ G(x) = (x2+x+7)3

3+ C ;

h(x) = ln(x)x

= 1x

ln(x) ;

posons u(x) = ln(x) ; u′(x) = 1x; h = u′u⇒ H = u2

2⇒ H(x) = (lnx)2

2+ C ;

f(x) = 33x+9

;

posons u(x) = 3x+ 9 ; u′(x) = 3 ; f = u′u⇒ F = ln |u| ⇒ F (x) = ln |3x+ 9|+ C


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24.2. TABLEAU DES PRIMITIVES USUELLES 241

f(x) = 2xex2+3 ;

posons u(x) = x2 + 3 ; u′(x) = 2x ;

f = u′eu ⇒ F = eu ; F (x) = ex2+3 + C ;

g(x) = −2x(x2+1)2

;

posons u(x) = x2 + 1 ; u′(x) = 2x ;

g = −u′u2⇒ G = 1

u⇒ G(x) = 1

x2+1+ C ;

f(x) = e3x−1 ;

posons u(x) = 3x− 1 ; u′(x) = 3

f(x) = 133e3x−1 ; f = 1

3u′eu ⇒ F (x) = 1

3e3x−1 + C

Exercice :

Calculer une primitive de la fonction f dénie par :

f(x) = 23x2 + 3x− 2

F (x) = 23

(x3

3

)+ 3

(x2

2

)− 2x+ C = 2x3

9+ 3x2

2− 2x+ C

f(x) = 3x− 7x

+ 5

F (x) = 3x2

2− 7 ln(|x|) + 5x+ C

f(x) = 5e5x−1

F (x) = e5x−1 + C

f(x) = 2xx2+5

f = u′

u⇒ F (x) = ln |x2 + 5|+ C = ln(x2 + 5) + C car x2 + 5 est toujours positif ∀x.

f(x) = e3x−2

Posons u(x) = 3x− 2⇒ u′(x) = 3 ; de la forme f ′ = 13u′eu ⇒ F = 1

3eu

F (x) = 13e3x−2 + C.

f(x) = x+1x2+2x+5

Posons u(x) = x2+2x+5⇒ u′(x) = 2x+2 = 2(x+1) ; de la forme f ′ = 2(u′

u

)⇒ F = 2 ln |u|+C

F (x) = 2 ln(|x2 + 2x + 5|) + C ; x2 + 2x + 5 est positif du signe de ax2 car 4 < 0 donc F (x)

s'écrit :

F (x) = 2 ln(x2 + 2x+ 5) + C sans le signe de valeur absolue.


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24.3 CALCUL INTÉGRAL

DÉFINITION

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux éléments de I.On appelle intégrale de a à b de la fonction f , le nombre réel F (b) − F (a) où F est uneprimitive de f dans I.On note ce nombre

´ baf(x)dx qui se lit somme de a à b de f(x)dx ou intégrale de a à

b de f(x)dx . On dit que la variable x est muette, elle peut être remplacée par n'importequelle lettre non encore utilisée

´ baf(x)dx =

´ baf(t)dt =

´ baf(v)dv.

On peut adopter la notation suivante :´ baf(x)dx = [F (x)]ba = F (b)− F (a) , où a et b représentent les bornes d'intégration.´ 1

0(3 + ex)dx = [3x+ ex]10 = (3 x 1 + e1)− (3 x 0 + e0) = 3 + e− 1 = 2 + e.

Propriétés´ aaf(x)dx = [F (x)]aa = F (a)− F (a) = 0

Inversion des bornes d'intégration´ baf(x)dx = −

´ abf(x)dx

Relation de CHASLES´ baf(x)dx =

´ caf(x)dx+

´ acf(x)dx´ b

af(x)dx = [F (x)]ba = F (b)− F (a)´ c

af(x)dx = [F (x)]ca = F (c)− F (a)´ b

cf(x)dx = [F (x)]bc = F (b)− F (c)´ b

af(x)dx = F (c)− F (a) + F (b)− F (c) = −F (a) + F (b) = F (b)-F(a)

Linéarité´ ba(αf(x) + βg(x))dx = α

´ baf(x)dx+ β

´ bag(x)dx avec α et β ∈ R´ 1

0(2x+ 5ex)dx = 2

´ 1

0xdx+ 5

´ 1

0exdx

Ordre

si f(x) ≤ g(x) sur I alors´ baf(x)dx ≤

´ bag(x)dx

- Positivitési f(x) ≥ 0 sur I alors

´ baf(x)dx ≥ 0

(propriété intéressante pour le calcul d'aire).


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24.3. CALCUL INTÉGRAL 243

Valeur moyenne

vm = 1b−a

´ baf(x)dx)

´ 5

2(2x+ 1

x)dx = [x2 + ln(x)]52 = [25 + ln(5)]− [4 + ln(2)] = 21 + ln 5− ln 2 = 21 + ln 5

2;

vm = 15−2

(21 + ln 52) = 7 + 1

3ln 5

2.

Exercice : Calculer les intégrales suivantes

´ 2

−1(2x− 3

x+ 1)dx´ 2

−1(2x− 3

x+ 1)dx = [x2 − 3 ln(|x|) + x]2−1 = (4− 3 ln 2 + 2)− (1− 3 ln | − 1| − 1) = 6− 3 ln 2

I =´ 2

0e3x−1dx

Posons u(x) = 3x− 1 ; u′(x) = 3 ; I =´ 2

013e3x−1dx⇔ I = 1

3

´ 2

0e3x−1dx

I = 13[e3x−1]20 = 1

3[e6−1 − e−1] = 1

3[e5 − e−1]

Intégration par parties´ bau′(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ba −

´ bau(x)v′(x)dx

en eet :

(uv)′ = u′v + v′u⇒ u′v = (uv)′ − v′u (1).

Calculons la primitive de cette expression (1) :´ ba[u′(x)v(x)dx =

´ bau(x)v(x)dx−

´ ba(v′(x)u(x))dx´ b

a[u′(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ba −

´ ba(v′(x)u(x))dx


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Exemples intégration par parties avec ln x :´ 2

1ln(x)dx =

´ 2

11 ln(x)dx ; Posons :

u′(x) = 1⇒ u(x) = x

v(x) = ln(x)⇒ v′(x) = 1x´ 2

1ln(x)dx = [x ln(x)]21 −

´ 2

1( 1xx)dx = [x ln(x)]21 − [x]21 = (2 ln 2− ln 1)− (2− 1) = 2 ln(2)− 1

Quand dans une intégrale il y a ln(x), on posera toujours v = ln(x) car on connaît sa dérivéev′(x) = 1

x.

Exemples intégration par parties avec ex :´ 1

0xexdx ; Posons :

u(x) = x⇒ u′(x) = 1 ;

v′(x) = ex ⇒ v(x) = ex ;´ 1

0xexdx de la forme

úv′ = uv −

ú′v´ 1

0xexdx = [xex]10 −

´ 1

01exdx´ 1

0xexdx = [xex]10 − [ex]10 = [1(e1)− 0(e0)]− (e1 − e0) = 1.

Quand dans une intégrale il y a ex , on posera toujours v = ex car on connaît sa primitive v(x) = ex

.

EXERCICE : Calculer les intégrales suivantes

I =´ 3

1(x+ 4) ln(x)dx

Posons :

v(x) = ln(x)⇒ v′(x) = 1x

u′(x) = (x+ 4)⇒ u(x) = x2

2+ 4x

I de la formeú′v = uv −

úv′

I =´ 3

1(x+ 4) ln(x)dx = [(x

2

2+ 4x) ln(x)]31 −

´ 3

1(x

2

2+ 4x)( 1

x)dx

I =´ 3

1(x+ 4) ln(x)dx = [(x

2

2+ 4x) ln(x)]31 −

´ 3

1(x

2+ 4)dx

I =´ 3

1(x+ 4) ln(x)dx = [(x

2

2+ 4x) ln(x)]31 − [x

2+ 4]31


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J =´ 0

−1(2x− 1)exdx

Posons :

u(x) = (2x− 1)⇒ u′(x) = 2

v′(x) = ex ⇒ v(x) = ex

J de la formeúv′ = uv −

ú′v

J =´ 0

−1(2x− 1)exdx = [(2x− 1)ex]0−1 −

´ 0

−12exdx

J =´ 0

−1(2x − 1)exdx = [(2x − 1)ex]0−1 − 2[ex]0−1 = [−1 − (−2 − 1)e−1] − [2e0 − 2e−1] = −1 +

3e−1 − 2 + 2e−1

J =´ 0

−1(2x− 1)exdx = −1 + 3e−1 − 2 + 2e−1 = −3 + 5e−1

EXERCICES

Calculer les intégrales :

I =´ 3

11

2t−1dt

J =´ 5

4t−1

4t2−8t−12dt

K =´ 2

0e−5t+2dt

L =´ 0

−2et

et+1dt

M =´ e

1(2x+ 1) ln(x)dx

N =´ 1

0(x+ 3)exdx

Réponses :

I =´ 3

11

2t−1dt de la forme u′

u

Posons :

u(t) = 2t− 1⇒ u′(t) = 2

I =´ 3

1(1

2)(

22t−1

)dt = 1

2

´ 3

1

(2

2t−1

)dt⇒ I = 1

2[ln(|2t− 1|)]31

I = 12[ln 5− ln 1] = 1

2ln 5

J =´ 5

4t−1

4t2−8t−12dt de la forme u′

u


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Posons :

u(t) = 4t2 − 8t− 12⇒ u′(t) = 8t− 8 = 8(t− 1)

J = 18

´ 5

48t−8

4t2−8t−12dt⇒ J = 1

8[ln |4t2 − 8t− 12|]54

J = 18[(100− 40− 12)− (64− 32− 12)] = 28

K =´ 2

0e−5t+2dt de la forme u′eu

u(t) = −5t+ 2⇒ u′(t) = −5

K = −15

´ 2

0−5e−5t+2dt

K = −15[e−5t+2]20 = −1

5[e−8 − e2]

L =´ 0

−2et

et+1dt de la forme u′

u

Posons :

u(t) = et + 1⇒ u′(t) = et

L =´ 0

−2et

et+1dt = [ln(et + 1)]0−2 sans le symbole valeur absolue car e

t + 1 > 0

L = ln 2− ln(e−2 + 1)

M =´ e

1(2x+ 1) ln(x)dx ne peut être résolue que par une intégration par parties

Posons :

u′(x) = 2x+ 1⇒ u(x) = x2 + x

v(x) = ln(x)⇒ v′(x) = 1x

de la formeú′v = [uv]−

úv′

M = [(x2 + x) lnx]e1 −´ e

1(x2 + x) 1

xdx

M = [(x2 + x) lnx]e1 −´ e

1(x+ 1)dx

M = [(x2 + x) lnx]e1 − [12x2 + x]e1

M = (e2 + e) ln e− [(12e2 + e)− (1

2+ 1)]

M = 12e2 + 3

2


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N =´ 1

0(x+ 3)exdx ne peut être résolue que par une intégration par parties

Posons :

u(x) = x+ 3⇒ u′(x) = 1

v′(x) = ex ⇒ v(x) = ex

de la formeúv′ = [uv]−

ú′v

N = [(x+ 3)ex]10 −´ 1

01exdx

N = [(x+ 3)ex]10 − [ex]10 = [(1 + 3)e1 − (3e0)]− [e1 − e0]

N = 4e− 3− e+ 1 = 3e− 2


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Chapter 25

LOGARITHMES

Ce cours intervient après les cours sur les primitives.

25.1 COURS FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

DÉFINITION 1

Soit une fonction f continue sur un Intervalle I , elle admet sur cet intervalle des primitives F . En particulier si nous prenons la fonction inversef : x 7→ 1

xet si nous prenons l'intervalle

d'étude I =]0;∞[ alors la fonction inverse admet des primitives F et en particulier une primitive F qui s'annule en 1, F (1) = 0 ,cette fonction F s'appelle logarithme népérien. La fonctionlogarithme népérien est la fonction F qui a x associe ln(x) et qui est la primitive de lafonction 1

xsur l'intervalle I =]0;∞[ :

F : x 7→ ln(x)

On peut aussi donner une autre dénition de la fonction logarithme népérien : la fonction loga-rithme népérien est la fonction notée ln qui à x associe ln(x) :

f : x 7→ ln(x),

dénie sur ]0;∞[, continue sur cet intervalle elle admet pour dérivée la fonction inverse 1x, la

fonction logarithme népérien s'annule pour x = 1: ln(1) = 0.

En résumé :

f : x 7→ ln(x),

1° )Df =]0;∞[= R∗+ , les valeurs négatives n'existent pas , les valeurs prises par x sont toujourssupérieures à 0.

2° ) (lnx)' = 1xcomme x est positif car compris entre ]0;∞[ alors la dérivée est positive ce qui

entraîne que la fonction ln est croissante. (lnx)' = 1x> 0

3° )ln 1 = 0

Soit deux réels a et b strictement positifs tels que 0 < a ≤ b alors :


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250 CHAPTER 25. LOGARITHMES

0 < a ≤ b ⇔ ln a ≤ ln b L'ordre est conservé car la fonction ln est strictement croissante. Decette croissance stricte nous dressons le tableau de variations :

Figure 25.1: fonction ln

Attention, la double barre verticale pour exprimer que 0 est exclu du domaine de dénition.

Tout élément x dans l'intervalle ouvert ]0;∞[ admet une et une seule image dans l'intervalleouvert ] − ∞;∞[ . Tout élément f(x) dans l'intervalle ouvert ] − ∞;∞[ admet un et unseul antécédent dans l'intervalle ouvert ]0;∞[. On qualie la fonction ln de bijection del'intervalle ouvert ]0;∞[ vers l'intervalle ouvert ]−∞;∞[

Dans ce tableau de variations, on remarque que pour les variations de x allant de ]0; 1[lafonction ln prend que des valeurs négatives comprises entre]−∞; 0[. Pour x inférieur à 1le logarithme est négatif, pour x supérieur à 1 le logarithme est positif.

ln 0,7 < 0 ; ln 1,3 > 0

Dans le tableau de variations, l'intervalle des valeurs prises par f est : ]−∞;∞[, ceci vient dufait que soit :

0 < a ≤ b⇔ ln a ≤ ln b, et pour un cas particulier x on peut écrire :

0 < x ≤ 1⇔ lnx ≤ ln 1

0 < x⇔ lnx ≤ 0

L'ordre est conservé car la fonction ln est strictement croissante. Par dénition ln1= 0, parconséquence :

x ≥ 1⇔ lnx ≥ 1

x ≥ 1 −→ lnx ≥ 0


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25.2. APPLICATION DE LA DÉFINITION 251

25.2 APPLICATION DE LA DÉFINITION

Soit la fonction : f(x) = ln(x− 3)

Pour que f(x) soit dénie, il faut que ln(x− 3) soit calculable donc il faut que x− 3 > 0 soit x > 3.

Df =]3; +∞[.

Si x = 2 alors ln(2− 3) = ln(−1) et donc n'est pas calculable .

Soit la fonction : f(x) = ln(x2 + 3)

Pour que f(x) soit dénie, il faut que ln(x2 + 3) soit calculable donc il faut que x2 + 3 > 0 ce quiest toujours le cas. Un carré est toujours positif, la somme d'un carré et d'un nombre positif seratoujours positif. Df =]−∞; +∞[= R.

Soit la fonction : f(x) = ln(x− 2)− ln(5− x)

Pour que f(x) soit dénie, il faut que ln(x− 2) et que simultanément ln(5− x) soient calculablesdonc il faut que :

x− 2 > 0⇔ x > 2

5− x > 0⇔ x < 5

Figure 25.2: Domaine de dénition de ln(x− 2)− ln(5− x)

Il faut considérer l'intersection de ces 2 intervalles, par conséquent Df =]2; 5[


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f(x) = ln(x+ 3)− ln(x+ 7)

Pour que f(x) soit dénie, il faut que ln(x + 3) et que simultanément ln(x + 7) soient calculablesdonc il faut que :

x+ 3 > 0⇔ x > −3

x+ 7 > 0⇔ x > −7

Figure 25.3: Domaine de dénition ln(x+ 3)− ln(x+ 7)

Il faut considérer l'intersection de ces 2 intervalles, par conséquent Df =]− 3;∞[

Soit à résoudre ln(x− 3) = ln(x+ 2)

Il faut d'abord que les 2 membres soient calculables. Il faut donc déterminer l'ensemble de dénitionde cette égalité. Il faut que :

x− 3 > 0⇔ x > 3

x+ 2 > 0⇔ x > −2

Figure 25.4: Domaine de dénition ln(x− 3) = ln(x+ 2)

Il faut considérer l'intersection de ces 2 intervalles, par conséquent Df =]3;∞[

Comme la fonction ln est une bijection alors avec a > 0 et b > 0 alors :

ln a = ln b⇔ a = b

sur l'intervalle ouvert ]3;∞[ alors x− 3 = x+ 2⇒ −3 = 2. Ce qui impossible donc il n'y a pas desolutions S = /O


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25.2. APPLICATION DE LA DÉFINITION 253

Soit à résoudre ln(6x− 3) = ln(x+ 2)


6x− 3 > 0⇔ x > 36⇔ x > 1

2

x+ 2 > 0⇔ x > −2

Figure 25.5: Domaine de dénition ln(6x− 3) = ln(x+ 2)

Il faut considérer l'intersection de ces 2 intervalles, par conséquent Df =]12;∞[

Comme la fonction ln est une bijection alors avec a > 0 et b > 0 alors :

ln a = ln b ⇔ a = b

sur l'intervalle ouvert ]12;∞[ alors 6x− 3 = x+ 2⇔ 5x = 5⇔ x = 1

Le chire 1 appartient à l'intervalle ouvert ]12;∞[ donc S = 1


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Soit à résoudre ln(x− 2) < ln(3− x)


x− 2 > 0⇔ x > 2

3− x > 0⇔ x < 3

Figure 25.6: Domaine de dénition (x− 2) < (3− x)

Il faut considérer l'intersection de ces 2 intervalles, par conséquent Df =]2; 3[

Si 0 < a < b alors ln a < ln b. Pour tout x de Df on a : x− 2 < 3− x2x < 5⇔⇔ x < 5

2

Figure 25.7: Domaine de dénition ln(x− 2) < ln(3− x)

Cette solution appartenant à l'intervalle ouvert Df =]2; 3[ alors cette solution est valide. Tous lesréels compris entre ]2; 5

2[ sont solutions. S =]2; 5

2[

Soit à dériver : f(x) = 3x2 − 7x+ 8 ln(x)

f'(x) = 6x - 7 + 8( x )

Soit à dériver : f(x) = (x− 3) ln(x)

de la forme f = uv ⇔ f '(x) = u'v + v'u. Posons : u(x) = x− 3⇔ u' = 1

v(x) = ln(x)⇔ v'(x) = 1x

f '(x) = ln(x) + 1x(x− 3)⇔ f '(x) = x ln(x)+x−3

x


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25.3. PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES 255

25.3 PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES

Historiquement les logarithmes népériens ont été inventé par l'écossais John Néper pour alléger lescalculs, pour transformer des multiplications en somme et des divisions en soustraction.

Soit deux réels a et b tels que axb > 0 alors : si a > 0 et b > 0 ⇒ ln(axb) = ln a+ ln b ;exemple : ln(3x5) = ln 3 + ln 5

si a < 0 et b < 0⇒ ln(axb) = ln(−a) + ln(−b) ;exemple :ln[(−3)x(−5)] = ln(−(−3)) + ln(−(−5)) = ln 3 + ln 5

DÉMONSTRATIONS

ln(axb) = ln a+ ln b; a > 0, Df =]0;∞[

soit G(x) = ln(ax)

G'(x) = a x 1ax

= 1x

La fonction G est une primitive de 1xcomme la fonction ln. La diérence de deux primitives est

une constante car la dérivation d'une constante est 0, donc :

G(x) = ln x + C (C = constante)

ln(ax) = ln x + C relation (1)

Posons une valeur particulière x = 1, on obtient :

ln( a * 1 ) = ln 1 + C ⇔ ln a = C relation (2)

Remplaçons dans C (1) par (2) : ln(ax) = ln x + ln a.

En remplaçant x par b, on obtient : ln (a * b ) = ln a + ln b

Conséquences :

1° ) ln 1b

= − ln b

2° ) ln ab

= ln a− ln b

3° ) lnan = n ln a (n ∈ Z)4° ) ln

√a = 1

2ln a

Démonstration : ln1b

= − ln b avec b > 0

ln 1 = 0

ln (b x 1b

= 0

ln b+ ln 1b

= 0⇔ − ln b = ln 1b

ln 13

= − ln 3


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Démonstration : ln ab

= ln a− ln b avec b > 0

En eet : ln ab

= ln(a ∗ 1b)

ln ab

= ln a+ ln 1b⇔ ln a

b= ln a− ln b

ln 153

= ln 5 + ln 13

= ln 15− ln 3

Démonstration : ln an = n ln a (n∈ Z)Considérons deux cas : n > 0 et n < 0

1°)n > 0 ; ln an = ln(a ∗ a ∗ a...n fois)= ln a+ ln a+ ln a...n fois donc lnan = n ln a

exemple : ln23 = ln 8 = 3 ln 2 2°) n < 0 ; ln an = ln( 1a−n

) = − ln(a−n) Posons−n = m, on obtient

alors :

ln( 1a−n

) = − ln(am)⇔ ln( 1a−n

) = −m ln a⇔ ln( 1a−n

) = −(−n) ln a⇔ ln( 1a−n

) = n ln a

exemple : ln 2−3 = ln 123

= − ln 23 = −3 ln 2.

Démonstrations : ln√a = 1

2ln a

ln√a = ln a

12 ⇔ ln

√a = 1

2ln a ou encore

ln a = ln(√a ∗√a)⇔ ln a = ln

√a+ ln

√a⇔ ln a = 2 ln

√a⇔ ln

√a = 1

2ln a

exemple : ln√

5 = ln 512 = 1

2ln 5

Dressons un tableau de ces propriétés :

Table 25.1: Tableau des propriétés de la fonction ln

25.4 ÉTUDE DES LIMITES DE LA FONCTION LN

limx→∞ lnx =∞limx→0+ lnx = −∞Démonstrations : limx→∞ lnx =∞soit n un entier naturel

ln 3n = n ln 3

limn→∞ ln 3n = limn→∞ n ln 3

Soit x ∈ R,x ≥ 3n comme la fonction ln est strictement croissante alors ln x≥ ln 3n

limx→∞ lnx ≥ limn→∞ ln 3n


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25.5. TABLEAU DE VARIATION 257

limx→∞ lnx ≥ limn→∞ ln 3ndonc limx→∞ lnx =∞

Démonstrations : limx→0+ lnx = −∞limx→∞ lnx =∞limx→0+ lnx = limx→∞ ln( 1

x) ;

Rappel :0+ signiant x > 0, on se rapproche de 0 par valeurs supérieures

limx→0+ lnx = limx→∞− lnx

limx→0+ lnx = −∞

Précédemment nous avons établi que la fonction logarithme était une bijection de ]0;∞[−→ R,alors si on doit résoudre l'équation : lnx = m, nous pouvons armer que cette équation admetune solution unique x appartenant à l'intervalle ]0;∞[.

Pour déterminer le nombre de Néper, le nombre e il sut de résoudre l'équation ln x = 1. Lasolution est x = e ; e = 2,71828... Ce nombre est irrationnel, on ne peut le mettre sous formede fraction.

Soit à résoudre : ln x = 7 ; Df = R∗+

lnx = 7 ∗ 1⇔ lnx = 7 ∗ ln e⇔ lnx = ln e7 ⇔ x = e7

Soit à résoudre : ln ( x - 3 ) = 2

Il faut que : x− 3 > 0⇔ x > 3⇒ Df =]3;∞[

ln(x− 3) = 2 ∗ 1⇔ ln(x− 3) = 2 ln e⇔ ln(x− 3) = ln e2 ⇔ x = e2

GÉNÉRALISATION

ln x = a

lnx = a ln(e)⇔ lnx = ln(e)a ⇔ x = ea

25.5 TABLEAU DE VARIATION

Figure 25.8: Tableau de variation de la fonction ln


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25.6 GRAPHE DE LA FONCTION LN

Figure 25.9: graphe de la fonction ln

LIMITES PARTICULIÈRES

limx→∞lnxx

= 0; la fonction ln(x) croit moins vite que la variable x .

limx→∞lnxxn

= 0;n ∈ N∗ alors la fonction ln(x) croit moins vite que la variable xn .

limx→0+ x lnx = 0;

limx→0+ xn lnx = 0;n ∈ N∗


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25.6. GRAPHE DE LA FONCTION LN 259

DÉRIVÉE COMPOSÉE

(lnu)′ = u′

u; u > 0

(ln |u| = u′

u;u 6= 0

Soit à dériver f(x) = ln(x2 + 7) ;

Df = R de la forme f(x) = ln u⇒ f '(x) = 2xx2+7

Soit à dériver f(x) = ln(x+3x+5

);

Df =]− 3;∞[ de la forme f(x) = lnw ⇒ f ′(x) = w′

w; w de la forme u

v

f ′(x) =(x+3x+5

)′

(x+3x+5

); Posons :

u(x) = x+ 3 u′(x) = 1

v(x) = x+ 5 v′(x) = 1

Dérivée du numérateur de : f ′(x) = u′v−v′uv2

= (x+5)−(x+3)(x+5)2

= 2(x+5)2

;

Finalement on obtient :

f ′(x) = w′

w=

2(x+5)2

(x+3)(x+5)

=(

2(x+5)2

) (x+5x+3

)= 2

(x+5)(x+3)


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Chapter 26

FONCTION EXPONENTIELLE

26.1 INTRODUCTION À LA RÉCIPROCITÉ D'UNE FONC-TION

Prenons un réel x qui prend ses valeurs dans l'intervalle R+ et associons son carré x2 quiest dans l'ensemble d'arrivée R+.

L'image de 3 par cette fonction carrée est 9 : 3 7→ 9

L'image de 7 par cette fonction carrée est 49 : 7 7→ 49

Recherchons un antécédent. Quel est le réel positif x qui donne pour carré la valeur 25 ?

Pour déterminer cet antécédent, il sut de prendre la racine carrée de x2 qui a ici la valeur 25.

Supposons x et y positifs, x ∈ R+ , y ∈ R+ , y = x2 ⇔ x = y . On dit que la fonction carréeet la fonction racine carrée sont des bijections réciproques l'une de l'autre. L'ensemble de départet l'ensemble d'arrivée sont tous les deux dans l'intervalle R+ . La fonction carrée de R+ vers R+

réalise une bijection et sa bijection réciproque R+ vers R+ est la fonction racine carrée.

