C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, SCrie I, p. 141 l-1 414, 1998 Probabilites/Probabilify Theory

Sch6ma d’Euler continu pour des diffusions t&es et options barrike

Emmanuel GOBET

UPRESA 7055, Statistiques et mod&les alhatoires, case 7012, mathbmatiques, Universitk Paris VII, 2, place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France Courriel : gobet@math.jussieu.fr

(Requ le 1” avril 1998, accept6 le 18 mai 1998)

RCsumC. Nous nous inttkssons B l’approximation en loi d’une diffusion rCelle t&e ?I sa sortie de D (intervalle de R), lorsque la diffusion est approchee par son schema d’Euler continu de pas IV-’ T. Nous montrons que l’erreur commise sur E, [I,,, f(X,)] (oti r = inf{t > 0 : X, $ D}) se dtveloppe g l’ordre 1 en N-l, sous certaines conditions sur la fonction f au voisinage de la front&e de D. Nous comparons kgalement les densit& de transition des deux processus tu6s. Ces rksultats permettent de donner le prix approchk d’options ban-i&e. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris

Continuous Euler scheme for killed difiions and barrier options

Abstract. We are interested in the approximation of the law of a real d#usion killed as it goes out of D (interval of R), when the diffusion is approximated by its continuous Euler scheme, with discretization step N-l T. We show that the error on E,[&<, f (XT)] (where I- = inf{t > 0 : X+ 4 D}) can be developed to the$rst order in N-‘, under some conditions on f near the boundary of D. We also compare the transition densities of the two killed processes. These results enable us to give approached price for barrier options. 0 AcadCmie des SciencesMsevier, Paris

1. Introduction et notations

Soit (Xt)tzo une diffusion r-belle satisfaisant Xt = z + Ji B(Xs)ds + J,” a(X,)dW,, oti (Wt)t20 est un mouvement brownien reel. On note L son gh5rateur infinitksimal.

Dans toute la suite, on suppose que : l (HI) B(.) et a(.) sont des fonctions Cp(W,R) ; l (Hz) 3 go > 0 tel que, V x E W, CT(~) 2 CJO.

Note prt%ent& par Marc YOR.

0764~4442/!%/03261411 0 AcadCmie des SciencesElsevier, Paris 1411

E. Cobet

On approche la diffusion par son schema d’Euler continu ( > 2,”

ti = i N-’ T designe le i-eme instant de discretisation, par : O<t<T

de pas N-l T, defini, si

z;+l = 2; + B(,Y;“I) N-l T + o(~;)(W,+~ - Wt,),

sur [ti, ti+i) : 2,” = 2: + B(X[)(t - t;) + a(Xc)(lVt - Wt,).

Par la suite, on omettra de preciser l’exposant N pour (Xr)O<t<T, en notant (Xt)O<t<T, -- Lorsque IE,P(XT) est approche par IE,f(XT), 1’ erreur d’approximation se developpe (voir [4]) selon

les puissances de N-l, si f est suffisamment derivable, sans restriction au cadre uni-dimensionnel, C’est encore vrai si f est seulement borelienne (voir [l]), a condition de supposer l’hypoellipticite uniforme de L.

Pour D intervalle ouvert de W de frontiere dD, nous nous interessons a l’approximation en loi de la diffusion t&e en ao, en Ctudiant l’erreur

Err(f, T, x, N) = b[h-<, fvwl - Ez [I,<; m] 7

oti r = inf{t > 0 : Xt $ D} et T = inf{t > 0 : X, 4 D}. Ce probleme a Ctt motive par l’evaluation du prix d’options bar&e, en mathematiques financieres.

Pour des options a barriere haute (resp. basse), on prend D = (-cc, b) (resp. D = (a, +cc)), et pour des options a double ban&e, on a D = (a, b). Si c’est une option d’achat (resp. de vente), on choisit f(y) = (Y - W+ (rev. f(y) = (K - Y)+>.

Du point de vue numerique, E,[llT<., f(Xr)] est approche par E, [ ll,,, f(%$ qui s’evalue

lui-mCme par une methode de Monte-Carlo. 11 est en effet aise de simuler le schema d’Euler tue en dD : on commence par simuter les (X t, ) o<~<N a l’aide de N variables gaussiennes independantes, puis, conditionnellement a (Xt,)a<i<~r, la loi de (Xt)tzst5t,+l est celle d’un pont brownien, pour lequel la loi jointe du supremum et-de l’infimum est explicite, ce qui permet de simuler si 2, est sorti ou non de D entre tg et titl.

2. Principaux rCsultats

THBOR~ME 1. - Si f est borklienne born&e avec d(Supp(f), 8D) = F > 0, alors il existe une fonction croissante Cl(T) telle que

IErr(f,T,s,N)I < y 3.

Plus pre’ciskment, pour tout rj E [0, +), ‘1 1 existe une function croissante C,(T), telle que

avec

c.f (TTX) Err(f:T,x,N) = N + W’L T x) N ’

lc,(T,x)l I G(T) $ WT) IlflL et I~f~~Gc XII L N’7 1

(Cf (T, x) sera explicite’e dans la preuve).

La condition sur le support de f peut etre allegee si f est reguliere.

