1. LA THORIE NON SYMTRIQUE DE LA GRAVITATION MAURICE R. TREMBLAY

2. ii Contenu 3. Contenu iii LA THORIE NON SYMTRIQUE DE LA GRAVITATION Et ses Implications dans lAstrophysique Contemporaine 4. iv Contenu 5. Contenu v LA THORIE NON SYMTRIQUE DE LA GRAVITATION Et ses Implications dans lAstrophysique Contemporaine MAURICE R. TREMBLAY 6. vi Contenu 2008, 2015, Maurice R. Tremblay Tremblay, Maurice R. (Maurice Rmi), 1966 La thorie non symtrique de la gravitation et ses implications dans lastrophysique contemporaine 7. Contenu vii PIERRE ALLARD MON PRE RMI TREMBLAY ET TOUS MES PARENTS ET AMIS SANS EUX, RIEN AURAIT T POSSIBLE 8. viii Contenu 9. Contenu ix Contenu Les sections indiques dun astrisque sont considres optionnelles et peuvent tre omises lors de la premire lecture. PRFACE xiv NOTATION xviii Vitesse de la Lumire Indices Vecteurs et 1-formes Drives Mtrique Llment de Longueur ds2 lment de Longueur de Minkowski lment de Longueur de Schwarzschild Connexions Courbure et autres Tenseurs Relis Densits 1 INTRODUCTION 1 1.1 Les Thories Classiques de Newton et de Maxwell 1 Repre Inertiel Deuxime Loi du Mouvement de Newton Transformations de Galile Invariance de la Loi de Newton Relativit Newtonienne quations de Maxwell quations dOndes Homognes Non-Invariance de lquation du Tlgraphe Explications Proposes avant 1905 1.2 La Thorie de la Relativit Restreinte dEinstein 6 Reformulation des Lois de la Physique Postulats de la Relativit Restreinte Transformations de Lorentz-Einstein Consquences de la Relativit Restreinte Transformations Gnralises des Coordonnes dans lEspace-temps 1.3 La Thorie de la Gravitation dEinstein 8 Nouvelle Thorie de la Gravitation Principe dquivalence dEinstein Principe de Mach Structure de lEspace-temps Action Gravitationnelle Totale Principe de Moindre Action quations du Champ dEinstein quation de Dviation Godsique quations du Champ Gravitationnel dEinstein dans le Vide Solution de Schwarzschild 1.4 Pourquoi nous faut-il une Nouvelle Thorie de la Gravitation? 18 1.5 La Thorie Non Symtrique de la Gravitation de Moffat 21 Appendice A Les quations de Maxwell 23 Appendice B Les Transformations de Lorentz-Einstein 27 Appendice C Rgles du Calcul des Rsidus/Variations 32 Bibliographie 33 2 CONCEPTS MATHMATIQUES DE BASE 35 2.1 Dfinitions Mathmatiques et Espaces Topologiques 35 Dfinitions, Ensembles et Topologie Representation par Carte Structure de Varit Espaces Tangentiels Varit Drivable Courbes Paramtrises Vecteurs Tangentiels Champs Vectoriels Formes dOrdre Un Produit Externe Tenseurs Drive Externe Drive de Lie Espace de Riemann Espace-temps Drive Covariante et la Connexion Affine Godsique Tenseur de Courbure Tenseur de Riemann-Christoffel Tenseur de Ricci Courbure Riemannienne Scalaire Identits de Bianchi Tenseur dEinstein Calcul du Tenseur de Riemann 2.2 Drivation Covariante et Transport Parallle 50 2.3 Courbure de lEspace-temps Non Riemannien 51 ix 10. x Contenu 2.4 Mtrique Non Symtrique 52 2.5 Formalisme Ttrade dans la Thorie Non Symtrique de la Gravitation 56 2.6 Ttrades Hyperboliques Complexes et la Symtrie Locale GL(4) 58 2.7 Extension Algbrique de lEspace-temps* 60 2.8 Gomtrie Non Riemannienne dans des Dimensions Suprieures* 65 2.9 LAction dans le Langage des Vierbeins 68 2.10 Autres Thories Non Riemanniennes* 69 Appendice Formes au Premier et au Second Ordre 70 Bibliographie 72 3 LES QUATIONS DU CHAMP 73 3.1 LAction et la Densit Lagrangienne 73 3.2 Les quations du Champ dans le Vide 74 3.3 Les quations du Champ avec des Sources Matrielles 76 3.4 Les Identits de Bianchi et les Lois de Conservation 79 3.5 La Source S 80 3.6 La Source T 81 3.7 LApproximation Linaire 84 3.8 Les Ondes Planes 90 3.9 Les Proprits Fantmes 91 3.10 La Linarisation de la TNG sur lArrire-plan de la TGE 93 3.11 Couplage entre la Courbure et la Mtrique Non Symtrique 96 3.12 Le Problme Valeur Initiale de Cauchy* 97 3.13 Rsum de la Thorie Non Symtrique de la Gravitation 99 Appendice A Drivation de = W + W 103 Appendice B Dveloppement de g[ ] 104 Bibliographie 105 4 LES SOLUTIONS DES QUATIONS DU CHAMP 107 4.1 La Solution Statique Symtrie Sphrique Extrieure 107 4.2 Le Thorme de Birkhoff 113 4.3 La Solution Statique Symtrie Sphrique dans la Thorie TNG-Maxwell* 114 4.4 La Solution Symtrie Sphrique Extrieure Dpendante du Temps 123 4.5 La Solution Statique Symtrie Sphrique Intrieure 127 4.6 La Solution Symtrie Sphrique Intrieure Dpendante du Temps 137 4.7 La Solution Cosmologique Symtrie Plane* 150 Cas i : = 1 Cas ii : 0 < 1 Pour = 0 Pour = 1/3 Pour l 2 0 et 2 0 Pour l 2 = 0 et 2 = 0 Cas 1ii = 1 Cas 1iii: = 1/3 Pour 2 = 0 Cas 2i: = 0 Cas 2ii: = 1 Cas 2iii: = 1/3 Pour l2 = 0 Cas 3i: = 0 Cas 3ii: = 1 Cas 3iii: = 1/3 Pour Bo = 1 (bo = 0), l 2 = 0 et 2 = 0 Cas 4i: = 0 Cas 4ii: = 1 Cas 4iii: = 1/3 Appendice Solutions Gnrales 163 Bibliographie 173 5 LES QUATIONS DU MOUVEMENT 175 5.1 La Particule dEssai 175 5.2 LApproximation Post Newtonienne* 180 5.3 Le Complexe nergie-Contrainte* 182 5.4 Les quations du Mouvement dun Corps Massif 184 5.5 LEffet Nrdverdt* 187 3 2 11. Contenu xi 5.6 Les Particules dEssais avec Moment Angulaire de Rotation* 196 5.7 Le Problme Trois Corps 198 Appendice Formalisme Post Newtonien 201 Bibliographie 203 6 LE DPLACEMENT DES PARTICULES DESSAIS 205 6.1 Le Dplacement dune Particule dEssai dans un Champ Statique Symtrie Sphrique 205 6.2 Le Dplacement dune Particule dEssai Massive 208 6.3 Le Mouvement Gyroscopique 210 6.4 Le Potentiel Gravitationnel 215 6.5 La Prcession de la Prihlie dune Particule dEssai 216 6.6 Le Dplacement du Priastre 220 6.7 La Dviation des Rayons Lumineux 222 6.8 Le Dcalage vers le Rouge et le Dcalage de Doppler 223 6.9 Le Temps Propre dune Horloge 225 6.10 Les Effets Retards des Signaux Radars 226 6.11 Les Coordonnes dExtension Maximale* 227 6.12 LEffondrement Gravitationnel et les Trous Noirs* 229 Cas i: Photons (E = 0) Cas ii: Particules (E = 1) sans charge TNG (lp = 0, K = 0) Cas iii: Particules (E = 1) avec charge TNG (lp 0, K 0) 6.13 Trous de Vers* 234 6.14 Rsum 240 Appendice Calcul de lIntgrale (6.11.11) 244 Bibliographie 245 7 LA VIOLATION DU PRINCIPE DQUIVALENCE 247 7.1 Introduction 247 7.2 Violation du Principe dquivalence Faible dans les Thories Non Symtriques de la Gravitation 248 7.3 LInvariance Locale de Lorentz 250 7.4 Anisotropie Spatiale 253 7.5 Polarisation de la Vitesse de la Lumire 255 7.6 La Diffrence de Phase* 258 Appendice Le Formalisme TH 259 8 UN MODLE POUR LE COURANT CONSERV DU NOMBRE FERMIONIQUE 261 8.1 Introduction 261 8.2 Le Courant Conserv du Nombre Fermionique 262 9 LES SOLUTIONS INTRIEURES DES NAINES BLANCHES ET DES TOILES NEUTRONS DANS LA TNG 267 9.1 Les Solutions Intrieures 267 9.2 Lquation dtat 269 9.3 Les Conditions de Stabilit 269 9.4 Les Solutions pour les Naines Blanches 270 9.5 Les Solution pour les toiles Neutrons 275 12. xii Contenu 10 EXPRIENCES BINAIRES 283 10.1 Calculs Stellaires et Limites sur 283 10.2 Le Pulsar PSR 1913+16 285 10.3 Les Binaires Non Dgnres 288 10.4 La Binaire DI Herculis 288 10.5 La Binaire AS Cam 290 10.6 Explication du Dplacement du Priastre Anormalement Faible Pour DI Herculis et AS Cam 291 10.7 Autres Systmes Binaires 292 10.8 La Binaire 4U 1820-30 293 10.9 Le Pulsar SN 1987 A 295 10.10 Conclusions 295 10.11 Rsum 297 Appendice La Radiation Gravitationnelle Dipolaire 299 11 EXPRIENCES LIMITES AU SYSTME SOLAIRE 305 11.1 Moment Quadripolaire du Soleil 305 11.2 Prcession de la Prihlie de Mercure 306 11.3 Effet Nrdverdt 308 11.4 Dviation des Rayons Lumineux prs du Soleil 308 11.5 Dlai Maximum des Signaux Radars 313 11.6 Valeur Pour et Contraintes du Modle 314 11.7 Conclusions 318 11.8 Rsum 320 Appendice Les Ondes Gravitationnelles dans la Thorie Non Symtrique de la Gravitation 322 12 EXPRIENCES TERRESTRES 329 12.1 Exprience de Pound-Rebka 329 12.2 Diffrence en Acclration 330 12.3 Fermions dans un Champ Gravitationnel 332 12.4 Gyroscope en Orbite 334 13 COSMOLOGIE 337 13.1 Introduction 337 13.2 Modle Cosmologique Non Uniforme et Non Singulier 340 13.3 Les Cas Pour et Contre le Modle Standard de la Cosmologie 344 13.4 Les Incertitudes Observationnelles 345 14 EFFONDREMENT GRAVITATIONNEL 347 14.1 Introduction 347 14.2 LEffondrement Gravitationnel dans la TNG 347 14.3 Les Explosions de Supernovae 348 15 CONCLUSIONS 351 16 VRIFICATIONS EXPRIMENTALES 353 16.1 Introduction 353 16.2 Jupiter 354 16.3 Saturne 357 16.4 Gyroscopes 360 fi 2 2 c f 13. Contenu xiii 16.5 Orbite Lunaire 361 16.6 Dviation Gravitationnelle de la Lumire par le Soleil 363 16.7 Horloges Atomiques 364 16.8 Mesure de la Polarisation dun Pulsar 366 16.9 Lignes Spectrales du Soleil 370 16.10 Conclusions 373 17 PROBLMES ASSOCIS LA THORIE NON SYMTRIQUE DE LA GRAVITATION 377 18 FORMULATION NON SINGULIRE 379 18.1 Introduction 379 18.2 La Solution Statique Symtrie Sphrique Non Singulire 381 18.3 Dveloppement Approximatif 383 18.4 Calculs Numriques 384 18.5 La Courbure Non Singulire et la Singularit des Coordonnes 386 18.6 Conclusions 387 19 FORMULATION NON SINGULIRE DE LA THORIE TNG-MAXWELL AVEC SOURCES 389 19.1 Dveloppement Approximatif de la Solution Statique Non Singulire 389 19.2 Les Quantits Physiques Non Singulires et la Singularit des Coordonnes 392 19.3 Conclusion 395 20 LA THORIE MASSIVE ET NON SYMTRIQUE DE LA GRAVITATION 397 20.1 Introduction 397 20.2 Les quations du Champ de la Thorie Massive et Non Symtrique de la Gravitation 398 20.3 LApproximation Linaire 398 20.4 Dveloppement des quations du Champ autour dun Arrire-plan Courbe 402 20.5 Thorme de Birkhoff 404 20.6 Solution Statique Symtrie Sphrique dans la TMNG 405 20.7 Conclusions 406 21 CONCLUSIONS GNRALES 407 Appendice Thorie Non Symtrique de Kaluza-Klein 413 RFRENCES 421 BIOGRAPHIE DE JOHN W. MOFFAT 439 14. Prface Ce travail comprend une revue complte et systmatique de la thorie non symtrique de la gravitation de John W. Moffat. Aucun ouvrage na russi jusqu prsent de mettre en forme prs de 1000 publications scientifiques entourant leffort soutenue aux thories non symtriques pendant la deuxime partie du 20e sicle (le but subsiste encore dans lesprance quun jour ldifice dune nouvelle thorie de la gravitation verra le jour o celle-ci sera davantage gnralise et possiblement non symtrique). Elle est fonde sur les dveloppements que nous ont procurs la relativit gnrale dEinstein en 1914. Son origine est dans un Albert Einstein mcontent que la relativit gnrale et la Thorie de la Gravitation dEinstein (TGE) annonce en 1916 ne peuvent expliquer lorigine du phnomne lectromagntique. Pour offrir une nature plus gnrale au champ gravitationnel, Einstein proposa la Thorie du Champ Unifie (TCU) en 1949. Mme en date de sa mort en 1955, Einstein nobtnt jamais des quations de la TCU, surtout dans la limite dun champ faible dpourvue mme de gravitation, une solution qui constituerait les quations de Maxwell dcrivant une onde lectromagntique. Cependant, en 1979, John W. Moffat proposa de considrer le champ non symtrique de la TCU comme tant un champ purement gravitationnel et proposa la Thorie Non symtrique de la Gravitation (TNG) une nouvelle thorie (non symtrique) de la gravitation. La