Figure 26.1: réciprocité des fonctions x2 et√x2

Résolvons dans R+ la fonction f : x 7→ x2 = 25

Passons par la fonction réciproque de la fonction carré, x =√

25 = 5.

Cette introduction va nous permettre de comprendre le lien entre la fonction logarithme et la


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262 CHAPTER 26. FONCTION EXPONENTIELLE

fonction exponentielle qui vont avoir le même type de comportement que la fonction carrée et lafonction racine carrée dénies ci dessus.

Composons successivement la fonction carrée et la fonction racine carrée.

- Prenons un réel x qui prend ses valeurs dans l'intervalle R+ et associons son carré x2 etsi nous extrayons la racine carrée du résultat alors nous retrouvons le réel positif x :

√x2 = x

- Prenons un réel x qui prend ses valeurs dans l'intervalle R+ et associons la racine carrée etsi nous élevons le résultat au carré alors nous retrouvons le réel positif x : (

√x)2 = x. Ceci

s'appelle l'involution. Nous avons une fonction f et si nous la composons avec sa réciproque (f−1)alors on retrouve la valeur de départ.

Soit une bijection f, et sa réciproque f−1 :

f [f−1(x)] = x ou f−1[f(x)] = x

(√x)2 = x ou

√x2 = x

Nous allons retrouver ces mêmes mécanismes avec la fonction logarithme et exponentielle.


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26.2. DÉFINITION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE. 263

26.2 DÉFINITION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE.

On appelle fonction exponentielle de x, notée exp(x), le réel unique appartenant à l'intervalle]0; +∞[ dont le logarithme népérien est x : ln [ exp( x ) ] = x.

La fonction logarithme népérien est une bijection de l'intervalle R+ vers R+, ]0; +∞[ vers ]−∞; +∞[, elle admet une bijection réciproque appelée fonction exponentielle notée exp.

f : x 7→ exp(x)

y = exp(x)⇔ x = ln(y)

x ∈ R soit ]−∞; +∞[ et y ∈R+∗ soit ]0; +∞[

Quelque soit x (∀x) exp(x) est toujours positif : exp(x) > 0

CONSÉQUENCES

ln 1 = 0⇔ exp(0) = 1

ln(e) = 1⇔ exp(1) = e

ln[exp(x)] = x

exp[ln(x)] = x

Figure 26.2: réciprocité des fonctions exp et ln


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NOUVELLE NOTATION

Pour tout entier relatif n ,

ln(en) = n ln(e) relation (1)

comme ln (e) = 1 alors ln (en) = n

exp(n) = exp ( ln (en) en se servant de la relation (1) donc nous en déduisons une nouvelle notation:

exp(n) = enf : x 7→ exp(x) ou f : x 7→ ex qui se lit : soit la fonction f qui à x associeexponentielle de x.

Dorénavant l'écriture retenue sera la deuxième notation plus pratique d'écriture.

RÉSUMÉ (NOUVELLE NOTATION)

y = ex ⇔ x = ln(y)

x ∈ R soit ]−∞; +∞[ et y ∈ R∗+ soit ]0; +∞[

ln 1 = 0⇔ e0 = 1

ln e = 1⇔ e1 = e

ln(ex) = x

eln(x) = x


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26.2. DÉFINITION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE. 265

PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES

1° ) Démonstrations : ea+b = ea ∗ eb quelque soit a et b (∀a, ∀b)Posons : a = ln(ea) ; b = ln(eb) et additionnons a et b, on obtient :

a+ b = ln(ea) + ln(eb) mais comme ln(c x d) = ln(c) + ln (d) on peut écrire :

a+ b = ln(ea ∗ eb) relation (3)

mais on peut toujours écrire en tenant compte de la formule ln(ex) = x

a+ b = ln(ea+b) relation (4)

en comparant les relations (3) et (4) , on peut donc écrire : ea+b = ea ∗ eb

2° ) Démonstrations : (ea)n = ena

Posons : a = ln(ea) ; na = n ln(ea).

Appliquons les propriétés algébriques des logarithmes

na = ln(ea)nmais on peut aussi écrire que na = ln(ena) par conséquent :

na = ln(ea)n = ln(ena)⇔ (ea)n = ena

3°) Démonstrations : (e−b) = 1

eb

−b = ln(e−b)−b = − ln eb

−b = ln 1eb

d'où − ln(eb) = ln( 1eb

)⇔ (e−b) = 1eb

4°) Démonstrations : (ea−b) = ea

eb

ea−b = ea+(−b)

ea−b = eaxe−b ⇔ (ea−b) = eax 1eb⇔ ea−b = ea

eb

EXERCICES D'APPLICATIONS

Calculer :

1° ) e3xe2 = e3+2 = e5

2° )(e5)2xe−2 = e10xe−2 = e8

3° ) e3x − 1xe1 − x = e3x − 1 + 1− x = e2x

4° ) e2x−1

e1−x= e2x−1−(1−x) = e2x−1−1+x = e3x−2

5° ) f(x) = (3ex − 5)2 de la forme (a+ b)2

f(x) = (3ex)2 − 2(3ex)(5) + 52 = 9e2x − 30ex + 25

6° ) Résoudre f(x) = ex − 7

ex − 7 = 0⇔ ex = 7⇔ ln(ex) = ln 7⇔ x = ln 7


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26.3 SENS DE VARIATION

ln ex = x ; x ∈ R, et quelque soit x(∀x) ex est toujours positif : ex > 0

Pour étudier le sens de variations, calculons la dérivée de cette fonction et étudions le signe decette dérivée.

ln ex = x;

(ln ex)' = (x)' égalité des deux dérivées de la forme (ln U)' = (x)'u′

u= 1⇔ (ex)′

ex= 1⇔ (ex)′ = ex

La fonction exponentielle est la seule fonction qui admet pour dérivée sa propre fonction. Lafonction ex admet pour dérivée ex qui est positive ex > 0, la fonction ex est donc toujours croissantesur R.

26.4 TABLEAU DE VARIATION

La fonction exponentielle réalise une bijection de ]−∞; +∞[ soit R vers ]0; +∞[ soit R∗+


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26.5. GRAPHE DE LA FONCTION 267

26.5 GRAPHE DE LA FONCTION

Dans la gure ci dessous apparaît trois graphes : f(x) = x qui est l'axe de symétrie des deuxautres graphes, g(x) = ln(x) et h(x) = exp(x)

Figure 26.3: graphes fonctions exponentielle et ln

CONSÉQUENCES

Quel que soit a et b (∀a,∀b)1° ) ea = eb ⇔ a = b

exemples :

a ) e3x−1 = ex+8 ⇔ 3x− 1 = x+ 8⇔ 2x = 9⇔ x = 92

b ) e3x2−1 = ex−3 ⇔ 3x2 − 1 = x− 3⇔ 3x2 − x+ 2 = 0

4 = b2 − 4ac = 12 − 4(3)(2) = −23, le discriminant est négatif donc aucune solution.

S = Ø

2° )ea ≤ eb ⇔ a ≤ b

e3x-1≤ex+8 ⇔ 3x− 1≤x+ 8⇔ 2x≤9⇔ x≤92


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26.6 LIMITES

limx→∞ ex =∞

limx→−∞ ex = 0

Démontrons limx→∞ ex =∞ , pour cela démontrons que pour tout réel x, ex ≥ x.

Soit la fonction h(x) = ex − x et étudions son sens de variations.

h'(x) = ex − 1⇒ h'(x) ≥ 0⇔ ex − 1 ≥ 0⇔ ex ≥ 1⇔ ln ex ≥ ln 1

x ≥ ln 1⇔ x ≥ 0

Finalement : h'(x) ≥ 0⇔ x ≥ 0, la fonction h(x) sera donc décroissante sur ]−∞; 0[ et croissantesur [0; +∞[. Elle présente un minimum, de valeur 1, pour x = 0.

Figure 26.4: tableau de variation h(x) = ex − x

Pour tout x de R, h(x) ≥ 1 soit h(x) > 0⇔ h(x) = ex − x > 0⇔ ex > x.

limx→∞ ex > limx→∞ x⇔ limx→∞ e

x =∞

Démontrons limx→−∞ ex = 0

Posons X = −x, si x→ −∞ alors X → +∞ex = 1

e−x= 1

eX

limx→−∞ ex = limX→+∞

1eX

comme limx→∞ ex =∞ alors limX→+∞

1eX

= 0 donc limx→−∞ ex = 0

AUTRES LIMITES

limx→+∞ex

x= +∞

limx→+∞ex

xn= +∞ avec n > 0 Ceci s'explique car le numérateur croît beaucoup plus vite que le

dénominateur.

limx→−∞ xex = 0

limx→−∞ xnex = 0 avec n > 0

DÉRIVÉE COMPOSÉE

(eu)′ = u′eu

exemple : soit à dériver f(x) = ex2−5x+1

f '(x) = (2x− 5)ex2−5x+1


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26.6. LIMITES 269

EXERCICE DE SYNTHÈSE

Soit à étudier f(x) = x− 2+e1−x

DOMAINE DE DÉFINITION

Df = R soit ]−∞∞; +∞[

LIMITES

Déterminons les limites aux bornes de l'ensemble de dénition.1° ) calculons la limite de f(x) en + l'inni :

limx→+∞ x− 2 = +∞limx→+∞ 1− x = −∞limx→+∞ e

1−x = 0

donc limx→+∞ f(x) = +∞+ 0 = +∞

2° ) calculons la limite de f(x) en - l'inni :f(x) = x− 2 + e1−x

limx→−∞ x− 2 = −∞limx→−∞ 1− x = +∞limx→−∞ e

1−x = +∞donc limx→+∞ f(x) = −∞+∞ =???

Levons l'indétermination en réécrivant f(x) :f(x) = x(1− 2

x+ e1−x

x)

f(x) = x(1− 2x

+ exex

) car e1−x

x= e1x e−x

xmais comme e−x = 1

exalors e1−x

x= e1

xex= e

xex

Intéressons nous à ce dernier terme :limx→−∞ xe

x = 0−donc limx→−∞exex

= e0−

= −∞limx→−∞

2x

= 0

L'intérieur de la parenthèse tend vers (1− 0−∞) = −∞. Finalement :limx→−∞ f(x) = (−∞)x(−∞) = +∞

ASYMPTOTE

Une droite asymptote à une courbe est une droite telle que, lorsque l'abscisse ou l'ordonnée tendvers l'inni, la distance de la courbe à la droite tend vers 0.La courbe def(x) = x− 2 + e1−x admet elle une asymptote ?Cette fonction comprend 2 termes (x− 2) et e1−x . Soustrayons le premier de la fonction :f(x)− (x− 2) = e1−x

limx→+∞ f(x)− (x− 2) = limx→+∞ e1−x = 0

Comme limx→+∞ f(x)− (x− 2) = 0 alors la droite d'équation y = x− 2 est asymptote horizontaleau graphe de la fonction, f(x), car l'écart de la position de cette droite avec la fonction f(x)tend vers 0, mais comme e1−x est toujours supérieur à 0 (e1−x > 0), le graphe de la fonction seratoujours au dessus de la droite asymptotique.


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SENS DE VARIATIONS

Étudions la dérivée de la fonction f(x) = x− 2 + e1−x

f '(x) = 1 + (−1)e1−x = 1− e1−x

f '(x) ≥ 0⇔ 1− e1−x ≥ 0⇔ 1 ≥ e1−x ou

e1−x ≤ 1⇔ ln e1−x ≤ ln 1⇔ 1− x ≤ 0⇔ 1 ≤ x ou x ≥ 1

La dérivée est négative pour x ≤ 1 et positive pour x ≥ 1 ce qui implique que la fonction estdécroissante pour x ≤ 1et croissante pour x ≥ 1.

Tableau de variation de f(x) = x− 2 + e1−x


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26.6. LIMITES 271

GRAPHE DE LA FONCTION


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Part IV

PROBABILITÉS


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Chapter 27

LES PROBABILITÉS ÉLÉMENTAIRES

27.1 DÉFINITIONS

Une épreuve aléatoire est une épreuve dont le résultat dépend du hasard. Chacun des résultatspossibles s'appelle une éventualité (ou une issue). L'ensemble Ω (Oméga) de tous les résultatspossibles d'une épreuve aléatoire s'appelle l'univers de l'expérience. L'évènement A est unepartie de l'univers Ω : A ⊂ Ω (A inclus dans Ω).

On dénit une loi de probabilité sur Ω (Oméga) en associant, à chaque éventualité xi , un réel picompris entre 0 et 1 tel que la somme de tous les pi soit égale à 1.

P : P (Ω)→ [0, 1]

A→ P (A)

27.2 VOCABULAIRE DES ÉVÉNEMENTS :

Un événement élémentaire est un événement possédant un seul élément.

Par exemple, lançons un dé, l'univers Ω est : Ω = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6 ).

Notons l'événement A, obtenir un résultat pair : A = 2, 4, 6, A ⊂ Ω.

Prenons chaque élément séparément : 1, 2, 3, 4, 5, 6 alors chaque élément est unévénement élémentaire. Un événement élémentaire ne possède qu'un seul élément.

Deux évènements A, B, sont disjoints ou incompatibles (évènements incompatibles c'est à dire quela réalisation simultanée de A et B est impossible) si et seulement si leur intersection est videA ∩B = Ø. Il n'y a aucun élément en commun entre l'ensemble A et l'ensemble B.


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276 CHAPTER 27. LES PROBABILITÉS ÉLÉMENTAIRES

L'évènement A∩B (lire A inter B ou A et B est constitué des éventualités qui appartiennentà la fois à A et à B.

L'événement contraire d'un événement A est l'événementA constitué des éléments de Ω n'appartenantpas à A. Ce sont tous les éléments de l'univers Ω qui n'appartiennent pas à A.

conséquence : (A ∪ A) = Ω

L'évènementA∪B (lire A union B ou A ou B est constitué des éventualités qui appartiennentsoit à A, soit à B, soit aux deux ensembles.

Les évènements A etA sont incompatibles (A∩A) = /O, donc on peut écrire : P(A ∪ A) = P(A) + P(A) = 1

P(A) = 1-P(A)

27.3 CALCUL DES PROBABILITÉS

La probabilité d'un événement d'un univers ni Ω est la somme des probabilités des évènementsélémentaires qui le constituent. La probabilité de Ω est 1, c'est la probabilité de l'événementcertain.

P(Ω) = 1.

Pour tout évènement A : 0 ≤ P(A) ≤ 1.

L'équiprobabilité correspond au cas où tous les évènements élémentaires ont la même probabilitéd'un événement élémentaire est :


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27.3. CALCUL DES PROBABILITÉS 277

1

nombre d′elements de Ω

Lançons un dé : nous avons autant de chances d'avoir : 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6, alors noussommes dans une situation d'équiprobabilité.Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6La probabilité du 1 est égal à la probabilité du 2 qui est égal à .... qui est égal la probabilitédu 6.P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1 car P (Ω) = 1.Chaque probabilité élémentaire est égal à p, soit :p + p + p + p + p + p = 1⇔ 6p = 1⇔ p = 1

6

Le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments de cet ensemble.Ici, le cardinal de Ω (noté card ) est : 6La probabilité est un nombre réel compris entre 0 et 1 qui est le rapport du nombre de cas favorablessur le nombre de cas possibles. La probabilité de l'évènement A : [p(A)] est le rapport entre lecardinal de A sur le cardinal de Ω :Pour tout événement A :

P(A) =nombre d′elements de A

nombre d′elements de Ω=

nombre de cas favorables

nombre de cas possibles=

card(A)

card(Ω)

card (A ∪ B) = card(A) + card(B) - card(A ∩ B), en divisant chaque membre par card(Ω), onobtient :

card(A∪B)card(Ω)

= card(A)card(Ω)

+ card(B)card(Ω)

− card(A∩B)card(Ω)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Pour tous événements disjoints ou incompatibles A, B :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Pour tous événements A, B :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Pour tout événement A :

P(A) = 1− P(A)

Exemple 1 :

soit une pièce truquée, la probabilité d'obtenir face P(F) = 0, 45 alors la probabilité d'obtenir pileP(P) = 1− P(F) = 1− 0, 45 = 0, 55 (Pile et Face sont deux évènements contraires).Le contraire de P(Ω) = 1 (évènement certain) est alors l'évènement impossible P(/O) = 1− P(Ω) =1− 1 = 0.


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Exemple 2 :

Soit un ensemble Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6A=2,4,6 qui correspond (obtenir un nombre pair)

B=4,5

C=1,3 qui correspond (obtenir un nombre impair inférieur à 5)

A ∪ C=1,2,3,4,6

∀ (quel que soit) A et B card (A ∪ B) = card(A) + card(B) - card(A∩B)card(A ∪ B) = card(A) + card(B)−card(A ∩B) = 3 + 2− 1 = 4

(A∪B)=2,4,5,6 car les ensembles ne sont pas disjoints . Le chire 4 est commun aux deux sousensembles.

∀ (quel que soit) A et C card (A ∪ C) = card(A) + card(C) - card(A∩C)card(A ∪ C) = card(A) + card(C)−card(A ∩ C) = 3 + 2− 0 = 5

Si les ensembles A et C sont disjoints, les évènements A et C sont incompatibles deux à deux,A ∩ C = Ø alors card(A ∪ C) = card(A) + card(C)

Exemple 3 :

Prenons un lancé de dé : soit Ω = 1,2,3,4,5,6

Ω = 1∪2∪3∪4∪5∪6P (Ω)= P1+P2+P3+P4+P5+P6

P1+P2+P3+P4+P5+P6 = 1.

L'énoncé du problème indique que la probabilité d'obtenir un résultat pair est deux fois plusgrand que d'obtenir un résultat impair. Le dé est truqué. Nous ne sommes pas dans un casd'équiprobabilité.

soit P2 = probabilité d'un nombre pair


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27.4. INTERPRÉTATION DE L'ÉNONCÉ 279

soit P1 = probabilité d'un nombre impair

donc on peut écrire P1+P2+P1+P2+P1+P2 = 1

3 x p1 + 3 x p2 = 1 mais comme p2 = 2 x p1 alors 3p1 + 3 x 2 x p1 = 9 x p1 = 1

P1 = P3 = P5 = 19; P2 = P4 = P6 = 2

9

27.4 INTERPRÉTATION de L'ÉNONCÉ

Application n°1 :

Avant de résoudre un problème, il faut avant tout avoir en tête la traduction des évènementssuivants :

Soit un article présentant un défaut A et un défaut B

L'évènement E : l'article présente les deux défauts : E = A ∩B L'évènement F : l'article présente au moins 1 défaut : F = A ∪B L'évènement G : l'article présente 0 défaut (ni A ni B) : G = A ∩B L'évènement H : l'article présente seulement le défaut A : H = A ∩B L'évènement K : l'article présente 1 et un seul défaut :K = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) (ces deuxintersections sont incompatibles entr'elles).

A A

B A ∩B A ∩BB A ∩B A ∩B

A AB 2 défauts 1 défautB 1 défaut 0 défaut

Soit une caisse comprenant 100 articles qui peuvent présenter le défaut A ou le défaut B ou les 2défauts. On dresse le tableau suivant des deux défauts:

A AB 4 8 12B 6 82 88

10 90 100

Les articles présentant le défaut A : 10. Les articles ne présentant pas le défaut A : 90.

Les articles présentant le défaut B : 12. Les articles ne présentant pas le défaut B : 88.

Les articles ne représentant aucun défaut (A ∩B) : 82.

Calculons P (A) : P (A) = 10100

= 0, 1 et P (A) = 0, 9

Calculons P (A) : P (B) = 12100

= 0, 12 et P (B) = 0, 88

Calculons la probabilité que l'article ait les deux défauts (A ∩B) :P (A ∩B) = 4

100= 0, 04

Calculons la probabilité que l'article ait au moins 1 défaut, c'est à dire le défaut A ou le défaut Bou les deux défauts : (A ∪B)P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)


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P (A ∪B) = 0, 1 + 0, 12− 0, 04 = 0, 18

Calculons la probabilité que l'article n'ait aucun défaut : (A ∩B)

P (A ∩B) = 82100

= 0, 82

que nous aurions pu calculer en cherchant le contraire de au moins 1 défaut :

P (A ∩B) = 1− P (A ∪B) = 1− 0, 18 = 0, 82

Application n°2 :

La probabilité qu'un article présente le défaut A, P (A) = 0, 15 et la probabilité qu'il présente ledéfaut B, P (B) = 0, 25.

La probabilité qu'il présente au moins 1 défaut est de 0,35. Quelle est la probabilité pour quel'article présente les deux défauts ?

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

P (A ∩B) = P (A) + P (B)− P (A ∪B)

P (A ∩B) = 0, 15 + 0, 25− 0, 35 = 0, 05

Dans le type d'exercice que vous rencontrerez, vous aurez les informations suivantes :

Soit deux évènements E et F . Calculez P (E ∩F ), P (E ∩F ), en déduire P (E). Dans l'énoncé, lesvaleurs seront données pour calculer ces évènements.

Il faudra rédiger de la manière suivante :

on sait que l'évènement E = (E ∩ F ) ∪ (E ∩ F ) donc P (E) = P (E ∩ F ) + P (E ∩ F ) car lesévènements (E ∩ F )et (E ∩ F ) sont incompatibles.

E EF E ∩ FF E ∩ F


infom

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Chapter 28

PROBABILITÉ CONDITIONNELLE

28.1 DÉFINITION

La probabilité conditionnelle d'un évènement A, sachant qu'un autre évènement B de probabiliténon nulle s'est réalisé (ou probabilité de A, sachant B) est le nombre noté P(A|B) déni par :

PB(A) = P (A∩B)P (B)

mais s'écrit aussi P (A|B) = P (A∩B)P (B)

Le réel PB(A) se lit probabilité de A, sachant B se note aussi parfois P(A|B) et se lit de manièreidentique.

En faisant le produit en croix, on en tire la relation : P (A ∩B) = PB(A) xP (B) (1).

La probabilité conditionnelle de B sachant A est le nombre noté :

PA(B) ou P(B|A), déni par PA(B) = P (A∩B)P (A)

.

En faisant le produit en croix, on en tire la relation : P (A ∩B) = PA(B) xP (A) (2)

Des relations (1) et (2) on peut écrire une relation très utile :

P (A ∩B) = PB(A) xP (B) = PA(B) xP (A)

La probabilité conditionnelle d'un évènement A, sachant qu'un autre évènement B de probabiliténon nulle s'est réalisé (ou probabilité de A, sachant B) est le nombre noté P (A|B) déni par :

PA(B) = P (A∩B)

P (A)

de même nous pouvons calculer : PB(A) et PA(B) :

PB(A) = P (A∩B)

P (B)et PA(B) = P (A∩B)

P (A)(3)

28.2 PROBABILITÉS TOTALES

A A

B A ∩B A ∩BB A ∩B A ∩B

A = A ∩B) ∪ (A ∩B) (2ieme ligne du tableau)


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282 CHAPTER 28. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE

P (A) = P (A ∩B) + P (A ∩B) (4) car les évènements B et B sont incompatibles

Calculons à l'aide du tableau P (B) : (3ieme ligne du tableau)

P (B) = P (A ∩B) + P (A ∩B)

La relation (1) : P (A ∩B) = PB(A) xP (B) (1)

La relation (3) : PB(A) = P (A∩B)

P (B)⇔ P (A ∩B) = P(B)(A) xP (B)

Finalement des relations (1) et (3) on peut écrire la relation (4) :

P (A) = PB(A) xP (B) + PB(A) xP (B) 1

28.3 ARBRE de PROBABILITÉ

Un arbre de probabilité est un schéma permettant de résumer une expérience aléatoire connaissantdes probabilités conditionnelles.

On nomme arbre de probabilité un graphe orienté et pondéré obéissant aux règles suivantes :

La somme des probabilités des branches issues d'un même sommet donne 1.

La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

La pondération de la branche allant du sommet A vers le sommet B est la probabilité condition-nelle de B sachant que A est déjà réalisé PA(B).

b

b

AP (A) b B > P (A \ B)PA(B)b B > P (A \ B)PA(B)

b

AP (A) b B > P (A \ B)PA(B)b B > P (A \ B)PA(B)

On retrouve alors la propriété de la probabilité conditionnelle :

P (A ∩B) = P (A) xPA(B) (produit des chemins).

P (A ∩B) = P (A) xPA(B) (produit des chemins)



Remarques

Ne pas confondre :

1. Formule de BAYES


infom

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28.3. ARBRE DE PROBABILITÉ 283


et PA(B) = P (A∩B)P (A)


⇔ P (A ∩B) = P (B) xPB(A)

PA(B) = P (A∩B)P (A)

⇔ P (A ∩B) = P (A) xPA(B)

C'est l'énoncé du problème qui vous conduira à utiliser une des deux formes.

Exercice

P(A) = 0,8 ; PA(B) = 0, 625 ; PA(B) = 0, 5

Calculer P (A ∩B), P (A ∩B). En déduire P (B). Calculer PB(A).

Solution :

P (A ∩B) = PA(B) xP (A) = 0, 625 x 0, 8 = 0, 5

P (A ∩B) = PA(B) xP (A) = PA(B) x (1− P (A) = 0, 5 x (1− 0, 8) = 0, 1

On sait que B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ⇒ P (B) = P (A ∩ B) + P (A∩) = 0, 5 + 0, 1 = 0, 6 car lesévènements A et B sont incompatibles.

Calculons PB(A) ; PB(A) = P (A∩B)P (B)

= 0,50,6

= 56

Nous obtenons l'arbre ci-dessous :

b

b

AP (A) = 0; 8 b B > P (A \ B) = 0; 5PA(B) = 0; 625b B > P (A \ B) = 0; 3PA(B) = 0; 375

b

AP (A) = 0; 2 b B > P (A \ B = 0; 1PA(B) = 0; 5b B > P (A \ B) = 0; 1PA(B) = 0; 5


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284 CHAPTER 28. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE


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Chapter 29

ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS

29.1 INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÈNEMENTS

ARBRE DÉPENDANT

Dire que deux évènements sont indépendants signie que :

P (A ∩B) = P (A) xP (B) on a donc :

PB(A) = P (A) ou PA(B)=P(B)

Exemple : dressons 2 arbres :

- le premier avec des événements dépendants

- le second avec des événements indépendants

b

b

A0; 6 b B0; 8b B0; 2

b

A0; 4 b B0; 5b B0; 5

P (A) = 0, 6;

PA(B) = 0, 8;

PA(B) = 0, 5

Arbre dépendant ci dessus, on voit bien que la probabilité de la branche AB est diérente de labrancheAB, donc suivant l'évènement A la probabilité dépend de l'événement A :

PA(B) 6= PA(B)

Dans l'arbre ci dessus les événements sont dépendants


infom

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286 CHAPTER 29. ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS

ARBRE INDÉPENDANT

Deux évènements sont indépendants si la probabilité de A n'est pas conditionnée par la probabilitéde B ou réciproquement. PB(A) = P (A) ou PA(B) = P (B)

b

b

A0; 6 b B > P (A \ B) = 0; 480; 8b B0; 2

b

A0; 4 b B > P (A \ B) = 0; 320; 8b B0; 2

P (A) = 0, 6 ;

PA(B) = 0, 8 ;

PA(B) = 0, 8 ;

Dans l'arbre indépendant ci dessus, on voit bien que la probabilité de la branche AB est égale à labranche AB donc quelque soit l'évènement A, la probabilité de B ne change pas !

