Méthodes variat ionneiles appliquées B 196quation du pendule fodi sans conservation

France Vaillancourt

mémoire présenté au Département de mat hématiques et d'informatique en vue de l'obtention du grade de maître ès sciences (M.%.)

FACULTÉ DES SCIENCES UNIVERSITE DE SHERBROOKE

Sherbrooke, Québec, Canada, juillet 2000

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SOMMAIRE

Mon mémoire porte sur l'étude de l'équation du pendule forcé sans conservation à l'aide

des méthodes du calcul variationnel. La première partie de ce mémoire est consacrée à

l'introduction des notions de base de l'analyse fonctionnelle. Ensuite, nous passons au

problème des points critiques. En effet, dans ce deuxième chapitre, il nous faut étudier

le potentiel associé a l'équation du pendule forcé sans conservation et en trouver les

points critiques. C'est dans cette partie que le calcul variationnel intervient. On utili-

sera les techniques rattachées aux méthodes variationnelles pour montrer que le potentiel

est strictement convexe et, en appliquant un résultat d'analyse fonctionnelle, on pourra

en déduire l'existence de points critiques. Ceux-ci nous serviront par la suite, au cha-

pitre trois, a démontrer l'existence et l'unicité des solutions de l'équation du pendule.

Pour ce faire, nous emploierons des arguments qui utilisent les projections sur les espaces

appropriés. Nous terminerons ce mémoire par un résultat qui regroupe les énoncés pré-

sentés auparavant et qui nous permet de conclure que l'équation du pendule forcé sans

conservation possède une solution périodique.

REMERCIEMENTS

Je tiens à remercier mon directeur Jean-Marc Belley pour son aide et ses encouragements

tout au long de ma maîtrise. De plus, je remercie l'université de Sherbrooke ainsi que

M. Kaczynski pour les bourses qui m'ont été accordées.

Je profite de l'occasion pour remercier mes collègues de maîtrise ( la gang du 1021 ) pour

leur support moral autant au plan professionnel que personnel. Un merci tout spécial

aux amis du bacc ( Mario, Jennifer et Catherine ), avec lesquels les années ont passé bien

vite. Je veux ensuite remercier mes parents pour leur soutien et leur présence pendant

toutes mes études. Finalement, je dois remercier mon conjoint Eric pour son support et

son amour depuis toujours.

iii

TABLE DES MATIÈRES

SOMMAIRE

INTRODUCTION

iii

CHAPITRE 1 - Preliminaires 5

1.1 La topologie faible sur un espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 La réflexivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 La compacité faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

CHAPITRE 2 - Probléme de point critique 16

2.1 Une inégalité de type Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Existence de points critiques pour F: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

CHAPITRE 3 - Existence et unicite des solutions de l'équation du pen-

dule

3.1 Fermeture dans L2 et définitions des projections . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Analyse des projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

CONCLUSION

BIBLIOGRAPHIE

INTRODUCTION

Plusieurs méthodes sont utilisées pour montrer l'existence de solutions à I'équation du

pendule ( simple ou double ) avec ou sans conservation. Ce mémoire s'inspire grandement

de I'article (II.

Notons d'abord les techniques de solutions supérieures et inférieures. En effet, ces mé-

thodes ont été employées dans [81 pour le problème

x" + f (x)x' + asinx = e(t)

x(0) - x(27r) = x'(0) - xf(21r) = O

avec a > O, f : IR -t B continue et périodique. De plus, e = ë + ë ( t ) où ë(t) E

C([0,2n]) ( l'ensemble des fonctions continues sur [0,2?r] de moyenne nulle ); c'est-à- i r2n r2r 1

dire ë = e(t)dt et 1 E(t)dt = O. Les auteun, Mawhin et Willern, ont alors

montré que, pour tout ë, un certain ensemble ( voir [8) ) pour lequel le problème est

résoluble est un intervalle fermé non vide contenu dans le segment [-a,a]. La théorie des

degrés a aussi été utilisée dans [al, mais sous d'autres conditions. De plus, le lemme du

col de la montagne a été appliqué pour montrer l'existence d'au moins deux solutions

à l'équation du pendule avec conservation, c'est-à-dire lorsque f O, pour tout e avec

valeur moyenne nulle.

Aussi, les méthodes de solutions supérieures et inférieures avec des arguments sur le de-

gré sont employées dans 151 pour caractériser l'ensemble des fonctions e E L(O,T), avec

T > O, telles que l'équation y" + cy' + A sin y = e(t) admet une solution T-périodique

( où A, c E B et A > O ). Les auteurs, Fournier et Mawhin, affirment entre autre que - - 2?r lorsqu'on pose ë = e(t)dt, ë = e - el w = - et que si w-'(w2 + $)-'/*A 5 6(ë)

T ' T T 1/2

où a(e) = [(i 1 sin E(t )dt) + (i / COS ~ ( t ) d t ) oh E est l'unique solution T- O

périodique avec moyenne nulle de yn(t) + y'(t) = ë(t), alors l'équation y"(t) + cy'(t) + A sin y = e ( t ) possède une solution T-périodique !orsque lë( 5 A(d(é) -w-l ( w ~ + ~ ? ) - ~ / ~ A ) .

D'un autre côté, les méthodes du calcul variationnel sont, elles aussi, utilisées pour dé-

montrer l'existence de solutions à des équations du type pendule, voir [101, (71. Dans

1101, on considère le problème

où r E W, f E L2 telle que - f (t)dt = O et on montre que ses solutions sont les points d- critiques d'un potentiel. Pour ce faire, on a étudié l'équation modifiée

x"+cd+As in (x+s ) = f + r

x (0) = x (2') = O et x' (O) = zf (T)

où A,T,s E IR, c > O. Le potentiel associé, donné comme suit

#(x,s,r) = JOT ect [q + A eos(z + s) + r( f + r ) ) dt,

est strictement convexe et possède un unique point critique lorsque

2 + 1 AlecT > IAl(1 + cTecT). Sous ces conditions, on a montré que pour tout s E Et, il

existe t E R tel que l'équation modifiée admet une unique solution faible T-périodique.

D'autres conditions ont aussi été énoncées pour arriver à des résultats similaires. Voir,

par exemple, 121.

Cependant, on a longtemps cru que l'équation du pendule forcé sans conservation

xff + 2cx' + Asinx = f (1)

où 2c > O, A > O et f est périodique, n'était pas variationnelle. Le but de ce mémoire est

de montrer par les méthodes du calcul variationnel que, sous la condition O < \/A < c,

I'équation (1) admet des solutions périodiques. Notre travail sera divisé de la façon sui-

vante.