TNG qui dcoule de cette nouvelle interprtation du champ gravitationnel est base sur le postulat de base que la gomtrie de lespace-temps est dtermine par une structure de champ gravitationnelle non riemannienne. Cette gomtrie gnralise est dfinie dans les quatre dimensions despace-temps par un lment de longueur (longueur darc ou intervalle), ds, qui servira dfinir les distances et le mouvement des godsiques. Il correspond en quelque sorte au Thorme de Pythagore, reprsent par la relation algbrique a2 + b2 = c2 (datant de 500 av. J.C.), explicitant le rapport mathmatique 3:4:5 entre la somme de chaque carr des deux cts adjacents (a et b) de langle droit ( = 90) et de lhypotnuse (c) dun triangle rectangle associ au plan Euclidien. Mathmatiquement, llment de longueur infinitsimal (i.e., ds2 ) est le carr de lintervalle entre deux coordonnes (e.g., x = [x0 , x1 , x2 , x3 ]) par rapport une origine quelconque (O ) et il est dfini par le produit de chacune des seize composantes de la mtrique* de lespace-temps, g , avec le produit des diffrentielles des coordonnes, dx et dx , entre elles. Consquemment, on a ds2 g dx dx . En plus de nous permettre de dfinir les distances, la mtrique non symtrique (i.e., g ) a la proprit dtre invariante dun systme de coordonnes lautre et elle reprsente comment les chelles varient dun point lautre dans lespace-temps. * La mtrique g (x ) est une fonction des coordonnes x = [x0 , x1 , x2 , x3 ] et elle est reprsente gomtriquement par une relation tensorielle (g ) qui correspond la somme matricielle des composantes de la mtrique symtrique de la relativit gnrale, g( )d x dx o g( ) = (g + g ), et des composantes antisymtriques du nouveau secteur de la thorie non symtrique de la gravitation, g[ ]d x dx o g[ ] = (g g ). g g ~ g g ~ xiv 15. Prface xv La TNG est base sur trois objets gomtriques: les composantes de la mtrique non symtrique (i.e., g) et deux connexions non symtriques (i.e., et W ). La variation des composantes (i.e., g ) de la mtrique (g ) est considre dans la reprsentation de la courbure et de la torsion du champ gravitationnel non symtrique (i.e., W = W []).* Il en dcoule alors quen plus de la courbure de lespace-temps familire la thorie de la gravitation dEinstein (ou relativit gnrale), il y a aussi la prsence dune torsion du champ gravitationnelle par la voie des composantes de la partie antisymtrique de la connexion (i.e., W ). On peut visualiser sommairement la gomtrie dun tel champ gravitationnel non symtrique arbitraire par une analogie la toile rige par une araigne o la toile reprsente un systme de coordonnes polaires dont les crneaux sont tordus par les contraintes lastiques (e.g., dues par exemple la courbure provoque par la masse linaire de la toile et la torsion asymtrique cre par les diffrentes tensions prsentent dans les filaments tisss). Alors, dans la TNG, la masse et la charge gnres dforment et tordent lespace-temps (via la courbure et la torsion, respectivement.) La thorie est base sur une formulation lagrangienne et on obtient des quations non linaires du champ, des lois de conservation et des quations du mouvement pour plusieurs situations dintrt. La TNG mne aussi des prdictions exprimentales intressantes que nous explorerons en profondeur car la TNG possde plusieurs solutions ses quations du champ dont une solution statique symtrie sphrique possdant un nouveau paramtre (i.e., l) une charge propose qui correspond au nombre conserv de particules dun corps et qui possde les dimensions de [longueur]. On applique cette solution plusieurs scnarios dont celui du systme solaire. Lorsque la charge du nombre conserv de particules dun corps est nulle (i.e., l = 0), llment de longueur se rduit la solution familire de Schwarzschild. De plus, la solution symtrie sphrique dpendante du temps intrieure non symtrique est applique aux naines blanches et aux toiles neutrons qui comporte un autre paramtre (i.e., s, li l2 ). Il existe aussi des solutions la thorie combine TNG-Maxwell, une solution symtrie sphrique non symtrique dpendante du temps extrieur dune source de champ gravitationnel, et quelques solutions dordres cosmologiques correspondants des situations isotropes ou inhomognes. La TNG est en accord avec toutes les donnes observationnelles lorsque les paramtres internes de la thorie sont proprement ajusts et peut mme expliquer quelques diffrences observationnelles qui ne peuvent tre expliques par la relativit gnrale dans des situations o les champs gravitationnels sont intenses un secteur qui offre davantage de possibilits que les solutions prsentement disponible par la voie de la relativit gnrale. Par exemple, la TNG est aussi en accord avec les mesures de temps du pulsar PSR 1913+16 et procure une explication pour le dplacement du priastre anormalement faible pour les systmes binaires tels DI Herculis et AS Cam o on trouve que lhypothse des cosmions peut jouer un rle significatif dans un arrangement convenable avec les donnes procurant ainsi, de la part de la TNG, un lien significatif entre les donnes astronomiques et lexistence de la matire noire et possiblement une quatrime gnration (ou famille) de particules. Une fois que les donnes de la prcession de la prihlie de Mercure ont t convenablement arranges, il suit que les prdictions faites par la TNG pour les autres vrifications du systme solaire sont toutes en accord avec les observations, incluant mme le cas o le coefficient du moment quadripolaire du Soleil serait lev. Ceci inclus la dviation de la lumire prs du Soleil, les donnes sur le dlai temporel, les donnes sur le dcalage vers le rouge et lEffet Nrdverdt o, dans la TNG, le rapport mG /mI est unitaire jusquau premier ordre dans lapproximation post newtonienne confirmant * Les composantes de la connexion symtrique (x ) sont donnes par la relation = [g (g, + g, g, )] o on reprsente la drivation par rapport aux composantes x0 , x1 , x2 , et x3 des coordonnes x , soit g, dg /dx . Les composantes et W sont relies entre elles par la relation : = W + W o = 1 lorsque = et = 0, autrement (i.e., lorsque ). Finalement, on dfini la trace W = [W [ ] ] [W W ]. 16. xvi Prface que la masse inertielle mI et la masse gravitationnelle mG reprsentent une seule et mme chose. Dans la limite du champ faible, seulement la radiation quadripolaire rsulte et il ny a pas de ples fantmes ou de tachyons. La bonne limite newtonienne est aussi obtenue. La TNG prdit aussi quau plus bas ordre en approximation le spin de la partie symtrique (i.e., h( )) est JP = 2+ comme dans la relativit gnrale (le graviton) tandis que le spin de la partie antisymtrique (i.e., h[ ]) est JP = 0+ correspondant une nouvelle particule, le skewon. Cette particule dantisymtricit gravitationnelle na toutefois jamais t observe. Du point de vue thorique, la gnralit et lattrait esthtique de la TNG comme thorie de lespace- temps mrite davantage dtude (e.g., Scalar-Tensor-Vector Gravity Theory aussi propose par Moffat* qui suggre maintenant une thorie covariant du genre scalaire-tenseur-vecteur de la gravit o on permet la constante gravitationnelle G, un couplage au champ vectoriel et une masse du champ vectoriel qui varient tous avec lespace et le temps). Citons par exemple le couplage de la mtrique non symtrique la courbure de larrire-plan de la relativit gnrale. Dans une tude prliminaire, il a t dcouvert queffectivement un terme de couplage entre la courbure de larrire-plan de la relativit gnrale et le dveloppement au premier ordre de la mtrique (i.e., [ ] ) rend la TNG inconsistante. Ce terme est manifestement non invariant sous une transformation rsiduelle ce qui implique que les modes longitudinaux (dapparence fantme) demeurent coupls dans la TNG. De faon correspondante, W ne russit pas se dcoupler parce que lquation de Maxwell quelle obit possde une source dpendante de la courbure de sorte quil est impossible de retirer W par un choix appropri de conditions initiales, ce qui implique que les modes dangereux ne se dcouplent pas, mme dans la thorie du vide. Cette situation est davantage embtante dans la version de la TNG qui considre le couplage avec la matire : des termes additionnels agissent comme des sources localises dondes W retardes. Pour remdier ces problmes fondamentaux, de nouvelles formulations de la TNG ont t tudies. Dans la Thorie Massive et Non symtrique de la Gravitation (TMNG), on incorpore trivialement un terme comportant une masse au lagrangien. En effet, cette nouvelle orientation vient de ltude dun nouveau secteur de la TNG et lensemble des solutions donne un comportement rgulier aux quantits physiques tel de dcalage vers le rouge et la densit dnergie. Il nexiste donc pas dhorizon vnementiel de trous noirs et aucune singularit de lespace-temps dans cette nouvelle formulation du champ gravitationnel. Le dveloppement qui suit est considr consistant et dbute par une introduction qui suggre limportance de la nature humaine de critiquer les thories tablies lorsque celles-ci manquent expliquer les concepts davantage fondamentaux. En ce sens, on dbute par expliciter la deuxime loi de Newton qui sert dcrire la dynamique du mouvement qui est invariante sous une transformation de coordonnes. On montre ensuite que les transformations de Galile laisse la loi de Newton invariante mais cependant, elle laisse aussi des termes additionnels lorsquon les applique aux quations de la thorie de llectromagntisme de Maxwell suggrant ainsi que le rsultat dexpriences de nature lectromagntique conduite dans un repre en mouvement rectiligne uniforme ( ) ne correspondront pas aux rsultats obtenus dans un repre au repos ( S ). On argument ensuite que seules les postulats et les quations de transformation de la relativit restreinte dEinstein russissent expliquer le rsultat ngatif de lexprience interfromtrique de Michelson-Morley et o la constance de la vitesse de la lumire a t confirme. Ensuite, on ajoute au principe de la relativit restreinte la ncessit du principe dquivalence pour formuler la base de la relativit gnrale, laquelle stipule quon ne peut distinguer localement un mouvement de chute libre * http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0506021.pdf (2005). 