PA(B) = PA(B) = P (B)

En eet P (B) = P (A ∩B) + P (A ∩B) = 0, 48 + 0, 32 = 0, 8

Dans cet arbre les événements sont indépendants.

Remarques

Si les évènements sont indépendants :


et PA(B) = P (B). Ces deux expressions étant égales, nous pouvons écrire :P (A∩B)P (A)

= P (B)⇔ P (A ∩B) = P (A) xP (B)

de même nous pouvons écrire


⇔ P (A ∩B) = P (B) xP (A)

EXERCICE 1

Un représentant de commerce doit visiter successivement trois ville A, B, C.

1°) A l'aide d'un arbre, déterminer tous les itinéraires permettant de visiter les trois villes.

2°) Le représentant choisit au hasard l'un de ces itinéraires.

a) calculer la probabilité que, sur cet itinéraire, les villes B et C se suivent dans cet ordre.

b) Calculer la probabilité que cet itinéraire commence par la ville B et se termine par la ville C.

c) Calculer la probabilité que, sur cet itinéraire, la ville C soit située avant la ville B.

Solution :


infom

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29.1. INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÈNEMENTS 287

1°) La première ville étant choisie , il reste deux choix possibles pour la ville suivante; la deuxièmeville étant à son tour choisie il reste 1 seul choix pour la dernière,soit :

3 x 2 x 1 = 6 choix possibles

2°a) sur le graphe nous comptons 2 chemins pour que les villes B et C se suivent :

P1 = 26

= 13

= 0, 33

b) sur le graphe nous comptons 1 chemin pour que la ville commence par B et se termine par C :

P2 = 16

= 0, 16

c) sur le graphe nous comptons 3 chemins pour que la ville C commence avant la ville B :

P3 = 36

= 0, 5

EXERCICE 2

On a lancé 1000 fois un dé pipé (truqué). Les résultats sont consignés dans le tableau

numéro sorti 1 2 3 4 5 6nombre de sorties 82 120 153 207 265 173

On prendra comme probabilité de sortie d'un numéro la fréquence d'apparition de ce numéro.

1°) On lance le dé une fois.

Calculer la probabilité de chacun des événement suivants

A : le résultat est inférieur ou égal à 3;

B : le résultat est strictement supérieur à 5;

C : le résultat est multiple de 3;

2°) Pierre et Cécile jouent avec le dé.

Pierre parie sur l'obtention d'un résultat pair.

Pierre a-t-il autant de chance que Cécile de gagner?

Solution

1° A ) P = 82+120+1531000

= 3551000

= 0, 355

B ) P = 1731000

= 0, 173

C ) P = 153+1731000

= 3261000

= 0, 326

2° ) P2 + P4 + P6 = 120+207+1731000

= 5001000

= 0, 5

Pierre a autant de chance de gagner que Cécile!

EXERCICE 3

Une classe de 36 élèves âgés de 16, 17 ou 18 ans comprend 22 garçons dont 18 âgés de 17 ans et 3âgés de 18 ans; on dénombre d'autres part 6 lles âgées de 18 ans et une seule de 16 ans.

1°) Reproduire et compléter le tableau d'eectifs suivant


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Âge\Sexe Garçons Filles Totaux16 ans17 ans18 ansTotaux 36

2 °) On choisit un élève au hasard parmi les 36 élèves. Tous les élèves ont la même probabilitéd'être choisis.

Dans ce qui suit, les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.

a) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

A : L'élève choisi a 17 ans;

B : L'élève choisi est une lle;

C : L'élève choisi est une lle de 17 ans;

b) Dénir par une phrase en français les événements : A ∩ B et A ∪ B.

Calculer P(A inter B) et P(A∪B)Solution

Âge\Sexe Garçons Filles Totaux16 ans 1 1 217 ans 18 7 2518 ans 3 6 9Totaux 22 14 36

2° a) P (A) = 2536;

P (B) = 1436

= 718;

P (C) = 736.

b) A ∩ B >L'élève est une lle de 17 ans

A ∪ B > L'élève a 17 ans ou l'élève est une lle.

P (A ∩B) = 736

; P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 2536

+ 1436− 7

36= 32

36= 8

9;


infom

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EXERCICE 4

P (A) = 0, 3 ; P (B) = 0, 4 ; P (A ∪B) = 0, 48;

Question classique : les évènements A et B sont ils indépendants ?

∀ A et B la relation ci dessous est toujours vériée :

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

P (A ∩B) = P (A) + P (B)− P (A ∪B)

P (A ∩B) = 0, 3 + 0, 4− 0, 48 = 0, 22 (1)

si les évènements sont indépendants :

P (A ∩B) = P (B) xP (A) = 0, 4 x 0, 3 = 0, 12 (2)

Nous voyons que les équations (1) et (2) ne sont pas égales donc les évènements A et B ne sontpas indépendants.

Attention aux erreurs faîtes entre les évènements indépendants et dépendants !

ci-dessous l'arbre dépendant correspondant à l'exercice

b

b

AP (A) = 0; 3 b B > P (A \ B) = 0; 22PA(B) = 0; 733b B > P (A \ B) = 0; 08PA(B) = 0; 267

b

AP (A) = 0; 7 b B > P (A \ B = 0; 18PA(B) = 0; 257b B > P (A \ B) = 0; 52PA(B) = 0; 743

EXERCICE 5

Une urne contient 5 boules rouges et 15 boules blanches. On eectue deux tirages successifs avecremise des deux boules. Soit l'évènement A tirer 2 boules rouges, l'évènement B tirer au moins 1boule rouge, l'évènement C tirer une boule rouge.

Quelles sont les probabilités de A , de B et de C ?

Ici nous avons une remise donc la probabilité est la même à chaque tirage. Les évènements A etB sont indépendants.

Obtenir une boule rouge :

P (A) = ( 520

)( 520

) = 25400

= 116

= 0, 0625

Pour P (B), on s'aperçoit dans l'arbre ci dessous que d'obtenir au moins une boule rouge correspondaux 3 premières branches de l'arbre. Le complément de ces 3 évènements est le dernier évènementcorrespondant à n'obtenir que 2 boules blanches, ceci tel que si nous prenons le complément des 2boules blanches nous obtiendrons les 3 évènements correspondants à obtenir au moins une boulerouge donc :


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Obtenir au moins une boule rouge :

P (B) = 1− P (B) xP (B) = 1− (0, 75) x (0, 75) = 0, 4375

Probabilité de tirer une boule rouge :

P (C) = P (R, B ∪ P (B, R) = P (R ∩B) ∪ P (B ∩R) = 0, 25 x 0, 75 + 0, 75 x 0, 25

P (C) = 2(0, 25 x 0, 75) = 0, 375

b

b

R0; 25 b R > RR0; 25b B > RB0; 75

b

B0; 75 b R > BR0; 25b B > BB0; 75

EXERCICE 6

Un tireur à l'arc tire 10 fois de suite sur un cible . La probabilité de toucher la cible est P (T ) = 0, 8.D'un tir à l'autre le tireur garde constante sa probabilité. Les 10 tirs sont indépendants les unsdes autres.

Soit X la variable qui associe le nombre de tirs réussis.

Quelle est la probabilité P (X = 10) pour que ce tireur atteigne 10 fois la cible ?

Quelle est la probabilité P (X = 1) pour que ce tireur atteigne 1 fois la cible ?

Quelle est la probabilité P (X ≥ 1) pour que ce tireur atteigne au moins 1 fois la cible ?

Si le tireur tire n fois de suite , quel est le nombre minimum de tirs pour que la probabilité P(N),qu'il atteigne au moins une fois la cible, dépasse 0,999 ?

Solutions :

- Probabilité P (X = 10):

P(X = 10) = P(T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T)

P(X = 10) = P(T) x P(T) x P(T) x P(T) x P(T) x P(T) x P(T) x P(T) x P(T) x P(T)

P(X = 10) = 0, 810 ' 0, 107

- Probabilité P (X = 1) : admettons que le tireur ne touche la cible

qu'au premier tir alors on obtient P(T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T) = 0, 8 x 0,29

qu'au second tir alors on obtient P(T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T) =0, 8 x 0, 29

qu'au 3ieme tir alors on obtient P(T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T) = 0,8 x 0, 29

.....

et ainsi de suite jusqu'au dernier tir, donc nous faisons dix fois cette opération donc nalement :P (X = 1) = 10 x 0, 8 x 0, 29 ' 4.10−6


infom

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Bien entendu, il existe une démarche plus simple de traiter ce genre de problème mais il fautétudier d'abord le dénombrement, les combinaisons, puis la loi binomiale ... ce qui sera faitdans un cours prochain !

- Probabilité P (X ≥ 1) : nous pouvons avoir la même démarche que ci-dessus, mais un raison-nement plus astucieux nous conduit comme précédemment à chercher l'évènement contraire. Lecontraire de au moins 1 est aucun , c'est à dire que le tir soit raté 10 fois donc :

P (X = 1) = 1− P (X = 0) = 1− 0, 210 ' 0, 99!

- Probabilité P(N) : P (N) = P (X1) = 1− 0, 2n donc

P (N) ≥ 0, 999⇒ 1− 0, 2n ≥ 0, 999⇒ −0, 2n ≥ −0, 001⇔ 0, 2n ≤ 0, 001

ln(0, 2)n ≤ ln 0, 001⇔ n ln 0, 2 ≤ ln 0, 001⇔ n ≥ ln 0,001ln 0,2

⇔ n ≥ 4, 29

Soit le plus petit entier : n = 5 tirs pour P (N) ≥ 0, 999!

EXERCICE 7

A et B sont deux évènements indépendants tels quep(A) = 0, 2 et p(B) = 0, 1. Calculer PB(A),PA(B), P (A ∩B) et P (A ∪B).

Solution :

PB(A) = P (A) = 0, 2 ;

PA(B) = P (B) = 0, 1 ;

P (A ∩B) = P (A) xP (B) = 0, 2 x 0, 1 = 0, 02 ;

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 0, 2 + 0, 1− 0, 02 = 0, 28.

EXERCICE 8

A et B sont deux évènements tels que p(A) = 0, 4 et p(B) = 0, 5. Calculer P (A ∩ B), PB(A),PA(B), P (A ∪B) lorsque :

les évènements A et B sont incompatibles,

les évènements A et B sont indépendants.

Solution :

Dans le cas incompatible :

P (A ∩B) = P (/O) = 0 ;

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 0, 4 + 0, 5− 0 = 0, 9 ;


= 00,5

= 0 ;


= 00,4

= 0 ;

Dans le cas indépendant :

P (A ∩B) = P (A) xP (B) = 0, 4 x 0, 5 = 0, 20 ;

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 0, 4 + 0, 5− 0, 2 = 0, 7 ;

PB(A) = P (A∩B)P(B)

= 0,20,4

= 0, 5 ;


= 0,20,5

= 0, 4 .


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EXERCICE 9

Indiquer dans chaque cas si les évènements A et B sont indépendants.

1) P (A) = 0, 62 ; P (B) = 0, 4 et P (A ∩B) = 0, 248

2) P (A⋃B) = 0, 58 ; P (A) = 0, 4 et P (B) = 0, 3

3) PB(A) = 0, 25 ; P (A) = 0, 1 et P (A ∪B) = 0, 5

Solution :

Rappel : deux évènements A et B sont indépendants si et seulement si P (A ∩B) = P (A) xP (B)

cas 1 :

P(A) x P(B) = 0, 62 x 0, 4 = 0, 248

P (A ∩B) = 0, 248 donc les deux évènements sont indépendants.

cas 2 :

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∪B) = 0, 4 + 0, 3− 0, 58 = 0, 12

P(A) x P(B) = 0, 4 x 0, 3 = 0, 12 donc les deux évènements A et B sont indépendants.

cas 3 :


= 0, 25⇔ P (A ∩B) = 0, 25 xP (B) ;

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 0, 5− 0, 1 + P (B)− 0, 25 xP (B) ;

P(A ∪ B) = 0, 4− 0, 75 x P(B) ;

P (B) = 0,40,75

= 815

;

P(A ∩ B) = 0, 25 x 815

= 215

P(A) x P(B) = 0, 1 x 8 = 475; Les deux évènements A et B ne sont pas indépendants.

EXERCICE 10

Soit A et B deux évènements indépendants d'une même expérience aléatoire.

1) montrer que A et B sont aussi indépendants

2) en déduire que A et B sont aussi indépendants

3) à l'aide de l'arbre pondéré ci dessous, déterminer la valeur de p sachant que A et B sontindépendants.

b

b

A0; 3 b B > P (A \ B) = 0; 24b B > P (A \ B)

b

A b B > P (A \ Bb B > P (A \ B)P ?


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cas 1 :

Hypothèse : P(A ∩ B) = P(A) x P(B) .

Pour montrer que A et B sont aussi indépendants il faut démontrer que P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

A = (A ∩B) ∪ (A ∩B), ces deux intersections sont incompatibles

P (A) = P (A ∩B) ∪ P (A ∩B)

P (A ∩B) = P (A)− P (A ∩B)

P(A ∩ B) = P(A)− P(A) x P(B) = P(A) x (1− P(B))

P(A ∩ B) = P(A) x P(B).

Les deux évènements A et B sont aussi indépendants.

cas 2 :

il faut monter que : P(A ∩ B) = P(A) x P(B) .

B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)

P(B) = P(A ∩ B) ∪ P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = P(B)− P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = P(B)− P(A) x P(B)

P(A ∩ B) = P(B) x (1− P(A))

P(A ∩ B) = P(B) x P(A))

cas 3 :

par déduction on obtient :

b

b

A0; 3 b B > P (A \ B) = 0; 240; 8b B > P (A \ B) = 0; 060; 2

b

A0; 7 b B > P (A \ B = 0; 560; 8b B > P (A \ B) = 0; 140; 2

EXERCICE 11

Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre sachant que les évènements A et B sont indépen-dants.


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b

b

A b B > P (A \ B) = 0; 28b B > P (A \ B)

b

A b B > P (A \ Bb B > P (A \ B)0; 6

on obtient par déduction :

b

b

A0; 7 b B > P (A \ B) = 0; 280; 4b B > P (A \ B) = 0; 420; 6

b

A0; 3 b B > P (A \ B = 0; 120; 4b B > P (A \ B) = 0; 180; 6

ne pas oublier de vérier P(A), P(B), PB(A), PA(B), P (A ∩B) et P (A ∪B).

EXERCICE 12

Un article peut présenter deux types de défauts : A et B. La probabilité que l'article ait le défautA et le défaut B est respectivement de 0,08 et 0,05. Soit P(A)=0,08 et P(B)=0,05. La probabilitéque l'article ait au moins un défaut est de 0,126.1) les évènements A et B sont ils indépendants ?2) calculer la probabilité que l'article ait seulement le défaut A.3) calculer la probabilité que l'article n'ait aucun défaut.Solution :1 ) la traduction de : au moins un défaut est de 0,126 est P(A∪B)=0,126. Pour montrer queles évènements A et B sont indépendants nous devons démontrer que : P(A∩B) = P(A) x P(B).P(A) x P(B) = 0,08 x 0,05 = 0,004P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B)P(A∩B) = 0,008 + 0,004 - 0,126 = 0,004par conséquent les évènements A et B sont indépendants.2 ) la probabilité que l'article ait seulement le défaut A se traduit P(A ∩ B) ( le défaut A et pasle défaut B).


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P(A∩B) = P(A) x P(B) ces deux évènements sont incompatibles

P(A∩B) = 0,08 * (1- 0,05) = 0,076

3 ) Nous avons deux possibilités pour calculer la probabilité que l'article n'ait aucun défaut qui setraduit par P(A ∩B) :

a) l'évènement aucun défaut se traduit par le contraire de au moins 1 défaut soit :

P(A ∩B) = 1 - P(A∪B) =1 - 0,126 = 0,874

b) P(A ∩B) = P(A) x P(B) = (1 - 0,08) x (1 - 0,05) = 0,874

EXERCICE 13

On lance 8 fois de suit une pièce de monnaie truquée. La probabilité d'obtenir face est de 0,45.P(F)= 0,45.

1 ) calculer la probabilité d'avoir 8 fois Face .

2 ) calculer la probabilité d'avoir au moins 1 fois Face .

Solution

A chaque lancer nous sommes bien en présence d'évènements indépendants.

1 )P (F ∩ F ∩ F ∩ F ∩ F ∩ F ∩ F ∩ F ) =

p(0,45) x p(0,45) x p(0,45) x p(0,45) x p(0,45) x p(0,45) x p(0,45) x p(0,45) = 0, 458

2 ) au moins 1 fois face se traduit 1 fois face et plus donc on va chercher la probabilitécontraire d'avoir 0 face soit la probabilité contraire d'avoir 8 fois Pile . P(1− 0, 558).


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Chapter 30

VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE

30.1 DÉFINITION

Une variable aléatoire est une fonction (plus exactement une application) dénie sur l'ensembledes éventualités (Ω) vers l'ensemble des nombres réels.

Une variable aléatoire est dite discrète si elle ne prend que des valeurs discontinues dans unintervalle donné (borné ou non borné). L'ensemble des nombres entiers est discret. En règlegénérale, toutes les variables qui résultent d'un dénombrement ou d'une numération sont de typediscrètes.

On dit que la variable aléatoire est discrète si elle ne prend que des valeurs isolées. Dans le cascontraire, on dit qu'elle est continue.

Exemple introductif :

Une urne est composée de 2 boules rouges R1 et R2 et d'une boule blanche B. L'épreuve consisteà tirer simultanément 2 boules. Soit X la variable aléatoire qui associe le nombre de boules rougestirées.

1 ) Quelles sont les valeurs prises par X(Ω) ?

2 ) Quelle est la loi de probabilité de X ?

Déterminons lunivers (Ω) c'est à dire l'ensemble des tirages possibles :

(Ω)= B, R1, B, R2, R1, R2 par conséquent les valeurs prises par X: Ω) 7→1 ; 2


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298 CHAPTER 30. VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE

Le tirage B, R1, B, R2 est associé au réel 1(une seule boule rouge a été tirée), le tirage R1,R2 est associé au réel 2 (deux boules rouges ont été tirées). Le lien entre Ω et R est X qui portele nom de variable aléatoire. X est une application qui a tout élément de Ω (l'ensemble dedépart) associe un nombre réel (de l'ensemble d'arrivée que sont les images appelées X(Ω)).

La loi de probabilité de X est la probabilité associée à chacune des valeurs prises par X.

Rappel : la probabilité P (X) = nombre de cas favorablesnombre de cas possibles

P (X = 1) = 23

P (X = 2) = 13

P (X = 1) + P (X = 2) = 23

+ 13

= 1

Compliquons ce premier exemple. Maintenant pour jouer, la mise est de 5¿. Si on tire uneboule rouge on gagne 4¿, si on tire une boule blanche on perd 1 ¿. L'épreuve consiste à préleversimultanément 2 boules . X est la variable aléatoire qui associe le gain du joueur.

gain boule Rouge > 4¿

gain boule Blanche > -1¿

Le solde est alors pour 2 boules rouges : 4 + 4 - 5 = 3¿ (gain diminué de la mise)

Le solde est alors pour 1 boule blanche + 1boule rouge : -1 + 4 - 5 = -2¿ (gain diminué de lamise)

Les valeurs prises par X sont : X(Ω)=-2 ; 3

La loi de probabilité de X

P (X = −2) = 23

P (X = 3) = 13


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30.2. ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE 299

X = xi -2 3∑

P (X = xi)23

13

1xipi −4

333−1

3

x2i pi

83

93

173

30.2 ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE

L'espérance mathématique (paramètre de position ) de X représente la moyenne , ici celacorrespond au gain moyen du joueur . L'espérance est notée E(X) et est calculée ainsi :

E(X) = x1 ∗ p(X = x1) + x2 ∗ p(X = x2)+... +xn ∗ p(X = xn) soit E(X) =∑p

1 xi pi.

Si le joueur joue un grand nombre de fois, il peut espérer un gain moyen de −13¿ ! Le jeu est

défavorable au joueur car il procure une espérance de gain négative (une perte).

30.3 RAPPEL DE STATISTIQUE

Dans une classe soit deux élèves :

l'élève A qui a trois notes suivantes : 9, 10, 11 ; la moyenne est de xA = 10

l'élève B qui a trois notes suivantes : 2, 10, 18 ; la moyenne est aussi de xB = 10.

Les deux élèves ont la même moyenne mais cette dernière n'est pas un élément susant d'appréciationdes deux élèves. Il faut pour mieux analyser cette situation un paramètre supplémentaire de dis-persion.

C'est l'écart type des notes que nous devons utiliser.

L'écart type : σA < σB permet de se rendre compte que les notes de l'élève A sont moins disperséespar rapport à la moyenne que celles de l'élève B. L'élève A est plus régulier que l'élève B.

En probabilité, analysons la dispersion des valeurs xi autour de la valeur centrale E(X). Ceparamètre de dispersion s'appelle la variance , à partir de cette dernière on peut calculer unautre paramètre de dispersion : l'écart type en extrayant la racine carrée de l'espérance.

30.4 VARIANCE

1ère formule : V (x) =∑pi[xi − E(X)]2 (pondération des écarts élevé au carré. formule longue à

calculer). On préférera la

2ieme formule (formule de Koenig) : V (X) =∑x2i pi − E(X)2 =

(173

)− 1

9= 50

9= 5, 55

30.5 ÉCART TYPE

Calcul de l'écart type : σ(X) =√V (X) =

√5, 55 = 2, 35


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Exercice type :

Une entreprise fabrique un produit qui peut présenter de manière indépendante deux types dedéfaut, 1 défaut mécanique M et 1 défaut électrique E. La probabilité du défaut mécaniqueP (M) = 0, 05 et la probabilité du défaut électrique P (E) = 0, 08. Les défauts apparaissent defaçon indépendante. Le coût de production de l'article est de 100¿, le coût du SAV électrique estde 20¿, le coût du SAV mécanique est de 30¿. Soit X la variable aléatoire qui associe le coût derevient de l'article.

Déterminez la loi de probabilité de X ce qui revient à :

- déterminer les valeurs prises par X

- calculer les probabilités associées à chaque valeur prise par X.

a) Déterminons les valeurs prises par X :

pour 0 défaut l'article revient : 100¿

pour 1 défaut électrique l'article revient : 120¿

pour 1 défaut mécanique l'article revient : 130¿

pour 2 défauts l'article revient : 150¿

par conséquent X(Ω)= 100 ; 120 ; 130 ; 150

b) Calculons les probabilités de chaque évènement

P (X = 100) = P (E ∩M) = (E) xP (M) = P (1− 0, 08) xP (1− 0, 05) = 0, 92 x 0, 95 = 0, 874

P (X = 120) = P (E ∩M) = P (E) xP (M) = P (0, 08) xP (1− 0, 05) = 0, 08 x 0, 95 = 0, 076

P (X = 130) = P (E ∩M) = (E) xP (M) = P (1− 0, 08) xP (0, 05) = 0, 92 x 0, 05 = 0, 046

P (X = 150) = P (E ∩M) = P (E) xP (M) = P (0, 08) xP (0, 05) = 0, 08 x 0, 05 = 0, 004

P (X = 100) + P (X = 120) + P (X = 130) + P (X = 150) = 0, 874 + 0, 076 + 0, 046 + 0, 004 = 1

X = xi 100 120 120 150∑

P (X = xi) 0,874 0,076 0,046 0,004 1xipi 87,4 9,12 5,98 0,6 103,08x2i pi 8740 1094,4 774,8 90 10699,2

Calcul de la variance : V (X) =∑x2i pi − E(X)2 = 10699, 2− 103, 082 = 73, 71

Calcul de l'écart type : σ(X) =√V (x) =

√73, 71 = 8, 58

Autre Exemple introductif :

Soit une tombola composée de 20 billets répartie comme suit :

- 4 billets qui rapportent 10¿,

- 4 billets qui rapportent 20 ¿,


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30.5. ÉCART TYPE 301

- 12 billets perdants.

Pour jouer il faut acheter un billet dont le coût unitaire est de 5¿.

Soit X la variable aléatoire associant le gain du joueur.

1 ) Quelles sont les valeurs prises par X ?

2 ) Quelle est la loi de probabilité de X ?

3 ) Calculer l'espérance mathématique, la variance et l'écart type de X.

Solution :

a ) Le gain espéré est de 0¿, 10¿, 20¿. La mise est de 5¿.

Le gain réel (le solde) sera alors de : -5¿, 5¿, 15¿

a) -5¿ (cas tirage billet perdant),

b) 5¿ (cas du billet gagnant 10¿)

c) 15¿ (cas du billet gagnant 20¿).

Soit X associant le gain du joueur, les valeurs prises par X : -5, 5, 15

Ω l'ensemble de départ représente tous les tirages possibles. Il y a une relation (une application)entre les éléments d'Ω et les éléments de l'ensemble d'arrivée qui comprend les réels -5, 5, 15 quisont les images X(Ω).

b ) la loi de probabilité de X est la probabilité associée à chacune des valeurs prises par X. C'estla réponse aux questions suivantes :

- Quelle est la probabilité de P (X = −5) ?

- Quelle est la probabilité de P (X = 5) ?

- Quelle est la probabilité de P (X = 15) ?

Rappel : La probabilité P (X) = nombre de cas favorablesnombre de cas possibles

P (X = −5) = 1220

= 0, 6 (cas tirage de 1 des 12 billets perdants)

P (X = 5) = 420

= 0, 2 (cas tirage de 1 des 4 billets gagnant 10 ¿)

P (X = 15) = 420

= 0, 2 (cas tirage de 1 des 4 billets gagnant 20 ¿).