On débutera avec un chapitre de préliminaires incluant les notions essentielles à la com-

préhension générale des éléments apportés au cours de ce mémoire. Ensuite, nous parle-

rons du problème des points critiques du potentiel associé à l'équation du pendule forcé

sans conservation. Finalement, nous nous attarderons sur la question de l'existence et de

l'unicité des solutions de l'équation du pendule.

CHAPITRE 1

Préliminaires

Dans ce chapitre, comme mentionné précédemment, nous établissons certains résultats

bien connus qui sont nécessaires à notre étude de l'équation du pendule forcé sans conser-

vation. Nous mettons ainsi en place des notations que nous utiliserons tout au long de ce

mémoire.

1.1 La topologie faible sur un espace de Banach

Nous allons ici nous concentrer sur la notion de convergence faible. Un espace de Banach

est un espace vectoriel normé complet. Dans ce mémoire, tout espace de Banach est réel et

toute forme linéaire sur cet espace est à valeurs réelles. Si E est un espace de Banach avec

norme I I I l E , nous écrivons E' pour désigner l'espace dual de E qui consiste en la classe

des formes linéaires sur E qui sont continues par rapport à la topologie sur E associée à

la norme I I . I l E . Lorsque E' est muni de la norme 1 1 f I l s = sup{f (x) : z E E,llxllE 5 1)

nous obtenons encore un espace de Banach. La notation x, + x est utilisée pour indiquer

la convergence en norme sur E. Dans ce cas, on dit que xn converge fortement vers x et

que la topologie générée par la norme est la topologie forte sur E.

Definition 1 La topologie faible sur un espace de Banach E est la topologie la moins

fine sur E rendant continue tout élément de Et.

Nous écrivons o(E,Et) pour désigner la topologie faible sur un espace de Banach E avec

espace dual E'.

Remarque 1 La topologie faible a(E,Et) est séparée.

Demonstration : [31 Soient xl ,x2 E E tels que 11 # 2 2 . D'après le théorème de

Hahn-Banach, il existe un hyperplan fermé séparant { XI ) et { xz ) au sens strict. Donc,

il existe f E Et et a E B tels que f (xl) < a < f (x*). On pose :

U = {Z E E : f (x) < a) = f-'(1 - cola[)

V = {Z E E : f (x) > a) = f-'(]a,oo[).

LI et V sont des ouverts pour (r(E,E') qui vérifient xi E U, 2 2 E V et U n V = 0.

Si, par rapport à la topologie faible (r(E,Et), une suite {xn) c E converge vers x E E,

alors on dit que x, converge faiblement vers x et on écrit xn z. Une combinaison

convexe d'éléments d'un espace vectoriel E est une somme de la forme C:=, aixi où

xi E E, cri > O, xy=l ai = 1 et n E N est arbitraire. Toute partie de E fermée par

rapport à toute combinaison convexe est dite convexe.

Théorème 1 Soit C une partie convexe d'un espace de Banach E . Alors l'adhérence Cs de C par rapport à la topologie forte sur E est égale à son adhérence par rapport à

la topologie faible a ( E , Et ) .

Démonstration : (11) En vertu du fait que la topologie a(E,E') est moins fine

que la topologie forte, nous avons nécessairement Cs CY- Pour obtenir l'inclusion

inverse, soit xo E E\C'. Par le théorème de Hahn-Banach, il existe f E E' et cr E W tels

que, pour tout x E CS, f ( xo ) < cr < f (x) . Donc, l'ensemble V = f -'(] - m,a[) est un

voisinage faible de zo tel que V n C = 0. Ainsi, xo 4 CU> et donc Ç Cs.

Nous donnons maintenant un résultat important dû à Mazur.

Théoréme 2 (Mazur) Soit {x,) une suite faiblement convergente vers x dans u n es-

pace de Banach E. Alors, il existe une suite de combinaisons convexes d'éléments de {x,)

qui converge fortement vers x.

DBmonstration : [9] La classe C des combinaisons convexes de {x,) est convexe. - Donc, Cs = C . Or, x, z implique que x E et donc s E Cs. Donc, il existe une

suite de C qui converge fortement vers x. M

Définition 2 Soit <p une fonction définie sur u n espace de Banach E et à valeurs dans

] - moo] .

i ) cp est semi-continue inférieurement ( s.c.i. ) si pour tout x E E on a

lim inf,,, V(Y) 1 V ( 4

ii) cp est faiblement semi-continue inférieurement ( f.s.c.i ) si pour tout x E E on a

lim inf,,, rp(y) > cp(x).

iii) cp est convexe si p( (1 - t)x + ty) 5 ( 1 - t)cp(x) + t<p(y) pour tout t E [0,1] et tout

x,y E E.

Voyons maintenant un corollaire qui est en fait une application du théorème de Mazur.

Corollaire 1 Si p est une fonction convexe s.c.2. sur un espace de Banach E et à valeurs

dans ] - w,oo], alors p est Js. c i .

DBmonstration : 191 Soit {xn) une suite dans E telle que x, x et soit c > lim inf(xn). Alors, il existe (x,,, ) c {xn) telle que xnj A x et c > 9(xn,) pour tout j .

D'après le théorème de Mazur, il existe vr. = xz, a j k x y tel que Cgi aj* = 1, a j k 2 O

et v k + x. Puisque rp est s.c.i. et convexe, nous avons les inégalités suivantes:

<p(x) lim inf v(vk) &+m

- - c pour tout c > lim inf cp(xn)

+ p(x) lim inf v(xn) . 1.2 La réflexivité

Étant donné un espace de Banach E avec dual E', soit E" son bidual et J : E -t E"

l'injection canonique ( voir, par exemple, (31 p.39 ) . On dit que E est réflexif si J ( E ) = E".

On définit aussi BE = {x E E : llxll 5 l}, la boule unité sur E.

Definition 3 Un espace de Banach E est uniformément convexe si pour tout e > O, il

eziste 6, > O te l que

Nous avons aussi besoin de deux lemmes, le premier étant de Helley et le second de

Goldstine.

Lemme 1 Soient E un espace de Banach, fi , f2 , - - - , fn E E' et al,az, - ,a, E IP fccés.

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

2) pour tout c > 0, 21 existe X, E E tel que l l ~ ~ l l 5 1 et 1 fi(xE) - ail < e pour tout

i = 1,2, p.

1 pour tout e > O

ii) * i) Soient Ü = [orl ,a2, . ,a,] E Rn et $ : E + Rn telle que @(x) =

[ f i ( x ) , f i ( ~ ) , ,fn(x)]-

Or 5 $ $(BE) + il existe un hyperplan qui sépare strictement 5 et $(BE).