0 R 1 g S 17. Prface xvii (sans rotation) dans un champ gravitationnel dun mouvement uniformment acclr en labsence de champ gravitationnel. Puis finalement, on argumente que la relativit gnrale est elle aussi quune premire tape vers une thorie finale de la gravitation tout en se dissociant toutefois de la considration dun champ gravitationnel entirement symtrique en postulant une mtrique non symtrique du champ gravitationnel et un continuum purement gravitationnel en la partie antisymtrique de la mtrique. On explore ensuite lensemble des fondements et on explicite rigoureusement la formulation de la thorie non symtrique de la gravitation de Moffat, et finalement, on tudie ses implications dans lastrophysique contemporaine. Maurice R. TREMBLAY Embrun, Ontario, Canada Janvier, 2015 18. Notation En rgle gnrale, tous les symboles sont expliqus dans le texte. On identifie seulement les conventions courantes auxquelles lon obira tout au long de louvrage. Vitesse de la Lumire* La vitesse de la lumire est une constante et se propage approximativement par c ~ 300,000,000 mtres par seconde (on exprime un tel ordre de grandeur par 3108 m/s en notation scientifique). Dans le vide (vacuum), elle est prcisment gale c = 299,792,458 m/s ou 1,079,252,848.8 km/h, ou bien mme trente centimtres (un pied) par nanoseconde (109 s). Elle a comme origine les quations de Maxwell qui dcrivent lunification des effets lectriques aux phnomnes magntiques, desquels on dduit lexistence dune onde lectromagntique qui se propage delle-mme et qui se dplace au travers lespace avec une vitesse constante c = oo1 = 299,792,458 m/s. La particule lmentaire qui constitue une onde lumineuse est le photon un quanta dnergie lectromagntique. Lintensit de la radiation lectromagntique mise par un corps noir (un absorbeur parfait, aussi connue comme une cavit rayonnante) dpend de la frquence de la radiation (e.g., la couleur de la lumire) et de la temprature du corps selon une distribution de Planck. On reconnat lorigine de la dfinition de la lumire dans llectromagntisme de James Maxwell de la fin du 19e sicle, le champ gnr par le dplacement lectrique D reprsente comment le champ lectrique E influence lorganisation des charges lectriques dans un milieu donn, incluant la migration de charges et la rorientation des * Les trois dimensions de la lumire (i.e., ou toute autre radiation lectromagntique) sont lintensit I |A2 | (o A est lamplitude de londe lectromagntique), qui est relie la perception humaine par la brillance apparente de la lumire, la frquence f (o est la longueur donde lie cette dernire par la relation = c / f ), perue par les humains comme la couleur de la lumire, et la polarisation (p), une fonction de la quantit de mouvement de londe lectromagntique et laquelle les humains ne peroivent que faiblement sous des conditions normales. Des trois couleurs primaires, le vert est le plus lumineux, suivi du rouge, puis du bleu. La luminance lumineuse est l'intensit lumineuse d'une source lumineuse dans une direction donne, divise par l'aire apparente de cette source dans cette mme direction lunit de luminance lumineuse est le watt par mtre carr et par stradian W/m/sr) en units MKS (Mtre, Kilomtre, Seconde). La luminance nergtique monochromatique L est un flux nergtique (i.e., la puissance ou la luminosit [W]) par unit de surface (A [m2 ] ), par unit dangle solide (d [sr] ) et par unit de longueur donde ( [m] ) ; elle sexprime en W/m2 /sr/m. La loi de Planck dfinit donc la distribution de luminance nergtique monochromatique du rayonnement thermique du corps noir en fonction de la temprature thermodynamique Distribution L de Planck : = 1e 21 2 5 Tkhc hc L . [W/m2 /sr/m] o c = c / n est la vitesse du rayonnement lectromagntique dans le milieu o se propage le rayonnement, lindice de rfraction du milieu, n (pour la longueur donde quelconque ), la vitesse de la lumire dans le vide (c = 299,792,458 m/s), la constante de Planck (h = 6.626171034 Js), la constante de Boltzmann (k = 1.380661023 J/) et T est la temprature de la surface du corps noir (en degrs kelvins [ = C + 273.15]). xviii 19. Notation xix diples lectriques, et sa relation la permittivit est donne par la relation D = o E o la permittivit du vide o = 8.85418781761012 F/m [C2 /Nm2 ] est un scalaire si le milieu est isotrope tandis que la permabilit du vide o = 4 107 N/A [kgm/C2 ] ( 3.141692) provient de la relation vectorielle B = o H entre la densit du flux magntique (linduction magntique) B provoque par lintensit magntique H. Indices Les indices latins de bas de cage i, j, k, etc. couvrent gnralement les trois coordonnes spatiales 1, 2, 3, ou x, y, z. Les indices grecs , , ..., , , etc. couvrent gnralement les quatre coordonnes de lespace-temps 0, 1, 2, 3, ou ct, x, y, z, ou t, x, y, z, si c = 1. Les indices latins de haut de cage M, N, etc. couvrent gnralement les coordonnes des dimensions suprieures 1, 2, 3, 4, ..., n = dim(Vn), ou , 5, 6, 7, etc., et o dim(Vn) est la dimension de la varit Vn. Parfois, la coordonne temporelle t est identifie = 4. Les indices rpts sont somms moins davis contraire (Convention dEinstein). Vecteurs et 1-formes Les vecteurs cartsiens sont indiqus par un caractre-type gras : r = r , et o indique un vecteur unitaire dans la direction du vecteur r. Les quadrivecteurs sont indiqus par un caractre-type Impact italique : v = v e, o {e } est un ensemble de bases gnrales. Les formes dordre un (1-formes) sont indiqus par un caractre-type grec gras et italique : = , o { } est un ensemble de bases duales lensemble {e }. Drives En utilisant le concept de drive /x = [/x0 ,/x1 ,/x2 ,/x3 ] et du gradient = /x1 +/x2 +/x3 , [/x0 , ], on considre la variation et lorientation dune coordon- ne x de faon infinitsimale. Une virgule prcdant lindice de drivation : f, = f x = f . La permutation cyclique est indique par les accolades : V{[ ],} V[ ], + V[ ], + V[ ], . La drive directionnelle dune fonction le long dun quadrivecteur v quelconque est gnralement exprime de la faon suivante : v f . La drive covariante est gnralement exprime comme : u ou par un point- virgule u ; lorsquon utilise les composantes. Il faut cependant savoir par rapport quelle connexion on effectue la drivation covariante. La drive externe est identifie par d. Mtrique Par convention, les composantes de la mtrique de Minkowski, , dans un systme de coordonnes inertiel possde les lments diagonaux suivants : = diag(+1,1,1,1). On dfini le dAlembertien de la faon suivante : [ (/x )(/x )] = [ ] = 2 /(ct)2 2 . La mtrique non symtrique est identifie par g ou bien, en composantes, g = g( ) + g[ ]. La symtrie et lantisymtrie sont identifies par les parenthses et les crochets carrs : V( ) = (V + V ) et V[ ] = (V V ), respectivement. Un tenseur tel g reprsente la somme algbrique dun tenseur dordre-2, g( )d x dx , et dun 2-forme, g[ ]d x dx , o dx reprsente la diffrentielle des coordonnes x . En effet, tout tenseur est reprsent par un caractre-type Impact italique v . On abaisse et lve les composantes de la mtrique selon la relation : [g g] = [g g] = o lordre des indices est important. r r g g ~ 2 1 2 1 g g ~ g g ~ 20. xx Notation lment de Longueur ds2 La distance infinitsimale ds entre deux coordonnes despace-temps quelconque x = [x0 ,x1 ,x2 ,x3 ] et x v = [x0 ,x1 ,x2 ,x3 ] est mticuleusement reprsente par la combinaison linaire quadratique des produits des variations suivante : ds2 = g00 dx0 dx0 + g01 dx0 dx1 + g02 dx0 dx2 + g03 dx0 dx3 + g10 dx1 dx0 + g11 dx1 dx1 + g12 dx1 dx2 + g13 dx1 dx3 + g20dx2 dx0 + g21 dx2 dx1 + g22 dx2 dx2 + g23 dx2 dx3 + g30 dx3 dx0 + g31 dx3 dx1 + g32 dx3 dx2 + g33 dx3 dx3 . En introduisant une premire somme sur les coordonnes x v = [x0 ,x1 ,x2 ,x3 ], on obtient en premier lieu : ds2 = (g0 dx0 dx ) + (g1 dx1 dx ) + (g2 dx2 dx ) + (g3 dx3 dx ) et puis en introduisant une seconde somme sur les coordonnes x = [x0 ,x1 ,x2 ,x3 ], on exprime ds2 = [ (g dx dx )] = g dx dx . Les sommes souscrites aux indices et sont sommes de 0 3. On obtient finalement un lment de longueur ds2 g dx dx , o g = g( ) + g[ ] (la somme des composantes symtrique, g = g , et antisymtrique, g = g , respectivement). lment de Longueur de Minkowski Dans un plan orient quelconque situ dans un espace plat E (Euclidien) D = 4 dimensions (correspondant par exemple un continuum despace-temps) dcrit par la distance parcourue par la lumire pendant un temps t une vitesse c dans un systme de coordonnes cartsiennes* x, y, et z et quon a llment de longueur de Minkowski : ds2 = dx dx =tt d(ct)d(ct) +xx dxdx +yy dydy +zz dzdz = c2 dt2 dx2 dy2 dz2 si les composantes diagonales de la matrice 4 4 reprsentant les 16 composantes de la mtrique sont dfinies comme : tt = +1, xx = yy = zz = 1 ou bien : = diag(+1,1,1,1) ou encore (+,,,), par convention dans ce travail. Cette dernire est mieux reprsente par la relation : ds2 = c2 dt2 dr2 (o r = rr est le vecteur position o |r | = 1 m ou bien r = i + j + k o |i | = | j | = |k | = 1 m en assumant un systme dunits MKS pour reprsenter les distances mesure et parcourues). Dans un autre systme gomtrique tel une hypersphre de ralit H, les composantes symtriques g( ) de la mtrique non symtrique g sont relis la mtrique de lespace-temps plat de Minkowski par g( ) = [ (dx /dx )(dx /dx )]. On peut utiliser llment de longueur dans E en dfinissant un systme de coordonnes sphriques x = (ct,r, , ) donn par x = rsin cos , y = rsin sin , et z = rcos utilis pour dcrire convertir les coordonnes x = (ct,x,y,z) du systme dorigine de sorte que le nouveau systme soit dcrit par le temps t, le rayon |r| = r =(x2 + y2 + z2 )1/2 , langle du znith = tg1 (y/x), et langle de lazimut = cos1 [z/(x2 + y2 + z2 )1/2 ], respectivement. On obtient ds2 g( ) dx dx = g(tt) c2 dt dt + g(rr) drdr + g() d d + g() d d = c2 dt2 dr2 r2 d 2 r2 sin2 d 2 si les composantes diagonales de la mtrique sont dfinies comme : g(tt) = +1, g(rr) = 1, g() = r2 , g() = r2 sin2 ou bien g( ) = diag(+1,1,r2 ,r2 sin2 ) ou encore (+,,,). Cette dernire est mieux reprsente par ds2 = c2 dt 2 dr2 r2 (d 2 sin2 d 2 ). lment de Longueur de Schwarzschild Dans la relativit gnrale 4-dimensions, la visualisation devient davantage complique car une solution aux quations du champ dEinstein a t propose par Karl Schwarzschild en 1916 et qui dfinie llment de longueur (D = 4) par ds2 (12GmG/c2 r)c2 dt2 (12GmG/c2 r)1 dr2 r2 (d2 sin2 d 2 ) C(r)c2 dt2 A(r)dr2 B(r)d2 avec d 2 = d 2 sin2 d 2 . Schwarzschild a considr deux fonctions quelconque de la position r, (r) et (r), et les a misent en fonctions * Les coordonnes du quadri-vecteur position x = [ct,x,y,z] contiennent le temps t et les composantes dun vecteur positionn dans un systme cartsien quelconque qui correspond lensemble {x0 ,x1 ,x2 ,x3 }, nonobstant la constante c qui agit essentiellement en guise de pondration des signaux mis entre deux vnement situs une distance ds2 lune de lautre dans lespace-temps. 21. Notation xxi exponentielles, e (r) et e (r) , reprsentent des fonctions dfinies par x a ex o ex = exp(x) + =0 )!