Il faut s'assurer absolument que la somme des probabilités partielles fasse 1 : (0, 6+0, 2+0, 2 = 1)

c ) Calcul de l'espérance mathématique, la variance et l'écart type de X. Pour déterminer la loi deprobabilité de X, on s'appuie en général sur un tableau


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xi -5 5 15∑

P (X = xi) 0,6 0,2 0,2 1xipi -3 1 3 1x2i pi 15 5 45 65

L'espérance mathématique (paramètre de position ) de X représente la moyenne. L'espérance estnotée E(X) et elle est calculée ainsi :

E(X) = x1 ∗ p(X = x1) + x2 ∗ p(X = x2)+... +xn ∗ p(X = xn) soit E(X) =∑p

1 xi pi.

Si le joueur joue un grand nombre de fois, il peut espérer un gain moyen de 1¿ ! Le jeu est favorableau joueur car il procure un gain positif dans le cas contraire le jeu sera favorable à l'organisateurdu jeu.

Calcul de la variance et écart type (paramètre de dispersion des xi par rapport à l'espérance) :V (X) =

∑x2i pi − E(X)2 = 65− 12 = 64 (formule de Koenig)

Calcul de l'écart type : σ(X) =√V (X) =

√64 = 8


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Exercice 1

Pour passer le temps, Chloé et Margaux inventent un jeu avec leur paquet de 32 cartes à jouer etun paquet de bonbons.

On rappelle que, dans un jeu de 32 cartes, on trouve quatre couleurs (pique, trèe, coeur et carreau)et , que dans chaque couleur, on a une série de 8 cartes (7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as).

Margaux propose la règle suivante :

- on tire une carte, on regarde si c'est un roi. Sans remettre la carte dans le paquet, on tire uneseconde carte et on regarde si c'est un roi.

- si, sur les 2 cartes, on a tiré exactement un roi, on gagne 10 bonbons ; si on a tiré deux rois, ongagne 20 bonbons sinon on a perdu !

on note :

- R1 l'évènement tirer un roi au premier tirage et R1 son évènement contraire,

- R2 l'évènement tirer un roi au deuxième tirage et R2 son évènement contraire.

1 ) Justier les valeurs des probabilités suivantes :

P (R1) = 18; PR1(R2) = 3

31; PR1

(R2) = 431

2 ) on traduit le jeu par un arbre pondéré. Reproduire l'arbre ci dessous en inscrivant les proba-bilités, en écriture fractionnaire sur chaque branche

b

b

R1 b R2 > P (R1 \ R2)b R2 > P (R1 \ R2)

b

R1 b R2 > P (R1 \ R2)b R2 > P (R1 \ R2)

Dans ce qui suit, les probabilités seront données sous forme décimale arrondie au millième.

3 ) Calculer la probabilité des évènements :

1°) évènement A : tirer un roi au premier tirage et au deuxième tirage ;

2°) évènement B : tirer un roi à un seul des deux tirages

4 ) On s'intéresse au nombre X de bonbons gagnés après deux tirages. Recopier et compléter letableau. P (R1 ∩R2) suivante donne la loi de probabilité de X.

Nombre de bonbons xi 0 10 20P (X = xi) 0,226


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5) Calculer l'espérance mathématique E de cette loi, arrondie au dixième.

Solutions

1 ) Justions les valeurs des probabilités :

P (R1) = 432

= 18; quatre rois sur 32 cartes ;

PR1(R2) = 331

; il reste 3 rois sur 31 cartes ;

PR1(R2) = 4

31; il reste 4 rois (la première carte tirée n'est pas un roi ) et 31 cartes.

2 ) L'arbre de probabilités

b

b

R11=8 b R2 > P (R1 \ R2)3=31b R2 > P (R1 \ R2)28=31

b

R17=8 b R2 > P (R1 \ R2)4=31b R2 > P (R1 \ R2)27=31

3 ) Calculons la probabilité des évènements :

- 1°) évènement A : tirer un roi au premier tirage et au deuxième tirage revient à calculer :

P (A) = P (R1 ∩R2) = P (R1) xPR1(R2) = 18

x 2831

= 3248

= 0, 012

- 2°) évènement B : tirer un roi à un seul des deux tirages revient à calculer :

P (B) = P (R1 ∩R2) ∪ P (R1 ∩R2) = (18

x 2831

) + (78

x 431

) = 731

= 0, 226

4 ) Complétons le tableau

Gagner 10 bonbons c'est réaliser l'évènement B, Gagner 20 bonbons c'est réaliser l'évènement A.

Nombre de bonbons xi 0 10 20∑

P (X = xi) 0,762 0,226 0,012 1x2i pi 0 2,26 0,24 2,5

Espérance E(X) = 2, 5


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Exercice 2

Parmi les stands de jeux d'une fête de village, les organisateurs ont installé une machine qui lanceautomatiquement une bille d'acier lorsque le joueur actionne un bouton. Cette bille roule sur unplan comportant une cible circulaire évidée en son centre.

Lorsque la bille atteint la cible, soit elle est avalée, soit elle reste sur la cible.

Lorsque la bille n'atteint pas la cible, elle revient à son point de départ.

Dans la suite de l'exercice, on notera :

- C l'évènement la cible est atteinte ;

- B l'évènement la bille est avalée .

Une étude préliminaire a démontré que :

- la probabilité d'atteindre la cible lors d'un lancer est égale à 0,3 ;

- lorsque la cible a été atteinte, la probabilité que la cible soit avalée est égale à 0,2.

1 - Traduire la situation aléatoire ci-dessus par un arbre de probabilité.

2 - On actionne le bouton. Calculer :

a ) la probabilité P1 que la bille soit avalée.

b ) la probabilité P2 qu'elle reste sur la cible.

Une partie se déroule selon la règle ci-dessous. Pour jouer, on paye 0,50¿ et on actionne le boutonqui lance la bille :

- si la bille est avalée , on gagne une lot d'une valeur de g euros ;

- si la bille reste sur la cible sans être avalée, on est remboursé ;

- si la bille rate la cible, on perd la mise.

3 ) Déterminer complètement la loi de probabilité de gain d'un joueur : on recopiera et on com-plétera le tableau ci dessous ; aucune justication n'est demandée.

gainprobabilité

4 ) Montrer que l'espérance de gain d'un joueur en fonction de g est E = 0, 06g − 0, 38

On prévoit qu'un grand nombre de parties seront jouées.

Pour quelles valeurs de g les organisateurs peuvent ils espérer un bénéce ?


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Solutions :

1 ) arbre de probabilité

b

b

C0; 3 b B > P (C \ B) = 0; 060; 2b B > P (C \ B) = 0; 240; 8

b C0; 72 a) P1 = P (C ∩B) = 0, 3 x 0, 2 = 0, 06

2 b) P2 = P (C ∩B) = 0, 3 x 0, 8 = 0, 24

3 )

gain−mise = solde = xi −0, 5 0 g − 0, 5∑

Probabilité P (X = xi) 0, 7 0, 24 0, 06 1xipi −3, 5 0 0, 06g − 0, 03 0, 06g − 0, 38

4 a) Espérance E(X) = 0, 06g − 0, 38

4 b) Bénéce réalisé pour E(X) > 0 : 0, 06g − 0, 38 > 0⇔ 0, 06g > 0, 38⇔ g > 0,380,06

g > 6,33 ¿


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Chapter 31

DÉNOMBREMENT

31.1 TIRAGE SUCCESSIF AVEC REMISE

Soit une urne opaque comprenant 5 boules numérotées de 1 à 5.

Nous allons tirer au hasard 1 boule, nous notons son numéro puis replaçons cette boule dans l'urne.Nous recommençons ce tirage 3 fois. Il s'agit donc de tirages successifs avec remise .

Avec cette technique nous pouvons établir pour la première boule l'arbre suivant :

b

b 1b 2b 3b 4b 5

Imaginons que la boule 3 ait été tirée au premier tirage. Recommençons notre expérience. Nousobtenons l'arbre suivant :


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308 CHAPTER 31. DÉNOMBREMENT

b

b 1b 2b

3b 1b 2b 3b 4b 5b 4

b 5Imaginons que la boule 4 ait été tirée au second tirage. Recommençons notre expérience. Nousobtenons l'arbre suivant :

b

b 1b 2b

3b 1b 2b 3b

4b 1b 2b 3b 4b 5b 5b 4

b 5Finalement il y a 5 choix possibles pour la 1ère boule, pour chaque boule il y a encore 5 choixpossibles pour la seconde et encore 5 choix possibles pour la troisième soit :

5 x 5 x 5 = 53 = 125 tirages possibles.

Exercice 1 :

Combien y a-t-il de codes bancaires à 4 chires, XXXX ?

Le premier chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 10

le second chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 10 x 10

le troisième chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 10 x 10 x 10

le quatrième chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 10 x 10 x 10 x10 = 104 = 10000


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31.2. TIRAGE SUCCESSIF SANS REMISE 309

Exercice 2 :

Combien y a-t-il de numéros de téléphones à 10 chires, XXXXXXXXXX ?

Le premier chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 10,le second chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 10 x 10,le troisième chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 10 x 10 x 10,le quatrième chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 10 x 10 x 10 x 10 = 104,.... ,le dixième chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 10 x 10 x 10 x10 x 10 x 10 x 10x 10 x 10 x 10 = 1010 = 10 000 000 000 numéros de téléphones !

Exercice 3 :

Combien y a t il de numéros de téléphones à 10 chires, qui commencent par 06 ?

Le premier chire prend la valeur : 0, soit 1 choix : 1

Le second chire prend la valeur : 6, soit 1 choix : 1 x 1

le troisième chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 1 x 1 x 10

le quatrième chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 1 x 1 x 10 x 10

...

le dixième chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 1 x 1 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10x 10 x 10 x 10 = 108 = 100 000 000 numéros de téléphones !

Bien entendu, il y a autant de numéros de téléphone commençant par 07, 08, 09, ...

Généralisations du tirage avec remise

Soit une urne comprenant n boules numérotées de 1 à n, et si on eectue p tirages successifsavec remise, alors on obtient :

n choix pour la première boule multiplié par n choix pour la seconde multiplié par n choixpossible pour la .... et ainsi de suite jusqu'au pieme tirage :

n x n x ... x n = np

31.2 TIRAGE SUCCESSIF SANS REMISE


Nous allons tirer au hasard 1 boule, nous notons son numéro. Dans l'urne il ne reste que 4 boules.Nous recommençons ce tirage 3 fois. Il s'agit donc de tirage successifs sans remise .

Avec cette technique nous pouvons établir pour la première boule l'arbre suivant :


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b

b 1b 2b 3b 4b 5

Imaginons que la boule 3 ait été tirée au premier tirage.

b

b 1b 2b

3 b 1b 2b 4b 5b 4

b 5Recommençons notre expérience.Imaginons que la boule 4 ait été tirée au second tirage. Recommençons notre expérience. Nousobtenons l'arbre suivant :

b

b 1b 2b

3 b 1b 2b

4 b 1b 2b 5b 5b 4

b 5Finalement : il y a 5 choix possibles pour la 1ère boule, puis il y a 4 choix possibles pour la secondeboule, puis il y a 3 choix possibles pour la troisième boule, soit : 5 x 4 x 3 = 60 tirages possiblessuccessifs sans remise.


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Exercice 4 :

Il y a une course de chevaux de 18 partants. Combien y a-t-il de tiercés dans l'ordre possible ?

Il y a 18 choix possibles pour le 1er cheval , puis il y a 17 choix possibles pour le second cheval ,puis il y a 16 choix possibles pour le troisième cheval, soit : 18 x 17 x 16 = 4896 tiercés possiblesdans l'ordre.

Exercice 5 :

Soit une commode à 5 tiroirs, combien y a-t-il de manière de ranger 3 chemises dans ces 5 tiroirs ?

avec le choix de mettre plusieurs chemises par tiroir il y a 5 choix possibles pour la 1ère chemise,puis il y a 5 choix possibles pour la seconde chemise, puis il y a 5 choix possibles pour la troisièmechemises, soit : 5 x 5 x 5 = 125 façons possibles de ranger les chemises.

avec le choix de mettre une seule chemise par tiroir il y a 5 choix possibles pour la 1ère chemise,puis il y a 4 choix possibles pour la seconde chemise, puis il y a 3 choix possibles pour la troisièmechemises, soit : 5 x 4 x 3 = 60 façons possibles de ranger les chemises.

Cas particulier


Nous allons tirer au hasard 1 boule, nous notons son numéro. Dans l'urne il ne reste que 4 boules.Nous recommençons ce tirage 5 fois. Il s'agit donc de tirage successifs sans remise .

On obtient donc : 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 que l'on écrit 5 ! ( se lit 5 factorielle ou factorielle 5).

Soit une urne opaque comprenant n boules numérotées de 1 à n. On obtient donc :

n x (n - 1) x ( n - 2 ) x ... x 3 x 2 x 1 = n !

de plus par convention 0 ! = 1

Exercice 6 :

anagramme : "renversement de lettres", est une construction qui inverse ou permute les lettresd'un mot ou d'un groupe de mots pour construire un mot nouveau (ayant un sens ou non).

Combien y a t il d'anagrammes du mot ABC ?

Le raisonnement est identique. Nous pouvons dresser l'arbre :


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b

b

A b

Bb C

b

Cb B

b

B b

Ab C

b

Cb A

b

C b

Ab B

b

Bb A

il existe donc 3 x 2 x 1 = 3 ! = 6 anagrammes du mot ABC

Exercice 7 :

Combien y a-t-il d'anagrammes du mot élèves ?

Le raisonnement est identique ( ici toutes les lettres sont distinctes).

Il existe donc 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6 ! anagrammes du mot élèves.

Exercice 8 :

Combien y a-t-il d'anagrammes du mot eleves ( ici toutes les lettres ne sont pas distinctes, répétitionde la lettre e) ?

Pour mieux nous repérer notons les lettres e de la façon suivante : e1 , e2 , e3 . Combien y a til de façons de permuter e1 , e2 , e3 . ? il y a 3 ! façons de permuter ( comme avec le mot ABC).

Finalement le nombre d'anagrammes du mot eleve (sans accent) est :6!3!

= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 13 x 2 x 1

=120.


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Exercice 9 :

Dans un mot il peut y avoir 2 doublons. Considérons le mot attristees et que chaque lettresoit diérente.

il y a 10 ! arrangements pour toutes les lettres

il y a 3 ! arrangements pour la lettre t

il y a 2 ! arrangements pour la lettre s

il y a 2 ! la lettre e

Il y a donc :10!

3! x 2! x 2!anagrammes du mot attristees.

Attention : 3 ! x 2 ! n'est pas égal à 6 !

Exercice 10 :

Combien y a-t-il d'anagrammes du mot ATTRIBUTION ?

Ce mot comprend 11 lettres, comprenant les doublons suivants : 3 T et 2 I . Il y a donc :11!

3! x 2!= 3326400 anagrammes diérents !

Généralisations du tirage sans remise

Soit une urne comprenant n boules numérotées de 1 à n, et si on eectue p tirages successifssans remise, alors on obtient

n choix pour la première boule multiplié

par (n-1) choix pour la seconde multiplié

par .... et ainsi de suite jusqu'au pieme tirage :

n x (n− 1) x (n− 2)... x [(n− (p− 1)] = n x (n− 1) x (n− 2)... x (n− p+1) qui s'écrit aussi Apn

Apn = n x (n− 1) x (n− 2)...x [(n− (p− 1)] = n x (n− 1) x (n− 2)... x (n− p+1).

C'est le nombre de p Arrangements pris parmi n .

Dans les exemples précédents, dans le cas :

- de l'urne le nombre d'arrangements de 3 parmi 5 boules : A35 = 5 x 4 x 3

- du tiercé le nombre d'arrangements de 3 parmi 18 chevaux : A318 = 18 x 17 x 16

Généralisons ce dernier cas Apn

Apn = n x (n− 1) x (n− 2)... x (n− p + 1).

Apn = n x (n− 1) x (n− 2)... x (n− p + 1) x (n−p)!

(n−p)!

Apn = n!

(n−p)!


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31.3 TIRAGE SIMULTANÉ SANS REMISE


Si nous reprenons l'exemple du tirage successif sans remise avec les boules 1,2,3 nous pouvionsobtenir les arrangements suivants :

123, 132, 213, 231, 312, 321 soit 3 ! arrangements

mais on peut raisonner avec les boules 1,3,4 et obtenir les arrangements suivants : 134, 143, 314,341, 413, 431 soit 3 ! arrangements mais on peut raisonner avec les boules 1,3,4 ... et caetera doncen tout nous aurions obtenu :

A35 = 5 x 4 x 3 = 5!

(5−3)!= 60 arrangements successifs sans remise.

Reprenons le problème ci dessus mais maintenant, nous allons tirer simultanément 3 boules.

- les 3 ! arrangements 123, 132, 213, 231, 312, 321 sont réduits à une seule possibilité la partie quicomprend les éléments 1, 2, 3

- les 3 ! arrangements 134, 143, 314, 341, 413, 431 sont réduits à une seule possibilité la partie quicomprend les éléments 1, 3, 4

- les 3 ! arrangements 345 sont réduits à une seule possibilité la partie qui comprend les éléments3, 4, 5.

En fait il y a un rapport entre le tirage successif sans remise et le tirage simultané sans remise, cerapport est ici de 3 !

Le nombre de tirage simultané : A35

3!qui s'écrit C3

5 c'est à dire le nombre de parties à 3 élémentsd'un ensemble qui en contient 5.

C35 = 5 x 4 x 3

3 x 2 x 1= 10

Résumé :

Si dans une urne qui contient n boules, je prélève p boules simultanément c'est à dire le nombrede parties à p éléments d'un ensemble qui contient n éléments :

Cpn = Ap

n

p!= n!

p!(n−p)!car Ap

n = n!(n−p)!

C0n = 1 c'est à dire le nombre de parties à 0 élément d'un ensemble qui contient n éléments soit

l'ensemble vide.

C1n = n c'est à dire le nombre de parties à 1 élément d'un ensemble qui contient n éléments.

Cnn = 1 c'est à dire le nombre de parties à n éléments d'un ensemble qui contient n éléments

soit la n partie pleine.


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31.3. TIRAGE SIMULTANÉ SANS REMISE 315

Exemple 11 :

Soit une classe de 20 élèves, comprenant 12 garçons et 8 lles.

Combien d'équipes de 4 joueurs de tarot peut on former ?

Il y a C420 = 4845 équipes diérentes, c'est à dire le nombre de parties à 4 éléments d'un ensemble

qui contient 20 éléments.

Combien d'équipes de 4 garçons peut on former ?

Il y a C412 =495 équipes garçons diérentes, c'est à dire le nombre de parties à 4 éléments d'un

ensemble qui contient 12 éléments.

Combien d'équipes de 4 lles peut on former ?

Il y a C48 =70 équipes lles diérentes, c'est à dire le nombre de parties à 4 éléments d'un ensemble

qui contient 8 éléments.

Combien d'équipes de 4 joueurs de même sexe peut on former ?

C412 + C4

8 = 495 + 70 = 565 équipes de même sexe.

Combien d'équipes de 1 garçon peut on former( donc + 3 lles) ?

C112 x C3

8 = 12 x 56 = 672

Remarques :

on emploiera toujours Cpn quand il s'agit de trouver le nombre de parties à p éléments d'un

ensemble qui contient n éléments. C'est le cas d'une grille de loto ou il faut choisir 6 élémentsparmi 49 : C6

49

on emploiera toujours Apn quand il s'agit de le tirage successif sans remise.

Exemple 12 :

Soit un jeu de 32 cartes. Formons des mains (distributions) de 5 cartes.

Combien y a-t-il de mains possibles ?

C532 le nombre de parties à 5 cartes d'un ensemble qui contient 32 cartes.

Combien y a-t-il de mains comportant 2 as (donc + 3 cartes) ?

C24 x C3

28 soit 2 as parmi 4 et 3 cartes parmi les 28 restantes.

Combien y a-t-il de mains comportant 3 c÷urs (donc + 2 cartes) ?

C38 x C2

24 soit 3 c÷urs parmi 8 et 2 cartes parmi les 24 restantes.

Combien y a-t-il de mains comportant 1 roi et 1 sept (donc + 3 cartes) ?

C14 x C1

4 x C324 soit 1 roi parmi 4 et soit 1 sept parmi 4 et 3 cartes parmi les 24 restantes.


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Combien y a-t-il de mains comportant au moins 1coeur (donc 1 ou 2 ou 3, 4 ou 5 c÷urs) ?

Utilisons une astuce : il y a C532 mains possibles, il y a C5

24 mains qui n'ont pas de c÷urs. Parconséquent il y a : C5

32 − C524 mains comportant au moins 1coeur.

Combien y a-t-il de mains comportant 2 as et 2 c÷urs (donc + 1 carte ; attention à la dicultéde l'as de c÷ur !) ?

Considérons l'as de c÷ur à part : C23 x C2

7 x C121 soit 2 as parmi 3 et 2 c÷urs parmi 7 et 1 carte

parmi les 21 restantes (11 cartes éliminées : 7 c÷urs + 4 as ).

Ce sont toutes les mains ne contenant pas l'as de c÷ur.

Rajoutons toutes les mains comprenant l'as de c÷ur :

C23 x C2

7 x C121 + C1

1 x C13 x C1

7 x C221

soit 1 as de c÷ur parmi 1 + 1 as parmi 3 + 1 c÷ur parmi 7 + 2 cartes parmi les 21 restantes.

C11 x C1

3 x C17 x C2

21 représente toutes les mains comprenant que l'as de c÷ur.


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Chapter 32

LOI BINOMIALE

Rappel : si les évènements sont indépendants : P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

32.1 DÉFINITION

Lançons 10 fois de suite une pièce de monnaie truquée. La probabilité d'avoir face est de P(F) =0, 4 donc la probabilité d'avoir pile est de P(P) =0, 6. F et P sont des événements contraires,P(F) + P(P) = 1. L'épreuve qui consiste à lancer une pièce de monnaie qui peut déboucher surdeux issues soit une face soit sur pile. Cette épreuve porte le nom d'épreuve de BERNOULLI .

Si la probabilité de succès est : p alors la probabilité d'échec est : q = 1- p.

b

b Fa e; Su es;Bon0; 4b Pile; E he ;Defe tueux0; 6

La pièce est lancée 10 fois. Soit X la variable aléatoire qui associe le nombre k de Faces .

La probabilité d'avoir 0 face : P(X = 0) = (1− 0, 4)10 = 0, 610 car

P(P) =0, 6 x 0, 6 x 0, 6 x 0, 6 x 0, 6 x 0, 6 x 0, 6 x 0, 6 x0, 6 x 0, 6

La probabilité d'avoir 10 faces : P(X = 10) = 0, 410.

On dit que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n = 10, p = 0, 4. qui s'écritX → B(10; 0, 4).

Calculons P(X=1), P(X=9).

Calcul de P(X=1) :

Pour 1 face ⇒ FPPPPPPPPP = 0, 41 x 0, 69 ou

Pour 1 face ⇒ PFPPPPPPPP = 0, 41 x 0, 69 ou

Pour 1 face ⇒ PPFPPPPPPP = 0, 41 x 0, 69 etc...

....


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318 CHAPTER 32. LOI BINOMIALE

Pour 1 face ⇒ PPPPPPPPPF = 0, 41 x 0, 69

La diérence de ces résultats est l'ordre dans lequel intervient le côté Face. Tous ces évènementssont bien sûr des évènements indépendants. En fait nous faisons le calcul de 0, 4 x 0, 69 10 fois soitP (X = 1) = 10 ∗ 0, 41 ∗ 0, 69 .Calcul de P (X = 9) :pour 9 faces ⇒ PFFFFFFFFF = 0, 61 x 0, 49

pour 9 faces ⇒ FPFFFFFFFF= 0, 61 x 0, 49

pour 9 faces ⇒ FFPFFFFFFF = 0, 61 x 0, 49 etc...pour 9 faces ⇒ FFFFFFFFFP = 0, 61 x 0, 49

et cela 10 fois comme ci dessus soit : P (X = 9) = 10 x 0, 61 x 0, 49 . La somme des exposants estégal au nombre d'évènements : 10.

Problématique :

Calculer P(X = 3) ; P(X = 2) ; P(X = 7) ? ces questions amènent une réponse diérente decelle vues jusqu'à présent. Comment les déterminer ? tout simplement en ayant recours audénombrement (section suivante et chapitre précédent).

32.2 EXEMPLE CLASSIQUE

Une entreprise fabrique un article et dans la production il y a 8% d'articles défectueux. On yprélève un échantillon de 30 articles. On suppose la production susamment importante pourque ce tirage soit assimilé à un tirage avec remise ( c'est à dire que cette façon de faire estéquivalente à prélever un article, noter si ce dernier est défectueux ou non, puis remettre l'articledans la production et on recommence l'opération 30 fois. Les 30 épreuves successives sont doncconsidérées comme indépendantes).Soit X la variable aléatoire qui associe le nombre k d'articles défectueux . On dit que Xla variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres n = 30, p = 0, 08. qui s'écrit X →B(30; 0, 08).P(X = 0) = 0, 9230

P(X=30) = 0, 0830

0, 081 x 0, 9229 est vrai pour le premier article défectueux mais cela pourrait être pour n'importequel article prélevé donc pour les 30 articles P(X = 1) = 30 ∗ 0, 081 x 0, 9229

Pour 29 articles : P(X = 29) = 30 ∗ 0, 0829 ∗ 0, 921 . L'article non défectueux peut prendre 30positions.

Problématique :

Calculer P(X = 5) ; P(X < 3) ; P(X ≥28) ? ces questions amènent une réponse diérente decelle vues jusqu'à présent. Comment les déterminer ? tout simplement en ayant recours audénombrement (section suivante et chapitre précédent).


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32.3. RAPPEL DE DÉNOMBREMENT 319

32.3 RAPPEL de DÉNOMBREMENT

Combien y a-t-il d'anagrammes du mot ABC ? voici les 6 anagrammes du mot ABC que l'on peutformer : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA (chapitre précédent). Il existe donc 3 x 2 x 1 = 3! = 6anagrammes du mot ABC. Le mot obtenu pouvant avoir ou non une signication!n x (n - 1) x ( n - 2 ) x ... x 3 x 2 x 1 = n !

b

b

A b

Bb C

b

Cb B

b

B b

Ab C

b

Cb A

b

C b

Ab B

b

Bb A

Combien y a-t-il d'anagrammes du mot ETE ? Numérotons les lettres en E1TE2 , pareillement àABC. Il existe donc 3 x 2 x 1 = 3 ! = 6 anagrammes du mot E1TE2 .Considérons les lettres E1E2 . Il y a 2 ! façons de les permuter, par conséquent le nombred'anagrammes du mot ETE est : 3!