* il existe 8 = [Pl, ,Pn] E Rn et y E B tels que

* Cfifi(z) < 7 < CC& pour tout z E BE.

* II C Pifi 11 5 7 < C aipi ce qui contredit ii) . W

Définition 4 La topologie faible * sur l'espace dual E' d'un espace de Banach E est la

topologie la moins fine sur E' rendant continu toutes les fonctionnelles dans J ( E ) . Nous

écrivons o(Ef , E ) pour désigner cette topologie.

Lemme 2 Soit E un espace de Banoch. Alors J(BE) est dense dans BE!# pour la topo-

logie faible * sur E", c'est-à-dire o(Et', Et) .

Demonstration: [31 Soient ( E BE!/ et V un voisinage de < pour la topologie

o(Et',E'). On veut montrer que J(BE) n V # 0. On peut supposer que V est de la forme:

v = {i, E E" : I(q-c)(.fi)l < c,Vi = 1, - ,n) OU fi E Et pour tout i = 1, - ,n. Il s'agit de

trouver x E BE tel que (f,(x) -c( fi) 1 < E , pour tout i = 1, ,n. Posons ai = c( fi). Alors,

pour tout ,&,A, ,A E IR on a: 1 C:==, piail = IC(Cy=l Pifi) 1 5 II Cr!l Bifill D'après

le lemme précédent, il existe x, E BE tel que ( fi(x,) - ail < c pour tout i = 1, ,n,

c'est-à-dire que J(xJ E J(BE) n V. . Énonçons maintenant le théorème qui nous permettra de savoir que les espaces d'Hilbert

sont réflexifs.

Théoréme 3 Tout espace de Banach unifornément convexe est répemf

Demonstration: (31 Soit { E E" avec (1<(1 = 1. On cherche à montrer que

{ E J(BE). Comme J(BE) est fermé fortement dans E", il suffit de prouver que

pour tout e > O, il existe x E BE tel que (IC - J(x)l( < e.

Soit e > O fixé et soit 6 > O qui correspondent à la définiton de l'uniforme convexité. On

choisit f E E' avec 1 1 f 11 = 1 tel que

Posons

de sorte que V est un voisinage de < pour la topologie a(E",Et). D'après le Lemme

2, on sait que V n J(BE) # O , donc il existe x E BE tel que J(x) E V. Il reste à

montrer que E E J(x) + E B , ~ pour tout E > O. Procédons par l'absurde; supposons que

( E C(J(X) + €BE») = W. Notons que W est aussi un voisinage de ( pour la topologie

o(Et',E') ( puisque BE(! est fermée pour la topologie o(E",E1) ). En appliquant à nouveau

le Lemme 2, on a: (V n W) n J(BE) # 0. Donc, il existe 5 E BE tel que J ( 2 ) E If n W.

On obtient alors, puisque J ( x ) E V et J ( 2 ) E V

Donc, en additionnant, on obtient

et d'après (LI), on a ( 1 11 2 1 - 6 ( d'après la convexité uniforme ) IIx + 211 5 r. Mais,

J(2) E W donc, 1 1 J(5) - J ( x ) 11 > E et puisque J est une isométrie on a 115 - X I ( > a, ceci

est une contradiction.

Donc, on a < E J ( x ) + €BE" c'est-à-dire qu'il existe xo E BE et E BE" tels que

5 = J(x0) + eqo. D'où,

Ainsi, on a E J(BE) et aBEtl E J(BE) ce qui nous donne J(BE) = BE" et par

conséquent, J ( E ) = E". Nous pouvons donc conclure que E est réflexif.

Le prochain résultat nous permettra de conclure, avec le théorème précédent, que les

espaces d'Hilbert sont réflexifs. Tout d'abord, nous allons donner la définition d'un espace

d'Hilbert, car ce sont ces espaces qui nous intéressent tout particulièrement.

Définition 5 Un espace dJHdbert est un espace vectoriel H muni d'un produit scalaire

< x,y > qui est complet pour la nonne llxll = ,/m.

Proposition 1 Soit H un espace d'Hilbert quelconque. H est unij'omément convexe.

Démonstration:[31 S o i e n t ~ > O , u , v ~ H t e i s q u e ~ ~ u ~ ~ 5 1,IIvII I l e t U V 2 Ilu-vil > c. Par l'identité du parallélogramme, on a : 11 ? I l 2 = f [llu11*+11~1110(~] - I I + 1 1 <

Maintenant il est clair que H est réflexif. [61

1.3 La compacité faible

On dit qu'un sous-ensemble d'un espace de Banach E est faiblement compact s'il est

compact par rapport à la topologie faible a(E,Et) . Un sous-ensemble du dual E' de E

est faible * compact s'il est compact par rapport à la topologie faible *, c'est-à-dire par

rapport à ia topologie o(E1,E). Comme le montre le résultat suivant, une boule fermée

bornée dans El est faible * compact même si elle n'est pas compact par rapport à la

topologie forte sur E', comme c'est le cas lorsque E est de dimension infinie. Voir, par

exemple, [Il].

TheorBrne 4 ( Baaach-Alaoglu ) Soit E un espace de Banach et El son dual. L'en-

semble BEt = { f € Ef : 1 1 f I l E ( < 1) est compact par rapport ù la topologie faible *, c'est-à-dire par rapport à la topologie a(Ef ,E) .

Avant de démontrer ce théorème, nous allons énoncer une proposition que nous utitiserons.

Proposition 2 Soient Z , K ( où i E I ) des espaces topologiques et soit S, : Z -t niEr Alors @ est continue ¢j rpio@ : Z + k;- est continue pour tout i E I ( o ù pi : niEr -t Yi sont les projections ).

Démonstration : 131

+ ) trivial

+ ) Soit II un ouvert de n k;.. On obtient alors: iEI

Démonstration( B.-A. ) : [31 Soit Y = IRE. C'est-à-dire, w E Y w =

avec w, E B pour tout x E E. Soit Y muni de la topologie produit. Considérons

<P est continue, car projz 0 9( f) = f ( x ) est continue sur (E',a(E1, E)) pour tout z E E

et, d'après la proposition, on conclut que @ est continue sur (G,o(E', E) ) . @ est injective, car @(fi) = @(fi) H (fi - fi)(x) = O pour tout x E E * fi - f2 = 0.

a-' est continue sur @ ( E t ) = {{ f ( x ) } . ~ ~ : f E Et} par rapport à la topologie produit

sur Y, car

d'oh, d'après la Proposition 2, WL est continue par rapport à la topologie produit.

L'ensemble @(BE') r {w E Y : lvzl 5 llxll,wZ+, = wZ + w,,wh = Xw, pour tout X E B

et pour tout x,y E E ) est compact dans Y par rapport à la topologie produit. En effet,

Ki = {w E Y : Iw, 5 llxllE pour tout x E E ) = nzEE[-ll~llE,ll~llE] est compact.

