séance 3 — Séquence 5 Séance 3...— 164 Cned, Mathématiques 6e Exercice 16 1-Construis le symétrique de la droite (AB) par rapport à (Δ). A B 2-Construis le symétrique (d’)

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Séance 3 Je construis la figure symétrique d’une figure simple

Nous allons commencer par étudier ce qu’est le symétrique d’une droite. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 15 1- Place quatre points A, B, C et D sur (d).

2- Construis A’, B’ et C’ et D’ les symétriques de A, B, C et D par rapport à (Δ). Que remarques-tu ?

.....................................................................................................................................

3- Trace (d’) la droite passant par A’, B’, C’ et D’.

I

(d)

(∆)

Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous.

Symétrique d’une droiteSi trois points sont alignés, alors leurs symétriques sont alignés.ici, les point m, N et K de la droite (d) ont pour symétriques les points m’, N’ et K’ par rapport à la droite delta.Le symétrique d’une droite est une droite.

(d)

(d')

M

M'NN'

K'

K

∆( )

ici, la droite (d’) est le symétrique de la droite (d) par rapport à la droite (Δ).

je retiens

Effectue les trois exercices suivants sur du papier calque que tu colleras dans ton cahier d’exercices après avoir corrigé. Commence par reproduire la figure du livret avant de la compléter. tu pourras alors corriger ta construction en la superposant à celle du corrigé.

Séquence 5séance 3 —

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Exercice 16

1- Construis le symétrique de la droite (AB) par rapport à (Δ).

A

B

2- Construis le symétrique (d’) de la droite (d) par rapport à (Δ).

(d)

Exercice 17Construis dans les trois cas ci-dessous le symétrique (d’) de la droite (d).

1- (d)∆

2- (d)

∆

3-

(d) ∆//

(d)

∆

Exercice 18

En t’aidant d’un seul point autre que A, construis le symétrique (d’)

(d)

A

(∆)

de la droite (d) par rapport à (Δ).

Séquence 5 — séance 3



tu sais maintenant ce qu’est le symétrique d’une droite et comment le construire. Nous allons maintenant étudier le symétrique d’un segment.

Exercice 19 1- Construis A’, B’, C’, D’, E’, F’ et G’

les symétriques de A, B, C, D, E et F par rapport à (Δ).

Trace la droite (AB) et la droite (A’B’). A

C

D E FGB

(∆)

2- Complète par ∈ ou ∉ :

C .............. [AB] C’ ............. [A’B’]

D .............. [AB] D’ ............ [A’B’]

E ............... [AB] E’ ............. [A’B’]

F ............... [AB] F’ ............. [A’B’]

G .............. [AB] G’ ............. [A’B’]

3- Si un point M est sur le segment [AB], alors son symétrique M’ ......................................

.....................................................................................................................................

4- Marque un point K sur le segment [A’B’] puis construis son symétrique N par rapport à (Δ). Que remarques-tu ?

.....................................................................................................................................


Symétrique d’un segment A

A'

B'

B ∆( )

Le symétrique d’un segment est un segment.ici, le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite (Δ) est le segment [A’B’].remarque : Le symétrique de tout point du segment [AB] est donc sur le segment [A’B’].

je retiens

Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 20

A

B

C

D

E

F

1- Trace les symétriques respectifs des segments [AB], [CD] et [EF] par rapport à la droite (Δ).

2- Mesure et compare les longueurs AB et A’B’, CD et C’D’, EF et E’F’. Que remarques-tu ?

......................................

......................................

.....................................

.....................................

.....................................



Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-après.

PropriétéSi deux segments sont symétriques l’un de l’autre,

A

A'

B'

B(∆)

alors ils ont la même longueur.ici :A’ et B’ sont les symétriques respectifs de A et B par rapport à la droite (Δ) donc : AB = A’B’

je retiens

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 21 : Méline, Jade et Jules Ernest affirme que deux segments de même longueur sont nécessairement symétriques.

- Jade dit : « C’est vrai. »

- Méline dit : « C’est faux. »

- Jules dit : « C’est parfois vrai et parfois faux. »

Qui a raison ? Ne justifie pas ta réponse.