2!= 3x2x1

2x1= 3.

Voici les 3 seuls anagrammes : ETE, TEE, EET.Attention : dans un mot nous pouvons avoir 2 doublons. Prenons par exemple le mot MISSISSIPI.Supposons toutes les lettres distinctes. Nous avons 10 ! anagrammes diérents.Considérons maintenant que les 4 lettres i sont les mêmes ainsi que les 4 lettres s .MI1S1S2I2S3S4I3PI4 . le nombre d'anagrammes est 10!

4!x4!.

Exercice :

Combien y a-t-il d'anagrammes du mot FFFPPPPPPP qui contient 10 lettres ?10!

3! x 7!anagrammes du mot FFFPPPPPPP.

32.4 GÉNÉRALISATION

Soit le mot SS....SEE......E qui contient n lettres et qui contient k lettres S donc n-k lettresE.


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Il y a donc n!k! (n−k)!

anagrammes du mot SS....SEE......E

on écrit Ckn = n!

k! (n−k)!; C3

10 = 10!3! (10−3)!

= 10!3! 7)!

= 10 x 9 x 8 x 7!3 x 2 x 1 x 7!

= 10 x 3 x 4 = 120

Revenons à notre problématique : le lancer de pièces : X → B(10; 0, 4).

Calcul de P(X = 3) ?

3 faces ⇒ FFFPPPPPPP = 0, 43 x 0, 67

3 faces ⇒ PPFFFPPPPP = 0, 43 x 0, 67 .

En fait, cela revient à chercher le nombre d'anagrammes d'un mot de 10 lettres comprenant desdoublons (3 fois F et 7 fois P) donc : 10!

3!x7!

Finalement P(X = 3) = 10!3!x7!

x 0, 43 x 0, 67

Calcul de P(X = 2)

2 faces ⇒ PPFFFPPPPP = 0, 42 x 0, 68 donc P(X = 2) = 10!2!8!

x 0, 42 x 0, 68

Revenons à notre problématique : la production de 30 pièces : X → B(30; 0, 08). CalculerP(X =5) ; P(X <3) ; P(X ≥ 28) ?

Calcul de P(X = 5)

P(X = 5) = 30!5!25!

x 0, 085 x 0, 9225.


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32.5. RÉDACTION EXERCICE TYPE 321

32.5 RÉDACTION EXERCICE TYPE

Considérons n épreuves binaires (de BERNOULLI) présentant chacune 2 issues : soit Succès,soit Échec, avec une probabilité p de Succès et une probabilité d'Échec q=1-p. On s'intéresseau nombre k de Succès. Soit X associant le nombre k de succès, X suit une loi binomiale deparamètre n et p que l'on note X → B(n; p).

P(X = k)⇒ k fois Succès suivi de (n− k) Echecs ⇒ SSSEEEEEE

P(X = k) = n!k!(n−k)!

x pk(1− p)n−k pour toutes les combinaisons.

Ckn = n!

k!(n−k)!donc P(X = k) = Ck

npk(1− p)n−k

Revenons à notre problème de production de 30 pièces : X → B(30; 0, 08).

Calcul de P(X = 3)

P(X = 3) = C330 x 0, 083 x 0, 9227

Lorsque l'on est en présence de n épreuves indépendantes, présentant chacune deux issues (Succès,Échecs), avec une probabilité de succès p et une probabilité d'échec q = 1 - p, alors la variablealéatoire X associant le nombre k de succès, suit une loi binomiale de paramètre n et p que l'on note X → B(n; p).

avec P(X = k) = Cknpk(1− p)n−k

L'espérance mathématique : E(X) = np

La variance : V(X) = np(1-p)

L'écart type : σ =√

V(X)

En cas de doute, ces dernières formules gurent dans le formulaire BTS !

Exercice 1 :

Il s'agit du problème de production d'articles avec un prélèvement d'un échantillon de 30 articles.

Question : quelle est la loi de probabilité de X ?

Réponse : comme l'on est en présence de 30 épreuves indépendantes, présentant chacune deuxissues :

- soit la pièce prélevée est défectueuse avec une probabilité p = 0, 08

- soit elle ne l'est pas avec une probabilité q = 0, 92,

par conséquent la variable aléatoire X qui associe le nombre k de pièces défectueuses suitune loi binomiale de paramètre n = 30 et p = 0, 08 que l'on note X → B(30; 0, 08) avecP(X = k) = Ck

30 x 0, 08k x 0, 9230−k.

Exercice 2 :

Une urne contient 20 boules numérotées comprenant 5 boules rouges et 15 boules vertes. Oneectue 10 tirages successifs avec remise de chaque boule.

Soit X la variable aléatoire qui associe le nombre de boules rouges tirées,

- quelle est la loi de probabilité de X ?


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- quelle est la probabilité d'avoir 2 boules rouges ?

- quelle est la probabilité d'avoir au moins 1 boule rouge ?

- quelle est l'espérance mathématique, la variance et l'écart type ?

Comme nous sommes en présence de 10 épreuves aléatoires indépendantes, présentant chacune 2issues, une boule rouge est tirée avec une probabilité P(R) = 5

20= 1

4= 0, 25 par conséquent la

probabilité de tirer une boule verte est l'événement contraire P(V) = 1− 0, 25 = 1520

= 34

= 0, 75.

La variable aléatoire X qui associe le nombre k de boules rouges tirées suit une loi binomialede paramètre n = 10, p = 0, 25 que l'on note X → B(10; 0, 25).

La probabilité d'avoir k boules rouges est P(X = k) = Ck10 x 0, 25k x 0, 7510−k.

La probabilité d'avoir 2 boules rouges :

P(X = 2) = C210 x 0, 252 x 0, 758 ' 0, 28

La probabilité d'avoir au moins 1 boule rouge est P (X ≥ 1) soit

P(X = 1)+ P(X = 2) +....+ P(X = 10) mais au lieu de calculer la somme de toutes ces probabilitéspartielles nous allons passer par l'évènement contraire de au moins 1 qui est zéro .

P(X = 0) = 1− (C010 x 0, 250 x 0, 7510) = 1− (1 x 1 x 0, 7510) ' 0, 94.

L'espérance mathématique est :E(X) = np= 10 x 0, 25 = 2, 5.

La variance est : V(X) = np(1− p)= 2, 5 x 0, 75 = 1, 875

et l'écart type σ =√V (X) =

√1, 875 ' 1, 36

Exercice 3 :

Reprenons le problème de début du chapitre. Lançons 10 fois de suite une pièce de monnaietruquée.

La probabilité d'avoir face est de P(F)= 0,4 et donc la probabilité d'obtenir pile P(P)=0,6. SoitX la variable aléatoire qui associe le nombre k de Faces .

Calculer les probabilités suivantes : P(X=0), P(X=10), P(X=1), P(X=3), P(X=8), P(X ≤ 3).

La variable aléatoire X qui associe le nombre k de Faces tirées suit une loi binomiale deparamètre n = 10, p = 0, 4 que l'on note X ⇒ B(10; 0, 4).

La probabilité d'avoir k faces est P(X = k) = Ck10 x 0, 4k x 0, 610−k.

P(X = 0) = C010 x 0, 40 x 0, 610 = 1 x 1 x 0, 006 ' 0, 006

P(X = 10) = C1010 x 0, 410 x 0, 60 = 1 x 0, 0001 x 1 ' 0, 0001

P(X = 1) = C110 x 0, 41 x 0, 69 = 1 x 0, 4 x 0, 011 ' 0, 004

P(X = 3) = C310 x 0, 43 x 0, 67 = 120 x 0, 064 x 0, 028 ' 0, 215

P(X = 8) = C810 x 0, 48 x 0, 62 = 45 x 0, 00065 x 0, 36 ' 0, 01

P(X ≤ 0, 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = C110 x 0, 41 x 0, 69 + C2

10 x 0, 42 x 0, 68 ' 0, 004 + 0, 120 ' 0, 125.

Le nom de loi binomiale provient du fait qu'elle correspond aux termes successifs du développementde la formule du binôme de Newton.


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Exercice 4 :

Une entreprise fabrique un article et dans la production il y a 30% d'articles défectueux. On yprélève un échantillon sur 20 articles. On suppose la production susamment importante pourque ce tirage soit assimilé à un tirage avec remise ( c'est à dire que cette façon de faire estéquivalente à prélever un article, noter si ce dernier est défectueux ou non, puis remettre l'articledans la production et on recommence l'opération 20 fois. Les 20 épreuves successives sont doncconsidérées comme indépendantes).

Soit X la variable aléatoire qui associe le nombre k d'articles défectueux . On dit que X lavariable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres n = 20, p = 0, 3. qui s'écritX → B(20; 0, 3).

b

b Defe tueux0; 3b Nondefe tueux0; 7

P(X = 0) = 0, 720

P(X = 1) = 20 x 0, 31 x 0, 719

P(X = 19) = 20 x 0, 319 x 0, 71

P(X = 20) = 0, 320

Notre problématique était de calculer : P(X =7) ; P(X < 3) ; P(X ≥ 18) ... etc ! ces questionssont résolues grâce au dénombrement. Pour P(X=7) nous avons :

FFFFFFFPPPPPPPPPPPPP soit : 20!7! (20−7)!

= 20!7!13!

= C720

P(X = 7) = C720 x 0, 37 x 0,713

De même pour les calculs des probabilités suivantes, nous eectuons le même raisonnement et nousobtenons :

P(X = 3) = C320 x 0, 33 x 0, 717)

P(X = 4) = C420 x 0, 34 x 0, 716)

Exercice 5 :

Un client commande un lot de 150 composants. on assimile le choix des composants à des tiragessuccessifs avec remise. La probabilité que le composant est défectueux est de 10%. On note X lavariable aléatoire qui représente le nombre de composants défectueux que contient ce lot.

1) Justier le fait que la variable aléatoire X suit une loi binomiale, et donner les paramètres decette loi.

2) Donner l'espérance et l'écart type de la variable aléatoire X.

3) Calculer la probabilité d'avoir exactement 4 composants défectueux dans le lot. (Arrondir lerésultat au millième).

Rédaction type de la solution :


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Comme on est en présence de 150 épreuves indépendantes, présentant chacune deux issues,

- soit le composant est défectueux avec une probabilité p=10%=0,1

- soit il ne l'est pas avec une probabilité q =1 - 0,1= 0,9

Par conséquent la variable aléatoire X associant le nombre k de composant défectueux, suit uneloi binomiale de paramètres n = 150 et p = 0,1, que l'on note :

loi binomiale : X → B(150; 0, 1) avec la probabilité :

P(X = k) = Ck1500, 1k(0, 9)150−k et la

Espérance (qui correspond à une moyenne) : E(X)=150 x 0,1 = 15

Variance : V(X) = 15 x 0, 9 = 13, 5

Écart type : σ(X) =√

13, 5 = 3, 674

P(X = 4) = C4150 x 0, 14 x 0, 9146


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Exercice 6 :

La probabilité pour qu'un tireur atteigne une cible est de 1/3, les tirs sont supposés indépendantsles uns des autres.

- sachant qu'il tire 5 fois, qu'elle est la probabilité pour qu'il atteigne la cible au moins deux fois?

- Combien de fois doit il tirer pour que la probabilité d'atteindre au moins une fois la cible soitplus grande que 0,9?

Solution :

Soit au 1er tir il touche la cible, soit il la rate. Au second tir, soit il touche la cible, soit il la rate,etc...

Comme on est en présence d'épreuves indépendantes, présentant chacune deux issues,

- soit la cible est atteinte avec une probabilité p = 1/3

- soit elle ne l'est pas avec une probabilité q =1 - 1/3 = 2/3

Par conséquent la variable aléatoire X associant le nombre 5 de tirs, suit une loi binomiale deparamètres n = 5 et p = 1/3, que l'on note :

loi binomiale : X → B(5; 1/3) avec la probabilité :

P(X = k) = Ck5 x 1

3

kx (2

3)5−k et la

Espérance (qui correspond à une moyenne) : E(X)=5 x (1/3) = 5/3

Variance : V(X) = 53

x 23

= 109


109

P(X = 4) = C4150 x 0, 14 x 0, 9146

Probabilité pour qu'il atteigne la cible au moins deux fois : P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

Ce raisonnement est correct mais trop long et lourd en calcul. Il est plus intéressant de passer parl'événement contraire :

P(X ≥ 2) = 1− P(X < 2) = 1− [P(X = 0) + P(X = 1)]

P(X ≥ 2) = 1− [(23)5 + C1

5 x (13)1x (2

3)4]

Probabilité d'atteindre au moins une fois la cible > 0,9 : soit P(X ≥ 1) > 0, 9

Nous tenons le même raisonnement que ci dessus.

P(X ≥ 1) > 0, 9 = 1− P(X < 1) > 0, 9

P(X ≥ 1) > 0, 9 = 1− P(X = 0) > 0, 9

−P(X = 0) > −1 + 0, 9

P(X = 0) < 0, 1⇔ (23)n < 0, 1

ln(23)n < ln(0, 1)⇔ n ln(2

3) < ln 0, 1

n > ln 0,1

ln( 23

)⇔ n > 5, 68 donc il faut au minimum 6 tirs.


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Chapter 33

EXERCICES - LOI BINOMIALE

33.1 RAPPEL DE RÉDACTION

Rédaction lors de la résolution d'un problème :Comme on est en présence de n épreuves indépendantes, présentant chacune deux issues, avec uneprobabilité de succès p et une probabilité d'échec q=1-p, alors la variable aléatoire X associantle nombre k de succès, suit une loi binomiale de paramètres n et p, que l'on note :loi binomiale : X → B(n; p) avec laprobabilité : P(X = k) = Ck

npk(1− p)n−k et laEspérance (qui correspond à une moyenne) : E(X)=npVariance : V(X) = np(1− p)


V(X)

En cas de doute, ces dernières formules gurent dans le formulaire de mathématique du BTS !

33.2 EXERCICE 1

Une compagnie a un contrat d'entretien pour 300 ascenseurs. On admet que chaque semaine, laprobabilité de panne d'un ascenseur est de 1

75.

On suppose l'indépendance entre les pannes d'un même ascenseur ainsi que de deux ascenseursdiérents.Soit X la variable aléatoire qui, à toute semaine, associe le nombre de pannes du parc complet desascenseurs.Partie A. Étude de X1) Indiquer pourquoi X suit une loi binomiale de paramètres n = 300 et p = 1

75.

2) Calculer, à 10−2 près, la probabilité pour que lors d'une semaine il y ait (strictement) moins de2 pannes.Solution :1) Comme on est en présence de 300 épreuves indépendantes, présentant chacune deux issues,avec une probabilité de panne de p = 1

75 et une probabilité qu'il ne tombe pas en panne de


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328 CHAPTER 33. EXERCICES - LOI BINOMIALE

q = 1− p = 75−175

= 7475, alors la variable aléatoire X associant le nombre k de panne, suit une loi

binomiale de paramètres n = 300 et p = 175, que l'on note :

loi binomiale : X → B(300; 175

) avec la

probabilité : P(X = k) = Ck300( 1

75)k(74

75)300−k

2) Strictement moins de 2 pannes : P(X<2)

P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)

P(X<2)=C0300( 1

75)0(74

75)300 + C1

300( 175

)1(7475

)299 = (7475

)300 + ( 175

)(7475

)299=0,09.

33.3 EXERCICE 2

Une société s'occupe de la saisie informatique de documents. Pour chaque document, une premièresaisie est retournée, pour vérication, au client correspondant.

Les résultats demandés seront donnés sous forme de valeurs décimales arrondies à 10−3.

Partie A

Pour chaque document, le délai de retour de la première saisie vers le client est xé à 2 semaines.Une étude statistique a montré que la probabilité qu'une saisie choisie au hasard soit eectivementretournée au client dans le délai xé est égale à : 0,9

On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de n saisies choisies au hasardpar tirage avec remise, associe le nombre de saisies pour lesquelles le délai de retour n'a pas étérespecté.

1a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X ?

b) Pour cette question, on suppose que n=20. Calculer la probabilité P(X=2).

Solution :

Comme on est en présence de 20 épreuves indépendantes, présentant chacune deux issues, avecune probabilité de remise de documents de p = 0, 9 et une probabilité, qu'il ne soit pas remis entemps voulu, de q = 1 − 0, 9 = 0, 1 alors la variable aléatoire X associant le nombre k de nonremise, suit une loi binomiale de paramètres n et p = 0, 1, que l'on note :

loi binomiale : X → B(n;0, 1) avec la

probabilité : P(X = k) = Ckn(0, 1)k(0, 9)n−k

2) Probabilité : P(X=2)

P(X = k) = Ckn(0, 1)k(0, 9)n−k

P(X = 2) = C220(0, 1)2(0, 9)18 = 0, 2851.

33.4 EXERCICE 3

On s'intéresse, dans cette partie à la masse des pots produits.

On considère l'évènement : un pot a une masse inférieure à 490grammes.

Une étude a permis d'admettre que la probabilité de cet évènement est 0,2.


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33.5. EXERCICE 4 329

1) On prélève au hasard 10 pots dans la production totale. On suppose que le nombre de pots estassez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 pots.

On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 10 pots, associe le nombre de potsdont la masse est inférieure à 490 grammes.

a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale. En préciser les paramètres.

b) Calculer la probabilité de l'évènement A parmi les 10 pots il y a exactement 2 pots dont lamasse est inférieure à 490 grammes.

Solution :

1a) Comme on est en présence de 10 épreuves indépendantes, présentant chacune deux issues,avec une probabilité, que le pot ait une masse < 490gr, de p = 0, 2 et une probabilité, qu'il nesoit < 490gr, de q = 1− 0, 2 = 0, 8 alors la variable aléatoire X associant le nombre k de pot demasse < 490gr, suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p = 0, 2, que l'on note :

loi binomiale : X → B(10;0, 2) avec la

probabilité : P(X = k) = Ck10(0, 2)k(0, 8)10−k

1b) Probabilité : P(X = 2) = C210(0, 2)2(0, 8)8 =0,302.

33.5 EXERCICE 4

On lance 10 fois de suite une pièce de monnaie truquée. L probabilité d'obtenir face à chaquelancer est de 0,3.

Soit la variable aléatoire X associant le nombre k de faces obtenu.

1a) Quelle est la loi de probabilité de X?

b) Calculer la probabilité d'obtenir au moins 2 fois face.

c) Quel doit être le nombre minimal n de lancers pour que la probabilité d'obtenir au moins unefois face soit supérieure à 0,999.

Solution :

1a) Comme on est en présence de 10 épreuves indépendantes, présentant chacune deux issues,avec une probabilité, d'obtenir face, de p = 0, 3 et une probabilité, d'obtenir Pile, de q =1−0, 3 = 0, 7 alors la variable aléatoire X associant le nombre k de Face, suit une loi binomialede paramètres n = 10 et p = 0, 3, que l'on note :

loi binomiale : X → B(10;0, 3) avec la

probabilité : P(X = k) = Ck10(0, 3)k(0, 7)10−k

b) Probabilité : P(X = 2) = C210(0, 2)2(0, 7)8 = 0, 2334

c) Nombre minimal de lancers :

soit X → B(n;0, 3) avec P (X ≥ 1) > 0, 999

comme P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0) alors P (X ≥ 1) > 0, 999⇔ 1− P (X = 0) > 0, 999

−P (X = 0) > −0, 001⇔ P (X = 0) < 0, 001 soit

P (X = 0) = C0n(0, 3)0(0, 7)n < 0, 001⇔ 0, 7n < 0, 001

ln 0, 7n < ln 0, 001 car la fonction ln est strictement croissante.


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330 CHAPTER 33. EXERCICES - LOI BINOMIALE

n ln 0, 7 < ln 0, 001⇔ n > ln 0,001ln 0,7

⇔ n > 19, 36

Attention ln 0,7 < ln 1 est négatif donc changement de sens du signe d'inégalité

donc il faut au minimum 20 lancers pour que la probabilité soit supérieure à 0,999!


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Chapter 34

LOI NORMALE

Rappel :

Une variable aléatoire est dite discrète si elle ne prend que des valeurs discontinues dans unintervalle donné (borné ou non borné). L'ensemble des nombres entiers est discret. En règlegénérale, toutes les variables qui résultent d'un dénombrement ou d'une numération sont de typediscrètes.

On dit que la variable aléatoire est discrète si elle ne prend que des valeurs isolées. C'est de la casde la variable X qui suit une loi binomiale.

34.1 INTRODUCTION

Dans le cas contraire, quand la variable aléatoire prend des valeurs dans l'ensemble des réels, ondit qu'elle est continue. C'est de la cas de la variable X qui suit une loi normale que nous étudionsdans ce chapitre.

La loi normale ou la loi de Laplace Gauss s'applique en général à une variable aléatoire con-tinue représentant un caractère résultant de nombreux facteurs indépendants, dont les eetss'additionnent, mais dont aucun n'est prépondérant.

Elle est caractérisée par deux paramètres qui sont la moyenne m et l'écart type σ.

Dans ce chapitre nous aurons à répondre à des problèmes de type :

Une machine fabrique des rondelles dont le diamètre suit une loi normale de moyenne 20mm etd'écart-type 1,3mm. Quelle est la probabilité qu'une rondelle prise au hasard soit :

< à 20,12mm?

> 21,4mm?

< 18,4 mm et > 22,4mm?

Soit X suit une loi normale de moyenne 20mm et d'écart-type 1,3mm, qui s'écrit : X→N(20 ; 1,3).

Les questions se traduisent donc par :

P(X<20,12)?

P(X≥ 21, 4)?

P(18, 4 ≤ X ≤ 22, 4)?


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332 CHAPTER 34. LOI NORMALE

34.2 ILLUSTRATION de CONTINUITÉ

Travaillons dans l'ensemble des entiers naturels N. Soit un intervalle de ce dernier [1 ;4]. Toutesces valeurs 1,2,3,4 sont placées dans une urne. Tirons au hasard une de ces valeurs.

Quelle est la probabilité de prélever le chire 2 : P(X=2) ?

P(X=2) = 14= 0,25

Quelle est la probabilité de prélever les chires < 3 : P(X <3) ?

P(X<3) = 24= 0,5 (il s'agit des chires 1 et 2).

Quelle est la probabilité de prélever les chires ≤ 3 : P(X≤ 3) ?

P (X ≤ 3) = 34

= 0, 75 (il s'agit des chires 1 et 2 et 3.

Jusqu'à présent toutes les valeurs utilisées étaient des nombres naturels. On parle alors de valeursdiscrètes.

Reprenons ce même exemple et maintenant travaillons dans l'ensemble des réels Z. Soit un inter-valle de ce dernier [1 ;4]. Toutes ces valeurs comprises entre 1 et 4 sont une innité. Il y a uneinnité de valeurs entre 1 et 2(1,01 ;1,001 ;1,000001...1,999999...), ainsi qu'entre 2 et 3, ainsi que... etc. . Nous parlons maintenant de valeurs continues.

Imaginons que l'on puisse placer tous ces nombres dans l'urne. Dans ce dernier cas, quelle est laprobabilité de prélever le chire 2 : P(X=2) ?

P(X=2) = 1∞ = 0

Quelle est la probabilité de prélever le chire 3 : P(X=3) ?

P(X=3) = 1∞ = 0

Quelle est la probabilité de prélever le chire 1,57 : P(X=1,57) ? P(X=1,57) = 1∞ = 0

Dans le cas d'un phénomène continu, la probabilité d'avoir une valeur xe est toujours nulle

mais attention : quelle est la probabilité d'obtenir une probabilité inférieure à 3 : P(X < 3) ?

P(X<3) = 23car ceci représente un intervalle entre 1 et 4 (deux parties sur trois ; voir gue

ci-dessus).

Quelle est la probabilité d'obtenir une probabilité : P(X ≤ 3) ? P(X≤ 3) =23la probabilité ne

change pas car :

P(X≤ 3) = P(X<3) + P(X=3) or P(X=3)=0 !

Par conséquent dans le cas d'un phénomène continu le sens strict (< ou > ) d'une inégalité ou lesens large (≤ ou ≥ ) est identique, par conséquent P(X≤ a) = P(X < a).

Ce qui est complètement diérent du domaine discret car dans l'utilisation d'une loi binomiale:


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34.3. EXEMPLE INTRODUCTIF 333

- P(X > 1) = 1- P(X=0) ( au moins 1 article) est diérent de

- P(X>1) = 1 - P(X≤1) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)] (plus d'un article). Dans le domaine du continu,les probabilités qui peuvent être évaluées sont celles qui correspondent à des intervalles entre deuxvaleurs dans le domaine continu.

34.3 EXEMPLE INTRODUCTIF

La durée de vol d'un avion de ligne entre PARIS et MARSEILLE est une variable aléatoire continue.La durée de vol est comprise entre 60 et 80 minutes. ( 60≤ X ≤ 80 ). Un voyageur prend un billetpour cette destination.

Quelle est la probabilité pour que la durée de vol soit P( 60≤ X ≤ 80 ) ? La réponse est évidenteest égale à P( 60≤ X ≤ 80 ) =100% =1

Quelle est la probabilité pour que la durée de vol soit P( X<60 ) ? P( X<60) = 0.

Quelle est la probabilité pour que la durée de vol soit P( X>80 ) ? P( X>80) = 0.

Quelle est la probabilité pour que la durée de vol soit P( X=65 ) ? P( X=65)=0 de mêmeP(X=64,9)=0.

La personne a autant de chance de mettre 65 mm que 64,9 mm que ... Soit une valeur exacteparmi une innité de valeurs : 1

∞ = 0

34.4 DENSITÉ de PROBABILITÉ

Imaginons que nous voulions modéliser le problème du phénomène continu ci dessus. Soit unefonction f dénie :

- f(x) = 120

pour ( 60≤ X ≤ 80 )

- f(x) = 0 pour x < 60 ou x > 80


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L'aire comprise entre 60 et 80 et f(x) est un rectangle, surface = hauteur x largeur soit :

A = (80 - 60 ) x 120

= 1. Aire =´ +∞−∞ f(x)dx = 1. Cette aire correspond à la surface grisée sur la

gure ci dessus.

Cette fonction est une fonction densité de probabilité.

Cette aire correspond à la probabilité : P( 60≤ X ≤ 80 ) = 1

Nous associons intuitivement aire et probabilité.

Quelle est la probabilité que la durée de vol soit : P( 60≤ X ≤ 65 ) ?

C'est tout simplement la surface comprise entre 60 et 65 :

A = (65 - 60 ) x 120

= 520

= 14= 0,25.

Quelle est la probabilité que la durée de vol soit : P(X=65) ?