De plus, K2 = {w E Y : w,,, = W. + w , , w ~ = Xw, pour tout X E IR, xz,y E E)

est fermé puisque pour chaque A E $ x,y E E h é s les ensembles A , , = {w E Y :

WZ+Y - w, - w, = O) et B A , = {w E Y : w ~ , - Aw, = O) sont fermés ( car les

applications w ct w,+, - w, - w, et w ct wx. - hw, sont continues ) et que K2 =

(nl,yEEAz,y) n (nzEEaERBA,z). Donc, @(BE#) = KI fl K2 est compact dans Y. Ainsi,

BE# = @-'@(BEf) est compact par rapport à a(Et,E). . Théoréme 5 Si E est un espace de Banach réfiexà'f avec norme I I I l E , alors la boule

BE = {x E E : llxllE 5 1 ) est jaiblement compact dans E .

Démonstration : 131 Supposons que E est réflexif. Alors J(BE) = BE".

D'autre part, d'après le théorème de Banach-Alaoglu, BEI# est compact pour la topologie

o(E",Et). Il suffit donc de vérifier que J-' est continue de 6 muni de u(E",E1) à valeurs

dans E muni de a(E,Et ) . On veut montrer que, pour tout f E E' fixé, l'application

H f (J- l (c)) est continue sur Et' muni de a ( F , E t ) . Or, f (J- ' (e) ) = (( f ) et l'applica-

tion < H c(f) est bien continue sur Et' muni de a(Et',E').

Donc, toute boule fortement fermée dans un espace de Banach réflexif est faiblement

compact. Puisque tout espace d'Hilbert est réflexif, nous obtenons le corollaire suivant.

Corollaire 2 Toute boule fortement fermée et bornée dans un espace d'Hilbert est fai-

blement compacte.

Proposition 3 Soit E un espace de Banach ré'exi j Soit K c E un sous-ensemble

convexe, f emé et borné. Alors, K est compact pour la topologie u(E,E')

Dbmonstration : 131 K est fermé pour la topologie a(E,Et ) d'après le Théorème

1. D'autre part, il existe une constante m telle que K C mBE et mgE est compact pour

o ( E , E') suivant le Théorème 5.

Proposition 4 Soient E un espace de Banach réflexif, A c E un convexe fermé, non

vide et ip : A +] - oo,m] une fonction convexe, s.c.i., cp # oo telle que

liml~zl~+m.E~ p(x) = oc ( coerczvité ) (*). Alors, p atteint son minimum sur A, c'est-à-dire

qu'il existe xo E A tel que cp(xo) = minzEA ip(x).

Démonstration: 131 9 # w + 3 a E A tel que cp(a) < m. On considère A =

{ x E A : cp(x) p(a) ) . Comme A est fermé, convexe et que cp est convexe, s.c.i., on a que

A est convexe fermé et d'après (*) borné. Donc, d'après la Proposition 3 et le Théorème

1, A est compact pour la topologie o(E,Et) . D'autre part, cp est 8.c.i. pour la topologie

o ( E , Et). D'où p atteint son minimum sur 2: il existe zo E E tel que cp(xO) <_ cp(z) Vz E x.

CHAPITRE 2

Problème de point critique

Nous allons débuter ce chapitre par une série d'énoncés nous permettant de mettre en

place les espaces qui seront utilisés dans la suite de ce mémoire. Nous en profitons aussi

pour mettre en place d'autres notations en plus de celles introduitent au chapitre 1.

2n Pour T > O, posons w = - et soit i' le groupe monogène défini par {nu : n E Z).

T

Definition 6 On écrit L L ( r ) pour désigner la classe des fonctions x : B -+ liU qui sont le

prolongement T-périodique d'une fonction intégrable sur le segment [o,T] , Sur 1 'espace t rT i rT

LL(I') on a la norme x( t ) ld t < oo et la moyenne 5 =

Nous identifions un élément x quelconque de L L i r ) avec sa série de Fourier moyennant la

notation x ( t ) = En,, Î(n)eiUt où Z(n) = ~ ( t ) e - ~ ~ ' d t . Donc, 2(0) = 2 et puisque T

z est à valeurs réelles, Î(-n) est le conjugué complexe de Î ( n ) .

Étant donné un sous-ensemble S de L 1 ( r ) , on écrit pour désigner la classe

{j. = x - Z : x E S ) c L L ( r ) . Un sous-espace important de L L ( r ) est l'espace d'Hilbert 7 1 /2

12dt < oo) muni de la norme

16

et du produit scalaire < x,y >2= - x(t) y(t) dt. Un autre sousespace important de lT L'(ï) consiste en la classe P ( r ) des polynômes trigonométriques réels

p ( t ) = CAErp(.A)eiAt(t E IR) avec p(A) = O sauf pour au plus un nombre fini de

A E r où @(-A) est le conjugué complexe de $(A) ; et F(r) = { p E P ( r ) : ~ ( 0 ) = 0).

Nous utiliserons encore un autre sous-espace important de L1(î), soit la complétion

uniforme de P ( ï ) . Ce sousespace de L2(I'), désigné par C(ï), est précisément la famille

des fonctions réelles continues et T-périodiques sur R De plus, on écrit C ( r ) pour désigner

la cornplétion uniforme de P(I').

Définition 7 Pour tout Z E B donné, Hi(î) c L2 (1 - oo,l],e2"dt) est le complété de

écrit &(r) pour désigner la c ~ ~ ~ l é t i t i o n de P ( r ) par rapport à Za rnêntl nonne.

2.1 Une inégalité de type Sobolev

Maintenant que toutes les définitions préliminaires ont été mises en place, nous pouvons

passer au sujet qui nous intéresse dans ce chapitre, soit le problème d? oint critique. ..- h.4

$ . ; ! . :. .. '

Lemme 3 Pour tout p E P(r ) , c > 0 et s €1 - w,l] C Ik on a :

L'inégalité (2.1) découle de l'inégalité de Holder:

I l f 9111 5 llf llp 1191l~ où ; + 5 = 1

L'inégalité (2.2) découle de l'inégalité de Cauchy: 2 1/2 2 112 I Zn=, ~nBnl 5 (CI=i IanI 1 ( ~ n = i IPnl

Donc,

On a l'inégalité suivante de type Sobolev :

Pour tout I E B donné, on définit sur l'ensemble ectP(I') = {ectp(t) : p E P ( r ) } le produit

scalaire et la norme comme suit:

1

1. Le produit scalaire: < x,y > l = x( t )y( t )d t , x,y E eCtP(r) L 2. La norme: llxlll = [ < X,Z >i + < z',zf > 1 ILI2 , z E e C t p ( r )

Clairement, le produit scalaire < O,. >I et la norme I I ( I r sont facilement étendus à

eCt& (r) = {edx( t ) : x ( t ) E Hl ( r ) ) en faisant ainsi un espace d'Hilbert tel que edHi (î) C

L2 (1 - w , l ] ,dt) avec le produit scalaire de x, y E ect Hi ( î ) donné par :

L'inégalité (2.3) montre que :

pour tout y E e c t P ( r ) et ainsi pour tout y E ectHi(r) aussi. Donc, toute suite

{ec '~n}~=P=, c ectH1(r) qui est Cauchy selon la norme ( 1 I I l converge uniformément sur

] - oo,l]. Car, si yn+ y alon : par (2.4) on a 11.IIl

et donc y, =t y sur ] - ac,l]. Ainsi, tout élément de &(î) peut être vu comme une

fonction x :] - m,l] + R telle que edx est une fonction continue bornée de carré Lebesgue

intégrable sur ] - w , l ] avec dérivée faible (edx)' E L2(] - oo,l],dt) dans le sens de la

définition suivante :

Définition 8 Étant donné z E eaH1 (ï), on dit que h fonctzon w E L2(] - oo, l] ,dt) est

une dérivée faible pour z lorsque

Remarque 2 Il suit aussi de l'équation (2.4) que les évaluations ponctuelles sont des

fonctionnelles linéaires bornées sut eCt&(I') et donc toute suite faiblement convergente

dans ect Hi (I') converge nécessairement de façon ponctuelle.

Démonstration : Soit Ilto une fonctionnelle définie sur ectHi(r) à valeurs dans W

telle que Ilh (y) = y(to) . Alors,

Donc, Ut, E ( e c t ~ l ( I ' ) ) ' . D'où, nt, est une fonctionnelle linéaire bornée sur eCtHl(r ) .

Ainsi, IIto est continue sur ectHi(l?) par rapport à la topologie faible. W

Étant donné f : B -t R telle que e" f (t)ll-,sl E L2(] - oo,l],dt) et A > O, on introduit

sur eCtHl(r) la fonctionnelle, a valeurs réelles, suivante :

On appelle cette fonctionnelle le potentiel associé à l'équation du pendule forcé sans

consemation.

2.2 Existence de points critiques pour F;

Avant d'énoncer le prochain théorème, nous allons introduire une définition qui nous

permettra de tirer rapidement une des conclusions de ce théorème.

Définition 9 Soit J une fonctionnelle réelle définie sur un domaine V dans un espace

vecton'el y. Lu variation de Gâteaux de J en y E D dans la direction de v ( tel que a

v + y E D ) est donnée par 6J(y; v) = - J ( y + . \ V ) I ~ = ~ De plus, y0 est un point critique dX

de J lorsque bJ(yo; u ) = O pour tout v.

Remarque 3 Une fonction J définie sur un domaine V dans un espace vectoriel Y à

valeurs réelles est dite strictement conueze sur D si, lorsque y et y + v E D, dJ(y; v) est

définie et J(y + v) - J(y) > 6J(y; v ) lorsque v # O. ( Vozr par exemple [13),p:53 )

Note: On représente le minimum entre deux nombres réels par le symbole A.

Thiioréme 6 La fonctionnelle FJ est coercive, bornée infërieurement et faiblement serni-

continue inférieurement sur eCtHl (r). De plus, la condition O < fi < c est sufisante

pour que Fj soit strictement convexe sur ect H i ( r ) .

Dbmonstration : On montre d'abord que la fonctionnelle F; est strictement

convexe sur ect Hl(T) lorsque A < c? Pour tout y,v E e d H i ( r ) nous avons

Par la formule de Taylor de degré 1 avec reste de Lagrange, il existe une fonction 0 :

] - m,l] +]0,1[ telle que

cos(e-'l ( ~ ( t ) + u(t))) = cos(e-" y( t ) ) - e-%(t) sin(e-" y (t))

où on évalue la fonction trigonométrique autour de e-"y(t) et l'expression (e-"(y(t) + B(t)v(t)) dans le reste de Lagrange est un point intermédiaire entre e-"y(t) et e-"(y(t) + v(t))-

Donc on obtient

cos(e-" ( ~ ( t ) + v (t) ) ) - cos(ëCt y (t) ) = -e-%(t) sin(e-" y(t))

Nous allons maintenant calculer la variation de Gâteaux de 9 en y dans la direction de v :

Pour ce faire, séparons notre fonctionnelle F;(Y) comme suit : Fj(y) = F~(Y)I + F ' ( Y ) ~ + F j ( d 3 + F;(Y)~ où

Nous effectuons le calcul de 6Fj(y; v ) ~ (i = 1,2,3,4) séparément comme suit :

i a [yl( t) + hvl(t)] [y ' ( t ) + AV' ( t ) ] dt

1 1 [i eZCt c ~ s ( e - ' ~ ( ~ ( t ) + Ak(t) ) )dt - 1- eZCt ms(ëCt y (t))dt = A lirn

AA+O AA 1

cos(e-ct y + e-"Ah) Faisons un petit calcul, le développement de Taylor de

AA , où y est

entre e-"y et e-"AAv :

lise le théorème de la convergence dominée de ~egesgue pour entrer la limite à l'intérieur

de l'intégrale. Ainsi, on obtient

Donc, la variation de Gâteaux de Fj en y dans la direction de v est la suivante:

EfFectuons maintenant le calcul suivant:

26

Or, si A <

Donc,

1

- A /__ ectv ( t ) sin(e-'l y(t))dt

A : c2, alors il est clair que v2 ( t ) [l - - cos(e-& (y(t) + B(t)v(t)))] >

c2

( ~ ' ( t ) ) ~ d t 2 O , on conclut que Fj(y + v ) - Ff.(y) > 6F)(y; v).

Ceci montre que la fonctionnelle F) est strictement convexe sur edHl (ï) lorsque A < 2.