( n n nx avec la factorielle donne par n! = + = n i i1 = 1 2 3 ... (n1) n. Il obtnt que g(tt) = C (r) = e (r) , g(rr) = A(r) = e (r) , g( ) = B(r) = r2 , et g( ) = B(r) sin2 = r2 sin2 , o exp[ (r)] = exp[ (r)] = 1 RS / r. Par aprs, on a dfini lhorizon vnementiel dun trou noir par le rayon de Schwarzschild, RS = 2GmG/c2 , o mG est la masse gravitationnelle qui est prsente dans le continuum despace-temps. * Connexions Le symbole de Christoffel usuel de la Thorie de la Gravitation dEinstein est dfini par : = [, ]. Les composantes de la connexion symtrique sont donnes par : = = [g (g, + g, g, )], o = (symtrie) et g, = dg /dx . Les composantes de la connexion non symtrique sont donnes par : W , o W W . Les composantes de la connexion gnralise (en prsence de sources) sont donnes par : , o . Les composantes de la mtrique obissent la condition de compatibilit des composantes de la mtrique suivante : g, g g = 0. Les composantes des connexions et W sont relies par la relation: = W + W (transformation projective) o W = [W [ ]] est un multiplicateur de Lagrange (la trace de W [ ]). Courbure et autres Tenseurs Relis Les composantes du tenseur de Riemann sont reprsentes par : R ( ), R (W ), ou R (), selon quelles dpendent de la connexion , W , ou , respectivement. Il en est de mme pour toute quantit reprsente de la sorte. Un point sur une quantit indique gnralement la drivation par rapport au temps. Les quantits suivantes: , , etc. reprsentent des quantits dordre zro en approximation (larrire-plan de la TGE), de premier ordre en approximation, etc., respectivement. Les composantes du tenseur de Ricci sont reprsentes par : R . Le scalaire de courbure est dnot par : R = [R ]. Les composantes du tenseur dEinstein sont donnes par : G = R g R . * La masse de la Terre, mG = M [qui par convention est exprime soit en gramme (g selon le systme Imprial aux tats- Unis) ou en kilogramme (kg selon le systme Mtrique ou MKS) provoque le champ gravitationnel que lhumain ressent sur la surface de la Terre. Cette force gravitationnelle est cause par lacclration constante que lhumain ressent due la gravit, cause par la dformation que la masse M impose lespace-temps qui lentoure, soit g 10 mtres par seconde, par seconde (g = 9.810 m/s2 ) car avec M reprsentant la masse de la Terre (5.97421024 kg) et R reprsentant le rayon quatorial de la Terre (6,378,100 m). On peut calculer cette acclration en utilisant la relation g = (GM)/R 2 obtenue partir de la loi de la gravitation dIsaac Newton datant de la fin du 17e sicle). G est la constante de la gravitation universelle de Newton (6.67420.0010108 cm3 /s2 /g, ou bien en MKS, G = GN = 6.67621011 Nm2 /kg2 ). Le Newton [N] reprsente la notion de force gravitationnelle ressentit, W (e.g., son propre poids w = |W|) selon la seconde loi de Newton de la dynamique classique (e.g., lquation Fg =W = mI g = mI gk , o mI est la masse inertielle au repos, et k est un vecteur unitaire qui reprsente lchelle de ltalon de mesure et lorientation du repre de rfrence S par rapport un systme de coordonnes cartsiennes orthogonales de rfrence [ i , j ,k ]). Le signe indique que la force gravitationnelle W (poids dun humain) est orient vers le centre de la Terre. Lorsque son propre poids est nul (W = 0), on atteint ltat o lensemble des forces gravitationnelles et inertielles auxquelles son corps est soumis possde une rsultante et un moment rsultant nuls. Lapesanteur est donc le phnomne ressenti en labsence de gravit. 0 R 1 g 22. xxii Notation Densits Les densits (quantits invariantes) sont reprsentes par un caractre-type Fractur gras : XXXX = X o g = det |g | o || reprsente la valeur absolue qui est dfinie selon lalgbre | x | = | x | = x. g 23. 1 Introduction 1.1 Les Thories Classiques de Newton et de Maxwell Le principe de base de la thorie de Newton est que tout repre S est inertiel lorsquil est au repos par rapport au repre fixe des toiles distantes. On dfini r comme le vecteur position (avec r = rr o r = i + j + k dans un systme de coordonnes cartsiennes) partir de lorigine O. Maintenant, tout autre repre est aussi inertiel lorsquil se dplace vitesse constante (i.e., aucune acclration : a = |a | = | [ ]t t v 0 lim | = |dv/dt | = 0), do v est le vecteur vlocit (avec la vitesse donne par v = |v | = | [ ]t t r 0 lim | = |d r/d t| = a t) et p = mv est la quantit de mouvement.* Donc, selon Newton (inspir des travaux pralables de Galile) : 1. Si deux vnements sont simultans dans le repre inertiel S, ils sont simultans dans tous les repres inertiels ; 2. Le temps est universel, i.e., t = . La seconde loi du mouvement de Newton est donne par a rrvvp F m dt d m dt d dt d m dt d m dt md dt d == ==== 2 2 )( (1.1.1) o F est la rsultante de toutes les forces qui agissent dans le systme, m est la masse de lobjet, a est lacclration vectorielle, d/dt est la drive par rapport au temps universel t (tandis que d2 /dt2 est la deuxime). La Figure 1.1.1 montre que les repres S et sont relis par les transformations de Galile (1.1.2) tt = (1.1.3) * Dans D = 4, on utilise le quadri-vecteur quantit de mouvement P = [p0 , p] = [E/c, p] = [+ 2 o 2 )( cm+p , p] = [moc, v] o mo est la masse au repos dans le repre , E = moc2 = mc2 = 22 o 2 )()( cmc +p est lnergie totale (avec la masse relativiste m = mo), p = mov est la quantit de mouvement relativiste (vecteur) (avec p = [px, py, pz] ou bien p = [pr, p, p]), et 2 11 == ddt est un facteur de correction relativiste appel gamma relativiste, et la rapidit = |v|/c = v/c o v est la vitesse observe dans le repre de rfrence S dans lequel t est mesure et est le temps propre du repre en mouvement rectiligne uniforme v par rapport au repre S. P obit la relation p p = P P = E2 + p2 = m2 (avec P = g P ). Puisque les photons nont point de masse (ils sont nanmoins dcris dune longueur donde et dune frquence f relies par lquation. f = c, o c est la vitesse de la lumire dans le vide), on utilise une quantit de mouvement p = h ((((o h = 2 h = 6.261710-34 Joule-seconde et est le vecteur donde reli la longueur donde par la relation = || = 2 / ) et une nergie par quanta E = h = hf de frquence angulaire = d /dt = 2 f, on a = = [ 0, ] = [E/c, ] = [, ] et o le produit scalaire x donne x r E t , une relation utile pour dfinir lamplitude dune onde lectromagntique A(r,t) = Ao(r,t)Re[exp ( r t )] = sin( t r). Ne pas confondre la quantit de mouvement p avec limpulsion I = F dt = ( d p / d t ) dt = dp = p (la variation de la quantit de mouvement) car la force F est donne par la variation de p par rapport au temps universel t : F = dp/ dt. On a observ que la distance qui nous spare du Soleil est si grande que sa lumire nous parvient 8 minutes aprs avoir tait mise il faut 8 minutes aux photons mis par lastre Sol pour arriver sur Terre S . Selon la thorie de Newton, lastre Sol met sa lumire qui est instantanment reue sur la plante Terre S . S S t S tvrr += S S S S 1 24. 2 1 Introduction Figure 1.1.1: Le premier repre S est inertiel. Le second repre se dplace de faon uniforme avec une vitesse v par rapport au repre S. r = v t est le dplacement du repre dans un temps t. Les transformations donnes par les qs. (1.1.2) et (1.1.3) laissent la loi de Newton donne par lq. (1.1.1) invariante. Ceci suggre que les lois de Newton sont valables dans le premier repre S, elles le sont aussi dans le second repre : les deux repres sont inertiels. Alors, selon le modle de Newton, le temps est une quantit universelle et chaque repre inertiel indique le mme temps. La simultanit des vnements existe pour tous les repres inertiels. Les lois de Newton sont aussi invariantes pour : 1. une transformation orthogonale O i j ( )* (1.1.4) (1.1.5) 2. une rotation O i j ( ) et une translation a i du repre de rfrence dans un espace isotrope consistant daucune direction privilgie (1.1.6) 3. un changement dorigine du temps dans un espace homogne complet (1.1.7) * Avec laide dun paramtre (e.g., une rotation dun angle de du repre de rfrence autour de lorigine), on peut utiliser un systme de coordonnes polaires P(r, ) dcrit par x = x(r, ) = r cos et y = y(r, ) = r sin pour dcrire un mouvement circulaire quelconque. Le systme de coordonnes de S est donn par r j = [x,y] tandis que celui du systme de coordonnes est i r = [ x (r, ), y (r, )]. En utilisant une rotation R2 dans un plan, on a XRX )(2 = puisque = y x y x cossin sincos . Cest un exemple dune rotation R dun systme de rfrence dans un plan 2 dimensions dun angle donn par la relation = j jjii rOr ])([ o la matrice de rotation est donne par = cossin sincos )(ji O , soit les composantes du groupe O(2) ou group Orthogonal dans D = 2 dimensions avec les composantes du groupe O i j : O 11 = cos , O 22 = cos , O 12 = sin , et O 21 = sin . De plus, linverse est donne par O 1 ( ) = O( ) et llment unit du groupe (identit) par O1 ( ) O( ) = 1111 = 10 01 donnant ainsi lidentit O T 1111O = 1111 o la matrice transpose O T est dfini par [O i j ] T = [O j i ]. Incidemment, toute matrice orthogonale peut tre rcrite comme O( ) = = 0 ]!)([)(exp n n n o = + 01 10 . S S S == j jiji j jiji FOFrOr )()( i i i i F dt rd mF dt rd m == 2 2 2 2 i j jiji arOr += )( tddtttt =+= o S x3 x2 x1 (r,t) S vt 25. 1.1 Les Thories Classiques de Newton et de Maxwell 3 La relativit newtonienne davant 1905 (pr relativit) suggre donc que les lois de Newton sont indpendantes de : 1. la position ; 2. lorigine des temps ; 3. lorientation. On a alors une image dun monde homogne et isotrope tridimensionnel de lespace constitu de points au travers desquels les particules se dplacent selon des lois formules par lq. (1.1.1) et fonction dun paramtre que lon appelle le temps. Une consquence importante des lois classiques qui gouvernent le dplacement des particules est que ces lois sont les mmes pour tous les repres de rfrence se dplaant avec une vitesse uniforme lun par rapport lautre, cest--dire que les lois de la mcanique classique de Newton sont les mmes pour tous les repres relis lun par rapport lautre via une transformation de Galile donne par les qs. (1.1.2) et (1.1.3). On analyse maintenant lapplication de la mcanique classique la thorie de llectromagntisme de Maxwell. On effectuera une transformation de Galile lquation donde qui gouverne le dplacement des ondes lectromagntiques. Pour trouver cette quation donde, on dbute par numrer les quations de Maxwell qui sont donnes par (Appendice A) o )( )( r rE = (Loi de Gauss) (1.1.8) t = )( )( rB rE (Loi dinduction de Faraday) (1.1.9) 0)( = rB (Aucune charge magntique isole) (1.1.10) )( )( )( ooo rJ rE rB + = t (Loi dAmpre) (1.1.11) o est loprateur gradient ( = i /x + j /y +k /z) et o o est la permittivit du vide et o est la permabilit du vide. E(r) et B(r) sont les vecteurs (amplitude et direction) du champ lectrique et magntique, respectivement. (r) et J(r) sont la densit de charge et le vecteur courant, respectivement. On a expliciter la dpendance sur le vecteur position r pour indiquer la dpendance de ces quantits sur leur position respective dans lespace que lon considre essentiellement statique vue quil ny a pas de dpendance sur le temps t. Les qs. (1.1.8)-(1.1.11) sont les quations fondamentales de la thorie classique de llectromagntisme de Maxwell.* En prenant le produit vectoriel de lq. (1.1.9) et en utilisant lidentit (X) = (X) 2 X, on obtient EEEE 2 o 2 1 )()( == ttt = = JEB o2 2 oo (1.1.12) ou bien t t = )( )( 1 )( o o 2 2 oo 2 rJ rr (1.1.13) De mme, avec lq. (1.1.11), on obtient )( )( )()( ooo 2 J E B t == )(o2 2 oo J B + = t (1.1.14) ou, avec lq. (1.1.10) * Le dplacement lectrique, D(r), qui correspond au dplacement des charges lectriques dans un milieu donn seffectue par le couplage de la permittivit du vide, o, et du champ lectrique, E(r), par la relation D = oE tandis que de densit du flux magntique (linduction magntique), B(r), rsulte du couplage de la permabilit du vide, o, et de lintensit magntique, H(r), selon la relation vectorielle B = oH. 26. 