Exercice 22 Le point I est le milieu du segment [AB].

A

B

I

1- Trace le symétrique [A’B’] du segment [AB] par rapport à la droite (Δ).

2- Construis I’ le symétrique du point I par rapport à la droite (Δ).

3- Nous allons démontrer que I’ est le milieu de [A’B’].

a) On sait que : .................................................

D’après la propriété : .................................... .....................................................................

.....................................................................

On conclut : I’ ∈ [A’B’].

b) Le symétrique du segment [AI] est ..........., donc : .............. = ..............

Le symétrique du segment [IB] est ..........., donc : .............. = ..............

Or I est ...................................... donc : AI = ........................................

On a : ............ = .............. , ................................... et .............................................

donc A’ I’ = ........................................

Comme ............................ et que : ......................... , le point I’ est le milieu de [A’B’].





lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

Si deux segments sont symétriques l’un de l’autre,

S

S

(∆)

A

A'

I'

B'

BI

alors leurs milieux respectifs sont également symétriques.ici :Les segments [AB] et [A’B’] sont symétriques par rapport à la droite (Δ) donc leurs milieux respectifs I et I’ sont symétriques par rapport à la droite (Δ) .

je retiens


Exercice 23 Sur le bout de papier ci-contre, A’ est le symétrique A'

B

(d)

de A par rapport à la droite (d). Sans faire de tracé en dehors de ta feuille, trouve une valeur approchée de la longueur AB.

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

...........................................................................

Enfin pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental :Sachant que multiplier par 20 revient à multiplier par 10 puis encore par 2, calcule mentalement :3,8 x 20 24,7 x 20 12,3 x 20

Réponse : 3,8 x 20 = 76 24,7 x 20 = 494 12,3 x 20 = 246

Séance 4 Je construis la figure symétrique d’une figure plus complexe

Nous avons vu dans les séances précédentes comment construire le symétrique d’un point, puis d’un segment, sans quadrillage. Nous allons maintenant construire les symétriques de figures plus complexes sans quadrillage : des triangles, ... . la méthode est la même que celle utilisée précédemment, pense que les figures suivantes ne sont que des « ensembles de segments ». Effectue les deux exercices ci-après sur ton livret.




Exercice 24 Construis les symétriques des figures suivantes :

A

B

C

D

E

F

K

L

M

(∆)

N

O P

Q R

ST

U

X

Y

Z

Exercice 25 1- a) Construis les symétriques des figures suivantes :

y

B

x

A




b) Recopie et complète la conjecture suivante : Le symétrique d’une demi-droite est . ............................................................................................................................. .

Une conjecture est une supposition, autrement dit, quelquechose qui te semble vrai.

2- a) Construis les symétriques des figures suivantes :

x y

B

s

t

C

b) Recopie et complète la conjecture suivante : Le symétrique d’un angle est un ................................. de même ...........................

On admet que les deux conjectures ci-dessus sont toujours vérifiées. Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous.

Symétrique d’un angleLe symérique d’un angle est un angle de même mesure.

(∆)

x

x'

y'

y

A

A'

ici :

Les angles xAy∑ et x Ay' '∑ sont symétriques par rapport

à la droite (Δ) donc xA y x A y∑ ∑= ' ' '

je retiens

Nous allons maintenant étudier ce que peut-être le symétrique d’un cercle. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 26 1- Construis A’, B’, C’, D’, E’ et F’ les symétriques de A, B, C, D, E et F par rapport à (Δ).

2- Les points A’, B’, C’, D’, E’ et F’ semblent appartenir à un ..............................................

....................................................................................................................................





3- Construis O’ le symétrique de O par rapport à (Δ). A

B

C

D

E

F

C

O’A’ = ...................... car les segments .....................

et ..................... sont symétriques.

4- Trace C ’ le cercle de centre O’ qui passe par A’.

5- Conjecture : le symétrique du cercle C est le cercle ............................ de centre ............................ et de même .............................

Prends ton cahier d’exercices et recopie le paragraphe ci-dessous.