Il est facile de montrer que les fonctions Fj(y)l et F)(y)2 sont convexes et continues

sur (eCtHl(T),II I I l ) et donc, par le théorème de Mazur, sont faiblement semi-continues

inférieurement. 1

Clairement, F)(3& - ect f (t) y(t)dt =< ect f (t) , y (t) >l est une fonctionnelle linéaire - L

bornée sur ect Hi (î) et donc faiblement semi-continue inférieurement ( car bornée, linéaire rl

implique convexe ). La fonctionnelle F;(y), = /-_ e2ct c~s(e- '~ y(t))dt =

< ect cos(e-"y(t)),eCt > l est aussi faiblement continue sur edfi(I'). Pour le voir, soit une

suite {yn) C ect Hl (ï) qui converge faiblement vers y, E ectHl(I'). Par l'inégalité (2.4), il

suit que toute évaluation en un point est une fonctionnelle linéaire bornée sur eCtHl(I')

selon la norme II ( I l et donc que yn(t) converge ponctuellement vers yo(t) ( voir Remarque

2 ). Donc, co~(e-~~y,(t)) converge ponctuellement vers c o ~ ( e - ~ ~ y ~ ( t ) ) sur ] - oo,l]. Par le

théorème de la convergence dominée de Lebesgue, on a donc que p(y,) + p(yo). Donc,

F' = F;(y)l + F;(Y)~ + ~;(3& + ~ ; ( y ) ~ est faiblement semi-continue inférieurement sur

edHl(I'). De plus, pour tout y E H i ( r ) on a

car, en vertu de l'inégalité de Cauchy-Schwarz,

28

D'oh FJ est coercive et bornée inférieurement sur ectHi(r) .

Étant donné k E $ il suit du Théorème 6 que F: atteint nécessairement son minimum

sur le sous-espace affine fermé (y +edk : y E ect&(r)) c eCt Hi (r) . De plus, par convexité

stricte, ce minimum est unique lorsque A < c? et est précisément le point critique de F:

sur ect&r) + ect k donné par la fonction y E ectg1 (I') pour laquelle BFf. (y + ect k ; v ) = O

pour tout v E e c t f i ( r ) .

Le résultat suivant démontre que le point critique varie continûment avec f .

Théorème 7 Soient A,c,k,l E B tels que O < \/A < c. Si y = yk est le point critique

de F;(Y + ectk) dans ect&(r) et y = yk + Ag est le point critique de Ff.+,/(y + edk) où

f, A/ E L2(] - cu,l],ectdt), alors:

pour tout s E] - m,l].

Démonstration : Soit z = A y l'unique point où la fonctionnelle @(z) = F;+&

+ yk + ectk) atteint

avons la dérivée

son minimum dans ectHl (î). Si on pose @(A) = @(AAy) , alors m m

29

$(A) = < (XAy + yk + edk)',(Ay)' >i +c2 < AAy + yk + edk,Ay >i

+ < eCt(f + Af),Ay >1 -A < ec'sin(e-"(My + yk + edk)),Ay >i .

Puisque y = yk est le point critique de F;(y+edk) dans ed& (î), on a bFf.(yk+ec'k; v) = O

pour tout v E eCtl l ( r ) et ainsi, pour v = Ay, on a

Donc, on a

$(i) = < (Ay + yk + ec'k)',(Ay)' >i +c2 < Ay + y* + ectk,Ay >1

+ < e d ( f + A f),Ay >l - A < ec 's in(ëC'(~y + yk + eC'k)),ay >l

= < (AY)',(AY)' >i + < (Y& + e & k ) ' , ( ~ ~ ) ' >l +c2 < Ay,Ay >i

+c2 < yç +ectk,Ay >i + < e C t f , ~ y >i + < ec'Af,Ay >i

- A < e" sin(e-"(ay + yk + eC'k)),ay > l

= < (AY)',(AY)' >i +c2 < Ay,& >i + < eCLA f ,Ay >i (d'après 2.6)

- A < ect sin(e-"(Ay + y& + eCtk)),ay >i

+ A < ect sin(e-" (yk + ectk)),Ay >i

= < (AY)',(AY)' >l +c2 < Ay,Ay >i + < eqAf,Ay >i

- A < ec'[sin(e-"(ay + yk + ectk)) - ~ i n ( e - " ( ~ ~ + ec 'k))] ,~y >( .

L'inégalité

nous donne

(d'après (2.5))

Ainsi, G(1) > O ( et donc Ay n'est pas un minimum pour Q ) lorsque

< ectAf ye'LAf >:'*. Donc, on doit avoir IIAylll < < ectA f,ectA f >:12 I P Y I I ~ > 1 A (c' - A) 1 A (c2 - Al . En \ - /

multipliant par fi des deux côtés de l'inégalité, on obtient

f i l l~~ 111 5 fi < ectAf 'ectAf >'". L'inégalité (2.4) nous permet de conclure que 1 A (c2 - A)

pour tout s E] - oo,l].

CHAPITRE 3

Existence et unicité des solut ions de

l'équation du pendule

Pour tout y E ec' Hi(I') avec dérivée faible y' E L2(] - oo,l],dt), on écrit y" pour désigner,

lorsqu'il existe, l'élément de L2(] - oc,l],dt) qui est la dérivée faible de y' dans le sens où

pour tout v E eCtP(r) . Dans ce cas, la variation de Gâteaux de F; en un tel point

y E eCt Hi(I') dans la direction v avec v(1) = O devient alors

- ~ " ( t ) + cZy ( t ) + k f ( t ) - AeCt sin(e-"y(t))] u(t)dt .

Ainsi, la fonctionnelle Fj est le potentiel associé à l'équation différentielle

y" (t) - c2 y (t) + AeCt sin(e-"l y(t)) = eCt f (t) (3-1)

qui sous la transformation y ( t ) = ectx(t) devient l'équation du pendule forcé sans conser-

vation.

Lemme 4 Pour y,v cet H l ( r ) , on a t

6 ~ : ( ~ ; v) =< $(t ) - lm c2y(s) + em f (s) - AeU sin(e-uy(s))ds,v'(t) > l

lorsque v(1) = 0.

DBmonstration : Posons @(t) pour désigner la primitive de l'équation

- y"(t) + ~ ~ ~ ( t ) + eCl j ( t ) - Aect sin(e-" y (t)). Alors,

ql(t)v(t)dt = - $(t)vt(t)dt lorsque v(1) = O , on a :

3.1 Fermeture dans L2 et définitions des projections

On dénote par edB la fermeture de ectp(I') dans L2(] - oo,l],dt). Clairement, &fii (ï) est dense dans ectB puisque ectP(I') est dense dans chacun et ectfil(I') C eCtB. De plus,

nous avons ectC(r) c eccB + ectW ,car si {edxn} c ectC( ] - w,l] ) telle que x, =t x sur

] - w,l] lorsque z, , x E C(ï) , alors on obtient

Donc, ectxn + ectx dans L2 et ainsi, ectx E ectB.