4 1 Introduction )()( o2 2 oo 2 rJrB = t (1.1.15) Les qs. (1.1.13) et (1.1.15) sont des quations dondes inhomognes en E(r) et B(r). Dans les rgions de lespace o (r), J(r)/ t et J(r) sont nuls, on obtient les quations dondes homognes en E(r) et B(r) suivantes 0rE = )( 1 2 2 2 2 tc (1.1.16) 0rB = )( 1 2 2 2 2 tc (1.1.17) o c = . La constante c (fondamentale et universelle) joue le rle de la vitesse de propagation de londe. Si f (r,t) est une fonction scalaire, lquation du tlgraphe est donne par (1.1.18) Sous une transformation de Galile donne par les qs. (1.1.2) et (1.1.3), ri ri vi t = et puisque f (r,t) est une fonction scalaire, elle doit tre la mme si elle dpend de variables diffrentes en et t. Donc (1.1.19) Maintenant (1.1.20) de sorte que (1.1.21) Mais t tg tg += ),( ),( r rv (1.1.22) et [ ]),( ),( 2 ),(),( 2 2 2 2 tg t tg t tg t tf rvv r v rr + + = (1.1.23) Donc, lquation du tlgraphe se transforme selon la loi (phnomnes pouvant tre observs en laboratoire en tout temps)1 ),( 1 )( 2 )( 1 ),( 1 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 tg tctcc tf tc rvvr = (1.1.24) On note les termes 2(v )g(r ,t)/t et (v )2 g(r ,t) additionnels aux termes 2 g(r ,t) (1/c2 )2 g(r ,t)/t2 : ceci indique le manque dinvariance de la transformation f (r,t) dans le repre S qui passe la fonction g(r ,t) dans le repre et nont jamais t observs en laboratoire de faon continue. La non invariance de lquation du tlgraphe est donc explicite : ),()()(2 1 ),( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tg ttc tf tc rvvr + + = (1.1.25) Il est donc vident que lquation qui gouverne la propagation dondes lectromagntiques a une forme diffrente lorsque lon se retrouve dans le repre , avec les coordonnes , que dans le repre S avec les coordonnes ri. On conclut donc oo1 0),( 1 2 2 2 2 = tf tc r ir r )),,((),(),( ttgtgtf rrrr == i ij jj i j i x tg x tg x x x tf = = = ),(),(),( 3 1 rrr ),(),( 22 tgtf rr = t tg x tg t x t tf jj j + = = ),(),(),( 3 1 rrr S S ir 27. 1.1 Les Thories Classiques de Newton et de Maxwell 5 que la forme de lq. (1.1.18) nest pas invariante sous les transformations de Galile donnes par les qs. (1.1.2) et (1.1.3)! Puisque lq. (1.1.18) reprsente la loi de propagation des ondes lectromagntiques on est se poser si le choix du repre inertiel de Galile a une quelque sorte dinfluence sur les lois de llectromagntisme. Comme on a pu le constater, il y a un problme relier les deux thories : llectromagntisme de Maxwell et la mcanique classique de Newton. Il serait plutt important de se poser de srieuses rserves au sujet de linvariance des quations du mouvement de Newton sous les transformations de Galile et mme mettre en cause lindpendance du temps dans les repres inertiels. La seule faon de remdier ce problme est de se tourner vers la mthode exprimentale et de vrifier que la constante c qui apparat dans lq. (1.1.18) rfre la vitesse de propagation de londe dans un repre inertiel privilgi de sorte que les quations de Maxwell soient exactes seulement dans ce repre, ou bien quil existe dans la mcanique classique une problmatique envers la description de la nature. Ce repre privilgi (ou ther) est considr comme tant un milieu de propagation essentiellement au repos. Pour vrifier lexistence de lther, un certain nombre dexpriences ont t conues tels lexprience de Trauton-Noble et linterfromtre de Michelson-Morley. Ce dernier na pas trouv de diffrence dans une diffrence de phase* produite par la propagation de deux trains dondes perpendiculaires lun de lautre indiquant quil ny a pas de direction prfrentielle dans lespace. Un bon nombre dhypothses furent proposes pour expliquer les rsultats dcevant de Trauton-Noble et de Michelson-Morley dont : 1. Lanalogie avec le son o la vitesse du son est plus grande dans les milieux plus durs (e.g., 1220 m/s dans le Fer vs. 335 m/s dans lair.) Dans ce cas, lther devrait tre la fois trs dure, pour pouvoir transmettre la lumire cette vitesse, mais trs souple pour permettre la Terre et aux astres de le traverser sans effort. Il y a donc une contradiction entre ces deux considrations. Mais, sil y a une faible rsistance, on peut concevoir que lther est entran par la Terre : lther tant stationnaire par rapport la Terre expliquerait le rsultat ngatif de Michelson-Morley puisque la source de lumire est terrestre ; 2. Laberration de la lumire qui considre que si la Terre ne se dplace pas dans lther, on pourrait alors observer une toile dans un tlescope en pointant celui-ci directement ltoile. Mais si la Terre se dplace, il faut incliner le tlescope de faon observer ltoile. Si lther est au repos dans la rgion de ltoile mais est entraner par la Terre, on aurait une courbure du rayon de lumire (et en consquence on naurait pas incliner le tlescope.) On pourrait donc vrifier le mouvement de la Terre. Or, on trouve que la Terre nentrane pas lther, ce qui contredit lhypothse (1) ; 3. La contraction des longueurs de Lorentz-Fitzgerald o on essaie dexpliquer le rsultat ngatif de Michelson-Morley en supposant quil y a une contraction du bras de linterfromtre qui est dans la direction du mouvement : cest la contraction de Lorentz-Fitzgerald. Seulement la proposition dEinstein russit convaincre la communaut scientifique quun changement radicale dans la faon de penser du temps tait ncessaire. * Ceci est indiqu par des franges dinterfrences qui se combinent constructivement ou destructivement sur un plan distant et dpendent quon a une diffrence de phase entre les deux trajectoires ou non. 28. 6 1 Introduction 1.2 La Thorie de la Relativit Restreinte dEinstein On a donc vu dans la Section 1.1 que certains concepts illusoires de lespace et du temps prvalaient parmi tant dautres dans la formulation des lois de la physique selon le modle de Newton. La thorie de Maxwell fut favorise considrant son potentiel exprimentale montrer que les qs. (1.1.2) et (1.1.3) sont inexactes compenser pour la description dune exprience effectue dans un repre partir dun repre S. La thorie de llectromagntisme de Maxwell tait dj en accord avec la relativit restreinte ; elle est compatible avec les notions de la pr relativit (structure despace-temps) moins que des repres inertiels prfrentiels soient introduits.1 Cependant, la thorie de la gravitation propose par Newton nest pas en accord avec la relativit restreinte car elle invoque la notion dinfluence instantane dun corps sur un autre. Lorsque la notion fondamentale des transformations de Galile appliques aux quations de Maxwell fut rejete, on sengageait donc modifier et reformuler les lois de la physique, notamment celles de Newton, pour quelles soient consistantes avec la structure de lespace-temps donne par la thorie de la relativit restreinte. Les postulats de la relativit restreinte sont les suivants : 1. Toutes les lois de la nature ont la mme forme dans tous les repres inertiels ; 2. La vitesse de la lumire est une constante universelle, la mme dans tous les repres inertiels ; 3. La vitesse de la lumire est indpendante de la vitesse de la source. Ces postulats expliquent le rsultat ngatif de lexprience de Michelson. Un repre de rfrence sur la Terre peut donc tre considr comme un repre inertiel vue que lacclration de la Terre vers le Soleil est faible. Selon le postulat (2) dEinstein, la vitesse de la lumire est une constante universelle. Si on considre un dplacement selon laxe Ox1, les transformations de Lorentz-Einstein sont donnes par (voir lAppendice B pour un dveloppement qui dmontre ces relations) (1.2.1) (1.2.2) (1.2.3) (1.2.4) o v1 = dx1 /dt. Pour obtenir les transformations inverses, on remplace les v1 par v1 et on change les barres en sans-barres et vis-versa. Les consquences de ces transformations sont les suivantes : 1. La simultanit est relative. 2. Le temps dpend du temps t et de la position. 3. Si deux vnements se produisent simultanment dans S deux positions diffrentes, ils ne sont pas simultans dans . Lq. (1.2.1) indique quil y a contraction des longueurs dans la direction du mouvement dune rgle qui sert a mesur dans vue par S. Il ny a aucune contraction transversale au mouvement car et . Cependant, lq. (1.2.4) indique que pour une horloge en mouvement dans , elle tourne plus lentement lorsque vue par un observateur dans S. Cest ce quon appel la dilatation du temps. On compose en effet une horloge de avec deux horloges de S. Par symtrie, un observateur de voit que les horloges de S tournent plus lentement que celle de . La dilatation du temps peut tre S 2 1 11 1 1 = c v tvx x 22 xx = 33 xx = 2 1 1 2 1 1 = c v x c v t t t S S 22 xx = 33 xx = S S S S Dplacement selon laxe Ox1 seulement. 29. 1.3 La Thorie de la Relativit Restreinte dEinstein 7 vrifie exprimentalement en mesurant lactivit des msons dans les rayons cosmiques qui ont une vitesse de lordre de 90% de celle de la lumire (e.g., 0.9c). On observe que la vie moyenne des msons au repos vs. celle des msons en mouvement (1.2.5) ce qui est en effet mesur exprimentalement et compris parmi les bornes derreurs. Cest la vrification quune horloge en mouvement tourne plus lentement. Dans le cas des msons , ceux qui sont en mouvement vivent plus longtemps que ceux qui sont au repos ! On peut rcrire les qs. (1.2.1)-(1.2.4) de la faon matricielle suivante o x0 = ct* = = 3 2 21 011 21 110 0 3 2 1 2121 1 21 1 21 0 3 2 1 )(1 )( )(1 )( 1000 0100 00 )(1 1 )(1 00 )(1)(1 1 x x cv xcvx cv xcvx x x x x cvcv cv cv cv cv x x x x (1.2.6) ou bien, lorsqu'on compare avec lq. (1.1.6), on obtient (en incluant une translation constante a ) (1.2.7) avec et = 0, 1, 2, 3 et o la matrice des transformations de Lorentz-Einstein est donne par (toujours, selon la direction x1 comme indiqu dans la Figure 1.1.1) = = 1000 0100 00 )(1 1 )(1 00 )(1)(1 1 2121 1 21 1 21 3 3 3 2 3 1 3 0 3 2 2 2 2 1 2 0 1 3 1 2 1 1 1 0 0 3 0 2 0 1 0 0 cvcv cv cv cv cv (1.2.8) Puisque la relativit dEinstein stipule lquivalence de certains systmes de rfrence inertiels. Si x sont les coordonnes dans un systme inertiel, alors dans tous les autres systme inertiel x doivent satisfaire = xdxdxdxd (1.2.9) La matrice doit satisfaire la relation suivante = (1.2.10) o xx = . La mtrique (de lespace-temps plat de Minkowski) est la mtrique du groupe de Lorentz O(1,3) o les valeurs 1 et 3 sont d la nature de linvariant ds2 = c2 dt2 dx2 dy2 dz2 et les composantes diagonales de la mtrique qui sont dfinies comme : tt = +1, xx =yy =zz = 1 ou bien = diag(+1,1,1,1) ou encore (+,,,). * Le produit de ces matrices 44 ( reprsente la range et la colonne) se fait ainsi : 3 3 2 2 1 1 0 0 3 0 xxxxxx v +++== = pour = 0, 1, 2 et 3. sec107.5 9.0 1 6 2 reposau mouvementen = c c axx += = 3 0 30. 