Symétrique d’un cercle ∆( )O

O'

A

A'

C

C '

r

r

Le symérique d’un cercle est un cercle de même rayon. Son centre est le symétrique du centre du cercle initial.ici :Le cercle C ’de centre O’ et de rayon O’A’ est le symétrique par rapport à la droite (Δ), du cercle C de centre O et de rayon OA. On a donc : O’A’ = OA.

je retiens


Exercice 27 Construis les symétriques des figures suivantes :

a)

∆( )

b)

∆( )



c)

∆( )

d)

∆( )

Enfin pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental :Sachant que multiplier par 30 revient à multiplier par 10 puis encore par 3, calcule mentalement :

3,6 x 30 5,2 x 30 4,1 x 30

Réponse : 3,6 x 30 = 108 5,2 x 30 = 156 4,1 x 30 = 123

Séance 5Je reconnais des axes de symétrie

Nous allons commencer par rappeler la notion d’axe de symétrie vue à la fin (d)

de la séance 1. On dit qu’une droite (d) est un axe de symétrie d’une figure lorsque cette figure est sa propre symétrique par rapport à la droite (d).

Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton livret :

Exercice 28 Les figures suivantes admettent parfois plusieurs axes de symétrie (parfois aucun).

Trace-les tous !




Exercice 29 Les figures suivantes admettent des axes de symétrie. Trace-les tous !

Nous allons étudier la médiatrice d’un segment du point de vue de la symétrie axiale. Commence par faire l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 30 1- Trace A’ le symétrique du point A par rapport à la droite (d).

A(d)

2- Justifie pourquoi (d) est la médiatrice de [AA’].

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

3- Quels sont les deux axes de symétrie du segment [AA’] ?

.........................................................................................

4- Trace ces axes de couleurs différentes.

Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-après.




méDiAtriCE

A

(d)

B

Axes de symétrie d’un segment

Un segment [AB] possède deux axes de symétrie :• la droite (AB) elle-mêmeet• la médiatrice du segment [AB].

je retiens

Nous allons maintenant aborder une propriété très importante de la médiatrice. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 31 La droite (d) désignant la médiatrice d’un segment [AB], nous cherchons à répondre à la

question suivante : « Si l’on place un point n’importe où sur (d), sa distance à A est-elle toujours égale à sa distance à B ? ».

1- Place sur la droite (d) un point I qui n’appartient pas à [AB].

A

B

(d)

2- Quel est le symétrique du point I par rapport à (d) ? Pourquoi ?

.........................................................................................

3- Quel est le symétrique du segment [AI] ?

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

4- Compare AI et BI. Justifie ta réponse.

.........................................................................................

.........................................................................................

5- Place un point J sur (d) qui n’appartient pas à [AB]. Compare AJ et BJ. Justifie ta réponse.

.........................................................................................

.........................................................................................

6- Tu viens de montrer que si M ∈ (d) alors : ............... = ............... .





Exercice 32 Nous cherchons à répondre à la question suivante :

A

B

M

N

si l’on place un point à égale distance de A et de B, se trouve-t-il sur la médiatrice de [AB] ?

On a pris un écartement de compas au hasard et on a tracé un arc de cercle de centre A, puis sans changer d’écartement, un arc de cercle de centre B (tracé bleu). Les deux arcs se coupent en un point M.

On a ensuite changé d’écartement de compas.

On a enfin tracé avec ce nouvel écartement un arc de cercle de centre A puis un arc de cercle de centre B (tracé vert). Les deux arcs se coupent en un point N.1- Trace la droite (MN). Que remarques-tu concernant (MN) ?

2- Place sur la figure à l’aide d’un compas un point O à égale distance de A et de B. Que remarques-tu ?

3- Conjecture : Si un point K est tel que KA = KB, alors K est ............................................. ....................................................... du segment ........................................................ .

Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.

Propriété caractéristique de la médiatrice

A

B

M

N

• Si un point M est sur la médiatrice du segment [AB], alors on a : MA = MB.

ou encore : Si un point M est sur la médiatrice du segment [AB],

alors M est équidistant de A et de B.