C'est tout simplement la surface comprise entre 65 et 65 : A = (65 - 65 ) x 120

= 0.

La largueur du rectangle est devenue nulle !

Quelle est la probabilité que la durée de vol soit : P(X≤60) ?P(X≤ 60) = 0 . L'aire sous la courbe est égale à 0, la hauteur étant nulle.

34.5 DÉFINITION de la DENSITÉ de PROBABILITÉ

Une fonction f dénie sur R ou sur un intervalle de celui ci est dite densité de probabilité si :

- f(t) > 0 pour tout réel t

- la limite lorsque a et b tendent respectivement vers −∞ et +∞ de :´ baf(t)dt = 1 soit

´ +∞−∞ f(t)dt = 1

L'aire comprise entre l'axe des abscisses et le graphe de cette fonction est toujours égale à 1

Reprenons notre problème de petits avions :

- f(t) = 120

; pour 60 ≤ t ≤ 80

- f(t) = 0 pour t < 60 ou t > 80´ +∞−∞ f(t)dt =

´ 60

−∞f(t)dt +´ 80

60f(t)dt +

´ +∞80

f(t)dt =

0+´ 80

60f(t)dt + 0 =

´ 80

60f(t)dt = [ 1t

20]8060 = 1

20x [80− 60] = 1

Cela correspond à la surface grisée de la gure ci dessus!

Donc nous pouvons conclure que f est une densité de probabilité, donc pour calculer uneprobabilité nous calculerons une intégrale positive soit son aire.

34.6 VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE

Dénition : on dit que X est une variable aléatoire continue s'il existe une fonction densité f telleque pour tout réel x (que l'on nomme cumul des probabilités ou fonction de répartition ) :

F(x) = P(X≤ x) =´ x−∞f(t)dt

f est dite densité de la variable aléatoire X.


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34.7. LOI NORMALE 335

34.7 LOI NORMALE

Dénition : une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres m, σ notée N(m ; σ) sisa densité de probabilité est la fonction f dénie sur R par :

f(t) =1

σ√

2πe−

12

( t−mσ

)2

m représente la moyenne, σ représente l'écart type.

Une variable aléatoire s'exprimant comme une somme d'un grand nombre de variables indépen-dantes peut être approchée par une loi normale, plus particulièrement la loi binomiale.

PROPRIÉTÉS

Si x suit la loi normale de paramètres m, σ notée N(m ; σ) alors :

L'espérance mathématique : E(X) = m

La variance : V(X) = σ2

L'écart-type : σ(X) = σ

Graphe courbe en cloche (courbe de GAUSS) ou graphe de la loi normale

Sur le graphe ci dessus de la loi normale N(20 ;2) on voit bien que : f(t) > 0 et que l'aire´ x−∞ f(t)dt = 1, cette courbe est symétrique par rapport à l'axe vertical de valeur égale à lamoyenne m (ici m = 20) et l'écart type σ = 2.

Conséquences : P (X≤ m) = P (X≥ m) = 0, 5.


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Les graphes ci dessus montrent l'eet de l'écart type (σ = 1;σ = 2;σ = 3), la moyenne restantinchangée (m = 20).

Changement de variable

Si X suit une loi normale de paramètres m, σ (X →N(m ; σ) alors la variable aléatoire T suit laloi normale N(0 ; 1) appelée loi normale centrée réduite avec :

T = X−mσ

f(x) =1√2π

e−x2

2

Le graphe de la loi normale centrée réduite N(0 ;1) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées,sa moyenne m est égale à 0, l'écart type σ égal 1, l'aire sous le graphe est égal à 1.

Conséquences : P (X≤ 0) = P (X≥ 0) = 0, 5.


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34.8. LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE 337

34.8 LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE

notation : P (T ≤ t) =´ t−∞ f(x)dx =

´ t−∞

1√2πe−

x2

2 dx = Π(t)

correspondant à l'aire délimitée par l'axe des abscisses, la courbe et la droite d'équation x = t

Utilisation de la table de la loi normale centrée réduite : calculons P(X < 0) = Π(0)

L'aire sous la courbe à gauche de l'axe des ordonnées est égale à l'aire sous la courbe à droite del'axe des ordonnées, comme l'aire totale est égal à 1 ( f est une densité de probabilité ) alors :

P(T < 0) = Π(0) = 0, 5.

Lecture avec la table :

La table commence à 0,0 ce qui représente le centre du graphe (moyenne = 0) si bien que t = 0donne la probabilité (la surface) = 0, 5 ; les valeurs consignées dans la table sont situées à droitede 0 donc positives et situées à gauche de t.

Lecture directe :

P (t ≤ 1, 3) = Π(1, 3) = 0, 9032 ⇒ lecture verticale 14ème ligne 1ère colonne

P (t ≤ 1, 2) = Π(1, 2) = 0, 8849 ⇒ lecture verticale 1ère colonne

P (t ≤ 0, 47) = Π(0, 47) = 0, 6808 ⇒ 5ème ligne + 8ème colonne pour la 2ième décimale

P (t ≤ 1, 23) = Π(1, 23) = 0, 8907⇒ lecture verticale + lecture horizontale pour la 2ième décimale

P (t < 1, 12) = Π(1, 12) = 0, 8686⇒ lecture verticale + lecture horizontale pour la 2ième décimale

La table ne donne que les valeurs situées à gauche de t , donc par complémentarité à 1(airetotale = 1) , on peut obtenir les valeurs situées à droite de t .

P(t > 0, 74) = 1− P (t < 0, 74) = 1− Π(0, 74) = 1− 0, 7704 = 0, 2296.

La surface à droite est égale à 1 diminuée de la surface à gauche de 0,74 !


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P (t > 2, 3) = 1− P (t < 2, 3) = 1− Π(2, 3) = 1− 0, 9893 = 0, 0107.P (t > 1, 26) = 1− P (t < 1, 26) = 1− Π(1, 26) = 1− 0, 8962 = 0, 1038.La table ne donne que les valeurs positives, les valeurs négatives n'existent pas.Soit x une valeur négative : cette valeur négative représente l'aire située à gauche de 0 , doncpar symétrie cette valeur représente l'aire située à droite de + x , on peut donc écrire :P (t ≤ −1, 2) = P (t ≥ 1, 2)

P (t ≤ −1, 2) = P (t ≥ 1, 2) = 1− P (t ≤ 1, 2) = Π(−1, 2) = 1− Π(1, 2) = 1− 0, 8849 = 0, 1151

P (t ≤ −1, 4) = P (t ≥ 1, 4)

P (t ≤ −1, 4) = P (t ≥ 1, 4) = 1− P (t ≤ 1, 4) = Π(−1, 4) = 1− Π(1, 4) = 1− 0, 9192 = 0, 0808

de manière générale : Π(−t) = 1− Π(t) voir le bas de la table.P (a ≤ X ≤ b) = Π(b)−Π(a) c'est à dire la surface à gauche de b diminuée de celle à gauche de a.


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Sur le graphe ci dessus b = 2, 3 et a = 1, 2 Calcul de P(1, 2 < t < 2, 3) :P (1, 2 < t < 2, 3) = Π(2, 3)− Π(1, 2) = 0, 9893− 0, 8849 = 0, 1044

Calcul de P(0, 5 < t < 1, 3) :P(0, 5 < t < 1, 3) = Π(1, 3)− Π(0, 5) = Π(1, 3)− Π(0, 5)]P(0, 5 < t < 1, 3) = 0, 9032− 0, 6915 = 0, 2117

Calcul de P(−1, 2 < t < 1, 3) :P(−1, 2 < t < 1, 3) = Π(1, 3)− Π(−1, 2) = Π(1, 3)− [1− Π(1, 2)] = Π(1, 3)− 1 + Π(1, 2)P(−1, 2 < t < 1, 3) = 0, 9032− 1 + 0, 8849 = 0, 7881

Cas particulier intervalle centré en 0 :

P(−1 ≤ t ≤ 1) = Π(1)− Π(−1) = Π(1)− [1− Π(1)] = Π(1)− 1 + Π(1)

P (− ≤ 1t ≤ 1) = 2Π(1)− 1 = 2 x 0, 8413− 1 = 0, 6826 ; soit 1 écart type centré en 0.

P (−2 ≤ t ≤ 2) = 2Π(2)− 1 = 2 x 0, 9772− 1 = 0, 9544 ; soit 2 écarts type centré en 0.

P (−1, 96 ≤ t ≤ 1, 96) = 2Π(2)− 1 = 2 x 0, 975− 1 = 0, 95

Généralisation :

P(−a ≤ X ≤ a) = Π(a)− Π(−a) = Π(a)− [1− Π(a)] = Π(a)− 1 + Π(a) = 2Π(a)− 1


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Savoir eectuer une lecture inverse avec la table de la loi normale centrée réduite

exemple 1 P (X ≤ t) = 0, 8461⇔ Π(t) = 0, 8461Par lecture inverse de la table : 0, 8461⇒ t = 1, 02

P (X ≤ t) = 0, 8413Par lecture inverse de la table : 0, 8413⇒ t = 1

exemple 2

Quelle est la valeur de a pour laquelle : Π(a) = 0, 975 ?

P (T < a) = 0, 975⇔ Π(a) = 0, 975

Recherche dans la table de la valeur 0,975. Dans la table colonne 0,06 à l'intersection 0,975on lit 1,9 dans la colonne t donc Π(a) = Π(1, 96)⇔ a = 1, 96.

exemple 3

P(T ≤ t) = 0, 1587 ?

P(T ≤ t) = 0, 1587⇔Π(t) = 0, 1587

0, 1587 < 0, 5 donc t < 0

La valeur n'est pas dans la table, il faut donc trouver une méthode pour déterminer cette valeur.

Π(0) = 0, 5 comme Π(t) ≤ 0, 5 alors t est négatif, il se trouve à gauche de l'axe des ordonnéesdonc Π(t) < 0, 5 :

Π(−t) = 1− Π(t)⇔ Π(t) = 1− Π(−t)

0, 1587 = 1− Π(−t)⇔ −Π(−t) = 0, 1587− 1 = −0, 8413⇔ Π(−t) = 0, 8413

dans la table par lecture inverse on lit : Π(−t) = Π(1)⇔ −t = 1 donc t = −1

exemple 4

P(X ≤ t) = 0, 1655

Π(t) = 0, 1655

1− Π(−t) = 0, 1685⇒ −Π(−t) = 0, 1685− 1 = −0, 8315⇒ Π(−t) = 0, 8315

par lecture inverse 0, 8315⇒ −t = 0, 96 soit t = −0, 96


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exemple 5

cas intervalle centré en 0 :

P(−t ≤ x ≤ t) = 0, 95 donc2Π(t)− 1 = 0, 95⇒ 2Π(t) = 0, 95 + 1 = 1, 95)⇒ Π(t) = 1,95

2= 0, 975

par lecture inverse :Π(t) = Π(0, 975)⇒ t = 1, 96

P(−t ≤ x ≤ t) = 0, 90 donc2Π(t)− 1 = 0, 90⇒ 2Π(t) = 0, 90 + 1 = 1, 90)⇒ Π(t) = 1,90

2= 0, 95

par lecture inverse la valeur recherchée se trouve entre 2 valeurs 0,9495 et 0,9505 ; il faut faireune interpolation linéaire soit ici la moyenne de ces 2 valeurs :Π(t) = (0,9495+0,9505

2)⇒ t = 1,64+1,65

2= 1, 645


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exemple 6

soit une loi normale : X→ N(20; 2)

a) Quelle est la probabilité :P(X ≤ 22, 4)

b) Quelle est la probabilité : P(18, 4 ≤ X ≤ 21, 6)

c) Quelle est la probabilité : P(18 ≤ X ≤ 22)

Solutions :

a). Pour utiliser la table de loi normale centrée réduite, il faut eectuer un changement de variable.Si X→ N(20 ; 2) alors T → N(0 ; 1) loi normale centrée réduite avec T = X−20

2;

Calcul de P(X ≤ 22, 4) :

P (X ≤ 22, 4) = P (X−202≤ 22,4−20

2)⇔ P (T ≤ 1, 2).

par lecture : Π(1, 2) = 0, 8849 donc P (X ≤ 22, 4) = 0,8849

b). Calcul de la probabilité P(18, 4 ≤ X ≤ 21, 6) :

P(18, 4 ≤ X ≤ 22, 4) = P (18,4−202≤ X−20

2≤ 21,6−20

2)⇔ P (−0, 8 ≤ T ≤ 0, 8) ;

P (−0, 8 ≤ T ≤ 0, 8) = Π(0, 8) − Π(−0, 8) = Π(0, 8) − [1 − Π(0, 8)] = Π(0, 8) − 1 + Π(0, 8) =2Π(0, 8)− 1

par lecture de la table : Π(0, 8) = 0, 7881

P(18, 4 ≤ X ≤ 22, 4) = 2(0, 7881)− 1 = 0,5762

c). Calcul de la probabilité : P(18 ≤ X ≤ 22)

P(18 ≤ X ≤ 22) = P (18−202≤ X−20

2≤ 22−20

2) ⇔ P (−1 ≤ T ≤ 1) = 2Π(1) − 1 ; soit 1 écart type

centré en 0.

par lecture de la table : Π(1) = 0, 8413

P(18, 4 ≤ X ≤ 22, 4) = 2(0, 8413)− 1 = 0,6826


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Chapitre 35

OPÉRATIONS SUR LES VARIABLESALÉATOIRES

Soit une variable aléatoire X, on obtient :∑n1 pi = 1

Espérance mathématique : E(X) =∑n

1 xipi

Variance : V (X) =∑n

1 pi(Xi −E(X))2 ou son expression simpliée : V (X) =∑n

1 x2i pi − (E(X))2

Écart-type : σ =√V (X)

35.1 OPÉRATIONS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES.

Soit la variable aléatoire : Y = aX + b ; a et b ∈ R .

E(Y ) = aE(X) + b

V (Y ) = a2V (X)

σ(Y ) = |a|√V (X)

Admettons que l'on est la variable aléatoire X, E(X) = 40, V (X) = 9, σ =√

9 = 3

alors si la variable aléatoire Y = 0, 5X + 7

- calculons l'espérance de Y : E(Y ) = aE(X) + b = 0, 5 xE(X) + 7 = 0, 5 x 40 + 7 = 27

- calculons la variance de Y : V (Y ) = a2V (X) = 0, 52V (X) = 0, 25 x 9 = 94

= 2, 25

- calculons l'écart-type de Y :σ(Y ) = |a|√V (X) = 0, 5

√V (X) = 0, 5 x 3 = 1, 5


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344 CHAPITRE 35. OPÉRATIONS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES

35.2 DÉMONSTRATIONS

ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE

E(X) =∑n

1 xipi

Y = aX + b; E(Y ) = E(aX + b)

E(Y ) =∑n

1 (aXi+ b)pi ⇒ E(Y ) =∑n

1 (aXipi + bpi) =∑n

1 (aXipi) +∑n

1 bpi

7488E(Y ) = a∑n

1 (Xipi) + b∑n

1 pi comme∑n

1 (Xipi) = E(X) et∑n

1 pi = 1, alors

E(Y ) = aE(X) + b

VARIANCE

E(X) =∑n

1 xipi

V(X) =∑n

1 x2i pi − (E(X))2

V(Y) = V(aX + b)

V(Y) =∑n

1 (axi + b)2pi − [E(axi + b)]2mais commeE(axi + b) = aE(X) + b

V(Y) =∑n

1 (a2x2i + 2abxi + b2)pi − [aE(xi) + b)]2 de la forme (a+ b)2 donc

V(Y) =∑n

1 a2x2

i pi +∑n

1 2abxipi +∑n

1 b2pi − [a2E2(xi) + 2abE(xi) + b2]

V(Y) = a2∑n

1 x2i pi + 2ab

∑n1 xipi + b2

∑n1 pi − a2E2(xi)− 2abE(xi)− b2 mais

∑n1 pi = 1 donc les

b2 s'annulent

V(Y) =a2∑n

1 x2i pi − a2E2(xi) + 2abE(X)− 2abE(xi)− b2 car E(X) =

∑n1 xipi

V(Y) = a2∑n

1 x2i pi − a2E2(xi) = a2[

∑n1 x

2i pi − E2(xi)] mais comme V (X) =

∑n1 x

2i pi − (E(X))2

alors :

V (Y ) = a2V (X)

ÉCART-TYPE

Écart-type : σ =√V (X)

(Y ) =√a2V (X) donc σ(Y ) = |a|

√V (X) soit

σ(Y ) = |a|σ(X)


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35.2. DÉMONSTRATIONS 345

ÉTUDE DU CAS GÉNÉRAL

Z = aX + bY + cE(Z) = aE(X) + bE(Y) + cV (Z) = a2V (X) + b2V (Y ) si X et Y sont des variables indépendantesσ(Z) =

√a2V (X) + b2V (Y )

σ(Z) =√a2σ2(X) + b2σ2(Y )

Exemples :X→N(30 ; 4) et Y→N(20 ; 3)soit X le chire d'aaires d'une succursale A et soit Y le chire d'aaires d'une succursale B, lesdeux succursales appartiennent à la même entreprise. Le chire d'aaire de la succursale A et celuide la succursale B sont indépendants (c'est à dire que les variables X et Y sont indépendantes) .Quelle est la loi de probabilité du chire d'aaires de cette entreprise Z = X + Y?E(X) = 30 ; (X) = 4E(Y) = 20 ; (Y) = 3Ici nous avons a = 1, b = 1 et c = 0. Nous obtenons donc :E(Z) = aE(X) + bE(Y) + c )⇒ E(Z) = E(Z) = E(X) +E(Y) = 30 + 20 = 50σ(Z) =

√a2σ2(X) + b2σ2(Y ) = σ(Z) =

√σ2(X) + σ2(Y ) =

√42 + 32 =

√25 = 5.

Nous pouvons en conclure que : Z→N(50 ; 5)Nous avons étudié la loi de probabilité Z = X + Y mais nous aurions pu rencontrer la forme D =X - Y. Dans ce cas nous avons a = 1, b = -1 et c = 0, alors :E(D) = E(X) - E(Y) = 30 - 20 = 10σ(D) =

√(1σ)2(X) + (−1σ)2(Y ) =

√σ2(X) + σ2(Y ) =

√42 + 32 =

√25 = 5

Nous pouvons en conclure que : D→N(10 ; 5)

Exemple d'emploi de ces formules

Une entreprise fabrique deux articles A et B. L'article A avec son taux de marge sur coûtvariable TMCV(A) = 30%, l'article B avec son taux de marge TMCV(B) = 20%. Ces deuxarticles sont réalisés par deux succursales indépendantes. Les charges xes CF s'élèvent à 200 000¿.Le Chire d'Aaires CA de A suit la loi : X, !N(m1 ; 1) et le Chire d'Aaires CA de B suit la loi :X, !N(m2 ; 2) .Quelle est la loi de probabilité du Résultat R ?R = 0,3X + 0,2Y - 200 000 de la forme Z = aX + bY + cIl faudra calculer l'espérance mathématique E(R) à partir de E(X), E(Y) Il faudra aussi calculerl'écart type (R) et établir la loi de probabilité R→N(m,σ ).

Paramètres loi normale dans le cas de changement de variable

Nous avons vu jusqu'à présent que si la variable aléatoire X→N(m, σ), alors E(X) = m et σ(X) = σ.


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Eectuons un changement de variable avec T = X−mσ

et calculons l'espérance de T : E(T) etl'écart-type de T : σ(T )

Espérance de T

T = x−mσ⇔ T = 1

σx− m

σmais précédemment nous avons vu que si Y = aX + b ; a et b ∈ R alors

E(Y) = aE(X) + b donc :

E(T ) = 1σE(X)− m

σ⇔ E(T ) = m

σ− m

σ= 0

Écart-type de T

σ(Y ) = |a|σ(X)

σ(T ) = 1σσ(X) = σ

σ= 1

Si la variable aléatoire X → N(m,σ), alors la variable aléatoire T→N(0, 1) avec T = X−mσ

Applications pratiques

Soit une entreprise qui fabrique un produit dont le prix de vente unitaire de ce produit est de 100¿(PVU = 100¿) et les charges variables unitaires sont d'un montant de 80¿ (CVU = 80¿) et lemontant des charges xes s'élève à 12000¿ (CF = 12000¿).

Supposons que la quantité produite par cette entreprise est une variable aléatoire X qui suit uneloi normale de paramètre m = 700 et = 100, X→N(700 ; 100).

Calculer la probabilité de ne pas atteindre le Seuil de Rentabilité -SR- (qui peut être calculé soiten quantité soit en valeur). Le Seuil de Rentabilité est le niveau d'activité ou le niveau du Chired'Aaires pour lequel le résultat est nul.

1° méthode classique :

Nous allons utiliser le compte de résultat diérentiel

Chire Aaire : (CA) diminué des Charges Variables (CV) est égal à la Marge Sur Coût Variable(MSCV) diminué des Charges Fixes (CF) est égal au résultat.

Soit x la quantité d'articles produits, la marge unitaire (MSCV) est de : 100 - 20 = 80¿

Le Résultat sera : R = 20x - 12000

Le seuil de rentabilité (SR) en quantité sera R = 0⇒ 20x− 12000 = 0 :

soit 20x = 12000, x = 1200020

= 600 articles


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35.2. DÉMONSTRATIONS 347

Quel est le seuil de rentabilité en valeur ?

C'est le nombre d'articles multiplié par le prix de vente unitaire : 600 x 100 = 60 000¿. a )Calculons la probabilité de ne pas atteindre le seuil de rentabilité en quantité :

Si X→N(700 ; 100) et que Seuil de Rentabilité SR = 600 alors calculons : P(X < 600)

P (X < 600) = P (X−700100

0 < 600−700100

) posons T = X−700100

P (T < −100100

) = P (T < −1)

P (X < 600) = Π(−1) = 1− Π(1) = 1− 0, 8413 = 0, 1587

b ) Calculons la probabilité de ne pas atteindre le seuil de rentabilité en valeur :

Si X→N(700 ; 100) et que Seuil de Rentabilité SR = 20x - 12000 alors calculons : P(X < 600)

Les paramètres de la loi normale N : E(X) = 700 et σ(X) = 100

E(R) = 20E(X) - 12000 = 20 x 700 - 12 000 = 2 000

σ(R) = |20|σ(X) = 20 x 100 = 2 000

Comme R et X sont liés par la relation R = 20x -12000 alors R→N(2000 ; 2000)

La probabilité, de ne pas atteindre le seuil de rentabilité en valeur, ne sera pas atteinte lorsque lerésultat sera négatif, c'est à dire que : P(R < 0 ) .

Utilisons la loi normale centrée réduite et posons T = R−20002000

P (R < 0) = P (R−20002000

< 0−20002000

)⇔ P (T < −20002000

)⇔ P (T < −1)

P (R < 0) = Π(−1) = 1− Π(1) = 1− 0, 8413 = 0, 1587


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Chapitre 36

EXERCICES LOI NORMALE

36.1 EXERCICE 1

Dans une usine qui produit des céréales pour le petit déjeuner, le processus mécanique de remplis-sage des boîtes a été ajusté de façon qu'en moyenne chaque boîte contienne 13g avec un écart typede 0,1g (m = 13 ; σ = 0 ; 1) . On suppose que ce processus suit une distribution normale.a ) Calculer la probabilité que le contenu d'une boîte choisi au hasard soit compris entre 13 et13,2g. P (13 ≤ X ≤ 13, 2)

b ) Calculer la probabilité que le contenu d'une boîte choisi au hasard soit supérieur à 13,25g. P(X> 13,25)c ) Calculer la probabilité que le contenu d'une boîte choisi au hasard soit compris entre 12,9 et13,1g. P (12, 9 ≤ X ≤ 13, 1).

Solutions :

a ) loi normale : X→N(13 ; 0,1)Pour utiliser la table de loi normale centrée réduite, il faut eectuer un changement de variable.Si X→N(13 ; 0,1) alors T→N(0 ; 1) (loi normale centrée réduite) avec T = X−13

0,1;

Calcul de P (13 ≤ X ≤ 13, 2)

P (13 ≤ X ≤ 13, 2) = P (13−130,1≤ T ≤ 13,2−13

0,1) = P (0 ≤ T ≤ 2)

P (13 ≤ X ≤ 13, 2) = Π(2)− Π(0) = 0, 9772− 0, 5 = 0,4772

Attention : Π(0) 6= 0

b ) Calcul de P(X > 13,25) :P (X > 13, 25) = P (X−13

0,1> 13,25−13

0,1= P (T > 2, 5)

Attention la table ne donne que les valeurs à gauche de T, ici la valeur est à droite, nous devonspasser par l'événement contraire P (T > 2; 5) = 1− P (T < 2, 5) = 1− Π(2, 5)

par lecture sur la table on obtient : Π(2, 5) = 0, 9938

T = 1− 0, 9938 = 0,0062

c ) Calcul de P(12, 9 ≤ X ≤ 13, 1) :


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350 CHAPITRE 36. EXERCICES LOI NORMALE

P(13−12,90,1

≤ T ≤ 13,1−130,1

) = P(−1 ≤ T ≤ 1) soit un écart type T=0,6826

36.2 EXERCICE 2

Dans une chaîne de production, un processus automatique élimine des pièces inférieures à 9 cmou supérieur à 11 centimètres. Sachant que la longueur des pièces est distribuée normalement avecune moyenne de 10 cm et un écart type de 0,4cm. Combien doit on produire de pièces pour enavoir 1000 utilisables ?

Solutions :

Le processus suit une loi normale X→N(10 ; 0,4). Les pièces acceptées sont comprises entre 9 et11cm.

La probabilité que les pièces sont correctes : P(9 ≤ X ≤ 11).

Pour utiliser la table de loi normale centrée réduite, il faut eectuer un changement de variable.Si X→N(10 ; 0,4) alors T→N(0 ; 1) (loi normale centrée réduite) avec T = X−10

0,4;

P (9−100,4≤ X−10

0,4≤ 11−10

0,4) = P (−2, 5 ≤ T ≤ 2, 5) soit un intervalle centré en 0.

2Π(t)− 1 = 2(2, 5)− 1 = 2 x 0, 9938− 1 = 0,9876

Nous devons donc produire :

X x 0, 9876 = 1000⇔ X = 10000,9876

= 1013 pièces pour en obtenir 1000 de correctes !

36.3 EXERCICE 3

Une machine automatique fabrique des tubes en série dont le diamètre X est réparti selon la loinormale de moyenne 20 cm et d'écart-type 1,5 mm (0,15cm).

a) Calculez la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans la fabrication ait un diamètre comprisentre 19,75 cm et 20,25 cm P(19, 75 ≤ X ≤ 20, 25)

b) Quel intervalle de centre 20 cm peut-on garantir avec une probabilité 0,95 ?