8 1 Introduction 1.3 La Thorie de la Gravitation dEinstein Avant la thorie de la gravitation d'Einstein, la relativit gnrale, les notions pr-relativistes de l'espace et du temps prvalaient parmi tant d'autres dans la formulation des lois de la physique. Lorsque ces notions furent rejetes, on s'engageait donc modifier et reformuler les lois de la physique pour qu'elles soient consistantes avec la structure de l'espace-temps donne par la thorie de la relativit restreinte. La thorie de l'lectromagntisme de Maxwell tait dj en accord avec la relativit restreinte1 ; elle est compatible avec les notions de la pr-relativit (structure d'espace-temps) moins que des repres inertiels prfrentiels soient introduits.2 Cependant, la thorie de la gravitation propose par Newton n'est pas en accord avec la relativit restreinte car elle invoque la notion d'influence instantane d'un corps sur un autre.1,* La Thorie de la Gravitation dEinstein (TGE) est la locution quon attribue la relativit gnrale, la thorie gomtrique de la gravitation dveloppe par Einstein et prsente de 1914 1916.6,7 Cest une gnralisation de la relativit restreinte, et inclut la thorie de la gravitation classique de Newton comme cas limite lorsque les champs gravitationnels impliqus sont faibles et que les vitesses de tous les corps prsents dans le champ sont faibles comparer celle de la lumire. La relativit restreinte, propose en 1905 par Einstein,1 a t rapidement accepte par les physiciens de lpoque en vertu de son lgance thorique et de son succs exprimental, comme il tait trs bien tabli en 1915. Une des prmisses de base de la relativit restreinte est quaucun effet physique ne peut se propager avec une vitesse plus leve que celle de la lumire, de sorte que la vitesse de la lumire, c, reprsente une limite constante de vitesse qui est universelle. Cependant, la thorie classique de la gravitation dcrit le champ gravitationnel dun corps dans lensemble de lespace comme une fonction de sa position instantane, ce qui est quivalent la supposition que les effets gravitationnels se propagent avec une vitesse infinie, cest--dire que la thorie classique de la gravitation est une thorie daction--distance. Alors, la relativit restreinte et la thorie classique de la gravitation sont inconsistants, et une thorie modifie de la gravit devient ncessaire. Cest la thorie recherche et trouve par Einstein de 1905 1916, suivant sa formulation de la relativit restreinte. Dans la relativit restreinte, Einstein a tabli quil y a invariance de la mesure des distances dans un espace-temps quatre dimensions. Cette invariance correspond dire que lintervalle despace-temps dfinie dans un systme de coordonnes sphriques x = (ct,r) = (ct,r, , ) 222222222222 sin drdrdrdtcddtcds == r (1.3.1) est partout constant dans un espace-temps. Ceci implique par exemple que peu importe les repres choisit (aussi longtemps quils se dplacent en vitesse uniforme), un observateur au repos et un observateur se dplaant selon une vitesse uniforme mesureront la mme distance entre deux vnements distants. Einstein ajouta cette loi en proposant quon ne pense pas que le champ gravitationnel soit un nouveau champ mais plutt quil correspondrait la dviation de la gomtrie de lespace-temps de Minkowski exprime par lq. (1.3.1) qui est propre la relativit restreinte.8,1 Une question troublante et embtante a t longtemps considre savoir pourquoi les corps de masses diffrentes tombent avec la mme acclration dans un champ gravitationnel, ou de faon quivalente, pourquoi la trajectoire dun corps dessai est indpendante de sa masse? Cette situation a t explique par Newton avec la citation que, la fois, la force gravitationnelle sur un corps et sa rsistance inertielle lacclration sont proportionnelles sa masse. Alors, la masse nest pas incluse dans la description mathmatique du mouvement. Dans les expriences de laboratoire publies en 1922 par L. von Etvs,2 il a t trouv que ceci est vraie quelques parties par milliard. Plus tard, les travaux de R. Dicke3 ont amlior la prcision quelques parties par 1011 , et V. Braginsky4 a obtenu une prcision quelques parties par 1012 . Alors, lindpendance du mouvement dun corps dessai sur sa masse est une des mthodes exprimentales les plus prcises de la physique. Lexplication qua offert Newton nest pas trs explicite et est plutt de nature ad hoc en description. Une explication beaucoup plus naturelle et concise est due Einstein. En fait, cest alors quil travaille au bureau des brevets en 1907 quil eut la plus belle pense de sa vie : * Les lois de Newton sont invariantes (cest--dire que les quations du mouvement ne changent pas d'un repre en mouvement un autre) sous les transformations de Galile. Malheureusement, les quations de Maxwell ne le sont pas (Section 1.1). Ceci pose alors un srieux problme : les lois de Newton dcrivaient trs bien la nature la fin du 19e sicle, alors que les quations de Maxwell taient nouvellement formules. Les quations de Maxwell reprsentent la loi de propagation vitesse constante c d'une onde lectromagntique. Cependant, puisque les quations de Maxwell ne sont pas invariantes suivant les transformations de Galile, ceci mit en doute l'invariance gnrale sous les transformations de Galile en plus de reconsidrer l'indpendance du temps dans les systmes inertiels. Est-ce que la vitesse dune onde tel que prdite par les quations de Maxwell constante? Ou est-ce que la formulation des lois du mouvement tel que dcrite par les lois de Newton reprsentative du comportement naturel? Ces considrations furent la base de toute la dmarche propose et rsolue par la relativit restreinte propose par Poincar, Lorentz, Einstein et plusieurs autres. Lorsquon parle dun champ, tel le champ gravitationnel, nous parlons dune collection de nombres, lesquelles sont dfinis en tout point de lespace et ils dcrivent compltement une force en ce point. 31. 1.3 La Thorie de la Gravitation dEinstein 9 Jtais assis sur une chaise dans le bureau des brevets lorsque soudainement une pense mest apparue : si une personne tombe en chute libre, elle ne ressentira pas sa propre pesanteur! Jai sursaut. Cette simple pense a produit une impression durable en ma personne. Elle ma propuls vers une thorie de la gravitation.5 Dans la physique, il y a beaucoup dexemples de forces autres que la gravitation qui sont proportionnelles la masse ; celles-ci naissent gnralement de lutilisation de systmes de coordonnes qui sont acclrs pour dcrire le mouvement. Un exemple bien connu est la force centrifuge, rencontre dans un systme de coordonnes en rotation. Considrons un observateur dans le champ gravitationnel de la Terre et un autre dans un ascenseur ou une fuse en acclration dans lespace libre. Si les deux personnes laissent tomber un corps quelconque, ils observeront quil acclre de faon relative par rapport au sol. Selon la thorie classique, lobservateur situ sur Terre attribuerait cette force une force gravitationnelle et lobservateur dans lascenseur attribuera cette mme force au sol en acclration qui rattrape le corps en mouvement uniforme. Cependant, Einstein conclut que les effets sont identiques et que la thorie de la gravitation devrait procurer une description quivalente des deux systmes. Cest le fameux principe dquivalence quEinstein utilisa pour formuler la relativit gnrale ; le principe dquivalence dEinstein cite que sur une chelle locale, les effets physiques du champ gravitationnel sont indiscernables des effets physiques dun systme de coordonnes acclr. Du point de vue du principe dquivalence, la cause du fait que le mouvement dun corps dessai dans un champ gravitationnel est indpendant de sa masse est vidente. Selon la thorie de Newton,6,7,8 ceci correspond dire que la force gravitationnelle sur un corps est proportionnelle sa masse inertielle et inversement proportionnelle au carr de la distance r qui spare une masse m de celle la masse M qui agit comme la source de gravitation (F GM/r2 ou bien Fg = mg = GN mM/r2 , o GN est la constante universelle de gravitation de Newton.) Le principe dquivalence dEinstein stipule donc que le dplacement est indpendant de la nature des corps et que les parcours dobjets en chute libre dfinissent un ensemble de courbes dans lespace-temps tout comme il le font en relativit restreinte. Ceci nous suggre donc la possibilit que les proprits du champ gravitationnel sous-tendent la structure de lespace-temps lui-mme. Einstein eut donc recours deux ides originales et suivit une nouvelle voie plutt que de modifier la thorie de la gravitation de Newton.1 La premire ide fut que tous les corps sont influencs par la gravit et de plus, que tous les corps tombent prcisment de la mme faon dans un champ gravitationnel cest le principe dquivalence. La seconde ide quEinstein utilisa pour formuler sa thorie fut le principe de Mach.8 En relativit restreinte comme pour les notions de lespace-temps de la pr relativit, la structure de lespace-temps nest donne quune fois pour toute, et elle nest daucune faon influence par les objets matriels qui peuvent y tre prsents. En particulier, le dplacement inertiel et sans rotation nest pas influenc par la matire dans lunivers. Mach, comme bon nombre de philosophes avant lui (en particulier Riemann), trouva cette ide insatisfaisante. Plutt, Mach se sentait plus laise de penser que toute la matire dans lunivers devrait contribuer la dfinition locale de sans acclration et sans rotation et que dans un univers dnu de matire, ces concepts ne devraient avoir aucun effet. Einstein accepta cette ide et fut fortement motiv chercher une thorie o, contrairement la relativit restreinte, la structure de lespace-temps serait influence par la prsence de matire.1 Du point de vue exprimental, ce ne fut quau dbut des annes soixante quune nouvelle gnration dexpriences gravitationnelles confirmrent les prdictions de la thorie dEinstein, au-del des trois vrifications classiques, dont la dviation de la lumire fut la plus convaincante9 ; le moment quadripolaire du Soleil cause encore certains problmes en ce qui concerne la prcession de la prihlie de Mercure comme vrification dfinitive.10 De plus, la thorie dEinstein est en accord avec les relevs obtenus auprs du pulsar PSR 1913+16 en ce qui concerne lexistence indirecte des ondes gravitationnelles.11 Il reste aussi la dtection encore dsire du quantum de gravitation, le graviton, qui serait le mdiateur de la force gravitationnelle dans la thorie quantique et celle des ondes gravitationnelles directement dans un laboratoire terrestre.12 La cosmologie offre aussi plusieurs nigmes.13 La nouvelle thorie de lespace, du temps et de la gravitation, la relativit gnrale, propose initialement par Einstein en 19147,8,1 affirme que les proprits intrinsques de la mtrique de lespace-temps,* indpendantes dun observateur, nont * Avant dentreprendre notre discussion sur la TGE, il serait appropri de dfinir quelques termes qui sont essentiels dans cette partie du document. Dans lespace quatre dimensions que lon tudiera (lespace-temps), on a besoin dune collection de dix nombres en tout point de lespace-temps (vnement) pour dcrire sa courbure ou sa dformation dun espace plat de Minkowski. Peu importe combien de dformations sont subies par lespace-temps, cette collection de dix nombres en tout point suffit pour encoder toute linformation de cet espace. On dnote cette collection de dix nombres par la mtrique g , ou en ses composantes g (, = 0, 1, 2, 3) correspondant une matrice 4 4 16 lments. Cependant, dans la TGE, la mtrique est symtrique (g = g ) de part et dautre de la diagonale, ce qui nous permet de rduire notre nombre de composantes indpendantes pour la mtrique 10 pour tous les points de lespace-temps. La mtrique mesure donc de combien la dformation, les chelles de temps, et la pondration varient dun endroit lautre dans lespace-temps, et cest pourquoi les composantes g de la mtrique sont les potentiels gravitationnels du champ de gravitation. La mtrique g et ses composantes, g, dfinissent une entit gomtrique qui pondre les diffrentes diffrences de coordonnes avec elles-mmes et entre elles. La mtrique possde toute sa force dans son utilisation avec llment de longueur [voir lq. (1.3.1)], ou ds2 = dx dx , qui reprsente la distance au carr entre les diffrents points de lespace et est quelque peu reprsentative du Thorme de Pythagore. Par exemple, si on considre la surface dune table, les composantes de la mtrique dans le cas dun espace symtrique deux dimensions (reprsente par les coordonnes arbitraires x1 et x2 ) sont 1 = 1, 22 = 1, et 12 = 21 = 0, ou bien, = ( , = 1, 2). Llment de longueur (ou intervalle) ds2 est donn par[ ]0 1 1 0 32. 