• Si un point M vérifie : MA = MB, alors M est sur la médiatrice du segment [AB].ou encore : Si un point M est équidistant de A et de B, alors M est sur la médiatrice d’un segment

[AB]. remarque : « équidistant » veut dire « à la même distance »

je retiens


Exercice 33 : Méline, Jade et Jules Voici un énoncé d’exercice : « Trois points K , A et R sont tels que KA = KR. Que peux-tu

en conclure ? »- Jade dit : « C’est facile ! Cela signifie que le point K est le milieu du segment [AR]. »

- Méline dit : « Mais non ! Cela signifie que le triangle KAR est isocèle en K. »

- Jules dit : « Cela signifie tout simplement que le point K est sur la médiatrice du segment [AR]. »

Qui a raison ? Justifie ta réponse.





Voici la méthode géométrique permettant de tracer la médiatrice d’un segment au compas. Cette méthode découle de la propriété précédente. Cette construction est plus précise que celle utilisant l’équerre : dorénavant tu devras l’utiliser. lis attentivement le paragraphe ci-dessous et retiens-le.

je comprends la méthodeConstruire avec un compas la médiatrice (d) du segment [AB]

AB

1-On choisit un écartement de compas quelconque et on trace deux arcs de cercle de même rayon, l’un de centre A et l’autre de centre B.

2- On fait à nouveau ce que l’on a déja fait dans l’étape précédente. Tu peux garder le même écartement de compas.

3- On trace la droite passant par les deux points, on la nomme (d) , et on code la figure.

AB

AB

AB

(d)

Effectue cet exercice sur ton cahier d’exercices. Prends une feuille de papier calque et recopie les figures par transparence. Une fois la figure corrigée, tu colleras la vignette de papier calque dans ton cahier.

Exercice 34 Trace les médiatrices des trois segments ci-dessous.

A B

C

D

E

F

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices. Prends une feuille de papier calque et recopie la figure par transparence. tu colleras cette vignette de papier calque à côté de tes réponses une fois que tu auras corrigé.



Exercice 35 1- Trace (d) la médiatrice du segment [AB].

A

B

C

2- Trace (d’) la médiatrice du segment [BC].

3- On nomme I le point d’intersection de (d) et de (d’).

a) Démontre que IA = IB en recopiant le texte ci-dessous et en complétant les pointillés :

On sait que : la droite (d) est la ........................................................ du segment ............................................. .

Comme le point I est sur (d), on a : ................... .

b) Démontre que IB = IC en rédigeant comme précédemment.

c) Trace le cercle de centre I passant par A. Que remarques-tu ? Prouve-le.

Enfin pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental :Sachant que multiplier par 5 revient à multiplier par 10 puis diviser par 2, calcule mentalement :16 x 5 22 x 5 8,6 x 5

Réponse : 16 x 5 = 80 22 x 5 = 110 8,6 x 5 = 43

Séance 6 J’utilise les propriétés de la médiatrice

Nous allons durant cette séance apprendre à utiliser les propriétés de la médiatrice. Commence par effectuer l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 36 On cherche à placer un point X tel que :

E

F

B• X est équidistant de E et de F

• X est à 2,5 cm de B.

1- X est équidistant de E et de F donc X se trouve

sur ...............................................................

Trace-la.

2- X est à 2,5 cm de B donc X se trouve

sur ...............................................................

3- Combien y-a-t-il de solution(s) au problème ? Place-les sur la figure.





Exercice 37 Trace un cercle C de centre I et de rayon 3 cm. Place deux points K et L sur le cercle et trace

la corde [KL]. Trace le triangle KLM isocèle en M et tel que ML = 7 cm.

Nous cherchons à démontrer que la droite (IM) est la médiatrice du segment [KL].1- Compare IK et IL.

2- Compare MK et ML.

3- Recopie le texte ci-dessous et complète les pointillés :

Comme les longueurs IK et IL sont ............................ , le point I est donc sur ................................................................................................................................................................

Comme les longueurs MK et ML sont ............................ , le point M est donc sur ........................................................................................................................................................ .

La droite ............................ est donc la médiatrice de............................ .

tu vas découvrir dans cet exercice une méthode géométrique permettant de placer le milieu de n’importe quel segment. il faudra retenir cette méthode et l’appliquer dorénavant lorsqu’on te demandera de placer le milieu d’un segment.