Solutions :

a ) Le processus suit une loi normale X→N(20 ; 0,15)


0,15;

P (19, 75 ≤ X ≤ 20, 25) = P (19,75−200,15

≤ X ≤ 20,25−200,15

)

P (19, 75 ≤ X ≤ 20, 25) = P (−1, 67 ≤ T ≤ 1, 67)

Ceci est un intervalle centré réduit :

2Π(1, 67)− 1 = 2 x 0, 9525− 1 = 0,905


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b ) on cherche 2 valeurs de part et d'autre de la moyenne 20 pour lesquels la surface comprise entreces 2 bornes égale 0,95.

P (20− h ≤ X ≤ 20 + h) = 0, 95

P ( (20−h)−200,15

≤ X−200,15≤ (20+h)−20

0,15) = 0, 95

P ( −h0,15≤ T ≤ h

0,15) = 0, 95 ; intervalle centré

2Π( h0,15

)− 1 = 0, 95⇔ Π( h0,15

) = 0,95+12

= 0, 975

par lecture dans la table :

Π( h0,15

) = Π(1, 96)⇔ 0,15h = 1, 96⇔ h = 1, 96 x 0, 15 = 0, 294 écart type

L'intervalle cherché : [20 - 0,294 ; 20 + 0,294] = [19,706 ; 20,294] ce qui signie concrètement que :P(19,706≤X≤20,294)=0,95

Remarques importantes à connaître

Intervalle centré sur la moyenne :

P (−1 ≤ t ≤ 1) = 2Π(1)− 1 = 2 x 0, 8413− 1 = 0, 6826 ; soit 1 écart type

P (−2 ≤ t ≤ 2) = 2Π(2)− 1 = 2 x 0, 9772− 1 = 0, 9544 ; soit 2 écarts type

P (−1, 96 ≤ t ≤ 1, 96) = 2Π(1, 96)− 1 = 2 x 0, 975− 1 = 0, 95

Soit une entreprise dont le chire d'aaires en k¿ suit une loi normale X→N(1000 ; 20) établistatistiquement après étude des relevés interne à l'entreprise. On détermine la moyenne, l'écarttype et à l'aide de tests on vérie si le modèle choisi correspond bien à une loi normale. Il existeplusieurs tests dont le plus puissant est le test du khi-deux qui permet de vérier si l'assertion estbonne ou mauvaise ce qui revient à s'imposer un risque connu d'une certaine valeur. La probabilitédu chire d'aaires est : P(960 ≤ X ≤ 1040) = 0, 9544 car on s'aperçoit que l'on s'écarte de lamoyenne ( 1000 ) de deux écarts type (de valeur 20 ).

Prenons l'exercice 9 rubrique a en sens inverse :

P(m− σ ≤ X ≤ m+ σ) = 0, 6826 est toujours vrai quelque soit m ou σ. En eet posons T=X−mσ

, alors :

P(m− σ ≤ X ≤ m+ σ) = P (m−σ−mσ≤ m−σ

σ≤ m+σ−m

σ)⇔

P (−1 ≤ T ≤ 1) = 2Π(1)− 1 = 2 x 0, 8413− 1 = 0, 6826

Ceci est un premier test de normalité.

Quelle est la probabilité lorsque l'on s'écarte de 3 écarts type ?

P(m− 3σ ≤ X ≤ m+ 3σ) = P (m−3σ−mσ

≤ m−σσ≤ m+3σ−m

σ)⇔

P (−3 ≤ T ≤ 3) = 2Π(3)− 1 = 2 x 0, 99865− 1 = 0,9973

36.4 EXERCICE 4

On suppose que la taille de 615 étudiants est distribuée normalement avec une moyenne de 1,75m et un écart-type de 20 cm. Calculer le nombre d'étudiants ayant des tailles : inférieures ou égales à 1,50 m


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comprises entre 1,50 m et 1,65 m supérieures ou égales à 2 m.

Solutions

a ) La taille des étudiants suit une loi normale X→N(1,75 ; 0,2) Pour utiliser la table de loi normalecentrée réduite, il faut eectuer un changement de variable. Si X→N(1,75 ; 0,2) alors T→N(0; 1)(loi normale centrée réduite) avec T = X−1,75

0,2;

P(X ≤ 1, 5) = P (X−1,750,2

≤ 1,5−1,750,2

) = P (T ≤ −1, 25)

Comme T est négatif on calcule l'aire positive :

P (T ≤ −1; 25) = P (T ≥ 1, 25) = 1− P (T ≥ 1, 25) = 1− 0, 8944 = 0,1056

b ) P (1,5−1,750,2

≤ x−1,750,2≤ 1,65−1,75

0,2)⇔ P (−1, 25 < T < 0, 5) =

Π(0; 5)− Π(−1, 25) = Π(0; 5)− 1 + Π(1, 25) = 0, 6915− 1 + 0, 8944 = 0,5859

c ) P (T ≥ 2−1,750,2

) = P (T ≥ 1, 25) = 1− Π(1, 25) = 1− 0, 8944 = 0,1056

36.5 EXERCICE 5

Soit X la variable aléatoire qui suit la loi normale N(12000 ; 3000).

a) Déterminer, arrondi à 100 unités près, le nombre réel a qui vérie : P(x > a) = 0,75

Solutions

Le processus suit une loi normale X→N(12000 ; 3000)

Pour utiliser la table de loi normale centrée réduite, il faut eectuer un changement de variable.Si X→N(12000 ; 3000) alors T→N(0 ; 1) (loi normale centrée réduite) avec T = X−12000

3000;

P (X > a) = 0, 75⇔ P (X−120003000

> a−120003000

) = 0, 75

P (T > a−120003000

) = 0, 75.

Attention la table ne donne que les valeurs à gauche de T, ici la valeur est à droite, nous devonspasser par l'événement contraire.

1− P (T < a−120003000

) = 0, 75⇔ P (T < a−120003000

) = 0, 25⇔ Π(a−120003000

) = 0, 25

Attention la table donne que les valeurs > à 0,5. Π est négatif, il faut passer par la complémentaritéà 1 :

1− Π(−a−120003000

) = 0, 25⇔ 1− Π(12000−a3000

) = 0, 25⇔ Π(12000−a3000

) = 0, 75

Par lecture de la table, on détermine en prenant la valeur la plus proche.(voir annexe interpolationlinéaire pour information)

Π(12000−a3000

) = Π(0, 7)⇒ (12000−a3000

) = 0, 67⇔ −a = 0, 67 x 3000− 12000 = −9990,

a = 9990 soit à 100 unités près : a=10000 .


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36.6 EXERCICE 6

soit X la variable aléatoire qui suit la normale N(20 ; 0,5)

a) calculer P(X<=20,8)

b) calculer la valeur du nombre x tel que P(X ≤ x) = 0, 68

c) calculer la valeur du nombre x tel que P(X < x) = 0, 072

d) déterminer un intervalle centré en x = 20 tel que la variable aléatoire X prenne ses valeurs danscet intervalle avec une probabilité de 0,94.

Solutions

a ) Le processus suit une loi normale X→N(20 ; 0,5)


0,5;

P (X ≤ 20, 8) = P (X−200,5≤ 20,8−20

0,5)⇔ P (T ≤ 1, 6) = Π(1; 6)

Par lecture dans la table : t=0,9452

b ) P (X ≤ x) = 0, 68⇔, P (X−200,5≤ x−20

0,5) = 0, 68⇔ P (T ≤ x−20

0,5) = 0, 68.

Par lecture inverse de la table : Π(x−200,5

) = Π(0, 47)

(x−200,5

) = 0, 47⇔ x = 0, 47 x 0; 5 + 20 = 20,235

c ) P (X ≤ x) = 0, 072

P (X−200,5≤ x−20

0,5) = 0, 072⇔ P (T ≤ x−20

0,5) = 0, 072⇔ Π (x−20

0,5) = 0, 072

Nous avons une valeur inférieure à : 0,5 ce qui signie que t est négatif, nous devons passer parl'événement contraire :

1− Π(20−x0,5

) = 0, 072⇔ Π(20−x0,5

) = 0, 072− 1 = 0, 928 soit par lecture inverse

Π(20−x0,5

) = Π(1, 46)⇔ 20−x0,5

= 1, 46⇔ x = −1, 46 x 0, 5 + 20 = 19,27

d ) P (20− a ≤ X ≤ 20 + a) = 0, 94⇔ P (20−a−200,5

≤ x−200,5≤ 20+a−20

0,5) = 0, 94

P (−a0,5≤ T ≤ a

0,5)⇔ 2Π( a

0,5)− 1 = 0, 94⇔ 2Π( a

0,5) = 1, 94⇔ Π( a

0,5) = 1,94

2

Π( a0,5

) = 0, 97⇔ Π( a0,5

) = Π(1, 88) par lecture inverse de la table

soit a0,5

= 1, 88⇔ a = 1, 88 x 0, 5 = 0, 94

L'intervalle cherché 20+−a : [20− 0, 94] < a < [20 + 0, 94] soit 19,06<a<20,94


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36.7. INTERPOLATION AFFINE 355

36.7 INTERPOLATION AFFINE

Dans l'exercice 6, la lecture inverse 0,75 se trouve entre 2 colonnes du tableau. Relevons les valeursde ces 2 colonnes.

Mais quelle est la valeur exacte de t ? Nous allons solutionner ce problème grâce au théorème deThalès vu en classe de 3ème

t−AB−A = D−A

C−A ⇒t−0,67

0,68−0,67= 0,75−0,7486

0,7517−0,7486= 0, 4516

t = 0, 4516 x 0, 01 + 0, 67 = 0, 6745


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36.8 EXERCICE 7

Toutes les probabilités demandées dans cet exercice seront données sous leur forme décimale ar-rondie à 10−3pres.

La partie C peut être traitée indépendamment des deux autres.

Une entreprise vend 2 types de meubles : M1, M2 respectivement 419¿ et 509¿ l'unité.

La demande mensuelle en meublesM1 est une variable aléatoire X qui suit la loi normale N(85; 15).

La demande mensuelle en meublesM2 est une variable aléatoire Y qui suit la loi normale N(52; 8).

On suppose que X et Y sont indépendantes.

Partie A

Dans cette question, on suppose que le stock est susant pour satisfaire la demande. Ainsi, l'en-treprise vend mensuellement X meubles M1 et Y meubles M2.

Calculer les probabilités (un mois donné) d'avoir les événements suivants :

1) V1 : on vendra au plus 80 meubles M1.

2) V2> : on vendra au plus 70 meubles M2.

Partie B

Dans cette question, le stock n'est pas obligatoirement susant pour satisfaire la demande. L'en-treprise dispose en début de mois d'un stock de 80 meubles M1 et 70 meubles M2.

Quelles sont les probabilités des évènements suivants :

S1 : il y aura rupture de stock en meubles M1.

S2 : il y aura rupture de stock en meubles M2.

S : il y aura rupture de stock (en meubles M1 ou M2).

(La rupture de stock concerne la n du mois, et signie que la demande est supérieure au stock).

Partie C

Un mois donné est dit rentable si le chire1, d'aaires de ce mois dépasse 70 000 ¿.

1 Exprimer (en euros) le chire d'aaires Z du mois en fonction de X et Y.

2 Calculer l'espérance mathématique de Z.

3 On admet que Z suit la loi normale N(62083 ;7400). Quelle est la probabilité qu'un mois donnésoit rentable ?

4 On note R le nombre de mois rentables d'un semestre (6 mois), et on suppose l'indépendanceentre les évènements rentables ou non rentables des mois successifs.

Justier le résultat suivant : R suit la loi binomiale B(6 ; 0,142).

5 Quelle est la probabilité que sur les 6 mois d'un semestre, on en ait au moins deux rentables ?

Solutions :

1A) Probabilité de vendre au plus 80 meubles M1 :

Si X→ N(85; 15) alors T→ N(0; 1) loi normale centrée réduite avec T = X−8515

.


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P (X ≤ 80) = P (X−8515≤ 80−85

15)⇔ P (T ≤ −5

15) = P (T ≤ −0, 33)⇔ P (T ≤ −0, 33) = Π(−0, 33)

P (X ≤ 80) = 1− Π(0, 33) = 1− 0, 629 = 0, 371 à 10−3 près.

2A) Probabilité de vendre au plus 70 meubles M2 :

Si Y→ N(52; 8) alors T→ N(0; 1) loi normale centrée réduite avec T = Y−528

.

P (Y ≤ 80) = P (Y−528≤ 70−52

8)⇔ P (T ≤ 12

8) = P (T ≤ 2, 25)⇔ P (T ≤ 2, 25) = Π(2, 25)

P (Y ≤ 80) = 0, 988.à 10−3 près.

1B) Probabilité de rupture de stock en meubles M1.

P (S1) = P (X > 80) = P (X−8515

> 80−8515

)

P (S1) = P (X > 80) = 1− P (X ≤ 80) = 1− 0, 371 = 0, 629 à 10−3 près.

2B) Probabilité de rupture de stock en meubles M2.

P (S2) = P (X > 70) = 1− P (X ≤ 70) = 1− 0, 988 = 0, 012 à 10−3 près.

2B) Probabilité de rupture de stock en meubles ou M2.

P (S) = P (S1∪S2) = P (S1)+P (S2)−P (S1∩S2) comme les évènements S1 et S2 sont indépendants,on obtient :

P (S) = P (S1) + P (S2)− P (S1) xP (S2)

P (S) = 0, 629 + 0, 012− 0, 629 x 0, 012 = 0, 633

Partie C

1) Exprimons (en euros) le chire d'aaires Z du mois en fonction de X et Y :

Z = 419X + 509Y

2) Calcul de l'espérance mathématique de Z :

Rappel : (voir chapitre opérations variables aléatoires)

si Z = aX + bY + c

E(Z) = aE(X) + bE(Y) + c

V (Z) = a2V (X) + b2V (Y ) si X et Y sont des variables indépendantes

V (Z) = a2σ2(X) + b2σ2(Y ) car la variance est le carré de l'écart-type

σ(Z) =√a2σ2(X) + b2σ2(Y )

Solutions :

E(Z) = aE(X) + bE(Y) + c ⇒ E(Z) = 419E(X) + 509R(Y )

E(Z) = 419 x 85 + 509 x 52 = 62083

Vérions que l'écart type est de 7400 ;

σ(Z) =√a2σ2(X) + b2σ2(Y ) ⇒ σ(Z) =

√(4192 x 152 + 5092 x 82)=7488 arrondi à 7400 !

3) Probabilité qu'un mois donné soit rentable :


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Eectuons le changement de variable et posons T = Z−620837400

P (Z > 70000) = P ( z−620837400

> 70000−620837400

)

P (Z > 70000) = P (T > 1, 07) = 1− P (T ≤ 1, 07) = 1− Π(1, 07)

P (Z > 70000) = 1− 0, 8577 = 0, 142 à 10−3pres.

4) Justions que R suit la loi binomiale B(6 ; 0,142).

Comme on est en présence de 6 épreuves indépendantes présentant chacune deux issues

soit le mois donné est rentable avec une probabilité p=0,142 soit le mois donné n'est pas rentable avec une probabilité q = 1− p = 1− 0, 142 = 0, 858

par conséquent la variable aléatoire R qui associe le nombre de mois rentables suit une loi binomialen=6, p=0,142 que l'on note : B(6 ; 0,142) avec :P(X=k)=Ck

6 x 0, 142k x 0, 8586−k.

5 ) Probabilité que sur les 6 mois d'un semestre, on en ait au moins deux rentables :

P(X ≥ 2) = 1− P(X < 2) = 1− (PX = 0) + P(X = 1)

P(X ≥ 2) = 1− [0, 8586 + C16 x 0, 1421 x 0, 8585

P(X ≥ 2) = 1− [0, 8586+ 0, 142 x 0, 8585 = 0, 535


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36.9 EXERCICE 8

Une usine fabrique des cylindres en grande série.

1) Le premier usinage consiste en un tournage. Deux machines M1 et M2 sont utilisées poureectuer toutes les deux ce même travail. La production journalière de la machineM1 est n1 = 1500pièces, avec une proportion de pièces défectueuses de p1 = 0, 002 ; pour la machine M2 on an2 = 2100 pièces avec p2 = 0, 003.

Dans la production totale, un jour donné, on choisit au hasard une de ces pièces tournées.

a) Montrer que la probabilité que cette pièce présente un tournage défectueux est de 0,0026.

b) Sachant que le tournage de cette pièce est défectueux, calculer la probabilité qu'elle ait ététournée par la machine M1.

2) Le second usinage consiste en un fraisage. L'expérience montre que, en fabrication normale,2% de ces fraisages sont défectueux. On dispose d'un lot comprenant un très grand nombre depièces fraisées dans lequel on prélève au hasard 20 pièces ( le prélèvement est assimilé à un tiragesuccessif avec remise.)

Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement au hasard de 20 pièces associe le nombre depièces dont le fraisage est défectueux.

a) Quelle est la loi de probabilité de X ? Donner ses paramètres. On justiera soigneusement laréponse.

b) Calculer la probabilité que, parmi les 20 pièces prélevées, trois aient un fraisage défectueux.

3). On tire maintenant au hasard une pièce dans un lit de pièces où les deux usinages précédentsont été réalisés.

Ces deux usinages sont indépendants.

Calculer les probabilités pour que cette pièce :

a) présente les deux usinages défectueux,

b) présente l'un au moins de ces usinages défectueux,

c) ne présente aucun des usinages défectueux.

4) Sur chacun des cylindres fabriqués, on contrôle le diamètre y qui, en principe, doit être de50,0 mm. En fait, les mesures eectuées révèlent que le diamètre de ces cylindres est une variablealéatoire Y suivant une loi normale de moyenne 50,2 mm et d'écart-type 0,5mm.

En raison d'un montage réalisé par la suite par un robot, les cylindres dont le diamètre n'est pascompris entre 49,6mm et 50,8mm doivent être mise au rebut.

Calculer la probabilité pour qu'un cylindre soit mis au rebut.

On fera apparaître les diérentes étapes du calcul.

Solutions

1a) production totale : 1500 + 2100 =3600 pièces

La production de la machine M1 représente donc : 15003600

= 512

de la production totale.

La production de la machine M2 représente donc : 21003600

= 712

de la production totale.


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Nous pouvons dresser l'arbre suivant :

b

b

M15=12 b D1 > P = 1=1200 = 0; 0008332=1000b D1 > P = 499=1200 = 0; 41583998=1000

b

M27=12 b D2 > P = 7=4000 = 0; 001753=1000b D2 > P = 6979=12000 = 0; 581583997=1000

La probabilité que cette pièce présente un tournage défectueux est la probabilité de la somme despièces défectueuses fabriquées par M1 et M2 :

Les événements (M1 ∩D1) et (M2 ∩D2) étant incompatibles, on peut écrire :

D = (M1 ∩D1) ∪ (M2 ∩D2)

P(D) = P(M1 ∩D1) + P(M2 ∩D2)

P(D) = PM1(D1) x P(M1) + PM2(D2) x P(M2)

PM1(D1) x P(M1) = 512

x 21000

= 11200' 8, 33 x 10−4 (1)

PM2(D2) x P(M2) = 712

x 31000

= 74000

= 1, 75 x 10−3

P(D) = 11200

+ 74000

= 3112000

= 2, 58 x 10−3 ' 0,0026 (2)

1b) Calculons la probabilité que la pièce défectueuse ait été tournée par la machine M1. En faitc'est le rapport : Equation (1)

Equation (2)c'est à dire le rapport entre les pièces défectueuses de M1 par rapport

au total des pièces défectueuses.PM1

(D1) x P(M1)

P(D)=

1120031

12000

= 11200

x 1200031

= 1031

= 0,3225

En fait en voici la démonstration rigoureuse, nous devons calculer : PD(M1) = P(M1∩D)PD


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Rappel :

Si un ensemble A est inclus dans un ensemble B, l'intersection de A et B est A que l'on note :

A ⊂ B⇒ A ∩ B = A

Évènement D : D = (M1 ∩D1) ∪ (M2 ∩D2) donc

M1 ∩D = M1 ∩ [(M1 ∩D1) ∪ (M2 ∩D2)] ; développons :

M1 ∩D = M1 ∩ (M1 ∩D1) ∪M1 ∩ (M2 ∩D2) ;

Les évènements (M110/31 ∩D1) et (M2 ∩D2) sont incompatibles (un article ne peut être fabriquéque par 1 seule machine), donc l'intersection M1 ∩ (M2 ∩D2) est l'ensemble vide. Il reste donc :

M1 ∩D = M1 ∩ (M1 ∩D1) ;

Il apparaît que (M1 ∩D1) est inclus dans M1 : (M1 ∩D1) ⊂ M1 comme noté dans le rappel.

L'intersection des deux ensembles M1 ∩ (M1 ∩D1) est le plus petit des deux. On obtient donc :

M1 ∩D = M1 ∩D1

Calcul de la probabilité de : M1 ∩D = M1 ∩D1

P(M1 ∩D) = P(M1 ∩D1) donc

donc PD(M1) = P(M1∩D)PD

= P(M1∩D1)PD

=1

120031

12000

= 11200

x 1200031

= 1031

= 0,3226

Partie 2 :

a - Comme nous sommes en présence de 20 épreuves indépendantes présentant chacune deux issues : soit la pièce présente un défaut de fraisage avec une probabilité p = 0, 02 soit la pièce n'est pas défectueuse avec une probabilité de q = 1− p = 0, 98Par conséquent, la variable aléatoire X qui assoscie le nombre total de pièces présentant le défautde fraisage suit une loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0, 02 que l'on note :

X → B(20;0, 02) avec P (X = k) = Ck20.0, 02k x 0, 9820−k

b - Calculons la probabilité que parmi les 20 pièces prélevées trois aient un fraisage défectueux :

P (X = 3) = C320.0, 023 x 0, 9820−3 = 0, 0065


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Partie 3

a - Calculons la probabilité pour qu'une pièce présente les deux usinages défectueux : soit T l'évènement : la pièce présente un défaut de tournage et soit F l'évènement la pièce présente un défaut de fraisageP (T ) = 0, 0026et P (F ) = 0, 02

P (T ∩ F ) = P (T ) xP (F ) car les deux évènements sont indépendants.

On a donc : P (T ∩ F ) = 0, 0026x 0, 002 = 0, 000052

b - Calculons la probabilité pour qu'une pièce présente l'un au moins de ces deux usinages défec-tueux :

Au moins 1 défaut se traduit par :

P (T ∪ F ) = P (T ) + P (F )− P (T ∩ F )

P (T ∪ F ) = 0, 0026 + 0, 02− 0, 000052

P (T ∪ F ) = 0, 0225

c - Calculons la probabilité pour qu'une pièce ne présente aucun défaut :

Nous pouvons calculer cette proabilité de deux manières diérentes :

1° P (F ∩ T ) = 1− P (T ∪ F )

P (F ∩ T ) = 1− 0, 0225 = 0.9775

2° P (T ∩ F ) = P (T ) xP (F )

P (T ∩ F ) = [1− P (T )] x [1− P (F )]

P (T ∩ F ) = (1− 0, 0026) x (1− 0, 02)

P (T ∩ F ) = 0, 9974 x 0, 998 = 0, 9775


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Partie 4

Calculons la probabilité pour qu'un cylindre soit mis au rebut :

Y suit une loi normale : Y → N(50, 2 : 0, 5)

La probabilité pour qu'un cylindre ne soit pas mis au rebut : P (49, 6 ≤ Y ≤ 50, 8)

Changement de variable :

Si Y → N(50, 2 : 0, 5) alors T → N(0 : 1) loi normale centrée réduite avec T = Y−50,20,5

Calculons la probabilité pour qu'un cylindre soit accepté :

P (49, 6 ≤ Y ≤ 50, 8) = P (49,6−50,20,5

≤ y−50,20,5≤ 50,8−50,2

0,5)

P (49, 6 ≤ Y ≤ 50, 8) = P (−1, 2 ≤ T ≤ 1, 2)

Içi, nous avons un intervalle centré en zéro :

P (49, 6 ≤ Y ≤ 50, 8) = P (−1, 2 ≤ T ≤ 1, 2) = Π(a)− Π(−a)

P (49, 6 ≤ Y ≤ 50, 8) = Π(a)− [1− Π(a)] = Π(a)− 1 + Π(a)

P (49, 6 ≤ Y ≤ 50, 8) = 2Π(a)− 1 = 2Π(1, 2)− 1

P (−1, 2 ≤ T ≤ 1, 2) = 0, 7698

On peut en déduire que la probabilité que la pièce soit mise au rebut est de :

1− 0, 7698 = 0, 2302


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Chapitre 37

SUITES NUMERIQUES

37.1 SUITES ARITHMETIQUES

DEFINITION

Une suite arithmétique notée (un) s'il existe un réel r appelé raison tel que terme suivant :

un+1 = un + r

Exemple :u0 = 5

u1 = u0 + 3 = 5 + 3 = 8

u2 = u1 + 3 = 8 + 3 = 11

avec r = 3

Les nombres 5, 8, 11, 14, 17 sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique de premiertermeu0 = 5 et de raison r = 3.

Calculons u20 :

u20 = u0 + 20r

un = u0 + nr

u20 = 5 + 20 x r = 65

Remarque : attention la suite commençait à u0 mais elle peut commencer à u1 , alors nous obtenonsdans ce dernier cas :

un = u0 + (n− 1)r

Si le premier terme de la suite est : u1 = 8 et r = 3 alors

u20 = 8 + (20− 1) x 3 = 65


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366 CHAPITRE 37. SUITES NUMERIQUES

SOMME

Soit S la somme de la suite arithmétique des 6 termes suivants : 5, 8, 11, 14, 17, 20

S = 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20, en réécrivant la somme des termes par ordre décroissant on obtient :

S = 20 + 17 + 14 + 11 + 8 + 5

s 5 8 11 14 17 20s 20 17 14 11 8 52s 25 25 25 25 25 25

2S = 6(5 + 20)⇔ S = 6(5+20)2

GENERALISATION

Sn = u0 + u1 + u2 + ...+ un

Sn = (n+1)(u0+un)2

= (nombre de termes)(premier terme+dernier terme)2

mais si la suite (un) commence par u1 alors :

Sn = u1 + u2 + ... : +un

Sn = n(u1+un)2


EXERCICES

1 ) Combien y a t il de nombres impairs entre 179 et 1243 ? de nombres pairs ?

a) les nombres impairs sont : 1, 3, 5 ... La raison de la suite est r = 2.