10 1 Introduction point besoin davoir la forme quelles ont en relativit restreinte. En Effet, la courbure, cest--dire la dviation de la mtrique de lespace-temps de sa forme minkowskienne, est la cause des effets physiques quon attribue au champ gravitationnel. De plus, la courbure de lespace-temps est relie au tenseur dnergie-impulsion de la matire dans lespace- temps via une quation postule par Einstein1 G = T (1.3.2) o = 8 G/c4 est une constante avec G, la constante gravitationnelle de Newton. Lq. (1.3.2) sexprime aussi de la faon suivante Gomtrie = (constante) nergie (1.3.3) G et Gomtrie sont tous deux une seule et mme fonction de la mtrique de lespace-temps g . Cette mtrique est un objet mathmatique qui dfinit les potentiels gravitationnels en tout point de lespace-temps. G reprsente alors la gomtrie du champ gravitationnel. T et nergie sont tous deux un seul et mme objet mathmatique qui tient compte de la distribution de la matire dans le champ gravitationnel. De cette faon, la structure de lespace-temps, qui prend forme dans la mtrique de lespace-temps, est relie au contenu de matire prsente dans lespace-temps, tout en tant en accord avec quelques- unes seulement des ides de Mach.1 Wheeler exprime bien le lien entre lespace et la matire : Space acts on matter, telling it how to move. In turn, matter reacts back on space, telling it how to curve.1,* Dans notre ralit tridimensionnelle donc, les corps tombent parce quils sont dans un espace-temps quatre dimensions courb par une source dnergie ou de matire plus imposante. Mais pour les corps, dans leur ralit quadridimensionnelle propre eux, ils ne tombent pas : ils se dplacent selon une ligne droite, une godsique. Cest encore une dmonstration du principe de relativit : toutes les observations dpendent de lendroit o on effectue ces observations (que lon soit dans un monde limit trois dimensions ou que lon se place dans une hyper ralit quatre dimensions.) La nature a choisi de vivre dans une ralit quatre dimensions mais nous observons le comportement des corps qui nous entourent dans une ralit trois dimensions despace et une de temps propre nous. De plus, en exigeant que les lois de la physique soient invariantes sous des transformations gnrales des coordonnes, Einstein dveloppa sa thorie de la gravitation en utilisant la gomtrie riemannienne et le principe dquivalence. Il ne fut pas autant guid par un besoin dexpliquer sa thorie aux rsultats exprimentaux contradictoires de lpoque que par sa recherche de beaut et de simplicit!14, Le besoin de mettre toutes les lois de la physique indpendantes de nimporte lequel choix de coordonnes et lquivalence de la masse inertielle et gravitationnelle taient la base de sa recherche. La premire condition fut remplie en exigeant que les parcours des corps soient des godsiques dans un espace-temps pseudo riemannien, dont la courbure est dtermine par la distribution de la matire dans le champ. Mais il ne fut pas satisfait pour autant. Nous utiliserons le principe de moindre action (principe de Hamilton) pour obtenir les quations du champ gravitationnel dEinstein ci-dessous, les quations de base derrire la formulation de la relativit gnrale. Mais avant de rsumer ce principe, nous devons dfinir le lagrangien. Lide fondamentale derrire la formulation lagrangienne rside dans le fait quil utilise des quantits scalaires (spcifies par un nombre rel seulement) plutt que vectorielles (spcifies par un nombre rel et une direction dans un systme de coordonnes quelconque.) Cette formulation est dautant plus convaincante que sa forme est indpendante des coordonnes utilises. On dnote le lagrangien par L, lequel dpend des ds2 = dx dx = (1 dx dx1 + 2 dx dx2 ) = 11 dx1 dx1 +21 dx2 dx1 + 12 dx1 dx2 + 22 dx2 dx2 = 11 (dx1 )2 + 212dx1 dx2 + 22(dx2 )2 = (1)(dx1 )2 + (1)(dx2 )2 . Alors, ds2 = (dx1 )2 + (dx2 )2 , ou si on veut en coordonnes cartsiennes, ds2 = dx2 + dy2 . Cest donc le Thorme de Pythagore dans le plan cartsien. Il en est de mme dans un espace quatre dimensions tel lespace-temps mais si la mtrique est symtrique, on aura une matrice 44 avec seize composantes. Cependant, puisque la mtrique est symtrique, les douze termes de part et dautre de la diagonale seront gaux nous laissant ainsi six composantes symtriques. En ajoutant les quatre composantes de la diagonale on aura alors dix composantes indpendantes pour la mtrique. Comment pouvons-nous trouver ces composantes? Bien, cest l quEinstein dmontra son gnie en proposant lq. (1.3.2) ci-dessous : Gomtrie = (constante) nergie , ou bien, G = (8 G/c4 )T , qui, dans le vide (pas de matire), donne Riemann = R = 0. G est reli la mtrique par la voie de R , nous donnant ainsi dix quations (fonctionnellement) indpendantes pour nos dix composantes de la mtrique. Il existe quatre identits, celles de Bianchi, exprimes Variation de la Gomtrie = 0, ou bien, GGGG = 0, qui relient les dix quations indpendantes de la mtrique pour ainsi donner 10 4 = 6 quations indpendantes pour la mtrique. Ceci nous laissant donc avec quatre degrs de libert (les quatre coordonnes) dans les dix composantes inconnues de la mtrique. * Lespace agit sur la matire, lui disant comment se dplacer. En retour, la matire ragit sur lespace, lui disant comment se courber. (Traduction libre.) Einstein considrait la courbure de lespace-temps (que lon identifiera comme Riemann , qui signifie le tenseur de Riemann), comme une entit gomtrique. Il la connotait marbre. La matire (ou lnergie) lui tait trs laide. Il ne lassociait pas dentit gomtrique. Il la connotait dont bois. On obtient donc la relation correspondant lq. (1.3.3) quEinstein dtesta : marbre bois. Le but quEinstein stait fix sa vie durant fut dexprimer toute lnergie de lunivers (toute la matire existante) sous forme gomtrique ; de transformer le bois en marbre, pour ainsi obtenir une relation du genre marbre = 0 : tout est gomtrie et rien nest matire. Il voulut que tous les phnomnes quon observe ne soit quune manifestation de la gomtrie quatre dimensions. Cest encore le but fix aujourdhui par les thoriciens par lentremise de la thorie des supercordes : lunification de tous les phnomnes dans une entit gomtrique dix ou onze dimensions (M-Theory) dont la matire ne serait que la manifestation de diffrentes rsonances. 33. 1.3 La Thorie de la Gravitation dEinstein 11 coordonnes , des vitesses , et possiblement explicitement de t lui-mme. Mais dans la majorit des cas, le lagrangien est simplement la diffrence entre les nergies cintique et potentielle : L = K V. (Voir lAppendice C). Nous utiliserons la mthode de Lagrange qui compare les trajectoires possibles entre elles et nous donne un critre pour choisir la bonne. Pour ce faire, nous calculerons une quantit, laction, S (), qui caractrise la trajectoire S () = (1.3.4) o L est le lagrangien. Le comportement le plus simple identifier est le point stationnaire, l o S est un extremum, soit la dfinition du principe de moindre action ou principe de Hamilton S () = = 0 (1.3.5) o fixe la bonne trajectoire sur laquelle S prend la valeur extrme laquelle est minimale dans un graphique S = f ( ). Dans la TGE, la relativit gnrale, un systme matriel dcrit par un tenseur symtrique (qui satisfait les quations de conservation de lnergie et de limpulsion) suggre que ce mme systme peut tre driv du principe de moindre action (voir ci-dessus.) Cette mthode est trs utile (lorsquelle est applicable) puisquelle permet une relation naturelle entre les lois de conservation et les proprits de symtrie. Dans ce cas-ci, en relativit gnrale, la symtrie quon requiert est la covariance gnrale. Spcifions un champ dnergie selon un lagrangien Lc, qui dpend non seulement des variables du champ mais aussi des composantes de la mtrique, g. Le lagrangien doit tre un scalaire, pour ainsi assurer une description du champ qui sera indpendante dun systme (quelconque) de coordonnes quon pourrait ultrieurement choisir ; on appelle action lintgrale du lagrangien sur un ensemble ferm et compacte de la varit de lespace-temps Sc( ) = Lc d = LLLLc d 4 x (1.3.6) o d = d 4 x (g = det| g |) et LLLLc = Lc sont llment du quatre-volume invariant (dans lespace-temps) et la densit lagrangienne du champ dnergie, respectivement.* Le champ (ou une collection de champs) est postul comme tant en quilibre avec la gomtrie de larrire-plan (minkowskienne) ; pour cette condition, ni lun ni lautre des deux systmes, le champ et la gomtrie, ne devraient tre considrs sparment mais seulement comme un seul et unique systme, dans lequel les proprits dynamiques de la gomtrie du champ gravitationnel sont aussi dcrites par un lagrangien Lg . On dfinit donc laction gravitationnelle totale SG ( ) = Sc ( ) + Sg ( ) = ( Lc + Lg) d (1.3.7) La mtrique g est considre comme un champ dynamique ce qui implique que lquation qui tablira lquilibre entre la gomtrie et le champ externe est obtenue en imposant la condition de stationnarit de laction gravitationnelle totale SG sous une variation arbitraire de la mtrique avec un support dans SG = 0 (1.3.8) La variation des actions individuelles, Sc et Sg , sous loprateur nous procure des expressions tensorielles qui caractrisent (de faon covariante) les champs respectifs, de mme quelle nous permet dobtenir des quations de conservation. Considrons dabord laction du champ. Le postulat en cause ici est que le lagrangien Lc dpend seulement des composantes de la mtrique, g (x) et non de ses drives dordres suprieures, parce que cette condition est satisfaite par toute distribution raisonnable de matire. La variation par rapport la mtrique g , , nous donne donc Sc = (1.3.9) Puisque g = gg g , lq. (1.3.9) donne donc laction dun champ dnergie * Toutes les quantits, telles LLLL, gggg, etc., reprsentent des densits (quantits invariantes) lesquelles sont dfinit par XXXX = X. Le dterminant de la mtrique, g, est reli au jacobien, J = detx x , par g = J 2 g. En utilisant g (x) = (x x )(x x )g(x) on trouve que g = J . De plus, on considre que ( u ) = ( u ) et on utilise parfois les relations suivantes : g 0 et 0. )()( txi )()( txi & [ ]dtttxtx t t ii 2 1 ),(),( )()( &L d dS )( )(S g g g g g g + xdgdg g c c 4 )()( L L g g g g g 34. 