Exercice 38 1- Trace la médiatrice du segment [AB].

A

C

D

B

2- Place le milieu I du segment [AB].

Tu viens de découvrir une méthode permettant de placer le milieu d’un segment sans avoir à le mesurer.

3- Applique cette méthode pour placer le milieu J du segment [CD] ci-contre. Rédige le programme de ta construction.

Prends ton cahier d’exercices. Prends une feuille de papier calque et reproduis la figure proposée. Effectue tes constructions sur le papier et calque. Corrige ensuite ta figure en la superposant au corrigé puis colle-la dans ton cahier d’exercices.

Exercice 39 1- Construis au compas le milieu I du segment [EF].

E

F

G

2- Construis au compas le milieu J du segment [EG].

3- Que remarques-tu à propos de la droite (IJ) ?




tu vas maintenant découvrir une autre méthode, basée sur la médiatrice, qui permet de construire le symétrique d’un point uniquement à l’aide d’un compas. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 40 Dans cet exercice nous allons apprendre une méthode permettant de construire

le symétrique A’ d’un point A uniquement au compas.1- Place deux points E et F sur la droite (d).

(Indication : E et F doivent être suffisamment éloignés l’un de l’autre pour la précision de ta construction).

2- A et A’ doivent être symétriques par rapport à la droite (d). (d) est donc la ………….........…...… du …………....…........ [AA’].

3- E est sur la médiatrice du segment [AA’].

A(d)

On a donc : …………......... = ………….........…...… .

Trace le cercle C de centre E et de rayon EA.

On a : A’…………..C .

4- F est sur la médiatrice du segment [AA’].

On a donc : …………......... = ………….........…...… .

Trace le cercle C ’de centre F et de rayon FA.

On a : A’…………..C ’.

5- Comme : A’…………..C et A’…………..C ’, A’ est le deuxième point d’intersection

de ....................... et ...........................

je comprends la méthodeConstruire le symétrique A’ d’un point A uniquement au compas

A(d)

1- On choisit un écartement de compas quelconque et on trace un arc de cercle qui coupe la droite (d) en deux points.

2- On pointe le compas sur un des deux points d’intersection de l’arc et de la droite. On trace un nouvel arc de cercle (il faut conserver le même écartement)

3- On pointe le compas sur l’autre point d’intersection de l’arc et de la droite. On trace un nouvel arc de cercle (on garde le même écartement)

A(d)

A(d)

A(d)




4- Le point A’, symétrique de A par rapport à la droite (d) est le point d’intersection des deux arcs.

A

A'

(d)

Exercice 41 : Méline, Jade et Jules 1- Reproduis la figure sur du papier

A

(d2)

(d1)

calque puis construis au compas le symétrique B du point A par rapport à la droite (d1). Construis ensuite au compas le symétrique C du point B par rapport à la droite (d2). Construis ensuite au compas le symétrique D du point C par rapport à la droite (d1). Construis enfin au compas le symétrique E du point D par rapport à la droite (d2).

2-

- Jade dit : « Les points E et A semblent confondus ».

- Méline dit : « Non ! Les points E et A ne sont pas confondus ».

- Jules dit « On ne peut pas construire le point E ».

Qui te semble avoir raison ? Ne justifie pas ta réponse.

Voici pour finir cette séance un exercice plus difficile. Prends ton cahier d’exercices et effectue-le.

Exercice 42 1- a) Démontre que : IA = IC.

A

D

B

C

I

J

(d) (d')

b) Démontre que : IB = IC.

c) À l’aide des deux questions précédentes, compare IA et IB.

2- À l’aide d’un raisonnement similaire à celui de la question 1-, compare JA et JB

3- Démontre que la droite (IJ) est perpendiculaire à (AB).




Enfin pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental :

Sachant que multiplier par 50 revient à multiplier par 100 puis à diviser par 2, calcule mentalement :

28 x 50 64 x 50 2,4 x 50

Réponse : 28 x 50 = 1 400 64 x 50 = 3 200 2,4 x 50 = 120

Séance 7 J’étudie les axes de symétrie des triangles

Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 43 Indique sous chaque figure combien elle a d’axes de symétrie.