Posons :

u1 = 179

un = 1243comme Un = u1 + (n− 1)r

1243 = 179 + (n− 1)2 ;

2(n− 1) = 1243− 179⇔ 2n = 1243− 179 + 2⇔ n = 10662

= 533

b) Le premier entier pair est 180, et le dernier est 1242, et la raison de la suite est r = 2

Posons :

u1 = 180

un = 1242comme Un = u1 + (n− 1)r

1242 = 180 + 2(n− 1)

2(n− 1) = 1242− 180 = 1062⇔ n− 1 = 10622 = 531

n = 531 + 1 = 532


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37.1. SUITES ARITHMETIQUES 367

2) En reconnaissant la somme des termes d'une suite arithmétique,

a) calculer S1 = 13

+ 1 + 53

+ ...+ 193

+ 7

b) Calculer S2 = 5 + 2− 1− 4− 7...− 34

c) Calculer la somme des entiers multiples de 7 qui sont plus grands que 100 et plus petits que1000.

d) Exprimer la somme Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n en fonction de n .

Solutions :

a) la raison de la suite est r = 1− 13

= 23

Posons

u1 = 1

3

un = 7comme Un = u1 + (n− 1)r

Cherchons le nombre de termes de cette suite :

un − u1 = (n− 1)23⇔ n− 1 = un−u1

23

= 3(un−u1)2

n =3(7− 1

3)

2+ 1 = 11termes

Calculons la somme de cette suite :

Sn = n(u1+un)2


= 11(13+7)2

Sn = 1213

b ) la raison de la suite est r = 2− 5 = −3

Posons

u1 = −5

un = −34comme Un = u1 + (n− 1)r

Cherchons le nombre de termes de cette suite :

un − u1 = (n− 1)(−3), n− 1 = un−u1−3

n = −34−5−3

+ 1 = 14termes


Sn = n(u1+un)2


= 14(5+(−34))2

Sn = −203


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c) Calculons la somme des entiers multiples de 7 qui sont plus grands que 100 et plus petits que1000.

Le premier terme de cette suite (un) est u1 = 7, le second u2 = 14

La raison est r = 7. Calculons le nombre de termes : 10007

= 142, 8 soit n = 142

Calculons le dernier multiple inférieur à 1000 : un = 142x7 = 994 : En eet :143 x 7 = 1001


Sn = n(u1+un)2


= 142(7+994)2

Sn = 71071

d) Exprimons la somme Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n en fonction de n .

Le dernier terme vaut : Un = n d'ailleurs par le calcul on obtient :

Un = U1 + (n− 1)r et avec la raison r = 1 ,

Un = 1 + (n− 1)1 = 1 + n− 1 = n

Calculons la somme :

Sn = n(u1+un)2


Sn = n(1+n)2


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37.2. SUITES GEOMETRIQUES 369

37.2 SUITES GEOMETRIQUES

DEFINITION

Une suite géométrique notée (un) s'il existe un réel q appelé raison tel que terme le suivant :

un + 1 = qun

Exemple :

u0 = 3

u1 = qu0 = 2x3 = 6

u2 = qu1 = 2x6 = 12

avec q = 2

Les nombres 3, 6, 12, 24, 48 sont les termes consécutifs d'une suite géométrique de premiertermeu0 = 3 et de raison q = 2.

Calculons Un :

un=u0qn

u5 = u0q5

u5 = 3 x 25 = 3 x 32 = 96

Remarque : attention la suite commençait à u0 mais elle peut commencer à u1 , alors nous obtenonsdans ce dernier cas :

un=u1qn−1 et un=upqn−p

Si nous connaissons le terme de la suite u3 alors u8 = u3q8−3 = u3q

5

Si nous connaissons le terme de la suite u9 alors u4 = u9q4−9 = u9q

−5

SOMME

Soit S la somme de la suite geométrique des 5 termes suivants : 3, 6, 12, 24, 48

S = 3 + 6 + 12 + 24 + 48, en réécrivant dessous la somme des termes multiplié par la raison q = 2on obtient :

2Sq = 6 + 12 + 24 + 48 + 96

S 3 6 12 24 482S 6 12 24 48 96S-2S 3 0 0 0 0 96

S − 2S = 3− 96⇔ S(1− 2) = 3(1− 32) = 3(1− 25)

S = 3(

1−25

1−2

)


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GENERALISATION

Sn = u0 + u1 + u2 + ...+ un

Sn = premier terme x (1−q(nombre de termes)

1−q )⇔ Sn = u0

(1−qn+1

1−q

)avec q 6= 1

mais si la suite (un) commence par u1 alors :

Sn = u1 + u2 + ...+ un

Sn = premier terme x (1−q(nombre de termes−1)

1−q )⇔ Sn = u0

(1−qn1−q

)avec q 6= 1

EXERCICES

Montrer que ces suites sont géométriques. Déterminer le premier terme et la raison.

a) un = (−4)2n+1

b) wn = (−1)nx 23n+1

METHODE

Pour montrer que la suite (Un) est une suite géométrique , il sut à partir du terme un de calculerun+1 et d'établir la relation : un+1 = qUn ou le rapport Un+1

Un= q

SOLUTION :

a ) Pour visualiser deux termes consécutifs, à partir de Un = (−4)2n+1, calculons u3 et u4 enremplaçant n respectivement par 3 et 4 dans la formule :

U3 = (−4)2 x 3+1 = (−4)7

U4 = (−4)2 x 4+1 = (−4)9

Nous voyons que pour passer deu3 à u4 nous avons multiplié u3 par (−4)2 qui représente la raison q de la suite.

Démontrons cela :

A partir Un = (−4)2n+1, calculons Un+1, on obtient :

Un+1 = (−4)2(n+1)+1 = (−4)2n+2+1 = (−4)2n+1+2

Un+1 = (−4)2n+1+2 = (−4)2n+1 x (−4)2 en appliquant la règle an+m = an x am

Un+1 = (−4)2n+1x (−4)2 = Un x (−4)2

Un+1 = 16Un

donc Un est une suite géométrique de raison q = 16 et de premier terme u0 = (−4)1 = −4


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b ) Pour montrer que la suite (Wn) est une suite géométrique , il sut à partir du terme wn decalculer wn+1 et d'établir la relation :Wn+1 = qWn ou le rapport Wn+1

wn= q

Calculons Wn+1 en remplaçant n par n+ 1 dans la formule : Wn = (−1)nx 23n+1

Wn+1 = (−1)n+1x 23(n+1)+1 = (−1)n+1x 23n+3+1

Wn+1 = (−1)n+1x 23n+1+3 = (−1)n+1x 23n+1x 23

Wn+1 = (−1)n x (−1)1 x 23n+1 x 23 en appliquant la règle an+m = an x am

Wn+1 = (−1)n x 23n+1 x (−1) x 23

Wn+1 = Wn x (−1) x 23 = −8Wn

donc (Wn) est une suite géométrique de premier terme W0 = 2 et de raison q = −8 .

Exercice 3

Une suite arithmétique (u) de raison r = 5 est telle que u0 = 2 et n étant un nombre entier∑ni=3 ui = 6456. Calculer n .

Solution :

Entre un et u3 il y a : n− 3 + 1 = n− 2 termes

u3 = u0 + 3r = 2 + 3 x 5 = 17

un = u3 + (n− 3)r = 17 + (n− 3)5 = 17− 15 + 5n = 2 + 5n

Sn = (n−2)(u3+un)2

; Remarque : n - 2 car on commence à u3

Sn = (n− 3 + 1)(17+2+5n2

) = 6456

(n− 2)(19 + 5n) = 12912

19n− 38 + 5n2 − 10n = 12912⇔ 5n2 + 9n− 12950 = 0√4 = b2 − 4ac = 92 − 4(5)(−12950) = 259081;

√4 = 509

n1 = −9−50910

= −51, 8 solution à rejeter car doit être positif ( la raison est positive)

n2 = −9+50910

= 50

n=50

La suite de premier terme u0 = 2 et de dernier terme u50 comprenant 51 termes.


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Exercice 4

1) On considère la suite (un) dénie par : u0 = 1 et , pour tout nombre entier naturel n ,un+1 = 1

3un + 4

On pose, pour tout nombre entier naturel n , vn = un − 6.

a ) pour tout nombre entier naturel n, calculer vn+1 en fonction de vn : Quelle est la nature de lasuite (vn) ?

b ) Démontrer que pour tout nombre entier naturel n, un = −5(

13

)n+ 6

c ) Calculons la limite de (un) en plus l'inni : limn→+∞(un).

Solutions

la suite (un) dénie par u0 = 1 et , pour tout nombre entier naturel n , un + 1 = 13un + 4 estune suite qui est :

- géométrique si on supprime le terme : +4 et la raison est alors 13

- arithmétique si on supprime le terme : 13et la raison est alors +4

En fait cette suite est un mélange de deux progressions, on dit qu'elle est arithmético-géométrique,un classique de suite BTS ! On ne peut calculer directement Un mais on peut calculer u10 à partirde u9 ...

En remplaçant n par la suite des entiers naturels : 0, 1, 2, ...

Calculons u1 à partir de u0 : u0+1 = u1 = 13u0 + 4 = 1

3+ 12

3= 13

3

Calculons u2 à partir de u1 : u1+1 = u2 = 13u1 + 4 = 13

3+ 12

3= 25

3

et ainsi de suite ... jusqu'à u20 si on désire calculer ce terme.

a ) Pour calculer u20 directement, il faut exprimer unen fonction de n pour cela il faut passerpar une suite intermédiaire que nous appelons ici vn,

vn = un − 6⇔ un = vn + 6 Démontrons que vn est une suite géométrique. Appliquons la méthodedéjà vue dans les exercices ci dessus :

Démontrons que vn est une suite géométrique. Appliquons la méthode déjà vue dans les exercicesci dessus : vn = un − 6

vn+1 = un+1 − 6 mais comme un+1 = 13un + 4 , on obtient :

vn+1 = (13un + 4)− 6⇔ vn+1 = 1

3un − 2 mais comme un = vn + 6 alors :

vn+1 = 13(vn + 6)− 2⇔ vn+1 = 1

3vn + 2− 2 d'où vn+1 = 1

3vn

donc (vn) est une suite géométrique de premier terme v0 = u0− 6 = 1− 6 = −5 et de raison q = 13

.

vn = v0qn = −5

(13

)n.


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b ) Comme un = vn + 6⇔ un = −5(

13

)n+ 6.

Pour calculer u20 : u20 = −5(

13

)20+ 6 alors qu'auparavant il fallait calculer tous les termes précé-

dents de u20

c ) Calculons la limite de (un) en plus l'inni :limn→+∞(un).

Si la raison : 0 < q < 1, limn→+∞(un) = 0

un = −5(

13

)n+ 6

Comme limn→+∞(13)n = 0 alorslimn→+∞(un) = 6

Exercice 5

2 ) Une enseigne a 2000 clients. Elle perd 20% de sa clientèle tous les ans et elle en capte 500nouveaux.

Soit la suite (Un). Un est le nombre de clients de l'année 2012 +n, soit u0 = 2000 : Calculer u1 ; u2

Exprimer un+1 en fonction de un :

Soit la suite (vn) telle que : vn = un − 2500.

Montrer que (vn) est une suite géométrique. Exprimer vn en fonction de n . En déduire un enfonction de n .

A quelle date le nombre de clients sera t-il supérieur à 2450 ?

Solutions :

a ) Calcul de u1 et u2 :

U0 = 2000, et la raison q = 100−20100

= 80100

= 0, 8

u1 = u0 − 0, 2u0 + 500 = 0, 8 x 2000 + 500 = 2100

u2 = u1 − 0, 2u1 + 500 = 0, 8 x 2100 + 500 = 2180

Exprimonsun+1 en fonction de un :

un+1 = un − 0, 2un ⇔ un+1 = 0, 8un + 500 (1)

Montrons que(vn) est une suite géométrique

vn = un − 2500⇔ un = vn + 2500 (2)

vn+1 = un+1 − 2500. En remplaçant un+1 par la relation (1), on obtient :

vn+1 = (0, 8un + 500)− 2500 = 0, 8un − 2000. En remplaçant un par la relation (2), on obtient :

vn+1 = 0, 8(vn + 2500)− 2000

vn+1 = 0, 8vn + (0, 8 x 2500)− 2000 = 0, 8vn + 2000− 2000 = 0, 8vn


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vn+1=0,8vn

(vn) est une suite géométrique de raison q = 0, 8 et de premier terme :

v0 = u0 − 2500 = 2000− 2500 = −500

vn = v0qn ⇔ vn = −500(0, 8)n

Désormais la suite (un) peut s'écrire :

un = vn + 2500⇔ un=-500(0,8)n+2500

Cherchons la date pour laquelle le nombre de clients sera supérieur à 2450 :

un > 2450⇔ −500(0, 8)n + 2500 > 2450

0, 8n < 2450−2500−500

⇔ 0, 8n < −50−500⇔ 0, 8n < 1

10

soit A > B alors ln(A) > ln(B) car la fonction ln est strictement croissante

ln 0, 8n < ln 110⇔ n ln 0, 8 < ln 0, 1

Changement de sens de l'inégalité car ln(0,8) est négatif :

n > ln 0,1ln 0,8⇔ n > 10, 31 soit donc n=11 années

Le nombre de clients sera supérieur à 2450 en l'an 2023 !

La limite de un en +∞ :

limn→+∞(un) = limn→+∞−500(0, 8)n + 2500 = 0 + 2500

limn→+∞(un)=2500 car limn→+∞(0, 8)n = 0

Exercice 6 :

On considère la fonction f dénie pour tout nombre entier n par f(n) = e(10,13+0,07n)

On utilise cette fonction pour modéliser l'évolution des recettes touristiques de ce pays européen.

Ainsi f(n) représente le montant des recettes touristiques (exprimés en millions d'euros) de ce payseuropéen pour l'année 2000 + n

1 ) Selon ce modèle, calculer le montant des recettes touristiques que l'on peut prévoir pour l'année2007. Arrondir le résultat au million d'euros.

2 ) a - Déterminer le nombre entier n à partir duquel f(n) > 45000 .

b - En déduire l'année à partir de laquelle, selon ce modèle, le montant des recettes touristiquesdépasserait 45000 millions d'euros.


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Solution :

1 ) Calculons le montant des recettes touristiques pour l'année 2007 :

f(7) = e(10,13+0,07 x 7) = e(10,62) = 40946

2 ) Déterminons le nombre entier n à partir duquel f(n) > 45000 :

f(n) > 45000⇔ f(n) = e(10,13+0,07n) > 45000

ln e(10,13+0,07 x 7) = ln 40946⇔ 10, 13 + 0, 07n > ln 45000

0, 07n > ln(45000)− 10, 13⇔ n > ln(45000)−10,130,07

= 8, 35 soit n = 9

qui correspond à l'an 2009 .

Exercice 7

Dans un club de sport, Julien joue au basket. Il sait que lors d'un lancer sa probabilité de marquerun panier est égale à 0,6

1 ) Julien lance le ballon quatre fois de suite. Les quatres lancers sont indépendants les uns desautres.

a ) Montrer que la probabilité que Julien ne marque aucun panier est égale à 0,0256.

b ) Calculer la probabilité que Julien marque au moins un panier.

2 ) Combien de fois Julien doit il lancer le ballon au minimum pour que la probabilité qu'il marqueau moins un panier soit supérieur à 0,999 ?

Solution

Nous sommes en présence de 4 épreuves indépendantes présentant chacune 2 issues :

- soit Julien marque le panier avec une probabilité de p = 0, 6

- soit Julien rate le panier avec une probabilité de q = 1− 0, 6 = 0, 4

Soit X la variable aléatoire associant le nombre de paniers réussis alors :

X → B(4; 0, 6)soit donc

P (X = k) = Ck4 x 0, 6k x 0, 44−k

a ) Probabilité que Julien ne marque aucun panier :

P (X = 0) = C04 x 0, 60 x 0, 44 = 0, 44 = 0, 0256

b ) Probabilité que Julien marque au moins un panier :

P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 1− 0, 0256 = 0, 9744

2 ) Nombre de lancers minimum pour que la probabilité > 0,999 :


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soit P (X ≥ 1) > 0, 999 donc

1− P (X = 0) > 0, 999⇔ 1− 0, 4n > 0, 999⇔ −0, 4n > 0, 999− 1

−0, 4n > −0, 001⇔ 0, 4n < 0, 001⇔ ln 0, 4n < ln 0, 001

n ln 0, 4 < ln 0, 001

Changement de sens de l'inégalité car ln(0,4) est négatif :

n > ln 0,001ln 0,4

⇔ n > 7, 53

Julien doit lancer au moins 8 fois !


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Cinquième partie

REVISIONS


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Chapitre 38

RÉVISIONS

38.1 Exercice 1

Soit f la fonction f(x) = 4− e−x(x+ 2)2dénie sur [0; +∞[.

Soit g et h les fonctions dénies sur [0; +∞[ respectivement par :

g(x) = −e−x(x+ 2)2et h(x) = e−x(x2 + 6x+ 10).

Démontrer que h est une primitive de g sur [0; +∞[. 1a - En déduire une primitive de F de la fonction f sur [0; +∞[. 1b - Démontrer que la valeur moyenne de f sur [0; 8] est Vm = 11+61e−8

4

1c - Donner la valeur approchée, arrondie à 10−2 , deVm.

Solutions :

Pour montrer que h est une primitive de g , il sut de montrer que h′(x) = g(x).

Calculons la dérivée de h qui est de la forme u(x)v(x). Posons :u(x) = e−x u′(x) = −e−x

v(x) = x2 + 6x+ 10 v′(x) = 2x+ 6donc comme h = uv ⇒ h′ = u′v + uv′ alors

h′(x) = −e−x(x2 + 6x+ 10) + (2x+ 6)e−x. Factorisons par e−x :

h′(x) = e−x(−x2 − 6x− 10 + 2x+ 6)

h′(x) = e−x(−x2 − 4x− 4)⇔ h′(x) = −(+x2 + 4x+ 4)e−x

h′(x) = −(x+ 2)2e−x ⇔ h′(x) = g(x)

On en déduit h est une primitive de g .

1a Puisque g(x) est une prilitive de h(x) et que

f(x) = 4 + g(x) donc F (x) = 4x+ h(x) d'où F (x) = 4x+ e−x(x2 + 6x+ 10)

1b Démontrons que la valeur moyenne de f sur [0; 8] est Vm = 11+61e−8

4:

Vm = 18−0

´ 8

0f(x)dx = 1

8[F (x)]80 = 1

8[4x+ e−x(x2 + 6x+ 10)]80


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380 CHAPITRE 38. RÉVISIONS

Vm = 18[4x 8 + e−8(82 + 6x 8 + 10)− e0(10)

Vm = 18[4x 8 + e−8(64 + 48 + 10)− 10]

Vm = 18[32 + 122e−8 − 10] = 1

8(22 + 122e−8)


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Simplions par 2, on obtient :

Vm = (11+61e−8)4

1c - Valeur approchée, arrondie à 10−2 , deVm.

Vm = (11+61e−8)4

= 2, 76

38.2 Exercice 2

Soit le Tableau ci dessous :

Années 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003Rang de l'année : xi 1 2 3 4 5 6 7 8

Chires d'aaires annuels : yi 5 7,5 9,2 11 18,3 22,5 31 43

On renonce à un ajustement ane pour ce nuage de points. On eectue le changement de variablezi = ln(yi) (ln désigne le logarithme népérien).


zi = ln(yi) 1,609

Remplissage du Tableaupar manipulation de la calculatrice


zi = ln(yi) 1,609 2,015 2,219 2,398 2,907 3,114 3,434 3,761

La droite de régression : z = 0, 302x+ 1, 324

Exprimer sous la forme suivante : y = keαx. Trouver les paramètres k et α .

Comme z = ln(y) donc :

ln y = 0, 302x+ 1, 324⇔ eln y = e0,302x+1,324

y = e0,302x.e1,324 ⇔ y=3,758e0,302x


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382 CHAPITRE 38. RÉVISIONS


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Chapitre 39

REVISIONS

Soit la courbe Cf représentant une fonction f , la tangente à la courbe au point Cm, (de coordon-nées : abscisse x0, et d'ordonnée y0, ici M(1 ;-2) ) est la droite passant par ce point et tangente àCf .

Le coecient directeur de la tangente T à la courbe Cf au point M d'abscisse x0 est le nombredérivé soit f ′(x0).

L'équation d'une d roite est de la forme : y = ax + b dont le coecient directeur est a , donc a correspond à f ′(x0). On peut donc écrire : y = f ′(x0)x+ b (1)

La droite T passant par le point M(x0; y0) a pour équation :

y = f(x0) = f ′(x0) xx0 + b (2)

Soustrayons membre à membre les deux égalités (1) et (2), on obtient :

y − f(x0) = f ′(x0)(x − x0) qui représente l'équation de la tangente T à la courbe Cf au pointM0(x0; y0).

Exemple : soit la fonction f : x 7→ 3 ln(x)− 5x+ 4

Cherchons l'équation de la tangente T au point x0 = 1. Calculons f'(x)

f ′(x) = 3( 1x)− 5⇒ f ′(1) = 3− 5 = −2


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384 CHAPITRE 39. REVISIONS

Calculons f(1)

f(1)= 3 x 0− 5 x 1 + 4 = −1

T : y − f(1) = f ′(1)(x− 1)

y − (−1) = −2(x− 1) = −2x+ 1 qui représente l'équation de la tangente T au point x0 = 1

Exercice :

soit la fonction f : x 7→ f(x) = 3xe−x

Déterminer l'équation de la tangente T au point d'abscisse x0 = 0

Solutions :

Calculons la dérivée : elle est de la forme f = uv ⇒ f ′ = u′v + uv′. Posons :u = 3x⇒ u′ = 3

v = e−x ⇒ v′ = −e−xde la forme (eu)′ = u′eu

f ′(x) = 3e−x + 3x(−e−x) = 3e−x − 3xe−x

f ′(x) = 3e−x(1− x)

Calculons f(0)

f(0) = 3 x 0.e0 = 0

Calculons f ′(0) :

f ′(0) = 3e0(1− 0) = 3

Déterminons la tangente T au point d'abscissex0 = 0

y − f(0) = f ′(0)(x− 0)⇒ y − 0 = 3(x− 0) = 3x

Exercices de Probabilités

Exercice 1

Soit la variable aléatoire X → N(40; 5) Calculons la valeur de a pour les cas suivants :

1) P (40− a ≤ x ≤ 40 + a) = 0, 95

2) P (X ≥ a) = 0, 8413

Solutions :

1) Changement de variable : si X suit une loi normale de paramètres N(40; 5) alors T suit la loinormale de paramètres N(0; 1) loi normale centrée réduite avec T = X−40

5

P (40− a ≤ X ≤ 40 + a) = 0, 95⇔ P (40−a−405

≤ X−405≤ 40+a−40

5) = 0, 95

P (−a5≤ T ≤ a

5) = 0, 95

Π(a/5)− Π(−a/5) = 0, 95

Π(a5)− [1− Π(a

5)] = 0, 95⇔ Π(a

5)− 1 + Π(a

5) = 2Π(a

5)− 1 = 0, 95


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385

Π(a5) = 1,95

2= 0, 975

En lecture inverse de la table en face de 0,975 on lit : 1,96a5

= 1, 96⇔ a = 5 x 1, 96 = 9, 8 2) P (X ≥ a) = 0, 8413

P (X−405≥) = 0, 8413

P (T ≥ a−405

) = 0, 8413 Comme nous ne sommes pas dans la table, alors

1− P (T < a−405

) = 0, 8413

−P (T < a−405

) = 0, 8413-1

−P (T < a−405

) = −0, 1587

Π(a−405

== 0, 1587

Attention à la valeur négative Π(0) = 0, 5 signie que Π(T ) < Π(0) donc T < 0.

On pose l'opération :

1− Π(40−a5

) = 0, 1587⇔ −Π(40−a5

) = −0, 8413⇔ Π(40−a5

) = 0, 8413

Par lecture de la table on en déduit :

Π(40−a5

) = Π(1)⇔ (40−a5

) = 1⇔ 40− a = 5⇔ a = 40− 5 = 35

Exercice 2

Soit X la variable aléatoire du Chire d'aaires d'une entreprise A. X→N(100 ;4)

Soit Y la variable aléatoire du chire d'aaires d'une entreprise B. Y→N(60 ;3)

Soit Z la variable aléatoire du chire d'aaires du groupe, Z suit la loi Z = X + Y

1 ) Calculer la probabilité P (Z ≤ 165)

2 ) Calculer la probabilité P (150 ≤ Z ≤ 170)

Solutions

Calcul de l'espérance mathématique de Z :

Rappel : (voir chapitre opérations variables aléatoires)

si X → N(m1;σ1)⇒ E(X) = m1 etσ(X) = σ1

si Y → N(m2;σ2)⇒ E(Y ) = m2 etσ(X) = σ2

si Z = X + Y , X et Y sont des variables indépendantes

E(Z) = E(X) + E(Y )⇒ E(Z) = m1 +m2

V (Z) = V (X) + V (Y )

σ2(Z) = σ2(X) + σ2(Y ) car la variance est le carré de l'écart-type

σ(Z) =√σ2(X) + σ2(Y )⇒ σ(Z) =

√σ2

1(X) + σ22(Y )

mais

si Z = X − Y , (une diérence au lieu d'une somme) alors

E(Z) = E(X)− E(Y )⇒ E(Z) = m1 −m2

V (Z) = V (X) + V (Y )

σ2(Z) = σ2(X) + σ2(Y ) car la variance est le carré de l'écart-type


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386 CHAPITRE 39. REVISIONS

σ(Z) =√σ2(X) + σ2(Y )⇒ σ(Z) =

√σ2

1(X) + σ22(Y )

1) Calculons la probabilité P (Z ≤ 165)

Z → N(m1 +m2;√σ1 + σ2)

E(X) = 100; σ(X) = 4

E(Y ) = 60; σ(Y ) = 3⇒

E(Z) = 100 + 60 = 160

σ(Z) =√

42 + 32 = 5Z → N(160; 5)

P (Z ≤ 165) = P (Z−1605≤ 165−160

5) = P (T ≤ 1)

P (Z ≤ 165) = Π(1) = 0, 8413

Calculer la probabilité P (150 ≤ Z ≤ 170)

P (150 ≤ Z ≤ 170) = P (150−1605≤ T ≤ 170−160

5) = P (−2 ≤ T ≤ 2)

P (150 ≤ Z ≤ 170) = Π(2)− Π(−2) = 2Π(2)− 1 = 0, 9544


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