12 1 Introduction Sc = (1.3.10) o T (1.3.11) sont les composantes dun tenseur symtrique. On identifie T avec les composantes du tenseur dnergie-impulsion du champ. De lq. (1.3.10) on obtient* (1.3.12) o est la drive covariante dans la direction dun vecteur de base e (voir Section 2.1) = e , (1.3.13) et o sont les composantes de la connexion affine qui mesure la quantit de torsion, de rotation, dexpansion, et de dformation de lespace-temps, et sont les composantes du vecteur de Killing (qui procure une description des translations qui prservent les dplacements infinitsimaux dans un champ) et qui obit lquation de Killing pour un champ vectoriel ( ) = 0 (1.3.14) En utilisant le thorme de Gauss et les symtries inhrentes des composantes contravariantes T , on obtient (1.3.15) o reprsente les composantes de la forme dordre un du volume, . Puisque le vecteur disparat la frontire ferme , lq. (1.3.15) donne, parce que le vecteur est arbitraire, les quations de conservation des composantes du tenseur dnergie-impulsion T = 0 (1.3.16) Puisque la gomtrie de lespace-temps rpond un champ externe en provoquant de la courbure, dpendant de la densit dnergie emmagasine dans le champ, elle aura des quations du mouvement qui lui seront propres. La seule variable dynamique de ce champ sera la mtrique, via ses composantes g . On cherche obtenir des quations qui, dans la limite dun champ gravitationnel faible, nous procurera lquation de la gravitation de Newton ; cest une quation diffrentielle partielle non linaire au second ordre du potentiel newtonien. Une exigence minimale est que les quations de la relativit gnrale doivent tre du mme degr et linaires dans les secondes drives partielles des composantes de la mtrique (qui jouent dailleurs le rle de potentiel gravitationnel.) Ceci est assur par laction qui est une intgrale dun lagrangien Lg , qui elle est une fonction des composantes g, g,, et g,, uniquement ; elle est linaire dans ces dernires composantes (les drives secondes) et est telle que des termes comme Lg /g, ne contiennent pas g,, . Laction la plus simple qui puisse satisfaire ces exigences fut trouve par D. Hilbert, soit laction gomtrique de Hilbert-Einstein pour un champ gravitationnel Sg = g dL 2 1 = (1.3.17) * Selon la notation non gomtrique, en terme de composantes, on a que ( ; ) = ( ; ; ), o le point-virgule reprsente la drivation covariante, (sous forme covariante) sont les composantes dun vecteur quelconque . ( ) et [ ] reprsentent la symtrisation et lantisymtrisation, respectivement : ( , ) = ( , + ,) et [, ] = ( , ,). Parlons un peu des circonstances entourant la dcouverte de laction reprsente par lq. (1.3.17). En effet Hilbert, inspir par les travaux antrieurs dEinstein et dun sminaire quEinstein donna Gttingen, prsenta cette action la runion de lAcadmie Royale des Sciences de Gttingen en 1915. Ceci survint seulement cinq jours seulement avant quEinstein prsente sa formulation dfinitive de la relativit gnrale, lors de la runion de lAcadmie Prussienne Berlin, publie en 1916. Mais cest Einstein qui fit tous les travaux prliminaires et qui attribua cette action toute sa signification physique comme base dune thorie du champ gravitationnel. g dgT )( 2 1 g g c c L L + 2 0)( = dT 0)( 3 = dgTdT xdRg G c 4 4 16 35. 1.3 La Thorie de la Gravitation dEinstein 13 o R est le scalaire de courbure, R = g R [R sont les composantes du tenseur de Ricci provenant des composantes du tenseur de Riemann-Christoffel, R (voir Section 2.1)], et le facteur constant [c4 /16G (MKS)] est requis pour satisfaire la limite newtonienne. La variation de lq. (1.3.17) pour Sg se lit maintenant Sg = = (1.3.18) Les composantes du tenseur de Ricci sont donnes par R = R = , , + (1.3.19) Si on applique la variation sur lq. (1.3.19), on obtient R = ( ), ( ), + ( ) + ( ) ( ) ( ) (1.3.20) La variation des composantes de la connexion affine est aussi un tenseur. En effet, on a = (g )g + g [( g), + ( g), ( g),] = g ( g + g g ) (1.3.21) Alors, la variation des composantes du tenseur de Ricci peut tre crite comme suit* R = ( ) ( ) (1.3.22) Lq. (1.3.18) devient donc, avec laide de lq. (1.3.22) ( = c4 /16 G) Sg = = (1.3.23) = (1.3.24) puisque la drive covariante de gggg disparat identiquement, et o le second terme la droite de lq. (1.3.24) a t rcrit en fonction de la divergence laquelle namne aucune contribution laction gravitationnelle totale SG. Lq. (1.3.18) se rduit donc lexpression suivante (d = d4 x) Sg = = = = = (1.3.25) o on a utilis la relation . On peut aussi formuler lq. (1.3.25) de la faon suivante * Lq. (1.3.22) est connue comme lidentit de Palatini et est obtenue de lq. (1.3.20) si on prend les comme des variables dynamiques indpendantes des g . g xdR G c 4 4 )( 16 gggg + xdRR G c 4 4 )]()([ 16 gggggggg 2 1 2 1 g + xdR 4 )]}()([)({ gggggggg + xdR 4 )]}()([)({ gggggggggggg + xdR 4 , })()({ gggggggggggg g g g xdR 4 gggg xdggR 4 )( + xdggRggR 4 )( dgggRgR 2 1 dggRR 2 1 gggg = 2 1)( 36. 14 1 Introduction Sg = (1.3.26) Cest la forme quon obtenu Hilbert et Einstein. Lexpression entre parenthses dans lq. (1.3.26) est un tenseur, le tenseur dEinstein G = R R g (1.3.27) et laction donne par lq. (1.3.26) devient Sg = (1.3.28) Lexigence que Sg est un scalaire nous amne (avec des arguments similaires que ceux employs pour T ) aux quations de conservation pour les composantes du tenseur dEinstein G = 0 (1.3.29) qui reproduisent tout simplement les identits de Bianchi [ R ] = 0 (1.3.30) et (R R ) = 0 (1.3.31) En retournant lq. (1.3.8), on dduit finalement les quations qui tablissent lquilibre entre les champs dnergie donns par lq. (1.3.10) et la gomtrie du champ gravitationnel Sg = (1.3.32) avec le caractre arbitraire qua g , les quations dEinstein sont donnes par G = R R g = T (1.3.33) o 8 G/c 4 = est la constante de couplage dEinstein. Les quations du champ dEinstein sont dix quations diffrentielles partielles, couples et non linaires du second ordre dans les composantes de la mtrique. Puisque les deux cts de lq. (1.3.33) ont une divergence covariante qui disparat ( G = T = 0), alors le nombre dquations indpendantes est rduit six. Celles-ci suffisent entirement dterminer les dix composantes de la mtrique symtrique de lespace-temps de la relativit gnrale parce que quatre composantes de la mtrique peuvent tre assignes arbitrairement par le libre choix que nous avons en effectuant des transformations de coordonnes, ce qui se rsume ainsi quatre conditions. Les ECE guident le mouvement des plantes dans le systme solaire, la dviation de la lumire par le Soleil, ainsi que leffondrement dune toile pour former un trou noir. Elles dterminent uniquement la gomtrie extrieure de lespace-temps dun trou noir (un trou noir na pas de cheveux), en plus du fait que les ECE gouvernent lvolution des singularits de lespace-temps au point final de leffondrement et finalement lexpansion et la recontraction de lunivers, pour ne nommer que celles-ci. Donc, linteraction entre le champ matriel et la gomtrie de lespace-temps se prsente sans aucune spcification explicite des proprits du champ, mais seulement par lentremise du tenseur dnergie-impulsion. La gomtrie de larrire-plan ne pourrait faire la distinction entre les diffrents champs physiques, pourvu que ces derniers possdent la mme distribution en nergie-impulsion. Ceci peut tre considr comme une version de lquivalence entre les masses inertielle et gravitationnelle que lon a discute auparavant. Lq. (1.3.33) ncessite plus dattention, surtout lorsquil est question du dplacement dun corps dessai dans un champ gravitationnel. En effet, pour expliquer cette quation, il faut faire appel quelques lments de gomtrie diffrentielle (Section 2.1). Par exemple, il existe un objet gomtrique dans lespace-temps appel le tenseur de courbure de Riemann, riemann . riemann est lincarnation mathmatique des dformations, des torsions et des contractions (courbure de lespace- temps) produites par lacclration relative des godsiques (par exemple, la ligne dunivers dune particule libre) passant par un vnement quelconque E et on dnote sur cette godsique un vecteur tangent unitaire (le quadri-vitesse de la particule libre) par lexpression v = d x / d ( tant le temps propre) ou en coordonnes, v = dx /d. Si on choisit g dggRR G c 2 1 16 4 2 1 g dgGg G c 16 4 2 1 g 0 2 1 2 1 16 4 = + dgTgRR G c 2 1 4 8 c G 37. 1.3 La Thorie de la Gravitation dEinstein 15 maintenant une autre godsique, laquelle est voisine de notre premire godsique, ces deux godsiques tant spares par un vecteur quelconque, disons , riemann produira un nouveau vecteur, riemann (v , ,v ). Lquation de la dviation godsique stipule que ce nouveau vecteur est de signe contraire de lacclration relative des deux godsiques + riemann (v , ,v ) = 0 (1.3.34) o D/d exprime la drive covariante par rapport des incrments de temps propre. Donc, dans nimporte lequel systme de coordonnes, les composantes du vecteur qui sortent de lopration peuvent tre formules comme tant fonction des composantes des vecteurs que nous avons insrs1 r = riemann (u ,v ,w ) r = R u v w (1.3.35) En fonction des composantes, lq. (1.3.34), lquation de dviation godsique, peut tre crite comme (1.3.36) Dans la thorie gomtrique de la gravitation dEinstein, lq. (1.3.36) rsume leffet entier qua la gomtrie sur la matire. Lq. (1.3.36) fait pour la physique gravitationnelle ce que lquation de force de Lorentz (1.3.37) fait pour llectromagntisme (e = q/4 o). Maintenant, revenons lq. (1.3.33). Une certaine partie du tenseur de Riemann, notamment le tenseur dEinstein, que lon dnote par Gomtrie ou G , est toujours gnre par une distribution locale de matire. Gomtrie est un objet mathmatique qui gnralise la composante R tt du tenseur de Ricci [qui est gale (4 G /c2 ), tant la densit.] Comme R tt, Gomtrie est une sorte de moyenne de riemann sur toutes les directions. En gnrant Gomtrie on obtient un objet gomtrique appel le tenseur dnergie-impulsion, dnote par nergie ou T . Aucune coordonne nest ncessaire ici pour dfinir Gomtrie , ni aucune pour nergie . Comme pour le tenseur de Riemann, riemann , et le tenseur mtrique, g , nergie existe en absence totale de coordonnes si on le dsire. Dans la nature, les objets Gomtrie et nergie sont toujours gaux, mise part une constante, que lon exprime de la faon suivante Gomtrie = nergie (1.3.38) o est la constante de couplage dEinstein. On peut rcrire lq. (1.3.38) de la faon suivante qui exprime les quations du champ gravitationnel dEinstein en labsence de coordonnes G = T (1.3.39) laquelle est identique aux qs. (1.3.2) et (1.3.33), sauf lgard de la notation. Les quations du Champ dEinstein (ECE) nous montrent comment le contenu en nergie-impulsion (nergie ) gnre une courbure moyenne (Gomtrie ) dans son voisinage. De plus, lq. (1.3.39), les ECE, reprsente une quation de propagation pour la partie restante (anisotrope) de la courbure ; elle gouverne la courbure externe de lespace-temps dune source statique, de mme que la gnration dondes gravitationnelles (ondulations dans la courbure de lespace-temps) par de lnergie-impulsion en mouvement. Elle rgit galement la propagation de ces ondes dans lunivers. Les ECE con