Lorsqu’elle en a, trace-les tous.

A

B

C

D

E

F G

H

I

KJ = JL = KL

J

K

L

M

N O

Nous allons maintenant approfondir l’étude des axes de symétrie du triangle isocèle. Effectue l’exercice suivant sur ton livret.




Exercice 44 Le triangle ABC est isocèle en A. Code la figure.

B C

A

1- Trace (d) la médiatrice de [BC]. Que remarques-tu ?

.........................................................................................

2- AB = ........... car le triangle ABC est ..................... en ..........

3- Comme ............... = ................, le point A est sur .................

................................................................. .

Note I le milieu de [BC].

4- • Le symétrique de B par rapport à la droite (d) est ................ .

• Le symétrique de A par rapport à la droite (d) est ................ .

• Le symétrique de I par rapport à la droite (d) est ................. .

Le symétrique de l’angle BAI∑ est donc l’angle ............................. .

Comme un angle et son symétrique ont ....................................................................... ,

on a : .......................................... . Code la figure.

Par suite, (d) est ............................................................de BAC∑ .

5- De même, le symétrique de l’angle ABC∑ est l’angle .................. .

Comme un angle et son symétrique ont ....................................................................... ,

on a : ................................ . Code la figure.


triANGLE iSOCÈLEPropriété 1Si un triangle ABC est isocèle en A, alors :

B

C

A

• on a : ABC ACB∑ ∑= • la médiatrice du côté [BC] est un axe de symétrie du triangle. C’est également la bissectrice de l’angle BAC∑ .Vocabulaire :Dans le triangle ABC isocèle en A :• le point A est appelé sommet principal• le côté [BC] s’appelle la base• les angles ABC∑ et ABC ACB∑ ∑= s’appellent les angles à la base : ils sont égaux.

je retiens

Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices ci-après.





Exercice 45 Trace un cercle C de centre O et de rayon 4 cm. Place deux points A et B sur ce cercle

tels que OAB∑ = 40° et trace la corde [AB]. 1- Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifie ta réponse.

2- Détermine OBA∑ . Justifie ta réponse. Vérifie ensuite ta réponse en mesurant sur ta figure.

Exercice 46 : Méline, Jade et Jules Il faut tracer un triangle ABC isocèle en A tel que ABC∑ = °52 et BC = 5,2 cm.

1- Trace uniquement une figure à main levée et code-la.

- Jade dit : « C’est impossible parce nous n’avons pas les mesures des côtés [AB] et [AC]. »

- Méline dit : « Mais si, c’est possible ! »

- Jules dit : « Ce n’est pas à cause des mesures des côtés que c’est impossible, c’est à cause des mesures des angles. »

Qui a raison ? Ne justifie pas ta réponse.

2- Construis un triangle ABC répondant à l’énoncé avec tes instruments de géométrie.


Exercice 47

On a représenté ci-contre un triangle ABC

B

C

isocèle en A sur un petit papier qui malheureusement s’est déchiré. Trace la bissectrice de l’angle BAC∑ (sans compléter le tracé du triangle). Justifie ta construction.

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier.

Exercice 48 : Méline, Jade et Jules 1- Trace avec tes instruments le triangle EDF tel que :

FED FD E∑ ∑= = °54 et DE = 4,6 cm.

2-

- Jade dit : « Le triangle EDF est isocèle en E. »

- Méline dit : « Non ! Il est isocèle en D. »

- Jules dit : « Mais non ! Il est isocèle en F. »

Qui te semble avoir raison ? Ne justifie pas ta réponse.



Enfin, voici une dernière propriété que nous allons admettre. Elle permet de démontrer qu’un triangle est isocèle à l’aide de ses angles. recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.

Propriété 2Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.

je retiens

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-après.

Exercice 49

Les points A, B et C sont alignés.

B CA

E

40˚140˚Démontre que le triangle EBC est isocèle.