Soient n,.t la projection de ectB + eccB sur ectB, I I , , c t B l ~ la projection de ectB + ectR

sur le complément orthogonal de ectB dans e"B + eCtW que l'on note (edB)I et neta la

projection de ect B + edB sur ectR

Étant donné z E B + W ( G e-"(eCtB + ectR) ), alors est l'élément de B pour lequel

IleCtR(ectx) = eCtz et I est l'tlément de B ( = eeCt(ectB) ) donné par 5 = x - 3. Nous

avons donc (-y"(t) + c2y(t)) E eczB, car si y(t) = eczx(t) alors

-y" (t) + c2 y(t ) = - (edx(t) )" + c2ec(x(t)

= - [eCtx"(t) + 2cectx'(t) + c2ectz(t)] + c2ectz(t)

ct tt = -e x (t) - 2cectx'(t) où 2 = 2 = O .

Aussi, Aed sin(e-"y(t)) E ectHf ( ï ) c (edB + ectR) pour tout y E edHl(r), car si y ( t ) =

ectx(t) alors

~ e " sin(e-'l y(t)) = AeCt sin(e-&edx(t) )

= AeCt sin x(t) .

Comme le sinus d'une fonction T-périodique est T-périodique, on obtient

eCt ~ i n ( e - = ~ y(t)) E ect Hl (I') pour tout y E ect Hf (I') .

Nous allons maintenant énoncer une proposition qui nous donnera l'existence de y: E

L2 (1 - 00'11 ,dt). C'est-à-dire que nous aurons au moins l'existence d'un y" E L2 (1 - w,l] ,dt)

dans le cas où y est le point critique de notre fonctionnelle.

Proposition 5 Soit z E ect&(ï). Si z(t)vl(t)dt = O pour tovte fonction v E

ectEi (l?) telle que v ( l ) = O , alors z = 0.

Démonstration: Soit r E ectHI(r) . On peut alors écrire z = eCîx(t) où z(t) est

une fonction de la forme x(t) = 5(~)e'? Comme x(t) est continue et de moyenne XE r\ (0 1

nulle, dans tout segment semi-ouvert de longueur T, il existe au moins un segment où

x 2 O et où la valeur de x est arbitrairement petite. De la même façon, il existe au moins

un segment où x 5 O et où la valeur de x est arbitrairement petite. De plus, on peut

choisir une fonction u E ect& ii support sur ces segments, telle que [z(t) +u(t)]dt = O

z(t)u(t)dt est arbitrairement petit. Si on pose v( t ) = + u ( s ) ] ~ s , alors u

1

est un élément de ec t3(r ) tel que v(1) = O. Ainsi, si / z(t)vt(t)dt = 0, c'est-à-dire que J -00

1 1 1 L z(t)[i(t) + u(t)]dt = O, on a 1- z2(t)dt = -Lm z (t)u(t)dt qui est arbitrairement

1

petit. Ainsi, Lm iz(t)dt = 0, c'est-à-dire z ( t ) = O. W

Il est évident que, dans la Proposition 1

I , Ivl(t) 12dt 5 M pour une constante

peut être approchée dans L2 (1 - oc,l],dt)

5 est vérifiée lorsque z(t) est élément de

Étant donné k E R, soit G1. : ect&(I') -t

5, il suffit de prendre seulement les v tels que

donnée M > O. Or, toute fonction z(t) E ectB

par un élément de ed&(I'). D'où ia Proposition

eCt B.

W définie par Or (y) = Fl(y + ect k) . Par le même

calcul effectué dans le Lemme 4, la variation de Gâteaux de ak en y E ect&(I') dans la

direction de u E ect&(I') avec u(1) = O est donnée par

&Dk (y; V ) = < - ( y ( t ) + eCtk)" + ~ ~ ( ~ ( t ) + ectk) + eCt f (t)

- Aect sin(e-"y(t) + k) ,u (t) >i

L

= < (y@) + ectk)' - L [c2(y(s) + eak) + eq f (s)

- AeES sin(e-- y (s) + k)] ds,v' (t) >i .

Si yk E ect&(r) produit un minimum pour ak, alors on a l'équation d'Euler 6ak(vk; u) =

O pour tout v E ecc&(r) avec u(1) = O. D'où, d'après la Proposition 5 et la discussion qui

s'en suit, on a que yk est une solution, dans le sousespace ectM(r) de L2(] - oo,l],dt),

( et unique lorsque A < 2 ) des équations

(y (t) + ect k)" - c2 (y(t) + edk) - npt [ect f (t) - Aect ~in(e-"~( t ) + k)] = O

avec y: E L*(] - w,l],dt).

3.2 Analyse des projections

À présent, nous devons utiliser les projections parce que, pour que le produit scalaire de

ect f (t) - AeCt sin(e-"y(t) + k) avec u(t) soit égal zéro, on voudrait bien que ect f (t) - Aect

sin(e-"y (t) + k) = O. Cependant, comme u est dans ect& (I') on sait que la projection de

ect f (t) - AeCt sin(e-"y(t) + k) sur edB est égale à zéro, mais on ne peut rien dire pour

le projection de ect f (t) - Aect sin(e-"y(t) + k) sur (ecLB)l; c'est pourquoi on utilise le

complément orthogonal. Si la projection de ect f (t) - Aed sin(e-"y(t) + k) sur (eCtB)I est

égale à zéro, alors on pourra conclure que ect f (t) - Aect sin(e-ct y (t) + k) vaut effectivement

zéro ( pour un certain y = yko ) . Donc, si nous montrons qu'il existe ko E B tel que

I I ( e c t B l ~ ecL f (t) - Aect ~in(e- '~yk~it) + k ~ ) = O

alors nous aurons l'existence d'une fonction yko E ect&(r) ( qui est unique lorsque

A < c2 ) telle que

Puisque yk, et Aect sin(e-ct yko (t) + ko) reposent dans L2 (1 - w,l] ,dt) et que f : B -t IR

est telle que ect f (t) E L2(] - w,l],dt), il suivra de l'équation (3.2) que y:o (t) E

L2 (1 - oo,l] ,dt ) . Suite à l'équation (3 4 , nous aurons que y& (t ) peut être choisie continue

et par l'équation (3.2), y;Jt) sera continue lorsque f est continue. Donc, on montre qu'il

existe ko E P tel que

[ect f (t) - ~ e " sin(ëctyk0 + ko)] = 0 (3.4)

Nous aurons alors montré l'existence d'une fonction continûment différentiable y (t ) =

yko (t) + ectko E eetHi(r) où yW(t) E L ~ ( ] - oo,l],dt) telle que (3.1) est satisfaite presque

partout sur ] - m,l] ( et uniquement lorsque A < 2 ). - Note: z(y (t)) = sin(y(t)) et ~ ( I J (t)) = sin(y(t))

Puisque

ect/(t) - Aect sin(e-CLyko + ko)

ct - ct- = (ectf (t) - Ae sin(ëct9k0 + ko)) + (ec'f (t) - Ae sin(e-ctyko + ko))

ct - (ectf (t) - ~ e ~ & ( e - ' ~ ~ k ~ ) ) = q , t B , (edf(t) - Ae ~in(e-~'y~,))

ct- II(ec~ B l ~ (e" f ( t ) - Ae" ~in(e-~ 'yk~ + ko)) = ll,,ctBl~ (ed7(t) - Ae sin(e-" + ko)),

pour obtenir l'équation (3.4) il est suffisant de montrer que :

ct- ectf (t) - Ae ~in(e"~~. + ko) = O (3.5)

pour un ko E W Pour montrer cette égalité, nous avons besoin du résultat suivant:

Théoréme 8 Si O < A < 2, alors yk converge faiblement dons ectfil(k(r) vers yk, lorsque

k -+ ko.

