PT* G.Eiffel Programme des colles de mathématiques : 2016/2017

Semaine no 2 : du lundi 19 septembre au samedi 24 septembre

Révisions d’analyse de PTSI

Théorèmes généraux d’analyse réelle. Fonctions usuelles. Développements limités et applications.

Révisions sur le calcul intégral de PTSI

Théorème fondamental : lien avec les primitives. Propriétés. Techniques de calcul. Intégrale fonction de ses

bornes. Sommes de Riemann.

Intégrales généralisées

– Notion d’intégrale impropre : premiers exemples, définitions. Intégrale faussement impropre. Intégrales de

référence : intégrales de Riemann,

∫1

0ln(t )d t ,

∫+∞

0e−at d t . Propriétés.

– Cas des fonctions positives : relation entre la convergence ou la divergence des intégrales de f et de g dans

le cas où f ≤ g et dans le cas ou f ∼ g

– Calculs d’intégrales généralisées : intégration par parties, changement de variables (ϕ bijective, de classe C1

et strictement monotone)

– Fonctions intégrables : f continue sur I est intégrable sur I (de bornes a et b) si

∫b

a| f (t )|d t converge. Si

f : I →K est intégrable sur I , alors

∫

If converge. Propriétés. Théorèmes de comparaison par o() et O().

Points de cours, méthodes et exercices à comprendre et connaître par cœur :

1. Soient a < b deux réels, et f : [a,b] → [a,b]. Montrer que si f est continue sur [a,b] alors il existe x0 ∈ [a,b]

tel que f (x0) = x0.

2. Montrer que ∀x 6= 0, arctan(x)+arctan

(

1

x

)

= si g ne(x)× π

2

3. Pour n ∈N∗ on considère le polygone régulier à n sommets A0, A1, . . . , An−1 inscrit dans le cercle trigono-

métrique, avec A0(1,0).

Déterminer limn→+∞

1

n

n−1∑

k=1A0 Ak .

4. Si f : I →K est intégrable sur I , alors

∫

If converge.

5. Convergence et calcul de

∫+∞

0e−x cos(x)d x en passant par les nombres complexes.