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SchCma d’Euler continu pour des diffusions t&es et options barriere

T&O&ME 2. - Si f est une function de classe Ct(D; R), veri$ant de plus flaD = 0, alors il existe une function croissante C(T) telle que

Plus precisement, on a le developpement

Cf(T, x> Err(f,T,x,N) = N

+ Rf (N, T, x> N ’

avec

lC.dT,z)l L C(T) llfllb3’ et I&(N!T,~)l I l”“‘~ ‘) C(T) ll.fll$?.

Le theoreme suivant permet de comparer les densites de transition des deux processus tues.

THJ?ORY&ME 3. - Si l’on note qx(x, y) (resp. &(x, y)) la densite’ de transition de la diffusion (resp. du schbna d’Euler} tuee en dD, alors il existe une constante positive c et une function croissante C(T), telles que

V(x, Y) E D x D Iqdx, y) - G-(x, Y)I L L C(T) N (1 A d(y,W)3 fl

exp (-PI.y)2).

3. &%ments de dbmonstration des thkorkmes

3.1. ThCork.me 1

Par une dtmarche analogue a [4], on exprime l’erreur Err(f, T, 2, N) a l’aide de la fonction v(t, x) = L[&r-t<, f(Xr-,)I. Grace a la regular& de qx--t(x, y), w(t, x) est C”([O, T) x n, R). De plus, elle est solution d’une equation aux derivees partielles parabolique avec condition terminale f(.) et condition nulle en dD. Precisement, si f est continue (sinon, un argument de densite permet de s’y

N-l ramener), en posant Ki := E,[w(t;~7,X~“,-;)-v(ti+l A?,-Y~~+,,;)], on a Err(f,T,z, N) = C Ki.

id En appliquant deux fois la formul$z+$Ito, on obtient :

Ki=l% d.~~d~~i(~)+~~+‘dsB,js),

avec

1

Ai := IE, [Ilr<;(-L’u + 2L:,Lv - L;u)\,=,~ (T, g,)] >

J%(s) := h [8,z,;<s - (Ls,, ?J(F, 27) - Lv(7, Q)] >

L,u(x) := B(Z)dzU(x) + ;z(z)~~U(x).

Des estimations exponentielles sur qTht(x, y) et ses derivees permettent de montrer le LEMME 1. - Suit I&o(r) := {z E R : daD(z) 5 T}, pour Q entier et pour t E [O,T), on a :

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E. Gobet

Cela suffit pour justifier que les termes issus de &(s) sont nkgligeables g l’ordre 1 en IV-‘. Ceux provenant de Ai forment le terme principal de Err(f, T, z, N) et on prouve que :

y J”” ds 1; dr Ai(r) = f l”‘ds E,[&.<,@(+ X,)] + o(~-l) := cflyT,2) + o(N-~), id) L

avec @(t, z) := (-aL2w(t, z) + L,Lv(t, z) - f,@(t, z)) Izzz. Pour y parvenir, il est essentiel de contrhler les termes A;(r), en montrant des majorations du type suivant :

LEMME 2. - Pour cy entier et g E Cr (R, R), on a, pour t E [0, T) :

Dkmonstration du lemme 2. - Pour t 5 T/2, les majorations du lemme 1 suffisent. Pour t 2 T/2, on dkompose v = 4 v + (1 - 4) V, oii $ est de classe C;P, avec llvsD,,,,, 5 4 5 llvaD,+~. Le terme avec 4 21 se majore uniformkment grke au lemme 1 ; quant au terme (1 - 4) ‘u, on utilise pour ce faire I’intCgration par parties du calcul de Malliavin (voir [3], thCo&me 3.3) grace B (H2). 3.2. ThCor&me 2

La mZme dCmarche s’applique, mais grke & la r&gularitk de f, sa nullitt sur dD et une estimation de la densite de la loi de Xt, le lemme 2 devient le

LEMME 3. - Pour Q entier avec 3 5 a 5 6 et pour t E [0, T), on a :

I/n,<-; a,aw(t,Zt)llL, 5 C(T) IIf@ Vi2 (T - t)-+)/2,

avec n(a) = 1 si Q: = 3, 4, et 3 si Q: = 5, 6.

3.3. Thkorkme 3 Suivant [2], on applique une variante du thtorhme 1 B une approximation de I’unid.

4. Extensions et conclusion

Le thCor&me 1 se gCnCralise au cadre hy_poelliptique et multi-dimensionnel : dans ce demier cas, on perd le b&n&ice de la simulation de X tuC en dD.

Remerciements. Je remercie L. Elie, P. Cattiaux, V. Bally et D. Talay pour les discussions fructueuses et pour l’intCr& qu’ils ont port6 ?i ce travail.

RCfkrences bibliographiques

[ 1] Bally V., Talay D., The law of the Euler scheme for stochastic differential equations: I. Convergence rate of the distribution function, Probab. Th. Rel. Fields 104 (1) (1996) 43-60.

[2] Bally V., Talay D., The law of the Euler scheme for stochastic differential equations: II. Convergence rate of the density, Monte-Carlo Methods and Appl. 2 (2) (1996) 93-128.

[3] Cattiaux P., Calcul stochastique et op&ateurs dCgCnCrks du second ordre : II. Probkme de Dirichlet, Bull. SC. Math. (2e section) 115 (1991) 81-122.

[4] Talay D., Tubaro L., Expansion of the global error for numerical schemes solving stochastic differential equations, Stochas. Anal. Appl. 8 (4) (1990) 94-120.

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