Enfin pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental :Sachant que multiplier par 500 revient à multiplier par 1 000 puis diviser par 2, calcule mentalement :

32 x 500 88 x 500 7,8 x 500

Réponse : 32 x 500 = 16 000 88 x 500 = 44 000 7,8 x 500 = 3 900

Séance 8Je redécouvre la bissectrice

Prends une feuille de papier calque et effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 50 1- À l’aide d’un papier calque, reproduis par transparence

O

x

y

l’angle ci-contre. Plie ensuite cette feuille de papier calque de telle sorte que les demi-droites [Ox) et [Oy) coïncident exactement.

yO

x

O

x

O

x y

OOO




2- Déplie le papier calque, trace le « trait de pliage ».

3- Que représente ce trait pour xOy∑ ?


BiSSECtriCEAxe de symétrie d’un angleL’axe de symétrie d’un angle est sa bissectrice.

O

x

y

(d)remarque : Jusqu’à maintenant, la bissectrice avait désigné une demi-droite. En fait, le terme de bissectrice peut désigner également une droite : c’est le cas ici.ici : L’axe de symétrie de l’angle xOy∑ est la droite (d), sa bissectrice.

je retiens


Exercice 51 1- Place un point A sur la demi-droite [Ox)

O

x

y

et un point B sur la demi-droite [Oy) tels que : OA = OB.

2- Trace le segment [AB]. Que peux-tu dire du triangle OAB ?

............................................................................

............................................................................

............................................................................

3- Trace la médiatrice du segment [AB]. Que sais-tu également de cette médiatrice ? Justifie.

............................................................................

............................................................................

............................................................................

lis attentivement le paragraphe ci-dessous.




je comprends la méthode

trace la bissectrice de l’angle xOy∑ à l’aide d’un compas

O

x

y

1- On prend un écartement de compas quelconque et on trace un arc de cercle de centre O qui coupe les deux demi-droites [Ox) et [Oy) en deux points

2- On prend un nouvel écartement de compas (mais on peut aussi garder le même) et on trace un arc de cercle de centre A.

O

x

y

A

B

O

x

y

A

B

3- On garde le même écartement que précédemment et on trace un arc de cercle de centre B qui coupe le précédent.

4- On trace la droite passant par O et le point d’intersection des deux arcs : c’est la bissectrice de l’angle xOy∑ . On code la figure.

Justifications : dans le triangle AOB isocèle en O, la droite (d) est la médiatrice du segment [AB]. C’est aussi la bissectrice de l’angle AOB∑ .

O

x

yB

A

O

x

y

(d)

B

A

remarque : pour construire (d), il est inutile de nommer A et B sur la figure (ici, ils sont nommés uniquement pour que tu comprennes mieux les explications).

Dorénavant, tu utiliseras toujours cette méthode pour construire une bissectrice. Prends une feuille de papier calque, reproduis par transparence les angles ci-dessous et effectue l’exercice.




Exercice 52 Trace la bissectrice de chacun des trois angles ci-dessous.

A

x t

sy

B

C

D

E

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant.

Exercice 53 1- Trace un triangle EFG tel que : EF = 11 cm ; EG = 7 cm et GF = 5 cm.

2- Trace la bissectrice (d1) de l’angle EG F∑ , la bissectrice (d2) de l’angle EFG∑ et la bissectrice (d3) de l’angle FEG∑.

3- Que remarques-tu ?

Enfin pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental :Sachant que multiplier par 0,5 revient à diviser par 2, calcule mentalement :

46 x 0,5 64 x 0,5 98 x 0,5

Réponse : 46 x 0,5 = 23 64 x 0,5 = 32 98 x 0,5 = 49

Séance 9Je découvre les propriétés du triangle équilatéral

Commençons par rappeler qu’un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Nous allons dans cette séance étudier de plus près les triangles équilatéraux. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.




Exercice 54 Ci-dessous, le même triangle équilatéral ABC est représenté 3 fois.

1 2

B C

A

B C

A

3

B C

A

1- Le triangle ABC est équilatéral donc il est isocèle en A. Par suite, ABC∑ = ........ .

Trace sur la figure 1 l’axe de symétrie passant par A en rouge. On sait que cette droite est aussi la bissectrice de l’angle .................... . Code-le sur la figure.

