7/23/2019 Schma de Horner

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Le Schma de Horner.

Le schma de Horner permet de factoriser des polynomes. Il utilise peu prs le mme systme quela division Euclidiennemais le traite sous forme de tableau. Je vais expliquer le schma de Horneren expliquant un exemple:

Le polynome factoriser est:

x3 + 9x + 11x -21

1 Nous allons rechercher les valeur de x qui annulent la fonction F(x) = x3 + 9x + 11x -21. Ilfaudra donc chercher pour toutes les valeurs. C'est pour cette raison que si la valeur de xcorrespondante n'est ni 1, 2, 3, elle sera normalement donne dans l'hypothse.Classons donc ce polynome dans un tableau:

Notons qu'il faut toujours commencer avec lesx0 droite, et crire de droite gauche pourobtenir l'en-tte comme ci-dessus. Bien sur, s'il y avait eu desx4, il aurait fallu ajouter unecolonne gauche.

2 Nous allons chercher pour quelles valeur de x le reste du polynome est gal 0:

F(1) = 1 + 91 + 111 - 21 = 0 ===> Donc on pourra prendre la valeur x = 1 donc on diviserapar (x-1). Voici donc cette division par le schma de Horner:

Explications:Le 1 tout gauche est d au fait que F(1) = 0. Dans la ligne des rsultats, le 1 degauche est le coefficient des x. On abaisse toujours le coefficient dux ayant la plusgrande puissance. Puis on multiplie ce premier rsultat, 1, par le 1 qu'on utilise pour

diviser, ce qui nous donne le 1 rouge.On additionne les coefficients des x, ce qui nous donne 9 + 1 = 10. Puis on multiplie

ce deuxime rsultat par le 1 tout gauche, comme avant. Ce qui nous donne 11 + 10= 21. On refait la mme chose. Donc 1 21 = 21, ce qui nous donne le 21 rouge. Puisl'addition nous donne: -21 + 21 = 0. Ce 0 est tout--fait logique puisque nous avonschoisi x tel que F(x) = 0, pour qu'il n'y ait pas de reste. Il nous reste donc 1, 10, 21. Ilfaut nouveau partir de la droite pour les x, ce qui nous donnera 1x + 10x + 21, quiest le rsultat de notre division.

3 On refait l'tape 2 en cherchant une autre valeur. Donc:

F(2) = 8 + 36 + 22 21 / 0F(-2) = -8 + 36 22 21 / 0F(3) = 27 + 81 + 33 21 / 0

X

1 9 11 -21

1 1 10 21

1 10 21 0

X3 X1 X0

X

1 9 11 -21

X3 X1 X0

7/23/2019 Schma de Horner

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F(-3) = -27 + 81 33 21 = 0

Nous allons donc continuer le tableau prcdent, en utilisant cette fois-ci -3:

Le calcul a t fait exactement comme l'tape 2. On peut constater que le reste ( droite de ladouble barre) est nouveau gal 0. Ce qui est prvu en le choisissant tel que F(x) soit gal 0 !Cette fois-ci, toujurs en mettant les puissances de x de droite gauche, le rsultat de notredivision est : 1x + 7

4 En regardant notre tableau de plus prs, on peut remarquer que nous avons tout d'abord divis par1, puis par -3. Ce 1 et ce -3 reprsentant donc la valeur de x. Pour l'annuler, il faut y ajouter lavaleur inverse: ce qui nous donne: (x 1) et (x + 3). En ce qui concerne le dernier rsultat,(x + 7), on le laisse tel quel.

Nous avons donc divis notre polynome de dpart, x3 + 9x + 11x -21,par (x 1), puis par(x + 3), pour arriver au rsultat: (x + 7).

Nous pouvons donc en conclure que (x 1)(x + 3)(x + 7) = x3 + 9x + 11x -21...

5 Nous avons donc factoris notre polynome de dpart.

X

1 9 11 -21

1 1 10 21

1 10 21 0

-3 -3 -21

1 7 0

X3 X1 X0