Démonstration: Sans perte de généralité, supposons yc # O. Si on pose cp(X) z

Bk(Xyk) et qu'on répète l'argument de la démonstration du Théorème 7, alors on obtient

la dérivée

et donc l'inégalité 1 sin(e-%yk + k) 1 5 (e-"Xyk + kl produit

Puisque lyk + ectk) 5 Iykl + lectkl, on a

Ainsi, $(l) > O ( et donc yk n'est pas un minimum relatif pour @k ) lorsque

I l'ykl'l ' (1 A (9 - A) )

[(l + c2 + A)llectklll- < ect f,ect f >il2 1.

Donc, la suite de points yk est dans une boule fermée bornée ( faiblement compact )

dans (ect & (r ) , (1 - 11,) lorsque k + ko. Ainsi, il existe une sous-suite (ykn) qui converge

faiblement vers un élément y0 E ectEf (î) c ectB lorsque kn + ko. Mais, pour tout kn E IR

donné, y&,, est l'élément de ed&(I') pour lequel

pour tout v E ect&(r).

À la limite, lorsque n -t oo, on obtient

pour tout v E eCt&r). Puisque, pour tout k E B donné, y = y* est l'unique élément de

ectEi(r) qui satisfait

pour tout v E ed&(I'), il suit que y0 = yko. . Puisque, d'après le Théorème 8, yk converge faiblement ( et donc ponctuellement ) vers

yko lorsque k + ko et O < fi < c, il suit du théorème de la convergence dominée de 2

Lebesgue, où lect [sin(ëctyt + k ) - s in (ëdy~ , , ) ] 1 est dominée par 4e2", que

-+ O lorsque k + ko

et donc, &(e-ctyk + k ) est une fonction continue ( à valeurs réelles ) de k E B D'après

l'unicité et la 2a-périodicité du sinus, yk = Yk+2= pour tout k E a Ainsi, %(e-Ctyk + k)

est une fonction continue 2~-périodique de k sur B

Donc, si f est telle que

i:f A G ( e - c t y r + k ) < f < sup A Z(ëCLyk + k ) k

alors, tout sous-intervalle semi-ouvert de R de longueur 2r contient au moins deux valeurs

42

de k pour lesquelles f = A &(e-"yk + k) ( et donc pour lesquelles l'équation (3.5) est

satisfaite ).

Si f est égale à l'une des bornes dans (3.6)' alors il existe au moins une valeur de k pour

laquelle 7 = A &(ëdW + k) et si f est à l'extérieur des bornes de (3.6), alors il n'y a

aucune valeur de k pour laquelle f = A &(cdyk + k).

Notons que les deux bornes sont indépendantes de 1 puisque sin(e-ctyk + k) est indé-

pendant de 1 ( pour toute valeur de k ). Donc, on obtient le résultat suivant sous la

transformation x = e-"y.

Remarque 4 yk E C(r) est deux fois continûment différentàable.

Démonstration: On a montré, dans les calculs de la section 3.1, qu'il existe Z

yk E ect H[ (î) tel que (yk + eCt k)" - c2(yk + ect k) + Aect sin(ëe" y,) = ee" f où (yk + ect k)" E

L*(] - m,l],dt). Or, yk et f sont continues; donc on peut choisir (yk + ect k)" continue et

conséquemment y[ continue. m

Nous avons démontré le résultat suivant.

Théorème 9 Étant donné un groupe rnonogène I' C R et A,c E W tels que O < fi < c,

alors pour tout k E W et toute fonction f E C(r) il eziste une unique fonction zk E e(r) deux fois continûment d imnt iab le , dont la restriction à ] - m,l] est dans gl(î), et pour

laquelle la fonction x = xk minimise la fonctionnelle

eZCt [ ~ ' ( t ) ~ + c2x(t)* + 22 (t) f (t) + ~ A C O S Z ( ~ ) ] d t

De plus, si infk A =(xk + k) < f < sup, A z ( x k + k ) alors, dans tout intervalle semi-

ouvert de longueur 27r, il y a au moins deux valeurs de k pour lesquelles x = x k + k

est une solution deux /ois continument dtfférentiable dans C(r) de l'équation du pendule

forcé sans conservation

XI'+ 2a'+ Asinx = f.

Aussi, il y a au moins une valeur de k pour laquelle x = xk + k est une solution du même

type lorsque f est égale a l'une des bornes.

Finalement, il n'y a aucune valeur de k qui procure uen solution du type xk + k lorsque - f est autrement que mentionné ci-haut.

CONCLUSION

Le but de ce mémoire était de montrer l'existence de solutions T-périodiques à l'équation

du pendule forcé sans conservation et ce en utilisant les méthodes du calcul variationnel.

Nous avons tout d'abord travaillé avec les méthodes du calcul variationnel pour montrer

que la fonctionnelle ( c'est-à-dire le potentiel ) associée à l'équation du pendule forcé sans

conservation admettait des points critiques. Un argument sur la stricte convexité de la

fonctionnelle nous a été essentiel pour en arriver à ce résultat. Il nous a alors fallu consi-

dérer des espaces de fonctions sur lesquels nous avons fait des projections pour arriver

à montrer l'existence d'une fonction qui était une solution T-périodique de notre équation.

Bien que beaucoup de travail ait été effectué pour démontrer l'existence de solutions

aux équations de type pendule, nous pouvons quand même nous demander si notre tech-

nique pourrait s'appliquer à celles-ci. Plusieurs variantes de l'équation du pendule forcé

sans conservation seraient donc à considérer. Nous pouvons aussi laisser la porte ouverte

en pensant que d'autres techniques pourraient être envisagées pour arriver aux mêmes

résultats que dans ce mémoire. Il serait intéressant de réussir à trouver une technique

s'appliquant à tous les différents types d'équations du pendule, technique qui se voudrait

d'une complexité raisonnable compte tenu de la difficulté que pose le problème en soi.

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