2- Le triangle ABC est équilatéral donc il est isocèle en B. Par suite, ACB∑ = ........ .

Trace sur la figure 2 l’axe de symétrie passant par B en rouge. On sait que cette droite est aussi la bissectrice de l’angle ............... . Code-le sur la figure.

3- Le triangle ABC est équilatéral donc il est isocèle en C. Trace sur la figure 3 l’axe de symétrie passant par C en rouge. On sait que cette droite est aussi la bissectrice de l’angle ..................... Code-le sur la figure.

4- D’après le1) et le 2), on a : ABC∑ = ......... et ACB∑ = ......... .

Par suite, ............ = ...............= ................ Les angles .................... , .................... et .................... du triangle équilatéral ont même mesure.

Comme les trois bissectrices tracées ci-dessus partagent en deux angles .................... chacun des trois angles, les six angles codés dans les figures 1,2 et 3 ont tous .........................................

5- Trace maintenant sur la figure ci-dessous les axes de symétrie et code les angles égaux.

B C

A

Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-après.




triANGLE éQUiLAtérALPropriétéSi un triangle ABC est équilatéral, alors :

B C

A

B C

A

• Ses trois angles sont égaux.

• Les médiatrices des trois côtés sont les trois axes de symétrie du triangle. Ce sont également les bissectrices des trois angles.

je retiens

Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 55 1- Trace un cercle de centre O et de diamètre [EF] tel que EF = 6 cm.

2- Trace la médiatrice (d) du segment [EF].

3- Construis un point M sur (d) tel que EM = EF.

4- Démontre que : EM F MEF MFE∑ ∑ ∑= =

Enfin pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental :

Sachant que multiplier par 11 revient à multiplier par 10 et à ajouter le nombre que l’on multiplie, calcule mentalement :

12 x 11 2,8 x 11 26 x 11

Réponse : 12 x 11 = 132 2,8 x 11 = 30,8 26 x 11 = 286

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. lis attentivement les questions et coche directement la ou les réponses justes sur ton livret. Une fois le test effectué, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.

Attention ! Pour certaines questions, plusieurs réponses proposées sont justes.




je m’évalue

1- Les deux figures ci-dessous (d) semblent-elles symétriques par rapport à la droite (d) ? ® OUI

® NON

2- Les deux figures ci-dessous sont-elles symétriques par rapport à la droite (d) ? (d) ® OUI

® NON

3- Dire que B’ est le symétrique de B par rapport à la droite (d) revient à dire que :

® B et B’ sont symétriques par rapport à la droite (d)

® (d) est la médiatrice du segment [BB’]

® B et B’ sont sur la droite (d)

® B est le symétrique de B’ par rapport à la droite (d)

4- Le symétrique d’un angle est :

® un angle

® un triangle

® un angle de mesure différente

® un angle de même mesure

5- Combien la figure ci-dessous a-t-elle d’axes de symétrie ?

® 6

® 12

® 4

®aucun

6- Le point M est sur la médiatrice du segment [KL], on a donc :

® KM = KL

® KM = ML

® MK = ML

® LM = KL

7- On a LH = LR. Le point L est donc :

® sur le segment [HR]

® sur le cercle de centre H passant par R

® sur le cercle de centre R passant par H

® sur la médiatrice du segment [HR]

8- L’axe de symétrie d’un triangle FJI isocèle en F est :

® la bissectrice de l’angle FI J∑

® la bissectrice de l’angle FJI∑

® la médiatrice du segment [IJ]

® la bissectrice de l’angle IF J∑

9-Le triangle HER possède deux angles égaux. Ce triangle est donc :

® rectangle en H

® rectangle isocèle

® équilatéral

® isocèle

10- Un angle admet un axe de symétrie qui est :

® parallèle à un de ses côtés

® perpendiculaire à un de ses côtés

® sa bissectrice

® confondu avec un de ses côtés



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séance 3 — Séquence 5 Séance 3...— 164 Cned, Mathématiques 6e Exercice 16 1-Construis le symétrique de la droite (AB) par rapport à (Δ). A B 2-Construis le symétrique (d’)